Раздел 8. Элементы теории поля (задачник)

Кафедра математики

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

________________________________________________________________________________

РАЗДЕЛ 8 «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ»

Контрольно – измерительные материалы

Уфа • 2007

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Ответственный редактор д. ф.-м. наук, проф. Р.Н. Бахтизин

Редколлегия: АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М.,

Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хаки-мов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубо-ва Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А.

Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государст-

венного педагогического университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин. Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 8 «Элементы теории по-ля». Контрольно-измерительные материалы. – Уфа: Издательство УГНТУ, 2007. – 74 с.

Содержит комплект заданий в тестовой форме различной сложности по всем темам раздела 8 «Элементы теории поля», предназначенный для оценки знаний студентов.

Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ.

© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2007

СОДЕРЖАНИЕ

1. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент.

5

2. Векторное поле. Векторные линии. Поток векторного поля че-рез поверхность.

25

3. Дивергенция векторного поля. Поток векторного поля. Поток векторного поля через замкнутую поверхность. Формула Гаусса-Остроградского.

43

4. Циркуляция векторного поля. Ротор. Формула Стокса. 61

4

Разработаны тестовые задания различной сложности (А – легкие; В – средние; С – трудные), которые предназначены для проверки знаний основных положений теории и базовых практических навыков по данному разделу дисциплины математика.

Система нумерации тестовых заданий

номер темы порядковый номер сложность Наименование тем заданий контрольно – измерительных материалов (КИМ)

по разделу: «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ»

1. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент. 2. Векторное поле. Векторные линии. Поток векторного поля через поверхность. 3. Дивергенция векторного поля. Поток векторного поля. Поток векторного поля через замкнутую поверхность. Формула Гаусса-Остроградского. 4. Циркуляция векторного поля. Ротор. Формула Стокса.

1 2 А

5

1. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент

Номер: 1.1.А

Задача: Даны четыре поля: поле температур, поле скоростей потока жидкости, поле тяготения, поле напряженности вокруг тела. Какое из них является скалярным? Ответы: 1). поле напряженности 2). поле температур 3). поле тяготения 4). поле скоростей 5). скалярного поля нет

Номер: 1.2.А Задача: Скалярное поле называется стационарным, если оно зависит Ответы: 1). от времени 2). от положения точки в пространстве 3). от времени и положения точки 4). от направления вектора 5). Ни от чего не зависит

Номер: 1.3.А Задача: Говорят, что в области G задано скалярное поле, если указан закон, в силу которого каждой точке GM∈ поставлено в соответствие Ответы: 1). вектор 2). функция ( )xf 3). число или числовые функции 4). функция ( ) 0z,y,xF = 5). функция ( )y;xf

Номер: 1.4.А Задача: В системе координат 3R задание скалярного поля эквивалентно заданию функции Ответы: 1). ( ) ( )y;xUMU = 2). ( ) ( )t;z;y;xUMU = 3). ( ) ( )z;y;xUMU = 4). ( ) ( )xUMU = 5). нет правильного ответа

Номер: 1.5.А

Задача: Простейшими геометрическими характеристиками скалярного поля являются Ответы: 1). векторные трубки 2). линии уровня 3). векторные линии 4). линии уровня и поверхности уровня 5). нет правильного ответа

Номер: 1.6.А Задача: Поверхность уровня определяется уравнением Ответы: 1). ( ) Сy;xU = 2). ( ) СxU = 3). ( ) Сz;y;xU = 4). ( ) Ct;z;y;xU = 5). нет правильного ответа

Номер: 1.7.А

Задача: При перемещении точки скалярного поля ( )1111 z,y,xM в точку ( )2222 z,y,xM вдоль кривой поверхности уровня значение функции

Ответы: 1). возрастает 2). убывает 3). не изменяется

6

4). увеличивается в 2 раза 5). нет правильного ответа

Номер: 1.8.А Задача: Производная функции ( )z;y;xU по дуге L имеет вид

Ответы: 1). γ∂∂

+α∂∂

+β∂∂

=∂∂ cos

xUcos

zUcos

xU

LU

2). γ∂∂

+β∂∂

+α∂∂

=∂∂ cos

zUcos

yUcos

xU

LU

3). α∂∂

+β∂∂

+γ∂∂

=∂∂ cos

zUcos

yUcos

xU

LU

4). β∂∂

+γ∂∂

=∂∂ cos

zUcos

xU

LU

5). γ∂∂

+α∂∂

=∂∂ cos

yUcos

xU

LU

Номер: 1.9.А

Задача: От чего зависит производная по дуге L в точке M? Ответы: 1). от вида дуги 2). от направления касательного вектора S к L в точке M 3). от вида дуги и направления касательного вектора 4). не от чего не зависит 5). нет правильного ответа

Номер: 1.10.А Задача: Угол α в производной по направлению это угол между Ответы: 1). касательным вектором к L и осью x0 2). касательным вектором к L и осью y0 3). осью x0 и осью y0 4). касательным вектором к L и осью z0 5). осью x0 и осью z0

Номер: 1.11.А Задача: Что можно сказать о производных по дугам 1L и 2L , проходящим через точку M и имеющим в этой точке один и тот же касательный вектор? Ответы: 1). они не равны между собой 2). производная по дуге в два раза больше производной по дуге 2L 3). они разного знака 4). они равны между собой 5). производная по дуге 1L всегда меньше производной по 2L

7

Номер: 1.12.А Задача: По определению градиент скалярного поля есть Ответы: 1). число 2). вектор 3). функция ( )y;xf 4). функция заданная неявно 5). совокупность первообразных

Номер: 1.13.А Задача: Градиент скалярного поля имеет вид

Ответы: 1). kzUj

xUi

yUUgrad

∂∂

+∂∂

+∂∂

= 2). kyUj

zUi

yUUgrad

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

3). kyUj

zUi

xUUgrad

∂∂

+∂∂

+∂∂

= 4). kzUj

yUi

xUUgrad

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

5). нет правильного ответа

Номер: 1.14.А Задача: Если направление Ugrad совпадает с направлением вектора S , то производная по направлению принимает наибольшее значение равное

Ответы: 1). UgradSU=

∂∂

2). UgradSU=

∂∂

3). 3

cosUgradSU π

⋅=∂∂

4). 4

cosUgradSU π

⋅=∂∂

5). UgradSU

−=∂∂

Номер: 1.15.А

Задача: Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору Ugrad равна

Ответы: 1). Ugrad 2). нулю 3). единице 4). 1− 5). 4π

Номер: 1.16.А

Задача: Так как градиент в данной точке поля направлен по нормали к поверхности уровня, то нормальный вектор 0n равен

Ответы: 1). Ugradn = 2). UgradUgradn0 = 3).

