Δυναμική ΦΥΣ 111 - Διαλ.11

Ø F(δύναμη), m(μάζα), E(ενέργεια), p(ορμή),… Ø Πως ένα σώμα αλληλεπιδρά με το περιβάλλον του

Ø Γιατί σώματα κινούνται με το τρόπο που κινούνται

q Θεμελιώδεις νόμοι της μηχανικής: Οι τρεις νόμοι του Newton

1

ΦΥΣ 111 - Διαλ.11

Δυνάμειςq Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί αλλαγές στη ταχύτητα ενός σώματος.

Η δύναμη είναι ότι προκαλεί την επιτάχυνση

q Η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος (έχει διεύθυνση και μέτρο)

Ø Ισορροπία επέρχεται όταν η ενεργός συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν

Ø Αν βρισκόταν σε ηρεμία θα συνεχίσει να βρίσκεται σε ηρεμία

Ø Αν κινούνταν θα συνεχίσει να κινείται με την σταθερή ταχύτητα

q Το διανυσματικό άθροισμα όλων των δυνάμεων (συνισταμένη δύναμη) που ασκούνται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολές στη κινητική του κατάσταση

2

ΦΥΣ 111 - Διαλ.11

Κατηγορίες δυνάμεωνΔυνάμεις επαφής Δυνάμεις πεδίουΔυνάμεις επαφής προϋποθέτουν

φυσική επαφή μεταξύ των σωμάτων

Δυνάμεις πεδίου διαδίδονται στο χώρο και δεν προϋποθέτουν επαφή μεταξύ σωμάτων

Οι θεμελιώδεις δυνάμεις της ΦύσηςΒαρυτικές: μεταξύ μαζώνΗλεκτρομαγνητικές: μεταξύ φορτίων

Ισχυρές: μεταξύ στοιχειωδών σωματιδίων

Ασθενείς: εμφανίζονται σε ορισμένες ραδιενεργές διασπάσεις

Βαρύτητα: F = G MmR2

G = 6.7 ×10−11m3 kgs2( )M γη = 6 ×10

24 kg και Rγη = 6.4 ×106m

Κάθετη δύναμηΤριβή: παράλληλη στην επιφάνεια

Τάση νήματος, δύναμη ελατηρίου

3

Οι νόμοι του NewtonΦΥΣ 111 - Διαλ.11

1. Αν το άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων (συνισταμένη δύναμη) που ενεργούν σε ένα σώμα είναι μηδέν τότε η κίνησή του (ταχύτητα και η διεύθυνση) δεν θα αλλάξει

f =F = 0 ⇒ v = σταθ. ∑Δηλαδή: Δ

υ = 0⇒ a = 0και επομένως:

2. Αν η συνισταμένη δύναμη που ενεργεί σε ένα σώμα δεν είναι μηδέν τότε το σώμα θα αλλάξει κινητική κατάσταση

f∑ =F = maΔηλαδή:

3. Αν δυο σώματα αλληλεπιδρούν (εξ’επαφής ή δια αποστάσεως) τότε οι δυνάμεις που ασκεί το κάθε σώμα στο άλλο είναιίσες σε μέτρο και αντίθετες σε διεύθυνση

4

ΦΥΣ 111 - Διαλ.11

1ος νόμος του Newton – Αδρανειακά συστήματα

Ø O Aριστοτέλης πίστευε ότι για την κίνηση ενός σώματος χρειάζεται μια δύναμη(F ανάλογη της ταχύτητας v).

q Ποια είναι αδρανειακά συστήματα;Συνήθως θα θεωρήσουμε την επιφάνεια της γης. H γη γυρνά γύρω από τον άξονά της με σταθερή επιτάχυνσηα=3.4x10-2 m/s2 και γύρω από τον ήλιο με επιτάχυνση α=4.4 x 10-3 m/s2

Οι οποίες είναι αμελητέες ως προς την βαρυτική επιτάχυνση g=9.8 m/s2.

