ψηφιακά ηλεκτρονικά κεφ 9

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ

Κεφάλαιο 9ο

Αναπαράσταση Αρνητικών Αριθμών

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

o 9.1 Αναπαράσταση αρνητικών αριθμών.n 9.1.1 Αναπαράσταση προσημασμένου μέτρου.n 9.1.2 Αναπαράσταση συμπληρώματος ως προς ένα.n 9.1.3 Αναπαράσταση συμπληρώματος ως προς δύο.n 9.1.4 Πρόσθεση και αφαίρεση αριθμών.

o 9.2 Κυκλώματα δυαδικών αθροιστών.n 9.2.1 Ημιαθροιστής.n 9.2.2 Πλήρης αθροιστής.n 9.2.3 Παράλληλος δυαδικός αθροιστής.n 9.2.4 Παράλληλος δυαδικός αθροιστής – αφαιρέτης.

o 9.3 Αθροιστής BCD.o 9.4 Δυαδικός αθροιστής με ολοκληρωμένοκύκλωμα.

5/29/2013 ΛΕΥΘΕΡΟΥΔΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣΠΕ1708

3

9.1 Αναπαράσταση αρνητικώναριθμών

o Οι σχεδιαστές ψηφιακών συστημάτων έχουναναπτύξει τρεις διαφορετικές τεχνικές για τηναναπαράσταση αρνητικών αριθμών :n Πρόσημο και μέτρο.n Συμπλήρωμα ως προς ένα.n Και συμπλήρωμα ως προς δύο.

o Στα μαθηματικά μπορούμε να έχουμε ένα άπειροαριθμό θετικών και αρνητικών ακέραιωναριθμών.

o Στα ψηφιακά συστήματα μπορούμε νααναπαραστήσουμε ένα συγκεκριμένο αριθμόακεραίων ανάλογα με τον αριθμό των bit πουχρησιμοποιούμε για να τους αναπαραστήσουμε.


4

9.1 Αναπαράσταση αρνητικώναριθμών

o Στα περισσότερα σύγχρονα υπολογιστικάσυστήματα χρησιμοποιούνται 32 bits γιατην αναπαράσταση των ακέραιωναριθμών.

o Στις επόμενες παραγράφους θαυποθέσουμε ότι η αναπαράσταση γίνεταιμε 4 bits, δηλαδή 24=16, οι μισοί θα είναιθετικοί και οι άλλοι μισοί αρνητικοί.

o Signed number representations FromWikipedia

http://en.wikipedia.org/wiki/Signed_number_representations


5

9.1.1 Αναπαράστασηπροσημασμένου μέτρου

o Στην αναπαράσταση προσημασμένουμέτρου, το περισσότερο σημαντικό bit (MSB)χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει τοπρόσημο του αριθμού, ενώ τα υπόλοιπα bitsαναπαριστούν το μέτρο (απόλυτη τιμή) σαν έναδυαδικό μέγεθος χωρίς πρόσημο.

o Αν το bit του πρόσημου είναι «0», ο αριθμόςείναι θετικός.

o Αν το bit του πρόσημου είναι «1», ο αριθμόςείναι αρνητικός.

9.1.1 Αναπαράστασηπροσημασμένου

μέτρου

1111- 7

1110- 6

1101- 5

1100- 4

1011- 3

1010- 2

1001- 1

1000- 0

0111+ 7

0110+ 6

0101+ 5

0100+ 4

0011+ 3

0010+ 2

0001+ 1

0000+ 0

ΔυαδικόςΔεκαδικός

Το μηδέν έχει δύοδιαφορετικές

αναπαραστάσεις, ανκαι το + 0 και το – 0δεν έχουν κάποιονόημα σταμαθηματικά


7

9.1.1 Αναπαράστασηπροσημασμένου μέτρου

o Η πρόσθεση δύο θετικών ή αρνητικών αριθμώνείναι απλή. Απλά προσθέτουμε του αριθμούς καιδίνουμε το ίδιο πρόσημο στο αποτέλεσμα.

