제 9 장 일반 벡터공간

9.1 벡터 공간의 공리

벡터공간 공리

< 정 의 9.1.1> V 가 덧 셈 과 스 칼 라 곱 의 연 산 이 정 의 된 객 체 들 의

집합이라고 하자 .

덧셈 (addition) 은 V 내에 있는 대상 u 와 v 에 대하여 u 와 v 의 합 u + v

를 대응시켜 주는 규칙 , 스칼라곱 (scalar multiplication) 은 v 내의 대상 u

에 대하여 k 에 의한 u 의 스칼라곱 ku 를 대응시켜 주는 규칙 .

이러한 연산이 가능한 집합 v 를 벡터공간 (vector space), 다음 성질들이 v

에 있는 모든 대상 u , v ,w 와 모든 스칼라 k , l 에 대하여 성립한다면 이

객체들을 벡터 (vector).

1. V 는 덧셈에 대하여 닫혀있다 (closed under addition). 즉 만약 u 와 v 가

V 에 존재하면 , u+v 도 V 에 존재

2. u + v = v + u

3. (u +v) + w = u + (v +w)

4. V 내에 있는 모든 u 는 u+0=u 를 만족하는 객체 o( 영 벡터 (zero vector)

라 부른다 ) 를 포함하고 있다 .

5. V 내의 각 객체 u 에 대하여 , u+(-u)=0 을 만족하는 객체 -u ( u 의

덧셈역원 (negative) 이라 부른다 ) 가 존재 .

6. V 는 스칼라곱에 대하여 닫혀있다 (closed under scalar multiplication). 즉 ,

만약 u 가 V 에 존재하고 k 가 스칼라이라면 , ku 도 V 에 존재한다 .

7. k(u+v)=ku+kv

8. (k+l)u=ku+lu

9. k(lu)=(kl)u

10. 1u=u

- 10 가지 성질을 벡터의 공간 공리 (vector space axiom)

- 벡터 공간 V 에서 스칼라가 실수가 되어야만 한다면 , V 를 실수벡터공간 (real vector space)

- 스칼라가 복소수로 허용되면 , V 를 복소수벡터공간 (complex vector

space)

[ 예제 2] 수열공간 Rn

Rn 을 일반화하는 한 가지 자연스런 방법

: 무한개의 성분을 갖는 벡터

, R∞ 로 표시

→ R∞ 가 10 가지의 벡터 공간 공리를 만족

함수 공간

- f 와 g 가 F(-∞,∞) 에서의 함수이고 , c 가 스칼라이면 , 스칼라곱

(scalar multiple) cf 와 합 (sum) f+g

(3)

[ 예제 3] F(-∞,∞) 은 벡터공간이다 .

식 (3) 의 연산에 대해 F(-∞,∞) 가 벡터 공간

특이한 벡터공간

[ 예제 4] 양의 실수의 집합을 V, V  내의 어떤 실수 k 와 어떤 수 u 와 k  에 대해서 V  에 대한 연산

                       

                              

→ 연산의 집합 V 는 10 개의 벡터공간 공리를 만족하고 , 벡터 공간

행렬 공간

- 실수 성분을 가진 모든 m x n 행렬의 집합을 Mmn

: Mmn 은 벡터공간

부분 공간

< 정의 9.1.3> W 가 공집합이 아닌 V 의 부분집합으로서 V 내의 스칼라 곱과 덧셈에 의해 벡터공간이 된다면 , W 를 V 의 부분집합 (subspace).

< 정리 9.1.4> W 가 벡터 공간 V 내의 공집합이 아닌 부분집합이라면 , W 가 V 의 부분공간이 될 필요충분조건은 W 가 스칼라 곱과 덧셈에 의해 닫혀 있는 것 .

[ 예제 5] 영 부분공간

벡터 한 개로 된 집합 W={0}

: V 의 영부분공간 (zero space)

[ 예제 6] F(-∞,∞) 의 다항식 부분 공간

a0, a1,···, an 은 실수 , 즉 Pn 은 n 차 이하의 차수를 갖는 모든 다항식의 집합 ,

Pn 은 F(-∞,∞) 의 부분공간임

( 풀이 ) Pn 이 F(-∞,∞) 의 부분공간임을 보이기 위해 Pn 이 스칼라 곱셈과

덧셈에 대하여 닫혀 있음

[ 예제 7] (-∞,∞) 구간 내의 연속함수

[ 예제 8] (-∞,∞) 구간 상에서 미분 가능한 함수

[ 예제 9] 가역행렬은 Mnn 의 부분공간이 아니다 .

n x n 가역행렬이 Mnn 의 부분공간을 이루지 않음

일차독립 , 생성 , 기저

[ 예제 10] F(-∞,∞) 내의 일차종속 집합

함수 가 내에서 일차종속

( 풀이 ) 식 (4) 를 만족하는 영이 아닌 스칼라 c1, c2, c3 가 존재함을 보이면

된다 .

