επαλ αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 7 12 2014

www.askisopolis.gr

http://www.askisopolis.gr/

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί:

Κολλινιάτη Γιωργία

Μάκος Σπύρος

Πανούσης Γιώργος

Παπαθανάση Κέλλυ

Ραμαντάνης Βαγγέλης

Σαμπάνης Νίκος

Τόλης Ευάγγελος

-12-2014

www.askisopolis.gr

1

Γραμμικά Συστήματα2.18808.Δίνεται η εξίσωση x 3y 7 .α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 4, 1 είναι μια λύση της εξίσωσης.

(Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι το 4, 1 δεν είναι λύση του συστήματοςx 3y 72x 3y 8

(Μονάδες 15)

Λύση

α) Αντικαθιστούμε στην εξίσωση το ζεύγος αριθμών που δίνεται 4 3 1 7 4 3 7 που ισχύει.

Άρα το ζεύγος x, y 4, 1 είναι μια λύση της εξίσωσης.

β) Αντικαθιστούμε και στις δυο εξισώσεις τα x 4, y 1 οπότε

4 3 1 7x 3y 7 4 3 72x 3y 8 8 3 82 4 3 1 8

.Παρατηρούμε ότι η δεύτερη ισότητα δεν

αληθεύει άρα το ζεύγος 4, 1 δεν είναι λύση του συστήματος.

2.18812.Δίνεται η εξίσωση 2x 3y 8 .α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 1,2 είναι μια λύση της εξίσωσης

(Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι το 1,2 δεν είναι λύση του συστήματος2x 3y 8x y 14

(Μονάδες 15)

Λύση

α) Αντικαθιστούμε στην εξίσωση το ζεύγος αριθμών που δίνεται2 1 3 2 8 2 6 8 που ισχύει.Άρα το ζεύγος x, y 1,2 είναι μια λύση της εξίσωσης .

β) Αντικαθιστούμε και στις δυο εξισώσεις τα x 1, y 2 οπότε2x 3y 8 2 1 3 2 8 2 6 8x y 14 1 2 14 1 2 14

.Παρατηρούμε ότι η δεύτερη ισότητα δεν

αληθεύει άρα το ζεύγος 1,2 δεν είναι λύση του συστήματος.

2.18815.Δίνεται η εξίσωση x 2y 10 1 .

α) Ποια από τα ζεύγη 2,4 , 4,7 , 4,3 είναι λύση της εξίσωσης (1);(Μονάδες 12)

β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματοςx 2y 103x y 2

(Μονάδες 13)

Λύση

α) Για x 2, y 4 έχουμε 2 2 4 10 2 8 10 10 10 δηλαδή το ζεύγος (2,4) είναι

www.askisopolis.gr

2

λύση της εξίσωσης (1)Για x 4, y 7 έχουμε 4 2 7 10 4 14 10 10 10 δηλαδή το ζεύγος (-4,7)είναι λύση της εξίσωσης (1)Για x 4, y 3 έχουμε 4 2 3 10 4 6 10 10 10 δηλαδή το ζεύγος (4,3) είναιλύση της εξίσωσης (1)

β) Παρατηρούμε ότι η μια εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση (1) και από τοερώτημα α) έχουμε ότι οι λύσεις αυτής είναι 2,4 , 4,7 , 4,3 .Εξετάζουμε αν κάποιααπό αυτές είναι λύσεις και της εξίσωσης 3x y 2 .Για x 2, y 4 έχουμε 3 2 4 2 6 4 2 2 2 δηλαδή το ζεύγος (2,4) είναι λύσητης εξίσωσης άρα είναι λύση και του συστήματος.Για x 4, y 7 έχουμε 3 4 7 2 12 7 2 19 2 δηλαδή το ζεύγος

4,7 δεν είναι λύση της εξίσωσης άρα ούτε του συστήματος.

Για x 4, y 3 έχουμε 3 4 3 2 12 3 2 9 2 δηλαδή το ζεύγος 4,3 δεν είναιλύση της εξίσωσης άρα ούτε του συστήματος.

2.18818. Δίνεται η εξίσωση 4x y 11 (1).α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3) ,(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

(Μονάδες 12)

β) Είναι κάποιο από τα παραπάνω ζεύγη λύση του συστήματος4x y 11x y 7

;

(Μονάδες 13)Λύση

α) Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες των σημείων στις θέσεις των x και y στην εξίσωση (1)και ελέγχουμε αν την επαληθεύουν.Για το (2, 3) έχουμε: 4 2 3 11 11 11 , ισχύει, άρα το σημείο ανήκει στην ευθεία.Για το (0, 11) έχουμε: 4 0 11 11 11 11 , ισχύει, άρα το σημείο ανήκει στην ευθεία.Για το (1, 8) έχουμε: 4 1 8 11 12 11 , άτοπο, άρα το σημείο δεν ανήκει στηνευθεία.Για το (7, 0) έχουμε: 4 7 0 11 28 11 , άτοπο, άρα το σημείο δεν ανήκει στηνευθεία.

β) Για να δούμε αν κάποιο από τα σημεία αυτά είναι λύση του συστήματος αρκεί ναελέγξουμε αν οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν τις εξισώσεις του συστήματος ήδιαφορετικά μπορούμε να λύσουμε το σύστημα και να δούμε αν η λύση του είναι κάποιοαπό τα σημεία.

Αφαιρώντας τις εξισώσεις του συστήματος κατά μέλη έχουμε: 43x 4 x3

.

Αντικαθιστώντας στην δεύτερη εξίσωση έχουμε:4 4 21 4 17y 7 y 7 y y3 3 3 3

. Η λύση του συστήματος είναι:

4 17x, y ,3 3

.

Άρα κανένα από τα ζεύγη δεν είναι λύση του συστήματος.

www.askisopolis.gr

3

2.18821. Δίνονται οι εξισώσεις 3x y 5 (1) και x 4 y 9 (2).α) Ποια από τα ζεύγη 1,2 , 2, 1 , 0,5 και 9,0 είναι λύσεις της εξίσωσης (1) και ποιατης (2); (Μονάδες 16)

β) Να βρείτε μια λύση του συστήματος3x + 4y = 5x + 4y = 9

(Μονάδες 9)

Λύση

α) Για το (1,2) : 3 1 2 3 2 5 και 1 4 2 1 8 9 , άρα είναι λύση τωνεξισώσεων (1) και (2).Για το (2, - 1): 3 2 ( 1) 6 1 5 και 2 4 1 2 4 2 9 , άρα είναι λύση τηςεξίσωσης (1).Για το (0,5): 3 0 5 0 5 5 και 0 4 5 20 9 , άρα είναι λύση της εξίσωσης (1)Για το (9,0): 9 4 0 9 0 9 , άρα είναι λύση της (2) και επειδή 3 9 4 0 27 5 δενείναι λύση της εξίσωσης (2).

β) Η λύση του συστήματος παρατηρούμε από το α) ερώτημα ότι είναι το ζεύγος : (1, 2)γιατί επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος.

2.18824.α) Να αποδείξετε ότι:1 3

52 1

,10 3

55 1

,1 10

152 5

(Μονάδες 10)

β)Να λύσετε το σύστημα εξισώσεωνx + 3y = 102x + y = 5

(Μονάδες 15)

Λύση

α)1 3

1 1 2 3 1 6 52 1

,10 3

10 1 5 3 10 15 55 1

,

1 101 5 2 10 5 20 15

2 5

β) Επειδή1 3

D 52 1 , x

10 3D 5

5 1 , y

1 10D 15

2 5 , το σύστημα έχει μοναδική

λύση xD 5x 1D 5

και yD 15y 3

D 5

.

Άρα το ζεύγος 1,3 είναι λύση του συστήματος.


91 5

,9 1

369 5

,2 9

91 9

(Μονάδες 15)

β)Να λύσετε το σύστημα εξισώσεων2x y 9x 5y 9

(Μονάδες 10)

Λύση

α)2 1

2 5 1 1 10 1 91 5

,9 1

9 5 9 1 45 9 369 5

,2 9

2 9 1 9 18 9 91 9

www.askisopolis.gr

4

β) Επειδή2 1

D 91 5 , x

9 1D 36

9 5 , y

2 9D 9

1 9 το σύστημα έχει μοναδική

λύση xD 36x 4D 9

yD 9y 1D 9



04 2

,

7 10

14 2

,

2 70

4 14 (Μονάδες 9)

β)Να λύσετε το σύστημα εξισώσεων :2x y 7

4x 2y 14

(Μονάδες 16)

Λύση

α)2 1

2 ( 2) 4 ( 1) 4 4 04 2

,

7 17 ( 2) 14 ( 1) 14 14 0

14 2

,

2 72 14 4 7 28 28 0

4 14

β) 2x y 7 2x y 7

2x 7 y4x 2y 14 : 2 2x y 7

, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις που

είναι μορφής x, y x,2x 7 , x


51 3

,11 3

353 4

,

2 35

1 4

(Μονάδες 9)

β)Να λύσετε το σύστημα εξισώσεων2x 3y 11x 4y 3

(Μονάδες 16)

Λύση

α)2 11

2 3 1 11 6 11 51 3

, 11 3

4 11 3 3 44 9 353 4

2 3

2 4 1 ( 3) 8 3 51 4

β) Επειδή2 3

D 51 4

, x

11 3D 35

3 4

, y

2 11D 5

1 3 το σύστημα έχει

μοναδική λύση xD 35x 7D 5

, yD 5y 1

D 5

.


www.askisopolis.gr

5

2.18836.α) Να αποδείξετε ότι:3 1 8 1 3 8

0, 8, 246 2 8 2 6 8

(Μονάδες 9)

β) Να λύσετε το σύστημα εξισώσεων:3x y 8

6x 2y 8

(Μονάδες 16)

Λύση

α)3 1 8 1

3 2 6 1 6 6 0, 8 2 8 1 16 8 86 2 8 2

,

3 83 8 6 8 24 48 24

6 8

β) 3x y 8 3x y 8

6x 2y 8 : 2 3x y 4

. Οι δύο εξισώσεις έχουν τα πρώτα τους μέλη ίσα, άρα

θα είναι και 4 8 που είναι αδύνατο.

2.18839.α) Να λύσετε το σύστημα2x y 83x y 17

(Μονάδες 15)

β) Να εξετάσετε αν η λύση του συστήματος του ερωτήματος (α) επαληθεύει την εξίσωση4x 2y 16 . (Μονάδες 10)

Λύση

α)2x y 83x y 17

,προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:

252x y 3x y 8 17 5x 25 x x 55

Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή στην εξίσωση 2x y 8 έχουμε :2 5 y 8 10 y 8 y 10 8 y 2

β) Επειδή 4 5 2 2 20 4 16 , το ζεύγος 5,2 επαληθεύει την εξίσωση 4x 2y 16 ,άρα αποτελεί λύση του συστήματος.

2.18842.α) Να λύσετε το σύστημαx 2y 74x y 10

(Μονάδες 15)

β) Να εξετάσετε αν η λύση του συστήματος του ερωτήματος (α) επαληθεύει την εξίσωση2x 4y 14 . (Μονάδες 10)

Λύση

α) x 2y 7 x 2y 7 279x 27 x 3

4x y 10 2 8x 2y 20 9

Για x 3 η εξίσωση x 2y 7 γίνεται: 3 2y 7 2y 7 3 2y 4 y 2

Λύση του συστήματος είναι το ζεύγος 3,2 .

