À D'UNE MÉCANIQUEdu grade de Maître ès Sciences (M-Sc.) Département de génie mécanique...

NICHOLA DESNOYERS

A ~ R M A L I S A T I O N D'UN SYSTÈME DE

COLLIMATION À L'AIDE D'UNE COMPENSATION

MÉCANIQUE PASSIVE

Mémoire

présenté

à Ia Faculté des Études Supérieures

de l'Université Laval

pour l'obtention

du grade de Maître ès Sciences (M-Sc.)

Département de génie mécanique

FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE

UNIVERS^ LAVAL

JANVIER 1998

ONichola Desnoyers, 1998

National Library 1+1 of Canada Bibliothèque nationale du Canada

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AVANT-PROPOS

Je tiens à remercier mon directeur de maîtrise, Monsieur Augustin Gakwaya, professeur au

département de génie mécanique de l'université Lavai et mon codirecteur, Monsieur

Philippe Gagnon, chercheur au département d'optomécanique à l'Institut national d'optique

(INO) pour le temps et les conseils précieux qu'ils m'ont accordés tout au long des mes

études graduées.

De plus, je remercie le Fond pour la Formation de Chercheurs et l'Aide à la Recherche

(FCAR), l'Institut national d'optique et l'université Lava1 pour leur soutien financier. Ii ne

faut surtout pas oublier l'aide essentielle autant morde que technique que le personnel de

l 'IN0 m'a apporté plus particulièrement lors des moments difficiles.

Finaiement, je voudrais remercier mon amie Catherine et ma famille pour Ieur patience, leur

compréhension et leur encouragement qui fut primordial pour l'aboutissement de ce

mémoire.

Résumé ......................................................................................................................................... i

. . Avant-propos .......................................................................................................................... 11

. \ ..* Table des maberes .............................................................................................................. 1x1

Liste des figures .................................................................................................................... ix

................................................................................................................ Liste des tableaux xi

CHAPITRE X

INTRODUCTION

1.1 Problématique .............. ... .............................................................................................. i

1.2 Objectifs ............................................. ................................................................................... 3

1.3 Méthodologie ................. ... .............................................................................................. 4

CHAPITRE II

DESCRIETION DU SYSTÈME À ANALYSER

................................................................................................................. 2.1 Mise en situation 6

... 2.2 Méthodes d'amélioration de la stabilité thermique des systèmes optiques 8

2.3 Choix de la méthode de stabilisation ........................................................................... 9

2.4 Conception du système de collimation ...................................................................... 10 . . . .

2.4-1 Considérations prelimnaires ...........................~.............................................................. IO .......................................................................... 2.4.2 Montage des composantes optiques 1 0

2.4.2.1 Lentille collimatrice ............................................................................................. IO

2.4.2.2 Diode laser .......................................................................................................... 12

.......................................................................................... 2.4.2.3 Correction mécanique 13

CHAPITW?, III 16

MODÈLE THÉoRIQUE DU COMPORTEMENT THERMIQUE

DE QUELQUES ÉLÉMENTS DE RÉFRACTION

............................................................ 3.1 Rappel de notions d'optique géométrique 16

................................................................... 3.1.1 Calcul des points cardinaux d'une lentille 17

3.1.2 Calcul de la position de l'objet et de l'image d'une lentille et calcul du

................................................................................................................ grandissement 1 8

....*................. .........................................*......... 3.1.3 Relation entre divergence et défocus .. 19

............................................................................................................ 3.1.4 Calcul du sagitta 20

.................................... 3.2 Étude du comportement thermique des lentilles minces 21

....... 3.2.1 Variation de la distance focale d'une lentille mince en fonction de la température 2L

.................................. 3.2.2 Effet du changement d'indice de réfraction de l'air sur l'optique 22

3.2.2.1 Relation entre indice de réfraction du verre par rapport au vide et par rapport

........................... à l'air .. .................................................................................. 23

3.2.2.2 Variation de l'indice de réfraction de I'air en fonction de la longueur d'onde,

...... de la température, de la pression atmosphérique et de la tension de vapeur 24

3.2.3 Comparaison de la sensibilité des verres optiques aux effets thermiques ...................... 25

..................................................................................... 3.2.3.1 Température homogène 26

................................................................................ 3.2.3.2 Température non homogène 27

.............................................................. 3.3 Hypothèses du modèle théorique linéarisé 29

................................. 3.4 Étude du comportement thermique des lentilles épaisses 30

3.4.1 Calcul de la variation de la distance focale d'une lentille épaisse par rapport à ses

plans principaux en fonction de la température ..................... .. .................................... 30

3.4.2 Calculs de la variation des pians principaux d'une lentille épaisse en fonction de

................................................................................................................. la température 32

........... 3.4.3 Calcul du changement de focale d'une lentille épaisse par rapport à son centre 33

3.5 Effet de la fenêtre de la diode laser sur le parcours optique ............................ 35 3.5.1 Calcul de la différence de chemin optique d'une lame .................................................. 35

3.5.2 Variation du chemin optique en fonction de la température .......................................... 36

3.6 Influence de la température sur une diode laser ................................................... 37

... 3.7 Calcul du taux de changement thermique global de l'optique à corriger 38 . . . . ................................................................................................... 3.8 Application numerique 41

3.9 Validation du modèle théorique à l'aide d'un logiciel de conception

.................................................................................................................................. optique 42

CHAPITRE IV 45

COMPENSATION MÉCANIQUE PASSIVE

.......................................................................................................................... 4.1 Hypothèses 45

4.2 Calcul de la correction mécanique ............................................................................. 46

4.3 Choix des Matériaux ....................................................................................................... 48

CHAPITRE V

MODELE NUMERIQUE

5.1 Méthode d'analyse par éléments finis. généralités ............................................... 54

5.2 Modèle mathématique du système thermomécanique ................... .... ........ 54

............................................................................................... 5.2.1 Hypothèses généraies ......54

............................................................................ 5.2.2 Équations fondamentales ......... .... 55

5.2.3 Simplifications ............................................................................................................... 59 . . 5.2.4 Modèle théorique du système étudie .............................................................................. 60

5.3 Conditions aux limites .................................................................................................... 61

5.4 Mécanismes de transfert de chaleur .......................................................................... 63

5.4.1 La conduction par contact .............................................................................................. 63

5.4.2 La convection ................................................................................................................. 64

.............................................................................................................. 5.4.3 Le rayonnement 66 . * 5.5 Traitement mimerique .................................................................................................... 67

................................. 5.5.1 Formulation variationnelle des équations d'équilibre mécanique 68

............................................. 5.5.2 Formulation variationnelle de l'équation de la thermique 70

............................................... 5.5.3 Choix du type d'éléments et maillage par éléments finis 72

..................... 5.6 Calcul des conditions aux limites associées au problème étudié 74

............................................................................... 5.6.1 Calcul du coefficient de convection 74

............................................................................ 5.6.2 Conditions aux limites de convection 75

............................... 5.6.3 Conditions aux limites en conduction .. ...................................... 76

5.6.4 Conditions aux limites en déplacement .......................................................................... 78

5.6.5 Régime transitoire .................................... .... ......................................................... 79

5.7 Résultats numériques ...................................................................................................... 79

5.7.1 Résultats en thermique ..................................................................................................... 80

5.7.2 Résultats en élasticité ............................ .. ......................................................................... 82

CHAPITRE VI

EXPÉRIMENTATION

6.1 L'interférométrie. généralités ...................................................................................... 85

6.2 Interféromètre utilisé ................... ... ........................................................................ 87

6.3 Précision des mesures expérimentales ..................... .. ........................................... 88

.................................................................................................... 6.4 Montage expérimental 89

..................................................................................................................... 6.4.1 Description 90

6.4.2 Mesures expérimentales ................................................................................................. 92 r . 6.5 Résultats experimentaux ................................................................................................ 93

vii

CHAPITRE VI1 95

COMPARAISON DES RÉSULTATS ET OPTIMISATION

DU COMPORTEMENT THERMIQUE

7.1 Présentation des résultats .............................................................................................. 95

7.1.1 Résultats théoriques ....................................................................................................... 96

7.1.2 Résultats numériques ...................................... .. ............................................................. 97

7.1.3 Résultats expérimentaux ................................................................................................ 99

.... 7.2 Analyse et comparaison des résultats avec les mesures expérimentales 101

7.3 Optimisation du comportement thermique ........................................................ 102

........................................................ 7.3.1 Calcul théorique de la variation de la divergence 103

........................ 7.3.2 Résultats expérimentaux pour différents types de bagues correctrices 103

.................................................................................................... 7.3.3 Analyse des résultats 108

CHAIPITRIZ VI11

CONCLUSION

8.1 Rétrospective des travaux ........................................................................................... 111

.................................................................................................... 8.2 Discussions générales 112

8.3 Recommandations pour travaux futurs ............................................................ 113

Bibliographie ....................................................................................................................... 11s

Annexe A : Fiches techniques des composantes optiques ............................. i l s

A . 1 Lentille collimatrice ................... ... ........................................................................ 119

A.2 Diode laser de marque Philips ........................................................................................ 127

........................................................................................... A.3 Diode laser de marque SDL 131

Annexe B : Dissipateur de chaleur ........................................................................ 135

...................................................................................................... B . 1 Hypothèses générales 136

B.2 Calcul du transfert thermique d'une ailette ................................................................ 137

Vlll

B.2.I Formation des équations différentieIles .............................. .. ............................ 137

......................................................................................... B.2.2 Conditions aux limites 139

................................................................................ B.2.3 Correction de Harper-Brown 139

B.2.4 Rendement d'une ailette ...................................................................................... 140

............................................................ B.3 Calcul de la résistance thermique du dissipateur 140 . . B.3.1 Res~stance thermique d'une ailette ...................................................................... 140

. . ................................................................. B.3.2 Résistance thermique de la paror mere 140

.................................................... B.3.3 Résistance thermique globale d'un dissipateur 142 . . ................................................................................................... B.4 Application numenque 144

......................................................... B.5 Comparaison des calculs théoriques avec la MEF 145

Annexe C : Dessins de détail .................... .... ................................................ 148

Annexe D : Calcul de la précision et de la sensibilité de la divergence

................................................... pour les mesures expérimentales 164

LISTES DES FIGUFU3S

Figure 2.1

Figure 2.2

Figure 2.3

Figure 2.4

Figure 2.5

Figure 3.1

Figure 3.2

Figure 3.3

Figure 3.4

Figure 3.5

Figure 3.6

Figure 3.7

Figure 3.8

Figure 3.9

Figure 3.10

Figure 4.1

Figure 5.1

Figure 5.2

Figure 5.3

Figure 5.4

Composantes optiques du système de collimation ...................................................... 7

Monture de la lentille collimatrice en 3D .................................... .... ................ 11

Configuration de la diode laser utilisée ..................................................................... 12

Montage de la diode laser et de la bague compensatrice à l'intérieur du . . ............................................................................................................... drssipateur 1 4

Montage du système de coIlirnation .......................................................................... 15

............................................... Points cardinaux d'une lentilIe et son tracé de rayons 17

Source située au foyer d'une lentille mince .................... .... .............................. 19

........................................... Source située à proximité du foyer d'une lentilIe mince 19

................................................. Approximation d'une lentille par une lame de verre 28

......................................... Paramètres interférents dans le comportement thermique 33

Déplacement axial de la distance focale dû à l'insertion d'une lame dans le

parcours optique ......................................................................................................... 35

.............. Tzux de changement de la longueur d'onde en fonction de la température 38

Schéma des composantes optiques du système de collimation ................................. 39

Divergence théorique du système de collimation étudié en fonction de la

température ............................................................................................................... -43

Défocus théorique du système de collimation étudié en fonction de la

................................................................................................................ température 44

Montage des composantes du système de collimation .............................................. 46

Modèle géométrique du système de collimation ....................................................... 73

Vérification expérimentale du coefficient de convection .......................................... 76

Conditions aux limites de la diode laser ................................................................ ....77

Conditions aux limites de la lentille .......................................................................... 78

Figure 5.5

Figure 5.6

Figure 5-7

Figure 5.8

Figure 5.9

Figure 6.1

Figure 6.2

Figure 6.3

Figure 7.1

Figure 7.2

Figure 7.3

Figure 7.4

Figure 7.5

Figure 7.6

Figure 7.7

Figure B . 1

Figure B.2

Figure B.3

Figure B.4

Figure B.5

Figure E . 1

. * . . Cond~tions aux Irmites en dépIacements .................................................................... 78

Évolution de la temp6rature paur un AT,, = 10°C .................................................... 80

Gradients de température en OC en régime permanent .............................................. 82

...................... Gradients de température en O C en regime transitoire à 530 secondes 82

.................................................... Déplacements nodaux en mm à travers Le système 83

Principe de formation des franges d'interference du Dynamic LateruZ-Shearing

......................................................................................................... Interferorneter 86

............................................................................................ Esquisse du WmeAlyser 87

............................................................................................... Montage expérimentai 92

Divergence et défocus relatif théorique en fonction de la température et du

.......................................................................................................................... temps 97

Divergence et défocus relatifs numériques en fonction de la température et du

................................................................................................... temps ............. .... 99

Divergence et défocus relatifs mesurés expérimentalement en fonction de la

..................... température et du temps .. ............................................................. 100

Divergence expérimentale en fonction du temps pour une rampe thermique passant

de 25°C à 35°C en 5 minutes ................................................................................ 104


de 35OC à 45°C en 5 minutes ........................................................................ 105


de 45OC à 35OC en 5 minutes ................................................................................... 106


de 35°C à 25OC en 5 minutes ................................................................................... IO7

Ailette B section rectangdaire uniforme typique ..................................................... 137

Paroi mère .... 141 ............................................... .............................................. . .

Portion d'un dissipateur ....................................................................................... 142

Analyse par MEF du dissipateur thermique de la diode laser .................................. 146

Résistance thermique du dissipateur en fonction du coefficient de convection ...... 146

Relation géométrique entre la divergence et le front d'onde ................................... 164

LISTES DES TABLEAUX

Tableau 3.1

Tableau 3.2

Tabteau 3.3

Tableau 4.1

Tableau 4.2

Tableau 5.1

Tableau 5.2

Tableau 5.3

Tableau 6 . l Tableau 7.1

Tableau 7.2

Donnees optiques et thermiques de quelques types de verres .................................. 29

Propriétés thermiques des matériaux composant la diode laser .............. .. ............ 37

Cdculs numériques du désalignement de l'optique suite i un gradient

thermique .............................. .. ............................................................................... 41

Propriétés physiques de quelques matériaux sélectionnés ....................................... 49

Choix du rnat6riau pour la bague correctrice et calcul de son épaisseur .................. 51

Différentes valeurs de c et n pour des applications typiques .................................... 66

Donnees expérimentales pour le calcul du coeficient gIobd h , .............................. 74

.................................................. Incréments de temps imposés au modèle par MEF 79

........................................................................................... Liste des bagues testées -94

Calcul théorique du défocus et de la'divergence pour un AT,, = 10°C ................. 103

Pourcentage de variation de Ia divergence entre Ie modèle théorique et les C . mesures expenmentales .......................................................................................... 109

CHAPITRE 1

INTRODUCTION

Longtemps, l'optique s'est limitée à l'usage de la lumière visible. Cependant, avec la

découverte des lasers dans les années soixante, ce domaine a subi une révolution de telle

sorte qu'une multitude de possibilités et d'applications ont vu le jour. Aujourd'hui, rares

sont les domaines où l'optique n'a pas sa place: les fibres optiques pour les

télécommunications, les disques laser et les caméras vidéo pour le divertissement, les

scanners pour la métrologie et les satellites pour la conquête de l'espace sont tous des

exemples d'applications qui font appel à l'optique.

1.1 Problématique

Comme tous les autres appareils, les systèmes optiques sont souvent exposés à des

conditions d'opération extrêmes, particulièrement lorsqu'ils sont utiIisés dans des milieux

industriels. Les gradients de température, les températures élevées, les vibrations

excessives, les variations importantes de pression, !a poussière, les fortes accélérations en

sont quelques exemples. Parfois, certaines composantes exigent un alignement et un

positionnement très serrés qui ne peuvent être atteints sans l'aide d'un mécanisme

particulier de compensation, car les tolérances de fabrication sont trop faibles.

De plus, habi~~zllement les systèmes optiques sont très sensibles aux fluctuations du milieu.

Un exemple classique montrant cette sensibilité est un miroir ; un angle de déviation a d'un

miroir entraîne une déviation d'un faisceau de lumière émergent de ce dernier de 2a. Ainsi,

les performances optiques d'un système reposent non seulement sur la qualité de la

fabrication de leurs composantes optiques, mais aussi sur celles de sa conception

mécanique.

C'est pourquoi Ies concepteurs en optomécmique doivent se soumettre à certaines règles de

base pour maximiser leurs performances; minimiser les déformations, maximiser la stabilité

et I'alignernent tout en minimisant la masse (selon le type d'application) et les coûts de

production. Ces contraintes amènent donc les concepteurs à regarder plus en profondeur

l'effet du milieu sur les systèmes pour prédire ou du moins comprendre les différents

phénomènes auxquels ils ont à faire face. Ainsi, plusieurs chercheurs ont fait des recherches

approfondies dans le domaine, entre autres Yoder (1993), Vokobratovich (1992), Strahle

(1971), Jamieson (198L), Rogers (1990). Pour les fins de ce mémoire, seuls les effets

thermiques seront traités. Cela ne signifie pas pour autant que les autres facteurs externes ne

sont pas importants, mais il s'avère qu'ils sont prédominants pour l'application étudiée.

Ce projet de recherche consiste à trouver une solution simple et peu coûteuse pour

athermaliser un système de collimation d'un appareil intéférométrique de haute précision

utilisé dans des conditions industrielles sévères. Bien que les effets thermiques des systèmes

optiques aient fait l'objet de recherches depuis plusieurs décennies, il ne semble pas qu'il y

ait eu beaucoup de recherches sur ce type d'appareil. Cependant, les problèmes en cause

sont principalement les mêmes d'une application à l'autre, mais ils sont habituellement plus

importants pour les systèmes de grandes dimensions. Plus particulièrement, Strahle (1971)

et Rogers (1990) ont fait beaucoup de travaux sur l'athermalisation des systèmes optiques

de grandes dimensions pour des applications dans l'infrarouge. De plus, Jarnieson (198 1) a

développé une approche théorique permettant de comger les aberrations chromatiques

causées par les fluctuations thermiques.

La colIimation des faisceaux laser est une application où les effets thermiques peuvent

dégrader les performances de manière significative. Bien qu'elle soit rarement très critique,

la stabilité de la collimation des faisceaux lasers est très importante dans les applications

interférométriques et s'avère même essentielle au bon fonctionnement de l'appareil.

Bien que le problème thermique soit présenté en détails dans les premiers chapitres, ce sont

plutôt les solutions pour atténuer son influence sur les performances optiques de quelques

éléments de réfraction qui seront discutées. Les objectifs spécifiques au projet sont

présentés à la prochaine section.

1.2 Objectifs

Le principal objectif de ce projet de recherche est d'acquérir une expérience théorique et

pratique en optornécanique. Ce dernier est un domaine multidisciplinaire qui impIique des

connaissances sur les matériaux, en résistance des matériaux, en thermodynamique, en

conception optique, en fabrication de composantes optiques et dans plusieurs autres

domaines tout dépendant des systèmes à concevoir. il consiste donc en l'étude des

comportements mécaniques des composantes optiques ainsi qu'en l'étude des techniques de

montage de ces derniers de manière à optimiser leurs performances. Ce domaine est tout

nouveau au Canada. Par contre, il est plus répandu aux États-unis et surtout en Europe.

Le sujet choisi est en fait un problème industriel réel. il consiste à améliorer la stabilité d'un

système de collimation soumis à des variations de température en utilisant les propriétés

physiques des matériaux pour corriger le désalignement des composantes optiques.

il faudra donc, dans un premier temps, étudier le comportement thermomécanique de

quelques éléments de efraction. Plus spécifiquement, une lentille de collimation, une lame

mince et un cristal de diode Iaser seront étudiés de manière à vérifier s'il est possible de

linéariser le désdignement en négligeant les aberrations d'ordre supérieur au difocus. De

cette étude, un modèIe théorique sera développé et sera comparé aux résultats d'un logiciel

de conception optique commercial Zemax-EE qui calculera toutes les aberrations causées

par un tel désalignement.

Le modèIe théorique considère que la température à travers le système de coIlimation est

uniforme ce qui est faux en pratique, car les matériaux constituant le système ne sont pas

des conducteurs parfaits. Ainsi, il est important de vérifier le gradient de température autant

lorsque le système est en régime permanent que Iorsqu'il est en régime transitoire. La

méthode des éléments finis sera donc utilisée pour modéliser le problème de manière à

quantifier le niveau de distorsions thermiques. Les logiciels utiiisés pour Ie modèle

numérique sont Fernap version 4.41 qui est un modeleur et un post-processeur, WeCan vr

5-41 et CAEFEM vr 2.41 pour les calculs numériques. Plus de détails sur ces logiciels sont

présentés à la section 5.5.3 du chapitre 5.

La validation de ces deux modèles sera vérifiée à l'aide d'une série de tests expérimentaux

effectués en Iaboratoire dans des conditions similaires à celles modélisées.

1.3 Méthodologie

L'approche employée tout au long de ce mémoire est tout d'abord de situer le problème

dans son ensemble, pour ensuite exposer les étapes décisionnelles menant aux choix des

différentes hypothèses posées et des modèles théorique, numérique et expérimentai. Par la

suite, ces modèles sont explicités successivement dans le but d'en dresser une étude

comparative et finalement d'en juger la validité. Plus spécifiquement, la méthodologie est la

suivante :

Le chapitre 2 donne une description complète du système à analyser. Une brève mise en

situation en ce qui a trait à la sensibilité au désalignement du système en fonction de la

température est présentée dans un premier temps, suivie des différentes méthodes

d'athermalisation existantes, des raisons justifiant le choix de l'athermaiisation mécanique

passive et finalement du processus complet de sa conception.

Au chapitre 3, la théorie de base en optique géométrique nécessaire pour la compréhension

du problème, suivie du développement du modèle théorique linéarisé du comportement

thermique de quelques éléments de réfraction sont présentés. Une application numérique

associée au problème traité ainsi qu'une comparaison de ce modèle théorique themique

avec un logiciel de conception optique commerciai y sont également exposées.

Par la suite, le chapitre 4 montre la démarche suivie pour le calcul de la compensation

mécanique et pour le choix des matériaux composant la structure mécanique supportant la

lentille et la diode laser. Les matériaux utilisés pour le système de collimation sont définis à

la fin de ce chapitre.

Le cinquième chapitre expose la formulation mathématique du système thermomécanique

associée à la méthode des éléments finis classique, les différentes hypothèses de découplage

s'y rattachant, les conditions aux limites, la théorie des différents mécanismes de transfert

de chaleur employés. le modèle numérique finai discrétisé, quelques calculs théoriques

nécessaires pour les simulations numériques ainsi que quelques résultats numériques

obtenus.

