ЕИ Щукин МАТЕМАТИКА Теория вероятностей...

1

Министерство образования Российской ФедерацииЯрославский государственный университет имени П.Г. Демидова

Е.И. Щукин

МАТЕМАТИКА

Теория вероятностей.Системы линейных алгебраических уравнений

и линейное программирование

Учебное пособие

Ярославль 2001

2

ББК В171я73 Щ 95

Щукин Е.И.МАТЕМАТИКА. Теория вероятностей. Системы линейных алгебраических

уравнений и линейное программирование: Учебное пособие; Яросл. гос. ун-т. Ярославль,2001. 115 с.

ISBN 5-8397-0176-9

Учебное пособие написано в соответствии с программой дисциплины “Математика”для экономических специальностей университетов и представляет собой продолжениепредыдущей работы того же автора “МАТЕМАТИКА. Теория вероятностей.” (Ярославль,2000), в которой были рассмотрены две первых главы теории вероятностей (случайныесобытия; дискретные случайные величины и основные законы их распределения). В данномпособии рассматриваются непрерывные случайные величины и основные законы ихраспределения (равномерное непрерывное; экспоненциальное и нормальное), а такжепредельные теоремы теории вероятностей. Рассмотрены также системы линейныхалгебраических уравнений, что способствует элементарному изучению основных вопросовлинейного программирования (основная задача линейного программирования и еегеометрия; метод последовательного улучшения плана (симплекс-метод); взаимнодвойственные задачи линейного программирования). Указаны экономические применениярассматриваемых теоретических положений.

Пособие предназначено для студентов I курса экономических факультетовуниверситетов и особенно полезным будет для тех из них, кто обучается по вечерней изаочной формам. Пособие соответствует требованиям государственного образовательногостандарта по дисциплине “Математика” для студентов экономических специальностейуниверситетов.

Рецензенты: кафедра теории и методики обучения математике Ярославскогогосударственного педагогического университета имени К.Д. Ушинского; доцент кафедрыматематики Ярославского филиала военного финансово-экономического университета, канд.физ.-мат. наук Н.И. Коршунова.

ISBN 5-8397-0176-9 © Ярославскийгосударственныйуниверситет, 2001

© Щукин Е.И., 2001

3

Оглавление

ГЛАВА I. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ). ДВЕФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НСВ. ЧИСЛОВЫЕХАРАКТЕРИСТИКИ НСВ............................................................................ 5

1. НЕПРЕРЫВНЫЕ СВ. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ; ЕЕ СВОЙСТВА ИГРАФИК ............................................................................................................ 5

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (ПЛОТНОСТЬРАСПРЕДЕЛЕНИЯ); ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК .................................................... 9

ГЛАВА II. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.......................................................................... 18

1. РАВНОМЕРНОE НЕПРЕРЫВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (ЗАКОН РАВНОМЕРНОЙПЛОТНОСТИ) .................................................................................................. 18

2. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ (ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ................................ 203. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ)....................................................... 21ГЛАВА III. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ...... 27

1. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА .................................................................................. 282. ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА (ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ) ................................................ 303. ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА (ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА). ИНТЕГРАЛЬНАЯ

ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА (ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА).................................... 31ГЛАВА IV. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. ПОНЯТИЕО СТОХАСТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ............................ 39

1. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ........................................................ 392. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ЕЕ ГЕОМЕТРИЯ.......... 433. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО УЛУЧШЕНИЯ РЕШЕНИЯ (СИМПЛЕКС-МЕТОД) .... 504. ВЗАИМНО ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ............ 555. ПОНЯТИЕ О СТОХАСТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ ....................................... 63

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК (ЛИТЕРАТУРА) ................................ 65

ПРИЛОЖЕНИЕ I .................................................................................................... 67

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ϕ(X) = EXP(-X2/2)/√2π .......................................... 67ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ Ф(Х) = (0SXEXP(-Z2/2)DZ)/√2π .............................. 68

ПРИЛОЖЕНИЕ II. ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ .................. 70

ПРИЛОЖЕНИЕ III. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ........................................ 75

ПРИЛОЖЕНИЕ IV. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ......................................................................................................................... 100

5

Глава I. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ).ДВЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НСВ.ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НСВ

1. Непрерывные СВ. Интегральная функцияраспределения; ее свойства и график

Определение 1. Случайная величина называется непрерывной, если еевозможные значения не могут быть перенумерованы (поставлены вовзаимооднозначное соответствие с натуральным рядом чисел) и непрерывнозаполняют один (или несколько) промежутков числовой оси.

Как известно, дискретная случайная величина (ДСВ) может быть заданарядом (таблицей) распределения, то есть перечнем всех возможных ее значенийи их вероятностей. Такой подход не является общим: он не применим для НСВ.Действительно, рассмотрим НСВ Х, которая принимает любые действительныезначения некоторого промежутка действительных чисел. Между любыми двумяее значениями имеется бесконечное множество действительных чисел, изаписать все эти числа невозможно. Например, уровень осадков, выпавших за 1год (в некоторой местности), есть случайная величина (очевидно,непрерывная), которая может принимать любое действительное значение (изнекоторого достаточно большого промежутка действительных чисел).Вероятность того, что в некоторый момент этот уровень окажется в точностиравным некоторому действительному числу, крайне мала (практически равна0). Итак, если мы будем пытаться приписать ненулевую вероятность каждомувозможному значению НСВ, мы вряд ли добьемся успеха. Существует, однако,более общий способ задания, применяемый и в случае ДСВ, и в случае НСВ.Пусть х - действительное число. Вместо события Х = х будем рассматриватьсобытие Х < х, вероятность которого, очевидно, зависит от х; следовательно,является функцией х.

Определение 2. Функция F(x), равная вероятности того, что СВХ врезультате опыта приняла значение Х < х, называется интегральной функциейраспределения СВХ.

F(x) = P(X<x), ∀ xИнтегральная функция распределения является универсальной

характеристикой, которая применяется как для ДСВ, так и для НСВ. Можнодать ей следующее геометрическое истолкование:

��

�� , �� (.) �.

6

Свойства:1. Вероятность попадания СВХ на промежуток [α;β) равна приращению

интегральной функции распределения на этом промежутке:P(α≤ Х<β) = F(β) - F(α) 1

Доказательство:

Обозначим: соб. А - “СВХ приняла значение Х <α“ соб. В - “СВХ приняла значение Х <β“ соб. С - “СВХ приняла значение α≤Χ<βА + С = В; А, С - несовместные; тогдаР(А+С) = Р(А) + Р (С) = Р(В)Р(С) = Р(В) - Р(А)Р(α ≤ Χ < β) < Ρ(Χ < β) - Ρ(Χ < α) = F(β) - F (α)Замечание: с учетом высказанного ранее для НСВ Х утверждения: Р(Х=х)

≈ 0 формулу (1) можно переписать так:Р (α < Χ < β) = F (β) − F (α) 1’

Именно в таком виде она обычно и используется.2. F(х) - неубывающая функция.Доказательство:P (α < Χ < β) = F (β) − F (α) ≥ 0 ⇒F (β) − F (α) ≥ 0 ⇒ F (β) ≥ F (α) ⇒F (x) - неубывающая.3. lim F (x) = F (+ ∞) = P (X < +∞)= 1

7

x → +∞ достоверное событие4. lim F (x) = F (- ∞) = P (Χ <−∞) = 0 x → −∞ невозможное событие5. Интегральная функция распределения НСВХ есть функция

непрерывная.Доказательство: Р (Х = х) = 0Р(Х = х) = lim Р (х ≤ Χ < х + ∆х) = lim [F (x + ∆x) - F (x)] = 0 ∆x → 0 ∆x → 0Итак, lim ∆F (x) = 0, что в соответствии с одним из определений ∆х → 0

непрерывности и доказывает утверждение.График интегральной функции распределения - в соответствии с

рассмотренными свойствами - имеет примерно следующий вид:

Что касается графика интегральной функции распределения длядискретной случайной величины, то он является разрывным ступенчатым, приэтом скачки имеют место в точках, соответствующих возможным значениямДСВХ, а величины скачков равны вероятностям этих возможных значений.

Пример. ДСВХ задана законом распределенияХ 3 4 7 10Р 0,2 0,1 0,4 0,3Найти F(x) и построить ее график.Если х ≤ 3, то соб. (Х < х) - невозможное. F (х) = Р (Х < х) = 0Если 3< х ≤ 4, то соб. (Х< х) есть (Х = 3) F(x) = P(X = 3) = 0,2Если 4 < х ≤ 7, то соб. (Х < х) = (Х = 3) + (Х = 4) F(x) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,2 + 0,1 = 0,3Если 7 < х ≤ 10, то соб. (Х < х) = Х = 3) + (Х = 4) + (Х = 7)

8

F(x) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 7) = 0,2 = 0,1 + 0,4 = 0,7Если х >10, то (Х < х) - достоверное, т.к. все возможные значения Х < х;

F(х) = 1

0; х ≤ 3 0,2; 3 < х ≤ 4;F(x) = 0,3; 4 < х ≤ 7; 0,7; 7 < х ≤ 10; 1; х > 10

9

2. Дифференциальная функция распределения(плотность распределения); ее свойства и график

Пусть имеется НСВ и ее интегральная функция распределения (не тольконепрерывная, но и дифференцируемая).

Вычислим Р(х < Х < х + ∆х) = F (x + ∆x) - F (x)Рассмотрим отношение вычисленной вероятности к длине участка ∆х, т.е.

среднюю плотность вероятности на этом участке. Если ∆x → 0, то имеемистинную плотность вероятности в точке x.

Определение 1. lim (F(x + ∆x) - F(x)) / ∆x = F’(x) = f (x) - ∆x → 0

дифференциальная функция распределения, характеризующая плотностьраспределения вероятности СВХ в данной точке х.

Определение 2. График дифференциальной функции распределенияназывается кривой распределения.

Замечание: плотность распределения является (как и интегральнаяфункция распределения) одной из форм закона распределения, но - в отличие отинтегральной функции распределения дифференциальная функцияраспределения не является универсальной, т.к. она существует лишь для НСВ.

Свойства:1. Р (α<Х<β)=F(β)−F(α)=Sβ

α f (x). (по теореме Ньютона-Лейбница)2. F (x) = P (X < х) = Р (-∞ < Х < х) = Sxf (x) dx - ∞

F (x) = Sxf (x) . dx−∞

3. f (х) ≥ 0, ∀х, f (x) = F1 (x) ≥ 0, т.к. F (х) - неубывающая.С геометрической точки зрения это означает, что кривая распределения

расположена не ниже оси абсцисс. +∞4. F (+∞) = P (X<+∞) = P (−∞ < X <+∞) = S f (x) . dx = 1 -∞

+∞S f (x) . dx = 1 - условие нормировки;

−∞

с геометрической точки зрения это означает, что вся площадь, ограниченнаякривой распределения и осью ОХ, есть 1.

10

Пример 1. Задана плотность распределения НСВХ:

f (x) = 0; x ≤ 0 Найти F (x) cos x, 0 < x ≤ π/2 0; x > π/2 F (x) =Sx f (x) . dx −∞

Если х ≤ 0, то f (x) = 0 ⇒ F (x) = SΧ≤0 0 . dx = 0 F (x) = 0; х ≤ 0 −∞ sin x; 0 < x ≤ π/2 1; х > π/2Если 0 < х ≤ π/2, то F (x) = S0 dx + Sx≤π/2 cos x . dx = sin x.

-∞ 0

Если х>π/2, то F(x)=S00 . dx+Sπ/2cos x . dx+Sx>π/20 . dx=sin x |π/2=1 −∞

0

π/2

| 0

Построим графики f(x) и F(x).

11

Пример 2. Плотность распределения НСВХ f(x)=C . 1/√1-x2; х∈[-1; 1]; 0, х ∉ [-1; 1]

S+∞−∞ f (x) . dx = 1 Sf+∞1

−∞1C . 1/√1-x2 . dx = C . arc sin x 1-1 =

C [arc sin 1 - arc sin(-1) = C . [π/2 + π/2] = 1 C . π = 1 C = 1/π

Замечание: формулы для вычисления числовых характеристик НСВХимеют вид:

М(Х) = mx = m = S+∞−∞ x . f(x).dx

D(X) = dх = d = M(X2) - M2 (X) = S+∞−∞ x2 . f(x).dx - M2(X)

σ (X) = σx = σ = √ D(X)

Практическое занятие № 1Две функции распределения непрерывных случайных величин

Задача 1.Случайная величина Х задана на всей оси ОХ интегральной функцией

распределенияF(x) = 1/2 + (arctg x)/π.Найти вероятность того, что в результате опыта величина Х примет

значение, заключенное в интервале (0; 1).Р( 0< х < 1) = F(1) - F(0) = 1/2 + (arctg 1)/π - (1/2 + (arctg 0)/π) ==1/2 + π/4/π - (1/2 + 0/π) = 1/4

Задача 2.Случайная величина Х задана интегральной функцией распределенияF(x) = 0; х ≤ -2; 1/2 + (1/π) . arc sin (x/2); -2 < x ≤ 2; 1; x > 2

Найти Р (-1 < Х < 1).Р(-1< х < 1) = F(1) - F(-1) = 1/2 + (1/π) . arc sin (+1/2) - (1/2 + (1/π) . arc sin

(-1/2)) = 1/2 + 1/π . π/6 - (1/2 + 1/π (-π/6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Задача 3.Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины

Х-времени безотказной работы некоторого устройства есть F(x) = 1 - e-x/T(x≥0).Найти вероятность безотказной работы устройства за время х ≥ Т.

12

Р(Х≥Т) = 1 - Р(Х < Т)=1 - Р(0 < Х < Т)=1 - [F(T) - F(0)]=1 - [1 - e-T/T

- 1 + e-0/T] = 1 - [1 - e-1 - 1 + e0] = 1 + e-1 - 1 = e-1 - 1 = e-1 = 1/e.

Задача 4.Случайная величина Х задана интегральной функцией распределенияF(x) = 0; x ≤ 0; x2; 0 < x ≤ 1; 1; x > 1Найти вероятность того, что в результате четырех независимых

испытаний величина Х ровно три раза примет значение, принадлежащееинтервалу (1/4; 3/4).P(1/4 < X < 3/4) = F (3/4) - F(1/4) = (3/4)2 - (1/4)2 = 9/16 - 1/16 = 8/16 = 1/2

P3;4 = C34 (1/2)3 . 1/2 = 4 . 1/3 . 1/2 = 1/4 = 0,25

Задача 5.Дана интегральная функция распределения непрерывной случайной

величины ХF(x) = 0; x ≤ 0; sin 2x; 0 < x ≤ π/4; 1; x >π/4Найти плотность распределения f(x) и построить график функций F(x) и

f(x). Проверить выполнение условия нормировки.f(x) = 0; x ≤ 0; 2 cos 2x; 0 < x ≤ π/4; 0; x >π/4

Убедимся, что полученная функция f(x) удовлетворяет условнонормировки:

S+∞−∞ f(x) dx = 1.

13

Здесь: S+∞−∞f(x).dx=S0

−∞0.dx+Sπ/402 cos2x.dx+S∞

π/40.dx=Sπ/402 cos 2x.dx =

=0 =0sin 2x |π/4

0 = sin (π/2) - sin (0) = 1

Задача 6.Задана плотность распределения (дифференциальная функция

распределения) непрерывной случайной величины Х:f(x) = 0; x ≤ 1 x - 1/2; 1 < x ≤ 2 0; x > 2Найти интегральную функцию распределения F(x) и построить графики

обеих функций распределения, т.е. f(x) и F(x).Воспользуемся функцией F(x) = Sx

−∞f(x) . dxЕсли х ≤ 1, то f(x) = 0 ⇒F(x) = S1x≤ 1

−∞ 0 . dx = 0Если 1 < х ≤ π 2, тоF(x) = S1

−∞0 dx + S1x ≤ 2(x - 1/2)dx = Sx ≤ 2

11/2.dx = x 2/2 |x≤0 - 1/2x |x ≤21= x2/2 -

1/2x=1/2(x2-x)Если х > 2, то F(x) = 1

Задача 7.Плотность распределения (дифференциальная функция распределения)

непрерывной случайной величины Х задана на всей оси 0Х равенством f(x) =2C/(1+x2). Найти значение параметра С.

14

Используем условие нормировки:S+∞

−∞ f(x) . dx = 1

S+∞−∞ 2C/(1 + x2) . dx = 2C S+∞

−∞ dx/(1+x2) = 2C arctg(x)|+∞−∞ = 2C [arctg(+∞)- arctg(−∞)] =

2C [π/2 + π/2] = 2C π = 1C = 1/(2π)

Задачи для самостоятельного решения

1. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределенияF(x) = 0; x ≤ -1 (3/4)x + 3/4; -1 < x ≤ 1/3 1; x > 1/3Найти P(0 < Х < 1/3) Ответ: [1/4]

2. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределенияF(x) = 1/2 + (1/π) arctg (x/2) на всей оси ОХ. Найти возможное значение х1,удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/4 случайная величина Х врезультате опыта примет значение, большее х1. Ответ: [2].

3. Задана плотность распределения (дифференциальная функцияраспределения) непрерывной случайной величины Х:

f(x) = 0; x ≤ 0; sin x; 0 < x ≤ π/2; 0; x > π/2Найти F(x).Ответ: F(x) = 0; x ≤ 0; 1 - cosx; 0 < x ≤ π/2 1; x > π/2

4. Непрерывная случайная величина Х в интервале (0; π/3) заданаплотностью распределения f(x) = (3/2)sin3x; вне указанного интервала f(x) = 0.

Найти Р(π/6 < X < π/4). Ответ: [√ 2/4]

5. Убедитесь, что функция f(x) = 3sin3x, x ∈ [π/6 ;π/3], а вне этогоинтервала равная нулю, может быть дифференциальной функцией некоторогораспределения.

6. Случайная величина Х распределена на интервале (0; 2) по законуСимпсона (а вне этого интервала равна нулю). Найти обе функциираспределения Симпсона.

15

f(x) = 0; x ≤ 0; F(x) = 0; x ≤ 0 x; 0 < x ≤ 1; (1/2) x2; 0 < x ≤ 1 2-x; 1 < x ≤ 2; -(1/2) (x-2)2 + 1; 1 < x ≤ 2 0; x > 2 1; x > 2

7. В предыдущем примере найти Р(1/2 < X < 3/2). Ответ: [3/4]

Практическое занятие № 2Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Задача 1.Случайная величина Х задана плотностью распределения

(дифференциальной функцией распределения) f(x) = (1/2)x в интервале (0; 2);вне этого интервала f (x) = 0. Найти математическое ожидание, дисперсию истандартное (среднее квадратическое) отклонение СВХ.

Используем формулы:М(Х) = S+∞

−∞ х f(x) dxD(X) = S+∞

−∞ x2f(x)dx - [M2(X)]σ(X) = √D(X), которые в данном случае (с учетом того, что вне интервала

(0; 2) f(x) = 0) преобразуются так:M(X) = S2

0x (1/2) x dxD(X) = S2

0 x2(1/2)x dx - [M(X)]2

G(X) = √ D(X)Итак: М(Х) = (1/2) 0S2x2dx = 1/2 . x3/3|20 = 1/2 . 23/3 = 4/3 .D(X) = 1/2 0S2x3dx - (4/3)2 = 1/2 . x4/4|20 - 16/9 = 1/2 . 24/4 = 2 - 16/9= 2/9G(X) = √ 2/9 = √2/3Ответ: М(Х) = 4/3 D(X) = 2/9 G(X) = √2 /3

16

Задача 2.Случайная величина Х в интервале (-а;а) задана плотностью

распределения f(a) =1/(π√а2 - х2); вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое

ожидание СВХ.М(Х) = -аSa x . 1/ (π√ (a2 - x2) . dx = 1/π -aSa x.dx / √(a2 - x2) = 0

(c учетом того, что подынтегральная функция нечетная и пределыинтегрирования симметричны относительно начала координат).

Замечание: этот результат можно указать сразу, если учесть, что криваяраспределения симметрична относительно оси ОУ.

Задача 3.Случайная величина Х задана плотностью вероятности f(x)=(1/2) . e-1x1

(распределение Лапласа). Найти математическое ожидание СВХ.Т.к. функция f(x) = (1/2) . е-1x1 - четная, т.е. график ее симметричен

относительно оси ОУ, то М(Х) = 0.

Задача 4.Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = C(x2 + 2x)

в интервале (0; 1); вне этого интервала f(x) = 0. Найти: а) параметр С; б)математическое ожидание величины Х.

Напомним условие нормировки НСВ Х: (в общем виде): −∞S+∞f(x) . dx = 1

В данном случае оно выглядит так:0S1 c (x2 + 2x)dx = 1C . [ 0S1x2dx + 0S12x . dx] = 1C [x3/3 |10 + 2 . x2/2 |10] = 1C . [ 1/3 + 1 ] = 1 C . 4/3 = 1 C = 3/4M(x) = 0S1x . 3/4 (x2 + 2x) dxM(X) = 3/4 [0S1x3dx + 2 0S1x2dx] = 3/4[x4/4 |10 + 2/3x3 |01] = 3/4 [1/4 + 2/3] =

3/4 ( 3+8)/12 =1/4 . 11/4 = 11/16 M[X] = 11/16Ответ: С = 3/4; M(X) = 11/16

Задача 5.Найти математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение

СВХ, заданной интегральной функцией распределения:F(x) = 0; x ≤ 0; x/4; 0 < x ≤ 4; 1; x > 4

найдем дифференциальную функцию распределения f(x) = F1(x):f(x) = 0; x ≤ 0 1/4; 0 < x ≤ 4;

17

0; x > 4Тогда М(Х)=0S4x . (1/4) . dx = (1/4) . 0S4x . dx=(1/4) . x2/2 |40 = 2D(X) = 0S4 . x2 . (1/4) . dx - 22 = (1/4) x3/3 |40 - 4 = 1/4 . 43/3 - 4 = 16/3 - 4 = 1

1/3 = 4/3σ(X) = √ 4/3 = 2/√3 = 2√3/3Ответ: М(Х) = 2; D(X) = 4/3; σ(X) = 2√3/3

Задача 6.Случайная величина Х в интервале (0; π) задана плотностью

распределения f (х) =(1/2) sin x; вне этого интервала f (x) = 0. Найти математическое ожидание,

дисперсное и стандартное отклонение СВХ.

