ԹԻՎ 3 (106), 2016թ.

«МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ» журнал на армянском языке «MATHEMATICS IN SCHOOLS» Journal in Armenian

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ Համլետ Միքայելյան ԳԵՂԵՑԻԿԻ ՁԵՎԱՎՈՐՈՒՄԸ ԱՊԱՑՈՒՑՈՒՄՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ .......................................................... 3 Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն Անահիտ Ենոքյան ԲԱՐՈՅԱԿԱՆ ԱՐԺԵՔՆԵՐԻ ՁԵՎԱՎՈՐՈՒՄԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ. ՓՈՐՁԱՐԱՐԱԿԱՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐ ................................................. 16 Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն Ազնիվ Խաչատրյան ՔՆՆԱԴԱՏԱԿԱՆ ՄՏԱԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆ ՁԵՎԱՎՈՐՈՂ ԵՎ ԽԹԱՆՈՂ ՄԵԹՈԴՆԵՐԻ ԿԻՐԱՌՈՒՄԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԴԱՍԵՐԻՆ ........................................ 27 Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը Նարե Ղազարյան

ԼՈԳԱՐԻԹՄԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅԱՆ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳԵՂԱԳԻՏԱԿԱՆ ԳՐԱՎՉՈՒԹՅԱՆ ՄԱՍԻՆ ............................... 34

Գոհար Աբրահամյան ԵՐԵԽԱՆԵՐԻ ՍՏԵՂԾԱԳՈՐԾԱԿԱՆ ՄՏՔԻ ԶԱՐԳԱՑՈՒՄԸ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅԱՆ ԴԱՍԱՊՐՈՑԵՍԻ ԸՆԹԱՑՔՈՒՄ ՄԻՋԻՆ ԴՊՐՈՑՈՒՄ ............................................…….. 41 Մ Ի Ջ Ա Ռ Ա Ր Կ Ա Յ Ա Կ Ա Ն Շուշան Վարդանյան

ԽՄԲԱՅԻՆ ՀԵՏԱԶՈՏՈՒԹՅՈՒՆ «ՎԱՐԿԵՐ» ԹԵՄԱՅՈՎ .................... 49

ÐÐ

ÏñÃ

áõÃ

Û³Ý

¨ ·

Çïáõ

ÃÛ³

Ý Ý³

˳

ñ³ñá

õÃÛá

õÝ

Î

ñÃáõ

ÃÛ³

Ý ³

½·

³ÛÇ

Ý ÇÝ

ëïÇï

áõï

¶Çï

³Ù»

Ãá¹

³Ï³

Ý ³

Ùë³

·Çñ

` ¸åñáóáõÙ

Ø ³Ã»Ù³ïÇϳÝ

Ê Ù μ ³ · ñ ³ Ï ³ Ý Ë á ñ Ñ á õ ñ ¹

гÙÉ»ï ØÇù³Û»ÉÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·Çñ

ê³ñÇμ»Ï гÏáμÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·ñÇ ï»Õ³Ï³É« å³ï³ë˳ݳïáõ ù³ñïáõÕ³ñ

Ê á ñ Ñ ñ ¹ Ç ³ Ý ¹ ³ Ù Ý » ñ

²μñ³Ñ³ÙÛ³Ý ²ñ³Ù ²Ûí³½Û³Ý ¿¹í³ñ¹ ²é³ù»ÉÛ³Ý ÎáñÛáõÝ ´³Õ¹³ë³ñÛ³Ý ¶¨áñ· ¼³ù³ñÛ³Ý ì³ÝÇÏ Ð³ñáõÃÛáõÝÛ³Ý Ð³ÛÏáõÝÇ ÔáõϳëÛ³Ý Üáñ³Ûñ ÔáõßãÛ³Ý ²É»ùë³Ý¹ñ ØÇù³Û»ÉÛ³Ý úÝÇÏ ØÏñïãÛ³Ý Ø³ÝáõÏ ØáíëÇëÛ³Ý Úáõñ³ ܳí³ë³ñ¹Û³Ý гÛϳ½ èá¹ÇáÝáí ØÇ˳ÇÉ ê³ý³ñÛ³Ý ¶ñÇ·áñ 껹ñ³ÏÛ³Ý Ü³ÇñÇ

Ü Ï ³ ñ Ç ã ì© Ð© ØÇù³Û»ÉÛ³Ý

Ð ³ Ù ³ Ï ³ ñ · ã ³ Û Ç Ý Ó ¨ ³ í á ñ á õ Ù Á ÜáõÝ» ²ÙÇñÛ³ÝÇ îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67« ë»ÝÛ³Ï 401375005 ºñ¨³Ý 5 Tigran Metsi 67« Room 401 375005 Yerevan 5, Armenia

§ Ø ³ Ã » Ù ³ ï Ç Ï ³ Ý ¹ å ñ á ó á õ Ù ¦

· Ç ï ³ Ù » Ã á ¹ ³ Ï ³ Ý ³ Ù ë ³ · Ç ñ

№3, 2016Ã.

Ðñ³ï³ñ³ÏíáõÙ ¿ 1998Ã-Çó Lñ³ïí³Ï³Ý ·áñÍáõÝ»áõÃÛáõÝ Çñ³Ï³Ý³óÝáÕ`

§ Î ñ Ã á õ Ã Û ³ Ý ³ ½ · ³ Û Ç Ý Ç Ý ë ï Ç ï á õ ï ¦ ö´À

гëó»Ý` ºñ¨³Ý, îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67,

íϳ۳ϳÝ` N 01 ² 044424, ïñí³Í 16.02.1999Ã.

²Ùë³·ñÇ ÃáÕ³ñÏÙ³Ý å³ï³ë˳ݳïáõ` · É˳íáñ ËÙμ³·Çñ` гÙÉ»ï ØÇù³Û»É Û³Ý Ð³ÝÓÝí³Í ¿ ïå³·ñáõÃÛ³Ý 20 .07 .2016Ã: îå³ù³Ý³ÏÁ`1500 , ͳí³ÉÁ` 4 Ù³ÙáõÉ: îå³·ñáõà ÛáõÝÁ` ûýë»Ã: â³÷ëÁ` 70×100 1/16: ¸åñáóÝ»ñÇÝ ³Ýí׳ñ ïñíáõÙ ¿ Ù»Ï ûñÇݳÏ, áñÁ å»ïù ¿ å³ñï³¹Çñ ·ñ³ÝóíÇ ¹åñáó³Ï³Ý ·ñ³¹³ñ³ÝáõÙ :

ì³×³éùÇ »Ýóϳ ã¿:

Phone: (010) 55 99 38 Fax: (010) 55 92 98 E-mail: aniedu.am Internet: http://www.aniedu.am

3

ԳԵՂԵՑԻԿԻ ՁԵՎԱՎՈՐՈՒՄԸ ԱՊԱՑՈՒՑՈՒՄՆԵՐԻ

ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ

Հ. Ս. Միքայելյան

Սկսած հույներից` «մաթեմատիկա» ասելով հասկա նում ենք «ապացուցում»:

Ն. Բուրբակի

Ապացուցումը կոչվում է խիստ, եթե այդպես է համա-րում մաթեմատիկոսների մեծամասնությունը:

Մորիս Քլայն

Եթե մենք կարդում ենք մի գիրք, որ գրված է հիսուն տարի առաջ, ապա նրանում արված դատողություն-ները մեծ մասամբ տրամաբանական խստությունից զուրկ են թվում:

Անրի Պուանկարե

Բանալի բառեր - մաթեմատիկական գեղեցիկը, ապացուցում, գեղագիտական գրավչություն, ապացուցման թեզիս, ապա-ցուցման արգումենտ, ապացուցման ցուցադրում:

1. Մաթեմատիկան որպես ապացուցումների արվեստ

Ապացուցման և, հատկապես, նրա ամենանշանակալից ձևի՝ տրա-մաբանական ապացուցման գաղափարի ու նրա մաթեմատիկական ձևի առաջացումն ու զարգացումը գիտության պատմության ուշագրավ և

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

4

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

գրավիչ էջերից են: Այդ գրավչությունը սկսվում է Անտիկ Հունաստանի փիլիսոփաների սոփեստություններում ու Զենոնի անտինոմներում և շա-րունակվում հետագա ժամանակներում՝ իր լավագույն արտահայտու-թյունը գտնելով գիտական խոշորագույն հայտնագործություններում՝ լինի դա Լոբաչևսկու-Բոյայիի երկրաչափությունը, թե բազմությունների տեսության հակասությունների հաղթահարման համար ստեղծված մաթեմատիկական տրամաբանությունը: Եվ մաթեմատիկական բոլոր խոշոր հայտնագործությունների “աղը”, գրավչությունը դրանց հիմքում ընկած ապացուցումների անսպասելիությունն է ու անկանխատեսելիու-թյունը, դժվարությունն ու միաժամանակ՝ պարզությունը, հստակությու-նը և տրամաբանական խստությունը. հատկանիշներ, որոնցով բնութա-գրվում է գեղեցիկը գիտության մեջ: Եվ պատահական չէ, որ մաթեմա-տիկական լավագույն ապացուցումներին տրվող հիմնական գնահատա-կանը գեղեցիկն է՝ գեղեցիկ ապացույցը:

Զարմանքը, հետաքրքրությունը, հիացմունքը, հաճույքը, այլ հույ-զերն զգացմունքեր փաստարկված խոսքի, նաև՝ մաթեմատիկական ապացուցման մշտական ուղեկիցները կարող են լինել, եթե սովորողի խոսքի գեղեցկությունը ուսուցման նպատակ է դառնում: Իսկապես, մի՞թե զարմանք չի հարուցում հետևյալ սոփեստությունը (տես [2] դա-սագրքի N560 խնդիրը: Սոփեստության բնօրինակում ձիու փոխարեն օգտագործվում է կոտոշը):

Այն, ինչ դու չես կորցրել՝ ունես: Դու ձի չես կորցրել: Ուրեմն՝ դու ձի ունես:

Չկա աշակերտ, որ անտարբեր լինի այս սոփեստության նկատմամբ և չկա աշակերտ, որ չուզի ինքնուրույն, կրկնում եմ՝ ինքնուրույն գտնել դրա լուծումը: Ի՞նչն է ձգում աշակերտին. պարզությո՞ւնը, անսպասել-իությո՞ւնը, սխալի քողարկման խորամանկությո՞ւնը: Բոլոր դեպքերում ձգողական այդ ուժը խնդրի մեջ գեղեցիկի առկայության աներկբա հատկանիշ է ու ապացույց:

Իսկ նրա լուծո՞ւմը: Ահա այն. սխալ է առաջին՝ «Այն, ինչ դու չես կորցրել՝ ունես» դատողությունը: (Նպատակահարմար է այստեղ բերել այդ սխալի դրսևորման կոնկրետ օրինակներ:) Եվ որովհետև դու քո չունեցած որևէ բան չես կորցնում, բնականաբար այն չունես: Այնինչ՝ նշված դատողությամբ պնդվում է հակառակը: Խնդրի մասին ասվածը

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

5

կարելի է կրկնել նաև նրա ապացուցման նկատմամբ, և որպես գեղա-գիտական հույզերի ու զգացմունքների լրացուցիչ դրսևորում կարելի է ավելացնել սովորողի բավարարվածությունը և հաճույքը:

Հիմա դիմենք Զենոնին: Հանրակրթական դպրոցի հանրահաշվի 9րդ դասարանի [3] դասագրքում անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը հաշվելուց առաջ դիտարկվում է «Արագավազ Աքիլեսի և կրիայի մասին» ապորիան: Զենոնը «ապացուցում» է, որ Աքիլեսը, ով հունական դիցաբանության մեջ հայտնի էր իր արագավա-զությամբ, չի կարող հասնել կրիային՝ աշխարհի ամենադանդաղաշարժ կենդանիներից մեկին: Սովորողների առաջին ռեակցիան թերահավա-տությունն է: Բայց երբ ուսուցիչը կրկնում է խնդիրը և ասում, որ Զենոնի պես իմաստուն մարդը դրանում համոզել է շատ այլ իմաստունների և, անշուշտ, կհամոզի նաև իրենց, աշակերտները սկսում են հետաքրքրվել խնդրով և պատրաստվում են հերքել իրենց ներկայացվող փաստար-կումը կամ ապացուցումը: Իսկ այդ ապացուցումը, որ ներկայացնում է ուսուցիչը, հետևյալն է:

Տրված է, որ Աքիլեսը տասն անգամ ավելի արագ է վազում կրիայից և սկզբում նրանից հետ է մնում հազար քայլով: Այն ժամանակահատ-վածում, երբ Աքիլլեսը անցնի այդ հեռավորությունը, կրիան նույն ուղղու-թյամբ կանցնի հարյուր քայլ: Երբ Աքիլլեսը անցնի այդ հարյուր քայլը, կրիան կանցնի ևս տասը քայլ, և այդպես շարունակ: Այս ընթացքը անվերջ կշարունակվի: Եվ Աքիլլեսը այդպես էլ չի հասնի կրիային:

Այս «ապացուցումը», իհարկե, աշակերտները չեն կարողանում հերքել: Բայց այն հարուցում է զարմանք ու տարակուսանք: Նրանց՝ հետաքրքրասիրությամբ վառվող աչքերը ուղղվում են ուսուցչին: Իսկ ուսուցիչը, որ ես եմ, բավարարված եմ իմ արած աշխատանքով. ես ստացել եմ այն, ինչ ուզում էի: Ես նրանց ասում եմ, որ, ճիշտ է, ժամանակի իմաստունները չեն կարողացել առարկել, հերքել Զենոնին, բայց գիտությունը զարգացել է ու այդ ընթացքում կատարել այնպիսի հայտնագործություններ, որոնք թույլ են տալիս իրականացնել պահանջ-վող հերքումը: Այժմ մենք ծանոթանալու ենք նման մի հայտնագոր-ծության: Ապահովված է նաև աշակերտների հետաքրքրասիրությունը նոր նյութի նկատմամբ, և ես անցնում եմ դրա հաղորդմանը. «Անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիան և նրա գումարը» ...

6

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Կարելի է աշակերտների հետ քննարկել նաև Լոբաչևսկու երկրաչա-փության և բազմությունների տեսության պարադոքսների հետ կապված նյութեր, սակայն դրանք արդեն արտադասարանական աշխատանքի, մաթեմատիկական խմբակի պարապմունքների հարցեր են:

2. Ի՞նչ է ապացուցումը

Հավանաբար, ճիշտ կլինի սկզբում պարզել, թե ինչու է կատարվում ապացուցումը: Այն կոչված է պատասխանելու ճանաչողության հիմնա-կան՝ «ինչո՞ւ» հարցադրմանը: Վերջինս առաջադրվել է մարդկության պատմության վաղնջական ժամանակներից, բայց բուռն զարգացում է ստացել միայն Անտիկ Հունաստանում՝ հասարակական կյանքի կազ-մակերպման յուրահատուկ պայմաններում: Հունական պոլիսների կա-ռավարման ժողովրդավարական ձևը ենթադրում էր առաջադրվող հարցերի հրապարակային քննարկում, որտեղ հարցեր ներկայացնո-ղին՝ բանախոսին, ճարտասանին անհրաժեշտ էր մարդկանց համոզել, ցույց տալ սեփական տեսակետի ճշմարտացիությունը: Ճարտասանու-թյունը համարվում էր առաքինություն, և այն հունական կրթության կա-րևոր բաղադրիչն էր՝ կրթությունը կազմող յոթ ազատ արվեստներից մեկը: Եվ, բնականաբար, հարցադրման պատասխանի, համոզիչ խո-սքի հիմնական արժանիքներից մեկը՝ գլխավորը, նրա փաստարկվա-ծությունն էր, հիմնավորվածությունը, ապացուցելիությունը: Նման խոս-քի կառուցման առաջին օրինակները տվեց հունական մաթեմատիկան: Բավական է նշել, որ մինչև հույները, թեև ինչպես Եգիպտոսում, այնպես էլ Միջագետքում կար բավականին զարգացած մաթեմատիկա, բայց դրանցում առկա չէր ապացուցման որևէ տարր, դրվագ, անգամ ապացուցման վերաբերյալ որևէ հարցադրում: Եվ առաջինը հույներն էին՝ Թալեսը, Պյութագորասը և նրանց հետևորդները, որ առաջ քա-շեցին ապացուցման գաղափարը և իրագործեցին երկրաչափական փաստերի, թեորեմների ապացուցում: Այս գործընթացին հաջորդեց Արիստոտելի կողմից տրամաբանության ստեղծումը, որը, փաստորեն, նաև գիտություն էր ապացուցման մասին:

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

7

Առօրեական խոսքում, սովորաբար, որպես ապացուցում դիտարկ-վում է ինչ-որ պնդման իրավացիությունը հաստատող փաստարկում-ների ամբողջությունը: Նման փաստարկումներ կարող են լինել անա-ռարկելի, ստուգված փաստերը, դրույթները, փորձի արդյունքները, հե-ղինակավոր մարդկանց կարծիքները և այլն: Ապացուցման այդպիսի մեկնաբանությունը և կիրառությունը, սակայն, հիմնավոր կարող է չլի-նել, և գիտական ուսումնասիրություններում ապացուցման նկատմամբ կիրառվում է այլ մոտեցում: Այստեղ դիտարկվում են ապացուցումների հետևյալ տեսակները. • փաստաբանական՝ փաստերի վրա հիմնված ապացուցումները, • էմպիրիկ՝ փորձի իմաստավորման և ընդհանրացման վրա հիմնված

ապացուցումները, • ձևական-տրամաբանական, որտեղ փաստարկումը հենվում է ձևա-

կան տրամաբանության օրենքների վրա:

Անշուշտ, տարբեր գիտություններ, իրականացնելով ճանաչողության գործառույթներ, օգտվում են ապացուցման իրենց զինանոցից, բայց բոլորի համար տրամաբանությունը տալիս է ապացուցման համընդհա-նուր կաղապարներ, որոնց պետք է ենթարկվեն մնացած գիտություննե-րում (և ոչ միայն գիտություններում) առաջադրվող ապացուցումները: Իսկ մաթեմատիկան ապացուցման համար կիրառում է ուրույն մոտե-ցում, ինչը և մաթեմատիկական գիտելիքի նկատմամբ վստահության հիմնական պատճառն է: Քսաներորդ դարի սկզբին, փորձելով հաղթա-հարել մաթեմատիկայում և փիլիսոփայության մեջ ծագած մի շարք լուրջ հակասություններ (պարադոքսներ), գերմանացի մաթեմատիկոս Դա-վիթ Հիլբերտը տվեց մաթեմատիկական ապացուցման հետևյալ սահ-մանումը, որը կարելի էր հեշտությամբ հարմարեցնել նաև այլ գիտու-թյունների (հարկ է խոստովանել, որ Հիլբերտին և նրա հետևորդներին այդպես էլ չհաջողվեց հաղթահարել նշված հակասությունները).

