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<.-. .,.... >. . . D i e the8rct ischen ~ r u n d l a ~ e n d i e s e s : V e ~ r u c h s . . sind a n s i c h n ich t üb&rm~~i~'s~h&ieri~.-~.'~:!;;:~.~::!~~~~::. . . .,....

abe r " m f a n g r e i ~ h : Zudem e r h ä l t man lästigerweise erst . ganz iuin:Skhl"ß &ßte+&& . ....: ~ : ~ ~ ~ : : ~ ~ ' . ' ~ : ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : ve iwe t tba re ~ i g e b n i s s e . A l s zusätzliche Be1ast"ng werden oft die zahlreichen Begriffe' . . . ; :' . . ... . . . .

.. der ~ o c h f t c ~ ~ e i z m e ß t e ' c h n i k empiunden. denen viele ~ r a k t i k a n t e n bei d i e s e m ~ e i s u c h . . . . ,.:. -:. . .. . . . . . . . . . . . . . . . ~. . . ~ . . . . . . . , ~. . . . : .

' ers l tha ls begegnen. . . . . . . ,. . ..: . . . . .>. . . . . . . . . . . . . .::. . . . . . . . . . , . . . .:.G ..T. -;;,.,

D a h e i . s o l l i n dieser ~ n l e i t u n ~ ' die Erarbeitung d e r T h e o r i e durch s y ~ t i & + t i s c h iu'f-;.::~'~'ii.i;+;:~~.i_:-: .:-. I. . : . . . . . . . . . . . . . . :: .: ......

bauende . . Aufgaben 'e@leicht6rt werden; .Deren handschrifflich aufgezeichnete Läsuing&ti . . :-! I:-';i:::;:..;;.: . . . . . . . . . . , . . . . . . . . kin"en d e n Theorieteil de r ~ u s a i b e i t u n g .ersetzen. . ~ . ,, . ' . . . . . . . . . . . . . .

- .ACHTUNG: Erfahrungsgemäß ist es: absolut hoifnungsloi. diesen v e r s u c h ohne ein ' . . . . .

'zumin.dest prinzipielles Verständnis der Theorie durchiiihren zu wollen. Es wiid daher . . 'dr ingend emp-hlen, die Aufgaben vor veisuchsbeginn zu bearbeiten..

. . Als H i l f e i s t d ie .Li tera tur . in de i¿e ih&appen geeignet. i n sbesondered ie &szüge a;s . . . .

LiEYER/POTTEL. (B+chte jedoch die mitunter abweichenden ~orzeichenkonven!io&.. ' ' . . . . Die hier eingeiiihrten Vorzeichen sind direkt auf .d ie ,Anordnung übertragbar.) " .

, . I m Anschluß a n die Theorie werden die S t a n d a r d - ~ e ß a u i g a b e n beschrieben. Die Aut- ." . . . . . . . stat tung d e s V e r s u c h s Iäßt noch eine Reihe weiterer Messungen zu. d i e bei Interesse

. d u r c h g e f ü h r t .urerden Kinnen. . .

. . . . .. . .

... - .. . . . .

. . . . .

. . . . . .

. .

" : f t c q u e n z ) sind und für seh r gu ponenten senkrecht zur Ausbreit Folglicti Iäßt s ich jeder h r z e

.. gesamte Leitung a l s Verkettung v i e l e r so lcher V i e r p o l e darstellen:

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!&er. ~opp~Iind"ktivität/-kapazität verbinden (hier nUr eine Induktivität . . gezeichnet): ' '

. . . :,F;" - . . . . . . . , . . . . . . . . . . .

. . . . << . .> . . . . . . . . . . . . . . . . - : . . . .

. . . . . . .

, . . . . . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . . :., . . . .

. . . . . . . . . Die einzeln~n'~~itungnabschnitte sind dann aber keine -Vi{rpoIe mehr, sondern hätten: . . . . . . ' . . (unendlich) viele Ein-/Ausgänge.

'Igemein werden Wellen. die nur Feldkomponenten senkrecht zur-~usbreitu~gsrichtun~ haben, a l s . . .=M-wel len bezeichnet.!

. . . . . .

TEM: i iansverral elektrisch und iransversal -gnetisch . .

. . 'TM: ~ r a n s v e r s a l ~ a g n e t i s c h . '~ . . . .

- . T E : l ransversal elektrisch .' . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

~ u l g n b e 1): . . -

. Bestimme fii den obenbeschriebenen TEM-Fall die Feldverteilung in einer. Koaxial- . ' . . . , . .

~ . . . . . .

. . . . le i tung a u s den MAXWELL-Gleichungen!: .. . . .

W e l c h e Form dieser Gleichungen eignet s i ch? . . . . . . . . . . . . .

. . ~ i n e ~ r ö ß e ' tritt in d e n MAXWELL-~leichungen auf. die a u c h . . :nach.unseren . . . . . ;... ,.,.: : : :. . . . . . . . ~ o r a u s s e t z u n g e n Lonkitudinalkomponenten hat.;.we'~?he ? ' ' . . . . ~. . . . - . . .~ ~ . .~ . : .

'I W e l c h e Kapazität pro Längeneinheit C 'und welche In'duktivität pro Längeneinheit L' . . . . \

ergibt sich bei gegebenem 'r;, C, und E,, P, des Materials zwischen. ~ n n e n - und . . . . . . . : "

. . .,: . . . . . . . . .. , ' <

. Außenleit& -aus d e r . errechneten Feldverteilung ? , . . .

.~ . . . . . . ~. . .

Ein Leitungssiück: d e i ~ ä n g e

. R'i Längswiderstand. . . .C:. Längs . . .

. .

- I + d 1 dx L.

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . - t e m iweie r gekoppelter l inearer ~ i i i e r e n t i a l g l e i c h u n g k ~ e r s te r Ordnung der Forin: . . . . . . . . . . . , '-U - . . . . .

. . . . . dx .. .- ....... " " : ' :i :. .

' 1 I . . . . . . . . . . . . : I . . . . : . . . . . . . .

. " i . ' ' i . , : . . . . ...... . . . . . . .::. .' . I

. . . . .... ; : 'I

. . . .L d x , .= . . '. . . . . : . < . . . . . . ~. . .

. . . . . . . ~ '!

. . . ~. ,

! ., S e t z e dazu harmonische Zeitabhängigkeit voraus und verwende die bekannten koni-.' . . ! pleken Impedanzen der .einzelnen Schaltelemente. . .

. ' . Bil'de daraus zwei ~i ' fferentialgleichungen zweiter Ordnungin1 jeweils . einer . einzigin: , .

. . . . . . . . . . . . . . . . .Var iab le "nd bes t immederen allgemeine Lösung! .;.. " .. . . . . . . . .. . .

. . . . . . . . .

w e l c h e Beziehungen bestehen zwisChen den vier auf t ie te idkn freieii ~ o n s t a i i e n . " . . . . . . . . . . . . . . . . . , .

Hinweis:Die in der Rechnung auitretenden Größen werden üblicherweise folgender-. . . .

. . . ~ . , . . . . . . maßen bezeichnet:

. . . . . .

Die beiden restlichen freien Konstanten sind . . durch e ine Randbedingung der Forni ' '

. . . . . . . . . . . ~

. . . . : . : :

. . . . . x = x , . u ( x o ) = U o ' , I ( x o ) = I o . . / ~. . .

festgelegt. . .

. Gib die damit Gollstäiidig bestimmtkn Lösurigcn iür U(x) und 1ix) in ~ a ~ r i x d r i r - . . . . .. ~- . . . . . . . . . s tellung zusarnmengeiallt an! . . . - . .

; Lösung für' weitere ~ e c h n k g : . ~ . . . . . . . . . . . . . . . .

: , . . . . . . . .

. . . .

. .

cosh Cy(x - xo)l . .. . 1-2' W ' ? sinh-C y(x -X,)] -1 . ' & i h [;(G -xo?l - - sinh [ y(x - xo)l. ~. . . . . . .zw . . . . . . . . . ~ . .~ .

. . . . . . . ,~ . ~ . . . . . . . . . . . . . .

. ~

. . . . . . . . . . .? . . . . . - . . . . . . . . .

. . . . : . . . . . . . . :. .

. . . ~.

.... . . . . . Aufgabe'3):.'; :~ . . . . . . . . . ~. . . . , . . . . . . . . . . . .~.:.. :.

W i r betrachten . . ab nur noch verl"stireie . . (R'=o...G=o), . . . . .

dürfen Er und .V; von ~ . . eins. ,verschieden $ein-. . . . . . . . . . . . . . : C . , : . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . - l.:~,.:.~ : . . . : . . B e s t imme+fikj eine<solchFLeitung~Z~:~und:~. -;: ;z.::::+~;,, <,-.:. ~. . ....:... ..:. . ... . ... . <.. 6 :. ... ..:: i.., .. _ . ,:. . : . , i . : ~ . : . ~ d c h e & ~ ~ r t ~ k ~ h ä ~ t ~ ~ a ~ ; f ü r ~ ~ ' ~ ~ , ~ i a l l s ~ d i e ~ . ~ e i t u n g ~ : ~ t r . . . . . . . . . . Lvft-g&iüllt: iit- . . . . . . . : . .. .: , - ~ :. .- . . . . -. . . . :.:... . . . . . r,=e. r i (e: Em-E&.he Lahi)l ist, , :welch~~,~rur:y .?,;. '~.:!.:!:;: ~ :' :,': . . . .

. . . . . ~ . . . . . . .

Aufgabe 4): . . .

~ n g e n o r n m e n i an d e r S te i l e . X, einer luftgefüllten. verlustfreien Koaxialleitung . .

befinde sich ein Kurzschlull. Welche sp&nung und welchen ~ t r o r n ' m i f l t man a n den Steilen '

'..

X. + X / 4 , X. + X / 2 , .Xo + 3X/4 .. X0 + X ?

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. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

;..:..;.>..;+.;.. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . ... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . _ .....?.... ..

. . <-.. s;,!:>::,;<:;; .... . ....

. . :<,i.; . . _ . , . . . ,, ..; .., ..L..ii .: .'. -r= G>- D e n ~usarnrnenhang . zwischen U, =U(xo) =U(O) . und I , '=I(xJ =I(O) . . vermittelt der :.): -5 .:::;. .:.::;;;::*.-, . . . . . . . . . . . . . I . . . . . . . . .~. . -- . . ~bschluf lwideis tand ' unter . ~erücksichtigung der Voizeichenkonvention. unseier j: : ....I:.. . . . . L * !.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ._: .<; :

Betrachtung: . . :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .~ . . .. , . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . U f.' . . :. . . * .

. . ~. . 5 ,. , .. ' . ., U6 >= (-'I) *-W. I. ;: . . . I, =-s W , ' . . ' . . . . ' ..: .: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , .- . : - :.-

. . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I . . . . . i .. ...... . . . . : ':. . . . . .i . z .

:.:;C: . . . . . . . . ...... . . <.'. ' ~ ' e- . . . . L ; . ,. . . .:. ,:!; :::.:. . . . . . . . . . . >T::. .:::.:: . . . . : : W . . . ...... . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L . . . . I . . . . . . . .

.~~ ~ ~..7.;,:::::i'. ... . . . . . . . . . . . . . - . . ?

.~ . . . . . v e r g l e i c h mi; . . . . C . . . .

Dabei -s.ind r "iid W möglicherweise komplex, 2, als wellenwiderstand einer verlust- , ' . . - ien Leitung reell. . - .

. . ~.

I . . , . - .

8 Aufgabe 7): ..

. . . . . - Berechne Ir( und icr . . . .

. . . . . .

. . . . a ) a l l g e r n e i n e ~ . . . . 2, und ~u r&ch iu f l , ~ e e r l a u f und W = Z , b) für 2, = 60 0 und W = 5 . SO. SO0 n'

. . . . . . . .

sowie W: eine Kapazität v o n 50 pF bei..200 MHz . . . . . ~

. ~

~ . . ~~. . ~ . .

Iin a ~ l ~ c m e i n e n k a n n man U i u r ais,lulZ mess.en:-(.Das'hängt vom jeweiligen Detektor : ' . , . ' . . . . ab. i s t aber .iür bllc im-quadratischen Kennlinienbereich arbeitenden Diodenempringer ] : . ~ , , ~

. . richtig.) ~ u ß e r d e m sind viete Meßanordriungen nicht: kalor ier t , man ist also. auf Relativ- : . . . . . .

~. . Messungen beschränkt. '! 's. . . .: -

. . ~ . : , . - I.

. . .> ~ u f g a b e - 8): . ' . : . . ~. .

' : Berechne daher I U / Ü ( ~ aus der zeitunabhäigigen ~ a r s t e l l u n g - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ - u ( i ) =: fj [eißx +~ l r i . e i ~ - e -ißx] !

. . . . . . .

.. ( ~ ö s u n g : I U / Ü I ~ =(i-lrl)' + 4 Irl cos!7$x-p/~) . . . . ) . . . ~ . . . . . . . . . . ~. . . .

, . . - Beinah haben w i r es geschafft; Wir kennen di; ~~annungsve r t&lung auf d soga r in einer rneßtechnisch zugänglichen Form. . Außerdem . wissen wir, wie Reflexions-- : : . . . . . .

. . . . . . . . . faktor und ~bschlußwiderktand zusammenhängen. Die endgültige ~erbindu 'g r.ihr& w i r - . .: . , : : . . durch in. . . . .

. . . . . : .

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Leitung, einmal seinarieits ~ n ~ r z g e s ~ h l o s s e n , einmal leerlaufend a ~ g g h ä n ~ t . Der Wellenwiderstand de; MeBLeitung und der nicht getül i t in Probenleitung seienbeide . . . .

2,. Wie berechnet man aus dea Orten der ~ n o t e n beiderMessungen E',? . .

. . .

. . . . ~ ~.

: , . . . .- . . . . Z u g Schluß des Theorieteils zwe i ~ u f g a b e n mit großer Bedeutung f i r .die Praxis: . .

-. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . ...

. . . . . . .

. 7 . .

. . . . . .

. . . . . . . ~. . . . . . Aufgabe '10):. ',. , . . . . . . .....

. . . .

Als Abschlußwiderstand der Meßleitung wird ein Stück mit ~ i e l e k t r i k u m geril l te ':

Aufgabe 11): . . . . .

Zur Ver.suchsausstattung gehört eine sog. Rcaktanzleitung. Dabei handelt es sich . ebenro wie bei der Meßl'eitung um eine Kqaxialleitung mit 2, = 60 n. Sie zeichnet' '.

sich aber durch einen Kurzschluß, der iiber die gesamte ~ ä n g e (50 C*) verschoben ' . 1

.

werden kann. aus. W i e berechnet sich aus'dem Abstand 1 von ~ u r z s c h l u ß zur Anschlußebene und de i . . . .

Frequenz v der Ersatzwiderstand der Reaktanzleitung. in der ~ n s c h l b ß e b e n e ? W e l c h e Ersatzwiderstände s'ind E r die Gesamtlänge. SO c m und 100, 150, 200 und 300 MHz möglich 7 J; . X

\ 1 Welchen Induktivitäten/Kapaziläten entspricht .das ? \

i - ! inwe weis: ~ & e ähnliche Aufgabe wurde zuvor schon gelöst.) . . . . . .

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. . Bestimme. daraus X und V ! . . . .

Vergleiche mit. der Senderskala.' der Einstellskala, des ~ b t a s t s t i f t s und 'dem' . ~

Frequenz'zähler ! ' . . . . . . . . . . . Ermit t le ' daraus eine sinnvolle ~eh le rabschä t iun~g bei der Ortsbesti&n"ng .. . von ;

. . . . . .. Knoten und Spannungsmaxima (sog. "~äuche") !. . . . . . . . . .

. . .., . . . . - . ~

. . . .

. . . . . . . . . .

. . MZ): , . . .

. . Schließe die Reaktan;leitung an. Bestinime f ü r I 0 , 15, 25, 5 0 c m und . ~

v =300 MHz die Orte der Knoten! . Betreibe die Meßleitung völlig unbeschaltet. W o liegen d ie Knoten? . . .

. . I

M3): SchlieDe den 6On-Abschluü an, Welcher ~pannungsver labi ergibt s ich? Warum? ' .

M4): Schließe über den Adapter den' Trimmkondensator an. Welchen Einfluß hat der Adapter (~ergleichsmessung !) ? .. ,. ..

~ e s t i m m e die komplexe Impedanz des Trimmers Wr drei unterschied!iche Einstel- ,.

lungen'(klein. mittel', groß: MeDfrequenz 300MHz)! Versuche, das überraschende . . . . .

.Ergebnis ?U 'deuten! .! .

Bestimme: mib Hilfe de i~eak t anz l e i t ung die ~ j e l ek t r i z i t ä t dei Stoffprobei! Führe die Mersun&ert für *ir i~crschiedl . ic~ ~to.b.enlängin aus ! . . . .

. Sind ~äm~.agseifekte zu beobachten 9 . . . . .

. . . . M6): . .. . . . .

Messe die clcktrjrche i ä n g e des im Praktikum verlegten ~ a b o l s ! 'Überlege dazu . . . ,

. . . . . ein möglichst. einfaches Verfahren !' . . . . . .- . ~ - '.

. . . . M 7): . .

Diskutiere (schriftlich!) verschiedene Möglichkeiten,.die Dämpfung des Kabels zu ..,

bestimmen (erfo,rderlic!ies Gerät, ~ e n a u i ~ k e i t , Aufwand) ! wie groß ist die Dämpiung?

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. . J,.<

Ein Meßpluiz zur Bestimmung der elektromagnetischen . . ,..

s , . . . i '. ' C -1.

' ~ j ~ f i k o n ~ i a n i e n fester uiid flüssigei- Medien bei Frequenzen zwiscl~icn' . , , . . i~

30 und 7080 h\I-lz und Teriipeiaiuren.zwischen -60 und f 2.10' C. .. ...I ::

4.

