ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ...
86
Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Л.Н. Романова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Курс лекций
Transcript of ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ...
Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)
Л.Н. Романова
ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Курс лекций
Омск Издательство СибАДИ
2002 Л.Н. РОМАНОВА
_________________
ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
y 0М
1М g
0 x
Л.Н. РОМАНОВА ______________________________________
ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
y 0М
1М g 0 x
y 0М 1М 0 x
y 2 0М g 1 0 1 2 x
УДК 517 ББК 22.11 Р 69
Рецензенты: д-р техн. наук Омского государственного университета Р.Т.Файзуллин канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры методики преподавания математики ОмГУ
В.В.Благонравов Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве курса
лекций для студентов инженерных и экономических специальностей.
Романова Л.Н. Функции нескольких переменных: Курс лекций. Омск. Изд-во СибАДИ, 2002.78 с.
Данная книга представляет собой спецкурс по разделу “Функции нескольких переменных”, который читается для студентов инженерно-экономических специальностей СибАДИ, а также для аспирантов СибАДИ.
Пособие состоит из двух частей, первая из которых содержит 8 лекций по данному разделу, а вторая – индивидуальные задания, которые предлагаются студентам в качестве типовых расчетов для самостоятельной работы. Методология изложения, тематика и содержание лекций отвечают требованиям государственных образовательных стандартов второго поколения.
Книга окажет помощь в освоении указанных разделов высшей математики студентам, аспирантам, будет полезна также преподавателям в качестве пособия по методике чтения лекционного курса и ведения практических занятий. Достаточная краткость и сжатость сочетаются в ней с высоким уровнем строгости и полноты изложения материала.
Табл. 1. Ил. 22. Библиогр.: 6 назв.
ISBN 5-93204-094-7 Л.Н. Романова, 2002 Издательство СибАДИ, 2002
Л.Н. РОМАНОВА ______________________________________
ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ z
yxfz ; 0 y x 0; yx
ОГЛАВЛЕНИЕ
Лекция №1. Функции двух и нескольких переменных. Линии уровня функции двух переменных, поверхности уровня функции трех переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1. Пространство mR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Последовательность точек в mR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. Понятие функции нескольких переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Лекция №2. Предел функции. Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . 12 1. Предел функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. Непрерывность функции в точке и на множестве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Лекция №3. Частные производные, дифференциал. Дифференцирование сложных и неявных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1. Частные и полные приращения, частные производные, дифференциалы функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. Частные дифференциалы и производные, полный дифференциал функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3. Дифференцирование сложных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4. Производная функции, заданной неявно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Лекция №4. Применение дифференциала в приближенных вычислениях, линеаризация функции в окрестности точки. Уравнение касательной плоскости к поверхности. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1. Линеаризация функции в окрестности точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2. Касательная плоскость к поверхности, заданной неявным уравнением . . . 25 3. Производные и дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Лекция №5. Локальные экстремумы, необходимые и достаточные условия их существования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1. Понятие локального экстремума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2. Необходимое и достаточное условия существования локального экстремума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Лекция №6. Производная по направлению. Вектор – градиент . . . . . . . . 34 Лекция №7. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой ограниченной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Лекция №8. Условный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Типовые задания №1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Типовые задания №2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
ЛЕКЦИЯ №1
ФУНКЦИИ ДВУХ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ЛИНИИ УРОВНЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ,
ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Пространство mR
Рассмотрим m -мерное пространство mixxxR Rimm ,1,:,...,1 ,
объект пространства точка mxxM ,...,1 .
Введем расстояние между точками в mR :
22 ..., 11 mm ababBA ,
где maaA ,...,1 и mbbB ,...,1 из mR .
Определение. m -мерной сферой с центром в точке maaA ,...,1 и
радиусом r называется множество точек mRM , таких, что
rМА , .
Обозначим m -мерную сферу rMAxxМ m ,:,...,1 .
Примеры.
1) 1т точки, rax 1 ;
2) 2m окружность с центром в точке 21 , ааА и радиусом r ;
3) 3т сфера с центром в точке 321 ,, аааА и радиусом r .
Определение. m -мерным открытым шаром с центром в точке A
и радиусом r называется множество точек mRM , таких, что
rМА , .
Обозначаем rМАххМ т ,:,...,1 .
Примеры.
1) 1т интервал rarа 11 ; ;
2) 2т множество точек, лежащих внутри круга с центром в
точке 21 , ааА и радиусом r ;
3) 3т множество точек, лежащих внутри шара с центром в
точке 321 ,, аааА и радиусом r .
Определение. m -мерным замкнутым шаром с центром в точке A
и радиусом r называется множество точек mRМ , таких, что
rМА , .
Обозначим это множество и .
Примеры.
1) 1т отрезок rarа 11 ; ;
2) 2m круг с центром в точке 21 , ааА и радиусом r ;
3) 3т шар с центром в точке 321 ,, аааА и радиусом r .
Определение. -окрестностью точки ),...,( 1 mааА называется m-
мерный открытый шар с центром в точке А и r .
Определение. Непрерывной кривой в mR называется множество
точек mRМ , такое, что координаты их задаются следующей
системой уравнений:
;................
;;
22
11
tx
txtx
mm
ti непрерывны при ;t ;
mi ,1 , причем тА ,...,1 – начало кривой, тВ ,...,1
– конец кривой. Данная система называется параметрическим
уравнением кривой в mR .
Рассмотрим множество Q , принадлежащее mR mRQ .
Определение. Точка QM называется внутренней точкой этого
множества, если существует -окрестность этой точки, целиком при-
надлежащая множеству Q .
Определение. Точка QM называется граничной точкой этого
множества, если в любой -окрестности этой точки находятся точки
как принадлежащие множеству Q , так и не принадлежащие множе-
ству Q .
Определение. Множество Q называется открытым, если оно со-
стоит только из внутренних точек.
Определение. Границей множества )( QQ называется множество
граничных точек множества Q .
Определение. Множество Q называется замкнутым, если оно со-
стоит из своих внутренних и граничных точек.
Определение. Множество Q называется ограниченным, если его
можно заключить в m -мерный шар, и неограниченным, если не
существует m -мерного шара, целиком содержащего это множество.
Определение. Множество Q называется связным, если любые две
точки этого множества можно соединить непрерывной кривой,
целиком лежащей в этом множестве.
Определение. Областью в mR называется связное открытое
множество.
Определение. Замкнутой областью в mR называется замкнутое
связное множество.
Пример. D :
.21
;122
xyx
Построить и охарактеризовать область, заданную системой
неравенств в 2R .
Множество: ограниченное, незамкнутое, несвязное (рис. 1).
Пример. D :
.3;41
xy
Построить и охарактеризовать область, заданную системой
неравенств в 2R .
Множество: неограниченное, незамкнутое, несвязное (рис. 2).
Упражнение. Построить и охарактеризовать множества,
заданные системами неравенств в 2R D :
.1;4 2
yxy и в 3R D :
.1;4 2
yxy
2. Последовательность точек в mR
y
4 1 0 3 x
Рис.2 Рис. 1
у 0 1 х
Определение. m -мерной последовательностью точек называется
бесконечное множество точек пространства mR , каждой из которых
поставлен в соответствие номер Nn , т. е. упорядоченное
бесконечное множество точек mR . Обозначим последовательность
точек mn RM , где n
mn
n xxM ,...,1 , т.е. mix ni ,1, – числовые
последовательности.
Пример.
nnM n
21,1 ; 1,0AMn
n
, точка А является пределом
последовательности точек nM ; 3,11М ,
2,
21
2М ,
35,
31
3М , 2RА ,
2RM n .
Определение. Точка А называется пределом
последовательности точек пМ при п
АМ
nп , если:
0, АМ п при п ;
0 , достаточно маленького, 0n такой, что 0nn , верно
неравенство AM n , ;
какую бы ни взяли -окрестность точки А , найдется номер 0п ,
начиная с которого все точки последовательности будут находиться в
-окрестности этой точки;
тn
пт
nп
ах
ах
..............11
, если тааА ,...,1 .
Определение. n
пМ равносильно:
n
пМ 0, , 0,...,0,00 ;
0К большого, Кn0 такой, что 0nn , КM n 0, ;
какой бы ни взяли m -мерный шар достаточно большого Кr с
центром в 0,...,00 , найдется Кn0 , начиная с которого все точки по-
следовательности будут находиться вне шара;
хотя бы одна nix при n mi ,1 , т. е. n
ix – бесконечно
большая числовая последовательность хотя бы для одного из mi ,1 .
3. Понятие функции нескольких переменных
Пусть множество mRQ и RU ; точка QxxM m ,...,1 , Uu .
Определение. Функцией m -действительных переменных называ-
ется закон или правило, по которому каждой точке QM ставится в
соответствие действительное число Uu .
Функция обозначается UQf : ( f отображает множество Q во
множество U ), или Mfu , или mxxfu ,...,1 .
Определение. Множество Q называют областью определения
функции QfD , а множество U – область значений функций;
mxx ,...,1 – аргументы; u – функция.
Способы задания функции двух переменных
Пусть множество 2RQ и RZ ; ZzQyxM ;, .
Рассмотрим ZQf : или yxfz , .
1. Аналитический. Задается формулой.
Примеры.
222 ;)1 RzDyxz ;
222 ;)2 RzDyxz ;
2;2)3 RzDyxz . 2. Табличный. Задается таблицей с двумя входами:
x y 1x 2x 3x …
1y 11,yxf 12 , yxf 13 , yxf …
2y 21, yxf 22 , yxf 23 , yxf …
3y 31, yxf 32 , yxf 33 , yxf … … … … … …
Замечание. Если функция задана аналитически, то ее всегда
можно задать таблично.
3. Графический.
yxfz , ; yxfzyxM ,, , т.е. точке yxM , соответствует
точка yxfyxM ,,,~ .
Геометрический смысл функции двух переменных: поверхность в
пространстве, которую в плоскость yx0 можно проектировать на
множество Q (рис. 3).
