Количество решений системы...

1

Количество решений системы уравненийГрафический динамический метод

Для нахождения количества решений системы уравнений, содержащих параметр,полезен следующий приём. Строим графики каждого из уравнений при некоторомфиксированном значении параметра и находим число общих точек построенных графиков.Каждая общая точка – это одно из решений системы. Далее мысленно меняем параметри представляем, как трансформируется график уравнения с параметром, как появляются иисчезают общие точки графиков. Такое исследование требует развитого воображения. Длятренировки воображения рассмотрим ряд типичных задач. Назовём особыми значениямипараметра те значения, при которых изменяется число решений. Эти значения соответствуютситуациям, когда графики решений касаются друг друга или угловая точка одного изграфиков попадает на другой график. Как правило, при переходе через особую точку числорешений изменяется на два, а в самой такой точке оно на единицу отличается от числарешений при небольшом изменении параметра.

Рассмотрим задачи, в которых требуется найти число решений системы уравнений,одно из которых зависит от параметра а, а другое не зависит. Переменные в системах x и y.Числа xi, yi, r считаем заданными константами. В ходе каждого решения, строим графикиобоих уравнений. Исследуем, как изменяется график уравнения с параметром при изменениизначения параметра. Затем делаем вывод о числе решений (общих точек построенныхграфиков). На интерактивном рисунке график уравнения без параметра показан синимцветом, а динамичный график уравнения с параметром показан красным цвета.

Для изучения темы (задания 1 – 7) используйте файл InMA 11, 2.5.2 Число решенийсистемы с параметром.

Для исследований (задание 8) используйте файл GInMA Число решений системы спараметром.

1. Найдите число решений системы

=+−=−+−.)(

;)()(222

1

220

20

ayxx

ryyxx


+==−+−

.

;)()( 220

20

akxy

ryyxx


+==−+−

.

;)()(

1

220

20

yaxy

ryyxx


=+−=−+−.)(

;)()|(|222

1

220

20

ayxx

ryyxx


=−+−=−+−

.)()(

;||)(22

02

0

02

0

ayyxx

ryyxx


+−==−+−

.||

;)()(

1

220

20

yaxy

ryyxx


=−+−=−+−

.)()(

;||||22

02

0

00

ayyxx

ryyxx


==

.0),,(

;0|),(

ayxg

yxf

© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/

http://www.deoma-cmd.ru/

2

1. Графики уравнений – гладкие кривые

1. Задание. Найдите число решений системы

=+−=−+−.)(

;)()(222

1

220

20

ayxx

ryyxx

Решение: График первого уравнения – это окружность радиуса r с центром в точкеО(х0; у0). График второго уравнения – это окружность радиуса |a| с центром на оси абсцисс вточке А(х1; 0). Центр окружности неподвижен, радиус определяет параметр. При увеличениимодуля параметра окружность «раздувается».

Особые значения параметра – те значения, при которых изменяется число корней, тоесть значения параметра, при которых окружность второго графика касается окружностипервого.

Условие касания окружностей – модуль суммы или разности радиусов окружностейравен межцентровому расстоянию:

||а| ± r| = АО ⇔ а = ± |АО ± r|.Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений

системы. Начать исследование желательно с простейших случаев у0 = 0, когда общая осьокружностей горизонтальна, и х0 = х1, когда общая ось окружностей вертикальна. В общемслучае пользуйтесь треугольниками Пифагора. Например, |х0 – х1| = 3, у0 = ±4.

Типично, что как при малых по модулю, так и при больших по модулю значенияхпараметра решений нет. Поскольку две несовпадающие окружности могут иметь не болеедвух общих точек, число решений в общем случае не более двух. В точках касания числорешений равно единице, при промежуточных значениях параметра – двум.

Творческое задание. Найдите то значение параметра, при котором три различные точки

являются решениями системы уравнений

=+−=−+−.)(

;9)()1(222

1

20

2

ayxx

yyx.


+==−+−

.

;)()( 220

20

akxy

ryyxx

Решение: График первого уравнения – это окружность радиуса r с центром в точкеО(х0; у0). График второго уравнения – это семейство параллельных прямых, проходящихчерез точки А(0; а) и имеющих постоянный наклон. Тангенс угла наклона прямых равен k.При увеличении параметра прямые перемещаются вверх.

