人工知能　 Lecture 6

問題の分解、 AND/ORハノイの塔

田中美栄子

第一部のおさらい• 問題の定式化：　　　　　　オペレータ：今の状態→次の

状態

• 探索アルゴリズム（知識を用いない探索）

　　　　　　 depth-1st, breadth-1st , optimal

• ヒューリステック探索： A*-algorithm

• 小テスト１

ロボットの迷路抜け• （ 1,1 ）から（ 4,4 ）へ

(4,4)

(1,1)

(1,1)

3

(2,3)

(2,3)

(2,4)

(1,4)

(1,4) (2,4) (3,4)

(3,3)

(2,2)

(3,1)

(3,2)(3,4)

(4,4) (3,3)

(2,2)

2

4

(3,2)

(3,1)

探索の基本アルゴリズム• Search algorithm{• １．初期節点を open リストに入れる• 2. 　 if(open==empty)break; （探索失敗）• 3. 　 n=first(open);• 4. 　 i ｆ (goal(n))print(n);break; （探索終

了）• 5. 　 remove(n,open);• 6. 　次に調べる節点を open に入れる• 7. 　２へもどる｝

例題： S→A→B→E→G• S （ 1,1 ）から G （ 4,4 ）へ

(4,4)

(1,1)

S(1,1)

(2,3)

A(2,3)

B(2,4)

D(1,4)

(1,4) (2,4) (3,4)

(3,3)

(2,2)

(3,1)

(3,2)E(3,4)

G(4,4) F(3,3)

C(2,2)

2

4

H(3,2)

I(3,1)

Heuristic search

• 最良優先探索： best-first-search• 各節点からゴールまでのコスト（距離）

h(n) が予想出来るとき使える• ステップ６で予想値 h’(n) の昇順に並べる

ヒューリスティック探索の問題点

• ヒューリスティック関数（ h’ ）の推定が悪いと、失敗

• 例：迷路の問題　　　 h’ ＝｜ A ｘ　ー　 Gx ｜＋｜ A ｙ　ー　 G

ｙ｜

経路のつながり具合によって成功することもあり、失敗することもある。（使えるヒント：正しい保

障はない）

こういうヒントを多用して解を発見　　ヒューリスティック

h=|n の x 座標 -G の x 座標 |+| n の y 座標 -Gの y 座標 |

• S （ 1,1 ）から G （ 4,4 ）へ

(4,4)

(1,1)

S(1,1)6

(2,3)

A(2,3)3

B(2,4)2

D(1,4)3

(1,4) (2,4) (3,4)

(3,3)

(2,2)

(3,1)

(3,2)E(3,4)1

G(4,4)0 F(3,3)

C(2,2)4

2

4

H(3,2)

I(3,1)

A* ーアルゴリズム• A*-search algorithm{• １．初期節点を open リストに入れる• 2. 　 if(open==empty)break; （探索失敗）• 3. 　 n=first(open);• 4. 　 i ｆ (goal(n))print(n);break; （探索終了）• 5. 　 remove(n,open); 　 add(n,closed);• 6. 　次に調べる節点を open に入れる (n を展開し、全て

の子節点 ni を open に入れ、推定コスト f(ni) の昇順に並べる ) ここで f(ni)=g’(ni)+h’(ni) であり、推定値 h’(ni) が本当の値 h(ni) 以下であるとする。（これが成立しないとA*-search でなく、 A-search になり、解は保証されない ） g’(ni) は g(ni) の推定値だが、出発点から ni までの、解っているコストの内で最小のもの。

　　 ni から n へポインタを付けておく• 7. 　２へもどる｝

h=|n の x 座標 -G の x 座標 |+| n の y 座標 -Gの y 座標 |

• S （ 1,1 ）から G （ 4,4 ）へ

(4,4)

(1,1)

S(1,1)6

(2,3)

A(2,3)3

B(2,4)2

D(1,4)3

(1,4) (2,4) (3,4)

(3,3)

(2,2)

(3,1)

(3,2)E(3,4)1

G(4,4)0 F(3,3)

C(2,2)4

2

4

H(3,2)

I(3,1)

