传染病动力学与个体行为的相互影响

张海峰haifeng3@mail.ustc.edu.cn

zhhf_3@163.com

纲要 相关背景介绍 个体行为与传染病动力学关系的一些研究进展 本人的一点工作和想法

一、背景工作介绍：

经典的传染病模型： SIS (Susceptible-Infected-Susceptible); SIR

(Susceptilbe-infected-Removed/Recovery);SEIR,SIRS….

对应的微分方程：

{

dSSI I

dtdI

SI Idt

其中 表示传染率， 表示恢复率S+I =1

基本再生率 R ：一个病人在平均患病期内能感染的最大人数，如 R<1 则疾病自然灭亡，否则盛行。 R= ，数学上的处理方法主要是研究在不同情况下的 R. 以及相关的稳定性条件（局部的和全局的）

/

复杂网络上的疾病传播 主要结论： 规则网络——随机网络——小世界网络——无

标度网络（传播速度逐渐变快），尤其是无标度网络，当网络结构充分大的时候，即使充分小的传染率也可以使疾病盛行。由于：

研究复杂网络上传染病动力的方法有： 平均场理论（ mean-field ），渝渗理论（ per

colation ） ,Markov 链方法等。

2

21, = , c

k kR

k k

令 则

研究方向 网络结构对动力学的影响（无标度，小世界，

社团网络，层次网络等）。 不同网络结构的相关免疫策略等（目标免疫，

熟识者免疫，环状免疫，图划分免疫等）。 网络上的个体在不同结点之间的迁移对疾病传

播的影响。 网络和疾病的共同演化。 其他如，地理距离，接触频率，结点之间的相

关性等

二、个体行为与传染病动力学关系的一些研究进展 以前的主要从纯粹的动力学角度研究传染病，

比如网络结构对动力学的影响，时间延迟，非自治，脉冲 , 极限环， hopf 分叉等。虽然很有用，但是单纯的动力学的角度研究不能真实反映传染病动力学的变化。因为当一种传染病流行开来，必然引起个体、社会各方面的变化，如自我保护，恐惧，自暴自弃，政府干预，等等。这些行为又反过来影响传染病动力学的变化，他们之间相互影响。

研究方向 从博弈论的角度研究个体的免疫策略问题 个体从经济学和运筹学（代价函数，效用函数，

贴现率，动态随机规划等）的角度考虑自我保护和被感染风险的代价决定自己的行为。

疾病对个人、社会的经济影响，以及对预防的优化控制问题等

动力学与个体行为、政府决策的相互关系示意图

用来刻画传染病动力学与个体行为，政府决策等因素之间的相互影响

1.Group interest versus self-interest in smallpox vaccination policy, PNAS,100 (2003) 1564

模型： 由于接种水痘存在者死亡的危险，即使死亡

率很小，人们还是很容易产生恐惧。所以在面临预防时，存在着一个困境，预防面临代价，不预防也有被感染的风险；另外由于 (herd immunity ）群体免疫的作用，如果别人采取了免疫那么我被感染的风险减小，我可以不免疫，但是别人也有这样的想法，所以这是一个预防困境问题。用博弈中的收益（ payoff) 来描述接种的收益 和暂时不接种的收益 ：vacEdelE

假设每个个体采取接种的概率为 p, 在群体中就有 p 比例的人选择接种，此时

vd其中 表示死亡率

( ) ( )s s vr p p 被击中的风险，d表示感染以后的死亡率， 和

分别表示被感染的概率和被击中后具有免疫的概率

对应个体而言，个体的平衡点为：0( )vac delE E p

对于整个集体的最优为 , 代价 C(p):

最小。

主要结果（个体最优和全局最优的差距）

2.Can Influenza epidemics be prevented by voluntary vaccination, PLoS computational biology, 3(5) (2007) e85

模型： 流感疫苗的有效期是有限的（比如一年，一个季度），但是流感又是不断发生的，因此对于理性个体就要不断做决定是否采取接种疫苗，那么他 /她就会根据当前的爆发范围、接种疫苗的范围、以及以前的成败史来判断当前是否采取接种。

假设1. 有 N 个个体，自愿原则接种。2. 每个个体可以根据以前的经验做参考，即采取归纳推理的方式做判断。用 0<=s<1 反映

个体对以前的依赖程度， s=0,表示完全忽略以前的经验 .