Функция yxfz , является уравнением поверхности. Ее назы-
вают явной функцией.
z М~ 0 y М Q x
Рис. 3 Рис. 4
z 1
1 y 1 x
Если поверхность задана, то можно сказать, что задана функция
двух переменных графически, тогда уравнение поверхности
0,, zyxF определяет функцию двух переменных, заданную неявно,
причем роль аргументов может играть любая пара переменных, т. е.
функцию можно рассматривать как ),( yxz , или ),( zyx , или ),( zxy .
Пример. Уравнение 1222 zyx является уравнением сферы с
центром в точке 0;0;0D и 1r , запишем его в явном виде
221 yxz .
01:)( 22 yxzD или 1:, 22 yxyxzD (рис. 4).
Определение. Рассмотрим функцию двух переменных ),( yxfz .
Линией уровня функции двух переменных называется кривая, вдоль
которой функция принимает постоянное значение, т. е. значению
функции cz соответствует линия уровня с уравнением cyxf ),( .
Замечание. С помощью линий уровня можно построить саму по-
верхность, исследовать поведение функции в области определения.
y 0 1 2 x
Рис. 5
Рис. 6
z 4 1 0 1 2 y x
y 1 0 1 x -1
Рис. 7
Пример. Найти и построить линии уровня функции 22 yxz ,
построить поверхность. 22 yxz ; cz ; cyx 22 ; 0с ; линии уровня функции
окружности с центром )0;0( и cr (рис. 5).
0с точка 0;0 ; 11 22 yxс ; 44 22 yxc . При r
z . По линиям уровня можно построить поверхность (рис. 6).
Пример. Найти и построить линии уровня функции yxz 2 .
Линии уровня – прямые (рис. 7).
cz , cyx 2 ; .12
;12;02
,1,1,0
yxyxyx
ccc
Замечание. Линейная функция
двух переменных определяет плоскость
в пространстве.
Упражнение. Найти и построить
линии уровня функции 22 yxz ,
построить поверхность.
Функции трех и более переменных
3RQ ; QzyxM ),,( ; RU ; UQf : .
)(Mfu ; ),,( zyxfu ; MzyxM ~),,( ; 4)),,(,,,(~ RzyxfzyxM .
Замечание. У функции трех переменных реального
геометрического смысла нет, но множество точек М~ называют
гиперповерхностью в 4R , ),,( zyxfu – уравнение гиперповерхности.
Рассмотрим 0),,,( uzyxF – неявную функцию трех переменных.
Она определяет
гиперповерхность в 4R .
Рассмотрим функцию т -переменных ),...,( 1 mxxfu , явно
заданную, или 0),,...,( 1 uxxF m неявно заданную.
Функция задается аналитически. Определяет гиперповерхность в 1mR .
Определение. Поверхностью уровня функции трех переменных
),,( zyxfu называется поверхность, вдоль которой функция
принимает постоянное значение, то есть значению cu соответствует
поверхность уровня с уравнением czyxf ),,( .
Пример. Найти поверхности уровня функции zyxu 22 .
0:)( 22 zyxuD ;
cu ; czyx 22 ; 0c ; 222 czyx ; 222 cyxz .
При 0с 22 yxz ; при 1c 122 yxz .
ЛЕКЦИЯ №2
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
1. Предел функции
Определение. Число B называется пределом функции )(Mfu в
точке ),...,( 1 maaA
BxxfBMf m
ax
axAM
mm
,...,lim;lim 1
......11
, если:
какую бы ни выбрали последовательность точек nM ,
сходящуюся к точке A при n , соответствующая числовая
последовательность nMf сходится к В при п ;
0 , достаточно малого, найдется -окрестность точки A ,
такая, что для всех точек M , принадлежащих этой окрестности,
выполнено неравенство BMf , т. е. значения функции Mf
принадлежит -окрестности числа В , если точка М лежит в -
окрестности точки А .
Определение. Функция Mfu не имеет предела в точке A ,
если существуют хотя бы две последовательности точек AMn
n
,
AМn
п
~ , такие, что числовые последовательности значений
функции nMf , nMf ~ либо имеют разные пределы при n ,
либо не имеют пределов вообще.
Определение.
BMfMlim
nnM ; BMf
nn
.
Замечания:
1) аналогично функции одной переменной вводятся понятия
бесконечно малых и бесконечно больших функций нескольких
переменных в точке и на бесконечности;
2) все свойства предела функции одной переменной верны и для
функции нескольких переменных;
3) понятия эквивалентности бесконечно малых и бесконечно
больших функций аналогичны понятиям для функции одной
переменной.
Определение. Функция Mfu ограничена на Q , если
существуют константы 21,cc или 0c , такие, что выполнены
неравенства 21 cMfc или cMf ; QM .
Примеры.
1. 14
12lim
201
zyx
zyx
zyx
2,0,1M .
2. 311limlim
00sinlim
302
302
30
yxy
xyxy
xy
yx
yx
yx
, т.к. xyxyyx
30
~sin
.
3. 3311
1
03
1
03
1lim11lim 2 eexyxyx
yx
yxyx
yx
.
4.
00
000
sincos
00lim
yx
yx
yx
yxyx
sincossincoslim
0
sincossincoslim
0
.
Так как при переходе в полярную систему координат 0 , если
0, yx , и не зависит от , то предел функции будет существовать,
если он не зависит от . Тогда
sincossincoslim
0
не существует, так как
получается значение, зависящее от .
5. 0sincoslimsincos
00lim 33
000022
33
00
yx
yx
yx
yxyx .
6.
02
01,2,1
21
3lim22
21 vy
uxyvxu
yx
yx
yx
00,,sincoslim
2200
vuv
uvu
vu
vu
sincoslim0
sincoslim0
, предел не существует.
2. Непрерывность функции в точке и на множестве
Определение. Функция mRMMfu , непрерывна в точке
mRM 0 , если она определена в этой точке, и 00
lim MfMfMM
.
Определение. Функция mRMMfu , непрерывна на
множестве Q , если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Определение. Точка M называется точкой разрыва функции
mRMMfu , , если она принадлежит области определения
функции или ее границе и не является точкой непрерывности.
Точка 0М называется точкой разрыва первого рода, если
MfMM 0
lim
существует, но не равен 0Mf .
Точка 0М называется точкой разрыва второго рода, если предел
не существует или равен бесконечности.
Точка 0М – точка устранимого разрыва, если предел существует,
но не существует 0Mf , и тогда функцию можно доопределить,
положив значение функции в этой точке, равным пределу.
Замечания:
1) исходя из определения непрерывности функции в точке и
предела функции в точке, можно установить, что все свойства
непрерывных функций одной переменной верны и для функций
многих переменных: сумма, произведение, частное, суперпозиция
непрерывных функций есть непрерывные функции;
2) так же, как элементарные функции одной переменной
непрерывны в своей области определения, элементарные функции
многих переменных непрерывны в своей области определения.
Теорема. Всякая непрерывная функция нескольких переменных в
замкнутой ограниченной области достигает в ней своего наибольшего
и наименьшего значений (либо внутри области, либо на границе).
Пример. Исследовать функцию на непрерывность 221
yxz
.
0: 22 yxzD или 0,02 RzD .
В zD функция непрерывна, т. к. является элементарной.
0;01lim 2200
yx
yx
– точка разрыва второго рода (рис. 8).
Пример. Исследовать функцию на непрерывность yxz ln .
0: yxzD ; RyRxyxyxzD ;;:, .
В zD функция непрерывна, т. к. является элементарной.
RxxxQ 000 ;, точки разрыва.
yxxyxx
lnlim
00
точки разрыва второго рода (рис. 9).
y 2М М yy 0
0М 1М 0y 0 0x xx 0 x
Рис. 10
ЛЕКЦИЯ №3.
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ, ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ
И НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Частные и полные приращения, частные производные,
дифференциалы функции двух переменных
Рассмотрим 00 , yxfz и
точки 000 , yxM , 001 , yxxM ,
yyxM 002 , , yyxxM 00 ,
(рис. 10). Если x и y малы, то
точки 1M , 2M , М принадлежат
окрестности точки 0M .
220 , yxMM .
x и y называют приращением аргумента по переменным x и
y 0 x
Рис. 8
y 0 x
Рис. 9
y в точке 0M .
Определение. Частным приращением функции по переменным x
и y в точке 0M называются величины
0000010 ,, yxfyxxfMzMzMzx ;
0000020 ,, yxfyyxfMzMzMzy .
Определение. Полным приращением функции по переменным x
и y в точке 0M называется величина
000000 ,, yxfyyxxfMzMzMz .
Определение. Частными производными функции yxfz , в
точке 0M по переменным x или y называется предел отношения
частного приращения функции к соответствующему приращению
аргумента, когда последний стремится к нулю и обозначаются
xMz
Mz xx
x
00
0 lim ; yMz
Mz y
yy
0
00 lim .
Механический смысл частных производных – мгновенная
скорость изменения функции в точке 0M в направлении оси Оx или
Oy .
Определение. Частным дифференциалом функции yxfz , в
точке 0M по x или y называется главная часть частного приращения
функции по x или y , линейная относительно x или y .
Обозначаются частные дифференциалы 0Mzdx и 0Mzd y . Легко
показать, что частные дифференциалы имеют вид
xMzMzd xx 00 ; yMzMzd yy 00 .
Определение. Полным дифференциалом функции yxfz , в
точке 0M называется главная часть полного приращения функции,
линейная относительно x и y , причем если функция имеет полный
дифференциал 0Mdz , то yMzxMzMdz yx 000 . Тогда
полное приращение функции в точке 0M можно представить в виде
yxMdzMz ,00 , где yx , бесконечно малого большего
порядка малости, чем 22 yx , т. е. 0,lim00
yx
yx
.