բանաձևի ապացուցումը բանաձևերի այնպիսի , , … , հաջոր-դականությունն է, որի յուրաքանչյուր անդամ կամ աքսիոմ է, կամ էլ ստացվում է իր նախորդներից արտածման ինչ-որ կանոնով, իսկ վերջին անդամն էլ հենց −ն է [6]:

8

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Թվում է, թե առանձին բացատրության կարիք չունի այս սահմանման մեջ կիրառվող “աքսիոմ” եզրույթը. յուրաքանչյուր գիտություն կամ տե-սություն ունի աքսիոմների՝ անառարկելի դրույթների իր համակարգը, որոնք, որպես ճշմարտություններ, ընդունվում են այդ գիտության կամ տեսության շրջանակներում: Ինչ վերաբերում է արտածման կանոննե-րին, ապա դրանք էլ կարող են լինել այդ տեսության արդեն ապացուց-ված դրույթներ կամ մտահանգումների ձևեր, որոնք դարձյալ ճշմարիտ են համարվում տվյալ գիտության կամ տեսության շրջանակներում: Օրինակ, իրավունքի տեսության մեջ կիրառվում է այսպիսի արտածման կանոն. ՀՀ բոլոր չափահաս քաղաքացիները ունեն ընտրելու իրավունք: Ա-ն ՀՀ չափահաս քաղաքացի է: Ուրեմն՝ Ա-ն ունի ընտրելու իրավունք: Հանրահաշվի հանրակրթական դպրոցի դասընթացում կիրառվում է արտածման այսպիսի կանոն. եթե անհավասարության երկու մասերին գումարենք հավասար թվեր, ապա կստանանք տվածի հետ նույնիմաստ անհավասարություն:

Առօրեական խոսքում և հասարակական գիտությունների մեջ միշտ չէ, որ հնարավոր է լինում հետևել ապացուցման այս ընթացքին կամ երբեմն անհնար է լինում նման ապացուցումներ կատարել. այստեղ վի-ճարկելի են լինում և՛ որպես աքսիոմ կամ ճշմարտություն ներկայացվող դրույթները, և՛ արտածման կանոնները: Այլ է պատկերը մաթեմատի-կայում, որտեղ հստակ են թե՛ աքսիոմները, թե՛ արտածման կանոննե-րը: Այդ պատճառով մաթեմատիկական ապացուցումները հավաստի են, հստակ, զուսպ ու չափավոր. հատկանիշներ, որոնք բնութագրում են նաև արվեստի գործերը, մասնավորապես՝ ճարտարապետական կա-ռույցները:

Մաթեմատիկական ապացուցումը, նրա յուրաքանչյուր արտածումը ներկայացնող բանաձևերի հաջորդականություն ցույց է տալիս նաև մտածողության ընթացքը, տարբեր բանաձևերի ու դատողությունների փոխկապակցվածությունը: Եվ բանաձևերի այդ ներքին կապը հաճախ աչքի է ընկնում իր խորությամբ, անսպասելիությամբ, անկանխատեսե-լիությամբ, և կապակցությունների ողջ շղթային հաղորդում է գեղա-գիտական մեծ գրավչություն: Նշված պատճառները թվում են բավա-

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

9

րար՝ ցույց տալու համար մաթեմատիկական ապացուցման գեղա-գիտական մեծ ներուժը: Դրանք են նաև, որ Պոլ Լոկհարդին թույլ են տալիս մաթեմատիկան համարել «ապացուցումների արվեստ»:

3. Ապացուցման կառույցի ճարտարապետությունը

Ապացուցման գեղագիտական գրավչությունը պայմանավորված է նաև նրա կառուցվածքով: Իսկ ինչպե՞ս է կառուցված ապացուցումը: Յուրաքանչյուր ապացուցում կազմվում է երեք հիմնական տարրերից.

• ապացուցման թեզիսը՝ դատողություն, որի ճշմարտությունը պա-հանջվում է հաստատել ապացուցման միջոցով,

• արգումենտները (հիմքերը, փաստարկումները)՝ դատողություններ, որոնց ճշարիտ լինելը արդեն հայտնի է և որոնք օգտագործվում են տվյալ ապացուցման մեջ,

• ցուցադրումը՝ նշված երկու տարրերը կապող տրամաբանական ձևը:

Ապացուցման արդյունավետությունը պայմանավորված է ճանաչողա-կան, մեթոդաբանական, տրամաբանական, ճարտասանական և այլ գործոններով, սակայն նրանում գլխավորը վերոնշյալ երեք տարրերն են: Ընդ որում, ապացուցման ողջ ընթացքում նրա թեզիսը պետք է բա-վարարի ձևակերպման ճշգրտության և անփոփոխության կանոններին, նրանում չպետք է դրսևոերվի թեզիսի կամ հասկացությունների փոխա-րինում, ճշմարիտ պետք է լինեն ապացուցման արգումենտները (փաս-տարկումները):

Ասվածից հետևում է, որ մաթեմատիկայի դասավանդման ընթաց-քում պետք է աշխատել ավելի նշանակալից դարձնելու հիմնավորման, փաստարկման, ապացուցման դերը: Այդ նպատակով մաթեմատիկայի արևմտյան շատ դասագրքերում թեորեմի ապացուցման քայլերին զու-գահեռ բերվում են նաև դրանց փաստարկումները՝ աքսիոմների և ար-տածման կանոնների անվանումները, ինչն օգնում է լավ հասկանալու ապացուցման մեխանիզմը, ձևավորելու փաստարկված խոսքի մշա-կույթ: Սակայն պետք է խոստովանել, որ հաջորդականության տեսքով տրված ապացուցումներում հաճախ տեխնիկապես դժվար է լինում նշել, թե ապացուցման քայլը կատարելիս հատկապես ո՞ր բանաձևերի

10

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

նկատմամբ է կիրառվում արտածման այս կամ այն կանոնը: Իսկ եթե նման հստակեցում մտցվի էլ, ապա այն ապացույցին կտա շատ ծա-վալուն տեսք, և պատկերման տեխնիկական բարդությունները կհան-գեցնեն ապացույցի նկատմամբ հետաքրքրության կտրուկ թուլացման: Ահա այստեղ մեզ օգնում է ապացուցման մեկ այլ սահմանում, որ տվել է Հիլբերտի աշակերտ Գերհարդ Գենցենը՝ ապացուցումը ներկայացնելով ծառի տեսքով (տես [6]): Մեկնաբանենք Գենցենի մտահղացումը կոնկրետ օրինակի վրա:

Դիցուք ունենք բանաձևի , , , , , ապացուցումը կամ արտածումը: Բանաձևերի այս հաջորդական հրաշալի տեսքը, սակայն, անօգտակար է, երբ ուզում ենք այս ապացույցը սովորեցնել աշակերտին: Այստեղ մենք պետք է նշենք նախ կիրառվող աքսիոմները, ապա և արտածման կանոնները: Դիցուք առաջին, երկրորդ և չորրորդ բանաձևերը աքսիոմներ են, իսկ երրորդ, հինգերորդ և վեցերորդ բա-

նաձևերը ստացվում են արտածման կա-նոններով. Երրորդը՝ առաջին երկուսից, հինգերորդը՝ երկրորդից և չորրորդից, իսկ վեցերորդը՝ երրորդից և հինգերորդից: Մենք պարտավոր ենք դրանք հերթակա-նությամբ նշել ապացուցման ընթացքում և հանգել ապացուցման: Նման պատկեր-ման դեպքում գործընթացը ձգձգվում է, միասնական տեսք չի ստանում և ընկալելի

չի դառնում: Այժմ հետևենք Հենցենին: Նա այդ ապացուցումը ներկայացնում է

գծագրում պատկերված «ծառի» տեսքով. նախապես պայմանավորվե-լով, որ ծառի գագաթներում գրված բանաձևերը աքսիոմներ են, իսկ եր-կու կամ մի քանի կետերից ներքև և այդ կետերին գծերով (ճյուղերով) միացված բանաձևը ստացվում է այդ բանաձևերից արտածման համա-պատասխան կանոնով, ինչը որպես փաստարկ մենք գրում ենք ապա-ցուցման կողքին բերված փաստարկումների բաժնում: Ապացուցումը ստանում են հետևյալ վերջնական տեսքը (տես գծագիրը): Գեղեցի՞կ է: Խոսքը, իհարկե, գծագրի մասին չէ (ինչը նույնպես ունի գեղագիտական

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

11

իր գրավչությունը): Այն հնարավորություն է տալիս աշակերտին՝ տես-նելու թեորեմի ապացուցման հիմքում ընկած դատողությունների և մտահանգումների ողջ մեխանիզմը և հստակ պատկերացնելու փաս-տարկումների ողջ համակարգը: Այսպես են կատարվում ու ներկայաց-վում [1]-[3] դասագրքերի շատ ապացուցումներ:

Բերենք մի օրինակ:

Միևնույն արտահայտությանը հավասար արտահայտությունների հատկությունը

Միևնույն արտահայտությանը հավասար արտահայտությունները իրար հավասար են: Այսինքն, կամայական x, y և z արտահայտություն-ների համար՝ եթե x = z, y = z, ապա x = y:

Ապացուցումը Փաստարկները

Պայմանները

Հավասարության համաչափությանօրենքը

Հավասարության փոխանցելիության օրենքը

Ի. Լ. Տիմոֆեյեվան ապացուցումների նման ներկայացումը կարևո-րում է որպես ուսուցիչների պատրաստման լավագույն միջոց, իսկ աշա-կերտի համար համապատասխան խնդրի իրագործումը համարում մե-թոդական շատ լուրջ խնդիր, որ կարոտ է լուծման (տես [7]): Նա, դժբախտաբար, ծանոթ չի եղել իր աշխատանքից տարիներ առաջ իրա-կանացված հայաստանյան փորձին:

Հավելենք, որ ծառի տեսքով ներկայացված ապացուցումներում լայ-նորեն դրսևորվում է նաև դրանց արտաքին և ներքին գեղագիտությու-նը: Մի կողմից ապացուցումը ստանում է պատկերային որոշակի տեսք,

12

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

որն ունի իր արտաքին գրավչությունը, մյուս կողմից՝ այդ պատկերը կազմող տարրերը իրար հետ շաղկապված են հետաքրքիր կապերով, որոնցում դրսևորվում է ապացուցման ներքին գեղագիտությունը:

4. Ապացուցման ուսուցման գեղագիտական գրավչությունը

Մենք անդրադարձանք «ինչո՞ւ» հարցադրման միջոցով ապացուց-ման առաջադրման իմաստաբանական նշանակությանը, տվեցինք ապացուցման սահմանումը, նշեցինք նրա կարևորությունը հանրա-կրթական դըպրոցի մաթեմատիկայի դասընթացում և ներկայացրինք նրա ըմբռնումը արդյունավետ դարձնելու կոնկրետ եղանակ: Բայց ասվածը դեռևս չի ապահովում կոնկրետ թեորեմների ապացուցման ուսուցման իրագործումը: Դրա արդյունավետությունը, ինչպես նաև գե-ղագիտական գրավչությունը մեծապես կախված են ապացուցման ու-սուցման մեջ ստեղծագործական տարրի ներառումից, ուսուցումը ա-պացույցի որոնման, հայտնաբերման և կառուցման գործընթացի հան-գեցնելուց: Սրանք խնդիրներ են, որոնց իրագործման ընթացքում դրսևորվում են նաև մաթեմատիկական գեղեցիկի սուբյեկտիվ հատկա-նիշները: Այս խնդիրների իրականացման համար մենք պետք է պա-տասխանենք ևս մի քանի հարցադրումների:

Նախ՝ ի՞նչ է տրված և ի՞նչ պետք է ապացուցել: Առանց թեորեմի պայ-մանների և եզրակացության հստակ գիտակցության, անհնար է գտնել և իրագործել նրա ապացուցումը, և պետք չէ շտապել, անցնել առաջ: Չպետք է մոռանալ, որ այդ պահին սովորողի մոտ ձևավորվում են նաև գիտական գեղեցիկի այնպիսի սուբյեկտիվ հատկանիշներ, ինչպիսիք են ոչ ակնհայտ ճշմարտության իմացությունը, ջանքերը, որ ներդրվում են առարկայի, երևույթի էությունը հասկանալու համար: Նշենք, որ որոն-ման այդ ընթացքը զուգորդվում է նաև գիտական գեղեցիկի այնպիսի սուբյեկտիվ հատկանիշի դրսևորմամբ, ինչպիսին է նպատակաուղղված, բարդ ու դժվարին խոչընդոտի հաղթահարումը, ինչը ավելի մեծ կարևո-րություն ու կշիռ է ստանում մաթեմատիկական ոլորտի վերացական բնույթի պատճառով:

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

13

Որոնման ընթացքում պետք է նախ պարզել, թե ինչպե՞ս են կատար-վում ապացուցման առանձին քայլերը, ինչպե՞ս են նրա անդամները ստացվում մյուս անդամներից: Ապացույցի, նրա քայլերի հայտնաբեր-ման համար կատարվող որոնումը իրականացվում է ապացույցի հետ առընչվող փաստերի ոլորտում, և ինչքան լայն լինի դրանց վերաբերյալ սովորողի իմացությունը, այնքան հեշտ ու արդյունավետ կլինի որոնումը:

Ասվածը ցուցադրենք ծրագրային այնպիսի կարևոր թեորեմի օրի-նակի վրա, ինչպիսին Պյութագորասի թեորեմն է: Ես արդեն ներկա-յացրել եմ դրա գեղագիտական գրավչությունը [4], [5]: Անցնենք ապա-ցուցմանը: Ինչպե՞ս կատարել այն: Իհարկե, աշակերտների ուժերից վեր է որևէ ապացուցում առաջարկել: Նրանք իզորու չեն նույնիսկ մտա-ծել ապացուցման որևէ ճանապարհի մասին: Ապացուցման այդ անկան-խատեսելիությունը, օրինակ, հիմք է տվել որոշ հետազոտողների են-թադրելու, որ առանց ապացույցի իմացության անհնար է գտնել, հայտ-նագործել այդ թեորեմը, ինչից էլ նրանք եզրակացնում են, որ թեորեմի ապացուցումը պատկանում է ոչ թե Պյութագորասին, այլ բաբելոնացի-ներին, որոնք իմացել են այն:

