真实应变 = dL/L=ln(L/Lo)L1

Lo

P

SLoL

So

伸长

1. 正应力和正应变

正应变 ：单位长度的伸长。

（ L － Lo)/Lo= （名义应变）

2.1.1 基本概念

正应力 ：作用于单位面积上的力。 P/So= （公称应力或名义应力）

真实应力 =P/S

2.1 应力、应变及弹性形变

2. 剪切应力和剪切应变

负荷作用在面积为 S 的 ABCD 面上，

剪切应力： =P/S; 剪切应变： =U/L=tg.

正应力引起材料的伸长或缩短，剪应力引起材料的畸变，并使材料发生转动。

P

A

BC

D

E

A

B

U

L

F

x

y

z

zx

xy

yy

xx

zz

yz

zy

yx

xz

应力分量

S

围绕材料内部一点 P ，取一体积单元

2.1.2 任意的力在任意方向上作用于物体

1. 应力

说明：

下脚标的意义：

每个面上有一个法向应力和两个剪应力，应力分量下标：

第一个字母表示应力作用面的法线方向；

第二个字母表示应力的作用方向。

方向的规定

正应力的正负号规定：拉应力（张应力）为正，压应力为负。

剪应力的正负号规定：正剪应力 负剪应力

应力间存在以下关系：

根据平衡条件，体积元上相对的两个平行平面上的法向应力大小相等，方向相反；

剪应力作用在物体上的总力矩等于零。

应力张量

T1 T2 T3 T4 T5 T6

xx yy zz yz zx xy

结论：一点的应力状态有六个分量决定

体积元上任意面上的法向应力与坐标轴的正方向相同，则该面上的剪应力指向坐标轴的正方向者为正；

如果该面上的法向应力指向坐标轴的负方向，则剪应力指向坐标轴的正方向者为负。

2. 应变

dx

dy

BC

A

C

B

A

(v/y)dy

(v/x)dx

(u/x)dx

(u/y)dy

x

y

0

XY 面上的剪应变

xy

yx

已知： O 点沿 x,y,z 方向的位移分量分别为 u,v,w

应变为： u/x ，

用偏微分表示 ： u/ x

在 O 点 处沿 x 方向的正应变是： xx = u/x

同理： yy= v/y

zz= w/z.

ux

O A

x

A´O´

u（ 1 ）正应变

A 点在 x 方向的位移是： u+(u/x)dx ， OA 的长度增加 (u/x)dx.

O 点在 y 方向的应变： v/x, A 点在 y 方向的位移 v +(v/x)dx,

A 点在 y 方向相对 O 点的位移为： (v/x)dx,

同理： B 点在 x 方向相对 O 点的位移为：

(u/y)dy

（ 2 ）剪切应变

线段 OA 及 OB 之间的夹角变化

OA 与 OA 间的夹角 =(v/x)dx/dx= v/x

OB 与 OB 间的夹角 = (u/y)dy/dy=u/y

线段 OA 及 OB 之间的夹角减少了 v/x +u/y ，

xz 平面的剪应变为 :

xy= v/x +u/y （ xy 与 yx)

同理可以得出其他两个剪切应变：

yz= v/z+w/y

zx= w/x +u/z

结论：

一点的应变状态可以用六个应变分量来决定，即三个剪应变分量及三个正应变分量。

（ 1 ）各向同性体的虎克定律

x

L Lb

ccb

x

z

x

y 长方体在轴向的相对伸长为： x=x/E

应力与应变之间为线性关系， E------ 弹性模量，

对各向同性体，弹性模量为一常数。

2.1.3 弹性形变

1. 广义虎克定律（应力与应变的关系）

当长方体伸长时，横向收缩：

y= － c/c

z= － b/b

横向变形系数（泊松比）： =| y / x| =| z / x |

则 y = － x= － x/E z= － x/E

如果长方体在 x y z 的正应力作用下，虎克定律表示为：

x=x/E － y/E － z/E= [x － （ y ＋ z

） ] /E

y=y/E － x/E － y/E= [y － （ x ＋ z

） ] /E

z=z/E － x/E － y/E= [z － （ x ＋ y

） ] /E

对于剪切应变，则有如下虎克定律：

xy=xy/G

yz=yz/G

zx=zx/G

G ------ 剪切模量或刚性模量。

G, E, 参数的关系： G=E/2(1+)

如果 x = y = z ，材料的体积模量 K------ 各向同等的压力与其引起的体积变化率之比。

K= － p/(V/V)=E/[3(1 － 2 )]