Если полное приращение функции можно так представить, то
функция имеет полный дифференциал и ее называют
дифференцируемой в точке, т. е. дифференциал функции есть
бесконечно малая величина относительно бесконечно малых x и
y , эквивалентная полному приращению функции.
Теорема (необходимое и достаточное условие
дифференцируемости). Функция yxfz , дифференцируема в точке
тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке непрерывные
частные производные.
Замечания:
1) zdzddz yx ;
2) zzz yx .
Пример. Найти частные приращения, полное приращение,
частные дифференциалы, полный дифференциал, частные
производные в точке 2;10M функции yxxyz 322 .
Решение. Возьмем точки 2;11 xМ , yM 2;12 ,
yxM 2;1 ; тогда 010 MzMzMzx
62461241 xx 06 Mzdx x ; 60 Mzx ;
12231221 202 yyMzMzzy
yyyy
7~70
2 ; yzd y 7 ; 70 Mzy ;
12231221 20 yxyxMzMzz
xyyxyxxyyyx
67~46700
22 ;
yxMdz 760 .
Для независимых переменных dxx ; dyy , тогда полный
дифференциал имеет вид dyzdxzdz yx .
Замечание. Частные производные можно обозначить следующим
образом: x
yxfxzyxfz xx
,, .
Правило нахождения частных производных
Чтобы найти частную производную по одной из переменных
yx , необходимо вторую переменную xy зафиксировать (т. е.
считать постоянной) и находить производную как от функции одной
переменной yx , пользуясь таблицей и правилами нахождения
производной для функции одной переменной.
Пример. 2ln yxz ; 2
22
2 11lnyx
yxyx
yxz xxx
;
2
2 2lnyxyyxz yy
; 22yxydydxdz
.
2. Частные дифференциалы и производные,
полный дифференциал функции нескольких переменных
Рассмотрим функцию mxxfu ,...,1 ; 00
,...,10 mxxM .
Рассмотрим точки 000
,...,,...,1 miii xxxxM , mi ,1 ; ix –
приращения аргументов mxx ,...,1 , mi ,1 (в точке iM меняется
только одна i -я координата), и точку
mm xxxxxxM 000
,...,, 21 21 .
Определение. Частным приращением по i -й переменной
функции mxxfu ,...,1 в точке 0M называется выражение
0,1 0
MfMfu iMmi
xi
.
Определение. Полным приращением функции в точке 0M ,
соответствующим приращениям аргументов ,ix mi ,1 , называется
выражение 00
MfMfuM
.
Определение. Частной производной по i -й переменной функции
mxxfu ,...,1 в точке 0M называется предел отношения
соответствующего частного приращения функции к приращению
аргумента ix , когда последний стремится к нулю:
i
x
xx xu
Mu i
ii
00 lim , mi ,1 .
Замечание. Частные производные могут обозначаться
MxfMf
xuu
ix
ix ii
.
Определение. Полным дифференциалом функции mxxfu ,...,1
в точке 0M называется главная часть полного приращения функции,
линейная относительно приращений аргументов ix и эквивалентная
полному приращению при 0 ix , mi ,1 . Обозначается полный
дифференциал mxxx xuxuxudum ...21 21
, так как ii dxx ,
mi ,1 для независимых переменных, то полный дифференциал имеет
вид mxx dxudxudum ...11
.
Правило нахождения частных производных
Чтобы найти частную производную от функции m переменных
по i -й переменной, нужно зафиксировать все переменные, кроме i -й
и вычислять производную как от функции одной переменной.
Замечания:
1) полный дифференциал для функции нескольких переменных
обладает теми же свойствами, что и для одной переменной;
2) полный дифференциал для функции нескольких переменных
обладает свойством инвариантности, т. е. сохраняет свой вид
независимо от того, являются ли mxx ,...,1 независимыми
переменными или функциями, т. е. mxx dxudxudum ...11
.
Пример. Найти частные производные и полный дифференциал
функции 32 zxyxeu .
322 zxyx
x eyxu ; 32 zxyx
y xeu ; 3223 zxyx
z ezu .
dzzxdydxyxedu zxyx 23232
.
Примеры. Найти дифференциалы функции, пользуясь его
свойствами.
1) 432 zyxu ;
dzzdyyxdxdzdydxzyxddu 32432432 432 ,
тогда xu x 2 ; 23yuy ; 34zu z ;
2) xyz ; xdyydxxyddz , тогда yz x ; xz y .
3. Дифференцирование сложных функций
Дифференцирование сложной функции следует из
инвариантности формы дифференциала.
Рассмотрим txtxtxfu m,...,, 21 .
dt
dxxfdxxfdxxfdtdf
dtdu mm...2211
txxftxxftxxf mm ...2211 .
Рассмотрим kmkk ttxttxttxfu ,...,,...,,...,,,..., 1211 1 .
Тогда i
m
miii tx
xf
tx
xf
tu
tf
...1
1, ki ,1 .
4. Производная функции, заданной неявно
1. Рассмотрим функцию одной переменной, заданную неявно:
0, yxF . Подставим зависимость xy в уравнение 0, yxF . Тогда
0, xyxF и 0dF . Отсюда 0 dyFdxF yx . Таким образом,
получили формулу для производной функции xy , заданной неявно:
yx FFdxdy . Аналогично получаем производную для yx :
xy FFdydx . Для существования dxdy или dydx необходимо
выполнение условий 0xF или 0yF .
Задача. Составить уравнение касательной к кривой в точке 0M ,
заданной неявным уравнением 0, yxF .
Решение. Уравнение прямой 00 xxkyy , где dxdyk .
Тогда уравнение касательной к кривой 0, yxF имеет вид
0
00
000 ,
, xxyxFyxFyy
y
x
00 , yxFy . После преобразования
получаем уравнение 00000 yyMFxxMF yx .
00 ;0 MFMFN yxM
– нормаль к касательной в точке 0M .
2. Рассмотрим функцию двух переменных zyxF ,, , заданную
неявно. Тогда, зафиксировав одну из переменных, получим функцию
одной переменной и по пункту 1 получим формулу для нахождения
частных производных:
a) z
xx F
Fz
; z
yy F
Fz
для функции yxz , ;
б) x
yy F
Fx
;
x
zz F
Fx
для функции zyx , ;
в) y
xx F
Fy
; y
zz F
Fy
для функции zxy , .
Замечание. 0xF или 0yF , или 0zF для существования
частных производных.
1. Аналогично получаем частные производные функции
т -переменных. Если функция т -переменных имеет вид
0,,...,1 uxxF m , то частные производные находятся по формулам
u
x
mix F
Fu i
i
,1
, где 0uF .
ЛЕКЦИЯ №4
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ, ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
ФУНКЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ.
УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
К ПОВЕРХНОСТИ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
1. Линеаризация функции в окрестности точки
В окрестности точки 00
,...,10 mxxM при достаточно малых
приращениях аргумента mixi ,1 можно полное приращение
функции mxxfu ,...,1 заменить приближенно полным
дифференциалом duu , эта операция называется линеаризацией.
mxx xMfxMfMfMfm
0100 ...1
,
где mm xxxxM 00
,...,11 .
Обозначим координаты точки М соответственно iiomi
i xxx ,1
;
mxxM ,...,1 0iii xxx .
Формула примет вид
01 010100 ... mmxx xxMfxxMfMfMf
m .
Линеаризация означает, что в окрестности точки 0M функция
Mfu заменяется линейной функцией
01 010100 ... mmxx xxMfxxMfMfu
m .
Это уравнение касательной гиперплоскости к гиперповерхности
Mfu в точке 0100 ,,...~0 uxxM m , 00 Mfu .
Рассмотрим функцию двух переменных yxfz , , 000 , yxM .
Тогда формула линеаризации записывается следующим образом:
00000000 ,,,, yyyxfxxyxfyxfyxf yx .
Уравнение касательной плоскости yxfz , к поверхности в
точке 0000 ,,~ zyxM , 000 ,yxfz имеет вид
000 xxMfzz x 00 yyMf y .
Неявный вид: 000000 zzyyMfxxMf yx .
Вектор нормали в точке 0~M к касательной плоскости:
1;; 000 MfMfN yxM
.
2. Касательная плоскость к поверхности,
заданной неявным уравнением
Пусть поверхность задана уравнением 0,, zyxF ; точка
0000 ,,~ zyxM принадлежит этой поверхности, т. е. 0,, 000 zyxF .
Составим уравнение касательной плоскости к этой поверхности в
точке 0~M . Обозначим точку 000 , yxM . Тогда
0
00 ~
~
MFMFMZ
z
xx
;
0
00 ~
~~
MFMF
MZz
yy
, и вектор нормали к поверхности в точке 0
~M
запишется следующим образом:
1;~~
;~~
0
0
0
0~0 MF
MFMFMFN
z
y
z
xM
или
000~0~1~;~;~~
00MFMFMFNMFN zyxMzM
.
Тогда уравнение касательной плоскости имеет вид
0~~~000000 zzMFyyMFxxMF zyx .
Вывод. Касательную плоскость можно провести к поверхности в
точке 0~M , если xF , yF , zF в точке 0
~M одновременно в ноль не
обращаются. Точка, в которой производные одновременно
обращаются в ноль, – особая точка поверхности и, следовательно,
касательную плоскость в особой точке провести нельзя.
Замечания:
1) если функция задана явно yxfz , , то уравнение касательной
плоскости можно выписать, линеаризовав сначала эту функцию в
окрестности точки;
2) если функция задана неявно 0,, zyxF , то линеаризовать эту
функцию можно, предварительно выписав уравнение касательной
плоскости, а затем из него выразить z .
Пример. 22 yxz .
1. Линеаризовать функцию в окрестности точки 4;30М ,
выписать уравнение касательной плоскости в точке 00 ;4;3~ zМ ;
2. Вычислить приближенное значение функции в точке
9,3;1,3М .
Решение.