o Όταν τα πρόσημα των δύο αριθμών δεν είναιίδια, τότε η πρόσθεση γίνεται πολύπλοκή, πρέπεινα αφαιρέσουμε το μικρότερο μέτρο από τομεγαλύτερο και το πρόσημο είναι αυτό τουαριθμού με το μεγαλύτερο μέτρο.

o Αυτή η πολυπλοκότητα δημιούργησε πολύπλοκακυκλώματα και έτσι δημιουργήθηκαν άλλεςτεχνικές αναπαράστασης αρνητικών αριθμών.


8

9.1.2 Αναπαράστασησυμπληρώματος ως προς ένα

o Στην αναπαράσταση συμπληρώματος ωςπρος ένα (one complement) οι θετικοί αριθμοί(και το μηδέν) αναπαρίστανται όπως στηναναπαράσταση προσημασμένου μέτρου.

o Κάθε αρνητικός αριθμός είναι το συμπλήρωμα ωςπρος ένα του αντίστοιχου θετικού.

o Το συμπλήρωμα ως προς ένα προκύπτει μετην αντικατάσταση κάθε bit του αριθμού μετο συμπλήρωμα του.

o (+7)10=(0111)2 (-7)10=(1000)2

9.1.2 Αναπαράστασησυμπληρώματος ως

προς ένα

1000- 7

1001- 6

1010- 5

1011- 4

1100- 3

1101- 2

1110- 1

1111- 0

0111+ 7

0110+ 6

0101+ 5

0100+ 4

0011+ 3

0010+ 2

0001+ 1

0000+ 0


Το μηδέν έχει δύοδιαφορετικές

αναπαραστάσεις, ανκαι το + 0 και το – 0δεν έχουν κάποιονόημα σταμαθηματικά


10

9.1.2 Αναπαράστασησυμπληρώματος ως προς ένα

o Το πλεονέκτημα των αριθμών συμπληρώματοςως προς ένα είναι η ευκολία με την οποίαμπορούμε να υπολογίσουμε αρνητικούςαριθμούς.

o Η αφαίρεση γίνεται προσθέτοντας στο μειωτέοτον αντίστοιχο αρνητικό του αφαιρετέου.

o Α-Β=Α+(-Β).o όμως η αφαίρεση περιπλέκεται λόγω τηςύπαρξης δύο αναπαραστάσεων του μηδενός καιγι’ αυτό το λόγο καταλήγουμε στηναναπαράσταση συμπληρώματος ως προς δύο.

o Ones' complement From Wikipedia,

http://en.wikipedia.org/wiki/Ones%27_complement


11

9.1.3 Αναπαράστασησυμπληρώματος ως προς δύο

o Στην αναπαράσταση του συμπληρώματος ωςπρος δύο (twos complement) οι θετικοί αριθμοί(και το μηδέν) αναπαρίστανται όπως στηναναπαράσταση προσημασμένου μέτρου.

o Κάθε αρνητικός αριθμός είναι το συμπλήρωμα ωςπρος δύο του αντίστοιχου θετικού.

o Το συμπλήρωμα ως προς δύο προκύπτειπροσθέτοντας το «1» στο συμπλήρωμα ωςπρος ένα του αριθμού.


12


o Ένας μνημονικόςκανόνας.

o Ξεκινώντας από το LSBκαι μέχρι και τον πρώτο«1» τα bits διατηρούνταιως έχουν.

o Τα υπόλοιπα bitsαντικαθίστανται από τοσυμπλήρωμά τους.