V O N R . L I C I i A C K E P CI 61I.317.l?XG?9.6: 1:

. Q7.2:M.Z !

1. i IiurrscliluD-I.eerlitulverIi~I~ren I . c i Eigeiiddinpf~:n: der I.eiti:;ig \.?riiaciil8isil.r :.i.: Eigeiidiinyluii!: der IJrobenlritung sonie der der

Prolie nnrhiescl::iltetei: l<iirzschlull- b m . Leerlnuf.

,.. J. L i r s t i m n i u n ~ de r L ' i n ~ n i i ~ s i r n ~ > ~ ' d a n z clei- i ' robr~n . ~.

l e i r u n g .I ,< ti<:sclilitzte iiiid schlitzlose hIcr>leitungcn 4.2 2-,-Dingraplieii

- y F ~ ~ ~ r i i i r l s n m m l u i i ) : ,A I 5. L ILnneibic, vcrlustbcliaftete Stoflc

:, L : ! < , , r z s c ! , l ~ , ~ - L c < : ~ l ~ ~ l - \ - ~ r l ~ l , r ~ , , 5 .12 Einlnchstc E-/I-llcssiingci: init clel;lriscli 1;iiricr \feil

,,rohe

6. ~ = c h i i r q u ~ l l e i i i i . i 1:cI:ler di>rch :.u!tsclililze zivi'cheii 3Icßrirobe cnd

d 1 d rii AI..;„ , 2L,. Eii:iluD der >~~ß!.el~lcr -, ---, , IZ \Y , I 71: L,:,,, L-. alil das-3leßc;gcbnis

/ .. ;\mplirii<le (E- oder $-Feld) Radius eizer koaxialen XquipotentiJfläche 1.1.

I,.. ~ ä i n p t i i n g [X] , . . , .

cm I : . ! .

G r i d . . , . . I'l>aseiirnaG [k] . . !. , 3 , .

1 . Liclitgeschrvindiglieit EI ' . I (.! . ,I +j$ ..iusl>reitungskonstx~~te n.

DS:npluiixssniiO Iiiiitei der JleCprobe liegcndcr 1 i Lcituiigsjriicke . i ekktrisclier \~erlust\vilikcl .,

,-..., I:rcq!wnz [Hz] I Fehler

iiingiietischc Pe l i s t i rke 1.-

f<irlsclirrirrcde Ctronikompoi~cnte [A! I ',. arts>bl>.iiigi;er Lsituiigsstrorn [:\I . /I , , g;ii:zc Z ~ l i l 8 .

Ahsurpiio!isin;!cs ;. I rsrc LcitiiiigsISngeii [cm] ,': Hnlbwerrs oder Iii1o:eiibreitc [cm! k r Spaani!rig~l<iioten- l~csui lni izni ,x imiirn~}~i i~~nn: : zunil1cDuL;Jekt [cni] I '

! ' \.erziliicbiing. hcrvorgen?ien durch , . r I .Ansc:iliiß einer sck. kiirzgcichl. ~. I.

IinoLen- bz\\.. Iccrlautcndcn lleßprobc. be- 1, Resonanz. zogen airl linotai>- brw. liesonanz-

position bci exak t en Iiurrszl.1~0 . . bziv. Leerlnuidcr .IleGlcircng . ~,

\Y'cllen!:i!!$~ in Luft , jiciucsseur.; l~lnipfunjisrnnß (Eigcndlrnpiung der Slel i le i tu~g norii nicht b e r ü c k s i c h t i ~ . . ,

DiniplunpsiiiaU des 3lc0objci;ts , . liurrcktiirJSin!ilixng koiiiplcacr I ~ r e ~ l i i ~ i d c s . .

. . rellcr l ~ r c ~ l ~ i n ~ l e x ,.. . 2 . 7 1 p,, I,';: t-ic':' = koniplexe 1 ' ~ ~ r m e ~ l ~ i I i l .it

,, <;::Ce

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i-i..: - :V: 2 s . . .

. . . ..'!>.L .... :L,:: ....~ . . . . . . . . .~. -. . : z ..',;R':" ~ ='.,Radien der l<oasialicituii,' [cmj - - i

.. R!J:"= Leitun$sividcrsta11d;c111 -' : : = j7j . ein komplexe; Reflcsioiisiaktor .., , 7 i;= Phaso ~cs.l<cilesionsfaktors

.. . . . s = festc Distanz ~\\-ischen ~IeDobjekt iiiid Eiiikopp- - .

.\nsi;tzc zu-einer iii!~ro~~~ci!cnmcUlccliniK fl~ssincr Stol:e rlcn sich bereits!>ci Driide [ i j , jedoch erst schr viel späte;, als die lioniogcne Lcitiing als Aleßinsiriimcnt C i ! . [3j. [4jEin- l a n g in die Hochlrcquenztcchoik griunden hatte, wurden für Lcclinische 3:essungen brauchbare Xcordnungcn be- scliricbcn [5 : , [6], i7:. ... .~ . i'ing ~ c m ; Tiic i'ardcruii; ;incli c i x r uni\.ercellez ::eSaxordnung, die . . >, 1 . -, = (ranhl . . !

' cinc koiitinuicriiclic spek~a!e XufiLsu~.;: ~ ;oZsr Frcquenz- . . . . . T . . = Phase des hy7crbolischen Tansens .. : intcrrallr.init cincmgro3en'~cmiiera:u;meCbcre~~h~erbin~et Y . . . .. t, d fortsclireiteodc Spaiiiiuiigskompo;ienle [\-I . .

lind dabei alle J Stoiikoiis:anten g:eichzcitid erLafit, führte , L', = ortsabliangige Lei:ungsspaiinitng i\-], i _ . :

zur Entwicklung des absclilicßcnd heschrieber.cn LfeCplatrec. ~. . .. X~ s Koordinate der .\usbrc~tun~srichtuiip

= \Vellcn~vidcrstand des ireiei Raums iKlj . . 3 -. . . . " . . 7~ = Impedaii;, brw. ~Vel1c.z~~-iderst;nd j12: , /

. .= bezogene Impedanz, bzw. \\~cllcn\~irierstand .! . . . .

2. Die Stoifkonstantcn E. U . 6, und 6.. . L,crocen auf die Aus- - . , . . . . Indices der vorstehenden .IleUgröLIen: n .+usgenc. e = breitungskonstantcn Z,,,, Y,,, homcgcncr, stoCfe:füllter Lri- . .

Eingan . i = Strom. I( = bei sekundärem I<iirzzciiluD der . ~ tungsstücke .\1e2pro%e. L = bei. sekundärem Leerlauf der 1ieDprobc, 7n = Uaterial. llediurn, o = leerer Raum. p = probenerfüllte -

3 i e husbreitong eincr c!ck:rornrgnetischen \\eile in einem : Leitung.. .. .

... homogenen oder auch qui.sihornogenen :7:. iso::op~n ;siediuni , . wird durch die :>las\rellscheii Gleichungen beschrieben

- I-.: ' . I. Einleitung

W=- , . ..... i i :~,Vechsel\virkung zwischen einer clektromagnelischen ,lle.uni: einem von ihr durchsetzten isotropen .\:ediurn ist

einieuti!; durch 4 I<ons:anten, die Dielektrizitätskonstante E .

die Permeabilität F und ihre zugehörigen \-erlushvinkel J. i;nd 6, fistgelegt. - Die Bezeichnung „~tofikbnstanten" r e r d i e ~ . d i e s e GröDen ei~entlic;~ ~ i u r insoweit, als sie unttr bes t i snten uon!defi- niirten ~rorauscetrungcn für die je\ \ .ei l ig~-~tpffe charaktc- . . .

. : ristische Werte annehmen, die durch deren- Struktur be- dingt sind. I m allgemeinen sind di-i..~tofikokst>>J_e> i$~& keinesivegs-~;on~ia~f~8.T~iyiz< erheblich \-onAer ~ re+ i iZZiZf :~empe ;a tu r , mech-ischen .SpaFpgcn. von sie %iic4itt~ei.de,n statischen, d+tcisc%n ~nd_p+gcc t i - schVPFeTdern u . s ~ . ~ b h ä n g e n ,

C.' - Z I I . ~ ~ ist man in vielen Hallen daran interessie;t, möglichst frequenr- und temperaturunabhängige ~:&%eri.e-zu hzben, jedoch e;ufr?ist sich andererseits d i e Abhängigkeit vieler Stoffe von den unterschiedlichsten Parametern-a!s nü:zlich um mehr über ihre Zusaminzr.setzcng zu erfahren. So kann der strukturelle Aufbau neuaebildeter chemischer Verbindirgen trotz bekannter anteiliger l<arnponenren nicht immer erschöpfend übersehen werden. Hier helfen Spektral- analysen, Röntgenuntersuchungen. chemische Reakrioamit a p h e n bekannten Stoffen und -nicht zuletzt -die Unfer-

%?.. .ig des Verlaufs der Storfkonsranten E . 1,. 3. und J,. : Y . , nni- .> L .-cii Parametern wie z. B., Temperatur und Fr&-

."iz. E:entuell vorhandene Disoersionen und iiir s~ektra ler verlauf, 'rernpersturkoeffizie< Lage dps ~ u r i e ~ u n k t e s , g,.roma netische Resonanreffekte. gemessen im Cm-. dm- und m-&'ellengebiet, ergänzen die bei riefenFrequenzen brw. mit Optischen und röntgenologischen Methoden gewonnenen Aufschlüsse. Umgekehrt ergeben sich aus den hierbei gesam-

. ' melten Erfahrungen wieder völlig nece Möglichkeiten zur t'bcnvacaung chemischer Um\\.andlungsprozcsse.

........... ...........--.-- ~ e r d e n gar2 bestimmte StoffeigcnschzIten gefordert uiid ge- riichte:, :sobei sowohl bei der Entwicklung und der Ferti- gung wie schlies!ich auch in der iveitcrverarbeitenden Indu- strie ein immer höherer AuI~vand an XeUmitreln und auch an 1leOgena:iigkeit getrieben werden mu5. . * .Zu den interessantesten Stoffen dieser ~ r t ' z ä h l e n die Femte. dieals isotrope induktionssteigernde Körper bereits bis ins -Mho\veilengebiet vorgedmngen sind. Ilire Anisotropie unter dem EinilaO eines statischen 31azneHeldes führte zu neuen ~chtreziproken Bauelenenten, den Gyratorer.. Faraday- rotatoren und ,.Isolato~en". Ebenso v:esentlich sicd die

-Arbeiten P i u1 dem Gebiet der Isolierstoffe. die bis zu holien y:evenren. und innerhalb großer ?'emperaturinteria~e IrlekeVcrluste bei gleichzeitiger Formbesrändiglceit haben

-sol:en.. ..

r o t $ = i w E . Z . / .-

( I )

(eingesch\\-ungener Zustand)

r o t E = - j m 8 . Z darin sind i die magnetische Fe:dztärke E die elcktrisclie Feldstärke _I die kon:plese Dielektrizitätskonsta~ite - '

E O . E = E O ( E ' - j ~ " ) = C I f l . e - i d a O ! (3)

ii die komplesc Permeabilität . . -~

p0 . P = (@' - j ~ " ) = , l o . jpl . e-idr' ' (+)

6, umfaDt alle elektrischen Verluste durch Leitfähigkeit, Sachwirkyng, Umpolarisaiion usw.

J,. alle migcetischen Verluste durch \~irbelstrorn, Hysterese, \T;andrerschiebung. g!-romagnetische Resonanzerschei- nungen usw.

I

Für den hier ausschließlich behandelten Fa!l der ebenen \J-elle (.\csbrei?~ng in x-Richtung) gehen sie über in die iü r 8- und $-Felder gleichlautende sogenannte Telegraphen- gleichung :

deren allgemeine Lösung durch eiie Summe aus links- und rechts1äu:igen 11~ellenkomponen:en gegeben ist

~ = ( ~ , . e - ; ' = + ~ , . ~ r z ) ~ ~ - t (6) . .

mit der -4iisbreitucgskonsta.lte yF des Mediums (m) (bz,,.; . ~'

eines stofierf8llten. homogenen Leirungsstücks). . . ~ , < I

-. 7- ..

y m = j m ) ~ ~ . 4 . = i ~ ~ ~ . j i ~ = ! Y n , ! . ~ j ~ = m ., -k ifn. (7) .. , . . . : . . . . . . . . , .

'. ! Der Zusarnmenhair~ zwischen der.4usbreitun skoostante - , . ; :. I eines :,lediums. bzw eines mit diesem erfiillttn, homogenen . . . r, . , : ' Leitungsstücks und dem komplexen Brechindes Z . . . . ~. .

. . . . .:. . . ; . . . . - . . . - . >

?I = , c ( , - i x ) = V - - 6 F . . CS) .'.' .:. ., .: , . . . ,: ..... < - . ist somit gegeben durch . . . . . . . . . : < ' L . . . : . . ..:.. . .:\ .\.. ... . . , . . . .

T - f C - );E.n L . . (5,) ,, , . ,:: .:;!;;?.?.! :. .. ! , - ' I , - - .

. . . . .:. ............ . . . ? : . . . . . % . ~ . .~ .;,.,

.. mit der Phzsenkonstante . - 2- J . . .:.... -. 2. .;. ;.. . . . . . . . . ; i.. . : ~~. _ l i j : - . - .... " . ......... i -. . . . . ~ , . . r "! i - l . . . . . . . 2 7 . ~. z,". 1

ß -L.,,. m - . Erechindex):. , : . . i . ... ':;-..:::::..;. . . . ::*:: . % L , ! . . . . . . . !-3 ...*.-: ;2;:., . ..F : . .~:, . .r! . . . . . . . :. .... . . . . .,; i -.:,-i+

- {1/(1+ taiicJJ ( I + tanCJp) + (i-t~nd~.tand,))~;i.+3~~~<~~~~,i . . . . .... , 2 . . . . . . .... ,

.... . - . . . . . . . . .;. ;...;-,.:.+.::ik;-: ; :. . . ..L,: ..:-<.. (..........;....>-. " ,*<!: . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . und der ~ ä r n ~ l u n ~ s k o n s t a n t c n . . - . . . . . . . . . . - .... .;:.;;+ .: .. :.:;.?&,H:+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.<.. ;;4.y. : ~ . . . . , . -. ... : ., .:..:.i;z++ i - " . . . . .. ' . .,;:. ;..*..:;.*::,

. . . ...... . . , . . I,. ..:. 5. . ...,,-~'?>.*~... r;! . . : . ;::: ;.;j ...- ;5;.,-*:,$:, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , Y . . ,,. ?:~::+<?.?;23 - :+ .-., .s>t

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Pianr prnllrl rwcinirn in i c a i r i i l lihc

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So wird e

für Fa = m Z, = Z, ctii

,,"* - . . , . ,

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iiiereii, daß ßm5 I,,, < i80° ist,. d. h . . ~laO \vetiiger als eine halbe \Vcllenliiiiß+iii der Probe steht. Dann ist das Resultat jedenlalls kiiidytig. , : . . ,... . .;, , . , . .

RI& kann dir Anzahl k der in der Probc steheilden Halb-

.. . , .

. ,. . Aiiag:i:igspunkt d c r Ectr;iclitung zur Llcstiniinung . von lind y„, war. <lall ein reincr I<ur%schluU odcr Lerrlauf

' , An deren Stelle tritt i i u n :

hält m;n schlie5lich die gesucliteii Ctoilkonstanten.

. . . . . > .

Xäherung ist.

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lerentialgleichungender Leitung und Läsungim eingsschwungenenzu~tand

~ n p I Ouerszhnittsform Anwendung physikalischer Frequenzgebiet Ausbreitungs- vornenn

q~asiaptisch: theoretisch:

magnetische wellen breiten mit = - sich im Inneren unterfvrt- prahikh: Wdhlender

... . . ,, ,., ,' ,

Schalt-und / quasioptisch: theoretisch: I Verbindungs- EleMm- eiement dar

0 < 1 < -

und magnetische

integ.eflen Wellsnim prahiirch:

Optik Streifen brw. Faserkern sr-

und

Unter oPereFrequenr-

genügend grenzen duich

lrieinsn Winkeln Sf,a,41",";; signal- zurAchse Stöyelien

Totalreflexion an dsn~renr-

Ausbreitung ähnlich wielm Hohlleiter

Bild 1 . lb : Lsitungsvnd Wellenisits~ormenmitihren Anwendungen

Die Hohlleiter und ogtischen Wellenleiter in Bild l . lb Kommen ~raklisch nur zur [ibertragung sehr hochfrequenter Schwingungen. den sogenannten Mikrowellen mit Wellenlängen im Bereich von Zentimetern und Millimetern in Frage. die optischen Weiienieiter in planarer Fiim- und Streifenform brw. als runde Glasfaser sogar erst für op l i rhe Wellen im Bereich des infraroten und sichtbaren Lichtes. Bei den Hohl- leitern ~ n d optischen Wellenleitern !aßt sich die Ausbreitung nicht mehr mit Spannun- gen und Strömen erklären sondern optisch mit Wellenstrahlen, die auf Zick-Zack- wegen wandern und immer wieder an den metaiiischen Seipnwäoden der Hohlleiter

TOldlrelle~ion reliektiert bzw. an den Grenzschichten der dielektrischen Weiienieiter total reflektiert werden.

Die Weileniormen. in denen sich die elektromagnetische Energie längs dieser LBitungen ausbreitet. entsprechen ihrer Natur nach den unerwünschten Störweilen

I der Doppei- und Mehrlachieitungen. Sie breiten sich darum auch er* bei Frequenzen aus. ZU denen freie Weileniäng6n gehören, die in der Größenordnung der Quer- schnittsabmessungen dieser Wellenleiter liegen oder noch künersind.