Au sixième chapitre, on traite de l'expérimentation. D'abord une brève théorie nécessaire à

ta compréhension de l'appareil de mesure y est exposée suivie de la description du

montage. de son alignement et de quelques résultats expérimentaux.

Au chapitre 7, les différents modèles théorique (chapitre 3 et 4), numerique (chapitre 5) et

expérimental (chapitre 6) sont comparés.

Finalement, ce mémoire se termine par une discussion sur la validité des résultats, sur les

différentes hypothèses posées tout au long du travail, sur Ies domaines d'application et sur

les développements futurs de cette technologie.

CHAPITRE II

DESCRIPTION DU SYSTÈME À ANALYSER

Tout d'abord, une mise en situation du problème à traiter sera présentée suivie d'une

comparaison des différentes méthodes permettant d'améliorer la stabilité thermique des

systèmes optiques et du choix de la méthode retenue. Pour teminer le chapitre, le processus

complet de conception du système à analyser sera exposé.

2.1 Mise en situation

Cette étude a été réalisée dans le cadre d'un projet à l'institut national d'optique (NO)

portant sur une technique interférométrique pour des applications industrielles à haute

précision. Pour obtenir la précision désirée, le système de collimation de l'appareil en

question doit respecter certaines exigences qui sont les suivantes :

i La divergence absolue du faisceau laser à la sortie du système de collirnation doit

être d'environ 0.2 rnrad,

Cette dernière doit avoir une stabilité de *.O5 mrad dans Ie temps et en fonction

de la température pour un intervalle de température se situant entre SOC et 4S°C,

La qualité du front d'onde à la sortie doit être la meilleure possible (Pic-vallée<

OSA),

La source de lumière doit être une diode laser bon marché,

Le coQt totd du système de collimation doit être le moins cher possible.

La figure 2.1 présente les composantes optiques impliquées dans le système de collimation

à concevoir.

Lentille

Figure 2.1 Composantes optiques du système de collimation

Respecter de telles exigences n'est pas une chose f a d e mais semble à priori réalisable à

condition d'optimiser tous les paramètres qui entrent en jeu. Premièrement, pour assurer

une bonne qualité du front d'onde à la sortie, la diode Iaser utilisée doit être à tout prix

monomode (Profil d'intensité gaussien) et la lentille de collimation doit être asphérique.

Une divergence de 0.2 mrad stable à M.05 mrad signifie un positionnement de la lentille

par rapport au laser de l'ordre de 2 prn avec une stabilité de + 0.5 Pm. L a relation reliant le

positionnement axial de la IentilIe à la divergence du faisceau laser est explicitée à la

section 3.1.3 du chapitre 3.

Habituellement, pour la plupart des applications, la sensibiIité thermique des systèmes de

collimation influe peu sur les performances des systèmes. Cependant dans le cas présent,

une divergence trop élevée (ou une variation non négligeable de celle-ci) entraîne une perte

de résolution significative pour les mesures interférométriques.

2.2 Méthodes d'amélioration de la stabilité thermique des systèmes optiques

ïi existe plusieurs manières de traiter le problème thermique. ïi est possible de le contourner

en installant un contrôleur en température qui gardera la température constante ou encore de

rendre le système moins sensible aux fluctuations thermiques du milieu. Cette dernière

solution peut être réalisée de différentes façons; soit par I'athermalisation optique, soit par

I'athemalisation mécanique active ou soit par l'athermalisation mécanique passive.

L'athermalisation optique consiste à utiliser les propriétés physiques des composantes

optiques pour corriger [es aberrations du système. EIle est surtout utilisée pour comger le

défocus et les aberrations chromatiques. Plusieurs chercheurs se sont penché sur cette

solution, spécialement Jarnieson (198 1 ), Kohler & Strahle (1974) et Rogers ( 1990).

L'athermalisation mécanique active utilise une force extérieure qui servira à ajuster Ies

composantes les unes par rapport aux autres. Cette dernière peut tout simplement être un

ajustement manuel du foyer d'un appareil ou encore des actionneurs (piézo4Iectrique)

contrôlés par des servomécanismes équipés de senseurs thermiques. Rogers & Andrews

(1976) et Parr-Bumnan & Gardarn (1985) discutent de cette solution.

L'athermalisation mécanique passive quant à elle utilise les propriétés physiques des

structures supportant l'optique pour comger les aberrations (plus spécifiquement le

défocus). Garcia-Nunez & Michika (1989) ont exploité cette solution dans la conception

d'un système optique en composite pour des applications dans l'infrarouge.

Toutes les solutions ci-dessus ont bien entendu leurs avantages et leurs inconvénients.

Rogers & Roberts (1995) en discutent brièvement. Le type d'appareil, son coût, sa

précision, sa complexité sont toutes des considérations à prendre en compte lors du choix

de l'option retenir. Ii faut toutefois être prudent car parfois un avantage dans certaines

applications peut se transformer en désavantage dans d'autres.

2.3 Choix de la méthode de stabilisation

La solution la plus triviale à retenir pour l'application visée, vu les petites dimensions de

l'appareil, est l'ajout d'un contrôleur en température de type effet Peltier pour garder la

température constante. Par contre, le coût d'un tel contrôleur accompagné de l'électronique

nécessaire à son fonctionnement augmente le coût total du système de manière significative

(Ie prix de vente de l'appareil interférométrique industrie1 ainsi conçu est de quelques

milliers de dollars et un contrôleur en température coûte plusieurs centaines de dollars).

L'atherrnaiisation optique est difficilement réalisable pour ce type d'application car elle

exige l'ajout de composantes optiques qui ont un comportement thermique opposé à celui

de la lentille collimatrice et de la diode laser. L'athermalisation mécanique active quant à

elle est non seulement plus coûteuse, mais la sensibilité et l'espace disponibIe pour un tel

appareillage rendent cette solution inadmissible.

L'athermalisation micanique passive, bien qu'il faille le démontrer, semble plus adéquate

pour ce type d'application. Elle est peu coûteuse et offre la sensibilité requise pour corriger

le désdignement. Elle a par contre une limitation importante en ce qui a trait à la vitesse à

laquelle la correction optomécanique est faite par rapport à la vitesse de changement de

l'optique et à l'uniformité de ce changement. Comme c'est la température du milieu

ambiant qui est le point de contrôle, il est plus difficile de corriger précisément,

particulièrement lorsque le flux de chaleur transmis de l'air au système de colIirnation n'est

pas uniforme. Il est cependant possible de diminuer cet effet en utilisant des matériaux qui

sont de bons conducteurs thermiques et dont la difisivité thermique ( K / C , ) est assez élevée.

En pratique, si les composantes optiques ainsi que les montures qui les supportent ne sont

pas trop massives, le temps de réponse ne devrait pas être trop différent du taux de

changement de l'optique. Ce dernier point est à vérifier pour s'assurer du bon

comportement de l'appareil lors des effets thermiques transitoires.

2.4 Conception du système de collimation

2.4.1 Considérations préliminaires

Pour permettre l'atteinte des performances exigées, la méthode utilisée pour le montage de

la lentille et de la diode laser nécessite des considérations particulières.

La lentille doit être munie d'un système d'ajustement à trois degrés de liberté,

c'est-à-dire des ajustements linéaires dans les trois directions (X-Y-Z),

La qualité des surfaces de contact et les dimensions des différentes pièces

mécaniques seront optimisées pour diminuer la résistance thermique du système

plus spécifiquement aux interfaces lentille-monture et diode laser-monture,

La diode laser doit être montée dans un bon dissipateur thermique pour

minimiser sa température de fonctionnement,

Le système de collimation global doit être le plus rigide et le plus compact

possible,

Idéalement, ce dernier doit avoir une géométrie symétrique (tubulaire) pour éviter

les distorsions thermiques.

2.4.2 Montage des composantes optiques

il existe plusieurs méthodes de montage permettant de positionner de telles composantes,

mais pour satisfaire toutes les exigences requises, le nombre de choix diminue rapidement.

2.4.2.1 Lntille collimatrice

La fiche technique de la lentille collimatrice est présentée à l'annexe A. Comme il a été

mentionné au début de cette section, la lentille (1 ) est montée dans un système d'ajustement

2 trois degrés de liberté. Un schéma du montage est illustré à la figure 2.2. Le centrage

(translation selon X et Y) de la lentille est assuré par un système de vis (2) et de ressorts (3).

Son mécanisme de blocage est réalisé à l'aide d'une plaque (4) qui vient prendre en

sandwich la partie mobile. L'ajustement axial (translation selon Z) est effectué en glissant

une cellule mobile (5) contenant la Ientille à l'intérieur d'une autre cellule (6) qui est fixe.

L'avance de ce dernier est actionnée à l'aide d'un système extérieur à haute précision. La

cellule fixe est fendue d'un coté et conçue de manière à éliminer le jeu sur le diamètre

existant entre les deux composantes. La lentille, quant à elle, est maintenue dans la cellule

mobile à l'aide d'une bague filetée (7). Bien que la colle permette un montage moins

coûteux et plus compact, elle doit être évitée à tout prix. Sa faible conductivité thermique

crée une résistance thermique supplémentaire non-négligeable. Elle génère aussi des

comportements non linéaires dû à son coefficient de dilatation thermique (comme la plupart

des polymères) qui est au moins trois à quatre fois plus élevé que celui de la monture

mécanique, De plus, il est difficile d'apposer égaiement de la colle partout, ce qui augmente

le niveau de distorsion. Cependant, comme la température du milieu est sujette à changer de

manière non négligeable et que le coefficient de dilatation thermique du verre est

généralement assez différent de celui de la monture, il faut que la lentille soit suffisamment

comprimée pour qu'elle reste soutenue en tout temps.

Figure 2.2 Monture de la lentille collimatrice en 3D

2.4.2.2 Diode laser

Avant de discuter davantage sur Ie montage des diodes laser, il est important de mentionner

quelques informations intéressantes concernant ces dernières. Il existe plusieurs types de

configurations de diode laser. Celle utilisée est schématisée à la figure 2.2. Les informations

qui suivent sont tirées des catalogues SDL (1996) et Thorlabs (1996). La fiche technique de

deux types de diodes laser utilisées en laboratoire est présentée à l'annexe A.

Structure mécanique de la diode utilisée

La structure mécanique est presque monolithique à l'exception du cristal laser (l), de la

photodiode (2) (servant à asservir en puissance le faisceau laser émergent), de la fenêtre (3)

et des quelques fils qui Ies relient aux connecteurs extérieurs. Habituellement, ce type de

diode est soutenu par son épaulement à l'aide d'une lame ou encore d'une bague filetée qui

la comprime par l'arrière.

Figure 2.3 Configuration de la diode laser utilisée

Durée de vie

La durée de vie des diodes Iasers dépend de plusieurs facteurs. Lorsqu'elles sont utilisées

dans des conditions d'opération nomales, elles peuvent durer plusieurs milliers d'heures.

Elles sont par contre très sensibles aux chocs électrostatiques et aux températures élevées.

Même si leur intervalle de température de fonctionnement est de -10°C à +60°C environ,

leur durée de vie diminue avec l'augmentation de la température. Par exemple, leur

longévité est diminuée d'un facteur deux si elles sont opérées à 50°C plutôt qu'à 30°C.

Dissipations thermiques

Étant donné que les diodes Iaser n'ont pas un rendement énergétique très élevé, une grande

partie de Ieur puissance électrique est dissipée en chaleur. Par exemple, une diode laser

standard de 30mW de puissance optique dissipe environ 168mw en chaleur. ii est donc

primordial de prévoir une manière d'évacuer cette chaleur surtout si elle a à fonctionner

assez près de ses limites thermiques. Ainsi, le boîtier de la diode, qui agit comme un rnini

dissipateur, est composé d'un matériau ayant une bonne conductivité thermique. Il est, par

contre, recommandé d'utiliser un dissipateur de chaleur supplémentaire dans les cas où la

température de fonctionnement depasse les 30°C. Le calcul de la résistance thermique du

dissipateur conçu pour les besoins du projet est exposé à l'annexe B.

2.4.2.3 Correction mécanique

Bien que le montage optomécanique soit optimisé pour minimiser le désalignement de

l'optique, il est très limitatif de ne pas prévoir an ajustement pour la correction mécanique,

car la probabilité que le taux de changement effectif de l'optique soit identique à celui de la

monture sans ajout d'un ou plusieurs autres matériaux est très faible. Le système retenu

pour des raisons de simplicité, de coût et de stabilité thermique, a été l'ajout d'une bague

annulaire (1) entre l'épaulement de Ia diode laser (2) et la monture (3) (ou encore le

dissipateur de chaleur). La figure 2.3 en fait état. Pour assurer que la bague compensatrice

peut se dilater librement au lieu de se comprimer Iors de fluctuations thermiques, la diode

Iaser est fixée par l'arrière à l'aide d'un ressort (4) assez rigide et d'une bague filetée (5)

pour la maintenir en place. Les divers matériaux utilisés dans le présent système ainsi que

les raisons justifiant Ieur choix sont définis au chapitre 4. Le principal avantage de cette

configuration est que l'épaisseur de la bague peut varier selon le besoin pour ajuster la

correction mécanique et ce sans avoir besoin de modifier les autres composantes du

système. 11 suffit de prévoir un ajustement axial suffisamment grand au niveau de la lentille

pour être capable de ramener le cristal laser au foyer de la lentille peu importe l'épaisseur

de cette bague.

Figure 2.4

w

Montage de la diode laser et de la bague

compensatrice à l'intérieur du dissipateur

La figure 2.4 montre une vue d'assemblage du système de collimation analysé dans le

présent mémoire. Comme il est possible de le remarquer, la monture principale est quasi

monobloc pour minimiser les résistances de contact. Plus de détails sur le montage et les

dimensions du système sont présentées à l'annexe C.

Figure 2.5 Montage du système de collimation

Maintenant que le contexte est situé, que les principales restrictions fonctionnelles ont étG

établies et que [a conception mécanique a été définie, les différents modèIes d'analyse

peuvent être présentés.

CHAPITRE HI

MODÈLE THÉoRIQuE DU COMPORTEMENT THERMIQUE

DE QUELQUES ÉLÉMENTS DE &FRACTION

Ce chapitre débute par un bref rappel de quelques notions d'optique géométrique nécessaire

à la compréhension du probIème, pour ensuite enchaîner avec la héarisation du

comportement thermique du système de collimation que nous avons développé pour les

besoins du projet. Finalement, une comparaison du défocus obtenue à l'aide de ce modèle

linéaire avec un logiciel de conception optique commercid terminera ce chapitre.

3.1 Rappel de notions d'optique géométrique

Les notions qui suivent ont été tirées de Pérez (1994) et de O'Shea (1985). Une lentille est

définie par ses deux rayons de courbure ( R I , Rz), son épaisseur (e), son indice de réfraction

(n) et son diamètre libre.

3.1.1 Calcul des points cardinaux d'une lentille

L'endroit où se croisent tous les rayons de lumière d'un faisceau émergent coilimé s'appelle

le plan focal. De plus, la puissance (P) est définie comme étant l'inverse de Ia focale (n. La

relation qui relie la puissance (ou encore la focale) à ses paramètres physiques est :

La puissance est cdculée par rapport à ses plans principaux qui se calculent comme suit :

- e . f -(1-n) Le pian principal objet se définit par: EH, = -

Rz - n

- - e - f -(n-1) et le plan principal image se définit par: SH, = -

R, - n

La figure 3.1 montre un schema d'une lentille accompagnée de ses points cardinaux.

Figure 3.1 Points cardinaux d'une lentille et son tracé de rayons

De ta figure ci-dessus, p, et pi représentent respectivement les positions de l'objet et de

l'image. Dans Ie cas où l'épaisseur (e) est petite par rapport aux rayons de courbure, on peut

réduire l'équation 3.1 à l'équation des lentilles minces.

Il est important de noter que toutes les équations de cette section ont été établies en faisant

l'hypothèse paraxiale qui suppose que les rayons de lumière passent très près de l'axe

optique. Ainsi, les courbures des lentilles (habituellement sphériques) sont assimilées à des

paraboles, ce qui facilite énormément les cdculs.

3.1.2 Calcul de la position de l'objet et de l'image d'une lentille et calcul du grandissement

U existe une relation entre la position de l'objet p, et de l'image pi en paraxial qui est :

Dans le cas où les deux milieux extrêmes sont identiques (de l'air par exemple) l'équation

3.5 est réduite à :

Le grandissement de l'image par rapport à l'objet est : "1 ' Pt, G=- no . Pl

(3.7)

et si les milieux extrêmes sont identiques, on a : Pu G=- (3.8) P,

Lorsque l'objet est situé dans le plan focal d'une lentille, à partir des équations 3.6 et 3.8,

l'image résultante est située à l'infini avec un grandissement illimité. L'effet inverse est

observé dans le cas où l'image est située dans le p h focal.

3.1.3 Relation entre divergence et défocus

Iï existe une retation géométrique qui relie la divergence d'un faisceau et le défocus d'une

source ponctueIle située à proximité du plan focal d'une IentilIe. Les figures 3.2 et 3.3

montrent respectivement une source laser située au foyer d'une IentilIe et une source située

à proximité.

Figure 3.2 Source située au foyer d'une lentille mince

Figure 3.3 Source située à proximité du foyer d'une lentilIe mince

La relation entre la divergence (a) et le défocus (Af) est la suivante :

En remplaçant p, par f+Af et I/pi par I'équation 3.6, on obtient dans le cas où les milieux

extrêmes sont identiques :

a = -2 - r- - [ - ' ] ou encore la relation inverse , = , - f f - 4

3.1.4 Cdcul du sagitta

Le système de collimation est composé de trois composantes optiques, soit d'une lentille

asphérique, d'une lame mince (fenêtre protectrice de la diode laser) et d'un cristal laser. On

entend par lentille asphérique, une lentille dont au moins un de ses rayons de courbure

varie en fonction du sagilta (sag) ou encore en fonction de la coordonnée selon l'axe

optique. Le sag dans le cas d'une lentille asphérique dite paire (les coefficients sont pairs)

est défini par :

où K : Conicité A, B, C, D : Coefficients d'asphéricité

Dans le cas où la lentille a une courbure constante (lentille standard) le sag se calcule

comme suit :

Les lentilles asphériques sont des lentilles presque parfaites. C'est-à-dire que l'hypothèse

paraxide reste valide même lorsque l'ouverture numérique ( f /2 - r ) devient grande

contrairement aux lentilles standards où ce n'est pas le cas. En réalité, la distance focale

d'une Ientille asphérique tend vers la distance paraxiale. Ii est donc justifié d'utiliser la

théorie paraxiale pour calculer le comportement thermique de cette dernière.

3.2 Étude du comportement thermique des lentilles minces

Les calculs qui suivent sont inspirés des travaux de phsieurs chercheurs: Jarnieson (198 l),

Kohler & Strahle (1974), Rogers & Roberts (1995), Perry ( 1 943) et Rogers (1 990).

3.2.1 Variation de Ia distance focale d'une lentille mince en fonction de la température

La sensibilité thermique d'une lentille mince s'obtient en différentiant l'équation 3.4 par

rapport à la température.

Comme le coefficient de dilatation thermique de la IentiIle est défini par :

et que celui de la distance focale est :

À l'aide de l'équation 3.4 f = (n - 1)-' - [k = - = L ] , il est possible de réduire I'dquation

3.16 de la façon suivante :

il est important de noter que les coefficients thermiques d'indice de réfraction (an/aT) que

l'on retrouve dans les tables des fournisseurs ou dans les livres de référence sont les valeurs

calculées par rapport au vide, tandis que dans le cas présent, le système est dans I'air. La

section suivante montre le calcul du coefficient thermique d'indice de réfraction relatif à

1' air.

il est intéressant de noter que t'équation 3.17, qui représente le changement de focale en

fonction de la température dans le cas des lentilles minces, est indépendante des dimensions

physiques de la lentille. Elle dépend exclusivement du type de matériau utilisé. Elle est

donc utile pour comparer les différents types de verre entre eux.

3.2.2 Effet du changement d'indice de réfraction de I'air sur I'optique

Bien que l'indice de réfraction de l'air soit souvent confondu avec celui du vide vu la faible

différence qui existe entre les deux, son changement en fonction de la température ambiante

n'est pas négligeable. Plusieurs chercheurs, dont Jarnieson (198 1)' Edlen (1966). Penndorf

(1957) et Rogers (1992)' ont tentés dans le passé de quantifier l'effet du changement

d'indice de réfraction de l'air.

3.2.2.1 Relation entre indice de réfraction du verre par rapport au vide et par rapport A Vair

Habituellement, les coefficients thermiques de changement d'indice de réfraction sont

donnés par rapport au vide, tandis qu'en pratique, la plupart des systèmes optiques sont

utilisés dans l'air. La relation qui lie l'indice de réfraction d'un verre quelconque par

rapport au vide (nabs) à celui par rapport à I'air (n,J est :

En différentiant cette dernière équation par rapport à la température (7), on obtient :

an" est é p i à : Alors - aT

Plusieurs auteurs considèrent que n,i, est égal à 1 pour simplifier les équations. Ainsi,

l'équation (3.19) devient:

an pour obtenir ï i ne reste plus qu'à remplacer -de l'équation 3.17 par l'expression de - ar aT

I'expression finale du défocus d'une lentille mince, ce qui donne :

3.2.2.2 Variation de I'indice de réfraction de l'air en fonction de la longueur d'onde, de la température, de la pression atmosphérique et de la tension de vapeur

D'après Edlen (1966) I'indice de réfraction de l'air à une température T et à une pression P

s'exprime de la façon suivante :

où T : Température de l'air To : Température de référence (1 5°C) A : Longueur d'onde no : indice de réfraction de I'air à 15°C P : Pression de l'air Po : Pression de l'air à 15°C en mm de Hg a;, : une constante égale à 0.00366"~-' h : Différence de tension de vapeur d'eau

(en mm de Hg)

et I'indice de réfraction de I'air à 15°C (no) se calcule comme suit :

où h est la longueur d'onde exprimée en nm

Cette formule, calculée expérimentalement, a été évaluée pour un intervalle de longueur

d'onde de 0.2 à 20 pm avec des incréments suffisamment petits pour assurer la corrélation

avec le comportement réel Edlen (1966) et Penndorf (1957)l.

Selon les équations 3.22 et 3.23, pour une longueur d'onde et une pression donnée, le

comportement de I'indice de réfraction de l'air en fonction de la température change de

manière significative au point qu'il ne peut être négligé. La tension de vapeur (taux

d'humidité dans l'air) quant à elIe a un léger effet sur ce dernier, mais est relativement

faible par rapport au changement causé par une variation thermique eenndorf (1957)l.

Cette dernière ne sera donc pas prise en compte dans le présent modèle.

dnm À partir de I'équation 3.22, il est facile de trouver -, aT

Il est important de noter que l'équation 3.24 dépend de la température tout comme la

plupart des paramètres physiques des matériaux impliqués dans le modèle théorique.