1. 00 5 zMz ; 22222
2
yx
x
yx
xzx
53
0 Mzx .
22 yx
yz y
54
0 Mz y ; yxyxyx54
534
543
53522 .
yxz54
53
уравнение касательной плоскости в точке 5;4;30М
к поверхности 22 yxz .
2. 98,49,3541,3
53
Mz .
Пример. 02 12 zy еezx .
1. Записать уравнение касательной плоскости в точке 1;0;1~0M .
2. Линеаризовать функцию z в окрестности точки 0;10M .
Решение.
1. ;
;;4
1
zyz
yy
x
eeFezFxF
.2~
;1~;4~
0
0
0
MFMF
MF
z
y
x
2;1;40
~ MN
или 2;1;4 N
.
01214 zyx 0224 zyx – уравнение
касательной плоскости.
2. Выразим 1212 yxz 1212, yxyxz .
3. Производные и дифференциалы высших порядков
1. Рассмотрим функцию двух переменных yxfz , .
yyyy
xxxx
zzzz
производные второго порядка по x или y .
yxxy
xyyx
zz
zz смешанные производные второго порядка по xy
или yx .
2
2
xzzxx
; 2
2
yzz yy
;
xyzzxy
2;
yxzz yx
2.
Если функция имеет непрерывные частные производные второго
порядка, то ее называют дважды дифференцируемой и тогда она
имеет дифференциал второго порядка dzdzd 2 . Дифференциал
первого порядка имеет вид dyzdxzdz yx , найдем форму
дифференциала второго порядка:
dyzddxzddyzdxzdzd yxyx2
dydyzdxzdxdyzdxz yyyxxyxx .
dxdyzzdyzdxzzd yxxyyyxx 222 .
Замечание. Смешанные частные производные не зависят от
порядка дифференцирования, если они непрерывны, т. е. yxxy zz .
Для производных высших порядков замечание также верно, т.е.
xxyyxxxyx zzz . Если функция имеет непрерывные частные
производные третьего порядка, то она называется трижды
дифференцируемой и имеет дифференциал третьего порядка
zddzd 23 . И так далее до п -го порядка, функция п раз
дифференцируема, если существует zddzd nn 1 .
2. Рассмотрим функцию m -переменных mxxfu ,...,1 .
Тогда производные первого порядка miu ix ,1, ; второго порядка
ji
xxxx xxuuu jiji
2, mi ,1 , ; третьего порядка
kjikji xxxxxx uu , mi ,1 , mj ,1 , mk ,1 и т. д.
4. Формула Тейлора
Пусть функция mxxfu ,...,1 1n раз дифференцируема в
точке 00
,...,10 mxxM и некоторой ее окрестности, тогда полное
приращение функции в этой точке равно сумме дифференциалов до
п -го порядка плюс остаток mR , зависящий от ud n 1 :
mM
nM
MM Rn
fdfddff
!...
!200
00
2
;
00 MfMff M ; mM
n
Rn
fdMfMf
!... 0
0 ,
где точка mxxM ,...,1 принадлежит окрестности точки 0M .
В окрестности точки 0M функцию приближенно можно
представить в виде !
... 000 n
fddfMfMf
Mn
M , если функция
дифференцируема 1п раз. Вывод. Если функция 1п раз дифференцируема в точке и
некоторой ее окрестности, то функцию в окрестности этой точки
можно заменить многочленом п -й степени относительно переменных
mxx ,...,1 .
Рассмотрим функцию двух переменных yxfz , и представим в
окрестности точки 000 , yxM по формуле Тейлора. 0xxdx ;
0yydy , тогда
00000000 ,,,, yyyxfxxyxfyxfyxf yx
!2,,2, 2
00000002
000 yyyxfyyxxyxfxxyxf yyxyxx
!
,... 00n
yxfd n .
Пример. Представить в виде многочлена третьей степени в
окрестности точки 0,00M функцию yxez .
dyedxedz yxyx ; dxdyedyedxezd yxyxyx 2222 ;
333 dyedxezd yxyx dxdyedydxe yxyx 22 33 ;
!333
!221
322322 yxyyxxyxyxyxe yx
.
Замечания:
1) формула линеаризации – частный случай формулы Тейлора,
когда 1n ;
2) формулу Тейлора в точке 0,...,00М называют формулой
Маклорена.
ЛЕКЦИЯ №5
ЛОКАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ, НЕОБХОДИМЫЕ
И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ИХ СУЩЕСТВОВАНИЯ
1. Понятие локального экстремума
Определение. Рассмотрим mRMMfu , . Точка mRM 0
называется точкой локального минимума (максимума) данной
функции, если для всех точек М , принадлежащих окрестности точки
0М , выполнено неравенство 0MfMf 0MfMf или
00 Mf 00 Mf .
Пример. Пусть точка 000 , yxM является точкой локального
z 0Mf 0 0y y
0x 0М Рис. 11
0Mf z
0x 0y y x 0М Рис. 12
экстремума функции yxfz , (рис. 11, 12). В точке локального
экстремума функции yxfz , касательная плоскость либо
параллельна yx0 , т. е. xf и 0yf , либо не существует, т. е. не
существуют хотя бы одна из производных: xf или yf .
2. Необходимое и достаточное условия
существования локального экстремума
Необходимое условие
Пусть точка 0М – точка локального экстремума функции
Mfu , mRM 0 . Для определенности возьмем точку 0М
минимум, тогда 00 Mf , и следовательно, 00 Mx fi . Пусть
функция дифференцируема в точке 0М , т. е. существуют
непрерывные ixf 0lim
0
i
x
xx xf
f i
ii , т. к. 0
i
x
xfi для 0 ix ;
0
i
x
xfi для 0 ix .
Теорема 1. В точке локального экстремума 00 Mfix или не
существуют, mi ,1 .
Достаточное условие
Рассмотрим mRMMfu , . Пусть функция трижды
дифференцируема в точке 0М и некоторой ее окрестности, 0М
стационарная точка 00 Mdf .
Рассмотрим формулу Тейлора в точке 0М :
!2!2
02
20
2
00Mfd
RMfd
MdfMf .
Отсюда и из определения экстремума следует теорема 2.
Теорема 2. Пусть функция mRMMfu , трижды
дифференцируема в окрестности стационарной точки 0М
00 Mdf , тогда:
1) точка 0М – точка локального минимума, если 002 Mfd ;
2) точка 0М – точка локального максимума, если 002 Mfd ;
3) точка 0М не является точкой локального экстремума, если
02 Mfd меняет свой знак в зависимости от приращений аргументов.
Замечание. Если 002 Mfd , то
!30
3
0Mfd
Mf и требуется
дальнейшее исследование.
Из теоремы 2 следует достаточное условие существования
локального экстремума для функции двух переменных yxfz , .
Теорема 3.
Пусть функция yxfz , трижды дифференцируема в точке 0М
и некоторой ее окрестности, 00 Mdf , тогда точка 0М является
точкой локального экстремума, если 0
00 MZ
MZMxyxx
0
0
0
MZMZ
yy
xy ,
причем точка 0М – точка максимума, если 00 MZ xx , и минимума,
если 00 MZ xx . Если 00 M , то точка 0М не является точкой
локального экстремума. Если 00 M , признак не работает,
следовательно, требуются дополнительные исследования.
Правило нахождения локального экстремума: находим
стационарные или критические точки, т. е. точки, в которых
производные равны нулю или не существуют; пользуясь теоремой 2
или 3, исследуем знак 02 Mfd или 0М и запишем ответ. Если
теорему 2 или 3 нельзя применить, то исследуем знак полного
приращения 0Mf , т.е. исследуем функцию на экстремум по
определению.
Пример. Найти точки локального экстремума функции 22 yxz .
Решение. Находим критические точки.
ydyxdxyxddz 2222 ;
00
yx 0;00M критическая точка.
Проверяем достаточное условие существования экстремума.
00;002222 2222 fddydxydyxdxdzd 0;00M
точка минимума. Ответ: 00;0min zz .
Пример. Найти точки локального экстремума функции
22 yxz .
Решение. 22 yx
xzx
; 22 yx
yz y
, не существуют xz , yz в
точке 0;00M . Воспользуемся определением локального экстремума
и найдем полное приращение
00 222200 yxyxMzMzz M , где yxM , ,
0;00M . Т. к. 00 Mz точка, 0;00M точка локального минимума.
Ответ: 00;0min zz .
Пример. Найти точки локального экстремума функции 33 yxz .
Решение. Находим критические точки:
dyydxxyxddz 2233 33
00
yx
zz 0;00M критическая точка;
22222 6633 dyydxxdyydxxdzd , 002
Mzd
требуются дополнительные исследования.
066 333 dydxzd ; 0;0 dydx ; 066 333 dydxzd ;
0;0 dydx .
Т. к. дифференциал zd 3 меняет свой знак, следовательно, точка
0М не является точкой локального экстремума.
ЛЕКЦИЯ №6
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ВЕКТОР-ГРАДИЕНТ
Производная по направлению. Вектор-градиент Рассмотрим функцию zyxfu ,, , возьмем точку 0000 ,, zyxM .
Необходимо найти мгновенную скорость изменения функции в
направлении вектора 321 ,, llll
. Пусть cos,cos,cos0 l
, где
,, углы между l
и координатными осями zyx 0,0,0
соответственно.
10 l
и ll
l
1
0 ; cos1 ll
; cos2 ll
; cos3 ll
.
Возьмем точку zyxM ,, из окрестности точки 0М (рис. 13).
Рассмотрим вектор zyxzzyyxxMM ;;;; 0000 , обозначим
MMzyxl ,0222
.
Отсюда coslx ; cosly ; coslz .
Найдем полное приращение функции в точке 0М :
0MuMuu , тогда lu –
средняя скорость изменения функ-
ции на отрезке MM 0 ; lul
0
lim –
мгновенная скорость изменения
функции в точке 0М в направлении
z М 0l
0 y x
Рис. 13
вектора, ее называют производной по направлению вектора l
в точке
0М от функции zyxfu ,, .