Շեղվելով նյութից՝ հարկ է նշել, որ, ի վերջո, բաբելոնացիների կամ նրանց նախորդների մեջ եղե՞լ է մեկը՝ հանճարեղը, որ կատարել է այդ հայտնագործությունը: Իսկ մի՞թե դա չէր կարող լինել Պյութագորասը (դժվար է այդ ժամանակներում նրանից ավելի հանճարեղ մարդ պատ-կերացնել): Մանավանդ՝ ճանաչողության նկատմամբ հունական մոտե-ցումները իրենց հարցադրումներով սկզբունքորեն նոր որակ էին ձեռք բերել և ապացուցման պահանջը, որ չկար բաբելոնացիների մոտ, հույ-ների համար իմացության առաջնային պայման էր:

Դառնալով մերօրյա աշակերտներին՝ նշենք, որ, համենայնդեպս, նրանց համար ապացույցը անկանխատեսելի է, և որպեսզի անկանխա-տեսելիության գեղագիտական հատկանիշը լիովին դրսևորվի, անհրա-ժեշտ է աշակերտին ինչ-որ ժամանակ տրամադրել ապացուցման ուղղությամբ մտածելու համար: Ես իմ պրակտիկայում կատարում էի հե-տևյալ գծագրերը և առաջարկում մտածել դրա շուրջ:

Եթե աշակերտների կողմից որևէ մտահղացում չէր կատարվում ապա առաջարկում էի համեմատել ստացված պատկերների մակերեսները:

14

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Եթե դա էլ չէր օգնում, ապա առաջարկում էի մեծ քառակուսու մակերեսը ստանալ երկու ճանապարհով և արդյունքները հա-վասարեցնել: Վերջապես, որոշ ժամանակ անց աշակերտներից մի քանիսը կարո-ղանում էին ստանալ թեորեմի ապացու-ցումը: Եվ միայն տեսնել էր պետք նրանց վառվող աչքերը, որոնցից հորդում էին հաճույքը և բերկրանքը …

Գրականություն

1. Հ. Ս. Միքայելյան, Հանրահաշիվ 7, Հանրակրթական դպրոցի դասագիրք, Երևան, Էդիթ պրինտ, 2006:

2. Հ. Ս. Միքայելյան, Հանրահաշիվ 8, Հանրակրթական դպրոցի դասագիրք, Երևան, Էդիթ պրինտ, 2007:

3. Հ. Ս. Միքայելյան, Հանրահաշիվ 9, Հանրակրթական դպրոցի դասագիրք, Երևան, Էդիթ պրինտ, 2008:

4. Հ. Ս. Միքայելյան, Գեղեցիկը, Մաթեմատիկան և կրթությունը, մաս 1, Գեղեցիկը և մաթեմատիկան, Էդիթ Պրինտ, Երևան, 2014:

5. Հ. Ս. Միքայելյան, Գեղեցիկը, Մաթեմատիկան և կրթությունը, մաս 2, Գեղեցիկը և մաթեմատիկայի կրթական ներուժը, Էդիթ Պրինտ, Երևան, 2015:

6. Г. Генцен Исследования логических выводов, Математическая теория логического вывода. М., 1967. С. 9-74.

7. И. Л. Тимофеева, Методическая система обучения студентов педагогических вузов математической логике на основе теории естественного вывода, Дисс. на соиск. уч. ст. д. п. н., М., 2005.

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

15

ФОРМИРОВАНИЕ ПРЕКРАСНОГО В ПРОЦЕССE ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВАМ

Г. С. Микаелян Резюме

В статье рассматривается проблема формирования эстетической ценности прекрасного в процессе обучения математическим дока-зательствам. Выясняется проявления прекрасного в понятии дока-зательства в смысле Гильберта и Генцена, подробно остановливается на представлении математики как искусства доказательств, выявляются проявления прекрасного в различних элементах архитектуры доказа-тельства. В конце статьи рассматривается проблема формирования прекрасного в процессе обучения доказательствам.

FOMATION BEAUTY IN THE TEACHING PROCESS OF MATHEMATICAL PROOFS

H.S.Mikaelian Summary

The paper is devoted to the formation aesthetic value of beauty in the teaching process of mathematical proofs. There is discovered arising of beauty in the concept of approvement in the sense of Hilbert and Gentzen, presentation of Mathematics as an art of approvement is represented in detailed, also there is described arising of beauty in the various elements of approvement’s architecture. At the end of the paper the problem of formation beauty in the teaching process of proofs is considered Համլետ Սուրենի Միքայելյան – ֆ.մ.գ.թ, մաթեմատիկայի /ՌԴ/ և մանկավարժության /ՀՀ/ պրոֆեսոր, ՀՊՄՀ մաթեմատիկայի և նրա դասա-վանդման մեթոդիկայի ամբիոնի վարիչի պաշտոնակատար, “Մաթեմա-տիկան դպրոցում” ամսագրի գլխավոր խմբագիր:

Հեռախոս՝ 093 88 17 07 Էլ. hասցե` h.s.mikaelian@gmail.com

16

ԲԱՐՈՅԱԿԱՆ ԱՐԺԵՔՆԵՐԻ ՁԵՎԱՎՈՐՈՒՄԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ.

ՓՈՐՁԱՐԱՐԱԿԱՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐ

Ենոքյան Ա.Վ.

Բանալի բառեր - գիտափորձ, բարոյական արժեքներ, խնդիրներ, հետաքրքրութուն, հետաքրքրության ցուցանիշ

Սովորողների բարոյական արժեքների ձևավորումը մաթեմատի-

կայի ուսուցման գործընթացի հիմնական նպատակներից մեկն է։ Այն կյանքի կոչելու գործում, նախևառաջ, մեծ նշանակություն ունի մաթեմա-տիկայի կրթական այն ներուժի բացահայտումը, որը կնպաստի սովո-րողների բարոյական արժեքների ձևավորմանը: Հ. Միքայելյանը [1] աշ-խատությունում բացահայտել է մաթեմատիկայի կրթական ներուժը բա-րու, սիրո, արժանապատվության, հարգանքի, արդարության, պարտ-քի, երախտագիտության, խղճի, առաքինության, պատվի, կյանքի ի-մաստի և նպատակի, ազատության, երջանկության բարոյական ար-ժեքների ձևավորման գործում: Մաթեմատիկայի ուսուցման գործըն-թացում նշված արժեքները ձևավորելու համար անհրաժեշտ է նաև, որ առկա դասագրքերը, մեթոդական նյութերը իրենց մեջ պարունակեն բարոյական արժեքների ձևավորմանը նպաստող տարրեր: Մասնա-վորաբար տեքստային, հետաքրքրաշարժ խնդիրները, լրացուցիչ տեղե-կությունները իրենց մեջ ներառեն այնպիսի նյութեր, որոնք ուսուցչին

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

17

հնարավորություն կտան խոսել բարոյական արժեքների մասին և հե-տևաբար նաև ձևավորել սովորողների բարոյական արժեքների համա-կարգը: Այս տեսանկյունից կարևոր նշանակություն ունեն հին հայ-կական պատմական որոշ խնդրագրքեր (օրինակ [3]), որոնցում ընդ-գրկված առանձին խնդիրներ իրենց բովանդակության մեջ կրում են բա-րոյական արժեքների ձևավորմանը նպաստող տարրեր, իսկ նորան-կախ Հայաստանում ստեղծված հանրահաշվի դասագրքերը (տես [2]) խարսխված են ինչպես բարոյական, այնպես էլ ազգային, համամարդ-կային, գեղագիտական և այլ արժեքների վրա: Բարոյական արժեքների ձևավորման գործում էական դեր է խաղում դասագրքերի կիրառական ֆոնը, որում ընդգրկված կիրառական, հետաքրքրաշարժ և պատմական խնդիրները իրենց բովանդակության մեջ անդրադառնալով բարոյական արժեքներին, ուսուցչին հնարավորություն են տալիս խոսելու դրանց մասին:

Սակայն բարոյական արժեքների ձևավորման գործում նշված աշխատանքների արդյունավետությունը կարիք ունի լրացուցիչ փորձա-րարական ստուգման: Այդ նպատակով մենք իրականացրել ենք հա-մապատասխան գիտափորձ: Գիտափորձերը անց են կացվել ՀՀ հան-րակրթական մի քանի դպրոցների /գյուղական, քաղաքային, մայրաքա-ղաքային/ 7-րդ, 8-րդ, 9-րդ և 11-րդ դասարաններում /ընդհանուր թվով մասնակցել է 200 աշակերտ/։ Յուրաքանչյուր դասարանում ունեցել ենք երկու խումբ՝ փորձարարական և ստուգողական: Փորձարարական խմբերի հետ կրկնության դասերը իրականացվել է մեր կողմից: Դասի ընթացքում, խնդիրների լուծման ժամանակ, խնդիրների բովանդակու-թյունը հնարավորություն էր տալիս խոսելու բարոյական արժեքների մասին, դրանք քննարկել աշակերտների հետ և պարզել նրանց վերա-բերմունքը բարոյական արժեքների նկատմամբ: Ստուգողական խմբե-րում պարապմունքները անց են կացվել մաթեմատիկայի իրենց ուսու-ցիչների կողմից՝ իրենց դասագրքային նյութի հիման վրա:

Փորձարարական աշխատանքների սկզբում մենք առաջադրել ենք հետևյալ վարկածը.

Մաթեմատիկայի կրկնության գործընթացում բարոյական ար-ժեքների ձևավորմանը նպաստող մաթեմատիկական նյութերի ներա-ռումը՝

18

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

• Բարձրացնում է սովորողների բարոյական գիտակցությունը, • Հնարավորություն է տալիս սովորողներին խուսափելու դասապրո-

ցեսում լայն տարածում գտած վատ սովորույթներից /օրինակ, հու-շելը, արտագրելը/,

• Նպաստում է մաթեմատիկայի դասի նկատմամբ սովորողների հե-տաքրքրության ցուցանիշի բարձրացմանը:

Պարապմունքների ավարտին և՛ փորձարարական և՛ ստուգողա-կան խմբերին հանձնարարվել է լրացնելու միևնույն հարցաշարը: Վեր-ջինս կազմել ենք Լայկերտի 4 աստիճանի սանդղակի հիման վրա, որ-տեղ բարոյական արժեքներին նվիրված դատողություններին պետք է տրվի նշված պատասխաններից միայն մեկը: Եթե դատողությունը ճշմարիտ է, ապա միավորները ներկայացնում են 4, 3, 2, 1 միավորնե-րով, իսկ եթե սխալ է, ապա 1, 2, 3, 4 (տես [5]): Հարցաշարում ընդգրկ-ված էին հետևյալ հարցերը, որոնց պատասխանների տարբերակներն են.

միանշանակ համաձայն եմ, համաձայն եմ, համաձայն չեմ, բոլորովին համաձայն չեմ:

Հարց 1. Մաթեմատիկայի ուսուցումը նպաստում է բարոյական արժեքների ձևավորմանը: Հարց 2. Հայրենասիրությունը սեփական երկրի բնության, մշակույթի, տնտեսության ճանաչումն ու զարգացումն է։ Հարց 3. Հայրենիքի պաշտպանության գործում յուրաքանչյուրի մասնակցությունը պարտադիր չէ։ Հարց 4. Նյարդայնացնող է, երբ դասարանում ինչ-որ մեկը գրատախտակի մոտ երկար է մտածում: Հարց 5․Հանդուրժելի է այլ ազգության աշակերտների ներկայությունը դասարանում։ Հարց 6. Հանդուրժելի է մտավոր, ֆիզիկական խնդիրներ ունեցող աշակերտների ներկայությունը դասարանում: Հարց 7. Արդար է, երբ ուսուցիչը ստուգողական աշխատանքի ժամա-նակ օգնում է իր սիրելի աշակերտներին:

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

19

Հարց 8. Յուրաքանչյուր ուսուցիչ պարտավոր է սիրել և հարգել միայն իր առարկան լավ սովորող աշակերտներին: Հարց 9. Բարի արարք է ինքնուրույն աշխատանքի ժամանակ ընկեր-ներին օգնելը: Հարց 10. Բարության դրսևորումներից մեկը ընկերներին հուշելն է: Հարց 12. Երջանկություն է իշխանության և փառքի հասնելը: Հարց 13. Երջանկություն է ուրիշին օգնելը: Հարց 14. Լավ կրթությունը կյանքի նպատակի իրագործման և կյանքի իմաստավորման գործոններից մեկն է: Հարց 15. Ավելի մեծ ձեռքբերում է գերազանց օտար լեզու իմանալը, քան շքեղ մեքենա ունենալը:

Նշված բոլոր հարցերի փորձարարական և ստուգողական խմբերի պատասխանները ամփոփվել և վերլուծվել են, արդյունքները ներկայացվել են աղյուսակների և դիագրամների տեսքով: Այստեղ մենք կներկայացնենք հարցերի վերլուծությունները և մի քանի աղյուսակ ու դիագրամ:

Առաջին հարցի քննարկման ժամանակ փորձարարական խմբում աշակերտների մեծ մասը պարապմունքներից առաջ նույնպես կապ չէր տեսնում բարոյական արժեքների և մաթեմատիկա ուսումնա-կան առարկայի միջև: Բայց երբ մաթեմատիկական խնդիրների լուծման ընթացքում անընդհատ առիթ էր ստեղծվում խոսել բարոյական արժեք-ների մասին կամ երբ նկատում էին որ մաթեմատիկական խնդիրը նվիրված է բարոյական որևէ արժեքին, նրանք արդեն փոխեցին իրենց

Պատասխանների տարբերակներ

Փորձարարական խումբ

Ստուգողական խումբ

Միանշանակ համաձայն եմ (4)

51% 4%

Համաձայն եմ (3) 31% 23% Համաձայն չեմ (2) 13% 51%

Բոլորովին համաձայն չեմ (1) 5% 22% Վիճակագրական տվյալներ

Միջին 3.28 2.09 Մեդիան 4.00 2.00

20

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

կարծիքը: Կից ներկայացված է փորձարարական և ստուգողական խմբերի պատասխանների համեմատության աղյուսակը և դիագրամը (տես գծ. 1)

Երկրորդ հարցի վե-րաբերյալ հիմնական կարծիքներից էր այն, որ հայրենիքի բնության, մշակույթի ճանաչումը, նրա տնտեսության զար-գացումը չեն հանդի-սանում հայրենասի-րության դրսևորում։

Նրանց կարծիքով հայրենասիրությունը հայրենիքի համար կռվելն է: Երրորդ հարցի քննարկման ժամանակ պարզ դարձավ, որ

սովորողների մի մասը կարծում էր, որ հայրենիքի պաշտպանության գործում պարտադիր է միայն զինվորականների մասնակցությունը, իսկ ոչ զինվորականներինը՝ ոչ: Կարծում ենք, սա հետևանք էր այն բանի, որ ինչպես վերը նշեցինք, աշակերտների կարծիքով հայրենասիրու-թյունը հայրենիքի համար կռվելն է:

Չորրորդ հար-ցում քննարկված ե-րևույթը հատկապես նկատվում է մաթեմա-տիկայի ուժեղ աշա-կերտների մոտ այն ժամանակ, երբ գրա-տախտակին խնդիր է լուծում մաթեմատի-կական գիտելիքներով չփայլող կամ դանդաղ մտածողություն ունեցող աշակերտը: Նրանք հուշում են, բարկանում են սխալի դեպքում և սկսում են նյարդայնանալ: Սա կանխելու համար ոչ միայն պետք է այդ ակտիվ աշակերտներին լրացուցիչ

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

21

հանձնարարություններ տալ, այլև պետք է խոսել հանդուր-ժողականության, հարգանքի, համբերության մասին, ինչ որ արեցինք մենք փորձարարական խմբում: Եվ արդյունքում (տես աղյուսակը և գծ. 2) նրանց մի մասը հասկացավ, որ բոլորովին կարիք չկա նյար-դայնանալ, երբ դասարանում ինչ-որ մեկը գրատախատակի մոտ երկար է մտածում:

Հանդուրժողականության արժեքին նվիրված խնդիրների լուծ-

ման ժամանակ մենք առիթ ունեցանք անդրադառնալու Հայաստանում տարբեր ազգերի ներկայությանը: Զրույցի ընթացքում աշակերտների հետ քննարկելով այդ երևույթները՝ հասանք այն բանի, որ փոր-ձարարական խմբում աշակերտների ճնշող մեծամասնությունը եկավ այն կարծիքի, որ հանդուրժելի է այլ ազգության կամ մտավոր, ֆիզի-կական խնդիրներ ունեցող աշակերտների ներկայությունը դասա-րանում:

Ընդհանուր առմամբ աշակերտները անարդար են համարում այն փաստը, երբ ուսուցիչը ստուգողական աշխատանքների ժամանակ օգնում է իր սիրելի աշակերտներին: Յոթերորդ հարցին դրական պատասխանածները հիմնականում հանդիսանում են այն աշակերտնե-րը, որոնց օգնում է ուսուցիչը: Փորձարարական խմբում արդարության արժեքին նվիված խնդիրների լուծումից և զրույցից հետո, որոշ աշա-կերտներ փոխեցին իրենց դիրքորոշումը:

Պատասխանների տարբերակներ

Փորձարարական խումբ

Ստուգողական խումբ

Միանշանակ համաձայն եմ (1)

2% 30%

Համաձայն եմ (2) 10% 46% Համաձայն չեմ (3) 48% 21%

Բոլորովին համաձայն չեմ (4) 40% 3% Վիճակագրական տվյալներ

Միջին 3.26 1.97 Մեդիան 3.00 2.00

22

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Ութերորդ հարցի միջոցով ցանկացել ենք պարզել աշակերտնե-րի կարծիքը սիրո և հարգանքի արժեքների վերաբերյալ: Աշակերտների մեծ մասը նշում էր, որ ուսուցիչը պարտավոր չէ սիրել ու հարգել բոլոր աշակերտներին՝ բացառությամբ իր առարկան լավ սովորողների։ Փորձարարական խմբում այդ արժեքներին նվիրված խնդիրներ լուծելը և քննարկելը ունե-ցավ իր դրական արդյունքը։ Իններորդ և տաս-ներորդ հարցերը, թերևս, պարապ-մունքների ընթաց-քում ամենաշատ բանավեճի առար-կա դարձած հար-ցերն են: Սովորողների մոտ թյուր կարծիք էր առկա բարու արժեքի մասին: Այս արժեքին նվիրված խնդիրներ լուծելուց, քննարկումներ կատարելուց հետո փորձարարական խմբում ստացված արդյունքները և ստուգողական խմբի արդյունքերի վերլուծությունները ներկայացված են աղյուսակում: Ինչպես նշեցինք, այս երևույթը դասապրոցեսում լայն տարածում ունի, և աշակերտների մեծ մասը համոզված է, որ հուշելը բարի արարք է: Փորձարարական խմբերում, երբ ներկայացրեցինք բարու արժեքը, աշակերտների մի մասը եկավ այն համոզման, որ հուշելը բարի արարք չէ, և պետք է խուսափել հուշելու վատ սովորու-թյունից: Ստուգողական և փորձարարական խմբերի արդյունքների համեմատությունը ներկայացված է ստորև պատկերված աղյուսակում և գծ. 3-ում:

Պատասխանների

տարբերակներ Փորձարարական

խումբ Ստուգողական

խումբ Միանշանակ համաձայն եմ

(1) 0% 22%

Համաձայն եմ (2) 14% 45% Համաձայն չեմ (3) 44% 28%

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

23

Բոլորովին համաձայն չեմ (4) 42% 5% Վիճակագրական տվյալներ

Միջին 3.28 2.16 Մեդիան 3.00 2.00

Տասնմեկերորդ հարցի միջոցով փորձել ենք պարզել աշակերտ-

ների ընկալումները պարտքի բարոյական արժեքի վերաբերյալ: Փոր-ձարարական խմբերում այս արժեքին նույնպես մենք անդրադարձել ենք խնդիրների լուծման ժամանակ:

Տասներկուերորդ և տասներեքերորդ հարցերը միտված են բա-ցահայտելու սովորողների պատկերացումները երջանկության մասին: Փորձարարական խմբերում պարապմունքների ընթացքում առիթ ունե-ցել ենք սովորողների հետ քննարկելու երջանկության բարոյական արժեքը: Սկզբում նկատելի էր, որ աշակերտների մեծ մասը երջան-կությունը տեսնում էր միայն նյութական արժեքների մեջ։ Այդ պատկերը փորձարարական խմբում պարապմունքներից հետո փոխվեց, իսկ ստուգողական խմբում աշակերտները ավելի շատ երջանկությունը տես-նում են փառքի և իշխանության, քան ուրիշին օգնելու մեջ։

Տասնչորսերորդ հարցը ավելի բուռն կերպով քննարկում անցավ փորձարարական խմբի 11-րդ դասարաններում: Քննարկման սկզբում կար այն կարծիքը, որ սոցիալ-տնտեսական ներկա պայմանների դեպ-քում լավ կրթությունը կյանքի նպատակի իրագործման և իմաստա-վորման գործոններից չէ: Կյանքի նպատակի և կյանքի իմաստի վերա-բերյալ մեր զրույցի վերջում մի շարք աշակերտներ փոխեցին իրենց տեսակետը:

Վերջին հարցը նույնպես բանավիճելու, քննարկելու լավ առիթ հանդիսացավ: Կային աշակերտներ, ովքեր բոլորովին համաձայն չէին դատողության հետ, բայց երբ օտար լեզվի իմացությունը փոխարինում էինք իրենց կողմից նախընտրած մասնագիտության լավ իմացությամբ (օրինակ, լավ նկարիչ դառնալով), նրանք միանշանակ համաձայնվում էին: Իհարկե, այստեղ կարևորը անցողիկ և մնայուն արժեքների միջև ճիշտ կողմնորոշումն է:

24

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Բացի վերոնշյալ հարցերից, աշակերտներին խնդրել էինք պատասխանել նաև հետևյալ հարցին, որը կազմված է Վ.Ս. Չերե-պանովի հետաքրքրության աստիճանի ստուգման սանդղակի հիման վրա [4]:

Ինչպե՞ս կբնութագրես դասը. ա) անհետաքրքիր էր, բ) հետաքրքիր էր, գ) շատ հետաքրքիր էր

Այս հարցով նպատակ ենք ունեցել պարզելու սովորողների հետաքրքրության ցուցանիշը: Փորձարարական խմբում աշակերտ-ներին հանձնարարվել էր գնահատել մեր կողմից պարապած դասերը, իսկ ստուգողական խմբում՝ իրենց ուսուցչի կողմից իրականացված մաթեմատիկայի կրկնության դասերը: Չերեպանովի առաջարկած մեթոդիկայի հիմքում դրված է հետաքրքրության ցուցանիշի որոշման հետևյալ բանաձևը.

Հ≈ ,

որտեղ m-ը գիտափորձի մասնակիցների թիվն է, իսկ k-ն՝ հետաքրքրության մակարդակների սանդղակի աստիճանների թիվը:

Բերված բանաձևը մեր գիտափորձի դեպքում կունենա հետևյալ տեսքը.

Հ≈ ,

Որտեղ՝ + + ≤ m և. m-ը գիտափորձի մասնակիցների թիվն է,

-ը՝ այն մասնակիցների թիվը, որոնց համար ուսուցանվող նյութը անհետաքրքրիր էր,

-ը՝ որոնց համար հետաքրքիր է, –ը՝ որոնց համար շատ հետաքրքիր է:

Ստացված պատասխանները հաշվարկելուց հետո ստացանք, որ փորձարարական խմբում հետաքրքրության ցուցանիշը կազմում է

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

25

մոտավորապես 0.85, որը համաձայն Վ.Ս.Չերեպանովի սանդղակի հա-մապատասխանում է «շատ հետաքրքիր է» ցուցանիշին: Իսկ ստու-գողական խմբում հետաքրքրության ցուցանիշը կազմել է մոտավո-րապես 0.68, որը համապատասխանում է «հետաքրքիր է» սանդղակին: Սա հիմնավորում է հետազոտության վարկածի երրորդ ենթակետը:

Ամփոփելով, գալիս ենք այն եզրակացության, որ կատարված գիտափորձերի արդյունքում ամբողջությամբ հիմնավորվեց մեր կողմից առաջ քաշված վարկածը:

Գրականություն

1. Հ.Միքայելյան Բարոյական արժեքները և մաթեմատիկայի կրթա-կան ներուժը, -Եր.: Էդիթ Պրինտ, 2011.-184էջ

2. Հ.Միքայելյան Հանրահաշիվ 7, 8, 9: Եր.: Էդիթ Պրինտ, 2006թ., 2007թ., 2008թ.

3. Ս․Միքաէլեան. Ընդարձակ թուաբանութիւն, Փարիզ, 1861թ․ 4. Черепанов В. С. Экспертные методы в педагогических исследо-

ваниях, М., Педагогика, 1980 г., 150с. 5. http://studik.net/postroenie-shkaly-lajkerta-izmerenie-na-ee-osnove-

ustanovki-respondentov-i-proverka-statisticheskix-gipotez/

ФОРМИРОВАНИЕ МОРАЛЬНЫХ ЦЕННОСТЕЙ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ:

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РАЗРАБОТКИ Енокян А. Резюме

Работа посвящена выполненным экспериментальным работам

по формированию моральных ценностей у учеников в процессе обуче-ния математике. Экспериментальные работы призваны выяснить эффективность математических материалов, которые способствуют формированию моральных ценностей. Обстоятельно представлен

26

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

сравнительный анализ ответов экспериментальных и контрольных групп.

FORMATION MORAL VALUES IN THE TEACHING PROCESS OF

MATHEMATICS: EXPERIMENTAL WORKS

Yenokyan A. Summary

The paper is devoted to the experimental works at the formation of students' moral values in the teaching process of Mathematics. The experimental works are directed to find out the effectiveness of the mathematical materials, which promote formation moral values. Comparative analysis of the responses of the experimental and control groups are represented.

Անահիտ Վարդանի Ենոքյան - ՀՊՄՀ, Մաթեմատիկայի և նրա դասավանդման մեթոդիկայի ամբիոնի ասպիրանտ,

Հեռախոս՝ 091-90-68-04 Էլ. hասցե` anahit19xy@gmail.com

27

ՔՆՆԱԴԱՏԱԿԱՆ ՄՏԱԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆ ՁԵՎԱՎՈՐՈՂ ԵՎ ԽԹԱՆՈՂ ՄԵԹՈԴՆԵՐԻ ԿԻՐԱՌՈՒՄԸ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԴԱՍԵՐԻՆ

Ազնիվ Խաչատրյան

Բանալի բառեր - մտավոր գրոհ, խմբավորում, զույգերով աշխատանք, PPT-ի ներկայացում, իմաստի ընկալում և կշռադատում

XXI դարի մուտքը հայաստանյան դպրոցներում համընկավ «Քննա-դատական մտածողության զարգացումը կարդալու և գրելու միջոցով» (ՔՄԶԿԳՄ) բազմաշերտ համագործակցային ծրագրի ներդրմամբ։

Չնայած այն հանգամանքին, որ այն հիմնականում մշակված է հասա-րակագիտական առարկաների համար, սակայն դասավանդման եռափուլ համակարգը (ԽԻԿ) հմտորեն կիրառելու դեպքում, այն զարգացնում է քննա-դատական մտածողության (ՔՄ) կարողություններ՝ ինչպես բնագիտական առարկաների, այնպես էլ մաթեմատիկայի դասավանդման ժամանակ [1]:

Միաժամանակ ՔՄ մեթոդների կիրառությունը մեծացնում է ուսուցիչ-ների պատասխանատվությունը՝ ավելի ճիշտ գնահատելու աշակերտների մտածողության որակը և քննողաբար վերաբերվելու իրենց իսկ դասավանդ-ման մեթոդաբանությանը [2]:

Ստորև ներկայացվում են ՔՄ մեթոդների կիրառմամբ մեկական դա-սեր երկրաչափությունից և հանրահաշվից:

1․Դասի թեման – Ուղղանկյունանիստ /երկրաչափություն, 10-րդ դասա-րան/

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

28

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Դասի նպատակը - սահմանել ուղղանկյունանիստը, կարողանալ ճանաչել և գծապատկերել ուղղանկյունանիստը, իմանալ ուղղանկյունանիստի հիմ-նական հատկությունները, ձևակերպել ուղղանկյունանիստի անկյունագծի և նրա չափումների վերաբերյալ թեորեմը և դուրս բերել բանաձևը:

Դասի ընթացքը I փուլ /խթանում/ Ուսուցիչը <<մտավոր գրոհ>> մեթոդով աշխատում է վեր հանել նա-

խորդ դասերին սովորած նյութերը, թվել այն մարմինները, որոնք կան մեր շրջապատում և իրենցից ներկայացնում են ուղղանկյունանիստեր: Այնուհետև աշակերտների ուշադրությունը սևեռում է հետևյալ հարցերի վրա 1.Ի՞նչ գիտեք ուղղանկյունանիստի մասին: 2.Որո՞նք են ուղղանկյունանիստի չափումները: 3.Ի՞նչ հատկություններ գիտեք ուղղանկյունանիստի մասին:

Աշակերտների արտահայտած բոլոր կարծիքները գրի է առնվում գրատախտակին, որից հետո ուսուցիչը փորձում է աշակերտների միջոցով իրականացնել խմբավորման մեթոդը ուղղանկյունանիստի վերաբերյալ, որը մասնավորաբար կարող է ընդունել նկ.1-ի պատկերը:

Ուղղանկյունա-նիստ

հիմք Երկարու-թյուն

Ուղիղ-անկյուն

Լայնու-թյուն

կողմ

ուղղանկյուննիստ

Բարձրու-թյուն

Չափումներ

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

29

Այս փուլում ուսուցիչը հետաքրքրություն է առաջացնում սովորողների մոտ՝ իրենց իմացած նախնական գիտելիքներով փորձելու ինքնուրույն դատողություններով առնչություններ և կապեր գտնել ուղղանկյունանիտի հնարավոր չափումների միջև:

II–փուլում /իմաստի ընկալում/ ուսուցիչը աշակերտների միջոցով վեր է հանում բուն դասի նյութը: Մասնավորաբար, կարելի է ներկայացնել դասագրքի նյութը՝ օգտագործել <<Փոխներգործուն գրառումների համա-կարգ>> մեթոդը՝ հանձնարարել կարդալ և կատարել գրառումներ համա-պատասխան աղյուսակի տեսքով /աղ.1/:

Արդյունավետ է, երբ աշակերտները իրենց գրառումները քննարկում

են զույգերով և ներկայացնում ամբողջ դասարանին: Այս փուլում հարցերի օգնությամբ ուսուցիչը փորձում է աշակերտների

միջոցով հասնել դասի նպատակին: II-փուլը ամբողջական դարձնելու նպատակով ուսուցիչը աշակերտ-

ների մեկնաբանությունները և կարծիքները համադրում է, տալիս է ճշգրտված սահմանումները: Այնուհետև ուսուցիչը հանձնարարում է, որ յու-րաքանչյուր աշակերտ դուրս բերի ուղղանկյունանիստի անկյունագծի քա-ռակուսու բանաձևը։

Դասարանում հնարավոր է գտնվեն աշակերտներ, որոնք կկարողա-նան ստանալ բանաձևը կամ գտնել ճիշտ լուծման ճանապարհը: Այդ աշա-կերտներից մեկին կարելի է հրավիրել գրատախտակի մոտ և ստանալ թեո-րեմի ապացույցը։ Եթե այդպիսիք բացակայում են, ապա ուսուցիչը փորձում է հուշել լուծման ուղղին և ժամանակ է տալիս աշակերտներին ինքնուրույն կամ իր միջամտությամբ ապացուցելու թեորեմը:

III- փուլում /կշռադատում/ ուսուցիչը հանձնարարում է անդրադարձ կատարել նոր սովորած դասին՝ կրկնելով ուղղանկյունանիստի հատկություն-ները և թեորեմը: Այս փուլի վերջում դասարանը կարելի է բաժանել 4 խմբի,

V ­ + ?