4cosUgradn0

π⋅=

4). Ugradn0 −= 5). нет правильного ответа

Номер: 1.17.А Задача: Градиент алгебраической суммы скалярных функций равен Ответы: 1). разности градиентов 2). произведению градиентов 3). сумме градиентов 4). удвоенному произведению градиентов 5). произведению модулей градиентов

8

Номер: 1.18.А Задача: ( )VUgrad ⋅ , где U и V скалярные функции равен Ответы: 1). VgradVUgradU + 2). UgradVVgradU + 3). VgradUVU + 4). UgradVVU + 5). нет правильного ответа

Номер: 1.19.А Задача: Производная по направлению, где S касательный вектор к L в т. M равна

Ответы: 1). SUgradSU

⋅=∂∂

2). S

UgradSU=

∂∂

3). UgradпрSU

S=∂∂

4). UgradSU=

∂∂

5). UgradSSU

⋅=∂∂

Номер: 1.20.А

Задача: Для дифференцируемой функции ( ) Ugrady;xUU = определяется формулой

Ответы: 1). jyUi

xUUgrad

∂∂

+∂∂

= 2). jxUi

yUUgrad

∂∂

+∂∂

=

3). jzUi

yUUgrad

∂∂

+∂∂

= 4). jzUi

xUUgrad

∂∂

+∂∂

=

5). kyUi

xUUgrad

∂∂

+∂∂

=

Номер: 1.21.В

Задача: Найти линии уровня скалярного поля 1yxU 22 −+= в точке ( )0;1P Ответы: 1). окружность с центром ( )0;0 2). эллипс с центром ( )0;0 3). парабола с вершиной на оси x0 4). парабола с вершиной на оси y0 5). окружность с центом ( )1;1

Номер: 1.22.В Задача: Найти линии уровня скалярного поля 2y3xU −= и выделить линию для точки ( )1;3P

Ответы: 1). парабола 2y3x = 2). парабола 1y3x 2 +=

3). парабола 2y31x =+ 4). гипербола 5). окружность

Номер: 1.23.В Задача: Найти линии уровня скалярного поля 22 yxU += и выделить линию уровня для точки ( )2;2P

9

Ответы: 1). эллипс 12y

2x 22

=+ 2). окружность 4yx 22 =+

3). гипербола 12y

2x 22

=− 4). окружность 2yx 22 =+

5). эллипс 12

y4

x 22=+

Номер: 1.24.В

Задача: Найти линии скалярного поля 2y2xU 22 −−= и выделить линию уровня для точки ( )1;2P

Ответы: 1). окружность 1yx 22 =+ 2). эллипс 12y

2x 22

=+

3). гипербола 11y

2x 22

=− 4). гипербола 13y

2x 22

=−

5). эллипс 13y

2x 22

=+

Номер: 1.25.В

Задача: Найти линии уровня скалярного поля 2y3x2U 22 −+= и выделить линию уровня для точки ( )0;1P

Ответы: 1). окружность 32yx 22 =+ 2). эллипс 132

y1

x 22=+

3). гипербола 132

y1

x 22=− 4). эллипс 1

2y

3x 22

=+

5). окружность 6yx 22 =+

Номер: 1.26.В Задача: Найти линии уровня скалярного поля 2y2x3U 22 −−= и выделить

линию уровня для точки ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21;1

Ответы: 1). окружность 6yx 22 =+ 2). окружность 1yx 22 =+

3). эллипс 13

y5

x 22=+ 4). гипербола 1

1y

23x 22

=−

5). гипербола 11

y32

x 22=−

10

Номер: 1.27.В Задача: Найти линии уровня скалярного поля 6y2x3U 22 −−= и выделить линию уровня для точки ( )1;1P

Ответы: 1). эллипс 19

y4

x 22=+ 2). эллипс 1

4y

1x 22

=+

3). окружность 2yx 22 =+ 4). гипербола 121

y31

x 22=−


Номер: 1.28.В Задача: Найти линии уровня скалярного поля 1y2xU 2 −−= и выделить линию уровня для точки ( )1;3P

Ответы: 1). эллипс 14

y1

x 22=+ 2). парабола 1xy2 2 −=

3). парабола xy2 2 = 4). окружность 9yx 22 =+

5). эллипс 19

y4

x 22=+

Номер: 1.29.В

Задача: Найти линии уровня скалярного поля 1yx2U 22 −−= и выделить линию уровня для точки ( )1;1P

Ответы: 1). гипербола 11

y21

x 22=− 2). окружность 21yx 22 =+

3). парабола 1yx2 2 += 4). парабола 2yx 2 +=

5). эллипс 11

y2

x 22=+

Номер: 1.30.В

Задача: Найти линии уровня скалярного поля 25y4x9U 22 −+= и выделить линию уровня для точки ( )2;1P

Ответы: 1). окружность 25yx 22 =+ 2). эллипс 14

y9

x 22=+

3). эллипс ( ) ( )

125

y35

x2

2

2

2=+ 4). гипербола 1

4y

9x 22

=−

5). гипербола ( ) ( )

125

y35

x2

2

2

2=−

11

Номер: 1.31.В Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля 1zyxU −++= , определить поверхность с точкой ( )0;1;1 Ответы: 1). плоскость 1zyx =++ 2). плоскость 3zyx =++ 3). плоскость 2zyx =++ 4). прямая 1xy += 5). нет правильного ответа

Номер: 1.32.В

Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля 22 yxzU+

= , определить

поверхность с точкой ( )2;1;1P

Ответы: 1). конус 222 yxz += 2). параболоид 22 yxz +=

3). сфера 1zyx 222 =++ 4). параболоид ( )22 yx2z +=

5). конус ( )222 yx2z +=

Номер: 1.33.В

Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля 13zy

2xU −−+= ,

определить поверхность с точкой ( )3;1;2P

Ответы: 1). плоскость 2zyx =++ 2). плоскость 13zy

2x

=−+

3). плоскость 09x2y =+− 4). плоскость 23zy2x =−+

5). плоскость 13z

1y

2x

=++

Номер: 1.34.В

Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля 1z3y

2xU −−+= ,

определить поверхность с точкой ( )1;6;2P Ответы: 1). плоскость 012z6y2x3 =−−+ 2). плоскость 012z6yx3 =−−+ 3). плоскость 012z6y2x =−−+

4). плоскость 11z

6y

4x

=−+ 5). плоскость 12z

6y

2x

=−+

Номер: 1.35.В

Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля z2yxU 22 −+= , определить поверхность с точкой ( )1;1;1P

12

Ответы: 1). параболоид ( )22 yx2z += 2). параболоид ( )22 yx21z +=

3). конус 222 yxz += 4). конус 222 z2yx =+

5). параболоид ( )22 zy2x +=

Номер: 1.36.В Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля 222 z5yxU −+= , определить поверхность с точкой ( )1;2;1P

Ответы: 1). параболоид 22 yxz5 += 2). конус 222 z5yx =+

3). конус 222 z3yx =+ 4). параболоид z3yx 22 =+

5). сфера 3zyx 222 =++


Ответы: 1). параболоид 22 yxz3 += 2). конус 222 yxz3 +=

3). однополостной гиперболоид 132

z2

y2

x 222=−+

4). однополостной гиперболоид 2z2yx 222 =−+ 5). нет правильного ответа

Номер: 1.38.В Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля 222 zyxU ++= , определить поверхность с точкой ( )1;2;1P