β) Το ζεύγος 3,2 επαληθεύει την εξίσωση 2x 4y 14 , αν και μόνο αν2 3 4 2 14 6 8 14 που ισχύει.

www.askisopolis.gr

6

2.18845.α) Να λύσετε το σύστημα3x 2y 1

4x 6y 10

(Μονάδες 15)

β) Να εξετάσετε αν η λύση του συστήματος του ερωτήματος (α) επαληθεύει την εξίσωση6x 4y 1 (Μονάδες 10)

Λύση

α) 9x 6y 33x 2y 1 34x 6y 104x 6y 10

(1)(2)Προσθέτοντας τις (1) και (2) έχουμε: 13x 13 x 1 Αντικαθιστούμε την τιμή του x σε μία από τις αρχικές εξισώσεις και έχουμε:3 1 2y 1 3 2y 1 2y 3 1 2y 2 y 1

Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος 1,1

β) Το ζεύγος 1,1 δεν επαληθεύει την εξίσωση 6x 4y 1 , αφού: 6 1 4 1 6 4 2 1

2.18848.α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος των αριθμών x 1 και y 3 είναι λύση κάθε μιας απότις παρακάτω εξισώσεις:

i) 3x y 6 ii) x 2y 7 (Μονάδες 12)

β) Δίνεται το σύστημα3x y 6x 2y 7

.

Είναι το ζεύγος (1,3) λύση του παραπάνω συστήματος; (Μονάδες 13)Λύση

α) Για να είναι το ζεύγος x,y 1,3 λύση των εξισώσεων θα πρέπει να τις επαληθεύει,δηλαδή:i) 3 1 3 6 3 3 6 6 6 που ισχύειii) 1 2 3 7 1 6 7 7 7 που ισχύειΆρα το ζεύγος x,y 1,3 είναι λύση κάθε μιας από τις εξισώσεις.

β) Από το (α) ερώτημα έχουμε ότι το ζεύγος x,y 1,3 επαληθεύει κάθε μία από τις

εξισώσεις του συστήματος., άρα το ζεύγος x,y 1,3 είναι λύση του συστήματος.

2.18852.α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος αριθμών x = 4 και y = 1 είναι λύση κάθε μιας από τιςπαρακάτω εξισώσεις: i) 4x 3y 19 ii) x 6y 10 (Μονάδες 12)

β) Δίνεται το σύστημα4x 3y 19x 6y 10

Είναι το ζεύγος (4,1) λύση του παραπάνω συστήματος; (Μονάδες 13)

Λύση

α) Για να είναι το ζεύγος x,y 4,1 λύση των εξισώσεων θα πρέπει να τις επαληθεύει,δηλαδή:i) 4 4 3 1 19 16 3 19 19 19 που ισχύειii) 4 6 1 10 4 6 10 10 10 που ισχύειΆρα το ζεύγος x,y 4,1 είναι λύση κάθε μιας από τις εξισώσεις.

www.askisopolis.gr

7

β) Από το (α) ερώτημα έχουμε ότι το ζεύγος x,y 4,1 επαληθεύει κάθε μία από τιςεξισώσεις του συστήματος, άρα είναι λύση του συστήματος.

2.18856.α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος αριθμών x 4 και y 3 είναι λύση κάθε μιας από τιςπαρακάτω εξισώσεις: i) 4x y 13 ii) 2x 3y 10 (Μονάδες 12)

β) Δίνεται το σύστημα4x y 13

2x 3y 10

Είναι το ζεύγος (4,3) λύση του παραπάνω συστήματος; (Μονάδες 13)

Λύση

α) Για να είναι το ζεύγος x,y 4,3 λύση των εξισώσεων θα πρέπει να τις επαληθεύει,δηλαδή:i) 4 4 3 13 16 3 13 13 13 που ισχύειii) 2 4 3 3 10 8 9 10 17 10 αδύνατοΆρα το ζεύγος 4,3 είναι λύση μόνο της εξίσωσης 4x y 13 .

β) Από το (α) ερώτημα έχουμε ότι το ζεύγος x,y 4,3 επαληθεύει μόνο μία από τις δύοεξισώσεις του συστήματος, άρα δεν είναι λύση του συστήματος.

2.18859.α) Να λύσετε το σύστημα3x y 1

6x 2y 1

(Μονάδες 15)

β) Να εξετάσετε αν το ζεύγος 1 1,4 3

επαληθεύει και τις δύο από τις παρακάτω εξισώσεις:

3x y 1 και 6x 2y 1 (Μονάδες 10)Λύση

α) 6x 2y 2 (1)3x y 1 26x 2y 1 (2)6x 2y 1

Προσθέτοντας τις (1) και (2) κατά μέλη προκύπτει η εξίσωση:

0x 0y 1 που είναι αδύνατηΆρα το σύστημα είναι αδύνατο.

β) Από το (α) ερώτημα προκύπτει ότι δεν υπάρχει κοινό ζεύγος λύσεων και για τις δύο

εξισώσεις του σιτέματος, οπότε το ζεύγος 1 1x, y ,4 3

δεν μπορεί να επαληθεύει και τις

δύο εξισώσεις.

2.18862.α) Να λύσετε το σύστημα2x y 3

6x 3y 6

(Μονάδες 15)


επαληθεύει τις παρακάτω εξισώσεις:

2x y 3 και 6x 3y 6 (Μονάδες 10)Λύση

www.askisopolis.gr

8

α) 6x 3y 9 (1)2x y 3 36x 3y 6 (2)6x 3y 6



β) Για 1x5 και 1y

2 έχουμε:

1 1x ,y5 2 1 1 2 1 4 5 12x y 3 2 3 3 3 3

5 2 5 2 10 10 10

αδύνατο

1 1x ,y5 2 1 1 6 3 12 15 36x 3y 6 6 3 6 6 6 6

5 2 5 2 10 10 10

αδύνατο

Άρα το ζεύγος 1 1x, y ,5 2

δεν επαληθεύει καμία από τις εξισώσεις.

2.18865.α) Να λύσετε το σύστημαx 3y 22x 6y 1

(Μονάδες 15)


επαληθεύει τις παρακάτω εξισώσεις:

x 3y 2 και 2x 6y 1 (Μονάδες 10)Λύση

α) 2x 6y 4 (1)x 3y 2 22x 6y 1 (2)2x 6y 1



β) Για 1x3 και 1y

7 έχουμε:

1 1x ,y3 7 1 1 1 3 7 9 2x 3y 2 3 2 2 2 2

3 7 3 7 21 21 21

αδύνατο

1 1x ,y3 7 1 1 2 6 14 18 42x 6y 1 2 6 1 1 1 1

3 7 3 7 21 21 21

αδύνατο

Άρα το ζεύγος 1 1x, y ,3 7

δεν επαληθεύει καμία από τις εξισώσεις.

2.19128. Δίνεται το σύστημαx y 72x y 5

α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος x,y 3,4 είναι λύση του παραπάνω συστήματος.

(Μονάδες 10)β) Να λύσετε το παραπάνω σύστημα. (Μονάδες 15)

Λύση

www.askisopolis.gr

9

α) Για να είναι το ζεύγος x,y 3,4 λύση του συστήματος πρέπει να επαληθεύει κάθε μίααπό τις εξισώσεις του συστήματος.

Για x = 3 και y = 4 έχουμε:3 4 7 7 7 ισχύει

2 3 4 5 2 5 αδύνατο

Άρα το ζεύγος x,y 3,4 δεν είναι λύση του συστήματος.

β)x y 7 (1)2x y 5 (2)

Προσθέτοντας τις (1) και (2) κατά μέλη έχουμε: 123x 12 x x 43

Τότε:x 4

x y 7 4 y 7 y 7 4 y 3

Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος 4,3 .

2.19130. Δίνεται το σύστημαx y 4x 2y 1

α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος (7, 3) είναι λύση του παραπάνω συστήματος.


Λύση

α) Αντικαθιστώντας τις τιμές του ζεύγους σε κάθε μια από τις εξισώσεις του συστήματοςέχουμε: 7 3 4 και 7 2 3 1 . Παρατηρούμε ότι τις επαληθεύει άρα το ζεύγος αποτελείλύση του συστήματος.

β) Αφαιρώντας τις δύο εξισώσεις του συστήματος κατά μέλη προκύπτει: y 3 καιαντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση έχουμε: x 3 4 άρα x 7 .Άρα η λύση είναι x,y 7,3

2.19132. Δίνεται το σύστημα:x y 32x 2y 6



Λύση

α) Είναι: 10 7 3 και 2 10 2 7 20 14 6 , δηλαδή αντικαθιστώντας όπου x το 10 καιόπου y το 7 επαληθεύεται και η πρώτη και η δεύτερη εξίσωση του συστήματος άρα τοζεύγος είναι λύση του συστήματος.

β) Είναιx y 3 x y 3

x y 3 x 3 y2x 2y 6 (: 2) x y 3

, το σύστημα έχει άπειρες

λύσεις της μορφής: x,y 3 k,k , όπου k .

www.askisopolis.gr

10

2.19135. Δίνεται το σύστημαx y 34x 4y 6



Λύση

α) Είναι 2 1 3 και 4 2 4 1 8 4 12 6 δηλαδή αντικαθιστώντας τις τιμές τουζεύγους στις εξισώσεις του συστήματος παρατηρούμε ότι επαληθεύει την πρώτη εξίσωσηενώ δεν επαληθεύει την δεύτερη, άρα δεν είναι λύση του συστήματος.

β) x y 3x y 3 3 30x 0y 3 034x 4y 6 (: 4) 2 2x y

2

που είναι αδύνατο.

4.19501.Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 27 χρόνια, και οΜάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη.α) Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 13)β) Δίνεται επιπλέον η πληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια. Με ποιοτρόπο θα χρησιμοποιούσατε την πληροφορία αυτή για να υπολογίσετε την ηλικία τουκαθενός; (Μονάδες 12)

Λύση

α) Όχι δεν μπορούμε να βρούμε την ηλικία καθενός διότι αν θεωρήσουμε x,y τις ηλικίες τωνΜάρκου και Βασίλη αντίστοιχα τότε ισχύει x y 27 και σε αυτή την εξίσωση έχουμεδυο αγνώστους.

β) Η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια. Αυτό μας δίνει μια δεύτερη εξίσωση η οποίαείναι x y 5 και πλέον μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα σύστημα εξισώσεων από τοοποίο θα βρούμε τις ηλικίες .

Είναι x y 27

2x 32 x 16x y 5

, άρα ο Μάρκος είναι 16 ετών και ο Βασίλης είναι

16 5 11 ετών.

4.19502.Δίνεται το σύστημα 1

2x y 2λx y 5

, με παράμετρο λ

α) Να λύσετε το σύστημα για λ 1 . (Μονάδες 12)β) Να δώσετε μια τιμή στο λ, ώστε το σύστημα 1 να είναι αδύνατο και να επαληθεύσετετην απάντησή σας λύνοντάς το. (Μονάδες 13)

Λύση

α) Για λ 1 το σύστημα 1 γίνεται

2x y 22x y 2

2x y x y 2 5 x 7x y 5 1λx y 5

Από την (1) για x 7 έχουμε: 7 y 5 y 5 7 12

Λύση του συστήματος είναι το ζεύγος x, y 7, 12 .

www.askisopolis.gr

11

β) Θεωρούμε την τιμή λ 2 και λύνουμε το σύστημα 2x y 2 2x y 2

2x y 2x y 2 5 0 7λx y 5 2x y 5

αδύνατη, άρα το σύστημα

είναι αδύνατο.

4.19505.Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος x cm, πλάτος y cm, περίμετροίση με 28 cm και με την ακόλουθη ιδιότητα:Αν διπλασιάσουμε το μήκος του και διατηρήσουμε το πλάτος του ίδιο τότε, το νέο ορθογώνιοπου προκύπτει έχει περίμετρο ίση με 48 cm.α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

(Μονάδες 10)β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων x, y του αρχικού ορθογωνίου. (Μονάδες 15)

Λύση

α) Το αρχικό παραλληλόγραμμο έχει μήκος x cm, πλάτος y cm και περίμετρο:Π 2x 2y 28 2x 2y

Αν διπλασιάσουμε το μήκος του και διατηρήσουμε το πλάτος του ίδιο, τότε το νέοορθογώνιο θα έχει περίμετρο: Π 2 2x 2y 48 4x 2y

Άρα έχουμε το σύστημα:2x 2y 284x 2y 48

β) Λύνουμε το σύστημα του (α) ερωτήματος και έχουμε:2x 2y 28 (1)4x 2y 48 (2)

Αφαιρώντας τις (1) και (2) κατά μέλη έχουμε 202x 20 x x 1010

καιx 10

2x 2y 28 2 10 2y 28 20 2y 28 2y 28 20 2y 8 y 4

Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος 10,4 .Επομένως το αρχικό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος 10cm και πλάτος 4cm.

