第 8 章 积分的 MATLAB 求解

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Outline 8.1 不定积分 8.2 定积分 8.3 反常积分 8.4 积分的数值求解

8.1 不定积分1.不定积分的定义 如果在区间 上，可导函数 的导函数为 ，即对任一 ，都有 或 那么函数 就称为 在区间 上的原函数。函数 的带有任意常数项的原函数称为 在区间 上的不定积分，记作

其中记号 称为积分号， 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量，也即 。

2.不定积分的几何意义 函数 的一个原函数 的图像称为 的一条积分曲线。对于任意常数 ， 表示的是一族曲线，我们称这个曲线族为 的积分曲线族。因此， 在几何上表示的是 的积分曲线族，而 正是积分曲线的斜率。积分曲线族中的每一条曲线在对应于同一横坐标 处的切线都有相同的斜率 ，所以在这些点处，它们的切线相互平行，并且任意两条积分曲线的纵坐标之间相差一个常数。因此，积分曲线族中的每一条曲线都可以由曲线 沿 轴上下移动而得到，如图所示。

图 曲线的积分曲线族

3.不定积分的MATLAB符号求解 MATLAB 符号运算工具箱中提供了 int 函数来求函数的不定积分，该函数的调用格式为： int(fx, x) % 求函数 f(x) 关于 x 的不定积分

8.2 定积分1.定积分的定义 设函数 在 上有界，在 中任意插入若干个分点

把区间 分成 个小区间各个小区间的长度依次为

在每个小区间 上任取一点 ，作函数值 与小区间长度 的乘积 ，并作和

记 ，如果不论对 怎样划分，也不论在小区间 上点 怎么选取，只要当 时，和 总趋于确定的极限 ，那么称这个极限 为函数 在区间 上的定积分，记作 ，即

其中 叫做被积函数， 叫做被积表达式， 叫做积分变量， 分别叫做积分下限和积分上限， 叫做积分区间。

2.定积分的几何意义 设 在区间 上非负、连续。由直线 及曲线 所围成的图形，我们称之为曲边梯形。 我们知道，矩形的高是不变的，它的面积可按公式 矩形面积 = 高 × 底来定义和计算。而曲边梯形在底边上各点处的高 在区间 上是变动的，故它的面积不能直接按上述公式来定义和计算。然而由于曲边梯形的高 在区间 上是连续变化的，在很小一段区间上它的变化很小，近似于不变。因此，如果把区间 划分为许多小区间，在每个小区间上用某一点处的高度来近似代替同一个小区间上的窄曲边梯形的变高，那么，每个窄曲边梯形就可近似地看成这样得到的窄矩形，如图所示。

图 曲边梯形面积的近似求法

这样我们就可以将所有这些窄矩形面积的和作为曲边梯形面积的近似值。即

这也就是说，若在 上 ，则定积分 在几何上表示由曲线 、 轴及两条直线 所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分的几何意义。若在 上 ，则定积分 在几何上表示由曲线 、 轴及两条直线 所围成的曲边梯形的面积的负值；若在 上 既取得正值又取得负值时，定积分 表示 轴上方图形面积减去 轴下方图形面积所得之差。

3.定积分的MATLAB符号求解 MATLAB 中用于求解定积分的符号函数仍是 int ，此时，其调用格式为： int(fx, x, a, b) % 求函数 f(x) 关于 x 的在区间 [a,b] 上的定积分

4.定积分的几何应用1. 平面图形面积的计算 设在区间 上曲线 位于 之上，如图 a ）所示，则这两条曲线与直线 和 所包围的面积为更一般地，若没有指定两条曲线的位置关系，则它们所包围的面积为有时平面图形的边界曲线方程是 关于 的单值函数，这样，介于曲线 和 与直线 和 所包围的面积（示意图如图 b ）所示）为

a ）曲线 和 所夹图形 b ）曲线 和 所夹图形 图 平面图形的面积

对于采用极坐标的函数，计算由极坐标方程 所表示的曲线与矢径 和 之间的面积为

2 21 1d ( )d

2 2S r r

2. 立体体积的计算 立体体积的计算一般分为两类：一类是平行截面面积为已知的立体的体积计算，另一类是旋转体的体积计算。平行截面面积为已知的立体的体积 如果已知某立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么，这个立体的体积可以用定积分来计算。如图所示，取上述定轴为 轴，并设该立体在过点 且垂直于 轴的两个平面之间。以 表示过点 轴的截面面积。假定 为 的已知的连续函数。这时，取 为积分变量，它的变化区间为 ；立体中相应于 上任一小区间 的一薄片的体积，近似于底面积为 ，高为 的扁柱体的体积，即体积元素

以 为被积表达式，在闭区间 上作定积分，便得所求立体的体积

图 平行截面面积已知的立体体积

旋转体的体积 旋转体都可以看作是由连续曲线 、直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而成

的立体。现在我们考虑用定积分来计算这种旋转体的体积。 如图 1 所示，取横坐标 为积分变量，它的变化区间为 。相应于 上的任一小区间 的窄曲边梯形绕 轴旋转而成的薄片的体积近似于以 为底半径、 为高的扁圆柱体的体积，即体积元素

以 为被积表达式，在闭区间 上作定积分，便得所求旋转体体积为

类似地，我们可以推出由曲线 、直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而成的旋转体（如图 2 所示）的体积为

图 1 平面图形绕 x 轴旋转的旋转体 图 2 平面曲线绕 y 轴旋转的旋转体

3.平面曲线弧长的计算 设曲线弧由参数方程

给出，其中 在 上具有连续导数，且 不同时为零。现在来计算这曲线弧的长度。 取参数 为积分变量，它的变化区间为 ，相应于 上任一小区间 的小弧段的长度 近似等于对应的弦的长度 ，因为

