Ç;ÇåjcyN;EbNc2 dsòÉ |á>|sésèó>t

Pëàà2 NEEE 4óè

t_9†o ^â z; z; 4†A

zYs|èÉá P>Zá; dsòÉT ót dsèÉá

Ç é_B†¢íAí8 †gwë9A_ío m_¢ ÄëB†o _í 9v† o†ë ow¢mëô†

óí 9vAo ôvëõ9†¢ Ć ovëàà U_f†à 9v† Äë9†¢ ëo ëí AíBAoôAf ëíf Aíô_Uõ¢†ooA^à† QwAf2 ëíf

ô_íoAf†¢ ÄëB†o _m AíÜíA9†oAUëà ëUõàA9wf† o_ 9vë9 9v† àAí†ë¢AV†f ëõõ¢_JAUë9A_í owffiô†o;

á†ôëàà Aí 9v† Ü¢o9 ôvëõ9†¢ 9vë9 Äv†í ô_Uõ¢†ooA^AàA9â Ao Aíôàwf†f 9v† B†à_ôA9â õ_9†í9Aëà

f†Üí†f ^â w F ∇Φ Ao 8_B†¢í†f ^â 9v† ÄëB† †gwë9A_ír

1 ∂NΦ ∇NΦ F ùN ∂MN

ï1;1a

2 Äv†¢† ù F nûÄnρ Ao 9v† oõ††f _m o_wíf; z_íoAf†¢ 9v† ¢ë9A_

Ç ∂NΦ ωNÄ[N ùN ∂MN ∼ ∇NΦ ùN

√ so ÄAàà ^† ov_Äí àë9†¢2 9v† õvëo† oõ††f _m 9v† mëo9†o9 ÄëB† Ao ωÄ[ F L| Äv†¢† L Ao 9v†

8¢ëBA9ë9A_íëà ëôô†à†¢ë9A_í ëíf | 9v† o†ë f†õ9v; t_Ä | Ao ë9 U_o9 XEEE U Aí 9v† _ô†ëí2

ëíf 9v† o_wíf oõ††f Aí Äë9†¢ Ao ù F 1XEE Uyo†ôN2 o_ 9vë9 9v† ¢ë9A_ ë^_B† Ao ë9 U_o9

XEEEE 1 F r 1

1XEEN X3

d† 9v†¢†m_¢† ëõõ¢_JAUë9† ï1;1a ^â

∇NΦ F E ï1;Na

k†9 9v† m¢†† ow¢mëô† ^† c F ζï\I êI Ma; èv†í m_¢ ë 8†í9àâ oà_õAí8 m¢†† ow¢mëô† 9v†

B†¢9Aôëà B†à_ôA9â _m 9v† QwAf _í 9v† m¢†† ow¢mëô† Uwo9 ^† †gwëà 9_ 9v† B†¢9Aôëà B†à_ôA9â _m

9v† ow¢mëô† A9o†àm; A;†;2 ∂ζ ∂Φ F I c F EP ï1;åa

∂M ∂c

YëBAí8 9_ f_ ÄA9v 9v† B†à_ôA9â _íàâ2 9vAo Ao ôëàà†f 9v† IAí†Uë9Aô ô_ífA9A_í;

1

P_¢ oUëàà ëUõàA9wf† U_9A_í2 9v† àAí†ë¢AV†f U_U†í9wU †gwë9A_í ¢†ëfo

∂w ρ F −∇Ü − ρL†c ï1;Xa∂M

t_Ä à†9 9v† 9_9ëà õ¢†oow¢† ^† oõàA9 Aí9_ o9ë9Aô ëíf fâíëUAô õë¢9o

Ü F ûi i û ï1;ña

Äv†¢† ûi Ao 9v† o9ë9Aô õ¢†oow¢†

ûi F −ρLc ï1;ba

ÄvAôv oë9Ao܆o

E F −∇ûi i −ρL†c ï1;ùa

ó9 m_àà_Äo 9vë9 ∂w ∂∇Φ ρ ∂M F ρ

∂M F −∇û ï1;ja

o_ 9vë9 ∂Φ

û F −ρ ∂M

ï1;3a

ÄvAôv ¢†àë9†o 9v† fâíëUAô õ¢†oow¢† 9_ 9v† B†à_ôA9â õ_9†í9Aëà;

k†9 wo ëoowU† 9vë9 9v† ëA¢ ë^_B† 9v† o†ë ow¢mëô† Ao †oo†í9Aëààâ o9ë8íëí9; =†ôëwo† _m

A9o B†¢â oUëàà f†íoA9â Ć A8í_¢† 9v† fâíëUAô †ff†ô9 _m ëA¢ ëíf ëoowU† 9v† ëA¢ õ¢†oow¢† 9_

^† ô_ío9ëí92 ÄvAôv ôëí ^† 9ëI†í 9_ ^† V†¢_ ÄA9v_w9 à_oo _m 8†í†¢ëàA9â; óm ow¢mëô† 9†íoA_í

Ao A8í_¢†f2 ô_í9AíwA9â _m õ¢†oow¢† ¢†gwA¢†o 9vë9

û F ûi i û F EI c F ζ P

9_ 9v† à†ëfAí8 _¢f†¢ _m ëõõ¢_JAUë9A_í2 Ć vëB†2 9v†¢†m_¢†

∂Φ ρLζ i ρ F EI c F EP ï1;1Ea

∂M

=†Aí8 ë o9ë9†U†í9 _í m_¢ô†o2 9vAo Ao ôëàà†f 9v† fâíëUAô ^_wífë¢â ô_ífA9A_í; èv† 9Ä_

ô_ífA9A_ío ï1;åa ëíf ï1;1Ea ôëí ^† ô_U^Aí†f 9_ 8AB†

∂NΦ ∂Φ i L F EI c F E ï1;11a

N∂M ∂c

N

óm ow¢mëô† 9†íoA_í Ao ëào_ Aíôàwf†f 9v†í Ć ëf_õ9 9v† U_f†à Äv†¢† 9v†¢† Ao ë 9vAí

ÜàU ô_B†¢Aí8 9v† Äë9†¢ ow¢mëô† ÄA9v 9†íoA_í ñ õ†¢ wíA9 à†í89v; z_íoAf†¢ ë v_¢AV_í9ëà

¢†ô9ëí8à† n\nê _í 9v† m¢†† ow¢mëô†; èv† í†9 B†¢9Aôëà m_¢ô† m¢_U m_w¢ oAf†o Ao ÉÉÉÉÉ − ñe

ÉÉÉÉÉ ú ÉÉÉÉÉ − ñe

∂ζ ∂\e

ÉÉÉÉÉ úu u

∂Nζ ∂Nζ ñe∂ζ ∂\e

∂ζ ∂\e

∂ζ ∂êe

ñ n\ F ñnê i i n\ nê ∂\N ∂êN

\in\ \ êinê ê

z_í9AíwA9â _m B†¢9Aôëà m_¢ô† _í ëí wíA9 뢆ë _m 9v† ow¢mëô† ¢†gwA¢†o úu ∂Nζ ∂Nζ

ûi i û i ñ i F EP ∂\N ∂êN

Y†íô† úu ∂Φ ∂Nζ ∂Nζ −ρLζ − ρ ∂M i ñ

∂\N i ∂êN

F EI c F EP ï1;1Na

ÄvAôv ôëí ^† ô_U^Aí†f ÄA9v 9v† IAí†Uë9Aô ô_ífA9A_í ï1;åa 9_ 8AB†

∂NΦ ∂Φ ñ ∂åΦ ∂MN

i L ∂c − ρ ∂\N∂c

F EI c F E ï1;1åa

dv†í BAoô_oA9â Ao í†8à†ô9†f2 9v† í_¢Uëà QwAf B†à_ôA9â BëíAov†o _í 9v† ¢A8Af o†ë^†f2

í k ∇Φ F E ï1;1Xa

k†9 9v† o†ë ^†f ^† c F −|ï\I êa 9v†í 9v† wíA9 í_¢Uëà Ao

í F2 ï|\I P|êI 1a

ï1;1ña 1 i |N

\ i |N ê

Y†íô† ∂Φ ∂| ∂Φ ∂| ∂Φ

F − − I c F −|ï\I êa ï1;1ba ∂c ∂\ ∂\ ∂ê ∂ê

N |¢_8¢†ooAB† ÄëB†o _í ë o†ë _m ô_ío9ëí9 f†õ9v

N;Ç èv† B†à_ôA9â õ_9†í9Aëà

z_íoAf†¢ 9v† oAUõà†o9 ôëo† _m ô_ío9ëí9 f†õ9v ëíf oAíwo_Afëà ÄëB†o ÄA9v AíÜíA9AB†àâ à_í8

ô¢†o9o õë¢ëàà†à 9_ 9v† ê ëJAo; èv† U_9A_í Ao Aí 9v† B†¢9Aôëà õàëí† ï\I ca; k†9 wo o††I ë

o_àw9A_í ¢†õ¢†o†í9Aí8 ë ÄëB†9¢ëAí ëfBëíôAí8 ëà_í8 9v† \ fA¢†ô9A_í ÄA9v m¢†gw†íôâ ω ëíf

ÄëB† íwU^†¢ [2 T[\−TωMΦ F tïca ïN;1a

å

óí _¢f†¢ 9_ oë9Aomâ ï1;Na2 ï1;1åa ëíf ï1;1ba Ć 톆f

t ff i [Nt F EI − | Å c Å E

−ωNt i Lt f i ñ

ρ [Nt f F EI c F EI

t f F EI c F −|

ïN;Na

ïN;åa

ïN;Xa

zà†ë¢àâ o_àw9A_í 9_ ïN;Na ëíf ïN;Xa Ao

tïca F Q ô_ov [ïc i |a

AUõàâAí8

Φ F Q ô_ov [ïc i |a T[\−TωM

óí _¢f†¢ 9_ oë9Aomâ ïN;åa Ć ¢†gwA¢†

ïN;ña

úu ñ[åωN F L[ i 9ëív [| ïN;baρ

ÄvAôv Ao 9v† fAoõ†¢oA_í ¢†àë9A_í ^†9Ɔí ω ëíf [; P¢_U ï1;åa Ć 8†9

∂ζ ∂Φ F

∂M ∂ce

ÉÉÉÉÉ F ïQ[ oAív [|a T[\−TωM ïN;ùa cFE

u

Zõ_í Aí9†8¢ë9A_í2 Q[ oAív [|T[\−TωM F T[\−TωMζ F y ïN;ja−Tω

Äv†¢† y f†í_9†o 9v† ow¢mëô† ÄëB† ëUõàA9wf†2 A9 m_àà_Äo 9vë9

−TωyQ F

[ oAív [|

ëíf

−Tωy T[\−TωMΦ F ô_ov [ïc i |a [ oAív [| ú −TLy ñ[N ô_ov [ïc i |a T[\−TωMF 1 i ïN;3aω Lρ ô_ov [|

X

N;N èv† fAoõ†¢oA_í ¢†àë9A_í

k†9 wo Ü¢o9 †JëUAí† 9v† fAoõ†¢oA_í ¢†àë9A_í ïN;ba2 Äv†¢† 9v¢†† à†í89vo 뢆 õ¢†o†í9 r 9v†

f†õ9v |2 9v† ÄëB†à†í89v λ F NπÄ[2 ëíf 9v† à†í89v λb F NπÄ[b ÄA9v 7R Lρ Nπ ñ

[b F I λb F F Nπ ïN;1Ea ñ [b Lρ

P_¢ ¢†m†¢†íô† Ć í_9† 9vë9 _í 9v† ëA¢qÄë9†¢ Aí9†¢mëô†2 ñÄρ F ùX ùbåÄuNI L F 3jE ùbÄuN2

o_ 9vë9 λb F 1Pùåùb; èv† f†õ9v _m _ô†ëí_8¢ëõvAô Aí9†¢†o9 ¢ëí8†o m¢_U >ï1EôUa 9_

9v_woëíf _m U†9†¢o; èv† ÄëB†à†í89v ¢ëí8†o m¢_U ë m†Ä ô†í9AU†9†¢o 9_ vwíf¢†fo _m

U†9†¢o;

k†9 wo Aí9¢_fwô† R Lρ

ωN b F NL[b F NL ïN;11a

ñ

9v†í ïN;ba Ao í_¢UëàAV†f 9_ u ú ωN 1 [ [N

F 1 i 9ëív [| ïN;1Na ωN N [N b [b b

z_íoAf†¢ Ü¢o9 ÄëB†o _m à†í89v _m 9v† _¢f†¢ _m λb; P_¢ f†õ9vo _m _ô†ëí_8¢ëõvAô

Aí9†¢†o92 | E λ2 _¢ [| E 12 9ëív [| ≈ 1; Y†íô† u ú ωN 1 [ [N

F 1 i ïN;1åa ωN N [b [N b b

_¢2 Aí fAU†íoA_íëà m_¢U2 ñ[å

ωN F L[ i ρ

ïN;1Xa

èv† õvëo† B†à_ôA9â Ao

ù F ω [ F

[;;W L

[

u

1 i ñ[N

Lρ

ú

ïN;1ña

G†ÜíAí8

ùb F ωb

[b ïN;1ba

9v† õ¢†ô†fAí8 †gwë9A_í 9ëI†o 9v† í_¢UëàAV†f m_¢U

ù

ùb

F

[;;W 1 N

u [b

[ i

[

[b

ú

ïN;1ùa

zà†ë¢àâ 7

ù ≈ ñ[

ρ I Am [Ä[b E 1I _¢ λÄλb r 1 ïN;1ja

ñ

c*=c/ cm

1 2 3 4 5 0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

λ*=λ/ λm

PA8w¢† 1r |vëo† oõ††f _m ôëõAààë¢âq8¢ëBA9â ÄëB†o Aí Äë9†¢ Uwôv f††õ†¢ 9vëí λb;