[ 예제 11] 벡터집합의 생성

함수 에 의해 생성되는 F(-∞,∞) 의 부분공간

( 풀이 )

→ span { }=Pn

[ 예제 12] Pn 의 기저

예제 11 에서 함수 가 Pn

→ Pn 에 대한 표준 기저 (standard basis)

[ 예제 13] M22 에 대한 기저

다음 행렬은 2 x 2 행렬 M22 벡터 공간의 기저

                                                                     → 행렬은 일차 독립

함수의 선형 독립에 대한 Wronski 의 판정법

- 내의 함수

- 함수가 일차종속이면 , 모두 영이 아닌 스칼라 이 존재

- 이 방정식을 n-1 번째까지 미분한 방정식과 결합

- (-∞,∞) 구간 내의 모든 x 에 대한 자명하지 않은 해를 갖고 있음을 의미

-이것은 의 Wronskian 이라 불리는 다음 행렬식

(6) 이 (-∞,∞) 구간 내의 모든 x 에 대해서 영임

(6)

< 정리 9.1.5> (Wronskian 의 판별법 ) 함수 가

(-∞,∞) 구간에서 n-1 개의 연속적인 도함수를 가지며 , 이 함수의 Wronskian

이 (-∞,∞) 구간에서 영이 아니라면 , 함수는 (-∞,∞) 내에서 일차독립

집합을 이룬다 .

[ 예제 14] 세 함수 가 F(-∞,∞) 내에서

일차독립 집합임을 보여라 .

( 풀이 ) Wronskian

→ 이 함수는 모든 실수 x 에 대해서 영이 아니며 , 이 함수는 일차독립이다 .

차원

< 정의 9.1.6> 벡터공간 V 가 유한한 벡터가 있는 기저를 가지고 있다면

유한차원 (finite dimension), 그렇지 않으면 무한차원 (infinite dimension).

영벡터 공간 V={0} 는 유한차원으로 정의 .

< 정리 9.1.7> 영이 아닌 유한 차원 벡터 공간의 모든 기저는 동일한 수의

벡터를 갖는다 .

< 정의 9.1.8> V 가 영이 아닌 유한차원 벡터공간이라면 , V 의 차원 (dimens

ion) 은 기저의 벡터수로 정의하고 dim(V) 으로 표기한다 . V={0} 은 영차원 .

[ 예제 15] 유한차원의 벡터공간

예제 12 에서 함수 는 Pn 의 기저

→ Pn 의 모든 기저가 n+1 개의 벡터를 가지고 있으며 , 따라서

dim(Pn)=n+1

→ P∞ 은 무한차원이고 , 따라서 F(-∞,∞), C(-∞,∞), C1(-∞,∞),

Cm(-∞,∞), C∞(-∞,∞) 은 모두 P∞ 를 부분공간으로 가짐

Lagrange 보간 다항식

- x1, x2, x3, x4 가 서로 다른 실수

-- 식 (7) 의 점들을 지나는 3 차 이하의 차수를 갖는 보간다항식

(7)

- 각각 3 차의 차수를 갖는 다음 다항식

(8)

- 이 다항식들은 x1, x2, x3, x4 에서 다음과 같은 값을 갖도록 구성

(9)

- 3 차 이하의 차수를 갖고 x1, x2, x3, x4 에서의 값이 다음과 같은 식 (9)

- 식 (9) 는 (7) 에 있는 점에 대한 보간다항식

- 식 (8) 에 있는 네 개의 방정식은 x1, x2, x3, x4 에서의

Lagrange 보간다항식 (Lagrange interpolating polynomial)

- 식 (9) 는 Lagrange 보간공식 (Lagrange interpolation formula)

[ 예제 16] Lagrange 보간

2.3 절의 [ 예제 7] 에서 선형계의 풀이

(10)

에 대한 보간다항식 →

적절한 Lagrange 보간다항식을 사용하여 다항식

( 풀이 ) 다음과 같은 Lagrange 보간 다항식

공식 (9) 와 식 (10) 의 y 좌표계를 이용

벡터 관점의 Largrange 보간

- Lagrange 보간다항식을 P3 내의 벡터로 간주하고 벡터관점에서 재검토

- x1, x2, x3, x4 는 서로 다른 실수이고 , p(x) 는 P3 내의 다항식

- p(x) 의 그래프가 다음의 점들을 통과

- p(x) 는 이 점들의 보간 다항식

- 과 식 (9) 를 이용

(12)

- x1, x2, x3, x4 가 서로 다른 실수라면 이 점들에 대한 Lagrange 보간다항식

(13)

- 그래프가 아래의 점들을 통과

- n-1 차 이하의 보간다항식 p(x) 는 다음과 같은 Lagrange 보간공식

- x1, x2, x3, x4 에서의 Lagrange 보간다항식이 pn-1 을 생성하고

n- 차원이므로 이 공간에 대한 기저를 생성

< 정리 9.1.9> x1, x2, x3, x4 가 서로 다른 실수이면 , 이들 점에서의 Lagrange

보간다항식은 차수가 n-1 이하인 다항식들의 벡터공간에 대한 기저를

형성한다 .

9-2 내적 공간 ; Fourier 급수

벡터 공간에 기하학적 구조를 부여하기 위해서는 점곱의 개념을 일반화

R∞ 상에서의 정리 1.2.6 에서 유도할 수 있는 점곱의 모든 대수적 특성

정리 1.2.6 의 성질들이 성립하는 방법으로 R∞ 내의 벡터에 관한 기하학적 정리들 또한 V 내에서 유효

정의 9.2.1 실벡터공간 V 에서의 내적은 유일한 실수 <u, v> 와 V 내의 벡터 u 와 v 를 연관시키는 하나의 함수이다 . 아래의 특성들은 모든 스칼라 k 에 대해서 , 그리고 V 내의 모든 u, v, w 에 대해서 성립한다 .