Mitsteigender Frequenz sind bei einem bestimmten Hohi-oder optischen Welieoleiter nureine oder wenige Weilen ausbreitungslähig. Es werden dann aber immer mehr. Darum und auch wegen zunehmender Verluste gibt es auch obere Frequenzgrenren für Hohlleiter und optische Wellenleiter.

In dem eirsten Teil dieses Kurses befassen wir uns fast ausschließiich mit Doppel- und Mehdachleitungen. Wir werden die Weilenausbreitung auf diesen Leitungen an Hand der Leiterspannungen und -ströme beschreiben und berechnen. Die allgemeinen Gesetze, die wir dafür ableiten. werden wir in späteren Abschniuen auch für die Voraurveri Wellen in Hohlleitern und optischen Wellenleitarn wiederlinden.

Allen Leitungen und Weiienieitern in Bild 1.1 gemeinsam ist ihre zyiindrische Struk- tur. ihre Querschnittsabmessungen und elektrischen Eigenschaften ändern sich nicht entlang der Leitung. Es sollen hier zunächst nur Leitungen behandelt werden, die in diesem Sinne zylindrisch sind

Für die elekiiomagnetischen Erscheinungen auf Leitungen ist ihre veeeilte Natur und räumliche Ausdehnung maflgebend. Sonst können die Bauelemente der Elektro- technik durch konzentrierte Schaiteiemente wie Widerstände. Induktiuitäten und Kapazitäten dargestellt werden. und beim Einschalten einer Spannung beginnen sofort "berall in der Schaltung Strome zu fließen. Wir wissen aber. dafl sich eiektro- maanetische Voroänae höchstens mit Lichtaeschwindiakeit ausbreiten können. Das " " - gilt natürlich auch Für Leitungen. Strom- und Spannuogsänderungen pflanzen sich also auf Leitungen mit endlicher Geschwindigkeit fort und werden erst nach be- stimmten Zeiten entlang der Leitung wirksam. Die Untersuchung dieser Ausbrei- tungsvorgänge erforden Betrachtungsweisen. die grundsatzlich anders sind als für Kreise aus Konzentrierten Schaitelementen.

Diese Betrachtungsweisen und Berechnungsmethoden geltendann aber nicht nurfür Allgemein elektrische Leitungen, sondern für alle physikalischen Vorgänge, die sich in ent- sprechenden Medien mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten. Das sind beispieis- weise:

1. Elektromagnetische Felder im freien Raum oder in Leitern, Halbleitern, Dielekirika. Magnetika und Plasmen;

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'uaplamuessawa5 yonls -s6unitei uauauo we a!s uassnw lel!zede>i lap 6unww!iseg 'uassswa6 sayopls -s6un&!ai uauasso!qisa~n>( sap 6ue6ui3 we 6unuueds pun WOJZS ql!n!w?pu! iap 6unww!1saa lnz uepJam E'L P!!E U! a!M 'iqals 6un6~p.3~ ~nr 6un~!si iap yonis sevny

:anoaW u!a uuam 'uassaui qlne isqe vawos es&p uuq ueu .>i!uq3ao~wa13 iap ua6epunJD uap sne J!M uass!m 'ueplam lauqaaiaq uawJopa)!ai siww!)saq in) '3 iei!mde>( a!p pun '1 lel!n!u~pu! a!p &!wep pun Jep!aj uaqos~iwala pun uaqos!iau6eu asa!p a!M

:su!uqasqv U! ueq3?1peqma&!q uap 4ne '0 6unoei a!p Jnj i1!6 sa pun "3 lel!zeden au!a wnlep leq s yonlssüunl!al seo 'ial!ai Jep uaq3elpaqo uep jne ua6unpei uaielzuanlju! ayedyplad e!p pun 'uap -unqiah Plaj saqos!Julala u!a uda?!al uap uaqos!M n Sunuuedsleu!a J!U F! qiusq3

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'(2'1 PI!@ uaqe6ue Jep!!qziesi3 eq$eju!a ua6uni!ailnj qoned!m uauuoy 'uale~!zede>( WJ~P UaJolesuapuon J~DO uapiam 11!aisa6iep uelgx!n!nnpu! qwnp uslnds e!m qo!!uqy uane! uauonsdaiun 6uni!ei a!P ini u~ap1!qzm~ii3 uaqoelu!a I!W n!lq!$uenb qone Jaqe uueP '%!leIllenb ~sq3eunz qo!s a!P 'Iia!naialu! ua6u~6~o~s6unl!eiqsnv UaPUaq~aJdSl~a Uauq! uap Pun ua6unsol ue dnu lewula xsia laqe >!M pu!s la!H 'uai!aliaq 1'1 PI!^ U! Jal!aluallaM Pun ua6uni1ei iao e6lu)a in, ueOunso, aqqos ual

'uaua!p ua!pan uaiapue u!a6ue6ions6un1!a~qsnvi~~l~apoyy se uuey 6unl!ai aqos!lwala e!a 'uauuayda 1~010s Jaww! 6uni!ei uaqos!wala ~nz a!601ew dap sne 43!9 uene! a6ue6ions6unl!aJqsnv ~asa!~ lalle az~asag a!a lalle s6ue6io~s6un~ -!ewsnV aq3s!ley!shqd ~nj ~e!ds!aa aisaq sep qaou qDne >a>i!uqoelo>nei3 uap ~nj >(3aMZzsq!as we~rl! usqau us6unl!ei uaqDs!Jnale iape!JoaqL a!p ISI auup wesa!p ul ,aule>eqo!!apow

W 'ounlnepaa y!uqoelo~~a13 I ! I iap U! 'qos!xau6ewwwa1e wai!P ~qo!u I~OM~O 'lpne uaqeq uauq! uon uals!aui

+s-A a!p pun 'assa~aiu~ uon ~na!uafiut uap in4 PU!S a6uehionsSunl!e,qrnv aiep a~lv

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oinerentlaigieichungender Leitung und Losung im eingeschwungenen Zustand

Dieses sind die Differentialgleichungen der elel<irlschen Leitung. Sie bilden ein Svstem oartieller Differentialoleichunu erster Ordnung. Die erste Gleichung folgt aus - -

aem Spannungsaota.t iangs ocr -e 1-ng S e .eri<n;pft a e Spann~nJsanaei.nq ent- ang oer -P t.ng m.toerr j t i om bno se nezelicr.enAnaer.nq. Oe rwe le G P rn..ng fo q: a.s a e n Etiornil-D i n scnen oen -elre:n o n quer 2.r -e :-ng m t Oe ' Span- nung und ihrer zeitlichen Änderung.

Für aile anderen physikalischen Ausbreitungsvorgänge gelten dieselben Gleichun- gen, solange es sich um ebene Probleme handelt, also Abhängigkeit von nur einer Onskoordinate besteht. u und i haben dann dem feweiligen Vorgang entsprechend andere ~hysikalische Bedeutung, ebenso die Konsianten 8'. L', G ' und C'. In den me Ster anoeren pcys Kai scnen Auso,eit.ngsrargangen s 10 s3qai eine oo r i zire o eser (onstanten nr. I Dne eiei<Ii scle .e t-ng st n oiesern S nne cas a. geme nsle Mooe I e nra pn)s.*a lecncn A~so.ci~.ngs.organger

1.3 D ie Losung der Dii ierentialgleichungen dere lek t r ischen Lei tung im elngeschwungenen ZLstand:

Die allgemeine Lösung des Syrlems partieller Differentialgleichungen (1.1) für I beliebige Orts- b m . Zeitabhängigkeit der Spannung und des Stromes zu finden, ,

wollen wir erst später versuchen. Hier interessieren wir un i zunächst nur für dle Panikuiarlösung. die dem eingeschwungenen Zustand entspricht.

sinust6rmigeZeitabhangigkeil In der Elektrotechnik haben w r es vornehmlicn mit Weihselspannungen und -str6men zu tun, die zeitlich sinusförmigen Verlauf haben. Das gilt insbesondere für die Eneraietechnik. aber auch in der Nachrichtentechnik zerlegt man Signale allge- meinen zeitlichen Verlaufes meistens in ihre Frequenzkomponenten und untersucht dasverhaiten dereinreinan Schwingungen:

Wir nehmen an, daß auf der Leitung nur eine Schwingung der Kreisfrequenz w besteht. Dann lassen sich Strom und Spannung in ihrem rettlichen Verlauf durch komplexe Zeiger, die sogenannten Phasorenlbzw. UausdrUcken:

I = -,E!fleueim?; u =.fZRe(UelY

Wenn wir diese sinusfömigen Zeinunktionen in die Gleichungen Il.1) einsetzen. erhaltenwir:

<zfle-ei=r = - @ f l e [ ( ~ ' + i w ~ ' ) ~ eht] dZ

1.3 Die Usung derDifferenrialgleichungen der elektrischen ieitungimeingeschwungenen zustar

Diese Beziehungensindsicherzu allen Zeileneriüllt. wenn

5:. Das s na o e 3 '1orenc.a.g.e.cn-":er oer -e :L"? f ~ i cen e.nges~na.ogeren 2ds:anO. S e 0. aen e.n I neaies C/s:err gexonn cner D 1lerenr.a.S o cn-rgon eirrei Ordnung mir konstanten Koeffizienten für die Phasoren U und! von Spannuns bzw Strom.

Z.r - 0a~ng 0 eses G 2 c7.nqssyatemes a ' fe ren len -an a eersle G e cn.n( nacn i .n3 setz! ,o. a: 3 - ? OE, z ~ c tcnG t.:r ."J C n 5s o g:

Jetzt hat man zwar eine Differentiaigleichung zweiter Ordnung. aber nur noch i n d e r einen Unbekann:en 1l.ZurAbkürzungschreiben wir

yf = (R' + j w ~ ' ) (G' + jwc') (1.4)

und erhalten:

Man nennr diese Differentialgleichung zweiter Ordnung die Wellengleichung der Leitung. denn ebenso wie die Leitungsgleichungen findet man sie immer wieder als dleGrUndgleiChung von Wellenausbreitung aller Art.

Lösungen dieserGleichungsind, wiesich durch Einsetzensdort beweisen iäßt: Lösung c

, e - und U, e"

~ a c e s 70 =, .na *, oe,ieocge iions!anten a 7 r,n r .naonang ge ?nas:ren 2 e J. qerne,ne .os.ng JC, D.irerenl a g eic,Jn> zne !er 3rcn.ngf: J sta so

=, .no *, laoen o e ae,e.t.ng m e e . ~regiarons~onstanten J e -os.ng e nei D fferznl a qieicn.nq z re ter Oion nq * ro a 0-rcn rwc mange .n.ejrat an ei ia :en underiordertdarurndiese beiden lntegrationskonstanten

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'iauqo!azaq a1uetsuo>(r6unldw.?o s!e iaqlon uoqssn apirw ~uati3a~ds>ua :lww!~saq D aIue%suon a!p q?inp p~!n 'uaplam ~lduepafi iepo uau -tiauqe fiunl!al iap 6ue11ua ua5unuueds1azu!3 iap uapnl!ldwv a!p map I!W 'peig iaa

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1 Diilerenlialgieichungender Leitungund Lesung im eingerChwungenen Zustand

Übungsaufgabenzurn Lernzyklus 1.1

Onne Coterlageo 1 Zeichnen Sie das Elsatrbild eines Leitungseiernents in dem Verluste berückich- :igt sind! Benennen Sie die Scnalteiemente!

2 Erläutern Sie den Ausbreitungsvorgang anhand des Ersatrbiides für eine re:lust- lose Leitung!

3 Geben Sie wenigstenseine Form der Leitungsgeichungen an!

Unreriagengsrranet 4 Leitungsbeläge An einer elektrisch kurzen Leitvng mit.der Länge 1 = ?5 m wurden bei f = 80 kHz der Eingangswidentand bei Kurzschiuß am Ende der Leitung.

Z I: - - 50 . e " ' O ' - i ' ~ mit lani, = 1.8. 10-'.

und der Eingangsieitweribei Leerlauf am Ende der Leitung.

Y L - - 9 . 10-'- eiIPO'-4$ mit tanc, = 1.2 10-', gemessen.

Lernzyklus 1.2

Lernziele

Nach dem Durcharbeiten des Lernzyklus 1.2sollenSie in der Lagesein,

- das Verhältnis von vor- zu rücklaufender Weile bei beliebiger Impedanz des Leitungsahschiusses zu hereihnen:

- mit H~lfe von Zeigerdiagrarnmen S1:om- und Spannungsvsrteilung entlang einer Leitung zu erläutern;

- Strom- und Spannungsverteilung entlang einer Leitungzu berechnen.

Nehmen Sie diese elektrisch kurze Leitung als Leitungseiement nach Bild 1.4 an. und berechnen Sie mir dengemessenen Daten P ' , L'. G ' und C' näherungsweise!

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1 ~ifferentiatgleicnungen der Leitung und Lösung imeingeachwungenen ZustanC

1.5 Reflexion und Reflexionsfaklor

Die ohvsikalische Form der Leitunqsaleichunqen. ausaedruckt entweder mit der . . - - Anlan~jspann-ng ., .na aen Anlargsstrom -. G I ? oaer acer aJcn rn 1 aer Enaspann.ng .. .na cem Cnastrow-, G , ' . oescnre oc o e A.sOre !Ans a.1 der ,e:.ng ais o e .ie'age'.ng rv.e er Te v.e,en E ne b e e a-t: .orr Anlang 2.m Ende, die andere in enfgegengesetzter Richtung vom Ende zum Anfang. Innerhalb jeder Welle sind d K Verhältnis von Spannung zu Strom durch den Wellenwiderstand Z und die relative hde rung von Spannung und Strom längs der Leitung durch die Ausbreltungskonstante y voilständig oestimmt. Festzustellen ist damit nur noch, wiesich unter bestimmten Bedingungen die hinlaufende Welle und die rücklaulende Weile rusinander verhalten.

1.5.1 Lange Lei tung

Am einfachsten werden die Verhältnisse, wenn die Lelung unendlich lang ist. dann verschwindet nämlich eine der beiden Weller. Und zwar steilt man an Hand der Leituncsgleichungen (1.11) fest, daß nur noch eine vor**ärtsaufende Weile übrig- bleibt. Der Betrag der Funnion e ~ p [ - ~ ( i - r ) J w i d mitwachsendem 1 ;mmsr Weiner, während der Betrag von e ~ p [ ~ ( i - z ) ] immer größer wird. Schließlich kann man bei genügend langer Leitung in den Leitlingsglsichungen das zweite gegen das erste Glied vernachläuigen (Bild 1.6).

Piysikalische Erläuterung Es ist auch physikalisch sinnvoli, daß bei einer sehr langen Leitung nur eine Welle vom Anfang zum Ende hinläuft. Eine rUcklaufende Wele käme ja uon dem sehr wit entfernten Leitungsende. hätte also entsprechend exp(- ai) ens sehr große Dämp- fung eriahren und wäre, was immer auch ihr Antangswenam weitentfernten Ende ist. sehr klein.

zur eigentlichen Berechnung von Strom und Spannung auf der sehr langen Leitung gehl man rweckmäßigerr*eise von Anfangsstrom i, und Anfangsspannung 0, aus. Da nur eine Welle auf der Leitung läuft. ist das Verhältnis von Strom und Spannung überall gleich oem Verheitnis von Teilspannung und Teilstrom der einen vorlaufen-

den Welle. also gleich dem Weilenwidetstand. Es gilt demnach auch Iür Anfangs- Spannung und Anfangsstrom:

U, - 2 .1 , ----W-

BId 1.6 Ausbreitung einerWechseispannungaufeinersehr langen Leitung: dierücklautende Welle Istruvernachl&sigen.

Damit sind nach GI. (1.9) Spannung und Strom entlang der Leitung:

~ ( z ) = uaei2: ((L) = L e-i' 2

(1.20)

1.5.2 Anpassung

Ein zweiter Fall ist eben= einfach. Schließt man die Leitung am Ende mit'einem Wldersland ao. der gleich dem Wellenwiderstand ist, 2. = 2. so ist das Verhäitnis von Spannung und Strom am Ende ~athema-

und in der physikaiischen Form der Leitiingsgleicnungen (1.1 1) verschwindet wieder die rücklaufende Vlelle:

U(Z) = U*. e't'-zj ; j ( ~ ) = AL. e'."-" 2 (1.21)

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E"nl!eliau~ne Sunuu=asa!puaww!lsaq al~e~apua~nelyani pun -u!q :pue~riap!m au!a q3ne vv uauaqa!iqosaq iap SunsseduesPueiSiap!~ qp B! a!!ej waia!P U! -Onlq3sqv waB!~a!~aq I!W Guna!qiau!a 1ne6unuuedrla~q3s~iau!e 6unlieiqsnv 9.1 PIE :W! tlaaJ nzaqeu lap 'puelsiap~uallahq uau!a Is!aw uaSuni!al a43s!~eid uaqeq uiaP

d - - -,agnv .uapl"m ua,qe ve(leqnN uepuajns~~on uep i!w rua~apalul qsnp a!p'ua&ne! -xsninz uallaM ualuxunrmaun au!aY pun uapiam :xoppialun ueuo!xal)an 6uns -~eduv iap alle3 w! ua6uni!ai I!W uafiunileq3s U! I!~M 'a!u!n iaisia U! ia is! 6!143tM .iuueua6 6uns$edu* pi!m sasrnlq3sqesBunl!al sau!a ~jepapuos aB!~q3!~ iqasiasa!a

.apJnM Uaziasuoj Sunl!ai a!p sepue]siap!m sasa!p neii 43!s qo sle Os 'u!au!q pueisiap!munlq>sqv uep U! vapuem pun uaqas ni. 6unilal iep 6uniqnluoj auia puels,ap!Mgn(qssqv wap U! 'luiaw a!s ua~oqafiue 6unl!al lap jne e!m ass!u 6unyweu3ruuan -)leqdah ueq~!at6 a!p allaM uapualteju!a iap uapiam os 'p!m uasso!q3sa6qe puels -Jap!MUallBM wap i!ui 6unl!al a!p unu uuaM 'iqa!s puepiap!MuallaM uap 6uni!al Jap Ins allaM a!p gep 'illa~sa6lsa~ iaqndj e! ualieq i!~ 'uauuio>(!loh al!aM asa!P ualqiopqe pueisap!munlq3sqv iaa 'al!aM apuajnei svermon au!a inu ve!is!xa g

D = ~~my~js~o!~e,je~ :IS~UBSSDI~~E~~~P pueluep!Mua!laM wep &!U @!P 'Buni!~~ ieu!a ,ne 6unu~eallarrlieM iau!e 6unl!aiqsnv L1 P!!B

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~niq~sqv iau!awa61iv F'SL

i .". 'UBPJ~M vassaq~an uai~q~sua6!3~aq3~!1snye a~q! p~nvapu!ui~ak - ualllneu uon uallequ3eN spp uo!xal,an iap 6uny="~p,eiun qsinpuauap l!w 'ualeld

ua~s!lsn8e U! uo!id~osqelteq3s iap !aq l~ej ua6o!eue uap >!M uapu!) y!wn>iv iap UI I 4 ),Az ,T

. , 'uassednzueiapueu!eue uepueasrap!mua~la~ uaiqi U! ua!payi auapa!qosia& 'uaua!p nzepa!~ 'Nn6ian ua1q3!q~sa6et~nv1!ui wnmp uapiam uasun ayos!?do .PJ!M T Va!lXa!laJ Irli!u Iqi!l saPual!ey!a Uep 'uaijelsa6 m as auialshs aq3s!ldo 'iqaiisaq uo UOP VJne ueu IS! 'ueP!euiian nz alsnliansuo!xalian PU" 143!i UJapa!lyanad )!U zuala!