èvwo m_¢ ÄëB†à†í89vo Uwôv ov_¢9†¢ 9vëí 1;ù ôU2 ôëõAààë¢A9â ëà_í† Ao AUõ_¢9ëí92 èv†o†

뢆 ôëàà†f 9v† ôëõAààë¢â ÄëB†o; >í 9v† _9v†¢ vëíf R L

ù ≈ I Am [Ä[b r 1I _¢ λÄλb r 1 ïN;13a [

èvwo m_¢ ÄëB†à†í89v Uwôv à_í8†¢ 9vëí 1;ùå ôU2 8¢ëBA9â ëà_í† Ao AUõ_¢9ëí9< 9v†o† 뢆

ôëàà†f 9v† 8¢ëBA9â ÄëB†o; TAíô† Aí ^_9v àAUA9o2 ù ^†ô_U†o àë¢8†2 9v†¢† Uwo9 ^† ë UAíAUwU

m_¢ o_U† Aí9†¢U†fAë9† [; P¢_U

nùN L ñ F − i F E

n[ [N ρ

9v† UAíAUwU ù _ôôw¢o Äv†í R Lρ

[ F F [bI _¢ λ F λb ïN;NEa ñ

èv† oUëàà†o9 Bëàw† _m ù Ao ùb; P_¢ 9v† Aí9†¢U†fAë9† ¢ëí8† Äv†¢† ^_9v ôëõAààë¢A9â ëíf

8¢ëBA9â 뢆 _m ô_Uõë¢ë^à† AUõ_¢9ëíô†< 9v† fAoõ†¢oA_í ¢†àë9A_í Ao õà_99†f Aí Ü8w¢† ï1a;

t†J9 Ć ô_íoAf†¢ à_í8†¢ 8¢ëBA9â ÄëB†o Äv†¢† 9v† f†õ9v †ff†ô9o 뢆 †oo†í9Aëà; 2 ω F L[ 9ëív [| ïN;N1a

P_¢ 8¢ëBA9â ÄëB†o _í f††õ Äë9†¢2 [| E 12 9ëív [| → 1; Y†íô† R2 L ω ≈ L[I ù ≈ ïN;NNa

[

b

c/√gh

0

0.25

0.5

0.75

1

kh 2 4 6 8 10

PA8w¢† Nr |vëo† oõ††f _m ôëõAààë¢âq8¢ëBA9â ÄëB†o Aí Äë9†¢ _m ô_ío9ëí9 f†õ9v

èvwo à_í8†¢ ÄëB†o 9¢ëB†à mëo9†¢; èv†o† 뢆 ëào_ ôëàà†f ov_¢9 8¢ëBA9â ÄëB†o; óm v_ĆB†¢

9v† ÄëB†o 뢆 B†¢â à_í8 _¢ 9v† f†õ9v B†¢â oUëàà o_ 9vë9 [| r 12 9v†í 9ëív [| ∼ [| ëíf 2 2 ω ≈ [ L|I ù ≈ L| ïN;Nåa

P_¢U Aí9†¢U†fAë9† Bëàw†o _m [|2 9v† õvëo† oõ††f f†ô¢†ëo†o U_í_9_íAôëààâ ÄA9v Aíô¢†ëoAí8

[|; sàà à_í8 ÄëB†o ÄA9v [| r 1 9¢ëB†à ë9 9v† oëU† UëJAUwU oõ††f àAUA9†f ^â 9v† f†õ9v2 √ L|2 v†íô† 9v†¢† 뢆 í_íqfAoõ†¢oAB†; èv† fAoõ†¢oA_í ¢†àë9A_í Ao õà_99†f Aí Ü8w¢† ï2a;

N;å èv† Q_Ä Ü†àf

P_¢ ë¢^A9¢ë¢â [Ä[b ëíf [|2 9v† B†à_ôA9A†o ëíf fâíëUAô õ¢†oow¢† 뢆 †ëoAàâ m_wíf m¢_U

9v† õ_9†í9Aëà ïN;3a ëo m_àà_Äo u ú ∂Φ L[y ñ[N ô_ov [ïc i |a T[\−TωM} F F 1 i ïN;NXa ∂\ ω Lρ ô_ov [| u ú ∂Φ −TL[y ñ[N oAív [ïc i |a T[\−TωMà F F 1 i ïN;Nña ∂c ω Lρ ô_ov [| u ú ∂Φ ñ[N ô_ov [ïc i |a T[\−TωMû F −ρ F ρLy 1 i ïN;Nba ∂M Lρ ô_ov [|

t_9† 9vë9 ëàà 9v†o† gwëí9A9A†o f†ôëâ U_í_9_íAôëààâ Aí f†õ9v;

óí f††õ Äë9†¢2 [| E 12 u ú L[y ñ[N

[c T[\−TωM} F 1 i ïN;Nùa ω Lρ

ù

u ú ∂Φ −TL[y ñ[N

[c T[\−TωMà F F 1 i ïN;Nja ∂c ω Lρ u ú ∂Φ ñ[N

[c T[\−TωMû F −ρ F ρLy 1 i ïN;N3a ∂M Lρ

sàà fâíëUAôëà gwëí9A9A†o fAUAíAov †Jõ_í†í9Aëààâ 9_ V†¢_ ëo [c → −∞; èvwo 9v† QwAf

U_9A_í Ao àAUA9†f 9_ 9v† ow¢mëô† àë↢ _m f†õ9v Rïλa; é¢ëBA9â ëíf ôëõAààë¢âq8¢ëBA9â ÄëB†o

뢆 9v†¢†m_¢† ow¢mëô† ÄëB†o;

P_¢ õw¢† 8¢ëBA9â ÄëB†o Aí ovëàà_Ä Äë9†¢2 ñ F E ëíf [| r 12 Ć 8†9

L[y T[\−TωM} F ïN;åEa ω

à F EI ïN;å1a ∂Φ

F ρLy T[\−TωM F ρLζû F −ρ ïN;åNa ∂M

t_9† 9vë9 9v† v_¢AV_í9ëà B†à_ôA9â Ao wíAm_¢U Aí f†õ9v ÄvAà† 9v† B†¢9Aôëà B†à_ôA9â Ao í†8q

àA8A^à†; èvwo 9v† QwAf U_9A_í Ao †oo†í9Aëààâ v_¢AV_í9ëà; èv† 9_9ëà õ¢†oow¢†

Ü F ûi i û F ρLïζ − ca ïN;ååa

Ao vâf¢_o9ë9Aô ëíf Aíô¢†ëo†o àAí†ë¢àâ ÄA9v f†õ9v m¢_U 9v† m¢†† ow¢mëô†;

N;X èv† õë¢9Aôà† _¢^A9

óí QwAf U†ôvëíAôo 9v†¢† 뢆 9Ä_ Äëâo _m f†oô¢A^Aí8 QwAf U_9A_í; óí 9v† kë8¢ëí8Aëí

oôv†U†2 _í† m_àà_Äo 9v† 9¢ë}†ô9_¢â \I c _m ëàà QwAf õë¢9Aôà†o ëo mwíô9A_ío _m 9AU†; Éëôv

QwAf õë¢9Aôà† Ao Af†í9A܆f ^â A9o o9ë9Aô _¢ AíA9Aëà õ_oA9A_í \iI ci; èv†¢†m_¢† 9v† Aío9ëíq

9ëí†_wo õ_oA9A_í ë9 9AU† M f†õ†ífo õë¢ëU†9¢Aôëààâ _í \iI ci; óí 9v† Éwà†¢Aëí oôv†U†2

9v† QwAf U_9A_í ë9 ëíâ Aío9ëí9 M Ao f†oô¢A^†f ^â 9v† B†à_ôA9â ܆àf ë9 ëàà ÜJ†f õ_oA9A_ío

\I c; so 9v† QwAf U_B†o2 9v† õ_Aí9 \I c Ao _ôôwõA†f ^â fAff†¢†í9 QwAf õë¢9Aôà†o ë9 fAff†¢†í9

9AU†o; s9 ë õë¢9Aôwàë¢ 9AU† M2 ë QwAf õë¢9Aôà† _¢A8Aíëààâ ë9 ï\iI cia 뢢AB†o ë9 \I c2 v†íô†

A9o õë¢9Aôà† B†à_ôA9â Uwo9 ô_AíôAf† ÄA9v 9v† QwAf B†à_ôA9â 9v†¢†2

n\ nc F }ï\I cI MaI F àï\I cI Ma ïN;åXa

nM nM

>íô† }I à 뢆 Ií_Äí m_¢ ëàà \I cI M2 Ć ôëí Aí õ¢AíôAõà† Aí9†8¢ë9† 9v† ë^_B† †gwë9A_ío 9_

8†9 9v† õë¢9Aôà† 9¢ë}†ô9_¢â; èvAo Éwà†¢qkë8¢ëí8† õ¢_^à†U Ao Aí 8†í†¢ëà B†¢â fAffiôwà9;

j

óí oUëàà ëUõàA9wf† ÄëB†o2 9v† QwAf õë¢9Aôà† _oôAààë9†o ë^_w9 A9o U†ëí _¢ AíA9Aëà õ_oAq

9A_í ^â ë oUëàà fAo9ëíô†; óí9†8¢ë9A_í _m ïN;åXa Ao ¢†àë9AB†àâ †ëoâ; k†9

\ï\iI ciI Ma F \i i \fï\iI ciI MaI ëífcï\iI ciI Ma F ci i \fï\iI ciI Ma ïN;åña

9v†í \f r \I cf r c Aí 8†í†¢ëà; Égwë9A_í ïN;åXa ôëí ^† ëõõ¢_JAUë9†f ^â

n\f ncf F }ï\iI ciI MaI F àï\iI ciI Ma ïN;åba

nM nM

P¢_U ïN;NXa ëíf ïN;Nña2 Ć 8†9 ^â Aí9†8¢ë9A_í2

\f F L[y

−TωN

u

1 i u

ñ[N

Lρ

ú ô_ov [ïci i |a ô_ov [|ú

T[\i−TωM

F −L[y

ωN 1 i

ñ[N

Lρ ô_ov [ïci i |a ô_ov [|

oAíï[\i − ωMa ïN;åùa

u ú ïN;åja

c f F L[y

ωN 1 i u

ñ[N

Lρ ú

oAív [ïci i |a ô_ov [|

T[\i−TωM

F L[y

ωN 1 i

ñ[N

Lρ oAív [ïci i |a ô_ov [|

ô_oï[\i − ωMa ïN;å3a

ïN;XEa

k†99Aí8 u ú ó L[yF 1 i

ñ[N ô_ov [ïci i |a ïN;X1a

ωN ô_ov [| Lρhe oAív [ïci i |a

Ć 8†9 \fN fNci F 1 ïN;XNa

óN hN

èv† õë¢9Aôà† 9¢ë}†ô9_¢â ë9 ëíâ f†õ9v Ao ëí †ààAõo†; =_9v v_¢AV_í9ëà ïUë}_¢a ëíf B†¢9Aôëà

ïUAí_¢a ëJ†o _m 9v† †ààAõo† f†ô¢†ëo† U_í_9_íAôëààâ Aí f†õ9v; èv† UAí_¢ ëJAo fAUAíAov†o

9_ V†¢_ ë9 9v† o†ë^†f2 v†íô† 9v† †ààAõo† ô_ààëõo†o 9_ ë v_¢AV_í9ëà àAí† o†8U†í9; óí f††õ

Äë9†¢2 9v† Uë}_¢ ëíf UAí_¢ ëJ†o 뢆 †gwëà u ú L[y ñ[N

[ci Ió F h F 1 i ïN;Xåa ωN Lρ

9v†¢†m_¢† 9v† _¢^A9o 뢆 ôA¢ôà†o ÄA9v 9v† ¢ëfAwo fAUAíAovAí8 †Jõ_í†í9Aëààâ ÄA9v f†õ9v;

3

sào_ Ć ôëí ¢†Ä¢A9† 9v† 9¢ë}†ô9_¢â ëo u ú L[y ñ[N ô_ov [ïci i |a

\f F ωN

1 i oAíïωM− [\ia ïN;XXa Lρ ô_ov [| u ú

f L[y ñ[N oAív [ïci i |a π c F 1 i oAíïωM− [\i − a ïN;Xña

ωN Lρ ô_ov [| N

dv†í ωM − [\i F E2 \f F E ëíf cf F h; s gwë¢9†¢ õ†¢A_f àë9†¢2 ωM − [i F πÄN2 \f F ó

ëíf cf F E; Y†íô† ëo 9AU† õëoo†o2 9v† õë¢9Aôà† 9¢ëô†o 9v† †ààAõ9Aôëà _¢^A9 Aí 9v† ôà_ôIÄAo†

fA¢†ô9A_í;

N;ñ É톢8â ëíf É톢8â 9¢ëíoõ_¢9

=†í†ë9v ë wíA9 à†í89v _m 9v† m¢†† ow¢mëô†2 9v† 9AU†qëB†¢ë8†f IAí†9Aô †í†¢8â f†íoA9â Ao U E é nρ° ç[ F nc }N i àN ïN;Xba N −|