Cependant, une valeur moyenne en fonction de l'intervalle de température désiré a été jugée

suffisamment précise pour simuler adéquatement leurs effets sur le comportement de

l'optique. Cela aura comme conséquence de faciliter les calculs. Habituellement, les

propriétés physiques des matériaux sont connues à = f 5% et leur variation avec la

température est de cet ordre de grandeur (= + 5 à 12%). De toute manière, ces dernières

varient toutes dans le même sens peu importe les matériaux utilisés (dans notre cas) et

comme c'est la variation relative qui est recherchée, l'erreur est d'autant plus faible.

3.2.3 Comparaison de la sensibilité des verres optiques aux effets thermiques

Pour faire suite au calcul du défocus dans le cas des lentilles minces, il existe dans la

littérature [Jarnieson (198 l), Kohler & Strahle (1974), Rogers & Roberts (1995), Peny

(1943) et Rogers (1990)l des approximations permettant de quantifier l'ampleur des effets

thermiques sur les différents types de verres optiques dans le but de les comparer. Les effets

thermiques peuvent se diviser en deux phénomènes bien distincts; les effets homogènes et

ceux non homogènes.

Le premier groupe considère le changement de ta température moyenne dans le temps en

supposant qu'elle varie assez lentement pour que le milieu ait le temps de s'adapter. Les

gradients thermiques à travers Ie milieu sont donc négligeables en rapport avec le

changement de la température moyenne. Le deuxième groupe considère plutôt les variations

spatiale et temporelle de la température du milieu de telle sorte que ce dernier n'a pas le

temps de se stabiliser.

3.2.3.1 Température homogène

Les changements uniformes de température ont habituellement comme effet de créer

principalement du défocus. Dans le cas où le système sert à l'imagerie, l'effet thermique se

manifeste par un déplacement du plan image et de son grossissement, tandis que dans le cas

d'un système de colIimation, il se manifeste par un changement de la divergence du

faisceau laser. L'équation 3.10 définie plus haut en fait état. Ces distorsions sont facilement

comgibles, dans Ia mesure où elles sont connues, par un ajustement du foyer du système.

ii est cependant possible de minimiser ces distorsions en utilisant des composantes optiques

moins sensibles à la température. La constante thermique des verres (y) sert justement à

déterminer la sensibilité des verres aux effets thermiques homogènes. Elle se calcule à

partir de l'équation 3.17.

ainsi,

Les constantes thermiques de quelques types de verres optiques communément utilisés sont

données au tableau 3.1 à la fin de la section 3.2.3.2.

3.2.3.2 Température non homogène

Les effets non homogènes de température se manifestent par des gradients thermiques à

travers le système optique. Les distorsions ainsi créées ont des conséquences dix fois plus

importantes que les effets stationnaires et peuvent difficilement être corrigées par un simple

ajustement du focus [Kohler & Strahle (1974)l. En fait, elles génèrent des aberrations

d'ordre supérieur en fonction de la direction du flux de chaleur par rapport à la surface

optique. Elles résultent donc en une détérioration des performances optiques. Contrairement

aux effets homogènes de température, ceux non homogènes sont souvent plus faciles à

éviter qu'à corriger.

Par contre, ces effets non homogènes surviennent, généralement, lors de phénomènes

transitoires et tendent à s'atténuer avec le temps. Ces phénomènes transitoires peuvent se

manifester pendant de longues périodes tout dépendant du milieu où ['appareil est utilisé

ainsi que du type de matériau qui le compose. Il existe quelques manières d'en diminuer

l'ampleur. Entre autre, une circulation d'air à l'intérieur de l'appareil va avoir tendance à

mieux répartir le flux chaleur. Un système de contrôle de la température peut s'avérer

efficace spécialement si les composantes sont massives. Ii est aussi possible de protéger

l'appareil avec des écrans protecteurs isolants, plus particulièrement si I'appareil est soumis

aux radiations du soleil. L'utilisation de matériaux ayant une bonne conductivit6 thermique

a comme effet de diminuer le niveau de distorsion thermique en plus de diminuer le temps

de stabilisation. Une autre solution, qui est plutôt passive, est d'attendre que les distorsions

s'atténuent dans le cas où la période transitoire n'est pas trop longue.

Comme dans le cas précédent, il existe une approximation permettant de quantifier la

sensibilité aux effets non homogènes lotsqu'ils sont radiaux. Cette approximation est

appelée constante thermo-optique des verres (G).

Pour faciliter les calculs, comme nous supposons toujours que les rayons de lumière passent

très près de l'axe optique, la lentille est assimilée à une lame de verre. La figure cidessous

montre l'hypothèse en question.

F e - F e -

Figure 3.4 Approximation d'une lentille par une lame de verre

La différence de chemin optique (OPD) entre un rayon parallèle à I'axe optique qui passe

dans une couche d'air d'épaisseur (e) et celui d'un rayon similaire qui passe à travers une

tame de verre de même épaisseur et d'indice de réfraction (n) peut s'exprimer par

t'équation suivante : OPD = e-(n- 1) (3.26)

Comme c'est la variation du parcours optique en fonction de la température qui est

recherchée, l'équation 3.19 doit être différentiée par rapport à la température.

an finalement, on trouve que G=(n-1)-aK +-

aT

Cette constante a été calculée pour quelques types de verres commerciaux et Ies résultats

sont présentés au tableau 3.1 accompagnés de quelques propriétés optiques et thermiques

associées.

Type de Verre

--

FK52 FK5 BK7 SK5 1 SF2

LaKN9 SFl 1

Co550 (Corning)*

AsGa Si Ge

Acry1 ique Polycarbon.

h n* % x IO&* (SL x loO* a r x lo4 y x 106 G x lo4 Conductiviti thermique+

mm) - (OC-') (OC-') (OC-') [OC') (OC-') w/mm -

Matériau de la lentille utilisée pour les simulations Données prises dans Jarnieson (1981). Rogers & Roberts (1995) et Schott Optical Glass Catalog (1994) Calculs effectués 8 T=20°C en tenant compte du changement d'indice de réfraction de l'air

Tableau 3.1 Données optiques et thermiques de quelques types de verres

3.3 Hypothèses du modèle théorique linéarisé

Le modèle théorique Iinéarisé du comportement thermique des composantes optiques du

système de collimation a été développé dans le cadre de ce projet dans le but d'être plus

précis qu'en utilisant l'hypothèse des lentilles minces. Pour ce faire, plusieurs hypothèses

ont été posées pour simplifier le développement du modèle théorique du taux de

changement de l'optique à corriger mécaniquement :

La théorie paraxiale est jugée valide pour ce type d'application,

La source laser est ponctuelle, située sur l'axe optique et exactement au foyer

paraxial de la lentille collimatrice,

La température ambiante est uniforme,

Seuls les effets thermiques homogènes des composantes optiques sont pris en

compte,

Le changement de la température ambiante est suffisamment lent de sorte que

toutes les composantes optiques changent de température simultanément,

Toutes les propriétés physiques sont considérées indépendantes de la

température.

3.4 Étude du comporternent thermique des lentilles épaisses

Vu la grande précision requise en ce qui a trait aux déplacements thermiques de la lentille

analysée, il est préférable d'étudier le comportement d'une lentille épaisse qui est plus près

de Ia réalité que l'hypothèse des lentilles minces.

3.4.1 Calcul de la variation de la distance focale d'une lentille épaisse par rapport à ses plans principaux en fonction de la température

Le changement de focale d'une lentille épaisse (F) s'obtient en différentiant, par rapport à la

température, l'équation 3.1 qui est en fait l'équation de la puissance d'une lentille.

on obtient, en remplaçant dans (3.30)

et en regroupant les termes communs :

1 aF comme aF =---

F a ~ '

et après plusieurs simplifications, on obtient l'équation :

Il est intéressant de noter que lorsque e+O, c c ~ + af (Le. vers l'hypothèse des lentilles dn

minces). Tout comme pour le cas des lentilles minces, il faut remplacer - de (3.34) par le aT

coefficient thermique d'indice de réfraction relatif à l'air (*)pour tenir compte des effets ar thermiques de l'air.

Comme il a été mentionné à la section 3.1.1, la distance focale d'une lentille épaisse est

calculée par rapport à ses plans principaux. Par conséquent, sa variaùon thermique définie

ci-haut est aussi calculée par rapport à ces derniers. Comme ceux-ci ne sont pas une

référence physique mais plutôt une fonction de la température, il faut calculer leur taux de

variation pour finalement connaître le comportement thermique de la focale en fonction de

son centre (plan de référence) qui est situé à la mi-épaisseur de la lentille.

3.4.2 Calculs de la variation des plans principaux d'une lentille épaisse en fonction de la température

Plan principal objet :

- e . F - ( 1 - n ) Le plan principal objet est (3.2): EH, = -

Rz - n

En différentiant par rapport à la température :

1 32, 1 dR, 1 & . = - . - 1 ÔF Sachant que a, = = a - - -

R , d T ILZ e Z et que ar, =--- l'équation 3.36

F ÜT

devient :

1 am, et comme a=. = = - - , on obtient finalement

EH,

En tenant compte de la variation de l'air, l'équation 3.38 devient :

Plan principal image :

Bien qu'il ne soit pas présenté, le calcul de la variation thermique du plan principal image

est identique à celui du plan principal objet.

3.4.3 Calcul du changement de focale d'une lentille épaisse par rapport à son centre

À partir des équations présentées ci-haut, il est possible de calculer le changement de focale

d'une lentille par rapport à son centre. La figure 3.5 montre la signification des différents

paramètres qui y sont impliqués.

Ho, , ,Hi . . .

air n cir

Fo + --------- ----A-----

Fi -t

I I

Figure 3.5 Paramètres interférents dans le comportement thermique

La relation reliant les distances focales objet et image par rapport au centre de la lentille - -

( F,O et 04 ) sont les suivantes :

On remarque que (3.40) et (3.41) ne sont pas équivalentes. Le comportement de chacun est

donc différent. Dans le cas présent, c'est le changement de la distance focale objet qui

importe, ainsi en différentiant, on a :

1 aF,o en substituant a- = = -- dans 3.42 et après plusieurs simplifications on obtient : r;no ar

de la même manière, on obtient :

Le coefficient de changement thermique d'une lentille épaisse par rapport à son centre

plongée dans l'air est donc :

3.5 Effet de la fenêtre de la diode laser sur le parcours optique

Toutes les diodes laser sont munies d'une fenêtre de protection (lame mince =25Opm

d'épais) servant de protection contre les saletés pour le cristal, les contacts et la photodiode.

Cependant, cette lame engendre des aberrations sphériques à la sortie de la diode qui sont

par la suite comgées par la lentille collimatrice. Ii est donc intéressant de vérifier son

impact sur le changement de focale du système global lors de fluctuations thermiques.

3.5.1 Calcul de la différence de chemin optique d'une lame

La différence de parcours optique, dans le cas où la lumière passe à travers une lame et dans

Ie cas où il n'y en a pas, est schématisée à la figure 3.6.

Figure 3.6 Déplacement axial de la distance focale dû à t'insertion d'une lame dans le parcours optique

À partir des retations trigonométriques et en se basant sur l'hypothèse paraxiale (petits

angles), il est possible de cdculer la différence de chemin optique [O'Shea (1985)].

Soit,

(le signe négation est pour respecter la convention qui dit que les rayons de lumière entrant

dans le système sont négatifs)

et à partir de la loi fondamentale de la réfraction qui est :

Ainsi, la différence de chemin optique (AL) s'exprime par :

Ce qui donne après simplification :

3.5.2 Variation du chemin optique en fonction de la température

De l'équation 3.49, nous obtenons le comportement thermique d'une lame en paraxial :

1 ae1mc 1 a(AJ9 en remplaçant - - - -- - par a,, et a, respectivement, on obtient après %me aT ' AL JT

quelques simplifications:

En considérant l'effet thermique de l'air, on a finalement :

3.6 Influence de la température sur une diode laser

La composante qui manifeste le plus de sensibilité aux effets thermiques dans une diode

laser est le cristal. Ce dernier est soudé sur le boîtier de la diode à l'aide d'indium qui

permet non seulement un bon contact électrique mais aussi de prendre les contraintes de

cisaillement causées par la différence de dilatation thermique existant entre les matériaux.

Suite à des tests effectués sur quelques diodes laser à l'aide d'un microscope à balayage de

faisceaux d'électrons, on a déduit que le matériau composant le boîtier de la diode est du

cuivre pratiquement pur tandis que celui du cristal est de I'arsenic de galliiim (AsGa). Le

boîtier de la diode laser est recouvert d'une couche mince composée d'or et d'indium

permettant l'obtention d'un bon contact thermique. Les propriétés thermiques du boîtier et

du cristal Iaser sont présentées au tableau 3.2.

Diff. ther. ( ara )

(%) Cuivre 8930

Tableau 3.2 Propriétés thermiques des matériaux composant la diode laser

Chaleur spéc. ( c ) Matériau Densité ( p ) 1 CL

AsGa 5370

k

(wLT> 16.7

(%KI

398

Source :ASM Handbook

5 -6 46 325 26.40

Le principal effet thermique résultant est Ie changement de Iongueur d'onde du cristal laser

dû au changement de volume de sa cavité optique et de son changement d'indice de

réfraction. L'ordre de grandeur de cette variation se situe entre 0.25 n d ° C et 0.5 n d C

tout d6pendant du type de diode utilisée. Le taux de changement de la Iongueur d'onde

n'est pas tout à fait linéaire car cette dernière change brusquement à chaque fois que le

cristal change de mode de résonance. La figure 3.7 fait état du comportement de la

longueur d'onde avec la température. La référence Hetch (1986) explicite davantage le

phénomène.

Température

Figure 3.7 Taux de changement de la longueur d'onde en fonction de la température

al 'u C O 'O

L 3 al 3 0 C O -J

3.7 Calcul du taux de changement thermique global de l'optique a corriger

/ I

Taux de changement graduel local ><

/ /\Changement de

mode du cristol

Maintenant que le comportement thermique de chaque composante du système de

collimation est connu, il est possible de cdcuIer le taux de changement global de l'optique

à corriger mécaniquement. La figure 3.8 montre un schéma des composantes optiques

impliquées dans le modèle à linéariser.

Figure 3.8 Schéma des composantes optiques du système de colIirnation

De la figure ci-dessus, la distance réelle qui sépare le cristal du centre de la lentille (CO)

est: -

@= F + + - ~ - E H , + ~ L (3 .53)

Encore une fois, en différentiant l'équation 3.53 par rapport à la température on obtient :

En remplaçant les équations 3.43 et 3.52 dans 3.54 et en simplifiant,

et finalement, le taux de changement gIobal est :

an où -et - sont les coefficients thermiques d'indice de réfraction relatifs à l'air. II faut

aT aT

donc remplacer ces derniers par l'équation 3.20 pour obtenir le taux de changement de

l'optique par rapport au vide.

L'équation 3.57 représente donc le taux de changement de la distance cristal-lentille

physique et non la distance optique (trajet de la lumière). Le fait que la fenêtre de la diode

Iaser soit dans le parcours optique et que l'indice de réfraction de cette dernière differe de

celui de l'air, engendre une différence de chemin optique (AL) entre la distance physique

cristal-lentille et la distance réelle effectuée par le faisceau laser. Cette différence n'a pas

un impact très marqué sur le comportement thermique global spécialement parce que Ia

fenêtre est très mince ( ~ 2 5 0 pn) et qu'elle n'a pas de courbure.

Le changement de la Iongueur d'onde de la diode laser en fonction de la température n'a

pas été pris en compte directement car son effet a été jugé négligeable par rapport aux

autres composantes.

3.8 Application numérique

Maintenant que le modèle théorique linéarisé du changement de l'optique du système de

collimation est défini, il est possible de l'appliquer à notre problème réel, Le tableau 3.3

contient les principaux résultats théoriques calculés à partir des équations précédentes.

.ongueur d'onde du laser: 677 nm 'empérature ambiante initiale: 25 OC

'empérature ambiante finale: 45 OC

:alculs iistance focale de la lentille ( F ) :

Lentille collimatrice: Fenêtre de la diode laser:

Type: Lentille sphérique biconvexe

Matériau: CO 550 (Corning)

Coeff. dil.th..( 3): 15 pm/m°C

Diffusivité th. : 0338 - lo6 d s 2

Dimensions utiles:

RI : 56.208 mm R1 : -5.093 mm e : 3.690 mm

Indice de réf. (n): 1.60056

Type: Lame mince

Matériau: BK7 Coeff. dil.th..(q): 7.1 Cun/m°C

Diff. th. : 0 5 17. IO^ m/s2

Épaisseur ( t ) : 0.25 mm

Indice de rdf. (nlme): 1.5 1370

1-47. 104 OC-'

iistance entre le centre de la IentilIe est la surface émettrice du cristal (FJO) : 7.72 mm

roefficient de changement thermique de ta Focale (lentille mince) ( O+) : 30.92 Cun/mnC

:oefficient de changement thermique de la focale (lentille épaisse) ( a ~ ) : 30.69 pm/mnC

:oeficient de changement thermique global (lentille épaisse) ( a ~ - ) : 29.51 pm/m°C

iésaiignement de l'optique à corriger mécaniquement ( Mi0 = Fi0 - a~;o -AT ): 4.56 pm pour AT=20°C

Tableau 3.3 CaIculs numériques du désalignement de

I'optique suite à un gradient thermique

Le désalignement calculé est dix fois supérieur à celui accepté pour entrer dans les

spécifications exigées. Une correction mécanique s'avère donc nécessaire. Les résultats ci-

dessus ont été calculés pour un cas particulier et pour une longueur d'onde bien spécifique.

Comme il a été mentionné à 1a section 3.3, ce modèle est basé sur plusieurs hypothèses

simplificatrices permettant de Iinéariser le problème. 11 est cependant essentiel, avant

d'aller plus loin, de vérifier si ces dernières sont justifiées, en particulier l'hypothèse

paraxiale, à l'aide d'un Logiciel de conception optique commercial (Zemax-EE).

3.9 Validation du modèle théorique à l'aide d'un logiciel de conception

optique

Le logiciel Zemax-EE est un logiciel spécialisé qui permet de concevoir, calculer,

optimiser et vérifier les performances optiques des systèmes optiques. ii permet entre

autres de simuler certaines conditions d'opération comme des désalignements (axial ou

transversd) ou encore des variations de température. Par contre, tout comme pour le

modèle défini précédemment, Zemax-EE a des limitations. Toutefois, ce logiciel calcule le

tracé de rayon exact, ce qui Ie rend relativement fiable.

Mame si plusieurs logiciels commerciaux sont aptes à calculer le désalignement du

système de collimation, il fut tout de même intéressant de développer ce modèle

mathématique simplifié pour mieux distinguer quel paramètre ou composante (longueur

d'onde, dimensions, fenêtre du laser, changement d'indice de l'air) a le plus d'influence sur

le comportement thermique, De plus, comme tout logiciel, il est beaucoup plus facile de

faire des erreurs lorsqu'on ne connaît pas l'ordre de grandeur du désalignement. Donc la

combinaison de ces deux outils devrait donner une bonne idée du désalignement réel de

l'optique.

La manière de procéder pour vérifier ce rnod2le a consisté, dans un premier temps, Zi

modéliser le système optique à l'aide Zemax-EE et à optimiser les distances entre les

différentes composantes pour obtenir les performances optimales. Ensuite, un changement

de température uniforme a été imposé sur le système. Le logiciel a donc calculé les

variations des paramètres du système, La distance entre les composantes, calculée à partir

du modèle mathématique précédent, a été imposée au modèle dans Zemax-EE. Finalement,

iI n'a suffit qu'à comparer les nouvelles performances optiques de chaque modèle (modèle

linéaire et modèle numérique de Zemax-EE) pour différentes températures.

Les figures ci-dessous montrent la variation de la divergence et du défocus du faisceau

laser gaussien d'un système de collimation en fonction de la température.

O 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5i

Température ambiante ( OC )

0.200

Figure 3.9 Divergence théorique du système de collimation étudié en fonction de la température

0.195 :

0.190 :

I !

- 0.185 -0 g 0.180 i V

8 0.175 :' C

8 0.170 1

>

".ifs ; 0.160 :

0.155 :

o.tso

. - i i

!

Divergence cdcu18 pmir ! du modèle lintaire prinxial

.----- Divergence calculCe avec Zemax

! / / ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . ; . . . . ; . . . . , . . . . u . . . .

P-V : 0.4359 )i 1 j

O 5 10 15 20 25 30 35 JO 45 50

Tcrnpénture ambiante ( OC )

Figure 3.10 Défocus théorique du système de collimation étudié en fonction de la température

A partir des courbes ci-dessus, il est possible de constater que la théorie paraxiale s'avère

suffisamment précise pour le calcul de la divergence et du défocus du faisceau laser. Dans

ies pires cas, le calcul du défocus du modèle déveioppé est inférieur à 1.5% d'erreur par

rapport à celui calculé à l'aide de Zemax-EE. Le modèle théorique s'avère donc un outil

fiable pour le calcul de la bague de compensation qui sera présenté au prochain chapitre.

CHAPITRE IV

COMPENSATION M ~ ~ A N I Q U E PASSIVE

Les hypothèses associées au calcul de la correction mécanique seront tout d'abord

énumérées pour ensuite enchainer avec le calcul proprement dit de cette correction. Les

matériaux choisis composant le système accompagnés des raisons justificatrices suivront et

finalement les résultats numériques associés seront présentés.

4.1 Hypothèses

Comme pour le modèle théorique, le calcul de la correction mécanique requiert de poser

certaines hypothèses afin de réduire de manière judicieuse sa comptexité :

Le calcul suppose que le système est en régime permanent, c'est-à-dire que les

gradients thermiques existant à l'intérieur de celui-ci sont indépendants du temps,

Encore une fois, le comportement thermique est supposé homogène Ct travers une

même composante (les gradients thermiques à travers une composante sont

considérés négligeables),

Aucune résistance thermique en conduction et de contact (entre les différentes

surfaces) n'est prise en compte car les matériaux utilisés sont de bons

conducteurs de chaleur même si leur présence peut avoir des effets non

négligeables,

Les différents éléments du système sont libres de se dilater volumiquement. Les

contraintes mécaniques étant négligées, les variations du milieu engendrent

exclusivement des déformations thermiques (et non mécaniques),

Finalement, les propriétés des matériaux sont indépendantes de la température.

4.2 Calcul de la correction mécanique

Un croquis du système à optimiser est présenté à la figure 4.1.

Monture

Lentille -

Figure 4.1 Montage des composantes du système de collimation

Bien que le montage réel differe légèrement de celui de la figure 4.1, le principe thermique

est équivalent. La lentille est fixée à la monture par son épaulement annulaire en supposant

que celle-ci se dilate symétriquement par rapport à son centre. Ce dernier est donc la

référence physique de la lentille par rapport aux autres composantes. La bague de

compensation et la diode laser sont pris en sandwich entre la monture et un ressort juste

assez rigide pour les maintenir en place solidement sans toutefois les empêcher de se dilater

librement.

