РЕШЕНИ ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА 1

Разполагаме с данни за месечната изработка (в брой детайли) на 300 работни[r,

представени под формата на интервален статистически ред в таблица 1.

1. Да се изчислят основните средни величини средна аритметична, медиана, мода.

2. Да се изчислят основните показатели за разсейване

3. Да се определи формата на емпиричното разпределение с помощта на

подходящите измерители.

Таблица 1. Интервална групировка на 300 работни[r според тяхната месечна изработка (в

бр. детайли) Месечна

изработка

Брой

работници хi fi xi ci xi- x 2)( xxi

2)( xxi fi 3)( xxi

3)( xxi fi 4)( xxi

4)( xxi fi

Xi fi

41 – 50 10 45 450 10 -32 1024 10240 -32768 -327680 1048576 10485760

51 – 60 20 55 1100 30 -22 484 9680 -10648 -212960 234256 4685120

61 – 70 50 65 3250 80 -12 144 7200 -1728 -86400 20736 1036800

71 – 80 60 75 4500 140 -2 4 240 -8 -480 16 960

81 – 90 130 85 11050 270 8 64 8320 512 66560 4096 532480

91 – 100 30 95 2850 300 18 324 9720 5832 74960 104976 3149280

Σ 300 23200 45400 -386000 19890400

1. Средни величини

Средна аритметична величина

Тъй като изходните данни са групирани, за изчисляване на средната аритметична

се прилага претеглена формула:

773,77300

23200

1

1

k

i

i

k

i

ii

f

fx

x бройки

където xi са средите на съответните интервали на изучавания признак Хi , а k е броят на

интервалите (групите).

Средната аритметична ни показва каква е средната изработка за съвкупността,

която изследваме като цяло.

2

Медиана

За да изчислим медианата е необходимо да определим центъра на предварително

подредената по възходящи значения на признака съвкупност от единици, както и

медианната група, т.е. групата, в която той попада. Номерът на централната единица

може да изчислим по формулата:

(N + 1) / 2 = (300 + 1) /2 = 150,5

Следователно трябва да установим в коя група (интервал) се намират 150-та и 151-

та единици на съвкупността. За целта построяваме прогресивно-комулативния ред ci,

който ни показва номерата на единиците във всяка група. Така установяваме, че

търсените от нас единици са в 5-та група, където се намират единиците с номера от 141

до 270. Това е нашата медианна група.

За да пресметнем точната стойност на медианата трябва да приложим следната

формула:

Me

MeMef

hc

NLMе

1

2

1

където:

LMe – долна граница на медианната група ;

сМе-1 – комулативна честота в предмедианната група (т.е. общия брой на единиците в

групите преди медианната група);

h – ширина на интервала на медианната група;

fMe – брой на единиците (честота) в медианната група;

В задачата имаме: LMe = 81; сМе-1 = 140; h = 10; fMe = 130

Следователно:

81130

101405,15081 0,8 = 81,8 бройки

Мода

За да изчислим модата е необходимо първоначално да определим модалната група,

т.е. групата с най-висока абсолютна честота. В случая това е интервала 81-90, където са

попаднали 130 единици. По отношение на този интервал прилагаме следната формула:

)()(

)(

11

1

MoMoMoMo

MoMoMo

ffff

hffLMo

3

където:

LMo - долна граница на модалната група;

h - ширина на интервала на модалната група;

fMo - брой на единиците в модалната група;

fMo-1 - брой на единиците в предмодалната група;

fMo+1 - брой на единиците в следмодалната група;

В задачата имаме: LMo = 81; fМo-1 = 60; fМo = 130; fМo+1 = 30; h = 10.

)30130()60130(

10)60130(81Mo 81 + 4,12 = 85,12 бройки

2. Показатели за разсейване

Абсолютни показатели

Размах (R)

Абсолютен показател за разсейване:

R = Xmax – Xmin = 100 – 41 = 59 бройки

Средно квадратично (стандартно) отклонение

Този показател е по-точен от предходния, защото тук се вземат в предвид не само

екстремалните стойности на изследвания признак (както в горния случай при размаха), а

всички негови стойности т.е. основава се на обобщаване на индивидуалните различия.

Формулата за изчисляване стандартното отклонение е:

3,12

300

454002

i

ii

f

fxx

Относителни показатели

Относителни показатели за разсейване са дисперсията и коефициенти на вариация,

които може да се определят въз основа на всеки от абсолютните показатели.