1. <u, v> = <v, u> [ 대칭 성질 ]2. <u+v, w> = <u, w> + <v, w> [ 덧셈 성질 ]3. <ku, v> = k<u, v> [ 동차 성질 ]4. <v, v> ≥ 0, <v, v> = 0, v = 0 [ 명확 성질 ]

내적을 갖는 실벡터공간을 실수내적공간이라 하고 , 위 정의의 4 가지 성질을 내적공리

정의 9.2.2, 만약 V 가 내적 공간이라면 , 아래의 공식에 의해 내적과 연관된 V 내의 벡터에 대한 놈과 거리를 정의할 수 있다 .

(1)

(2)

그리고 <u, v>=0 이면 u 와 v 가 직교한다고 정의

예제 1 Rn 상의 점곱은 내적

Rn 상의 점곱 (Euclid 내적 ) 은 내적의 가장 기본적인 예제<u, v>=u . v 가 내적 공리를 만족

예제 2 가중 Euclid 내적

(3)

w1, w2, …, wn 가 양의 실수u=(u1, u2, …, un) 와 v=(v1, v2, …, vn) 는 Rn 에서의 벡터

Rn 상의 가중치 w1, w2, …, wn 를 가지는 가중 Euclid 내적을 정의

식 (3) 이 네 개의 내적 공리를 만족하는 증명은 연습문제

식 (3) 과 연관된 벡터 x=(x1, x2, …, xn) 의 놈은

예를 들어 다음 공식은

(4)

가중치 w1=2 와 w2=3 를 가진 R2 상의 가중 Eulicd 내적을 정의내적과 연관된 벡터 x=(x1, x2) 의 놈

(5)

기하학상의 가중 효과

길이 , 거리 , 각 , 직교성은 응용하는 내적에 좌우되는 중요한 사실

x=(1, 0) 이 Eulicd 내적과 연관되는 단위 벡터이지만 , 식 (4) 와 연관되는 단위 벡터는 아니다 . 식 (5) 는 길이가 다음과 같다는 것을 의미

u=(1, -1) 과 v=(1, 1) 은 R2 상의 Euclid 내적 하에서는 직교하지만 , (4) 에서는

Eulicd 내적에 가중치를 부여하면 길이 , 거리 , 각이 변하기 때문에 가중치를 부여할 때 직교성과 기하학적 대상의 형태가 변화

다음 예제는 Eulicd 내적에 가중치를 부여할 때 그림 9.2.1 의 단위원이 타원으로 변형되는 것을 보여준다 . 그림 9.2.1 그림 9.2.2

예제 3 R2 상의 가중 Euclid 내적을 사용한 단위원

V 가 내적 공간이라면 , 단위원 ( 단위구라고도 한다 ) 은 V 내에서 ΙΙxΙΙ=1 인 점 집합으로 정의할 수 있다 . 가중 Euclid 내적을 사용하여 xy- 좌표계에서 단위원을 그려라 .

(6)

풀이 x=(x, y) 이라면 ΙΙxΙΙ 는 다음과 같고

식 (6) 과 관계된 단위원의 방정식은

그래프는 그림 9.2.2 에서 보인대로 타원

예제 4 C[a, b] 상의 적분내적

구간 [a, b] 상에서 f 와 g 가 연속함수이면 , 공식은 아래와 같고

(7)

적분내적이라 부르는 벡터 공간 [a, b] 의 내적을 정의내적과 관련된 함수 f 의 놈은

(8)

식 (7) 이 4 개의 내적 공리를 만족하는 증명

공리 1 – [a, b] 구간에서 f 와 g 가 연속함수이면

공리 2 – [a, b] 구간에서 f, g, h 가 연속함수이면

공리 3 – [a, b] 구간에서 f 와 g 가 연속함수이고 k 가 스칼라이면

공리 4 – [a, b] 구간에서 f 가 연속함수이면

예제 5 C[0, 2 ] 에서 직교함수

p 와 q 가 서로 다른 양의 정수라면 , cospx 와 cosqx 가 내적에 관해서 직교함

풀이 f(x)=cospx 와 g(x)=cosqx 라 가정하자 . 식 (10) 이 성립함을 보여라 .

(10)

이것을 증명할 때 다음과 같은 삼각 항등식이 필요하다 .

이 항등식을 이용하면 식 (10) 으로부터 다음 식을 구할 수 있다 .

정리 1.2.7, 1.2.11, 1.2.12, 1.2.13, 1.2.15 의 일반화된 형태

정리 9.2.3u, v, w 가 내적 공간 V 에서 벡터이고 , k 가 스칼라이면 , 다음 식이 성립한다 .

정리 9.2.4 ( 피타고라스의 정리 )u 와 v 가 내적 공간 V 의 벡터이면 , 다음 식이 성립한다 .

정리 9.2.5 (Cauchy-Schwarz 부등식 )u 와 v 가 내적 공간 V 의 벡터이면 , 다음 식이 성립한다 .

( 제곱근을 사용하여 )

정리 9.2.6 ( 삼각 부등식 )u 와 v 가 내적 공간 V 의 벡터 이면 , 다음 식이 성립한다 .

예제 6 피타고라스 정리

벡터 u=(1, -1) 와 v=(6, 4) 가 식 (4) 로 정의된 내적에 대해서 직교함을 보이고 , 이 벡터들에 대하여 피타고라스 정리를 증명하여라 .

풀이 벡터가 아래와 같기 때문에 서로 직교

피타고라스 정리를 증명하기 위해 공식 (5) 를 사용한다 . 이로 인해 다음을 구할 수 있다 .

그러므로 은 피타고라스 정리에 의해 성립

예제 7

f 와 g 가 [a, b] 구간에서 연속 함수이고 C[a, b] 는 예제 4 의 식 (7) 과 같은 적분 내적을 가진다고 가정하자 .