գիտեմ իմ իմացածինհակասում է

նորտեղեկություն

անհասկանալի է

30

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

հանձնարարել յուրաքանչյուր խմբին մեկական խնդիր դասի թեմայի վերա-բերյալ: Այնուհետև ուսուցիչը, որպես տնային աշխատանք, հանձնարարում է նմանատիպ խնդիրներ:

2․Դասի թեման – Ֆունկցիայի գրաֆիկի ձևափոխություններ /հանրա-հաշիվ, 10-րդ դասարան/

Դասի պատակը -իմանալ, թե ինչպես կարելի է = ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցել = + , = + , = , = , = | | և = | | ֆունկցիաների գրաֆիկները։ Կարողանալ կիրառել այդ գիտելիքները գործնականում և կառուցել այդ ֆունկցիաների գրաֆիկ-ները։

Դասի ընթացքը I փուլ /խթանում/ Փորձում ենք աշակերտների միջոցով վեր հանել նախորդ դասերին

սովարածները, մասնավորաբար, «Մտավոր գրոհ» մեթոդի կիրառմամբ պարզել․

1.Ի՞նչ է թվային ֆունկցիան։ 2.Ո՞ր կետերի բազմությունն են անվանում ֆունկցիայի գրաֆիկ։ 3.Արդյո՞ք կոորդինատային հարթության վրա գտնվող ամեն մի գիծ ինչ որ

ֆունկցիայի գրաֆիկ է։ Ամրապնդելով ճիշտ պատասխանները՝ այնուհետև, II փուլում /իմաս-

տի ընկալում/ դասարանը բաժանել 5 խմբերի: Յուրաքանչյուր խմբին տրվում է առաջադրանք՝ փորձել ինքնուրույն կառուցել ներքոհիշյալ գրաֆիկները

I խումբ - = + II խումբ - = + III խումբ - = , IV խումբ - = V խումբ - = | | Առաջադրանքների համար տրվում է 5 րոպե ժամանակ, որից հետո

ուսուցիչը շրջում է դասարանում և դիտարկում կատարելով վեր է հանում սխալները և ճիշտ մոտեցումները: Այնուհետև յուրաքանչյուր խումբ դասա-րանին ներկայացնում է իրեն տրված առաջադրանքը: Ավելի ակնառու և պատկերավոր լինելու համար ուսուցիչը կարող է ցուցադրել PPT ծրագրով

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

31

նախապես պատրաստված, թեմային առնչվող նյութը, որտեղ աշակերտները համեմատում են իրենց ստացած ֆունկցիայի գրաֆիկի ձևափոխությունները:

III - փուլում /կշռադատում/ յուրաքանչյուր աշակերտի հանձնարարել տեղում գծել ֆունկցիաի գրաֆիկի ձևափոխություններից երկու վարժություն-ներ /5 րոպե/, այնուհետև ցուցադրել ճիշտ պատասխանը, որպեսզի աշա-կերտները կատարեն համեմատություն իրենց աշխատանքի հետ։

Վերջում անդրադարձ կատարելով դասին, հանձնարարել քառաբա-ժանման մեթոդի օրինակով ութաբաժան վանդակներում ներկայացնել ստացված գրաֆիկների ձևափոխությունները։

32

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Որպես տնային առաջադրանք հանձնարարել վարժություներ դասագրքից:

Գրականություն

1. Սթիլ Ջ.Լ., Մերեդիթ Ք.Ս. և Թեմփլ Չ. «Քննադատական մտածողության զարգացումը կարդալու և գրելու միջոցով» ծրագրի ուղեցույց III, Երևան 1988թ., էջ 52:

2. Հակոբյան Ս. և ուրիշներ «Մաթեմատիկայի ուսուցիչների 5-օրյա վերա-պատրաստումների ուսումնական նյութերի փաթեթ» Երևան 2006թ.:

3. Հակոբյան Ս.Է., Երկրաչափություն, 10-րդ դասարանի դասագիրք /հումա-նիտար հոսք/: Երևան, «Տիգրան Մեծ», 2009:

4. Գևորգյան Գ.Գ., Սահակյան Ա.Ա., Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր, 10-րդ դասարանի դասագիրք /բնագիտամաթեմատի-կական հոսք/: Երևան, «Տիգրան Մեծ», 2009:

Применение развивающих и стимулирующих методов критического мышления на уроках математики

Азнив Хачатрян Резюме

Методы развивающие и стимулирующие критическое мышление

необходимы не только в процессе преподавания общественных предметов, но и в процессе преподавания предметов на основе точных наук. Они позволяют учащимся не только вновь открывать для себя известную теорему

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

33

или какое- нибудь математическое понятие, но и способствует глубокому восприятию информации и выявлению новых подходов решения проблемы.

The usage of the forming critical thinking and stimulating methods during the mathematics lesson

Azniv Khachatryan Summary

The methods of stimulating and the formation of critical thinking are

necessary not only in social sciences but also in exact science. They allow the students not only “to discover again” the well-known theorem or another mathematical connection, but also help to understand the information in details and discover new ways of approaching the problem.

Ազնիվ Խաչատրյան - աշխատում է Երևանի Լեոյի անվան հ.65 ավագ դպրոց, փոխտնօրեն, մաթեմատիկայի ուսուցիչ

Հեռախոս՝ 091 99 24 66 Էլ.հասցե՝ hasmik65@mail.ru

34

ԼՈԳԱՐԻԹՄԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅԱՆ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳԵՂԱԳԻՏԱԿԱՆ ԳՐԱՎՉՈՒԹՅԱՆ ՄԱՍԻՆ

Նարե Ղազարյան

Բանալի բառեր – լոգարիթմ, ուսուցում, մոտի-վացիա, գիտական գեղեցիկ, դժվարին խոչընդոտի հաղթահարում, անկանխատեսելիություն, կիրառելիու-թյուն, օգտակարություն

Գեղագիտական դաստիարակության հիմնական գործառույթնե-րից մեկը գեղագիտական արժեքների ձևավորումն է: Վերջինս իրա-գործվում է ոչ միայն հումանիտար ցիկլի, այլև բնագիտամաթեմատի-կական բնագավառի ուսումնական առարկաների միջոցով: Մեթո-դական գրականության մեջ լայնորեն լուսաբանված է գեղեցիկի ձևա-վորման խնդիրը մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում (տես, օրինակ, [1]):

Հանրակրթական դպրոցում ուսուցանվող ցանկացած մաթեմա-տիկական նյութ այս կամ այն չափով ունի իրեն բնորոշ գիտական գեղեցկությունը, սակայն առանձնակի հետաքրքրություն են ներկայաց-նում հատկապես այն թեմաները, որոնք լուրջ և խորը հետք են թողել մաթեմատիկայի պատմության մեջ, նպաստել են մաթեմատիկայի հե-տագա զարգացմանը: Այդպիսի լավագույն օրինակներից մեկը լոգա-րիթմներին նվիրված նյութն է:

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

35

Ընդհանուր առմամբ որևէ հասկացության ուսուցման կարևորա-գույն փուլը նրա մոտիվացիան է: Հանրակրթական դպրոցի դա-սագրքում հեղինակները այս փուլում նախքան լոգարիթմի սահմանումը, նշում են, որ 2 = 7 տեսքի հավասարումները լուծելու համար ներմուծում ենք լոգարիթմ [2]: Սակայն դասավանդման մեր փորձը ցույց է տալիս, որ մոտիվացիայի նկատմամբ նման հակիրճ մոտեցումը ոչ միայն գրավիչ չի դարձնում լոգարիթմի գաղափարը, այլև այն լավ չի ընկալվում աշակերտների կողմից: Այս բացը լրացնելու համար ես նա-խապես աշակերտներին հանձնարարում եմ լուծել հետևյալ բնույթի հավասարումներ՝ 2 = 4, 3 = 27, 11 = 121 և այլն: Թեև դրանք որ-պես հավասարման տեսակ նորություն են սովորողների համար, քանի որ պետք է գտնել անհայտ ցուցիչը, սակայն թվերն ընտրված են այն-պես, որ հեշտ է կռահել և գտնել անհայտը, և երկար ժամանակ չի պահանջվում կատարելու այդ հանձնարարությունը: Այնուհետև ես գրա-տախտակին ավելացնում եմ 2 = 5հավասարումը: Առաջադրանքը տարակուսանք է առաջացնում աշակերտների մոտ. կարծես ինչ-որ բան սխալ է գրված, թվում է, թե հավասարումը լուծում չունի, քանի որ աշակերտները չեն կարողանում միանգամից գտնել այնպիսի մի թիվ, որով աստիճան բարձրացնելով 2–ը՝ կստանան 5: Մյուս կողմից, 2 = 4,2 = 8, ուրեմն որոնելի արմատը պատկանելու է 2; 3 միջակայքին, բայց ինչպես գտնել, թե այդպիսի անվերջ քանակի թվերից ո՞րն է որոնելին: Բնականաբար այս խոչընդոտի հաղթահարումը աշակերտ-ների ուժերից վեր է, քանի որ նրանց մաթեմատիկական գիտելիքների բազան, անցած նյութերը հնարավորություն չեն տալիս գտնել հավա-սարման լուծումը:

Նշենք, որ լոգարիթմի ներմուծման մոտիվացիոն փուլի՝ վերը ներկայացված պրոբլեմի լուծմանը մի քանի րոպե տրամադրելը բա-վական է, որպեսզի այդ ջանքերի գործադրումը, խոչընդոտի հաղ-թահարման անկարողունակությունը աշակերտների մոտ ձանձրույթ, հետաքրքրության կորուստ չառաջացնի: Ես չեմ բավարարվում այդ-քանով և շարունակում եմ աշխատանքն այս ուղղությամբ և բերում եմ լոգարիթմի գաղափարի ներմուծման մոտիվացիայի ավելի նշանա-կալից ներկայացում:

36

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

Նախ նշենք, որ լոգարիթմի ներմուծումը պայմանավորված է մաթեմատիկական հաշվարկների պարզեցման հետ, ինչը կարևոր նշանակություն ունի տեխնիկայի զարգացման համար: Աշակերտների համար ուսանելի կլինի պատմական ակնարկն այն մասին, որ XVI դարում արագորեն մեծանում էր բարդ հաշվարկներ կատարելու ան-հարժեշտությունը: Ընդ որում, այդ դժվարությունները պայմանավորված էին նաև բազմանիշ թվերի բազմապատկման և բաժանման հետ: Այդ ժամանակներում որոշ մաթեմատիկոսների առաջնային նպատակնե-րից մեկն էր այդ բարդ հաշվարկների պարզեցումը: Այստեղ իր կարևո-րագույն և խիստ անհրաժեշտ դերը խաղաց հենց լոգարիթմների հայտ-նագործումը: Վերջինս կապվում է շոտլանդացի մաթեմատիկոս Ջոն Նեպերի անվան հետ: Նեպերն իր առջև խնդիր էր դրել բազմապատկ-ման և բաժանման գործողությունները փոխարինել գումարման և հան-ման գործողություններով: Նրան հաջողվեց իրականացնել իր մտա-հղացումը, ինչի հիմքում ընկած էր աստիճանի հետևյալ հատկությունը. կամայական իրական դրական թվի և , իրական թվերի համար տեղի ունի հետևյալը՝ ∙ = : Իսկ թիվն ինչպե՞ս ներկայացնել տեսքով: Իր աշխատանքում Նեպերը 1–ից տարբեր և = պայ-մանին բավարարող թվի համար –ն անվանեց թվի լոգարիթմ հիմքով: Նա նաև ներկայացրեց 10 հիմքով ութանիշ լոգարիթմական աղյուսակ: Անշուշտ, Նեպերի լոգարիթմը այսօրվա տեսքը չուներ և լո-գարիթմական աղյուսակը բավականին անճշտություններ ուներ, բայց նրա հայտնագործությունը հեղաշրջում առաջացրեց մաթեմատիկայում: Լոգարիթմի հասկացության հետագա զարգացման և պարզեցման հար-ցում իրենց ներդրումն ունեցան շատ մաթեմատիկոսներ, որոնցից են Ջոն Սպայդելը, Պյոտր Մենգոլին, Վ. Մ. Բրադիսը և այլն (մանրամաս-ները տես [1]):

Մոտիվացիայի այս երկրորդ փուլը ներկայացնելուց հետո, ես անցնում եմ լոգարիթմի ճշգրիտ սահմանմանը և համապատասխան օրինակների դիտարկմանը:

Նյութի մատուցման նման մոտեցումը հնարավորություն է տալիս ներգրավել մաթեմատիկական գեղեցիկի մի շարք սուբյեկտիվ հատ-կանիշներ: Այստեղ լիարժեք դրսևորվում են ունեն մաթեմատիկական

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

37

գեղեցիկի բարդ ու դժվարին խոչընդոտների հաղթահարման, անկան-խատեսելիության և որոշ այլ սուբյեկտիվ հատկանիշներ:

Լիարժեք են դրսևորվում նաև մաթեմատիկական գեղեցիկի որոշ օբյեկտիվ հատկանիշներ: Ընդհանրապես հասկացության ուսումնա-սիրման նկատմամբ հետաքրքրությունը, նրա գեղագիտական գրավչու-թյունը մեծապես կախված է նաև դրա կիրառական նշանակությունից, օգտակարությունից: Վերը ներկայացված պատմական ակնարկում ներ-կայացվում է լոգարիթմների դերը բարդ հաշվարկների պարզեցման հարցում, ինչը խոսում է մաթեմատիկայում և մարդու կյանքում լոգա-րիթմների օգտակարության, ինչպես նաև մաթեմատիկական գեղե-ցիկի՝ բարդը պարզին հանգեցնելու գեղագիտական հատկանիշի դրսևորման մասին: Օգտակարության գեղագիտական հատկանիշը սերտորեն կապվում է նաև կիրառելիության հետ: Ինչ վերաբերում է լոգարիթմների կիրառելությանը, ապա նշենք, որ լոգարիթմները լայն կիրառություն ունեն բնության մեջ, բանկային գործում, աստղա-գիտության, կենսաբանության և այլ բնագավառներում: Բերենք լոգա-րիթմների կիրառության մի քանի օրինակ:

Պատկերացնենք՝ բանկում ներդրել ենք 1000 $ գումար 12% տոկոսադրույքով և ցանկանում ենք իմանալ, թե քանի տարի անց մեր գումարը կկրկնապատկվի: Մեկ տարի անց մենք կունենանք՝ 1000 + 1000 ∙ = 1000 ∙ 1 + : Գումարը ներդնելուց երկու տարի անց կունենանք՝ 1000 + 1000 ∙ + 1000 + 1000 ∙ ∙ = 1000 ∙ 1 + :

n տարի անց կունենանք՝ 1000 ∙ 1 + : Մեր խնդիրն է գտնել n-ի այն արժեքը, որի դեպքում մեր գումարը կդառնա 2000$. 2000 = 1000 ∙ 1 + , 2 = 1 + = log , 2 = , ≈ 6,11 :

Այսպիսով մեր նախընտրած գումարը կունենանք 6 տարի անց; Լոգարիթմները իրենց կիրառությունն ունեն նաև ձայնի ուժգնու-

թյան, երկրաշարժի ուժգնության որոշման, եղանակի կանխատեսման, հնագիտական պեղումների ժամանակ գտնված մասունքների տարիքի որոշման ժամանակ և շատ այլ կարևոր բնագավառներում:

38

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

Որոշ բնագավառներում լոգարիթմները իրենց կիրառությունն են ունենում լոգարիթմական պարուրագծի տեսքով: Լոգարիթմական պարուրա-գիծը հսկայական կիրառություն ունի բնության մեջ, աստղագիտության բնա-գավառում և տեխնիկայում: Ստորև նման մի քանի կիրառություններ ներ-կայացված են նկարների տեսքով:

Լոգարիթմական պարուրագիծը բնության մեջ

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

39

Լոգարիթմական պարուրագիծը աստղագիտության մեջ

Դասի վերջին հատվածում, երբ նոր հասկացությունը ներմուծ-ված է, համապատասխան վարժությունները լուծված, աշակերտների <<մտքի լարվածությունը>> թուլացնելու համար ես գրատախտակին ներկայացնում եմ լոգարիթմների հետ առնչվող որևէ զվարճալի վար-ժություն: Ահա նման օրինակ.

Ապացուցենք, որ 2 > 3: Ունենք, որ 1/4 > 1/8, հետևաբար ունենք նաև 1/2 > 1/2 : Այդ անհավասարության երկու մասերը լոգարիթ-մենք 10 հիմքով, արդյունքում կունենանք՝ 2 log > 3 log : Բա-

ժանելով անհավասարության երկու մասերը log թվի վրա՝ կստա-նանք 2 > 3: Աշակերտները պետք է կարողանան գտնել սխալը:

Գրականություն

1. Միքայելյան Հ. Ս., Գեղեցիկը, մաթեմատիկան և կրթությունը. Մաս

II: Գեղեցիկը և մաթեմատիկայի կրթության ներուժը/ Հ. Ս. Միքայելյան Եր.: Էդիթ Պրինտ, 2015, 440 էջ:

2. Գևորգյան Գ. Գ., Սահակյան Ա. Ա., Հանրահաշիվ և մաթեմատի-կական անալիզի տարրեր: Հանրակրթ. դպր. 11-րդ դաս. դասագիրք (ընդհանուր և հումանիտար հոսքերի համար) – Եր.: Էդիթ Պրինտ. 2010 – 128 էջ

40

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

ОБ ЭСТЕТИЧЕСКОЙ ПРИВЛЕКАТЕЛЬНОСТИ ОБУЧЕНИЯ ПОНЯТИЯ ЛОГАРИФМА

Наре Казарян Резюме

В статье рассматривается проблема эстетической привле-кательности обучения понятия логарифма. В качестве таких средств выступают неожиданность, непредвиденность, интеллектуальное отыскание, преодоление трудных препятствий и другие субъективные признаки математического прекрасного, а также симметрия, простота и некоторые другие объективные признаки математического прекрасного.