М(Х) = 0Sπх (1.2) sin x . dx = (1/2)0Sπx sinx dx0Sπx sinx dx = |u = x

dV = sinx dx dU = dxV = S sinx dx + - cosx| = -x cos x |π0 + 0Sπ cosx dx

= -π . cosπ = -1 + 0 . cos 0 + sinx | π0 = πОкончательно: М(Х) = (1/2)π = π/2 (этого же результата можно достичь

быстрее с учетом того, что кривая распределения симметрична относительнопрямой х = π/2).

D (X) = 1/2 0Sπ x2 sin x . dx - [π/2]2

Дважды интегрируя по частям, найдем 0Sπ x2 sin x . dx = π2 - 4Используя полученный результат, имеем:D(X) = (π2 - 8)/4 σ (X) = √(π2-8)/2Ответ: М(Х) = π/2; D(X) = π2 - 8 / 4; σ(X) = √(π2 - 8)/ 2

Задача 7.Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения:F (x) = 0; x ≤ -2; x/4 + 1/2; -2 < x ≤ 2; 1; x > 2Найти математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.f(x) = F1(x) = 0; x ≤ -2; 1/4; -2 < x ≤ 2 0; x > 2M(X)=-2S2 1/4 . x. dx = (1/4) . x2/2 |2-2 = D 1/4.1/2 [22 -(-2)2] = 0D(X)=-2S2 x2 1/4 / dx=1/4 . x3/3 |2-2 = 1/12 . [23 -(-2)3]=16/12=4/3σ(X) = √4/3 = 2√3 /3Ответ: М(Х) = 0; D(Х) = 4/3; σ (Х) = 2√3/3


18

1. Случайная величина Х задана плотностью распределения(дифференциальной функцией распределения) f(x) = 2x в интервале (0; 1); внеэтого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание, дисперсию истандартное отклонение СВХ. [2/3; 2/9; √2/3]

2. Случайная величина Х, возможные значения которой неотрицательны,задана интегральной функцией распределения F(x) = 1 - e−αx (α>0). Найтиматематическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение СВХ. [1/α;1/α2; 1/α].

3. Случайная величина Х в интервале (2; 4) задана плотностьюраспределения f(x) = 1/2; вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическоеожидание, дисперсию и стандартное отклонение СВХ. [3; 1/3; √3/3].

4. Случайная величина Х в интервале (2; 4) задана плотностьюраспределения f(x) = -(3/4)x2 + (9/2)x - 6; вне этого интервала f(x) = 0. Найтиматематическое ожидание СВХ. [3]

5. Доказать, что математическое ожидание непрерывной случайнойвеличины заключено между наименьшим и наибольшим ее возможнымизначениями.

6. Случайная величина Х в интервале (-а; а) задана плотностьюраспределения f(x) = 1 /(π√(а2 - х2); вне этого интервала f(x) = 0. Найтидисперсию СВХ. [a2/2]

7. Случайная величина Х в интервале (-3; 3) задана плотностьюраспределения f(x) = 1/(π√(9-x2)); вне этого интервала f(x)=0. Найти дисперсиюСВХ; что вероятнее: в результате испытания окажется Х < 1 или Х > 1? [4,5; P(-3 < X < 1) = 0,5 + (1/π) arc sin (1/3); P (1 < x < 3) = 0,5 - (1/π) . arc sin (1/3)]

Глава II. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯНЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1. Равномерноe непрерывное распределение(закон равномерной плотности)

Определение 1. Непрерывная случайная величина Х распределенаравномерно на [a; b], если на участке [a; b] плотность ее постоянна, а вне этогоучастка равна 0.

f (x) = const; x ∈ [a; b] 0; x ∉ [a; b]

19

Исходя из условия нормировки, можем определить значение константыС:

S = 1 C . (b - a) = 1 ⇒ C = 1/ b -a;

f (x) = 1/ b - a; x ∈ [a; b] 0; x ∉ [a; b]

Найдем интегральную функцию распределения; построим ее график;вычислим вероятность попадания равномерно распределенной НСВ Х на любойпромежуток, являющийся частью данного, а также числовые характеристикиравномерно непрерывного распределения.

F (x) = −∞Sx f (x) . dx1) x < a; F (x) = −∞Sx< a 0 . dx = 02) a ≤ x ≤ b; F (x)=aSx≤ b 1/(b-a) . dx=1/(b-a) . x |x≤ b

a=(x-a)/ (b-a)3) x > b F (x) = aSb 1/b - a . dx + bSx > b0 . dx = 1F (x) = 0; x < a (x - a)/(b - a); a ≤ x ≤ b 1; x > b

[α; β] ⊂ [a; b]

20

P (α<X<β)=F(β)-F(α)=(β-α) / (b-a)-(α-a) / (b-a)=(β-α) / (b-a)M(X) = m = −∞S+∞x . f(x) . dxM(X)=m=aSbx.1/(b-a).dx=1/(b-a).x2/2|ba=1/(b-a) . (b2-a2)/2=(b+a)/2D(X) = d = M(X2) - M2(X)M(X2) = −∞S+∞x2 . f(x) / dxM(X2)=aSbx2.1/(b-a).dx=1/(b-a).x3/3|ba1/(b-a)/(b3-a3)/3=(a2+ab+b2)/3D(X) = d = (a2 + ab + b2)/3 - (b+a)2/4 = (b -a)2/12σ(X) = σ = (b-a)/ √12 = (b-a)/2√3m = (b+a)/2 d = (b-a)2/12 σ = (b-a)/2√3

Пример. Cлучайная величина Х в интервале (2; 4) задана плотностьюраспределения f(x) = 1/2; вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическоеожидание, дисперсию и стандартное отклонение СВХ.m = (4+2)/2 = 3 d = (4-2)2/12 = 4/12 = 1/3 σ = 2/2√3 = 1/√3 = √3/3

2. Экспоненциальное (показательное) распределение

Определение. Непрерывная случайная величина Х распределенаэкспоненциально (показательно), если ее дифференциальная функцияраспределения имеет вид:

f (x) = 0; x < 0; µ = const > 0 (1) µ . e−µx; x ≥ 0Убедимся, что условие нормировки в данном случае имеет место:−∞S+∞f (x) . dx = 1−∞Sx<o0 . dx + S+∞µ . e−µx . dx = - 0S+∞e−µx . d (-µx) = -e−µx|+∞0 = 1

Найдем интегральную функцию распределения F (x) и построим графикиf (x) и F (x):

F(x)=0Sx>0µ. e−µx . dx=-Sx > 00 e−µx . d(-µx)=-e−µx|x > 0

0=-e−µx+1=1-e−µx

F (x) = 0; x < 0; (2) 1 - e−µx; x ≥ 0

21

P (α < X <β) = F (β) - F (α) = 1 - e−µβ - 1 + e−µα = e−µα - e−µβ (3)M(X) = m = −∞S+∞ f(x) dxM(X) = m = 0S+∞x . µ . e−µx. dx = | U = x dU = dx | = dV = µ . e−µx . dx V = -e−µx

-e−µx . x|+∞0 + 0S+∞e−µx . dx=- 1/µ 0S+∞ e−µx . d(-µx)=-1/µ . e−µ+ |0∞=1/µm = 1/µ (4)D(X) = d = M (X2) - M2(X)M(X2) = 0S+∞ x2 µ . e−µx .dx = | U = x2 dU = 2x . dx | = ... = 2/µ2

dV = µ . e−µx. dx V = -e−µx

d = 2/µ2 - 1/µ2 = 1/µ2 d = 1/µ2 σ = 1/µ (5)

Таким образом, при экспоненциальном распределении стандартное (т.е.среднее квадратическое) отклонение и ожидаемое значение (математическоеожидание; среднее значение) равны. Справедливо и обратное: если естьнекоторое распределение, где m и σ cовпадают (хотя бы приближенно), то этораспределение можно считать экспоненциальным с параметром µ = 1/m = 1/σ.

Пример.Написать дифференциальную и интегральную функциираспределения для показательного закона, если параметр µ = 5.

Подставляя µ = 5 в соотношения (1) и (2), имеем:f (x) = 0; x < 0; 5e-5x; x ≥ 0F (x) = 0; x < 0; 1 - e-5x; x ≥ o

3. Нормальное распределение (нормальный закон распределениянепрерывной случайной величины)

Определение 1. НСВ Х распределена нормально, если еедифференциальная функция распределения (плотность распределения) имеетвид

f (x) = exp (-(x-m)2/2σ2) /σ√(2π); ∀x∈ (-∞; +∞).Этот закон характеризуется двумя параметрами: m ≥ 0; σ > 0.Покажем, что выполняется условие нормировки: −∞S+∞ f (x).dx=1−∞S+∞ exp (-(x-m)2/2σ2)/σ√(2π). dx = | (x-m)/σ = z | x-m = σz | x = m + σz

22

| dx = σ . dz

x −∞ +∞z −∞ +∞

= −∞S+∞ exp(-z2/2) dz/√(2π).

Заметим, что здесь получился т.н. интеграл Эйлера-Пуассона: −∞S+∞ exp(-z2/2) . dz = √2π

С учетом этого действительно в ответе: 1.Найдем числовые характеристики нормального распределения:М(Х) = −∞S+∞ x . f (x) / dxM(X) = −∞S+∞ x . exp(-(x-m)2/2σ2)/σ√(2π) . dx = | (x - m)/ σ = z | ................. | .................

=−∞S+∞(σ.z + m) . exp(-z2/2)/√2π . dz = σ√2πS+∞−∞z . exp(-z2/2) . dz + m−∞S+∞ . exp (-

z2/2).dz/√2π = mЗамечание: первый из интегралов указанной суммы равен 0 как интеграл

от нечетной функции по симметричному промежутку; второй есть интегралЭйлера-Пуассона.

Аналогично можно показать, что D(X) = σ2.

Таким образом, подтвержден - заложенный в обозначениях! -вероятностный смысл параметров m и σ нормального закона распределения.

Определение 2. График дифференциальной функции нормальногораспределения называется нормальной кривой (или кривой Гаусса).

Укажем теперь влияние параметров m и σ на форму кривойраспределения.

23

у = f(x) = exp(-(x-m)2/2σ2)/σ√(2π); m ≥ 0; σ > 0Ymax = f(m) = 1/σ√2πИзменение параметра m означает смещение кривой Гаусса вправо или

влево.

σ = 3: вершина опустится; “крылышки” поднимутся: т.к. площадь,ограниченная кривой Гаусса, должна остаться равной 1 (условие нормировки).

Замечание: если НСВ Х распределена нормально с математическиможиданием m и стандартным отклонением σ, то это обычно обозначается так:

X∼ N (m; σ)Например: распределение X∼N (0; 1) называется стандартным

(единичным) нормальным распределением (m = 0; σ = 1).Вычислим вероятность попадания нормально распределенной СВ Х на [α;

β]:P (α < x < β) = βSα f(x) . dxP (α < X < β) = αSβ exp(-(x-m)2/2σ2)σ√(2π) . dx = | x - m/σ = z | x - m = σz | x = m + σz | dx = σ . dzΧ α βz (α - m)/σ = z1 (β - m)/σ = z2

= z1Sz2 exp(-z2/2). dz/√(2π)

Указанный интеграл в элементарных функциях не выражается, поэтомудля вычисления указанной вероятности используют т.н. функцию Лапласа(интеграл вероятностей):

Ф(z) = 0Szexp(-z2/2)dz/√2π;тогда

24

P (α < X <β) = Ф (z2) - Ф (z1) = Ф ((β - m)/σ) - Ф ((α - m)/σ)Замечание: для функции Лапласа можно указать представляющий ее т.н.

степенной ряд, с помощью которого эта функция протабулирована (т.е. дляэтой функции составлены таблицы значений - cмотрите приложение I.

P (α < X < β) = Ф ((β - m)/σ) - Ф((α - m)/σ) ( *)Можно доказать, что функция Ф (z) обладает свойствами:1. Ф (0) = 02. Ф (-z) = -Ф (z) (нечетность Ф (z))3. Ф (+∞) = 0,5Используя свойство нечетности функции Ф(z), выведем формулу для

вычисления вероятности попадания нормально распределенной СВХ напромежуток длиной 2l и симметричной относительно МО m.

α = m - l β = m + l

P (m - l < X < m + l) = Ф(l/σ) - Ф (-l/σ) = 2 Ф (1/σ)P (m - l < -X < m + l) = 2 . Ф(l/σ) (**)m - l < X < m + l ↔ -l < X - m < l ↔ |X - m| < lP (|X - m| < l) = 2 . Ф (l/σ) (**)Укажем т.н. “правило трех сигм”.l = σ P (|X - m | < σ) = 2 . Ф (1) = 0,683l = 2σP (|X - m| < 2σ) = 2 . Ф(2) = 0,954l = 3σP (|X - m| < 3σ = 2 . Ф (3) = 0,997 (***)

25

Таким образом, практически все значения нормально распределеннойНСВ Х лежат на промежутке [m - 3σ; m + 3σ]

Это и есть “правило трех сигм” (***)

Практическое занятие № 1Нормальное распределение

Задача 1.Математическое ожидание нормально распределенной случайной

величины Х m = 3 и стандартное (среднее квадратическое) отклонение σ = 2.Написать дифференциальную функцию распределения СВХ: f (x) = exp(-(x -3)2/8)/ 2√(2π)

Задача 2.Написать дифференциальную функцию распределения (плотность

распределения) СВХX ∼ N (3; 4).f (x) = exp (-(x - 3)2/32))/4√(2π)

Задача 3.Случайная величина Х имеет плотность распределения f (x) =exp (-(x -

1)2/50)/5√(2π).. Найти математическое ожидание, дисперсию и стандартноеотклонение СВХ.

Очевидно, что СВХ распределена нормально, следовательно, m = 1; d =25; σ = 5.

Задача 4.Написать плотность распределения стандартного нормального закона.Как известно, для стандартного нормального закона m = 0; σ = 1.

Следовательно:f (x) = exp (-x2/2)/√(2π) ≈ 0,4 . exp (-x2/2)

Задача 5.Известно, что Х ∼ N (10; 2). Найти P (12 < X < 14).

26

Воспользуемся формулойP (α < X < β) = Ф ((β - m)/σ) - Ф ((α - m)/σ)Т.к. α = 12; β = 14; m = 10; σ = 2, получим:P (12 < X < 14) = Ф (2) - Ф (1) = 0,4772 - 0,3413 = 0,1359

Задача 6.Производится измерение диаметра вала без систематических (одного

знака) ошибок. Случайные ошибки измерения Х подчинены нормальномузакону со стандартным отклонением σ = 10 (мм). Найти вероятность того, чтоизмерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютнойвеличине 15 мм.

Математическое ожидание случайных ошибок очевидно, естественносчитать равным нулю, поэтому можно воспользоваться формулой

P (|X| < l) = 2 . Ф (l/σ)Т.к. д = 15; σ = 10, то P (|X| < 15) = 2 . Ф (1,5)Находим значение Ф (1,5) - как и все предыдущие значения Ф по

соответствующей таблице (приложение I).Ф (1,5) = 0,4332. Искомая вероятность:P (|X| < 15) = 2 . 0,4332 = 0,8664

Задача 7.Автоматическое устройство штампует детали. Контролируется длина

детали Х, которая распределена нормально, причем проектная длина детали 50мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм.Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б)меньше 40 мм.

Очевидно, здесь надо воспользоваться формулой:P (α < X <β) = Ф ((β - m)/σ) - Ф ((α - m)/σ)Действительно, в случае а) надо искать:Р (55 < X < 68);в случае б): Р (32 < X < 40). Поэтому надо знать m и σ. Относительно m

ситуация ясна: m - математическое ожидание - это проектная длина (m = 50).Для отыскания σ заметим, что

Р (32 < X < 68) = 1P (32 < X < 68) = Ф ((68 - 50)/σ) - Ф((32 - 50)/σ) = 1Ф (18/σ) - Ф (-18/σ) = 12 . Ф(18/σ) = 1 Ф (18/σ) = 1/2 = 0,5 18/σ = 5σ = 3,6Тогда: Р (55 < X < 68) = Ф ((68 - 50)/3,6) - Ф ((55 - 50)/3,6) = Ф (5) - Ф

(1,39) = 0,5 - 0,4177 = 0,0823Р (32 < X < 40) = Ф ((40 - 50)/3,6) - Ф ((32 - 50)/3,6) = Ф(-10/3,6) - Ф (-

18/3,6) = Ф (5) - Ф (2,78) = 0,5 - 0,4973 = 0,0027

27


1. СВ Х∼ N (20; 5). Найти Р (15 < X < 25). [0,6826]2. Производится взвешивание некоторого вещества без математических

ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону состандартным отклонением σ = 20 г. Найти вероятность того, что взвешиваниебудет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.[P (|X| < 10) = 0,383]

3. Автоматическое устройство изготовляет шарики. Шарик считаетсягодным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера поабсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Храспределена нормально со стандартным отклонением σ = 0,4 мм, найти,сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

[P (|X| < 0,7 = 2 . Ф (0,7/0,4) = 0,92, т.е. примерно 92 шарика из 100окажутся годными].

4. Деталь, изготовленная автоматическим устройством, считается годной,если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10мм. Случайные отклонения контролируемого размера подчинены нормальномузакону (m = 0; σ = 5 мм). Сколько процентов годных деталей изготавливаетавтоматическое устройство? [ ≈ 95%]

5. Случайная величина Х распределена нормально с математическиможиданием m = 10. Вероятность попадания Х в интервал (10; 20) равна 0,3.Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0; 10)? [0,3]

6. Станок-автомат изготавливает валики, причем контролируется ихдиаметр Х. Считая, что Х ∼ N (10; 0,1), найти интервал, симметричныйотносительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,9973будут заключены диаметры изготовленных валиков. [9,7; 10,3]

7. Модой М0(Х) называют то возможное значение случайной величины Х,при котором плотность распределения имеет максимум; медианой Ме(Х)называют то возможное значение Х, при котором ордината f (x) делит пополамплощадь, ограниченную кривой распределения.

Случайная величина Х∼ N (m; σ). Найти моду и медиану СВХ. [M0(X) =Mе(Х) = m].

Глава III. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В чем смысл названия главы? Как уже отмечалось, законы теориивероятностей получены в результате изучения реальных закономерностей,присущих массовым случайным событиям. Наличие указанныхзакономерностей связано именно с массовостью явлений (т.е. с большим

28

числом испытаний или с большим числом складывающихся случайныхвоздействий, порождающих некоторую случайную величину, подчиненнуюопределенному закону). Свойство устойчивости массовых однородныхслучайных событий известно давно: конкретные особенности каждогоотдельного случайного события почти не сказываются на среднем результатемассы таких событий. Именно эта устойчивость средних и есть содержание“закона больших чисел” (ЗБЧ), понимаемого в широком смысле термина: приочень большом числе случайных событий средний их результат практическиперестает быть случайным и может быть предсказан (с большой степеньюдостоверности).

В узком смысле термина под “ЗБЧ” понимается ряд теорем, в каждой изкоторых при тех или иных условиях устанавливается факт приближениясредних характеристик большого числа испытаний к некоторым определеннымпостоянным.

ЗБЧ играет существенную роль в практике применения теориивероятностей, т.к. позволяет предсказывать результаты массовых однородныхслучайных событий почти с полной определенностью.

Возможности таких предсказаний еще больше расширяются наличиемдругой группы предельных теорем - т.н. предельных законов распределения.

Здесь речь идет о группе теорем, известных под названием “центральнойпредельной теоремы” (ЦПТ). Доказано, что при суммировании достаточнобольшого числа случайных величин закон распределения их суммынеограниченно приближается к нормальному (при некоторых условиях,которые по существу сводятся к требованию, чтобы влияние на суммуотдельных слагаемых было равномерно малым).

Различные формы ЗБЧ вместе с различными формами ЦПТ и образуютсовокупность т.н. предельных теорем теории вероятностей, которые даютвозможность не только осуществлять определенные - научно обоснованные! -прогнозы в области случайных явлений, но и оценивать точность этихпрогнозов.

1. Неравенство Чебышева

Пусть имеется СВХ с МО mx = m и дисперсией D(X) = D. Тогда для ∀α >0 имеет место:

Р(|X - m| ≥ α) ≤ D/α2

Доказательство (для ДСВХ): пусть ДСВХ имеет распределениеХ х1 х2 ... хn

P p1 p2 ... pn

Изобразим эту ДСВХ на числовой оси:

29

Возьмем ∀α > 0 и рассмотрим [m - α; m + α]P(|X - m| ≥ α) = ∑pi

|xi - m) ≥ α|D = M{[X - m]2} = i = 1∑n (xi - m)2 . pi = i = 1∑n |xi - m|2 . pi ≥ |xi - m| ≥α∑.α2.pi = α2

. ∑|xi - m| ≥α = α2 P(|X - m| ≥ α)

P(|X - m| ≥ α) ≤ D/α2

Замечание. Учитывая, что события: |X - m| ≥α и |X - m| < α -противоположные, запишем другую форму неравенства Чебышева:

P(|X - m| < α) ≥ 1 - D/α2

Пример. Имеется некоторая СВХ с m и D. Оценить вероятностьследующего события:

P(|X - m| ≥ 3σ)Решение. P(|X - m| ≥ 3σ) ≤ D/(3σ)2 = σ2/9σ2 = 1/9Вывод: неравенство Чебышева дает верхнюю границу вероятности

данного отклонения. Выше этой границы вероятность не может быть ни прикаком законе распределения. На практике в большинстве случаев вероятностьтого, что СВХ выйдет за пределы участка m ± 3σ, значительно меньше 1/9.Например, для нормального закона эта вероятность ≈ 0,003. Если закон

30

распределения СВХ неизвестен, а известны m и σ, на практике обычно считаютотрезок [m - 3σ; m + 3σ] участком практически возможных значений СВХ (т.н.обобщенное “правило трех сигм”).

2. Теорема Чебышева (закон больших чисел)

Предварительно рассмотрим следующую вспомогательную задачу.Имеется СВХ с mx и Dx. Над этой величиной производится n независимых

опытов и вычисляется среднее арифметическое (СА) всех наблюдавшихсязначений Х. Требуется найти числовые характеристики этого СА - МО идисперсию - и выяснить, как они изменяются с увеличением n.