Äv†¢†ëo 9v† Aío9ëí9ëí†_wo õ_9†í9Aëà †í†¢8â f†íoA9â Ao ï2 t1 ïnu− n\a 1 1

çû F ρLζN i ñ F ρLζN i ñ 1 i ζ\ N − 1 F ρLζN i ñζ\ N ïN;Xùa

N n\ N N

Y†íô† 9v† 9AU†qëB†¢ë8† Ao

° 1 ñ ζ\ Nçû F ρLζN i ïN;Xja

N N

k†9 wo ¢†Ä¢A9† ïN;NXa ëíf ïN;Nña Aí ïN;Xjar

}

à

F

F

|

ä L[y

ω

u

1 i ñ[N

Lρ

ú ô_ov [ïc i |a ô_ov [|

T[\

j −TωM

|

ä −TL[y

ω

u

1 i ñ[N

Lρ

ú oAív [ïc i |a ô_ov [|

T[\

j −TωM

ïN;X3a

ïN;ñEa

èv†í

° ç[ F ρ X

u L[y

ω

úN u

1 i ñ[N

Lρ

úN 1

ô_ovN [|

U E

−| nc : ô_ovN [ïc i |a i oAívN [ïc i |a

Z

F ρ X

u L[y

ω

úN u

1 i ñ[N

Lρ

úN oAív N[|

N[ ô_ovN [| F ρ X

u L[y

ω

úN u

1 i ñ[N

Lρ

úN oAív [| [ ô_ov [|

F ρLyN

X

u

1 i ñ[N

Lρ

úN L[ 9ëív [|

ωN F ρLyN

X

u

1 i ñ[N

Lρ

ú

ïN;ñ1a

1E

ëm9†¢ woAí8 9v† fAoõ†¢oA_í ¢†àë9A_í; >í 9v† _9v†¢ vëíf2 u ú

° çû F ρLyN

X 1 i

ñ[N

ρL ïN;ñNa

Y†íô† 9v† 9_9ëà †í†¢8â f†íoA9â Ao u ú u ú u ú ρLyN ñ[N ρLyN [N ρLyN λN

° ° ° b ç F ç[ i çû F 1 i F 1 i F 1 i ïN;ñåa N ρL N [N N λN

b

t_9† 9vë9 9v† 9_9ëà †í†¢8â Ao †gwëààâ fABAf†f ^†9Ɔí IAí†9Aô ëíf õ_9†í9Aëà †í†¢8A†o< 9vAo

Ao ôëàà†f 9v† †gwAõë¢9A9A_í _m †í†¢8â;

d† à†ëB† A9 ëo ëí †J†¢ôAo† 9_ ov_Ä 9vë9 9v† õ_Ć¢ QwJ ï¢ë9† _m †í†¢8â QwJa ëô¢_oo ë

o9ë9A_í \ Ao

° U E U Enç ° F û} nc − ñζ\ζM F −ρ ΦMΦ\ nc − ñ ζ\ζM F çùL ïN;ñXa nM −| −|

b

Äv†¢† ùL Ao 9v† oõ††f _m †í†¢8â 9¢ëíoõ_¢9 2 _¢ 9v† 8¢_wõ B†à_ôA9â

[N

i å[N λN b

λN

i å nω ùe N[|i F

ùe N[|

i 1 oAív N[| ùL F F i ïN;ñña

[N

[N b λN n[ N oAív N[|e Ni 1

b

i å Nλb

b

λN

P_¢ õw¢† 8¢ëBA9â ÄëB†o2 [Ä[b r 1 o_ 9vë9

b

b

u ú ù N[|

ùL F 1 i ïN;ñba N oAív N[|

Äv†¢† 9v† õvëo† B†à_ôA9â Ao R L

ù F 9ëív [| ïN;ñùa [

óí B†¢â f††õ Äë9†¢ [| E 12 Ć vëB† R ù 1 L

ùL F F ïN;ñja N N [

èv† ov_¢9†¢ 9v† ÄëB†o 9v† oUëàà†¢ 9v† õvëo† ëíf 8¢_wõ B†à_ôA9A†o; óí ovëàà_Ä Äë9†¢

[| r 12 2 ùL F ù F L| ïN;ñ3a

k_í8 ÄëB†o 뢆 9v† mëo9†o9 ëíf í_ à_í8†¢ fAoõ†¢oAB†;

P_¢ ôëõAààë¢âq8¢ëBA9â ÄëB†o ÄA9v [| E 12 Ć vëB†

[N

[N

[N

λN

λN Ri å ùe ùe Nπ ρLe

ùL F F I [b F ïN;bEa N i 1 N λN

i 1 λb ñ [N

11

Äv†¢† 7 L ñ[å

ù F i ïN;b1a [ ρ

t_9† 9vë9 ùL F ù Äv†í [ F [b2 ëíf

â âùL Å ùI Am [ Å [b ïN;bNa

óí 9v† àAUA9 _m õw¢† ôëõAààë¢â ÄëB†o _m [ E [b2 ùL F åùÄN; P_¢ õw¢† 8¢ëBA9â ÄëB†o

ùL F ùÄN ëo Aí ïN;ñja;

å dëB† ¢†oAo9ëíô† _m ë 9Ä_qfAU†íoA_íëà _^o9ëôà†

á†mr k†ô9w¢† í_9†o _í Tw¢mëô† dëB† Yâf¢_fâíëUAôo èv†_f_¢† è;l; dZ2 zëàAm; óío9;è†ôv;

so ëí ëõõàAôë9A_í _m 9v† Aím_¢Uë9A_í 8ë9v†¢†f o_ më¢2 à†9 wo †JëUAí† 9v† ÄëB† ¢†oAoq

9ëíô† _í ë 9Ä_ fAU†íoA_íëà ^_fâ o9†ëfAàâ ëfBëíôAí8 õë¢ëàà†à 9_ 9v† m¢†† ow¢mëô†; k†9 9v†

^_fâ oõ††f ^† g m¢_U ¢A8v9 9_ à†m9 ëíf 9v† o†ë f†õ9v ^† ô_ío9ëí9;

Gw† 9_ 9Ä_qfAU†íoA_íëàA9â2 ÄëB†o 8†í†¢ë9†f Uwo9 vëB† ô¢†o9o õë¢ëàà†à 9_ 9v† ëJAo _m

9v† ^_fâ ïê ëJAoa; sm9†¢ 9v† o9†ëfâ o9ë9† Ao ¢†ëôv†f2 ÄëB†o 9vë9 I††õ wõ ÄA9v 9v† ovAõ

Uwo9 vëB† 9v† õvëo† B†à_ôA9â †gwëà 9_ 9v† ^_fâ oõ††f; óí 9v† ô__¢fAíë9† oâo9†U ÜJ†f

_í 9v† ^_fâ2 9v† ÄëB†o 뢆 o9ë9A_íë¢â; z_íoAf†¢ Ü¢o9 ôëõAààë¢â q8¢ëBA9â ÄëB†o Aí f††õ

Äë9†¢ λ∗ F λÄλb F Rï1a ëíf [| E 1; Égwë9Aí8 g F ù Ć 8†9 m¢_U 9v† í_¢UëàAV†f

fAoõ†¢oA_í ¢†àë9A_í ï t1 1N F ùN g F λ∗ i ïå;1a∗ ∗ N λ∗

Äv†¢† g∗ ≡ gÄùb; Y†íô†

λN ∗ − NùN

∗λ∗ i 1 F E F ïλ∗ − λ∗Çaïλ∗ − λ∗Na

ÄvAôv ôëí ^† o_àB†f 9_ 8AB† λ∗Ç é

F ùN ùX ∗ % ∗ − 1

nÇÄN ïå;Na

λ∗N

ëíf 1

λ∗Ç F ïå;åaλ∗N

1N

èvwo2 ëo à_í8 ëo ù∗ F g∗ â 1 9Ä_ ÄëB† 9¢ëAío 뢆 õ¢†o†í9r 9v† à_í8†¢ 8¢ëBA9â ÄëB†

ÄA9v à†í89v λ∗Ç2 ëíf 9v† ov_¢9†¢ ôëõAààë¢â ÄëB† ÄA9v à†í89v λ∗N; TAíô† ùLÇ Å ù F g ëíf

ùLN â ù F g 2 ëíf †í†¢8â Uwo9 ^† o†í9 m¢_U 9v† ^_fâ2 9v† à_í8†¢ 8¢ëBA9â ÄëB†o Uwo9

m_àà_Ä2 ÄvAà† 9v† ov_¢9†¢ ôëõAààë¢â ÄëB†o o9ëâ ëv†ëf _m2 9v† ^_fâ;

=ëàëíôAí8 9v† õ_Ć¢ owõõàâ ^â 9v† ^_fâ ëíf 9v† õ_Ć¢ QwJ Aí ^_9v ÄëB† 9¢ëAío2 Ć

8†9

° ° éù F ïù− ùLÇaçÇ i ïùLN − ùaçN ïå;Xa

á†ôëààAí8 9vë9 ùL 1 λN

∗ i å F

ù N λ∗ N i 1

Ć Üíf2 u ú ùL 1 N 1 1Äλ∗ 1 1Äλ∗

1 − F 1 − 1 i F − F − ù N λN ∗ i 1 N λ∗ i 1Äλ∗ N NùN

P_¢ 9v† à_í8†¢ ÄëB† Ć ¢†õàëô† ùLÄù ^â ùL∗ÇÄù∗ ëíf λ∗ ^â λ∗Ç Aí 9v† õ¢†ô†fAí8

†gwë9A_í2 ëíf wo† ïå;Na2 âA†àfAí8

éùL∗Ç nÇÄN

1 − ù∗

F 1 − ù∗−X ïå;ña

TAUAàë¢àâ Ć ôëí ov_Ä 9vë9

éùL∗N nÇÄN ùL∗Ç− 1 F 1 − ù−X F 1 − ïå;ba

ù∗ ∗ ù∗

TAíô† u ú u ú

° ρLyÇN 1 ρLyN 1 1

çÇ F 1 i F Ç λ∗Ç i F ρLyNÇλ∗Nù∗NI ïå;ùa

N λ∗ÇN N λ∗Ç λ∗Ç

Ć 8†9 Üíëààâ

é n é n N N N N X ÇÄNé F

1 N ρL λ∗NyÇ i λ∗ÇyN ïù

X ∗ − 1aÇÄN F

1 N ρL λ∗NyÇ i λ∗ÇyN ïg∗ − 1a ïå;ja

t_9† 9vë9 Äv†í g∗ F 12 9v† 9Ä_ ÄëB†o ^†ô_U† 9v† oëU†< í_ õ_Ć¢ Aíõw9 m¢_U 9v† ^_fâ

Ao 톆f†f 9_ UëAí9ëAí 9v† oAí8à† AíÜíA9† 9¢ëAí _m ÄëB†o< 9v† ÄëB† ¢†oAo9ëíô† BëíAov†o;

dv†í g∗ Å 12 í_ ÄëB†o 뢆 8†í†¢ë9†f< 9v† fAo9w¢^ëíô† Ao õw¢†àâ à_ôëà ëíf 9v†¢† Ao

ëào_ í_ ÄëB† ¢†oAo9ëíô†; è_ 8†9 9v† Uë8íA9wf† _m é _í† Uwo9 o_àB† 9v† ^_wífë¢â Bëàw†

õ¢_^à†U m_¢ 9v† ÄëB† ëUõàA9wf†o yÇI yN ÄvAôv 뢆 ëff†ô9†f ^â 9v† oAV† àë9AB† 9_ 9v†

ÄëB†à†í89voa2 ovëõ† ëíf f†õ9v _m ow^U†¢8†íô†;

1å

0

0.25

0.5

0.75

1R

U =U/cm

ρgA /42

λ/h=

1 3

∞

/h=0 λ 2

0 0.25 0.5 0.75 1 *

PA8w¢† år G†õ†íf†íô† _m ÄëB† ¢†oAo9ëíô† _í oõ††f m_¢ õw¢† 8¢ëBA9â ÄëB†o

dv†í 9v† oõ††f Ao owffiôA†í9àâ vA8v2 õw¢† 8¢ëBA9â ÄëB†o 뢆 8†í†¢ë9†f ^†vAíf 9v†

^_fâ; |_Ć¢ ^ëàëíô† 9v†í ¢†gwA¢†o 9vë9 u úï tùL ρLyN 1 [|° é F 1 − ç F − ïå;3a g N N oAív N[|

èv† ÄëB†à†í89v 8†í†¢ë9†f ^â 9v† U_BAí8 ^_fâ Ao 8AB†í AUõàAôA9àâ ^â u úÇÄN g 9ëív [|√ F ïå;1Ea L| [|

√ √ dv†í g ≈ L| 9v† ÄëB†o 8†í†¢ë9†f 뢆 B†¢â à_í82 [| r 12 ùL → ù F L|2 ëíf 9v†

√ ÄëB† ¢†oAo9ëíô† f¢_õo 9_ V†¢_; dv†í g r L|2 9v† ÄëB†o 뢆 B†¢â ov_¢92 [| E 12

ρLyN

é ≈ ïå;11a X

P_¢ Aí9†¢U†fAë9† oõ††fo 9v† f†õ†íf†íô† _m ÄëB† ¢†oAo9ëíô† _í oõ††f Ao õà_99†f Aí Ü8w¢†

ïåa;

X t뢢_Äq^ëíf†f fAoõ†¢oAB† ÄëB†o Aí 8†í†¢ëà

óí 9vAo o†ô9A_í à†9 wo fAoôwoo 9v† owõ†¢õ_oA9A_í _m õ¢_8¢†ooAB† oAíwo_Afëà ÄëB†o ÄA9v 9v†

ëUõàA9wf†o oõ¢†ëf _B†¢ ë í뢢_Ä oõ†ô9¢wU _m ÄëB† íwU^†¢o U ∞ U ∞ T[\−TωMn[ζï\I Ma F Lwï[aL ô_oï[\− ωM− θyan[ F | wï[a ïX;1a