ON THE CONCEPT OF LEARNING AESTHETIC APPEAL

OF THE LOGARITHM Narе Ghazaryan

Summary

The article is about the problem of the aesthetic appeal of the concept of training the logarithm. As these funds are the surprise, the unpredictability, the search for intellectual, overcoming difficult obstacles and other subjective symptoms of mathematical beauty, and symmetry, prostate and some other signs of an objective mathematical beauty.

Նարե Ղազարյան - ՀՊՄՀ հայցորդ, Քաջարանի թիվ 2 միջնակարգ դպրոց

Հեռախոս՝ 077 72 84 06 Էլ. hասցե` knare1990@mail.ru

41

ԵՐԵԽԱՆԵՐԻ ՍՏԵՂԾԱԳՈՐԾԱԿԱՆ ՄՏՔԻ ԶԱՐԳԱՑՈՒՄԸ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅԱՆ

ԴԱՍԱՊՐՈՑԵՍԻ ԸՆԹԱՑՔՈՒՄ ՄԻՋԻՆ ԴՊՐՈՑՈՒՄ

Գոհար Աբրահամյան

Բանալի բառեր - ստեղծագործ միտք, տրամաբա-նություն, գեղագիտական ճաշակ, ապացույցներ կա-տարելու կարողություն, ինքնուրույն խնդիր կազմել, ուսուցչի փորձ և հմտություն, երկրաչափության ուսուցում

Երեխաների ստեղծագործ մտքի զարգացումը երկրաչափության դասապրոցեսի հիմնական ձեռքբերումն է: Գաղտնիք չէ, որ երեխաների հետաքրքրությունը երկրաչափական խնդիրների նկատմամբ մեծանում է, եթե նրանք ճիշտ են ընկալում երկրաչափական պատկերները, նրանց հատկությունները, փոխադարձ կապերը: Խնդրի ճշգրիտ գծագիրը և պայմանների շարադրումն արդեն իսկ խնդրի լուծման կեսից ավելին է: Ուսուցչի կողմից այս ամենի ապահովումն օգնում է երեխաներին հաս-կանալ խնդրի լուծման ուղիները: Ինչպես նկատել էր մեծն Էյնշտեյնը՝ խնդրի պայմանների ճշգրիտ ձևակերպումն ավելի կարևոր է, քան նույնիսկ՝ դրա լուծումը: Այսպիսով, խնդրի գծագրի և պայմանների ճշգրիտ ու մանրամասն շարադրումը խնդրի լուծման գրավականն է: Այդ ժամանակ խնդիրը վերածվում է մի հետաքրքիր հանելուկի, որի լուծ-մանը շահագրգիռ են բոլոր երեխաները: Հասկանալի է, իհարկե, որ ավելի շուտ կկողմնորոշվեն այն երեխաները, ովքեր ավելի լավ են տի-րապետում ուսումնասիրվող թեմային: Խնդիրը լուծելուց հետո կարելի է երեխաներին առաջարկել նույն խնդիրը` փոփոխված տվյալներով ու հարցով: Այդ ժամանակ խնդիրը կարողանում են լուծել ավելի շատ թվով

42

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

աշակերտներ, նաև նրանք, ովքեր սկզբնական խնդիրը չէին կարողա-ցել լուծել: Ցանկալի արդյունքի հասնելու համար սկզբնական խնդիրը լուծելուց հետո պետք է նշել լուծման ընթացքը, մեթոդները: Այդ դեպքում նույնիսկ թեմային ոչ լիարժեք տիրապետող աշակերտները հասկանում են խնդրի լուծման ընթացքը: Եվ երբ առաջադրվում է նույն գծագրով, բայց փոփոխված տվյալներով մեկ այլ խնդիր, նրանք արագ կողմնորոշ-վում են և լուծում խնդիրը:

Այս ամենի արդյունքում երեխաների մոտ առաջանում է հե-տաքրքրություն երկրաչափական պատկերների, նրանց հատկություն-ների և առհասարակ` երկրաչափություն առարկայի նկատմամբ: Խնդի-րը դառնում է միջոց երկրաչափական փաստերի արդյունավետ ուսուց-ման համար: Դրանով ուսումնական գործընթացի ուղղվածությունը փոխվում է. անցում է կատարվում ոչ թե տեսությունից դեպի խնդիր, այլ հակառակը` խնդրից դեպի տեսություն: Դրա համար երեխաները պետք է սովորեն առանց սխալվելու վախի արտահայտել իրենց մտքերը, կար-ծիքը, հույզերը, որին նպաստում է անընդհատ ուսուցումը, իրավիճակի մանրամասն վերլուծությունը, տրամաբանությունը: Իսկ տրամաբանու-թյան զարգացման ամենաարդյունավետ դաշտը մաթեմատիկայի, հատկապես, երկրաչափության դասապրոցեսն է: Այդ ամենի շնորհիվ կբարձրանա ուսուցման արդյունավետությունը, կբացահայտվեն երե-խայի կարողություններն ու հմտությունները, ինչն էլ երեխային թույլ կտա ոչ միայն կուտակել գիտելիքներ, այլև կարողանալ դրանցից արդ-յունավետ կերպով օգտվել կյանքում:

Ինչպես ասել է ամերիկացի մեծ մանկավարժ ու փիլիսոփա Ջոն Դյուին՝ «Երեխաների մտքի զարգացման ու գիտելիքների աճին զուգըն-թաց դասը դադարում է լինել միայն հաճելի զբաղմունք. այն վերածվում է միջոցի, ձևի, գործիքի՝ գիտելիքների ձեռք բերման գործընթացում»:

Այսպես, օրինակ` 7-րդ դասարանում, երբ ուսումնասիրվում էր «Եռանկյան միջնագիծ, կիսորդ, բարձրություն» թեման, հաջորդ դասին աշակերտներից մեկը` Ավետիսյան Գոռը ներկայացրեց իր կազմած հետևյալ կառուցման խնդիրը.

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

43

Խնդիր 1.

Կառուցել երկու եռանկյուններ այնպես, որ նրանք ունենան մեկ ընդհանուր միջնագիծ, կիսորդ, բարձրություն:

Խնդրի ձևակերպումը լսելուց հետո իմ կողմից կատարվեց հե-տևյալ հարցադրումը. մեկ ընդհանուր միջնագիծ, կիսորդ, բարձրություն ասելով Գոռը նկատի ունի երեք տարբե՞ր գծեր, թե՞ այդ երեքը պետք է ներկայացվեն մեկ հատվածով: Գոռը պատասխանեց, որ այդ երեք գծերն էլ մի գագաթից ելնող մեկ հատված են հանդիսանում: Դրանից հետո խնդիրը դարձավ հասկանալի և երեխաները, մեկը մյուսին օգնե-լով, սկսեցին մեծ հետաքրքրություն ցուցաբերել խնդիրը լուծելու հա-մար:

Անշուշտ, ես խրախուսեցի Գոռի` ինքնուրույն խնդիր կազմելու նախաձեռնությունը: Ավելին, իմ մոտ միտք հղացավ` մի՞թե ուսուցման խթան չի հանդիսանա, եթե աշակերտներին ուղղորդվի խնդիր կազմե-լու փորձեր կատարելուն: Դրան առաջինն արձագանքեց Գոռը: Ահա նրա կազմած մյուս խնդիրները.

Խնդիր 2.

С ուղիղ անկյունով АВС եռանկյան С գագաթով տարված է АВ ներքնաձիգին զուգահեռ СD ուղիղը: Ապացուցել, որ АВС եռանկյունը հավասարասրուն եռանկյուն է, եթե <АСD=135°:

Խնդիր 3.

a և b զուգահեռ ուղիղների միջև հեռավորությունը 5,5 սմ է: a ուղղին պատկանող А կետից տարված АС թեքը 11սմ է: Գտնել АС թեքի և b ուղղի կազմած սուր անկյունը:

Ինչպես ասում են` լավ օրինակը վարակիչ է: Հաջորդ դասերին ևս երկու աշակերտներ ներկայացրեցին իրենց կազմած խնդիրները.

44

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

Խնդիր 4.

АС հիմքով հավասարասրուն եռանկյան հիմքի հանդիպակաց անկյունը 40° է: А գագաթից տարված են АМ կիսորդը և АН բարձրու-թյունը: Գտնել АМН եռանկյան անկյունները:

Խնդիր 5.

Տարված են a և b զուգահեռ ուղիղներն ու b և с զուգահեռ ուղիղ-ները: d ուղիղը հատում է a, b, с ուղիղները համապատասխանաբար А, Օ, В կետերում: А կետից b ուղղին տարված է АА₁ ուղղահայացը, իսկ В կետից b ուղղին`ВВ₁ ուղղահայացը: Ապացուցել, որ АՕА₁ եռանկյունը հավասար է ВՕВ₁ եռանկյանը, եթե a և b, b և с ուղիղների հեռավորու-թյունները հավասար են:

Երեխաները շատ մեծ ոգևորությամբ ու հետաքրքրությամբ լուծե-ցին իրենց ընկերների կազմած խնդիրները: Փաստորեն, հաստատվեց իմ այն ենթադրությունը, որ դասարանի աշակերտները ավելի մեծ հե-տաքրքրություն են ցուցաբերում իրենց դասընկերոջ կազմած խնդիր-ների, քան դասագրքից վերցրած խնդիրների նկատմամբ: Այսպիսով խնդիր կազմելը դարձավ աշակերտների ուսումնական գործունեության կարևոր բաղադրիչ: Դրանից հետո փոխվեց նրանց վերաբերմունքն առարկայի հանդեպ. նրանք սկսեցին ավելի ինքնավստահորեն լուծել խնդիրները, աշխատել ինքնուրույն,փորձել գտնել այլընտրանքային լու-ծումներ: Իսկ դրա կրթական նշանակությունն այն է, որ երկրաչափու-թյան միջոցով կարգավորվում է երեխայի մտավոր գործունեությունը, զարգանում է նրա երևակայությունը, և հետևապես՝ զարգանում է նաև նրա ստեղծագործական կարողությունը, քանի որ առհասարակ ստեղ-ծագործական գործընթացի հինքում ընկած է հենց երևակայությունը:

Երեխայի ստեղծագործ մտքի զարգացմանը համանման ձևով մեծապես նպաստում է նաև թեորեմի ապացույցը: Պետք է երեխային սովորեցնել թեորեմ ապացուցել, այնպես, որ նրա մոտ ձևավորվեն ինքնուրույն ապացույցներ կատարելու կարողություններ ու հմտու-թյուններ:

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

45

Այսպես, օրինակ` 7-րդ դասարանում ուսուցիչը ձևակերպում է հատվածի միջնուղղահայացի և անկյան կիսորդի վերաբերյալ հետևյալ թեորեմները.

1. Հատվածի միջնուղղահայացի ցանկացած կետ հավասարահեռ է այդ հատվածի ծայրակետերից:

2. Անկյան կիսորդի ցանկացած կետ հավասարահեռ է այդ անկյան կողմերից:

Այնուհետև երեխաները կատարում են համապատասխան գծա-գրերը և փորձում լուծել դրանք` որպես ապացուցման խնդիրներ: Այս թեորեմները երեխաներն ապացուցում են ինքնուրույն (խմբերով)` օգ-տագործելով առաջացած պատկերների վերաբերյալ իրենց գիտելիք-ները:

Այստեղ գլխավորը ոչ թե սոսկ այս կամ այն թեորեմի ապացույցն է, այլ երեխայի մոտ ինքնուրույն ապացուցումներ կատարելու կարողու-թյունների ու հմտությունների ձևավորումը: Նույնը կարելի է ասել նաև խնդրի լուծման մասին: Խնդիրներ լուծելու, ինքնուրույնաբար ապա-ցույցներ կատարելու այս գործընթացը երեխայի մոտ արթնացնում է վճիռներ կայացնելու, վերլուծելու, ստեղծագործելու կարողություններ, ինչն էլ կարելի է համարել այս գործընթացի գլխավոր նպատակը:

Այստեղ շատ կարևոր է ուսուցչի ստեղծագործ մոտեցումը, որի էությունը կայանում է նրանում, որ նա այդ ամենն աշակերտի համար դարձնի հասանելի, վստահություն ներշնչի իր գիտելիքների և կարո-ղությունների նկատմամբ: Այսպես, օրինակ` որևէ խնդիր լուծելուց հետո ուսուցիչն առաջարկում է երեխաներին մտածել և գտնել լուծման այլ եղանակներ: Դա շարժում է երեխաների հետաքրքրությունը և նրանք սկսում են մտածել, փնտրել լուծման այլ մոտեցումներ, ինչն էլ իր հերթին նպաստում է նրանց ստեղծագործական մտքի զարգացմանը:

Այսպիսով, երեխային պետք է ժամանակ ու հնարավորություն տալ ինքնուրույն հանգելու խնդրի լուծմանը և կատարելու եզրակա-ցություն: Այս դեպքում նրանք ինքնուրույն կգան այն եզրակացության, որ նախևառաջ պետք է տիրապետել պատկերների սահմանմանը և

46

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

հատկություններին, որպեսզի հետո հնարավոր լինի լուծել դրանց վերա-բերյալ խնդիրները:

Երկրաչափության դասընթացը զարգացնում է անձի ստեղծա-գործական և մտավոր կարողությունները, իսկ երկրաչափական մտա-ծելակերպն օգնում է նաև այլ առարկաներ ուսումնասիրելիս:

Խնդիրների լուծման գործընթացում կարևորվում է նաև ճիշտ ու հստակ խոսքը: Լուծման ցանկալի ելքը կախված է նաև այն հանգա-մանքից, թե ինչպես է կատարվում խնդրի ձևակերպումն ու հարցա-դրումը: Երեխաները սովորում են ճիշտ շարադրել և արտահայտել սեփական մտքերը:

Ստեղծագործ մտքի զարգացմանը զուգահեռ զարգանում է նաև երեխայի գեղագիտական ճաշակը, գեղեցիկը ճանաչելու և գնահատելու կարողությունը:

Այդ կարողությունները զարգացնելու միջոց է հանդիսանում, օրինակ, նույն թեորեմի տարբեր ապացույցներ գտնելը կամ միևնույն խնդրի՝ տարբեր եղանակներով լուծումը: Բերենք շատ հասարակ մի օրինակ՝ գծել ցանկացած քառակուսի և ստվերագծել նրա ճիշտ կեսը: Մի քանի ակնհայտ լուծում տեսնելուց հետո կարելի է երեխաներին առաջարկել մեկ ոչ ստանդարտ լուծում՝ ենթադրենք, քառակուսին զիգզագաձև կիսելով, և երեխաներն իրենք արդեն կգտնեն այլընտրան-քային բազմաթիվ ու զարմանալի լուծումներ:

Այսպիսով, կարելի է եզրակացնել, որ ելնելով իրադրությունից, օգտագործելով իր փորձն ու հմտությունները, հաշվի առնելով աշա-կերտների առանձնահատկություններն ու կարողությունները, ուսուցիչը պետք է փնտրի խնդրի լուծման այլ մոտեցումներ, օգտագործի նոր տեխնոլոգիաներ: Ընդ որում, ուսուցման նոր մեթոդների և հնարների որոնումները արդյունավետ կլինեն, եթե պարբերաբար կազմակերպվեն փորձի հաղորդակցում և փոխանակում ուսուցիչների միջև, մասնավո-րապես, դասընթացի վարման նոր մոտեցումներն ու ստացվող արդ-յունքները պետք է քննարկվեն առարկայական մեթոդ-միավորման նիստերի ժամանակ:

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

47

Երկրաչափության ուսուցումը ոչ միայն ապահովում է աշակերտ-ներին անհրաժեշտ գիտելիքների ձեռքբերում և դրանք կիրառելու հմտություններ, այլև նրանց մոտ զարգացնում է տրամաբանական և ստեղծագործական ճկուն միտք:Երեխաների ստեղծագործական մտքի դրսևորումը դասից դաս և թեմայից թեմա ավելի ակնառու է դառնում, ինչից կարելի է եզրակացնել, որ դասը երեխայի համար դարձել է ոչ թե պարտադրված, այլ՝ ցանկալի ու հետաքրքիր: Իսկ դրան կհաջորդի առաջադիմության մակարդակի բարձրացումը: Այս ամենի մեջ շատ կարևոր է ուսուցչի դերը, նրա՝ ճիշտ ու ժամանակին կողմնորոշվելու կարողությունը, ինչպես նաև՝ նրա գիտելիքները, փորձն ու հմտությունը:

Գրականություն

1. Հանրակրթության պետական կրթակարգ, Անտարես, 2004 2. Աթանասյան Լ. Ս. և ուրիշներ, երկրաչափություն-7, դասագիրք,

Զանգակ, 2011 3. Հակոբյան Ս. Է., Երկրաչափություն 7-9, ուսուցչի ձեռնարկ,

Զանգակ, 2011 4. Միքայելյան Հ. Ս., Գեղեցիկը և մաթեմատիկայի կրթական ներուժը,

Էդիթ-Պրինտ, 2015

Развитие творческих и умственных способностей учеников во время уроков геометрии в средней школе

Г. Л. Абраамян Резюме

В статье рассматривается идея, что преподаватель, используя свой опыт и профессиональные навыки, должен работать в том направлении, чтобы процесс обучения служил развитию творческих и умственных способностей учащихся, что и в конечном итоге есть основная цель обучения. С этой целью одним из всевозможных методов, который опысивается в статье, заключается в составлении и рассмотрении задач учениками во время уроков.