Обозначим:Х1 - значение величины Х в первом опыте;Х2 - значение величины во втором опыте etc.Естественно ожидать, что совокупность величин Х1; Х2; ...; Хn

представляет собой n независимых СВ, каждая из которых распределена потому же закону, что и сама величина Х. Рассмотрим СА этих величин:

Y = i = 1∑nXi/nи найдем числовые характеристики этого СА:

my=M(Y)=M(i=1∑Xi/n)=1/n M[i=1∑nXi]=1/n.n.M[Xi]=1/n.n.mx=mx

dy=D(Y)=D (i=1∑nXi/n)=1/n2D(i=1∑Xi)=1/n2 . n . D(Xi)=1/n . Dx

Итак, МО величины Y не зависит от числа опытов и равно МОнаблюдаемой величины Х; дисперсия же Y неограниченно убывает сувеличением числа опытов и при достаточно большом n может быть сделанасколь угодно малой. Мы убедились, что СА есть СВ со сколь угодно малойдисперсией и при большом числе опытов ведет себя почти как не случайная.

Теорема Чебышева и устанавливает в точной количественной форме этосвойство устойчивости СА. Сформулируем эту теорему, предварительно указавследующее:

Определение. Говорят, что СВ Хn cходится по вероятности к величине а,если при увеличении n вероятность того, что Хn и а будут сколько угодноблизки, неограниченно приближается к 1, т.е. при достаточно большом n имеетместо:

Р(|Xn - а| < ε) > 1 -δ,где ε, δ- произвольно малые положительные числа.

Теорема ЧебышеваПри достаточно большом числе независимых опытов СА наблюдавшихся

значений СВ сходится по вероятности к ее МО.

31

Другими словами:

Р(|i=1∑nXi/n - mx| < ε) > 1-δЗамечание: для доказательства теоремы Чебышева достаточно применить

неравенство Чебышева к СВ Y = i=1∑nXi/nПрямым следствием ЗБЧ является известная теорема Я. Бернулли,

устанавливающая связь между частотой события и его вероятностью.Теорема БернуллиПусть производится n независимых опытов , в каждом из которых может

появиться или не появиться некоторое событие А; вероятность появления А вкаждом опыте есть р. При неограниченном увеличении числа опытов n частотасобытия А сходится по вероятности к его вероятности р.

Обозначая частоту события А через W(A), имеем:P(|W(A) - p| < ε) > 1 -δ,

где ε, δ - сколь угодно малые положительные числаW(A) = m/n;

где m - число испытаний, в которых событие А появилось;n - общее число испытанийМожно доказать, что имеет место соотношение:P(|m/n - p|) < ε ) ≥ 1 - p(1 - p)/(n .ε 2), т.е.δ = p(1 - p) /( n .ε 2)Заметим, что если p + q = 1, то max [p . (1 - p)] = 1/4Замечание: теорема Бернулли утверждает устойчивость частоты при

постоянных условиях опыта; при изменяющихся условиях опыта аналогичнаяустойчивость также существует и выражается теоремой Пуассона.

Если производится n независимых опытов и вероятность появлениясобытия А в i-опыте есть pi, то при неограниченном увеличении n частотасобытия А сходится по вероятности к СА вероятностей pi.

3. Теорема Ляпунова (центральная предельнаятеорема). Интегральная теорема Лапласа

(теорема Муавра-Лапласа)

Рассмотрим вопрос, связанный с отысканием предельного законараспределения суммы СВХi Y = i=1∑nXi , когда число слагаемых СВнеограниченно возрастает. Теорема Ляпунова (ЦПТ) указывает условия, прикоторых рассматриваемый предельный закон является нормальным.

Теорема Ляпунова. Если СВ Х1; Х2; ...; Хn независимы и имеют один и тотже закон распределения с МО М(Х) и дисперсией D(Х), то при неограниченномувеличении n-числа СВ закон распределения суммы приближается кнормальному (рассмотрим без доказательства).

Из теоремы Ляпунова следует, что можно - в ее условиях - пользоватьсяформулами:

P(α < Y < β) = Ф((β - M(Y))/σ(Y)) - Ф((α - M(Y))/σ(Y)) (*)

32

P(|Y - M(Y)| < l) = 2 Ф(l/σ(Y)) (**)Замечание: часто рассматривается СА нескольких СВ Хi; i = 1, 2, ..., n;

распределенных одинаково с М(Х) и D(Х), т.е. Y = i=1∑nXi/n.Для этого случая в предыдущем пункте было доказано:M(Y) = M(X)D(Y) = 1/n D(X) D(Y) = σ2(Y); D(X) = σ2(X)σ(Y) = 1/√n .σ(X)Пример 1. Автоматическая линия производит детали, длина которых Х по

номиналу должна быть 50 см; дисперсия σ2(Х) = 0,64 (σ = 0,8). Контролер,измерив длину ста случайно выбранных деталей, установил, что СА (Y =1/100i=1∑nXi) длин этих деталей 50,8 см. Это случайность или линия сталавыпускать детали длиннее номинала?

Определим, в каких пределах может меняться СА длин сотни деталей попричине случайности, например, с вероятностью 0,95.

Согласно теореме Ляпунова СА, т.е. Y =i=1∑nXi/100 распределено позакону, близкому к нормальному, т.е.

P(|Y - M(Y)| < l) ≈ 2 Ф(l/σ(Y)) (**)D(Y) = 1/100 D(X) σ(Y) = 1/10 σ(X) = 0,8/10M(Y) = M(X) = 50P(|Y - 50| < l) = 2 Ф(l . 10/0,8) = 2 Ф(12,5 . ) = 0,95Ф(12,5 . l) = 0,475 12,5 . l = 1,96 =1,96 l = 0,16P(|Y - 50) < 0,16) = 0,95-0,16 < Y - 50 < 0,1650 - 0,16 < Y < 50 + 0,1649,84 < Y < 50,16 У нас: 50,8Вывод: автоматическая линия неисправна (с достоверностью 0,95)Замечание: соотношениеP(|X - m| < l) = P(m - l < X < m + l) = γ

можно перефразировать так: вероятность того, что Х не выйдет за пределыинтервала (m - l, < m + l), равна γ. Принято называть этот интервалдоверительным интервалом СВХ с уровнем достоверности γ.

Если в условиях теоремы Ляпунова считать, что все СВХi одинаковораспределены, дискретны и принимают только два возможных значения: 0 и 1,то приходят к интегральной теореме Лапласа (теореме Муавра-Лапласа),которая представляет, таким образом, частный случай теоремы Ляпунова иформулируется так:

Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событиеА появляется с вероятностью р (биномиальный эксперимент!), то вероятностьтого, что это событие наступит не менее к1 раз и не более к2 раз, вычисляется поформуле

(к1< к2; q = 1 - p):

33

Pn(k1; k2) = Ф ((k2 - np)/√npq) - Ф((k1 - np)/√npq)Пример 2. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых

испытаний одна и та же р = 0,8. Найти вероятность того, что событие появитсяне менее 60 и не более 90 раз.

р = 0,8; q = 1 - 0,8 = 0,2; n = 100; k1 = 60; k2 = 90P100(60; 90) = Ф((90-80)/√16) - Ф((60 - 80)/√16) = Ф(2,5) + Ф(3) = 0,4938 +

0,5 = 0,9938 ≈ 0,99Пример 3. Вероятность появления события в каждом из независимых

испытаний 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью0,9 можно было утверждать, что событие появится не менее 75 раз.

p = 0,8; q = 0,2; p = 0,9; k1 = 75; k2 = n (?)0,9=Pn (75; n)=Ф((n-0,8n)/√n . 0,8 . 0,2) - Ф((75 - 0,8n)/√0,16 . n)0,9 = Ф(0,2n/0,4√n) - Ф((75 - 0,8n)/0,4√n) = 0,5Так как n > 75, √n > √75; √n/2 > √75/2 = 4,33Ф(√n/2) > Ф(4,33) = 0,50,4 = -Ф((75 - 0,8n)/0,4√n)0,4 = Ф((0,8n - 75)/0,4√n) =1,28 (по таблице)(0,8n - 75)/0,4√n = 1,280,8n - 75 = 0,512√n; √n = t;0,8t2 - 0,512t - 75 = 0t1 = 10 t2 = -10 (не подходит)√т = 10 т = 100Ответ: искомое число испытаний n = 100.Замечание: интегральную теорему Лапласа (теорему Муавра-Лапласа) не

следует смешивать с локальной теоремой Лапласа, в которой утверждаетсяследующее:

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которыхвероятность появления события равна р(0 < p < 1), событие наступит ровно kраз, приближенно равна (и тем точнее, чем больше n)

Pn(k) = Pk;n = ϕ(x)/√npq; ϕ(x) = exp(-x2/2)/√(2π)x = (k -np)/√npq[Функция ϕ(х) протабулирована; и т.к. эта функция четная, для

отрицательных значений х пользуются той же таблицей - смотрите приложениеI].

Таким образом, налицо ситуация формулы Бернулли: Pk;n=Cnk . Pk . qn-k, но

локальная теорема Лапласа применяется в тех случаях, когда счет по формулеБернулли озадачивает даже ЭВМ.

Практическое занятие № 1Неравенство Чебышева. Теорема Ляпунова

34

Задача 1.Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов.

Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощьюнеравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величинаразности между числом отказавших элементов и средним числом (МО) отказовза время Т окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.

Решение: Обозначим Х - дискретная случайная величина - числоотказавших элементов (за время Т). Тогда

M(X) = m = n . p M(X) = 10 . 0,05 = 0,5D(X) = d = n . p . q D(X) = 10 . 0,05 . 0,95 = 0,475В соответствии с неравенством Чебышева:P(|X - m| < α) ≥ 1 - D(X)/α2

получим:P(|X - 0,5| < 2) ≥ 1 - 0,475/4 = 0,88Т.к. события |X - 0,5| < 2 и |X - 0,5| ≥ 2 - противоположные, тоP(|X - 0,5| ≥ 2) ≤ 1 - 0,88 = 0,12

Задача 2.Вероятность появления события А в каждом испытании 1/2. Используя

неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число появленийсобытия А заключено в пределах от 40 до 60, если будет произведено 100независимых испытаний.

Решение: Заметим, что М(Х) и D(X), где Х - дискретная случайнаявеличина - число появлений события А в 100 независимых испытаниях -соответственно равны:

M(X) = m = n . p M(X) = m = 100 . 0,5 = 50D(X) = n . p . q D(X) = 100 . 0,5 . 0,5 = 25Число 50 - середина промежутка (40; 60); так что в неравенстве Чебышева

α = 10:Р(40 < X < 60) = P(|X - 50| < 10) ≥ 1 - 25/102 = 0,75

Задача 3.Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения:Х 0,3 0,6Р 0,2 0,8

Используя неравенство Чебышева, оценить P(|X - m| < 0,2)Решение: M(X) = m = 0,3 . 0,2 + 0,6 . 0,8 = 0,54 D(X) = M(X2) - M2(X)D(X) = 0,32 . 0,2 + 0,62 . 0,8 - 0,542 = 0,0144P(|X - m| < α) ≥ 1 - D(X)/α2

35

P(|X - 0,54| < 0,2) ≥ 1 - 0,0144/4 = 0,64Замечание: в предыдущих трех задачах оценивалась вероятность

отклонения некоторой дискретной случайной величины Х от еематематического ожидания с помощью неравенства Чебышева, которое - какизвестно - дает нижнюю границу вероятности заданного отклонения. Другуюграницу вероятности заданного отклонения можно указать с помощью теоремыЛяпунова, из которой, в частности, следует, что этой границей является оценка,полученная с помощью приближения заданного распределения нормальным(распределением Гаусса):

P(|X - m| < α) = 2 . Ф(α/σ)С этой точки зрения имеем:в задаче № 1: P(|X-0,5|<2) ≈ 2.Ф(2/√0,475) = 2.Ф(2/0,69) = 2.Ф(3,22) =

2.0,4993 = 0,9986σ = √0,475 - 0,69P(|X - 0,5| < 2) ≈ 0,9990,88 ≤ P(|X - 0,5| < 2) < 0,999В задаче 2: σ = √25 = 5P(|X - 50| < 10) = 2 . Ф(10/5) = 2 . Ф(2)=2 . 0,4772 = 0,9544= 0,960,75 ≤ P(|X - 50| < 10) < 0,96В задаче 3: σ = √0,0144 = 0,12P(|X - 0,54| < 0,2) = 2 . Ф(0,2/0,12) = 2 . Ф(1,67)=2 . 0,4525=0,9050,64 ≤ P(|X - 0,54| < 0,2) ≤ 0,905Таким образом, совместное использование неравенства Чебышева и

теоремы Ляпунова позволяет нам указать оценку, которая определяется двумячислами - концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр - вданном случае это вероятность заданного отклонения случайной величины Х отее математического ожидания (такие оценки называются интервальными).

Задача 4.Непрерывная случайная величина Х имеет распределение Симпсона:f(x) = 0; x ≤0; x; 0 < x ≤ 1; 2 - x; 1 < x ≤ 2; 0; x > 2

Используя неравенство Чебышева и теорему Ляпунова, оценить:P(0,5<X<1,5).

Решение: найдем числовые характеристики М(Х), Д(Х) и σ(Х):M(X) = m = −∞S+∞x . f(x) . dxM(X) = m = 0S1x . x . dx + 1S2(2 - x) . dx = 0S1x2 . dx + 1S2(2x - x2) . dx =

x3/3(10 + 2 . x2/2|21 - x3/3|21 = ... = 1D(X) = M(X2) - M2(X)M(X2) = −∞S+∞x2 . f(x) dx

36

M(X2) = 0S1x2 . x . dx + 1S2x2(2 - x) . dx = 0S1x3 . dx + 1S22x2 . dx - 1S2x3 . dx =x4/4|10 + 2 . x3/3|21 - x4/4|21 = ... = 7/6 = 1(1/6)

D(X) = 1(1/6) - 1 = 1/6σ(X) = √1/0 ≈ 0,4082С учетом того, что m = 1, нам надо оценить:P(0,5 < X < 1,5) = P(|X - 1| < 1/2)Используя неравенства Чебышева, имеем:P(|X - 1| < 1/2) ≥ 1 - (1/6) : (1/2)2 = 1/3 ≈ 0,3333Используя теорему Ляпунова (т.е. рассматривая нормальное

приближение), получим:P(|X-1|<1/2)=2 . Ф(0,5/√1/6)=2 . Ф(√6/2)=2 . Ф(1,225)=2 . 0,3907 =0,7814Ответ: 0,3333 ≤ P(|X - 1| < 0,5) ≤ 0,7814 или 0,33 < Р(|X - 1| < 0,5) < 0,79.Замечание: здесь можно указать и точную оценку:P(|X - 1| < 0,5) = 0,75


1. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятностьтого, что за время Т лампа будет включена, равна 0,8. Оценить вероятностьтого, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп исредним числом включенных ламп за время Т окажется меньше трех.

2. Вероятность появления события в каждом испытании равна 1/4.Оценить вероятность того, что число Х появлений события заключено впределах от 150 до 250, если будет произведено 800 испытаний.

3. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределенияХ 0,1 0,4 0,6Р 0,2 0,3 0,5

Оценить P(|X - m| < √0,4)

Практическое занятие № 2Отклонение относительной частоты

от вероятности в независимых испытаниях

Заметим, что оценка отклонения относительной частоты появлениясобытия от вероятности появления события вытекает из теоремы Ляпунова исоответствующее предложение формулируется так:

Вероятность р1 того, что в n независимых испытаниях, в каждом изкоторых вероятность появления события равна р (0 < p < 1), абсолютнаявеличина отклонения относительной частоты появления события отвероятности появления события не превышает ε > 0, приближенно равнаудвоенной функции Лапласа при х = ε.√n/pq:

P1 = P(|m/n - p| ≤ε) ≈ 2 . Ф(ε√n/pq)

37

Задача 1.Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний

равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появлениясобытия отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чемна 0,04.

Решение: n = 625; p = 0,8; q = 0,2; ε = 0,04

P(|m/625-0,8|≤0,04)≈2.Ф(0,04√625/0,8.0,2)=2.Ф(2,5)=2.0,4938=0,9876


равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота появлениясобытия отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чемна 0,02.

Решение: n = 900; p = 0,5; q = 0,5; ε = 0,02

P(|m/900 - 0,5| ≤ 0,02) ≈ 2 . Ф(0,02 .√900/0,5 . 0,5) = 2 . Ф(1,2) = 2 . 0,3849 =0,7698

Задача 3.Французский ученый Бюффон (XVIII век) бросил монету 4040 раз,

причем “герб” появился 2048 раз. Найти вероятность того, что при повторенииопыта Бюффона относительная частота появления “герба” отклонится отвероятности появления “герба” по абсолютной величине не более, чем в опытеБюффона.

Решение: узнаем относительную частоту появления “герба” в опытеБюффона:

W = 2048/4040 = 256/505; в то же время вероятность появления “герба” влюбом опыте P = 1/2. Таким образом, ε (в опыте Бюффона) есть |W - p| =|256/505 - 1/2| = 7/1010

Тогда P(|m/4040 - 1/2| ≤ 7/1010) = 2 . Ф(7/1010 . √4040/0,5.0,5 = 2.Ф(0,88) =2 . 0,3106 = 0,6212

Задача 4.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний

равна 0,5. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью 0,7698 можноожидать, что относительная частота появления события отклонится от еговероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,02.

Решение: p = 0,5; q = 0,5; ε = 0,02P(|m/n - pl < 0,02) = 2Ф(0,02 √ n/0,5.0,5) = 0,7698;Ф(0,04 . √ n) = 0,3849 = Ф(1,2)0,04√n = 1,2 √n = 30 n = 900

38


равна 0,8. Найти такое положительное число ε, чтобы с вероятностью 0,99абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события отего вероятности не превышала ε.

Решение: n = 400; p = 0,8; q = 0,22 . Ф(ε√400/(0,8.0,2) = 0,99 Ф(50ε) = 0,495 = Ф(2,57) 50ε = 2,57 ε = 0,05

Задача 6.Отдел технического контроля проверяет на стандартность 900 деталей.

Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95границы, в которых будет заключено число m стандартных деталей средипроверенных.

Решение: n = 900; p = 0,9; q = 0,12 . Ф(ε√900/(0,9.0,1)) = 0,95Ф(ε . 100) = 0,475 = Ф(1,96)100 ε = 1,96 ε = 0,02Таким образом, с вероятностью 0,95 отклонение относительной частоты

числа стандартных деталей от вероятности 0,9 удовлетворяет неравенству| m/900 - 0,9 | ≤ 0,02-0,02 ≤ m/900 - 0,9 ≤ 0,020,88 ≤ m/900 ≤ 0,92792 ≤ m ≤ 828Задача 7.Какое минимальное число опытов следует провести, чтобы с

вероятностью 0,95 можно было утверждать, что относительная частотапоявлений события будет отличаться от его вероятности, равной 0,6, не болеечем на 0,02 (по абсолютной величине)? Ответ дать с помощью неравенстваЧебышева и теоремы Ляпунова. Объяснить различие результатов.

Решение: возьмем даже не само неравенство Чебышева, а следствие изнего (теорему Бернулли):

P(|m/n - p| ≤ε) ≥ 1 - p . q/n .ε2

ε = 0,02 p = 0,6 q = 0,4P(|m/n - 0,6| ≤ 0,02) ≥ 1 - 0,6.0,4/(n.0,022) = 0,951 - 0,6.0,4/(n.0,022) = 0,95 1 - 0,95 = 0,6.0,4/(n .0,022) = 0,05n = 0,6.0,4/(0,05 . 0,022) = 12000 n ≤ 12000По следствию из теоремы Ляпунова:P(|m/n - 0,6| ≤ε) = 2.Ф(ε√(n/(p.q))0,95 = 2.Ф(0,02 . √(n/(0,6.0,4))0,475 = Ф(1,96)0,02 √(n/(0,6.0,4)) = 1,96 n = 220,496 ≈ 2205 точнее: n ≥ 2205

39

Таким образом, установлены границы для n: 2205 ≤ n ≤ 12000Различие результатов объясняется тем, что неравенство Чебышева дает

нижнюю границу для n (“грубая” оценка), а теорема Ляпунова - верхнююграницу для n (нормальная оценка или оценка Гаусса).

Задачи для самостоятельного решения1. Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых

испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частотапоявления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине неболее чем на 0,01 [0,979]

2. Вероятность появления события в каждом из независимых испытанийравна 0,2. Найти наименьшее число испытаний n, при котором с вероятностью0,99 можно ожидать, что относительная частота появлений события отклонитсяот его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04. [n = 661]

3. Вероятность появления события в каждом из 900 независимыхиспытаний равна 0,5. Найти такое число ε > 0, чтобы с вероятностью 0,77абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события отего вероятности 0,5 не превысила ε. [ε = 0,02]

4. Игральный кубик бросают 80 раз. Найти с вероятностью 0,99 границы,в которых будет заключено число m выпадений “шестерки”.

5. Как найти вероятность того, что наудачу выбранный студент собираетмарки? Можно, например, опросить некоторое число студентов. Если среди nопрошенных студентов окажется m коллекционеров, то искомая вероятность р≈ m/n (относительная частота). Сколько студентов надо опросить, чтобыпогрешность вычисления вероятности не превосходила бы 0,005, если желаемполучить правильный результат с вероятностью 0,95? (Задачу решить двумяспособами; различие результатов объяснить). [40000; 200000].

Глава IV. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХУРАВНЕНИЙ. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.ПОНЯТИЕ О СТОХАСТИЧЕСКОМПРОГРАММИРОВАНИИ

1. Решение систем линейных уравнений

Предварительно напомним некоторые общие определения и понятия,связанные с системами линейных уравнений. Прежде всего заметим, что мывводим иную - по сравнению со средней школой - систему обозначенийкоэффициентов при неизвестных (переменных), при которой элемент aijозначает тот факт, что он (этот элемент) стоит в i-уравнении при j-неизвестном(переменной). В этом случае система m линейных уравнений (т.е. уравнений, в

40

которых неизвестные рассматриваются в первой степени) с n неизвестнымивыглядит так:

а11х1 + а12х2 + ... + а1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ( 1)............................................am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

Коэффициенты b1; b2; ...; bm, , стоящие в правых частях уравненийсистемы (1), носят название свободных членов.

Решением системы линейных уравнений (1) называется такаясовокупность n чисел (х1; x2; ...; xn), что каждое из уравнений системы (1)обращается в тождество (верное равенство) после замены неизвестныхуказанными числами. Подчеркнем, что указанные n чисел составляют однорешение системы (1).

Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то онаназывается совместной; если не имеет решений, то несовместной. Совместнаясистема называется определенной, если она обладает одним (единственным)решением, и неопределенной, если решений больше, чем одно (заметим, что вэтом случае решений бесконечное множество).

Задача теории систем линейных уравнений состоит в разработке методов,позволяющих узнать, совместна ли данная система уравнений или нет; в случаесовместности установить число решений, а также указать способы найти всеэти решения.