.(L'I PI!^) 6un~!ai iap 6uel~ua -JJlu! wn 'Y!ldO iap U! waiapue laiun Gunsseduv lap !I=, lasa!p leq a!6o!euv au!3 6unl!ava~ aqlasa!p uiqeq pun uaqa6a6 6ue;uv uie Bunuueds a!p wlnp 6uni!al

'ueuqiuaq pun uapainaua qae)u!asiapuosaq uasue! i/o!!puaun Jap alle3 U! a!M as!aM iauI!a!S U! osle pu!s uio~ls pun Gunuueds uapuelswn uasa!p iaiun q3!s uasse! a!s uaziasag uaq3!!iqqsiaqn pun uaij=eju!e

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1 Diflerenlialgleishungen der Leitung und Losung lm eingeichwuogenen Zustand

Am Ende der Leitung wird das Verhältnis zwischen beiden durch den Abechluß- widerstand bestimmt. Durch ihn wird U. = 2.. 1.. und die Spannungsverteiiung aufder Leitung läßtsich mit Hilfevon Gl.( i . l l ) folyendermaßenangeben:

(1.23)

spannungvarnaltnis Das Verhhttnis der Teilspannung der rdcklaufenden Welle zur Teiispannung der mrlaUfenden Welle ist dabei:

Den Weri dieses Verhältnissesam Ende der Leitung nennt man Reflexionsfaktor:

Stramverhaltnis Für das aus den Teilstr6men der beiden Weilen gewonnene Verhältnis -$I!, ergibt sich derselbe Ausdruck. Der in Laufrichtung der rücklaufenden Weile positivgezählte Teilstrom -1, dieser Welle steht also rum Teilstrom 1, der vorlaufenden Welle im gleichen Verhältnis wie die entsprechenden Teilspannungen U, und U,. Der Re- flexionsfaktor beschreibt demnach. in berug auf Spannungen wie auf Ströme oder ganz aiigemein in berug auf Wellen, das Verhältnis von retlektiebem zu einfallendem Anteil.

Anpassung ImSondeifall derAnpassung. Z. = Z, ist i = 0. Es wird nichts reflektiert

Leerlauf Wird die Leitung mit einem sehr hohen Widerstand abgeschlossen oder läuft sie ganz leer. dann ist

r = I.

Kum~hluß Füreineam Ende kungeschlosseneLeituny ist

r = - 1 .

In diesen beiden lernen Fällen wird die einfallende Weile voilkommen reflektiert. Reim Leerlauf der Leitung ist die reflektierte Welle am Ende in Phase mit der ein- fallenden Welle, während sie bei Kurrschiuß um 180' in der Phase verschoben ist. Bei Leerlauf heben sich die Ströme beider Wellen am Ende gegenseitig auf, und die Spannungen addieren sich. Bei Kurrschluß addieren sich die Ströme. und die Spannungen heben einander auf.

1.6 Strom- u n d Spannungsvei le i lung auf der Leitung

Bis jetzi haben wir "ur den Verlauf von Teiispennung und Teiistrom einer einzelnen Weile entweder hinlaufend oder rückiaulend auf der Leitung untenucht. Wir haben dazu im vorhergehenden Abschnin besprochen, wie sich mit dem Abschiuß der Leitung durch einen bestimmten Widerstand und dem daraus folgenden Reflexions- laktor aus der hinlaufenden Weile eine reflekiierte, rückieufe~de Welle ergibt. Die Grundlagen sind damitvorhanden, um den resultierenden Veriauf von Spannung und Strom zu betrachten. der sich aus der Uberlagerung beiderTeilwellen ergibt.

Es ist hier zweckmäßig, eine graphische Darstellung der komplexen Zeiger von Spannungs- und Stromphasoren zu wählen. Gesamtspennung und Gesamtstrom werden dann durch vektorielle Addition dieser komplexen Zeiger gelunden, und die tatsächlichen Augenblickswerte ergeben sich durch Projektion der rotierenden, kompiexen Zeiger auf diereelleZeitachse.

Die Verhaltnisse können em besten an zwei Sondedällen veranschaulicht wsrden, in denen sich die reflektierte Welle in einfacher Weise aus dar hiniaufenden Welie ergibt. Es sind dies die am Ende kurzgeschlossene Leitung und die am Ende offene oder leerlaufende Leitung.

1.6.1 Kurzschluß a m Endeder Le i tung

Der Reflexionsfaktor ist hier

und die resultierende Spannung em Ende der Leitung ist nuil.Ausder physikalischen Form der Leitungsgleichungen ergibt sich mit y = o i iß für die Spannungs. verteiiung entlang der Leitung: Spannun!

Mit

U@) = U" + U, kann man das Zeigerdlagramm für U(zJ aus den Zeigern & und U, für verschiedene Werte zentlang der Leitung zeichnen. DerZeiger der hiniaufenden7Nelle ist am Ende U, = (112) . Z 1.. Vom Leitungsende zurückgehend, dreht er gemdR der Phasew funktion exp[jß(l-2)) i n positivem Sinne oder entgegen dam Uhneiger. Seine Amplitude nimmt dabei gemäß der E*ponentialfunh?ion exp [a(i-41 zu. Man kann ihn mit einer räumlichen Spirale. als0 einer Wendel. entlang der Leitung darstellen wende$ (Bild 1.9).

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1 Oiffemntialgleichungen der Leitung und Lösung im eingerchvungenenzurtand

Die vektorielle Addition der Teiiströme wird genauso durchgeführt wie bei den Teii- Spannungen. Die beiden Teiiströms sind am Ende der Leitung in Phase und die Beträge der beiden Teilströme addieren sich aigebraisch zum Gesamtstrom. Gegen- überder Spannungskuwe ist also die Stromkuwe um den Abstand

verschoben. Abgesehen von dieser Verschiebung ist der Gesamtstrom entlang der Leitung genau so verteiltwie die Gesamtspannung.

1.6.2 ' Leerlauf

Füreine am Ende offene Leitung ist!.. = 0 und die Spannungs- und Stromverteilung ergibt sich ausden Leitungsgleichungen:

1 U@) = -" . erl'-" + L. U . . - . 2 - . 2 -

Man multipiiziert die zweite Gleichung wieder mit Z, um den Strom im vergleichbaren Spannungsmaßstab darzustelien

Gegenüber dem Kurzschluß haben Strom und Soannuna beim Leerlauf ihre Rollen ~- ~

mrtauscht. im übrigen sind aber die Ausdrücke d"rchau;vergieichbar. Die Teilspan- Leitungsende nungen sind jetzt in Phaseam Leitungsende. und demzufolge berührt die resultieren-

de Spannung dort die obere Hüiikuwe. Die Teilströme sind dagegen in Gegenphase: Sie heben sich gegenseitig auf bzw. berühren die untere Hüllkuwe an ailen Punkten, die umein ganuahligesVielfachesvon

az = L B

vom Leitungsende entferntsind.

Bei beliebigem Abschluß sind die Strom- und Spannungsverteiiung entlang der Leitung grundsäfllich ähnlich den Verteilungen bei Leerlauf oder Kurrschluß. Während bei Leerlauf oder Kurzschiuß die refiektierte Weile am Ende dem Betrage

1.6 Strom- und Spannungs

nach gieich der einfalienden Welie isi und demnach die resultierenden Größen zwischen null und ihrem Maximalwert pendeln, wird unter normalen Umständen der Reflexionsfaktor bei beiiebigem Abschluß dem Beirage nach kleiner als eins sein. Die reflektierte Welle ist damit auch am Ende der Leitung kleiner als die einfallende Welle. Die Weliigkeit selbst. also das Verhältnis von Ma imum von Strom oder Spannung zu Minimum von Strom oder Spannung, ist nicht so groß wie bei Leerlauf oder Kurzschiuß.

Voiikommen richtig ist diese Aussage aber nur für Leitungen mit rein reellem Wellen- Einschra widerstand. Nur bei reellem Z ist nämlich der Reflexionsfaktor für alle Abschluß- widerstände mit positivem Realteil dem Betrage nach immer kleiner als eins, und nur dann ist die reflektierte Welle immer kieiner ais die einfaiiende Welia. Die Strom- und Spa,n.n$s\ene .ng u ra ."[er a esen .ms:anaen .no ße -n\eranaenerAm? :.ae aern n a-ielaen &e e n rgena&o a-cn n o t n Yien Ememnenen .X.a e$aen Hüllkuwen hinausgehen.die für Kunschluß oder Leerlauf am Ende gefunden wurden.

1.6.4 Verlustlose Lei tung

Einfacher werden die Verhältnisse auf der veriustlosen Leitung. Für a = 0 ver- schwindet nämlich die exponentielle Änderung der Amplitude der hin- und rück- laufenden Wellen. Während im allgemeinen Fall der verlustbehafteten Leitung die komplexen Zeiger von U, und !J, auf Schraubenlinien verlaufen. die einem Rotations- körper mit exponentieller Manteliinie angehören. so geht für die verlustlose Leitung dieser Rotationskörper in einen Kreiszylinder über (Biid 1.12). Aus der iogarithmi- schen Cpimleals PrajeMionderSchraubenlinleauf eine EbenesenkrechlrUrr-Achse wird fürdie veriustlose Leitunq ein Kreis.

Für Gesamtspannung und Gesamtstrom müssen jetzt m e i Zeiger addiert werden, die im entgegengesetzten Sinne entlang der Leitung drehen und im allgemeinen auch verschiedene Beträae haben. Diese Beträqe sind nun aber entlana der Leituna

~ ~~

konstant. Die Hülikuwen werden damit zu geraden Linien parailel zur 2-Achse, und die Berührungspunkte mit diesen HLjllkuwen sind zugleich Extremwerte von Spannung oder Strom (Bild 1.13)

. . . . ,. - .* . . . . . . . . .. . ,;. - . - ~ : . . . - . .' . ~ i e . ( r e l l i ~ ~ 6 i t ist ent ange nerve!l~stlosen -oit .ng.konslant:. . . . . . . . . .. , L?: :z:::iz -... --:. -.>- .=:-,=.:-- .-.%%.<..-h=L&.-A~Am~.

nesondere einfach sind ietzt die Verteiiunaen bei Leerlauf oder Kurzschiuß oder auch -... -. .~ -~ ~ , m rgence nem re nen Biinan aerstana a.s Aoscn - 3 . .nter a:esen Aoscn..floeoin. g-ngen s! oer r^elleri:nsla*ror oem Betrage nacn gie cn esos 7 n a.ienae .na i.:*-

laufende Welle haben entlang der Leitung gleiche Ampiitude. Sie addieren sich einmal zum doppelten Wert der Einzelwelie und heben sich zum anderen zu null auf (Bild.l.14).

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1 DiiferenBalgieshungen derLeitung und Lösung im eingschwungenenZustand

- Geschwindigkeit eines Drahteiemenlessenkreehtrur 2-Richtung: = mls

F, - Kraf; senkrecht rurz-Richtung: [F,] = N s - Kraf;. mit der die Saitegespanntist: [SI = N

m' = Masse pro Längeneinheit: [m'] = kglm

Aufgaben zur Vertiefung 1

Analogien in Ausbreitungsvorgängen

Für das Verständns des Kuiser i3t die Bearbeitung dieser Aufgabe nicht unbedingt eflorderlich.

mr verdlgemsinsrung lm Abschnin 1.1 wird darauf hingewiesen, daß die Methoden, die zur Berechnung der desKuEinhaits elektromaanetischen Ausbieitunasvoroänae erarbeitet sind. auch auf viele nicht- - - -

e ecromzgre' scnr A Sore l.?gs\organge angenolut ArrdSn i<unnan r e e n cnt- e e*i'o7iagnei scnc A.sDre r.?gsuorgange neraen nan mcn c u c n D liere-t a - gieichungen beschrieben, die nur weniger allgemein sind als die Dilferential- gleichungen der eiewrlschen bitung.diesenaber;onst gleichen

Durch Gegenüberstellung der Diflerentialgleichungen des jeweiligen nichtelektro- magnetischen Ausbreitungsvorga~ges mit den Differentiiigleichungen der elektri- schen Leitung lassen sich Analogien finden zwischen nichteiektrischen GröBen und u(r.tl: i(z.tl; R': L': G': C'. Be einusförmiaer Erreauna lassen sich Analoaienfinden . . zwischen nichtelektrischen Grdßen und ~(;);i(z); R ' : L': G'; C'. ~ l e f i i r ~ y ) undl(z) mit Hiife von R': L': G': C ' dargestellten Lösungen lassen sich inandager Form für nichteiektrische Größen übernehmen.

Auf den falaenden Seiten sind neben den Differentiaialeichunaen der elektrischen Leitung Diiferentiaigleichungen nichtelektromagnetischer Ausbreitungsvorglnge aufgeführt Für den Fall sinusförmiger Erregung gebe man für ieden aufgeführten Ausbreitungsvorgang die Dämpfungskonstante, die PhasenKonstante, die Phasen- geschwindigkeit und die Wellenlänge an.

1 Eiektromagnetische WelleaufeinerLeitung

3 Verlustlos angenommene Ausbreitung von Schaliirn Festk6rper

V: = Gesch~indgkeiteinesVoiumeneiementesinz-Richtung: [V.] = m/s

p, = Druckinz-Richtung: W,] = Pa E - E1ss;iiitätsmodul: [E] = Nlm2

g = Dichte: [e] = kg/ma

' E s Ce, sn:iprocnenaei P-sciet-nq n F Lrrqrefd.rsn a.ei<onprzrso,.:al % C r : = n' r. ~ - e i ~ > ! i e n D? P - S O ~ ~ t.ng n ~ a r r'Ea.rcncas "iaa-n ,an M atstan-Filonenrr 1-1 - . . .ncoi.cr n c o i -nseo.ngil. @.J = "a z.e.rerzcn

4 Wärmeleitung

T = llbertemperatur: [U = K q = Wärmestromdichte: [q] = W/m' j. - Wärmeleitfähigkeit; (11 = W/(m - K) c - spszifirche Wärmekapazität: [C] = J/(kgK)

e - Dichte; je] = kg/m3

5 Dillusion ""geladener Teilchen

c - Konzentration daiMassedesdiffundlerenden Stoffes: [C] = kg/mJ i = Massenstromdichte; (11 - kgl(m2S! D = Diffusionskoeffizient:[D] = m'ls

2 Veriustios angenommene Schwingung einer Saite

G V , L . XL=,.= ar s ar ' a~ ~t

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2 WiderstandstransfoimaIiOn, Leitungsdiagramrn

2 Widerstandstransformation, Leitungsdiagramm

2.1 Eingangswidersland

Vierpol Die eiektrische Leitung steilt hinsichtlich der Klemmenpaare am Eingang und Aus- gang einen Vierpol dar (Bild 2.1). Der Zusammenhang zwischen Strömen und Span- nungen an diesen Klemmenpaaren ist durch die Leitungsgleichungen bestimmt. So ergibt sich beispielsweise aus der mathematischen Form für r = 0:

= U.Coshyi+ ZL sinhyl

!, = 1. coshyl + L s i n h y l Z (2.1)

2. Y . I Blld 2.1 Die elehinschs Leitung

0----0 alsVierpol

Bei zahlreichen Anwendungen von Leitungen ist der Zusammenhang mischen Ein- gangs- und Ausgangsgroßen, wie er durch diese Gleichungen bestimmt wird. maß- gebend. In vielen Fällen ist aber insbesondere der Eingangswiderstand von Be- deutung. Es interessien seine Abhängigkeit vom Ausgangswiderstand und von den Eigenschaften der Leitung. Aus dem besonderen Verhalten des Eingangswider-, Standesergeben sich Anwendungen der Leitung nicht nur als Ubertragungsmedium. sondern auch als VieiseitigesSchaltelement.