Le cristal quant à lui, est soudé sur une structure en porte-&-faux du boîtier de la diode de

telle sorte qu'une partie du boîtier infiue sur le comportement thermique du système. En

rédité, cette structure se dilate dans le sens opposé du reste du système vu sa géométrie.

Le calcul de la correction implique donc huit paramètres :

a,, représentent respectivement la distance effective et le coefficient de

dilatation thermique de l'optique à corriger,

Lhh a~ sont respectivement l'épaisseur utile et le coefficient de dilatation

thermique pour Ia correction mécanique de la monture,

Lrese, aher sont f'épaisseur utile et le coefficient de dilatation thermique du

boîtier du laser,

Lbague, abague représentent respectivement l'épaisseur de la bague compensatrice

et son coefficient de dilatation thermique.

Un procédé itératif aidé d'un système d'équations relativement simples suffira à déterminer

tous les paramètres du système. Plus précisément, il suffit de poser intuitivement des

matériaux pour la monture et la bague compensatrice. Comme le matériau du boîtier du

laser et son épaisseur utile (Lfarer) sont connus, les seuls paramètres inconnus sont donc Ln*

et Lbogue. Ainsi, une équation d'équilibre et une de compatibilité suffisent pour définir le

problème.

La première est triviale et n'est en réalité que l'équation d'équilibre dimensionnel des

composantes, soit :

et la deuxième est I'équation de compatibilité impliquant les propriétés thermiques des

matériaux avec leur épaisseur respective,

En isolant LM dans les deux équations, on obtient après réarrangement :

L'équation 4.3 définit l'épaisseur de la bague optimale pour corriger parfaitement fe

désalignement de l'optique. En pratique, il faut prévoir une variation de .+ 5% sur les

coefficients de dilatation thennique car leur valeur absolue est connue en moyenne à

L'intérieur de cette précision et parfois même elle peut être plus grande, sans compter que

leurs variations avec la température ne sont pas toutes identiques.

4.3 Choix des Matériaux

Les matériaux utilisés, autant pour les composantes optiques que pour les composantes

mécaniques, doivent être sélectionnés avec minutie pour optimiser les performances du

système soumis aux conditions d'opération.

Comme il a été décrit à la section 3.2.3, il est possible de comparer le comportement

thermique des verres optiques pour déterminer ceux qui offrent les meilleures performances

pour I'appiicacion visée. Dans le cas prkent, le verre sélectionné est Ir Co-550, un verre

fabriqué par la compagnie Corning spécialement conçu pour corriger les aberrations des

faisceaux laser.

En ce qui concerne le choix des matériaux pour les composantes mécaniques, ils doivent

satisfaire les restrictions de rigidité, de machinabilité et de disponibilité tout en ayant de

bonnes propriétés thermiques. En fait, il faut que globalement, la mécanique ait un

comportement thermique similaire à ceIui de L'optique. Il a été démontré au chapitre 3 ainsi

qu'à la section 4.2 du présent chapitre que dans les deux cas, leur comportement thermique

peut être linéarisé en faisant quelques hypothèses justifiées. Cependant, ces dernières

supposent que la température est uniforme à l'intérieur des composantes, stable

temporellement et que les vitesses de changement sont identiques, ce qui n'est pas tout à

fait vrai en réalité.

Ii est, par contre, possible de minimiser ces effets en choisissant des matériaux qui ont une

bonne conductivité et dont la difisivité thermique est maximale. Le tableau 4.1 montre les

propriétés thermiques et mécaniques de quelques matériaux sélectionnés avec certaines

cotes comparatives.

Densité a

( y ) ~!%-c.)

8050 1.26

Chaleur spéc. Diff. ther.

& . K ) x 1 0 W )

Coût 1 Difficulté Matériau

Invar 36

Molybdene m

Titane Ti-6A14-V

Acier 1020

Cuivre pur

Laiton C26ûû

Acier inox 303

Aluminium 606 1 -T6

Magnésium AZ-3 1 B

Zinc pur polycristallin

Delrin -.

Source : ASM 1

$$a$ J J J J

I Matter) (1975) Handbook, Metal E cal Propenies O

Tableau 4.1 Propriétés physiques de quelques matériaux séIectionnés

Comme il est possible de Ie remarquer, il existe toute une gamme de matériaux

potentiellement intéressants pour la conception d'un tel système. Ii est cependant possible

d'en éliminer plusieurs tels : I'invar (à moins d'une nécessité absolue), le titane et le deIrin.

Ils ont des conductivités beaucoup trop faibles pour être pris en considération.

Comme il a été mentionné à la section 4.2, le calcul de la correction mecmique nécessite

l'imposition d'un matériau pour la monture globaie du systéme de collirnation, Le matériau

retenu pour cette dernière est donc l'aiuminium 6061-T6. Bien que ce choix soit purement

quaiitatif pour Ie moment, il est tout de même justifié car l'aluminium est un des matériaux

les plus utilisés pour Les applications optomécaniques standards. Il a les avantages suivants:

II est Eger,

ses propriétés mécaniques sont acceptables,

son coût est raisonnabIe (= 7$/Kg),

très bonne machinabilité,

bonnes propriétés thermiques,

il offre une bonne adhésion pour des traitements de surface comme

l'anodisation. Ce dernier lui donne un fini noir mat qui minimise la Iumière

parasite dans les systèmes optiques et améliore sa dureté superficielle.

il ne reste pius qu'à trouver le matériau composant la bague correctrice pour que le système

d'équations soit résolu. Or, plusieurs matériaux peuvent être potentiellement intéressants

pour cette application. En se basant sur les données du tableau 4.1, une liste contenant Ies

matériaux susceptibles d'être adéquats, leur coefficient de dilatation et l'épaisseur de la

bague cdcutée à partir de l'équation (4.3) est proposée au tableau 4.2.

Données Matériau de la monture globale : Aluminium 6061-T6 Coefficient de dilatation thennique de la monture ( a;u 1: 2 2 5 pm/m°C Matériau du boîtier de la diode laser: Cuivre pur Coefficient de dilatation thermique du boîtier du laser ( ahCr): 16.7 pm/m°C gpaisseur utile de matériau du boîtier ( Lhrr ): 2 5 5 mm (Distance cristal laser- épaulement de la diode)

Coefficient de changement thermique de l'optique ( ~ F ; O ): 29.51 pm/m°C (voir tableau 3.3)

Distance entre Ie centre de la Ientille et la surface émettrice du cristal laser (Fn'O) : 7.72 mm [voir tableau 3.3)

Calcul de la bague correctrice Matériaux 1 Coeff. dil. th. ( pm/rn°C 1 Épaisseur de la bague ( mm ) [ 1

Molybdène TSM 5.0 -2.25 1

Tableau 4.2 Choix du matériau pour la bague correctrice et c a h l de son épaisseur

t ci& 1020 Cuivre pur Acier inoxydable 303 Laiton Aluminium 606 1-T6 Magnésium AZ-3 I B Zinc pur polycristallin

A partir de Ia liste ci-dessus, le choix du matériau pour Ia bague est trivial car cette dernière

ne peut être plus épaisse que la distance Fi0 et ne peut être négative. Ainsi, seul l'épaisseur

de celle en zinc pur satisfait ces exigences. Ce qui nous limite dans le choix du matériau

dans Ie cas présent est que le changement thermique de focaie du système optique étudié est

élevé par rapport aux coefficients de dilatation thermique des matériaux retenus. Tl aurait

été sûrement très intéressant de prendre un matériau qui a un coefficient d'expansion

thermique plus éIevé que l'aluminium, mais les seuls qui répondre à cette condition sont le

zinc et le magnésium. Ces derniers, ayant des conductivités et des difisivités thermiques

plus faibles que l'aluminium, font en sorte que la combinaison duminium-zinc semble être

la meilIeure solution à priori pour corriger le plus parfaitement le désalignernent de

12.6 16.7 17.2 20.5 22.5 25.2 30.2

I'optique.

-3.97 -6.78 -7.42

- 19.66 Impossible

14.56 5.1 1

Bien qu'une bague correctrice en zinc de 5.11 mm d'épaisseur soit théoriquement idéale, il

est fort probable qu'elle ne le soit pas en pratique pour plusieurs raisons dont celle

mentionnée à la section précédente concernant l'imprécision sur la connaissance des

propriétés thermiques des matériaux. Il faut donc s'attendre à ce qu'il faille essayer

plusieurs combinaisons de matériaux et d'épaisseur avant de trouver la bague optimale. La

formule permettant de catculer l'erreur de défocus pour une combinaison donnée est

déduite de (4.2) et s'écrit :

CHAPITRE V

Les modèles théoriques définis précédemment ne tiennent pas compte des différents

mécanismes de transfert de chdileur entre le système et l'air ambiant et à l'intérieur du

système lui-même. Vu qu'il est difficile de trouver une solution analytique pour la

géométrie étudiée, la méthode d'analyse par éléments finis (MEF) s'avère adéquate pour

vérifier les effets de ces mécanismes sur le comportement thermomécanique global en

régime transitoire ainsi qu'en régime permanent.

Dans un premier temps, une brève présentation générale de la méthode des éléments finis

sera donnée, ensuite le modèle mathématique du système thermomécanique général sera

défini, suivi de queIques simplifications pour diminuer Ie couplage entre les effets

thermiques et mécaniques. Les conditions aux limites, les différents mécanismes de

transfert de chaleur et le traitement numérique seront par la suite explicités. Finalement le

modèle par MEF étudié sera présenté accompagné de quelques résultats numériques.

5.1 Méthode d'analyse par éléments finis, généralités

Essentiellement, la méthode d'analyse par éléments finis consiste à diviser le domaine

géométrique d'un problème complexe en sous domaines de forme simple appelés éléments

finis. Le système réel à analyser est donc remplacé par un modèle géométrique qui est

composé de noeuds reliés entre eux pour former des éléments géométriques auxquels on

assigne des propriétés matérielles. Ensuite, on définit pour chacun des sous domaines (ou

éIément) une approximation fonctionnelle des variables à déterminer du modèle

mathématique dans le but d'obtenir une solution approchée de la solution du problème

global. Plus le nombre d'éléments est élevé, meilleure sera la solution. Toutefois, comme le

temps de calcul du problème et surtout son coût sont souvent des restrictions importantes, il

faut faire un compromis entre la précision désirée et le temps de caicut.

5.2 Modèle mathématique du système thermomécanique

Le modèle mathématique présenté dans cette section sen à calculer la solution exacte sur un

modèle géométrique simple. Cette formulation doit être développée avec attention en

posant des hypothèses représentatives de la réalité, car elle représente Ie Comportement

physique du phénomène en cause.

5.2.1 Hypothèses générales

Conformément à la théorie de l'élasticité linéaire, nous admettons les hypothèses générales

suivantes pour Ie développement du modèle mathématique :

les déformations sont très petites,

les propriétés matérielles sont isotropes et indépendantes de la température,

le milieu est élastique (le milieu n'est pas dissipatif).

Des hypothèses supplémentaires plus spécifiques aux cas étudiés s'ajouteront dans les

sections subséquentes de ce chapitre.

5.2.2 Équations fondamentales

L'élaboration de la formulation mathématique du modèle fait appel à la mécanique des

milieux continus, plus spécifiquement à la théorie de la thennoélasticité linéaire. Plusieurs

chercheurs ont présenté des travaux dans le domaine tels Nowinsky (1978), Hetnarski

(1986), Gakwaya (1996) qui démontrent que le problème thennoélastique est décrit par 20

équations et 20 inconnues : les 6 équations de déformation, les 3 équations d'équilibre, les 6

équations de comportement, la loi de conservation de l'énergie, les 3 équations de transfert

de chaleur en conduction et finalement l'équation d'énergie interne. Les équations suivantes

ont été tirées des références [Gakwaya (Mécanique des milieux continus) (1996) et

Gakwaya (Introduction à la conception assistée par ordinateur, modélisation et analyse)

( 1996)l

Les 6 équations de déformation en fonction des déplacements dans le cas des petits

déplacements sont exprimées par l'équation générale suivante:

el = (u, + u l J ) en notation indicielle (5.1)

où i,j=(1,2,3) E, :Tenseur des déformations Ui : Composantes du vecteur

déplacement

L'équation 5.1 peut aussi s'écrire sous forme matricielle :

(4 = CL] {ul

Équations d'équilibre

Les 3 équations d'équilibre sont dérivées du principe de conservation locale de la quantité

de mouvement et se définissent comme suit :

où a, : Tenseur des contraintes f; : Force de volume p : Densité - - dvf : Vecteur accélération at

Équations de comportement générales

Les 6 équations de comportement thennoélastique s'écrivent :

où Cijkl : Tenseur des modules élastiques Bij : Tenseur des modules thermiques 0 : Différence de température (T-T,) To : Température de référence

L'équation 5.4 s'écrit matriciellement de la façon suivante :

i d= [CI.IEI+{B}.~

Pour un matériau isotrope, Cijkl est égal à :

où h et p sont les constantes de Lamé

À partir des constantes de Lamé, il est possibIe de retrouver le module de Young et le

coefficient de Poisson qu i sont plus familiers aux ingénieurs:

p - ( 3 - ~ + 2 . , u ) le module de Young est : E =

A . W

A et le coefftcient de Poisson est : v =

2 . ( n + 4

- Esa et pi est égai à : ~6~ =-(3-,1+2.,u)-a=- 4 (5-9)

1-2-v

Ainsi, l'équation 5.4 devient :

q, =[A.&& +p-e]-b;, + 2 - ~ . %

ou encore sous forme matricielle : b] = -(3 - d + 2 . p ) - a -.

Loi de conservation de l'énergie

Cette dernière est tirée de I'équation locale de conservation de l'énergie et s'exprime par :

1

1

O

O

O

+

où u =- : tnergie interne at q, : Composantes du vecteur flux de chdeur h : Force massique de source interne de

chaleur

Épations de transfert de chaleur en conducrion

Les trois équations du transfert de chaleur en conduction découlent de la loi de Fourier

généralisée qui est :

9 k = -Ku .6., (5.13) où K, : Tenseur de conduction thermique

Pour un matériau isotrope, ce tenseur devient égal à :

Kk, = K . 6, (5.14) où K : Conductivité thermique du matériau

Alors l'équation 5.13 devient :

L 'équation d'énergie interne par unité de volume

L'expression du potentiel d'énergie interne utilisée pour dériver les lois de

comportement devient, pour un matériau linéaire:

1 P - = ~ - u = ~ - u ~ + ~ - c ~ ~ , - E ~ - E , + ~ . , . ~ + - - ~ ~ (5 . 16) 4

Dans le cas d'un corps isotrope,

= Capacité spécifique de chaleur a temphture , ,G, =O

constante @=O* et à déformation nulle

5.2.3 Simplifications

Bien que nous ayons suffisamment d'équations pour résoudre le système, il est cependant

préférable d'apporter des simpIifications. Premièrement, en remplaçant les équations de

déformation (5.1) et de comportement (5.1 1) dans l'équation d'équilibre (5.3), on obtient

l'équation de mouvement en fonction des deplacements :

ou encore sous forme matricielle,

où [~(h)], = p - ~ - b , + ( A + ~ ) - d2

est l'opérateur différentiel d'élasticité classique et kt - a,

A : L'opérateur Laplacien

De plus, en introduisant les équations de déformation (5.1). de conduction (5.15) et de

I'énergie interne (5.17) à l'intérieur de l'équation de conservation de l'énergie (5.12), on

retrouve l'équation différentielle de Duhamel pour Ia conduction :

et dans le cas ou la conductivité ( K ) est isotrope et indépendante de la position et de Ia

température, I'équation 5.20 se réduit à :

Le système d'équations est donc réduit à quatre inconnues et quatre équations dont trois à

partir de (5.18) et une à partir de (5.2 2 ) .

5.2.4 Modèle théorique du système étudié

Les équations 5.18 et 5.21 représentent Ie modèle mathématique du comportement

thennoélastique couplé linéaire dans un cas très général. Bien entendu, il est possible de

poser quelques hypothèses supplémentaires associées au modèle étudié permettant de les

simplifier davantage. En pratique, le modèle par éléments finis du système de collimation

est divisé en deux cas : les essais en régime permanent ou stationnaire et les essais en

régime transitoire. Tout dépendant du cas étudié, les hypothèses de découplage entre les

déformations mécaniques et la température ne sont pas les mêmes, d'où l'importance de les

séparer en deux problèmes distincts.

A) Cas #1 Essais en régime permanent

Les hypothèses simplificatrices sont les suivantes :

Les forces de volume et Ies effets inertiek sont négligeables,

La dissipation de chaleur due aux déformations est négligeable en raison de la

petitesse de celles-ci,

2, = O

Comme le système est stationnaire, Ies variations de température en fonction du

temps sont nulles,

6 = O et &, = O

Aucune source interne de chdeur.

Le système d'équations se réduit alors sous ces conditions à :

Les équations 5.22 et 5.23 représentent un système d'équations découplé que l'on doit

d'abord résoudre pour 0 (5.23) et ensuite pour la thermomécanique (5.22).

B ) Cas #2 Essais en régime transitoire

Les hypothèses en régime thermique transitoire sont identiques à celle du cas stationnaire à

l'exception du terme 6 qui n'est plus négligeable. Les équations 5.18 et 5.21 se réduisent

à :

5.3 Conditions aux limites

Les problèmes pratiques en thennoélasticité se distinguent entre eux par leur géométrie, les

propriétés physiques des matériaux et leurs conditions aux limites. Ces dernières sont

essentielles pour la résolution des équations différentielles. 11 faut d'ailleurs être prudent

lors de la définition des conditions aux limites car elles peuvent facilement être une source

importante d'erreurs si elles ne sont pas posées avec précaution.

Les conditions aux limites sont appliquées sur la frontière du domaine. On distingue alors

différents types de portion de frontière :

Su -+ Frontière du domaine où les déplacements sont imposés,

ST + Frontière du domaine où les tractions sont imposées,

S, + Frontière du domaine où la température est imposée,

S, + Frontière du domaine où le flux est imposé.

11 est important de noter que les déplacements et les tractions sont complémentaires, c'est-à-

dire qu'elles ne peuvent pas coexister simultanément en un point (sur Su les déplacements

sont imposés et les tractions sont automatiquement inconnues et c'est l'inverse sur ST) et il

en va de même pour Se et Sq.

Pour le cas stationnaire, les conditions aux limites du problème sont :

Pour les équations mécaniques : - - déplacements imposés : u, = u, sur Su

- - tractions imposées : CI,, - n, = t, sur S,

où i=1,2,3

S,,nS, =0

Pour l'équation de transfert thermique :

- température imposée (condition de Dirichlet) : 6 = 6 sur Se (5.28)

a 6 - - flux de chaleur imposé (condition de Cauchy): - K - - = q, - n, = q,, sur S, on

Pour le cas transitoire, les conditions aux limites sont identiques, mais on doit cependant

ajouter des conditions initiales ainsi que la variation de ces conditions en fonction du

temps :

- Conditions aux limites de temps : u(x,y,z, t ) = il; (x, y,z) (5.34)

m, y*z,t) = < ( x , y,z) (5.35)

B(x. y m ) = ë(x , y , t ) (5.36)

q ( x , YS, t ) = q, ( x , y,z) (5.37)

5.4 Mécanismes de transfert de chaIeur

Les conditions aux limites thermiques ( 4 ) peuvent provenir de trois mécanismes de

transfert de chaleur; la conduction par contact, la convection et le rayonnement. ii est donc

intéressant d'expliquer en queIques lignes les paramètres en cause lorsque de telles

conditions sont imposées. La théorie présentée dans cette section est tirée principalement de

De Vriendt (1989).

5.4.1 La conduction par contact

La conduction par contact concerne le transfert thermique entre deux solides en contact.

L'équation générale de la conduction est :

a r q = - k . - (5.38) an

OC k : Conductivité thermique du matériau

L'équation d'équilibre thermique dans le cas où il y a deux corps en contact parfait (aucune

résistance thermique) est :

Cependant, en pratique TI + Tr car le contact entre deux surfaces est imparfait, ce qui a

comme conséquence de créer des discontinuités thermiques entre les deux surfaces qui se

traduit par une résistance thermique de contact. Cette dernière s'exprime par :

où q"est la densité de flux

et sa grandeur dépend de plusieurs facteurs tels :

Aire des zones de contact,

fini de surface (qualité d'usinage, présence ou non du film d'oxyde),

conductivité des matériaux,

conductivité du fluide qui remplit les aspérités dans la zone de contact (air, huile,

pâte thermique, etc.),

propriétés des matériaux (dureté, limite élastique, etc.),

pression de contact,

température de l'interface.

Essentiellement, la résistance thermique de contact diminue lorsque la pression mécanique

ou la température de l'interface augmente, lorsque le matériau a une dureté faible, ou encore

si le fluide interstitiel a une bonne conductivité.

5.4.2 La convection

On appelle convection, l'échange thermique existant entre un fluide et une surface d'un

solide. L'équation qui régit cet échange est :

où h, : Coefficient de convection moyen Ts : Température de la surface T- : Température du fluide ambiant

Ii existe deux types de convection, la convection naturelle et la convection forcée. Pour les

besoins de l'étude. seule la convection naturelle est traitée. Pour le calcul de cette dernière,

deux hypothèses distinctes peuvent être posées : soit le flux ou soit la température est

uniforme sur toute la surface. Dans le cas présent, c'est la température qui est supposée

uniforme.

Ii existe plusieurs méthodes, dont la plupart sont empiriques, pour calculer le coefficient de

convection d'un fluide. Les cdculs qui suivent ont été choisis de façon arbitraire, mais cela

ne signifie pas que les autres méthodes ne sont pas appropriées. La section sur la convection

de ia référence p e Vriendt (1989)l donne plus d'information sur les limitations de ces

cdculs.

Le coefficient de convection est défini par les relations suivantes :

k . Nu,,, h c = L

Nu,,, = c - ( ~ r , - ~ r r

où Nu,,, : Le nombre de Nüsselt moyen L : La longueur caractéristique qui peut être calculée de plusieurs manières.

Celle retenue est le rapport de l'aire de la surface sur son périmètre (L=A ire/Périmètre)

GrL : Le nombre de Grashof qui représente le quotient de la force d'Archimède agissant sur le fluide par les forces de viscosité

Pr : Le nombre de Prandtl g : Constante de gravité terrestre ( 9.8 1 mls' ) p : Coefficient de dilatation cubique à pression constante du fluide

pour les gaz parfaits) (B=- r,+L v : Viscosité c et n sont des constantes qui dépendent de l'orientation de la surface et de l'état

du fluide (laminaire ou turbulent). Le tableau 5.1 donne les valeurs de ces constantes pour quelques cas typiques.

