고체역학 Chapter5 States of Stress
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8/18/2019 Chapter5 States of Stress
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xσ
yσ
z σ
yxτ
yz τ xyτ
xz τ
zxτ
zy
τ
Chapter.5 States of Stress
김 대 영
E-mail: [email protected]
HP: 010-9249-5551
바이오시스템공학과2014년도 2학기 강의자료 (고체역학)
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1. 응력성분
z zy zx
yz y yx
xz xy x
응력상태: x, y, z축에 대한 어떤 평면에서의 응력
응력상태를 응력성분의 항에 대해 행렬식으로 표현
-
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1. 응력성분• 평행상태에 있다면, 전단응력 이므로, 응력행렬식은 대칭이 된다.
• 정지상태에 있는 유체에서의 한 요소의 면에 작용하는 응력은 둘러싸인 유체에 의한 압력과 같다.
• 이때 유체는 정지하고 있으므로, 전단응력은 0이다.
• 균일단면 봉의 끝단에 축하중을 가하면, x축 방향의
수직응력만이 유일한 응력성분이 된다.
• 축 비틀림을 받는 원통형 봉의 미소 요소를 분리하면,
순수전단응력 상태가 된다.
zx xz zy yz yx xy ,,
p z y x
p
p
p
00
00
00
000
000
00 x
000
00
00
yz
xy
-
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2. 평면응력 변환• 어떤 한 점에서 응력이 다음의 형태를 취하면, 평면응력상태에 있다고 할 수 있다.
• 즉, z축 성분들에 대한 응력 성분은 모두 0이고, 이 유일한 응력 성분임을 의미한다.
• 축하중을 받는 봉의 요소에서의 응력상태와 비틀림을 받는 봉의 요소에서의 응력상태 모두 평면응력상태이다.
000
0
0
y yx
xy x
xy y x ,,
-
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3. 평면응력 변환• 좌표변환에 따른 응력성분 도출
• 다음과 같은 좌표계에서 물체의 한점 p에서의 응력상태를 알고 있을 때, 기울어진 좌표계 x’y’z’으로 p의 응력상태는?
(단 z와 z’축은 일치한다.)
• 자유물체도의 경사면 면적을 라고 하면, 자유물체도에 대한 평형방정식으로부터 변환된 좌표에서의 응력
성분들을 도출할 수 있다.
• X’ 방향으로의 힘의 합
0cos)sin(sin)cos(sin)sin(cos)cos(' Δ A Δ A Δ A Δ A Δ A yx xy y x x
cossin2sincos' 22 xy y x x
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3. 평면응력 변환• y’ 방향으로의 힘의 합
• 다음의 삼각함수를 이용하면,
• 에 대한 식은 의 식에 대산 를 대입하여 얻을 수 있다.
• 한점에서 평면응력상태를 알고 있을 때, 임의 평면에서 수직응력과 전단응력을 결정할 수 있다는 것을 의미한다.
0sin)sin(cos)cos(cos)sin(sin)cos(' Δ A Δ A Δ A Δ A Δ A yx xy y x xy
)sin(coscossin)(' 22 xy y x xy
2cossincos
2sincossin2
2cos1sin2
2cos1cos2
22
2
2
2cos2sin2
'
2sin2cos22
'
xy
y x
xy
xy
y x y x
x
y' x' 90
2sin2cos22
' xy y x y x
y
-
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4. Mohr’s Circle• 정의: 수직면의 응력의 크기가 주어져 있을 때, 경사면의 응력의 크기를 구할 수 있는 원
• 그리는 순서
1
와 와의 교점을 의 부호가 이면 축 아래쪽에 잡는다.
3 와 와의 교점을 잡는다.
y
4 두 교점을 직선으로 잇고, 그 직선을 직경으로 하는 원을 작도한다.
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4. Mohr’s Circle• 수직면의 응력
y
y
x
• 경사면의 응력크기를 나타내는 Mohr’s circle
y
x
xy
xy
x
y
-
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4. Mohr’s Circle
y
x
y
x
' x
' y
2
'
' ' y '
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4. Mohr’s Circle
x
y
2
x y
2 y
-
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5. 주응력과 최대전단응력
1
max
x
y
2
y
1
2
x y
반경
max 반경
2 xy
y x y x 2
2
2122
,
• 주응력 (Principal stress)
• 최대전단응력 (Maximum shear stress)
xy y x 2
2
max 2
-
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5. Example 5-1• 어떤 한 점 p에서 평면응력상태는 다음의 왼쪽 요소상에 보였다. 오른쪽 요소에 작용하는 응력상태를 결정하기 위하여
Mohr원을 사용하여라. 그리고 응력이 작용하는 요소를 도시하여라.
MPa6
MPa10
MPa22
xy
y
x
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5. Example 5-1• Mohr 원을 그리는 4단계를 거쳐 작도한다.
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6. Example 5-2• 어떤 한 점 p에서 평면응력상태는 다음의 요소상에 보였다. 주응력과 최대 면내 전단응력을 구하기 위하여 Mohr원을
사용하고, 알맞은 위치의 요소에 작용하는 응력을 도시하여라.
MPa6
MPa10
MPa22
xy
y
x
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6. Example 5-2
주응력이 작용하는 면의 요소
xy y x y x 2
2
21 22,
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6. Example 5-2
xy y x 2
2
max 2
-
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7. 3차원에서의 주응력• 일반적인 응력상태
• 특정 좌표계 xyz의 한점 p에서의 응력성분
• 다음의 응력상태로 존재하는 좌표계가 적어도 하나 존재하며, 바뀐 좌표계
시스템에서 x’y’z’을 주축(principal axes)이라 한다. 이축에서는 주응력만 작용하며,전단응력은 존재하지 않는다.
z zy zx
yz y yx
xz xy x
I
z
y
x
z zy zx
yz y yx
xz xy x
00
00
00
'''
'''
'''
-
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7. 3차원에서의 주응력• 주응력을 3차식의 근으로 나타내면,
• 여기서
• 비록 응력상태의 성분은 표현되는 좌표계의 방향에 의존하기는 하지만, 이러한 세 개의 계수의 값은 좌표계의 방향에
의존하지 않는다. 이는 주응력이 그것의 값을 구하기 위해 사용된 좌표계의 방향에 의존하지 않는다는 사실이다. 이러한
이유로 응력불변(stress invariants)으로 불린다.
• 절대 최대 전단응력은 다음의 값중 가장 큰 값이다.
0222
1
3 I I I
zx yz xy xy z xz y yz x z y x
zx yz xy x z z y y x
z y x
I
I
I
22223
222
2
1
2,
2,
2
323121
-
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8. 압력용기에서의 응력• 구형용기
• 두께가 반지름보다 매우 얇은 구형 dyud기를 고려해 보자. 용기가 균일압력 p1을 갖는 가스로 채워져 있고 외벽은
균일압력 p0를 받고 있다고 가정하고, 내부와 외부의 압력차를 p=pi-p0로 나타낸다. 실제로 이경우, p0는 대개
대기압이다. (대략적으로 105
Pa 또는 14.7psi)
• 내부와 외부의 압력보다 하중의 영향이 무시될 때 벽두께가 얇은 구형 압력용기의 응력상태를 근사화
0)()2()( 22
0
R p Rt R p i
Rt
t
pR
t
R p pi
22
)( 0
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8. 압력용기에서의 응력
외부 표면에서 요소상의 응력 내부 표면에서 요소상의 응력
000
00
00
p z zy zx
yz y yx
xz xy x
i z zy zx
yz y yx
xz xy x
p00
00
00