コンパクト Calabi-Yau 多様体に対する開弦のミラー対称性の解析清水将英

( 北海道大学＆名古屋大学 D2)

H. Fuji, M. Jinzenji, S. Nakayama, M.S., H. Suzuki TO APPEAR

2009 年 7 月 7 日　＠YITP

導入

Open mirror Symmetry を用いて、

本研究：　　　　　“ direct integration” という素朴で明快な手法を提唱

• 4 次元 N=1 理論の超ポテンシャルへの非摂動的寄与（世界面 instantonの効果）を計算　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 　　 (Physics) • 複素 3 次元内部空間の disk 不変量を計算 　(Geometry)Compact CY ・・・ 　　　　

Ⅱ 型 string theory / + ( 超対称 ) D-brane⇒4 次元 N=1 超対称ゲージ理論

’06 ～ , WalcherMorrison-WalcherPandharipande-Solomon-WalcherKrefl-Walcher, Knapp-SheiddeggerJockers-Soroush, Grimm-Ha-Klemm-KleversAlim-Hecht-Mayer-Mertens, ……

　　　　 Mirror Symmetry

OPEN

A-brane B-braneA-model on 　　 ＋(special Lagrange 部分多様体 )　　　　　　　　　　⇒ ( 実 ) 3 次元

B-model on “mirror” ＋( 正則部分多様体 )　　　　　　⇒ ( 実 ) 偶数次元

今回： disk 近似

　　　　 Mirror Symmetry

OPEN

A-brane B-braneA-model on 　　 ＋(special Lagrange 部分多様体 )　　　　　　　　　　⇒ ( 実 ) 3 次元

B-model on “mirror” ＋( 正則部分多様体 )　　　　　　⇒ ( 実 ) 偶数次元

Open Mirror 対称性

今回： disk 近似

　　　　 Mirror Symmetry

OPEN

A-brane B-braneA-model on 　　 ＋(special Lagrange 部分多様体 )　　　　　　　　　　⇒ ( 実 ) 3 次元•　非摂動的効果（世界面instanton ）がある

B-model on “mirror” ＋( 正則部分多様体 )　　　　　　⇒ ( 実 ) 偶数次元　世界面 instanton はない

今回： disk 近似Open Mirror 対称性

　　　　 Mirror Symmetry

OPEN

A-brane B-braneA-model on 　　 ＋(special Lagrange 部分多様体 )　　　　　　　　　　⇒ ( 実 ) 3 次元•　非摂動的効果（世界面instanton ）がある

B-model on “mirror” ＋( 正則部分多様体 )　　　　　　⇒ ( 実 ) 偶数次元　世界面 instanton はない

Open Mirror 対称性

“physical” なⅡ A 型理論 / ＋ 超対称 brane 超対称 brane “physical” なⅡ B 型理論 / ＋ “mirror”

今回： disk 近似

　　　　 Mirror Symmetry

OPEN

Becker-Becker-StromingerOoguri-Oz-Yin

×

A-brane B-braneA-model on 　　 ＋(special Lagrange 部分多様体 )　　　　　　　　　　⇒ ( 実 ) 3 次元•　非摂動的効果（世界面instanton ）がある

B-model on “mirror” ＋( 正則部分多様体 )　　　　　　⇒ ( 実 ) 偶数次元　世界面 instanton はない

Open Mirror 対称性

4 次元 N=2 　⇒ N=1

ⅡA ・・・・・・ D6-braneⅡB ・・・・・・ D3, D5, D7, D9-brane

“physical” なⅡ A 型理論 / ＋ 超対称 brane 超対称 brane “physical” なⅡ B 型理論 / ＋ “mirror”