3. , , n i

i n 1, 0.

i i in n n

i in n

in

i n

定义Bernoul l i量： 和 他们依赖与变量 表示季节，表示个体。

如果在 季节采取接种则 否则为 表示在 季节免疫的概率。

表征i对以前经验的依赖性。

4,后一个季节的变量由前一个季节的变量决定。

5 ，1

/ Bernolli 1 0N

i i in n n n

i

P N

令 表示接种范围， 量 表示被感染，否则

1

1

1

1

1

1 1, p , ;

(2), 1, <p , +1;

3 0, 0, +1;

4 0, 0,

in

i i in n c n n

i i in n c n n

i i i in n n n

i i in n n

v

and P v sv

and P v sv

and v sv

and v s

根据以下四个不同情况做变化：

（）， 即采取接种，但是没有必要，故

即采取接种，也有必要，故

（）， 即没有采取接种，被感染了，故

（）， 即没有采取接种，也没有被感染了，故 ;

.

in

c

v

p表示要使得疾病灭绝应该接种的范围阈值

被感染概率q(p)与接种范围p的关系

两种不同的政府补贴引起的不同效果

免疫比例 p (black) 和感染比例 f (red) 的时间演化图

3.Modeling the effect of information quality on risk behavior

change and the transmission of infectious diseases ， Mathematical Biosciences,217 (2009) 125

模型：以 SIS 模型为例研究个体在不同信息下做风险估计，进而对疾病传染病的影响。

+1

1+1

1

, = ( ) (1 ( )) ,

t

t

tt t t

t

mM g M g M

Mm

假设N表示总人数， 为传染率， 为感染的时间， 为折现率。c为感染代价， 为采取保护的代价。每个个体根据了解的信息对不采取保护可能的风险做评估，一旦风险大于 就采取保护，否则不保护。表示个体对当前感染比例的估计。

那么下一步在做风险估计的时候要首先对感染比例 做估计，

估计来自两部分：

和从人群的抽样人数 则

其中 表示抽样中的感染 ( )g M人数。 可以有不同的形式。

M越大表示了解的越全面。

采用随机动态规划得到的风险估计，一旦风险大就采取保护，否则不保护。

2

( )

( ) , ( ) ( ) , ( )1 1 1

g M

M M Mg M g M g M

N N N

分别用三种函数表示：

1, 2, 3,

抽样范围对爆发范围和采取接种人数的影响

自我保护代价对成功率（ frequency of eradication ）的影响

传染率对成功率（ frequency of eradication ）的影响

4.Optimizing the control of disease infestations at the landscape scale, PNAS 104 (2007), 4984

考虑最简单的接触方程（ CP-SIS 模型）

没有采取措施：

对其中的一部分 k/n采取措施，使得被感染的尽快恢复，即

2 1

得到使得疾病被消灭的阈值： （不考虑经济代价）

当考虑经济代价的时候，应该使得预防和被感染造成的危害之和最小。分两种情况：

主要结果 对于 short period 的最优情况 k_c=0 ， or k_c

=n 。对应 long period 最近一个稳定的中间态：

5 ， Imitation dynamics predict vaccinating behaviour,Proc.R.Soc.B 272, (2005),1669

刻画模仿机制（学习更成功者），对于易感染者，他们在做决定之前，首先随机从人群中抽样一部分人，比较他们到底是免疫的收益高还是不免疫的收益高，然后采取收益高的行为。

模型： 免疫的收益为：

.vr表示对免疫的死亡率的风险估计

不免疫被可能被感染的收益为：

i

m量化个体对疾病行为的敏感性，r表示被感染带来的死亡率。

( ), 0v nE f f I E 令 如果抽样的 则采取接种，否则不接种

相应的微分方程分两种情况

0E 当 时，0E 当 时，

-x

(1 )( ( )) (1 )[ ]v n v i

dxkx x f f I kx x r rmI

dt

其中，x表示接种者的相对比例，（1 ）就是不接种的比例，是抽样比例， 是一个比例参数。经过令k= 得到：

再和 SIR 模型结合就得到：

= , /v i vkr mr r 令

结论 : 在不同的条件下出现不同的相

Hopf bifurcation around \epislon_{4}

选择接种的人数 x 和被感染的人数在不同的条件下随着参数 omega(L) 和 kappa （ R ）的变化情况。

6,Philipson “Economic Epidemiology and Infectious Diseases,” (1999) ,NBER Working Paper, 7037传染病阴影下的个人预防困境及其突破，浙江学报， 4 ，（ 2008 ）， 163

首先，把所有的人划分成三类：第一类是易感人群 (S_t)；第二类人是感染人群 (I_t) ，同时也用表示扩散的程度；第三类人是具有免疫类的人群 (R_t).

