Дистанционное обучение в МАОУ СОШ №15 им. Г. Е. Николаевой г.Томска

Класс: 10

Предмет: алгебра

Дата 13.04 – 15.04

«Уравнение касательной к графику функции»( § 29)

Пусть дана парабола и две прямые , имеющая с данной параболой

одну общую точку М (1;1). Первая прямая не является к данной параболе касательной

(Рис. 1), а вторая является (Рис.2).

Дистанционное обучение в МАОУ СОШ №15 им. Г. Е. Николаевой г.Томска

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику

функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых,

определение производной и правила дифференцирования. (Слайд № 4)

1. Вспомним определение производной. (Слайд № 5) 2. Заполните таблицу произвольных элементарных функций. (Слайд № 6)

3. Вспомните правила дифференцирования. (Слайд № 7)

4. Какие из указанных прямых параллельны и почему? (Убедиться наглядно) (Слайд

№8)

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент

и координаты одной точки.

Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти

угловой коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с

абциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и

осью x, вычисляется по формуле .

Дистанционное обучение в МАОУ СОШ №15 им. Г. Е. Николаевой г.Томска

Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке

М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом

приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент

касательной будет вычисляться по формуле .

Следовательно, .

Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную,

непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной. (Слайд № 10)

Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к

графику функции y = f(x) в этой точке .

Это и есть геометрический смысл производной. (Слайд № 11)

Причем, если :

1.

2.

3. .

Выясним общий вид уравнения касательной.

Пусть, прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m

воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение.

Дистанционное обучение в МАОУ СОШ №15 им. Г. Е. Николаевой г.Томска

Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и m в

уравнение прямой:

– уравнение касательной к графику функции. (Слайд № 12)

Рассмотрим примеры:

Составим уравнение касательной:

1. к параболе в точке (Слайд № 13)

2. к графику функции в точке

(Слайд № 14)

Решая эти примеры мы воспользовались очень простым алгоритмом, который

заключается в следующем: (Слайд № 15)

1. Обозначим абсциссу точки касания буквой a.

2. Вычислим .

3. Найдем и .

4. Подставим найденные числа , в формулу

Рассмотрим типичные задания и их решение.

№1 Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

(Слайд № 16)

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .

1)

2)

3) ;

4) Подставим найденные числа , , в формулу.

Получим:

, т.е.

Ответ:

Дистанционное обучение в МАОУ СОШ №15 им. Г. Е. Николаевой г.Томска

№2 К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна

прямой . (Слайд № 17)

Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно

означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления

касательной, учитывая, что в данном примере .

Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые

параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит

угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной

прямой: .Но . Следовательно: ; .

Из уравнения ,т.е. , находим, что и . Значит, имеются две

касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в

точке с абсциссой -2.

Действуем по алгоритму.

1) ,

2) ,

3)

4) Подставив значения , , , получим ,

т.е. .

Подставив значения , , , получим ,

т.е.

Ответ: , .

Задание № 1

1. Решение задач на готовых чертежах (Слайд № 19)

Дистанционное обучение в МАОУ СОШ №15 им. Г. Е. Николаевой г.Томска

Задание № 2 (слайд 18)

Домашнее задание: Решение заданий из учебника: № 29.3 , 29. 4(а, б) , 29.5 (а, в),

№ 29.6, 29.7, 29.12

Ответьте на вопросы (письменно) :

Что называется касательной к графику функции в точке? В чем заключается геометрический смысл производной?

Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной

Литература.

1. Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г.

Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся

общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г.

Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.

Дистанционное обучение в МАОУ СОШ №15 им. Г. Е. Николаевой г.Томска

3. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11

классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010.

4. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова

и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010.