Дисперсия

σ2 = 151,3

4

Коефициент на вариация по размаха (VR(%))

%62,7610077

59100.(%)

x

RVR

Коефициент на вариация по стандартното отклонение

10077

3,12100.(%)

xV

=15,97%

3. Показатели за асиметрия

Степента и посоката на асиметрия може да се определи с помощта на различни

коефициенти.

Моментен коефициент на асиметрия - А

3

3

A ,

където

k

i

i

k

i

ii

f

fxx

1

1

3

3

)(

е 3-ти централен момент

Необходимите изчисления за пресмятане на коефициента са представени в табл.1

300

386000)(

1

1

3

3

k

i

i

k

i

ii

f

fxx

= - 1286,67

Следователно:

33

3

3,12

67,1286

A = - 0,6914

Коефициентът на асиметрия показва лява (отрицателна) умерена асиметрия.

Коефициент на асиметрия на Пирсън

5

γПирсън = 3,12

)8,813,77(3)(3

Mex= - 1,0975

Коефициент на асиметрия на Юл

γюл = 3,12

12,853,77)(

Mox= - 0,6358

Както се вижда, и тези коефициенти показват лява умерена асиметрия на

разпределението. Като най-точен за измерване степента на асиметрия обаче се счита

моментния коефициент.

Коефициент на асиметрия на Боули

γБоули = 13

31 )2

QQ

MeQQ

където Q1 и Q3 са съответно 1-я и 3-я квартил.

За пресмятане на коефициента е необходимо да се изчислят Q1 и Q3 съответно по

формулите:

1

11 114 Q

QQf

hc

NLQ

и

3

33 134

3

Q

QQf

hc

NLQ

Използвайки прогресивно-кумулативните честоти установяваме, че групата на 1-я

квартил е (61 – 70), а групата на 3-я квартил е съответно (81 – 90). Съответно за двата

квартила имаме:

LQ1 = 61; сQ1-1 = 30; h = 10; fQ1 = 50

LQ3 = 81; сQ3-1 = 140; h = 10; fQ3 = 130

След заместване във формулите, получаваме стойностите на двата квартила:

50

1030

4

300611

Q = 61 + 9 = 70

130

10140

4

300.3813

Q = 81 + 6,54 = 87,54

6

Следователно коефициентът на асиметрия ще бъде:

γБоули = 7054,87

)8,81*254,8770

= -0,3455

И този показател показва лява умераена асиметрия в емпиричното разпределение

на работниците според тяхната месечна изработка.

7

ЗАДАЧА 2

Получени са предварителни резултати от национално изследване на месечния

разход на домакинствата за покупка на мляко и млечни произведения през 2011г. Само

за две области (А и В) са избрани по 15 домакинства измежду тези, имащи по едно дете.

Данните са следните:

Област Средномесечен разход (лв.)

А 28 30 34 35 40

10 15 18 16 20

48 53 68 85 130

В 35 45 50 85 124

20 22 25 30 32

8 10 12 15 17

1) Да се направят квинтилни групировки на домакинствата от двете области

2) Да се построят кривите на Лоренц за двете разпределения.

3) Да се измери подоходното неравенството във всеки ред, като се използват

квинтилния коефициент на диференциация, коефициента на Джини и интегралния

коефициент на неравномерност на структура.

4) Да се направи проверка за условието за сравнимост на двата реда. Ако то е

изпълнено, да се сравни степента на неравенството в двата реда.

РЕШЕНИЕ:

1) Въпреки че броят на единиците в двете групи е еднакъв, провеждането на

квинтилна групировка е необходимо поради факта, че сумите на разходите за двете

групи е различна: А = 630 В = 530

За построяването на квинтилна групировка е необходимо да се образуват по пет

групи домакинства от всяка област. Броят на единиците във всяка група и относителният

им дял ще бъдат:

mn

k

15

53 n

ki

1100%

1

5100% 20%. .