Обозначим производную по направлению 0Mlu , т.е.
lu
lu
lM
0lim0 .
Вывод формулы производной по направлению:
lzMuyMuxMu
ldu
lu
lu zyx
lll
000
000limlimlim
coscoscoscos 00000 00 lglgMuMuMu MMzyx
cosgrad 0 Mu ; т.е. 000 lglu
MM ,
где 00000 ;;grad MzyxM gMuMuMuu – вектор-градиент в
точке 0М , cos;cos;cos0 l .
Таким образом, значение производной по направлению в точке
0М (мгновенная скорость изменения функции в точке 0М в
направлении l
) зависит от угла, который образует l
с 0Mg .
0max Ml
ggu
lu
0;1cos ;
01
min Mlg
gu
lu
; gg 1 180;1cos .
Замечание. Для функции двух переменных аналогично выво-
дится производная по направлению yxfz , ; 000 , yxM ;
000 lglz
MM , где 00 ;
0MzMzg yxM ;
sin;coscos;cos0 l ; 90 .
Пример. Найти мгновенную скорость изменения функции 22 42 yyxz в точке 2;10M в направлении точки 1;3 N .
Найти направление максимума и минимума мгновенной скорости
изменения функции в точке 0М и их величины.
Решение. 1) 22 42 yyxz ; xzx 4 ; 42 yz y ; 0;40Mg ;
3;20 NMl
; 13l ;
133;
132
0 lll
;
1383;20;4
131
000 lg
lz
MM ;
4max 000
MMМl
ggz
lz ; 4min 00
1
MМl gz
lz ; 0;41 g .
Вектор 0Mg направлен по нормали
к линии уровня (для функции двух
переменных) или поверхности уровня
(для функции трех переменных),
проходящей через точку 0М .
Покажем это для функции двух
переменных. Рассмотрим функцию
yxfz , и линию уровня
000 CzCMz , проходящую через точку 0М ; 0, Cyxf линия
уровня, 0, 0 Cyxf . 00 00 ; MyxM gMfMfN вектор
нормали касательной к линии уровня (рис. 14).
y N
0М
0 x
Рис. 14
Замечание. Для линейной функции cbyaxz g постоянен во
всех точках, bag ; . Линиями уровня линейной функции являются
параллельные прямые.
Пример. Найти линии уровня, проходящие через заданную точку,
построить, найти вектор 0Mg .
yxz 42 ; 0;00M ; 00 Mz ; 042 yx ; 4;2grad z (рис. 15).
Пример. 22 yxz ; 1;10M ; 20 Mz ; 222 yx ; yxz 2;2grad ;
2;20Mg (рис. 16).
ЛЕКЦИЯ №7
НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО
ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ
В ЗАМКНУТОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
Теорема. Всякая непрерывная функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений в замкнутой
y g
1 0М 0 1 x
Рис. 16
y 4 g 1 -2 -1 2 x
Рис. 15
ограниченной области, причем либо внутри области – в точке локального экстремума, либо на границе.
Метод нахождения наибольшего и наименьшего значений функции
с помощью линии уровня
Рассмотрим yxfz , ; cz , cyxf , . Выстраивая линии
уровня в зависимости от c , находим наибольшее и наименьшее
значения функции на границе, либо внутри области, причем на
границе достигается наибольшее и наименьшее, либо в точке касания
границы и линии уровня, либо в угловых точках границы (где не
существует касательная).
01 сMzzнаим ; 00 сMzzнаиб (рис. 17).
Необходимо найти точку 0М и значения 0с . Пусть уравнение
границы имеет вид 0, yxF . Линия уровня, проходящая через точку
0М : 0, сyxf .
yxкас FFк – угловой коэффициент касательной к границе;
y 0М
1М g 0 x
Рис. 18
y 0М 1М 0 x
Рис. 17
yxкас ffк – угловой коэффициент касательной к линии
уровня.
Тогда решение определяется следующей системой:
.;,;0,
0yxyx ffFF
сyxfyxF
Аналогично составляется система, когда наибольшее и
наименьшее значения находятся в угловых точках границы:
.существуетне;,;0,
0yx FF
сyxfyxF
Нахождение наибольшего и наименьшего значений линейной
функции cbyaxz в замкнутой ограниченной области
Рассмотрим для данной функции различные области:
1. Q – многоугольник ; линии уровня данной функции,
соответствующие значению 0cz , прямые 0ccbyax , вектор
bag ; (рис. 18). Таким образом, наибольшего и наименьшего
значения линейная функция достигает в вершинах многоугольника
либо на ее стороне.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений
функции в многоугольнике:
находят вершины многоугольника, вычисляют значения функции в
этих точках;
выбирают наибольшее и наименьшее значения функции.
Если значения функции совпадают в двух точках, то функция
достигает наибольшего и наименьшего значений на стороне,
соединяющей эти точки.
2. Q – не многоугольник, решается в общем виде.
Пример. 22 yxz .
:Q
;0,0;3
yxyx cz ; cyx 22 ; линии уровня – окружность
cR с центром в точке 0;0 ; 0с ; 0наимс ; 022 yx ;
00;0 zzнаим при R , c 9 BzAzzнаиб ; 3;0A ,
0;3B (рис. 19).
Пример. 142 yxz .
:Q
;0,0;3
yxyx 3;0А , 0;3В , 0;0С , 13Az , 7Bz , 1Cz .
10;0 zzнаим ; 133;0 zzнаиб .
Пример. 142 yxz .
:Q
;0,0;422
yxyx cz ; cyx 142 ; 142 cyx ; 4;2g .
1c ; 042 yx ; 10;0 zzнаим ; 00 CMzzнаиб (рис. 20).
?0 М , ?0 С
;1
.0
;4
,0
;22
42
42 0
22
C
yxyxyx
yx
.0
;10;4
;
,05
12
20 x
yxx
Cxy
.541
;5
4
;5
2
0C
y
x
10;0 zzнаим ; 5415
4;5
2
zzнаиб .
Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений
функции:
1) находим область определения функции, строим ее;
2) находим критические точки функции и выбираем те, которые
принадлежат данной области. Вычисляем значения функции в этих
точках;
3) находим наибольшее и наименьшее значения функции на
границе (методом исключения);
4) из найденных значений в п. 2), 3) выбираем наименьшее и
наибольшее.
xy ; bax ; граница области.
Исследуем функцию yxfz , . Рассмотрим xxfz ,~ .
Полученная функция z~ совпадает с функцией z вдоль кривой
xy ; bax ; . Т. о., нахождение наибольшего и наименьшего
значений функции yxfz , на границе xy ; bax ; сводится к
y 3 А В 0 1 3 x
Рис. 19
y 2 0М g 1 0 1 2 x
Рис. 20
нахождению наибольшего и наименьшего значений функции
xxfz ,~ на ba; . Пусть искомая точка bax ;0 , тогда ей
соответствует точка 000 , xxМ , принадлежащая границе области.
Вычисляем 0Mz .
Замечание. Если граница не задается одним уравнением, а
разбивается на k частей, каждая из которых задается уравнением
xy k , то наибольшее и наименьшее значения на границе находим
по следующей схеме:
вычисляем значения в точках пересечения кривых;
находим наибольшее и наименьшее
значения внутри каждой из границ;
выбираем наибольшее и наименьшее
значения.
Пример. Найти наибольшее и
наименьшее значения функции (рис.21)
22 yxz в области :Q
.2,1;1
yxyx
Решение. 1. 2RzD . Разобьем границу области Q на части.
;2;1;1
)в)б)а
yx
yx
;1 xy
.3;1
;2;2;3;1
xyx
2;1 A , 2;1B , 2;3 C – точки пересечения кривой а) – б).
2. Найдем критические точки.
.2;2
yzxz
yx
.02;02
yx 0;00M ; 00 Mz .
3. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на
y В 2 -1 3 x А -2 С
Рис. 21
границе.
а) 222 2211 xxxxz ; 24 xz ; 210 xz ;
21;211M ; 211 Mz ;
б) 21 yz ; yz 2 ; 12 Mz ; 00 yz ; 0;12M ;
в) 4~ 2 xz ; xz 2~ ; 0x ; 2;03 M ; 43 Mz ;
г) 5Az ; 5Bz ; 13Cz .
Ответ: 13 czzнаиб ; 2;3 c ; 00 Mzzнаим ; 0;00M .
ЛЕКЦИЯ №8
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Задача условного экстремума для
функции двух переменных
Найти наибольшее и наименьшее
значения функции yxfz , при
условии, что переменные связаны
уравнением связи 0, yx .
Геометрический смысл: нахождение
наибольшего и наименьшего значений
функции yxfz , вдоль кривой
0, yx или нахождение наибольшего и наименьшего значений
кривой в пространстве, полученной в результате пересечения
поверхностей yxfz , и 0, yx
.0,;,
yxyxfz
(рис. 22).
Задача решается тремя способами:
z yxfz , 0 y x 0, yx
Рис. 22
1. Метод исключения.
Уравнение связи 0, yx записываем в явном виде xy 1 и
подставляем в функцию yxfz , . Получаем функцию одной
переменной xxfz 1,~ . Находим наибольшее и наименьшее
значения этой функции.
2. С помощью линий уровня.
Линии уровня функции, соответствующие значению cz ,
имеют вид cyxf , . Исследуем их поведение вдоль кривой
0, yx .
3. Метод множителей Лагранжа.
Вводится вспомогательная функция – функция Лагранжа.
yxyxfyxF ,,,, .
Замечание. Функция Лагранжа совпадает с исходной
функцией при условии выполнения
уравнения связи. Т. о., задача сводится к
нахождению точек локального
экстремума функции Лагранжа:
1) находим критические точки:
.,;;
yxFfFfF
yyyxxx
.0;0;0
FFF
yx
0,,,,~0000000 yxyxMyxM ;
y 1 1/2 0 1/2 1 x
Рис. 23
2) проверяем достаточные условия существования экстремума,
т.е. знак Fd 2 .