Особые значения параметра – те значения, при которых изменяется число корней, тоесть значения параметра, при которых прямые касаются окружности.

Условие касания находим, приравнивая тангенсы угла наклона окружности и прямой.



3

Решая полученное уравнение, находим координаты двух точек касания:

+=

+±=

⇒=−+−⇒=−

−

.1

;1)()(

20

2022

02

02

0

0

k

ryy

k

krxx

ryyyykkyy

xx

Подставив полученные выражения в уравнение прямой, найдём значение параметра вособых точках:

200 1 krkxya +±−= .

Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решенийсистемы. Начать исследование желательно с простейшего случая k = 0, когда прямыепараллельны оси абсцисс. Затем рассмотрите случаи, когда корень извлекается (например,

3=k ), уделите внимание популярному случаю k = 1.При малых и при больших значениях параметра решений нет. Поскольку прямая и

окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух. Призначениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, припромежуточных значениях параметра – двум.

Творческое задание. Известно, что данная система уравнений имеет не более одногорешения. Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет решение:

+==−+−

.

;)3()2( 222

axy

ryx


+==−+−

.

;)()(

1

220

20

yaxy

ryyxx

Решение: График первого уравнения – это окружность радиуса r с центром в точкеО(х0; у0). График второго уравнения – это семейство прямых, проходящих через точкуА(0; у1). Тангенс угла наклона прямых (а) определяет значение параметра. При увеличениипараметра возрастает угол между графиком и положительным направлением оси абсцисс.

Особые значения параметра – те значения, при которых изменяется число корней, тоесть значения параметра, при которых прямые касаются окружности. Если точка А(0; у1)находится внутри окружности, то любая возможная прямая пересекает окружность в двухточках.

Условие касания находим, приравнивая тангенсы угла наклона окружности и прямой.Решая полученное уравнение, находим координаты двух точек касания:



4

+=

+±=

⇒=−+−⇒=−

−

.1

;1)()(

20

2022

02

02

0

0

a

ryy

a

arxx

ryyyyaayy

xx

Подставив полученные выражения в уравнение прямой, найдём значение параметра в

особых точках. Если x0 = 0, то особые значения параметра 2

2201 )(

r

ryya

−−±= .

Если y0 = y1, |x0| ≠ r, то особые значения параметра 20

2

2201 )(

xr

ryya

−−−

±= .

Если х0 = ± r, то окружность касается вертикальной прямой, проходящей через точку

А(0; у1) и значение параметра )(2

)(

010

201

2

yyx

yyra

−−−

= . В остальных случаях

20

2

2210

20

2100 ))(()(

xr

ryyxryyxa

−−−+±−

= .

Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решенийсистемы. Начать исследование желательно с простейшего случая y0 = y1, |x0| < r, когда точкаА(0; у1) внутри окружности и число решений всегда равно двум. Рассмотрите случай х0 = r,когда число решений легко найти (х0 = r = 2, y0 = 3, y1 = 2). Затем рассмотрите случаи, когдакорень хорошо извлекается (например, х0 = 3, y0 = 4, r = 2, y1 = 2).

Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, числорешений не более двух. При значениях параметра, соответствующих касанию, числорешений равно единице, при остальных значениях параметра – нулю или двум.

Творческое задание. Известно, что система уравнений

+==−++

.1

;)5()3( 222

axy

ryx при всех

значениях параметра, кроме одного, имеет два решения. Найдите то значение параметра, прикотором система уравнений имеет единственное решение.


=+−=−+−.)(

;)()|(|222

1

220

20

ayxx

ryyxx

Решение: В ходе решения строим графики каждого из уравнений и исследуем числообщих точек построенных графиков. График первого уравнения – это пара окружностейодинакового радиуса r. Центры окружностей O и Q имеют одинаковую ординату y0 и



5

одинаковые по модулю, но разные по знаку абсциссы ±x0. Графики показаны синим ифиолетовым цветом. График второго уравнения – это окружность радиуса |a| с центром наоси абсцисс в точке А(х1; 0).

Особые значения параметра – те значения, при которых изменяется число корней, тоесть значения параметра, при которых окружность второго графика касается окружностейпервого.

Условия касания – сумма или разность радиусов окружностей равна межцентровомурасстоянию: |а| ± r = АО, |а| ± r = АQ.

Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решенийсистемы. Пользуйтесь целыми значениями для одного межцентрового расстояния (например,х0 = 6, y0 = 3, r = 3, х1 = 2). Типично, что при малых по модулю и больших значенияхпараметра решений нет. В точках касания число корней нечётное, в остальных точках числокорней чётное.


=+−=−+−.)(

;)()6|(|222

1

220

2

ayxx

ryyx при

некотором значении параметра имеет ровно два решения. При этом значении параметра,графики касаются. Найдите это значение параметра.


=−+−=−+−

.)()(

;||)(22

02

0

02

0

ayyxx

ryyxx

Решение: График первого уравнения состоит из пары парабол, которые стыкуются приy = y0. Уравнения парабол y = y0 ± (r – (x – x0)2). Они имеют горизонтальную осьсимметрии y = y0, вертикальную ось симметрии х = х0. Центр симметрии точка (x0, у0).

Второй график – это окружность радиусом |а|, центр которой расположен в центресимметрии парабол.

Число корней изменяется при таком значении параметра, при котором происходиткасание окружности второго графика с вершинами парабол. В точке касания:

х = х0, y = y0 ± r = y = y0 ± а , значит, а = ± r .Число корней изменяется при таком значении параметра, при котором происходит

внутреннее касание окружности второго графика с параболами. Чтобы найти это значение,переходим от системы уравнений к уравнению с одной переменной:

220

20

220 ))(()()( xxrxxayy −−=−−=− .

Это квадратное уравнение для 20 )( xx − . Оно имеет один корень, если дискриминант равен

нулю:



6

D = (r – 0,5)2 – (r2 – a2) = 0, 4

1−±= ra .

Число корней изменяется при таком значении параметра, при котором происходитпересечение окружности и параболы в точках излома первого графика, то есть при y = y0.

Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решенийсистемы. Пользуйтесь значениями r = 1, 4 и 9. Обратите внимание на то, что параметры х0 и y0 не влияют на ответ задачи. При малых по модулю и больших значениях параметрарешений нет.


=−+−=−+−

.)()(

;||||22

02

0

00

ayyxx

ryyxx

Решение: График первого уравнения – это квадрат, наклоненный под углом 45° к осямкоординат, длина половины диагонали которого равна r. Второй график – это окружностьрадиусом |а|, центр которой расположен в центре симметрии квадрата.

Число корней изменяется при том значении параметра, при котором окружностьпроходит через вершины квадрата. При этом y = у0 , а = ±r.

Число корней изменяется при том значении параметра, при котором происходитвнутреннее касание окружности со сторонами квадрата. Чтобы найти это значение,переходим от системы уравнений к уравнению с одной переменной:

20

20

220 |)|()()( xxrxxayy −−=−−=−

Это квадратное уравнение для || 0xx − . Оно имеет один корень, если дискриминант

равен нулю. При этом 2

ra ±= . Радиус окружности в этом случае относится к радиусу в

предыдущем случае, как 1:45sin ° .



7


+−==−+−

.||

;)()(

1

220

20

yaxy

ryyxx

График первого уравнения – это окружность с центром O(x0; y0). График второгоуравнения состоит из двух лучей с общим началом – это «птичка, крылья вверх», вершинаграфика расположена в точке А(а; у1).

Число корней изменяется при том значении параметра, при которых «крыло» второгографика касается окружности или вершина графика лежит на этой окружности.

Тангенс угла наклона «правого крыла» к оси абсцисс равен 1, значит прямая,

содержащая это крыло, касается окружности в точках (хk; уk), таких, что

=

±=

.2

,2

0

0

ryy

rxx

k

k

Условие касания уk = хk – а + у1 ⇔ а = хk – уkа + у1= x0 – y0 + у1 2r± .

Поскольку «крыло» – это луч, идущий вверх, добавляется условие, что ординатавершины должна быть не больше, чем ордината точки касания, то есть

у1 ≤ уk ⇔ y0 ≥ у1 2

r± .

Аналогично записываем условия касания с «левым крылом».Если вершина графика лежит на окружности, то её координаты удовлетворяют

уравнению окружности: (а – x0)2 + (у1 – у0)2 = r2.Изменяя значение параметра, исследуйте число решений системы, то есть количество

общих точек графиков. В особых точках число корней нечётное, в остальных точках числокорней чётное.