Среди методов исследования систем линейных уравнений особую роль (вчастности, в линейном программировании) играют методы последовательногоисключения неизвестных (метод Гаусса) и полного исключения неизвестных(метод Жордано-Гаусса). Эти методы основаны на элементарныхпреобразованиях системы уравнений, под которыми понимают илиперестановку двух каких-нибудь уравнений системы, или умножение обеихчастей уравнения на любое отличное от нуля число, или прибавление к обеимчастям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения,умноженных на любое число. Легко видеть, что при элементарныхпреобразованиях система линейных уравнений переходит в эквивалентнуюсистему (т.е. систему, имеющую те же решения, что и исходная, или - как иисходная - не имеющая решений).

Поясним сказанное примерами.Пример 1. х1 + х2 + х3 = 1 х1 + х2 = 1/2 x1 + x3 = 3/4При решении этой системы способом Гаусса исключим первое

неизвестное х1 из всех уравнений системы, кроме первого. Для этогодостаточно, оставив первое уравнение без изменения, вычесть его из второго итретьего уравнений.

41

Получим:х1 + х2 + х3 = 1 - х3 = -1/2 (1’) -x2 = -1/4

Меняя местами второе и третье уравнения и умножая затем эти уравненияна (-1), имеем:

x1 + x2 + x3 = 1 x2 = 1/4 (1’’) x3 = 1/2

Таким образом, оказалось, что уже все переменные последовательноисключены (в данном случае нам, конечно, “повезло” - пример оказалсяпростым). В более сложных примерах нам придется: оставив во второмуравнении х2, исключать эту переменную из остальных уравнений; потоманалогично поступать с х3 и т.д. Но здесь уже все почти закончено. Дальнейшеевыглядит так: из последнего уравнения находим х3 = 1/2; из предпоследнего х2= 1/4; из первого уравнения:

х1 = 1 - х2 - х3С учетом того, что х2=1/4; x3=1/2 имеем х1=1=1/4 - 1/2=1/4Делаем проверку: 1/4 + 1/4 + 1/2 = 1 (истинно) 1/4 + 1/4 = 1/2 (истинно) 1/4 + 1/2 = 3/4 (истинно)

и убеждаемся, что решение системы найдено верно, после чего записываемответ: x1 = 1/4; x2 = 1/4; x3 = 1/2 или (1/4; 1/4; 1/2).

Замечание 1: решая исходную систему по способу Гаусса, мы приходим -в данном случае - к т.н. треугольному виду, что гарантирует намединственность решения. Таким образом, мы сразу видим и совместностьсистемы уравнений, и ее определенность (т.е. единственность решения).

Замечание 2: Начиная с момента (1’’), мы можем полностью исключитьпеременные из всех уравнений системы, оставляя в каждом из уравненийсистемы только по одной переменной (в данном конкретном случае). Для этогодостаточно к первому уравнению системы добавить второе, умноженное на (-1), а затем третье, умноженное также на (-1). Получим:

x1 = 1/4 x2 = 1/4 x3 = 1/2В этом и заключается метод полного исключения переменных

(неизвестных), т.е. метод Жордано-Гаусса.

42

Замечание 3: Используя запись уравнений системы 1 в виде таблицы, гдесами переменные отсутствуют, а оставлены лишь коэффициенты припеременных и свободные члены, мы можем условиться, что все перечисленныевыше действия записываются коротко так:

(1 1 1 | 1 ) → (1 1 1 | 1 ) → (1 1 1 | 1 )→ (1 0 0 | 1/4)(1 1 0 | 1/2) → (0 0 -1 | -1/2) → (0 1 0 | 1/4 ) → (0 1 0 | 1/4)(1 0 1 | 3/4) → (0 -1 0 | -1/4)→ (0 0 1 | 1/2)→ (0 0 1 | 1/2)

После проверки пишем ответ:х1 = 1/4 x2 = 1/4 x3 = 1/2 или (1/4; 1/4; 1/2)

Пример 2.х1 + 2х2 - 3х3 = 10х1 - х2 + 2х3 = 5 (2)2х1 + 4х2 - 6х3 = 21

(1 2 -3 | 10 ) → (1 2 -3 | 10)(1 -1 2 | 5 ) → ( 0 -3 5|-5 )(2 4 -6| 21 ) → ( 0 0 0| 1 )Таблица, к которой мы пришли после того, как добавили к второму

уравнению первое, умноженное на (-1), и к третьему уравнению - первое,умноженное на (-2), говорит о том, что исходная система уравнений решений неимеет (несовместна), ибо содержит противоречие:

0 . х1 + 0 . х2 + 0 . х3 = 1]Пример 3.x1 -x3 + 2x4 = 2 x2 -x3 + x4 - 2x5 = 0 (3)2x1 + x2 + 5x4 + x5 = 7(1 0 -1 2 0| 2) → (1 0 -1 2 0| 2) → (1 0 -1 2 0| 2) →(0 1 -1 1 -2| 0) (0 1 -1 1 -2| 0) (0 1 -1 1 -2| 0)(2 1 0 5 1 | 7) (0 1 2 1 1| 3) (0 0 3 0 3| 3)

(1 0 -1 2 0 | 2) → (1 0 0 2 1 | 3)(0 1 -1 1 -2 | 0) (0 1 0 1 -1 | 1)(0 0 1 0 1 | 1) (0 0 1 0 1 | 1)Мы пришли к т.н. усеченному треугольному виду, который обозначает,

что исходная система уравнений имеет бесчисленное множество решений.Действительно, записывая последнюю таблицу в обычной форме системылинейных уравнений, имеем:

х1 + 2х4 + х5 = 3 (3) х1 = 3 - 2х4 - х5 х2 + х4 - х5 = 1 х2 = 1 - х4 + х5 х3 + х5 = 1 х3 = 1 - х5

43

Придавая х4 и х5 любые действительные значения, будем получать для х1;х2; х3 соответствующие значения. В таких случаях будем говорить, чтопеременные х4 и х5 являются свободными, а переменные х1; х2; х3 - основными(образуют базис). Общее же решение исходной системы (3) условимсязаписывать в виде (3 - 2х4 - х5; 1 - х4 + х5; 1 - х5; х4; х5).

Придавая х4 и х5 конкретные значения, будем получать т.н. частныерешения:пусть х4 = х3 - = 0; тогда х1 = 3; х2 = 1; х3 = 1и частное решение запишется так: (3; 1; 1; 0; 0)если х4 = х5 = 1, то (0; 1; 0; 1; 1;)если х4 = 1; х5 = -1; то (2; -1; 2; 1; -1) и т.д.

2. Основная задача линейного программированияи ее геометрия

Предварительно заметим, что на практике постоянно приходится иметьдело с такими случаями, когда достичь некоторого результата возможно неодним, а несколькими способами. В этих ситуациях может оказаться и человек(когда он, например, решает вопрос о распределении своих доходов ирасходов), и целое предприятие или - иногда - даже отрасль (если необходимоопределить: как использовать имеющиеся ресурсы, чтобы добиться, например,максимального выхода продукции), и , наконец, народное хозяйство в целом.Ясно, что из большого числа решений должно выбираться наилучшее(оптимальное).

В математическом плане это сводится к нахождению наибольшего(иногда - наименьшего) значения некоторой функции, что будем записыватьтак:

f(x) → max(min) (1)x ∈ X (2)Определяемая таким образом задача называется задачей оптимизации.

Множество Х называется допустимым множеством данной задачи; f(x) -целевой функцией; под х понимается “точка”, которая задается наборомнескольких действительных чисел:

х = (х1; х2; ... ; хn)(другими словами, в качестве х обычно рассматривается точка n-мерногопространства). Допустимое множество Х чаще всего задается системойнеравенств (в нашем случае линейных):

а11х1 + а12х2 + ... + annxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2 (2'). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm

44

Целевая функция f(x) - опять-таки в нашем случае - является линейной,т.е. имеет вид:

f(x) = c1x1 + c2x2 + ... cnxn + c0 (1')Как правило, в число ограничений входят т.н. тривиальные ограничения:х1 ≥ 0 х2 ≥ 0 ... хn ≥ 0 (3)В таких случаях мы говорим об общей задаче линейного

программирования, формулируя ее следующим образом:Найти оптимальное значение (max или min) некоторой линейной

функции (1') при линейных ограничениях (2') и (3)Замечание: Линейное программирование оформилось как отдельный

раздел прикладной математики в 40-50 гг. ХХ века. В это время выяснилось,что ряд задач из сферы планирования и управления могут бытьсформулированы как задачи линейного программирования. Для решения этихзадач разработаны эффективные методы учеными разных стран, в частности,наш соотечественник Л.В. Канторович был удостоен за это Нобелевскойпремии (в 1975 г., хотя основные идеи он сформулировал уже в 1938 г., будучимолодым, 25-летним профессором Ленинградского университета).

Перейдем к решению задач, причем именно в духе идейЛ.В. Канторовича, напомнив еще раз, что в задаче линейногопрограммирования множество Х называется допустимым; соответственнолюбое х ∈ Х называется допустимым решением, а допустимое решение,дающее max(min) f(x), называется оптимальным решением; неравенства (2') и(3) называются ограничениями (линейными).

1. Задача о банке (из книги Дж. Синки “Управление финансами вкоммерческом банке”)

Пусть собственные средства банка в сумме с депозитами составляют 100млн у.е. Часть этих средств, но не менее 35 млн у.е., должна быть размещена вкредитах. Кредиты являются неликвидными активами банка, т.к. в случаенепредвиденных потребностей в наличности обратить кредиты в деньги безсущественных потерь невозможно. Иное дело - ценные бумаги (особенногосударственные). Их можно практически в любой момент продать, получивнекоторую прибыль (или, во всяком случае, без большого убытка). Поэтомусуществует правило, согласно которому коммерческие банки должны покупатьв определенной пропорции ликвидные активы - ценные бумаги, чтобыкомпенсировать неликвидность кредитов. В нашем примере ликвидноеограничение выглядит так: ценные бумаги должны составлять не менее 30%средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах.

Обозначим: х1 - средства (млн. у.е.), размещенные в кредитах; х2 -средства (млн. у.е.), размещенные в ценных бумагах.

Имеем следующую систему линейных ограничений:х1 + х2 ≤ 100 - балансовое ограничениех1 ≥ 35 - кредитное ограничениех2 ≥ 0,3 (х1 + х2) - ликвидное ограничение

45

х1≥ 0; х2 ≥ 0 0 очевидные (тривиальные) ограничения.Цель банка состоит в том, чтобы получить максимальную прибыль от

кредитов и ценных бумаг:f = c1x1 + c2x2 → max,

где с1 - доходность кредитов; с2 - доходность ценных бумаг.Т.к. кредиты менее ликвидны, чем ценные бумаги, то обычно с1≥ с2. В

нашем случае будем считать:с1 = 0,15; с2 = 0,10Таким образом, мы пришли к основной задаче линейного

программирования:f(x0 = 0,15x1 + 0,1x2 → max (1)x1 + x2 ≤ 100x1 ≥ 35x2 ≥ 0,3 (x1 + 2) (2)x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 (3)Укажем геометрическое решение этой задачи, для чего: рассмотрим

прямоугольную декартову систему координат Х10Х2; выясним геометрическийсмысл указанных здесь линейных неравенств, предварительно заметив, чторавенства (2) являются просто уравнениями некоторых прямых:

х1 + х2 = 100х1 = 35х2 = 0,3 х1 + 0,3 х2 ⇔ 0,3 х1 - 0,7 х2 = 0; ⇔ х2 = 3/7 х1 (2)Указанные на чертеже прямые (АС): х2 = 3/7 х1;(АВ): х1=35; (ВС): х1+х2=100 построены так: (ВС): х1 + х2 = 100;х1 = 0; х2 = 100 (0; 100)х1 = 100; х2 = 0 (100; 0)(АС): х2 = 3/7 x1; x1 = 0; x2 = 0 (0; 0)x1 = 140; x2 = 60 (140; 60)(AB): x1 = 35 - это уравнение прямой || оси ОХ2 на расстоянии 35 (ед.)

(вправо от оси ОХ2)Стрелками здесь показаны полуплоскости, определяемые неравенствами

(2): х1 + х2 ≤ 100; х1 ≥ 35; х2 ≥ 3/7 x1 (берутся координаты любой точки изсоответствующей полуплоскости и выясняется, удовлетворяют ли координатыэтой точки уравнению соответствующей полуплоскости). С учетомтривиальных соотношений (3) получаем ∆ АВС (заштрихованная область),который в данном случае и есть допустимое множество Х. Теперь надоопределить, в какой из точек этого множества функция f = 0,15x1 + 0,1x2 имеетнаибольшее значение. Для этого рассмотрим выражение: 0,15х1+0,1х2=Const,Сonst=3 (например). Тогда 0,15х1+0,1х2=3 или 3х1+2х2=60. Это уравнениепрямой, проходящей, например, через точки: (х1=0; х2=30) и (х1=20; х2=0).Строим соответствующую прямую и замечаем, что если Const увеличивать, топрямая будет перемещаться параллельно построенной и, следовательно,значение функции f = 0,15x1 + 0,1x2 будет увеличиваться до тех пор, пока

46

прямая не выйдет за пределы треугольника АВС (в данном случае точкойвыхода является, очевидно, точка С (70; 30), которая, как и все остальныеточки, получена после решения соответствующих систем линейныхуравнений):

С: х2 = 3/7 x1 x2 = 3/7x1 x2 = 30 x1 + x2 = 100 x1 + 3/7x1 = 100 x1 = 70 С (70; 30)B: x1 + x2 = 100 x2= 65 x1 = 35 x1 = 35 В (35; 65)A: x2 = 3/7x1 x2 = 15 x1 = 35 x1 = 35 А (35; 15)Находим f(c) = f(70; 30) = 0,15 . 70 + 0,1 30 = 13,5 = fmaxВывод: оптимальный портфель активов банка (кредиты; ценные бумаги) в

данном случае есть 70 и 30.Замечание: рассмотренная геометрия решения основной задачи

линейного программирования (для двух переменных) позволяетсформулировать следующий способ ее решения (“перебор вершин”): строимдопустимое множество Х конкретной задачи и находим значения целевой

47

функции в вершинах (в общем случае - некоторого выпуклого многоугольника),наименьшее из этих значений есть min f (fmin); наибольшее - есть max f (fmax).

В данном случае: f(A) = 0,15.35 + 0,1.15 = 6,75 = fminf(B) = 0,15.35 + 0,1.65 = 11,75f(C) = 0,15.70 + 0,1.30 = 13,5 = fmaxОтвет: fmax = 13,5 Xоптим = (70; 30)Решим еще несколько задач.Задача 2. Изобразить множество точек Х, заданных следующими

ограничениями:2х1 + х2 ≥ 1х1 + 2х2 ≥ 1

х1 + х2 ≤ 3 (2)х1 ≥ 0; х2 ≥ 0 (3)

Действуем способом, предложенным в предыдущей задаче:2х1 + х2 = 1 х1 = 0; х2 = 1 А(0; 1) х1 = 1/2 х2 = 0 (1/2; 0) х1 + 2х2 = 1 х1 = 0 х2 = 1/2 (0; 1/2) х1 = 1 х2 = 0 D(1; 0) х1 + х2 = 3 х1 = 0 х2 = 3 В(0; 3) х1 = 3 х2 = 0 С(3; 0) Получаем выпуклый пятиугольник АВСДЕ: Е: 2х1 + х2 = 1 х1 = 1/3 х1 + 2х2 = 1 х2 = 1/3 Е (1/3; 1/3)Это и есть - в данном случае - допустимое множество точек Х, заданное

указанными ограничениями.Задача 3. Решить геометрически:f = 3x1 + 5x2 → max (min) (1)2x1 + x2 ≥ 1x1 + 2x2 ≥ 1 (2)x1 + x2 ≤ 3x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 (3)C учетом решения предыдущей задачи нам надо просто перебрать

вершины:f(A) = f(0; 1) = 3 . 0 + 5 . 1 = 5f(B) = f(0; 3) = 3 . 0 + 5 . 3 = 15f(C) = f(3; 0) = 3 . 3 + 5 . 0 = 9f(D) = f(1; 0) = 3 . 1 + 5 . 0 =3f(E) = f(1/3; 1/3) = 3 .1/3 + 5 . 1/3 = 2 и2/3 = fminЗадача 4. Решить геометрически:g = 2х1 + х2 → max (min) (1)

48

2x1 + x2 ≥ 1x1 + 2x2 ≥ 1 (2)x1 + x2 ≤ 3x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 (3)С учетом того, что было получено в задаче 2, снова осуществляем

“перебор вершин”:g(A) = g(0; 1) = 2 . 0 + 1 . 1 = 1 = gming(B) = g(0; 3) = 2 . 0 + 1 . 3 = 3g(C) = g(3; 0) = 2 . 3 + 1 . 0 = 6 = gmaxg(D) = g(1; 0) = 2 . 1 + 1 . 0 = 2g(E) = g(1/3; 1/3) = 2 . 1/3 + 1 . 1/3 = 1 = gminЗамечание: целевая функция g приняла наименьшее значение в двух

точках - А и Е; следовательно, она примет это значение и в любой точке отрезкаАЕ (в данном случае уравнение прямой АЕ “совпадает” с целевой функцией); втаких случаях говорят о “ребре решений” (по минимуму) исходной задачи(“отрезок решений”).

Задача 5. Решить геометрически:ϕ = 2х1 + 2х2 → max (min) (1)2x1 + x2 ≥ 1x1 + 2x2 ≥ 1 (2)x1 + x2 ≤ 3x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 (3)Опять осуществляем “перебор вершин”:ϕ(А) = 2 . 0 + 2 . 1 = 2ϕ(B) = 2 . 0 + 2 . 3 = 6 = ϕmax

ϕ(C) = 2 . 3 + 2 . 0 = 6 = ϕmax

ϕ(D) = 2 . 1 + 2 . 0 = 2ϕ(E) = 2 . 1/3 + 2 . 1/3 = 1 и 1/3 = ϕmin

ϕmin = ϕ(1/3; 1/3) = 1 b 1/3Вывод: отрезок ВС - “ребро решений” (по max);ϕmax = 6Задача 6. Решить геометрически:g = 6x1 + 3,1x2 → max (1)0,5x1 + 0,2x2 ≤ 1,50,6x1 + 0,1x2 ≤ 1 (2)0,4x1 + 0,3x2 ≤ 2x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 (3)Используя обычную схему решения таких задач, приходим к следующему

чертежу: 0,5x1 + 0,2x2 = 1,5 (I) x1 = 0 x2 = 7 и 1/2 (0; 7 и 1/2) х1 = 3 х2 = 0 (3; 0)

49

0,6x1 + 0,1x2 = 1 (II) x1 = 0 x2 = 10 (0; 10) x1 = 1 2/3 x2 = 0 B(1 2/3; 0) 0,4x1 + 0,3x2 = 2 (III) x1 = 0 x2 = 20/3 = 6 2/3 C(0; 6 2/3) x1 = 5 x2 = 0 (5; 0)Интересно отметить, что в этом конкретном случае все три прямые

пересеклись в одной точке А(5/7; 5 5/7):1/2 . 5/7 + 2/10 . 5 5/7 = 1,5 (I)6/10 . 5/7 + 1/10 . 5 5/7 = 1 (II)4/10 . 5/7 + 3/10 . 5 5/7 = 2 (III)Допустимое множество Х - здесь четырехугольник АВОС; вычисляемg(A) = 6 . 5/7 + 3 1/10 . 5 5/7 = 22 = gmaxg(B) = 6 . 1 2/3 + 3 1/10 . 0 = 10g(O) = 6 . 0 + 3 1/10 . 0 = 0g(C) = 6 . 0 + 3 1/10 . 6 2/3 = 20 2/3Ответ: gmax = g(5/7; 5 5/7) = 22Xоптим = (5/7; 5 5/7)Задача 7. Решить геометрическиf = 3x1 + 2x2 → min (1)5x1 + x2 ≥ 102x1 + 2x2 ≥ 12 (2)x1 + 4x2 ≥ 12x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 (3)Приводим решение задачи:(I): x1 + x2 = 10x1 = 0 x2 = 10 (0; 10)x1 = 2 x2 = 0 (2; 0)(II): 2x1 + 2x2 = 12x1 = 0 x2 = 6 (0; 6)x1 = 6 x2 = 0 (6; 0)(III): x1 + 4x2 = 12x1 = 0 x2 = 3 (0; 3)x1 = 12 x2 = 0 (12; 0)Допустимое множество Х - заштрихованная (бесконечная!) область.

Имеет смысл “пройтись” только по точкам А, В, С, Д, ибо fmin может бытьтолько на одной из них (точке входа!):

B: 5x1 + x2 = 10 B (1; 5) 2x1 + 2x2 = 12

C: 2x1 + 2x2 = 12 C (4; 2) x1 + 4x2 = 12

50

f(A) = f(0;10) = 3 . 0 + 2 . 10 = 20f(B) = f(1; 5) = 3 . 1 + 2 . 5 = 13 = fminf(C) = f(4; 2) = 3 . 4 + 2 . 2 = 16f(D) = f(12; 0) = 3 . 12 + 2 . 0 = 36Ответ: fmin = f(1; 5) = 13 Xоптим. = (1; 5)

3. Метод последовательного улучшения решения(симплекс-метод)

Решение основной задачи линейного программирования достаточнонаглядно в случае 2 и даже 3 переменных, но в пространстве большего числаизмерений говорить о наглядности уже сложно и в этих случаях применяютсяаналитические методы, одним из которых и является метод последовательногоулучшения решения (так называемый симплекс-метод).

Замечание: термин “симплекс” здесь сути дела не объясняет, ибо переводэтого слова на русский язык есть “простой”.

А суть дела здесь такова. Прежде всего отметим, что системаопределений (2) в симплекс-методе (как и в других вычислительных методах)задана системой линейных уравнений:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)am1x1 + am2x2+ ... + amnxn= bm

и среди неотрицательных решений этой системы мы ищем такие, что линейнаяформа (целевая функция)

а = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn + co → max(именно max, а не min)

Решая систему (2) (например, способом Жордана-Гаусса), выразимпеременные x1; x2; ...; хr (r ≤ m) через отдельные переменные, приведя этусистему к т.н. допустимому виду:

x1 = a1,r+1 . xr+1 + ... + a1,nxn + b1x2 = a2,r+1 . xr+1 + ... + a2,nxn + b2.................................................. (2')xr = ar,r+1 . xr+1 + ... +ar,n . xn + br

где b1; b2; ... br ≥ 0 ≥0 ≥0

Переменные xr+1; xr+2; ...;xn - называются свободными переменными х1; х2;...; xr - базисными переменными; набор (x1; x2; ...; xr) называется базисом.