8

Предварително условие за нейното провеждане е единиците да бъдат подредени

ненамаляващо по размера на измерения разход. Пренаредените данни са поместени в

табл.2.1

Таблица 2.1. Работна таблица на квинтилната групировка

Област А Област В

j Разход

(лв)

i i

A

jx A

id Разход

(лв)

i i

B

jx B

id

1 10 8

5 15 10

6 18 1 43 0,068 12 1 30 0,057

10 16 15

11 20 17

12 28 2 64 0,102 20 2 52 0,098

15 30 22

17 34 25

18 35 3 99 0,157 30 3 77 0,145

19 40 32

23 48 35

24 53 4 141 0,224 45 4 112 0,211

28 68 50

29 85 85

30 130 5 283 0,449 124 5 259 0,489

630 630 1,000 530 530 1,000

Изчисляването на относителните дялове на разходите на групите е осъществено

аналогично на относителните честоти при честотните разпределения. Например, за

относителния дял на групата домакинства с най-ниски разходи от област А (първата

група) се получава:

d

x

x

Aj

j

j

1

1

3

43

6300 068

,

В таблица 2.2 са поместени квинтилните разпределения за двете съвкупности,

като относителните дялове са представени в процентната им форма. Изчислени са и

кумулираните дялове на двете разпределения.

9

Таблица 2.2. Квинтилни разпределения на домакинствата

Група

Относите-

лен дял на

единиците

Относителен дял на

сумарните

значения на

признака за

съвкупност

Кумулативен дял

на сумарните

значения на

признака за

съвкупност

Разлика

А В А В

i in (%) A

id B

id A

iCd B

iCd B

i

A

i CdCd

1 20 6,8 5,7 6,8 5,7 1,1

2 20 10,2 9,8 17,0 15,5 1,5

3 20 15,7 14,5 32,7 30,0 2,7

4 20 22,4 21,1 55,1 51,1 4,0

5 20 44,9 48,9 100,0 100,0 0,0

100 100,0 100,0 - - -

2) Графичните образи на разпределенията са представени на фигура 2.1.

Получената наредба на кумулираните дялове предопределя положението на кривата на

реда А, която се явява “вътрешна” за кривата на реда В.

Фигура 2.1. Криви на Лоренц за квинтилните редове А и В.

10

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

0% 20% 40% 60% 80% 100%Cn

Cd

Област А Област В 45гр.

3) Изчислените квинтилни коефициенти на диференциация, показващи

съотношенията между групите домакинства с най-високи и най-ниски разходи в двата

реда, са както следва:

Dd

d

AA

A5 15

1

44 9

6 86 6/

,

,, D

d

d

BB

B5 15

1

48 9

5 78 6/

,

,,

На този етап, чрез прилагането на този критерий се установява, че степента на

“поляризация” на съвкупност В е сравнително по-висока от тази в съвкупността А.

Групата с най-високи разходи в област А изразходва 6,6 пъти повече разходи за мляко и

млечни продукти от тази с най-ниски разходи, докато това съотношение за двете групи

от област В е 8,6 пъти.

За изчисляването на коефициентите на Джини за двете разпределения са

необходими допълнителни изчисления. Междинните резултати са предстaвени в работни

таблици 2.3.А и 2.3.В.

11

Таблица 2.3.А. Изчисляване на коефициента на Джини от ред А

i in A

id

iC

iC ii CC

ii

A

i CCd

1 20 6,8 20 100 -80 -546

2 20 10,2 40 80 -40 -406

3 20 15,7 60 60 0 0

4 20 22,4 80 40 40 895

5 20 44,9 100 20 80 3594

100 100,0 - - - 3537

G

d C C

RA

iA

i i

100

3537

100000 354

2,

Таблица 2.3.В. Изчисляване на коефициента на Джини от ред В.

i in B

id

iC

iC ii CC

ii

B

i CCd

1 20 5,7 20 100 -80 -453

2 20 9,8 40 80 -40 -392

3 20 14,5 60 60 0 0

4 20 21,1 80 40 40 845

5 20 48,9 100 20 80 3909

100 100,0 - - - 3909

G

d C C

RB

iB

i i

100

3909

100000 391

2,

Получена е и мярката за степента на подоходното неравенство, измерено чрез

коефициентите на Джини за всеки един от двата квинтилни реда. Тъй като A

R

B

R GG ,

12

потвърждаваме извода за наличието на по-голяма степен на неравенството в квинтилния

ред, получен за област В. Трябва да се има предвид, че неравенството е измерено по

отношение на груповите характеристики, а не между самите домакинства по размера на

направените разходи.

По данни от квинтилните разпределения са изчислени и интегралните

коефициенти на структурна неравномерност. За целта в работната таблица за всеки

квинтилен ред е добавена допълнителна колона (табл.2.4). Използвана е коефициентната,

а не процентната форма на относителните дялове на квинтилните разпределения.

