;$@A*B+C9:8...')( *,+.-0/ *21 3"45-76"6"4 8 +.- 9:8;=;01?60/ ;$@A*B+C9D8;=
Transcript of ;$@A*B+C9:8...')( *,+.-0/ *21 3"45-76"6"4 8 +.- 9:8;=;01?60/ ;$@A*B+C9D8;=
-
��� ��� ��� � ��� ��������� ��������� ����������� �������� � ��!"��#$�������� ����� ���%��� &��� � �
')(�*,+.-0/�*21�3"45-76"6"4�8 +.-�9:8 ;=;01?60/�;$@A*B+C9D8 ;=
-
��� ��� ��� � ��� ��������� ��������� ����������� �������� � ��!"��#$�������� ����� ���%��� &��� � �� ;=
-
��� ��� ��� � ��� ��������� ��������� ����������� �������� � ��!"��#$�������� ����� ���%��� &��� � ��% ��������� ��������0����% ��� ������� �����������A��� � � �B����������� !��!�������� �� � ����J��� ��� ��� � ������% � �B�� ������&��� �� � ���� ��%���� ������� ���������#$��� !��������� ����� ��� �.�
� /�;$@A*B+C9:8 ;=
-
��� ��� ��� � ��� ��������� ��������� ����������� �������� � ��!"��#$�������� ����� ���%��� &��� � ��% ��������� ��������0����% ��� ������� �����������A��� � � �B����������� !��!�������� �� � ����J��� ��� ��� � ������% � �B�� ������&��� �� � ���� ��%���� ������� ���������#$��� !��������� ����� ��� �.�
⇒
��76 ρ̂ F ( 6 ) =
Z 9: K(
6−
6 ′)ρ̂ F ( 6 ′) �;6 ′ ��� � QBU2Q.Y Q �1� � � U � Y ( R � Q�� � S2T ���+��� T2Y
K(6−
6 ′) ∝ o � {ˆM ( 6 )ˆM †( 6 ′)ρ̂ H ( N )} + s1Q s1Q � ,:tAw sAp �'� {Du t$�r pHx#��Bx:s r p�x$� � ZAw:{ >�� � [ $ Q�� � ���D[�Q+A ( Y �+�4( Q.U+B ⇒ �4O {��1CH{Du �L{*�0:t$�r pHx�
��;6 ρ̂ F ( 6 ) ≈
Z 9: K(
6−
6 ′) � 6 ′ρ̂ F ( 6 ) ≈: Rρ̂ F ( 6 )� pHZqB�{ � {Du tDt$�r pHx �2Bx:tB s$r � � p� O {��1CH{Du �L{��0:t r p�x�Q�� � � {Du tDt r p�x �2Bx:tB sr � {AABu t: Au p�� sApHZq:t � {��L�p"�B{�s�tA p � ,:tAw sAp �'� {Du t$�r pHx#��Bx:s r p�x$
⇒,C{Du r {��:{
) t � � p �}tBqBq � pCr t$�r pHx��
������� 6����������� � ���� �� � ��6 !"��# 6����%$&�('*)��+��,���-'.��/�� 01��6�� ��23� 0���� ! 6����������� � �4�� �� � � 65!1��#6���� M6�7'*23�,���-'8�4/�� 09��6�� ��2;:
��� ����������� 2�����J�� ����� � ��
-
��� ��� ��� � ��� ��������� ��������� ����������� �������� � ��!"��#$�������� ����� ���%��� &��� � ��% ��������� ��������0����% ��� ������� �����������A��� � � �B����������� !��!�������� �� � ����J��� ��� ��� � ������% � �B�� ������&��� �� � ���� ��%���� ������� ���������#$��� !��������� ����� ��� �.�
2 TDU2TD[ ��� ( 0�T+� �2[�Q & T:R �4( Q.U � �4( YZT * R�Q.U��$Q � � �4( Q.U � T ���43�0:t.x�r � p �Xr x{ � {A�%5�L
(6) :=
o �{ˆLρ̂(
6)} ⇒
qC{ � �r x:{Dx~q � p���{As r p�x⇒