Γιατί?

q Αυτή η πρόταση έχει φυσική σημασία!!

q Ο νόμος λέει ότι αν ένα ελεύθερο σώμα κινείται σε ένα σύστημα με σταθερήταχύτητα τότε αν αντικαταστήσουμε το σώμα αυτό με ένα άλλο ελεύθεροσώμα, τότε και αυτό θα κινείται με σταθερή ταχύτητα.

Λάθος: Η φυσική κατάσταση είναι «οτιδήποτε το σώμα έκανε» όχι απαραίτητα σε ηρεμία

5

ΦΥΣ 111 - Διαλ.11

1ος Νόμος του Newton - Αδρανειακή μάζα

q Η μάζα είναι μια βαθμωτή ιδιότητα κάθε σώματος και μόνοκαι ανεξάρτητη από το περιβάλλον του σώματος

Βάρος είναι η δύναμη της βαρύτητας πάνω στο σώμα

Μάζα και βάρος είναι δυο διαφορετικές ποσότητες:

q Μάζα είναι ο όρος που χρησιμοποιούμε για να περιγράψουμε/μετρήσουμε την αδράνεια ενός σώματος.

q Ένα σώμα αντιστέκεται στην αλλαγή της κίνησής του

Μάζα είναι ιδιότητα του σώματος και σταθερή παντού

Αδράνεια

6

ΦΥΣ 111 - Διαλ.11

2ος νόμος του Newton F = ma

�

m1m2

≡ a2a1

Μετρώντας τη σχετική μάζα 2 σωμάτων με μια γνωστή δύναμη,μπορούμε να βρούμε το λόγο των επιταχύνσεων για άλλη δύναμη

Η φυσική έννοια του νόμου εισέρχεται αν σκεφτούμε ότι ισχύει γιαόλα τα σώματα.

Ø Αν η ίδια δύναμη ενεργήσει πάνω σε 2 σώματα τότε οι μάζεςκαι οι αντίστοιχες επιταχύνσεις τους συνδέονται με τη σχέση:

q Ο νόμος αυτός δίνει την έννοια της μή μηδενικής δύναμης.

Ø Ισχύει μόνο σε αδρανειακά συστήματα! Εκεί που ορίζεται ο 1ος νόμος

Μονάδα δύναμης: 1N=Κgr·m/s2

7

ΦΥΣ 111 - Διαλ.11

2ος νόμος του Newton:

�

Fx∑ = max

�

Fy∑ = may

�

Fz∑ = maz

Ανάλογα με τις διαστάσεις του συστήματος (1, 2 ή 3) ορίζονται και οι αντίστοιχες εξισώσεις της F που ικανοποιούν το 2ο νόμο:

�

F ∑ = m a

�

F ∑ = m a είναι μια διανυσματική εξίσωσηH

Αξιοσημείωτο

q H μάζα δεν εξαρτάται από v

Υπάρχει κάτι ακόμα ουσιαστικό στο 2ο νόμο:

Εξαιτίας του 1ου νόμου.

ο 1ος νόμος θα ’ταν λάθος:

�

F = m a Η δύναμη ανάλογη της επιτάχυνσης

Και όχι

�

F = m v

�

F = m d3 r

dt 3ή Γιατί?

�

F = m v από 1ο νόμο ξέρουμε ότι μπορούμε να ’χουμε ταχύτητα χωρίς δύναμη

�

F = m d3 r

dt 3θα έλεγε ότι το σώμα κινείται με σταθερή επιτάχυνση όταν δεν ενεργεί καμιά δύναμη πάνω του.

(αυτό παύει να ισχύει για v > c/10)

8

ΦΥΣ 111 - Διαλ.11

3ος νόμος του Newton

�

F 12 = −

F 21

«Όταν πηδάς από κάποιο ύψος τότε πέφτεις επειδή η βαρύτητα σετραβά προς τη γη αλλά και η βαρύτητα λόγω της μάζας σου έλκειτη γη προς το μέρος σου» (δύναμη εξ ’αποστάσεως)

«Όταν στέκεσαι στο έδαφος, εξασκείς την ίδια βαρυτική δύναμη στη γη όπως αυτή που ασκεί η γη πάνω σου» (δύναμη εξ ’επαφής)

Ø Σε γενικές γραμμές τι λέει ο νόμος αυτός;