51

Подставляя в целевую функцию f вместо базисных переменных их выражениячерез свободные переменные из системы (2’), получим:

f = ϒ0 +ϒ1xr+1 + ϒ2xr+2 + ... +ϒnxnПолагая теперь все свободные переменные равными нулю, получим

значения базисных переменных:x1 = b1; x2 = b2; ...; xr = br

и значение целевой функции f = ϒ0Таким образом, мы имеем решение системы(b1; b2; ...; br; 0; 0; ...; 0) , (r+1) (r+2) (rn)

где все значения переменных неотрицательны. Такое решение мы назовемопорным решением, при котором - еще раз напомним - значение целевойфункции, т.е. f(b1; b2; ...; br; 0; 0; ... 0) = ϒ0. Указанное опорное решение мыпостараемся улучшить, т.е. переходом к какому-то другому базису значениелинейной функции увеличить (или хотя бы не уменьшить). Идею методапроследим на конкретных примерах.

Пример 1. f = -x1 - 3x2 - 2x3 - 4x4 + 2x5 → max (1) x1 -x3 + 2x4 = 2 x2 - x3 + x4 - 2x5 = 0 (2)2x1 + x2 + 5x4 + x5 = 7x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 x4 ≥ 0 x5 ≥ 0 (3)Решая систему линейных уравнений (2) методом Жордано-Гаусса (см.

пункт 1, пр. 3), мы уже пришли к т.н. допустимому виду:x1 = 3 - 2x4 - x5x2 = 1 - x4 + x5 (2’)x3 = 1 - x5Отсюда ясно, что x4; x5 - свободные переменные; x1; x2; x3 - базисные

переменные.Полагая х4 = х5 = 0, получим х1 = 3; х2 = 1; х3 = 1. Тогда первое опорное

решение системы (2) можем записать в виде: (3; 1; 1; 0; 0), а значение целевойфункции на этом решении есть f(3; 1; 1; 0; 0) = -1 . 3 - 3 .1 - 2 . 1 - 4 . 0 + 2 . 0 = -8

Постараемся улучшить это решение (т.е. увеличить значение целевойфункции, если это возможно), для чего - в соответствии с предложенной схемой- сначала подставим выражения базисных переменных через свободные вцелевую функцию

f = -(3 -2x4 - x5) -3(1 - x4 + x5) –2(1 - x5) - 4x4 + x5 = -3 + 2x4 + x5 - 3 + 3x4 -3x5 - 2 + 2x5 - 4xx + x5 = -8 + x4 + 2x5

Еще раз замечаем, что если х4 = х5 = 0, то f(3; 1; 1; 0; 0) = -8Анализируя структуру целевой функции: f = -8 + x4 + 2x5, видим, что если

увеличивать значение х4 и х5, то значения целевой функции будутувеличиваться (правда, нам не следует забывать о том, что при этом увеличениих4 и х5 базисные переменные x1; x2; x3 должны остаться неотрицательными).

52

Так, например, x3 = 1 - x5 ≥ 0; ⇒ 1 ≥ x5; x5 ≤ 1Следовательно, х5 можно увеличить только до 1. Тогда х5 = 1; х3 = 0; х2 =

2 - х4; х1 = 2 - 2х4Т.к. х2 и х1 должны быть неорицательны, тоx2 = 2 - x4 ≥ 0 2 ≥ x4 x4 ≤ 2 ⇒x1 = 2 = 2x4 ≥ 0 2 ≥ 2x4 x4 ≤ 1 x4 ≤ 1Следовательно, х4 может быть увеличено только до 1.Итак: х4 = 1; х5 = 1 ⇒ х1 = 0; х2 = 1; х3 = 0Решение: (0; 1; 0; 1; 1) является вторым опорным решением, которое

улучшает ситуацию, ибо f(0; 1; 0; 1; 1) = -8 + 1 + 2 = -5, т.е. значение целевойфункции на этом решении увеличилось (от -8 до -5). Посмотрим, нельзя ли иэто решение улучшить, для чего объявляем свободными переменными х1 и х3т.е. те переменные, которые во втором опорном решении равны нулю, - и черезх1 и х3 выражаем х2 ;хч; х5, которые становятся основными (базисными):

х2 = 1 + 1/2x1 - 3/2x3x4 = 1 - 1/2x1 + 1/2x3 (2’’)x5 = 1 - x3Подставим полученные выражения в целевую функцию f = -8 + x4 + 2x5 =

- 8 + (1 - 1/2x1 + 1/2x3) + 2(1 - x3) = -8 + 1 - 1/2x1 + 1/2x3 + 2 - 2x3 = -5 -1/2x1 -3/2x3

Видим, что если свободные переменные х1 и х3 теперь увеличивать, тозначение целевой функции начнет уменьшаться (ибо перед х1 и х3 -отрицательные числа). Следовательно, последнее из опорных решений являетсяоптимальным; окончательный ответ таков:

Хоптим. = (0; 1; 0; 1; 1)f(0; 1; 0; 1; 1) = -5 = fmax

Пример 2. f = 10x1 + 12x2 + 12x3 → max (1)5x1 + 2x2 + x3 ≤ 3x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 2 (2)x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 (3)Предварительно заметим, что - в отличие от примера 1, где система

ограничений (2) была записана в канонической форме (т.е. в виде уравнений) -здесь система ограничений (2) записана в стандартной форме (т.е. в виденеравенств). Следовательно, нам надо начать с приведения стандартной формызаписи ограничений к канонической, для чего вводим т.н. балансовые(выравнивающие) переменные х4 и х5 (которые также должны бытьнеотрицательными). Тогда получаем задачу: f = 10x1 + 12x2 + 12x3 → max

(1)5x1 + 2x2 + x3 + x4 = 3x1 + 2x2 + 4x3 + x5 = 2 (2)x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 x4 ≥ 0 x5 ≥ 0 (3’)

53

Решим эту задачу симплекс-методом, для чего сначала системуограничений (2’) приводим к допустимому виду:(5 2 1 1 0 | 2) (1 2 4 0 1 | 2) (1 2 4 0 1 | 2)(1 2 4 0 1 | 3) → (5 2 1 1 0 | 3) → (0 -8 -19 +1 -5|-7) →

(1 2 4 0 1 | 2) (1 2 4 0 1 | 2) (1 0 -3/4 1/4 -1/4 | 1/4)(0 8 19 -1 5 | 7) → (0 1 19/8 -1/8 5/8 |7/8)→ (0 1 19/8 -1/8 5/8 | 7/8)

x1 = 1/4 + 3/4x3 - 1/4x4 + 1/4x5x2 = 7/8 - 15/8x3 + 1/8x4 -5/8x5 (2’’)

Следовательно, свободными переменными являются x3; x4; x5; апеременные х1 и х2 образуют базис. Пусть х3=х4=х5=0; тогда х1=1/4;x2 = 7/8 и решение (1/4; 7/8; 0; 0; 0) является опорным, причем f(1/4; 7/8; 0; 0; 0)= 10 . 1/4 + 12 . 7/8 + 12 . 0 + 0 . 0 + 0 . 0 = 13

Подставим выражения базисных переменных через свободные в целевуюфункцию f:f = 10x1 + 12x2 + 12x3 = 10 (1/4 + 3/4x3 - 1/4x4 + 1/4x5) + 12(7/8 - 19/8x3 + 1/8x4 -5/8x5) + 12 . x3 = ... = 13 - 9x3 - x4 - 5x5

Т.к. перед свободными переменными х3; х4; х5 в качестве коэффициентовстоят отрицательные числа, улучшить решение нельзя (при увеличении х3; х4;х5 значение целевой функции будет уменьшаться!). Следовательно, уже первоеопорное решение (1/4; 7/8; 0; 0; 0) оказалось и оптимальным (нам повезло!).

Ответ: Хоптим = (1/4; 7/8; 0; 0; 0)f(1/4; 7/8; 0; 0; 0) = 13Замечание: последние два нуля перечеркнуты с учетом балансовости

переменных х4 и х5.Пример 3. f = 5x1 - x3 → min (1)x1 + x2 + 2x3 - x4 = 3 x2 + 2x4 = 1 (2)x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 x4 ≥ 0Рассмотрим g = -f = -5x1 + x3; откуда gmax = -fminТогда эта задача получит вид:g = -5x1 + x3 → max (1’)x1 + x2 + 2x3 - x4 = 3x1 + x2 + 2x3 - x4 = 3 x2 +2x4 = 1 (2)x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 x4 ≥ 0 (3)Решаем полученную задачу симплекс-методом:(1 1 2 -1 | 3) (1 0 2 -3 | 2)(0 1 0 2 | 1) → ( 0 1 0 2 | 1)

x1 = 2 - 2x3 + 3x4 - допустимый вид

54

x2 = 1 - 2x4 (2’)x3; x4 - свободные переменные; х1; х2 - базис.Если x3 = x4 = 0, то х1 = 2; и решение (2; 1; 0; 0) - опорное,

причем g(2; 1; 0; 0) = -5 . 2 + 1 . 0 = -10Подставим выражение базисных переменных х1 и х2 через свободные

переменные х3 и х4 в целевую функцию g: g = -5x1 + x3 = -5(2 -2x3 + 3x4) + x3 = -10 + 11x3 - 15x4

Видим, что при увеличении х4 значение целевой функции уменьшается,поэтому лучше х4 приравнять к нулю, а значение переменной х3 увеличивать(но так, чтобы х1 и х2 остались неотрицательными).

х4 = 0 х1 = 2 - 2х3 ≥ 0 (2’’) 2 ≥ 2x3 x3 ≤ 1 x2 = 1Другими словами, х3 можно увеличить до 1.Итак: х4 = 0; х3 = 1; ⇒ х1 = 0; х2 = 1Решение: (0; 1; 1; 0) - опорное (второе)g(0; 1; 1; 0) = -10 + 11 . 1 - 15 . 0 = 1Видим улучшение решения (значение целевой функции от -10 возросло

до 1.Подставим выражение основных (базисных) переменных х2 и х3 через

свободные х1 и х4:х2 = 1 - 2х4х3 = 1 -1/2x1 + 3/2x4в целевую функцию g, получимg = -10 + 11(1 - 1/2x1 + 3/2x4) - 15x4 = ... = 1 - 11/2x1 + 3/2x4Ясно, что х1 = 0, а х4 попытаемся увеличить, но так, чтобы х2 и х3 остались

неотрицательными:х2 = 1 - 2х4 ≥ 0 х4 ≤ 1/2, т.е. х4 можно увеличить до 1/2Итак:х1 = 0; х4 = 1/2; ⇒ х3 = 7/4; x2 = 0Решение (0; 0; 7/4; 1/2) является опорным; оно улучшает предыдущие два,

т.к. f(0; 0; 7/4; 1/2)=1 - 11/2 . 0+3/2 . 1/2=1+3/4=1 3/4Объявляем х1 и х2 новыми свободными переменными; выражаем новый

базис х3 и х4 через х1 и х2:х3 = 7/4 - 1/2x1 - 3/4x2x1 = 1/2 - 1/2x2 (2’’’)Подставляя (2’’’) в целевую функцию g, получимg = -10 + 11х3 - 15х4 = -10 + 11(7/4 - 1/2x1 - 3/4x2) - 15(1/2 - 1/2x2) = ... = 7/4

- 11/2x1 - 3/4x2Отсюда видно, что третье опорное решение (0; 0; 7/4; 1/2) является

оптимальным.Ответ: Хоптим = (0; 0; 7/4; 1/2)fmin = -gmax = -1 3/4

55

4. Взаимно двойственные задачилинейного программирования

Определение. Взаимно двойственными задачами линейногопрограммирования называются следующие две задачи:

Задача 1.f = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn → max (1)a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm (2)x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 ... xn ≥ 0 (3)Задача 2.g = b1y1 + b2y2 + ... + bmym → min (1’)a11y1 + a21y2+ ... + am1ym ≥ c1

a12y1 + a22y2 + ... + am2ym ≥ c2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a1ny1 + a2ny2 + ... + ammym ≥ cn (2’)y1 ≥ 0 y2 ≥ 0 ... ym ≥ 0 (3’)

Пример 1.f = 10x1 + 12x2 + 12x3 → max (1)5x1 + 2x2 + x3 ≤ 3x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 2 (2)x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 (3)Используя результат предыдущего пункта (пример 2), имеем:fmax = 13 = f(1/4; 7/8; 0; 0; 0)Xоптим = (1/4; 7/8; 0; 0; 0)g = 3y1 + 2y2 → (1’)5y1 + y2 ≥ 102y1 + 2y2 ≥ 12y1 + 4y2 ≥ 12 (2’)y1 ≥ 0 y2 ≥ 0 (3’)Замечаем, что записанная здесь задача уже решена - с точностью до

обозначений - в пункте 2 (задача 7). Отсюда следует:gmin = 13 = g(1; 5)Vоптим = (1; 5)Совместное рассмотрение этих двух взаимно двойственных задач наводит

на мысль о том, что имеет место следующая замечательная теорема (она носитназвание первой теоремы двойственности; приводится нами бездоказательства):

56

Если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальный план, то идругая также имеет оптимальный план, причем соответствующие имоптимальные значения целевых функций равны:

fmax = f(Xоптим) = gmin = g(Vоптим)Имеет место еще одна - вторая теорема двойственности, которая

позволяет найти оптимальное решение одной из взаимно двойственных задач,не решая саму эту задачу (правда, при этом должно быть известно оптимальноерешение другой из взаимно двойственных задач).

Покажем, как это делается, вернувшись к тем результатам, которые мыуже имели ранее (в рамках взаимно двойственных задач рассматриваемогоздесь примера).

(I): f = 10x1 + 12x2 + 12x3 → max (1) 5x1 + 2x2 + x3 + x4 = 3 x1 + 2x2 + 4x3 + x5 = 2 (2) x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 x4 ≥ 0 x5 ≥ 0 (3) fmax = 13 = f(1/4; 7/3; 0; 0; 0)Назовем в этом примере переменные х1; х2; х3 заданными, а х4 и х5 -

вспомогательными.(II): g = 3y1 + 2y2 → min (1’) 5y1 + y2 - y3 = 10 2y1 + 2y2 - y4 = 12 y1 + 4y2 -y5 = 12 (2’’) y1 ≥ 0 y2 ≥ 0 y3 ≥ 0 y4≥ 0 y5 ≥ 0Замечание: система уравнений (2’’) появилась вместо системы неравенств

(2’) (как если бы мы хотели решать двойственную задачу симплекс-методом, номы этого решения делать не будем, хотя и укажем, что здесь основнымипеременными будут y1 и y2, а вспомогательными y3; y4; y5).

С учетом того, что двойственная задача (1’) уже решена,gmin = g(1; 5) = 13;Yоптим = (1; 5)

после подстановки значений переменных y1 = 1; y2 = 5 в систему уравнений (2’)имеем: y3 = 0; y4 = 0; y5 = 9.

Cведем полученные результаты в следующую таблицу:

Заданные переменные Вспомогательныех1 х2 х3 х4 х51/4 7/8 0 0 00 0 9 1 5y3 y4 y5 y1 y2Вспомогательные переменные Заданные

57

Внимательное рассмотрение этой таблицы позволяет сформулироватьвторую теорему двойственности, которая нами принимается также бездоказательства.

Если в оптимальном плане одной из взаимно двойственных задачзначение заданной переменной больше нуля, то соответствующая ейвспомогательная переменная другой задачи равна нулю. Из положительностивспомогательной переменной следует равенство нулю соответствующей ейзаданной переменной в оптимальном плане взаимно двойственной задачи.

Покажем, как, используя вторую теорему двойственности, можно найтиоптимальный план двойственной задачи.

Предположим, что нам известен оптимальный план (II) [точнее говоря,мы нашли (геометрически!) часть оптимального плана: y1 = 1; y2 = 5; аостальное: y3 = 0; y4 = 0; y5 = 9 - нашли после решения системы уравнений(2’’)]. Найдем, исходя из этого, оптимальный план для (I). Еще раз напомним,какие системы уравнений были получены при переходе от системы неравенств(к системе уравнений)

(I): 5x1 + 2x2 + x3 + x4 = 3 x1 + 2x2 + 4x3 + x5 = 2(II): 5y1 + y2 - y3 = 10 2y1 + 2y2 - y4 = 12 y1 + 4y2 - y5 = 12Подготовим таблицу перехода от оптимального плана одной из взаимно

двойственных задач к оптимальному плану другой и начнем заполнять строкууi: y1 = 1; y2 = 5заданные переменные Вспомогательные

х1 х2 х3 х4 х5? ? 0 0 00 0 9 1 5y3 y4 y5 y1 y2Вспомогательные перемен. Заданные

Из системы уравнений (II): у3 = 0; у4 = 0; у5 = 9Следовательно, х3 = 0, т.к. у5 = 9 > 0; x4 = 0, т.к. у1 = 1 > 0 x5 = 0, т.к. у2 = 5 > 0(по второй теореме двойственности).Тогда в системе уравнений (I) остается:5х1 + 2х2 = 3х1 + 2х2 = 2 ⇒ х1 = 1/4; x2 = 7/8Следовательно, оптимальный план двойственной задачи:Хоптим = (1/4; 7/8; 0; 0; 0),f(Xоптим) = 13 = fmax

58

Замечание: таким образом, с помощью первой теоремы двойственностимы можем узнать оптимальное значение целевой функции одной из взаимнодвойственных, если известно решение другой задачи; с помощью второйтеоремы двойственности мы можем узнать и оптимальный план одной извзаимно двойственных задач, если известно решение другой задачи. (Ксожалению, вторая теорема двойственности применима не всегда - подробнееоб этом чуть позже).

Тем не менее значение теорем двойственности очевидно: можно решениеосновной задачи линейного программирования свести к решению двойственнойзадачи с меньшим числом переменных (и решить эту задачу, например,геометрически), а затем, используя вторую теорему двойственности, выйти и наоптимальный план исходной задачи линейного программирования.

Значение взаимно двойственных задач для решения проблем экономикираскрыто в классических работах [4-6, 8].

Приведем решения некоторых взаимно двойственных задач:Пример 2. Используя первую и вторую теоремы двойственности, решить:f = -12x1 + 10x2 - 12x3 → max (1)-3x1 + 5x2 + 4x3 ≤ 1-4x1 + 2x2 + 3x3 ≤ -1 (2)x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0Составим задачу, двойственную к данной:g = y1 - y2 → min (1’)-3y1 - 4y2 ≥ -125y1 + 2y2 ≥ 10-4y1 + 3y2 ≥ -12 (2’)y1 ≥ 0 y2 ≥ 0 (3’)Решим эту задачу геометрически:

-3y1 - 4y2 = -12 (I)3y1 + 4y2 = 12

y1 = 0 y2 = 3 (0; 3)y1 = 4 y2 = 0 (4; 0)

5y1 + 2y2 = 10 (II)y1 = 0; y2 = 5 (0; 5)y1 = 2; y2 = 0 (2; 0)

-4y1 + 3y2 = -12 (III)4y1 - 3y2 = 12

59

y1 = 0 y2 = -4 (0; -4)y1 = 3 y2 = 0 (3; 0)

Допустимое множество Х задачи на минимум в данном случае естьчетырехугольник АВСД, где: С (3;0); Д (2;0);

А: 3y1+4y2=12 5y1+2y2=10 А(1 1/7;2 1/7)В: 3у1 + 4у2 = 12 4у1 - 3у2 = 12 ⇒ В(3 9/25; 12/25)Находим:g(A) = f(1 1/7; 2 1/7) = 1 1/7 - 2 1/7 = -1 = fming(B) = f(3 9/25; 12/25) = 84/25 - 12/25 = 72/25 = 2 12/25g(C) = f(3; 0) = 3 - 0 = 3f(D) = f(2; 0) = 2 - 0 = 2Промежуточный ответ:fmin = -1; Yоптим = (1 1/7; 2 1/7)Теперь составим задачу, двойственную к только что решенной:f = - 12x1 + 10x2 = -12x3 → max (1)-3x1 + 5x2 + 4x3 ≤ 1;-4x1 + 2x2 + 3x3 ≤ -1 (2)x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 (3)Уже известно - на основании первой теоремы двойственности - fmax = -1.

Возникает вопрос: на каком оптимальном плане? Попытаемся ответить и наэтот вопрос с помощью второй теоремы двойственности, для чего проведемследующие преобразования двух взаимно двойственных задач:

f = -12x1 + 10x2 - 12x3 → max (1)

-3x1 + 5x2 + 4x3 ≤ 1 4x1 -2x2 - 3x3 ≥ 1 (2)x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 (3)f = - 12x1 + 10x2 - 12x3 → max (1) -3x1 + 5x2 + 4x3 + x4 = 1 4x1 - 2x2 - 3x3 -x5 = 1 (2’)x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 x4 ≥ 0 x5 ≥ 0 Заданные вспомогательные переменные

g=y1-y2 → min (1) g=y1-y2 → min (1’) -3y1 - 4y2 ≥ -12 3y1 + 4y2 ≤ 12 5y1 + 2y2 ≥ 10 (2’) 5y1 + 2y2 ≥ 10 (2’) 4y1 -3y2 ≤ 12 -4y1 +3y2 ≥ -12 y1 ≥ 0 y2 ≥ 0 y1 ≥ 0 y2 ≥ 0 (3’)

60

g = y1 - y2 → min (1’) 3y1 + 4y2 +y3 = 12 5y1 + 2y2 -y4 = 10 (2'') 4y1 - 3y2 +y5 = 12 y1 ≥ 0 y2 ≥ 0 y3 ≥ 0 y4 ≥ 0 y5 ≥ 0 Заданные вспомогательные переменные

Если y1 =1 1/7; y2 =2 1/7 , то y3 = 0 y4 = 0 y5 =13 6/7. (Это следует из (2’’)

Составим таблицу перехода от оптимального плана задачи на min коптимальному плану задачи на max и на основе второй теоремыдвойственности получим:

Заданные Вспомогательныеy1 y2 y3 y4 y5

1 1/7 2 1/7 0 0 13 6/70 0 ? ? 0x4 x5 x1 x2 x3Вспомогательные Заданные

Определим x1 и x2: -3x1 + 5x2 = 1 4x1 - 2x2 = 1 ⇒ x1 = 1/2; x2 = 1/2Оптимальный план задачи на max :Xоптим = (1/2 ; 1/2 ; 0 ; 0 ; 0) fmax = f (1/2 ; 1/2 ; 0 ; 0 ; 0) = 1

Пример 3 (Из книги Гроссман С., Тернер Дж. Математика длябиологических наук.)

