Φύλλο εργασίας (De L Hospital)

Ο L΄Hospital θεωρούνταν ικανός μαθηματικός, καταγόταν από αριστοκρατική στρατιωτική οικογένεια. Με την

ενηλικίωσή του έγινε λοχαγός του ιππικού, αλλά είχε ήδη αναπτύξει το πάθος του για τα Μαθηματικά. Ύστερα

από την παραίτησή του από τον στρατό, ο L΄Hospital αφοσιώθηκε εξ΄ολοκλήρου στα Μαθηματικά. Μαθήτευσε

υπό τον Johann Bernoulli (1647-1748). Συνέγραψε το πρώτο βιβλίο Διαφορικού Λογισμού, το οποίο γνώρισε

μεγάλη επιτυχία. Ο λεγόμενος DLH ανακαλύφθηκε από τον Johann Bernoulli. Οι DLH και Bernoulli είχαν

υπογράψει ένα συμβόλαιο, σύμφωνα με το οποίο ο L΄Hospital είχε το ελεύθερο δικαίωμα να χρησιμοποιεί τις

ανακαλύψεις του Bernoulli όπως αυτός ήθελε, με αντάλλαγμα έναν σταθερό μισθό.

Στο μάθημα αυτό θα μάθουμε να υπολογίζουμε όρια συναρτήσεων με την βοήθεια του

κανόνα De L’ Hospital, όταν η εφαρμογή των ιδιοτήτων των ορίων μας οδηγεί σε

απροσδιοριστίες της μορφής 0.(+-∞), ∞0 , 00, ή 1∞.

Δραστηριότητα Να υπολογιστεί το όριο lim lnx/(1-x2 ) για χ->1……………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………..

Τι παρατηρείτε; …………………………….. παρακάτω παριστάνονται γραφικά στο ίδιο σύστημα

συντεταγμένων οι συναρτήσεις f(x)=lnx και g(x)= 1-x2

Να

αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων των f και g στο κοινό τους

σημείο Α(1,0) είναι οι ευθείες ψ-χ-1 και ψ=-2χ+2 αντιστοίχως.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Παρακάτω φαίνονται οι γραφικές τους παραστάσεις

Να κάνετε χρήση του γεγονότος ότι κοντά στο χο=1 οι τιμές των συναρτήσεων f(x)=lnx και

g(x)=1-x2 προσεγγίζονται από τις τιμές των εφαπτομένων τους ψ=χ-1 και ψ=2χ+2

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Οπότε

x ≠ c,

.

Όταν οι οριακές τιμές έρχονται στη μορφή 0/0 ή ∞/∞, μπορεί να εφαρμοστεί το

παρακάτω θεώρημα που είναι γνωστό ως ο κανόνας De L’ Hospital (DLH)

Θεώρημα: Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:Α->R και διάστημα Δ υποσύνολο του Α. Αν

i. Οι f,g είναι παραγωγίσιμες στο Δ-{χο}, g΄(χ)≠0 για κάθε χεΔ-{χο}

ii. Είναι για χ->χο limf(x)=limg(x)=0 ή limf(x)=+∞ ή -∞ και limg(x)= +∞ ή -∞

iii. Είναι για χ->χο limf΄(χ)/g΄(χ)=L όπου LεR ή L=+-∞

Το θεώρημα ισχύει και όταν χ->χο+, χ->χο-, χ->+∞, χ->-∞ Αρκεί να ικανοποιούνται

οι προϋποθέσεις του θεωρήματος

Αν το limf΄(χ)/g΄(χ) για χ->χο είναι και αυτό μία από τις απροσδιόριστες μορφές

0/0 ή ∞/∞, ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος DLH για τις f΄, g΄και

επιπλέον για χ->χο limf΄(χ)/g΄(χ)εR ή limf΄΄(χ)/g΄΄(χ) =+-∞ τότε ισχύει ότι:

Για χ->χο lim

=lim

=lim

Ασκήσεις-Εφαρμογές

1. Απροσδιόριστη μορφή 0/0. Να υπολογίσετε το lim

για χ->0+

..............................................................................................................

..............................................................................................................

2. Απροσδιόριστη μορφή ∞/∞ . Να υπολογίσετε το lim /2x

για χ->+∞………………………………………………………………………………………….

.............................................................................................................