Ответы: 1). сфера 3zyx 222 =++ 2). сфера 4zyx 222 =++

3). сфера 6zyx 222 =++ 4). конус 222 zyx =+

5). конус 222 z2yx =+

Номер: 1.39.В Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля 1zyxU 222 −++= , определить поверхность с точкой ( )1;1;1P

Ответы: 1). конус 0z2yx 222 =−+ 2). конус 222 z3yx =+

3). сфера 1zyx 222 =++ 4). сфера 9zyx 222 =++

5). сфера 3zyx 222 =++

13


Ответы: 1). однополостной гиперболоид 173

z3

y3

x 222=−+


z2

y2

x 222=−+

3). однополостной гиперболоид 17z

3y

2x 222

=−+


z2

y3

x 222=−+


Номер: 1.41.В Задача: Найти производную функции ( )222 zyxlnU ++= в точке

( )1;3;2M1 −− по направлению прямой 2

1z0

1y1

2x −=

−=

− в сторону

возрастания поля

Ответы: 1). 57

2 2).

54

3). 54

4).57

4− 5).

52

−

Номер: 1.42.В

Задача: Найти производную функции ( )zxzyyxlnU ++= в точке ( )1;2;1M

по направлению прямой 2

3z1

1y2

1x −=

−=

− в сторону возрастания поля

Ответы: 1). 1514

2). 1513

3). 1511

4).1413

5). 1311

Номер: 1.43.В

Задача: Найти производную функции ( )1zyxlnU 33 +++= в точке ( )0;3;1M


3z2

2y1

1x −=

−=


Ответы: 1). 2129

60 2).

2959

3). 2129

61 4).

2927

5). 2129

28

14

Номер: 1.44.В Задача: Найти производную функции 222 zyx1U +++= в точке ( )1;1;1M


1z4

3y3

2x −=

−=


Ответы: 1). 295,4

2). 294

3). 3,5 4). 4,6 5). 4,8

Номер: 1.45.В

Задача: Найти производную функции zyx3xU y −= в точке ( )1;2;1M − по

направлению прямой 32z

34y

23x −

=−

=−

в сторону возрастания поля

Ответы: 1). 335 −− 2). 334515

−− 3). 33− 4). 4

3625 − 5). 3

419

−−

Номер: 1.46.В

Задача: Найти производную функции ( ) 2zyxarcsinU −= в точке

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 3;

21;1P по направлению нормального вектора плоскости 01z3y2x =−++

в сторону возрастания


2). 148

3). ( )

14138 −

4). 42

3185 − 5).

148

Номер: 1.47.В

Задача: Найти производную функции ( ) 2y3zxarctgU += в точке ( )1;2;1P по направлению нормального вектора плоскости 02z2yx2 =−++ в сторону возрастания Ответы: 1). 17/3 2). 14/3 3). 5 4). 4 5). 13/3

Номер: 1.48.В Задача: Найти производную функции ( )322 zyxlnU ++= в точке ( )2;0;1P по направлению нормального вектора плоскости 03zy2x =−++ в сторону возрастания

Ответы: 1). 6

25 2).

925

3). 69

25 4).

6921

5). 6

21

15

Номер: 1.49.В Задача: Найти производную функции 222 z3yx2U −++= в точке ( )0;2;1P по направлению нормального вектора плоскости 01zy2x2 =−++ в

сторону возрастания

Ответы: 1). 7

3 2).

76

3). 7

2 4).

71

5). 7

5

Номер: 1.50.В

Задача: Найти производную функции ( ) 2zyxarccosU ++= в точке

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 1;

31;

21P по направлению нормального вектора плоскости 02y4x3 =−+ в

сторону возрастания


6 2).

266

3). 266

− 4). 265

6− 5).

56

−

Номер: 1.51.В

Задача: С помощью Ugrad найти единичный вектор нормали к плоскости 2z2yx2 =−−

Ответы: 1). ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

32;

31;

32

2). ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

31;

31;

31

3). ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

32;

31;

31

4). ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

32;

31;

32


Номер: 1.52.В

Задача: С помощью Ugrad найти единичный вектор нормали к плоскости 3zy3x3 =++


⎩⎨⎧

193;

191;

191

2). ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

191;

193;

193

3). ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

192;

191;

193

4). ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

173;

172;

171


Номер: 1.53.В

Задача: С помощью Ugrad найти единичный вектор нормали к плоскости 2zyx2 =++


⎩⎨⎧

61;

61;

61

2). ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

62;

61;

63

3). ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

61;

61;

62

16

4). ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

61;

61;1 5).

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ 1;

62;

61

Номер: 1.54.В

Задача: С помощью скалярного поля ( )2323 zyx2x3lnU ++= в точке ( )1;1;1P . Определить наибольшую скорость возрастания поля в этой точке.

Ответы: 1). 7139

2). 7137

3). 6141

4). 6209

5). 8141

Номер: 1.55.В

Задача: Найти градиент скалярного поля 22 zxyx2U +−+= в точке ( )0;3;2P . Определить скорость возрастания поля в этой точке.

Ответы: 1). 2 2). 3 3). 5 4). 1 5). 2

Номер: 1.56.В Задача: Найти направляющие косинусы Ugrad скалярного поля

zxzyyx3U 22 ++= в точке ( )1;2;1P .

Ответы: 1). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21011;

21012;

21013

2). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2105;

2104;

21013

3). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2103;

2102;

2101

4). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21010;

2101;

21011


Номер: 1.57.В Задача: С помощью Ugrad найти единичный нормальный вектор к

поверхности 1yxz 22 ++= в точке ( )3;1;1P .


⎩⎨⎧

31;

31;

32

2). ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

31;

31;

32

3). ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

31;

32;

32

4). ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

31;

31;

31


Номер: 1.58.В

Задача: С помощью Ugrad найти единичный нормальный вектор к

поверхности 12

z3

y4

x 222=++ в точке ( )0;0;1P .

Ответы: 1). { }0;0;1 2). { }0;1;0 3). { }1;0;0 4). { }1;1;1 5). нет правильного ответа

17

Номер: 1.59.В Задача: В каких точках пространства xyz градиент поля

zzzy3xU 322 −++= перпендикулярен оси z0 .

Ответы: 1). 31zx 22 =+ 2). 1zx 22 =+ 3).