- 7Συμπλήρωμαως προς δύο

1001

+ 1

Συμπλήρωμαως προς ένα1000

+ 70111

9.1.3 Αναπαράστασησυμπληρώματος ως

προς δύο

1000- 8

1001- 7

1010- 6

1011- 5

1100- 4

1101- 3

1110- 2

1111- 1

0111+ 7

0110+ 6

0101+ 5

0100+ 4

0011+ 3

0010+ 2

0001+ 1

0000+ 0


Εδώ έχουμε μόνο μίααναπαράσταση για τομηδέν και όχι δύο

όπως σταπροηγούμενα


14


o Η αφαίρεση γίνεται προσθέτοντας στο μειωτέοτον αντίστοιχο αρνητικό του αφαιρετέου.

o Όμως η αφαίρεση είναι εύκολο ναπραγματοποιηθεί λόγω της ύπαρξης μίαςαναπαράστασης του μηδενός.

o Το συμπλήρωμα ως προς δύο χρησιμοποιείταισήμερα σε όλα τα ψηφιακά συστήματα για τηνπραγματοποίηση της πρόσθεσης και τηςαφαίρεσης.

o Two's complement From Wikipedia,o convert 2's complement binary to decimal or

decimal to binary

http://en.wikipedia.org/wiki/Two%27s_complement

http://prozessorsimulation.klickagent.ch/?lang=en&convertor=true


15

9.1.4 Πρόσθεση και αφαίρεσηαριθμών

o Θα χρησιμοποιήσουμε σ’ όλα ταπαραδείγματα αριθμούς 4 bits.

o Θα μιλήσουμε μόνο για την πράξη τηςπρόσθεσης, αφού η αφαίρεση γίνεται μετην πρόσθεση στο μειωτέο του αντίθετουαριθμού του αφαιρετέου :

)()()()()()()()(

BABABABA

++±=--±-+±=+-±


16

9.1.4 Πρόσθεση και αφαίρεση αριθμώνΠρόσθεση Αριθμών με την αναπαράστασηπροσημασμένου μέτρου.

o Για να προσθέσουμε δύο αριθμούς σεαναπαράσταση προσημασμένου μέτρουεφαρμόζουμε τους κανόνες πρόσθεσης δυαδικώναριθμών.

0111+ 7

0010++ 2+

0101+ 5

Οι δύο αριθμοί έχουν ταίδια πρόσημα.

Το αποτέλεσμα είναι απλάτο άθροισμα των μέτρων τουςκαι το πρόσημο είναι το ίδιο με τοπρόσημο των προσθετέων.


17


1111- 7

1010+- 2+

1101- 5Οι δύο αριθμοί έχουν τα

ίδια πρόσημα.

Το αποτέλεσμα είναι απλάτο άθροισμα των μέτρων τουςκαι το πρόσημο είναι το ίδιο με τοπρόσημο των προσθετέων.


18


0011+ 3

1010+- 2+

0101+ 5

Η αφαίρεση 5-2μετατράπηκε σε πρόσθεση 5+(-2).

Το αποτέλεσμα προκύπτειαπό την αφαίρεση τουμικρότερου μέτρου (του 2) από τομεγαλύτερο (του 5) ενώ τοπρόσημο θα είναι αυτό τουαριθμού με το μεγαλύτερο μέτρο(του 5).


19


1011- 3

0010++ 2+

1101- 5

Το αποτέλεσμα προκύπτειαπό την αφαίρεση τουμικρότερου μέτρου (του 2) από τομεγαλύτερο (του 5) ενώ τοπρόσημο θα είναι αυτό τουαριθμού με το μεγαλύτερο μέτρο(του 5).


20

9.1.4 Πρόσθεση και αφαίρεση αριθμώνΠρόσθεση Αριθμών με την αναπαράστασησυμπληρώματος ως προς ένα.

0111+ 7

0010++ 2+

0101+ 5

Οι δύο αριθμοί έχουν τα ίδιαπρόσημα.

Το αποτέλεσμα είναι απλά τοάθροισμα των μέτρων τους και τοπρόσημο είναι το ίδιο με τοπρόσημο των προσθετέων.


21


1+

10111

1000- 7

1101+- 2+

1010- 5

Οι δύο αριθμοί έχουν τα ίδιαπρόσημα. Το αποτέλεσμα είναι απλάτο άθροισμα τους.