E E

1X

Äv†¢†wï[a Ao ô_Uõà†J f†í_9†o 9v† fAU†íoA_íà†oo ëUõàA9wf† oõ†ô9¢wU _m fAU†íoA_í

ïà†í89vaN; èv† ô_Uõ_í†í9 ÄëB†o 뢆 fAoõ†¢oAB† ÄA9v ë 8†í†¢ëà í_íàAí†ë¢ ¢†àë9A_í ωï[a;

k†9 wï[a ^† fAff†¢†í9 m¢_U V†¢_ _íàâ ÄA9vAí ë í뢢_Ä ^ëíf _m ÄëB† íwU^†¢o ô†í9†¢†f ë9

[i; èvwo 9v† Aí9†8¢ëíf Ao _m oA8íAÜôëíô† _íàâ Aí ë oUëàà í†A8v^_¢v__f _m [i; d† 9v†í

ëõõ¢_JAUë9† 9v† Aí9†8¢ëà ^â †JõëífAí8 m_¢ oUëàà ∆[ F [ − [i ëíf f†í_9† ωi F ωï[ia2

ωi f F ωfï[ia2 ëíf ωi

ff F ωffï[ia2 c U ∞ â T[i\−TωiMζ F | wï[a T∆[\−Tïω−ωiaMn[

E c U ∞ ∙ ï t zâ1T[i\−TωiM ωf ωff NF | n[wï[a †Jõ T∆[\ − T i∆[ i i ï∆[a M i k k k

E NH -T[i\−TωiMF | yï\I Ma ïX;Na

Äv†¢† U ∞ ∙ ï t z

ωff N yï\I Ma F n[wï[a †Jõ T∆[\ − T ωf ∆[ i 1

ï∆[a M i k k k ïX;åa E

i N i

sà9v_w8v 9v† Aí9†8¢ë9A_í Ao m_¢Uëààâ †J9†ífo m¢_U E 9_ ∞2 9v† †ff†ô9AB† ¢ëí8† Ao _íàâ

m¢_U [i − ï∆[ab 9_ [i i ï∆[ab2 A2;†;2 9v† 9_9ëà ¢ëí8† Ao Rïï∆[aba2 Äv†¢† ï∆[ab Ao 9v†

^ëífÄAf9v; èvwo 9v† 9_9ëà ÄëB† Ao ëàU_o9 ë oAíwo_Afëà ÄëB†9¢ëAí ÄA9v m¢†gw†íôâ ωi ëíf

ÄëB† íwU^†¢ [i2 ëíf ëUõàA9wf† yï\I Ma Äv_o† à_ôëà Bëàw† Ao oà_Äàâ Bë¢âAí8 Aí oõëô† ëíf

9AU†; yï\I Ma Ao ëào_ ôëàà†f 9v† †íB†à_õ†; Y_Ä oà_Ä Ao A9o Bë¢Aë9A_íO

óm Ć A8í_¢† 9†¢Uo _m ï∆[aN Aí 9v† Aí9†8¢ëíf2 ïX;åa ¢†fwô†o 9_ U ∞ yï\I Ma F n[wï[a †Jõ [T∆[ï\ − ωi

f Mae ïX;Xa E

zà†ë¢àâ y F yï\ − ωif Ma; èvwo 9v† †íB†à_õ† A9o†àm Ao ë ÄëB† 9¢ëB†àAí8 ë9 9v† oõ††f ωi

f ;

èvAo oõ††f Ao ôëàà†f 9v† 8¢_wõ B†à_ôA9â2 ÉÉnω ÉùLï[ia F É ïX;ñan[ É

[i

t_9† 9vë9 9v† ôvë¢ëô9†¢Ao9Aô à†í89v ëíf 9AU† oôëà†o 뢆 ï∆[ba−Ç ëíf ïωi

f ∆[ba−Ç ¢†oõ†ôq

9AB†àâ2 9v†¢†m_¢† Uwôv à_í8†¢ 9vëí 9v_o† _m 9v† ô_Uõ_í†í9 ÄëB†o r [i −Ç ëíf ωi

−Ç; óí _9v†¢

Ä_¢fo2 ïX;åa Ao ëf†gwë9† m_¢ 9v† oà_Ä Bë¢Aë9A_í _m y Aí 9v† oõë9Aëà ¢ëí8† _m ∆[b \ F Rï1a

ëíf 9v† 9AU† ¢ëí8† _m ωif ∆[b M F Rï1a;

so ë oõ†ôAÜô †JëUõà† Ä† à†9 9v† ëUõàA9wf† oõ†ô9¢wU ^† ë ¢†ëà ô_ío9ëí9 ÄA9vAí 9v†

í뢢_Ä ^ëíf _m [i − κI [i i κ2 U [iiκ ζ F w T[\−Tωï[aMn[I κ r [i ïX;ba

[i−κ

1ñ

A

gx-c t π/κ

PA8w¢† Xr ÉíB†à_õ† _m ÄëB†o ÄA9v ë ¢†ô9ëí8wàë¢ ^ëíf _m ÄëB†íwU^†¢o

9v†í U κ T[i\−TωiMζ F [iw nξ T[iξï\−ùL Ma i k k k

−κ

Nw oAí κï\ − ùLMa T[i\−TωiMF T[i\−TωiM F y ïX;ùa\ − ùLM

Äv†¢† ξ F [ − [iÄ[i ëíf Nw oAí κï\ − ùLMa

y F ïX;jaï\ − ùLMa

ëo õà_99†f Aí Ü8w¢† ïXa;

=â fAff†¢†í9Aë9A_í2 A9 ôëí ^† B†¢A܆f 9vë9

∂y ∂yi ùL F EI ïX;3a

∂M ∂\

4wà9AõàâAí8 ïX;3a ^â y ∗2 ∗ ∂y ∗ ∂y

y i ùLy F EI ∂M ∂\

ëíf ëffAí8 9v† ¢†owà9 9_ A9o ô_Uõà†J ô_í}w8ë9†2

∂y ∗ ∂y ∗

y i ùLy F EI ∂M ∂\

Ć 8†9 ∂LyLN ∂LyLN

i ùL F E ïX;1Ea ∂M ∂\

1b

d† vëB† o††í 9vë9 m_¢ ë U_í_ôv¢_Uë9Aô ÄëB† 9¢ëAí 9v† †í†¢8â f†íoA9â Ao õ¢_õ_¢9A_íëà

9_ LyLN; èvwo 9v† 9AU† ¢ë9† _m ôvëí8† _m 9v† à_ôëà †í†¢8â f†íoA9â Ao ^ëàëíô†f ^â 9v† í†9

QwJ _m †í†¢8â ^â 9v† 8¢_wõ B†à_ôA9â;

t_Ä à†9 wo †JëUAí† 9v† U_¢† ëôôw¢ë9† ëõõ¢_JAUë9A_í ïX;åa; =â o9¢ëA8v9m_¢Äë¢f

fAff†¢†í9Aë9A_í2 Ć Üíf

∂y

∂M F

U ∞

E

{−Tωfï[ia∆[ −

Tωffï[ia N

ï∆[a N

¢

wï[a T`n[ ∂y

∂\ F

U ∞

E ïT∆[awï[a T`n[

∂Ny

∂\N F

U ∞

E

é −ï∆[a N

n wï[a T`n[

Äv†¢†

` F ∆[ \ − ωf i∆[ M − 1 N ωff i ï∆[a N M ïX;11a

Ao 9v† õvëo† mwíô9A_í; ó9 ôëí ^† †ëoAàâ B†¢A܆f 9vë9

∂y

∂M i ωf i

∂y

∂\ F

Tωff i N ∂Ny

∂\N ïX;1Na

=â I††õAí8 9v† gwëf¢ë9Aô 9†¢U Aí 9v† †JõëíoA_í2 ïX;1Na Ao í_Ä BëàAf m_¢ ë àë¢8†¢ oõë9Aëà

¢ëí8† _m ï∆[aN\ F Rï1a; óí 9v† ô__¢fAíë9† oâo9†U U_BAí8 ë9 9v† 8¢_wõ B†à_ôA9â2 ξ F

\ − ùLMI τ F M2 Ć †ëoAàâ Üíf

∂yïξI τa ∂y ∂y ∂yïξI τ a ∂yF − ùL I F

∂M ∂τ ∂ξ ∂\ ∂\

o_ 9vë9 ïX;1Na oAUõàA܆o 9_ 9v† Tôv¢x_fAí8†¢ †gwë9A_ír

Tωff∂y i ∂Ny

F ïX;1åa ∂τ N ∂ξN

=â UëíAõwàë9A_ío oAUAàë¢ 9_ 9v_o† à†ëfAí8 9_ ïX;1Ea2 Ć 8†9 u ú Tωff ∗∂LyLN

i ∂ ∗ ∂y ∂yF y − y ïX;1Xa

∂τ N ∂ξ ∂ξ ∂ξ

èvwo 9v† à_ôëà †í†¢8â f†íoA9â Ao í_9 ô_ío†¢B†f _B†¢ ë à_í8 fAo9ëíô† _m õ¢_õë8ë9A_í;

YA8v†¢ _¢f†¢ †ff†ô9o _m fAoõ†¢oA_í ¢†fAo9¢A^w9† †í†¢8â 9_ _9v†¢ õë¢9o _m 9v† †íB†à_õ†;

P_¢ †A9v†¢ ë ÄëB† õëôI†9 Äv_o† †íB†à_õ† vëo ë ÜíA9† à†í89v ï yï%∞a F Ea2 _¢ m_¢ ë

õ†¢A_fAôëààâ U_fwàë9†f †íB†à_õ† ïyï\a F yï\ i raa2 Ć ôëí Aí9†8¢ë9† ïX;1Xa 9_ 8AB† U∂ LyLN nξ F E ïX;1ña ∂τ

Äv†¢† 9v† Aí9†8¢ë9A_í †J9†ífo _B†¢ 9v† †í9A¢† ÄëB† õëôI†9 _¢ 9v† 8¢_wõ õ†¢A_f; èvwo

9v† 9_9ëà †í†¢8â Aí 9v† †í9A¢† ÄëB† õëôI†9 _¢ Aí ë 8¢_wõ õ†¢A_f Ao ô_ío†¢B†f;

1ù

ñ áëfAë9A_í _m ow¢mëô† ÄëB†o m_¢ô†f ^â ëí _oôAààë9Aí8

õ¢†oow¢†

d† f†U_ío9¢ë9† 9v† ¢†ëo_íAí8 ÄvAôv Ao 9âõAôëà Aí Uëíâ oAUAàë¢ ¢ëfAë9A_í õ¢_^à†Uo;

èv† 8_B†¢íAí8 †gwë9A_ío 뢆

∇Nφ F φ\\ i φêê F EI −∞ Å c Å EP ïñ;1a

ÄA9v 9v† IAí†Uë9Aô ^_wífë¢â ô_ífA9A_í

φc F ζMI c F E ïñ;Na

ëíf 9v† fâíëUAô ^_wífë¢â ô_ífA9A_í

ûó i φM i Lζ F E ïñ;åa

ρ

Äv†¢† ûó Ao 9v† õ¢†oô¢A^†f ëA¢ õ¢†oow¢†; ÉàAUAíë9Aí8 9v† m¢†† ow¢mëô† fAoõàëô†U†í9 Ć

8†9 ïûóaM

φMM i Lφc F − I c F EPe ïñ;Xaρ

k†9 wo ô_íoAf†¢ _íàâ oAíwo_Afëà 9AU† f†õ†íf†íô†r

ûó F Ü ï\a −TωM ïñ;ña

ëíf ëoowU†

φï\I cI Ma F Φï\I ca −TωMI ζï\I Ma F ηï\a −TωM ïñ;ba

9v†í 9v† 8_B†¢íAí8 †gwë9A_ío ^†ô_U†

∇NΦ F Φ\\ i Φêê F EI −∞ Å c Å EP ïñ;ùa

Φc F −TωηI c F E ïñ;ja

ëíf ωN Tω

Φc − Φ F Ü ï\aI c F EPe ïñ;3aLe ρL

G†Üí† 9v† P_w¢A†¢ 9¢ëíom_¢U ëíf A9o AíB†¢o† ^â U ∞ U ∞ ° tïαa F n\ tï\aI tï\a F

1 nα t°ïαaIe ïñ;1Ea

−∞ Nπ −∞

1j

d† 9v†í 8†9 9v† 9¢ëíom_¢Uo _m ïñ;1a ëíf ïñ;Xa

° − αN ° Φcc Φ F EI c Å E ïñ;11a

ow^}†ô9 9_ ωN Tω° ° °Φc − Φ F Ü I c F EPe ïñ;1Na L ρL

èv† o_àw9A_í ÜíA9† ë9 c ∼ −∞ m_¢ ëàà α Ao

° LαLcΦ F y

è_ oë9Aomâ 9v† m¢†† ow¢mëô† ô_ífA9A_í

ωN TωÜ°LαLy − y F L ρL

v†íô† TωÜ°

y F ρL

LαL − ωNÄL _¢

U ∞ TωÜ°1 Tα\ LαLc ρLΦ F nα Nπ −∞ LαL − ωNÄL U ∞ U ∞Tω 1 1Tα\ LαLc −Tα\f F nα n\f Ü ï\f a I ρLeNπ −∞ −∞ LαL − ωNÄLU ∞ U ∞Tω 1 1Tαï\−\fa LαLcF n\f Ü ï\f a nα ïñ;1åa ρL −∞ Nπ −∞ LαL − ωNÄL

k†9 ωN

[ F ïñ;1Xa L

Ć ôëí ¢†Ä¢A9† ïñ;1åa ëo U ∞ U ∞Tω 1 αc ô_oïαï\ − \faa Φ F n\f Ü ï\f a nα ïñ;1ña

ρL −∞ π E α − [

èv† Üíëà m_¢Uëà o_àw9A_í Ao U ∞ U ∞Tω 1 ô_oïαï\ − \faa−TωMe αcφ F n\f Ü ï\f a nα ïñ;1ba ρL −∞ π E α − [