31zy 22 =+

4). 3zy 22 =+ 5). 2zx 22 =+

Номер: 1.60.В Задача: В каких точках пространства xyz градиент поля

z2zyzx3U 322 −++= перпендикулярен оси y0 .


y2

x 22=+ 2). 3yx 22 =+ 3). 1

32y

21x 22

=+

4). 4yx 22 =+ 5). нет правильного ответа

Номер: 1.61.С Задача: Найти линии уровня скалярного поля 3y2yx12x3U 22 −−++= ,

16C −> Ответы: 1). множество эллипсов 2). семейство окружностей 3). семейство гипербол 4). семейство парабол 5). точка

Номер: 1.62.С Задача: Найти линии уровня скалярного поля y10y5x4xU 22 ++−= ,

9C −> Ответы: 1). множество окружностей 2). семейство гипербол 3). семейство эллипсов 4). семейство парабол 5). точка

Номер: 1.63.С Задача: Найти линию уровня скалярного поля y8yx6xU 22 −+−= , в точке ( )1;3P −

Ответы: 1). точка 2). окружность с центром ( )4;3 и 5R = 3). окружность с центром ( )4;2 и 3R = 4). мнимая окружность 5). нет правильного ответа

Номер: 1.64.С Задача: Найти линию уровня скалярного поля 1y12yx2xU 22 +−++= , в точке ( )0;1P − Ответы: 1). окружность с центром ( )6;1 и 4R = 2). окружность с центром ( )1;1 и 3R =

18

3). окружность с центром ( )6;1− и 6R = 4). мнимая окружность 5). точка

Номер: 1.65.С Задача: Найти линию уровня скалярного поля y6y3x16x4U 22 −++= , в точке ( )2;0P Ответы: 1). эллипс с центром в точке ( )1;2 2). окружность с центром в точке ( )1;2 3). эллипс с центром в точке ( )1;2− 4). окружность с центром в точке ( )1;2− 5). нет правильного ответа

Номер: 1.66.С Задача: Найти линии уровня скалярного поля y4yx4x2U 22 −−+= для

2C > Ответы: 1). семейство гипербол 2). семейство окружностей 3). семейство эллипсов 4). семейство парабол 5). семейство мнимых окружностей

Номер: 1.67.С Задача: Найти линии уровня скалярного поля y8y4x2xU 22 −−−= в точке ( )0;2P

Ответы: 1). ( ) ( ) 1

31x

41y 22

=−

−+

2). ( ) ( ) 1

31y

41x 22

=+

−+

3). ( ) ( ) 1

31x

431y 22

=−

−+

4). ( ) ( ) 1

231y

31x 22

=+

−−

5). семейство мнимых окружностей

Номер: 1.68.С Задача: Найти линии уровня скалярного поля y2x4xU 2 +−= для 2C > Ответы: 1). семейство окружностей 2). семейство парабол 3). семейство гипербол 4). семейство эллипсов 5). семейство прямых, проходящих через начало координат

19

Номер: 1.69.С Задача: Найти линию уровня скалярного поля xy6yU 2 +−= в точке ( )5;5P

Ответы: 1). ( ) x91y 2 −=− 2). ( ) x82y 2 −=−

3). ( ) x93y 2 −=− 4). ( ) x73y 2 −=− 5). ( ) 9x3y 2 −=−

Номер: 1.70.С Задача: Найти линии уровня скалярного поля 27y18y3x16x4U 22 +−+−= ,

16C −> Ответы: 1). семейство окружностей 2). семейство эллипсов 3). семейство гипербол 4). семейство парабол 5). нет правильного ответа

Номер: 1.71.С Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля

y4x2zyxU 222 +−++= в точке ( )2;1;1P − Ответы: 1). сфера с центром ( )0;2;1 − и 5R = 2). сфера с центром ( )0;0;0 и 5R = 3). сфера с центром ( )1;1;1 и 5R = 4). сфера с центром ( )1;0;1 и 2R = 5). нет правильного ответа

Номер: 1.72.С Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля z4zy6yxU 222 ++−+= в точке ( )1;3;2P

Ответы: 1). ( ) ( ) ( ) 132z3y1x 222 =++−+−

2). ( ) ( ) 132z3yx 222 =++−+ 3). ( ) 132zyx 222 =+++

4). ( ) 121zyx 222 =−++ 5). ( ) 11zy2x 222 =++−

Номер: 1.73.С Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля z2zyx6xU 222 −++−= в точке ( )1;1;6P

Ответы: 1). ( ) ( ) 101zy3x 222 =−++− 2). ( ) 101zyx 222 =−++

3). ( ) ( ) 11z1yx 222 =−+−+ 4). 2zyx 222 =++

5). ( ) ( ) 101z2yx 222 =−+−+

Номер: 1.74.С Задача: Найти поверхности уровня скалярного поля

5C,zy6y3x4x2U 222 −>++++= Ответы: 1). семейство сфер 2). семейство эллипсоидов

20

3). семейство параболоидов 4). семейство конусов 5). нет правильного ответа


z6z3y4y2xU 222 ++−+= в точке ( )2;2;0P −

Ответы: 1). ( ) ( ) 1

351z

5,21y

5x 222

=+

+−

+ 2). ( ) 1

351z

5,2y

5x 222

=+

++

3). ( ) ( ) 1

51z

51y

5x 222

=−

+−

+ 4). ( ) ( ) ( ) 1

21z

51y

51x 222

=+

+−

+−


Номер: 1.76.С Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля 222 z3y4y2xU −−+= в точке ( )1;2;1P

Ответы: 1). ( ) 0z31y2x 222 =−−+ 2). 0z3yx 222 =−+

3). 1z4yx 222 =−+ 4). ( ) 121zyx 222 =−++

5). ( ) 0z31yx 222 =−−+

Номер: 1.77С Задача: Найти поверхность уровня скалярного поля 222 z6y3yx2U −−+= в точке ( )1;0;0P − Ответы: 1). параболоид с вершиной в точке ( )1;0;0 − 2). конус с вершиной в точке ( )1;0;0 − 3). сфера с центром ( )1;1;1 4). конус с вершиной в точке ( )1;1;1 5). параболоид с вершиной в точке ( )1;1;1

Номер: 1.78.С Задача: Найти поверхности уровня скалярного поля

5z2y4yx2xU 222 +−++−= Ответы: 1). семейство конусов 2). семейство эллиптических параболоидов 3). семейство круговых параболоидов 4). семейство сфер 5). нет правильного ответа


1zy4y2x2xU 222 +−++−= в точке ( )2;1;2P

21

Ответы: 1). ( ) ( ) 1

5z

5,21y

51x 222

=−+

+−

2). ( ) 1

5z

5,21y

5x 222

=−+

+

3). ( ) 1

5z

5,2y

51x 222

=−+−

4). 15z

5,2y

5x 222

=−+



2z2zy6y3xU 222 +−+−+= в точке ( )1;2;0P Ответы: 1). однополостный гиперболоид 2). параболоид 3). конус 4). двухполостный гиперболоид 5). сфера

Номер: 1.81.С Задача: Найти производную скалярного поля 2222 zxyxU +−+= в точке

( )4;0;3M − в направлении нормали к поверхности

058z3zy5x12x2 222 =−−+++ , образующий острый угол с осью z0 . Ответы: 1). 4/5 2). -4/5 3). 3/5 4). 2/5 5). -1/5

Номер: 1.82.С Задача: Найти производную скалярного поля 2222 zxyzU +++= в точке ( )1;2;1P − в направлении нормали к поверхности

010z4z2yx6x 222 =+−+++ , образующей острый угол с осью z0 . Ответы: 1). 1 2). 3 3). 0 4). 4 5). 2

Номер: 1.83.С Задача: Найти производную скалярного поля 2222 yxzyU +−+= в точке

( )1;0;1P в направлении нормали к поверхности 05zz2x3y4x 222 =+−+−+ , образующий острый угол с осью z0 .