Ø Ο νόμος αυτός εισάγει την έννοια της διατήρησης της ορμής (θα τον δούμε σε μερικές διαλέξεις αργότερα)

Οι δυνάμεις εμφανίζονται σε ζεύγη

Για κάθε δράση (δύναμη ασκούμενη από σώμα 1 σε σώμα 2) υπάρχει μια ίση και αντίθετη αντί-δραση (από το σώμα 2 στο σώμα 1)

q Οι δυνάμεις F12 και F21 δρουν πάνω σε διαφορετικά σώματα(Πληροφοριακά: O νόμος δεν ισχύει για τις μαγνητικές δυνάμεις...Με ότι ασχοληθούμε στο μάθημα αυτό ο 3ος νόμος θα ισχύει πάντα)

9

ΦΥΣ 111 - Διαλ.11

3ος νόμος του Newton - Παραδείγματα

Β=mg

N

B΄N΄

Β=mg

NΤο τούβλο είναι ακίνητο (u=0) – ισορροπία:

Δύναμη επαφής:O A πιέζει τον τοίχο. Ο τοίχος παραμορφώνεται κάποιο ποσοστό της ακτίνας του ατόμουΟ Α παραμορφώνεται μέχρι και μερικά χιλιοστά

Ένα τούβλο βρίσκεται ακίνητο πάνω σε τραπέζιØ Η γη ασκεί μια δύναμη Β πάνω στο σώμα που

δεν είναι άλλη από το βάρος του σώματος

Ø Το τούβλο αντιδρά στη δύναμη αυτή ασκώνταςμια δύναμη Β’ πάνω στη γη

Ø Το τραπέζι με τη σειρά του ασκεί μια δύναμη Νπάνω στο τούβλο με κατεύθυνση προς τα πάνωεπειδή το τούβλο είναι ακίνητο πάνω στο τραπέζι

Ø Το τούβλο ασκεί μια αντίδραση Ν’ στο τραπέζι

από 1ο νόμο: ΣF = 0 που σημαίνει ότι Β = Ν = mg

Ο τοίχος πιέζει τον Α

10

ΦΥΣ 111 - Διαλ.11

Παράδειγμα

�

F mini = −

F φορτηγο

T

B

y

x

q Φορτηγό συγκρούεται με mini!

αφού Μmini<<Mφορτηγού τότε αmini>>αφορτηγού

και τα 2 σώματα δέχονται την ίδια δύναμη

�

F = m a

q Κιβώτιο ισορροπεί κρεμασμένο από τη ζυγαριάØ Η δύναμη λόγω της βαρυτικής έλξης (βάρος)

�

B = m g = −mgˆ j με g=9.8m/s2

!Fy∑ =

!T +!B + FF" !""

=!0⇒

!T = −

!B − FF" !""

⇒T = −m −g( )− −FF( ) = mg + FF > mgØ Αν τραβήξω το κιβώτιο προς τα κάτω τότε

Ø Aν τραβήξω το κιβώτιο προς τα πάνω τότε

Ø Αφού το κιβώτιο ισορροπεί θα έχουμε:

!Fy∑ =

!T +!B =!0⇒

!T = −

!B = −m!g ⇒T = −m −g( ) = mg

Ποιο από τα 2 οχήματα θα δεχθεί μεγαλύτερη δύναμη? 3ος νόμος:

Ποιο από τα 2 οχήματα θα έχει μεγαλύτερη επιτάχυνση? 2ος νόμος:

Ø Η δύναμη από το σχοινί, Τ (το κιβώτιο «τραβά» το σχοινί)

11

!Fy∑ =

!T +!B + FF" !""

=!0⇒

!T = −

!B − FF" !""

⇒T = −m −g( )− FF( ) = mg − FF < mg

ΦΥΣ 111 - Διαλ.11

Διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος

Ø Βρίσκουμε όλες τις εξωτερικές δυνάμεις που ενεργούν πάνω στο σώμα Σαν να ήταν απομονωμένο από το υπόλοιπο σύστημα μας.