Ссылка на учебник:

https://vpr-klass.com/uchebniki/matematika/10-11_klass_mordkovich/10-

11_klass_mordkovich_uchebnik_chitat'_onlajn.html

Ссылка на задачник:

https://vpr-klass.com/uchebniki/matematika/10-11_klass_mordkovich/10-

11_klass_mordkovich_zadachnik_chitat'_onlajn.html

Выполненные задания отправить по электронной почте novnat013@gmail.com

(до 18.04.20)

«Применение производной для исследования функций на монотонность и

экстремумы»

Дата: 17.04.20

Определение «Монотонные функции»

Монотонно возрастающая функция – это функция, у которой большему значению

аргумента соответствует большее значение функции.

Монотонно убывающая функция – это функция, у которой большему значению аргумента

соответствует меньшее значение функции.

Связь производной и промежутков монотонности функции

Производная в точке есть тангенс угла наклона касательной. Касательная описывается

линейной функцией. В окрестности точки кривая и линейная функция почти совпадают.

Если угол наклона острый, тангенс будет положительным, угловой коэффициент –

величина положительная, и линейная функция возрастает, а значит, в окрестности этой

точки и сама функция возрастает:

И наоборот, если линейная функция убывает, угол тупой, тангенс – величина

отрицательная, значит, линейная функция убывает, а с ней убывает функция (рис.1)

Дистанционное обучение в МАОУ СОШ №15 им. Г. Е. Николаевой г.Томска

Рис1. Угол наклона касательной в точке

Исследование промежутков монотонности функции с помощью производной

Рассмотрим функцию и ее поведение на всей ОДЗ (Рис. 2). Предположим, что это график

исследуемой функции.

Рис.2. График функции

Есть точка . Касательная наклонена под острым углом (Рис. 3). Значит, в

точке функция возрастает.

Рис. 3. Угол наклона касательной в точке

Дистанционное обучение в МАОУ СОШ №15 им. Г. Е. Николаевой г.Томска

В точке касательная параллельна оси , значит точка – точка экстремума. Об этом

мы поговорим отдельно.

Рис. 4. – точка экстремума

В точке угол наклона касательной будет тупым, тангенс будет величиной отрицательной, значит, производная отрицательная и функция здесь убывает (Рис. 5).

Рис.5. Угол наклона касательной в точке

И, наконец, в точке производная равно нулю и дальше функция возрастает (Рис. 6).

Рис. 6. Угол наклона касательной в точке – точке экстремума

Выясняется, что функция возрастает на интервалах, где производная больше нуля:

Дистанционное обучение в МАОУ СОШ №15 им. Г. Е. Николаевой г.Томска

Если же значение производной отрицательное, то функция убывает:

На тех областях, на которых производная меньше нуля, функция убывает.

Соответственно, на тех областях ОДЗ, где производная больше

нуля, функция возрастает.

Теперь мы готовы написать, где убывает, а где возрастает (Рис. 7) данная нам функция:

при

Рис. 7. Промежутки возрастания функции

Теперь выясним, где данная функция убывает (Рис. 8):

при

Рис. 8. Промежутки убывания функции

Тонкий момент: включать ли значения в точках ?

Дистанционное обучение в МАОУ СОШ №15 им. Г. Е. Николаевой г.Томска

не включаем, потому что в них производная равна нулю, а мы рассматриваем тот

случай, когда производная меньше нуля. Но функция убывает, когда принадлежит отрезку .

При этом эти точки включены также в интервалы, когда функция возрастает.

Приходим к важному выводу: интервалы знакопостоянства являются интервалами

монотонности .

Далее нас интересуют точки экстремумов функции. Мы рассмотрели случаи, когда

производная меньше нуля, когда она больше нуля, также важный случай, когда

производная равна нулю.

Вспомним, что такое точка максимума и точка минимума функции.

Рис. 9. Точки экстремумов функции

Рассмотрим рисунок (Рис 9). Точка – точка максимума функции (max), если существует

окрестность точки , для которой , то есть если значение функции в этой

точке больше, чем значение функции в любой точке ее окрестности.