2). 107

3). 104

4). 105

5). 105

Номер: 1.84.С

Задача: Найти производную скалярного поля ( )222 zxlnzyU −+= в точке ( )3;2;1P в направлении нормали к поверхности

040z2zy4x12x3 222 =−−+++ , образующий острый угол с осью z0 .


151 2).

1493151

3). 1492

151 4).

1494151

5). 1473

151

22

Номер: 1.85.С Задача: Найти производную скалярного поля ( )222 yzlnzxU −+= в точке ( )1;1;1P в направлении нормали к поверхности

012z3zy15y5x4 222 =+−+−+ , образующий острый угол с осью z0 .


8 2).

1035

3). 101

4). 103

5). 102

Номер: 1.86.С

Задача: Найти производную скалярного поля ( ) 222 zyxyxlnU ++= в точке ( )2;1;1P в направлении нормали к поверхности

029z2zy5x6x2 222 =+−+++ , образующий острый угол с осью z0 .


2). 514

3). 51

54 4).

5125

5). 51

22

Номер: 1.87.С

Задача: Найти производную скалярного поля ( ) zyxzylnU 222 ++= в точке ( )1;2;1P в направлении нормали к поверхности

031z3zy4x6x 222 =++−−+ , образующий острый угол с осью z0 .

Ответы: 1). 1295

72 2).

129512

3). 129

244 4).

1295244


Номер: 1.88.С

Задача: Найти производную скалярного поля ( )222 zxlnyxU +++= в точке ( )1;2;1P в направлении нормали к поверхности

013zy4y2x2x3 222 =+−+−− , образующий острый угол с осью z0 . Ответы: 1). 1/3 2). 2/3 3). 4/3 4). 1/2 5). 3/2

Номер: 1.89.С Задача: Найти производную скалярного поля ( )222 yzlnzxU ++−= в точке ( )2;1;1P − в направлении нормали к поверхности

015z2y2y3x7x 222 =+++−− , образующий острый угол с осью z0 .


134 2).

1533134

3). 1533

134− 4).

1533133

5). 1533

133−

23

Номер: 1.90.С Задача: Найти производную скалярного поля ( )222 xylnzyU +++= в точке ( )1;43;21P в направлении нормали к поверхности

017z2zy2y2x 222 =+−++− , образующий острый угол с осью y0 .

Ответы: 1). 2

1 2). 2 3).

23

4). 2

3− 5).

21

−

Номер: 1.91.С

Задача: Найти косинус угла ϕ между градиентами поля 22 zyxU+

= в точках

( )1;2;1A и ( )3;0;2B

Ответы: 1). 5

23 2).

1523

3). 515

23 4).

51529

5). 5

29

Номер: 1.92.С

Задача: Найти косинус угла ϕ между градиентами поля 222 zx2yxU ++= в точках ( )1;1;1A и ( )3;2;0B


20 2).

8720

3). 89

20 4).

85320


Номер: 1.93.С

Задача: Найти косинус угла ϕ между градиентами поля 22 zxyU+

= в точках

( )1;1;1A и ( )0;1;2B

Ответы: 1). 3

1 2).

23

3). 33

2 4).

32

5). 22

Номер: 1.94.С

Задача: Найти косинус угла ϕ между градиентами поля 10xyzyU 222 +++= в точках ( )2;1;2A и ( )1;1;2B

Ответы: 1). 3917

2). 391

77 3).

3911

4). 391

76 5). нет правильного ответа

Номер: 1.95.С

Задача: Найти косинус угла ϕ между градиентами поля 22 yxzU+

= в точках

( )1;0;1A и ( )2;1;1B

24


2). 35

3). 5

1 4).

31

5). 43

Номер: 1.96.С

Задача: Найти синус острого угла ϕ между градиентами поля z2zyx4U 222 +−+= в точках ( )1;1;1A и ( )0;2;0B


2). 721

3). 521

4). 821


Номер: 1.97.С

Задача: Найти синус острого угла ϕ между градиентами поля

10zy4y2xU 222 +++−= в точках ( )1;1;1A и ( )21;2;0B

Ответы: 1). 3433

2). 3433

3). 34

33 4).

3431


Номер: 1.98.С


1z6z2yx4U 222 +−++= в точках ( )0;2;1A и ( )21;21;21B

Ответы: 1). 3191

2). 31917

3). 31919

4). 319


Номер: 1.99.С


4z2yzyxU 22 ++−= в точках ( )1;1;1A и ( )21;0;2B

Ответы: 1). 5

2 2).

51

3). 3

1 4).

23

5). 22

Номер: 1.100.С


5zyxzyxU 22 −++−= в точках ( )1;0;1A и ( )0;1;1B −−

Ответы: 1). 1 2). 0 3). 21

4). 23

5). 22

25

2. Векторное поле. Векторные линии. Непосредственное вычисление потока вектора через поверхность

Номер: 2.1.А

Задача: Векторным или силовым полем называется поле, в каждой точке которого задано Ответы: 1). число 2). вектор 3). функция ( )xfy = 4). функция ( ) 0y;xF = 5). нет правильного ответа

Номер: 2.2.А Задача: Даны поля: поле скорости течения жидкости или газа; поле давлений; полей плотностей; поле температур. Какое из них является векторным? Ответы: 1). поле давлений 2). поле температур 3). поле скоростей 4). поле плотностей 5). векторного поля нет

Номер: 2.3.А Задача: Касательная в каждой точке M у векторной линии совпадает Ответы: 1). с вектором поля 2). с вектором перпендикулярным векторному полю 3). с вектором параллельным векторному полю 4). с вектором направленным под углом 045 к вектору ( )Ma 5). нет правильного ответа

Номер: 2.4.А Задача: Дифференциальные уравнения векторных линий в 3R имеют вид

Ответы: 1). yzx azd

ayd

axd

== 2). zyx azd

ayd

axd

==

3). zx azd

axd= 4).

zy azd

ayd= 5).

zxy azd

ayd

axd

==

Номер: 2.5.А

Задача: В случае плоского поля векторные линии удовлетворяют уравнениям

Ответы: 1). yx ayd

axd= 2). 0dz,

ayd

axd

yx== 3).

zy ayd

axd=

4). 0dz,a

yda

xdxy

== 5). нет правильного ответа

Номер: 2.6.А

Задача: Параметрическое дифференциальное уравнение векторных линий в векторной форме имеет вид

26

Ответы: 1). dtard λ= 2). dtard λ= 3). dtard λ= 4). dtard λ= 5). нет правильного ответа