其次，定义“扩散门槛”，它是根据采取预防措施和不采取预防措施时的两种效用的对比来确定的。假定存在一个效用数： 。其中 d={0,1} 代表是否采取了预防措施， d=1: 有预防需求； d=0:没有需求。 h 代表健康的状况： h=s ，代表是 S_t类人； h=i 代表是 I_t类人。那么对 S类人而言，他们的（行为）判断标准的函数可以表示为：

α 是贴现率，用以表示易感染类人他们选择现在是否预防的一个贴现值。如果他们不采取预防措施，那么就面临着将来成为传染病人的危险。也就是说人们选择何种行为（预防，不预防），取决于对这两种状态下效用的对比，我们可以得出一个更直观的式子，

( ) max ( ,1) ( ), ( ,0) ( ) 1 ( )t tv s u s v s u s I v i I v s

( , )u h d

0 ( ,0) ( ,1) ( ) ( )td u s u s I v s v i

那么可以得出结论说，当传染病的扩散达到某个水平的时候人们才开始自发的采取预防措施。这个扩散水平就是我们上面提到的“扩散门槛”，用 K 来表示这个扩散的水平，那么通过解这个标准函数，我们可以得出 K 的一个基本表达式：

从中可以看到： S_t类人自发采取保预防措施的当前成本（ [u(s,1)-u(s,0)] ）或贴现值 α 上升的时候，扩散门槛就上升；当被感染的成本（ [u(s,1)-u(i,0)] ）或 β 上升的时候，扩散门槛相应地会下降。

在传染病扩散的过程中，个体行为表现在扩散弹性上的特点使传染病的扩散具有周期性，也就是说在个人理性下，私人预防市场是难以根除传染病的。因为扩散弹性是一个主观的值，所以对不同的易感者而言其扩散的门槛水平 K常常是不同的，从社会角度来看，人们反应于扩散水平的预防行为并未达到社会的最优。

( ,1) ( ,0)0

( ,1) ( ,0)t

u s u sd I K

u s u i

7 ， What is the best control strategy for multiple infectious disease outbreaks, Proc.R.Soc. B 274,(2007),833

对于多波的疾病传播问题：什么样的控制策略最优。以 SIR 模型为例，当没有控制时，有以下情况：

虽然下一波不会被感染，但是感染的人太多，所以不好。

太强的控制，对于下一步不利，因为还有很多感染者可能被下次感染；太弱也不好，因为被感染的人数太多，最好的是恰好控制到“不会引起爆发的门限”。

三、本人最近工作和一些想法1. Hub nodes inhibit the outbreak of epidemic under voluntary vaccination ， New J. Phys. 12 (2010) 023015.

假设网络中的个体是否采取接种是自愿的。又假设每个个体知道他的哪些邻居被感染了。定义接种的代价函数 和被感染的代价 。

令每个个体被感染的概率

则有

其中 C_1表示感染代价， C_2表示接种代价

vP nP

主要结果

相同规模和相同平均度的 BA 网络和 ER 网络在没有接种（ L ）和在有自愿免疫机制下的感染人数（ C ）以及采取接种人数（ R)

不同度的结点参加接种的倾向性（意愿）

2,Epidemic dynamics on complex networks under voluntary vaccination: complete versus incomplete information

假设个体本着自愿原则接种，那么个体就会从自身利益出发，最大化个体利益。在做决定之前，他要权衡接种的风险（花费和死亡率）以及不接种被感染引起的代价（痛苦，死亡率）。

分两种情况，一种是个体完全知道邻居的状态；另外一种是个体仅仅知道总的感染比例。讨论两种极端情况引起的不同反应。

模型

A:

B:

两种情况比较

3,Risk estimation drives the dynamical evolution of contact patterns (initial idea)

模型： 假设疾病不是很致命，比如流感，那么人们在面临这类疾病时就会权衡到底是不是需要断了和外界的联系，因为我们假设最初网络中每个结点和邻居的连接都是有必要的。因此都不愿意主动断了这些边。

假设如下：网络中的每个结点每过一段时间 T得到总的感染比例，那么他们就根据当前的感染情况和自己的利益采取行动：断边或者重新恢复以前断了的联系。

令每个结点的初始财富W_i （重要性）与他的度成正比，其中每条边的利益（重要性）为

则初始财富不随时间演化。 每个结点对当前的风险估计为

令 表示当前应该保留的边数，如果他小于当前的度，则断边，否则恢复边（立即恢复或者过

一段时间后再恢复）

i iW c k

( )i i i

n tR r k

N

(( ) / )i i in ceil W R c

( ). 0, .