Προκύπτει ένα κρατούμενο(carry) από την πρόσθεση. Στηναναπαράσταση συμπληρώματοςως προς ένα, όποτε έχουμεκρατούμενο από την πρόσθεσηδύο αριθμών το προσθέτουμεστο λιγότερο σημαντικό bit(LSB) του αθροίσματος


22


1+

10010

0011+ 3

1101+- 2+

0101+ 5Διαφορετικά πρόσημα


23


1100- 3

0010++ 2+

1010- 5 Διαφορετικά πρόσημα

Ένας απλό τρόπος για ναβρούμε το μέτρο την απόλυτητιμή ενός αρνητικού αριθμού σεαναπαράσταση συμπληρώματοςως προς ένα, είναι να παίρνουμετο συμπλήρωμα όλων των bitsτου.


24

9.1.4 Πρόσθεση και αφαίρεση αριθμώνΠρόσθεση Αριθμών με την αναπαράστασησυμπληρώματος ως προς δύο.

o Οι υπολογισμοί με το συμπλήρωμα ωςπρος δύο είναι παρόμοιοι με τοσυμπλήρωμα ως προς ένα με μόνηδιαφορά ότι ΔΕΝ προσθέτουμε τοκρατούμενο το οποίο μπορεί ναπροκύψει από την πρόσθεση.

o Η αφαίρεση γίνεται με την πρόσθεση τουαρνητικού αριθμού του αφαιρετέου σεαναπαράσταση συμπληρώματος ως προςδύο.


25


0111+ 7

0010++ 2+

0101+ 5

Οι δύο αριθμοί έχουν τα ίδιαπρόσημα.

Το αποτέλεσμα είναι απλά τοάθροισμα των μέτρων τους και τοπρόσημο είναι το ίδιο με τοπρόσημο των προσθετέων.


26


11001

1001- 7

1110+- 2+

1011- 5

Οι δύο αριθμοί έχουν τα ίδιαπρόσημα. Το αποτέλεσμα είναι απλάτο άθροισμα τους.

Αν προκύψει κρατούμενο(carry) από την πρόσθεση, τοαγνοούμε. Το νέο άθροισμα πουπροκύπτει είναι το σωστό άθροισμασε αναπαράσταση συμπληρώματοςως προς δύο και δεν χρειάζεταικαμία διόρθωση γιατί έχουμε μίαμόνο αναπαράσταση του μηδενός.


27


10011

0011+ 3

1110+- 2+

0101+ 5Διαφορετικά πρόσημα

Αν προκύψει κρατούμενο(carry) από την πρόσθεση,το αγνοούμε.


28


1101- 3

0010++ 2+

1011- 5 Διαφορετικά πρόσημα

Ένας απλό τρόπος για ναβρούμε το μέτρο την απόλυτητιμή ενός αρνητικού αριθμού σεαναπαράσταση συμπληρώματοςως προς δύο, είναι να παίρνουμετο συμπλήρωμα του ως προςδύο.


29


o Σύγκριση μεταξύ των τεχνικών.

ΕύκοληΔύσκοληΔύσκοληΔιαδικασίαπρόσθεσης

ΔύσκοληΕύκοληΕύκοληΑναπαράσταση

Συμπληρώματοςως προς δύο

Συμπληρώματοςως προς ένα

Προσημασμένουμέτρου

Επειδή έχουμε μία μόνο αναπαράσταση για τομηδέν η αναπαράσταση του συμπληρώματος ως

προς δύο χρησιμοποιείται σχεδόν σταπερισσότερα ψηφιακά συστήματα.


30


o Η υπερχείλιση (overflow) συμβαίνειόποτε το άθροισμα δύο θετικών αριθμώνδίνει ένα αρνητικό αποτέλεσμα ή όταν τοάθροισμα δύο αρνητικών αριθμών δίνειένα θετικό αποτέλεσμα.

