あみだくじあみだくじAMIDA-KUJIAMIDA-KUJI

井上　康博 Statistical analysis on Amida-kuji,Physica A 369(2006)867-876.

あみだくじの歴史あみだくじの歴史

室町時代から行われていたらしいが 放射線状の阿弥陀仏の後光のような形明治には今の縦横の形になっていたらしい

現在のあみだくじ昔のあみだくじ

背景背景 あみだくじは、日常生活で良く利用される。

人数が多くて、ジャンケンが面倒なときに行われる傾向にある。

わりと重要な事柄についても、利用されるとか、されないとか。（研究室配属、係りを決める、仕事の割り振り）

目的目的

あみだくじに勝つための戦略を構築するためにあみだくじの持つ性質について知見を得ること。

バブルソートとあみだくじバブルソートとあみだくじ

あみだくじは、隣り合う要素の交換（これは、ゴールが同じにならない理由）バブルソートは、交換作業なので、 あみだくじに実装可能

1 2 3 4 5

3 1 5 2 4

あみだくじと置換群は関連があるらしい。

でも、まったく知らないので、僕はあみだくじの統計的な特徴を紹介します。

あみだくじの統計力学あみだくじの統計力学

前提あみだくじは、結果を意図して作られていない。 （例：ソートのアルゴリズムになっていない）どの線に行き着くかということを確率を使って表

せるとする。　（あみだくじの統計的な特徴を見るということ

）マルコフ過程。 （次の行き先は、今の状態だけで決まる）

変数の定義変数の定義

x

t

赤線があみだくじ

確率の流れを見る確率の流れを見る

),( txF t番目の分岐時に、 x番目の縦線にいる確率を考えよう。 x

t

tt

t

xxx xx

),(,)( ttxxFttxxp 左から来る確率 ),(,)( ttxxFttxxp 右から来る確率

),(,)0( ttxFttxp 上から来る確率),( txF 和

確率の時間発展式確率の時間発展式

),(,)( ttxxFttxxp 左から来る確率 ),(,)( ttxxFttxxp 右から来る確率

),(,)0( ttxFttxp 上から来る確率

,, )()( pttxxp )()( , pttxxp 「ある線、ある時刻だけが特別」ということがないから

1,,, )0()()( ttxpttxpttxp 確率の規格化条件：出て行く確率は、右、左、そのままの３つだけ

左から来る 右から来る 上から来る（そのまま）

おもむろにおもむろに TaylorTaylor 展開展開

右に行く確率と左に行く確率が等しいとする。（隣接する縦線を繋ぐ横棒は、右にも左にも移らせる）

0)()( pp

あみだくじ方程式あみだくじ方程式 (Fokker-Planc(Fokker-Planck)k)

,2

2

x

FD

t

F

t

xppD

2)()(

2

• あみだくじの線のどこにいるかを表す確率分布の時間発展を記述する方程式を得た。

• ブラウン運動する微粒子の存在確率を記述する Fokker-Planck 方程式と同じ形。

• Fを密度と思えば、拡散方程式と同じ形。

時間と空間のそれぞれの最初の項だけを残すと

あみだくじ方程式の理論解あみだくじ方程式の理論解

初期条件と境界条件•　最初に x0 番目の線を選ぶ•　境界でノイマン条件 （確率の漏れがない。あみだくじから、はみ出さない）

上式は、下記の条件をもとに、あみだくじ方程式を解くと得られる。

あみだくじを統計処理して確かめあみだくじを統計処理して確かめようよう

あみだくじの生成法

STEP 1縦線を等分割

STEP2右か左にランダムに半分の長さの横棒をつける

STEP3お互いに繋がった横棒だけ残す

100 万個のあみだくじをランダムに生成して、統計処理

1010 人用あみだくじ：人用あみだくじ：一番端を選んだ場合一番端を選んだ場合

縦軸：確率密度横軸：あみだくじの縦線の位置t: t/4 で平均の横棒数

1010 人用あみだくじ：人用あみだくじ：真ん中を選んだ場合真ん中を選んだ場合

縦軸：確率密度横軸：あみだくじの縦線の位置t: t/4 で平均の横棒数

あみだくじの性質とあみだくじの性質と One pointOne point

最終的な場所は、選んだ場所になりやすい。 0XtX

tXtX 20

最終的な場所の平均値

どの程度ずれるか

こういう場合は有利こういう場合は有利

プレゼント交換で、プレゼントに番号を 1,2,3,4, と振って、あみだくじにも順番に1,2,3,4, と振っちゃってる場合

3 4 521

１２

４ ５

３

こういう場合は有利こういう場合は有利

当たりのしるしを書く人の癖を知っている場合

いつも真ん中の 1 つ左に当たりを書くとか。ないか。。

あみだくじと物理あみだくじと物理

あみだくじとは、 1 次元酔歩の問題

x

「離散的な目盛の上を粒子が、ランダムに右か左かにジャンプするか、そのままに留まるとき、時刻 t で粒子は、どこにいるのか」という問題。

1 次元酔歩の問題とは…

時間発展を下に伸ばして書くと、あみだくじ。