. 5,

3, 6,7 8,

=3 .

i

i

i

i

ceil

c

表示取整 大的 如果n 则表示当前所有的边都应该断了

否则用来判断到底保留多少条边比如某个结点的度k每条边的价值为 则他的初始财富为W=15.如果他估计当前的风险为 或者

则他应该保留n 条边

主要结论

0 50 100 150 200 250 300

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

I

t

[0, 10] [10, 20] [20, 30] [30, 40]

0 50 100 150 200 250 300

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

[0, 10] [10, 20] [20, 30] [30, 40]

ave

rag

e d

eg

ree

t

0 50 100 150 200 250 300

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

I

t

T [0,10] No evolution

0 50 100 150 200 250 3001

10

100

K

t

Infected number Average degree

用断边重连机制和没有对传播范围的影响

当感染人数增加到一定范围就意味着断边的发生

断边的时间尺度对感染人数 (L) 和网络平均距离的影响 (R)

0 50 100 150 200 250 300

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

I

t

T1=0 T1=5 T1=10

0 50 100 150 200 250 300

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

T1=0 T1=5 T1=10

Ave

rag

e d

eg

ree

t

0 50 100 150 200 250 300

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5 c=0.01 c=0.02 c=0.03

Ave

rag

e d

eg

ree

t

0 50 100 150 200 250 300

0.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.0500.0550.0600.0650.0700.0750.0800.0850.090

I

t

c=0.01 c=0.02 c=0.03

推迟重连（恢复以前断的边）时间 T1 对疾病传播 (L) 和网络结构 (R) 的影响

每条边的代价对疾病传播 (L) 和网络结构 (R) 的影响

0 50 100 150 200 250 300

1E-3

0.01

0.1

I

t

=0.01 =0.02 =0.03

0 50 100 150 200 250 300

2

3

4

5

6

=0.01 =0.02 =0.03

Ave

rage

de

gree

t

传染率对爆发范围 (L) 和网络结构 (R) 的影响

4,….

考虑以下一个问题： 如果现在有可以预防性病或者艾滋病的疫苗，那么当

疫苗不是完全有效的情况下，这类疾病能不能有效的控制？

因为现实中存在以下情况，以艾滋病为例，当没有疫苗时，人们担心被感染，他们会减少性伙伴或者采取有安全措施的性行为（安全套），但是当出现疫苗时，他们往往高估疫苗的作用，所以他们会寻求更多的性伙伴或者采取更加刺激的性行为。因此可能导致更多的人被感染？

5, 个人经济能力对预防疾病的影响

由于每个人的经济条件的不同，采取预防的能力或者能动性就不相同。比如如果预防一种疾病需要 1000元，对于收入很低的人，他的收入仅仅可以维持基本生活水平，额外的 1000元对于他们的影响与收入高的人这 1000元的影响完全不同。那么各个人对于预防疾病的态度完全不同，因此在研究预防控制时需要考虑这种因素的影响。以及应该采取怎样的政府补贴等措施抑制疾病的传播。

相关文献 E. Klein, R. Laxminarayan, D.L. Smith, and C. A. Gilligan, Economic incentives and mathe

matical models of disease, Environment and Development Economics 12 (2007) 707. C. T. Bauch, A. P. Galvani, and D. J. D. Earn, Group interest versus self-interest in smallp

ox vaccination policy, Proc. Natl Acad. Sci. USA 100 (2003) 1564 C. T. Bauch, and D. J. D. Earn, Vaccination and the theory of games, 101 (2004) 13391. C.T. Bauch, Imitation dynamics predict vaccinating behaviour, Proc. R. Soc. B 272 (2005)

1669. P.Poletti, B.Caprile, M. Ajelli, A. Pugliese, and S. Merler,Spontaneous behavioural change

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Rev. 87(1) (1997) 221 。 周涛 , 汪秉宏，韩筱璞，尚明生 , 社会网络研究进展和在应急管理中的应用 (http://www.sci

encenet.cn/m/user_content.aspx?id=236784).

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