Замечание. Так как точки 0~M таковы, что 0,0 yxM
принадлежат кривой, то знак Fd 2 исследуют при условии, что 0, yx 00 dydxd yx 02 d .
Пример. 22 yxz ; 1 yx – уравнение связи.
Решение.
1-й способ. Методом исключения.
xy 1 ; 1221~ 222 xxxxz ; 21024~0 xxz ;
min04~0 xz ; 21;210М ; 210min Mzz .
2-й способ. Составляем функцию Лагранжа.
1,, 22 yxyxyxF . Находим критические точки.
.1;2;2
yxFyFxF
yx
.01;02;02
yxyx
.0122;2;2
yx
.21;21;1
yx
Критическая точка 1;21;21~0 M .
Проверяем достаточные условия существования экстремума,
т.е. знак Fd 2 при 0d , т.е. 0dydx .
dyxdyydxxyxyxddF 122122 ;
ddydxdyddydxddxFd 222
dydxddydx 22 22 0422 222 dxdydx .
1;21;21~0 M – точка минимума; 21;210М – точка условного
минимума. 210min Mzz .
3-й способ. Строим линии уровня (рис. 23).
Задача условного экстремума для функции многих переменных
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
mxxfu ...,,1 при условии, что переменные связаны уравнениями
связи mk .
.0...,,......................
;0,...,
1
11
mk
m
xx
xx
Рассмотрим методы решения данной задачи.
1. Метод исключения.
Метод исключения работает тогда, когда из системы уравнений
связи можно выразить k неизвестных kxxx ,...,, 21 через оставшиеся
km свободных неизвестных:
.,...,~ ...........................;,...,~;,...,~
1
122111
mkkk
mkmk
xxx
xxxxxx
Эти неизвестные подставляем в саму функцию, т. е. получаем
функцию меньшего числа переменных:
mkkmk xxxxfu ,...,~,...,,...,~111 или mk xxFu ,...,~
1 .
Исследуем ее на экстремум. Полученная точка 0М – точка
локального экстремума для u 0010 ,..., mk xxM . Тогда точка
условного экстремума 0010010 ,...,,~,...,~~
mkk xxMMM .
2. Метод множителей Лагранжа.
Как и для функции двух переменных, составляем функцию
Лагранжа ...,...,,...,,...,,,..., 111111 mmkm xxxxfxxF
mkk xx ,...,... 1 , и исследуем ее на локальный экстремум:
1) находим критические точки, т.е. точки, в которых 0dF ;
2) проверяем достаточное условие существования
экстремума, т.е. (min)02 Fd или (max)02 Fd при условии
0idu , ki ,1 .
Пример. Найти точки условного экстремума.
xzyxu 2 , если
;1.z
yxyx
1. Метод исключения:
.12;yz
yx
yyyyu )12(2 ; 23yu ; yu 6 ; 006 yy 1;0;0~0 M .
min06 u ; 00min Muu усл .
2. Метод множителей Лагранжа:
yxzyxxzyxzyxF 212
21 1,,,, .
Находим частные производные:
;1
;;
.
;2
1
2121
1
2
1
zyxFyxF
xFyFzF
z
yx
;0
;01
;0
.0
;021
22
11
1
yxzyx
xy
z
;4
;
.061
;3
;0
21
y
y
yz
y
x
0y ; 0x ; 01 ; 1z ; 02 .
Критическая точка 0;0;1;0;00 M , 1;0;0~0 M .
1212122 2222222 dzddyddydxdxddxddxdzdyFd ;
;.2
1 dzdydxddydxd
;0
.0dydxdzdydx
.2;
dydzdydx
0622 222 dydxdzdyFd – точка локального минимума.
Ответ: 00min Muu усл .
Типовые задания № 1
1. Докажите, что предел функции существует, и вычислите
его или докажите, что предел не существует.
2. Исследуйте функцию на непрерывность.
3. Докажите, что функция yxf , ограничена или не
ограничена на множестве Q.
4. Пользуясь определением частной производной, найдите
u/x и u/y для u=f(x,y).
5. Найдите u, du в точке (1;1) для функции u=f(x,y).
6. Найдите наибольшее или наименьшее значения
функции в области Q c помощью линий уровня.
Вариант 1
1. Докажите, что 01sin1sinlim00
yx
yxyx
.
2. yx
z22
1
.
3. 22
44,
yx
yxyxf
; 10:, 22 yxyxQ .
4, 5. xyyxf 2, .
6. max yxz ;
.0;1:
22
xyxQ
Вариант 2
1. Вычислите xy xyx
yx
1lim 22
20
.
2. yxz 224ln .
3. yxyxf 22, ; 25:, 22 yxyxQ .
4, 5. yxyxf 2, .
6. min4 22 yxz ;
.0;1:
22
yyxQ
Вариант 3
1. Вычислите 272
30
1lim xyyxy
yx
xy
.
2. yx
yxz33
.
3. yxbyaxyxf 22
22,
; 0:, 22 yxyxQ .
4, 5. xyyxf 2, .
6. max22 yxz ;
0;0623: yx
yxQ
Вариант 4
1. Вычислите yxxy
yx 2
01
2tglim
.
2.
;1
;22
22
yx
yxz
.0
;0
22
22
yx
yx
3. yxyxyxf 22
22,
; 0:, 22 yxyxQ .
4, 5. xyxyxf 2, .
6. min54 22 yxz ;
0;0623: yx
yxQ
Вариант 5
1. Вычислите xxy
yx
sinlim30
.
2.
;0
;222 yx
xyz
.0
;0
22
22
yx
yx
3. ;,22
66
yx
yxyxf
90:, 22 yxyxQ .
4, 5. xyyyxf 2, .
6. max85 22 yxz ;
.0;0;6:
22
yxyxQ
Вариант 6
1. Вычислите yx
yxyx 22
22
00
1sinlim
.
2. yxz sin .
3. ;,44
22
yx
yxyxf
0:, 22 yxyxQ .
4, 5. yxyxf 22, .
6. min108 22 yxyxz ;
0;0623: yx
yxQ
Вариант 7
1. Вычислите yx
yx
yx 22
22
00 3
2sinlim
.
2.
;0
;22 yx
xyz
.0
;0
22
22
yx
yx
3. yxyxf 22, ; 0,0:, yxyxQ .
4, 5. yxyxf 22, .
6. max23 yxz ;
.0;0;164:
22
yxyxQ
Вариант 8
1. Вычислите yx
yx
yx 222
22 2
00 tg
3lim
.
2.
;0
;44
22
yx
yxz
.0
;0
44
44
yx
yx
3. yx
yxyxf 22
44,
; 10:, 22 yxyxQ .
4, 5. xyxyxf 23, .
6. min xyz ;
.0;0;1:
22
yxyxQ
Вариант 9
1. Вычислите yx
yx
yx
sinsinlim
00
.
2.
;0
;44
23
yx
yxz
.0
;0
44
44
yx
yx
3. ;1sin,y
xyxf 10;10:, yxyxQ .
4, 5. yxyyxf 32, .
6. max xyz ;
.0;0;1:
22
yxyxQ
Вариант 10
1. Докажите, что yx
xy
yx 22
00
lim
не существует.
2.
;0
;22
2
yx
yxz
.0
;0
22
22
yx
yx
3. y
xyyxf 1sin, ; 10,10:, yxyxQ .
4, 5. xyxyxf 32, .
6. max34 yxz ;
.0;0;
950
;05,0;02
:
yxxy
yxyx
Q
Вариант 11
1. Докажите, что yxyx
yx 22
22
00
lim
не существует.
2.
;0
;1sin 2222
yxyxz
.0
;0
22
22
yx
yx
3. yxyxyxf 22
44,
; 0;1;1:, 22 yxyxyxQ .
4, 5. yxyyxf 23, .
6. max5.35.2 22 yxz ;
.3;0;0
;133:
xyx
yxQ
Вариант 12
1. Докажите, что 0lim 22
2
00
yx
yx
yx
.
2.
;1
;122 yxz
.0
;0
22
22
yx
yx
3. yxyxf 22, ; 1;1:, yxyxQ .
4, 5. yxyxf 33, .
6. min xyz ;
.0;0;45,0
;923:
yxyxyx
Q
Вариант 13
1. Докажите, что 0lim2
00
yx
x
yx
.
2.
;1
;sin22
22
yx
yxz
.0
;0
22
22
yx
yx
3. yxyxyxf 22
66,
; 0;3;2:, 22 yxyxyxQ .
4, 5. yxyxf 33, .
6. max23 yxz ;
.0;0;912:
22
yxyxQ
Вариант 14
1. Докажите, что 0lnsinlim 22
00
yxyxyx
.
2.
;1
;2
coscosxy
yxyxz
.0
;0
xy
xy
3. yxyxf 22, ; 25:, 22 yxyxQ .
4, 5. yyxyxf 2, 2 .
6. max108 22 yxyxz ;
0;0623: yx
yxQ
Вариант 15
1. Докажите, что yxx
yx
loglim01
не существует.
2.
;0
;22
yxyx
z .0
;0
yx
yx
3. xy
yxyxyxf
coscos, ; 0:, xyyxQ .
4, 5. 1, 2 xxyyxf .
6. max51614 22 yxz ;
.0;0;2: yx
yxQ
Вариант 16
1. Вычислите 44
22
limyxyx
yx
.
2.
;1
;sinsinxy
yxz
.0
;0
xy
xy
3. yx
yxyxf
lnln, ; yxyxQ :, .
4, 5. 13, 2 yxyyxf .
6. min435 2 yxxz ;
.0;0;33,0
;5:
yxyx
yxQ
Вариант 17
1. Вычислите yxyx
yx 33
22lim
.
2.
;1
;sinyx
yxz
.0
;0
yx
yx
3. 22
1,yx
yxf
; 20:, 22 yxyxQ .