作用力对不同方向正应变的影响

各种弹性常数随方向而不同，

即： Ex Ey Ez , xy yz zx

在单向受力 x 时，在 y, z 方向的应变为：

yy = － yx x= － yx x/Ex= （ － yx /Ex ） x =S21 x

zz = － zx x= － zx x/Ex=S31 x

S21, S31 为弹性柔顺系数。 1, 2,3 分别表示 x,y,z

(2) 各向异性

同时受三个方向的正应力，在 x, y, z 方向的应变为：

xx= xx/Ex+S12 yy +S13 zz

yy= yy/Ey+S21 yy +S23 zz

zz= zz/Ez+S31 yy +S32 zz

正应力对剪应变有影响，剪应力对正应变也有影响，通式为：

xx= S11xx+S12 yy +S13 zz+S14 yz+S15zx+S16xy

yy= S22yy+S21 xx +S23 zzS24 yz +S25zx+S26 xy

zz= S33zz+S31 yy +S32 zzS34 yz +S35 zx+S36 xy

yz= S41xx+S42 yy +S43 zz+S44 yz +S45zx+S46 xy

zx=S51xx+S52 yy +S53 zz+S54 yz +S55zx+S56 xy

xy=S61xx+S62 yy +S63 zz+S64 yz +S65zx+S66 xy

总共有 36 个系数。

根据倒顺关系有（由弹性应变能导出）：

Sij=Sji , － 21/E1 － 12/E2 ，系数减少至 21 个

考虑晶体的对称性，

例如：斜方晶系，剪应力只影响与其平行的平面的应变，不影响正应变， S 数为 9 个 (S11,S22,S33,S44,S55,S66,S12 = S2

1,S23,S13) 。

六方晶系只有 5 个 S(S11 = S22, S33, S44, S66, S13)

立方晶系为 3 个 S(S11,S44,S12)

MgO 的柔顺系数在 25oC 时， S11 =4.03×10-12 Pa-1;

S12 = － 0.94×10-12 Pa-1; S44 = 6.47×10-12 Pa-1 .

由此可知，各向异性晶体的弹性常数不是均匀的。

2. 弹性变形机理虎克定律表明，对于足够小的形变，应力与应变成线性关系，系数为弹性模量 E 。作用力和位移成线性关系，系数为弹性常数 K 。

r

rro r

1 2

＋

－

＋

－

F

Um

在 r=ro 时，原子 1 和 2 处于平衡状态，其合力 F=0.

当原子受到拉伸时，原子 2 向右位移，起初作用力与位移呈线性变化，后逐渐偏离，达到 r 时，合力最大，此后又减小。合力有一最大值，该值相当于材料断裂时的作用力。

断裂时的相对位移： r － ro=

把合力与相对位移的关系看作线性关系，则弹性常数：

K F/=tg

(1) 原子间相互作用力和弹性常数的关系

U(ro+ ） =U(ro)+(dU/dr)ro +1/2(d2U/dr2) ro 2

=U(ro)+1/2(d2U/dr2)ro 2

F=du(r)/dr=(d2U/dr2)ro

K =(d2U/dr2)ro 就是势能曲线在最小值 u(ro) 处的曲率。

结论： K 是在作用力曲线 r=ro 时的斜率，因此 K 的大小反映了原子间的作用力曲线在 r=ro 处斜率的大小 .

(2) 原子间的势能与弹性常数的关系

结论：弹性常数的大小实质上反映了原子间势能曲线极小值尖峭度的大小。

使原子间的作用力平行于 x 轴，作用于原子上的作用力：

F= － u/r , 应力： xx － (u/r)/ro2

dxx － (2u/r2)dr/ro2 , 相应的应变： d xx =dr/ro

dxx =C11d xx C11 － (d2U/dr2)ro /ro= K/ ro = E1

C------ 弹性刚度系数（与弹性柔顺系数 S 成反比） 结论：弹性刚度系数的大小实质上也反映了原子间势能曲线极小值尖峭度的大小。大部分无机材料具有离子键和共价键，共价键势能曲线的谷比金属键和离子键的深，即：弹性刚度系数大。

(3) 弹性刚度系数

晶体 C11 C12 C44

TiC 50 11.30 17.50

MgO 28.92 8.80 15.46

LiF 11.1 4.20 6.30

NaCl 4.87 1.23 1.26

NaBr 3.87 0.97 0.97

KCl 3.98 0.62 0.62

KBr 3.46 0.58 0.51

NaCl 型晶体的弹性刚度系数

（ 1011 达因 / 厘米 2 ， 200C ）

（ 4）用原子间振动模型求弹性常数

原子振动时有以下关系：

m1r1=m2r2, r=r1+r2=r1(1+m1/m2)

外力使其产生振动时，

则： F= m1d2r1/dt2=m2d2r2/dt2= － K(r － ro)