Номер: 2.7.А Задача: Вектор { }−= zyx a;a;aa это вектор поля, направленный

Ответы: 1). по касательной к линии ( )tr 2). перпендикулярен к касательной 3). под углом в 045 к касательной 4). под углом в 030 к касательной 5). нет правильного ответа

Номер: 2.8.А Задача: В уравнении ( )trr,dtard =λ= это Ответы: 1). уравнение касательной 2). уравнение векторной линии 3). уравнение нормали к векторной линии 4). уравнение прямой, проходящей под углом в 045 к векторной линии 5). нет правильного ответа

Номер: 2.9.А Задача: Потоком векторного поля a через поверхность σ называется Ответы: 1). двойной интеграл ∫∫ σ

Dda 2). двойной интеграл ∫∫

Ddydxa

3). поверхностный интеграл ∫∫ σD

da 4). ∫∫D

dydxa


Номер: 2.10.А Задача: Как направлен вектор σd в формуле вычисления потока Ответы: 1). параллельно касательной плоскости 2). по нормали к поверхности в каждой точке 3). под углом в 030 к касательной плоскости 4). под углом в 045 к касательной плоскости 5). нет правильного ответа

Номер: 2.11.А Задача: Какая из формул вычисления потока неверна Ответы: 1). ∫∫

σσda 2). ∫∫

σσdan 3). ∫∫

σσdna

4). ∫∫σ

σda 5). ∫∫σ

++ dydxadzdxadzdya zyx

27

Номер: 2.12.А Задача: Чему равен σd ?

Ответы: 1). 1d =σ 2). 2d =σ 3). =σd площади σ

4). 22d =σ 5).

23d =σ

Номер: 2.13.А

Задача: В формуле вычисления потока ∫∫σ

σdan , na это

Ответы: 1). модуль вектора векторного поля 2). проекция вектора a на направление нормали 3). скалярное произведение Ugrada ⋅ σ 4). векторное произведение Ugrada× 5). нет правильного ответа

Номер: 2.14.А Задача: Если уравнение поверхности разрешено относительно третьей координаты ( )y;xfz = , то поток вычисляется по формуле

Ответы: 1). dydxaaxz

zx∫∫σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

2). dydxaayz

zy∫∫σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

3). dydxayza

xz

yx∫∫σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

4). dydxaazza

xz

zyx∫∫σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

−∂∂


Номер: 2.15.А Задача: Поток радиуса вектора через внешнюю сторону нижнего основания цилиндра равен Ответы: 1). 2Rπ 2). Rπ 3). 0 4). 1 5). нет правильного ответа

Номер: 2.16.А Задача: Поток радиуса вектора через внешнюю сторону верхнего основания цилиндра радиуса R и высота H равен

Ответы: 1). RHπ 2). 2Rπ 3). 2RHπ σ 4). 2RH21

π 5). 2RH2 π

Номер: 2.17.А

Задача: В формуле вычисления потока ∫∫σ

++= dydxadzdxadzdyaQ zyx

zyx a,a,a это Ответы: 1). координаты нормального вектора

28

2). проекция вектора a на оси координат соответственно 3). проекции вектора a на нормальный вектор 4). −zyx a,a,a обязательно const 5). нет правильного ответа

Номер: 2.18.А Задача: В формуле вычисления потока na,dnaQ ⋅σ= ∫∫

σ есть

Ответы: 1). векторное произведение 2). смешанное произведение 3). скалярное произведение 4). двойной векторное произведение 5). нет правильного ответа

Номер: 2.19.А Задача: Поверхность, образованная векторными линиями проходящими через точки замкнутого контура ∈С векторному полю называется Ответы: 1). односторонней поверхностью 2). двухсторонней поверхностью 3). векторной трубкой 4). плоскостью 5). нет правильного ответа

Номер: 2.20.В Задача: Поток радиуса вектора через внешнюю сторону боковой поверхности цилиндра радиуса R и высоты H равен

Ответы: 1). HR 2π 2). 2R2π 3). HR2 2π 4). HR3 2π 5). HR21 2π

Номер: 2.21.В

Задача: Найти векторные линии векторного поля jy10ix5a +−=

Ответы: 1). 212 cz,ycx == 2). 21

2 cz,ycx == 3). 212 cz,xcy ==

4). 212 cy,zcx == 5). нет правильного ответа

Номер: 2.22.В

Задача: Найти векторные линии векторного поля jy2ixa +=

Ответы: 1). 212 cz,cyx =+= 2). 21

2 cz,cxy =⋅= 3). 212 cx,cyz =+=

4). 212 cy,cxz =+= 5). нет правильного ответа

Номер: 2.23.В

Задача: Найти векторные линии векторного поля kz2ixa +=

Ответы: 1). 212 cy,cxz =+= 2). 21

2 cz,cxy =⋅=

3). 212 cy,czx =+= 4). 21

2 cz,cyx =+= 5). нет правильного ответа

29

Номер: 2.24.В Задача: Найти векторные линии векторного поля jy2ix2a += Ответы: 1). 21 cz,xcy == 2). 21 cy,xcz == 3). 21 cx,ycz ==