今回： disk 近似

4 次元 N=1 理論への寄与正則曲線（ D5 ）⇒ 超ポテンシャル

Ooguri-VafaAganagic-Vafa

4 次元 N=1 理論への寄与正則曲線（ D5 ）⇒ 超ポテンシャル

disk 不変量（正則円盤の数）Ooguri-VafaAganagic-Vafa

4 次元 N=1 理論への寄与

disk の面積 :世界面 instanton

A-brane L

⇒ A-brane の 変形自由度

正則曲線（ D5 ）⇒ 超ポテンシャル

disk 不変量（正則円盤の数）Ooguri-VafaAganagic-Vafa

4 次元 N=1 理論への寄与

Mirror 写像

disk の面積 :世界面 instanton

A-brane L

⇒ A-brane の 変形自由度

正則曲線（ D5 ）⇒ 超ポテンシャル

disk 不変量（正則円盤の数）Ooguri-VafaAganagic-Vafa

4 次元 N=1 理論への寄与

Mirror 写像

disk の面積 :世界面 instanton

A-brane L

⇒ A-brane の 変形自由度

正則曲線（ D5 ）

reduction

WittenBrane 世界体積上の gauge 理論正則 Chern-Simons 理論

⇒ 超ポテンシャル

disk 不変量（正則円盤の数）Ooguri-VafaAganagic-Vafa

4 次元 N=1 理論への寄与

⇒ “ 相対”周期Mirror 写像

disk の面積 :世界面 instanton

A-brane L

⇒ A-brane の 変形自由度

正則曲線（ D5 ）⇒ 超ポテンシャル

disk 不変量（正則円盤の数）Ooguri-VafaAganagic-Vafa

cf. （普通の）周期：正則 3 形式の 3-cycle 上の積分

4 次元 N=1 理論への寄与

⇒ “ 相対”周期Mirror 写像

disk の面積 :世界面 instanton

A-brane L

⇒ A-brane の 変形自由度

正則曲線（ D5 ）⇒ 超ポテンシャル

Open moduli 　　 , : 4 次元 N=1 ゲージ理論のchiral 多重項のスカラー場の真空期待値

disk 不変量（正則円盤の数）Ooguri-VafaAganagic-Vafa

cf. （普通の）周期：正則 3 形式の 3-cycle 上の積分

4 次元 N=1 理論への寄与

⇒ “ 相対”周期Mirror 写像

disk の面積 :世界面 instanton

A-brane L

⇒ A-brane の 変形自由度

正則曲線（ D5 ）⇒ 超ポテンシャル

Open moduli 　　 , : 4 次元 N=1 ゲージ理論のchiral 多重項のスカラー場の真空期待値

disk 不変量（正則円盤の数）Ooguri-VafaAganagic-Vafa

cf. （普通の）周期：正則 3 形式の 3-cycle 上の積分

• compact CY• worldsheet : disk• brane の枚数 1 4⇒ 次元 N=1 U(1) ゲージ理論• B-brane : 正則曲線 (D5)

設定

話を具体的に：CY ： Quintic – mirror Quintic

A 側 : B 側 :

複素構造 moduli

A-brane v.s. B-brane 　（ Quintic – mirror Quintic ）A-braneSpecial Lagrange 部分多様体⇒ 反正則対合の固定点 ～変形パラメータ = open

moduli ⇒ 離散的 !!

正則部分多様体 ( 今は正則曲線 )B-brane

A-brane v.s. B-brane 　（ Quintic – mirror Quintic ）A-braneSpecial Lagrange 部分多様体⇒ 反正則対合の固定点 ～変形パラメータ = open

moduli ⇒ 離散的 !!

正則部分多様体 ( 今は正則曲線 )B-brane

A-brane v.s. B-brane 　（ Quintic – mirror Quintic ）A-braneSpecial Lagrange 部分多様体⇒ 反正則対合の固定点 ～変形パラメータ = open

moduli ⇒ 離散的 !!

正則部分多様体 ( 今は正則曲線 )B-brane

Mirror Brane Pair

cf. 行列因子化Brunner-Douglas-Lawrence-RomelsbergerHori-WalcherBrunner-Hori-Hosomichi-WalcherHerbst-Hori-Page……

cf. 行列因子化 etc

A-brane v.s. B-brane 　（ Quintic – mirror Quintic ）

⇒ dim =1

A-braneSpecial Lagrange 部分多様体⇒ 反正則対合の固定点 ～変形パラメータ = open

moduli ⇒ 離散的 !!

正則部分多様体 ( 今は正則曲線 )B-brane

Mirror Brane Pair

A-brane v.s. B-brane 　（ Quintic – mirror Quintic ）

重要な事実： Spacetime の描像での解釈

⇒ BPS domainwallOoguri-Vafa (cf. Gopakumar-Vafa)

⇒ dim =1

domainwall tension ⇒

A-braneSpecial Lagrange 部分多様体⇒ 反正則対合の固定点 ～変形パラメータ = open

moduli ⇒ 離散的 !!