4.19506.Από ένα σταθμό διοδίων πέρασαν συνολικά 730 οχήματα (αυτοκίνητα καιμοτοσικλέτες) και εισπράχθηκαν 1376 ευρώ. Ο οδηγός κάθε αυτοκινήτου πλήρωσε 2 ευρώ,ενώ ο οδηγός κάθε μοτοσικλέτας πλήρωσε 1,2 ευρώ.α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

(Μονάδες 10)β) Να βρείτε πόσα ήταν τα αυτοκίνητα και πόσες οι μοτοσυκλέτες. (Μονάδες 15)

Λύση

α) Έστω x τα αυτοκίνητα και y οι μοτοσικλέτες.Επειδή από το σταθμό διοδίων πέρασαν συνολικά 730 οχήματα, ισχύει ότι x y 730 .Επειδή ο οδηγός κάθε αυτοκινήτου πλήρωσε 2 ευρώ, ενώ ο οδηγός κάθε μοτοσικλέταςπλήρωσε 1,2 ευρώ, ισχύει ότι 2x 1,2y 1376

Το σύστημα των δύο εξισώσεων είναι:x y 730

2x 1,2y 1376

www.askisopolis.gr

12

β) 2x 2y 1460x y 730 2 840,8y 84 y 1052x 1,2y 1376 0,82x 1,2y 1376

Για y 105 , η εξίσωση x y 730 γίνεται: x 105 730 x 730 105 625 Δηλαδή τα αυτοκίνητα ήταν 625 και οι μοτοσυκλέτες 105.

4.19508. Ο Βαγγέλης θέλει να κλείσει την πόρτα του συνεργείου του με αλυσίδα.Μετρώντας είδε ότι θα χρειαστεί 8 μέτρα αλυσίδας. Όταν πήγε να την αγοράσει, χρειάστηκενα πάρει δύο κομμάτια αλυσίδας για να φτάσει τα 8 μέτρα. Μόνο που τα δύο κομμάτια αυτάδεν κόστιζαν το ίδιο.Το ένα κόστιζε 2 ευρώ το μέτρο και το άλλο 4 ευρώ το μέτρο. Συνολικά πλήρωσε 22 ευρώ.α) Αν x και y είναι τα μήκη των δύο κομματιών πώς μπορείτε με μια εξίσωση ναεκφράσετε το συνολικό μήκος της αλυσίδας; (Μονάδες10)β) Πόσα μέτρα από το κάθε κομμάτι αγόρασε ο Βαγγέλης; (Μονάδες 15)

Λύση

α) Επειδή όλη η αλυσίδα έχει μήκος 8 m, είναι x y 8 .

β) Τα x μέτρα από το πρώτο κομμάτι αλυσίδας κόστιζαν 2x ευρώ και τα y μέτρα από τοδεύτερο κομμάτι αλυσίδας κόστιζαν 4y ευρώ. Επειδή συνολικά πλήρωσε 22 ευρώ, έχουμετην εξίσωση 2x 4y 22 .Κατασκευάζουμε το σύστημα :

x y 8 x 8 y x 8 y2x 4y 22 2(8 y) 4y 22 16 2y 4y 22

x 8 y2y 22 16

x 8 y x 8 3 52y 6 y 3

Δηλαδή αγόρασε 5 μετρά από το πρώτο κομμάτι και 3 μέτρα από το δεύτερο κομμάτιαλυσίδας.

4.19513.Στον πίνακα της τάξης υπάρχουν γραμμένα δύο συστήματα.

(Σ1)4x 3y 52x 6y 10

και (Σ2)

2x y 54x 2y 5

α) Ποιο από τα δύο συστήματα είναι αδύνατο;Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 12)β) Στον πίνακα της τάξης δίπλα στα συστήματααυτά υπάρχουν και οι διπλανές γραφικέςπαραστάσεις δύο ευθειών σε σύστημα αξόνων.Ο Κώστας θυμάται ότι όταν ο καθηγητής σχεδίασεαυτές τις δύο ευθείες είπε ότι είναι οι ευθείες ενόςαπό τα δύο παραπάνω συστήματα. Δε θυμάταιόμως αν ήταν του (Σ1) ή του (Σ2). Σε ποιο από ταδύο συστήματα αντιστοιχούν οι ευθείες αυτές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.


α) Για το Σ2 έχουμε:2 1

D 2 2 4 1 4 4 04 2 , δηλαδή το σύστημα είναι αδύνατο ή

αόριστο. Είναι:

www.askisopolis.gr

12

β) 2x 2y 1460x y 730 2 840,8y 84 y 1052x 1,2y 1376 0,82x 1,2y 1376



Λύση



x y 8 x 8 y x 8 y2x 4y 22 2(8 y) 4y 22 16 2y 4y 22

x 8 y2y 22 16

x 8 y x 8 3 52y 6 y 3



(Σ1)4x 3y 52x 6y 10

και (Σ2)

2x y 54x 2y 5







www.askisopolis.gr

12

β) 2x 2y 1460x y 730 2 840,8y 84 y 1052x 1,2y 1376 0,82x 1,2y 1376



Λύση



x y 8 x 8 y x 8 y2x 4y 22 2(8 y) 4y 22 16 2y 4y 22

x 8 y2y 22 16

x 8 y x 8 3 52y 6 y 3



(Σ1)4x 3y 52x 6y 10

και (Σ2)

2x y 54x 2y 5







www.askisopolis.gr

13

2x y 52x y 554x 2y 5 : 2 2x y2

, οπότε το σύστημα είναι αδύνατο.

β) Οι ευθείες αυτές είναι τεμνόμενες και αντιστοιχούν στο Σ1 που έχει λύση. Το Σ2 που είναιαδύνατο αντιπροσωπεύει δύο ευθείες που είναι παράλληλες.

4.19514. Δίνεται η ευθεία (ε1) με εξίσωση: 3x 8y 30 α) Να βρείτε το κοινό σημείο της ευθείας (ε1) με την (ε2) που έχει εξίσωση x y 5 .

(Μονάδες 15)β) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας (ε3) που να μην έχει κανένα κοινό σημείο με τηνευθεία (ε1) και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10)

Λύση

α) Για να βρούμε το κοινό σημείο των δύο ευθειών θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεώντους. Είναι

3x 8y 30 3(5 y) 8y 30 15 3y 8y 30 5y 15 y 3x y 5 x 5 y x 5 y x 5 y x 2

Άρα η λύση είναι: x,y 2,3 .

β) Αφού η ευθεία ε3 δεν έχει κανένα κοινό σημείο με την ε1 θα είναι παράλληλη με αυτήν,οπότε η εξίσωση της θα είναι της μορφής 3x 8y k με k 30 γιατί αν k 30 οι δύοευθείες θα ταυτίζονταν. Μια τέτοια εξίσωση είναι η 3x 8y 20 .

4.19515.Δίνεται η ευθεία (ε1) με εξίσωση: 5x 8y 32 .

α) Να βρείτε το κοινό σημείο της ευθείας (ε1) με την (ε2) που έχει εξίσωση 1 x y 52

(Μονάδες 15)β) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας (ε3) που να μην έχει κανένα κοινό σημείο με τηνευθεία (ε1) και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10)

Λύση

α) Για να βρούμε το κοινό σημείο των δύο ευθειών θα λύσουμε το σύστημα των δύοεξισώσεων. Είναι

5x 8y 32 5x 8y 32 5(10 2y) 8y 32 50 10y 8y 321 x 2y 10 x 10 2y x 10 2yx y 52

18y 32 50 18y 18 y 1 y 1

x 10 2y x 10 2y x 10 2 x 8

Άρα η λύση είναι: x,y 8,1 .

β) Αφού η εξίσωση ε3 δεν έχει κανένα κοινό σημείο με την ε1 θα είναι παράλληλη με αυτήν,άρα θα έχει εξίσωση της μορφής 5x 8y k με k 32 γιατί αν k 32 οι δύο ευθείες θαταυτίζονταν. Μια τέτοια εξίσωση είναι η 5x 8y 20 .

www.askisopolis.gr

14

4.19516.Δίνεται η ευθεία (ε1) με εξίσωση: 34x y 102 .

α) Να βρείτε το κοινό σημείο της ευθείας (ε1) με την (ε2) που έχει εξίσωση 1x y 54 .

(Μονάδες 15)

β) Να δώσετε μια τιμή στον αριθμό λ ώστε η εξίσωση της ευθείας (ε3) :912x y λ2 να μην

έχει κανένα κοινό σημείο με την ευθεία (ε1) και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.(Μονάδες 10)

Λύση

α) Για να βρούμε το κοινό σημείο των δύο ευθειών θα λύσουμε το σύστημα τωνεξισώσεών τους.

34x y 10 8x 3y 20 8x 3(20 4x) 20 8x 60 12x 2021 4x y 20 y 20 4x y 20 4xx y 54

8x 12x 20 60 20x 80 x 4 x 4y 20 4x y 20 4x y 20 4 4 y 4

Άρα η λύση είναι: x,y 4,4

β) Το σύστημα των ε1 και ε3 έχει ορίζουσα

D=

349 32 4 12 18 18 0

9 2 212

2

, οπότε θα είναι αδύνατο ή θα έχει

άπειρες λύσεις. Είναι

33 4x y 104x y 10223 λ9 4x y12x y λ : 32 32

Είναι φανερό πως αν λ 10 λ 303 το σύστημα θα έχει άπειρες λύσεις, άρα για να είναι

αδύνατο πρέπει λ 30 . Έστω λ 20 , τότε η ευθεία (ε3) έχει εξίσωση 912x y 202 .

4.19517.Δίνεται το σύστημα2x y 114x 2y λ

με παράμετρο λ.

α) Να λύσετε το σύστημα για λ 10 . (Μονάδες 15)β) Να δώσετε μια τιμή στην παράμετρο λ ώστε το σύστημα που θα προκύψει να έχει άπειρεςλύσεις. (Μονάδες 5)γ) Να δώσετε μια τιμή στην παράμετρο λ ώστε η ευθεία 4x 2y λ που θα προκύψει ναείναι παράλληλη με την ευθεία 2x y 11 . (Μονάδες 5)

Λύση

α) Για λ 10 το σύστημα γίνεται2x y 11

4x 2y 10

2x y 112x y 5

και επειδή τα πρώτα

www.askisopolis.gr

15

μέλη είναι ίσα θα πρέπει 11 5 που είναι άτοπο άρα το σύστημα είναι αδύνατο.

β) (Για να έχει το σύστημα άπειρες λύσεις θα πρέπει οι ευθείες που αντιστοιχούν στις δυοεξισώσεις του συστήματος να ταυτίζονται δηλαδή οι συντελεστές των δυο εξισώσεων ναείναι ανάλογοι).

Για λ 22 το σύστημα γίνεται2x y 11

4x 2y 22

2x y 112x y 11

2x y 11 οπότε το

σύστημα έχει άπειρες λύσεις που οι εικόνες τους είναι τα σημεία της ευθείας 2x y 11 .

γ) Για λ 10 δείξαμε στο πρώτο ερώτημα ότι το σύστημα είναι αδύνατο δηλαδή οι ευθείεςείναι παράλληλες αφού δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.

4.19520.Στο διπλανό σύστημα αξόνων έχουν σχεδιαστείοι ευθείες 4x 3y 14 και 5x 2y 6 που τέμνονται στοσημείο Α.

α) Πόσες λύσεις έχει το σύστημα4x 3y 145x 2y 6

;

(Μονάδες 5)

β) Να λύσετε το παραπάνω σύστημα.(Μονάδες 15)

γ) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α;(Μονάδες 5)

Λύση

α) 1ος τρόπος: Από τη γραφική παράσταση προκύπτει ότι οι δύο ευθείες έχουν ένα σημείο

τομής, άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση.