В рекламе своей продукции фабрикант собачьих консервов гарантирует,что его продукт целиком состоит из мяса и одна банка консервов обеспечиваетпотребности в углеводах и белках средней собаки массой 20 фунтов. Консервыготовятся из говядины, конины и печени. Одна унция говядины стоит 1,5 центаи дает 0,5 унций углеводов и 0,2 унции белка. Унция конины стоит 1 цент идает 0,6 унций углеводов и 0,1 унции белка. Унция печени стоит 2 цента и дает0,4 унции углеводов и 0,3 унции белка. Минимальные потребности средней 20-фунтовой собаки оцениваются как 6 унций углеводов и 3,1 унции белка в день.Какую комбинацию из трех сортов мяса должен выбрать фабрикант, чтобыудовлетворить эти потребности при минимальной стоимости продукции?

Решение : пусть x1; x2; x3 соответственно количество унций говядины,конины и печени, содержащихся в одной банке консервов. Тогда получаемзадачу : f = 1,5x1 + x2 + 2x3 → min

0,5x1 + 0,6x2 + 0,4x3 ≥ 6

61

0,2 x1 + 0,1 x2 + 0,3 x3 ≥ 3,1 (2’) x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; x3 ≥ 0 (3)а вместо нее рассмотрим двойственную: g = 6y1 + 3,1y2 → max (1’) 0,5y1 + 0,2y2 ≤ 1,5 0,6y1 + 0,1y2 ≤ 1 (2’) 0,4y1 + 0,3y2 ≤ 2 y1 ≥ 0 y2 ≥ 0 (3’) Последняя задача нами решена с точностью до обозначений в пункте 2

(задача 6)Воспользуемся полученными там результатом: gmax= 22 = g (5/7; 5 5/7)

Yоптим = (5/7 ; 5 5/7 )Тогда fmin = 22, т.е. минимальная стоимость продукции (одной банки

консервов) равна 22 центам. Но на каком оптимальном плане? Можно ли егонайти, используя, например, вторую теорему двойственности?Соответствующее рассуждение показывает, что применить в этом случае этутеорему нельзя. Действительно, имеем взаимно двойственные задачи:

(II): f = 1,5x1 + x2 + 2x3 → min 0,5x1 + 0,6x2 + 0,4x3 - x4 = 6 0,2 x1 + 0,1 x2 + 0,3 x3 - x5 = 3,1 (2’) x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; x3 ≥ 0 x4 ≥ 0 ; x5 ≥ 0 (3’) Заданные Вспомогательные(I): g = 6y1 + 3,1y2 (1) 0,5y1 + 0,2y2 + y3 =1,5 0,6y1 + 0,1y2 + y4 =1 (2) 0,4y1 + 0,3y2 + y5 =2 y1 ≥ 0 ; y2 ≥ 0 y3 ≥ 0 ; y4 ≥ 0 ; y5 ≥ 0 (3) Заданные Вспомогательные

Составляем таблицу перехода от оптимального плана одной из взаимнодвойственных задач к оптимальному плану другой, заметив, что если y1 = 5/7; y2

= 5 5/7; то из (2) ⇒ y3 = 0 ; y4 = 0 ; y5 = 0

Заполняем yi (i = 1, 2, 3, 4, 5)

Заданные переменные Вспомогательные y1 y2 y3 y4 y55/7 5 5/7 0 0 13 6/70 0 ? ? ?x4 x5 x1 x2 x3Вспомогательные Заданные переменные

Тогда из (2’) следует: 0,5x1 + 0,6x2 + 0,4x3 = 6 0,2 x1 + 0,1 x2 + 0,3 x3 = 3,1

62

Очевидно, что эта система двух линейных уравнений с тремяпеременными имеет бесчисленное множество решений. Ибо хотя бы однорешение, которое минимизирует функцию f = 1,5x1 + x2 + 2x3 - имеется: именното, при котором (как это следует из первой теоремы двойственности) fmin = 1,5x1+ x2 + 2x3 = 22. Это и будет третьим уравнением в системе - возможно лишним!(Даже наверное лишним).

0,5x1 + 0,6x2 + 0,4x3 = 60,2 x1 + 0,1 x2 + 0,3 x3 = 3,1 (*)1,5x1 + x2 + 2x3 = 22Решим эту систему, предварительно преобразовав ее:5x1 +6x2 + 4x3 = 602 x1 + 1 x2 + 3 x3 = 31 (*)15x1 +10 x2 +20x3 = 22

5 6 4 | 60 1 4 -2 | -2 1 4 -2 | -22 1 3 | 31 → 2 1 3 |31 → 0 -7 7 | 35 →15 10 20 | 220 15 10 20 |220 0 -50 50 |250

1 4 -2 | -2 1 4 -2 | -2→ 0 1 -1 | -5 → 0 1 -1 | -5 0 1 -1 | -5x1 + 4x2 - 2x3 = -2 x2 = -5 + x3 ≥ 0 x3 ≥ 5x2 - x3 = -5 x1 = -2 + 2x3 - 4x2 = = -2 +2x3 - 4 (-5 + x3) = =18 - 2x3 ≥ 018 ≥ 2x3 x3 ≤ 9Итак: 5 ≤ x3 ≤ 9; x1 = 18 - 2 x3; x2 = 5 - x3

Общее решение системы (*) имеет вид:Xоптим = (18 - 2 x3; -5 + x3; x3), где 5 ≤ x3 ≤ 9.Укажем некоторые частные решения:Xоптим

(1) = (8;0;5 ) Xоптим (2) = (4;2;7) Xоптим (3) = (0;4;9)

Экономический смысл найденных решений очевиден: фабрика можетработать без говядины или без конины (но без печени не может!).

Общий вывод интересен: задача на минимум целевой функции f имеет вданном случае бесчисленное множество оптимальных планов:

f = 1,5x1 + x2 + 2x3 → min (1) 0,5x1 + 0,6x2 + 0,4x3 ≥ 6 0,2 x1 + 0,1 x2 + 0,3 x3 ≥ 3,1 (2’) x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; x3 ≥ 0f min = 22 = f (Xоптим)X оптим = (18 - 2 x3 ; -5 + x3 ; x3), где 5 ≤ x3 ≤ 9 .

63

5. Понятие о стохастическом программировании

Стохастическое программирование является тем разделом общей теорииоптимальных решений, в котором рассматриваются вопросы выбора решений вситуациях, характеризуемых случайными величинами. С формальной точкизрения стохастическое программирование - это теория решенияоптимизационных (экстремальных) задач стохастической (вероятностной)природы. Термин “стохастическое программирование” появился в начале 50-хгг. ХХ в., когда Данциг, Чарнс, Купер стали анализировать задачи линейногопрограммирования со случайными коэффициентами, возникающие припланировании в ситуациях с неопределенностью и риском. Примерно в эти жегоды начало развиваться нелинейное программирование, и этим, видимо,следует объяснить то, что в большинстве работ по стохастическомупрограммированию авторы стремятся свести стохастические задачи к задачамнелинейного программирования (и применить известные численные методы).Однако методы нелинейного программирования можно применить для решениявесьма узкого класса стохастических задач , т.к. стохастические задачи намногосложнее задач нелинейного программирования и требуют своих специфическихметодов.

Основная трудность в стохастическом программировании связана - и этоуже отмечалось - с отсутствием точной информации о целевой функции иограничениях. Здесь невозможно обойтись детерминированными понятиями ипредставляется целесообразным применять стохастические процедуры.

В частности, существует проблема выбора решений при определенностии риске и неопределенности. Говорят, что имеет место:

1) выбор решений при определенности, если каждое действие приводитвсегда к однозначному результату;

2) выбор решений при риске, если каждое действие приводит к одному измножества возможных исходов, каждый из которых имеет вероятностьпоявления, отличную от нуля;

3) выбор решений при неопределенности, если каждое действие приводитк одному из множества конкретных исходов, вероятности которых неизвестны(а, возможно, иногда и не имеют смысла).

Выбор решения при определенности сводится к следующему: даномножество допустимых решений; требуется в этом множестве выбрать такоерешение, которое дает минимум (или максимум) некоторого показателя,называемого функцией цели (целевой функцией).

Примерами задач выбора решений при определенности являются задачилинейного программирования (более сложными примерами - задачинелинейного программирования).

Суть задач выбора действия (или решения) при риске и неопределенностиможно пояснить следующим примером [3].

64

Пусть имеется множество действий или решений i = 1,2, ..., m ивозможных исходов, однозначно определяемых “состояниями природы” j = 1,2,..., n. Пусть aij - затраты (потери, убыток), связанные с действием i при исходе(состоянии природы) j. В данном случае aij - функция цели. Числа aij можнопредставить в виде матрицы m x n.

Истинное состояние природы j неизвестно. Требуется найти такоедействие i (т.е. такую строку матрицы {aij}), которое в некотором смысле лучшедругих. Если известны вероятности p1; p2; ...; pn состояний j = 1, 2, ..., n; ∑npj = 1,то имеет место задача выбора реше-

j=1

ний при риске. При этом часто выбирается действие i = 1, 2, ..., m, котороеминимизирует средние затраты ∑naijpj. Такова простейшая

j=1

задача стохастического программирования.Более сложной, но и более типичной задачей выбора решений в условиях

риска является задача планирования сельскохозяйственного производства.Продуктивность отраслей сельского хозяйства существенно зависит отклиматических и погодных условий. Такие факторы, как количество осадков,температура, влажность почвы, заморозки, болезни растений и скота, серьезновлияют на урожайность сельскохозяйственных культур, продуктивностьживотноводства, качество продукции и затраты труда. В зависимости отконкретной задачи те или иные показатели следует считатьдетерминированными или случайными.

Рассмотрим ситуации, в которых целесообразно использовать длярешения сельскохозяйственных задач стохастические модели [9].

Пусть требуется выбрать интенсивности хj, j = 1,2, ..., n использованияотраслей сельскохозяйственного производства, обеспечивающие максимальныйчистый доход предприятия при соблюдении директивных и технологическихограничений.

Введем следующие обозначения (все перечисленные характеристикикаждой отрасли соответствуют ее использованию с единичнойинтенсивностью): сj - чистый доход j-отрасли; aij - затраты i-ресурса (угодий,труда, удобрений и т.д.) j-отраслью; bi - объем i-ресурса, которым располагаетпредприятие; Vij - объем производства i-продукта j-отраслью; Qi - директивныетребования по производству i-продукта; G1 и G2(G1 ∪ G2 = {1; 2; ...; n} -множества индексов j, отвечающих номерам отраслей растениеводства иживотноводства соответственно); I1; I2; I3; I4 - множество индексов i,отвечающих номерам ресурсов, типам органических удобрений, видамкормовых культур и произведенным продуктам соответственно.

Если бы значения всех параметров условий можно было бы заранеепредсказать, было бы естественно сводить выбор структурысельскохозяйственного производства (выбор интенсивностей хj использованияотраслей) к решению следующей задачи линейного программирования

65

∑nj=1cjxj → max (1)

∑nj=1aijxj ≤ bi; i∈I1; (2)

∑j∈I1 aijxj ≤ ∑j∈I2 vijxj; i∈I2 (3)

∑j∈I1 aijxj ≥ ∑j∈I2vijxj; i∈I3; (4)

∑nj=1vijxj ≥ Qi; i∈I4; (5)

xj ≥ 0, j = 1,2, ..., n (6)

Целевая функция (1) - величина чистого дохода предприятия. Условия (2)фиксируют ограничения по используемым ресурсам; условия (3) представляютсобой ограничения отраслей растениеводства по органическим удобрениям;условия (4) - ограничение животноводческих отраслей по кормам. Неравенства(5) устанавливают директивные задания по выпуску продукции различноговида; неравенства (6) - очевидные тривиальные неравенства обычной задачилинейного программирования.

В действительности, однако, параметры условий задачи - случайныевеличины. Прежде всего это относится к коэффициентам vij, отражающимурожайность отраслей растениеводства и продуктивность отраслейживотноводства. Кроме того, не все составляющие aij затрат ресурсов заранееизвестны, а доход сj отраслей при фиксированной интенсивности ихиспользования зависит от урожайности. Да и директивные планы поставок ивозможности использования трудовых ресурсов также подверженыизменениям. Так что модель выбора структуры сельскохозяйственногопроизводства безусловно является стохастической, что еще раз подчеркиваетнеобходимость разработки методов решения задач стохастическогопрограммирования. Этому и посвящены многие работы по математическомупрограммированию, приведенные в библиографическом списке (литературе) кданному учебному пособию.

Библиографический список(литература)

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969.2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике. М.: Высшая школа, 1979.3. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. М.:

Наука, 1976.4. Карандаев И.С. Решение двойственных задач в оптимальном

планировании. М.: Статистика, 1976.

66

5. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. М.:Наука, 1972.

6. Коршунова Н.И., Плясунов В.С. Математика в экономике. М.: Вита-пресс, 1996.

7. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике (теориявероятностей). М.: Просвещение, 1990.

8. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика вэкономике. Ч. I. М.: Финансы и статистика, 1999.

9. Юдин Я.Б. Задачи и методы стохастического программирования. М.:Советское радио, 1979.

67

ПРИЛОЖЕНИЕ I

Таблица значений функции ϕ(x) = exp(-x2/2)/√2π

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1,01,11,21,31,41,51,61,71,81,9

2,02,12,22,32,42,52,62,72,82,9

3,03,13,23,33,43,53,63,73,83,9

0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661

0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656

0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060

0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0006 0004 0003 0002

3989396539023802366835033312310128742637

2396215519191691147612761092092507750644

0529043103470277021901710132010100770058

0043003200230017001200080006000400030002

3989396138943790365234853292307928502613

2371213118951669145612571074090907610632

0519042203390270021301670129009900750056

0042003100220016001200080006000400030002

3988395638853778363734673271305628272589

2347210718721647143512381057089307480620

0508041303320264020801630126009600730055

0040003000220016001100080005000400030002

3986395138763765362134483251303428032565

2323208318491626141512191040087807340608

0498040403250258020301580122009300710053

0039002900210015001100080005000400030002

3984394538673752360534293230301127802541

2299205918261604139412001023086307210596

0488039603170252019801540119009100690051

0038002800200015001000070005000400020002

3982393938573739358934103209298927562516

2275203618041582137411821006084807070584

0478038703100246019401510116008800670050

0037002700200014001000070005000300020002

3980393238473726357233913187296627322492

2251201217811561135411630989083306940573

0468037903030241018901470113008600650048

0036002600190014001000070005000300020002

3977392538363712355533723166294327092468

2227198917581539133411450973081806810562

0459037102970235018401430110008400630047

0035002500180013000900070005000300020001

3973391838253697353833523144292026852444

2203196517361518131511270957080406690551

0449036302900229018001390107008100610046

0034002500180013000900060004000300020001

68

Таблица значений функции Ф(х) = (0Sxexp(-z2/2)dz)/√2π

x Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,090,100,110,120,130,140,150,160,170,180,190,200,210,220,230,240,250,260,270,280,290,300,311,261,271,281,291,301,311,321,331,341,351,361,371,381,391,40

0,00000,00400,00800,01200,01600,01990,02390,02790,03190,03590,03980,04380,04780,05170,05570,05960,06360,06750,07140,07530,07930,08320,08710,09100,09480,09870,10260,10640,11030,11410,11790,12170,39620,39800,39970,40150,40320,40490,40660,40820,40990,41150,41310,41470,41620,41770,4192

0,320,330,340,350,360,370,380,390,400,410,420,430,440,450,460,470,480,490,500,510,520,530,540,550,560,570,580,590,600,610,620,631,591,601,611,621,631,641,651,661,671,681,691,701,711,721,73

0,12550,12939,13310,13680,14060,14430,14800,15170,15540,15910,16280,16640,17000,17360,17720,18080,18440,18790,19150,19500,19850,20190,20540,20880,21230,21570,21900,22240,22570,22910,23240,23570,44410,44520,44630,44740,44840,44950,45050,45150,45250,45350,45450,45540,45640,45730,4582

0,640,650,660,670,680,690,700,710,720,730,740,750,760,770,780,790,800,810,820,830,840,850,860,870,880,890,900,910,920,930,940,951,921,931,941,951,961,971,981,992,002,022,042,062,082,102,12

0,23890,24220,24540,24860,25170,25490,25800,26110,26420,26730,27030,27340,27640,27940,28230,28520,28810,29100,29390,29670,29950,30230,30510,30780,31060,31330,31590,31860,32120,32380,32640,32890,47260,47320,47380,47440,47500,47560,47610,47670,47720,47830,47930,48030,48120,48210,4830

0,960,970,980,991,001,011,021,031,041,051,061,071,081,091,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,201,211,221,231,241,25

2,502,522,542,562,582,602,622,642,662,682,702,722,742,762,78

0,33150,33400,33650,33890,34130,34380,34610,34850,35080,35310,35540,35770,35990,36210,36430,36650,36860,37080,37290,37490,37700,37900,38100,38300,38490,38690,38830,39070,39250,3944

0,49380,49410,49450,49480,49510,49530,49560,49590,49610,49630,49650,49670,49690,49710,4973

69

1,411,421,431,441,451,461,471,481,491,501,511,521,531,541,551,561,571,58

0,42070,42220,42360,42510,42650,42790,42920,43060,43190,43320,43450,43570,43700,43820,43940,44060,44180,4429

1,741,751,761,771,781,791,801,811,821,831,841,851,861,871,881,891,901,91

0,45910,45990,46080,46160,46250,46330,46410,46490,46560,46640,46710,46780,46860,46930,46990,47060,47130,4719

2,142,162,182,202,222,242,262,282,302,322,342,362,382,402,422,442,462,48

0,48380,48460,48540,48610,48680,48750,48810,48870,48930,48980,49040,49090,49130,49180,49220,49270,49310,4934

2,802,822,842,862,882,902,922,942,962,983,003,203,403,603,804,004,505,00

0,49740,49760,49770,49790,49800,49810,49820,49840,49850,49860,498650,499310,499660,4998410,4999280,4999680,4999970,499997

70

ПРИЛОЖЕНИЕ II

Варианты контрольных заданий

Вариант I

1. Подброшены два игральных кубика. Случайная велчина Х -произведение выпавших очков. Составить ряд распределения СВХ; найти m; d;σ.

2. Решить методами Гаусса и Жордано-Гаусса:7х1 + 4х2 - х3 = 133х1 + 2х2 + 3х3 = 32х1 - 3х2 + х3 = -10

3. Решить геометрически:f = 6х1 + 2х2 → min2х1 + 2х2 ≥ 13х1 - х2 ≥ 17х1 - х2 ≥1х1 - 3х2 ≤ -1х1 ≥ 0 х2 ≥ 0

4. Решить симплекс-методом: f = 2х1 + 3х2 + х3 → min5х1 - х2 - 3х3 ≤ 3х1 + х3 ≥ 2х1 ≥ 0; х2 ≥ 0; х3 ≥ 0

5. Составить задачу, двойственную к задаче № 3 этого варианта, и решитьее (симплекс-методом или на основе теорем двойственности).

6. Исследовать функцию и построить ее график: y = f(x) = x . ex

7. Построить фигуру, ограниченную линиями: e=4x - x2; e=-x+6.Найти ее площадь.

71

Вариант II

1. В ящике находятся 4 шара с номерами от 1 до 4. Наугад извлечены 2шара. Случайная величина Х - сумма номеров шаров. Составить рядраспределения СВХ; найти m; d; σ.

2. Решить методами Гаусса и Жордано-Гаусса:3х1 + 4х2 - 2х3 = 112х1 - х2 - х3 = 43х1 - 2х2 + 4х3 = 11

3. Решить геометрически: f = 2x1 + 24x2 → minx1 + x2 ≥1x1 + 14x2 ≥ 2-x1 + 10x2 ≥ 3x1 - 10x2 ≥ -4x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

4. Решить симплекс-методом:f = x1 - x2 + x3 - x4 → maxx1 - 2x2 - x3 - x4 = -92x1 - x2 - x3 = - 52x1 + x2 ≥ 2x1 ≥ o; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; x4 ≥ 0

5. Составить задачу, двойственную к задаче № 3 этого варианта, и решитьее (симплекс-методом или на основе теории двойственности).

6. Исследовать функцию и построить ее графикy = f(x) = x . e-x

7. Построить фигуру, ограниченную линиями:y = 2x - x2; y = xНайти ее площадь.

72

Вариант III

1. В ящике находятся 4 шара с номерами 1 до 4. Наудачу извлечены двашара. Случайная величина Х - произведение номеров шаров. Составить рядраспределения СВХ; найти m; d; σ.

2. Решить методами Гаусса и Жордано-Гаусса:x1 + 4x2 - x3 = -94x1 - x2 + 5x3 = -23x2 - 7x3 = -6

3. Решить геометрически:f = x1 - x2 → minx1 + x2 ≤ 6x1- 2x2 ≤ 01 ≤ x1 ≤ 3x2 ≥ 0

4. Решить симплекс-методом:f = 10х2 - 3х3 → max2x1 + 2x2 + x3 ≤ 152x1 + 5x2 - 2x3 ≤ 03x1 + 2x2 - x3 = -3x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0.


6. Исследовать функцию и построить ее график

y = f(x) = ex-1/(x-1)

7. Построить фигуру, ограниченную линиями:y = -x2 + 5x; y = x + 3.Найти ее площадь.

73

Вариант IV

1. Подброшены 3 монеты. Случайная величина Х - число выпавшихгербов. Составить ряд распределения СВХ; найти m; d; σ.

2. Решить методами Гаусса и Жордано-Гаусса4х1 - х2 = -63х1 +2х2 + 5х3 = -14х1 - 3х2 + 4х3 = -19

3. Решить геометрически:f = x1 + 2x2 → maxx1 + x2 ≥ 1-x1 + x2 ≤ 1x1 + x2 ≤ 3x1 ≤ 2x1 ≥ 0; x2 ≥ 0

4. Решить симплекс-методом:f = x1 + 2x2 - x3 → maxx1 - 3x2 + x3 + x4 ≤ 74x2 - x3 - x4 = -3x1 + 2x2 - x4 = 2x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 x4 ≥ 0


6. Исследовать функцию и построить ее графикy = f(x) = x . lnx

7. Построить фигуру, ограниченную линиями:y = x2 - 4x; y = 4x - x2

Найти ее площадь.

74

Вариант V

1. Подброшены два игральных кубика. Случайная величина Х - суммавыпавших очков. Составит ряд распределения СВХ; найти m; d; σ.