Cauchy-Schwarz 부등식은 다음과 같이 표현할 수 있다 .

위 식은 다음을 의미한다 .

(12)

벡터에 대한 삼각 부등식은 다음과 같으며

위 식은 다음을 의미한다 .

(13)

공식 (13) 은 가끔 적분에 대한 Minkowski 부등식이라고 부르기도 하며 ,독일 수학자이자 물리학자인 Hermann Minkowski (1864-1909)

정규직교기저

Rn 에서 0 이 아닌 벡터들의 직교 집합이 일차 독립임을 기술한 정리 7.9.1 은

일반적인 내적 공간 V 에서도 성립

예제 8 Tn 에 대한 직교 기저

다음과 같은 형태의 함수를 삼각다항식이라 한다 .

cn 과 dn 모두가 0 이 아니라면 , f(x) 는 n 차를 갖는다고 말한다 .또한 상수 함수는 0 차의 삼각다항식으로 간주한다 .

n 차 이하의 차수를 갖는 삼각다항식들의 집합은 다음과 같은 집합 내의 함수에 의해 생성된 C(-∞, ∞) 의 부분공간이다 .

(14)

이러한 부분공간을 Tn 으로 표기

S 가 다음 적분 내적에 대해서 Tn 에 대한 직교기저임을 보여라 .

(15)

풀이 집합 S 가 Tn 을 생성하므로 S 가 직교 집합이라는 것을 보이는 것만으로 충분하다 . 왜냐하면 일차 독립은 직교성에서 유도될 수 있기 때문이다 . S 가 직교 집합임을 증명하기 위해서 이 집합 내의 서로 다른 두 함수의 내적이 0 임을 보여야만 한다 .

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

처음 두 개의 적분은 기본 적분 기술을 사용해서 계산

식 (18) 의 적분은 예제 5 에서 계산하였고 , 식 (19), (20) 의 적분도 비슷한 방법으로 계산

예제 9 Tn 에 대한 직교기저

식 (14) 에서 주어진 직교기저 S 내의 함수들을 정규화함으로써 식 (15) 의 내적과 관련된 Tn 에 대한 정규 직교 기저를 구하여라 .

풀이 식 (8) 과 기본적인 적분 절차로부터 다음을 구할 수 있다 .

S 내의 벡터들을 정규화 하여 다음 정규 직교기저를 얻을 수 있다 .

최적 근사

함수에 대한 최적근사문제

[a, b] 구간에서 연속인 함수 f 가 주어질 때 , C[a, b] 의 상세화된 유한 차원부분공간 W 에 있는 함수만을 사용하여 얻을 수 있는 f 의 최적 근사를 구하여라 .

“ 최적근사”가 무엇을 의미하는지를 명백히 해야 한다 .

1. n 차 이하의 차수를 갖는 다항식을 이용하여 구할 수 있는 [a, b] 구간 위에 존재하는 f(x)=sinx 의 최적근사를 구하여라 .

2. n 차 이하의 차수를 갖는 삼각 다항식을 이용하여 [0, 2 ] 구간 위에 존재 하는 f(x)=x 의 최적근사를 구하여라 .

하나의 양이 다른 것으로 근사화 될 때마다 근사값의 정확성을 평가하기 위해서 오차를 측정하는 방법

하나의 수 x 를 다른 수 으로 근사화 한다면 , 다음과 같은 식으로 근사화과정의 오차를 구할 수 있다 .

x̂

양 또는 음의 오차의 차이가 발생하므로 절대값을 사용했다 .

오차 측정 방법 중의 하나는 [a, b] 구간에서 f 와 f^ 의 그래프 사이의 면적 처럼 기하학적으로 해석할 수 있는 다음 식

(22)

그래프 사이의 면적이 작을 수록 근사값은 더 정확하다 . ( 그림 9.2.3)

그림 9.2.3

공식 (22) 가 기하학적으로 쉬운 의미를 갖는다 해도 , f 와 의 근사화 오차를 C[a, b] 의 적분 내적과 관련된 f 와 사이의 거리로 표현하는 것

(23)

오차 측정 관점에서 볼 때 함수의 최적근사는 7.8 절 초반부에서 소개한 것 과 유사한 최소 거리 문제

f̂

f̂

함수에 대한 최소거리문제

C[a, b] 가 적분 내적을 가진다고 가정하자 .C[a, b] 의 부분공간 W 와 [a, b] 구간에서 연속인 함수 f 가 주어졌을 때 , 과

다른 W 내의 모든 함수 g 에 대해 라는 조건을 만족

하는 f 에 가장 가까운 W 내의 함수 를 구하여라 .

함수 가 존재한다면 이것을 W 에서 f 까지의 최적평균제곱근사

Rn 에서 최소거리문제들에 대한 경험으로 미루어 볼 때 , 최적평균제곱 근사는 정사영과 밀접한 관련성을 쉽게 예상따라서 , 최소 거리 문제의 해가 7.9 절의 공식 (7) 과 유사한 사실은 당연하다.

정리 9.2.7만약 W 가 C[a, b] 의 유한 차원 부분공간이고 {f1, f2, …, fk} 가 W 에 대해 직교기저라면 , C[a, b] 내의 각 함수 f 는 W 내의 유일한 최적평균제곱근사 을 가지고 그에 대한 근사화는 다음과 같다 .

(25)

여기에서

Fourier 급수

[0, 2 ] 구간 상의 연속함수를 f 라 하고 , n 차 이하의 차수를 갖는 삼각다항식 으로 f 를 최적평균제곱근사화하는 방법을 고려해 보자 .