При поиске наибольшего и наименьшего значения функции на всей ОДЗ, то есть ее

глобальных экстремумов, следует понимать, что они могут не совпадать с ее локальными

экстремумами, точками, где производная меняет знак.

Точка перегиба

Рассмотрим следующую функцию (Рис. 11):

Дистанционное обучение в МАОУ СОШ №15 им. Г. Е. Николаевой г.Томска

Рис. 11. Иллюстрация точки перегиба

Производная в точке равна нулю: , касательная параллельна оси . Является

ли она точкой экстремума? Нет. Почему? Потому что до точки производная

положительна, функция возрастает (Рис. 12):

Рис. 12. Возрастание функции до точки перегиба

После этой точки производная также положительна (Рис. 13):

Рис. 13. Возрастание функции после точки перегиба

Функция возрастает и слева, и справа от точки, значит, не является точкой экстремума.

Дистанционное обучение в МАОУ СОШ №15 им. Г. Е. Николаевой г.Томска

Лемма Ферма

Если функция имеет производную и в точке имеет экстремум, то значение

производной в этой точке равно 0.

Это необходимый мощный признак, из него мы выясняем, какие точки нам нужны для

исследования. Все остальные отметаем.

Еще раз подчеркнем, что нам иллюстрирует данный рисунок: равенство нулю – это лишь

необходимый признак экстремума, но не достаточный.

Точка перегиба, локальный характер точек экстремума

Рассмотрим в качестве примера функцию, график которой изображен на рисунке (Рис. 14).

Рис. 14. График функции с несколькими локальными экстремумами

– точка минимума, – точка максимума, – также точка минимума.

– точка минимума, значит, существует некая окрестность, где значение функции является наименьшим, но существует также вторая точка минимума.

таким образом, глобально, наименьшим значением функции на всей ОДЗ

является значение функции в точке .

– точка максимума, но наибольшего значения данной функции не существует, потому

что есть точки, в которых значение функции значительно больше, чем в точке .

Можем записать:

То есть значение функции в точке меньше либо равно значению функции в любой другой точке ОДЗ.

Дистанционное обучение в МАОУ СОШ №15 им. Г. Е. Николаевой г.Томска

Алгоритм

Мы знаем, как по знаку производной найти интервалы монотонного возрастания или

убывания функции, знаем, каким образом определить точки максимума и точки минимума

функции. Пусть теперь есть задача исследовать функцию на экстремумы и на монотонность

с помощью производной.

Алгоритм таков:

1. Найти .

2. Выделить интервалы знакопостоянства . Они определят интервалы

монотонности .

3. Найти критические точки (внутренние точки ОДЗ, в которых или не существует).

4. Выделить из критических точек и концов отрезка точки экстремума и исследовать их.

Задача

Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции (Рис. 19) с

помощью .

Найдем производную:

Приравниваем ее к нулю и находим единственное решение:

– единственная критическая точка.

На рисунке в нижней части изображен график производной.

Дистанционное обучение в МАОУ СОШ №15 им. Г. Е. Николаевой г.Томска

Рис. 15. Графики функций и

На интервале левее производная отрицательна (Рис. 16), функция убывает (Рис. 17).

Рис. 16. Левый интервал

производной Рис. 17. Левый интервал функции

На интервале правее производная положительна (Рис. 18), функция возрастает (Рис. 19).

Рис. 18. Правый интервал

производной Рис. 19. Правый интервал функции

Ответ:

Дистанционное обучение в МАОУ СОШ №15 им. Г. Е. Николаевой г.Томска

1. при

2.

3. – т. min.

Итак, мы решили задачу, исследовали функцию с помощью производной.

Домашнее задание

1. Исследовать с помощью производной следующие функции:

1)

2)

3)

4)

№ 30.1, 30.3, 30. 12

Выполненные задания отправить по электронной почте novnat013@gmail.com

(до 18.04.20)