2. Решить способами Гаусса и Жордано-Гаусса:х1 + 5х2 - 6х3 = -153х1 + х2 + 4х3 = 132х1 - 3х2 + х3 = 9

3. Решить геометрически:f = x1 + x2 → minx1 + 2x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 4x1 + x2 ≥ 1x1 ≥ 0; x2 ≥ 0

3. Решить симплекс-методом:f = x1 - x2 - x3 + x4 → maxx1 + x2 + x3 - 3x4 ≤ 7x1 + x2 - 4x4 = 3x2 - x3 - 2x4 = -2x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 x4 ≥ 0


6. Исследовать функцию и построить ее графикy = f(x) = x2 . e-x

7. Построить фигуру, ограниченную линиями:y = 3x - x2; y = -x.Найти ее площадь.

75

ПРИЛОЖЕНИЕ III

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Тождества сокращенного умножения, неравенство Бернулли и формулаНьютона

∀ a, b ∈ R верны следующие тождества:а2 - b2 = (a - b) . (a + b) - разность квадратовa3 - b3 = (a - b) . (a2 + ab + b2) - разность кубовa3 + b3 = (a + b) . (a2 - ab + b2) - сумма кубов(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 - квадрат двучлена(a ± b)3 = a3 ± 3a2b ± 3ab2 ± b3 - куб двучлена

При h > -1; h ∈ R; ∀ n ∈ N(1 + h)n ≥ 1 + n . h - неравенство Бернулли

При ∀ n ∈ N(a + b)n = C0

n . an + C1n. an-1.b + ... + Cm

n. an-m . Bm +...+Cnn. bn

2. Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического

∀ a > 0, b > 0 Верно неравенство√ a . b ≤ (a + b)/2

3. Модуль (абсолютная величина) действительного числа.Арифметический корень

Определение 1.|r| = {r; если r ≥ 0; {-r; если r < 0.

Примеры:|1,5| = 1,5; |0| = 0; |-3| = -(-3) = 3Свойства модуля: для ∀ a; b ∈ R1. |a + b| ≤ |a| + |b|2. |a - b| ≥ |a| - |b|3. |a . b| = |a| . |b|4.|a/b|=|a|/|b|;b≠0.

76

Определение 2.Арифметическим корнем n-степени из числа r (r ≥ 0) называется

неотрицательное число, n-степень которого равна К.Обозначение: n√ r (r ≥ 0; n > 1)при n = 2 записывается √ r.Если r = a2, то из опр. 2 следует:√ a2 = {a; если a ≥ 0; ⇒ √a2 = |a| {-a; если a < 0

Примеры:√ 52 = |5| = 5; √(-3)2 = 3√ (a - b)2 = |a - b| = { a - b, если а ≥ b; { b - a, если a < b.

4. Квадратные уравнения

Корни приведенного квадратного уравненияx2 + p.x + q = 0 находятся так:x1,2 = -p/2 ± √p2/4 - qКорни неприведенного квадратного уравненияax2 + bx + c = o;a ≠ 0; есть: x1,2 = (- b ± √b2 - 4ac)/2ab2 - 4ac = D - дискриминантЕсли D > 0, то уравнение имеет два вещественных различных корня.Если D = 0, то уравнение имеет два вещественных равных корня.Если D < 0, то уравнение вещественных корней не имеет.

Теорема Виета

Если х1 и х2 - корни уравнения x2 + px + q = 0,то x1 + x2 = -p; x1.x2 = q.

Обратная теорема

Если x1 + x2 = -p; x1.x2 = q, то х1 и х2 есть корни уравненияx2 + px + q = 0.

5. Показательная функция

77

Предварительно дадим следующие определения:an = a . a .a ... a , a ∈ R; n ∈ N. n

a0 = 1a1 = a;a-n = 1/an; a ≠ 0; n ∈ N.Пусть q = m/n; m ∈ Z; n ∈ N.aq = am/n = n√am

Пусть х - иррациональное число (х ∈ R).Тогда степенью числа а > 1 с положительным иррациональным

показателем х называется число, которое больше всех степеней числа a споказателями, равными десятичным приближениям числа х с недостатком, номеньше всех степеней числа а с показателями, равными десятичнымприближениям числа х с избытком.

Если 0 < a < 1, то степенью этого числа с положительнымиррациональным показателем х называется число, которое больше всехстепеней числа а с показателями, равными десятичным приближениям числа х сизбытком, но меньше всех степеней числа х с показателями, равнымидесятичным приближениям числа х с недостатком.

Пояснение к определениям:

24 = 2. 2.2.2 = 16; 2+1/2 = √ 21 = √ 2.20 = 1; 2-1/3 = 1/21/3 = 1/3√221 = 2;2-3 = 1/23 = 1/8;2√3 ? √3 = 1,732Выпишем десятичные приближения √3с недостатком с избытком1 21,7 1,81,73 1,74..... .....21; 21,7; 21,73; ..... - эта последовательность возрастает и ограничена сверху,

поэтому она имеет предел t1.

22; 21,8; 21,74; ... - эта последовательность убывает и ограничена снизу,поэтому она имет предел t2.

Можно доказать, что t1 = t2 = t.Вот это число t и есть 2√3.Наконец, если х - иррациональное отрицательное число, то а-х = 1/ax.Таким образом, выражение ах определено для ∀ a, x ∈ R; a > 0; a ≠ 1.

78

Определение. Функция вида f(x) = C . ax называется показательнойфункцией [x ∈ R; a > 0; a ≠ 1, C = const].

Отметим, что с помощью показательных функций могут быть описанымногие процессы в природе: распад радиоактивных веществ, рост численностимикроорганизмов, движение тел в сопротивляющейся среде, изменение силытока при размыкании цепи, рост народонаселения и т.п.

6. Логарифмы и логарифмическая функция

Определение. Пусть а > 0; a ≠ 1; a ∈ R.Число х называется логарифмом числа N по основанию а, если ах = N.Можно доказать, что если число N имеет по основанию а логарифм, то

этот логарифм единственный, он обозначается logaN.Таким образом, указанное выше определение можно переписать так:x = logaN, если ах = N (а > 0; a ≠ 1);N ∈ R+.Основное логарифмическое тождество:alog a N = N.Свойства логарифмов:1. loga(M.N) = logaM + logaN; M > 0; N > 0.2. loga M/N = logaM - logaN; M > 0; N > 0.3. logaNα = α logaN; N > 0; α ∈ R.4. logaβNα = α/β . loga N; N > 0; α = 0; β = 0.5. logbN = logaN/logab; N > 06. logab . logba = 17. Если a > 1, то 0 < x1 < x.⇔ logax1 < logax2

8. Если 0 < a < 1, то 0 < x1 < x2 ⇔ logax1 > logax2.Рассмотрим показательную функцию y = ax и составим к ней обратную:x = logay; y = logax - логарифмическая функция;y = ax - показательная функция.Графики логарифмической и показательной функций (как и графики

любых взаимно-обратных функций) симметричны относительно прямой y = x.

7. Прогрессии

Определение. Арифметической прогрессией называется числоваяпоследовательность, которая задается формулой

un = un-1 + d; n ≥ 2.d - разность арифметической прогрессии;u1 - первый член.

79

Можно вывести следующие формулы общего члена и суммы членоварифметической прогрессии:

un = u1 + d(n - 1); Sn = (u1 + un) /2 . nПример 1. Вычислить сумму первых n чисел натурального ряда.1; 2; 3; 4; ...; n Sn = (1 + n)/2 . nПример 2. Вычислить сумму первых n чисел натуральных нечетных.1; 3; 5; 7; ...; 2n - 1 Sn = 1 + (2n - 1)/2 . n Sn = n2

1 + 3+ 5+ ... + (2n - 1) = n2

Определение. Геометрической прогрессией называется числовапоследовательность, которая задается формулой

un = un-1 . q; n ≥ 2q - знаменатель геометрической прогресс;u1 - первый член.Можно вывести следующие формулы общего члена и суммы членов

геометрической прогрессии:un = u1 . qn-1; Sn = u1 . (1-qn)/(1-q).Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию, для которой |q| <

1 (такую прогрессию в дальнейшем будем называть бесконечно убывающейгеометрической прогрессией).

Выпишем так называемые частичные суммы членов этой прогрессии,которые составляются следующим образом:

S1 = u1S2 = u1 + u2S3 = u1 + u2 + u3..........................Sn = u1 + u2 + u3 + ... unПоследовательность частичных сумм S1; S2; S3; ...; Sn; ... имеет предел,

который называется суммой бесконечно убывающей геометрическойпрогрессии и обозначается S. S = u1/ (1-q).

8. Наиболее важные формулы из теории круговых (тригонометрических)функций

8.1. Соотношения между круговыми функциями одного аргумента α

Sin2α + Cos2α = 1; ∀α∈R.tgα = Sinα/Cosα;ctgα = Cosα/Sinα;1 + ctg2α = 1/Sin2α;1 + tg2α = 1/Cos2α;secα = 1/Cosα;

80

cosecα = 1/Sinα;

8.2. Формулы приведения круговых функций произвольного аргумента ккруговым функциям аргумента α: 0< α < π/2;

-α sin(-α) = -sinα tg(-α) = -tgα cos(-α) = cosα ctg(-α) = -tgα

2π . z +α sin(2πz +α) = sinα tg(2πz +α) = tgα cos(2πz +α) = cosα ctg(2πz+α) = ctgα

π/2 - α Sin(π/2-α) = Cosα tg(π/2 -α) = ctgα Cos(π/2 -α) = Sinα ctg(π/2 -α) = tgα

π/2 + α Sin(π/2 +α) = Cosα tg(π/2 +α) = -ctgα Cos(π/2 +α) = -Sinα ctg(π/2 +α) = -tgαπ - α Sin(π -α) = Sinα tg(π -α) = -tgα Cos(π-α) = Sinα tg(π -α) = -tgα

π + α Sin(π +α) = -Sinα tg(π +α) = tgα Cos(π +α) = -Cosα ctg(π +α) = ctgα

3/2π - α Sin(3/2π -α) = -cosα tg(3/2π -α) = ctgα Cos(3/2π -α) = -sinα ctg)3/2π -α) = tgα

3/2π + α Sin(3/2π +α) = -cosα tg(3/2π +α) = -ctgα Cos(3/2π + α) = Sinα ctg(3/2π +α) = -tgα

2π - α Sin(2π -α) = -Sinα tg(2π -α) = -tgα Cos(2π -α) = Cosα ctg(2π -α) = -ctgα

8.3. Преобразования круговых функций

Sin(α ± β) = Sinα . Cosβ ± Cosα . Sinβα=β, +⇒ Sin2α = 2sinα x cosαCos(α ± β) = Cosα . Cosβ = Sinα . Sinβα = β, + Cos2α = Cos2α - Sin2α⇒tg(α ± β) = (tgα ± tgβ) / (1- tgα .tgβ)α = β, +

81

⇒ tg2α = 2tgα/(1 - tg2α)

2Sin2(α/2) = 1 - Cosα Sin (α/2) = ± √ (1 - Cosα)/22 Cos2(α/2) = 1 + Cosα Cos (α/2) = ±√ (1 + Cosα)/2 tg (α/2) = ± √(1 - Cosα)/(1 + Cosα)(1 - Cosα) / Sinα = Sinα / (1 + Cosα) = tg (α/2)Sinα . Sinβ = [cos(α-β) - cos(α+β)]/2Sinα . Cosβ = [Sin(α+β) + Sin(α-β)]/2Cosα . Cosβ = [Cos(α + β) + Cos(α β)]/2Sinα + Sinβ = 2Sin ((α+β)/2) . Cos ((α-β)/2)Sinα - Sinβ = 2 Cos ((α+β)/2) . sin ((α-β)/2)Cosα + Cosβ = 2Cos ((α+β)/2) . Cos ((α-β)/2)Cosα - Cosβ = -2 Sin ((α+β)/2) . Sin ((α-β)/2)tgα ± tgβ = Sin(α±β)/(cosα . cosβ)

8.4. Обратные круговые функции и решение простейших уравнений

arc Sin m = α0, если 1) Sin α0 = m2) -π/2 ≤ α0 ≤ π/2Sin x = mx = (-1)z . arc Sin m + π∈Zarc Sin (-m) = -arc Sin m, ∀ m: |m| ≤ 1.arc cos m = α0, если 1) Cosα0 = m2) 0 ≤ α0 ≤ πCos x = mx = ± arc cos m + 2π . z; z ∈Zarc cos (-m) = π - arc cos m, ∀ m: |m| ≤ 1arc tg m = α0, если 1) tgα0 = m2) -π/2 < α0 < π/2tg x = mx = arc tg m + π . z; z ∈Zarc tg (-m) = - arc tg m, ∀ marc ctg m = α0, если 1) ctg α0 = m2) 0 < α0 < πctg x = mx = arc ctg m + π.z; z ∈Zarc ctg (-m) = π - arc ctg m, ∀ marc Sin x + arc cos x = π/2; ∀x: |x| ≤ 1arc tg x + arc ctg x = π/2; ∀x

8.5. Значения круговых функций некоторых аргументов

82

0(00) π/6(300) π/4(450) π/3(600) π/2(900) π(1800) 3/2π(2700)

Sin 0 1/2=0,500 √2/2=0,707 √3/2 ≈ 0,866 1 0 -1Cos 1 √ 3/2 ≈

0,866√2/2 ≈0,707 1/2 ≈ 0,500 0 -1 0

tg 0 1/√3 ≈0,577

1 √3 ≈ 1,732 ∃ (= ∞)

0 ∃ (= ∞)

ctg ∃(=∞)

√3≈ 1,7323 1 1/√3 ≈ 0,577 0 ∃ (= ∞)

0

ctg 0 ∃ (= ∞), т.к. lim ctg x = +∞; lim ctg x = -∞ x → +0 x → -0

9. Формулы дифференцирования

(U + V)1 = U1 + V1 (Uα)1 =α . Uα-1 . U1

(U . V)1 = U1 V + U .V1 (SinU)1 = Cos U . U1

(C . V)1 = C . V1 (Cos U)1 = -Sin U . U1

(U/V)1 = (U1.V - U.V1)/V2 (tg U)1 = 1/cos2U . U1

y = y(U) U = U(x) (ctg U)1 = -1/Sin2U . U1

Y1x = Y1

u . U1x (au)1 = au . lna . U1

Y = y(x) x = x(y) (eu)1 = eu . u1

Y1x = 1/x1

y (logaU)1 = 1/U.lna . U1

(C)1 = 0 (lnU)1 = U1/U(x)1 = 1

10. Первообразные

f(x) F(x) f(x) F(x) xα , α ≠ -1Sin xcos x1/cos2x1/sin2x

x α.+1/(α+1) + C-cosx + CSin x + Ctgx + C-ctgx + C

1/x, x>01/x, x<0ex

ax

lnx + Cln(-x) + Cex + Cax/lna + C

11. Формулы геометрии

11.1. Треугольники

Сумма внутренних углов: А1 + В1 + С1 = 180о

Теорема Пифагора (для прямоугольного ∆ АВС, С1 = 900)с2 = a2 + b2

83

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного ∆ ABC, C =900:

a = c . Sin A; b = c . cos A; c = a/Sin aa = b . tg A

Теорема косинусов:a2 = b2 + c2 - 2bc . cos A

Теорема синусов:a/Sin A = b/Sin B = c/Sin C

Площадь: S = a . h/2; S = bc . Sin A/2S = √p(p-a)(p-b)(p-c), где p = (a + b + c)/2 (формула Герона)

11.2. Многоугольники

Сумма внутренних углов n-угольника:2d(n-2)

Cредняя линия трапецииm = (a + b)/2 (a, b - основания)

Площадь параллелограмма:S = a . h; S = a . b . Sin α

Площадь трапеции:S = (a + b)/2 . h

Стороны вписанного правильного n-угольника:an = 2R . Sin (1800/n) (R - радиус описанной окружности)

Сторона вписанного правильного шестиугольника: а6 = R

Сторона вписанного правильного четырехугольника (квадрата):а4 = R√2

Сторона вписанного правильного треугольника:а3 = R√3

Площадь правильного многогранника:S = 1/2P . r (P - периметр, r - апофема)

84

11.3. Окружность и круг

Длина окружности : C = 2πR

Длина дуги в n0: l = πRn/1800

Площадь круга S = πR2; S = πd2/4

Площадь кругового сектора в n0:S = πR2n/360

11.4. Векторы и координаты

Правило треугольника→ → → → → → →AB + BC = AC или AB + DC + CF = 0

Правило многоугольника:→ → → →АAn = AA1 + A1A2 + ... + An-1An или

→ → → → →AA1 + A1A2 + ... + An-1An + AnA = 0

85

Формула вычитания векторов→ → →OB - OA = AB → →Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам а и b (на

плоскости):→ → → с = xa + yb → → →Разложение вектора по трем некомпланарным векторам a, b, c (в

пространстве):→ → → →d = x.a + y.b + z.c

Скалярное произведение ненулевых векторов:→ → → →a. b = |a| . |b| . cos (a; b)

Сложение и вычитание векторов в координатах:→ →a ± b = (x1±x2; y1±y2; z1±z2)

Умножение вектора на число: →p . a = (px; py; pz)

Скалярное произведение в координатах:→ →a . b = x1x2 + y1y2 + z1z2

Длина вектора:→|a| = √x2 + y2 + z2

Расстояние между точками A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2):|AB| = √(x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2

Уравнение плоскости, проходящей через точку А (х1; y1; z1) иперпендикулярной вектору n = (a; b; c):

a(x-x1) + b(y-y1) + c(z-z1) = 0

86

Уравнение сферы с центром S (0; 0; 0) и радиусом R:x2 + y2 + z2 = R2

11.5. Многогранники

Площадь боковой поверхности призмы:Sбок. = P . l(P - периметр перпендикулярного сечения; l - боковое ребро)

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:Sбок. = P . hбок./2(P - периметр основания, hбок. - апофема)Sбок = Q/cos α(Q - площадь основания, α - угол между боковой гранью и плоскостью

основания).

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамидыSбок = (P + P1) hбок/2(P и Р1 - периметры оснований, hбок - высота боковой грани)

Площадь ортогональной проекции многоугольника:S1 = S . cos ϕ(ϕ - угол между плоскостями многоугольника и его проекции)

Объем прямоугольного параллелепипеда:V = a . b. c(a, b, c - измерения параллелепипеда)

Объем призмы:V = Q . H(Q - площадь основания, Н - высота)

Объем пирамидыV = QH/3(Q - площадь основания, Н - высота)

11.6. Фигуры вращения

Площадь боковой поверхности цилиндра:Sбок = 2πRР

87

Площадь боковой поверхности конуса:Sбок = πRL(L - образующая)

Объем цилиндра:V = πR2H

Объем фигуры, полученной при вращении криволинейной трапеции:V = πSa

bf2(x) . dxОбъем конуса:V = πR2H/3

Объем шара:V = 4πR3/3

Площадь сферы:S = 4πR2

88

ГРАФИКИ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

f(x) = sin x g(x) = arcsinxD(f) = [-π/2; π/2] D(g) = [-1; 1]E(f) = [-1; 1] E(g) = [-π/2; π/2]

89

∀x, Sin x = x - x3/3! + x5/5! - ... + (-1)n-1 . x2n-1/(2n-1)! + ...

f(x) = сos x g(x) = arc cos xD(f) = [0; π] D(g) = [-1; 1]E(f) = [-1; 1] E(g) = [0; π]

∀x, cosx = 1 - x2/2! + x4/4! - ... + (-1)n.x2n/(2n)! + ...

90

f(x) = tgx g(x) = arctgxD(f) = (-π/2; π/2) D(g) = (-∞; +∞)E(f) = (-∞; +∞) E(g) = (-π/2; π/2)

arctgx = x - x3/3 + x5/5 - ... + (-1)n-1 . x2n-1/(2n-1) + ...

f(x) = ctgx g(x) = arcctgxD(f) = ( 0; π) D(g) = (-∞; +∞)E(f) = (-∞; +∞) E(g) = (0; π)10 смf(x) = еx = exp(x) g(x) = lnxD(f) = (-∞; +∞) D(g) = (0; +∞)E(f) = (0; +∞) E(g) = (-∞; +∞)10 см∀x, еx = 1 + x/1! + x2/2! + ... + xn/n! + ...∀x, ln((1+x)/(1-x)) = 2(x + x3/3 + x5/5 + ... + x2n-1/(2n-1) + ...)

91

f(x) = 10x =exp10(x) g(x) = lg xD(f) = (-∞; +∞) D(g) = (0; +∞)E(f) = (0; +∞) E(g) = (-∞; +∞)

92

f(x) = x2 g(x) = √xD(f) = (0; +∞) D(g) = (0; +∞)E(f) = (0; +∞) E(g) = (0; +∞)

93

f(x) = x3 g(x) = 3√xD(f) = (-∞; +∞) D(g) = (-∞; +∞)E(f) = (-∞; +∞) E(g) = (-∞; +∞)

94

f(x) = x g(x) = xD(f) = (-∞; +∞) D(g) = (-∞; +∞)E(f) = (-∞; +∞) E(g) = (-∞; +∞)

95

f(x) = x-1= 1/x g(x) = x-1 = 1/xD(f) = (-∞; 0) U (0; +∞) D(g) = (-∞; 0) U (0; +∞)E(f) = (-∞; 0) U (0; +∞) E(g) = (-∞; 0) U (0; +∞)

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

Функция Производная Функция ПроизводнаяC(consl)

xUn

1/U1/Un

√UeU

aU

ln UlogaUSin U

01

nUn-1 . U1

-1/U2 . U1

-n/Un+1 . U1

1/2√UeU . U1

aUlna . U1

1/U . U1

1/U logae . U1

Cos U . U1

Cos Utg Uctg U

arcSin UarcCos Uarctg Uarcctg U

sh Uch Uth Ucth U

-Sin U . U1

1/Cos2U . U1

1/-Sin2U . U1

1/√1-U2.U1

-1/√1 - U2 . U1

+1/(1 + U2) . U1

-1/(1+U2 ). U1

ch U . U1

sh U . U1

1/ch2U . U1

-1/sh2U . U1

* U -функция от х

96

ТАБЛИЦА ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ

dc = 0d(Un) = nUn-1 . dUd(1/U) = -1/U2 . dUd(1/Un) = -n/Un+1 dUd(√U) = 1/2√U . dUd(eU) = eU . dUd(aU) = aUlna . dUd(lnU) = 1/U . dUd(logaU) = 1/U loga l/dUd(Sin U) = CosU . dUd(CosU) = -Sin U . dU

d(tgU) = 1/Cos2U . dUd(ctgU) = -1/Sin2U . dUd(arcSinU) = 1/√1-U2 . dUd(arcCosU) = -1/√1-U2 . dUd(arctgU) = 1/(1+U2 ). dUd(arcctgU) = -1/(1+U2 ). dUd(sh U) = ch U . dUd(ch U) = sh U . dUd(th U) = 1/ch2U . dUd(dh U) = -1/sh2U . dU

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

S undu = un+1/(n+1) + C(n=-1)S du/u = ln|u| + CSaudu = au/lna + CSeudu = eu + CS Sinudu = -Cosu + CS Cos udu = Sin u + CS du/Sin2u = -ctgu + CS du/Cos2u = tgu + CS du/√1-u2 = arc Sin u + C

S du/√a2 - u2 = arc Sin u/a + CS du/(1+u2 )= arc tgu + CS du/(a2+u2 )= arctg (u/a) /a + CS du/√u2± a2 = ln|u +√u2±a2| + CS tgudu = -ln|Cos u| +CS ctgudu = ln|Sinu| + CS du/Sinu = ln |tg u/2| + CS du/Cosu = ln |tg(u/2 + π/2)| + CS du/(u2-a2 )= ln|(u-a)/(u+a)/2a| + C

Общая схема исследования функции и построение ее графика(на примере функции Гаусса y = f(x) =0,4 . exp(-x2/2))

1. Найти область существования функции; установить поведение функциина концах промежутков, составляющих область существования; определитьвертикальные, наклонные, горизонтальные асимптоты (если они существуют).