óm Ć ôv_o†

Ü ï\fa F Üiδï\f a ïñ;1ùa

13

9v†í U ∞TωÜi 1 αc ô_oïα\a Φ → êï\I ca F nα ïñ;1jaρL π E α − [

Ao ôà†ë¢àâ 9v† ¢†oõ_ío† 9_ ë ô_íô†í9¢ë9†f ow¢mëô† õ¢†oow¢† ëíf 9v† ¢†oõ_ío† 9_ ë õ¢†oow¢†

fAo9¢A^w9A_í ïñ;1ba ôëí ^† Ä¢A99†í ëo ë owõ†¢õ_oA9A_í _m ô_íô†í9¢ë9†f à_ëfo _B†¢ 9v† m¢††

ow¢mëô†2 U ∞ φ F n\f Ü ï\f aíï\ − \fI caP ïñ;13a

−∞

Äv†¢†

íï\I cI Ma F TωÜi

ρL −TωM 1

π

U ∞

E nα αc

ô_oïα\a α − [

ïñ;NEa

óí 9v†o† ¢†owà9o2 †;8;2 ïñ;NEa2 9v† P_w¢A†¢ Aí9†8¢ëà Ao o_ më¢ wíf†Üí†f oAíô† 9v† Aí9†8¢ëíf

vëo ë ¢†ëà õ_à† ë9 α F [ ÄvAôv Ao _í 9v† õë9v _m Aí9†8¢ë9A_í; è_ UëI† A9 Uë9v†Uë9Aôëààâ

f†Üí†f Ć ôëí ôv_o† 9v† õ¢AíôAõëà Bëàw†2 f†m_¢U 9v† ô_í9_w¢ m¢_U ^†à_Ä _¢ m¢_U ë^_B†

9v† õ_à† ëo ov_Äí Aí Ü8w¢† ïña; èvAo Aíf†ÜíA9†í†oo Ao fw† 9_ 9v† ëoowUõ9A_í _m gwëoA

PA8w¢† ñr |_ooA^à† õë9vo _m Aí9†8¢ë9A_í

o9†ëfâ o9ë9† Äv†¢† 9v† AíQw†íô† _m 9v† AíA9Aëà ô_ífA9A_í Ao í_ à_í8†¢ 9¢ëô†ë^à†; d† Uwo9

í_Ä AUõ_o† 9v† ¢ëfAë9A_í ô_ífA9A_í 9vë9 ÄëB†o Uwo9 ^† _w98_Aí8 ëo \ → ∞; èvAo

ô_ífA9A_í ôëí _íàâ ^† oë9Ao܆f Am Ć f†m_¢U 9v† ô_í9_w¢ m¢_U ^†à_Ä; G†í_9Aí8 9vAo

ô_í9_w¢ ^â Γ2 Ć í_Ä UëíAõwàë9† 9v† Aí9†8¢ëà 9_ †JvA^A9 9v† ^†vëBA_¢ ë9 AíÜíA9â2 ëíf 9_

B†¢Amâ 9v† ôv_Aô† _m õë9v; P_¢ oAUõàAôA9â Ć m_ôwo ë99†í9A_í _í ê; Gw† 9_ oâUU†9¢â2 A9 owffiô†o 9_ ô_íoAf†¢ \ â E; á†Ä¢A9Aí82

TωÜi 1 íï\I cI Ma F −TωM ïôÇ i ôNa

ρL Nπ { ¢ Tα\ −Tα\TωÜi 1 U

−TωM αcF nα i ïñ;N1a ρL Nπ Γ α − [ α − [

z_íoAf†¢ 9v† Ü¢o9 Aí9†8¢ëà Aí ïñ;N1a; óí _¢f†¢ 9vë9 9v† Ü¢o9 Aí9†8¢ëà ô_íB†¢8†o m_¢

àë¢8† LαL2 Ć ôà_o† 9v† ô_í9_w¢ ^â ë àë¢8† ôA¢ôwàë¢ ë¢ô Aí 9v† wõõ†¢ vëàm õàëí†2 ëo ov_Äí

Aí Ü8w¢† ïba2 Äv†¢† Qα â E ëà_í8 9v† ë¢ô; èv† 9†¢U

Tα\ F T|α\ −Qα\

NE

PA8w¢† br zà_o†f ô_í9_w¢ Aí 9v† wõõ†¢ vëàm õàëí†

PA8w¢† ùr zà_o†f ô_í9_w¢ Aí 9v† à_Ć¢ vëàm õàëí†

Ao †Jõ_í†í9Aëààâ oUëàà m_¢ õ_oA9AB† J; TAUAàë¢àâ2 m_¢ 9v† o†ô_íf Aí9†8¢ëà Ć Uwo9 ôv_o†

9v† ô_í9_w¢ ^â ë àë¢8† ôA¢ôwàë¢ ë¢ô Aí 9v† à_Ć¢ vëàm õàëí† ëo ov_Äí Aí Ü8w¢† ïùa;

=ëôI 9_ 9v† Ü¢o9 Aí9†8¢ëà Aí ïñ;N1a U Tα\ αc

ôÇ F Γ nα α − [

ïñ;NNa

èv† ô_í9_w¢ Aí9†8¢ëà Ao J Tα\ αc U Tα\ αc U Tα\ αc U E Tα\ αc

nα F nα i nα i nα α − [ Γ α − [U E

Ö α − [ Tα\ αc

T∞ α − [

F ôÇ i E i T∞

nα α − [

èv† ô_í9¢A^w9A_í ^â 9v† ôA¢ôwàë¢ ë¢ô Ö BëíAov†o ^â c_¢fëíWo à†UUë; èv† à†m9 vëíf oAf†

Ao

rf` F NπT T[\ [c ïñ;Nåa

^â zëwôvâWo ¢†oAfw† 9v†_¢†U; =â 9v† ôvëí8† _m Bë¢Aë^à† α F Tβ2 9v† ¢A8v9 vëíf oAf†

^†ô_U†o U E −β\ Tβc

éf` F ôÇ i T nβ ∞ Tβ − [

N1

Y†íô† U ∞ −β\ Tβc ôÇ F NπT

T[\ [c i T E

nβ Tβ − [

ïñ;NXa

t_Ä ô_íoAf†¢ ôN U −Tα\ αc

ôN F Γ nα

α − [ ïñ;Nña

ëíf 9v† ô_í9_w¢ Aí9†8¢ëà ëà_í8 9v† ô_í9_w¢ ôà_o†f Aí 9v† à_Ć¢ vëàm õàëí†2 J −Tα\ αc U ∞ −Tα\ αc

− nα α − [

F ôN i E i E

nα α − [

s8ëAí í_ ô_í9¢A^w9A_í ô_U†o m¢_U 9v† ôA¢ôwàë¢ ë¢ô Ö; t_Ä 9v† õ_à† Ao _w9oAf† 9v†

ô_í9_w¢ v†íô† rf` F E; k†9 α F −Tβ Aí 9v† àëo9 Aí9†8¢ëà Ć 8†9

U ∞ −β\ −Tβê

ôN F −T nβ ïñ;Nba E −Tβ − [

sffAí8 9v† ¢†owà9o ïñ;NXa ëíf ïñ;Nba;2 u úU ∞ T −β\ Tβc

ôÇ i ôN F NπT T[\ [c i

T −β\ −Tβc

nβ − E Tβ − [ −Tβ − [ U ∞ −β\

F NπT T[\ [c i N nβ ïβ ô_o βê i [ oAí βêa ïñ;Nùa βN i [NE

PAíëààâ2 9v† 9_9ëà õ_9†í9Aëà Ao ï tω 1−TωM −TωMíï\I cI Ma F − ïôÇ i ôNa ρL NπT ä jU ∞ −β\ω 1−TωM T[\ [c iF − nβ ïβ ô_o βê i [ oAí βêa ïñ;Nja

ρL π E βN i [N

èv† Ü¢o9 9†¢U 8AB†o ëí _w98_Aí8 ÄëB†o; P_¢ ë ô_íô†í9¢ë9†f à_ëf ÄA9v ëUõàA9wf†

Üi2 9v† fAoõàëô†U†í9 ëUõàA9wf† Ao ÜiÄρL; èv† Aí9†8¢ëà ë^_B† ¢†õ¢†o†í9 à_ôëà †ff†ô9o

AUõ_¢9ëí9 _íàâ í†ë¢ 9v† ëõõàA†f õ¢†oow¢†; óm 9v† ô_íô†í9¢ë9†f à_ëf Ao ë9 \ F \f2 _í†

oAUõàâ ¢†õàëô†o \ ̂ â \ − \f †B†¢âÄv†¢†;

b èv† û†àBAí õë99†¢í _m ovAõ ÄëB†

èv† ëô9A_í _m 9v† ovAõWo õ¢_õ†àà†¢

Yëo ë 9v¢wo9 õë99†¢í

è_ ÄvAôv 9v† ovAõ ¢†ëô9o ^â U_BAí8 m_¢Äë¢f2

NN

dvAôv ëào_ ¢†owà9o o†ô_ífë¢Aàâ2

óí 9v† ovAõWo ^_Ä †à†Bë9†f ÄëB†o2

síf A9o f†õ¢†oo†f 9¢ëíoB†¢o† o9†¢í ÄëB†2

dvAôv ÄëB† fAo9w¢^ëíô†o _m 9v† Äë9†¢

s¢† o†õë¢ë9† m¢_U 9v† õ¢_õ†àà†¢Wo 9v¢wo9 ÄëB†o;

ìá;=wôIUAío9†¢ Pwàà†¢2 óí9wA9A_íq 4†9ëõvâoAôëà 4_oëAô; 13ùN;

−−−−−−−−−−−−−−−

síâ_í† QâAí8 _B†¢ ë U_BAí8 ovAõ Uwo9 ^† Aí9¢A8w†f ^â 9v† ^†ëw9Amwà õë99†¢í Aí 9v†

ovAõWo ÄëI†; èv† 9v†_¢â ^†vAíf A9 Äëo Ü¢o9 ô_Uõà†9†f ^â k_¢f û†àBAí2 Äv_ AíB†í9†f

9v† U†9v_f _m o9ë9A_íë¢â õvëo† m_¢ 9v† 9ëoI; Y†¢† Ć ovëàà 8AB† ë õvâoAôëày8†_U†9¢Aôëà

f†¢ABë9A_í _m 9v† I†â ¢†owà9o ïà†ô9w¢† í_9†o ^â è; l; dw2 zëà9†ôva;

z_íoAf†¢ Ü¢o9 9Ä_ ô__¢fAíë9† oâo9†Uo; èv† Ü¢o9 ¢ F ï\I êI ca U_B†o ÄA9v ovAõ ë9 9v†

wíAm_¢U v_¢AV_í9ëà B†à_ôA9â Z; èv† o†ô_íf ¢f F ï\fI êfI ca Ao ÜJ†f _í †ë¢9v o_ 9vë9 Äë9†¢

Ao o9ë9A_íë¢â ÄvAà† 9v† ovAõ õëoo†o ^â ë9 9v† B†à_ôA9â Z; èv† 9Ä_ oâo9†Uo 뢆 ¢†àë9†f ̂â

9v† éëàAà†ëí 9¢ëíom_¢Uë9A_í2

¢f F ¢ i ZMe ïb;N3a

s 9¢ëAí _m oAUõà† vë¢U_íAô õ¢_8¢†ooAB† ÄëB†

ζ F |yy †Jõ[TïI k ¢f − ωMaeá ïb;åEa

Aí 9v† U_BAí8 ô__¢fAíë9†o ov_wàf ^† †Jõ¢†oo†f ëo

ζ F |yy †Jõ[TI k ï¢ −ZMa − TωMeá F |yy †Jõ[TI k ¢ − Tïω − IPZaMeá F |yy †Jõ[TI k ¢ − TσMeá ïb;å1a

Aí 9v† o9ë9A_íë¢â ô__¢fAíë9†o; èv†¢†m_¢† 9v† ëõõ뢆í9 m¢†gw†íôâ Aí 9v† U_BAí8 ô__¢fAq

íë9†o Ao

σ F ω − I kZ ïb;åNa

èv† àëo9 ¢†owà9 Ao †oo†í9Aëààâ 9v† mëU_wo G_õõà†¢Wo †ff†ô9; è_ ë o9ë9A_íë¢â _^o†¢B†¢2 9v†

ÄvAo9à† m¢_U ëí ëõõ¢_ëôvAí8 9¢ëAí vëo ëí Aíô¢†ëoAí8àâ vA8v õA9ôv2 ÄvAà† 9vë9 m¢_U ë

à†ëBAí8 9¢ëAí vëo ë f†ô¢†ëoAí8 õA9ôv;