Таблица 2.4. Изчисляване на интегралните коефициенти

i A

id 2

id B

id 2

id

1 0,068 0,005 0,057 0,003

2 0,102 0,010 0,098 0,010

3 0,157 0,025 0,145 0,021

4 0,224 0,050 0,211 0,044

5 0,449 0,202 0,489 0,239

1,000 0,292 1,000 0,317

Kk d

RA

i

12

11

2

1 50 2921

2

2 4600 187 0 43

2 . , ,, ,

Kk d

RB

i

12

11

2

1 50 3171

2

2 5850 226 0 48

2 . , ,, ,

4) Съпоставянето на двата квинтилни реда в таблица 2.2 дава възможност да се

направи проверка за наличието на условията за тяхната сравнимост. Очевидно първите

две са изпълнени – броят на елементите сумарните значения на двата сравнявани реда са

еднакви (по 5 броя). Изчисляването на кумулираните относителни дялове дава

възможност за проверка и на третото условие. Очевидни са наредбите A

1i

A

i dd и

B

1i

B

i dd за i=1,…,4. Налице е и строго неравенство A

i

B

i CdCd и съответно

13

0CdCd B

i

A

i за всяко i=1,…,4. Тогава можем да твърдим, че разпределението в

квинтилния ред А доминира разпределението в реда В. С други думи, степента на

неравенството по размера на изразходваните от домакинствата суми за мляко и млечни

продукти в област В е по-голямо от неравенството в област А.

Получените коефициенти са представени в таблица 2.5.

Таблица 2.5. Измерители на неравенството в области А и В.

Област 1/5D RG RK

А 6,6 0,35 0,43

В 8,6 0,39 0,48

Макар и с различни числови стойности, трите коефициента показват по-висока

степен на неравенството по размера на разходите в квинтилния ред, получен от област В.

Най-ясен смисъл разбира се има квинтилния коефициент на диференциация –

съотношението между сумарните разходи на групата изразходващи най-много средства

за мляко и млечни продукти, и тази на изразходващите най-малко средства в област А, е

близо 7 пъти, докато това съотношение в областта В е почти 9 пъти.

14

ЗАДАЧА 3:

За изследване на връзката между размера на търговската площ (в кв.м.) и

стокооборота (в хил.лв.) на търговските обекти е проведено представително

статистическо изучаване на 10 магазина. Получените емпирични данни са представени в

табл.3. Да се анализира зависимостта между търговската площ и стокооборота на

търговските обекти.

Таблица 3. Данни за търговска площ и стокооборот на група магазини и работна таблица

№ на

обекта

Търг.

площ

Стокоо

борот fi xi хi2 Ŷi

)( xxi

2)( ii xx

(Yi-Ŷi)2 )( YYi

2)( YYi )( xxi )( YYi

хi Yi

1 20 10 200 400 11,3 -

30 900 1,69 -10 100 300

2 30 10 300 900 14,3 -

20 400 18,49 -10 100 200

3 40 10 400 1600 17,3 -

10 100 53,29 -10 100 100

4 50 18 900 2500 20,3 0 0 5,29 -2 4 0

5 40 20 800 1600 17,3 -

10 100 7,29 0 0 0

6 50 20 1000 2500 20,3 0 0 0,09 0 0 0

7 50 32 1600 2500 20,3 0 0 136,89 12 144 0

8 60 30 1800 3600 23,3 1

0 100 44,89 0 100 100

9 70 22 1540 490 26,3 2

0 400 18,49 2 4 40

10 90 28 2520 81000 32,3 4

0 1600 18,49 8 64 320

Σ 500 200 11060 28600 203 3600 304,9 616 1060

1. Оценка на праволинеен регресионен модел за връзката между търговската площ и

стокооборота на магазините

Регресионен модел: Yi = 0 + 1 *Xi + εi

Регресионно уравнение: Ŷi = b0 + b1 * Xi

Метод за оценка на параметрите – Метод на най-малките квадрати (МНМК):

min1

2

n

i

ii YY

15

За оценка на параметрите на регресионното уравнение съставяме система нормални

уравнения:

ΣYi = nb0 + b1 ΣXi

ΣXi Yi = b0 ΣXi + b1 ΣXi2

След изчисляване на величините съдържащи Х и Y от емпиричните данни и

заместването им в системата, получаваме следната система от две уравнения с две

неизвестни:

200 = 10 b0 + 500 b1

11060 = 500 b0 + 28600 b1

Решаването на системата води до намиране на двата параметъра b0 и b1.

b0 = 5,3 и b1 = 0,3

За получаване на стойностите на двата параметъра може да се използват и следните

формули (формулите са валидни само за еднофакторен линеен модел):

222150028600*10

200*50011060*10

)(

ii

iiii

xxN

YxYxNb = 0,3

50*3,02010

N

xb

N

Yb

ii = 5,0

Параметърът b1 се нарича регресионен коефициент. В разглеждания модел този

коефициент показва какво е средното абсолютно изменение на Y за 1-ца изменение на Х,

т.е. при увеличаване на търговската площ с 1м2, се очаква средно нарастване на

стокооборота с 300 лв.

Оценено Регресионно уравнение:

Ŷi = 5,3 +0.3* xi

Въз основа на оцененто уравнение се изчисляват теоретичните (очаквани)

стойности на стокооборота Ŷi.

2. Оценка на точността и статистическата значимост на регресионния

коефициент

Стандартна грешка на регресионния коефициент b1:

16

2

2

)(

11 xx

Si

Yb

където:

2

2

2

N

YYS

ii

Y

Необходимите изчисления за пресмятане на Sy2 и на стандартната грешка са

представени в табл.2.

1125,388

9,3042 YS

1029,03600

11125,38

1b

Следователно с 95% доверителна вероятност регресионният коефициент ще се

намира в интервала (0,3-1,96*0,1029; 0,3+1,96*0,1029), т.е.:

0,2017 ≤ β1 ≤ 0,5017

Статистическа значимост на регресионния коефициент

Н0: β1 = 0 - параметърът е статистически незначим

Н1: β1 ≠ 0 - параметърът е статистически значим

Проверката извършваме при α = 0,05

Емпиричната характеристика се изчислява по следната формула:

92,21029,0

3,0

1

1

емt

Тук се използвава винаги двустранна критична област по отношение правилото за

вземане на решение. Теоретичната характеристика на теста при α = 0,05 и степени на

свобода df = N-2 = 8 е 2,306

Сравняваме двете стойности на теста:

5010

500

N

xx

i

17

tем > tT

Следователно Но се отхвърля, т.е. регресионният коефициент е статистически

значим.

3. Измерване силата на зависимост – изчисляване на корелационни коефициенти

Коефициент на корелация на Пирсън

2

2

1Y

YYX

SR

За изчисляване на корелационния коефициент е необходимо да бъде пресметната

общата дисперсия на Y – σY2. Остатъчната дисперсия SY

2 беше изчислена по-горе.

Необходимите пресмятания са представени в табл.2.

Y =200/10 = 20

6,6110

616)(

1

2

2

N

YYN

i

i

Y

Следователно:

6175,06,61

11,381 YXR

Корелационният коефициент показва значителна към силна зависимост между

търговската площ и стокооборота на търговските обекти. Този коефициент не може да

покаже посоката на зависимост.

Коефициент на линейна корелация на Браве

YX

iiYX

N

YYXXr

Необходимите пресмятания за изчисляване на корелационния коефициент са

представени в табл.2.

36010

3600)(

1

2

2

N

xxN

i

i

x σx = 18,97 σY = 7,85

18

Следователно:

7118,085,7.97,18.10

1060YXr

Коефициентът на линейна корелация показва също силна зависимост между

търговската площ и стокооборота на търговските обекти. Освен това този коефициент

свидетелства за положителна зависимост тъй като rXY >0.

Различието в стойностите на двата корелационни коефициенти показва, че

зависимостта най-вероятно не е линейна.

Коефициент на детерминация

%44,38100*3844,0100*2

(%) YXRD

Коефициентът на детерминация показва, че 38,44% от увеличението на

стокооборота може да бъде обяснено с увеличаване на търговската площ на магазините.

Коефициент на индетерминация

I(%) = (1 – D)*100 = 100- D(%)) = 100-38,44=61,56%

Коефициентът на индетерминация показва, че 61,56% от увеличението на

стокооборота не се дължи на увеличаване на търговската площ на магазините, а се

обяснява с други фактори и причини невключени в модела.