D(f) = (-∞; +∞)lim f(x) = +0x→±∞

Точек разрыва нет; следовательно, нет вертикальных асимптот.

97

k = lim (f(x)/x) = 0 k = 0 x →±∞b = lim [f(x) - kx] = 0 b = 0 x →±∞

y = 0 - ось 0Х - горизонтальная асимптота

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат:y = 0y = exp(-x2/2) = 0 точек пересечения с осью ОХ нет.

x = 0 x = 0 (0; 0,4) - точка пересечения с осью ОХ.y = 0,4 . exp(-x2/2) y = 0,4

3. Исследовать функцию на четность (нечетность, общий вид)f(x) = 0,4 exp(-(-x)2/2) = 0,4 . exp(-x2/2) = f(x) ⇒Функция четная, график ее симметричен относительно оси ординат.

4. C помощью первой производной найти критические точки первогорода, установить промежутки возрастания (↑) и убывания (↓) функции и ееэкстремумы (если они существуют):

y1 = 0,4 . exp(-x2/2) (-x)y1 = 0 x = 0 - критическая точка I рода

x -∞; 0 0 0; +∞y1 + 0 -y ↑ max ↑

ymax = y(0) = 0,4

5. С помощью второй производной найти критические точки II рода;установить промежутки выпуклости и вогнутости графика функции и точкиперегиба.

y11 = 0,4.exp(-x2/2).(x2 - 1)

y11 = 0 x2-1 = 0 x2 = 1x1 = -1x2 = 1 - критические точки II рода

98

x -∞; -1 -1 -1; 1 1 1; +∞y11 + 0 - 0 +y вогнута перегиб выпукла перегиб вогнута

y(±1) = 0,4 e-1/2 = 0,4/√e ≈

6. На координатной плоскости построить характеристические точкиграфика функции (точки пересечения с осями координат, точки экстремумов иперегиба и т.д.), а затем - эскиз графика функции, по которому можноустановить некоторые другие свойства функции (например, здесь легкоусматривается непериодичность функции и ее множество значений E(f) = (0;0,4])

99

КРИВАЯ ГАУССА

y = f(x) = 0,4 . exp(-x2/2)

100

ПРИЛОЖЕНИЕ IV

Компьютерные модели некоторых задач

В этом приложении приводятся программы, разработанные студентами IIкурса Ярославского государственного университета имени П.Г. ДемидоваАлександром Шармановым (экономический факультет, программа ALEX1),Антоном Хрулевым (ANTONX1; математический факультет - МФ),Валентином Пепеловым (VALENT1; МФ), Дмитрием Козуновым (DIMIT1;МФ), Романом Сандаркиным (ROMAN1; МФ), Валерием Яковенко (VALERI1;МФ), Антоном Штерном (ANTONS1; МФ). Программы осуществляютнаписанные на различных языках (BASIC, TURBO PASCAL 7.0, VIGIALBASIC 6.0; DELFI 4.0) компьютерные модели задач: “Игра в “крэпс” (2игральных кубика); “Попытай счастья” (3 кубика); “Задача о блуждании точки(частицы) [ или о разорении игрока]”, “Вычисление определенных интеграловметодом Монте-Карло”. Условия задач и их математические модели приводятсялибо в первой части этого пособия, либо в комментариях к компьютерныммоделям.

ПРОГРАММА “ALEX1”

Построение компьютерной модели задачи

Найти вероятность выигрыша игрока и вероятность выигрыша казино приигре в “крэпс” (craps - американская азартная игра в кости). Математическаямодель этой задачи рассмотрена в первой части этого пособия.

Программная реализация

10 REM ИГРА В КРЭПС20 INPUT “ВВЕДИТЕ ЧИСЛО ОПЫТОВ N= “, n30 а = 040 b = 050 FOR i = 1 ТО n60 GOSUB 21070 IF s = 7 OR s = 11 THEN 14080 IF s = 2 OR s = 3 OR s = 12 THEN 16090 s2 = s100 GOSUB 210110 IF s = s2 THEN 140120 IF s = 7 THEN 160130 GOTO 100140 a = a + 1150 GOTO 170160 b = b + 1

101

170 NEXT i180 PRINT “ВЕРОЯТНОСТЬ ВЫИГРЫША ИГРОКА Р(А)=“; a / n190 PRINT “ВЕРОЯТНОСТЬ ВЫИГРЫША КАЗИНО Р(B) =“; b / n200 END210 RANDOMIZE TIMER220 x = INT (RND * 6) + 1230 y = INT (RND * 6) + 1240 s = x + y250 RETURN

В 20 строке вводится количество опытов (игр между Игроком и Казино).30 и 40 строка заявляют переменные количества выигрышей Игрока и Казиносоответственно. С 50 строки начинается цикл, каждая петля которогопредставляет собой отдельную игру. В 60 строке программа вызываетподпрограмму (с 210 строки) бросания двух кубиков и суммирования числавыпавших очков. В 70 и 60 строках проверяется условие победы или пораженияс первого броска. Если этого не произошло (поинт) переходим к строке 90, гдекопируем сумму первого броска и уходим на подпрограмму для совершенияповторного броска в строке 100. В 110 и 120 строках проверяем условия победыпосле поинта. При необходимости повторных бросаний возвращаемся в строку100, то есть получилась петля, работающая до выигрыша Игрока, когда тотвыбрасывает число, равное первому поинту, или до выигрыша Казино, когдасумма выброшенных очков равна 7. 140 и 160 строки регистрируют количествовыигрышей Игрока и Казино в n опытах. После завершения циклаподсчитывается и выводится на экран вероятность выигрыша Игрока и Казиносоответственно. На этом программа заканчивается.

Практические результатыЧисло опытов Вероятность выигрыша

ИгрокаВероятность выигрыша Казино

100 0,43 0,571000 0,457 0,54310000 0,4763 0,5237100000 0,48008 0,519921000000 0,49735 0,50265

Выводы: математически вычисленная вероятность выигрыша Игрокасоставляет 0.49293, а полученная посредством компьютерного моделированиястатистическая вероятность 0,49735 (из 1000000 опытов). Таким образом,результаты исполнения программы, составленной на основе компьютерногомоделирования, соответствуют математическим вычислениям вероятностейвыигрышей Игрока и Казино.

ПРОГРАММА “ANTONX1”

102

Программа составлена на языке TURBO PASCAL 7.0Program kreks;Uses crt;Label 1,2,3,4,5,6; {описание меток}Var s, s1, s2, point, i, w, p, n, k, h : longint; wer : real;BEGIN writeln(‘Введите количество партий:’); readln(n);for i:=1 to n do begin {моделирование “n” партий в крэкс} randomize;{инициализация генератора случайных чисел}1:s1:=random(7);{генерирует целые числа от 0 до 6 случайным образом} if s 1=0 then goto 1;{yf rjcnb yt vj;tn dsgfcnm “0”} 4:s2:=random(7);if s2 = 0 then goto 4; s:=s1 + s2; if (s=7) or (s=11) then begin {проверка суммы на выигрыш} w:=w + 1;goto 2;end; if(s=2) or (s=3) or (s=12) then begin {проверка на выигрыш} p:=p + 1;goto 2;tnd; point:=s;{если ни одно из условий выше не подошло, то “пойнту” присваиваемзначение s}repeat {бросаем кости, пока не выпадет “пойнт” или 7}5:s1:=random(7); if s1=0 then goto 5;6:s2:=random(7); if s2=0 then goto 6; s:=s1 + s2;until (s=point) or (s=7); if s=7 then p:=p + 1; if s= point then w:=w + 1; 2:writeln(‘Выигрыш = ‘,w,’ числу раз’); writeln(‘Проигрыш =’,p,’ числу раз’); delay(10000);{Задержка - нужна, чтобы генерируемые числа не повторялись}end;{конец моделирования “n” партий} wer:=(w/n);{Вероятность выигрыша равна отношению числа выигрышей к общемуколичеству партий в крэкс}writeln(‘Вероятность выигрыша равна =’,wer);readln;END.

После запуска программы требуется ввести количество партий. Врезультате программа выдаст количество выигранных и проигранных партий, атакже посчитает вероятность выигрыша.

Количествопартий (n)

Количествовыигрышей (В)

Количествопроигрышей (П)

Вероятностьвыигрыша Р(В)

10 4 6 0.4

103

100 45 55 0.451000 492 508 0.492

10000 4926 5074 0.4926

“ПОПЫТАЙ СЧАСТЬЯ”

“Попытай счастья” - игра в кости с несложными правилами. После того,как игрок сделает ставку на один из номеров 1, 2, 3, 4, 5, 6, подбрасываются триигральные кости. Если номер выпадает на одной, двух или трех костях, то закаждое появление этого номера выплачивается первоначальная ставка, приэтом возвращается и первоначальная ставка. В противном случае игрок теряетставку. Какой средний проигрыш игрока при единичной ставке?

РешениеПодсчитаем ущерб, возникающий в каждом из трех случаев:а) На трех костях выпали разные номера.б) На двух костях выпали одинаковые номера.в) На трех костях выпали одинаковые номера.Для простоты предположим, что на каждый номер поставлена единичная

ставка. Тогда в первом случае игрок очевидно не проигрывает, но и невыигрывает.

Предположим теперь, что выпало ровно два одинаковых номера,например, 1, 1 и 2. В этом случае игорный дом может использовать ставки,поставленные на 3 и 4, чтобы расплатиться с 1, а ставку с 5 уплатить номеру 2.Таким образом, игорному дому остаются ставка с номера 6 и проигрыш игрока1/6.

В третьем случае, при выпадении, например, трех единиц, игорный домвыплачивает ставки с номеров 2, 3 и 4 на покрытие выигрыша, а ставки с 5 и 6оставляет себе и проигрыш игрока 2/6.

Вероятность выпадания трех различных номеров равна 120/216 (всеговозможных вариантов 6*6*6=216, а комбинаций с различными номерами6*5*4=120). Вероятность выпадания трех одинаковых номеров очевидно равна6/216, а двух одинаковых номеров 90/216.

Средний же ущерб получается суммированием произведенийвероятностей отдельных случаев на ущерб, им соответствующий:

120/216x0+90/219x1/6+6/216x2/6=17/216≈0.079Итак, средний ущерб составляет около 8%

Программа VALENT1

program pr;var i,t:longint; q:boolean;

104

j:real; n,k,r,c:integer;begin randomize; j:=0 readln(i); for i:=1 to i do begin t:=0;{“Броски костей”} r:=random(6)+1; randseed:=randsees+i; k:=random(6)+1; randseed:=randseed+i; n:=random(6)+1; randseed:=randseed+i; if r=1 then begin j:=j+1;t:=1;end; if k=1 then begin j:=j+1;t:=1;end; if n=1 then begin j:=j+1;t:=1;end; if t=0 then j:=j-1; end; writeln(j/i:1:10); readln;end.

Таблица:Количество попыток Результат100100010000100000100000010000000

-0.05-0.052-0.0948-0.0771-0.07968-0.0787651

105

ПРОГРАММА “DIMIT1”

“Вычисление интеграла методом Монте-Карло”

На отрезке, на котором интегрируется функция, произвольным образомвыбираются n-случайных точек (n - вводится пользователем). Затемсуммируются значения функции в этих точках и конечная сумма делится начисло случайных точек и умножается на h (h - разность верхнего и нижнегопределов).

Текст программы:

Dim a! ‘коэффициент-переменная типа longDim b! ‘коэффициент-переменная типа long

Public Sub integral() Dim k! ‘нижний предел интегрирования Dim l! ‘верхний предел интегрирования Dim h! ‘разность между l и k Dim number As Long ‘число случайных точек Dim s! ‘сумма значений функции Dimf! ‘значение функции Dim j As Long Dim MyValue ‘случайная точка a = TextA b = TextB k = TextDown l = TextUp number = TextNumber h = l - k For j = 1 To number MyValue = (h * Rnd + k) x = MyValue: GoSub 3: s = s + f Next j s = s’h / number GoTo 43 f = a * x ^ 2 + b * x: Return4 Textintegral = sEnd Sub

Тестирование программы:(А,В - параметры функции; K,L - нижний и верхний пределы

соответственно.)Для функции вида: F(x)=A*x^2+B*x

106

A B K L Число случайных точек Значение интеграла 1 1 0 2 15 2,952625 1 1 0 2 150 4,834923 1 1 0 2 1500 4,644458 1 1 0 2 15000 4,69775 1 1 0 2 150000 4,6684 1 1 0 2 1500000 4,667233



ПРОГРАММА “ROMAN1”“ЗАДАЧА О БЛУЖДАЮЩЕЙ ТОЧКЕ”

Условие задачи, математическая модель ее решения описаны в I частиэтого учебного пособия, поэтому здесь рассмотрим лишь компьютернуюмодель, написанную на языке программирования TurboPascal 7.0.

10: program ver1;20: uses crt, graph30: var k, m, i, j, f, t, x, h:integer;40: p, l:real;50: n:longint;60: a:array[1...50] of real;70: GraphDriver,GraphMode:integer;80: PathToDriver:string;90: begin100: for i:= 1 to 50 do110: begin120: p:=0.5+i/100;130: m:=1;140: x:=0;

107

150: f:=5000;160: for j:=1 to f do170: begin180: n:=5000;190: repeat200: {randomize;}210: l:=random(32001)/32000;220: t:=random(3);230: delay(t);240: k:=random(1);250: delay(k);260: if 1>p then m:=m-1 else m:=m+1;270: n:=n-1;280: until (m=0) or (n=0);290: if m=0 then x:=x+1;300: m:=1;310: end;320: a[i] :=x/f;330: end;340: writeln (‘’);350: readln;360: clrscr;370: GraphDriver:=3;380: GraphMode:=2;390: PathToDriver:=‘d:\tp\bgi’;400: InitGraph (GraphDriver,DraphMode,PathToDriver);410: line(320,0,320,480);420: line(0,240,640,240);430: for i: =0 to 64 do440: line(10*i,235,10*i,245);450: for i:=0 to 64 do460: line(315,10*i,325,10*i);470: line(320,140,370,140);480: for i:=3 to 49 do490: line(370+(i-1),240-(round((a[i-2]+a[i-1]+a[i]) /3*100)),370+i,240-(round ((a[i-1]+a[i]+a[i+1]) /3*100)));500: line(370,140,370+2,240- (round((a[1]+a[2]+a[3]) /3*100)));510: line(370+(49), 240-(round((a[48]+a[49]+a[50]) /3*100)),420,240);520: readln;530: end.

В программе принимаем следующие переменные за:р - вероятность сдвига точки в право

108

m - положение точких - количество возвращений точки в 0 при фиксированной рf - количество опытовn - количество сдвигов точки

Строка 90 - начало основного цикла. Строка 160 начинает цикл движенияточки. Строки 200-240 - берем случайные числа. В строке 260 проверяем: еслислучайное число больше р, то точка сдвигается на 1 влево, в противном случае -вправо. Строка 290 - если точка достигла 0, то х увеличивается на 1. Строка 320- результаты заносим в массив. Строка 360 инициализирует графическийрежим. Строки 410, 420 строят координатные оси. Строки 470-510 показываютподсчитанные вероятности в виде графика зависимости р1(р).

В результате выполнения программы мы увидим примерно такой график:

С некоторыми допущениями можно сказать, что это похоже на графикфункции, описанной в математической модели этой задачи, что, в своюочередь, лишний раз подтверждает рациональность применения компьютерноймодели при решении задач теории вероятностей.

ПРОГРАММА “VALERI1”

Задача о блуждании

109

Рассмотрим игрока с начальным капиталом х=1, играющегонеограниченно долго против казино с бесконечным капиталом. Каждая ставка =1. По заданной вероятности выигрыша партии найти общую вероятностьвыигрыша. Математическое обоснование решения данной задачи смотрите впервой части этого пособия.

1. var z,ni,n,l,k,i,j:integer;2. p1,p:real;3. begin4. randomize;5. p1:=strtofloat(edit1.text);6. z:=strtoint(edit2.text);7. ni:=strtoint(edit3.text);8. n:=o;9. for i:=1 to z do10. begin11. l:=0; k:=0;12. for j:=1 to ni do13. begin14. if random<=p115. then l:=l+116. else k:=k+1;17. if k>118. then break;19. end;20. lf l>=((ni+1)div(2))21. then n:=n+1;22. end;23. p:=n/z;24.label1.caption:=‘вероятность выигрыша = ‘+floattostr(p);25.tnd;

Комментарии:Строка 1 - описание переменных: z - количество игр, ni - количество

партий, n -количество выигранных игр, l - количество выигранных партий водной игре, k -количество проигранных партий в одной игре.

2 - р1 - вероятность выигрыша одной партии, р - общая вероятностьвыигрыша.

9 - цикл процесса игры.14 - проверка условия выигрыша партии.17 - проверка на банкротство игрока.20 - проверка на выигрыш одной игры.23 - общая вероятность выигрыша.

110

Вероятностьвыигрышапартии

Кол-во игр Кол-вопартий

Теор.значениевыигрыша

Практическоезначениевыигрыша

0,9 1000 100 8/9=0,(8) 0,8840,5 1000 100 0 0,0690,3 1000 100 0 00,9 1000 10 8/9=0,(8) 0,8820,5 1000 10 0 0,2320,3 1000 10 0 0,032

ПРОГРАММА “ANTONS1”Задача о блуждании

Частица движется из положения х=1 либо в точку х=2 с вероятностью р,либо в точку х=0 с вероятностью 1-р. Вообще: если частица находится вположении х=n, то она сдвигается либо в точку х=n+1 с вероятностью р, либо вточку х=n-1 с вероятностью 1-р. Если частица попадает в точку ч=0, то там онапоглощается. Пусть р1 - вероятность того, что частица поглощается в точкех=0, после того как она выходит из точки х=1.

Программа статистически подсчитывает вероятность р1, для 0.5<=p<=1 (рменяется с шагом 0ю01) и выводит на экран график функции р1(р).

program ver1;uses crt,graph;var k,m,i,j,f,t,x,h:integer; p,l:real; n:longint; a:array[1...50] of real; GraphDriver,GraphMode:integer; PathToDriver:string;begin{начало основного цикла}for i:= 1 to 50 do begin{варьируем вероятность движения точки на 1 вправо от 0.5 до 1 с шагом 0.01} р:=0.5+i/100; {m- положение точки} m:=1;{x-число возвращений точки в 0 при фиксированной р} x:=0;{f-число опытов}f:=5000;{цикл движения точки}for j:=1 to f dobegin{n-количество движений точки}n:=5000;repeat

111

{берем случайное число}randomize;l:=random(32001)/32000;randomize;t:=random(1);delay(t);randomize;k:=random(3);delay(k);{если сгенерированное число >р, то точка сдвигается на 1 влево, иначе на 1 вправо}if l>p then m:=m-1 else m:=m+1;n:=n-1;until (m=0) or (n=0);{если точка переместилась в 0 то увеличиваем х на 1}if m=0 then x:=x+1;m:=1;end;{результаты для каждого р вносим в массив и выводим на экран}a[i]:=x/f;writeln(‘a[‘,i,’]=‘,a[i]:1:5);end;writeln(“);readin;{инициализация граф.режима} clrscr; GraphDriver:=3; GraphMode:=2; PathToDriver:=‘d:\tp\bgi’;InitGraph(GraphDriver,GraphMode,PathToDriver);{изображаем координатные оси}line(320,0,320,480);line(0,240,640,240);for i:=0 to 64 do line(10*i,235,10*i,245);for i:=0 to 64 do line(315,10*i,325,10*i);

{выводим подсчитанные вероятности в виде графика р1(р)}line(320,140,370,140);for i:=3 to 49 do

line(370+(i-1),240-(round((a[i-2]+a[i-1]+a[i])/3*100)),370+i,240-(round((a[i-1]+a[i]+a[i+1])/3*100)));line(370,140,370+2,240-(round((a[1]+a[2]+a[3])/3*100)));line(370+(49),240-(round((a[48]+a[49]+a[50])/3*100)),470,240);readin;end.

После запуска программа выводит на экран следующий графикзависимости р1 от р:

113

Щукин Евгений Иванович

МАТЕМАТИКАТеория вероятностей.

Системы линейных алгебраических уравнений

Редактор, корректор А.А. АладьеваКомпьютерная верстка И.Н. Ивановой

Лицензия ЛР № 020319 от 30.12.96.

Подписано в печать 10.11.2001. Формат 60х84/16. Бумага тип.Усл. печ. л. 6,7. Уч.-изд. л. 4,0. Тираж 100 экз. Заказ

Оригинал-макет подготовленв редакционно-издательском отделе ЯрГУ.

Отпечатано на ризографе.Ярославский государственный университет.

150000 Ярославль, ул. Советская, 14.

115

Е.И. Щукин

МАТЕМАТИКА

Теория вероятностей.Системы линейных алгебраических уравнений

и линейное программирование

ЕИ Щукин МАТЕМАТИКА Теория вероятностей...

Documents

Transcript of ЕИ Щукин МАТЕМАТИКА Теория вероятностей...