Pρ̂ = �̂ + o � {ˆL ρ̂}ˆL � r Aw o � {ˆL 8 } = � , o � {ˆL } = ⇒ P 8 ρ̂ = Pρ̂� {��02r � {D {Dx�A��tBx�Bt � �L�r A:t r p�x�5� �X{�t!�}qC{ � � ,:t$�r pHx� ˆE = ˆE : + λ ˆJz �Au p�� p ,${ � �:t,Bu {� [ ˆE : , ˆL ] = Hr x2r �r t.u:�t$�{15
Pρ̂() = ρ̂(
) ⇒
�o ��� tDs:w2r x:{ � � 2r {Du �C⇒
˙L = (λ 8 Γ 8 (6) + λ � Γ � (
6) + · · · )
LΓ 8 (
6) =
Z 9:o � n
[ˆL
, ˆJ��
(6 ′)][ˆL , ˆJ ( )]
o �;6 ′
−Γ 8 (6)
γ 6
τ � 5HsAp � � {Du t r p�x r { τ 5 � {:u tDt r pHxz�r {6> τ � ⇒ ˙L = − �
τ L
τ := �λ 8 γ
τ � τ � ⇒ N '��2��4��6 ����6 �4�����2�3�7'�����'�:
��� ����������� 2�����J�� ����� � ��
-
��� ��� ��� � ��� ��������� ��������� ����������� �������� � ��!"��#$�������� ����� ���%��� &��� � ��% ��������� ��������0����% ��� ������� �����������A��� � � �B����������� !��!�������� �� � ����J��� ��� ��� � ������% � �B�� ������&��� �� � ���� ��%���� ������� ���������#$��� !��������� ����� ��� �.�
( Y �BQ2[ ��� UCR�TZQ�� S ( 2 S2TD[XQ2[�CTD[ � TD[�Y �� '� p�� r { w$pHqBq2r x�� ~p!�B{Du
⊕
ˆE : = P �,µ
�� �̂ †
µ,
� �̂µ,
�
ˆJ = P � � � � � �̂ †µ,� �̂
µ+ � ,�+w�Q s1Q
ˆL ∝ P � �̂ †� ,� �̂� ,�−
P� �̂ †8 ,� �̂8 ,�
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
ˆE :
ˆE : ˆJ
ˆJ
τ � ≈ . 2D τ r%x t.u uC{�DtB qBu {A ,2{Du p�� �� p � x�� ) t � �p�Zt r )CH{��% ��� � � � tBx�CpH
PSfrag replacements
time t
valu
ea(t
)/a(0
)
0
0
1
4000
� � � t.u uC{��0:tBu
0
PSfrag replacements
time t
valu
ea(t
)/a(0
)
−0.5
1
25000
� � � Aq:t � {
PSfrag replacements
time t
valu
ea(t
)/a(0
)
0
0
1
4000
v��t$�r r s�t.u �{�.qDpHx:{Dx�r tBu � �B{�s�tAZp�xBu � {AABu ��p � � tBx�CpH r x�{ � tDs�r pHx
��� ����������� 2�����J�� ����� � ��
-
��� ��� ��� � ��� ��������� ��������� ����������� �������� � ��!"��#$�������� ����� ���%��� &��� � ��% ��������� ��������0����% ��� ������� �����������A��� � � �B����������� !��!�������� �� � ����J��� ��� ��� � ������% � �B�� ������&��� �� � ���� ��%���� ������� ���������#$��� !��������� ����� ��� �.�
� Aq2r x���C"x2r {���{Dx��2r � p�xB {Dx ~p!�B{Du PSfrag replacements
V̂N1
N2
∆E
system environment
⊗
δ�
δ�
· · ·
ˆE : = ∆ � σ̂ � + P �, K �
�K | � , 2 〉〈 � , 2 |
ˆJ = σ̂+ P K�� � K�� | � , 2 〉〈 , 0 | + w�Q s1QˆL������ = σ̂ � P K | � , 2 〉〈 � , 2 |
ˆL� ���� = σ̂+σ̂− P K | � , 2 〉〈 � , 2 |−σ̂−σ̂+
P K | , 2 〉〈 , 2 |
PSfrag replacements
ρ11(t
)
t[~/u]
Schrödinger
HAM
BA
00 1000 2000 3000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