Dte e er rsc-e -e t.ng SI e n V eio, m t 3 nem 1 errmenpaei am A-fang .nc am Enoe 2.1 3erecnn-ng ces E ngzngsn aerstanoes gc-zn n r ian oen .e '.ngs- gie cn-ngev 2 ' aus htr DerJcxs cnt gen aiioei o P Des ncv3n

......., ~ . . . . . Delinltio~ an&widenta"d ist d& Verhältnis , ':

nung z u l m m . a q Anfang der Leit, . . . . , .

wenn dle Leitung mit einem Widentand Z. abgeschlossen ist, so liegt damit das Verhältnis U./!. = Z. fest, und es ergibt sich der Eingangswidentand aus den Leitungsgleichungen (2,'s) zu

z = & = z Z ~ c o s h y I C Z sinhyl i coshyI+ Z.sinhy1

(2.2) ! A

ader:

zur Berechnung des Eingangswiderstandes einer allgemeinen. verlustbehalteten Leitung nach GI. (2.2) ader GI. (2.3) müssen Hyperbelfunktionen eines komplexen Argumentes bestimmt werden. Mit ;i = a + iß geschieht das bekanntlich nach den Formeln: Komplexe

sinhyi = sinhal cosßl + j coshois in@i

coshyl - coshalcosßl + j sinhai sind1

tanhal+ j tanßi la"hi1 =

I + j :anholtanBi (2.41

zur Bestimmung des Eingangwiderstandes nach GI. (2.3) können Tabeilen oder Reliefkarfen der komplexen tanh-Funktion dienen. Man drückt dazu Z./Z ent- sprechend

- - - tanh(x + ;Y) (2.5) z

durch X und y aus und erhält damit den Eingangswiderstand nach GI. ( 2 . 3 ) ~ ~

2, = tanh(x + jy) + tanh(o1 + ißl) Z 1 + tanh(x + jy) tanh(al + i ß l )

Nach einem Additionstheotem für die tanh-Funktion folgt daraus

= tanh[x + rrl + j i y + BI)]. Z

(2.71

Z:;.sher.rg o esPr 3ezien.n~ est man aus Oe, Ta0ei.e ooer .om Re et oer tanr- F.FC 511 O ~ P 9ea re x "no oen magmaneil ) cer anann-F.nnt.on ces h 0eis:ancs- .e,nal.nsses an Enoe oer -e i.ng ab adcier' o u u Darncl~ng 2' .nd Pnase $ 1 oei Leitung und liest das Widerstandsverhäitnis arn Anfang als tanh diesersumme ab.

Wesentlich einfacher ist die Berechnung des Eingangswiderstandes bei der verlust- losen Leitung. Für sie ist a = 0 und der Welienwidentand rein reell. Aus GI. (2.3) folgt deshalb für dieverlustlose Leitung einfach

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-JOI~~JOISUWL-ZI? iap pun -p/?iap pu!s ua~o~ewio~sueits6un~a~ iecoiisniian aiiepapuoc a6!1qo!n !aMZ .(87) u!arueS!~e zue6 2% 1116 ua!~ewiol -sueiL a!p in4 .ua!iula!sueil e19nl~e~s6un&s!a7 auqa e!s qainp uapian epueislaP!M .fiunr!ai asoirsni~an a!p ieq ua~~eq~sua~!e~uo!~ew~o~sue~~ aqqlqnu siapuosas

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Diese Gütefomel gilt für aile Leitungsresanatoien aus Doppeileitungen beliebiger Länge. ob im Kurzschiufl oder Leerlauf. Die Resonanzeigenschaften einer otfenen,

Leerlauf d.h. leerlaufenden Leitung sind in Bild (2.5) mit dem Verlauf von Strom- und Span. nungsamplituden zusammenfassend dargesteilt.

Bild25 Der Lsrlauhyiderstand einer Latung hat bai At4.3 1/4 .. . die tigenschabn von Serienresonanz und DeiM, 2 112 .. . dle Eigenschaften voo Paralleire5onenz

Bei 1 = 114 ist die Soannun9 Null, und der Eingangswidersland entspricht Qiei dem eines Serienresananzkreises. Bei I = 112 ist der Strom Null, und der Einganpswiderstand verhält sich wle bei einem Paral!eiresonanzkreis. 8ei (Zn - 1 ) U 4 iind nAI2 wjederholen sich diese aesonanzeigemchaften.

Leitungsresanataren haben bei hohen Frequenzen bessere Eigenschaiten als Eigen! Schwingkreise aus Spuien und Kondensatoren. Sie imsen sich einfacher bauen und Leilun haben eine höhere Güte. Immer wenn die Wellenlänge de: Schwingung so klein in, daß sich vernünftige Abmessungen ergeben, wird man drirum Leitungsiesonatoien verwenden.

Die Vorgange in den Resonatoren der Akustik (Stimmgabel, Pfeifen) gehorchen ahn- llchen Gesetzen Sie lassen sich auch m ~ t den Methoden der Leitungstneone be- schreiben

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s versehen. Neben diesen Skalen für Ir/ und s erscheinen dann aber noch Skalen der logarithmischen Grökn. und zwar 20 log s und -20 iog lrl ebenso wie -20 log V- Diese logarithmischen Sk len sind in Anlehnung an das iogarith- mische Maß für die Dämpfung gewählt. das auch sonst in der Nachrichtentechnik

Veriuslbehaftete Leitung verwendet wird. Bei veriustbehafteten Leitunge? kommt man zu diesem Dämpfungs- maßauffolgendem Wege.

Für eine angepaßte Leitung vereinfacht sich die physikalische Form der Leitungs- gleichungen ( 1 . 9 ) ~ ~ :

Für die EffeNtivwefle von Spannung und Strom ist nur die Dämpfungskonstante maßgebend:

Das Verhailnis von Eingangs- zu Auqangwirnteistung ist damit:

Die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung ist bei A n p a u n g durch den Weilenwiderstand bestimmt und Iängs,der Leitung konstant: g>. = pm Man bezeichnet

.~ ~

als die Leitungsdämpfung. Dieses Dämpfungsmaß ist dimensionsios. Für seine Einheit hat sich aber trotzdem der Name Neper eingebürgert. Eine Oämpfung von a = 1 Np bedeutet also

i n \ m = i

oderein Leistungsverhäitoisvon

P,/P, = e' = 7.389.

Noch gebrauchlicher für das Dämpfungsmaß ist die Einheit Oezibel gemäß der Definition:

a' = 10 ig (P,IP,)

EineDämpfungvon a' = 1 dB bedeutet:'

10 1g (P.lP.) = 1

oderein Leistungsverhältnisvon

P,/Pe = 1.26.

Für a' = 10 dB ist P,/P. = 10.

Die Umrechnung der D'ämpfungvonNeper in Dezibeigeschieht nach

Die logarithmischen Dämpfungsmaßa sind natürlich deshaib sehr nijtziich. weii mit ihnen bei der Kettenschattung von Leitungen und a n d e m Vierpolen die Produkte MO Amplituden- oder Leistungsverhältnissen durch einlache Summen der zuge- hörigen logarithmischen Dämpfungen ersetzt werden.

2.6 Widerstandsmessung m i t der Meßlei lung

Das Skiiiii-Diagramm ist ein wichtiges Hilfsmittel zur Auswertung von Messungen mit Meßleitungen. Meßleitungen sind starre Doppeileitungen mit narmaiewelse koixiaiem Ouerschnin. Der Außenieiter ist der Länge nach geschlitzt. Durch diesen Langsschlitz taucht eine Sonde in den Raum zwischen Außen- und Innenieiter, mit der durch Verschiebung entlang der Leitung die Spannung abgetastet werden kann. Um jede Spannungserteiiung voll eilaasen zu können, mußdie Schlitzlange wenig- stens die Hslfte der Leitungwelleniänge 1 sein. Normalerweise arbeitet man darum mit Meßieitungen erst bei Frequenzen hoher ais 500 MHz und braucht dafür 30 Cm Schlitzlänge.

Für SO hohe Frequenzen ist die Bedingung o B ß immer gut.eilüilt. Der Weilen- Veriustios

widerstand ist dann praktisch reell und Iäßt sich aus den Ouenchnittsabmessungen genau berechnen.

Nach Bild 2.8a wird die Meßleitung mit dem Widerstand abgeschlossen. der gemes- Reflexon

Sen werden soll. Die Spannungsverteilung entlang der Leitung wird mit der Sonde abgetastet.

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Wid~~hnd~tran~lormat ion. Leilungsdiagmmm

ZurpreMismen Anwefldunp 4 Anpassung mit Stichleitungen Wenn Sie diese Aufgabe nichtohneinden Lösungen nachzuschlagen losen können, isr das k l n Grund zur Beulrgnls.

Eine verlustlose Koaxiai1ei:ung mit dem Wsllenwiderstand Z = 1 l Y verbindet einen Generator mit dem unbekannten Widerstand 2, = lI(G.-ja.). Mit zwei kurr- geschlossenen verlustlosen kouiaien Stichlekongen veränderbarer Länge soll ver- Sucht werden. auf der weiterführenden Leitung link; von A eine Welligkeit von Eins herzustellen. Oie Stichleitungen haben ebenfallsden Wellenwiderstand 2. a) Zeigen Sie im S~im-Diagramm. wie lang dieStichlsitunqen zu wilhlen sind! b) Für welche G, ist links M n A eine Welligkeit von Eins auf diese Weise überhaupt

herstellbar?

k-q Generator

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3 Die Leitungskonstanten

Lernzyklus 3.1

Lernziele

Nachdem Durcharbeiten des Lernzykius3.1 Eoilen Siein der Lagesein,

- die Begriffe primäre Leituogskonsranten. sekundäreLeitungskonstanten und TEM-Wellezu eriäutarn;

- diezulässigen Vereinfachungen anzugeben, mit denen Leitungsbeiäge tureinfache Doppelleitungsweilen berechnet werden können:

- die Frequenzabhängigkeit derLeitungsbelägeru beschreiben;

- fürdas ProduM aus Induhivitäts- und Kapazitätsbelag eineeinfache Beziehung ! mit ihremGültigkertsbereich anzugeben:

- den Begriff effemive DieleMriz/tärskonstante bei Leitungen mit geschichteten ~ ie ie~r ikazuer i~urern. ' ,

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3 Die ieiturgskonrtrnlen 3.1 Die prii

Diiierenziert man das erste Gieichungspaai nach 2 und setzt für 3H,!az und a&/oz vom zweiten Gieichungspaaiein, so foigt

%L = ?G, 2%- ; r ~ , a z2 e ri

mitf = - W ~ E ~ , ,

D ese ocn G e cn-r)en '0 cen I"r E. "na n, nenn rnannx- iwe .e domoonenienpedr Ger MaAre 'sc len .:ecndogen nacn i o l leieru en -no \orn e w e n G e C?-ngspaar e nsetir Man dann Oe Oe G'e cnJnpspaaie z. Venorg e cy~ngen ~~sanmen'assen .na er ia i

Für das elektromagnetische Feld der TEM-Weile gilt also eine Wellengleichung ahniich wieGi.(l.S)fürdie Spannungvon Letungswellen. In ihrstellt

y = j o G (3.4) die Ausbreitungskonstante der TEM-Weile dar. Vergleichen wir nun diesen Ausdruck mit

~ = j o v ' Z F i / i - j ~ ' / o ~ ' (3.5) . .

wie es für R ' = 0 aus GI. (1.4) foigt und berücksichtigen wir, daß L = 6~.(1 - jtand) ist.30 finden wir die Produktbeziehung (3.1) tur alle TEM-Weilen bestätigt.

Man braucht für solche Weilen oder immer dann. wenn die innere Induktivität der RschenMsichtemng Leiter keine Rolle spielt. nur einen der Lsitungsbelage L' oder C' zu berechnen und

erhält den anderen aus der Pmduktberiehung. Das gilt mit guter Naherung sogar auch dann noch, wenn der Stoff zwischen den Leitern nicht mehr homogen ist. Bild 3.3 zeigt dazu als Beispiel eine Koaxlalleitung mit geschichteten Dielektrika der reiatlven Dielektrizitätskonstanten r , und E,. Ihr Kapazitätsbeiag ist

Eine Koaxialieitung mit gleichem Verhältnis der Leiteidurchmesser mußte homogen mit einem Stoffder relativen Dielektrizitätskonstanten

1 , 1 aildX3 Kwiaiieitung mit koatai geschichtetem DieiamiWm

gefüllt werden. um den gleichen Kaparitätsbelag zu erhalten. Der lnduktivitätsbelag ergibt sich unbeeinflußt von der Schichtung des Oielekrikums aus den Beziehungen der Tabelle. Die Produktbeziehung (3.1) ist demnach für inhomogene Dielektrika so zu verallgemeinern. daR man das er durch ein r., ersetzt, wie ssi icn durch Vergleich der Kapazitätsueiäge der Doppelleitungen mit homogenem und inhomogenem Dieiektrikum ergibt.

Gmaugenommen gilt die ProduMbeziehung mit den efisktiven DieieMnzitäts- konstanten Iür Doppaiieitungen mit inhomogenem Dielektrikum aber nur für nicht zu hohe Frequenzen. solange nämlich die Leitungsweiie noch nahezu eine TEM-Weile ist. Bei sehr hohen Frequenzen, etwa dann. wenn sich die freie Wellenlänge i = l i(i \G) in einem Dieiektrikum mit C, = an" sich auf die QuerSchnittsab- messungen der Leitung verkürzt, verliert die Leitungswelle bei inhomogenem DieleMrikum unter Umständen immer mehr ihren TEM-Charakter. Auch die eievro- statischen Formeln für die Kapazitätsbeläge verlieren dann ihreGültigkeit.

Die Tabelle 3.2 zeigt Ouerschnihsformen von weiteren Doppelleitungen. dle prak- tische Bedeutung haben. Auch die Kapazitätsbeläge für diese Ouerschnittsformen

(3.7) sind in der Tabelle angegeben. strsitenleltungen und Mlkrostrsilenlsitungen kommen in den pianaren Anordnungen von gedruchten Schaltungen und Film- schaitm,ngen vor, ebenso wie als Verbindungsleitungen in inregrienen Schaltungen.

Frequenz

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11e LsilungSkonrtanlen 3.3 Näherungen li

Bei tiefen Frequenzengilt Ubersichtiiche Darstei lungder Sludieninhalie

und bei hohen Frequenzen

R'und G hängen ihrerseits. wie inTabefle3.1 angegeben. von der Frequenz ab.

3.3.3 Phasenkonstante

a) Für veriusffreieLeilungeoist R' - 0 und G ' = 0. also

/J = w \ / l T c i .

b) Bei honem Induklivitäkbelag wie r.6. auf der Freileitung oder bei hohen Frequen- zen ist wL' b R' und wC' * G ' . Oie Veriustwinkel *und d sind klein. und es ergibt sich aus der trigonanetrischen Form:

ß =

C) Für Kabel bei rieten Frequenzen ist uii' < R ' und G ' = 0. Damit ist

Aligomsinlall Irn allgemeinen hangt die Phasenkonstante wie in Bild 3.5 von der Frequenz ab. Bei tiefen Frequenzen ist

ergeben sich ausden

I primäre

Leitungskanstanten (Leitungsbeläqe)

I

TEM-Wellen

verknüpft durch die

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Übungsaufgaben zum Lernzyklus 3.2

ohne Unrer!agan 1 Wiesind die Veriushvinkelff und d der Leitungsbeiägedefinieri?

2 Wie lauten die trigonometrischen Formen für Dämpfungs- und Phasenkonstante sowie für den Wellenwiderstand?

3 %ie ist das Vefhaltnis von imaginär- zu Realteil des Leilungswellenwidentandes bei tiefen Frequenzen, und wie bei hohen?

4 Skizzieren Sie die Abhängigkeit der Dämpfuigskonstante a von der Frequenz I. Wiegroßist obei f = O ?

5 Skinieren Sie die Abhängigkeit der Phasenkonstante J von der Frequenz I! Weiche Steigung hat die Asymptotelür 1 - - ?

Unrer!agsngestarlel 6 Eigenschanen einer Koaxialieitung Berechnen Sie für die Koaxialleitung aus der Ubungsaufgabs 8 zum Lernyklus 3.1 mit Hilfe geeigneter Näherungsformeln die Ausbreitungskanstante, die Wellenlänge, die Phasengeschwindigkeit und den Wellenwiderstand bei I - iOGHr!

Lernzyklus 3.3

Lernz ie l e

Nach dem Durcharbeiten des Lernzyklus3.3solien Sie in der L

- zwischen Phasengeschwindigkeit und Gruppengeschwindi

- den &griff Dispersionzu erklären;

- aus der Frequenzabhängigkeitder Phasenkonstante Phaser Gruppengeschwindigkait zu bestimmen.