得 : md2(r － ro)/dt2= － K(r － ro) 或 md2/dt2= －K

其中： m=m1·m2/(m1+m2) （折合质量）

解此方程可以得共振频率： =(K/m)1/2 / 2 ( 与晶格振动中的长光学纵波相似，也叫极化波，能引起静电极化 ) ，则 ： K=m(2)2=m(2c/)2

可以利用晶体的红外吸收波长测出弹性常数。

r

m1 m2

r1 r2

3. 影响弹性模量的因素

架状结构 石英和石英玻璃的架状结构是三维空间网络，不同方向上的键结合几乎相同 ------几乎各向同性。

单链结构 Si2O6

双链结构 Si4O11

环状结构（岛状结构） Si6O18

方向不同弹性模量不一样

（ 1 ）晶体结构

架状结构 －石英 SiO2 C11=C22=0.9,C33=1.0

石英玻璃 SiO2 C11=C22=C33=0.8

单链状硅酸盐霓辉石 NaFeSi2O6 C11=1.9 C22=1.8 C33=2.3

普通辉石 (CaMgFe)SiO3 C11=1.8 C22=1.5 C33=2.2

透辉石 CaMgSi2O6 C11=2.0 C22=1.8 C33=2.4

双链状硅酸盐 角闪石普通角闪石 (CaNaK)2-3(HgFeAl)5(SiAl)8O22(OH)2 C11=1.2 C22=1.8 C33=2.8

环状硅酸盐绿柱石 Be3Al2Si6O8 C11=C22=3.1 C33=0.6

电气石 (NaCa)(LiMgAl)3(AlFeMn)6(OH)4(BO3)3Si6O18 C11=C22=2.7 C33=1.6

层状硅酸盐黑云母 K(Mg,Fe)3(AlSi3O10)(OH)2 C11=C22=1.9 C33=0.5

白云母 KAl2(AlSi3O10 )(OH)2 C11=C22=1.8 C33=0.6

金云母 KMg3(AlSi3O10)(OH)2 C11=C22=1.8 C33=0.5 ×1012 达因 / 厘米2

大部分固体，受热后渐渐开始变软，弹性常数随温度升高而降低。

弹性模量与温度的定量关系： E=Eo － bTexp(-To/T)

或 (E － Eo)/T= － bexp(-To/T)

Eo,b,To 是经验常数，对 MgO,Al2O3 ， ThO2 等氧化物，b=2.7～ 5.6 , To=180～ 320

温度对弹性刚度系数的影响，通常用弹性刚度系数的温度系数表示： Tc=(dC/dT)/C

对在电子仪器中的所谓延迟线和标准频率器件十分重要，因为它们寻求零温度系数材料。

(2) 温度

温度补偿材料：一种异常的弹性性质材料（ Tc 是正的），补偿一般材料的负 Tc 值 .且压电偶合因子大。

MgO Tc11= － 2.3 Tc44= － 1.0

SrTiO3 Tc11= － 2.6 Tc44= － 1.1

－ SiO2 Tc11= － 0.5 Tc33= － 2.1

Tc44= － 1.6 Tc66= ＋ 1.6

其中： Tc×10-4/oC低温石英有一个方向 Tc 是正值，低温石英在 570oC 通过四面体旋转，进行位移式相转变，变成充分膨胀的敞旷高温型石英结构。

原因：对高温石英和低温石英施加拉伸应力，前者由于Si － O － Si 键是直的，仅发生拉伸，后者除拉伸外，还有键角改变，即发生转动运动。随着温度的增加，其刚度增加，温度系数为正值。

••

••

说明： Tc 和转动相关。

启示：温度补偿材料具有敞旷结构，内部结构单位能发生较大转动的物质，这种敞旷式结构具有小的配位数。

架状结构：方石英、长石、沸石、白榴子石等具有正的 Tc.

在二相系统中，总模量介于高模量成分和低模量成分间，类似于二相系统的热膨胀系数，通过假定材料有许多层组成，这些层平行或垂直于作用单轴应力，找出最宽的可能界限。

第一种模型每种组分中的应变相同，即并联，

Eu=V2E2+(1 － V2)E1 （上限）

大部分应力由高模量的相承担。

第二种模型每个相中的应力相同，即串联，

1/EL=V2/E2+(1 － V2)/E1 （下限）

气孔对弹性模量的影响（气孔的弹性模量为零）

（ 3 ）复相的弹性模量

对连续基体内的密闭气孔，可用下面经验公式：

E=Eo(1 － 1.9P+0.9P2)适用于 P50

材料 E

(Gpa)

材料 E

(Gpa)

氧化铝晶体 380 烧结 TiC(P=5 % ) 310

烧结氧化铝（ P=5 % ）

366 烧结 MgAl2O4(P=5 % ) 238

高铝瓷（ P=90 － 95 % ）

366 密实 SiC(P=5 % ) 470

烧结氧化铍（ P=5 % ）

310 烧结稳定化 ZrO2 P=5 %

150

热压 BN （ P=5 % ） 83 石英玻璃 72

热压 B4C （ P=5 % ） 290 莫来石瓷 69

石墨（ P=20 % ） 9 滑石瓷 69

烧结 MgO （ P=5 % ）

210 镁质耐火砖 170

烧结 MoSi2 （ P=5 % ）

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