+−==−+−

,||

,)()2|(|

1

220

2

yaxy

ryyx при

некотором значении параметра имеет три решения. Найдите это значение параметра, еслиизвестно, что при этом ординаты двух решений совпадают.


==

.0),,(

;0|),(

ayxg

yxf

Задайте функции самостоятельно по образцу и исследуйте количество решений.



8



9

Задания С5 (Семёнов–Ященко)

Вариант 1

Найдите все значения а, при каждом из которых множеством решений неравенства

∣4 x2−12 x+3a3a−4 x

−3∣≤2 является отрезок [0;2].

Размышляем. Выполним преобразования 4 x2−12 x+3a3a−4 x

−3=2⋅2 x2

−b4 x−b

,b=3a.

∣2 x2−b

4 x−b ∣≤1 , −1≤2 x2

−b4 x−b

≤1 , {x (2−x )

4 x−b≥0,

(x+1)2−b−1

4 x−b≥0.

Граничные линии плоскости x – 3a это:

x = 0, x = 2, x=3 a4

, x=±√3a+1−1⇔3 a=( x+1)2−1 .

Если 0 ≤ х ≤ 2, то b < 4x, b ≤ (x +1)2 – 1. Так как 4x > (x +1)2 – 1, то b ≤ (x +1)2 – 1.

Если 0 > х то b > 4x, (x +1)2 – 1 ≤ b. Решение есть при – 1 ≤ b. Например, x = – 1.

Если x > 2, то b > 4x, (x +1)2 – 1 ≤ b. Так как 4x < (x +1)2 – 1, то (x +1)2 – 1≤ b.

Значит, решения таковы.

Если 3а > 8, то х∈[−√3a+1−1,0]∪[2,√3a+1−1] .

Если 3а = 8, то х∈[−4,0] .

Если 0< 3а < 8, то х∈[−√3a+1−1,0]∪[√3a+1−1,2] .

Если 3а = 0, то х∈[−2,0 )∪(0,2 ] .

Если – 1< 3а < 0, то х∈[−√3a+1−1,√3a+1−1]∪[0,2] .

Если – 1 = 3а, то х∈{−1}∪[0,2] .

Если – 1 > 3а, то х∈[0,2] .

Решение. Пусть – 1 ≤ 3а. Тогда x = – 1 удовлетворяет неравенству,

∣4 x2−12 x+3a3a−4 x

−3∣=∣16+3a3a+4

−3∣=2⋅∣2−3a3a+4∣≤2, противоречие, это число вне отрезка.

Пусть – 1 > 3а. Тогда 4 x2−12 x+3 a3 a−4 x

−3=2⋅2 x2

−b4 x−b

, b=3 a<−1.

∣2 x2−b

4 x−b ∣≤1 , −1≤2 x2

−b4 x−b

≤1 , {x (2−x )

4 x−b≥0,

(x+1)2−b−1

4 x−b≥0.

Числа из промежутка 0 ≤ х ≤ 2 удовлетворяют обоим неравенствам.

Если x > 2, то первое неравенство не выполнено.



10

Если 0 > х, то b ≤ (x +1)2 – 1, второе неравенство не выполнено.

Ответ: – 1 > 3а.

Вариант 3

Найдите все значения а, при каждом из которых имеет хотя бы один корень уравнение

a2+7 | x+1|+5√ x2

+2 x+5=2a+3| x−4a+1| .

Размышляем. Пусть f (a , x )=a2+7| x+1 |+5√ x2+2 x+5−2a−3 | x−4a+1 | . Особая точка функции х + 1 = 0. Если х = – 1, то уравнение имеет вид a2

+10−2 a−12 |a |=0.Легко найти его четыре решения. Нужно доказать, что исходная функция всегда больше этой.

Решение. Пусть f (a , x )=a2+7| x+1 |+5√ x2

+2 x+5−2 a−3 | x−4 a+1 | . Уравнениеf (a , x )=0. Тогда f (a ,−1)=a2+10−2a−12 |a |=0.

Разность f (a , x )− f (a ,−1)=7 | x+1 |+5(√ x2+2 x+5−2)+3| 4a |−3 | x−4a+1 |≥

≥3(| x+1 |+| 4a |−| 4a− x−1|)≥0.

Значит, уравнение f (a , x )=0 имеет корни только в случае, если f (a ,−1)≤0.