9.1.4 Πρόσθεση και αφαίρεσηαριθμών, υπερχείλιση(overflow)

1111- 1

1110- 2

1101- 3

1100- 4

1011- 5

1010- 6

1001- 7

1000- 8

0111+ 7

0110+ 6

0101+ 5

0100+ 4

0011+ 3

0010+ 2

0001+ 1

0000+ 0


o Αν προσθέσουμε ένανθετικό αριθμό κινούμαστεπρος τα κάτω, τόσεςθέσεις όσο και το μέτροτου αριθμού.

o Αν προσθέσουμε έναναρνητικό αριθμόκινούμαστε προς τα πάνω,τόσες θέσεις όσο και τομέτρο του αριθμού.

o Όταν με την πρόσθεση ήτην αφαίρεση διασχίζεται ηδιαχωριστική κόκκινηγραμμή μεταξύ των δύοτμημάτων, τότε έχουμευπερχείλιση.

9.1.4 Πρόσθεση και αφαίρεσηαριθμών, υπερχείλιση (overflow)

1111- 1

1110- 2

1101- 3

1100- 4

1011- 5

1010- 6

1001- 7

1000- 8

0111+ 7

0110+ 6

0101+ 5

0100+ 4

0011+ 3

0010+ 2

0001+ 1

0000+ 0


o Για παράδειγμα :o (+5)+(+4).o Ξεκινάμε από την θέσηπου αναπαριστά το +5και κινούμαστε κατά 4θέσεις προς τα κάτω.

o Το αποτέλεσμα είναι οαριθμός – 7, άραέχουμε υπερχείλιση.

9.1.4 Πρόσθεση και αφαίρεσηαριθμών, υπερχείλιση (overflow)

1111- 1

1110- 2

1101- 3

1100- 4

1011- 5

1010- 6

1001- 7

1000- 8

0111+ 7

0110+ 6

0101+ 5

0100+ 4

0011+ 3

0010+ 2

0001+ 1

0000+ 0


o Για παράδειγμα :o (-7)+(-3).o Ξεκινάμε από την θέσηπου αναπαριστά το -7και κινούμαστε κατά 3θέσεις προς τα πάνω.

o Το αποτέλεσμα είναι οαριθμός + 6, άραέχουμε υπερχείλιση.


34


o Το πρόβλημα της υπερχείλισης στα ψηφιακάσυστήματα αντιμετωπίζεται καταρχήνχρησιμοποιώντας για την αποθήκευση τουαθροίσματος καταχωρητή μήκους κατά ένα bitτουλάχιστον μεγαλύτερου από το μήκος τωνπροσθετέων.

o Επιπλέον, χρησιμοποιώντας ειδικά κυκλώματαανίχνευσης της ύπαρξης υπερχείλισης, ηπληροφορία αυτή αποθηκεύεται καιχρησιμοποιείται για την σωστή ερμηνεία τωναποτελεσμάτων.


35

9.2 Κυκλώματα δυαδικώναθροιστών – 9.2.1 Ημιαθροιστής

o Ο ημιαθροιστής (Half Adder) είναι το πιοβασικό από τα κυκλώματα αρίθμησης.

o Είναι ένα συνδυαστικό κύκλωμα πουεκτελεί την πρόσθεση δύο δυαδικώνψηφίων (bits) και έχει δύο εισόδους χ(πρώτος προσθετέος) και y (δεύτεροςπροσθετέος) και δύο εξόδους S(άθροισμα – Sum) και C (κρατούμενο -Carry).


36

9.2 Κυκλώματα δυαδικώναθροιστών – 9.2.1 Ημιαθροιστής

0111

1001

1010

0000

SCYX

XYCYXYXYXS

=Å=+=


37

9.2.2 Πλήρης Αθροιστήςo Ο πλήρης αθροιστής (Full Adder) είναι ένασυνδυαστικό κύκλωμα που εκτελεί τηνπρόσθεση δύο δυαδικών ψηφίων (bits)λαμβάνοντας υπόψη τυχόνκρατούμενο εισόδου (Cin).

o Έχει τρεις εισόδους χ (πρώτοςπροσθετέος), y (δεύτερος προσθετέος) καιz (κρατούμενο εισόδου) και δύοεξόδους S (άθροισμα – Sum) και C(κρατούμενο - Carry).