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6unqsnq~~isu!a6uq!~,qs~~ep !aq i!e>(6!pu!nq2sa6usddn?O pun -uereud 9'E PI!a

'u~I!~?~!Pu!M~~s~E) uauapa!qislah I!W urapuem uazuanba,, Jauapa!qisJah afip -ua!laMiaqi!!la!nu!iuax uaseqd a!p "q'p '6!6uPuqezuanba~& uuep IS! l!ay6!puiMq3sa6 -uaserid a!a .zuanbald In2 (euo!uodoid q3e)u!a iq3!u $ laqe F! uau!arua6!!e UI

'VPU~ 4, . "'3 I!U ~lols w! allaM auaqa auafiowoq au!a a!~ sne 11auq3s osuaqa qz!s a!s jatiaiq ieq ianeieq3-~3~ nzaueu q30u a!la~S6unI!ai a!P OEP Os 'IS! qsoq nz 143!u zuanbad, a!P wn>i!l4yala!o uiau -~BOLUO~U! !aq iepo pu!s 6!ipa!u pua6nuafi apue1siap!mal!al =!P osle iawui! uuaM,

U~II~M-W~I uon I!ay6!Pu!M43sa6uaseqd a!p ~s! (1'~) 6unqa!zaql>(npo~d~ap)~~ 'zuanba~j iap uah Si6ueqqeun nzaqeu PU!$ .3 Pun ,i uuap ,lueJsuo>( q3s!we~d os!~

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uuep Is! I!ay6ipui~u3sa6uaseqd a!o ..3~ . m =d ~s! uezuanbwj uaqqil.Japo 6e1aqsi!~!n!ulnpul uaqou !aq qone Japo Eünx!ai ua!ar, -s6uniiszian iap U! pun ua6unijal ua!aJl)sniiah a!p Inj .8!aq6!pu!mq3sa6uaseqd '60s a!P 'aseqdual!aM lap J!ayfi!pu!~~3sa6~6unl!aiqsnv a!p osle sasa!p IS! $2

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Die Einhüllende der Schwebung dagegen hai die Kreisfrequenz (U, - ~,) /2 . Sie wandert entsprechend der Phasenkonstanlen (B, - j3,)12 für die Schwebung mit der Geschwindigkeit

", = EL2k (3.18) B, -A

Die Energie des elektrischen und magnetischen Feldes auf der Leitung ist zwischen jeweils zwei benachbarten Knoten der Einhüllenden foaaiisiert. Durch die Kno:en findet kein Energierransiiorl Statt. Die Energie der Schwebung ,wandert darum mit der Geschwindigkeit v, der Einhiillenden. Beim Grenzubergang w, - w, wird aus G1.!3.17)

ais0 die Phasengeschwlnaigkeit auf der Leitung. Aus GI. (3.18)wird

Wie aus der Ausbreitung der Schwebung zu schließen,ist V, die Geschwindigkeit einer Gruppe von Wellen in der Umgebung der Frequenz w u n d insbesondere die Geschwindigkeit. mit der die Energie dieser Gruppe wandert Man nennt V, darum Giuppengasshwindlgkeit.

Bei frequenzunaahängiger Phasengeschwindigkeit ist V, = V , Andert sich v aber mit der Frequenz, dann ist V, verschieden van V und muß entsprechend GI. (3.19) durch Diiferenria:ion derphaseneurve ermitbit werden. Diese Erscheinung. da3 die

Freguenzabhdngige Phasengeschwindigkeit einer Weile von ihrer Frequenz abhängt. heißt Dispeision. Phsenge5ChwindigYei\ AISO:

. , .~ . . . . , , Wenn a u f e i n e r ~ e i t u n ~ die Wellen eineandere ~rupp&al< . .

. Phasengeschwinaigkeit haben:so hat diese Leitung Dispega?. . , .,., . . ,... ~. .~., . . , ,. ,, , ~,

Sgnaie 080 .Ne .en adfir>oouler: sina r a n x ' n n i 3er 2i.ppengesenn l a gne I anni cn nie o.e Scn<.eb.ra m.! ni-rer 2escnn ?aigi<cii .vanaeC D e Gr,poen. gescln no:rJ*e<r rt a! era ngs nar aarn a n z..eiisssiges hlaß 1-r o a 9 isereir.ns

oder umgekehrt die Ur~ppen~eschwindigkeit für alle Frequenzen, die in dem ii-,---n enth=l?on cind nahezu konstant ist. Sind diese Bedingungen nicht erfüllt. ' Y , Y C ,,l.I...,.L..-..-...., .~ ~ ~

dann wird der vorgang bei der Ausbreitung ohnehin seine Form verlieren. und man hat keinen e:nwandfreien Berugspunki mehrfür t i e Definitioneiner Geschwindigkeit. Mndulalion~sianale werden je nach Frequenrabhangigkeit der Gruppengeschwindig- ~

keit im ~ o d ~ i ~ t i o n s b a n d verzerrt. sieerleiden die sog. Laulzedverzerrungen.

eines altgemelnen Vorganges, wenn dieser nur Frequenzen eines schmalen Bandes

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Aufgaben zur Vertiefung 3

1 Mikrastieifenieitung Eine Mikrostreifenieitung mit einem iVelienwiderstand von 50 R soll auf verius:armen Keramiksubstrat Ir, = 10) ?er Dicke 0.5 mm aufgebaut werden. Wie breit ist der vernachlässigbar dünne. gut leitende Streifen zu fertigen? Bestimmen Sie die Toleranz iürdie Lsiterbreite. wenn der Weilenwiderstend nur um l%schwanken soii!

4 Ersatzschaltungen, Kettenleiter und periodische Strukturen

Lernzyklus 4.1

Lernziele

Bemerkungen Die Leitung soll bei i = 2 GHz betrieben werden. G ~ ~ ~ ~ ~ ~ I ~ ,qäherungsiösungen dem ~ ~ ~ ~ h ~ ~ b ~ i t ~ ~ d e s i e r n z y k l u s 4 . 1 soiien Sie in dar Lagesein. sind zuiässig. - einigewichtige Eigenschaften von Leitungsvierooien anzugeben: 2 EnlzerrungeinerLeitung

. - unterVemendung von ErSanSchaltungen mit konrentrienen Elementen Gegebenist eineLeitung mit den ~ a t e n : die (jbeflragungseigenschaften von Leitungen zu berechnen:

R ' = 10.6 Rlkm. G' = 0.63 ~ S l k m . - die e , e ~ b c h kuneiejtong. L.ängsspannung und Querstrom zuerläutern: L ' = 0.63mHlkm. C' = 38 nF1km.

Die Eingangsspannung wird gebildet aus der Summe we ie t Spannungen gleich& - =in ~e~~~hnungsve r fan ren anzuwenden. das bssondersgeeignef

Ampliiuds mltaen Frequenzen I , = 1.8 k ~ z und f, = 2.2 HZ die ~~~~~~~~h~~~ mehrerer hintereinandergeschalteter Vierpole ist:

a) Bestimmen Sie die Ausbreitungskonstante sowie die Phasengeschwindigkeit fiir - berechnen, in denen mehrere gleichanige Vierpole hintereinanoer die Frequenzen I, und C! geschaitetsind.

b) Mit welcher Geschwindigkeit breiten sich die Knoten der Schwebung aui der Leitung aus?

C) Weiche Eiganschaf:en mufl ein Entzerrer besitzen. der die Verzerrungen intoige untemchiedilcher Dämpfung und unterschiedlicher phasergeschwndigi<eit be. Seitigt? (Angabe ie 1 km Leitunosiänoe.1

~ ~ - " , d) ~ u r c h Änderung der Daten der Leituogsbel6ge besteht theoretisch die Mögiich-

keit die Leitungverzerrungsfreizu machen. Weiche L.ösung ist praktischsinnvoll?

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r Emstrschaltungen. Kettenielterund periodische StruMuien

4 Ersatzschaltungen, Kettenleiter und periodische Strukturen

4.1 Al lgemeine Leitungsersatzschaltungen

Bezüglich der Klemmenpaare am Anlang und Ende bildet die elektnrche Leitung einen Vierpoi Dieser Vierpol ist Passiv, d.h., erenthält keine Energiequeilen. Er ist linear, solange die Feldstarken in den Grenzen bieiben. für die LeitungsstrOme nach dem OhmschenGesetz fließen, und im lsolierstoff zwischen den Leitern kein elek- trischer Durchbruch eintritt. Außerdem ist der Vierpoi reziprok, denn Leitungen bestehen normalerweise aus isotropn Stoftsn mit iichtungsunabhängigen Eigen- schaften - also skaiaren Stoffkonstanten r und F. Leitungsvierpole mit homogenen Leitungen sind auch immer richtungssymmelrisch. Wie alle Vierpole dieser AR Iäßt sich auch der Leitungsvieipoi durch Ersatzschaltungen aus konzentrierten Schait- eiementen- aiso Widersländen, Induktivitäten und Kapazitäten - darstellen. Solche Ersatzschaltungen sind in mancher Hinsicht nützilch. Es können mit ihnen Leitungen nachgebildet und 2.B. die Le~tungseigenschaften an diesen Ersatzschaltungen Studien werden. Andere physikalische Ausbreitungsvorgänge, für dte die elektrische Leitung selbst nur ein Modeii i s t können dann auch durch diese Enatzschaitungen dargestellt werden. SchiieRlich kann aber auch umgekehrt die Leitung als Modell für andere Vierpoie benutzt werden.

Symmetrische Vierpole lassen sich auf einfache Weisedurch ii- oder T-Schaltungen darsiellen(Bild 4.1).

Bild 4.: Allgemeine Eeakschaltungeo iiohlungsymmtrischerVierpole

4.1 Allgemeine

Für die n-Schaltung nach Biid 4 . l a ist der Zusammenhang mischen Spannung und Strom am Eingang und Ausgang:

Die Leitungsgleichungen lauten:

= . coshyi i Z . ! . sinhyl

U I, = J. . coshyi + k. Z sinhyl

Die ndchatung wird zur Ersatzschaitung für die Leitung. wenn die Koeffizienten der Koefiizn

Vierpolgleichungen mit den Koeifizienten der Leitungsgleichungen übereinstimmen. wenn also

I Y coshy1= I + ?

z . s inhyl = Z,,

Z

ist.

Fürdie Elemente dern-Schaltung ergibtsich daraus:

~ ü r die T-Schaltung nach Bild 4.lb gelten entsprechende Uberlegungen. Auch mit dieser Schaltung kann die Leitung nachgebildet werden. Die Elemente der T-Schal- tun9 müssen dazu entsprechend

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gewählt werden. Diese Formeln sind zii den Formein fOr die Elemente der n-Schal- tung dual. So ergibt sich aus der Formel für den Längswiderstand der n-schaltung der Ouerleitwert der T-Schaitung. wenn Z durch 11Zersetzt wird. tbenio folgt der Längswiderstand der T-S~halturg aus der Formel für den Querieitwert der ll-Schal- tung, wenngleichfailsZdurch 11Zersetzt wird.

Zu beachten ist. dsß die Scheinwiderstände und -1eitwerte beider Ersatzschaltungen über Z und y in transzenaenter Weise von der Frequenz abhänaen. Es ailt darumfnr

~~ ~. eine bestimmte Leitung bei jeder Frequenz ein anderes irsatzschaltbild. Das

Frequenz~bhangigkeii Frequenzverhaiten von Z„und Y,,, läßt sich allgemein nicht durch konzentrierte Schaltelemente nachbilden.

4.2 Nänerungsweise Ercalzschaltungen für kurze Lei tungen

Für genügend kurze Leitungen lassen sich Ersaizschaltungen angeben, die zuch das Frequenzverhaiten richtig oeschreiben. Als kurzwerden hier Leitungen mit

,.EIel<trische Lange" y . i l S l 14.4)

Mzeichnet. Es nandelt sich dabei um elehirisch kurze Leitungen. Die Bedingung 14.4) kann durchaus noch lür geometrisch sehr lange Leitungen erfj i l t sein, wenn nur die Phasenkonstante genügend klein ist. Für die Energieübertragung in der Stark~tromtechnik sind die Frequenzen immer so niedrig (25 bis 60 Hz), daß auch I Y / immer sehr klein ist. Bei diesen Fiequenrsn sind die Leiturgen eiektriscn immer kurz, selbst bei großen geometrischen Längen.

Unterder Bedingung (4.41 werden die HypcrbelfunMionen in den Gin. (4.2) und (4.3) durch wenige Glieder ihrer Potenzreihen gut angenähert:

Y1 1 tanh- = -. .,I - L. ( 2 2 24 ''I'

Die Elemente der n-Ersatzscnaltung DesUrnen sieh damit nähemngsweise zu

(4.5)

und llaherun,

Bei Veina~hläs~igung der Glieder von dritter Ordnung in der kleinen Große ;,l gilt aiso für die kurze Leitung die n-Ersatzrchaitung nach üild 42a. Dieses ist eigentlich Rockblicb

die Ersatzschaltung. die wir für ein infinitesimal kunes Leitungsstück angenommen und auf der wir die Leitungstheorie aufgebaut hatten. Mit den Gin. (4.5) und (46) können wir jetzt feslsteilen, bis zu welchen endlichen Leitungsiängen die Ersatz- schaltung des infinitesimal kurzen SLückesGüitigkeit hat. DieGlieder

1 1 - . f . 1. bei Zn und - . P . !' bei Y, 6 12

KoireMurg!ieder dar; mit ihnen kennen die Fehler dleser Naherung abge- schetrl werden.

X> 2 - i'i - R'i R ' ! L'! - -

a) n-scnaltung b) T.Scnaltung

Bild 4.2 Eisalzscneitungen (ur kurzeLeitungen

Fijr die T-Ersatzschaitung gelten enlsprechende Oberlegungen. ihre Elemente sind für kurze Leitungen n8herungsweise:

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4 Esatzschaltvngen. Kenenieiter und PeriodischeStrukturen

Vereinfachung der Leifungsgleichungen

Die kurze Leitung hat also eine T-Ersatrschaifung nach Bild 4.2b Furkune Leitungen im Sinne der Bedingung (4.4) lassen sich auch die Leitunqsoieichunaen verein- - - - fachen. Wenn die Hyperbelfunktionen durch die ersten Glieder ihrer Potenzreihen angenähert werden, ist:

- 1 % Wennschiießiich euch noch L gegenubereinsvernachl&sigtwird, ergiotsich 2

U = U. + j. . (R' i + i w L ' l )

La - J. + U, - ( G ' / + iwC' I )

ae ce':ne.g e-?en'ag.ng n Cer Stai*rfiomte?nn 6 oescnre ien n C ~ P G e cn.nge7 u C p.dd seien Ve1i2 tn sse last mmer gen-gena gena. ha:n men Jnierrcne cei sich die Anfangsspannung U. von der Endspannung U. n u r um die sogenannte Längsspannung!. . ( R ' I + jwL ' l ) , dh . um den Spannungsablall des Endstromes am Längswiderstand der Leitung. Der Anfangsstram 1, unterscheidsr sichvom Endstrom !. um den sogenannten Querstrcm U.. (G:( i jwC'11. d.h. um den Strom. den die Endspannung durch den Cueileitwett der Leitung tretbt.

4.3 Kettenleiter

Ein Kenenleiter en!steht, wenn mehrere Vierpole hintereinandergesehaltet werden (Bild 4.3). Sind aiie Vierpole gleich. so ist der Kettenleiter homooen. Sind die einzel- nen Vierpole auch noch richtungssymmetrisch. so bilden sie einen ricntungs- symmemschen Ket:enleiter. Es sollen hier nur richtungssymmetrische und damit homogene Kecenieiter betrachtet werden.

Ebenso wie eine Leitung durch eine Yierpoi-Ersatrschaltung dargestellt werden LeitungstaitVisrpol kann. kann umgekehrt jeder richtungssymmetrische Vierpai durch eine Leitung

ersetzt werden. Ist der Vierpol durch seine n-Schsltung gegeben (Bild 4.1 a), dann e.rechnen sich aus Gi. 14.1) dieDaten der äquivalenlen Leitungzu

ist der vierpol durch seine ~.scha!fvog gegeben (Bild 4.1 bi, dann sind die Datender äguivaienten Leitung

Z Y coshyl = 1 +=

2 (4.11)

Die Daten der äquivaienten Leitung können schließlich auch durch Messung oder Berechnung der Kunschluß- und Leerlaufwiderstände am Vierpol selbst bestimmt werden. Dabei gelten wieder die Gin. (2.16). Der Vierpol wird durch das Über- lagungsrnaß

der äqunalenten Leitung und ihren wellenwiderstand Z vollständig charakterisiert.

Werden in einem Kettenieiter nun mehrere Vierpole hintereinandergeschiltet ( ~ i i d 43). SO besteht das Leitungsersatzbiid aus einer entsprechenden Kaskaden- schaltung von mehreren identischen Leitungen (aild 44). Dem Kenenleiter m!t n Gliedern entspr!cht also einfich eine homogene Leitung mit n-facher Länge der ErSatziettUng für den einzelnen Vierpol in der Kette. Für die homogene Leitung sind Strom und Spannung am Anfang und Ende durch die Leitungsgleichungenverknüpn.

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4 Eisamchaltungon. Kenenleiter undperiodiscnestruinuren

Mit dem Ubertragungsrnaßg nach GI. (4.121 iauten sie:

U. = U. . coshng + 1 . Z - sinhng

U 1 = !. . coshng + L. ~ i n h n g -Z

0 eses Sina D e i<ettenleltefgieicn.ngen Ci e 6ers:nn-ng Oer I Senscnalrer 10,

Xe7er e lern st a e n ! a.1 3 e eerecnr-rg . 5 i 2 1-ngen ;.--c<gel~nn

Ausbreitung irnKeWobirer ES gelten für Kettenleiter die gieichen Gesetze der Wellenausbreitung wie IYr Leitun- gen. Allerdings kann man diese Wellenausbreitung nicht kontinuierlich wie auf Leitungen beobachten. sondern nur in disketer Weise an den Klemmenpaaren. welche den Ausgang eines Vierpols mit dem Eingang des folgenden verbinden. An diesen Kiemmenpaaren iäßt sich aber die Spannungs- und Stromverteiiung und damit die Uberlagerung von vor- und .ücklaufenden Wellen ebenso feitsteilen wie auf Leitungen. Auch sle lassen sich mit den Kettenleitergleichungen berechnen. Ahniich wie bei Leirungenwerden Spannungen, Ströme und Widerstände auch durch den Keitenleiter lransformiert.

4.4 Wellenfi i ter

Eine ,&rchtige Anwendung findet die Kettenieitenheorie beim Berechnen u n d Ent- Veden von Filterschaitungen, die aus mehreren gleichartigen Filtern in einer Kette bestehen. Zur Erzielung einer guten Siebwirkung werden in Weilenfiltern oit viele gleichartige Reaktanz-Vierpole hintereinandergffichaitet. Sie bilden dann einen Kenenleiter. ,

Beispiel Wir befrachtenais einfaches Beispiel einen Tiefpaß aus LängsinduMivitäten L und Qwrkapazitäten C (Bild 4.5). Ein elementarer Vierpol dieser Kette ist die n-Schaltung in Bild4.6.