4, 5. 24, 2 xxyyxf .
6. max xyz ;
.0;0;45,0
;923:
yxyxyx
Q
Вариант 18
1. Вычислите еyx yx
yx
22lim
.
2. ;0
;lnsin 22 yxyxz.0;0
22
22
yxyx
3. yx
yxf 221,
; yxyxQ 22:, .
4, 5. 12, 22 yxyxf .
6. max28 22 yxz ;
.0;0;2
;9;1
:22
yxx
yxxy
Q
Вариант 19
1. Вычислите yxyx
byax
yx 22lim
.
2.
;1;sin
xxy
z .0
;0
x
x
3. xy
yxyxyxf
sinsin, ; 0:, xyyxQ .
4, 5. 1, 2 xyxyyxf .
6. max5,165,13 22 yxz ;
.0;1
;45,0;153
:xy
yxyx
yxQ
Вариант 20
1. Докажите, что y
yx
yx
lnlim
01
не существует.
2.
;1
;sinsinyx
yxz
.0
;0
yx
yx
3. yxyxyxf 66
22,
; 30:, 22 yxyxQ .
4, 5. 1, 22 yxyxyxf .
6. max2664 22 yxz ;
.0;1
;45,0;153
:xy
yxyx
yxQ
Вариант 21
1. Докажите, что yxyx
yx
lim00
не существует.
2. yxz cos .
3. 33
66,
yxyxyxf
; 10:, 33 yxyxQ .
4, 5. xxyyxf 4, 2 .
6. min yxz ;
.0;1:
22
xyxQ
Вариант 22
1. Докажите, что 0lim 22
2
00
yx
xy
yx
.
2.
;1
;22
22
yx
yxtgz
.0
;0
22
22
yx
yx
3. yxyxf 22 24, ; 2524:, 22 yxyxQ .
4, 5. 32, yxyxyxf .
6. min85 22 yxz ;
.0;0;6:
22
yxyxQ
Вариант 23
1. Вычислите 222
30
1lim xyyy
yx
xy
.
2.
;0
;1cos 22 yxyxz
.0
;0
22
22
yx
yx
3. ;1cos,x
yyxf 10;10:, yxyxQ .
4, 5. 52, 2 xxyyxf .
6. max54 22 yxz ;
0;0623: yx
yxQ
Вариант 24
1. Вычислите yxe xy
yx 2
20 1ln
1lim
.
2.
;0
;22
2
yx
xyz
.0
;0
22
22
yx
yx
3. 22
1,yx
yxf
; 20:, 22 yxyxQ .
4, 5. 343, 2 yxyyxf .
6. min23 yxz ;
.0;0;16:
22
yxyxQ
Вариант 25
1. Докажите, что 01coslim00
xy
yxyx
.
2.
;1
;yxyx
z .0
;0
22
22
yx
yx
3. 22; yxxyeyxf ; 1;1:,: yxyxQ
4, 5. 14, 22 xyxyxf .
6. max xyz ;
.0;0;1:
22
yxyxQ
Типовые задания № 2
1. Дано: а) z=f(x,y); б) двумерные точки А,В,С; в) область G. 1) найдите и постройте область определения функции z=f(x,y); 2) постройте линию уровня функции, проходящую через точку А; 3) найдите все первые и вторые частные производные функции; 4) вычислите BzAz yx , ; 5) с помощью полного дифференциала найдите приближенное зна-чение функции в точке В; 6) исследуйте функцию на локальный экстремум; 7) постройте область G и найдите наибольшее и наименьшее значения функции в области G; 8) вычислите производную функции f(х,у) в точке А в направлении вектора AC ; 9) найдите вектор Azg grad и постройте его на чертеже с изображением линии уровня п.2.
2. Дано: а) функция z=g(х,у); б) дифференциальное уравнение в частных производных 0,,,,,,, yyxyxxyx zzzzzzyxF . Покажите, что данная функция является решением данного дифференциального уравнения.
3. Дано: а) функция z=(x,y); б) точки Д , Д~ . 1) линеаризуйте функцию в окрестности точки Д ; 2) составьте уравнение касательной плоскости и нормали к по-верхности z=(x,y) в точке Д~ .
4. Найдите экстремум функции а) при условии, что переменные х, у, z связаны уравнением б).
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения линейной функции а) в области Q, заданной системой неравенств б).
Вариант 1
1. а) yxxz 416ln 22 ; б) 3;3А , 95,2;03,3В , 7;6С ;
в)
.121;7: xyx
xQ
2. а) yaxez cos ; б) 02 xxyy zza .
3. а) 10232 22 yxxyz ; б) 1;1 Д , 3;1;1~ Д .
4. а) zyxu 22 ; б) 01 xz .
5. а) yxz 25,0 ;
б)
.45,0;62
;1;6
yxyx
yxyx
Вариант 2
1. а) xyyxz 21022 ; б) А(0; 3), В(0,08; 3,1), С(3; -1);
в)
.31;2: xy
xG
2. а) 1062
122
yyxx
z ; б) 3zzz yyxx .
3. а) yxz 2221
; б) 1;3Д , 4;1;3~Д .
4. а) 2zyxu ; б) 01xzy .
5. a) yxz 938 ;
б)
.4883;0
;1824;2874
yxyxyxyx
Вариант 3
1. а) 12lnln2 2 yxxz ; б) А(3; 2), В(3,06; 1,98), С(0; 6);
в)
.233;1: yxy
yG
2. а) yxez yx 22sin22
; б) 0 yx zxzy .
3. а) yxxyz 2 ; б) Д (2; 2), Д~ (2; 2; 6).
4. а) 3 222 zyxг ; б) 0842 222 zyx .
5. а) 1245 yxz ;
б)
.1243;2483
;3065;42
yxyx
yxyx
Вариант 4
1. а) xyxz ln44ln 22 ; б) А(4; 2), В(4,1; 1,95), С(8; 5);
в)
.44;8: yx
xG
2. а) xyz ; б) 02 22 yyxyxx zyzxyzx .
3. а) yxyxyxz 9622 ; б) Д (-1; 1), Д~ (-1; 1; -2).
4. а) xyzu ; б) 0 zyx .
5. а) 12 yxz ;
б)
.8152;3
;24;5479
yxyxyx
yx
Вариант 5
1. а) yxxz 22452 ; б) А(-2; 4), В(-1,9; 3,9), С(-3; 7);
в)
.4;0: xy
yG
2. а) 12ln 22 yyxz ; б) 0 yyxx zz .
3. а) 1 32 yyxz ; б) Д (2; 1), Д~ (2; 1; 1).
4. а) xyzu ; б) 03222 zyx .
5. а) 179 yxz ;
б)
.0;8152
;5479;2
xyx
yxyx
Вариант 6
1. а) xyyz 221213ln ; б) A(4; 3), В(3,97; 3,04), С(1; 4);
в)
.3;3: xyx
xG
2. а) xyz ; б) 022 yyxx zyzx .
3. а) 362 xyxyxz ; б) Д (4; 1), Д~ (4; 1; 14).
4. а) zyxu 2 ; б) 0122 zyx .
5. а) yxz 27 ;
б)
.842;3248
;144;632
yxyx
yxyx
Вариант 7
1. а) xyx
z42 2
; б) А(2; 2), В(2,08; 1,98), С(4; 1);
в) 1425: 2 xyG .
2. а) yxeyxz 22 ; б) 022 zzzzz yxyyxx .
3. а) xyyxz 22 ; б) Д (3; 4), Д~ (3; 4; -7).
4. а) zyxu 22 ; б) 09222 zyx .
5. а) ;2312 yxz
б)
.02;2847;2443;1553
yxyxyxyx
Вариант 8
1. а) 1
322
yx
xz ; б) А(2; 1), В(1,94; 1,03), С(6; 4);
в) xyxG 42: .
2. а) yxz ; б) 022
yyxx zyzx .
3. а) yxz 222 ; б) Д (1; -1), Д~ (1; -1; 3).
4. а) 222 2zyxu ; б) 01 zyx .
5. а) 923 yxz ;
б)
.1;34;2123
;3
xyxyx
yx
Вариант 9
1. а) x
yxz
438 2 ; б) А(1; 1), В(1,05; 1,1), С(2; 3);
в) yxG 262: .
2. а) xyyxz 213 ; б) 022 zzyzx yx .
3. а) 22 42 yxz ; б) Д (2; 1), Д~ (2; 1; 4).
4. а) 5323 zyxu ; б) 0 zyx .
5. а) yxz 416 ;
б)
.42;2432
;63;84
yxyx
yxyx
Вариант 10 1. а) xyyxz 213 ; б) А(-1; 2), В(-1,12; 2,15), С(2; -2);
в)
.1;1: yx
xG
2. а) axyz sin2 ; б) 02 xxyy zza .
3. а) yxz 22 412 ; б) Д (0,5; 0,5), Д~ (0,5; 0,5; -0,5).
4. а) 22108 yxyxu ; б) 0623 yx .
5. а) yxz 64 ;
б)
.0;0;1
;153;45,0
yxyxyx
yx
Вариант 11 1. а) yxxez y 42 ; б) А(1; 3), В(0,95; 3,1), С(4; -1);
в)
23;0: yx
xG
2. а) x
yxz
sin ; б) 022
yyxx zxzx .
3. а) xyxyxz 623 ; б) Д (1; -1), Д~ (1; -1; -4).
4. а) xyu ; б) 0164 22 yx .
5. а) yxz 63 ;
б)
.0;0;1
;153;45,0
yxyxyx
yx
Вариант 12
1. а) yxxyz 1368
2 ; б) А(5; 2), В(4,8; 2,1), С(1; -1);
в)
.5;73
;1:
yxxy
yxG
2. а) 23 xyexz ; б) 032 zzyzx yx .
3. а) xyxyz 24 2 ; б) Д (2; 1), Д~ (2; 1; -1).