N ' �2�����6 ����66�4��4��2�3��' ���'4: ⇒v7:s�sA{A� p � �{�sApHx� p � �B{ � �B{As � r q�r pHx p� � {Du tDt$�r pHx �B{:qC{Dx�C pHx�5Nr � r x{ � t:s�r pHx � {Dx��:Aw.Nr r � � � :sA � {zp�=Aw:{Zr%x{ � t:s r p�x ˆJ Nr r r � sDw$p.r s�{ p �5Aw:{?q � p���{�s r pHxpHq2{ � t$p � �r�Q {1Q 0s:w$p.r s�{ p � ˆL�Dp� � Awzp � �B{ � spHx � r ,B�r pHx$ t � { w:t � �Zp}spHZqB{ xBB { � r s�tBu u ,BfAw:{zt � {~A tBu uCr �
[Ĵ(6), [ ˆ
J(6‘), ˆ
L]] ∝ ˆ
L
⇒x:{�sA{A�t � ,B x$p: A��?s$r {Dx � r Aw:{ ��� t.x +=p�:{z � :s � {� �r�Q {1Q ˆJ 8 Z$ ,C{{A�{:x r tBu u ��r �DpHx:tBu
��� ����������� 2�����J�� ����� � ��
-
��� ��� ��� � ��� ��������� ��������� ����������� �������� � ��!"��#$�������� ����� ���%��� &��� � �� �����:����� � �� ���1�.���� ���������� � � ����% ��� � ��� �� ��� � ���$���� �B�������%� � �� �� �:������� �%�����B������ � �.�����0����� � �� ���7�B������ ���$�������� ��z�����% ���B�
' /�-7
-
��� ��� ��� � ��� ��������� ��������� ����������� �������� � ��!"��#$�������� ����� ���%��� &��� � �� �����:����� � �� ���1�.���� ���������� � � ����% ��� � ��� �� ��� � ���$���� �B�������%� � �� �� �:������� �%�����B������ � �.�����0����� � �� ���7�B������ ���$�������� ��z�����% ���B�
�2[�Q & T:R �4( Q.U Q.U � Q �CTDU �4( � � -/� �:T �ˆL�� = X�
sApD( � / ) 2̂ ( / ) 2̂ ( / ) := X� �̂ †� ,
� �̂ � ,�
⇒ ˙L��
(6) = Γ
�(6)L��
(6)
� pHZq:t � r �p�x � r wZt �:pH � r { � � t.x$��p � {�� ��r �f$ r pHx {*�0:t$�r pHxZtBu u p�� ��p � Aw:{��p�u u p�� r%x��LsDu t$� r C0sAt$�r pHx�5
Γ�(6) ≈ − � 8 � ⇒ L � ( 6 ) ∝ { −
����� 9⇒
��r �f$ r �:{
Γ�(6) ≈ − � 8 � 6 ⇒ L�� ( 6 ) ∝ { −
� � � 9 �⇒
,:t.u u r r s
Γ�(6) →
⇒
L��(6) →
sAp�x$⇒
u p.s�tBu r �A{��v�$�{D~ ��{�tA � r x�� � t.x$u t$�r pHx:tBuBr x��:t � r t.x:sA{
⇒{�sAp�x� p � �B{ � s�tBu {A t$Γ�(6) = � 8 λ 8 ( 6 )
��� ����������� 2�����J�� ����� � ��
-
��� ��� ��� � ��� ��������� ��������� ����������� �������� � ��!"��#$�������� ����� ���%��� &��� � �� �����:����� � �� ���1�.���� ���������� � � ����% ��� � ��� �� ��� � ���$���� �B�������%� � �� �� �:������� �%�����B������ � �.�����0����� � �� ���7�B������ ���$�������� ��z�����% ���B�
� TDU 2�� S � R ��� T �CT �BTDU��CT2U � > � ( � �1�4( �:T *��1�� � ( ���4( R � [ � U �4( �4( QBU+B
( 6 )PSfrag replacements
time [T ]
rate
[R]
0
0
τc
1
2
3
1
1
3
3
5
7
r x�{ � {���r t{ �Xt��:{Du {:x��DAw
��� (
� )
6
=.��
�
u pHx��$Aw$p � �Xt��:{Du {Dx��Dw
��� (
� )
��� (
� )
����
6=
$ 6=
$
�= ��� . �� = ��� . �
�X{��2r t$�r pHx�� � pH ��r �f$ r p�x�5
3 30
100
1000
3 30
100
1000
�
�= � / �� �����2�&�7' ���' ��� �4�'*� �76�� ��2"�4���0 � 68� ����� � # �7' ��� �;6�� 0%�����
��� ����������� 2�����J�� ����� � ��
-
��� ��� ��� � ��� ��������� ��������� ����������� �������� � ��!"��#$�������� ����� ���%��� &��� � �� �����:����� � �� ���1�.���� ���������� � � ����% ��� � ��� �� ��� � ���$���� �B�������%� � �� �� �:������� �%�����B������ � �.�����0����� � �� ���7�B������ ���$�������� ��z�����% ���B�
� � *�� U��CTD[ � Q.UGYZQ �CT �
��
� �
ˆE =X�
�([)�̂ †( [ ) �̂ ( [ ) +
X
����̂ †( [ ) �̂ ( [ ′) + w�Q s1Q
�([)5�=tB$� r tBx � t.x�Cp� xBB ,2{ � �
σ ⇒
ˆE =� − �X
µ=:�̂ : (µ) + λ
� − �X
µ=:+̂(µ, µ + � )
r x�{ � {*��r t$�{ �Xt��:{Du {:x��DAw
��� (
� )
��� (
� )
��
6= � 26 = � 2
u pHx��$Aw$p � �Xt��:{:u {Dx��Dw
1515��� (
� )��� (
� )
����
6= �� 26 = �� 2
2=
$ � = �C� σ = � � Q�R � ( 0 � �4( QBU � ���BT � [ � �1� ��Q � [ � SLQ2[�CTD[ T � T:R ���� ����������� 2�����J�� ����� � ��
-
��� ��� ��� � ��� ��������� ��������� ����������� �������� � ��!"��#$�������� ����� ���%��� &��� � �� �����:����� � �� ���1�.���� ���������� � � ����% ��� � ��� �� ��� � ���$���� �B�������%� � �� �� �:������� �%�����B������ � �.�����0����� � �� ���7�B������ ���$�������� ��z�����% ���B�
� Q�R �� ( 0 � �4( Q.U �T � T:R � Q�� S ( 2 S2TD[ Q2[��CT2[ � TD[�Y �D( U � S2T �D[�Q & TDR �'( Q.U T+A � � U �4( Q.U��:t.u :t r%x�� �pH � Aw p � �B{ � �{ � ~ r tBx?t � @Q P { � p � ��� r Aw t ��{�t$ r ,Bu { {A�r t$�r pHx,:t:�{�� pHx Aw:{ ��t:s Aw:t w:{ � {Zr � t.x +=p�:{Z� � :sA � {1Q6 � 5� � t.x$ r r p�xz�p ,:tBu u r r szu {:x��DAw$�s�t.u {2 à � , �
5� � t.x$ r r p�xz�pGu p.s�t.u r ��{��)u {Dx��Dw$s�tBu {P {zsApHZqB�{ p � /χ 5 � � t.x��2{� " tCr ZB � t r p� p � ��r �f$ r �:{ �Xt��:{Du {:x��DAw$ r%x,C{ '�X{A{Dx ,:t.u u r r s#�w$p � � tBx�Gu p.s�tBu r �A{�� u p�x��� �Xt��:{Du {Dx��:Aw$%Q
PSfrag replacements
disorder σ/α
mea
sure
χ
inverse size1/n2
0.25 40
0.50
0.001
o w2r A�� �C{A%5 ��r �f$ r �:{ ,2{Dw:t��2r p �pHxBu �,C{ �X{�{:x � � � K , � ��� � � r Aw� ��� � / � � � K ≈ � ��p � r%x C7x2r {Du r �A{��$�{D~~t.x� � p�q r ZB ��r �p � �B{ �
��� ����������� 2�����J�� ����� � ��
-
��� ��� ��� � ��� ��������� ��������� ����������� �������� � ��!"��#$�������� ����� ���%��� &��� � �� �����:����� � �� ���1�.���� ���������� � � ����% ��� � ��� �� ��� � ���$���� �B�������%� � �� �� �:������� �%�����B������ � �.�����0����� � �� ���7�B������ ���$�������� ��z�����% ���B�
> Y � U � � � [ �'( R � T%B YZQ � �� � [�� �1� U ��� Y ������� TDY�B{#C"x:{��LpHx w:{ �Bu u0q � p!�0:s q:tDs�{zp�=Aw:{A,BBx2r �A � tBx�CpH ��r x�{ � tDs r p�x$� � t.x$u t$�r pHx:tBuBr x��:t � r t.x:sA{2 � � �
⊗⊗⊗⊗
sAp�x$ r �B{ � � tBx$Aq2p � p� u p.s�tBuB{Dx:{ � �:�5( U � TD[�YZT � ( � � T -/� �$T � TDU 2�� S
6��� (
� )
� QBU 2 -/� �:T � TDU 2�� S
6��� (
� )6λ�
Γ
� ,�
,λ
� Γ
� ,�
6λ�Γ
� ,�
,λ
� Γ
� ,�
o w2r r x��r s�t{A t u {Dx��Hws�tBu { �B{Dq2{Dx�B{Dx � ��r �/Q ��,:t.u u Q �� � tBx$ r �r pHx� r xZt � � pHx���u �r x{ � t:s�r x��0 � ���N �0:tBxABsDw:t$pD�r s $�{D
��� ����������� 2�����J�� ����� � ��
-
��� ��� ��� � ��� ��������� ��������� ����������� �������� � ��!"��#$�������� ����� ���%��� &��� � � �A��� �%��������� !J������� ���� ;5I"*N4 8
-
��� ��� ��� � ��� ��������� ��������� ����������� �������� � ��!"��#$�������� ����� ���%��� &��� � � �A��� �%��������� !J������� ���
�"T � T2[8�$Q ( [ � R�Q � � � T+� � Q � S2T��XT ( � T2U � TD[ 2 R$S ��( U�� ∆ = �
ˆE = Xµ
Mσ̂�µ + λ(σ̂
�µσ̂
�µ+ � + σ̂ �µσ̂ �µ+ � + ∆σ̂ �µσ̂ �µ+ � ) 2̂ ( / ) = 2̂ µ = σ̂ �µ
�
∇
�
� =
∇
�
�
�
�� � ���� � �� ��
��r x�WxBBu u ��Aq:tDsA{ p �ft? 8 � /N 8 � x$pHx���+f{ � zr �r tBx? t$ � r �� +f{ � {��X{?${�� � �p.s:w:t:�r sBx � t��:{Du u r x�� 4Q⇒
� � p ,:t,Bu �,:tBu u r �r s � t.x$q2p � r xzw:{}u r zr p � u pHx��?sDw:tCr%x$%Q��� ����������� 2�����J�� ����� � ��
-
��� ��� ��� � ��� ��������� ��������� ����������� �������� � ��!"��#$�������� ����� ���%��� &��� � � �A��� �%��������� !J������� ���
� S2T > ����$ T?S2QBY T YZT ����� 2 T%B & u { � x:t r �:{ t.qBq � p2tDs:w:{A �p �0:t.xB � t.x$q2p � tA w:{Du qzp �C{ z~p � {#�B{�tCr%u {��r x���p � t$�r pHxZp�x � tBx$Aq2p � �,2{Dw:t��2r p � � r w � {AqC{As �p}Aw:{}u {:x��DAw$�s�t.u {1Q �� � Aw:{ � ~p � {�0:t.x�r t r �:{ tBx:t.u $ r p�f � p�x��Hu Lr x�{ � tDs�r x��}%� p � $ � �${D~ tA q2pD� r ,Bu ,C{AsApH { ��{At: r ,Bu {1Q
) p � {}r x���p � t$�r pHx�5.t$*�L { p � �2r r pH � �X{ ,Bq:t��C{1Q
) tBxZAw:tBx��X�p ) Q ) r sDw:{:u% O QHv.{$r%x2r �C{��X{��0 + Q P r sDw�{ � r sDw. + Q � � Q � � {D:{ � � Q � t � sDw. Q�Q Q QNtBx�?Aw:{ t.��r {:x:s�{��
��� ����������� 2�����J�� ����� � ��
Projection techniquesstandard open system approach (Nakajima-Zwanzig)generalized projections (time-convolutionless)importance of higher order terms
Transport``one particle'' modular quantum system, projection onto density waves3d-Anderson model``many particle'' modular quantum systems
Modeling of coupled reservoirsHeisenberg chains