Уравнение f (a ,−1)=0 имеет четыре корняa1=−5−√15≈−8.87 , a2=−5+√15≈−1.12 , a3=7−√39≈0.755 , a4=7+√39≈13.2.

Функция f (a ,−1)≤0 (не положительная) при a∈[a1 , a2]∪[a3 , a4].

Например, если а = 10, то есть корень x=13−2√19

3.

При остальных значениях а f (a , x )≥ f (a ,−1)>0. Корней нет.

Ответ: [−5−√15 ,−5+√15]∪[7−√39 , 7+√39] .

Вариант 5

Найдите все значения а, при каждом из которых имеет хотя бы один корень уравнение

a2+11 | x+2 |+3√ x2

+4 x+13=5a+2| x−2a+2 | .

Используем функцию f (a ,−2)=a2+9−5a−4 |a |=0 и неравенство

f (a , x )− f (a ,−2)≥2(| x+2 |+| 2a |−| x−2a+2 |)≥0.

Ответ: [9−3√5

2,9+3√5

2] .

Вариант 9

Найдите число корней уравнения |x2 + 4x – 5| – 3a = |x + a| – 1.

Размышляем. Считаем известным следующее (очевидное) утверждение. Пустьфункции f(x) и g(x) заданы на некотором промежутке. Пусть производная одной больше напромежутке, чем другой. Пусть разность значений функций на левом конце имеет один знак,на правом – другой. Тогда уравнение f(x) = g(x) имеет на промежутке ровно один корень.

Решение. Обозначим f(x, a) = 3а + |x + a|, g(x) = |x2 + 4x – 5| + 1. Уравнение f(x, a) = g(x).



11

Особые точки функции g(x) это минимумы при x = 1 и x = – 5 и максимум при x = – 2.Значения g(1) = g(– 5) = 1, g(– 2) = 10. Функция имеет ось симметрии x = – 3. При большихпо модулю значениях икса квадратичная функция g(x) больше линейной f(x, a).

Наклон функции вне отрезка [–5,1] определяем производной (x2 + 4x – 5)' = 2x + 4 ≥ 6при x > 1. Функция g(x) при x > 1 монотонно возрастает с коэффициентом больше, чем 6. Всилу симметрии, функция g(x) монотонно убывает с коэффициентом больше, чем 6 при x<– 5.

Наклон g(x) равен 1 только на промежутке (–5, 1). При этом производная

(–x2 – 4x + 5)' = –2x – 4 = 1. Значит, в точке x = – 2.5 наклон равен 1.

Функция f(x, a) = 3а + |x + a| монотонно убывает с коэффициентом 1 при x + а < 0 имонотонно возрастает с коэффициентом 1 при x + а > 0. Значения в ряде точек f(– а, a) = 3а,f(– 5, a) = 3а +|5 – a|, f(– 2, a) = 3а +|2 – a|, f(1, a) = 3а +|1+ a|.

Графики f(x, a) и g(x) касаются, если равны их наклоны. Касание возможно при x = – 2.5.При этом g(x) = 39/4. f(x, a) = 4а + x = 39/4, 4a = 49/4, a = 49/16.

Анализируем корни уравнения f(x, a) = g(x).

Если a < – 2, f(– 5, a) = 2а +5 < 1, f(1, a) = 2а – 1 < – 5. f(x, a) < g(x), так как впромежутке – 5 < x < 1 f(x, a) < 1 < g(x).

Если x > 1, g(x) возрастает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x). Если x < – 5, g(x) убывает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x).Других корней нет.

Если a = – 2, f(– 5, a) = 1, f(1, a) = – 5. f(– 5, – 2) = g(– 5). Один корень х = – 5. Во всехдругих точках f(x, a) < g(x), как и в предыдущем случае.

Если –2 < a < 0, f(– 5, a) = 2а +5 > 1, f(1, a) = 4а + 1 < 1.f(–2, a) = 2а + 2 < 10. При x > –2 f(x, a) < g(x), корней нет. При x < –2 f(1,a) > 1. При x < –5 быстро убывающая g(x) пересекает медленно

убывающую левую ветвь f(x,а), один корень.При –5 < x < – 2 возрастающая g(x) пересекает убывающую f(x,а), один корень, всего

корней два, один при x < –5, второй при –5 < x < – 2.