4. а) yxu 23 ; б) 0164 22 yx .
5. а) 136 yxz ;
б)
.0;243;1836;1234
xyxyxyx
Вариант 13
1. а) xyxz 225 ; б) А(-1; 1), В(-0,84; 1,2), С(0; -2);
в) 932: 2 xyG .
2. а) xyxxyz cossin ; б) 02 22 yyxyxx zyzxyzx .
3. а) yxxyz ; б) Д (1,5; 2,3), Д~ (1,5; 2,3; 2,65).
4. а) yxu 2 ; б) 0522 yx .
5. а) yxz 247 ;
б)
.122;42
;8112
yxyx
yx
Вариант 14 1. а) 122lnln2 2 xyyz ; б) А(1; 3), В(0,94; 3,2), С(4; -1);
в)
.31;1: xyx
xG
2. а) yxez ; б) 02 zzyzxy yxxx .
3. а) 3
26 22 yxz
; б) Д (1; -1), Д~ (1; -1; -1).
4. а) xyu ; б) 0532 yx .
5. а) 7 yxz ;
б)
.2;2483;3065
xyxyx
Вариант 15
1. а) xxyz 22 6 ; б) А(2; 1), В(1,92; 1,2), С(5; 2);
в)
.20;6: xy
xG
2. а) xy
xxy
xz cos1sin2 ; б) 022 22 zzyzxyzx yyxyxx .
3. а) 22 22 yxyxz ; б) Д (1; 3), Д~ (1; 3; -1).
4. а) yxu coscos 22 ; б) 04
xy .
5. а) yxz 27 ;
б)
.52;4
;1553
xyx
yx
Вариант 16 1. а) xyxz 2arctg 2 ; б) А(2; -1), В(1,9; -0,9), С(1; 1);
в)
.63/;0: 3 xyx
xG
2. а) yx
z22
1
; б) 0 yyxx zz .
3. а) yxz 22
2 ; б) Д (2; -1), Д~ (2; -1; 1).
4. а) yxu 22
4 ; б) 02 yx .
5. а) 63 yxz ;
б)
.3;01052;01232
xyxyx
Вариант 17
1. а) xyxz 228 ; б) А(1; 3), В(1,2; 3,1), С(2; 0);
в)
.20;40: y
xG
2. а) 2tg ayxayxz ; б) 02 xxyy zaz .
3. а) yxyxz 22 ; б) Д (-2; 2), Д~ (-2; 2; 12).
4. а) yxu 22 ; б) 0149
22
yx .
5. а) yxz 9 ;
б)
.2;42127
;62
yyx
yx
Вариант 18
1. а) xyx
z2
2 42 ; б) А(2; 2), В(1,8; 2,1), С(6; 5);
в)
.4;5: xyx
xG
2. а) yxyexz yx 5 ; б) 02 yyxyxx zzz .
3. а) yxz arctg ; б) Д (1; 1), Д~ (1; 1; 4 ).
4. а) yxyxu 2222 ; б) 0122 22 yyxx .
5. а) yxz 29 ;
б)
.2;42127
;612
yyx
yx
Вариант 19
1. а) 122 xyyez x ; б) А(1; 2), В(1,1; 1,9), С(2; 3);
в)
.2;2: yx
xG
2. а) exxyz xy / ; б) 02 22 yyxyxx zyzxyzx .
3. а) yxyxz 22 3 ; б) Д (1; 3), Д~ (1; 3; 1).
4. а) yyxxu 42 22 ; б) 024 xy .
5. а) 112 yxz ;
б)
.4;3
;102
yyx
yx
Вариант 20 1. а) 42ln yxxz ; б) А(-1; -1), В(-1,1; -0,9), С(3; -4);
в)
.22,0;2: yx
yG
2. а) yxyxyz 2222 ; б) 02 xzzxyzy yx .
3. а) yxz 2212 ; б)
43;
43Д ,
1;
43;
43~Д .
4. а) yxu 2 ; б) 0122 yx .
5. а) yxz 32 ;
б)
.1052;1223;632
yxyxyx
Вариант 21
1. а) 4ln xyz ; б) А(3; 2), В(2,9; 2,1), С(1; 1);
в)
.621;8:
2
yxyyxG
2. а) yxyyxxz ln ; б) 02 yyxyxx zzz .
3. а) xxyyz 22 ; б) Д (-4; 5) , Д~ (-4; 5; 29).
4. а) xyu ; б) 01 yx .
5. а) 34 yxz ;
б)
.0;3234
;1052
yyxyx
Вариант 22
1. а) x
yyxyz
32 ; б) А(1; 4), В(1,2; 3,9), С(2; 2);
в)
23;9: xy
xG
2. а) 2yexz ; б) 0 xxyxyx zzzz .
3. а) xyz ; б) Д (1; 1), Д~ (1; 1; 1).
4. а) xyu ; б) 01 yx .
5. а) 54 yxz ;
б)
.0;3234
;1052
yyxyx
Вариант 23
1. а) xxyez y 22 ; б) А(-2; -2), В(-1,9; -2,1), С(-1; 1);
в) 4
3:2yxyG .
2. а) yxyxz
; б) 0 yxyxx zzzx .
3. а) yxyxz 22 ; б) Д (1; -3), Д~ (1; -3; 12).
4. а) 22 yxu ; б) 0134
yx .
5. а) yxz 34 ;
б)
.0;488
;2045
xyx
yx
Вариант 24
1. а) ez xyx 222 ; б) А(2; 1), В(2,05; 0,96), С(3; 0);
в) xyxG 84: 22 .
2. а) ez xy ; б) 022 yyxx zyzx .
3. а) yxyxz 224 ; б) Д (1; 1), Д~ (1; 1; -2).
4. а) 51 22 yxu ; б) 02 yx .
5. а) yxz 25,0 ;
б)
.0;0;5,13,0
;75,15,0
yxyxyx
Вариант 25
1. а) 234 2234 yxxxz ; б) А(1; 1), В(1,2; 1,1), С(0; 0);
в) xyxG 2: .
2. а) yxyyx
xz
; б) 02 yyxyxx zzz .
3. а) 582 xxyxz ; б) Д (2; -3), Д~ (2; -3; 1).
4. а) yxu ; б) 0122 yx .
5. а) yxz 938 ;
б)
.0;824;2874
yyxyx
Вариант 26
1. а) ez xyx 23 2 ; б) А(2; 3), В(2,1; 3,2), С(3; 4);
в) 32: 2 xyxG .
2. а) yxyz 22arctg ; б) 02 xzzxyzy yx .
3. а) 4
22 yxz
; б) Д (2; 2), Д~ (2; 2; 2).
4. а) 222 yxu ; б) 0422 yx .
5. а) 352 yxz ;
б)
.0;2173;2173
xyxyx
Вариант 27
1. а) x
yxz22 44
; б) А(2; 1), В(2,3; 0,9), С(5; -3);
в) 3212: 2 yxyG .
2. а) xyx
yz arcsin3
2 ; б) 022 yzxyzx yx .
3. а) 22 3 yxyxz ; б) Д (1; 2), Д~ (1; 2; 11).
4. а) 22 yxu ; б) 0422 yx .
5. а) 122 yxz ;
б)
.0;1553
;1553
yyxyx
Вариант 28
1. а) 1
1522
xyxz ; б) А(9; 2), В(8,8; 2,1), С(5; 4);
в)
.20;4: xy
xG
2. а) exyx
yz xy
3
2; б) 022 yzxyzx yx .
3. а) yxz 22 ; б) Д (1; 2), Д~ (1; 2; 5).
4. а) 2 xyu ; б) 02 xy .
5. а) yxz 3 ;
б)
.42;42
;42;42
yxyxyxyx
Вариант 29
1. а) y
yxz2
2 122 ; б) А(1; 1), В(0,95; 0,9), С(3; 5);
в)
.1;4: yx
yG
2. а) xz y ; б) 0ln yyyxy zzyzx .
3. а) 33 3 yxyxz ; б) Д (-1; -1), Д~ (-1; -1; -5).
4. а) 1 yxu ; б) 0122 yx .
5. а) 136 xyz ;
б)
.0;1243;2045
xyxyx
Вариант 30 1. а) ez xy 4 ; б) А(2; -2), В(2,1; -2,1), С(6; 1);
в) xyxxG 242: 2 .
2. а) ey
z yax
2
2
41 ; б) 02 xxy zaz .
3. а) yxyyz 93 2 ; б) Д (1; 3), Д~ (1; 3; 3).
4. а) xyu ; б) 0122 yx .
5. а) 126 yxz ;
б)
.0;1535
;1535
yyxyx
Библиографический список
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.
М.: Наука, 2001. Т. 1, 2.
2. Данко П.Е., Попов А.Т. Высшая математика в упражнениях и
задачах. М., 1986. Т. 1, 2.
3. Мантуров О.В. Курс высшей математики. – М.: Высшая школа,
1991.
4. Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа,
1989.
5. Кремер Н.Ш., Тришин И.М., Путко Б.А., Фридман М.Н. Высшая
математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ, 2000.
6. Ведина О.И., Десницкая В.Н., Варфоломеева Г.Б., Тарасюк А.Ф.
Математика. Математический анализ для экономистов. – М.: Инф.-
изд. дом «Филинъ», 2000.
Учебное издание
Романова Людмила Николаевна
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Учебное пособие
* * *
Редактор И.Г. Кузнецова Компьютерная верстка и графика О.Г. Бакланова
* * *
Лицензия ИД №00064 от 16.08.99. Подписано к печати
Формат 60х90 161 . Бумага ксероксная.
Оперативный способ печати. Гарнитура Таймс.
Усл. п. л. , уч.-изд. л. . Тираж 300 экз. Заказ .
Цена договорная.
* * *
Издательство СибАДИ 644099, г. Омск, ул. П. Некрасова, 10
Отпечатано в ПЦ издательства СибАДИ 644099, Омск, ул. П. Некрасова, 10