이런 근사화는 Tn 위로 f 의 정사영

기저 벡터를 다음과 같이 표현

Tn 위의 f 의 정사영을 다음과 같은 식이라 하자 .

(26)

그러므로

간단하게

(27-28)

a0, a1, …, an 가 b1, …, bn 를 f 의 Fourier 계수라 하고 식 (26) 을 f 의 n 차 Fourier 근사

예제 10

(a) f(x)=x 의 2 차 Fourier 근사(b) f(x)=x 의 n 차 Fourier 근사

풀이 (a)x 에 대한 2 차 Fourier 근사는 다음과 같다 .

(29)

a0, a1, a2, b1, b2 은 x 의 Fourier 계수

k = 0 일 때 , 식 (27) 로부터 다음을 구할 수 있다 .

다른 모든 Fourier 계수들은 부분적분을 이용하여 식 (27) 과 식 (28) 로부터

∴ a1 = 0, a2 = 0, b1 = -2, b2 = -1

식 (29) 에 이러한 값들을 대입하면 2 차 Fourier 근사를 구할 수 있다 .

풀이 (b)x 의 n 차 Fourier 근사

따라서 (30) 과 (31) 로부터 다음과 같은 근사식을 구할 수 있다 .

f(x)=x 의 그래프와 Fourier 근사의 일부가 그림 9.2.4 에 나와 있다 .

f 가 [0, 2 ] 구간에서 연속이면 , n 이 무한대로 접근할 때 함수 f 의 n 차 Fourier 근사의 평균제곱오차는 영으로 접근함을 증명

이러한 내용들을 아래 식으로 표현

이 식을 함수 f 의 Fourier 급수라고 부른다 .

Rn 상의 일반 내적

Rn 상의 내적은 아래와 같은 형식의 함수와 관련

(32)여기서 A 는 실성분의 n x n 행렬이며 , x 와 y 는 열벡터이다 .

Rn 내에서 각 x 와 y 에 대한 (32) 의 값은 1x1 행렬이기 때문에 스칼라로 취급

만약 y 가 고정되었다면 , 사상 x → xT A y 는 Rn 에서 R 으로의 선형 변환이며,또한 만약 x 가 고정되었다면 , 사상 y → xT A y 역시 Rn 에서 R 으로의 선형변환이다 ( 연습문제 3). 그러므로 , (32) 를 겹선형형식자세히 표현하면 A 에 대한 겹선형형식

정리 9.2.8만약 A 가 양의 정부호이고 Rn 내의 벡터가 열벡터이면 ,

(33)

은 Rn 상의 내적이며 , 반대로 만약 <u, v> 가 Rn 상의 어떠한 내적이라면 , Rn

내의 모든 열벡터 u 와 v 에 대해서 (33) 이 성립하는 유일한 양의 정부호인 대칭행렬 A 가 존재한다 .

이 정리에서 사용된 행렬 A 는 내적에 관한 행렬이라 부른다 .

공리 1 – uTAv 가 1 x 1 행렬이므로 대칭이 되며 , 따라서 다음 식이 성립한다 .

공리 2 – 전치의 성질을 이용하여 다음을 구할 수 있다 .

공리 3 – 또다시 전치의 성질을 이용하여 다음을 구할 수 있다 .

공리 4 – A 가 양의 정부호이며 대칭이므로 , 표현식 <v, v> = vTAv 은 양의 정부호 이차 형식이다 . 그러므로 정의 8.4.2 는 다음 식의 내용을 내포하고 있다 .

예제 11 가중 Eulicd 내적의 복습

만약 w1, w2, …, wn 가 양의 실수라면

가 양의 정부호이며 대칭이다 ( 확인해 보라 ). 그러므로 <u, v> = uTAv 이 내적임을 알 수 있다 .

가중치가 w1, w2, …, wn 인 가중 Euclid 내적

예제 12 양의 정부호 행렬을 이용한 내적의 유도

<u, v> = 6u1v1 – 2u1v2 – 2u2v1 +3u2v2 가 R2 상에서 내적을 정의함을 보여라

풀이 주어진 식은 <u, v> = uTAv 과 같이 행렬 형태로 표현할 수 있으며 행렬 A 는 아래와 같다 .

행렬 A 는 정리 8.4.5 에서 정의된 대로 양의 정부호이다 . 따라서 <u, v> 은 정리 9.2.8 에 의해서 내적이다 .

9-3 일반 선형변환 및 동형사상

Rn 에서 Rm 으로의 변환에 초점을 맞추고 선형변환에 대하여 고찰

이 절에서는 일반적인 벡터공간을 포함한 선형변환에 대하여 살펴보고이러한 선형변환이 가능한 다양한 방법들을 소개

일반적인 유한차원 벡터공간과 Rn 사이의 근본적인 연관성을 확립하기 위하여 일반 선형변환에 대해서도 다룸

일반선형변환

일반 벡터공간 W 에서 일반 벡터공간 V 상으로의 선형 변환에 대한 정의는정의 6.1.2 과 유사

정의 9.3.1만약 T : V → W 가 벡터공간 V 에서 벡터공간 W 로의 함수이고 , 또한 V 내에서 모든 벡터 u 와 v 에 대해서 다음 두가지 성질이 성립할 때 , T 는 V 에서 W로의 선형변환이라 부른다 .