正則部分多様体 ( 今は正則曲線 )B-brane

Mirror Brane Pair

D6-D4 　 BPS-bound

×

ⅡA ⅡB

On-shell v.s. off-shell

離散的 open moduli

従来の周期を求める手法：周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を決定しその解を求める

（通常の） Picard-Fuchs 方程式＋ α　　　　　　　⇒ 非斉次 Picard-Fuchs 方程式

Morrison-WalcherKrefl-WalcherKnap-ScheideggerWalcher

“ 仮想的な” 連続 open moduli

On-shell v.s. off-shell

“on-shell”

“off-shell”

離散的 open moduli

従来の周期を求める手法：周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を決定しその解を求める

（通常の） Picard-Fuchs 方程式＋ α　　　　　　　⇒ 非斉次 Picard-Fuchs 方程式Jockers-SoroushGrimm-Ha-Klemm-Klevers

Morrison-WalcherKrefl-WalcherKnap-ScheideggerWalcher

“ 仮想的な” 連続 open moduli

On-shell v.s. off-shell

“on-shell”

“off-shell”

離散的 open moduli

　　　　　　⇒ 拡張 Picard-Fuchs 方程式 　　　　　　 (closed moduli + open moduli)

（ CY の中の超曲面）3-chain

従来の周期を求める手法：周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を決定しその解を求める

（通常の） Picard-Fuchs 方程式＋ α　　　　　　　⇒ 非斉次 Picard-Fuchs 方程式

解

Jockers-SoroushGrimm-Ha-Klemm-Klevers

Morrison-WalcherKrefl-WalcherKnap-ScheideggerWalcher

“ 仮想的な” 連続 open moduli

On-shell v.s. off-shell

“on-shell”

“off-shell”

離散的 open moduli

　　　　　　⇒ 拡張 Picard-Fuchs 方程式 　　　　　　 (closed moduli + open moduli)

（ CY の中の超曲面）3-chain

Jockers-SoroushGrimm-Ha-Klemm-Klevers

従来の周期を求める手法：周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を決定しその解を求める

（通常の） Picard-Fuchs 方程式＋ α　　　　　　　⇒ 非斉次 Picard-Fuchs 方程式

解

Morrison-WalcherKrefl-WalcherKnap-ScheideggerWalcher

新手法従来の周期を求める手法：周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を決定しその解を求める　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒　非常に煩雑

我々の手法：相対周期の積分を直接実行する !!

新手法従来の周期を求める手法：周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を決定しその解を求める　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒　非常に煩雑

我々の手法：相対周期の積分を直接実行する !!

新手法従来の周期を求める手法：周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を決定しその解を求める　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒　非常に煩雑

通常の周期相対周期

Jockers-Soroush

コンパクト CY の正則 3 形式の表式 ： Griffiths-Dwork

座標変換• brane に対する 　　作用の特異点を解消•　局所座標を取る Morrison-Walcher

特異点解消

最終的な局所座標

• 良い座標をとる

の周りの周り

CY （ Quintic ） の定義方程式brane の定義方程式相対周期

積分の実行

各変数が分離 !!各積分を実行 ： , は容易問題は　　　だが解析接続や種々の積分公式を駆使すれば求まる

Y 積分を実行で展開

off-shell “ 有効” 超ポテンシャル ⇒ Jockers らの結果を再現

domainwall tension を直接得た 　 ( 自然：　　 を考えているから（　 と を両方とも考えている）

Mirror 写像： moduli について平坦座標をとる　　　　　　　⇒　 mirror dual 側の moduli 座標に !

結果 ⇒ Walcher の結果を再現

B-model 側での計算が終了A-model の描像に移る

臨界点極限

“On-shell” 超ポテンシャル

Disk 不変量（正則円盤の数）

世界面 instanton

Open Gromov-Witten 不変量（写像の“数”）disk 不変量（正則円盤の数）Ooguri-Vafa 不変量（ BPS 状態数）

多重被覆公式

整数になるべき！

Ooguri-Vafa

整数性特徴二つ　• 全部偶数 ⇒ 正則 disk は二つペア

• 偶数次は無い ⇒ 境界に 2 回巻くと 0 　 （閉弦の自由度になる）

＋

まとめと展望

他のモデルやこれまで計算できなかった種類の CY に機能すると期待　　　　 closed moduli の数が一つではなく多い場合　　　　 open moduli が　　　　　　　　の場合　　　　　　　　　（完全交差の場合に Walcher が見つけた） open moduli が連続的な場合（？） とにかく面白く豊富な内容を含む現象論・宇宙論への応用？

•相対周期積分を直接実行することによって off-shell 有効超 potential （ BPS domainwall tension ） を計算した•Jockers ら、 Walcher らの結果を再現•シンプルで明快

まとめと展望

他のモデルやこれまで計算できなかった種類の CY に機能すると期待　　　　 closed moduli の数が一つではなく多い場合　　　　 open moduli が　　　　　　　　の場合　　　　　　　　　（完全交差の場合に Walcher が見つけた） open moduli が連続的な場合（？） とにかく面白く豊富な内容を含む現象論・宇宙論への応用？

•相対周期積分を直接実行することによって off-shell 有効超 potential （ BPS domainwall tension ） を計算した•Jockers ら、 Walcher らの結果を再現•シンプルで明快

ありがとうございました！