比較：深さ優先、幅優先、 A* 　　　　 open list

Counter D- １ st 　　 B- １ st 　　　　　　A*

　　　１　　　　　 S 　　　　 S 　　　　　　　 S(6)

　　　２　　　　　 A 　　　　 A A(6)

　　　３　　　　 BC 　　　 BC 　　　　　　 B(6)C(8)

　　　４　　　 DEC 　　 CDE 　　　　　E(6)D(8)C(8)

　　　５　　　　 EC 　　 DEHI 　　　　　G(6)FDC

Problem reduction representation• 問題を分割し、すぐ解ける副問題の集合に変換

• 許された変換は「オペレータ（作用素）」として定義

• すぐ解ける問題は原始問題 primitive problem とよぶ

• 問題分割を用いた問題表現は、　　　１．開始問題記述　　　　２，問題を副問題群に変換する作用素　　　３．原始問題記述の集合

問題分割表現の例：ハノイの塔• 大きさが順に大きくなる３つの円盤、 A,B,C と

３つの柱 1,2,3. 　最初円盤は全て柱１の上に、一番小さい A を一番上に、 C を一番下にして積み重ねられている。これを柱３に A が一番上になるように移す、但し一度に１個だけ円盤を動かせる、どの円盤もそれより小さい円盤の上に置けない

• 最初に出来るのは A を柱 2 か柱 3 に移すことだが、そのあと A の上には B も C も置けないので、つまりは A を移さなかった柱に B を移して置いて、その上に A を移し、空いた柱 3 に C を移すことができれば成功である．次にその C の上に B を載せ、その上に A を載せる