Если a = 0, f(– 5, a) = 5, f(1, a) = 1. f(1, a) = g(1), один корень х = 1. Как и раньше, одинкорень при x < –5, один корень при –5 < x < – 2. Всего корней три.

Если 0 < a < 3, корней 4, два на левой ветке f(х, a) при x < – 2, два на правой при x > 2.

Если a = 3, f(– 3, 3) = 8 = g(–3), f(– 2, 3) = 10 = g(–2), корней 4, один два на левой веткеf(х, a) при x < – 5, один в вершине f(х, 3) при x = – 3, один в вершине g(x) при x = – 2, одинпри x > 1.

Если 3 < a < 49/16, корней 4, один на левой ветке f(х, a) при x < – 5, два на правой ветвиg(x) при – 3 < x < – 2, один при x > 1.

Если a = 49/16, то число корней 3, один на левой ветке f(х, a) при x < – 5, один в точкекасания при x = – 2.5, один при x > 1.

Если a > 49/16, то число корней 2, один на левой ветке f(х, a) при x < – 5, один направой при x > 1.

Ответ: нет корней при a < – 2; один корень при a = – 2, два корня при –2 < a < 0 или49/16 < a , три корня при a = 0 или а = 49/16, четыре корня при 0 < a < 49/16.



12

Вариант 10

Найдите все значения параметра a, для каждом из которых имеет два корня уравнение 4x – |3x – |x + a|| = 9|x – 3|.

Решение. Обозначим f(x, a) = 4x – |3x – |x + a||, g(x) = 9|x – 3|.

Особая точка функции g(x) это x = 3. Функция монотонно убывает с коэффициентом 9при x < 3 и монотонно возрастает с коэффициентом 9 при x > 3.

Функция f(x, a) является кусочно линейной с коэффициентами 8, 6, 2 или 0. Значит, онане убывает по иксу, скорость её роста меньше, чем у правой ветви функции 9|x – 3|.

f(3, a) = 12 – |9 – |3 + a||. График этого выражение суть ломаная с вершинами (– 12, 12),(– 3, 3), (6, 12). Значения функции положительные при а∈(– 24, 18).

Из найденного следует.

Если f(3, a) < 0, уравнение не может иметь корней, так как g(x) > f(x, a).

Если f(3, a) = 0, уравнение имеет ровно один корень x = 3. Для других иксов g(x)> f(x, a).

Если f(3, a) > 0, уравнение имеет ровно два корня, один при x < 3, когда пересекаютсяубывающая ветвь g(x) и монотонно не убывающая f(x, a). Другой при x > 3, когда быстровозрастающая ветвь g(x) пересекает медленно возрастающую ветвь f(x, a).

Ответ: а∈(– 24, 18).

Вариант 11

Найдите все значения параметра a, для каждом из которых при любом значении параметра b имеет хотя бы одно решение система уравнений

{ (1+3 x2)

a+(b2

−4b+5)y=2,

x2 y2+(b−2) x y+a2

+2 a=3.

Размышляем. Система имеет вид { (1+3 x2)

a+(1+(b−2)2

)y=2,

x2 y2+(b−2) x y=4−(a+1)2 .

Удобно

проанализировать особую точку b = 2. Тогда { (1+3 x2)

a=1,

x2 y2=4−(a+1)2.

Видно решение x = y = 0 и

соответствующие значения параметра a = 1 и a = – 3.

Решение. Запишем систему в виде { (1+3 x2)

a+(1+(b−2)2

)y=2,

x2 y2+(b−2) x y=4−(a+1)2 .

Решение x = y = 0 существует всегда при a = 1 или a = – 3.

Если b = 2, то система имеет вид {(1+3 x2)

a+1 y

=2,x2 y2

=4−(a+1)2.или { (1+3 x2

)a=1,

x2 y2=4−(a+1)2 .

Если a > 1 или a < – 3 система не имеет решений, так как их не имеет второе уравнение.

Если 1 < a < – 3, из второго уравнения получим, что x2 > 0, из первого найдём a = 0.

Пусть a = 0. Тогда для b = 4 из первого уравнения получим, что у = 0. При этом второеуравнение не имеет решения.

Ответ: 1 или – 3.



13

Вариант 14

Найдите все значения параметра, при каждом из которых модуль разности корней уравнения x2 – 6x + 12 + a2 – 4a = 0 принимает наибольшее значение.