9.2.2 Πλήρης Αθροιστής

1111101011011011000101110100101010000000SCZYX

ZYXZYXZYX

ZXYYXZYXYX

XYZZYXZYXZYX

XYZZYXZYXZYXS

ÅÅ=Å+Å=

=+++=

=+++=

=+++=

)()()(

)()(

)()(

XYZYXXYZYX

ZZXYZYXYX

XYZZXYZYXYZX

XYZZXYZYXYZXC

+Å==+Å=

=+++=

=+++=

=+++=

)(1)(

)()(

)()(

9.2.2 Πλήρης Αθροιστής


40

9.2.3 Παράλληλος ΔυαδικόςΑθροιστής

o Στην παράλληλη πρόσθεση δύο μηπροσημασμένων n-bits δυαδικώναριθμών Α και Β, τα bits ίδιας τάξης(βάρους) των δύο αριθμών προστίθενταιπαράλληλα (ταυτόχρονα)χρησιμοποιώντας n πλήρεις αθροιστές.


41

9.2.3 Παράλληλος ΔυαδικόςΑθροιστής

o Εδώ βλέπουμε έναν Παράλληλο Αθροιστή τεσσάρων bits πουαποτελείται από 4 Πλήρεις Αθροιστές (FA – Full Adder).

o Οι αριθμοί Α3Α2Α1Α0 & Β3Β2Β1Β0 προστίθενται δίνονταςάθροισμα S3S2S1S0 και κρατούμενο εξόδου C4, το αρχικόκρατούμενο εισόδου είναι το C0=“0”. Το κρατούμενο τουκάθε αθροιστή είναι (C1,C2,C3) αποτελεί το κρατούμενοεισόδου του επόμενου αθροιστή.


42

9.2.4 Παράλληλος ΔυαδικόςΑθροιστής - Αφαιρέτης

o Οι μη προσημασμένοι 4 bits δυαδικοίαριθμοί Α=Α3Α2Α1Α0 & Β=Β3Β2Β1Β0προστίθενται (Α+Β) ή αφαιρούνται (Α-Β)δίνοντας αποτέλεσμα C4S3S2S1S0.

o Στο κύκλωμα υπάρχει μία είσοδος ελέγχουΕ Πρόσθεσης – Αφαίρεσης.

o Όταν αυτή η είσοδος είναι «0», τότε τοκύκλωμα λειτουργεί ως αθροιστής.

o Όταν είναι «1» τότε λειτουργεί ωςαφαιρέτης.

9.2.4 Παράλληλος Δυαδικός Αθροιστής - Αφαιρέτης

o Όταν Ε=0, τότε οι πλήρεις αθροιστές δέχονται ταbits του αριθμού Β ως έχουν, το κρατούμενοεισόδου είναι C0=0 και εκτελείται η πράξη Α+Β.Το C4 μας δίνει το κρατούμενο της πρόσθεσης.

9.2.4 Παράλληλος Δυαδικός Αθροιστής - Αφαιρέτης

o Όταν Ε=1, τότε οι πλήρεις αθροιστές δέχονται τα bits τουαριθμού Β σε συμπληρωματική μορφή, το κρατούμενο εισόδουείναι C0=1 (άρα στον Α προστίθεται ο αντίθετος του Β σεσυμπλήρωμα ως προς δύο) και εκτελείται η πράξη Α-Β.

o Αν Α>=Β (C4=1) τότε, το αποτέλεσμα είναι S3S2S1S0.o Αν Α<Β (C4=0), τότε το αποτέλεσμα είναι αρνητικό με μέτροτο συμπλήρωμα ως προς 2 του S3S2S1S0.