T(cu) = cT(u) [ 동차성 ]T(u+v) = T(u) + T(v) [ 가산성 ]

V=W 인 특별한 경우에 , 선형변환 T 를 벡터 공간 V 상에서의 선형 연산자라 함

T(c1v1 + c2v2) = c1T(v1) + c2T(v2)T(c1v1 + c2v2 + … + ckvk) =c1T(v1) + c2T(v2) + … + ckT(vk)

정리 9.3.2만약 T : V → W 가 선형변환이라면 다음 식이 성립한다 .

예제 1 영변환

만약 V 와 W 가 두 개의 벡터공간이라면 , V 내의 모든 벡터 v 에 대하여 T(v)=0 인 사상 T : V → W 를 V 에서 W 으로의 영변환이라 부른다 . 이 변환은 선형이다 . 그리고 만약 u 와 v 가 V 내의 벡터이며 c 가 어떠한 스칼라라면 , T(cu)=0와cT(u)=c0=0 가 성립한다 . 그래서 또한 다음 식이 성립한다 .

또한 T(u + v) = T(u) = T(v) = 0 이 성립하면 , 역시 아래의 식도 성립한다 .T(u+v) = T(u) + T(v)

예제 2 항등연산자

만약 V 가 어떠한 벡터공간이라면 , V 내의 모든 벡터 v 에 대하여 T( v ) = v 가성립하는 사상 T : V → V 를 V 상의 항등연산자라 부른다 . T 가 선형임을 확인 해 보아라 .

예제 3 확대변환과 축약 연산자

만약 V 가 벡터공간이고 k 가 스칼라라면 , T(v) = kv 에 의해 주어진 사상T : V → V 는 V 상에서 선형연산자이다 . 그리고 만약 c 가 스칼라이고 u 와 v가V 내의 벡터라면 다음 식이 성립한다 .

만약 0<k<1 이면 T 를 인수가 k 인 V 의 축약이라 부른다 . 그리고 만약 k>1이면인수가 k 인 V 의 확대변환이라고 부른다 . ( 그림 9.3.1)

그림 9.3.1

예제 4 내적공간 상의 선형변환

V 를 내적공간 , v0 이 V 내에서 고정벡터

T(x) = <x, v0> 변환은 내적 , 선형변환

예제 5 값주기 변환

V 가 F(-∞, ∞) 의 부분 공간이라 하고 을 서로 다른 실수T : V → Rn 은 T(f)=(f(x1), f(x2), …, f(xn)) (2)

T(f) 는 에서 함수값의 n- 짝을 대응시키는 사상

일반적으로 이것을 의 값에서 V 상의 값주기 변환

예를 들면 , 만약 이고 f(x) = x2 - 1 이라면

이 성립한다 .

만약 c 가 스칼라이며 f 와 g 가 V 내에서 함수라면

이 성립하고

이 된다 .

예제 6 미분변환

V=C1(-∞, ∞) 가 (-∞, ∞) 구간에서 연속인 일차 도함수를 갖는 실함수들의 벡터 공간이고 , W=C(-∞, ∞) 는 (-∞, ∞) 구간에서 연속인 실함수들의 벡터 공간 이라 하자 . 그리고 이 f 를 f 의 1 차 도함수로 보내는 변환이라하자 .

변환 D : V → W 는 선형이다 . 만약 c 가 상수이고 f 와 g 가 V 내에서 함수라면 ,미분의 성질들은 다음을 의미한다 .

만약 이 f 의 k 차 미분을 표시한다면 , Dk : V → W 는 V=Ck(-∞, ∞) 에서 W=C(-∞, ∞) 로 수행하는 선형변환이다 .

예제 7 적분변환

V=C(-∞, ∞) 가 (-∞, ∞) 상에서 연속함수들의 벡터 공간이고 , V=C1(-∞, ∞) 는 (-∞, ∞) 상에서 연속인 일차 도함수를 갖는 함수들의 벡터 공간이라 하자 . 또한 J : V → W 는 V 내에서 함수 f(x) 가 아래 식으로 보내지는 변환 이라 하자 .

변환 J : V → W 는 선형이다 . 만약 c 가 상수이고 f 와 g 가 V 에서 함수라면 , 적분의 특성에 의해 다음이 성립한다 .

예제 8 행렬 공간에서의 변환

Mnn 이 실 n X n 행렬의 벡터 공간이라 하자 .각 부분에서 n>1 일 경우 변환 T:Mnn → R 가 선형인지를 결정하라 .

풀이 (a) 정리 3.2.12 의 (b), (c) 를 적용하면 다음 식이 성립한다 .

그러므로 T 는 선형 변환이다 .

풀이 (b) 정리 4.2.3 (c) 를 이용하여 아래의 관계가 성립함을 알 수 있다 .

그러므로 균일성 성질 T(A) = cT(A) 는 Mnn 내의 모든 A 에서 성립하 지 않는다 . 이것은 T 가 선형이지 않음을 알 수 있다 .

핵과 치역

핵과 치역의 개념은 Rn 에서 Rm 으로의 변환과 유사하다 ( 정의 6.3.1 과 6.3.6 과 비교하여라 ).

정의 9.3.3만약 T : V → W 가 선형변환이면 , V 내에서 T 를 영으로 보내는 벡터의 집합을 T 의 핵이라 부르며 ker(T) 로 표기한다 .

정의 9.3.4만약 T : V → W 가 선형변환이면 , T 의 치역은 ran(T) 로 표시하며 , V 내에서적어도 한 개 이상의 상으로 표현되는 W 내에 존재하는 모든 벡터의 집합이다 . 즉 ran(T) 는 변환 T 하의 정의역 V 의 상이다 .

