制約充足問題(Constraint Satisfaction Problems)

認知システム論　制約充足（ 1 ）制約をみたす組合せを探すエージェント

　制約充足問題

　制約充足問題の例

制約充足問題 (CSP) とは

変数 (variable) の集合　各変数の領域 (domain)変数間の制約 (constraint) の集合

CSP

すべての制約を満たすような変数への値の割当て

解

x1 x2 … xn

D1 D2 … Dn

Cij ={(a,b),(c,d),…}変数 xi-xj 間で許される値の組の集

合．与えられた組 (u,v) が許されるか否かを判定する関数 allowed(i,j,u,v)

でも良い．

x1=a1 x2=a2 … xn=an

探索問題と制約充足問題探索問題 制約充足問題

状態オペレータ

ブラックボックス（任意の表現）

標準的な内部構造（変数への値の割当て）

ゴール判定 ブラックボックス（任意の判定手続き）

制約を満たす変数への値の割当て

ヒューリスティクス

問題独自に発見する

標準的なものを設計可能

特徴 問題の表現に柔軟性がある

標準的な効率良い解法を設計できる

制約グラフ (constraint graph)

変数 x, y, z領域 Dx=Dy=Dz={0,1}

制約 Cxy=Cyz={(0,1),(1,0)}

問題

(x,y,z)=(0,1,0)

(x,y,z)=(1,0,1)

解

x≠y, y≠z

１つ見つければ良し

x

y

z

制約グラフ

≠ ≠

{0,1} {0,1}

{0,1}

２項制約と多項制約

x y

x y

z

２項制約

３項制約

)}2,3(),3,1(),2,1{(xyC

許される値の組

)}2,2,3(),1,3,1(),1,2,1{(xyzC

多項制約は２項制約に変換できる．

この授業では，２項制約のみを考える．

多項制約を２項制約に変換する

x y

z

３項制約

)}2,2,3(),1,3,1(),1,2,1{(xyzC

x y

z

p{( ,2),( ,3),( ,2)}pyC a b c２項制約２項制約

２項

制約

新しい変数

a b c

新しい変数の領域２項制約に変換できる

{( ,1),( ,1),( ,3)}pxC a b c

{( ,1),( ,1),( ,2)}pzC a b c

制約充足問題は NP 完全問題

NP 完全 (NP-complete) 解が与えられれば，それが確かに解であるかどうかは多項式オーダーの実用的な時間で判定できる．

しかし，解を自力で見つけるのは，最悪のケースで指数オーダーの時間となり，非常に難しい．

ヒューリスティックで典型的には実用的な時間で解きたい

制約充足問題の例

n クイーン問題 (n queens problem)

クロスワードパズル (crossword puzzles)

グラフ彩色問題 (graph coloring)線画解釈 (interpretation of line

drawings)レイアウト (layout)スケジューリング (scheduling)

ｎ クイーン問題 (1)

Q

QQ

QQ

Q

Q

Q

アタ

ック！

互いにアタックしないように n 個の Qを置く

n=8 の例

n queens problem

12

13

14

23

24

34

{(1,3), (1,4), (2, 4), (3,1), (4,1), (4, 2)}C

C

C

C

C

C

n クイーン問題 (2) 定式化と解

QQ

QQ

x1

x2x3 x4

21

43

|||| jixx

xx

ji

ji

変数領域 {1,2,3,4}

制約

解

x3=1,

x4=3

x2=4,

x1=2,

制約

n=4 の例

クロスワードパズル

1 2 3

4 5

6 7

8

AFTALEEEL

HEELHIKE

HOSESKEELKNOTLASER

LEELINESAILSSHEETSTEER

TIE

単語ﾘｽﾄ

x1,x2 間の制約：　 x1 の３文字目＝ x2 の１文字目

x1x2

変数 領域

制約

crossword puzzles

D1=D2=D3=D8

={HOSES,LASER,

SAILS,SHEET,

STEER}

グラフ彩色問題 (1)

　辺で結ばれたノードが異なる色になるように４色で塗り分けよ　

graph coloring

グラフ彩色問題 (2) 地図の塗り分け

グラフ彩色問題 (3) 定式化と解各ノードが変数

変数の取りうる色が

領域

隣り合う変数の色が異なるというのが

制約

すべての制約を満たす色の配置が解

グラフ彩色問題 (4) 周波数の割当て

携帯電話基地局

距離が近いどうしを辺で結び，異なる周波数

（色）を割り当てる

線画解釈 (1)

線画（２Ｄ）

立体（３Ｄ）

解釈

interpretation of line drawings

線画解釈 (2)線分のラベル付けによる空間表現

両側に物体の表面が見える．前方に凸．

両側に物体の表面が見える．前方に凹．

矢線の右側だけに物体の表面が見える．

線画解釈 (3)ジャンクションに許される全パターン

+ + - -

+ +- - +

-+

-- -

-+ +

+

+ -

W

V

Y

T

線画解釈 (4)制約充足による解釈の生成

+ ++

++-

変数：　ジャンクション領域：　ジャンクション　　　　　のパターン制約：　辺に同じラベル　　　　　が付くこと

制約充足 解：　解釈

レイアウト４つの長方形を右の長方形の中に重ならないように詰め

よ．

layout

スケジューリング

1A 2A 3A

3B 1B 3B 2B

3C 2C 1C

A

B

C

時間制約（順序，長さ）と資源制約（排反実行）のもとで，ジョブを構成する各タスクの開始時刻を決

める

終了時刻を短くせ

よ

1

2

3

Jobs

Machines

1A 1B 1C

2A 2B2C

3A3B 3B3C

Task (Job 1, Machine C)

scheduling