Nå

PA8w¢† jr dëB†o ¢ëfAë9†f m¢_U fAo9w¢^†f QwAf õë¢ô†à

óm ë ovAõ U_B†o Aí B†¢â f††õ Äë9†¢ ë9 9v† ô_ío9ëí9 oõ††f −Z Aí o9ë9A_íë¢â Äë9†¢2

9v†í ¢†àë9AB† 9_ 9v† ovAõ2 Äë9†¢ ëõõ†ë¢o 9_ ^† Äëov†f f_Äío9¢†ëU ë9 9v† B†à_ôA9â Z;

s o9ë9A_íë¢â ÄëB† õë99†¢í Ao m_¢U†f Aí 9v† ÄëI†; >íô† fAo9w¢^†f ^â 9v† õëooAí8 ovAõ2

ë QwAf õë¢ô†à _í 9v† ovAõWo õë9v ¢ëfAë9†o ÄëB†o Aí ëàà fA¢†ô9A_ío ëíf ë9 ëàà m¢†gw†íôA†o;

dëB† _m m¢†gw†íôâ ω oõ¢†ëfo _w9 ¢ëfAëààâ ë9 9v† õvëo† oõ††f _m ù F LÄω ëôô_¢fAí8 9_

9v† fAoõ†¢oA_í ¢†àë9A_í; >íàâ 9v_o† õë¢9o _m 9v† ÄëB†o 9vë9 뢆 o9ë9A_íë¢â ¢†àë9AB† 9_ 9v†

ovAõ ÄAàà m_¢U 9v† ovAõ ÄëI†2 ëíf 9v†â Uwo9 oë9Aomâ 9v† ô_ífA9A_í

σ F EI ïb;ååa

A;†;2 ω I

ω F I k ZI _¢ ù F F k Z ïb;åXa [ [

á†m†¢¢Aí8 9_ Ü8w¢† j2 à†9 RI ï\ F Ea ¢†õ¢†o†í9o 9v† õ_Aí9 ovAõ Aí 9v† ovAõq^_wíf

ô__¢fAíë9†o; èv† ôw¢¢†í9 Ao Aí 9v† õ_oA9AB† \ fA¢†ô9A_í; síâ õ_Aí9 \Ç Ao _ôôwõA†f ^â

ë QwAf õë¢ô†à YÇ ÄvAôv Äëo fAo9w¢^†f fA¢†ô9àâ ^â 9v† õëooAí8 ovAõ ë9 9AU† MÇ F \ÇÄg

†ë¢àA†¢; èvAo fAow¢^†f õë¢ô†à ¢ëfAë9†o ÄëB†o _m ëàà m¢†gw†íôA†o ¢ëfAëààâ; èv† õvëo† _m

ÄëB† ë9 9v† m¢†gw†íôâ ω ¢†ëôv†o 9v† ôA¢ôà† _m ¢ëfAwo ùMÇ Äv†¢† ôFLÄω ^â 9v† f††õ Äë9†¢

fAoõ†¢oA_í ¢†àë9A_í; sà_í8 9v† †í9A¢† ôA¢ôà† v_ĆB†¢ _íàâ 9v† õ_Aí9 9vë9 oë9Ao܆o ïb;åXa

ôëí ô_í9¢A^w9† 9_ 9v† o9ë9A_íë¢â ÄëB† õë99†¢í2 ëo Uë¢I†f ^â Ü ; TAíô† RYÇ F \Ç F gMÇ2

YÇÜ F ùMÇ ëíf RÜ F Z9Ç k IÄI2 Äv†¢† I Ao Aí 9v†fA¢†ô9Aí _m Yå ÇÜ ; ó9 m_àà_Äo 9vë9

mRÜYÇ Ao ë ¢A8v9 9¢Aëí8à†2 ëíf Ü àA†o _í ë o†UA ôA¢ôà† ÄA9v fAëU†9†¢ RYÇ; sôô_wí9Aí8

m_¢ 9v† ¢ëfAë9†f ÄëB†o _m ëàà m¢†gw†íôA†o2 v†íô† ëàà ù2 †B†¢â õ_Aí9 _í 9v† o†UA ôA¢ôà†

ôëí ^† ë õë¢9 _m 9v† o9ë9A_íë¢â ÄëB† õvëo† m_¢U†f ^â oA8íëào †UA99†f m¢_U YÇ; t_Ä

9vAo ë¢8wU†í9 Uwo9 ^† ¢†ô9A܆f ^†ôëwo† ÄëB† †í†¢8â _íàâ 9¢ëB†ào ë9 9v† 8¢_wõ B†à_ôA9â

NX

PA8w¢† 3r d†f8† ëí8à† _m 9v† ovAõ ÄëI†

ÄvAôv Ao }wo9 vëàm _m 9v† õvëo† B†à_ôA9â Aí f††õ Äë9†¢; èv†¢†m_¢† o9ë9A_íë¢â ô¢†o9o fw†

9_ oA8íëào m¢_U YÇ ôëí _íàâ àA† _í 9v† o†UAqôA¢ôà† ÄA9v 9v† fAëU†9†¢ RÇYÇ F RYÇÄN;

èvwo ÜÇ Aío9†ëf _m Ü Ao _í† _m 9v† õ_Aí9o m_¢UAí8 ë o9ë9A_íë¢â ô¢†o9 Aí 9v† ovAõWo ÄëI†2

ëo ov_Äí Aí Ü8w¢† j;

síâ _9v†¢ QwAf õë¢ô†à YN ë9 \N Uwo9 vëB† ^††í fAo9w¢^†f ^â 9v† õëooAí8 ovAõ ë9 9AU†

MN F \NÄg †ë¢àA†¢; ó9o ¢ëfAë9†f oA8íëào ô_í9¢A^w9† 9_ 9v† o9ë9A_íë¢â ÄëB† õë99†¢í _íàâ

ëà_í8 9v† o†UA ôA¢ôà† ÄA9v fAëU†9†¢ RNYN F RYNÄN; z_U^AíAí8 9v† †ff†ô9o _m ëàà QwAf

õë¢ô†ào ëà_í8 9v† i\ ëJAo2 o9ë9A_íë¢â ÄëB† õë99†¢í Uwo9 ^† ô_íÜí†f AíoAf† 9v† Ćf8†

ÄvAôv †íB†à_õ†o ëàà 9v†o† o†UA ôA¢ôà†o; èv† vëàm ëõ†J ëí8à† βi _m 9v† Ćf8†2 ÄvAôv f†Üí†o

9v† ÄëI†2 Ao 8AB†í ^â gMÄX

oAí βi F F 1ÄåI ïb;åña ågMÄX

v†íô† βi F oAí−Ç 1Äå F 13Pñ◦2 o†† Ü8w¢† 3;

t_Ä ëíâ õ_Aí9 Ü AíoAf† 9v† Ćf8† Ao _í 9Ä_ o†UAôA¢ôà†o 9ëí8†í9 9_ 9v† ^_wífë¢â

_m 9v† Ćf8†2 A;†;2 9v†¢† 뢆 9Ä_ o†8U†í9o _m 9v† ÄëB† ô¢†o9o Aí9†¢o†ô9Aí8 ë9 Ü r _í†

õ†¢õ†ífAôwàë¢ 9_ ÜYÇ ëíf _í† 9_ ÜYN2 ëo ov_Äí Aí Ü8w¢† 3;

sí_9v†¢ Äëâ _m õAô9w¢Aí8 9vAo Ao 9_ †JëUAí† ëí Aí9†¢A_¢ ¢ëâ m¢_U 9v† ovAõ; G¢ëÄ ë

o†UA ôA¢ôà† ÄA9v 9v† fAëU†9†¢ RfY F RYÄN2 9v†í ë9 9v† 9Ä_ Aí9†¢o†ô9A_ío ÜÇ ëíf ÜN

ÄA9v 9v† ¢ëâ 뢆 9v† 9Ä_ o†8U†í9o _m 9v† o9ë9A_íë¢â ÄëB† ô¢†o9o; óí _9v†¢ Ä_¢fo2 oA8íëào

_¢A8Aíë9†f m¢_U Y ô_í9¢A^w9† 9_ 9v† o9ë9A_íë¢â ÄëB† õë99†¢í _íàâ ë9 9v† 9Ä_ õ_Aí9o ÜÇ

ëíf ÜN2 ëo ov_Äí Aí Ü8w¢† 1E; |_Aí9 Y ôëí ^† ôëàà†f 9v† õ_Aí9 _m f†õ†íf†íô† m_¢ õ_Aí9o

ÜÇ ëíf ÜN _í 9v† ô¢†o9o;

P_¢ ëíâ Aí9†¢A_¢ õ_Aí9 Ü 9v†¢† Ao ë 8¢ëõvAôëà Äëâ _m ÜífAí8 9v† 9Ä_ õ_Aí9o _m f†õ†íq

f†íô† YÇ ëíf YN; á†m†¢¢Aí8 9_ Ü8w¢† 1E2 mRfYÜÇ ëíf mRfYÜN 뢆 ^_9v ¢A8v9 9¢Aëí8à†o;

Nñ

PA8w¢† 1Er é†_U†9¢Aôëà ¢†àë9A_í 9_ Üíf |_Aí9o _m f†õ†íf†íô†

PA8w¢† 11r |_Aí9o _m f†õ†íf†íô†

G¢ëÄ RÇJÇ I YÜÇ ëíf RNJN I YÜN Äv†¢† JÇ ëíf JN àA† _í 9v† ¢ëâ AíôàAí†f ë9 9v† ëíq

8à† β; A9 Ao ôà†ë¢ 9vë9 RJÇ F RÜÇÄN ëíf RJN F RÜNÄN2 ëíf mJÇRfÜÇ ëíf mJNR

fÜN

뢆 ^_9v ¢A8v9 9¢Aëí8à†o; Y†íô† Rf àA†o _í 9Ä_ o†UA ôA¢ôà†o ÄA9v fAëU†9†¢o JÇÜÇ ëíf

JNÜN;

d† í_Ä ¢†B†¢o† 9v† õ¢_ô†oo2 ëo ov_Äí Aí Ü8w¢† 11; P_¢ ëíâ õ_Aí9 Ü _í ëí Aí9†¢A_¢

¢ëâ2 à†9 wo Uë¢I 9v† UAf õ_Aí9 J _m RÜ ëíf f¢ëÄ ë o†UA ôA¢ôà† ÄA9v fAëU†9†¢ JÜ ;

èv† o†UA ôA¢ôà† Aí9†¢o†ô9o 9v† \ ëJAo ë9 9Ä_ õ_Aí9o ` Ç ëíf ` N; d† 9v†í f¢ëÄ m¢_U Ü 9Ä_

àAí†o õë¢ëàà†à 9_ J`Ç ëíf J`N2 9v† 9Ä_ õ_Aí9o _m Aí9†¢o†ô9A_í YÇ ëí YN _í 9v† \ ëJAo

뢆 }wo9 9v† 9Ä_ õ_Aí9o _m f†õ†íf†íô†;

k†9 t ÜYÇR F t J`ÇR F θÇ ëíf t ÜYNR F t J`NR F θN; 9v†í

9ëíïθT i βa F Ü`T

J`T F

Ü`T

ÜYTÄN F N 9ëí θT T F 1I NP

v†íô†

N 9ëí θT F 9ëí θT i 9ëí β 1 − 9ëí θT 9ëí β

Nb

PA8w¢† 1Nr GAB†¢8Aí8 ëíf 9¢ëíoB†¢o† ÄëB†o Aí ë ovAõ ÄëI†

Figure by MIT OpenCourseWare.

ÄvAôv Ao ë gwëf¢ë9Aô †gwë9A_í m_¢ θT2 ÄA9v 9Ä_ o_àw9A_íor

2 1 % 1 − j 9ëíN β9ëí θÇ

F ïb;åba X 9ëí β9ëí θN

èv†â 뢆 ¢†ëà ëíf fAo9Aíô9 Am

1 − j 9ëíN β â E ïb;åùa

èv†o† 9Ä_ ëí8à†o f†Üí† 9v† à_ôëà o9ë9A_íë¢â ÄëB† ô¢†o9o ô¢_ooAí8 Ü 2 ëíf 9v†â Uwo9

^† õ†¢õ†ífAôwàë¢ 9_ ÜYÇ ëíf ÜYN; èv†¢† 뢆 í_ o_àw9A_ío Am 1 − j 9ëíN β Å E2 ÄvAôv

ô_¢¢†oõ_ífo 9_ oAí β â 1Äå _¢ β â 13Pñ◦2 A;†;2 _w9oAf† 9v† ÄëI†; s9 9v† ^_wífë¢â _m 9v† 2 ÄëI†2 β F 13I ñ◦ ëíf 9ëí β F 1Äj2 9v† 9Ä_ ëí8à†o 뢆 †gwëà

√

θÇ F θN F 9ëí−Ç N

F ññ◦P ïb;åja N

=â ô_íí†ô9Aí8 9v†o† o†8U†í9o ë9 ëàà õ_Aí9o Aí 9v† Ćf8†2 _í† Üífo 9Ä_ oâo9†Uo _m ÄëB†

ô¢†o9o2 9v† fAB†¢8Aí8 ÄëB†o ëíf 9v† 9¢ëíoB†¢o† ÄëB†o2 ëo ov_Äí Aí Ü8w¢† fABq9¢ëío;

s ^†ëw9Amwà õv_9_8¢ëõv Ao ov_Äí Aí PA8w¢† 1å

ûí_ÄAí8 9vë9 ÄëB†o 뢆 ô_íÜí†f Aí ë Ćf8†2 Ć ôëí †o9AUë9† 9v† ^†vëBA_¢ _m 9v†

ÄëB† ëUõàA9wf† ^â ^ëàëíôAí8 Aí _¢f†¢ _m Uë8íA9wf† Ä_¢I f_í† ^â 9v† ÄëB† f¢ë8 é ëíf

Nù

PA8w¢† 1år TvAõo Aí ë o9¢ëA8v9 ô_w¢o†; P¢_U T9_I†¢2 13ñù;õ; NjE;

© Interscience Publishers, Inc. All rights reserved. This content is excluded from our Creative Commons license. For more information, see https://ocw.mit.edu/help/faq-fair-use.