2ος τρόπος:Η ορίζουσα του συστήματος είναι4 3

D 8 15 23 05 2

άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση.

β) x

14 3D 28 18 46

6 2

, y

4 14D 24 70 46

5 6 .

Επειδή D 23 , η μοναδική λύση του συστήματος είναιxD 46x 2

D 23

και yD 46y 2D 23

γ) Οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι Α(2,2) που είναι η λύση του συστήματος.

www.askisopolis.gr

15




4x 2y 22

2x y 112x y 11






;

(Μονάδες 5)



Λύση




D 8 15 23 05 2


β) x

14 3D 28 18 46

6 2

, y

4 14D 24 70 46

5 6 .


D 23

και yD 46y 2D 23


www.askisopolis.gr

15




4x 2y 22

2x y 112x y 11






;

(Μονάδες 5)



Λύση




D 8 15 23 05 2


β) x

14 3D 28 18 46

6 2

, y

4 14D 24 70 46

5 6 .


D 23

και yD 46y 2D 23


www.askisopolis.gr

16

4.19521.Δίνεται το σύστημα 12x y 3

4x 2y 6

.

α) Να λύσετε το 1 . (Μονάδες 10)

β) Είναι το σημείο A 1, 1 μια λύση του συστήματος

1 ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.(Μονάδες 5)

γ) Στο διπλανό σύστημα αξόνων έχουν σχεδιαστεί οι ευθείες(ε) με τύπο 2x y 3 και (ζ) που τέμνονται στο σημείο Α.Μπορεί ο τύπος της (ζ) να είναι 4x 2y 6 ;Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.


α) 2x 3 y2x y 3 2x 3 y

4x 2 2x 3 64x 2y 6 4x

4x2x 3 y

6 6 6 6 ισχύει

.

Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις που είναι της μορφής x,2x 3 , x .

β) Το σημείο A 1, 1 είναι μια λύση του συστήματος αν επαληθεύει την εξίσωση

y 2x 3 . Είναι 1 2 1 3 ισχύει , άρα το Α είναι μια λύση του 1 .

γ) Επειδή οι ευθείες (ζ) και (ε) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, ενώ η (ε) με την 4x 2y 6 έχουν άπειρα κοινά σημεία , δεν μπορεί η (ζ) να έχει εξίσωση 4x 2y 6 .


12x 3y 27

.


β) Είναι το σημείο A 2,1 μια λύση του συστήματος 1 ; Να αιτιολογήσετε την απάντησήσας. (Μονάδες 5)γ) Μπορείτε να βρείτε άλλη λύση του συστήματος 1 ; (Μονάδες 10)

Λύση

α) y 9 4x4x y 9 y 9 4x

12x 3 9 4x 2712x 3y 27 12x

27 12x y 9 4x

27 27 27 ισχύει

Άρα το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής κ,9 4κ , κ .

β) Το σημείο A 2,1 είναι μια λύση του συστήματος αν επαληθεύει την εξίσωση

y 9 4x . Είναι 1 9 4 2 ισχύει , άρα το Α είναι μια λύση του 1 .

γ) Επειδή οι λύσεις του συστήματος είναι της μορφής κ,9 4κ , κ για κ 1

προκύπτει 1,9 4 1 1,5 , άρα μια λύση του συστήματος 1 είναι το 1,5 .

4.19528. Δίνεται το σύστημα 1x 3y 1

x λy 3

, με παράμετρο λ .

www.askisopolis.gr

16


4x 2y 6

.






α) 2x 3 y2x y 3 2x 3 y

4x 2 2x 3 64x 2y 6 4x

4x2x 3 y


.






12x 3y 27

.



Λύση

α) y 9 4x4x y 9 y 9 4x

12x 3 9 4x 2712x 3y 27 12x

27 12x y 9 4x








x λy 3


www.askisopolis.gr

16


4x 2y 6

.






α) 2x 3 y2x y 3 2x 3 y

4x 2 2x 3 64x 2y 6 4x

4x2x 3 y


.






12x 3y 27

.



Λύση

α) y 9 4x4x y 9 y 9 4x

12x 3 9 4x 2712x 3y 27 12x

27 12x y 9 4x








x λy 3


www.askisopolis.gr

17

α) Να λύσετε το 1 για λ 2 . (Μονάδες 12)β) Να δώσετε μια τιμή στο λ, ώστε το σύστημα 1 να είναι αδύνατο καινα επαληθεύσετε την απάντησή σας λύνοντάς το. (Μονάδες 13)

Λύση

α) Για λ 2 το 1 γίνεται:x 3y 1 x 1 3y x 1 3y x 1 3y x 1 3 4 11

x 2y 3 1 3y 2y 3 y 3 1 y 4 y 4

Λύση του συστήματος είναι το ζεύγος x,y 11,4 .

β) Το σύστημα έχει ορίζουσα1 3

D λ 31 λ .

Αν D 0 λ 3 το σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις.

Για λ 3 το 1 γίνεται:x 3y 1

x 3y 3

. Οι δύο εξισώσεις έχουν τα πρώτα τους μέλη ίσα,

οπότε και τα δεύτερα μέλη τους είναι ίσα, δηλαδή 1 3 που είναι αδύνατο.

4.19529. Δίνεται το σύστημα 14x y 5

λx 2y 10


α) Να λύσετε το 1 για λ 3 . (Μονάδες 12)β) Να δώσετε μια τιμή στο λ, ώστε το σύστημα 1 να έχει άπειρο πλήθος λύσεων καινα επαληθεύσετε την απάντησή σας λύνοντάς το. (Μονάδες 13)

Λύση

α) Για λ 3 το 1 γίνεται: y 5 4x4x y 5

3x 2 5 4x 103x 2y 10

y 5 4x

3x 10

8x 10 y 5 4x y 5 4 0 5

5x 0 x 0

Λύση του συστήματος είναι το ζεύγος x,y 0,5

β) Το σύστημα έχει ορίζουσα4 1

D 8 λλ 2 .

Αν D 0 λ 8 το σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις.

Για λ 8 το 1 γίνεται:4x y 5 4x y 5

4x y 5 y 5 4x8x 2y 10 : 2 4x y 5

.

Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις που είναι της μορφής x,y x,5 4x , x

4.19533-4.19534. Δίνεται ένα ισοσκελές τρίγωνο με βάση μήκους x cm, ενώ η κάθε μια απότις ίσες πλευρές του έχει μήκος y cm. Η περίμετρος του τριγώνου είναι ίση με 19 cm. Ανδιπλασιάσουμε τα μήκη κάθε μιας από τις ίσες πλευρές του και διατηρήσουμε το μήκος τηςβάσης του τότε προκύπτει νέο τρίγωνο που έχει περίμετρο ίση με 33 cm.α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

(Μονάδες 10)β) Να βρείτε τις τιμές των μηκών x, y του αρχικού τριγώνου. (Μονάδες 15)

www.askisopolis.gr

18

Λύση

α) Επειδή η περίμετρος του τριγώνου είναι ίση με 19 cm,ισχύει ότι: x 2y 19 (1)Το νέο τρίγωνο έχει βάση με μήκος x cm και ίσες πλευρές μεμήκος 2y cm η κάθε μία, άρα η περίμετρός του είναι:x 2y 2y x 4y , οπότε x 4y 33 (2)

Από (1),(2) προκύπτει το σύστημαx 2y 19x 4y 33

β) Λύνουμε το σύστημα του (α) ερωτήματος και έχουμε:

x 2y 19 x 19 2y x 19 2y x 19 2yx 4y 33 x 4y 33 19 2y 4y 33 2y 33 19

x 19 2 7 5x 19 2y

142y 14 y 72

Άρα το αρχικό τρίγωνο έχει βάση 5cm και κάθε μία από τις ίσες πλευρές του 7cm.

4.19535. Για έναν αγώνα ποδοσφαίρου υπήρχαν δύο είδη εισιτηρίων. Τα φτηνά των 5 ευρώκαι αυτά των 10 ευρώ που είναι σε λίγο καλύτερη θέση.Συνολικά κόπηκαν 947 εισιτήρια και οι συνολικές εισπράξεις ήταν 6.310 ευρώ.α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

(Μονάδες 10)β) Να βρείτε πόσα εισιτήρια των 5 και πόσα των 10 ευρώ κόπηκαν στον αγώνα.


α) Έστω x τα εισιτήρια των 5 ευρώ και y τα εισιτήρια των 10 ευρώ. Επειδή τα συνολικάεισιτήρια που κόπηκαν είναι 947 τότε έχουμε την εξίσωση x y 947 .Επίσης οι συνολικές εισπράξεις ήταν 6.310 ευρώ οπότε έχουμε την εξίσωση5x 10y 6310 .

Συνεπώς προκύπτει το σύστημαx y 947

( ) :5x 10y 6310

β) Από την επίλυση του συστήματος έχουμε :

y 947 xx y 947 y 947 x5x 10 947 x 63105x 10y 6310 5x 9470 10x 6310

y 947 x y 947 x y 947 632 y 3155x 10x 6310 9470 5x 3160 x 632 x 632

Άρα κόπηκαν 632 εισιτήρια των 5 ευρώ και 315 εισιτήρια των 10 ευρώ.

www.askisopolis.gr

18

Λύση





x 19 2 7 5x 19 2y

142y 14 y 72







( ) :5x 10y 6310


y 947 xx y 947 y 947 x5x 10 947 x 63105x 10y 6310 5x 9470 10x 6310

y 947 x y 947 x y 947 632 y 3155x 10x 6310 9470 5x 3160 x 632 x 632


www.askisopolis.gr

18

Λύση





x 19 2 7 5x 19 2y

142y 14 y 72







( ) :5x 10y 6310


y 947 xx y 947 y 947 x5x 10 947 x 63105x 10y 6310 5x 9470 10x 6310

y 947 x y 947 x y 947 632 y 3155x 10x 6310 9470 5x 3160 x 632 x 632


www.askisopolis.gr

19

Ιδιότητες Συναρτήσεων

Μονοτονία - ακρότατα

2.19161. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράστασημιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το .Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να απαντήσετε ταπαρακάτω ερωτήματα:α) Ποιο είναι το μέγιστο της f; (Μονάδες 5)β) Ένας από τους παρακάτω είναι ο τύπος της f. Ποιος είναι;Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 2 2 2f x x , f x x 4, f x x 4

(Μονάδες 10)γ) Να βρείτε τις τιμές f 2 και f 0 . (Μονάδες 10)

Λύση

α) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης παρατηρούμε πως ημέγιστη τιμή που παίρνει η f είναι η 4 στο 0x 0 , δηλαδή f x 4 f x f 0 για κάθε x . Άρα η f παρουσιάζειμέγιστο στο 0x 0 το 4.

β) Αρχικά η f δεν μπορεί να έχει τύπο 2f x x γιατί θα έπρεπενα διέρχεται από την αρχή των αξόνων.Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από κατακόρυφημετατόπιση της 2y x κατά 4 προς τα πάνω, οπότε 2f x x 4 .

γ) Είναι 2f 2 2 4 0 και 2f 0 0 4 4 .

2.19162. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράστασημιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το .Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να απαντήσετετα παρακάτω ερωτήματα:α) Ποιο είναι το ελάχιστο της f; (Μονάδες 5)β) Ένας από τους παρακάτω είναι ο τύπος της f. Ποιος είναι;Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 2 2 2f x x , f x x 9, f x x 9 (Μονάδες 10)

γ) Να βρείτε τις τιμές f 3 και f 0 .(Μονάδες 10)

Λύση

α) Η f έχει ελάχιστο το – 9 για x 0 .

β) Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από κατακόρυφημετατόπιση της 2y x κατά 9 θέσης κάτω, άρα 2f x x 9 .

www.askisopolis.gr

19





Λύση



γ) Είναι 2f 2 2 4 0 και 2f 0 0 4 4 .



Λύση



www.askisopolis.gr

19





Λύση



γ) Είναι 2f 2 2 4 0 και 2f 0 0 4 4 .



