数論アルゴリズム確率的 COMPOSITES判定の各種テスト

４．２０　川原　未鈴

１、絶対擬素数テスト絶対擬素数（ Absolute Pseudo-Prime ） AP ｓ P

しかし、どんなに対しても（ 2.8 ）を充たすｎがあり、それを絶対擬素数 AP ｓ P という。

参考定理 2.2.2 　（ P.40 ）もしｎに対して　 　 　 　 　 （ 2.8 　 　 　 　 　）これを充たさないｂが存在すればｎ

定理 4.2.1 　　無限に多くの AP ｓP が存在この AP ｓ P を精密化して得られたアルゴリズ

ムが・・・

絶対擬素数テスト　　　　　　（ Absolute Peseudo-Primality Test ）　 AP ｓ PT　　　算法 4.2.1 （ AP ｓ PT ）　　入力　奇数　　出力　判定「」あるいは　　　　　　主張「 」ℙ　　手順　（ⅰ）以下を　　　　　　（ a ）ランダムにを選ぶ　　　　　　（ b ）もし gcd(b,n)>1 なら「 」と判定して終了　　　　　　（ c ）もし（ 2.8 ）が不成立なら「 」と判定して終了　　　　　　（ⅱ）「ｎは AP ｓ P か確率 1- 」と　　　　　　　主張して終了

～計算量～

定理 1.4.1 と注意 1.3.2 から、各ｂに対する（ 2.8 ）の計算量は 　（ 4.3 ）また、 SD による GCD の計算量は注意 2.1.2 から更に少ない。

参考定理 1.4.1 　一つの数のｎ乗に必要な乗算回数は最少

注意 1.3.2 　 Õを次のように定義する：

注意 2.1.2 　 互除法 SDの計算量は𝜪

手順（ⅱ）のところQ 、なぜの確率が１－な　　　のか？A 、に対し（ 2.8 ）を充たすｂ全体はの真部分群だから。

ｎが APｓ Pの時は無効＋定理 4.2.1より算法 4.2.1APｓ PTは「 COMPOSITESRP」すら保証しない。

そこでこの欠陥を埋めてくれるアルゴリズムが…

２、平方剰余規準テスト

命題 2.3.1 の QRC から、もしならば　 　 　 　 　　 (mod n) (4.4)

これを充たさないｂが存在すればと判定できる。そこで平方剰余規準テスト（Quadratic Residuosity Criterion Test）QRCT 　 を得る。

平方剰余規準　 QRC命題 2.3.1 　任意の p, に対して　　　　　　　　　　　　 (mod p)

平方剰余規準テスト　 QRCT

算法 4.2.2 　（ QRCT ）入力　奇数および反復回数出力　判定「」あるいは　　　　主張「 」ℙ手順　（ⅰ）以下を　　　　　　　（ a ）ランダムにを選ぶ　　　　　　　（ b ）もし gcd(b,n)>1 なら「 」と判定して終了　　　　　　　　（ c ）もし（ 4.4 ）が不成立なら「 」と判定して終了　　　　（ⅱ）「確率 1- 」と主張して終了　　

（ⅱ）のところQ 、なぜの確率が１－な　　　のか？A 、どんなに対しても（ 4.4 ）を充たすｂ全体は

～計算量～は注意 2.3.3 の様に高速に実行できるので、各ｂに対して計算量は（ 4.3 ）の通りになる。

「 COMPOSITESRP 」　　「 PRIMESP 」

このアルゴリズムでも十分に実用に耐える程度効率的であるが、更に現在最高速で簡単な COMPOSITESアルゴリズムが・・・

両方保証される

３、強擬素数テストn は奇数なので偶数 n-1 の２指数 e:=e(2)は簡単にできるので、

とする。任意のに対して　　　　　が成り立つ。位数は , i=1,2,eここで、もしならば、巡回群の位数２の元は -1 唯一つである。

よって任意のに対してnを法とする合同式

　　 　　　 　　又は 又は 又は

のうちでいずれか一つが成立するはずである。いずれも充たさないｂが存在すればと判定できる。そこで強擬素数テスト（Strong Pseudo-Primality Test）SPｓPTを得る。

強擬素数テスト　 SP ｓ PT

算法 4.2.3 （ SP ｓ PT ）入力　奇数および反復回数出力　判定「」あるいは　　　　主張「 」ℙ手順　（ⅰ）初期化　を計算　　　　（ⅱ）以下を　　　　　　　（ a ）ランダムにを選ぶ　　　　　　　（ b ）もし gcd(b,n)>1 なら「 」と判定して終了　　　　　　　　（ c ）もし（ 4.5 ）が不成立なら「 」と判定して終了　　　　（ⅱ）「確率 1- 」と主張して終了

～計算量～-1 として、手順（ⅱ -a ）を

『順次　ｂ』

に変更すれば、これは EZH の下では（ⅲ）の出力を

『「」と判定して終了．』

とできることが証明されている。即ち、決定性アルゴリズムとなる。この反復回数だから計算量は

(4.6)となる。

算法 4.2.3 SP ｓ PT も各ｂに対する計算量 (4.3) で「 COMPOSITES 」が保障され、（ 4.6 ）よりEZH の下で「 PRIMESP 」も保障している。

（ⅲ）のところQ 、なぜの確率が１－なのか？A 、任意に対し（ 4.4 ）を充たす　 は（） /4個以下となること　 　 が既知だから。