Nj

9v† o9†ëfâ ¢ë9† _m †í†¢8â QwJ

ég F ï ° ïb;å3a çùLa¢ ∼ ïLyLNùLa¢

v†íô† ÇÄN y ∼ ¢ ïb;XEa

èvAo †o9AUë9† Ao BëàAf 9v¢_w8v_w9 9v† Ćf8† †Jô†õ9 í†ë¢ 9v† _w9†¢ ^_wífë¢A†o2 Äv†¢†

−ÇÄå y ∼ ¢ ïb;X1a

^â ë U_¢† ¢†Üí†f ëíëàâoAo ïT9_I†¢2 13ñù2 _¢ d†vëwo†í ã këA9_í†2 13bEa;

ù =ëoAô 9v†_¢â m_¢ 9Ä_qfAU†íoA_íëà óí9†¢íëà ÄëB†o

Aí ë o9¢ë9A܆f QwAf

[á†m†¢†íô†oer

z;T; lAv2 13bñ2 GâíëUAôo _m óív_U_8†í†_wo PàwAfo2 4ëô4Aààëí;

>; 4; |vAààAõo2 13ùù2 GâíëUAôo _m 9v† Zõõ†¢ >ô†ëí2 zëU^¢Af8† Z; |¢†oo;

|; é; =ëAí†o2 133ñ2 è_õ_8¢ëõvAôëà Éff†ô9o Aí T9¢ë9A܆f Pà_Äo zëU^¢Af8† Z; |¢†oo;

4; c; kA8v9vAàà 13ùj2 dëB†o Aí PàwAfo 2 zëU^¢Af8† ZíAB†¢oA9â |¢†oo;

Gw† 9_ o†ëo_íëà ôvëí8†o _m 9†Uõ†¢ë9w¢†2 9v† f†íoA9â _m Äë9†¢ _¢ ë9U_oõv†¢† ôëí vëB†

oA8íAÜôëí9 Bë¢Aë9A_ío Aí 9v† B†¢9Aôëà fA¢†ô9A_í; òë¢Aë9A_í _m oëà9 ô_í9†í9 ôëí ëào_ à†ëf 9_

f†íoA9â o9¢ë9AÜôë9A_í; P¢†ovÄë9†¢ m¢_U ¢AB†¢o ôëí ¢†o9 _í 9_õ _m 9v† o†ë Äë9†¢; Gw† 9_

9v† oUëàà fAffwoABA9â2 9v† f†íoA9â ô_í9¢ëo9 ¢†UëAío m_¢ ë à_í8 9AU†;

z_íoAf†¢ ë ôëàU ëíf o9¢ë9A܆f QwAf ÄA9v ë o9ë9Aô f†íoA9â fAo9¢A^w9A_í ρiïca ÄvAôv

f†ô¢†ëo†o ÄA9v v†A8v9 ïca; óm ë QwAf õë¢ô†à Ao U_B†f m¢_U 9v† à†B†à c wõÄë¢f 9_ c i ζ 2 A9

Ao ow¢¢_wíf†f ^â àA8v9†¢ QwAf _m f†íoA9â ρïc i nca; èv† wõÄë¢f ^w_âëíôâ m_¢ô† õ†¢ wíA9

B_àwU† Ao nρ

Lïρïc i ζa − ρïcaa ≈ L ζ nc

ëíf Ao í†8ë9AB†; sõõàâAí8 t†Ä9_íWo àëÄ 9_ 9v† QwAf õë¢ô†à _m wíA9 B_àwU†

nNζ nρ ρ F L ζ nMN nc

N3

_¢ nNζ

i z Nζ F E ïù;1a nMN

Äv†¢† u úÇÄNL nρ

z F − ïù;Naρ nc

Ao ôëàà†f 9v† =¢wí9qòxëAoxëàxë m¢†gw†íôâ; èvAo †à†U†í9ë¢â ô_íoAf†¢ë9A_í ov_Äo 9vë9 _íô†

ë QwAf Ao fAoõàëô†f m¢_U A9o †gwAàA^¢AwU õ_oA9A_í2 8¢ëBA9â ëíf f†íoA9â 8¢ëfA†í9 õ¢_BAf†o

¢†o9_¢Aí8 m_¢ô† 9_ †íë^à† _oôAààë9A_ío; óí 8†í†¢ëà 9v†¢† Uwo9 ^† v_¢AV_í9ëà í_íwíAm_UA9A†o2

v†íô† ÄëB†o 뢆 õ_ooA^à†;

d† o9ë¢9 m¢_U 9v† †Jëô9 †gwë9A_ío m_¢ ëí AíBAoôAf ëíf Aíô_Uõ¢†ooA^à† QwAf ÄA9v

Bë¢Aë^à† f†íoA9â;

P_¢ ëí Aíô_Uõ¢†ooA^à† QwAf 9v† f†íoA9â ¢†UëAío ô_ío9ëí9 ëo 9v† QwAf U_B†o2

ρM i g k ∇ρ F E ïù;åa

Äv†¢† g F ï}Iàa Ao 9v† B†à_ôA9â B†ô9_¢ Aí 9v† B†¢9Aôëà õàëí† _m ï\I ca; z_ío†¢Bë9A_í _m

Uëoo ¢†gwA¢†o 9vë9

∇ k g F E ïù;Xa

èv† àëÄ _m U_U†í9wU ô_ío†¢Bë9A_í ¢†ëfo

ρïgM i g k ∇ga F ∇û − ρL†c ïù;ña

ëíf †c Ao 9v† wíA9 B†ô9_¢ Aí 9v† wõÄë¢f B†¢9Aôëà fA¢†ô9A_í;

ù;Ç kAí†ë¢AV†f †gwë9A_ío

z_íoAf†¢ oUëàà fAo9w¢^ëíô†o

û F û i ûfI ρ F ρïca i ρfI åo F ï}fI àf a ïù;ba

ÄA9v

ρ E ρfI û E ûf ïù;ùa

ëíf }fI UfI àf 뢆 oUëàà; kAí†ë¢AVAí8 ^â _UA99Aí8 gwëf¢ë9Aôëààâ oUëàà 9†¢Uo ëoo_ôAë9†f

ÄA9v 9v† QwAf U_9A_í2 Ć 8†9

ρf M i àf nρ F EP ïù;ja

nc

åE

}f \ i àc f F E ïù;3a

ρ}f M F −ûf \ ïù;1Ea

ρàM f F −ûc − ûc

f − Lρ − Lρf ïù;11a

óí 9v† àëo9 †gwë9A_í 9v† o9ë9Aô õë¢9 Uwo9 ^† Aí ^ëàëíô†

E F −ûc − LρI ïù;1Na

v†íô† U c ûïca F ρ°ïcancP ïù;1åa

E

èv† ¢†UëAíAí8 fâíëUAôëààâ õë¢9 Uwo9 oë9Aomâ

ρàM f F −ûf c − Lρf ïù;1Xa

Zõ_í †àAUAíë9Aí8 ûf m¢_U 9v† 9Ä_ U_U†í9wU †gwë9A_ío Ć 8†9

nρ }f M i ρï}c

f − à\f aM F Lρ\

f ïù;1ña nc

ÉàAUAíë9Aí8 ρf m¢_U ïù;ja ëíf ïù;1ña Ć 8†9

nρ nρ }f MM i ρï}f c − à\

f aMM F Lρf \M F −L à\ f ïù;1ba

nc nc

k†9 wo Aí9¢_fwô† 9v† fAo9w¢^ëíô† o9¢†ëU mwíô9A_í ψr

}f F ψcI àf F −ψ\ ïù;1ùa

ó9 m_àà_Äo m¢_U ïù;1ba 9vë9

nρ ρ ïψ\\ i ψccaMM F ïLψ\\ − ψcMMa ïù;1ja

nc

^â BA¢9w¢† _m Égío; ïù;ja ëíf ïù;1ùa; t_9† 9vë9 7 L nρ

z F − ïù;13a ρ nc

Ao 9v† =¢wí9qòxëAoxëàxë m¢†gw†íôâ; óí 9v† _ô†ëí2 f†íoA9â 8¢ëfA†í9 Ao wowëààâ B†¢â oUëàà ï

z ∼ ñ*1E−å ¢ëfyo†ôa; Y†íô† ρ ôëí ^† ëõõ¢_JAUë9†f ^â ë ô_ío9ëí9 ¢†m†¢†íô† Bëàw†2 oëâ2

ρE F ρïEa Aí ïù;1Ea ëíf ïù;1Xa ÄA9v_w9 Uwôv †¢¢_¢ Aí 9v† A톢9Aë 9†¢Uo; Y_ĆB†¢ f†íoA9â

å1

Bë¢Aë9A_í Uwo9 ^† I†õ9 Aí 9v† ^w_âëíôâ 9†¢U ëoo_ôAë9†f ÄA9v 8¢ëBA9â2 ÄvAôv Ao 9v† _íàâ

¢†o9_¢Aí8 m_¢ô† ¢†oõ_íoA^à† m_¢ ÄëB† U_9A_í; èvAo Ao ôëàà†f 9v† =_wooAí†og ëõõ¢_JAUë9A_í

ëíf ëU_wí9o 9_ 9ëIAí8 ρ 9_ ^† ô_ío9ëí9 Aí ïÉgr1ù;1a _íàâ; dA9v A9 ïù;1ja ¢†fwô†o 9_

ïψ\\ i ψccaMM i z Nïca ψ\\ F EP ïù;NEa

t_9† 9vë9 ^†ôëwo† _m àAí†ë¢A9â2 }f ëíf àf oë9Aomâ Égí; ïù;NEa ëào_2 A;†;2

N àfïàf i àf a i z F E ïù;N1a\\ cc MM \\

†9ô;

ù;N kAí†ë¢AV†f =_wífë¢â ô_ífA9A_ío _í 9v† o†ë ow¢mëô†

GâíëUAô ^_wífë¢â ô_ífA9A_í r è_9ëà õ¢†oow¢† Ao †gwëà 9_ 9v† ë9U_oõv†¢Aô õ¢†oow¢†

ïûi ûf a cFζ F EP ïù;NNa

>í 9v† m¢†† ow¢mëô† c F ζ2 Ć vëB† U ζ û ≈ −L ρïEanc F −LρïEaζ

E

èv†¢†m_¢†2

−ρLζ i ûf F EI c F EI ïù;Nåa

AUõàâAí8

−ρLζ\\M i ûf ïù;NXa \\M F EI c F EP

ûAí†Uë9Aô ô_ífA9A_í r

ζM F àI c F EP ïù;Nña

èv† à†m9qvëífqoAf† _m ïù;NXa ôëí ^† Ä¢A99†í ëo

−ρLζ\\M F −ρL àf \\

ZoAí8 ù;1E2 9v† ¢A8v9qvëífqoAf† _m ù;NX Uëâ ^† Ä¢A99†í2

f−û\\M F ρ }\MM F −ρàf cMM

åN

v†íô†

àf cMM − Làf F EI _í\\ c F EP ïù;Nba

TAíô† àf F −ψ\2 ψ ëào_ oë9Ao܆o 9v† oëU† ^_wífë¢â ô_ífA9A_í

ψcMM − Lψ\\ F EI _í c F EP ïù;Nùa

>í 9v† o†ë^†f2 c F −|ï\a 9v† í_¢Uëà B†à_ôA9â BëíAov†o; P_¢ ë v_¢AV_í9ëà ^_99_U Ć

vëB†

ψï\I−|I Ma F EP ïù;Nja

j óí9†¢íëà ÄëB†o U_f†o m_¢ ÜíA9† t

z_íoAf†¢ ë v_¢AV_í9ëààâ õ¢_õë8ë9Aí8 ÄëB† ^†í†ë9v 9v† o†ë ow¢mëô†; k†9

%T[\ −TωMPψ F _ ïca ïj;1a

P¢_U Égí; ïù;N1a2 u ú N é nn _−ωN − [N N −[N _ i z _ F E Nnc

_¢2 nN _ zN − ωN

N i [N _ F E c Å EP ïj;Na

nc ωN

>í 9v† ïv_¢AV_í9ëàa o†ë ^_99_U

_ F E c F −|P ïj;åa

P¢_U Égí; ïù;Nùa2 n_ [N

− L _ F E c F EP ïj;Xa nc ωN

Égwë9A_ío ïj;Na2 ïj;åa ëíf ïj;Xa ô_ío9A9w9† ëí †A8†íBëàw† ô_ífA9A_í;

óm ωN Å zN2 9v†í _ Ao _oôAààë9_¢â Aí c ÄA9vAí 9v† 9v†¢U_ôàAí†; sÄëâ m¢_U 9v†

9v†¢U_ôàAí†2 ωN â zN2 m Uwo9 f†ôëâ †Jõ_í†í9Aëààâ; èv†¢†m_¢†2 9v† 9v†¢U_ôàAí† Ao ë

ÄëB†8wAf† ÄA9vAí ÄvAôv ÄëB†o 뢆 9¢ëõõ†f; dëB†o 9vë9 vëB† 9v† 8¢†ë9†o9 ëUõàA9wf†

^†í†ë9v 9v† m¢†† ow¢mëô† Ao ôëàà†f Aí9†¢íëà ÄëB†o;

åå

N (cyc h-1) N (cyc h-1) 0 2 4 6 0.50 1.0

200

100

Dep

th (m

)

0

2000

1000

0

0 5 x 10-3 10 x 10-3 0 10-3 2 x 10-3

N (rad sec-1) N (rad sec-1)

PA8w¢† 1Xr èâõAôëà Bë¢Aë9A_í _m =¢wí9qòx ëàxëAox ë m¢†gw†íôâ Aí 9v† _ô†ëí; Figure by MIT OpenCourseWare.