Λύση



www.askisopolis.gr

20

γ) Είναι 2f 3 3 9 9 9 0 και 2f 0 0 9 9

2.19308. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιαςσυνάρτησης f με πεδίο ορισμού το .α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α.

(Μονάδες 4)β) Ποιο είναι το ελάχιστο της f ;

(Μονάδες 7)γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναιi) γνησίως αύξουσαii) γνησίως φθίνουσα


α) Είναι A 1,3

β) Η f έχει ελάχιστο το 3 για x 1 .

γ) i) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 1, .

ii) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ,1 .

2.19316. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράστασημιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το . Με τη βοήθειατης γραφικής παράστασης να απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα:α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α.


(Μονάδες 7)γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι

i) γνησίως αύξουσαii) γνησίως φθίνουσα


α) Είναι A 3, 2

β) Η f έχει ελάχιστο το 2 για x 3 .γ) i) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 3, .

ii) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα , 3 .

www.askisopolis.gr

20

γ) Είναι 2f 3 3 9 9 9 0 και 2f 0 0 9 9

















www.askisopolis.gr

20

γ) Είναι 2f 3 3 9 9 9 0 και 2f 0 0 9 9

















www.askisopolis.gr

21

2.19318. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφικήπαράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το .Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης νααπαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα:α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β.

(Μονάδες 4)β) Ποιο είναι το μέγιστο της f ;



α) Είναι B 1,2

β) Η f έχει μέγιστο το 2 για x 1 .

γ) i) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ,1 .

ii) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 1, .

4.19518. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίοορισμού το .

α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς f 4 , f 5 , f 7 αφού τουςεντοπίσετε στο γράφημα. (Μονάδες 10)

β) Ένας συμμαθητής σας ισχυρίζεται ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίοορισμού της (το ). Συμφωνείτε μαζί του; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

(Μονάδες 10)γ) Είναι το x 5 θέση μεγίστου της συνάρτησης f ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 5)

Λύση

www.askisopolis.gr

21













(Μονάδες 5)

Λύση

www.askisopolis.gr

21













(Μονάδες 5)

Λύση

www.askisopolis.gr

22

α) Eίναι f 4 f 7 f 5 αφού στον y΄y άξονα όσο πιο πάνω είναι η εικόνα ενός αριθμούτόσο μεγαλύτερος είναι.

β) Όχι, γιατί αν ήταν γνησίως αύξουσα θα έπρεπε f 5 f 7 αφού 5 7 .

γ) Όχι, γιατί το f(6) είναι μεγαλύτερο από το f(5) συνεπώς υπάρχουν τιμές της f που είναιμεγαλύτερες από το f(5).

4.19519.Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφικήπαράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το .Με τη βοήθεια του σχήματος να απαντήσετε τα εξής

α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τουςαριθμούς f (α), f (β), f (3) αφού τουςεντοπίσετε στο γράφημα.

(Μονάδες 10)β) Παρουσιάζει η συνάρτηση f ελάχιστο στο β;Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 10)γ) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση f x 0 .Να βρείτε μια λύση της. (Μονάδες 5)

Λύση

α) Είναι f α 0,f 3 0,f β 0 άρα κατά αύξουσα σειρά είναι : f β f 3 f α .

β) Η συνάρτηση f δεν παρουσιάζει ελάχιστο στο β αφού όταν το x παίρνει τιμές θετικές καικοντά στο μηδέν οι τιμές του f x είναι μικρότερες του f β .

γ) Η εξίσωση έχει τρείς λύσεις αφού η γραφική παράσταση τέμνει τον x΄x σε τρία σημείακαι μια λύση αυτής είναι η x 3 .

4.19524-4.19525.Δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησηςf με πεδίο ορισμού το . Με τη βοήθεια της γραφικήςπαράστασης να απαντήσετε στα ακόλουθα:α) Ποιο είναι το ελάχιστο της f και για ποια τιμή του x τοπαρουσιάζει; (Μονάδες 6)β) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα x΄x να αποδείξετεότι ο τύπος της είναι y 1 .

(Μονάδες 5)γ) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να λύσετε τηνεξίσωση f x 1 . (Μονάδες 5)δ) Να δώσετε μια τιμή στον πραγματικό αριθμό κ ώστε ηεξίσωση f x κ να έχει δύο λύσεις . (Μονάδες 9)

Λύση

α) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης παρατηρούμε ότι η ελάχιστη τιμή της f είναι ητιμή 1 και την παρουσιάζει στο 0x 2 : f x 1 f x f 2 Άρα η f παρουσιάζειελάχιστο στο 0x 2 το 1.

β) Επειδή η ευθεία ε είναι παράλληλη στον άξονα x΄x, έχει συντελεστή διεύθυνσης

βα 3

0

f

www.askisopolis.gr

22








Λύση






Λύση



βα 3

0

f

www.askisopolis.gr

22








Λύση






Λύση



βα 3

0

f

www.askisopolis.gr

23

λ εφ0 0 , οπότε η εξίσωσή της είναι της μορφής y 0 x β y β . Επειδή η (ε)διέρχεται από το σημείο Α που έχει Ay 1 , η (ε) έχει εξίσωση y 1 .

γ) Οι λύσεις της εξίσωσης f x 1 είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικήςπαράστασης της f με την ευθεία (ε). Επειδή μοναδικό κοινό τους σημείο είναι το Α, ισχύειότι: Af x 1 x x 2 .

δ) Για να έχει η εξίσωση f x κ δύο λύσεις πρέπει η ευθεία (ζ): y κ να τέμνει τη fC καιαυτό συμβαίνει όταν η (ζ) βρίσκεται πάνω από την (ε), άρα όταν κ 1 . Έστω κ 2 .Η εξίσωση f x 2 έχει δύο λύσεις.

4.19526. Δίνεται η γραφική παράσταση τηςσυνάρτησης f με πεδίο ορισμού το που παρουσιάζειμέγιστο στο x 3 .α) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να βρείτεποιο είναι το μέγιστο της f; (Μονάδες 6)β) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α;

(Μονάδες 5)γ) Ποιος είναι ο τύπος της ευθείας (ε);

(Μονάδες 7)δ) Αν η ευθεία (ζ) είναι παράλληλη στην (ε) και έχειτύπο y κ όπου κ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση

f x κ είναι αδύνατη. (Μονάδες 7 )Λύση

α) Μέγιστο της f είναι το 1 γιατί το σημείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίοπαρουσιάζεται το μέγιστο είναι το Α και η τεταγμένη του είναι y 1 .

β) Επειδή στο Α παρουσιάζεται το μέγιστο της f είναι A 3,1 .

γ) Η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα x΄x, οπότε έχει συντελεστή διεύθυνσηςλ εφ0 0 , και επειδή διέρχεται από το A 3,1 , έχει εξίσωση y 1 .

δ) Επειδή η ευθεία (ζ) δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση της f, ηεξίσωση f x κ είναι αδύνατη.

4.19527. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησηςf με πεδίο ορισμού το που παρουσιάζει μέγιστο το 3στο x 2 .

α) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α;(Μονάδες 10)

β) Δίνεται ότι η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξοναx΄x . Να βρείτε τον τύπο της. (Μονάδες 5)

γ) Αν μια ευθεία (ζ) έχει τύπο της μορφής y κ και έχειδύο κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της f, τιγνωρίζετε για τον πραγματικό αριθμό κ;

(Μονάδες 10)

www.askisopolis.gr

23
















(Μονάδες 10)

www.askisopolis.gr

23
















(Μονάδες 10)

www.askisopolis.gr

24

Λύση

α) Επειδή στο σημείο Α η f παρουσιάζει μέγιστο, το Α έχει συντεταγμένες 2,3 .

β) Η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα x΄x, οπότε έχει συντελεστή διεύθυνσηςλ εφ0 0 , και επειδή διέρχεται από το A 2,3 , έχει εξίσωση y 3 .

γ) Αν κ 3 , τότε η (ζ) βρίσκεται πάνω από την (ε) και δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τηγραφική παράσταση της f.Αν κ 3 , τότε η (ζ) ταυτίζεται με την (ε) και έχει ένα κοινό σημείο με τη γραφικήπαράσταση της f.Τέλος αν κ 3 τότε η (ζ) βρίσκεται κάτω από την (ε) και τέμνει τη γραφική παράσταση τηςf, δηλαδή έχει 2 κοινά σημεία με αυτήν.Άρα η ευθεία (ζ) έχει δύο κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της f όταν κ 3 .

Κατακόρυφη – Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης

2.19164. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράστασημιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το .Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να απαντήσετε

τα παρακάτω ερωτήματα:α) Ποιο είναι το ελάχιστο της f; (Μονάδες 5)β) Ένας από τους παρακάτω είναι ο τύπος της f. Ποιος είναι;Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 2f x x , 2f x x 2 2f x x 2


Λύση

α) Η f έχει ελάχιστο το 0 για x 2 .

β) Επειδή η 2g x x μετατοπίζεται κατά 2 προς ταδεξιά παράλληλα με τον x΄x τότε ο τύπος της fείναι 2f x x 2

γ) Από τη γραφική παράσταση της f διαπιστώνουμεότι f 2 0 και f 0 4 .

ΤριγωνομετρίαΑναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

2.18803. Δίνεται ότι συνφ 45 με π0 φ

2 .

α) Να υπολογίσετε το ημφ. (Μονάδες 13)β) Αν η γωνία ω είναι συμπληρωματική της φ, να βρείτε το ημω, το συνω και την εφω.


www.askisopolis.gr

24

Λύση








Λύση






2 .



www.askisopolis.gr

24

Λύση








Λύση






2 .



www.askisopolis.gr

25

α) Έχουμε ότι2

2 2 2 2 24 16 16ημ φ συν φ 1 ημ φ 1 ημ φ 1 ημ φ 15 25 25

2 9 3ημ φ ημφ25 5

Επειδή π0 φ2

, είναι ημφ 0 άρα 3ημφ5 .

β) Έχουμε ότι ω 90 φ με π0 ω2

Για τις συμπληρωματικές γωνίες ισχύει ότι το

ημίτονο της μίας είναι ίσο το συνημίτονο της άλλης, δηλαδή

4ημω ημ 90 φ συνφ5

, 3συνω συν 90 φ ημφ5

και

4ημω 5εφωσυνω 3

5

43

2.18810.Δίνεται ότι 4συνφ5 , με π0 φ

2

α) Να υπολογίσετε το ημφ. (Μονάδες 13)β) Αν η γωνία ω είναι παραπληρωματική της φ, να βρείτε το ημω, το συνω και την εφω.


α)2

2 2 2 2 2 24 16 16 9ημ φ συν φ 1 ημ φ 1 ημ φ 1 ημ φ 1 ημ φ5 25 25 25

9 3ημφ ημφ25 5

Επειδή π0 φ2

δηλαδή είμαστε στο 1ο τεταρτημόριο με ημφ 0 , άρα 3ημφ5 .

β) Αφού ω είναι παραπληρωματική της φ τότε 0ω 180 φ άρα

0 3ημω ημ 180 φ ημφ5

, 0 4συνω συν 180 φ συνφ5

και

3ημω 5 3 35εφω 4συνω 4 5 4

5

2.18486. Δίνεται ότι 3συνφ4

, με π φ π2 .

α) Να υπολογίσετε το ημφ. (Μονάδες 13)β) Αν η γωνία ω είναι παραπληρωματική της φ, να βρείτε το ημω,το συνω και την εφω. (Μονάδες 12)

Λύση

α) Είναι2

2 2 2 2 23 9 9ημ φ συν φ 1 ημ φ 1 ημ φ 1 ημ φ 14 16 16

www.askisopolis.gr

26

2 7 7 7ημ φ ημφ16 16 4

Επειδή π φ π2 είναι ημφ 0 , άρα 7ημφ

4

β) Είναι ω 180 φ , άρα 7ημω ημ 180 φ ημφ4

,

3συνω συν 180 φ συνφ4

και


4

73

2.18487.Δίνεται ότι ημφ 34 με π φ π

2

α) Να υπολογίσετε το συνφ. (Μονάδες 13)β) Αν η γωνία ω είναι παραπληρωματική της φ, να βρείτε το ημω, το συνω και την εφω.