８段階を右の３段階と見る

１ .ABC 　 2. ＿　　 3. ＿１ . 　 BC 　 2. ＿　　 3. 　 A１ . 　　 C 　 2. 　 B 　　 3. 　 A１ . 　 C 　 2. 　 AB 　 3. ＿＿

１ . ＿＿　 2. 　 AB 　 3. 　 C１ . A 　　 2. 　 B 　　 3. 　 C１ . A 　　 2. 　＿　 3. 　 BC１ . ＿＿　 2. ＿＿　 3. ABC

高さ２の山を 1. から 2. へ移す

高さ１を 1. から 3.へ

高さ２の山を2. から 3. へ移す

円盤を N 個に増やしても右の３段階

１ .AB..C 　 2. ＿　　 3. ＿

１ . 　 C 　 2. AB.. 　 3. ＿＿

１ . ＿＿　 2. AB.. 　 3. 　 C

１ . ＿＿　 2. ＿＿　 3. ABC

高さ N-1 の山を 1. から2. へ

高さ１を 1. から3. へ

高さ N-1 の山を 2. から3. へ

目標：高さ３の山を柱１から柱３へ移す

小目標：高さ 2の山を柱 2 から柱 3 へ移す

小目標：高さ 2の山を柱 1 から柱 2 へ避難させる

原始問題：高さ 1 の山を柱1 から柱 3 へ移動

高さ 1の山を柱 1 から柱 3へ移動

高さ 1の山を柱 1 から柱 2へ移動

高さ 1の山を柱 3 から柱 2へ移動 高さ 1 の

山を柱 2から柱 1へ移動

高さ 1 の山を柱 2 から柱 3 へ移動

高さ 1の山を柱 1 から柱 3へ移動

ハノイの塔（ N=2 ）始→中 1→ 中２→終

始

中 1

中２

終

ハノイの塔（ N=2) は中間 2 ステップ

始状態（大小円盤が軸１にある）

終状態（大小円盤が軸３にある）

大円盤を軸 1 に残し小円盤を軸２に移動

大円盤を軸 3 に移動し小円盤は軸２

ハノイの塔（ N= ３）始→中 1→中２→終

始

中 1

中２

終

始→ 1’→ ２’→中 1

中 2→1”→ ２”→終

ハノイの塔（ N= ３）始→中 1→ 中２→終

始

中1

中2

終

ハノイの塔（ N=3) は中間 6 ステップ（中間 2 ステップの前後に各々下部中間

2 ステップ）始状態（大中小が軸１にある）

終状態（大中小円盤が軸３にある）

大は軸 1. 中小は軸２大を軸 3 に移動し中小は軸２

中を軸 2 に移す小は軸 3 、大は軸１

小を軸 1 に中は軸２、大は軸３小は軸 1 、大中は軸３

小を軸 3 に移す。大中は軸１のまま

ハノイの塔（ N= ４）始→中 1→中２→終

1

2

終

始

ハノイの塔（ N= ４）始→中 1→中２→終

1

2

終

始

ハノイの塔（ N=4) は中間 14 ステップ

始状態（大中小が軸１にある）

終状態（大中小円盤が軸３にある）

大は軸 1. 中小は軸２大を軸 3 に移動し中小は軸２

中を軸 2 に移す小は軸 3 、大は軸１

小を軸 1 に中は軸２、大は軸３小は軸 1 、大中は軸３

小を軸 3 に移す。大中は軸１のまま

ハノイの塔（ N=5 ）始→中 1→ 中2→ 終

始

中1

中2

終

ハノイの塔（ N=5 ）

問題

• N=5 のハノイの塔は始状態と終状態の間に何ステップ余分に必要か？

• N 円盤のハノイの塔は始状態と終状態の間に何ステップ余分に必要か？

Nilsson （ 1971 ）による AND/ORグラフ

１）各節点は単一問題か一連の問題であり、グラフは開始節点（元問題）を含む．

２）終端節点（原始問題）＝葉３）問題 P に対しこれを一組の副問題に変える作

用素があり、これを適用した結果生じる副問題に対応する節点へ向かって有向枝がある．このいずれかの子節点が解かれたときＰが解けるのなら、 OR節点（ OR-node） 、全ての子節点が解かれたとき P が解けるのなら AND節点（ AND-node）とよぶ .AND 節点には枝を水平線で結ぶ

開始問題が解けるかどうかを示すグラフ（ or,木）を解グラフ（解

木）という• 解ける節点の条件として、１）それが終端節点（原始問題）である2) 子節点が全て解ける AND 節点であるよ

うな非終端節点であるか、または３）子節点が OR 節点でそのうち少なくと

も一つが解ける

• 解けない節点の条件1) 子節点のない非終端節点（どの作用素も適用できないような非原始問題）

2) その子節点が AND 節点で、そのうち少なくとも一つが解けないような非終端節点

３）その子節点が OR 節点で、その全てが解けないような非終端節点

問題の分解：ゲームの手の決定• ゲームの木：チェスや碁等の特徴：交互にプレ

イする二人のプレーヤが参加し、最良の手を打つ、というゲームに対してその全ての可能な手が表現されている．

• 状態空間木との違いは、プレーヤが交互に選択すること： root は初期状態で第１のプレーヤの手番、次の子節点は第 1 のプレーヤが一手で到達できる状態、その次の子節点は第２のプレーヤの応手で作られる状態。終端節点は、勝、負、引分けのいずれか

• AND/OR木で表現できる（ A の立場からは自分の手番は OR で選べるが相手の手番は AND に対応）

例 :tic-tac-toe （３目並）

***

***

**X

***

**X

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***

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*X*

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*X*

**O

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*X*

*O*

*X*

*X*

*O*

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*XX

*O*

***

*X*

*OX

**X

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*X*

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**X

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*X*

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***

*XX

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OOX

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*XX

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*XX

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***

OXX

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OOX

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引分

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*X*

OXO

XO*

*X*

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OXO

XO*

OXX

OXO

全部引分

*O*

*X*

*XO

*O*

XX*

*XO

*O*

XXO

*XO

*OX

XXO

*XO

*OX

XXO

OXO

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XXO

**O

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XOO

OXX

XXO

例 :tic-tac-toe （３目並）

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**X***

**X

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***

***

***

***

*X*

***

***

*X*

**O***

*X*

*O*

X勝

X勝引分

全部引分 *X*

*X*

*O*

X**

*X*

*O*

***

XX*

*O*

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*X*

XO*

*X*

*X*

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*X*

OX*

*O*

OX*

*X*

*O*

OX*

*X*

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*X*

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*XX

XO*

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XO*

*X*

OX*

XO*

*XO

OX*

XO*

*XO

OXO

XO*

*XO

OXO

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XOX

*X*

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OOX

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*X*

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OX*

XX*

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XXO

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*X*

*OO

X**

*X*

XOO

X**

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XOO

***

XXO

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*OX

O*X

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*X*

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*X*

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*X*

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XXO

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*X*

X*O

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*XX

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OXX

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XOO

全部引分

X**

*X*

XOO

X*O

*X*

XOO

X*O

*XX

XOO*OX

*X*

OXO

*OX

XX*

OXO

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XOO

例 :tic-tac-toe （３目並）

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**X

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**X

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*X*

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XXX

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X勝X勝

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XXO

OOX

引分

全部引分