45

9.3 Αθροιστής BCDo Ο κώδικας BCD (Binary Coded Decimal)αναπαριστά τα 10 δεκαδικά ψηφία με δυαδικούςαριθμούς τεσσάρων bits.

o Όπως και στο δυαδικό σύστημα η πρόσθεση σεBCD γίνεται με ένα δυαδικό ψηφίο τη φοράξεκινώντας από τα λιγότερα σημαντικά ψηφίατων αριθμών (LSB).

o Το σημείο το οποίο χρειάζεται προσοχή είναι,όταν το άθροισμα δύο BCD αριθμών ξεπερνά τοναριθμό (1001)2 (9)10.

9.3 Αθροιστής BCD

100080011+3+01015BCD

Σ’ αυτό τοπαράδειγμαδεν υπάρχειπρόβλημα

Προσθέτουμε 60110+

Λάθος BCD !110012

01010111BCD

Σωστό BCD 120001 0010

+5+7

Σ’ αυτό το παράδειγμα βλέπουμε πως τοάθροισμα αρχικά είναι (1100)2=(12)10 τοοποίο είναι σωστό ως αποτέλεσμααθροίσματος στο δυαδικό σύστημα, αλλά όχιστον BCD κώδικα.

Υπάρχει ένας απλός τρόπος διόρθωσης μετην πρόσθεση του αριθμού (6)10 (0110)2στο αποτέλεσμα του αθροίσματος πουείναι μεγαλύτερο από 9.


Σωστό BCD 610110 0001

Προσθέτουμε 60000 0110+

Λάθος BCD !0101 101161

0010 0110+26+

0011 010135

BCD


48

9.3 Αθροιστής BCDo Βλέπουμε πως με την πρόσθεση του 6 διορθώνουμετο αποτέλεσμα.

o Η διόρθωση με την πρόσθεση του αριθμού 6προκύπτει λόγω του ότι δεν χρησιμοποιούμε του 6δυαδικούς αριθμούς των τεσσάρων bits από 1010έως 1111.

o Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ο BCD αθροιστής μετη χρήση δύο παράλληλων δυαδικών αθροιστών των4 bits. Ο BCD αθροιστής έχει εισόδους τοκρατούμενο εισόδου (που είναι το κρατούμενοεξόδου της προηγούμενης βαθμίδας) και τους BCDπροσθετέους και εξόδους το κρατούμενο Κ και τοάθροισμα Σ3Σ2Σ1Σ0.


o Όταν Κ=1 τοαποτέλεσμαS3S2S1S0 θαπρέπει ναδιορθωθεί ώστε ναπροκύψει το σωστόάθροισμα BCD μετην πρόσθεση τουαριθμού 6.

o Το κρατούμενοΚ=1 όταν τοάθροισμαS3S2S1S0 είναιμεγαλύτερο από 9(1001), οπότε είτετο C=1, είτεS3=S2=1, είτεS3=S1=1.

1 111

1


o Με τις πύλες ANDπαίρνουμε τους όρουςS3*S2 & S3*S1.

o Με την πύλη OR τριώνεισόδων προκύπτει ηλογική συνάρτηση τουκρατουμένουK=C+S3*S2+S3*S1την έξοδο της οποίαςχρησιμοποιούμε για ναπροσθέσουμε τοναριθμό 6 (0110) στονδεύτερο αθροιστή.

o Αν Κ=0, τότε οδεύτερος αθροιστήςπροσθέτει στοναριθμό S3S2S1S0 τοναριθμό 0 (0000) καιεπομένως δεν αλλάζειτο άθροισμα.

1 111

1

1100


51

9.4 Δυαδικός Αθροιστής με Ο.Κo Οι αθροιστέςείναι διαθέσιμοισεολοκληρωμένημορφή.

o Το Ο.Κ 7483είναι έναςπαράλληλοςδυαδικόςαθροιστής 4 –bits.

ψηφιακά ηλεκτρονικά κεφ 9

Education

Transcript of ψηφιακά ηλεκτρονικά κεφ 9