22 2 23 9φ συν φ 1 συν φ 1 συν φ4

η 116

μ

2 29 7 7συν φ 1 συν φ συνφ16 16 4

Επειδή π φ π2 , είναι συνφ 0 άρα 7συνφ

4

β) Έχουμε ότι ω 180 φ , άρα π0 ω2

Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν ίδια ημίτονα

και αντίθετους τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς, δηλαδή

ημω ημ 3φ4

, συνω σ 74

υνφ και ημωεφωσ

3

υνω4 7

4

3 3 777

.

2.19309. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίεςφ και θ.α) Ισχύει ότι το συνφ είναι θετικό και το συνθ είναι αρνητικό;Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 10)β) Σας δίνεται ότι το συνημίτονο μιας από τις γωνίες φ και

θ είναι ίσο με 35

.

i. Ποια εκ των γωνιών φ και θ έχει συνημίτονο ίσο με 35

;

ii. Να βρείτε το συνημίτονο της άλλης γωνίας. (Μονάδες 15)Λύση

www.askisopolis.gr

26

2 7 7 7ημ φ ημφ16 16 4


4


,


και


4

73


2




22 2 23 9φ συν φ 1 συν φ 1 συν φ4

η 116

μ

2 29 7 7συν φ 1 συν φ συνφ16 16 4


4




ημω ημ 3φ4

, συνω σ 74


3

υνω4 7

4

3 3 777

.




.


;


www.askisopolis.gr

26

2 7 7 7ημ φ ημφ16 16 4


4


,


και


4

73


2




22 2 23 9φ συν φ 1 συν φ 1 συν φ4

η 116

μ

2 29 7 7συν φ 1 συν φ συνφ16 16 4


4




ημω ημ 3φ4

, συνω σ 74


3

υνω4 7

4

3 3 777

.




.


;


www.askisopolis.gr

27

α) Επειδή η γωνία φ είναι οξεία ( π0 φ2

) τότε συνφ 0 και η γωνία θ είναι αμβλεία

( π θ π2 ) τότε συνθ 0 .

β) i) Αφού συνφ 0 τότε 3συνφ5 .

ii) Είναι θ π φ οπότε 3συνθ συν π φ συνφ5

.

2.19311.Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γωνία θ.

α) Το συνθ είναι θετικό ή αρνητικό;Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 10)

β) Αν 1ημθ4 να βρείτε το συνθ. (Μονάδες 15)

Λύση

α) Επειδή π θ π2 τότε συνθ 0 .

β) Από τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα γνωρίζουμε ότι2

2 2 2 2 21 1 1ημ θ συν θ 1 συν θ 1 συν θ 1 συν θ 14 16 16

2 15 15συν θ συνθ16 4 ,όμως συνθ 0 άρα 15συνθ

4

2.19313. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η ορθή γωνία ΒΑΓ και οι

γωνίες ω με 2συνω3 και φ.

α) Να αποδείξετε ότι 5ημω3

. (Μονάδες 7)

β) Να βρείτε τα ημφ, συνφ.(Μονάδες 18)

Λύση

α) Είναι2

2 2 2 22 4ημ ω συν ω 1 ημ ω 1 ημ ω 13 9

2 24 5 5ημ ω 1 ημ ω ημω9 9 3

, όμως π0 ω2

οπότε ημω 0 άρα 5ημω3

.

β) Επειδή πφ ω2 τότε

π 2ημφ ημ ω συνω2 3

και π 5συνφ συν ω ημω2 3

www.askisopolis.gr

27






.



(Μονάδες 10)


Λύση





4






Λύση

α) Είναι2

2 2 2 22 4ημ ω συν ω 1 ημ ω 1 ημ ω 13 9

2 24 5 5ημ ω 1 ημ ω ημω9 9 3

, όμως π0 ω2


.




www.askisopolis.gr

27






.



(Μονάδες 10)


Λύση





4






Λύση

α) Είναι2

2 2 2 22 4ημ ω συν ω 1 ημ ω 1 ημ ω 13 9

2 24 5 5ημ ω 1 ημ ω ημω9 9 3

, όμως π0 ω2


.




www.askisopolis.gr

28

2.19314. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι

γωνίες φ με 3ημφ5 και θ.

α) Να υπολογίσετε το συνφ .(Μονάδες 15)

β) Να υπολογίσετε ημθ, συνθ .(Μονάδες 10)

Λύση

α) Είναι2

2 2 2 2 23 9 9ημ φ συν φ 1 συν φ 1 συν φ 1 συν φ 15 25 25

2 16 4συν φ συνφ25 5 ,όμως π0 φ

2 οπότε συνφ 0 άρα 4συνφ

5

β) Είναι θ π φ οπότε

3ημθ ημ π φ ημφ5

και 4συνθ συν π φ συνφ5

.

2.19320. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίεςφ και θ. Σας δίνεται ότι το συνημίτονο μιας από τις γωνίες φ

και θ είναι ίσο με 34 .

α) Ποια εκ των γωνιών φ και θ έχει συνημίτονο 34 και γιατί;

(Μονάδες 10)β) Να βρείτε το συνημίτονο της άλλης γωνίας. (Μονάδες 15)

Λύση

α) Η γωνία φ είναι οξεία και το συνημίτονό της είναι θετικός αριθμός, ενώ η θ είναι αμβλεία

και το συνημίτονό της είναι αρνητικός αριθμός, άρα 3συνθ4

.

β) Επειδή οι γωνίες φ και θ είναι παραπληρωματικές, ισχύει ότι:

Είναι 3συνφ συν 180 θ συνθ4

2.19321.Στο διπλανό σχήμα δίνεται η ευθεία ε και οι

γωνίες θ και φ με 4συνφ5 .

α) Να υπολογίσετε το ημφ . (Μονάδες 15)β) Να υπολογίσετε τα ημθ, συνθ . (Μονάδες 10)

Λύση

α)2

2 2 2 24 16ημ φ συν φ 1 ημ φ 1 ημ φ 15 25

2 216 9ημ φ 1 ημ φ25 25


www.askisopolis.gr

28





Λύση

α) Είναι2




5




.





Λύση



.






Λύση

α)2

2 2 2 24 16ημ φ συν φ 1 ημ φ 1 ημ φ 15 25

2 216 9ημ φ 1 ημ φ25 25


www.askisopolis.gr

28





Λύση

α) Είναι2




5




.





Λύση



.






Λύση

α)2

2 2 2 24 16ημ φ συν φ 1 ημ φ 1 ημ φ 15 25

2 216 9ημ φ 1 ημ φ25 25


www.askisopolis.gr

29

Επειδή συνφ 0 είναι πφ 0,2

άρα ημφ 0 , οπότε 3ημφ5 .

β) Η γωνία θ είναι παραπληρωματική της γωνίας φ δηλαδή 0θ 180 φ , άρα

0 3ημθ ημ 180 φ ημφ5

και 0 4συνθ συν 180 φ συνφ5

2.19322 – 2.19323. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και

οι γωνίες θ με 3ημθ5 και φ.

α) Να αποδείξετε ότι 4συνθ5


β) Να υπολογίσετε τα ημφ, συνφ . (Μονάδες 15)Λύση

α) Είναι2

2 2 2 2 23 9 9 16ημ θ συν θ 1 συν θ 1 συν θ 1 συν θ 15 25 25 25

16 4συνθ25 5

.

Όμως η γωνία θ είναι αμβλεία, άρα συνθ 0 , οπότε 4συνθ5

.


4συνφ συν 180 θ συνθ5

και 3ημφ ημ 180 θ ημθ5

2.19324. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η ορθή γωνία ΒΑΓ και οι γωνίες

ω με 5ημω3

και φ.

α) Να αποδείξετε ότι 2συνω3 . (Μονάδες 7)

β) Να βρείτε τα ημφ, συνφ. (Μονάδες 18)

Λύση

α)2

2 2 2 2 25 5 5 4ημ ω συν ω 1 συν ω 1 συν ω 1 συν ω 13 9 9 9

2συνω3

. Επειδή 0 ω 90 , είναι συνω 0 , άρα 2συνω3 .

β) Επειδή οι γωνίες ω και φ είναι συμπληρωματικές, ισχύει ότι φ 90 ω , άρα

2ημφ ημ 90 ω συνω3

και 5συνφ συν 90 ω ημω3

www.askisopolis.gr

29











α) Είναι2


16 4συνθ25 5

.


.





ω με 5ημω3

και φ.



Λύση

α)2


2συνω3





www.askisopolis.gr

29











α) Είναι2


16 4συνθ25 5

.


.





ω με 5ημω3

και φ.



Λύση

α)2


2συνω3





www.askisopolis.gr

30

4.19503-4.19504.Δίνεται η εξίσωση: 2ημx 1 ημx 03

α) Να βρείτε το ημx . (Μονάδες 9)

β) Αν πx 0,2

, να υπολογίσετε:

i. το συνx (Μονάδες 8) ii. την εφx (Μονάδες 8)Λύση

α) 2 2ημx 1 ημx 0 ημx 1 ή ημx3 3

β) i) Αν πx 0,2

τότε ημx 0 , οπότε 2ημx3 .

Είναι2

2 2 2 2 22 4 4 5ημ x συν x 1 συν x 1 συν x 1 συν x 13 9 9 9

5συνx3

. Επειδή πx 0,2

είναι συνx 0 , άρα 5συνx3

ii) ημxεφxσ

2

υνx3 5

3

2 2 555

4.19507.Στον διπλανό κύκλο, οι γωνίες ω και φ είναι επίκεντρες,με συνφ 0,8 .α) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας ω.

(Μονάδες 10)β) Αν ο κύκλος έχει διάμετρο ΑΒ = 20cm και το τόξοΑΜ έχει μήκος 25cm, τότε:i) Να αποδείξετε ότι η γωνία ω είναι ίση με 2,5 rad (ακτίνια).

(Μονάδες 10)ii) Nα βρείτε το συνημίτονο της γωνίας που έχει μέτρο ίσο με 2,5 rad (ακτίνια).


α) Είναι: 180 180 τότε : (180 ) 0,8

β) i)Γνωρίζουμε ότι το μήκος του τόξου ΑΜ είναι : R , α= επίκεντρη γωνία σε

ακτίνια , R= ακτίνα του κύκλου 25R 25 10 2,5 rad10

.

ii) Η γωνία που έχει μέτρο ίσο με 2,5 rad είναι η ω και έχει συνημίτονο: 0,8

4.19530. Δίνεται η εξίσωση 3 1συνx συνx 05 3

.

α) Να βρείτε το συνx . (Μονάδες 9)

www.askisopolis.gr

30



β) Αν πx 0,2




β) i) Αν πx 0,2


Είναι2


5συνx3



ii) ημxεφxσ

2

υνx3 5

3

2 2 555





α) Είναι: 180 180 τότε : (180 ) 0,8



.



.


www.askisopolis.gr

30



β) Αν πx 0,2




β) i) Αν πx 0,2


Είναι2


5συνx3



ii) ημxεφxσ

2

υνx3 5

3

2 2 555





α) Είναι: 180 180 τότε : (180 ) 0,8



.



.


www.askisopolis.gr

31

β) Αν πx ,π2

να υπολογίσετε:

i. το ημx (Μονάδες 8) ii. την εφx (Μονάδες 8)Λύση

α) 3 1 3 3 1 1συνx συνx 0 συνx 0 συνx ή συνx 0 συνx5 3 5 5 3 3

β) Αν πx ,π2

, τότε συνx 0 , οπότε 3συνx5

i. Είναι2

2 2 2 2 23 9 9 16ημ x συν x 1 ημ x 1 ημ x 1 ημ x 15 25 25 25

4ημx5

. Επειδή πx ,π2

, είναι ημx 0 άρα 4ημx5 .

ii.