3. Οι οριακές μορφές 0.∞ ή (-∞)+(+∞) μπορούν να

μετασχηματιστούν , έτσι ώστε τα αντίστοιχα όρια να μπορούν να

υπολογιστούν με την βοήθεια του DLH.

Απροσδιόριστη μορφή 0.∞. Να υπολογίσετε το lim[xln(1+1/x)} για

χ->+∞………………………………………………………………………………………………

...........................................................................................................

4. Απροσδιόριστη μορφή (-∞)+(+∞) Να υπολογίσετε το lim (x-lnx) για

χ->+∞ (Να βγάλετε κοινό παράγοντα το χ)………………………………………

..............................................................................................................

5. Οι οριακές μορφές ∞0 ,00 , 1∞ μπορούν να μετασχηματιστούν , έτσι

ώστε τα αντίστοιχα όρια να μπορούν να υπολογιστούν με τη

βοήθεια του κανόνα DLH. Απροσδιόριστη μορφή 00 Να υπολογίσετε

το lim x x για χ->0+ ……………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Απροσδιόριστη μορφή∞0 Να υπολογίσετε το lim(1+3x)1/x για

χ->+∞………………………………………………………………………………………………

...........................................................................................................

Επισημάνσεις (Κανόνας De L΄Hospital)

Ο κανόνας DLH δεν μας δίνει απάντηση σε όλα τα όρια που καταλήγουν σε

απροσδιόριστες μορφές. Άλλοτε δεν ισχύει το θεώρημα και άλλοτε η εφαρμογή του

ή δεν είναι συμφέρουσα ή οδηγεί σε ατέρμονα διαδικασία. Για παράδειγμα για την

εύρεση του ορίου

1. Lim για χ->0, (Εφαρμόστε τον κανόνα του DLH) Tί

παρατηρείτε;…….

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

Σημείωση( Το παραπάνω όριο υπάρχει και είναι 0)Γιατί;(Εφαρμ.Κριτ.Παρεμβ.)

…………………………………………………………………………………………………………………..........

……………………………………………………………………………………………………………………………

2. Να βρεθεί το lim (ex -e-x )/ (ex +e-x ) ……………………………………………………………………..

….....................................................................................................................................

Τί παρατηρείτε;.........................................(Εφαρμόστε ιδιότητες των ορίων)...........

......................................................................................................................................

Πολλές φορές ο υπολογισμός του ορίου με τον κανόνα DLH δεν είναι η

ενδεδειγμένη μέθοδος αφού ο υπολογισμός του ορίου μας οδηγεί σε πολύολοκες

πράξεις. Σκόπιμο είναι στις περιπτώσεις αυτές να χρησιμοποιούμε τους γνωστούς

τρόπους εύρεσης των ορίων. Δημιουργείστε μια δικιά σας συνάρτηση

απροσδιόριστης μορφής η οποία να έχει διαφορά ριζών στον αριθμητή και

διαφορά ή άθροισμα ριζών στον παρανομαστή. Διαπιστώστε πόσο δύσκολο είναι

να υπολογίσουμε το όριο με τον κανόνα DLH ενώ με την διαδικασία συζυγών

παραστάσεων λύνεται πολύ πιο εύκολα............................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

Ακόμα πριν από την εφαρμογή του κανόνα DLH είναι σκόπιμο να απλουστεύουμε

όσο μπορούμε τη μορφή του ορίου. Έτσι για παράδειγμα για την εύρεση του

lim (√x-1)/(1-e 2√x-1) για χ->1+

(Θέστε t=√x-1)………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………

Σκόπιμο είναι να απομονώνουμαι τους παράγοντες που ευθύνονται για την

απροσδιοριστία και να εφαρμόζουμε μόνο γι΄αυτούς τον κανόνα DLH π.χ

Να βρεθεί το limσυνχln(x-2)/ln(ex –e2 ). (Απομονώστε το συνχ)........................

........................................................................................................................................

.................................................................................................................................

Στην προσπάθεια εύρεσης του ορίου του πηλίκου των παραγώγων ενδέχεται να

εμφανιστεί και πάλι απροσδιόριστη μορφή. Στην περίπτωση αυτή εφαρμόζουμε τον

κανόνα DLH για τις συναρτήσεις f΄(χ) και g΄(χ) Εφόσων φυσικά ικανοποιούνται οι

προϋποθέσεις του θεωρήματος.