1 Orientation de la plaque État du fluide I Gr, - Pr c n

Plaque verticale Laminaire 104 à lo9 0.59 1 /4

Turbulent lo9 à 1 0 ' ~ O. 10 1 /3

1 Plaque horizontale

1 Face chaude vers le haut ou 1 Laminaire 10' à 2 x 10' 0.54 1 /4

1 face froide vers le bas 1 Turbulent 2 x 10' à 3 x 10" O. 14 1 /3

p i e chaude vers le bas ou 1 amin na ire 3 ~ 1 0 ~ 1 3 x 1 0 ~ ~ 0.27 1 /4

1 face froide vers le haut / Tableau 5.1 Différentes vaIeurs de c et n pour des applications typiques

5.4.3 Le rayonnement

Le rayonnement thermique est un mécanisme de transmission par lequel la chaleur passe

d'un corps à haute température à un autre, plus froid et ce sans être en contact l'un avec

l'autre. Ils sont cependant séparés par un milieu transparent (l'air ou le vide). Le flux

thermique échangé par le rayonnement est du même ordre de grandeur que celui échangé

par la convection naturelle pour Ies températures basses ou modérées.

Le flux de chaleur échangé par radiation est calculé à l'aide de la loi de Stefan-Boltzmann

dans le cas d'un corps gris et se dgfinit par :

-8 W où CF : Constante de Stefan-Boltzman = 5.66697 x 10 A : Surface d'échange (m3 E : Érnissivité du corps = absorptivité

il est possible, pour simplifier les cdcuIs, de combiner le rayonnement et la convection

ensemble. Comme l'équation du flux pour le rayonnement contient des termes thermiques

d'ordre 4, il faut la modifier pour la linéariser avec les flux provenant des autres

mécanismes de transfert. Ainsi, il est possible d'exprimer le flux de la manière suivante :

Lorsque la différence de température entre le solide et le milieu ambiant n'est pas très

élevée, on peut poser que = T, pour le terme de degré trois de l'équation 5.48. Cette

dernière se réduit donc à :

4 = 0 . ~ - ~ - ( ~ - c ) - 4 - T ' . (5.49)

et finalement, en faisant la substitution h, = 4 - CT. E . dans 5.49 :

Maintenant que le flux thermique de rayonnement est finéaiid, il est facile de le combiner

au flux par convection :

4 = (4 + h , ) . A - ( l : -Tm) (5.5 1)

5.5 Traitement numérique

Avant d'analyser par étéments finis un tel problème, il faut au préalable transformer les

équations différentielles partielles sous une forme variationneHe en intégrant par partie.

Cette transformation permet de réduire l'ordre des équations en transférant les dérivées sur

une fonction test (ou de pondération) et d'introduire les conditions aux limites dans

l'intégrale de frontière. On n'aura ensuite qu'à supposer une approximation de cette

fonction en s'assurant qu'elle sera autant de fois dérivable que l'ordre qu'on lui a transféré.

Généralement, le type de fonction de pondération dépend directement du type d'éléments

que nous utilisons tors du maillage du modèle géométrique. Étant donné que le problème

thermoélastique est découplé, les parties élastique et thermique sont traitées

indépendamment. La démarche de calcul est tirée de la référence [Gakwaya (Introduction à

la conception assistée par ordinateur, modélisation et analyse) (1 W6)].

5.5.1 Formulation variationnelle des équations d'équilibre mécanique

La formulation variationnelle des équations d'équilibre mécanique est réalisée en intégrant

une fois par partie l'équation 5.3 et en utilisant la relation de Cauchy qui permet de relier

les contraintes à la surface en tractions, ce qui donne :

où : Force de volume (gravité, inertie, force électromagnétique, ...) [(n), : Force imposée sur la surface hi: Fonction test admissible de telle sorte que &=O sur la

partie Su de Ia surface Su: Partie de la surface du domaine où les déplacements sont

imposés S, : Partie de la surface du domaine où les efforts sont imposés

En remplaçant les équations de déformation (5.2) et de comportement (5.5) dans t'équation

5.52 et substituant (&) par (&) -[LI', on obtient sous forme matricielle :

Pour être en mesure d'appliquer 5.53 au modèle géométrique, il faut la discrétiser par

éléments finis comme suit :

où est la forme variationnelle éiémentaire

Ainsi, CY' = J(~~).[LJ~-[[CJ-[LI-{U)+{P}-Q ]dv- J{&)*{f}d~- J(&)*(t(n)W=O Y' Y' SC

De plus, l'approximation par éléments finis des déplacements sur chaque élément devient :

et selon la formulation variationnelle de Galerkin, l'approximation de la fonction test & est

effectuée de la même façon que u.

où un : Vecteur déplacement nodal : Vecteur déplacement virtuel nodal

N : Fonction d'interpolation

Pour simplifier, posons que [B] = [L] .[IV]. On obtient donc l'expression du travail virtuel

sur un élément :

Ensuite, l'évaluation des différentes intégrales de (5.58) par intégration numérique permet

d'obtenir la forme élémentaire discrétisée suivante :

où [kc] = J [ B ] - [Cl - [ B ] ~ v est la mauice de rigidité élémentaire ;-

Cr'} = - j [ N I - C f } d ~ - j [NI . {f(n))d~ est le vecteur sollicitation élémentaire v *

Une fois que les fonctions élémentaires WC sont calculées, il ne reste plus qu'à faire

l'assemblage de tous les éléments :

où [K,] : Matrice de rigidité globde {F,) : Vecteur sollicitation global

5.5.2 Formulation variationnelle de l'équation de la Ehermique

Pour simplifier l'analyse, appIiquons les hypothèses du modèle de la section 5.2.4 (cas

transitoire) pour le problème thermique. L'équation utilisée pour la dérivation du principe

variationnel est (5.25). La formulation variationnelle résultant de cette équation est obtenue

en intégrant une fois par partie selon le théorème de Gauss :

où iyest une fonction de pondération continue et dérivable sur tout le domaine. p û partout où ta température est imposée.

Les conditions aux limites sont introduites dans l'intégrde de surface. Dans le cas présent,

le flux est imposé plutôt que la température, cette dernière étant inconnue sur Ia frontière.

Le flux de chaleur imposé est le suivant :

où q : Source de chaleur extérieure hg : Coefficient globd combinant le rayonnement et la convection 8,' - 8, : Différence de température entre le solide et le milieu ambiant

En remplaçant (5.62) dans (5.61)' on a :

ou encore sous forme matricielle.

La formulation élémentaire est donc :

En introduisant l'approximation suivante :

n,

S = ~ N ; ( X , ~ , Z ) - ~ ; = [NI-(8,) (5.66) J

où n, : Nombre de noeuds sur un élément 4 : Fonction d'interpoIation 3D 8, : Valeur au noeud rn de la fonction 8

les gradients thermiques peuvent ainsi être approximés par :

L'équation 5.65 devient donc égaie à :

et [ B I = {L). [ N I l'équation 5.68 devient égale à: En posant que {L) =

d \

- & d - ?Y

d & O b ,

Une fois que l'intégration numérique est effectuée, il est possible de simplifier le problème

de Ia façon suivante :

W = [ke]- {a,}- Cf') = O

Ii ne reste plus qu'A assembIer les solutions pour chaque élément dans l'équation globale

sous la forme :

où [KI : Matrice de rigidité globale {F) : Vecteur sollicitation global

5.5.3 Choix du type d'éléments et maillage par éléments finis

Le type d'information recherché par cette analyse numérique ainsi que la géométrie

complexe du problème physique nécessitent une modélisation formée d'éléments solides

hexaédriques et tétraédriques. La dimension et le nombre dtéIérnents ont été choisis de

manière à ce que la précision soit acceptable [ I 5% d'erreur ) sans toutefois générer un

modèle trop lourd à traiter. De plus, pour des raisons de symétrie, seule la moitié du

systkme a été modélisée.

Le modèIe géométrique a été généré à l'aide du logiciel Femap vr 4.41. Ses analyses

thermiques et structurales ont été réalisés avec WeCan vr5.41 en régime permanent et avec

CAEFEM vr2.4 1 en régime transitoire.

Le logiciel Femap, distribué par la compagnie Entreprise Software Products, est un pré et

un postprocesseur qui fonctionne sur un PC standard avec un environnement Windows. il

permet de générer les modèles géométriques et de visualiser les résultats calculés de

plusieurs types de Iogiciels d'analyse par'él6ments finis (Patran, Abaqus. Nastran, WeCan,

CAEFEM, Cosmos, etc.). WeCan, produit par la compagnie Aegis Sofware Corporation,

est un logiciel d'anaiyse par MEF qui fait pratiquement tous les calculs linéaires

stationnaires en élasticité, en thennique, en vibration et en flambage. CAEFEM, produit par

La compagnie Concurrent Analysis Corporation, peut analyser pratiquement tous les types

d'analyse linéaire et non linéaire sur les solides.

Les calculs en régime permanent ont été réalisés sur un Pentium 166 MHz avec 32 megs de

mémoire vive et ceux en régime transitoire ont été réalisés sur un Pentium Pro 200 MHz

avec 64 megs de mémoire vive.

Les composantes du système de collimation qui ont été modélisés sont : la monture

mécanique, Ie dissipateur, la lentille collimatrice, la diode laser et Ia bague de

compensation. Le modèie géométrique est donc composé de 7034 noeuds et de 5137

éiéments et est montré à la figure 5.1.

Figure 5.1 Modèle géométrique du système de collimation

5.6 Calcul des conditions aux limites associées au problème étudié

Les caIcuIs numériques consistent principalement h calculer la répartition de température à

travers le système de colIimation en régime transitoire et permanent pour déterminer

I'ampleur des distorsions thermiques. Ensuite, à partir des températures nodales calculées

précédemment, il sera possible de calculer les déplacements nodaux pour en déduire le

défocus de la lentilte par rapport au cristal laser. Le calcul par éléments finis de ce problème

nécessite donc des conditions aux limites à la fois en thermique et en élasticité.

Le système de collimation étudié comporte deux mécanismes de transfert de chaleur, soit

un échange convectif entre I'air et les parois intérieure et extérieure ainsi que la perte

calorifique du cristal laser. De plus, il faut imposer des déplacements à quelques endroits

pour rendre le problème plus respectueux de la réalité.

5.6.1 Calcul du coefficient de convection

À partir des équations présentées aux sections 5.4.2 et 5.4.3 concernant le calcui du

coefficient de convection et de rayonnement, il est possible de déterminer un ordre de

grandeur du coefficient de convection expérimental en les appliquant au problème étudié.

Les données spécifiques au montage expérimental sont exposées au tableau 5.2 ci dessous.

g : 9.8 1 m/s2 E : 0.85 pour l'aluminium anodisé I Valeur très approximative vu la complexité de la géométrie

Tableau 5.2 Données pour le calcul du coefficient global hg

Ainsi, 981-0.0339-~~-01~ = 1353- Gr =

025 Nu = 057. (U53- 106 AT - 0.708) sachant que cm,= 0.57 et n = 114

Donc Ie coefficient de convection h, varie entre O et 9.9 W/m2K.

Le coefficient de rayonnement est égal a h, = 4-5.66697.10~ - 0 8 5 . ~ 2

h, : varie donc entre 5.1 et 6.2 W/rnzK.

Le coefficient global hg est égal à la somme des 2 coefficients calculés ci-dessus. hg varie

donc entre 5.1 et 16.1 WfmZK tout dépendant de la température. Au début et à la fin du

régime transitoire, l'écart de température entre le système de collimation et Ie milieu est

quasi nuI, le coefficient moyen résultant n'est donc pas facile à calculer car il varie

beaucoup. Mais en régime permanent il est généralement constant et devrait être un peu

supérieur à 5 W/mZK car l'écart de température est de l'ordre de 1 ou 2 OC.

Les cdcuIs cidessus sont très approximatifs car cette théorie a été développée pour des cas

typiques simples (plaques horizontale ou verticale) et s'applique plus ou moins dans le cas

présent vu la complexité de la géométrie. Néanmoins, ils permettent tout de même de

donner un ordre de grandeur du coefficient réel.

5.6.2 Conditions aux limites de convection

Pour simplifier l'étude, le coefficient de convection qui sera utilisé pour tes simulations

numériques par MEF (régime transitoire et permanent) est supposé indépendant du temps et

uniforme sur toute la surface à l'exception de la surface inférieure où le flux cdorifique est

supposé nul. Cela permettra de diminuer le temps de caIcul spécialement pour les tests en

régime transitoire. De plus, suite à quelques tests expérimentaux sur Ie système à analyser,

le coefficient moyen a été estimé à environ 7.5 W/mZK et sera utilisé autant pour les tests en

régime transitoire que permanent. La figure 5.2 montre le gradient thermique d'un point de

la surface du collimateur soumis à un échange convectif calculé à l'aide de CAEFEM et

celui mesuré expérimentalement.

O 600 1200 1800 2400 3000 3600 4200 4800

Temps ( s )

Figure 5.2 Vérification expérimentale du coefficient de convection

5.6.3 Conditions aux limites en conduction

Les conditions aux limites en conduction associées au probIème sont en fait les pertes

calorifiques du laser qui ont été estimées à environ 168 m W réparties uniformément sur

toute l'interface crisral-boîtier de la diode laser. Pour les fins de l'analyse par MEF, le

cristal n'a pas été modélisé, mais ses pertes calorifiques ont été imposées au niveau du

boîtier. La figure 5.3 montre la répartition nodale des pertes calorifiques à travers la diode

laser.

Figure 53 Conditions aux limites de la diode laser

En réalité, les pertes sont réparties sur quatre noeuds ; deux situés sur le plan de symétrie du

modèle et deux autres à coté. Comme le modele représente seulement la moitié du système,

les pertes imposées sont de 84 mW.

De plus, pour mieux simuler l'échange thermique à l'interface lentille-monture, un flux nul

a été imposé sur la paroi latérale de la IentiIle car celle-ci est retenue uniquement par une

pression axiale exercée par la bague de serrage. La figure 5.4 montre les noeuds sur Iesquels

un flux nul a été imposé.

Figure 5.4 Conditions aux limites de la lentille

5.6.4 Conditions aux limites en déplacement

Les conditions aux limites en déplacement consistent à fixer les déplacements selon l'axe x

sur le plan de symétrie, fixer les déplacements selon I'axe y sur la surface inférieure du

système et de Ies fixer selon I'axe z sur la face avant inférieure du modèIe géométrique tel

qu'indiqué à la figure 5.5.

Figure 5.5 Conditions aux limites en déplacements

5.6.5 Régime transitoire

Pour les simulations en régime transitoire, les conditions initiales sont les températures

nodales à l'équilibre lorsque l'air est à 25 O C calculées au préalable à I'aide de WeCan. La

durée du régime transitoire est de 4800 secondes avec des incréments variant de 1 seconde à

10 secondes tout dépendant du gradient de température- Le tableau 5.3 montre la répartition

des incréments de temps en fonction de l'évolution du transfert de chaleur.

Tableau 5.3 Incréments de temps imposés au modèle par MEF

Intervalles de temps simulés

-

5.7 Résultats numériques

Incrément

Un bref aperçu des divers résultats numériques sera abordé dans cette section pour donner

un ordre de grandeur des gradients thermiques à travers le systéme et des déplacements

nodaux. Le chapitre 7 les détaillera plus et par le fait même les comparera aux résultats

obtenus à l'aide du modèle théorique linéaire et celui mesuré expérimentalement. Les

rampes thermiques utilisées et les types de bagues correctrices utilisées ont ét6

sélectionnées en fonction des mesures expérimentales qui sont décrites au chapitre 6. Les

restrictions définies au chapitre 2 imposent un intervalle de température de fonctionnement

de 40°C pour lequel la divergence doit être stable, soit k 20°C. Cependant, pour des raisons

pratiques, cet intervalle a été divisé en deux sous intervalles, c'est-à-dire que le système de

collimation va être soumis à une variation de température du milieu de lOoC, va atteindre

son régime permanent et sera soumis à une deuxième rampe thermique de 10°C pour

finalement se stabiIiser à une température qui sera environ 20°C au-dessus ou en dessous de

celle initiale. Les raisons justifiant cette procédure sont explicitées au chapitre 6 également.

De plus, la bague utilisée pour les simulations numériques qui suivent est faite en zinc pur

et a une épaisseur de 3.6 mm.

5.7.1 Résultats en thermique

La figure 5.6 présente les résultats numériques de l'évolution de la température à travers le

système de collimation pour quelques noeuds importants représentant le mieux le

comportement thermique de certaines composantes ( lentille, diode laser et monture).

Temps ( s 1

.. - ~- - __,--. - -

- - Tm,,. de la monture miCrnique Agrandissement

30 -

/ ' 29 -

AT-*. 17 O C

@ 530 secondcs

27 -- . Voir agrandissement -- 400 500 M30 700 800 900

O 600 1200 1800 2400 3000 3600 4200 4800

Temps ( s )

Figure 5.6 Évolution de la température pour un AT,, = 10°C

Il est important de noter que la température initiale du système est légèrement supérieure à

la température ambiante et n'est pas tout à fait uniforme ( AT*. 12°C ) en raison des pertes

calorifiques du laser de l'ordre de 168 mW. De plus, I'évolution de la température à travers

le système en fonction du temps ne manifeste pas de fluctuations non linéaires. On note

également que les distorsions maximales apparaissent après 530 secondes environ. Ce sera

donc à ce moment là que la variation de la divergence réelle risque le plus de différer de

celle calcuIée à l'aide du modèle théorique linéaire. Une variation de O. 17°C peut paraître

négligeable, mais iI ne faut pas oublier que la figure 5.6 ne montre que l'évolution des

températures moyennes. En réalité chaque composante du système subit un gradient

thermique plus ou moins élevé, ce qui aura comme conséquence d'augmenter le niveau de

distorsions. De plus, étant donné que les résistances thermiques de contact entre les

composantes sont non négligeables, ces dernières n'en seront qu'amplifiées.

Les figures 5.7, 5.8 montrent la répartition du gradient thermique à travers le modèle en

régime permanent et dans le pire cas (moment où les distorsions sont maximales) en régime

transitoire pour un intervalle de température de 10 OC sachant que la température de l'air

ambiant après stabilisation est de 25°C.

Suite à ces résultats, il est possible de constater que la répartition de température à travers

tout le système de collimation est assez uniforme malgré le fait que la monture est massive.

Cela est principalement dû à la bonne conductivité des matériaux. En fait, la variation

maximale de température est de 1,l"C en régime permanent et de 1,2"C en régime

transitoire. Cependant, le gradient le plus élevé se trouve à être à l'intérieur de la diode laser

tout près du cristal émetteur et s'atthue à mesure qu'on s'éloigne de ce dernier. De plus,

les effets thermiques non homogènes à travers la lentille sont quasi négligeables car le

gradient thermique maximal à l'intérieur de celle-ci est de l'ordre de 0.2"C dans le pire cas.

Le modèle théorique du changement de l'optique developpé au chapitre 3 devrait ainsi bien

représenter le phénomène eel.

Figure 5.7 Gradients de température en "C en régime permanent

Figure 5.8 Gradients de température en "C en régime transitoire à 530 secondes

5.7.2 R6sultats en élasticité

Suite aux calculs de la répartition de la température à travers le modèle simulé, il a été

possible de calculer les déplacements relatifs du laser par rapport à la lentille pour ensuite

en déduire le défocus relatif et la divergence relative résultant. La figure 5.9 montre un

exemple d'analyse par iliments finis des diplacements cxistants A l'intérieur du syst;me de

collimation.

Figure 5.9 Déplacements nodaux en mm à travers le système

Des résultats plus spécifiques et plus complets seront présentés au chapitre 7 pour ensuite

être comparés aux autres résultats obtenus à l'aide des travaux expérimentaux.

CHAPITRE VI

Bien que les modèles théoriques précédents semblent assez complets, seuls les tests

expérimentaux peuvent réellement valider le phénomène à la condition qu'ils soient réalisés

dans des conditions adéquates. Ces tests permettront donc de vérifier si I'athermalisation

mécanique passive est applicable pour comger avec assez de précision l'erreur de défocus

(ou de la divergence) du système analysé. De plus, ils permettront de vérifier que le temps

de réaction de la mécanique ne differe pas trop de celui de l'optique (la lentille) de manière

à rivoir un temps de stabilisation raisonnable advenant le cas oii les distorsions en régime

transitoire seraient trop importantes. Pour ce faire, des mesures en régime transitoire et

permanent ont été effectuées.

Les tests expérimentaux ont consisté à mesurer le changement de divergence du faisceau

laser presque cotlimé émergent du système de collimation lorsque 1e miIieu ambiant subit

un gradient de température. Ces mesures ont été prises à l'aide d'un interféromètre de haute

précision.

Ce chapitre présentera donc, dans un premier temps, la théorie de base en interférométrie

accompagnée d'une brève description de l'interféromètre utilisé et de la précision sur la

mesure de la divergence qu'il peut atteindre. Findement, le montage expérimental ainsi que

quelques cas étudiés seront decrits.

6.1 L'interférométrie, généraIités

Un faisceau laser collimé est, en théorie, une onde lumineuse (ou encore électro-

magnétique) monochromatique plane périodique dans le temps et dans l'espace. Il est

possible de définir une telle onde se propageant selon l'axe x par la relation suivante :

où @x,,r) : Fonction d'onde A : Amplitude de I'onde lumineuse v : Fréquence de la lumière d : Longueur d'onde de la lumière 9 : Phase de I'onde à l'instant t I : Temps x : Distance parcourue par I'onde lumineuse

dans ia direction x

Lorsque deux ou plusieurs ondes de même longueur d'onde se superposent et Iorsqu'elles

sont en phase ou en opposition de phase, on dit qu'iI y a interférence. Si le déphasage entre

ces ondes est un multiple de 2 ~ . l'interférence est constructive, c'est-à-dire que l'intensité

résultante est Ia somme des intensités. Cependant, si le déphasage est un multiple de nn; (où

n est un nombre entier impair), les intensités se soustraient et I'interférence est destructive.

Le déphasage entre deux ondes peut s'obtenir de plusieurs manières, soit e n changeant tout

simplement la phase, ou soit encore en modifiant Ie parcours optique d'une onde par

rapport à l'autre. Pour pIus d'information sur le sujet, Pérez (1994) et O'Shea (1985)

décrivent plus en détails le phénomène.

II existe une infinité de possibilités d'interférence entre deux ondes, ce qui offre ainsi une

multitude d'applications en optique. L'interférométrie est beaucoup utiiisée pour mesurer

des dépIacements, vérifier la qualité des surfaces et pour vérifier la qualité des fronts d'onde

lumineux et ce avec une très bonne précision.