Решение. Запишем уравнение в виде (x – 3)2 = 1 – (a – 2)2.

Его решение = 0 силу периодичности функций синус и косинус, задачу можно решатьдля отрезка x=3±√1−(a−2)

2 . Наибольшая разность корней равна 2 при a = 2.

Ответ: 2.

Вариант 15

Найдите все значения параметра, при каждом из которых уравнение

2−(4−4k )sin tcos t−4sin t

=1 имеет хоть одно решение на отрезке [−3π ;−2.5π ] .

Решение. В силу периодичности функций синус и косинус, задачу можно решать дляотрезка t ∈[ π ;1.5π ] , затем из каждого полученного решения вычесть 4π.

Преобразуем уравнение к виду 2+4 k sin t−cos t

cos t−4 sin t=0.

На отрезке t ∈[ π ;1.5π ] синус монотонно убывает от нуля до минус единицы,косинус монотонно нарастает от минус единицы до нуля.

Знаменатель обращается в нуль при 4tgt = 1, то есть при sin t=−1

√17, cos t=−

4

√17.

Числитель при t = π равен 1, при t = 1.5π равен 2 – 4k.

Если k ≤ 0, числитель положительный и уравнение не имеет корней.

Если k > 0, оба переменных слагаемых числителя убывают, то есть числительизменяется монотонно. Значит, числитель принимает нулевое значение ровно один раз, еслиk ≥ 0.5 и положителен при меньших значениях k.

Уравнение имеет корень, если числитель нуль, а знаменатель не нуль, то есть в случае

0=2+4k sin t−cos t≠2−4k√17

+4

√17⇔k≠1+ √17

2.

Ответ: k ∈[0.5 ,+∞ )\{1+ √172

} .

Вариант 18

Найдите все значения параметра, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений

{( x−2 a−5)2+( y−3a+5)2

=16,(x−a−2)

2+( y−2 a+1)

2=81.

Размышляем. Каждое уравнение описывает окружность. Решение единственное в случае касания окружностей.

Решение. Первое уравнение задает окружность с центром в точке (2a + 5, 3a – 5) ирадиусом 4. Второе уравнение – окружность с центром в точке (a + 2, 2a – 1) радиусом 9.



14

Система имеет единственное решение если окружности касаются. При этом расстояниемежду центрами равно 9 + 4 = 13 или 0 – 4 = 5.

Квадрат межцентрового расстояния:

((2a + 5) – (a + 2))2 + ((3a – 5) – (2a – 1))2 = 2a2 – 2a + 25.

Если расстояние 5, то a = 0 или a = 1.

Если расстояние 13, то a = – 8 или a = 9.

Ответ: – 8, 0, 1, 9.

Вариант 21

Найдите все значения параметра при каждом из которых имеет ровно дванеотрицательных решения уравнение | 10⋅0,21− x

−a |−| 5x+2a |=0.04−x .

Решение. Выполняем преобразования |2⋅5x−a |−| 5x

+2a |=52 x .

Обозначим t = 5x ≥ 1. В силу монотонности показательной функции 5x, каждый корень t ≥ 1 порождает ровно один корень x ≥ 0.

Уравнение примет вид |2 t−a |−| t+2a |−t 2=0 .

Если a ≥ 2t ≥ 2, то t2 + 3t + a = 0 – нет корней, больших, чем 1.

Если 2t > a ≥ –t/2, то t2 – t + 3a = 0. При t > 1 функция монотонно возрастает, корень только один.

Если –1/2 > –t/2 > a, то t2 – 3t – a = 0. При t > 1 функция t2 – 3t монотонно убывает от –2при t = 1 до –2.25 при t = 1.5 и далее монотонно возрастает. Значит, при –2.25 > a ≥ –2 корнейдва, при меньших а нет корней, при больших а корень ровно один.

Ответ: –2.25 > a ≥ –2.

Вариант 22

Найдите в зависимости от параметра число решений системы

{x2−(2 a+1) x+a2

−3= y ,y2

−(2 a+1) y+a2−3= x .

Размышляем. Система имеет вид f(x)= y, f(y)= x, или f(f(х)) = x. Одно из решений f(x)= x.Второе решение находим, вычитая уравнения.