48

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

The development of children's creativity during geometry classes in the middle school

G.L.Abrahamyan Summary

The idea of this article is that the teacher by using his experience

and skill in the study process it becomes process of development creative mind for children, which is the real purpose of learning. For this purpose one of the numerous methids which is covered in this article guide student to make tasks and cindider that tasks in classes.

Գոհար Լևուշի Աբրահամյան - Երևանի թիվ 69 հիմնական դպրոց, մաթեմատիկայի ուսուցիչ Հեռախոս` 093 052 564 Էլ. հասցե` abrahamyan_69@inbox.ru

49

ԽՄԲԱՅԻՆ ՀԵՏԱԶՈՏՈՒԹՅՈՒՆ «ՎԱՐԿԵՐ» ԹԵՄԱՅՈՎ

Շուշան Վարդանյան

Բանալի բառեր - հետազոտություն, համագործակցու-թյուն, վարկ, տոկոսադրույք, մարմում, բանաձև, կանխա-վճար, միջնորդավճար, սուբսիդավորում, ժամկետանց վարկ, տույժ, վերլուծություն, գնահատում

Խմբային հետազոտություն մեթոդի կիրառումը ակնկալում է սովո-րողների ինքնուրույն, ուղղորդված աշխատանք, որի ընթացքում զարգա-նում են նրանց համագործակցային աշխատանքի հմտությունները, խո-րությանբ յուրացնում են ուսումնասիրվող նյութը, զարգանում են հա-մակարգված աշխատելու կարողությունները, սովորողների վերլուծական մտածողությունը: «Վարկեր» թեմայի ընտրությունը պայմանավորված է դրա արդիականությամբ: Գրեթե բոլոր ընտանիքներն առնչվում են այս խնդրի հետ և բազմապիսի առաջարկներից պետք է ընտրեն մեկը:

Խմբային հետազոտությունն անցկացրել եմ 11-րդ դասարանի տնտեսագիտական հոսքի սովորողների հետ: Աշխատանքի արդյունքում ակնկալում էի, որ սովորողները՝ - կարժևորեն մաթեմատիկական գիտելիքների կիրառական նշանա-

կությունը, - ձեռք կբերեն համագործակցաին աշխատանքի փորձ, - կհետազոտեն իրական խնդիր. կիմանան տվյալ բանկը ի՞նչ տեսակի

վարկեր է տրամադրում և ի՞նչ պայմաններով, կհաշվարկեն վարկի մարման ո՞ր ձևն է ավելի ձեռնտու և այլն,

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

50

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

- կօգտվեն համացանցից, կշփվեն բանկի աշխատակիցների հետ, կքննարկեն և կդասակարգեն հավաքած տեղեկությունները, որի արդ-յունքում կզարգանան սովորողների սոցիալական հմտությունները, ճիշտ հարցադրումներ անելու և վերլուծելու կարողությունները,

- ձեռք կբերեն հմտություններ, որոնք հետագայում կկիրառեն նմա-նատիպ խնդիրների լուծման ժամանակ,

- աշխատանքի ընթացքում կհամոզվեն իրենց ապագա մասնագիտու-թյան ընտրության հարցում:

Աշխատանքային խմբերը բաղկացած էին 4-5 սովորողներից: Խմբերը տարասեռ էին: Առաջադրանքը հետևյալն էր.

Յուրաքանչյուր խումբ ընտրում է մեկ բանկ և ուսումնասիրում է այդ բանկի կողմից տրամադրվող բոլոր տեսակի վարկերը, դրանց մարման ձևերը, տույժերը և այլն:

Նախապատրաստական փուլում խմբերը մշակեցին և ներկայաց-րեցին իրենց տեսակետները աշխատանքի կատարման ժամանակացույցի, աշխատանքային կանոնների, աշխատանքների ներկայացման ձևի և կատարվելիք աշխատանքների գնահատման չափանիշների վերաբերյալ: Ընդհանուր քննարկման արդյունքում որոշեցին. - Հետազոտության կատարման համար տրամադրելու են 5-6 շաբաթ, - Արդյունքների նախապատրաստման, ներկայացման և գնահատման

համար՝ 2 շաբաթ, - Աշխատանքի բոլոր փուլերի ընթացքում սովորողները համագործակ-

ցում են ոչ միայն խմբի ներսում, այլ նաև մյուս խմբերի հետ (առա-ջացած ընդհանուր հարցերի քննարկում, լուծման ուղիների որոնում),

- Աշխատանքի արդյունքները ներկայացնելու են տեղեկատվական տեխնոլոգիաների միջոցով և այնտեղ ամփոփված նյութի վերլուծու-թյամբ,

- Գնահատվելու է ոչ միայն վերջնական արդյունքը, այլ նաև գործըն-թացը (արդյո՞ք խումբը համագործակցված էր աշխատում, որքանո՞վ էին հստակեցված խնդիրները, արդյո՞ք ժամանակը ճիշտ տնօրինվեց և կատարված հետազոտությունը ամբողջական էր, որքանո՞վ յուրա-ցվեց նյութի բովանդակությունը): Խմբերը պլանավորեցին իրենց աշխատանքները, կատարեցին աշխա-տանքի բաժանում:

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

51

Ստորև կներկայացնեմ խմբերի կատարած աշխատանքներից մի քանի օրինակներ: Առաջին խումբը ուսումնասիրում էր Ա (Ակբա-կրեդիտ ագրիկոլ բանկ) բանկի տրամադրած վարկերի տեսակները: . Առանց գրավի սպառողական վարկեր . Գրավով սպառողական վարկեր . Վարկային գծեր . Վարկեր բնակարանի համար

Վարկեր բնակարանի համար - «Մատչելի բնակարան երիտասարդ ընտանիքներին»

Վարկի համար կարող է դիմել երիտասարդ ընտանիքը, որտեղ ամու-սիններից առնվազն մեկը 18-30 (ներառյալ) տարեկան, ռեզիդենտ ՀՀ քաղաքացի է, և ամուսինների գումարային տարիքը չի գերազանցում 60-ը, կամ 18-30 (ներառյալ) տարեկան, ռեզիդենտ ՀՀ քաղաքացի հան-դիսացող միայնակ ծնողը,

Վարկերը տրամադրվում են ՀՀ դրամով 10,5% տարեկան տակասա-դրույքով: Վարկերի տոկոսների մարմանն ուղղված գումարները սուբսիդավորվում են ՀՀ ֆինանսների նախարարության կողմից 2 տոկոսային կետով, եթե ձեռք բերվող բնակարանը գտնվում է Երևան քաղաքում, և 4 տոկոսային կետով, եթե ձեռք բերվող բնակարանը գտնվում է Երևան քաղաքից դուրս,

Հիփոթեքային վարկի համար վարկային հաշվի բացման, վարման և սպասարկման նպատակով վարկի տրամադրման պահին հաճախորդից գանձվում է միջնորդավճար՝ վարկի գումարի 1%-ի չափով,

Կանխավճարը սահմանվում է ձեռք բերվող բնակելի անշարժ գույքի վաճառքի գնի նվազագույնը 30%-ի չափով: Նվազագույն կանխավճար կարող է սահմանվել ձեռք բերվող բնակելի անշարժ գույքի վաճառքի գնի 10%-ը, եթե ձեռք բերվող բնակելի անշարժ գույքը գտնվում է Երևան քաղաքից դուրս, և դրանից բացի գրավադրվում է նաև վարկառուին (համավարկառուին) պատականող այլ բնակելի անշարժ գույք,

Վարկի մարումները սահմանվում են հավասարաչափ ամսական մասե-րով կամ վարկի մայր գումարի հավասարաչափ մասերով՝ յուրաքանչյուր ամիս նախատեսելով տոկոսագումարների և վարկի մասնակի մարում-ներ,

52

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

Վարկի տոկոսագումարը հաշվարկվում է վարկի նվազող մնացորդի նկատմամբ,

Վարկի առավելագույն ժամկետը-120 ամիս, Վարկի նվազագույն գումարը- 1.000.000 ՀՀ դրամ Վարկի առավելագույն գումարը- 11.200.000 ՀՀ դրամ, Վարկի տարեկան տոկոսադրույքը – 10,5%, Գնվող անշարժ գույքի ձեռք բերման առավելագույն արժեքը-16,000,000

ՀՀ դրամ, Գնվող անշարժ գույքի առավելագույն գնահատված արժեքը-16,500,000

ՀՀ դրամ: Ենթադրենք բնակարանը, որը պետք ձեռք բերի երիտասարդ ընտանիքը, գտնվում է Արմավիրում և արժե 10մլն. դրամ և վարկառուն բավարարել է 10% կանխավճար կատարելու համար անհրաժեշտ պայմանները: Վարկի գումար 10.000.000դր. Ամիս 120 Տոկոսադրույք 10,5% (որից 4% պետ. սուբսիդավորում) Ժամկետ 10 տարի Կանխավճար 1.000.000դր Միջնորդավճար 100.000դր Ամսեկան հավասարաչափ մարման սխեմա Վարկի ամսեկան վճարումը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով.

= ∙ ∙

Որտեղ՝ −ը n-րդ ամսին վճարման ենթակա գումարն է, –ը՝ վարկի մնացորդը,

–ը՝ ամսեկան տոկոսադրույքը (այս դեպքում = , = 0,875% ), -ը՝ մարումների քանակը (առաջին ամսին =120, n-րդ ամսին՝ = 120 − − 1 ): Վարկի տոկոսագումարը հաշվարկվում է վարկի նվազող մնացորդի նկատմամբ` ∙ : Առաջին ամսին վարկի մնացորդը 10 դրամ է,

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

53

վճարման ենթակա գումարը՝ = 134935դր., տոկոսագումարը՝ 10 ∙ , = 87500դր., վարկի գումարի մարում՝ 134935-87500=47435դր, ՀՀ ֆինանսների նախարարության կողմից սուբսիդավորվում է ամսեկան տոկոսագումարի , մասը՝ 87500 ∙ , = 33333դրամ Ընդամենը վճարում՝ 134935-33333=101602դրամ:

Ամիսներ

Վարկի մնացորդ

Տոկոսագումար

Վարկի գումարի մարում

Վճարման ենթակա գումար

Պետ . սուբ-սիդա-վորում

Ընդամենը վճարում

1 10000000 87500 47435 134935 -33333 101602 2 9952565 87085 47850 134935 -33175 101760 3 9904715 86666 48269 134935 -33016 101919 ..... ..... 119 266369 2331 132604 134935 -888 134047 120 133765 1170 133765 134935 -446 134489 121 0 0 134935 134935 0 134935 ընդամենը

6192200 10134935 16327135 -2358933 13968202

Մայր գումարի հավասարաչափ մարման սխեմա Վարկի ամսեկան վճարումը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով.

= ∙ + որտեղ՝

−ը n-րդ ամսին վճարման ենթակա գումարն է, -ը վարկի մնացորդն է,

–ը՝ ամսեկան տոկոսադրույքը (այս դեպքում = , = 0,875% ), -ն վարկի գումարը (այս դեպքում = 10 դրամ):

Վարկի տոկոսագումարը հաշվարկվում է վարկի նվազող մնացորդի նկատմամբ:

Առաջին ամսին վարկի մնացորդը 10 դրամ է, տոկոսագումարը՝ 10 ∙ , = 87500դր,

վարկի գումարի մարում՝ = =83333դրամ,

54

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

վճարման ենթակա գումարը՝ = 87500 + 83333 = 170833դր, ՀՀ ֆինանսների նախարարության կողմից սուբսիդավորվում է

ամսեկան տոկոսագումարի , մասը՝ 87500 ∙ , = 33333դրամ Ընդամենը վճարում՝ 170833-33333=137500դրամ:

Ամիսներ Վարկի մնացորդ

Տոկոսա -գումար

Վարկի գումարի մարում

Վճար-ման ենթակա գումար

Պետ . սուբսի- դավո-րում

Ընդա-մենը վճարում

1 10000000

87500 83333 170833 -33333 137500

2 9916667 86771 3333 170104 -33055 137049 3 9833333 86042 83333 169375 -32777 136598 .... 50 5916667 51771 83333 135104 19722 115382 .... 119 166667 1458 83333 84792 -555 84237 120 83333 729 83333 84063 -227 83836 121 0 0 83333 83333 0 83333 Ընդա-մենը

5293750 10083333 15377083 -2016666 13360416

Վարկառուն կարող է ընտրել վարկի մարման իրեն ձեռնտու տարբերակը: Երկրորդ դեպքում վարկառուն շահում է մոտավորապես 600.000 դրամ:

• 90 օրից ավել վարկի մարումները ուշացնելու և տարեկան ապահո-վագրությունը ժամանակին չկատարելու դեպքում վարկը համարվում է չորակավորված, տոկոսադրույքն այլևս չի սուբսիդավորվում, իսկ վարկի տոկոսադրույքը կարող է վերանայվել և սահմանվել տվյալ պահին հի-փոթեքային վարկերի շուկայական տոկոսադրույքի սահմաններում,

• Վարկը կարող է մարվել պայմանագրային ժամկետից շուտ, որի դեպ-քում, հաճախորդը վճարում է վարկի փաստացի ժամկետի համար հաշ-վարկված տոկոսագումարը, ինչպես նաև վարկի մարման գրաֆիկով նախատեսված ժամկետից շուտ մարվող վարկի կապիտալի 1%-ը:

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

55

Առանց գրավի սպառողական վարկեր Ուսման վարկեր

Ուսման վարկի վարկառու կարող է հանդիսանալ ուսումնական հաստա-տության ուսանողը, նրա ծնողները, ամուսինը, ամուսնու ծնողները, քույ-րերը, եղբայրները, քրոջ կամ եղբոր ամուսինը, ուսանողի ծնողների քույ-րերն ու եղբայրները և նրանց ամուսիններն ու երեխաները, ուսանողի տա-տերն ու պապերը: Կանխավճարի նվազագույն մեծություն չի նախատեսվում, Արժույթը - ՀՀ դրամ, Վարկի նվազագույն ժամկետը-3 ամիս, Վարկի առավելագույն ժամկետը-12 ամիս, Վարկի նվազագույն գումար սահմանված չէ, Վարկի առավելագույն գումարը– 1.000.000 ՀՀդրամ, Վարկի տարեկան տոկոսադրույքը – 20-22%, Վարկի մարումները – ամսական հավասարաչափ` յուրաքանչյուր ամիս

նախատեսելով տոկոսագումարների և վարկի մասնակի մարումներ, Վարկի տոկոսագումարը հաշվարկվում է վարկի նվազող մնացորդի

նկատմամբ, Վարկը տրամադրվում է առանց գրավի և առանց երաշխավորության, Եթե հաճախորդը չի ունեցել վարկային պատմություն կամ վերջին 12

ամիսների ընթացքում ունեցել է ավելի քան 30 օրացուցային օր ժամկե-տանց պարտավորություն(ներ) և/կամ հաճախորդը մինչև 25 տարեկան է, ապա ուսման վարկը տրամադրվում է մեկ անձի երաշխավորությամբ,

Երկու և ավել անգամներ Բանկից «Ուսման վարկ» ստացող վարկա-ռուներին վարկը տրամադրում է 20% տոկոսադրույքով, եթե նախորդ «Ուսման վարկ»-ի գծով ժամկետանց օրերի հանրագումարը չի գերա-զանցում 30 օրացուցային օրը,

Տոկոսագումարների հետ վերադարձ 20%-ի չափով՝ գերազանց առաջա-դիմության դեպքում,

Վարկի վաղաժամկետ մարման դեպքում տույժեր չեն գանձվում, Ուսման վարկի համար վարկային հաշվի բացման, վարման և սպա-

սարկման նպատակով վարկի տրամադրման պահին հաճախորդից գանձվում է միջնորդավճար՝ վարկի գումարի 2%-ի չափով: Դիտարկենք երկու դեպք՝ 500.000դր. 6 ամիս ժամկետով և

1.000.000դր. 12 ամիս ժամկետով:

56

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

Վարկի ամսեկան վճարումը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով.