Pour les fins de notre application, I'intetféromètre utilisé est appelé en anglais Dynamic

Lateral Shearing Intetfrometer. II sert spécifiquement à mesurer des fronts d'onde de

sources laser monochromatiques quasi colIimées. Il est parmi les moins complexes des

interféromètres sur le marché [Catalogue Melles Griot (1997)' WaveAlyser Opticai Bearn

Wavefront Profilorneter Operator's Manual (1995) et Bruning (Optical Shop testing)

(1978)l. Ii consiste en une Iame mince de haute précision sans couche antireflet inclinée par

rapport à l'axe optique. Ainsi, les rayons lumineux issus de la réflexion de la première et de

la deuxième surface interferent entre eux (car ils sont déphasés un par rapport à l'autre) et

forment un patron d'interférence qui est par la suite analysé à l'aide d'un algorithme prévu

à cette fin, De plus, cette lame est montée sur un piézo-électrique qui permet de modifier en

continu le parcours optique en changeant son orientation afin d'augmenter la précision de la

mesure du front d'onde. En réditS., l'appareil est composé de deux lames orientées

orthogonalement entre elles pour permettre t'analyse du faisceau selon deux directions

indépendantes. Cette technique s'avère très intéressante car elle ne nécessite pas un faisceau

de référence pour analyser la qualité du front. d'onde. La figure 6.1 schématise le principe

en question.

Faisceau Laser

Figure 6.1 Principe de formation des franges d'interférence du

Dynamic Lateral-Shearing Interferorne fer

6.2 Interféromètre utilisé

L'interféromètre qui a servi à la réalisation des tests expérimentaux est le WaveAlyser

(Opfical Beam Wayefiont Profilometer) de la compagnie Melles Griot. La figure 6.2 montre

une esquisse de cet appareil. 11 est à la fois très simple à utiliser et très simple de

fonctionnement tel que décrit à la section précédente. Essentiellement, il est composé de

deux lames minces fixées sur des piézo-électriques, de deux miroirs permettant d'amener

les faisceaux réfléchis vers les lentilles de coIlection qui permettent d'imager les patrons

d'interférence sur les caméras CCD. LE WaveAlyser est relié à un Pentium 100 MHz qui

échantillonne les données résultant de l'analyse des franges.

Figure 6.2 Esquisse du WaveAlyser

Ses principaies caractéristiques sont :

Intervalles de longueur d'onde de 325 à 2060 nm,

Peut détecter des faisceaux laser de 1 pW à 1 W de puissance optique,

Peut mesurer des faisceaux laser de 1 à 10 mm de diamètre,

Peut analyser des faisceaux laser ayant une divergence I 30 mrad.

La précision des mesures sur le front d'onde est Al10 pic-vallée ou encore U50

Ems, La sensibilité des mesures sur le front d'onde est If50 pic-vallée ou encore Al200

RMS .

De plus, les données disponibles suite aux acquisitions sont les suivantes :

Le profil d'intensité du faisceau laser en 3D.

les dimensions du faisceau,

le profil du front d'onde,

les aberrations de Seidel (défocus, sphériques, astigmatisme et coma). Le tilt est

annuler en orientant l'appareil perpendiculaire aux axes principaux du faisceau

laser,

le pic-vallée (P-V) du front d'onde accompagné de son écart type (RMS),

le rapport de Strehl,

la qualité du faisceau M2,

les divergences selon les deux directions principales du faisceau,

les dimensions du diamètre du faisceau au waist et sa localisation dans l'espace.

Vu sa grande simplicité, cet appareil est relativement robuste, mécaniquement stable et

pratiquement insensible aux vibrations et aux turbulences extérieures, ce qui facilite la prise

de mesure.

6.3 Précision des mesures expérimentales

Même si l'appareil est capable de fournir beaucoup d'information sur le front d'onde, seule

la variation de la divergence sera prise en compte pour les mesures expérimentales. Comme

il existe une relation géométrique entre la divergence du faisceau et le défocus relatif de la

lentille, il sera facile de comparer les résultats expérimentaux avec les différents modèles

théoriques et numériques. Cependant, comme la variation de la divergence à mesurer est

faible ( c 0.OSmrad ), il est important de s'assurer que l'appareil est assez précis pour cette

application. Le manuel d'instruction du WmeAlyser mentionne uniquement la précision et

la sensibilité du pic-vallée. Or, dans notre cas, ce sont celles de Ia divergence qui sont le

centre d'intérêt. Il existe cependant une relation entre le front d'onde d'un faisceau laser et

sa divergence, démontrée à I'annexe D, qui permet de calculer sa précision et sa sensibilité.

Toutefois, ces dernières sont fonction de la longueur d'onde du faisceau et de son diamètre

au point de mesure. Or pour une longueur d'onde de 677 nm et un diamètre à l/e2 d'environ

7 mm elIes sont respectivement de 0.077mrad et 0.0155 mrad.

Pour les mesures expérimentales de la variation de la divergence avec la température, seule

la sensibilité est nécessaire car ces dernières sont relatives à la divergence initiale mesurée à

la température de la pièce ( = 25 OC ). Donc une mesure de la divergence absolue précise à

l'intérieur de 0.077 mrad est amplement sufisante. Par contre, la sensibilité de l'appareil

n'est que 3 fois plus précise que la variation maximale permise, ce qui n'est pas l'idéal.

Cela risque donc de rendre t'interprétation des résultats plus difficile. Cependant, cet

appareil est un des plus précis existant sur le marché et disponible à un coût raisonnable

pour les besoins de cette étude.

De plus, Iors de l'expérimentation, plusieurs thermocouples ont été utilisés pour mesurer la

température à plusieurs endroits sur le coilimateur. La précision de ces thermocouples a Sté

estimée à environ f 0.3 OC.

6.4 Montage expérimental

L'expérimentation a consisté à mesurer la variation de la divergence du système de

collimation étudié soumis à une variation thermique du milieu ambiant. Pour ce faire,

piusieurs considérations ont dû être prises en compte pour s'assurer de la validité des

résultats. Entre autre, s'assurer que le mécanisme de transfert de chdeur de l'air vers le

systkme de collimation est bel et bien dans des conditions de convection naturelle plutôt

que forcée et de s'assurer que le flux de chaleur transmis à I'air est le plus uniforme

possible.

6.4. I Description

Avant de commencer les tests expérimentaux, on doit insérer Ia bague de correction désirée,

monter la diode Iaser en place et aligner la lentille correctement pour obtenir une divergence

absolue d'environ 0.30 mrad. Cette valeur peut varier légèrement d'un test à l'autre car

c'est la variation de celle-ci par rapport à la température qui est mesurée. De plus, cette

variation est pratiquement insensible à la valeur absolue pour des divergences relativement

faibles.

Le montage expérimental a nécessité beaucoup d'équipements pour être réalisé de manière

adéquate. Voici la liste des équipements de base nécessaires:

Un interféromètre capable de mesurer la divergence des faisceaux Iaser avec

une bonne précision,

3 thermocouples pour connaître la répartition de température de I'air et du

collimateur à différents endroits,

3 multimètres pour permettre la lecture des différents thermocouples,

un circuit électronique pour monitoriser la diode laser,

un système d'ajustement grossier pour aligner le collimateur par rapport à

l'interféromètre,

et un système permettant de varier la température du milieu ambiant.

En ce qui a trait à ce dernier équipement, deux solutions s'offrent à nous: soit d'utiliser une

chambre à température contrôlée pour les mesures expérimentales, ou soit de fabriquer une

enceinte comprenant tout l'équipement nécessaire pour faire varier la température du

milieu.

Pour ce qui est de la première option, elle semble très intéressante à priori car elle laisse

beaucoup de marge de manoeuvre pour [es tests expérimentaux (choix de la rampe

thermique, permet d'aller autant à basse température qu'à des températures très élevées).

Cependant, le compresseur de cette chambre fait vibrer le système de collimation par

rapport à l'interféromètre. Ces vibrations font en sorte que le système de collimation oscille

par rapport à l'interféromètre d'une amplitude supérieure à celle des franges générées par

les lames minces ( Sheai* plates ) pour le calcul de la divergence, ce qui rend la prise de

mesure invalide. En plus, la convection à l'intérieur de la chambre est de type forcée, ce qui

complique le modèle numérique.

Bien que celle-ci soit munie d'une fenêtre permettant de voir à l'intérieur, sa qualité optique

n'étant pas très bonne, la divergence du faisceau laser en est de beaucoup altérée, il faudrait

donc prendre des mesures avec la porte de la chambre ouverte. La seule possibilité pour être

capable de prendre des mesures valides avec une telle chambre serait de fermer le

commutateur de celle-ci (arrêtant par le fait même le ventilateur et le compresseur), prendre

une mesure et l'ouvrir aussitôt. Cependant seules des mesures en régime permanent sont

possibles avec cette procédure, la deuxième option s'avère donc plus simple et réaliste pour

nos besoins.

La deuxième option, quant 9 elle, consiste à enfermer le système à tester dans une enceinte

faite de carton et de mousse isolante à l'intérieur de laquelle un élément chauffant de

IOûûW et un ventilateur ont été installés comme montré à la figure 6.3. Ce montage a

l'inconvénient de tester le comportement de la divergence que pour des températures du

milieu allant de 20°C jusqu'à 45°C car il n'est pas possible de descendre en bas de la

température du laboratoire (=20°C). Par contre, il permet de tester facilement les effets

transitoires. Pour s'assurer que l'air ambiant a une température uniforme et que l'échange

convectif soit naturel plutôt que forcé, l'enceinte a une division en carton sur la moitié de sa

hauteur qui sépare le système de chauffage du collimateur. De cette manière, l'air poussé

par le ventilateur n'est pas dirigé directement sur ce dernier. De plus, il y a un petit trou

dans l'enceinte permettant au faisceau laser de sortir à l'extérieur et d'être analys6 par

l'interféromètre. Les dimensions de l'enceinte sont 1 l"x 14"x 11" de hauteur.

Collimateur e x Enceinte isolCe

Therrnocoupies

Faisceau laser

/ Vers I'interf&rom&r

Systerne d'ajustement

chauffant

Figure 6.3 Montage expérimental

6.4.2 Mesures expérimentales

Pour les fins de l'expérimentation, la prise de mesure consiste à échantillonner la

divergence à l'aide du WmeAlyser en fonction du temps et de la température de l'air

ambiant. De plus, 3 themocouples sont utilisés pour mesurer la température en différents

endroits en temps réel. Le premier therrnocouple mesure la température sur une ailette du

dissipateur. Le deuxième est positionné près de la monture de ta lentille (dans un trou de vis

situé à environ 7 mm de la lentille) et le troisième a été placé près du système B tester sans

toutefois le toucher pour mesurer la température du milieu ambiant.

La prise de mesure est réalisée manuellement car l'interféromètre n'est pas muni d'un

dispositif automatique. Le temps d'acquisition est de 30 secondes et celui pour le calcul de

la divergence de l'appareil est d'environ 30 secondes également. Cela nous limite donc à

une donnée par minute au maximum. La durée de l'expérience varie en fonction du temps

de stabilisation de la température à travers le système de collimation à tester. Pour la plupart

des tests, la rampe thermique imposée à l'air s'étale sur une période de 5 minutes pour se

stabiliser à 10 OC au-dessus de la température initiale. Le temps de stabilisation dans de

telles conditions a été estimé à environ une demi-heure.

Plusieurs séries de mesures ont ér6 réalisées dans de telles conditions avec plusieurs types

de bagues correctrices d'épaisseurs et de matériaux différents. Les rampes thermiques n'ont

jamais dépassé 10 OC d'écart car le temps de prise de mesure aurait été beaucoup trop long.

De plus il n'était pas justifié d'imposer des conditions d'opérations plus sévères car en

pratique il serait très rare qu'un tel système ait à subir une rampe thermique plus élevée que

10 OC en si peu de temps durant la période d'utilisation de l'appareil.

6.5 Résultats expérimentaux

Cette section présente les différents essais expérimentaux qui ont été réalisés dans le cadre

de cette étude. Les essais se sont divisés en 2 parties; la première consiste à faire des essais

pour valider les modèles théorique et numérique développés dans les chapitres précédents et

la deuxième consiste à optimiser et à vérifier le comportement optique du système de

collimation avec quelques bagues correctrices sélectionnées. Les bagues correctrices testées

sont présentées au tableau 6.1.

-

1 1 zinc pur 1 S.OG Numéro de bague 1 Matériau

2 1 Zinc pur 1 3.6 mm

Épaisseur

3 1 lum minium 1 3.3 mm

4 1 Cuivre 1 3.2mm

5 1 Acier inoxydable 1 3.4 mm

Tableau 6.1 Liste des bagues testées

Tous les essais ont consisté à mesurer la température en 2 endroits sur le système, la

température de I'air et la divergence du faisceau laser émergent en fonction du temps. Pour

ta première partie des essais, seule la bague correctrice en zinc de 3.6 mm d'épaisseur a été

essayée. La rampe thermique imposée à l'air a été fixée en fonction de la vitesse avec

laquelle l'élément chauffant était capable de transmettre l'énergie à I'air en laissant le

variac toujours à la même position pour ne pas fausser [es mesures. La durée de cette rampe

thermique est donc d'environ 20 minutes pour L'intervalle de température de 25°C à 35 OC.

La deuxième série d'essais a consisté à tester toutes les bagues énumérées au tableau 6.1

dans quelques conditions d'opération. En voici la description:

Rampe thermique imposée à I'air variant de 25 OC à 35 OC en 5 minutes

approximativement,

Rampe thermique imposée à l'air variant de 35 "C à 45 OC en 5 minutes,

Rampe thermique imposée à l'air variant de 45 O C à 35 OC en 5 minutes,

Rampe thermique imposée à l'air variant de 35 "C à 25 O C en 5 minutes.

Maintenant, que l'expérimentation a été explicitée, il ne reste plus qu'à présenter et à

analyser les résultats obtenus pour en déduire les conclusions appropriées sur la capacité

d'athermaliser un système optique à l'aide d'une correction mécanique passive. Les deux

derniers chapitres y seront consacrés entièrement.

CHAPITRE VI1

COMPARAISON DES RÉSULTATS ET OPTIMISATION

DU COMPORTEMENT THERMIQUE

Ce chapitre est sûrement le plus important du présent travail, car il présente l'aboutissement

d'un long cheminement pour finalement en arriver à une étude globale du phénomène.

Ainsi, dans un premier temps, ce chapitre présentera les différents résultats autant

théoriques, numériques, qu'expérimentaux et les comparera par la suite entre eux.

Finalement, une brève optimisation du système de coIIimation sera présentée en testant

plusieurs types de bagues.

7.1 Présentation des résultats

Tous les calculs présentés dans cette section ont été soumis aux même conditions

d'opération, soit les conditions décrites à la section 6.5. Les résultats sont divisés en trois

parties.

les résultats dits théoriques qui tiennent compte des effets homogènes de

température calculés à l'aide des formules décrites aux chapitres 3 et 4 et de la

variation moyenne de la température du système en fonction du temps calculée

numériquement,

les résultats dits numériques qui tiennent compte des effets non homogènes à

travers le système de collimation dû à la résistance thermique existant à travers

les différentes composantes modélisées,

Ies résultats expérimentaux qui consistent à mesurer directement la divergence à

la sortie du système de collimation à l'aide de l'interféromètre présenté au

chapitre 6.

Tous les résultats sont présentés sous la forme d'un défocus relatif et d'une divergence

relative. De plus, la bague utilisée pour ces résultats est celte en zinc avec une épaisseur de

3.6 mm.

7.1.1 Résultats théoriques

Tel qu'expLqué au chapitre 3, les effets homogènes supposent que les changements de

température du système sont assez lents pour que celle-ci évolue à la même vitesse en tous

points de telle sorte que le gradient de température soit constant dans l'espace. La figure 7.1

montre la variation du défocus et de la divergence en fonction du temps et de la température

de l'air ambiant. La température utiIisée pour le calcul des courbes du défocus et de la

divergence est la température moyenne de la monture du système de collimation calculée à

l'aide du logiciel CAEFEM. D'après la figure 7.1, on note que le temps de stabilisation

thermique du système est de l'ordre de 2400 secondes avec une divergence maximale de

0.013 rnrad.

- Temps ( s ) 3 0.015 - E - 0,010 : a > .-

0.005 3 - 2 0 07ma :: Matériau : Zinc pur E 3 -0.005 I U ~ - O . o ~ 0 - . . . . , . . . . 1 . . . . t . . . . ~ . . . . ~ . . . . I . . . . . ~ . . . .

Temps ( s )

Bague simulée Matériau : Zinc pur Epaisseur : 3.6 mm

Figure 7.1 Divergence et défocus relatif théorique en fonction de la température et du temps

7.1.2 Résultats numériques

Les résultats numériques sont probablement ceux qui se rapprocheront le plus des résultats

expérimentaux car ils tiennent compte à la fois des effets homogènes et non homogènes de

température. Cela sera d'autant plus vrai si la rampe thermique du milieu ambiant est sévère

comme c'est le cas dans la présente étude. Le défocus relatif et la divergence

correspondante ont été cdculés à partir des déplacements nodaux du modèle numérique. La

figure 7.2 montre la variation de la divergence et du défocus calculée entièrement à l'aide

de la méthode des éléments finis. Le calcul des déplacements nodaux pour un modèle aussi

complexe est assez lourd et nécessite beaucoup de temps et d'espace disque pour être

réalisé, En fait, un calcul numérique en thermique transitoire prend environ quatorze heures

pour les incréments de temps imposés (section 5.6.5) et l'espace disque nécessaire est de

l'ordre de 300 mégaoctets.

Tout d'abord, il faut calculer la température en chaque noeud du modèle soumis à diverses

conditions de chargement du milieu ambiant en fonction du temps. Ensuite, pour chaque

incrément de temps imposé, il faut calculer les déplacements nodaux résultant. Comme un

tel calcul prend environ 30 minutes pour obtenir chaque donnée de la figure 7.2, seuls

quelques points jugés critiques ont été choisis pour minimiser le temps. De ces derniers,

une courbe globale a été déduite par interpolation.

Contrairement aux résultats théoriques, on note que la divergence maximale obtenue est de

0.042 rnrad à 600 secondes, pour finalement se stabiliser après 1800 secondes à 0.014 rnrad.

Le fait de pouvoir tenir compte des effets non homogènes de température change de

beaucoup le comportement transitoire, mais n'influe pas vraiment le comportement du

système en régime permanent. L'allure de fa courbe est très représentative des systèmes

habituels en régime transitoire car. en réalité. l'évolution du flux thermique à travers celui-

ci varie en fonction de la géométrie des pièces qui le composent et de leur positionnement

les uns par rapport aux autres. Ces flux engendrent donc des distorsions thermiques non

négligeables dans le cas présent.

Temps ( s )

Matériau : Zinc pur Epaisseur : 3.6 mm

- 'P Temps ( s ) 2 0.05 E - 0.04 O > .- - 0.03 Matériau : Zinc pur n - 2 0.02 O O g 0.01 LP 3 0.00 .- m

Temps ( s )

Figure 7.2 Divergence et défocus relatifs numériques en fonction de la température et du temps

7.1.3 Résultats expérimentaux

Comme il a été spécifié au chapitre 6, I'expérimentation a consisté à mesurer directement la

variation de la divergence du système en fonction du temps et du changement de

température de l'air ambiant. Bien que plusieurs essais aient ét6 effectués dans des

conditions similaires, un seul est présenté dans ce mémoire car il a été jugé suffisamment

représentatif du phénomène mesuré. De la figure 7.3 ci-dessous, on dénote des distorsions

thermiques non linéaires qui tendent à s'atténuer après 2040 secondes soit 34 minutes, pour

finalement se stabiliser à 0.0 10 mrad.

Temps ( s )

Bague testée Matériau : Zinc pur Epaisseur : 3.6 mm 1

Temps ( s ) 0.05

0.04

0.03 Matériau : Zinc pur

0.02

Temps ( s )

Figure 7.3 Divergence et défocus relatifs mesurés expérimentalement en fonction du temm et de la temuérature de l'air ambiant

101

7.2 Analyse et comparaison des résultats avec les mesures expérimentales

Les résultats obtenus à la section précédente semblent à priori très distincts, mais en les

observant attentivement, ils offrent plusieurs similitudes. Premièrement, les tests

numériques et expérimentaux démontrent sans aucun doute que le modèle théorique n'est

valide qu'après la période transitoire qui dure environ 1800 secondes (1/2 heure). En fait, ce

modèle tient uniquement compte de la dilatation thermique des matériaux utilisés et de la

température moyenne du système de collimation.

Le modèle numérique quant à lui, bien qu'il contienne beaucoup d'hypothèses comme la

négligence des résistances de contact entre les différentes composantes, donne une bonne

idée de la durée de la période transitoire. De plus, on remarque qu'il indique une variation

sur la divergence environ 3 fois plus élevée qu'en réalité. Plusieurs facteurs peuvent étre à

la source de cette différence :

L'interface entre deux composantes faites de matériaux distincts n'est pas très

facile à simuler numériquement, surtout que dans le cas présent, un bon contact

thermique est nécessaire tout en permettant le glissement d'une composante sur

l'autre lors des dilatations thermiques. Or. comme le logiciel utilisé ne permet

pas l'obtention d'une telle interface, les composantes ont donc été simulées

comme ayant un contact thermique parfait et considérées comme étant soudées

entre elles, ce qui fausse un peu les résultats.

Les résultats désirés sont une variation de déplacement relative entre plusieurs

noeuds. Le calcul du défocus est obtenu en soustrayant le déplacement du nœud

situé au centre de la lentille avec celui de la face émettrice de la diode laser. De

plus, le calcul des déplacements nodaux a non seulement un certain pourcentage

d'erreur, mais il faut aussi lui ajouter celui généré lors du calcul thermique qui est

de l'ordre de 5% (vu les grands incréments de temps imposés lors du régime

transitoire).

Les résultats expérimentaux contiennent également des erreurs de mesure qui

sont du même ordre de grandeur que les vaIeurs mesurées, plus particulièrement

la sensibilité de l'interféromètre qui est de 0.0155 mrad (voir l'annexe D).

En dépit de cela, il est intéressant de noter que même lorsque les distorsions thenniques

sont maximaies (autour de 600 secondes), autant les calculs numériques qu'expérimentaux

donnent des variations de divergence inférieures à la limite requise qui est de 0.05 mrad.

Les calculs numériques donnent une variation de 0.042 mrad et Ies mesures expérimentales

donnent + 0.01 rnrad. En ce qui concerne le comportement du système de collimation en

régime permanent, les trois modèles donnent à peu près Ia même valeur soit 0.013 mrad

(théorique), 0.0 14 mrad (numérique), 0.0 1 mrad (expérimental). ce qui est particulièrement

intéressant.

Cette brève analyse permet de démontrer que les différents modèles théoriques et

numériques vont de paire avec les mesures expérimentales malgré la grande différence entre

ceIIes-ci. Cependant, elle n'est pas suffisante pour s'assurer de la validité de

I'aehermalisation mécanique passive de ce système de colIimation en utilisant une bague

correctrice. Pour ce faire, il faut tester plusieurs types de bagues de matériau et d'épaisseur

différents soumis aux même conditions environnementales. La prochaine section présente

donc quelques tests supplémentaires pour démontrer la validité du principe, s'il y a lieu,

tout en optimisant en quelque sorte le système de manière à déterminer la configuration

optimale du système.