4ημx 5εφxσυνx 3

5

43

4.19531. Δίνεται η εξίσωση 3ημx 2 ημx 05

.


β) Αν πx ,π2

να υπολογίσετε:


α) 3 3 3ημx 2 ημx 0 ημx 2 0 ημx 2αδύνατο ή ημx 0 ημx5 5 5

β) i. Είναι2

2 2 2 23 9ημ x συν x 1 συν x 1 συν x 15 25

2 9 16συν x 125 25

4συνx5

. Επειδή πx ,π2

, είναι συνx 0 άρα 4συνx5

.

ii.


5

34

4.19532. Δίνεται η εξίσωση 1συνx συνx 2 04

.

α) Να βρείτε το συνx . (Μονάδες 13)β) Αν x 0,π να υπολογίσετε:

i. το ημx (Μονάδες 6) ii. την εφx (Μονάδες 6)

www.askisopolis.gr

32

Λύση

α) 1 1 1συνx συνx 2 0 συνx 0 συνx ή4 4 4

συνx 2 0 συνx 2 αδύνατο

β) i. Είναι2

2 2 2 2 21 1 1 15ημ x συν x 1 ημ x 1 ημ x 1 ημ x 14 16 16 16

15ημx4

. Επειδή x 0,π , είναι ημx 0 άρα 15ημx4

.

ii.


4

15

Τριγωνoμετρικές συναρτήσεις

2.19137. Δίνεται η συνάρτηση f x 2ημx με πεδίο ορισμού το .α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες 5)β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; (Μονάδες 10)γ) Να αποδείξετε ότι f 0 f 8π . (Μονάδες 10)

Λύση

α) Είναι 2π 2π= =2πω 1

.

β) Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι το 2 και την παίρνει όταν ημx 1 , δηλαδή ότανπx 2κπ2

και το ελάχιστο είναι το 2 και το παίρνει όταν πx 2κπ2

, κ .

γ) Ισχύει: f 0 2ημ0 0 και f 8π 2ημ8π 2 ημ 4 2π 0 . Άρα f 0 f 8π .

2.19138. Δίνεται η συνάρτηση f x 4ημx με πεδίο ορισμού το .α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες 5)β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; (Μονάδες 10)γ) Να αποδείξετε ότι f 0 f 6π . (Μονάδες 10)

Λύση

α) Είναι 2π 2π= =2π

ω 1 .

β) Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι το 4 και την παίρνει όταν ημx 1 , δηλαδή ότανπx 2κπ2

και το ελάχιστο είναι το 4 και το παίρνει όταν πx 2κπ2

, κ .

γ) Είναι f 0 4ημ0 0 και f 6π 4ημ6π 4 ημ 3 2π 0 , άρα f 0 f 6π .

www.askisopolis.gr

33

2.19139.Δίνεται η συνάρτηση 3f x συνx2 με πεδίο ορισμού το .

α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες 5)β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; (Μονάδες 10)γ) Να αποδείξετε ότι f 0 f 2π . (Μονάδες 10)

Λύση


.

β) Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι το 32

και τη παίρνει όταν συνx 1 δηλαδή όταν

x 2κπ και το ελάχιστο είναι το 32 και το παίρνει όταν x 2κ 1 π , κ Z .

γ) Ισχύει: 3 3 3f 0 συν0 12 2 2 και 3 3 3f 2π συν2π 1

2 2 2 , άρα f 0 f 2π .

2.19140. Δίνεται η συνάρτηση f x 3συνx με πεδίο ορισμού το .α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες 5)β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; (Μονάδες 10)γ) Να αποδείξετε ότι f 0 f 4π . (Μονάδες 10)

Λύση


.

β) Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι το 3 και το παίρνει όταν συνx 1 δηλαδή ότανx 2κπ , και το ελάχιστο είναι το 3 και το παίρνει όταν x 2κ 1 π , κ .

γ) Ισχύει: f 0 3 συν0 3 1 3 και f 4π 3συν 2 2π 3 1 3 , άρα f 0 f 4π .

2.19141.Δίνεται η συνάρτηση 1f x) x( ημ3 με πεδίο ορισμού το .

α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες 5)β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; (Μονάδες 10)γ) Να αποδείξετε ότι: f 0 f 2π . (Μονάδες 10)

Λύση

Η συνάρτηση 1f x) x( ημ3 είναι της μορφής f x ρ) x( ημ ω με ρ= 1

3και ω=1.

α) Η περίοδος Τ της f δίνεται από τον τύπο Τ= 2πω

συνεπώς Τ= 2π 2π1

β) Η μέγιστη τιμή της f είναι 1ρ3 ( ρ 0 )

Η ελάχιστη τιμή της f είναι 1ρ3

( ρ 0 )

www.askisopolis.gr

34

γ) Είναι 1 1f 0 ημ( 0 0 03 3

) , 1 1f 2π ημ 2π ημ0 03 3 άρα f 0 f 2π .

2.19142.Δίνεται η συνάρτηση f x 0,5ημx με πεδίο ορισμού το .α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες 5)β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; (Μονάδες 10)γ) Να αποδείξετε ότι f 2π f 4π . (Μονάδες 10)

Λύση

Η συνάρτηση f x 0,5ημx είναι της μορφής f x ρ) x( ημ ω με ρ 0,5 και ω 1 .

α) Η περίοδος Τ της f δίνεται από τον τύπο 2πT

ω συνεπώς Τ= 2π

2π1 .

β) Η μέγιστη τιμή της f είναι ρ 0,5 ( ρ 0 )Η ελάχιστη τιμή της f είναι ρ 0,5 ( ρ 0 )

γ) Είναι 4π 0,5ημ 4π 0,5ημ0f 0,5 0 0 , f 2π 0,5ημ 2π 0,5ημ0 0

άρα f 2π f 4π .

2.19145-2.19151.Δίνεται η συνάρτηση f x 2ημx με πεδίο ορισμού το .α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες 5)β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; (Μονάδες 10)γ) Να αποδείξετε ότι f π f 3π . (Μονάδες 10)

Λύση

Η συνάρτηση f x 2ημx είναι της μορφής f x ρημ ωx με ρ 2 και ω 1 .


συνεπώς Τ= 2π2π

1

β) Η μέγιστη τιμή της f είναι ρ 2 ( ρ 0 )Η ελάχιστη τιμή της f είναι ρ 2 ( ρ 0 )

γ) Είναι f π 2ημπ 2 0 0 ,

f 3π 2ημ 3π 2ημ 2π π 2ημπ 0 ,άρα f π f 3π .

2.19148.Δίνεται η συνάρτηση f x 2συνx με πεδίο ορισμού το .α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες 5)β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; (Μονάδες 10)γ) Να αποδείξετε ότι f 0 f 4π . (Μονάδες 10)

Λύση

Η συνάρτηση f x 2συνx είναι της μορφής f x ρσυν ωx με ρ 2 και ω 1 .

www.askisopolis.gr

35



1


γ) Είναι f 0 2συν0 2 1 2 , 4 4f π 2συν π 2συν(0) 2 ,άρα f 0 f 4π .

2.19150.Δίνεται η συνάρτηση f x 4συνx με πεδίο ορισμού το .α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες 5)β) Να υπολογίσετε τις τιμές f 0 ,f π ,f 2π . (Μονάδες 10)

γ) Να αποδείξετε ότι: f 0 f π 0 . (Μονάδες 10)Λύση




1

β) f 0 4συν0 4 , f π 4συνπ 4 , f 2π 4συν 2π 4συν0 4

γ) f 0 f π 4 4 0

4.19509.Οι μαθητές της Β Λυκείουενός ΕΠΑΛ μπαίνοντας στοεργαστήριο ηλεκτρονικώνεφαρμογών είδαν σε μια οθόνηπροβολών σχεδιασμένη αυτή τηγραφική παράσταση και σε έναπίνακα δίπλα γραμμένη τη φράση«συνάρτηση ημίτονο».α) Χρησιμοποιώντας το σχήμα ναβρείτε ποια είναι η περίοδος τηςσυνάρτησης αυτής.

(Μονάδες 7)β) Ποιο είναι το μέγιστο και ποιοτο ελάχιστο αυτής της συνάρτησης;γ) i) Να γράψετε τον τύπο τηςσυνάρτησης.

(Μονάδες 8)ii) Να γράψετε τον τύπο μιαςημιτονοειδούς συνάρτησης που ηπερίοδός της να είναι ίση με τη μισή περίοδο της συνάρτησης του σχήματος. (Μονάδες 10)

Λύση

α) Από το σχήμα παρατηρούμε ότι η περίοδος της συνάρτησης είναι: T π .

β) Το μέγιστο είναι maxy 3 και το ελάχιστο είναι miny 3 .

www.askisopolis.gr

35



1








1


γ) f 0 f π 4 4 0




Λύση



www.askisopolis.gr

35



1








1


γ) f 0 f π 4 4 0




Λύση



www.askisopolis.gr

36

γ) i) Ο τύπος της συνάρτησης είναι της μορφής y ρημ ωx με ρ 3 και2π 2πT πω ω

ω 2 , άρα είναι η y 3ημ2x .

ii) Επειδή έχει τη μισή περίοδο της συνάρτησης του σχήματος, είναι π2

. Τότε

2π πω 4

ω 2

, άρα μια τέτοια συνάρτηση έχει τύπο y ημ4x

4.19510.Ένας μαθητής του τμήματοςΒηλ ενός ΕΠΑΛ σχεδίασε στο τετράδιότου το παρακάτω σχήμα, αντιγράφονταςαπό τον πίνακα στην ώρα τωνμαθηματικών.Δεν πρόλαβε να σχεδιάσει όλο το σχήμα.Θυμόταν όμως ότι πρόκειται για τησυνάρτηση ημίτονο.α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησηςκαι ποιο είναι το μέγιστο αυτής; (Μονάδες 10)β) Nα γράψετε τον τύπο της συνάρτησης. (Μονάδες 5)γ) Να γράψετε την τετμημένη x του σημείου Α και το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ.


α) Από τη γραφική παράσταση παρατηρούμε ότι έχει περίοδο 2π και μέγιστο το 2.

β) Η γραφική παράσταση είναι της μορφής:

y ρ ημωx , με ρ = 2 και 2π 2πΤ 2π ω 1

ω ω

Άρα ο τύπος της συνάρτησης είναι: y 2ημx

γ) α΄τρόπος (γραφικά)Παρατηρούμε ότι στο σημείο Γ η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο.

Άρα Γy ΑΓ 2 και ΓΤ 2π πx4 4 2

β΄τρόπος (αλγεβρικά)Παρατηρούμε ότι το σημείο Γ έχει τεταγμένη 2, δηλαδή Γy (ΑΓ) 2 και x 0,πΑντικαθιστώντας στον τύπο της συνάρτησης, από το (β) ερώτημα προκύπτει:

y 2 x [0,π] πy 2ημx 2 2ημx 1 ημx x2

www.askisopolis.gr

36




. Τότε

2π πω 4

ω 2







ω ω






www.askisopolis.gr

36




. Τότε

2π πω 4

ω 2







ω ω






www.askisopolis.gr

37

4.19511. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνημιτονοειδούςσυνάρτησης. Επίσης δίνονται οι τύποι δύο οριζόντιων ευθειών και οι συντεταγμένες τουσημείου Β.

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α. (Μονάδες 5)β) Να βρείτε την περίοδο και το μέγιστο της συνάρτησης. Να βρείτε και μια τιμή του x γιατην οποία η παραπάνω συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο. (Μονάδες 15)γ) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης. (Μονάδες 5)

Λύση

α) Παρατηρούμε ότι το σημείο Α βρίσκεται πάνω στον άξονα x΄x, άρα οι συντεταγμένες τουθα είναι x ,0 . Επιπλέον παρατηρούμε το Α και το Β έχουν την ίδια τετμημένη. Οπότε

A x π και έτσι οι συντεταγμένες του Α είναι (π,0).