所以， 的近似值（弧微分）即弧长元素为

于是所求弧长为当曲线弧由极坐标方程给出，其中 在 上具有连续导数，则由直角坐标与极坐标的关系可得

这就是以极角 为参数的曲线弧的参数方程。以下过程同上面的推导，这里从略。

8.3 反常积分1.无穷限的反常积分 设函数 在区间 上连续，取 ，如果极限 存在，则称此极限为函数 在无穷区间 上的反常积分，记作 ，即

这时也称反常积分 收敛；如果上述极限不存在，则函数 在区间 上的反常积分 就没有意义，习惯上称为反常积分 发散，这时记号 不再表示数值。

类似地，设函数 在区间 上连续，取 ，如果极限 存在，则称此极限为函数 在无穷区间 上的反常积分，记作 ，即

这时也称反常积分 收敛；如果上述极限不存在，则称反常积分 发散。 设函数 在区间 上连续，如果反常积分 和 都收敛，则称上述两反常积分之和为函数 在无穷区间 上的反常积分，记作 ，即

这时也称反常积分 收敛；否则就称反常积分 发散。

2.无界函数的反常积分 如果函数 在点 的任一邻域内都无界，那么点 称为函数 的瑕点（也称为无界间断点）。无界函数的反常积分又称为瑕积分。 设函数 在 上连续，点 为函数 的瑕点，取 ，如果极限 存在，则称此极限为函数 在 上的反常积分，仍然记作 ，即

这时也称反常积分 收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分 发散。 类似地，设函数 在 上连续，点 为函数 的瑕点，取 ，如果极限存在，则定义

否则，就称反常积分 发散。 设函数 在 上除点 外连续，点 为函数 的瑕点，如果两个反常积分 和

都收敛，则定义

否则，就称反常积分 发散。

3. 函数 本小节将介绍在理论上和应用上都有重要意义的 函数。该函数的数学定义如下：

这个积分的积分区间为无穷，所以它是一个无穷限的反常积分；又当 时， 是被积函数的瑕点，因此此时它又是一个无界函数的反常积分。 根据相关知识可以证明 函数对 均收敛， MATLAB 中提供了求 函数值的函数文件 gamma ，该函数的调用格式为： Y = gamma(X)

8.4 积分的数值求解1.定积分的数值求解插值型求积方法 设给定一组节点 且已知函数 在这些节点上的值为 ，则可作 次插值多项式

其中 是插值基函数。

由于 是一个 次多项式，因此其原函数是很容易就能求得的。用 代替被积函数 有

其中 。 下面我们来讨论求积系数 的计算，为了方便，我们去等距节点，即把积分区间 分为 等份，令步长 ，则 作变换 代入求积系数 中得

这种等距节点的插值型求积公式通常称为 Newton-Cotes 公式。

Gauss求积方法 由 Newton-Cotes 求积公式 知，节点 是等间距的，也是确定的， 为待定参数。现在不固定 ，即把它也看成待确定参数，这样上式就可能对 次多项式精确成立，即对 精确。至于系数 和节点 可以通过方程组的相关知识求解。为叙述方便，这里仅讨论 的情形，积分区间取为 （因为对于一般的区间 可作变换 使 变为 ），则现在的问题是求 和 ，使得 至少具有 3 阶代数精度。 如图所示，从几何上直观地看，就是要找到 和 ，使通过点 及点 的直线在区间 上围成的面积与 在区间 上围成的面积相等。

图 两点 Gauss 求积公式几何意义

为此，我们可以令 ，得到方程组

解此方程组得

因此，求积公式为

其中节点 称为高斯点， 称为高斯系数。

MATLAB自带定积分数值求解函数 虽然前面介绍的自编 MATLAB 函数能够求解一般的数值积分，但是也有其一定的局限性，不过 MATLAB自身也提供了好多求解数值积分的专用函数，比如 trapz 函数， quad函数， quadl 函数等。

trapz 函数 MATLAB 中的 trapz 函数是基于复化梯形公式设计编写的，其一般调用格式为： I=trpaz(x,y,dim)quad 函数 MATLAB 提供的 quad() 函数是基于自适应辛普森法设计的，该函数的调用格式为： [q,fcnt] = quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,...)

【说明】MATLAB还提供了一个新的函数 quadl 。其调用格式与 quad() 函数完全一致，使用的算法是自适应 Lobatto 算法，其精度和速度均远高于 quad 函数，所以在追求高精度数值解时建议使用该函数。

2.反常积分的数值求解

无界函数的反常积分 对于无界函数的反常积分，其求解比较简单，基本可以使用前面介绍的 Gauss 求积方法求解，只是需要去掉相应的瑕点。

无穷限的反常积分 对于无穷区间上的反常积分通常有两种解决方法，下面分别介绍：无穷区间逼近 为叙述方便，仅考虑积分 的求解，由于

因此，取 且 ，有

上式中的每个积分都是正常积分，利用前面介绍的方法求解。当 时停止计算。

变量替换 在某些情况下，可以通过变量替换将无穷区间的积分变成有限区间的积分。例如，用变

量替换

可以将区间 变换到区间 ；用变量替换

可以将区间 变换到区间 ；用变量替换 可以将区间 变换到区间 ；如果变换后被积函数是有界的则可以用正常积分的数值方

法求解。

3. MATLAB自带反常积分数值求解函数 quadgk 函数是 MATLAB R2007b版本起提供的基于 Gauss-Kronrod 算法实现的数值积分函数，该函数可以用来求解广义积分、振荡函数的积分、甚至复数积分，其一般调用格式

为： [q,errbnd] = quadgk(fun,a,b,param1,val1,param2,val2,...)

谢谢大家！