Решение. Вычтем из первого уравнения второе. Получим (x + y – 2a )(x – y) = 0.

Пусть x = у. Подставим в первое уравнение, преобразуем. Получим (x – a – 1)2 = 4 + 2а.

Пусть x + у = 2а. Подставим в первое уравнение, преобразуем: (x – a)2 = 3 + 2а.

Если a < – 2, корней нет.

Если a = – 2, то x = y = a + 1, единственное решение.

Если – 1.5 > a > – 2, то есть пара решений x= y=a+1±√4+2 a .

Если a = – 1.5, то два решения: x = y = a, x = y = a +2.

Если – 1.5 < a то решения x= y=a+1±√4+2a , x=a±√3+2a , y=2a−x .

Ответ: a < – 2 нет решений, а = – 2 одно,

– 1.5 ≥ a > – 2, два решения, a > – 1.5 четыре решения.



15

Вариант 24

Найдите все значения а, при каждом из которых не имеет корней уравнение

27 x6+(4 a−2 x)3

+6 x2+8 a=4 x .

Размышляем. 8a – 4x = 2(4a – 2x), 27x6 = (3x2)3. Значит, уравнение включает сумму и сумму кубов одинаковых выражений. Это можно использовать.

Решение. Преобразуем уравнение к виду (3 x2)3+(4 a−2 x )

3+2(3 x2

+4a−2 x)=0 . Разложим сумму кубов (3 x2+4 a−2 x )⋅((3 x2)2−3 x2(4 a−2 x )+(4 a−2 x)2+2)=0 .

Второй множитель это неполный квадрат разности увеличенный на 2. Он положительный.

Выделив в первом множителе квадрат, получим

3(x−13)

2

+4 a−13=0.

Это уравнение не имеет корней, если 4 a−13>0 , a>

112

.

Ответ: 12а > 1.

Вариант 28

Найдите значения а, при каждом из которых наибольшее значение функции |x – a| – x2 не меньше единицы.

Решение. Если x ≥ a, функция f(x,a) = x – a – x2. Она максимальна при x = 0,5, максимумравен 0,25 – а. При a < 0,5 наибольшее значение функции 0,25 – а ≥ 1 при – 0.75 ≥ а.

Если x < a, функция f(x,a) = a – x – x2. Она максимальна при x = –0,5, максимум равен a + 0.25. При a > – 0,5 наибольшее значение функции a + 0,25 ≥ 1 при а ≥ 0,75.

Ответ: а ≥ 0,75 или – 0.75 ≥ а.

Пара функцийНайти диапазон положительных значений а, для каждого из которых найдется такое b,

что система уравнений: y = х4 + а, х = 8y–2 + b имеет чётное число решений.Решение: Из первого уравнения следует, что у > 0, второе уравнение можно

преобразовать к виду: y=√ 8x−b

, х∈(b; +∞). Искдючим у:

334

)(

24)`(;0

8)(

bxxxfa

bxxxf

−+==+

−−= .

Каждый корень полученного уравнения порождает ровно одно решение исходнойсистемы. При b ≥ 0 функция f(x) монотонно возрастающая и уравнение имеет ровно одинкорень. При отрицательных b < 0 функция f(x) монотонно возрастает от минус бесконечностидо f(х1), уменьшается до f(х2) и вновь монотонно возрастает при положительных иксах доплюс бесконечности. Уравнение может иметь чётное число корней – два – только если кореньсовпадает с минимумом или максимумом функции, то есть в точке корня производная равнанулю, то есть f(х1) = g(х1) = 0. Исключая корень из уравнений, найдём: а = – (4х1 + х1

4).Полученная функция имеет максимум при х1 = – 1 (а = 3; b = – 1,5), поэтому для любогоa∈(0; 3) существуют х1, х2 ≠ х1 и b, при которых число корней равно два. Однако при а = 3 х2



16

= х1, оба корня совпадают и уравнение f(х) = 0 имеет только один корень.

Производная f`(x) положительная при х → b и при х → +∞. Она равна нулю приусловии 01)(2)(0)`( =+−=⇔= bxxxgxf . Последнее уравнение может иметь один илидва корня, причём только при отрицательных иксах. Обозначим их х1 и х2: g(х1) = g(х2) = 0.

Ответ: a∈(0; 3).



Количество решений системы...

Documents

Transcript of Количество решений системы...