19

ЗАДАЧА 4 :

Разполагаме с данни за продажбите (в хил.лв.) на един търговски обект по

тримесечия за периода 2008-2010 г. представени в табл.4

Таблица 4. Данни за продажбите (в хил.лв.) на един търговски обект по тримесечия за

периода 2008-2010 г.

период

Продажби

(в хил.лв.)

Абсолюте

н прираст

при

постоянна

основа

Абсолюте

н прираст

при

верижна

основа

Темп на

развитие

при

постоян

на

основа

Темп на

развитие

при

верижна

основа

Темп на

прираст

при

постоянна

основа

Темп на

прираст

при

верижна

основа

Yt Δt/1 Δt/t-1 Тt/1 Тt/t-1 dt/1(%) dt/t-1(%)

2008 - I 6 - - 1 1 - -

II 8 2 2 1,33 1,33 33,33 33,33

III 32 26 24 5,33 4,00 433,33 300,00

IV 24 18 -8 4,00 0,75 300,00 -25,00

2009 - I 10 4 -14 1,67 0,42 66,67 -58,33

II 15 9 5 2,50 1,50 150,00 50,00

III 32 26 17 5,33 2,13 433,33 113,33

IV 23 17 -9 3,83 0,72 283,33 -28,13

2010 - I 10 4 -13 1,67 0,43 66,67 -56,52

II 18 12 8 3,00 1,80 200,00 80,00

III 30 24 12 5,00 1,67 400,00 66,67

IV 32 26 2 5,33 1,07 433,33 6,67

1. Да се изчислят:

а) Среден обем на продажбите за целия изучаван период

б) Абсолютни прирасти при постоянна и верижна основа

в) Среден абслоютен прираст за целия изучаван период

г) Темпове на развитие при постоянна и верижна основа

д) Среден темп на развитие за целия изучаван период

е) Темпове на прираст при постоянна и верижна основа

ж) Среден темп на прираст за целия изучаван период

2. Да се моделира развитието на продажбите за изучавания период с помощта на

праволинеен трендови модел.

3. Да се анализира сезонността в продажбите за изучавания период.

4. Да се състави прогноза за обема на продажбите в търговския обект за 2011 г. по

тримесечия.

20

РЕШЕНИЕ

1.а. Средният обем на продажбите ще изчислим с помощта на средна

хронологична. Тъй като данните са представени в периоден динамичен ред прилагаме

следната формула:

1.б. Абсолютните прирасти при постоянна основа изчисляваме по формулата:

Δt/1 = Yt – Y1

За изчисляване на абсолютните прирасти при верижна основа прилагаме

формулата:

Δt/t-1 = Yt – Yt-1

Изчислените абсолютни прирасти са представени в табл.3.

1.в. Среден абсолютен прираст -

Средният абсолютен прираст показва, че обема на продажбите се увеличава средно

с 2,36 хил.лв. на тримесечие.

1.г. Темповете на развитие при постоянна основа изчисляваме по следната

формула:

1

1/Y

YТ t

t

Темповете на развитие при верижна основа изчисляваме по следната формула:

1

1/

t

ttt

Y

YТ

Изчислените темпове на развитие са представени в табл.3.

1.д. Среден темп на развитие (T ) – за изчисляването му се прилага средна

геометрична величина:

лвхN

Y

Y

N

i

i

.2012

2401

..36,211

26

11

......... 11/2/31/2 лвхN

YY

N

NNN

21

1643,133,5........ 111

1

11/3/42/31/2

NNN

NNY

YTTTTT

Средният темп на развитие показва, че обема на продажбите нараства средно на

тримесечие 1,1643 пъти.

1.е. Темповете на прираст при постоянна основа се изчисляват по следната

формула:

dt/1(%) = (Тt/1 - 1) 100%

Темповете на прираст при верижна основа се изчисляват по следната формула:

dt/t-1(%) = (Тt/t-1 - 1) 100%

Изчислените темпове на прираст са представени в табл.3.

1.ж. Средният темп на прираст ще изчислим по следната формула:

%43,16100).11643,1(%100).1((%) Td

Средният темп на прираст показва, че обема на продажбите нараства средно на

тримесечие с 16,43%.

2. Извеждане и оценка на праволинеен трендови модел

Построяваме графика на развитието на емпиричния временен ред

Определяме формата на тренда и го представяме аналитично.

22

Трендови модел: Ŷi = а + b * ti

Оценка на параметрите на трендовия модел.