7.3 Optimisation du comportement thermique

L'optimisation consiste à comparer les résultats expérimentaux obtenus avec quelques

bagues correctrices typiques, soient ceIIes présentées au tableau 6.1. Cela permet de

s'assurer que le système de collimation a la variation de la divergence la plus faible possible

pour découpler au maximum les effets thermiques des pe~ormances optiques.

Ces tests permettront également de verifier Ie niveau de distorsions en régimes transitoire et

permanent dans plusieurs conditions d'opérations explicitées à Ia section 6.5.

7.3.1 Calcul théorique de la variation de la divergence

Le modèle théorique linéaire permet de calcuIer très facilement la variation de la divergence

résultante suite à un différentiel de température du milieu ambiant lorsque le régime

thermique est permanent. Le tableau 7.1 montre l'erreur de défocus et de divergence

théorique pour un différentiel de température de 10°C.

Bague #3

Bague #4

Bague #5 L Types de bape Défocus

( p m ) matériau : Zinc pur épaisseur : 5 mm 0.009 matériau : Zinc pur

0.394

matériau : Cuivre pur épaisseur : 3.2 0.579 matériau : Acier inoxydabte épaisseur : 3.4 1 0.577

Divergence relative ( mrad )

Tableau 7.1 Calcul théorique du défocus et de la divergence pour un AT,, = 10°C

7.3.2 Résultats expérimentaux pour différents types de bagues correctrices

Les figures 7.4 à 7.7 montrent les comportements thermiques de cinq bagues correctrices

pour quatre rampes thermiques imposées au milieu ambiant. Encore une fois, seul un petit

échantillonnage des tests est présenté dans ces figures. Cependant, ceux retenus sont ceux

qui ont été jugés les plus représentatifs du phénornhe réel. Pour quelques courbes, il s'est

avéré pertinent de montrer plusieurs essais superposés associés à des symboles différents.

O 600 12W l a 2400 3W.l 3MX] 42(X] 48W 5400 Ml00 6M)O

Bague rcntc ht&rhu : Zinc pur

- Max admissible 0.0 0 0 EpYruur:5mm

in admissible

0 6ûû l2W 1800 2400 3000 36M3 4 M a 4800 54W 6000 6MX)

0.34 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - bax admissible

O 600 1200 1800 2400 3000 3600 4200 4800 54ûO ô000 66W 4.24 - - - - - - - ax admissible

Temps (secondes)

Figure 7.4 Divergence expérimentale en fonction du temps pour une rampe thermique passant de 25 "C à 35 "C en 5 minutes

,,-,

34

O WU 1200 1800 2400 3000 3600 4200 4800 54ûû 6000 6WO

S w o ai. O w I

-----------1--1 . . m a

O 600 12W 1800 2400 3000 3600 4200 4800 5400 6000 66W

Uax admissible

E S U m . , - - - - - - O - - - - - - - - - - - - - Nominal **

- - - - - - - - - - - - -. - - - - - - - - -mn admissible , " . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O Mû 1200 1800 2400 3000 3600 4200 4800 5400 6000 6ôûû

Figure 7.5 Divergence expérimentale en fonction du temps pour une rampe thermique passant de 35 O C à 45 OC en 5 minutes

aWaxadmissible

- - - - 0. - - - - - - - - - - - - P m - - - - -

O 0 0 O O m o 0 O

O O + - - - - - - - - - - - - - -

O

- - - - - - - - Vaminal Maitnau : Znc pur

- - - - - - - - . . . . . . . . . . . . . . . .

Max admissible

-Vomina1

----------------- 0.30 , . . . . . . . y . # . . . . . . . . . . . . . . , . . . . # . . . . 1

O 600 1200 1800 2400 3000 3600 42ûû 4800 5400 6000 6600

Figure 7.6 Divergence expérimentale en fonction du temps pour une rampe thermique passant de 45 OC 35 OC en 5 minutes

600 1200 18W 2400 3000 36W 4200 4800 5400 6000 6600

" r a d m i s s M e Bague MatCriui É 'm mlct : : Zinc 3.6 mm pur

- - - - - - - - - - - - A - - - - - - - -

4.26 "-0- m o * rrinal m m...* .(P

-0.28

- . ....o... Bague tu t& Matériau : AIuminium ml - - - - - - - - - - - - - - - - - sisscur : 3.3 mm

. . . . , . . . . , . . . . , . . . . , .a U In

- - - - - - - .- - - - - - - - - - - - admissible

0 0 O m.- .. . - - - - - - - - - - + - + - - - - - - -7ominal

Madriau : Cuivre pur d --- - - - - - - - - - -

O 600 1200 1800 2400 3000 3600 4200 4800 5400 6000 6600

h -0.24

O an admissible -028

Temps (secondes)

Figure 7.7 Divergence expérimentale en fonction du temps pour une rampe thermique passant de 35 "C à 25 OC en 5 minutes

7.3.3 Analyse des résultats

Comme il est possible de le remarquer aux figures 7.4 à 7.7, les mesures expérimentales

n'ont pas été échantiIlonnées avec les mêmes intervalles de temps et Ia durée

d'échantillonnage varie d'un essai à l'autre. Cela s'explique par le fait que les

manipulations expérimentales étaient entièrement manuelles et qu'elles duraient parfois

plus de 7 heures pour un cycle complet (montée et descente de la température ambiante de

25°C à 45°C) en comptant le temps de préparation. Xl s'avérait donc difficile d'avoir une

synchronisation constante d'échantillonnage sur une aussi longue période. Toutefois, cela

n'enlève aucune valeur en ce qui concerne la validité de l'expérimentation.

Suite aux mesures de la section précédente qui ont été portées en graphique, la bague en

zinc de 3.6 mm offre des performances très intéressantes. C'est avec cette dernière que la

divergence subit le moins de distorsions en ne dépassant pas + 0.03 rnrad et ce, aux

moments où les distorsions thermiques sont les plus élevées. Lorsque le régime permanent

est atteint, sa variation avec la température devient + 0.015 mrad qui est égal à la précision

de Ia mesure du WaveAlyser. Selon le tableau 7.1, la divergence relative théorique pour

cette bague est de 0.013 mrad. La corrélation entre la théorie et l'expérimentation s'avère

assez bonne.

En ce qui concerne les autres bagues, leurs performances ne sont pas si mal, malgré le fait

que leur divergence relative dépasse la limite permise de 0.05 mrad lorsque les effets

transitoires sont à leur maximum. Celle en aluminium semble être la solution #2, car du

point de vue de la variation maximale de la divergence, c'est elle qui dépasse le moins la

limite. Cependant, elle démontre beaucoup d'instabilité en tout temps ce qui n'est pas

nécessairement intéressant. Les résistances de contact ou encore une vitesse de réaction

incompatible avec celle de la lentille peuvent être deux causes expliquant un tel

comportement. Cependant, comme la monture est elle-même en aluminium, si on enlevait

la bague, peut-être qu'à ce moment là le système manifesterait moins d'instabilité.

Malheureusement, cette suggestion n'a pas pu être expérimentée.

Les bagues en cuivre et en acier inoxydable montrent un comportement semblable, à

I'exception que ceIIe en cuivre est un peu plus stable en température. La bonne conductivité

du cuivre par rapport à l'acier inoxydable est probablement la cause de cette différence. En

ce qui concerne la bague en zinc de 5 mm, elle a été éliminée car elle présente une trop

grande instabilité à partir de 35 O C . La principale cause de rejet est que, vu son épaisseur

importante, la monture d'ajustement axial de la lentille est à sa position maximale et est

sujette à être pIus sensible aux distorsions thermiques.

En comparant Ies calculs théoriques du tableau 7.1 avec les courbes expérimentales, le

modèle théorique, bien que conservateur (à I'exception de la bague en zinc) est plus ou

moins précis. Toutefois, il donne une bonne idée de la bague correctrice à utiliser. Le

tableau 7.2 montre Ie pourcentage d'erreur de variation de la divergence entre les deux

modèles en régime permanent.

Types de bague

Bague #1

Bague #2

Bague #3

Bague #4

Bague #5

matériau : Zinc pur épaisseur : 5 mm matériau : Zinc pur épaisseur : 3.6 mm matériau : Aluminium 606 1-T6 épaisseur : 3.3 mm matériau : Cuivre pur épaisseur : 3.2 matériau : Acier inoxydable épaisseur : 3.4

% de variation

Tableau 7.2 Pourcentage de variation de la divergence entre le modèle théorique et les mesures expérimentales

En fait, comme les variations à mesurer sont faibles, la moindre petite imprécision dans les

propriétés physiques des composantes ou tout autre paramètre peut être suffisant pour

augmenter ou diminuer d'un facteur deux la variation finale. De plus, tel que mentionné au

chapitre 4, de bonnes conductivité et diffusivité thermique ne peuvent qu'améliorer les

performances du système.

Plusieurs erreurs de conception ont été décelées lors des tests expérimentaux.

Premièrement, l'ajustement X-Y de la lentille collimatrice s'est avéré moins utile que

prévu. Des tolérances de fabrication serrées auraient probablement suffi pour assurer un

alignement optique adéquat tout en améliorant de beaucoup la stabilité thermique. De plus,

sans cet ajustement, le nombre de pièces mécaniques aurait été réduit, ce qui aurait diminué

Ies résistances thermiques de contact et les déplacements thermiques non linéaires (non

élastiques). Une géométrie circulaire et un système moins massif auraient par conséquent

pu être adopté et de cette manière, le temps de stabilisation aurait été réduit.

Plusieurs erreurs expérimentales ont égaiement été constatées. spécialement la non-

uniformité de la température de l'air ambiant dans l'espace a causé quelques problèmes car

il fut dificile de trouver un endroit qui était représentatif. De plus, le coefficient de

convection caiculé au chapitre 5 n'est pas très précis, donc il engendre une erreur

supplémentaire car il varie en fonction de la différence de température qu'il y a entre le

système et l'air ambiant.

CHAPITRE VI11

CONCLUSION

Une brève rétrospective des travaux réalisés dans Ie cadre de ce mémoire sera tout d'abord

exposée. Suivront ensuite les conclusions générales qui s'y rapporte et finalement quetques

recommandations pour des travaux futurs seront suggérées.

8.1 Rétrospective des travaux

Le principal objectif de cette étude était d'améliorer la stabilité thermique de la divergence

d'un système de collimation soumis à des conditions d'opération industrielles en utilisant

les propriétés physiques des composantes mécaniques.

Pour réaliser ce dernier, nous avons effectué les travaux suivants:

Au chapitre 3, un modèle théorique simple (linéaire) permettant de calculer à la

fois la divergence et le défocus nécessaire pour une variation thermique donnée a

été développé,

Au chapitre 5, un modèle numérique permettant de vérifier la linéarité du

phénomène ainsi que l'impact des effets transitoires sur le temps de réaction du

système a égaiement été développé,

8 Finaiement au chapitre 6, une validation expérimentale des différents modèles a

été réalisée.

8.2 Discussions générales

Sui te aux résultats obtenus au chapitre 7, 1' athermaiisation mécanique passive semble

répondre très bien aux attentes initiales. Comme les composantes autant optiques que

mécaniques sont de petites dimensions, les distorsions thermiques sont automatiquement

plus faibles et ont moins d'impact sur la variation de la divergence. La bague correctrice fait

de zinc pur de 3.6 mm d'épaisseur présente des performances exceptionnellement

intéressantes car le système de collimation est pratiquement insensible aux effets

thermiques transitoires et en régime permanent. Les autres bagues testées donnent des

résultats acceptables, mais ne se comparent point à ceux de la bague en zinc de 3.6 miil.

Le modèle théorique donne une bonne idée de l'ordre de grandeur des dépIacements

impliqués. Toutefois, sa corrélation avec les données expérimentales varie d'un matériau à

l'autre, car les déplacements à mesurer sont tellement faibles et dépendent de tellement de

paramètres que seule l'erreur sur la connaissance des propriétés thermiques des matériaux

(f 5%) est suffisante pour fausser tous les calculs. Ce modde s'avère tout de même très

indressant car il est facile à utiliser et s'adapte facilement à tout autre problème du même

genre.

Le modèle par MEF, quant à lui, donne des résultats qui vont dans le même sens que les

mesures expérimentales, mais l'exactitude des résultats est décevante. En fait, comme le

système de collirnation est composé de plusieurs composantes optiques et mécaniques,

l'interface entre celles-ci cause beaucoup de difficultés en ce qui concerne les hypothèses de

modélisation surtout que les logiciels utilisés pour l'anaiyse numérique ne permettent pas

de la mod6Iiser. C'est pour cette raison que les dsistances thermiques de contact et le

glissement des composantes lors des déplacements thermiques ont dû être négligés. De

plus, la géométrie du modèle numérique diffère un peu de Ia rédité, entre autres les trous

filetés qui ont été omis ainsi que l'ajustement X-Y de la lentille et le montage de la diode

laser qui ont été simplifiés.

Les tests expérimentaux ont été réalisés dans des conditions plus ou moins optimales, vu la

difficulté de trouver un appareil interférométrique suffisamment précis pour s'assurer des

résultats car les variations de la divergence sont très petites. Actuellement, l'erreur

expérimentale est 3 fois inférieure à la mesure de la divergence maximale acceptable pour

respecter les restrictions initiales. De plus, pour les mesures avec la bague en zinc de 3.6

mm, l'appareil est pratiquement insensible aux variations de la divergence car ces dernières

sont égales ou plus faibles que la précision (ou encore la sensibilité) du WmeAlyser . ii est

certain que la divergence est très stable, mais il serait tout de même intéressant de la

mesurer avec un outil un peu pIus précis. 11 est important de noter que l'interféromètre

utilisé est tout de même un des meilleurs appareils existant sur le marché actuellement.

8.3 Recommandations pour travaux futurs

Il serait intéressant dans le futur de réaliser des tests supplémentaires pour vérifier

davantage le comportement du système soumis à d'autres conditions thermiques, plus

particulièrement à basse température. De plus, comme il a été mentionné à la section 7.3.3,

un système de collimation moins complexe sans ajustement transversal (X-Y) permettrait

d'avoir une géométrie plus circulaire et beaucoup moins massive. De plus, pour minimiser

les distorsions, le dissipateur de chaleur pourrait également être relié sur toute sa périphérie

au reste du système.

Globalement, cette approche semble appropriée pour corriger les aberrations d'un appareil

dont le comportement thermique est quasi linéaire sur la plage désirée. Elle est peu

coûteuse, fiable et facile à intégrer dans un système optique car une simple bague circulak

fait d'une épaisseur et d'un matériau approprié est suffisante. Un domaine où cette

technologie peut s'appliquer est le couplage des fibres optiques. En fait, tout comme les

systèmes de collimation, le couplage présente plusieurs problèmes de stabilité thermique

lors des fluctuations du milieu ambiant. II serait donc pertinent d'investir un peu de temps

pour faire une étude de faisabilité sur le sujet.

[ 1 ] ASM Handbook, vol II, 1 0 ~ ed., USA (1990).

[ 2 ] BRUMNG H., Fr in~e Scanning Interferometers, Optical Shop Testing, Daniel

Malacara, &John Wiley and Sons, New York, 409-437 (1978).

[ 3 ] DE VRIENDT, A.B., La transmission de la chaleur, éd. Gaëtan Morin, Boucherville

(1989).

[ 4 ] EDLEN, B., The refractive index of air, Metrologia vol. II #2,7 1 (1966).

[ 5 ] GAKWAYA, A., Mécaniaue des milieux continus, Université Laval, Notes de cours

(1993).

[ 6 ] GAKWAYA, A., Introduction à la conception assistée Dar ordinateur. modélisation et

anaivse, Université Lavai, Notes de cours (1996).

[ 7 ] GARCIA-NUNEZ, D. S. & MICHKA, D., The design of athenal infrared optical

svstems. SPIE, 1049, 82-85 (1 989).

[ 8 ] HETCH. Jeff, The Laser Guidebook, McGrawHill Book Company (1 986).

[ 9 ] HETNARSKI, Richard B., Thermal Stresses, Vol. 1, A Seires of Handbook, Rochester

Institute of Technology, Rochester, New York, (1986).

[10 ] JAMIESON, Thomas H., Thermal effects in optical systems, Selected Papers on

Optomechanical Design SPIE, 770, 271- 275 (198 1).

[l 1 ] KOHLER, H.; sTR&LE, F., Desim of Athermai Lens S~stems, Selected Papers on

Optornechanicd Design SPIE, 770,276-287 ( 1 974).

[12 ] Machinery Handbook, indushial Press Inc., 24" ed.. New York. (1992).

[13 ] Melles Griot Catalog, USA (1997).

[14 ] Metal Handbook, American Society for Metals, Desk Edition, Ohio (1985).

[15 ] NOWINSKI, J.L., Theory of Thermoelasticitv with avvlications, Sijthoff Noordhoff

(1978).

116 ] O'SHEA, D. C., Elements of Modem O~tical Desim, John Wiley & Son Inc., New

York (1985).

117 ] PARR-BURRMAN, P.M. & GARDAM, A., The deveio~ment of a compact LR.

zoom telesco~e, SPIE, 590, 1 1-17 (1985).

[18 ] PENNDORF, R., TabIes of Refractive Index for Standard Air and the Rayleigh

Scattering Coefficient for the SpectraI R e ~ o n between 0.2 and 20.0 u and their

Apdication to Atmospheric O~tics, Journal of the Optical Society of America, 47, 176-

182 (1957).

[19 ] PEREZ, José-Philippe, Optique yéométrique et ondulatoire, Enseignement de la

physique, Masson 4' éd., Paris (1994).

[20 ] PERRY, J. W., Thermal effects upon the performance of Iens svstems,The

Proceedings of the Physicd Society, 55,257-285 ( 1443).

[2I ] ROGERS, P.J. ; ANDREWS, G. N., SPIE, 99, 163-175 (1976)

[22 ] ROGERS, P. S., Athermaiized FLIR Optics, International Lens Design Conference,

1354,742-75 1 ( 1990).

[23 ] ROGERS, P. J., Optics in Hostile Environments, Specificrition and Measurement of

Optical Systems, SPIE, 1781.36-48 (1992).

[24 ] ROGERS, P.J. ; ROBERTS M., Thermal compensation techniques, Handbook~f

O~tics vol 1, McGraw-Hill, 2ud ed, Chap. 39 (1995)

[25 ] SCHOIT Optical Glass Catalog (1994).

[26 ] SDL Catalogue, USA (1996)

[27 ] ST-, F., Mi,[. Asfron. Ges. 30,85 ( 197 I )

[28 ] Thorlabs Inc Cataiog, USA (1 996).

[29 1 Touloukian, Y.S., Thermal Exoansion. Metallic EIements and AlIovs, Thermophysical

Properties of Matter Vol.XI1, New York : IFVPLENUM (1975).

[30 ] VOKOBRATOVICH, D., Princiules of O~tomechanical Design, Applied Optics and

Optical Engineering vol. Xi, Academic Press Inc., USA, 239-283 (1992).

[3 1 ] WaveAlvser Outical Bearn Wavefront Profilorneter Operator's Manuai, Melles Griot,

Boulder Colorado ( 1995).

[32 ] YODER, P. R., Opto-mechanical Svstems Design, second Edition, Marcel Dekker

Inc., New York (1993).

ANNEXE A

FICHES TECHNIQUES DES COMPOSANTES OPTIQUES

Cette annexe présente la fiche technique des composantes optiques, soit la IentiIle collima-

trice et deux marques de diodes laser utilisées pour les tests expérimentaux.

A.l Lentille collimatrice

Aspheric Lenses

Corning Code 350240 Molded Glass Aspheric Lens

Magnification Number of Elements Design Wavelength Effective Focal Length Numerical Aperture Working Distance Outer Diameter Correction Performance (RMS WFE) Field Diameter Glass

Inf ini te One 780 nm 8.0 mm 0.50 5.92. mm 9.936 mm 0.25 mm BK7 window <.O50 (on axis) 200 microns Corning COS50

Released: 3-May-93

Aspheric Lenses

Refecence wavelength fo r follouing data: 780 rn

RADIUS OF CURVATClRE OûJECT Fmm - RACK THIQWESS

SOURCE o.oo00

LASER KIN- B B o. 2500

APERTURE DIAHFTER FRONT - BACK GLASS

350240 LENS ASP(1) A='(z] 3,6900 6.7872 8.0012 Cos50

APERTURE STOP 8.0012

NOTES :

- Pos i t ive radius inliicates the center of curvature is t o the right. - Hegative radius indicates the center of curvature is t o the l e f t . - ~ i m e n s i o n s a r e given i n mill ineters. - Thickness is ax ia l distanoe t o the next surfcce.

ASP(1) and ASP(2) a r e aspheric surfaces. The sag of the aspheric surface, a s a f ~ n c t i o n of distance (X ) from the aspheric ax i s is defined by:

where (CURV) is the centecline curvatuce (Vrad ius) , and K is the conic constant. A, B. C, a n the asphecic coefficients. The values o f each foc both surfaces are qiven below:

Cornhg Code 350240

Mulded Glass Aspheric Lcns

EFL and RMS WFE as a Fuiclion of Wavelength

Effective focal lei igth (mm)

Magnificatiun ' in1 Laser window

Wavelengrh (nmi fh icknes (mm) 0 633 780*. 83U 980 1300 1550 . , Laser window

EFL cm4 7.93 8.00 BU7 8.06 8.12 8.75 materialhdcx OK7[ RMSWFE' 0.073 (1.037 0.037 -0-043 0.053 0.0- RMS WFE (s~1/180nrnt SU.

Interna1 Transmission 1 inml r [lomn 320 0.015

- -p.

Relative Partial Dispersion i

1 Constants of Dispersion 1 Formula. Ao 2.52750

1 Other Characteristics

: u -~Y.~WC (10-~rc1

Durability Equivalent to Corning BCD C2060 (Schott SKI61

; Tg ['cl 330 1 t ['Cl d F ' e C [20/501 -11

S E M I E 2

IOOX SCALE

1 . ALL DIMENSIONS IN MILLlMETERS 2 , FREE FORM SURFACE, NOT A

CIRCULAR SEGMENT. 3. OPTICAL AXIS PERPENDICULAR\

TO FLAT WITHIN *1.0 MRAD 4 . OPTICAL A X I S WITIî lN

0.003mrn OF MECHANICAL A X I S

i m imi m%?K';;;.a:% El! 7 I 4 A I Q r d 1 1 m i r mm, , ,

&R&&$lww ml mwm ILMCII kwFp8Mr tnt O CORNING "O%=""; 7 1 1 Q 1 - 3 5 3

1 I 1 I C V I C I ~ I IDES~IP~IW l DW J r p w u lnlcno

mr$'p#p ::m ,

THlS WAWlhW PAS CREATED-USIM CAO. DO MT ffAhVA1L Y REVISE OR WDA f i ' n4fDirN. 360240 AJPHERIC LENS

I 1 HlCLlD

,,,,,,lm

Our standard single-layer anti- reflective coating reduces surface reflection from a nominal 6 percent per optical surface to less than 2 percent per surface. Optional broad- band multilayer coôtings reduce reflection to less than 1 percent per surface. The lenses cari be custom coated with a variety of multilayer techniques and are available uncoated as well.