예제 9 영의 핵과 치역

만약 T : V → W 가 영변환이면 , T 는 V 내의 모든 벡터를 W 내의 영벡터로 사상한다 . 그러므로 ran(T) = {0} 과 ker(T) = V 가 된다 .

예제 10 항등의 핵과 치역

T : V → V 를 V 상에서 항등연산자라 하자 . T(v) = v 이므로 , V 내에서 모든 벡터는 V 내에서 벡터의 상이다 ( 즉 , 자체의 ). 그래서 ran(T) = V 이다 .또한 , v = 0 일 때만 T(v) = 0 가 성립하므로 ker(T) = {0}

예제 11 내적변환의 핵과 치역

V 가 0 이 아닌 내적 공간이고 , v0 가 V 내에서 고정된 0 이 아닌 벡터라 하자.

그리고 T : V → R 가 다음 식으로 표현되는 변환이라 하자 .

T(x) = <x, v0>

T 의 핵은 <x, v0>=0 인 V 내의 모든 벡터 x 로 이루어지므로 기하학적으로 ker(T) 는 v0 의 직교 여공간 이다 .

또한 , 모든 실수 k 가 V 내에서 벡터의 상이므로 ran(T) = R 이 성립한다 .

예제 12 값주기 변환의 핵과 치역

x1, x2, …, xn 이 서로 다른 실수라 하자 . 그리고 T : Pn-1 → Rn 가 예제 5 에서 정의된대로 아래와 같은 값주기 변환이라 가정하자 .

v

0

T 의 핵을 구하기 위해 , T(p)=0=(0, 0, …, 0) 라 가정하자 .

이것은 아래의 관계를 의미한다 .

Ker(T) = {0}

T 의 치역을 구하기 위하여 y=(y1, y2, …, yn) 가 Rn 내의 벡터

(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) → p(x1)=y1, p(x2)=y2, …, p(xn)=yn

T(p)=(y1, y2, …, yn) 을 의미하며

ran(T)=Rn

예제 13 미분변환의 핵과 치역

이 아래와 같은 미분변환이라 하자 .

D 의 핵을 구하기 위하여 , D(f) = 0 이라 하자 . 즉 (-∞, ∞) 구간 내의 모든 x에 대하여 f(x) = 0 이 되도록 하자 . 만약 어떤 구간에서 f(x) = 0 라면 f 는 그 구간 상에서 상수임을 미적분을 통해서 알 수 있다 .

ker(D) = (-∞, ∞) 구간에서 상수함수의 집합

D 의 치역을 구하기 위하여 , g(x) 가 (-∞, ∞) 구간에서 연속인 x 의 함수라 하 고 , 함수 f(x) 를 다음과 같이 정의하자 .

아래의 식은 미적분학의 근본적인 정리로부터

C(-∞, ∞) 내의 모든 함수 g 가 C1(-∞, ∞) 내에서 적당한 함수의 D 에 의한 상임을 보여준다 . 그러므로 ,

핵과 치역의 성질

이 정리들의 증명을 살펴보면 , 단지 선형변환의 부분공간의 닫힘성질과 동차 성 , 선형변환의 가산성을 적용했음을 알 수 있다 .

정리 9.3.5만약 T : V →W 가 선형변환이라면 , T 는 V 의 부분 공간을 W 의 부분 공간으로 사상한다 .

정리 9.3.6만약 T : V →W 가 선형변환이라면 , ker(T) 는 V 의 부분공간이며 ran(T) 은 W의 부분공간이다 .

예제 14 미분방정식에 대한 적용

다음 식과 같은 형태의 미분 방정식

(3)

은 진동 분야에서 볼 수 있다 .

(-∞, ∞) 구간에서 이 방정식의 모든 해집합은 식 (3) 에 의해서 주어진 선형 변환 D : C2(-∞, ∞) → C(-∞, ∞) 의 핵이다 .

다음 식을 미분함으로 이 사실을 확인해 보아라 .

은 식 (3) 의 해가 된다 .

어느 함수도 다른 함수의 스칼라 곱이 아니므로 이 함수들은 서로 일차독립

은 c1 과 c2 의 모든 경우에 대하여 (3) 의 일반해가 되고 모든 해는 이 형식으로표현된다 .

정리 9.3.7만약 T : V →W 가 선형변환이라면 , 다음은 동치이다 .(a) T 는 단사이다 .(b) ker(T) = {0}

예제 15 다항식 값주기는 전단사이다 .

x1, x2, …, xn 이 서로 다른 실수라 하고 예제 5 에서 정의한대로 T : Pn-1 → Rn

는 아래와 같은 값주기 변환이라 하자 .

예제 12 를 통해서 ker(T) = {0} 임을 보였으며 , 그러므로 정리 9.3.7 로부터 T 가 단사임을 알 수 있다 .

p 와 q 가 n-1 차 이하의 다항식이고 또한 다음 식이 성립한다면 p=q 가 된다.

정리 6.3.14 로부터 선형연산자가 Rn 상에서 단사이기 위한 필요충분조건은

전사

예제 16 전사가 아닌 단사와 단사가 아닌 전사

V = R∞ 가 9.1 절의 예제 2 에서 다루었던 수열공간이라 하자 . 그리고 다음식에 의해 정의된 V 의 이동 연산자를 고려하여라 .

: 단사이나 전사는 아님

: 단사는 아니나 전사임

동형사상

n- 차원의 Pn-1 벡터공간을 고려해보자 (n 차 이하의 다항식 ).

변환은 다음과 같게 되며

이것은 다음 식으로

은 Pn-1 에서 Rn 으로의 전단사이다 .