I

Bild 4 5 €in hcrnageoer Ketteoleiter aus ~ e a ~ a n z e n bildet ein Wellenfiiter.

Esergibt sich ausdem Vergleich mit Bild 4.1 a

Gemafl GI (4 10) sind damit dasubertragungsmafl deselementaren Vierpols und sein Weiienwideratand gegeben durch

Trennt man dasUbenragungsmaßnach Real- und lmaginarteil

wobei a Gi. (2.4)

Dämplungsmaß und b Phasenmaß genannt werden. dann erhält man aus

1 cosha - cosb + i . sinha sinb = 1- -.d. LC. 2

Der Realteildieser komplexen Gleichung ist

1 cosha. cosb- = 1 u 2 . L C

2

und der lrnaginädeii

sinha. sinb = 0.

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Diese Gleichungen werden entweder durch

t a = 0 cosb = 1 - 1 . W. . i c (4.15) 2

Oampru"grman a Oderaurch

i D~rchlaflberech

b = nn cosha = ( - I ) ~ I I -1. L C ) \ 2

(4.16) - r n i ! n = D l , 2 . 3 ,... 2 .-

"iB erfüllt.

Der trigonometrische Kosinus ist dem Be'rage nach immer Meiner als eins; der hyperbolische Kosinus istdem Betiagenachimmergraßer sie eins.

Für / 1 - 'I, - W' - LCJ C 1 giit darum die L6sung (4.15), für '/, W' LC > 2 aber die Lösung (4.16) mit n = 1. Die Lösung (4.75) giit aiso lüi den Frequenzbereich O C w C 2l)rLT. In diesem Frequenzbereich ist nach den Gin. (4.13 dasOämpfungsmaß Null.

Dieser Frequenzbereich wird darum Durchlaßbereich genannt. Die Lösurig (4.16) giit iür 2 i v E C W C -: d e Kette hat hier eine mit der Frequenz standig zuneh- mende Dampfung. DaTurn wird dieser Frequenzbereich auch Sperrbeieich genannl. Die FrequenrcharaMerislik von DBmpf~ngs- und Phasenrnaß im Durchiaß- und im Sperrbereich ist in Biid 4.7skiuien.

Um den Veriaut des Phasenmalies b im Durchlaßbereich zu ermittein. wird die entsprechende GI. (415)folgendermaRen umgeschrieben:

Daraus ergibt sich IUr das Phasenrnaß im Durchlaßbereich die folgende Frequenz. Charzkteristik:

. > ,. ,.. . . .,."., . -.. . . . "-~.l--,..-I.. . ..- ..., .- ;. ; . . . . , . pnarenmn 6 = T , 3,cS:n - v'LC . : : , ; ... . : .. ., - .. .

.. . . . . ; 2 . . . . . .. . .-.- -..< . , . : : . . ,: - ..-I. . . , . . . . .*- L .*..? .

J r i ctii ver a.: oer 3arnpl.ngsmales a n Sperioe-eicn I . e r n [:ein wie a e entsprecnanae 2.. (C 16) n anni cne. helse .mpesrnr.rFen

I - W

Bild 4.7 Oirnplungs-, Phasen. und WellenwiderstandscharaMeeisIikdes einlachenTiefiasses

Wenn diese Beziehung nach a aufgelffit wlrd. ergibt sich foisende Därnpfungs- charakteristik irr Sperrbereich:

oer Wellenwiderstand ist nach GI. (4.14) im Dunhlaßbereich rein reell; das Wellen- fiiter hnn ieisluno aufnehmen und sie verlustlos übertraoen. im Soerrbereich ist der Wellenwiderstand rein imaoinar Das Wellentiller kann in diesem Bereich !Wne -. . . ~ .~ . -. ~ ~

.e<st.og a~ ioennen 0 e Pnase les h e enn :ers:2nds r! n S~er.Dereicn ep&- l i. arnn oo senr nonen ~req-enze, s: a e O.er*apaz lB1 C 2 am E.ngang aos i i -G eaes in Biid 4.6 maßgebend

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Obungsaufgaben zum Lernzyklus 4.1

ohneunierlagen 1 Ein Leitungsvierpol ist normaierweise passiv. linear. reziprok und iichtiings- symmetrisch. Eriautern SiedieseBegriffe!

2 Zeichnen Sie die ailgemsinen Schaitbilder einer n- und einer T-Schaitung !

3 Welcher formelmäflige Zusammenhang ist gleichbedeutend mit der Aussage: die Leitung ist elektrisch kurz?

4 Wie breit ist der Frequenzbereich, in dem eine Ersatzschaitung mit konzentrierten Eiementen für einen Leitungsvierpol genau giir?

5 Wie groflsind Längsspannung und Queritram eleklrisch kurzer Leitungen?

7 Wasversteht man unter dem tibeitragungsmaß einesvierpols? W e nennt manden Realteil und wieden imaginärteildes Übertragungsmaßes?

8 Was ist ein llefpaR? Wie nennt man seine beiden charakteristischen Frequenz- bereiche? Wodurch unterscheiden sich die Realteile seines Wellenwiderslands in diesen Frequenzbereichen?

untarragen gas,aliet 9 Gruppenlaufzeit e inesT le fpa~~es Berechnen und skizzieren Sie für einen verlustlosen Tiefpaß nach Bild 4.5 die Gruppenlaufzeit je Glied in Abhängigkeit von wlß>,m(t W , = 2 / G = 2 s - 10's-'. Vergleichen Sie die Gruppenlaufzeit aes Tiefpasses mit der Gruppenlaufzeit einer ~eriusIloSen Leitung. die dem Tieipaß bei niedrigen Frequenzen äquivalent ist;

Lernzyklus 4.2

Lernziele

Nach dem Durcharbeitendes Lernqklus4.2sollen Sie in der Lagesein,

- das Theorem von FLOQUET" anzugeben.

- die Hilische Differentialgieichung und die Ha~~i~u.Gleichung" niederruschreiben sowieden Zusammenhang mit den Lsitungsgleichungen fü r periodische Strukturen zu eriäutern:

- das Stabilitätsdiagramm der Mar~i~u-Gleichung zu skizrieren und im Hinblick aui die Übertragungseigenschaften einer perladischen Strukturzu erläutern;

- die Inte*erenzerscheinungen bei der B~w~~- f l e f i ex iOn zu erklären;

- LU beschreiben. wie die Breite von Dutchlafl- und Sperrbereichen bei sich periodisch ändernden Strukturen von der Stärke der Schwankungen abhängt;

- die übertragun~seigenschaftenvansich periodischschwach ändernden Siruhturen zu bstechnsn

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I Ersatrschaltungen, Kenenleiter und porlodissheStrukiuren

4.5 Periodische StruMuren

Der homogene Kenenleiter stellt eine periodische Struktur dar. in der sich die Eigenact,aften von Glied iu Glied genau wiederholen. Periodische Strukturen kommen in der Eieicrotechnik aier nicht nur in Form von diskreten gleichanigen

Beispiele Vierpolen vor. die htereinander geschaltet sind, sondern allgemeiner noch in verteilter Form als inhomogene Leitungen oder Wellenleiter. deren Eigenschalten sich in AusbreitunasrichrunQ der Weilen Defiodisch ändern. Darüber hinaus be- scraltgl s cn 1 e Pn)s * n I oer AAsDrclt.ng ion e e n r o n a ~ n e l scren .no enoeren .V, en n Meoieo nil raLn i :n perloo srnen cgenscnaren D=. genorsn .. c l t - i no mechanische Schwingungen in Kristallen. Auch der Leitungsmechanismus von Kristallen ist auf Grund der Wellennaturder Materie ais ~ u s b r e i i u n ~ von Eiektronen- weilen in periodischen Strukturen zu verstehen und zu erkiären.~.

Die allgemeine Kettenleitertheorie beschreibt zwar bei allen diesen Ausbreitungs- wrgängen die grundsätzlichen Erschenungen; um sie aber im Detail quantitativ au~z~wecen . muß man die den Ausbreitungsqasetzen ruqrunde iieaenden Gieichun- . . gen ~ n t e r aen RanoDoolng~ngen oer eae 1 ge- per oo scren 9r.d.r risen Se oen r earornagne ccron t ~ e en nario; I -5 s cn OaDe ~r o e -0s-ng a e i -e agl? :rm. gen .nJ oe Oe, ne len a*' eiennscren -e'.nger scga' nur .n oie DIlerenl a . gleichungen der Leitung

Bevor wir aber diese Differentialgleichungen für sick periodisch ändernde Leitungs- beiäge ins Augefassen, woiien wir ein allgemeines Gesetz für Wellen in periodischen Strukturen besprechen, das schon unnittelbsr aus der Kettenleiteriheorie zu er- kennen ist.

Wir nehmen an; daß V(=) die Spannungsverteilung einerwaiie ist, die auf der in 2-Richtung sich periodisch andernden elekirischen Leitung in positiver z-Richtung wandert. Aus der Kettenieitenheorie folgt. daß sich die Spannung von Periode zu Perlode nach Maßgabe des Überiragungsmaßes g = yp nur um den Faktor exp(-g)= exp(- yp) ändert

Dabei istp die Periodeniänge. Es gilt also das Theorem von FLOOUET:

Daraus folgt aber auch. daß

e " ( z - ~ ~ g ( z + p) = evU(z)

eine periodische Funktion von z ist. die sich in eine Faurierrsihe entsprechend

entwickein iäßt. Infolgedessen wird

Urne-imz ",--=

mit .,, = 7 + i2mxip.

Die ~Veile erscheint danach als elne Summe von cnendl;ch vielen Teilwellen mit A~sbreitungskomtanten I , . Die Teiiweiien existieren aber n ick unabhangig von- einander. sondern gehbren als Glieder einer räumlichen Fourierentwickiung aile zu einer best~mmten Wei;e aul der pedodischen StruMur. Sie werden darum auch Raumharmonische dieser Welli genannt. Nur alle diese Teilweiien zusammen erfüllen die Randbedingungen der periodischen Struktur.

Sie breiten sich auch aiie mit der gleichen Gruppengeschwindigkeit aus. Das erkennen wir am einfachsten, wenn wir Welienausbreitung ohne Dämpfung an- nehmen, a!so ? = jB setzen, und iigendwelche Verluste vernachlessigen Dann erhalten wir zwar für die Poasengeschwindigkei1 der einzelnen Teiiweiien ent- sprechend

W ",=L=- 2mn

(4.20) ß, B + - P

verschiedene Werte, die Gruppengeschwindigkeit ist a3er entsprechend

Während also die Gruppe als Ganzes mit einheitlicher Gruppengeschwindigkeit wandert. laufen die einzelnen Teilwellen mtt ganz verschiedenen Phasengeschwin- digkeiten. Teilweilen der negativen Ordnung m < - ßpl2n laufen mit ihren Phasen sogar enrgegengesetztzur Ausbreitungsrichtung der Gruppe.

Jm n.n 2. .nrers.cnen n e l o e A-rore t.ngs*anstan:e. sicr 1.r 1 e q a v e Gi.ppe ascecn~:

erg.01 .IIO yrco cnre ua.mnarmcn scnen s.no. lassen w t r e neeenr s:re -et.ng -

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4 Em~tZSChaIIUngen, Kenenleiter UndpenodischeStruMuren

ins Auoe. deren Eioenschalten sich oeriodisch mit z Bndern. Der Lanosimoedanz- - . - , belag Z' = R' + j;L' ebenso wie der ~ueradmittanzbelag Y. = G' + i o C ' sind dann ebenfalls periodische Funktionen von 2. Um das gekoppelte System (1.2) von gewöhnlichen Differentialgleichungen für Spannung und Strom im eingeschwunge- nen Zustand zu lösen, differenzieren wir die erste dieser Gieicnungen nach r und Setzen von der zweiten ein:

Hie: wollen wir nun der Einfachheit halber annehmen. daßZ' sicn nur so wenig oder ~ . , i ~ ~ ~ ä ~ d ~ ~ ~ ~ m langsam mit r ändert, dsR wir in der Differentiaigleichung zweiter Ordnung das

Glied mit der ersten Ableitung von vernachlässigen kännen. Wir erhalten dann die Wellengleichung

für U. in der aber oer Koeffizient Hizi = Z'V oeriodisch von z abhänat. Eine . . 9~ l l e ren taqe cn.nc, 0 eset A? mit )er 00 scn b a r ao.em i<oell i en:en ne O: n I.sC.r6 D.llaienl,a.ge!cnung S.e nat nacn oen Peorem .on =.aa,E- J 17) -os.ngen aer Form (4.18). Um diese Lösungen zu gewinnen. geht man von GI. (4.18) als Ansatz aus. denman in GI. (4.22)einführt. Auchdieperiodis~heFunMion H(=) = Z'Y' entwickelt man in eine Fourierreiheder Art

undsetzt sie ebenfalls inGI. (4.22)ein.

Lösung Nachdem man in GI. (4.22) auf der linken Seite die Fourierreihe für V(z) zweimal giiedweidenach r differenziert hat und auf der rechten Seite die Reihen für g(z) una Z'Y. miteinander muitipiizien hat, gewinnt man aus dem Koelfizientenvergieich der Terme mit deichen ExoanentiaifunMionen von z ein lineares Svstem von ~ le i chun - Sen ',r Oie Soann-nqsroeffzen~en ., Oer Te1re.m Das S,stern st nomogen aam t es e na n cnllnrla<e - o s ~ n g na- m-ß se ne ><oe~I.z~en~eroeleim nanle ,ep. rcna noen 3 ese 3ec ing -n~ l.r 0 e <o?lf z enlenaete-m nanrestei t 0 e s c ~ cnarar- tetistische Gleichung oder Eigenwengleichung dar. Sie ist 'eine Bestimmungs. gleichung für die noch unbekannte Ausbreitunoskonstante y. DerWert für?. der sich 2 ~ s aer E qe?nenqle in.ng e q o ! ne )I a.cn Egenwen aes Pro0 ems Er o Oe! 0 e A.soreil.ng?ronsrenle aer scq. E gerwelle oer perioa scnen Sir-nt-r oei We r nSm C ? . o e acr Str.4.r e S i n st. ~ i o *:cn a-1 .n, $0 aJsoreier. oa3 s.cn Oe Spannungsverteilung von ~e r iade zu Periodewiederholt und sich dabei nur um einen kunstanten Faktor ändert. so wie es das iheoramvon FLaauET in GI. (4.17) aussagt.

Praktisch stößt man bei aer Auswertung der charakteristischen Gleichung und der Aosvsni Lösung des linearen Gloichungssystems für die Teilwellenspannungen U, unter Umständen auf Schwietiakeiten. Das Svstem hat oenau oenommen unendlich viele j eacn-rgen 1-'eoenso rele Sparn-nqsrrieffiz eni?n , -.r n.rnePscre -0rLngs- .erlanien m.ß man s cii anar 3 .: e ne end1 cne Zan ron 5 atcn.nqen oescnrm,eii. Oabai muß man iedoch alle Teilsoannungen berücksichtigen. dieso groRsind, daßsie .sich in der ~esimtsoannuno.noch bemerkbar machen. Man muß dann mit ebenso . e en G e cr-ng?n n oem inea.en Sysism recnien rti.nver ronrerg,eien a e 3e.nen n cnt senr q.1 so ca3 a.e iio en no:rendiperi i. eoer 1. e nerr en:spre:nend umfangreichen Gleichunqssystem führen, dessen Lösung lange RechenZeiten braucht.

-rn 7.r a e fiese?!! cnen -I genscnaken .on Ne. en n Per oaiscnen Srr-nl-'en 2 - e5rcr.r- .n<eis.cnen. #oien uir -ns 0ai.m a"' socne ~~~~~~~ngen \on lomoqenen ;ir-*,Uren o*scnran*en. ole s cn n <oelt.zen:en oer r lscnen D Iierent'a~giecr.ng durch eineeinfacheSinusfuni<tionschon erlassen lassen

In der Wellengleichung (4.22) folgt für homogene Strukturen aus dem Koeffizenten Z ' u ' die Ausbreitungskonstante y = \/P. Bei ungedämpfter Weilenausbreitung auf verlustlosan Strukturen ist die Ausbreitungskonstante rein imaginar also 7 = jß, so daßsich die Phasenkonslanreergibt aus:

3ei periodischen Änderungen von Z' und V schwane nun auch p' periodisch. Wir ml ien von dieser Schwankung nur das erste Glied der Founerentwicklung berüak- sichtigan, als0 mit

p2(z) = ß$ + 2c cos(2p1z) (4.24)

rechnen.

Dabei liegtp, entsprechend

8, - ? P

durch die Psriodenlänge p der Schwankung lest

Unter diesen Bedingungen folgt aus der Wellengleichung (4.22) für die Spannungr- ieneilungfoigende Differentialgleichung:

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4 Ersatlrchaitungen. Kensnleiterund psriodischeSirukturen

Mit einer Tmransformation der unabhlngigen Variablen entsprechend

Z Z V = ß,z = - P

(4.27)

und mit den Substitutionen

S b = O q = - L 3, B: (4 28)

geht diese Differentialgleichung über in;

dZU - t (b' - 2 q . c o s ( 2 v ) ) ~ = o d v2 (4.29)

Das st o e :orna lorm >er sogenannten Mnrn 5.-Gieichuog. 3ei iee 'en ihenen 1.r 3 .no 3 n i o r n nre -Cs.riqsn .on Perooe 2- Pe' oae enineaer oen Cnaranter e ner .ngeoamPitzn I \e .e ooer oen slnei iper.oascn exponan! e. ;eoalrpl:en Vene -ng

m ers;en Fall ist der komplexe Faktor expl- p) im Theorem von FLoauu (4.17) vom Betrage eins. y ist rein imaginär (y = iß). so da0 exp(-jßz) nur eine Phasendrehung bedeutet. Der Bereich für diese ungsdampite Welleniösung ist der Durchiaflbereich.

ariskb!isk wie wir ihn auch am Beispiel der Tiefpaflkette beobachtet haben.

im anderen Fall, nämlich der aperiodisch gedämpften Verteilung, ist exp(- yz) rein reell und kleiner alseins; auch t ist dabei rein reell.