Glass Material

Our products are manufactured frorn a proprietary glass rnateri- al developed by Corning for Precision Molded Optics. The glass has a Iower softening point than commerciatly available glasses. This characteristic is needed for cost-effective tool- ing. Transrnittance is very good over the entire laser diode wavelength spectrum.

Wavelength (nm)

ANTlREFLECTlON COATING SPEClFlCATIONS

Four antireflecüon (JW) wttings are avaiIabfe as standard options on fenses. Their specifications are as folIows:

Coating . Wavelength Range Maximum Reffectance per DesignaDon surface2

t I I

The MGF is a single-rayer Il4 wave thick coating of magnesium fluoride. The MLBB- series are mufti-layer brozd-band coaüngs consisting of alternaüog layers of different dielecinc rnaten'ds,

MGF

MLBB-A - .

MLBB-B

M L B M

*Venfied by wimtss plate of &SS wich same index of rehcaon

-

780 nrn

350 nrn - 600 nrn

600 nm - 1050 nrn

1050nrn-1600nm

< 1.5 % - c 0.6 % - 10-6 %

50.6%

A.2 Diode laser de marque SDL

a m xa/da S ' l 2 ' 1 6 ' 8 9 ' 0 E: 8 E ' B

I

Package Sp~i l iCat i~ns [Dimensions in inches (mm) except where indicated]

@ SOT-1 48 WlNWW PACKAGE'

PIN 1: LASER CATHODE ( -) PIN 2 LASER ANODE, MPD CATHODE 6 CASE GROUND WlNWW :AR COATING. 8OTH SURFACES

PIN 3: MONKOR PHOTOOlOOE ANODE (+) RICKNESS: 0410 r 0.002

(0.2s * 0.0s)

5.6 mm WINDOW PACKAGE

PIN 1: LASER CATHODE(-)

PIN 2: LASER PNOOE. MW CATHODE 6 CASE GRWNO

PIN 3: MONKOR PHOrODlOM ANODE ( + J

- WNDOW :AR COATiNO BOTH SURFACES THICKNESS: 0.01 0 t 0.002

(ouro.05)

&se Operating Temp. G1. JI -20 50 %

LeadSolderingT~p. G1.Jl 250 'C

-- - Peak Wavelength 670 680 690

Notes 1. CXherspeakatmsnade:

a Duty faclor of 100%. b. Temperature coeffiaent Of lhreShold cmmt can be n * = h l exp IV2 -T1yTd

whereToisadeviceconstantofabait lWK(SDL-i and BOX SIX-7201. 7501).

A.3 Diode laser de marque PhiIips

box id.: 6G068 1 1

page t of approved

3-' 8 Aug 19

Fos. ~ e v i c e - Temp. th ~ f f . m. wavel- POS. Device- Temp. ch ~ f f . ~ s . ln

id. OC mh mW/mA M / m W na id. OC mA mW/mA pA/mW

1 6 ~ 0 6 8 1 ~ 23 3 4 . 8 0.0 14 676

The current specificatioc~s in our cataiog are typical values. Adual ~p~f ical ions will vary wiihin a production run from b i e to diode. Please use the dpta on tho lest sheet

shipped with each laser dünie Co calculate the drive aiment and the monitor current. This wiii help to protecf p u r laser diode.

Ith = Threshold Current (mA) Eff. = Laser Dtode Efficlency (mWimA) Ms. = Photodiode Sensltivity W m W ) Pmax = Optical Power CW

Calculatiun of the max. Drive Cumnt (top):

lop = Ith .t PmaxEff.

Calculation of the Munitor Cumnt at max. Power (Irnon):

lmon = Pmax. x Ms.

(201) 579-7227

BOTTOM VIEW 1 1

Pinning

Pin Description

1 laser diode cathode 2 common case 3 monitor diode anode

675 nm visible Iight laser diode

FEATURES wavelength 675 nm high output power low threshofd current operating temperahtre buth-fn monitor diode 0 9.0 mm package .

1 laeekthode 2 wmmon case 8 manitor diode anode i a

MAXIMUM RATINGS (Tc*,, = 25 'C)

Symbol Parameter P CW optical output power VI, laser diode reverse votage vmr monitor diode reverse voltage 1mf monftor diode forward current Tb operating temperature Tstg storage temperature

CHARACTERISTICS (Tcase 3 25 *Gr P = 20 mW, Vmr = 15 V)

Parameter CW optlcal output power at typ. 70 mA threshold current operating current operating voltage monitor current rnonitor dark current wavelength at peak emlssion far field angle paralle110 lunctian fat field angle perpendicular to. junction astigmatic distance

Min - .. - &

-1 O 140

TLP 20 35 70 2.3 0.4

.,

. 675 8 20

-

Max 20

1 30 10

+60 4 5

Max - 9

- 3.0 I

20 680

- -

10

Uni? znw v v mA 'C 'C

Unit rnw mA mA v mA nA nrn deg deg Pm

The information presented in this document does not fonn pait of any quotaüon or cantrad, Is belleved to be accurate and diable and may be ohanged without nolice. No IiabMy will be accepted by the publisher for any ainsequence of its use. Publication themf does net convey nor lmply eny license under patent or othet industrial or intellectual property rights.

Philips Optoelecttonlcs Centre Prof. Holstlaan 4 5656 AA Eindhoven The Netherlands fax. +31 40 274 38 59

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Philips Optoelectronlcs Centre PHILIP

r PHILIPS LASER DlODES 134

Wavelength selection availabie High Visibility 635nm to 675nm Powers from 3mW to 30mW lndividually tested by Philips resulting in very low failure rates

9mm Package

Mechanical data ---- Dimensiw rn mm 0-55

0.35

Pin Conil guration

Pin Descriptton

1 bercalhode 2 ammon case 3 monitor diode anode

rlEh4# PRICE WAVELENGTH POWER roperating rmonitor / Bi' CQWWD $1 78.38 635nrn 3mW 74mA 200pA 6" / 35" CQL82Wû $1 1 8.92 655nm SmW 40mA 600M 6" / 3S0 CQLôOO/û $ 59,46 675nm 5mW 32rnA 500pA 7" / 3 5 O CQLBOl/D $108.11 1 67Snm 1 SmW 45mA 2mA 7" / 35" 1 3

Features: 'Typicai value.

"Full width at half maximum.

635nm CQL840lD High visibility (9 tirnes greater than 675nm)

655nm CQL820lD Moderately high visibility and low operating current

675nm CQLBOO/D Low operating current. a large operating temperature range of -10 / +60°C 675nrn CQL8011D 1 SmW of power over an operating temperature range of -1 0 1 +60°C

675nm CQL806/D 20mW of power. low divergence and low astimagtism (clOpm) 675nm CQL806lD30 30mW of power. low divergence and low astimagtism (CI Opm)

Detailed specification sheets are available by FAX on al1 these Laser Diodes. See page 57 for important FDA certification.

LASER DIODE DRIVER, SEE PAGES 60 THROUGH 63

These products are covered by a lirnited warranty from the manufacturer (Philips Optoelectronicç) against failure due to defects in workrnanship or materials (calt to request details by FAX). Thorlabs offers nu additional warranty. Before utitizing these or any other Thorlabs products, the user should determine the suitability of the product for its intended use. The user assumes al1 nsks and liability whatsoever in connection with such use.

r STATlC GUARD PRODUCTS --Y ALL LASER DIODES ARE EXTREMELY STATIC SENSITIVE, PRECAUTIONS MUST BE TAKEN.

S a m Day Shippir

ANNEXE B

DISSIPATEUR DE CHALEUR

Les calculs qui ont permis d'obtenir la résistance thermique du dissipateur de chaleur sont

exposés dans cette annexe. Ces derniers sont tirés de la référence De Vriendt (1989).

Comme iI a été mentionné à la section 2.4.2.2 les diodes laser doivent être en mesure

d'évacuer leurs pertes thermiques efficacement particulièrement lorsqu'elles ont à

fonctionner à une température supérieure à la température ambiante. C'est pourquoi un

dissipateur thermique s'impose. L'optimisation d'un tel dissipateur nécessite ia

connaissance des paramètres entrant en jeu ainsi qu'une bonne compréhension du

phénomène. Dans le cadre de cette application, les conditions thermiques et la géométrie

sont imposée en fonction des contraintes d'espace et de matériaux du système. Il faut

cependant s'assurer que la résistance thermique de ce dissipateur est adéquate pour

satisfaire les exigences requises par la diode laser.

B.l Hypothèses générales

Pour les fins du problème, seules les ailettes à section rectangulaire uniforme seront traitées

dans cette section, mais pour avoir plus d'information sur des profils d'ailleurs plus

complexe, la référence De Vriendt (1989) discute de plusieurs types de profils.

Plusieurs hypothèses habituelles doivent être posées;

Le régime est permanent,

Le problème est à une dimension (x),

Le matériau est homogène et isotrope et la conductivité thermique est

indépendante du temps et de la température,

Le coefficient de convection est uniforme et constant,

La température du fluide est constante,

ii n'y a aucune résistance de contact,

II n'y a aucune source de chaleur dans l'ailette,

Le transfert thermique de l'extrémité et des bords latéraux de l'ailette est négligé,

La source thermique est répartie uniformément sur toute la largeur du dissipateur.

8.2 Calcul du transfert thermique d'une ailette

B.2.1 Formulation des équations différentieIIes

Ln figure B. 1 montre un schéma du problème.

Figure B.l Ailette à section rectangulaire uniforme typique

Les paramètres définissant le système sont les suivants :

L : Longueur de l'ailette

e : Largeur du dissipateur

w : Épaisseur de l'ailette

A : Section uniforme perpendiculaire au flux q

A, : Section du profil

P : Périmètre de la section A

h : Coefficient de convection

h, : Coefficient de convection de l'extrémité

k : Conductivité du matériau

T/: Température du fluide

Tm : Température moyenne de l'ailette

To : Température de la paroi mère

qr : Flux entrant dans l'élément 6x par conduction en x

92 : Flux sortant de l'élément 6x par conduction en x t 6x

q3 : Fiux sortant de l'élément Sx par convection

Le bilan énergétique de l'élément 8x est :

ar Comme le transfert thermique s'exprime par : q = -k - A - - en conduction (B.2) ax q = h - A . (T, - Tf ) en convection (B.3)

Alors l'équation B. 1 devient :

Développons en série de Taylor le terme - (3+&

et substituons le dans (3.4) et divisons par A& :

En faisant tendre & + O, on obtient après réarrangement:

L'équation B.6 est donc l'équation différentielle générale qui gouverne le transfert de

chaleur dans une ailette longitudinale à une dimension.

h - P h . ( e + w ) 2 . h - Posons O = T - ï j et m2 = - - -- - , alors l'équation B.6 devient: k . A k - ( e - w ) k - w

La solution générale de cette équation différentielle est :

6 = M - sinh(m - x) + N - Cush(m. x) @-a où Met N sont des constantes

B.2.2 Conditions aux limites

a lonquex = L. M = -(r, - t , ) . tanh(m- L ) (B. 10)

En remplaçant, N et M dans (B.8), on obtient la solution particulière dans le cas d'un profil

rectangulaire à section uniforme qui est :

et le flux échangé est, en remplaçant (B. 1 1) dans (B.2),

q = k - m - A . 6 , -tanh(m- L )

03.11)

(B. 12)

B.2.3 Correction de Harper-Brown

Ii est possible, si désiré, de tenir compte de la déperdition thermique de l'extrémité en

remplaçant la longueur L de l'ailette par une longueur fictive L' tel que :

B.2.4 Rendement d'une ailette

Selon De Vriendt (1989), en pratique, une ailette ne peut pas dissiper toute la chaleur car la

température à travers celle-ci n'est pas exactement égaie à &. Cela est dû à sa résistance

thermique en conduction qui n'est pas nulle. Elle a donc un rendement effectif ri, qui se

traduit par le rapport entre le flux de chaleur réel q sur le flux théorique idéal qi dissipé par

une ailette.

Le rendement ci-dessus peut servir à prévoir quantitativement l'influence des paramètres L,

h, k et w pour les profils rectangulaires.

B.3 Calcul de la résistance thermique du dissipateur

B.3.1 Résistance thermique d'une ailette

Dans le cas d'une ailette rectangulaire, le calcul de fa résistance thermique est très simple,

De (B. 14), on trouve que

(B. 15)

(B. 16)

Cette résistance tient compte à la fois du film de convection ainsi que de la résistance en

conduction de l'ailette.

B.3.2 Résistance thermique de la paroi mère

La résistance thermique de la paroi mère peut se diviser en une résistance en conduction Rk

et une en convection Rc.

Résistance thermique en conduction

La paroi mère est assimilée à un cylindre creux pour les fins de problème. Ainsi, le transfert

thennique s'exprime par :

(B. 17)

a 1

rd 1 dr = - k - l d ~ T

4F.Jrm . r . e Tt,

41>m -. lnrlrb = -k . (T - T,) 2 n . e

et finalement, on obtient

qpm = - 2 - r - e - k + l n Figure B.2 Paroi mère (B.18)

La résistance thermique en conduction de la paroi se calcule donc comme suit :

Résistance thermique en convection

Le mécanisme de transfert en convection de la paroi mère est :

(B. 19)

qpm = ~ . A . ( T , , - T - ) (B .20)

où A : Surface d'échange avec le

fluide extérieur (l'air)

et la résistance thermique en convection est :

Résistance thermique de la paroi mère

La résistance thermique de la paroi mère est : R, = R, + R,

B.3.3 Résistance thermique globde d'un dissipateur

La figure ci-dessous représente une portion du dissipateur.

Figure B.3 Portion d'un dissipateur

Le flux réel dissipé par le dissipateur s'exprime par :

et le flux théorique idéal si la surface était à Ia température uniforme Ta est :

q ~ i = h . A G .60 03.24)

On peut donc définir un rendement global de transfert thermique qui se traduit par le

quotient du flux réel sur te flux idéai :

et par conséquent le flux réel s'écrit finalement :

De (B.26), la résistance thermique globale est donc,

RG tient compte de la résistance en convection du système global et de la résistance en

conduction des ailettes, mais ne tient pas compte de la résistance en conduction de la paroi

mère. Ainsi, en combinant (B.19) et (B.27), on obtient la résistance thermique totale du

dissipateur.

OU encore,

Dans le cas où Ies ailettes n'ont pas toutes la même longueur, Rrdevient :

où N est le nombre total d'ailettes

B.4 Application numérique

Les données du problème sont les suivantes :

Le matériau choisi pour le dissipateur est l'aluminium 6061-T6 pour sa bonne

conductivité et ses propriétés thermiques intéressantes pour la correction

mécanique du système de collimation, k= 180 WImK

Les dimensions du dissipateur sont données à l'annexe C,

Le coefficient de convection peut varier entre 5 et 50 W/m2K

Une hypothèse supplémentaire est ajoutée ici pour simplifier :l'échange

thermique entre la base du dissipateur et la monture du système de collimation est

négligé.

La résistance thermique en conduction Rk de la paroi mère est donc en posant :

r, = 0.00457m

rb = 0.0 l588m

La résistance globale RG est sachant que :

P = 2 - (0.00 16 + 0.020 1) = 0.0434m

A=0.0201~0.0016=32.16x10-6m2

A, = 19.421x10-~m~

Comme les ailettes n'ont pas toutes la même longueur, il faut les calculer

séparément.

où ni : Nombre d'ailettes de longueur Li W A,,,, = 2-e-(L, t ~ ) - n ,

iv Aaj,I I I - tanh(2.738 - hi - ( L, + O.ûû08) ' h-19.421~10-~-[1-~ I=I 19.421 X 10-~

2.738 - hi - (4 + 0.0008)

La variation de Rr en fonction du coefficient de convection a été portée en graphique à la

figure B.5.

B.5 Comparaison des calculs théoriques avec Ia MEF

La résistance thermique du dissipateur est analysSe par la MEF pour 3 coefficients de

convection typiques soit à 5, 10 et 15 W/m2K. Les résultats obtenus ainsi que la répartition

de température à travers le dissipateur sont présentés ci-dessous.

Fiux (diode laser) entrant: 168 m W

à h=5 W/mK

Théorie : .rnF :

à h= 15 W/m2K Théorie : iMEF :

UT = 10.4 OC/W R-r= 11.0 "c/W

C/o erreur = 5.8%

RT= 5.2 OC/W RT= 5.9 O C / W

8 erreur = 13.5%

RT=3.5 "C/W RT = 4.2 OCIW

C/o erreur = 20%

q~ : 16SmW (muant dam Ir dissipateur)

h, : 10 W I d K

T, = 2°C

Nbre noeuds 3506 Nbre t l t m n s : 223%

Figure B.4 Analyse par MEF du dissipateur thermique de la diode laser

La figure B.5 montre sous forme graphique la variation de la résistance thermique en fonction du coefficient de convection.

Figure B.5 Résistance thermique du dissipateur en fonction du coefficient de convection

Le pourcentage d'erreur obtenu est relativement élevé. En fait, les deux calculs (théorique

et par MEF) sont le fmic de plusieurs hypothèses. ce qui peut expliquer en partie cette

erreur. Cependant, ces dernières sont conservatrices et permettent de simplifier grandement

les calculs.

Par contre, dans notre cas ce qui importe, c'est qu'il faut s'assurer que la température

maximale de la diode laser soit inférieure à SO°C dans le pire cas (h=SW/m2K @

T 4 5 " C ) . Selon les données précédentes, la température de celle-ci ne dépasse pas les

46.9"C dans ces conditions. Le dissipateur semble donc adéquat pour nos besoins.

ANNEXE C

DESSINS DE DETAIL

Cette annexe regroupe tous les dessins de détail ayant servis à la fabrication du prototype

expérimental.

W 1 DESCRIPTION [ OTE 1 IOESSIN

1 Disaipolaur 1 1210-01-01

2 Bague dm sorroga pour Io diodo losar 1 1210-01 -02

3 Bogue II, diode losat 1 1210-01-03

4 Bague 12. dloda laser 1

5 Monlurs. syatlms de cornpaniollon 1

6 Bague de serroga. lanlllla colllmolrice 1

7 Cellule, lsnlilla collimatrice 1

B Calluln d'ojustoment %-Y, lenlilc col. 1

9 Guide, lsnlllla colllmotrica 2

10 Vis, lentille collimolrlce 2 1210-02-06

1 I Ploqua, lsnlilla collimotrice 1 121 0-02-07

16 Wa 0-80 x 1/4'prof. 4 - 17 Coupille cyllndrlqus 01/16. r 1/2*Iong 2 -

SYMBOLK AüEMDEMENT PAR DATE

TOLERANCES rOUQ HM

. --...- P i . ? 00

TITRE: Vue d'assemblage, système de collimation 1 380, r u s Franque1

CONCU: N. Dssnovsrs 1 IIPSSINE. H nainnu-r- Snlnta-Fnv f01iahan'

1-~ 0.60'-1 ,-01/8',A t ravers

0.0000' ~ 0 . 0 6 2 5 ' , ~ o o o 4 ~ A t r a v e r s Typ,2 (goup. cyl.)

@.0@5*-: K T -++IL- -- --4i1lw " A t ravers Typ.2 (goup. cyl.3

' M1/8',A t r a v e r s U @13/64 ' ,1 /8 'prof . 1 ; 1

U @13/64',1/0'prof. Ccote oppose)

01/8',A t ravers U 1813/64',1/8'prof. (cote oppose)

A-A

TOLERANCES II TITRE: Monture. svstème de C O ~ D E POL'CE YU

2

a !mi. D e r n o y e r s I

PA 1 010 t 10 I DESSINE: N. Desno ,

- - . - 2 D f C I u I z s [GI = O05 i 6i 3 DE- .si) = 002 2 Oz m m w s r 8 / 3 2 WGLE I SI = I / Z FL.1 DE NRFACE

1 MATERIEL: Alumin iu i DIVERS: q u a n t i t e : 1 1 PROJET: 1210-3 ( DATE: DESSIN Nc: 1210-02-01 1 ECHELLE: 2: t 1 FEUIL

4-40UNC1 A t ravers TY p.3

Sainte-Foy (Quebe

Canada C l P 4$8

TEL.:(4 18) 657-700

ANNEXE D

CALCUL DE LA PRÉCISION ET DE LA SENSIBILITÉ

DE LA DIWRGENCE POUR LES MESURES

EXPÉRIMENTALES

Cette annexe démontre la relation entre la flèche du front d'onde d'un faisceau laser et

l'angle de divergence. Cette relation permettra de calculer la précision et la sensibilité des

mesures expérimentales effectuées à l'aide de l'interféromètre.

La figure E.1 montre la relation géométrique entre l'angle de divergence et la flèche du

front d'onde.

Figure E.l Relation géométrique entre la divergence et le front d'onde

c - r I Soit ~ ( r ) = R - JF7= ~.(l-J-c'r')= l + I I ï 7 7

. OU c=-= l est la courbure paraxiale du front d'onde

R

A(r): hauteur du front d'onde (pic-vallée) ou encore la flèche, a: est le plein angle de divergence du faisceau laser, r: est le derni-diamètre du faisceau, R: le rayon de courbure du front d'onde.

L'équation E.l correspond à l'équation exacte de Ia flèche d'une surface sphérique. En

mettant cette équation sous la forme d'une série de Taylor on obtient:

Pour r = O

En négligeant les termes d'ordre supérieur à 2 on a:

L'angle de divergence ( a ) s'exprime par la relation géométrique suivante:

donc

r

De (E.3) et (ES) il est possible de relier l'angle de divergence avec Ia hauteur du front

d'onde.

r - a 4. A(r) A(r) = -

4 ou encore la relation inverse a =

r IE.6)

R La précision et la sensibilité sur la flèche du front d'onde de l'interféromètre étant de - et 1 O

A - respectivement, celles de la divergence seront donc: 50

où h est la longueur d'onde du faisceau Iaser

Ainsi, pour une longueur d'onde de 677 nm et un demi-diamètre du faisceau de 3.5 mm, on

obtient une précision et une sensibilité de 0.077 rnrad et 0.0155 rnrad respectivement sur la

mesure de la divergence.

TEST TARGET (QA-3)

APPLIEO IMAGE. lnc - = 1653 East Main Slreet - -. - Rochester. NY t 4609 USA -- -- -, Phone: 7161482-0300 -- -- - - Fax 71W288-5989

O 1893. App(Led Image. lm. Aü Rights F(eseired

À D'UNE MÉCANIQUEdu grade de Maître ès Sciences (M-Sc.) Département de génie mécanique...

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