β) Από τη γραφική παράσταση παρατηρούμε ότι η συνάρτηση έχει περίοδο π, καιπαρουσιάζει μέγιστο στο σημείο Β. Άρα το μέγιστο της συνάρτησης θα είναι το Βy 4 .Αφού το Β έχει συντεταγμένες (π,4) άρα για x π η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο.

γ) Η γραφική παράσταση είναι της μορφής:

y ρσυνωx , με ρ 4 και 2π 2ππ πω 2π ω 2

ω ω

Άρα ο τύπος της συνάρτησης είναι: y 4συν2x

4.19512.α) Αν θεωρήσουμε ένα κύκλο ακτίνας 1cm,τότε πόσο μήκος (σε cm) αντιστοιχεί σε ένα τόξο:

i) 1 ακτινίου (rad); (Μονάδες 5)ii) 2π ακτινίων (rad); (Μονάδες 5)

β) Στο διπλανό σχήμα έχει σχεδιαστεί η γραφικήπαράσταση μιας ημιτονοειδούς συνάρτησης f.Το μήκος του ΑΒ είναι 1 εκατοστό και το μήκοςτου ΟΓ είναι 6 εκατοστά.i) Ποια είναι η τετμημένη (το x) του σημείου Γ;

(Μονάδες 3)ii) Πόσο μήκος σε εκατοστά έχει το τμήμα ΟΔ;

www.askisopolis.gr

37



Λύση






ω ω






www.askisopolis.gr

37



Λύση






ω ω






www.askisopolis.gr

38

(Μονάδες 4)ii) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης f; Μπορεί ο τύπος της f να είναι ο f (x) ημx ;


α) Γνωρίζουμε ότι το τόξο ενός ακτινίου είναι το τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα τουκύκλου. Οπότε:

i) το μήκος που αντιστοιχεί σε τόξο 1rad είναι 1cm. (αφού ο κύκλος έχει ακτίνα 1cm)ii) το μήκος που αντιστοιχεί σε τόξο 2π rad είναι 2π cm 2 3,14 cm 6,28 cm

β) i) Το σημείο Γ βρίσκεται πάνω στον άξονα x΄x, και επειδή (ΟΓ) = 6 εκατοστά, το σημείοΓ θα έχει τετμημένη 6.ii) Επειδή ισχύει (ΟΔ) 2(ΟΓ) , άρα ΟΔ 2 6 cm 12 cm iii) Η συνάρτηση f έχει περίοδο Τ (ΟΔ) 12 cm και πλάτος (ΑΒ) 1 cm.

α΄ τρόπος (γραφικά)Ο τύπος της συνάρτησης δεν μπορεί να είναι ο f (x) ημx . Θα έπρεπε τότε η περίοδος τηςσυνάρτησης να είναι 2π.Από τη γραφική παράσταση όμως προκύπτει ότι η περίοδος της συνάρτησης είναι ΟΔ 12 2π

β΄ τρόπος (αλγεβρικά)Η γραφική παράσταση είναι της μορφής:

f (x) ρ ημωx , με ρ = 1 και 2π 2π 2π πΤ 12 12ω 2π ω

ω ω 12 6

Άρα ο τύπος της συνάρτησης είναι: π πxf x 1 ημ x ημ6 6

και όχι f (x) ημx .

Τριγωνομετρικές εξισώσεις

2.19153.α) Να λύσετε την εξίσωση 1ημx2 στο διάστημα π ,π

2


β) Ποια είναι η τιμή του συνημίτονου του x του προηγούμενου ερωτήματος. (Μονάδες 13)Λύση

α) 1ος τρόπος: Η f x ημx είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα π ,π2

.

Η εξίσωση γράφεται

πημx ,π25π 5πημx ημ x

6 6

2

2ος τρόπος: Είναι π 1ημ6 2 , επομένως η εξίσωση γράφεται πημx ημ

6 , οπότε οι λύσεις

δίνονται από τους τύπους

πx 2κπ6

πx 2κπ π6

κ . Όμως πx ,π2

, άρα:

Αν πx 2κπ6

, τότε η τελική πλευρά της γωνίας θα είναι στο πρώτο τεταρτημόριο οπότε

απορρίπτεται.

www.askisopolis.gr

39

Αν πx 2κπ π6

τότε π π π π π ππ 2κπ2 6 2 6

π2κπ π 2κπ6 3 6

1 1κ6 12 . Όμως κ ακέραιος άρα κ 0 οπότε π 5πx π

6 6 .

β) Αφού 5πx

6 τότε 5π π π 3

συνx συν συν π συν6 6 6 2

2.19154.α) Να λύσετε την εξίσωση 3ημx2

στο διάστημα π0,2

(Μονάδες 12)

β) Ποια είναι η τιμή του συνημίτονου του x του προηγούμενου ερωτήματος. (Μονάδες 13)Λύση

α) 1ος τρόπος: Η συνάρτηση f x ημx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα π0,2

.

Είναι

πημx 0,23 π π

ημx ημx ημ x2 3 3

1

2ος τρόπος: 3 πημx ημx ημ

2 3

πx 2κπ3

ήπx 2κπ π3

, κ .

Ανπx 2κπ3

, τότε

π π2κπ 2κπ3

π π πx 0, 02 2 3 6

1 1κ6 12

όμως κ ακέραιος άρα

κ 0 οπότεπx3 .

Ανπx 2κπ π3

, τότε η τελική πλευρά της γωνίας θα είναι στο δεύτερο τεταρτημόριο

οπότε απορρίπτεται.

β) Αφούπx3 ,είναι

π 1συνx συν3 2

2.19155-2.19158-2.191589.α) Να λύσετε την εξίσωση 1συνx2 στο διάστημα π0,

2

.

(Μονάδες 12)β) Ποια είναι η τιμή του ημιτόνου του x του προηγούμενου ερωτήματος. (Μονάδες 13)

Λύση

α) 1ος τρόπος: Η συνάρτηση f x συνx είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα π0,2

.

Είναι

πσυνx 0,21 π π

συνx συνx συν x2 3 3

2

2ος τρόπος: 1 πσυνx συνx συν2 3

πx 2κπ3

κ .

www.askisopolis.gr

40

Ανπx 2κπ3

, τότε

π π2κπ 2κπ3

π π πx 0, 02 2 3 6

1 1κ6 12

όμως κ ακέραιος άρα

κ 0 οπότεπx3 .

Ανπx 2κπ3

, τότε η τελική πλευρά της γωνίας θα είναι στο 4ο τεταρτημόριο

οπότε απορρίπτεται.

β) Αφούπx3 ,είναι π 3ημx ημ

3 2

2.19156.α) Αν για πx ,π2

ισχύει ότι 1συνx2

να αποδείξετε ότι 3ημx2

.

(Μονάδες 12)β) Να βρείτε την τιμή του x του προηγουμένου ερωτήματος. (Μονάδες 13)

Λύση

α)

2

2 2 2 21 1x x 1 x 1 x 1

2 4 2 1 3

x 14 4

3

x2

Επειδή πx ,π2

, είναι x 0 , άρα 3x

2.

β)1ος τρόπος: 1 π πσυνx συνx συν συνx συν π

2 3 3

2 2x x 2

3 3.

Αν

2x 2

3, τότε

2 2 22 x 2

2 3 2 3 3 2

6

1 12

3 6 3

1 1

12 6. Επειδή ο κ είναι ακέραιος, θα είναι 0 , άρα

2

x3

Αν

2x 2

3, τότε

2 2 2 72 2

2 3 2 3 3 2

6

5

7 52

3 6 3

7 5

12 6που είναι αδύνατο αφού ο κ είναι ακέραιος.

2ος τρόπος: Θεωρούμε συνάρτηση f x ημx με πεδίο ορισμού fD για την οποία

ισχύει 2π 3f

3 2

με 2π π,π

3 2

. Άρα η λύση2π

x3

είναι μια προφανής λύση της

εξίσωσης 3ημx2

στο π ,π2

. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο π ,π2

άρα η λύση

www.askisopolis.gr

41

2πx3

είναι μοναδική.




β) Ποια είναι η τιμή του ημιτόνου της παραπληρωματικής γωνίας της x του προηγούμενουερωτήματος. (Μονάδες 12)

Λύση

α) 1ος τρόπος: 2 π π π 3πημx ημx ημ x 2κπ ή x 2κπ π 2κπ , κ

2 4 4 4 4

Αν x 2

4, τότε

0 2 2

4 2 4 2 4 2

4

1 1

4 8 8. Επειδή ο κ είναι

ακέραιος, είναι 0 , άρα x

4.

Αν

3x 2

4, τότε η τελική πλευρά της γωνίας βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο

και απορρίπτεται αφού πx 0,2

.

2ος τρόπος: Θεωρούμε τη συνάρτηση f x ημx με πεδίο ορισμού fD για την οποία

ισχύει π 2f4 2

με π π0,4 2

. Άρα η λύση πx4 είναι μια προφανής λύση της


στο π0,2

. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο π0,2

άρα η λύση

πx4 είναι μοναδική.

β) Η παραπληρωματική γωνία της 4

είναι η

4και επειδή οι παραπληρωματικές γωνίες

έχουν το ίδιο ημίτονο, ισχύει ότι:

2

4 4 2




β) Ποια είναι η τιμή του συνημίτονου της συμπληρωματικής γωνίας της x που βρήκατε στοπροηγούμενο ερώτημα. (Μονάδες 12)

Λύση

α) 1ος τρόπος: 3 π πημx ημx ημ x 2κπ ή

2 3 3

π 2πx 2κπ π 2κπ , κ3 3

www.askisopolis.gr

42

Αν x 2

3, τότε

0 2 2

3 2 3 2 3 2

3

1 1

6 6 12.

Επειδή ο κ είναι ακέραιος, είναι 0 , άρα x

3.

Αν

2x 2

3, τότε η τελική πλευρά της γωνίας βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο

και απορρίπτεται αφού πx 0,2

.



με π π0,3 2

. Άρα η λύση πx3 είναι μια προφανής λύση της


στο π0,2

. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο π0,2

άρα η λύση

πx3 είναι μοναδική.

β) Η συμπληρωματική της γωνίας 3

είναι η

2 3 6και το συνημίτονό της είναι:

3

6 2

4.19523.α) Να λύσετε την εξίσωση1ημx2 , αν x 0,π . (Μονάδες 15)

β) Αν 1ημx2

και πx ,02

ποια είναι η τιμή του x; (Μονάδες 10)

Λύση

α) 1ος τρόπος: 1 π π π 5πημx ημx ημ x 2κπ ή x 2κπ π 2κπ , κ

2 6 6 6 6

Αν x 2

6, τότε

0 2 2

6 6 6 2

6

5

1 5

6 12 12.

Επειδή ο κ είναι ακέραιος, είναι 0 , άρα x

6.

Αν

5x 2

6, τότε

5 5 5 50 2 2

6 6 6 2

6

5 1

6 12 12.

Επειδή ο κ είναι ακέραιος, είναι 0 , άρα

5x

6.


www.askisopolis.gr

43


και 5π 1f6 2

με π π0,6 2

και 5π π ,π6 2

.

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο π0,2

άρα η πx6 είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης

1f x2 στο διάστημα π0,

2

Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο π ,π2

, άρα η λύση 5πx6

είναι η μοναδική λύση της

εξίσωσης στο διάστημα π ,π2

.

Άρα οι λύσεις της εξίσωσης1ημx2 στο διάστημα 0,π είναι πx

6 και 5π

x6

.

β) Από τις προηγούμενες λύσεις, η x

6βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο και η συμμετρική

της ως προς τον άξονα x΄x, η x

6βρίσκεται στο 4ο τεταρτημόριο και έχει :

1

6 6 2. Επειδή η f x x είναι γνησίως αύξουσα στο π ,0

2

, η

x

6είναι η μοναδική λύση της 1ημx

2 στο διάστημα αυτό.

επαλ αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 7 12 2014

Documents

Transcript of επαλ αλγεβρα β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 7 12 2014