За оценка на параметрите прилагаме Метод на най-малките квадрати (МНМК):

min1

2

n

i

ii YY

След последователно диференциране на остатъчната функция получаваме следната

система нормални уравнения:

ΣYi = nа + b Σti

Σti Yi = a Σti + b Σti2

Величините, които включват променливите Yi и ti се изчисляват от емпиричните

данни. За целта построяваме работна таблица (виж табл.5.)

Таблица5. Работна таблица за оценка на трендови модел

период Yi ti ti2 ti Yi Ŷi (Yi – Ŷi)

2

2008 - I 6 1 1 6 12,84 46,7856

II 8 2 4 16 14,14 37,6996

III 32 3 9 96 15,44 274,2336

IV 24 4 16 96 16,74 52,7076

2009 - I 10 5 25 50 18,04 64,6416

II 15 6 36 90 19,34 18,8356

III 32 7 49 224 20,64 129,0496

IV 23 8 64 184 21,94 1,1236

2010 - I 10 9 81 90 23,24 175,2976

II 18 10 100 180 24,54 42,7716

III 30 11 121 330 25,84 17,3056

IV 32 12 144 384 27,14 23,6196

Σ 240 78 650 1746 239,88 884,0712

23

След пресмятане на величините построяваме следната система от уравнения:

240 = 12 а + 78 b

1746 = 78 а + 650 b

След решаване на системата по отношение на a и b, намираме двата параметъра:

a = 11,54

b = 1,3

Параметрите на модела могат да бъдат изчислени и чрез следните формули:

3,178650*12

240*781746*12

)( 222

ii

iiii

ttN

YtYtNb

54,113,0*7820 N

tb

N

Ya

ii

Оцененият трендови модел е:

Ŷi = 11,54 + 1,3* ti

Въз основа на оценения трендови модел може да се изчислят очакваните стойности

на продажбите за изучавания период Ŷ (виж табл.4.)

Стандартната грешка на оценения трендови модел ще бъде:

96,811

07,884

1

)( 2

N

YYS

ii

Y

Коефициентът b в трендовия модел има смисъл на среден абсолютен прираст, т.е.

показва, че обема на продажбите се увеличава средно с 1,3 хил.лв. на тримесечие.

Разликата в стойностите на средния абсолютен прираст, получени по двата метода,

се дължи на факта, че при трендовия модел за пресмятане на показателя се включват

всички стойности на динамичния ред, докато при пряко изчисление на средния

абсолютен прираст участват само стойностите на Y в първия и последния отчетен

период.

24

3. Анализ на сезонност

Сезонните колебания са с относително постоянна амплитуда. Те са породени от

смяната на годишните времена.

Тук ще приложим метода на простите средни за да изчислим индексите на сезонност

в продажбите на изучавания търговски обект. За целта преструктурираме изходните

данни в следната таблица 6.

Таблица 6. Работна таблица за анализ на сезонност

Година/ тримесечие 2008 2009 2010

n

j

ijY1

iY Ii (%) Ŷ2010 Ŷ2010(кор)

I тримесечие 6 10 10 26 8,67 45,16 28,44 12,84

II тримесечие 8 15 18 41 13,67 71,20 29,74 21,17

III тримесечие 32 32 30 94 31,33 163,18 31,04 50,65

IV тримесечие 24 23 32 69 23 119,79 32,34 38,74

Изчисляване на групови средни по едноименни подпериоди (месеци или

тримесечия):

n

Y

Y

n

j

ij

i

1 за i = 1, ..., k – поредност на тримесечия

n – брой години на наблюдение

Пресметнатите величини са представени в табл.6.

Изчисляване на обща средна:

2,1912

230

.

1 1

kn

Y

Y

n

j

ij

k

i

Изчисляване на индекси на сезонност - iI :

%100*Y

YI i

i

Пресметнатите величини са представени в табл.6.

4. Прогноза за обема на продажбите в търговския обект за 2011 г. по

тримесечия

Изчисляване на прогнозен обем на продажбите за 2011 г. по тримесечия въз

основа на екстраполация на трендовия модел

25

Ŷ2011 = 11,54 + 1,3*tN+L за L = 1, 2, 3, 4

Пресметнатите величини са представени в табл.5.

Коригиране на прогнозните стойности от трендовия модел със съответния

индекс на сезонност

Ŷ2011 (кор) = Ŷ2011 Ii

Пресметнатите величини са представени в табл.6.