Diese Losung liegt im Sperrbereich der periodischen Struktur

Das sog. Slabilitätsdiagramm der MATHIEU-Gleichung in Bild 4.8 zeigt ais FunMion von b und q Oie Grenzen zwischen DurchlaO- undsperrbereichen als durchgezogene Linien an. Auflerdem sind in diesem Diagramm gestrichelte Linien für konstante Werte der auf ß, =?/P bezogenen Phasenkonshnte

V = & - lürdie Phasendrehungpp pro Periodeim Durchiaßbereich eingetragen.

in den ~beirbereichen zeigt das Diagramm strichpunktierte Linien für konstante Werte des Dämpfungslaktors

3 = exp(ap).

Die Größe a p = ins stell: das Dämpfungsmafl pro Periode der Struktur m Sperr- bereich Bar.

Bei Änderungen der Frequenz ändert sich von den Parametern in der Marki~u- wach Gieichung in erster Linie o und zwar wegen ß. - proporüonai zu o. Man Dewegt sich dabei also paailei zur b-Achse auf vertikalenGeraden. Sehr kleine Werte von - q nahe der uertikaien b-Achse des Stabilitätsdizgramns bedeuten, dafl die Struktur durch periodische Schwankungen kleiner Amplitude nur schwach gestön ist. Steigen man bei so schwachen Störungen die Frequenz angefangen von o = 0, so durchiä~ft man nahe der b-Achse zunächst den ersten Durchlaßbereich und stößt dann bei b = 1 durch die Spitze des ersten Sperrbsreiches. Weitere Sperrbereiche b p e loigen bei b = 2, 3, .. m ...

Bei diesen damen Zahlen m für b ist nach GI. (4.28) die Weiieniange i, = 2;1iß, aul der homogenen Struktur gerade das (1lm)-fache der doppeiten Perioaenlänge Umgekehrt ausgedrückt liegen bei schwachen periodischen Störungen Überall don ~perrbeaiche, wo aie Periodenlänge nahe einem ganzen Vielfachen der halben Wellenlänge ist.

Physikaiisch zu erklären sind diese Sperrbereiche mit den Reflexionen. die eineweile ~ r k i ä r ~ der homogenen Struktur an den periodischen Störungen eriährt. Die periodischen Störungen folgen im Abstand paufeinander.

Die Reflexion einer Periode ist darum gegen die Reflexion von der nachstioigenden Periode um 28,p inder Phasegadreht. Wenn 2ß,r> = 2mn ist oder

sind alle Reilexianen in Phase und interlerieren konslrucfiv miteinander. Wie klein auch immer die Reflexion der einzelnen Periode unter diesen Bedingungen. wenn nur die periodische Struktur genügend lang ist. baut sich schiiefllich eine so hohe Gasamtrelie~ion auf, dafl die StNktur bei desen Wellenlängen sperrt. Nach dem Physiker BPAGG. der aufgrund dieses Effekes als erster die Kristallstruktur mit Röntgenstrahlen untersuchte, nennt manden Vorgang auch snaoc-Reliexion.

Bei stärkeren Schwankungen der periodischen Struklur im gröneien Absrand von der Srarkere b-Achse des Stabiiit8tsdiaqramms verbrsilern sich die Sperrbereiche auf Kosten der Durchlaßbereiche. bis schliefllich angefangen mit dem ersten Durchiaßbereich ein Durchiaßberelch nach dem anderen wegschrumpn und die periodische Struktur nur nochsperrt.

Auforund der endlichen Däm~funq im Sperrbereich ist eine Dsriodische Struktur . . immer noch etwas durchläsria. Im allaemsinen ist sie aberauch m Durchiaflbereich ..... .. . . -~~ --

nie gant durchlässig. Nur wenn bei-einer Frequenz im ~urchiaßbereic'h die peri- odische Struktur auf beiden Seiten an die vorhergehende und nachlolgende Struktur

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a!s wep .u>apue wes~ue! os ~nu z jliu laqep qqs a.ilaa aiq! pUaJrl$M 'QrPLld iap U! 6Unq~!~1~n31~~v~lapwiuei6e!~slel!lo~ls a'v D1!8 5uwaueN llauqJS os z i!w uaqaip lapa!lD uaiapue allw 6eil!ag ueqs~lluasan uau!a slqoai Pe!lD

awa sep inu jufialu! uasa!p nz lals!a! 'uauu1~a6 nz (r)bn un '~a~a!~Salu! z s6ue! IZC'P) .I= ua6unfiu!pas uase!p iepn ,!M uuam uaqwp z ,!U I!auqos iqas iaPa!lD b - I 0

uaiapue alle puaiqem 'uesfiuel slqou aisia sep ~nu ~qa~p 'ls! '$ = uUaM 4

'uaqaip aseqd iap U! IlauyDs ie6!uemiapo rqau z~w a!s a!p qoinp 'ialjeqaq su!a a6e~iag won ueuo!l -yun~!e!luauadq i!w alle puls 6unq~!a(~ laie!p aJ!@s ualqoar iap Ine iepe!lD e!a

„„J+ =)*P + l1.,#~,4 +i.#z!a)(z)Yn + (EC'P)

VZ ZP + (z(,dronzia +:i,d.~r!a)(d'~]~!- =

: uaswne qoeu as!ans~e!ds!aq pun uaiqniu!a(9~'~)'1~ u! (LE~.) m ZP

zresu'v uap >!M UU~M 'ua)!eq~a pun ua6!sse1q3eudan PU^ * wnl"'"P

usuuqq ,(M .uiepue ri!w wenovel inu (z)'ii pun (r)% qqs wep '"auuoy UauqiaJ l!uJeP _-___----- 6unl!al uaua6ouoq iap mqnua6a6 6un>os uaqaeMq3s dap uafia~ ,!M !aqoM 'ue

rlesuv (LE'P) ~~~!a(z).n = .n pun ,oFi.a (r)q71 = un _____----- --- -____------ 9'1

91eqsap JIM ueaas in~n~ls ay$s!po!ied a!p 2nd (rV!)dxa 'fi '~zq (zog!-)dxa "E ua6 -un!!avansfiunuued~ ualla~ uapua)ne!y=n> pun ->On a!p uaueq 6un)!ai uaua6owoq Jap ~nv 'lqa6sne 6uni!al uaua6ouioq uapuaq~aidsiua dap uon alt 'q3in~ 6unuu~ai -sßunJolS au!a i!~ uadqg a!s dnj -uafiunyue~q>s uaqos!po!iad uaulaly inu 4!w uunlynils ine q~eqsap sun ,!M uayupiq~saq 'uau>a!nruauua>i aq3!11uasa~ sep wn

q~!!pue~suin lqoai daqe IS! (81'~) wioj iap uaq!ati uapuaia!6~anuoy wes6uel inu as!ahua!euriou sne 6unuqoa>ag aiq! 'ue!!alsJep uauo!iiluni-niiulv~ 1!u

Gun!!auanwoils pun -sbunuueds a!p q3!s "esse, 6unqo!a]~-nsin~aW a!p aqoaM Ini 'uainuniis uauisl~oiiad uon aiie-i uii 'uaouii nz uaiuaiziiiaorsuoikaiiaH Dun . - ..., , , - . . . . . . . . . . . . . - . aPueisiap!Mua!!aM sneJep un 'InWnJiS ueqis!po!iad iep 6uellue 6uni!avanuioils Pun -sfiunuueds a!P ueu iqoneiq 6unuq3a~ asa!p inj .iapuiMqoslaA uo!xa!$aH asa!P wep 'ula 0s '166 assiul!eqJa,% a!p lalqaj~ pun mjynas lap 6ue6u!3 we uo!xa!ia!d a!p

'njsedu< ueu lauq-aiaq 'uassednzue uam(yn,iS aqls!po!lad 'al!!auan q3!iia!nu!luox q3ne wn E

'uapiam igeda6ue auan lap u! sa!odia!/i 0

uau!aru!a sap puerslap!Mual!aM uap ue gnu u,e~ie/ua~jax uo~ uioj U! uunnnlls

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sich nie zu merkbaren Beiträgen zu &(z) aufintegrieren können. Es ist dann also einfach

ebenso wie

L!& = ,i'un(Z,e-ild. dz

1st. mit

, X = - G und 6 = ß o - 8 2W

Das System von Differentialgleichungen (4.33) und (4.34) verkoppelt die vorlaufende Welle der ~ntsrirechenden homoaeoen SouMur mit aer rucklaufenden. Ursache für diese verkoppiung ist die periodische Störung. an der die Wellen der homogenen Leitung fortiaufend etwas reflektiert werden.

Eine wesentliche Gesamtreflexion baut sich aber auf den Teilreflexionen nur auf. wenn P. = P , . d.h. 2+ = 2 p ist und deshalb die Teilreflexionen konnruMiv mit- einander interferieren.

Die Bedingung = 2p entspricht der B~AGG-Reflexion erster Ordnung in GI. (4.30); wir beobachten hier den ersten Spe:rbereich des Bildes 4.8 bei b = 1. Die BMGG- Reflexionen höherer Ordnung würden sich aus dem Ansatz (4.31) ergeben. wenn wir nicht 8, 2 ß, sondern 8, = m8, annehmen und bei der Integration der Wellen- gleichung nur die Reflexionsterrne berücksichtigen. die mi t? langsam in der Phase drehen. so daß sie durch konstruktive Interferenz wesentlich zur Geramtreflexion beitragen.

Dieverteilten Reflexionskoeffizienten jx in den gekoppelten Dilferentialgleichungen (4.33) und (4.34) für die Spannungen der vor- und rücklaufenden Wellen sind bei

MöaicheReailsisrcna normalerweise reellem x rein imaqindr. Das entsliricht 4anz den Verhäitnissen auf einer Leitung. die durch Blindwiderstände in gie;chen Abständen quer zur LeitÜng oder in Reihe mit den Leitern periodisch gestbrt ist.

Die Leistung, welche jededieser Weilen fühit, ist b w . F mit Zals z Wellenaidentand der entsprechendan homogenen Leitung. Aus den Gln. (4.33) und (4.34) folgt. daß

ist. die Leistung, welche die Wellen in einer Rchtung führen. also konstant ist

Damit finden wir den E n s r g i e e r h a i t t für dievoraussetrungsgemäß verlustlose StruMurbestätigt.

Zur Los~ng der gekoppelten Differentialgleichungen (4.33) und (4.34) gehen wir Ldsun!

zunächst gemaß

g,(z) = h(z)e.*' bzw. g,(z) = ~ ( 2 ) e - I * * (4.36) Wariaol

auf neue Variablen b(z) u n d ~ ( z ) über, für die sich aus den Gln. (4.331 und (434) die Differentlalglelchungen

ergeben. Dieses System hat im Gegensatz zu GI. (4.33) und (4.34) honslanre Kaeffi- u'vigen und kann darum mit dem i~ponentialansatz

h = h,e-nz , r = l i e - q Z (4.38)

geiöst werden. Es folgen mit diesem Ansau abs GI. (4.37) zunächst zwei, lineare homogene Gleichungen für h, und 1.. die nichnriviale Lösungen nur unter der Bedingung

,,> = 2 - 62 (4.39)

haben, undzwar lauten sie

Damitfolgt fürdieallqemeine Losung von GI. (4.37)

und die Spannungen haben. so wie sie als vor- und rücklaufende Wellen der ent- sprechenden homogenen Leitung definiert sind, die Form

U, = (h, e- nr + h, erz) e- l P i r

(4.42)

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i

:m .- 01

* E

.- C

.- m C

0

- - 0 F 5 01 iii 0 n

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ualai!eq~sa6>ap~eu!a~e1~1q sne uaqaisaq

1

.. . .. . . .. .. . U! Bun!duiep~JadS aiq2sunma6 e!p uew um>( sall!uqosqv uauoisa6 sap e6uei iari $!W 'iqoudslua 6uniois iap x > p > x- qqaiaquads wap apeda6 pueqruanbadj apuaiads n2 sep gep 'uessawaq OS !eqep PJ!m axiels aw! =!M osuaqa 6uni01s Jap a6ueluapo1~ad a!a 'ue6un11eu3s~ail!j U! arradspusg sle uaua!xal,at]-ow Jap puni6jne uaue!p 6uni!q uaua6owou Jauie a6nz w! ua6un~o1s aqss!po!lad Gunpusmup.

6eiiag uap uoou Inu JaqeioFyeisuoixaIiay lap Jeu 'u>!aiaqiiads won

qls!po!~ed sap uelle~ua6!5 a!p pun is! x < Ip/ o~'ilo!a~aqge!qolna U! isqleslaqv

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4 Enatzscoaltungen. Kenenleiler und periadischeSlruMureo I Ü b u

Ubersichtl iche Darstellung der Studieninhalte i : Theorem von F~oouEr U(= + P ) = e- ;Pg(z) C

übungsaufgaben zum Lernzyklus 4:2

I- darstellbar penadische Wellenausbreitung Strukturen

I bei geringen Anderungen von Z'beschrieben durch mit

i . . 1 gleicherGruppe"- ld geschwindigkeit

i Wie lautet d u mecrem von FLQQUET? Für weiche AR von Strukturen gilt es? 01

2 Mußeine Raumharmonische fürsich dieRandbedingungentürStrcm und Spannung auf einer Leitung ertüllen?

3 1st die Phasengeschwindigkeit der Raumharmonischen pasilivodernegativ?

4 Wie löst man ein homogenesGleichungssystem? Wie heißen diadabei auftretenden Gleichungen und Lösungmerte?

I wird bei sihsförmiger 5 Unterwelchen Einschränkungen Iäßt sich die Weilenausbreitung auf einer Schwankung zur periodisch gestörten Leitung durchdie MATHIEU-Gleichung beschreiben?

6 Bei weichen Wellenlängen liegen die Sperrbereiche von periodischen Strukturen? Durchlaßbereich MATIIIEU- verschiedener Phasen- Wie hängt die Bandbreite eines Sperrbereichsqualitativvan der Stärke der .

Gleichung J . L geschwindigkeit Schwankungen ab?

7 Bandsperre. Eine Leiterancrdnung für eine TEM-Welle soll durch ein in Ausbrei- Ur tungsrichtung i periodisch geschichtetes Dielektrikum mit r = F. - C,(=) zu einer Bandsperre gemacht werden. Gesucht sind für den ersten Sperrbereich die Minen-

können Stabilitäts- frequenii,, disnalbwertsbreite A I und der Betrag des Refiexionsfantors bei f = I, in

Sperrbereich bgelesen diagiamm Abhängigkeit von d e r Dielek?riritätszahl. der Periodenlänge p und der Länge 1 des

periodisch gestörten Bereichs.

treten auf im

B ~ ~ ~ G - R e f l e l i O n

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1 Ersamcndt~ngen, Kenenle!terund periodischeStrukturen

a) Es gelte für die Phasenkonstante ß = U$= Bestimmen Sie daiür aus dem skizzierten E,(*)-Verlauf mit einer Fourler-Analyse iür die Funktion P 2 ( r ) den arithmetischen Mitte1wertß;undden Koeffizienten der Grundschwngung Zc i Nehmen Sie im lolgenden an. daß die Rechnung mit dieser abgebrochenen Founerreihe genau genug ist!

0) Wie groß sind die Mittenfrequenz i, und der Betrag des ReflexionsfaMors in Bandmitte?

C) Bestimmen Sie nähemngsweise die Differenz A l der Frequenzen. bei denen der Betrag des Reflexionsfal<tors auf das 1lflache seines Wenes oei I, abgefallen ist!'

Hinweis SolCe thnen diffe Aufgabe zu rchrrieog erxMiwn, iJt das kein Giund zur Beunruhigung. VeriolgenSie dann den Rochengeng und dieErgebnissoanhandder Lesungen.

Aufgaben zur Vertiefung 4

1 Reoilslerung einer Leilungsentzerrung Oie Leitung i? Aufgabe 2 (vgl. S, 100) soll durcn Reihenschaltung von induktiyitSten zurcr,

L. in 1 km Abstandvenerrunqsfrei qemacht werden. - - a) aest mmen S.e ale Wene aie1.r a e ina..n.vtateo ~.genanlt nerien n.ssrn D) We cne GrenPreq.?nr erqiotsicn ,e e neraeraritqen D mens.on e r ~ n q g Jeweils 1-h-Abschnitte der Leitung können zurammen mit der komentrienen induMiuitAt als Hinwei n-odorT-Glied eines Kettanleiters 0etrach:etrerden.

2 Leltungsnachbildung Ein veriustloses Kabel [Z = 60 52. V =ZOO000 km/$. 1 = 100 m) soll durch eine Zurprd

Kettenschaitung aus I'-Gliedern nachgebildet werden. Oie Nachbildung i 1 so zu dimensionieren, daß bei niedrigen Frequenzen die elektrischen Eigenschaften von Kabel und Nachbildung übereinstimmen. Bei I = 10 MHz dürlen die Abweichungen des WellenwiderstandsmaximallO% betragen. a) Weichewenesindfür Lund Czu wählen? b) Wieviele Kettenglieder sind zum Aufbau der Nachbildung ertorderlich? C) Bestimmen Sledie Abweichungen im Winkelmaß bei 1 = 10 MHz! dl Die Kenenschaltuno zeiat das Verhalten eines Tiefpasses. Bestimmen Sie die -, - -

GrenrtrequenzdiesesTieipssses! e ) Bestimmen Sie die Wellendämptung eines Gliedes sowie der gesamten Kette bei

dem 1,2fachenderGrenzfrequanz!