= ∙ ∙ , որտեղ՝ −ը n-րդ ամսին վճարման ենթակա գումարն է, –ը՝ վարկի մնացորդը,

–ը՝ ամսեկան տոկոսադրույքը (այս դեպքում = = 1,8333% ), -ը՝ մարումների քանակը (առաջին ամսին =6, n-րդ ամսին՝ = 6 −− 1 ): Վարկի տոկոսագումարը հաշվարկվում է վարկի նվազող մնացորդի նկատմամբ` ∙ :

I դեպք. 500000դր., 6 ամիս ժամկետով՝ Առաջին ամսին վարկի մնացորդը 500000 դրամ է, տոկոսագումարը՝ 500000 ∙ , = 9167դր., վարկի գումարի մարում՝ 88761-9167=79595դր., Ընդամենը վճարում՝ = 88761դր.:

Ամիսներ Վարկի մնացորդ Տոկոսագումար Վարկի գումարի մարում

Ընդամենը վճարում

1 500000 9167 79595 88761

2 420405 7707 81054 88761

3 339351 6221 82540 88761

4 256811 4708 84053 88761

5 172758 3167 85594 88761

6 87163 1598 87164 88761

ընդամենը 32568 500000 532566

Միջնորդավճար՝ 10000դր Ընդամենը 542.566դր.

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

57

II դեպք. 1000000դր., 1 տարի ժամկետով՝ Օր.՝ երրորդ ամսին վարկի մնացորդը 848098 դրամ է, = ∙ ∙ =93593դր.,

որից՝ տոկոսագումարը կլինի՝ 848098∙ , = 15548դր., վարկի գումարի մարում՝ 93593-15548=78046դր.:

Ամիսներ Վարկի

մնացորդ Տոկոսագումար Վարկի

գումարի մարում

Ընդամենը վճարում

1 1000000 18333 75261 93594

2 924739 16954 76641 93594

3 848098 15548 78046 93594

12 91909 1685 91909 93594

ընդամենը 123133 1000000 1123128

Միջնորդավճար՝ 20.000դր Ընդամենը 1.143.128դր. Համեմատելով երկու դեպքերը, աշակերտները նկատեցին առաջինի ակն-հայտ առավելությունը: Դա հիմք հանդիսացավ եզրակացնելու, որ ուսման վճարը ցանկալի է վճարել յուրաքանչյուր կիսամյակի համար առանձին):

Երկրորդ խումբը ուսումնասիրում էր Ի (Ինեկոբանկ) բանկի տրա-մադրած վարկերի տեսակները: . Հիփոթեքային վարկեր . Սպառողական վարկեր . Գյուղատնտեսական վարկեր

58

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

. Քարտային վարկային գծեր

«Էներգաարդյունավետ» վարկեր Ի տարբերություն այլ վարկատեսակների` «էներգաարդյունավետ» վար-կերը տրամադրվում են այնպիսի ապրանքների ձեռքբերման կամ գործո-ղությունների իրականացման համար, որոնք արդյունքում հանգեցնում են էներգիայի խնայողության կամ էներգիայի վերականգնման: Օրինակ, եթե դուք նախատեսում եք վերանորոգել Ձեր բնակարանը, փո-խարինել դռներն ու պատուհանները, բարելավել ջերմամատակարարումը, կամ իրականացնել էներգիայի խնայողության հետ կապված ցանկացած այլ աշխատանք, ապա կարող եք ստանալ վարկավորման արտոնյալ պայ-մաններ Ինեկոբանկից` օգտվելով «էներգաարդյունավետ» վարկերից: «Էներգաարդյունավետ» վարկերից օգտվելու առավելություններն են. Վարկի գումարի 10%-ի վերադարձ վարկառուին, Գումարի խնայողություն` էներգիայի ծախսի կրճատման շնորհիվ, Շրջակա միջավայրի պաշտպանություն:

«Էներգաարդյունավետ» վարկերի պայմաններն են. Վարկի նվազագույն գումարը – 30.000ՀՀ դրամ, Վարկի առավելագույն գումարը– 1.000.000ՀՀ դրամ, Վարկի տարեկան տոկոսադրույքը – 24%, Վարկի ժամկետը-3-36 ամիս, Դրամաշնորհ-10%-ի չափով վարկի գումարից ետ վերադարձ

հաճախորդի ընթացիկ հաշվին: Դրամաշնորհ ստանալու նպատակով հաճախորդի կողմից անհրաժեշտ է Բանկում բացել ընթացիկ հաշիվ՝ համաձայն Բանկի կողմից այդ պահին հայտարարված հաշվի տրամադրման պայմանների և սակագների: Դրա-մաշնորհը տրամադրվում է եվրոյով, պայմանագրի կնքման պահի դրու-թյամբ ՀՀ ԿԲ եվրոյի հաշվարկային փոխարժեքով վարկի գումարի 10%-ը եվրոյի վերածելու միջոցով: Երրորդ խումբը ուսումնասիրում էր (Հայէկոնոմբանկ) բանկի տրամա-դրած վարկերի տեսակները: Սպառողական վարկեր (առանց գրավի) Վարկը տրվում է երկու անձի երաշխավորությամբ, որոնցից մեկը չպետք է լինի ընտանիքի անդամ,

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

59

Վարկի առավելագույն ժամկետը-24 ամիս, Վարկի առավելագույն գումարը - 1,000 ԱՄՆ դոլար կամ Եվրո, Վարկի տարեկան տոկոսադրույքը – 24%, Վարկի մարումները – ամսական հավասարաչափ` յուրաքանչյուր ամիս

նախատեսելով տոկոսագումարների և վարկի մասնակի մարումներ, Միանվագ վճար՝ վարկի գումարի 3%-ի չափով, Վարկը տրամադրվում է առանց գրավի, երկու անձի երաշխավորու-

թյամբ, Վարկը տրվում է անկանխիկ, Վարկի վաղաժամկետ մարում թույլատրվում է, որի համար տույժեր և

տուգանքներ չեն կիրառվում: Տույժեր՝ ժամկետանց վարկի յուրաքանչյուր ժամկետանց օրվա համար՝

չվճարված գումարի 0,2%-ի չափով (օրինակ, եթե մնացորդը 500դոլար է, ապա օրական տույժը կլինի՝ 500 ∙ , = 1դոլար)

ժամկետանց տոկոսի յուրաքանչյուր ժամկետանց օրվա համար՝ չվճար-ված գումարի 0,4%-ի չափով,

Վարկը տրվում է անկանխիկ:

Խմբերը կազմեցին երեք բանկերի տրամադրած վարկերի համեմատական աղյուսակներ, որոնցից կներկայացնեմ երկուսը: Հիփոթեքային վարկեր

Ա բանկ Ի բանկ Է բանկ

Տարեկան տոկոսա-դրույք

13-15% 13-16% 14%

Վարկի գումար

1մլն-25մլն դրամ 1,5մլն-25մլն դրամ Ձեռք բերվող բնա-կելի անշարժ գույքի գնահատված արժե-քի առավելագույնը 70%–ի չափով

Վարկի ժամկետ

120-180 ամիս 120-144 ամիս 120 ամիս

Լրացուցիչ վճարներ

Վարկային հաշվի բացման, վարման և

Բանկում հաշիվ չունե-ցողի համար հաշվի բացման վճար՝ 3000դր

Միանվագ՝ վարկի գումարի 0.5%-ի չա-փով:

60

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

սպասարկման նպա-տակով վարկի տրա-մադրման պահին գանձվում է միջնոր-դավճար՝ վարկի գու-մարի 1%-ի չափով:

և հաշվի սպասարկման միանվագ վճար՝ 0,5% վարկի գումարից, բայց ոչ պակաս քան 60000ՀՀ դր.:

Կանխա-վճար

Ձեռք բերվող անշարժ գույքի առնվազն 30 %, կամ առնվազն 10%, եթե բացի ձեռք բերվող անշարժ գույքի գրավադրվում է նաև այլ անշարժ գույք:

Ձեռք բերվող անշարժ գույքի առնվազն 30 %, կամ առնվազն 10%, եթե բացի ձեռք բերվող անշարժ գույքի գրա-վադրվում է նաև այլ անշարժ գույք:

Ձեռք բերվող անշարժ գույքի առնվազն 30 %-ը:

Տույժեր` վաղաժամ-կետ մարման դեպքում

վարկի փաստացիժամկետի համար հաշվարկված տոկո-սագումարը, ինչպես նաև վարկի մարման գրաֆիկով նախա-տեսված ժամկետից շուտ մարվող վարկի կապիտալի 1%-ը:

Պայմանագրով նախա-տեսված լինելու դեպ-քում՝ վաղաժամկետ մարման տույժեր չեն սահմանվում:

Վաղաժամկետ մարվող գումարի 0.5%-ի չափով:

Տույժեր` պարտավո- րությունների չկատարման դեպքում

Յուրաքանչյուր ժամ-կետանց օրվա հա-մար հաշվարկվում է տույժ՝ չմարված գու-մարի 0,5%-ի չափով: Վարկային պարտա-վորությունները ծած-կելու համար գրավը բավարար չլինելու դեպքում պարտավո-րությունների մարու-մը կարող է իրակա-նացվել վարկառուի այլ գույքի հաշվին:

Յուրաքանչյուր ժամկետանց օրվա համար հաշվարկվում է տույժ՝ չմարված գումա-րի 0,5%-ի չափով: Վարկային պարտավո-րությունները ծածկելու համար գրավը բավա-րար չլինելու դեպքում պարտավորությունների մարումը կարող է իրա-կանացվել վարկառուի այլ գույքի հաշվին:

Յուրաքանչյուր ժամկետանց օրվա համար հաշվարկվում է տույժ՝ չմարված գումարի 0,5%-ի չափով: Վարկային պարտավորություն-ները ծածկելու համար գրավը բավարար չլինելու դեպքում պարտավո-րությունների մարու-մը կարող է իրակա-նացվել վարկառուի այլ գույքի հաշվին:

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

61

Ոսկու գրավով սպառողական վարկեր

Ա բանկ Ի բանկ Է բանկ Տարեկան տոկոսադրույք

19,2-24%

24% Այս վարկի անվանական տոկոսադրույքը կարող է փոփոխվել ընկերության կողմից:

14%

Վարկի գումար Նվազագույնը՝ 25000դր.: Առավելագույն գումար սահմանված չէ:

30000-3000000ՀՀ դրամ:

Ձեռք բերվող բնակելի ան-շարժ գույքի գնահատված արժեքի առա-վելագույնը 70%–ի չափով:

Վարկի ժամկետ

1-24 ամիս Ոչ հավասարաչափ մարման գրաֆիկի դեպքում՝ 6 ամիս կամ 12 ամիս, հավասարաչափ մարման գրաֆիկի դեպ-քում՝ 1-24 ամիս

Կախված վարկի չափից և մարման ձևից՝ 3-18ամիս

Լրացուցիչ վճարներ Վար-կային հաշվի բացման, վար-ման և սպա-սարկման նպատակով

-մինչև 200000ՀՀ դրամվարկի դեպքում՝ 2%, բայց ոչ պակաս, քան 1000դր., -200001 ՀՀ դրամ և ավելի վարկերի դեպ-քում՝ 1%:

-մինչև 6 ամիս ժամկե-տով վարկ տրամադրելու դեպքում` 2400 ՀՀ դրամ

-7 և ավել ժամկետով վարկ տրամադրելու դեպքում` 4800 ՀՀ դրամ:

-Ամսական` պարտքի սկզբնական գումարի 0.15% չափով (գանձվում է վճարման օրացույցով նախատեսված ամսական մարումների հետ)

Հաշվիբացման վճար-900դր Մինչև 90,000դր վարկի դեպքում- 900դրամ 90,001-180.000դր-1,350դր 180,001-360,000դր-2,200դր 360,001 ՀՀ դրամ և ավ. դեպքում 0.65 %

62

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

Տույժեր` վա-ղաժամկետ մարման դեպ-քում

Մինչև 10.000.000 ՀՀդրամ վարկերի վաղա-ժամկետ մարման դեպ-քում տույժեր չեն գանձ-վում:

Պայմանագրով նախա-տեսված լինելու դեպ-քում՝ վաղաժամ կետ մարման տույժեր չեն սահմանվում:

Վաղաժամկետ մարվող գու-մարի 0.5%-ի չափով:

Տույժեր` պարտավո- րությունների չկատարման դեպքում

Յուրաքանչյուր ժամկե-տանց օրվա համար հաշվարկվում է տույժ՝ չմարված գումարի 0,5%-ի չափով: Վարկա-յին պարտավորու թյուն-ները ծածկելու համար գրավը բավարար չլինե-լու դեպքում պարտավո-րությունների մարումը կարող է իրականացվել վարկառուի այլ գույքի հաշվին:

Յուրաքանչյուր ժամկե-տանց օրվա համար հաշվարկվում է տույժ չմարված գումարի 0,4%-ի չափով՝ սկսած կե-տանցի առաջին օրվա-նից: Վարկային պարտավորությունները ծածկելու համար գրավը բավարար չլինելու դեպքում պար-տավորությունների մա-րումը կարող է իրակա-նացվել վարկառուի այլ գույքի հաշվին:

Վարկի դիմաց հաշվարկված տոկոսները ժամանկին չմարելու դեպ-քում ժամկե-տանց յուրա-քանչյուր օրվա համար հաշ-վարկվում է տույժ չմարված գումարի 0,4%-ի չափով: Վարկը կամ դրա մի մասը ժամա նակին չմարելու դեպքում ժամ-կետանց յուրա-քանչյուր օրվա համար հաշ-վարկվում է տույժ չմարված գումարի 0,2%-ի չափով:

Խմբերն աշխատեցին ոգևորված և միմյանց հետ համգործակցելով: Աշխա-տանքները ներկայացրեցին պաստառների, համակարգչի և բանավոր վերլուծության միջոցով: Սովորողները կատարեցին փոխադարձ գնահատում և ինքնագնահատում, լրացրեցին խմբի հետազոտական աշխատանքի գնահատման սանդղակ:

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

63

Բավարար Լավ Շատ լավ

Խումբն աշխատում էր համագործակցված

Խմբի յուրաքանչյուր անդամ գիտեր իր անելիքը

Խմբի անդամները օգնում էին միմյանց

Խնդիրները հստակ էին դրված

Տվյալների հավաքագրման նպատակով օգտվել եմ տարբեր աղբյուրներից

Ժամանակը տնօրինեցինք արդյունավետ

Կատարված հետազոտությունը ամբողջական էր

Յուրացրել եմ ուսումնասիրվող նյութի բովանդա-կությունը

Աշխատանքների ներկայացման ձևը ճիշտ էր ընտր-ված (լուսաբանվեց հետազոտված նյութի բովան-դակությունը հետաքրքիր և հասկանալի ձևով)

Գրականություն

1. «Համագործակցային ուսուցում» ձեռնարկ, հեղ. Ա.Հովհաննիսյան,

Կ.Հարությունյան և այլոք, Երևան «Անտարես» 2006թ. 2. «Համագործակցային ուսուցում» ձեռնարկ ,հեղ. Վեսա Պուրոկուրու, 3. Երևան «Անտարես» 2006թ. 4. https://www.acba.am, Ակբա-կրեդիտ ագրիկոլ բանկի էլ. կայք 5. http://www.inecobank.am, Ինեկոբանկի էլ. կայք 6. http://www.aeb.am, Հայէկոնոմ բանկի էլ. կայք

ГРУППОВОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПО ТЕМЕ “КРЕДИТЫ”

Шушан Варданян Резюме

Статья представляет краткое описание группового исследования. Студенты исследовали различные виды кредитов и условия их предоставления различными банками. Студенты сравнили виды выплаты ссуды: ежемесячными равными взносам и равным взносам основной суммы, они

64

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

сделали вычисления, анализ и построили таблицы сравнительного анализа. Планирование и критерии оценки также представлены.

GROUP RESEARCH ON “LOANS”

Shushan Vardanyan Summary

The article represents a short description of a group research. The students have investigated different kinds of loans and their provision conditions by various banks. The students have compared various kinds of loan repayment: monthly equal installments and equal installments of principal amount; they have made calculations, analysis and have constructed benchmarking tables. The planning and assessment criteria are also represented. Շուշան Վարդանյան – Արմավիրի թիվ 1 ավագ դպրոցի մաթեմա-տիկայի ուսուցչուհի, վերապատրաստող Հեռախոս՝ 093 70 18 26 Էլ. հասցե՝ shushanvardanyan@inbox.ru