Ø Υποθέτουμε ότι τα σώματα μπορούν να αναπαρασταθούν σαν υλικά σημεία

Ø Αν υπάρχουν τροχαλίες ή σχοινιά, υποθέτουμε αμελητέες τις μάζες τους

Ø Διαλέγουμε το σώμα του οποίου τη κίνηση θέλουμε να μελετήσουμε (βιβλίο)

Ø Διαλέγουμε κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων

Φυσική y

x

Κάθετη δύναμη

Βάρος

ΧέριΤριβή

• Κάθετη δύναμη από το τραπέζι• Βάρος τους σώματος• Δύναμη του χεριού

• Τριβή (αντίθετη με τη φορά κίνησης)

12

ΦΥΣ 111 - Διαλ.11

θ

Δυνάμεις σε σώματα

!Fy∑ =!0 =!N +!B =!0⇒

!N = −

!B

⇒ N = −m −g( ) !Fy∑ =

!N +!B +!Fy =!0⇒ Fy = N + m −g( ) + F∑ sinθ = 0

Διαλέγουμε πάντα ένα σύστημα συντεταγμένωνβολικό για να αναλύσουμε τις δυνάμεις.

mg

N

!Fy =

!N +!By =

!0⇒ N + By = 0⇒ N − mg cosθ = may = 0∑

Κεκλιμένο επίπεδο

Ν

mg

Σώμα στο οποίοδεν συμβαίνει τίποτα Συρόμενο

σώμα

Ν

mg

Fθ

mg

Ν F

Σώμα που έχει επιτάχυνση = 0 βρίσκεται σε ισορροπία.

Δηλαδή η συνισταμένη δύναμη που δρα στο σώμα είναι μηδέν

Εξετάζουμε το άθροισμα των συνιστωσών δυνάμεων

!Fx∑ =

!Fx ⇒ Fx∑ = F cosθ = max

⇒ N = mg − F sinθ

�

⇒ N < B

x

y

!Fx =

!Bx = m!ax ⇒ mg sinθ = max∑

�

⇒ N = mgcosθ ≤ mg

FyFx

13

BxBy

ΦΥΣ 111 - Διαλ.11

Ισορροπία – Παράδειγμα Δεν υπάρχει κίνηση στο σηματοδότη οπότε βρίσκεται σε ισορροπία και η επιτάχυνση είναι μηδέν.

Ανάλυση του προβλήματος

2 σώματα (σηματοδότης – σημείο ένωσης σχοινιών)

F∑ = ma = 0

!Fx∑ =!0

!Fy∑ =!0⇒ !T3 +

!Fg =!0

2 διαγράμματα απελευθερωμένου σώματοςx

y

Συνθήκη ισορροπίας στο σηματοδότη

!Fy∑ =!0

Συνθήκη ισορροπίας στο κόμπο

!Fx∑ =!0⇒T2cos 530( )−T1 cos 370( ) =0

!Fy∑ =0⇒T1 sin 370( )+T2sin 530( )−T3 =0

Σύστημα 2 εξισώσεων (2,3) με 2 αγνώστους

⇒!T3 = −

!Fg ⇒T3 = Fg (1)

⇒ T2 cos 530( ) = T1 cos 370( ) (2)

⇒ T1 sin 370( ) + T2 sin 530( ) = T3 = Fg (3)

14

Τάση νήματος - τροχαλίαΦΥΣ 111 - Διαλ.11

q Δυο σώματα συνδέονται μεταξύ τους με σχοινί μέσω μιας τροχαλίας αμελητέας μάζας. Τα δυο σώματα είναι σε ισορροπία όπως στο σχήμα.

(Α) Μ1>Μ2 (Γ) Μ1=Μ2(Β) Μ1<Μ2

y

x

Συγκρίνετε τις μάζες των 2 σωμάτων

12Τ1

B1

1

Τ2

B2

2 !T1 +!B1 =!0⇒ !T1 = −m1

!g⇒T1 = −m1 −g( ) =m1g

!T2 +!B2 =!0⇒ !T2 = −m2

!g⇒T2 = −m2 −g( ) =m2g

!F∑ =!0 ισορροπία

Η τάση του νήματος είναι ίδια σε όλο το μήκος του σχοινιού

T1 = Τ2

Επομένως: m1 = m2

15