TAíô† m_¢ Aí9†¢íëà ÄëB†o2 ω Å z ÄvAà† z Ao B†¢â oUëàà Aí _ô†ëío2 _ô†ëíAô Aí9†¢íëà ÄëB†o

vëB† B†¢â à_Ä íë9w¢ëà m¢†gw†íôA†o; P_¢ U_o9 ÄëB†à†í89vo _m õ¢ëô9Aôëà Aí9†¢†o9o

ωN r L[ o_ 9vë9

∼_ F E _í c F EP ïj;ña

èvAo Ao ôëàà†f 9v† ¢A8Af àAf ëõõ¢_JAUë9A_í2 ÄvAôv ÄAàà ^† ëf_õ9†f Aí 9v† m_àà_ÄAí8;

dA9v 9v† ¢A8AfqàAf ëõõ¢_JAUë9A_í2 9v† o_àw9A_í m_¢ _ Ao u √ ú zN − ωN

_ F y oAí [ïc i |a ω

ïj;ba

Äv†¢† √ zN − ωN

[| ω

F òπI ò F 1I NI åPPP ïj;ùa

èvAo Ao ëí †A8†íqBëàw† ô_ífA9A_í; P_¢ ë ÜJ†f ÄëB† íwU^†¢ [2 A9 8AB†o 9v† †A8†íqm¢†gw†íôA†o2

z ωò F R ïj;jaé nN

òπ1 i [|

P_¢ ë 8AB†í ÄëB†íwU^†¢ [2 9vAo fAoõ†¢oA_í ¢†àë9A_í 8AB†o 9v† †A8†íqm¢†gw†íôâ ωò; P_¢ ë

8AB†í m¢†gw†íôâ ω2 A9 8AB†o 9v† †A8†íqÄëB†íwU^†¢o [ò2

òπ ω [ò F √ ïj;3a

| zN − ωN

åX

P_¢ ë oAUõà† àëI† ÄA9v B†¢9Aôëà ^ëíIo ëíf à†í89v r2 E Å \ Å r2 Ć Uwo9 AUõ_o† 9v†

ô_ífA9A_ío r

}f F EI v†íô† ψ F EI \ F EI r ïj;1Ea

èv† o_àw9A_í Ao 2

ψ F y oAí [b\ †Jõï−TωòbMa oAí [bïc i |a zN − ωN

òb

ωòb

P ïj;11a

ÄA9v

[br F bπI b F 1I NI åI PPP ïj;1Na

èv† †A8†íqm¢†gw†íôA†o 뢆r z

ωòb F R

1 i é òr nN

ïj;1åa

b|

3 óí9†¢íëà ÄëB†o Aí ë B†¢9Aôëààâ wí^_wíf†f QwAf

z_íoAf†¢ z F ô_ío9ëí92 ëíf f†í_9† ^â ïαI βa 9v† ï\I ca ô_Uõ_í†í9o _m 9v† ÄëB† íwU^†¢

B†ô9_¢ å[ k†9 9v† o_àw9A_í ^† ë õàëí† ÄëB† Aí 9v† B†¢9Aôëà õàëí†

Tïα\iβc−ωMaψ F ψE

èv†í αN

ωN F z N

αN i βN

_¢ α

ω F %z ï3;1a [

[N F αN i βN ï3;Na

P_¢ ë 8AB†í m¢†gw†íôâ2 9v†¢† 뢆 9Ä_ õ_ooA^à† oA8ío m_¢ α; TAíô† 9v† ë^_B† ¢†àë9A_í Ao

ëào_ †B†í Aí β2 9v†¢† 뢆 m_w¢ õ_ooA^à† AíôàAíë9A_ío m_¢ 9v† ÄëB† ô¢†o9o ëíf 9¢_w8vo ÄA9v

¢†oõ†ô9 9_ 9v† B†¢9Aôëà< 9v† ëí8à† _m AíôàAíë9A_í Ao

LθL F ô_o−Ç ω ï3;åa

z

P_¢ ω Å z 2 LθL Å πÄN; èv†¢† Ao í_ B†¢9Aôëààâ õ¢_õë8ë9Aí8 Aí9†¢íëà ÄëB†; èvAo wíAgw†

õ¢_õ†¢9â _m ëíAo_9¢_õâ vëo ^††í B†¢A܆f Aí f¢ëUë9Aô †Jõ†¢AU†í9o ^â 4_Ä^¢ëâ ëíf

åñ

T9†B†ío_í; =â _oôAààë9Aí8 ë à_í8 ôâàAíf†¢ ë9 Bë¢A_wo m¢†gw†íôA†o B†¢9Aôëààâ Aí ë o9¢ë9q

A܆f QwAf2 †gwëà õvëo† àAí†o 뢆 _íàâ m_wíf ëà_í8 m_w¢ ^†ëUo m_¢UAí8 ?T9 síf¢†ÄWo

z¢_oo?2 o†† Ü8w¢† ïOOa m_¢ ωÄz F E;ù2 E;3; ó9 ôëí ̂ † B†¢A܆f 9vë9 ëí8à†o 뢆 LθL F Xñ◦

m_¢ ωÄz F EPù2 ëíf LθL F Nb◦ m_¢ ωÄz F EP32 Aí ôà_o† ëôô_¢fëíô† ÄA9v 9v† ô_ífA9A_í

3;åa; z_Uõë¢Ao_í ^†9Ɔí U†ëow¢†f ëíf õ¢†fAô9†f ëí8à†o Ao õà_99†f Aí PA8w¢† ï1ba m_¢

ë ÄAf† ¢ëí8† _m ωÄz

è_ wíf†¢ 9v† õvâoAôo ^†99†¢ Ć í_9† Ü¢o9 9vë9 9v† õvëo† B†à_ôA9â Ao

Öå F % ω ïαIβa ï3;Xa

[N

ÄvAà† 9v† 8¢_wõ B†à_ôA9â ô_Uõ_í†í9o 뢆

ÖL\ F ∂ω ∂α

F %z ï 1 [ − α [N

α [

t

u ú

F % z

[ 1 −

αN

[N F %

z

[å βN

∂ω αβÖLc F F ∓ P ï3;ña

∂β [å

èvwo u ú β β −α

ÖåL F %z I P ï3;ba[N [ [

èv†¢†m_¢†2 9v† 8¢_wõ B†à_ôA9â Ao õ†¢õ†ífAôwàë¢ 9_ 9v† õvëo† B†à_ôA9â2

ÖåL k Öå F EP ï3;ùa

TAíô† é nz zÖå i ÖåL F % αN i βNI E F % ï[I Ea ï3;ja

[å [N

9v† owU _m Öå ëíf ÖåL Ao ë v_¢AV_í9ëà B†ô9_¢2 ëo ov_Äí ^â ëíâ _m 9v† oI†9ôv†o Aí PA8w¢†

1b; t_9† 9vë9 Äv†í 9v† õvëo† B†à_ôA9â ëo ëí wõÄë¢f ô_Uõ_í†í92 9v† 8¢_wõ B†à_ôA9â vëo

ë f_ÄíÄë¢f ô_Uõ_í†í92 ëíf BAô† B†¢oë; t_Ä à†9 wo ô_íoAf†¢ †í†¢8â 9¢ëíoõ_¢9; m¢_U

ïù;1Ea Ć 8†9 Tïα\iβc−ωMa−ûf \ F ρψcM F ρωβψi

v†íô† 9v† fâíëUAô õ¢†oow¢† Ao

Tïα\iβc−ωMaûf F Tωρβ [ ψi ï3;3a

åb

PA8w¢† 1ñr T9 síf¢†ÄWo z¢_oo Aí ë o9¢ë9A܆f QwAf

© sources unknown. All rights reserved. This content is excluded from our Creative Commons license. For more information, see https://ocw.mit.edu/help/faq-fair-use.

åù

sin

a

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

m/N

PA8w¢† 1br z_Uõë¢Ao_í _m U†ëow¢†f ëíf õ¢†fAô9†f ëí8à†o _m Aí9†¢íëà ÄëB†o

Figure by MIT OpenCourseWare.

PA8w¢† 1ùr |vëo† ëíf 8¢_wõ B†à_ôA9A†o

åj

èv† QwAf B†à_ôA9â Ao †ëoAàâ ôëàôwàë9†f

Tïα\iβc−ωMaåf F ï}fI Ufa F ïψc ï3;1Eao I−ψ\a F TρïβI−αaψi

èv† ëB†¢ë8†f ¢ë9† _m †í†¢8â 9¢ëíoõ_¢9 Ao 9v†¢†m_¢†

çå F 1 ρNLψLN β

ïβIαa ï3;11a N α

ÄvAôv Ao Aí 9v† oëU† fA¢†ô9A_í _m 9v† 8¢_wõ B†à_ôA9â;

t_Ä ¢†9w¢íAí8 9_ 9v† T9; síf¢†Äo ô¢_oo Aí Ü8w¢† ï1ña; É톢8â Uwo9 ¢ëfAë9† _w9Äë¢f

m¢_U 9v† _oôAààë9Aí8 o_w¢ô†2 v†íô† 9v† 8¢_wõ B†à_ôA9â B†ô9_¢o Uwo9 ëàà ^† _w9Äë¢f; èv†

ô¢†o9o Aí 9v† ^†ëU Aí 9v† Ü¢o9 gwëf¢ëí9 Uwo9 ^† Aí 9v† o_w9vq†ëo9†¢àâ fA¢†ô9A_í; TAUAàë¢àâ

9v† ô¢†o9o Aí ëàà m_w¢ ^†ëUo Uwo9 ^† _w9Äë¢f ëíf 9_Äë¢f 9v† v_¢AV_í9ëà ëJAo; 4_BA†

¢†ô_¢fo Aíf††f ô_íÜ¢U 9vAo õ¢†fAô9A_í; dA9vAí †ëôv _m 9v† m_w¢ ^†ëUo ÄvAôv vëB† ÄAf9vo

ô_Uõë¢ë^à† 9_ 9v† ôâàAíf†¢ fAëU†9†¢2 _íàâ _í† _¢ 9Ä_ ÄëB† à†í89vo ôëí ^† o††í;

ÇE á†Q†ô9A_í _m Aí9†¢íëà ÄëB†o ë9 ^_wífë¢â

P_¢ ëí_9v†¢ Aí9†¢†o9Aí8 m†ë9w¢†2 ô_íoAf†¢ 9v† ¢†Q†ô9A_í _m ëí Aí9†¢íëà ÄëB† m¢_U ë oà_õ†;

á†ôëàà 9vë9 θ F % ô_o−Ç z ω 2 A;†;2 m_¢ ë ÜJ†f m¢†gw†íôâ 9v†¢† 뢆 _íàâ 9Ä_ ëàà_Äë^à†

fA¢†ô9A_ío ÄA9v ¢†oõ†ô9 9_ 9v† v_¢AV_í; á†àë9AB† 9_ 9v† oà_õAí8 ^_99_U AíôàAí†f ë9 θi 9v†

AíôàAíë9A_ío _m 9v† AíôAf†í9 ëíf ¢†Q†ô9†f ÄëB†o Uwo9 ^† fAff†¢†í92 ëíf 뢆 ¢†oõ†ô9AB†àâ

θ i θi ëíf θ − θi2 o†† PA8w¢† 1j;

k†9 ξ ^† ëà_í82 ëíf η ^† í_¢Uëà 9_ 9v† oà_õ†; TAíô† 9v† oà_õ† Uwo9 ^† ë o9¢†ëUàAí†2 Tïαξ−ωMa<ψT i ψ¢ Uwo9 BëíAov ëà_í8 η F E ëíf ^† õ¢_õ_¢9A_íëà 9_ 9v† 9_9ëà o9¢†ëU

mwíô9A_í Uwo9 ^† _m 9v† m_¢U

ïTa ï¢aTï[ Tï[ ξ−ωMaMψT

M ξ−ωMa i ψ¢ ∝ oAí βη Tïαξ−ωMaP

óí õë¢9Aôwàë¢ 9v† ÄëB†íwU^†¢ ô_Uõ_í†í9 ëà_í8 9v† oà_õ† Uwo9 ^† †gwëà2

ïTa ï¢a[ F [ F αM M

èv†¢†m_¢†

[ïTa ô_oïθ i θia F [ï¢a ô_oïθ − θiaI

å3

PA8w¢† 1jr óí9†¢íëà ÄëB† ¢†Q†ô9†f ^â Aí AíôàAí†f ow¢mëô†

ÄvAôv AUõàA†o 9vë9

[ïTa F [ï¢aPt ï1E;1a

ëo oI†9ôv†f Aí PA8w¢† 1j; èv† AíôAf†í9 ÄëB† ëíf 9v† ¢†Q†ô9†f ÄëB† vëB† fAff†¢†í9

ÄëB†à†í89vo: óm θ Å θi2 9v†¢† Ao í_ ¢†Q†ô9A_í< ¢†m¢ëô9A_í 9ëI†o õàëô† Aío9†ëf;

XE

MIT OpenCourseWare https://ocw.mit.edu

2.062J / 1.138J / 18.376J Wave Propagation Spring 2017

For information about citing these materials or our Terms of Use, visit: https://ocw.mit.edu/terms.