만약 c 가 스칼라라면 T 는 선형이다 .

Pn-1 내의 다항식이라면 , 아래의 식들이 성립한다 .

변환 T 가 단사 , 전사 그리고 선형인 사실은 Pn-1 내의 다항식이 Rn 내의 n-짝과 매칭되는 것을 의미하며 각 공간의 벡터연산은 다른 공간의 대응되는 항에 대한 연산을 사용함으로 가능하다 .

예제 17 P2 와 R3 의 매칭

다음 표는 아래식의 변환이 P2 와 R3 상에서 벡터연산과 어떻게 매칭되는가를보여준다 .

다항식 a0+a1x+a2x2 가 분명히 3 순서쌍 (a0, a1, a2) 과 다른 수학적인 객체임 .

만약 V 와 W 가 벡터공간이고 , 또한 V 에서 W 로 단사와 전사인 선형변환이존재한다면 , 이 두 벡터 공간은 동일한 대수적 구조를 가진다 .

이것을 V 와 W 가 동형사상인 것을 이용하여 기술

정의 9.3.8만약 T 가 단사이며 전사이면 선형 변환 T : V →W 를 동형사상 (isomorphism) 이라 부른다 . 그리고 V 에서 W 상으로 동형사상이 존재한다면 벡터공간 V 가 벡터공간 W 와 동형

정리 9.3.9모든 n- 차원의 실 벡터공간은 Rn 과 동형이다 .

예제 18 Pn-1 에서 Rn 으로 자연스런 동형사상

아래 식이 Pn-1 에서 Rn 으로의 사상이 단사 , 전사 , 선형사상임을 이 절의 앞부분에서 살펴보았다 .

Pn-1 에 대한 {1, x, x2, …, xn-1} 의 자연스러운 기저를 Rn 의 표준기저로 보내지기 때문에 이것을 Pn-1 에서 Rn 으로의 자연스러운 동형사상이라 부른다.

예제 19 M22 에서 R4 로의 자연스러운 동형사상

다음 행렬은

2 x 2 행렬의 벡터 공간 M22 에 대한 기저를 형성한다 .

정리 9.3.9 의 증명에서 살펴본 것처럼 , 동형사상 T : M22 → R4 는 먼저 M22

내 의 행렬 A 를 다음 식과 같이 기저벡터를 이용하여 기술함으로 구성할 수 있 다 .

이때 T 는 다음 식과 같이 정의해야 한다 .

예를 들면 ,

이 개념은 실성분을 가진 m x n 행렬의 Mmn 벡터공간이 Rmn 과 동형

예제 20 행렬곱에 의한 미분법

아래와 같은 3 차 이하의 다항식 벡터공간의 미분연산자를 고려해보자 .

자연스러운 동형사상을 이용하여 P3 과 P2 를 R4 와 R3 로 각각 사상한다면 ,변환 D 는 상 공간에서 아래와 같이 상응하는 변환이 가능

미분변환은 다음과 같은 다항식들 간에

이것은 상공간에서 아래의 식과 상응

예제 18 을 통해서 P3 과 P2 에 대한 자연스러운 동형사상이 자연기저를 R4 와 R3 에 대한 자신의 표준 기저로 사상하는 것을 알고 있으므로 , 어떻게 T 에 대한 표준 행렬 [T] 가 변환 D 와 관련이 있는지를 고려해보자 .

행렬 [T] 의 열벡터가 R4 에 대한 표준기저벡터의 T 하의 상임을 알고 있다 .

이러한 상들을 구하려면 먼저 D 가 P3 의 자연기저벡터에 대하여 어떤 역할

다음 식이 성립

동형사상 하의 대응 관계는

T 의 표준 행렬

이 행렬은 자연스러운 동형사상 하에서 다항식의 상에 대한 연산을 수행함

다음과 같은 미분을 실시

아래의 식을 계산함으로 확인할 수 있다 .

내적공간 동형사상

모든 n- 차원의 실벡터 공간 V 가 Rn 에 대하여 동형사상이므로 Rn 과 동일한 대수적 구조를 가진다 .

만약 V 가 내적공간이라면 V 는 또한 기하학적 구조Rn 은 Euclid 내적 ( 점곱 ) 에서 비롯된 기하학적 구조

만약 V 에서 Rn 으로의 동형사상이 존재한다면 대수학적 구조 뿐만 아니라 기하학적 구조를 유지하는 것을 조사하는 것은 타당하다 .

동형사상에서 기하학적 구조가 유지되려면 길이 , 각도 , 정규직교성의 개념 들이 모두 내적에 근거를 두고 있기 때문에 내적을 유지해야만 한다 .

만약 V 와 W 가 내적공간이며 다음 식이 성립한다면 , 동형사상 T 를 내적공간동형사상이라 부른다 .

V 가 어떤 n- 차원의 실내적공간과 Rn 내에서 Euclid 내적 ( 점곱 ) 이 주어졌다 면 , V 에서 Rn 으로의 내적공간 동형사상이 존재함을 증명할 수 있다 .

예제 21 내적공간 동형사상

Rn : 괄호 표기법에 의한 실 n- 짝의 벡터공간Mn : 실 n x 1 행렬의 벡터공간Rn 이 Euclid 내적 <u, v> = u · v 을 가지고 있으며 , 또한 Mn 이 u 와 v 가 열형식으로 표현된 내적 <u, v> = uTv 을 가지고 있다고 하자 .

사상 T : Rn → Mn 은 다음 식으로 정의

는 내적공간 동형사상 [3.1 절의 공식 (26) 참고 ]