4). 212 cz,xcy == 5). 21

2 cy,xcz ==

Номер: 2.25.В Задача: Найти векторные линии векторного поля kz8ix2a +=


1 cy,xcz == 2). 24

1 cy,zcx == 3). 24

1 cz,xcy ==

4). 24

1 cx,zcy == 5). нет правильного ответа

Номер: 2.26.В Задача: Найти векторные линии векторного поля jx2iy2a +=

Ответы: 1). 2122 cz,cyx ==+ 2). 21

22 cz,cyx ==−

3). 2122 cz,cyx2 ==+ 4). 21

22 cy,czx ==+

5). 2122 cy,czx ==−

Номер: 2.27.В

Задача: Найти векторные линии векторного поля jx3iy3a −=

Ответы: 1). 2122 cz,cyx ==+− 2). 21

22 cz,cyx ==−

3). 2122 cz,c

32yx ==+ 4). 212

2 cy,czx ==+−


Номер: 2.28.В Задача: Найти векторные линии векторного поля ky2jz2a −=

Ответы: 1). 2122 cx,czy ==+ 2). 21

22 cx,czy ==−

3). 2122 cy,czx ==+− 4). 212

2 cy,czx ==−

5). 2122 cy,czx ==+−

Номер: 2.29.В

Задача: Найти векторные линии векторного поля kx3iz3a −=

Ответы: 1). 2122 cy,czx ==+− 2). 21

22 cy,czx ==−

3). 2122 cz,cyx ==+− 4). 212

2 cz,cyx ==−

5). 2122 cy,czx ==+

30

Номер: 2.30.В Задача: Найти векторные линии векторного поля jy8ix2a +=


1 cz,xcy == 2). 22

1 cz,xcy == 3). 24

1 cz,xcy ==

4). 21 cz,xcy == 5). 22

1 cy,xcz ==

Номер: 2.31.В Задача: Найти векторные линии векторного поля jy6ix2a +=


1 cz,xcy == 2). 23

1 cz,xcy == 3). 21 cz,xcy ==

4). 23

1 cy,xcz == 5). 23

1 cx,ycz ==

Номер: 2.32.В Задача: Найти векторные линии векторного поля ky3jz2a −=

Ответы: 1). 2122 cx,czy ==− 2). 21

22 cx,czy23

==−

3). 2122 cx,cx

23y ==− 4). 21

22 cx,cz23y ==+


Номер: 2.33.В Задача: Найти векторные линии векторного поля kx3iz2a −=

Ответы: 1). 2122 cy,cyx ==− 2). 21

22 cy,cz23x ==−

3). 2122 cy,czx

23

==− 4). 2122 cy,cz

23x ==+

5). 2122 cx,czy

23

==−

Номер: 2.34.В

Задача: Найти векторные линии векторного поля kz8jy2a +=


1 cx,ycz == 2). 23

1 cx,ycz == 3). 22

1 cx,ycz ==

4). 24

1 cz,xcy == 5). 23

1 cz,xcy ==

Номер: 2.35.В Задача: Найти векторные линии векторного поля kz4ix2a +=


1 cy,xcz == 2). 21 cy,xcz == 3). 21 cz,xcy ==

4). 22

1 cz,xcy == 5). 22

1 cz,ycx ==

31

Номер: 2.36.В Задача: Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z)

⎩⎨⎧

=+++=

1zyx:pkzixa

Ответы: 1). 1/4 2). 1/3 3). 1/5 4). 1 5). 0


⎩⎨⎧

=+++=

1zyx:pjyixa

Ответы: 1). 1/3 2). 1/2 3). 0 4). 1 5). 2


⎩⎨⎧

=+++=

1zyx:pkzjya

Ответы: 1). 1 2). 0 3). 1/3 4). 1/4 5). 1/2


⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

+=

1zy4x:p

kzixa

Ответы: 1). 1/3 2). 2/3 3). 10/3 4). 4/3 5). 7/3


⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

+=

1zy4x:p

jyixa

Ответы: 1). 1/3 2). 4/3 3). 10/3 4). 11/3 5). 13/13

32

Номер: 2.41.В Задача: Задача: Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z)

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

+=

1zy4x:p

kzjya

Ответы: 1). 2/3 2). 1/3 3). -1/3 4). -2/3 5). 1/4


⎩⎨⎧

=++−=

1zyx:pjy3ix2a

Ответы: 1). -1/6 2). 1/6 3). 1/4 4). -1/4 5). 1/5


⎩⎨⎧

=+++=

1zyx:pjy2ix3a

Ответы: 1). 1/6 2). 5/6 3). 1/7 4). 1/5 5). 11/6


⎩⎨⎧

=+++=

1zyx:pkz2jy3a

Ответы: 1). 2/3 2). 1/3 3). 5/6 4). 1/6 5). 1/7

Номер: 2.45.В Задача: Задача: Задача: Найти поток векторного поля a через часть плоскости Р, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью z)

⎩⎨⎧

=+++=

1zyx:pkz3ix2a

Ответы: 1). 1/5 2). 6/5 3). 1/6 4). 5/6 5). 0

33


⎩⎨⎧

=+++=

1zyx:pjy3ix4a

Ответы: 1). 1/6 2). 5/6 3). 7/6 4). 11/6 5). 13/6


⎩⎨⎧

=+++=

1zyx:pjy3ix4a

Ответы: 1). 1/6 2). 5/6 3). 7/6 4). 1/5 5). 6/5


⎩⎨⎧

=+++=

1zyx:pkz3iy4a

Ответы: 1). 1/12 2). 1/3 3). 5/6 4). 7/6 5). 0


⎩⎨⎧

=+++=

1zyx:pkz3ix4a

Ответы: 1). 1/3 2). 7/6 3). 0 4). 11/6 5). 1/6


⎩⎨⎧

=+++=

1zyx:pkz3ix3a

Ответы: 1). 2 2). 3 3). 4 4). 3/2 5). 0

Номер: 2.51.С

Задача: Найти векторные линии поля Ugrad , если 2

zyxU222 ++

=

34

Ответы: 1). 21 cz

cy

1x

== 2). 1z

cy

cx

21== 3).

21 cz

cy

4x

==

4). 2cz

2y

1x

== 5). 2cz

2y

2x

==

Номер: 2.52.С

Задача: Найти векторные линии поля Ugrad , если 22 zy2xU +−=

Ответы: 1). 2x

1 cz,ecy == − 2). y2

y1 ecz,ecy −− ==

3). y2

x1 ecz,ecy −− == 4). 2

x1 cx,ecy == −


Номер: 2.53.С Задача: Найти векторные линии поля Ugrad , если zyxU 22 ++=

Ответы: 1). 2

2xc21

2 ez,ycx == 2). 22

12 cz,ycx ==

3). 1xc cy,ey

22 == 4). 2

x1 cx,ecy == −


Номер: 2.54.С Задача: Найти векторные линии поля Ugrad , если 22 zyxU ++=

Ответы: 1). 2x

1 cz,ecy == − 2). x2

x1 ecz,ecy ==

3). x2

x1 ecz,ecy −== 4). x

2y

1 ecz,ecx == 5). нет правильного ответа

Номер: 2.55.С


zy2

xU2

22

++=


1 cz,xcy == 2). xcz,xcy 22

1 == 3). xcz,xcy 21 == 4). 21 cz,xcy == 5). нет правильного ответа

Номер: 2.56.С


z2

y2

xU ++=

Ответы: 1). 221 xcz,xcy == 2). xcz,xcy 21 ==

3). 321 xcz,xcy == 4). 2

22

1 xcx,xcy == 5). нет правильного ответа

35

Номер: 2.57.С


z2

yxU22

2 ++=

Ответы: 1). xcz,xcy 21 == 2). xcz,xcy 21 =≠

3). xcz,xcy 21 == 4). xcx,xcy 22

1 ==

5). 221 xcz,xcy ==

Номер: 2.58.С

Задача: Найти векторные линии поля Ugrad , если 222 zy4x2U ++= Ответы: 1). xcz,xcy 21 == 2). xcz,xcy 21 ==

3). xcz,xcy 22

1 == 4). xcz,xcy 21 ==

5). 221 xcz,xcy ==

Номер: 2.59.С

Задача: Найти векторные линии поля Ugrad , если 222 z2y4xU ++=


41 xcz,xcy == 2). xcz,xcy 2

41 ==

3). xcz,xcy 23

1 == 4). 23

1 cx,xcy ==

5). xcz,xcy 22

1 ==

Номер: 2.60.С Задача: Найти векторные линии поля Ugrad , если 222 z2yx4U ++= Ответы: 1). xcz,xcy 2

41 == 2). xcz,xcy 2

31 ==

3). xcz,xcy 21 == 4). xcz,xcy 21 == 5). нет правильного ответа

Номер: 2.61.С Задача: Вычислить непосредственно поток вектора ( ) kyjyxiza +++= через полную поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями

2z2yx2,0zyx =++=== Ответы: 1). 1/3 2). 1/2 3). 1/4 4). 0 5). 1

Номер: 2.62.С Задача: Вычислить непосредственно поток вектора

( ) ( )kyx2jzizxa −+++= через полную поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями 6zy2x3,0z,0y,0x =++=== Ответы: 1). 5 2). 7 3). 6 4). 4 5). 0

36


( ) ( )kz2yjxizya −+++= через полную поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями 2zyx2,0z,0y,0x =++=== Ответы: 1). 2/3 2). 1/3 3). -2/3 4). -1/3 5). 0


( ) ( ) kyjy2xizy2a +++−= через полную поверхность пирамиды,

ограниченной плоскостями ⎩⎨⎧

====++0z,0y,0x

6z2y3x:p

Ответы: 1). 10 2). 11 3). 6 4). 12 5). 0


( ) ( ) kyjy6xizya ++++= через полную поверхность пирамиды,


====++0z,0y,0x

2z2y2x:p

Ответы: 1). 1 2). 2 3). 3 4). 0 5). 6


( ) ( ) kz4jyzxyiyx3a ++−+−= через полную поверхность пирамиды,


====−−0z,0y,0x2z2yx2:p

Ответы: 1). 1/3 2). 2/3 3). 5/6 4). 8/3 5). 0


( ) ( ) ( )kzy2xjxzizxa +++−++= через полную поверхность пирамиды,


====++

0z,0y,0x2zyx:p

Ответы: 1). 8/3 2). 0 3). 1 4). 2/3 5). 1/3


( ) ( )kzyxjy2izxa −++++= через полную поверхность пирамиды,


====++

0z,0y,0x2zy2x:p

37

Ответы: 1). 1/3 2). 2/3 3). 4/3 4). 1 5). 0


( ) ( )kz2xjy2izyxa ++−−−= через полную поверхность пирамиды,


====++

0z,0y,0x2zy2x:p

Ответы: 1). 1/3 2). 2/3 3). 0 4). 1 5). 4/3


( ) ( ) ( )kzx2jzyizxa +++++= через полную поверхность пирамиды,


====+−

0z,0y,0x2z2y2x3:p

Ответы: 1). 5 2). 4 3). 7 4). 6 5). 0

Номер: 2.71.С Задача: Найти поток вектора kzjyixa 222 ++= через основание конуса

2z,z4yx 222 ==+ . Ответы: 1). π16 2). π32 3). π18 4). π9 5). π33






1z,z16yx 222 ==+ . Ответы: 1). π7 2). π4,6 3). π5,6 4). π3,10 5). π8

38

Номер: 2.75.С Задача: Найти поток вектора kzjyixa 3++= через основание конуса

1z,z4yx 222 ==+ .

Ответы: 1). π54

2). π56

3). π58

4). π 5). 0

Номер: 2.76.С

Задача: Найти поток вектора kzjyixa 32 ++= через основание конуса

31z,z9yx 222 ==+ .

Ответы: 1). 9π

2). 12π

3). 2π

4). 18π

5). 0

Номер: 2.77.С

Задача: Найти поток вектора kzjy3ix2a 3++= через основание конуса

2z,z21yx 222 ==+ .


2). π24 3). π5

24 4). π

51

5). 0

Номер: 2.78.С

Задача: Найти поток вектора kzjy2ix3a 2++= через основание конуса

3z,z31yx 222 ==+ .

Ответы: 1). π2 2). 2π

3). 23π

4). π3 5). π5,2

Номер: 2.79.С

Задача: Найти поток вектора kzjyix2a 2 ++= через основание конуса

2z,z41yx 222 ==+ .


2). π31

3). π 4). 0 5). нет правильного ответа

Номер: 2.80.С

Задача: Найти поток вектора kzjyix3a 4++= через основание конуса

1z,z2yx 222 ==+ .

39


2). π32

3). π 4). 2π

5). π23

Номер: 2.81.С

Задача: Вычислить поток радиуса-вектора через внешнюю сторону прямого круглого цилиндра радиуса 2R = , высота 1H = , если начало координат лежит в центре нижнего основания. Ответы: 1). π8 2). π4 3). 0 4). π12 5). π10

Номер: 2.82.С Задача: Вычислить поток радиуса-вектора через внешнюю сторону прямого круглого цилиндра радиуса 2R = , высота 2H = , если начало координат лежит в центре нижнего основания. Ответы: 1). π10 2). π20 3). π24 4). π22 5). π21

Номер: 2.83.С Задача: Вычислить поток радиуса-вектора через внешнюю сторону прямого круглого цилиндра радиуса 3R = , высота 2H = , если начало координат лежит в центре нижнего основания. Ответы: 1). π54 2). π50 3). π48 4). π56 5). π52

Номер: 2.84.С Задача: Вычислить поток радиуса-вектора через внешнюю сторону прямого

круглого цилиндра радиуса 21R = , высота 4H = , если начало координат

лежит в центре нижнего основания.

Ответы: 1). π 2). π2 3). π3 4). 2π

5). π23

Номер: 2.85.С

Задача: Вычислить поток радиуса-вектора через внешнюю сторону прямого

круглого цилиндра радиуса 31R = , высота 3H = , если начало координат

лежит в центре нижнего основания.

Ответы: 1). π 2). π2 3). π23

4). 2π

5). 0

Номер: 2.86.С

Задача: Найти поток вектора kzjya 2 += через часть поверхности 22 yxz += , отсеченный плоскостью 2z = нормаль берется внешняя по

отношению к области, ограниченной параболоидом

40

Ответы: 1). π2 2). π− 2 3). π 4). 4π

5). 2π

−

Номер: 2.87.С

Задача: Найти поток вектора kzixa 2 += через часть поверхности 22 yxz += , отсеченный плоскостью 1z = нормаль берется внешняя по

отношению к области, ограниченной параболоидом


− 2). 4π

3). 2π

− 4). 2π

5). 3π

−

Номер: 2.88.С

Задача: Найти поток вектора kzjyixa 22 ++= через часть поверхности 22 yxz += , отсеченный плоскостью 2z = нормаль берется внешняя по

отношению к области, ограниченной параболоидом Ответы: 1). π 2). π 3). π2 4). π− 2 5). π3

Номер: 2.89.С Задача: Найти поток вектора kzjya 2 −= через часть поверхности

22 yxz += , отсеченный плоскостью 1z = нормаль берется внешняя по отношению к области, ограниченной параболоидом


− 2). 2π

3). 4π

− 4). 4π

5). 0

Номер: 2.90.С

Задача: Найти поток вектора kzixa 2 −= через часть поверхности 22 yxz += , отсеченный плоскостью 3z = нормаль берется внешняя по

отношению к области, ограниченной параболоидом Ответы: 1). π4 2). π5,4 3). π− 5,4 4). π− 4 5). π3

Номер: 2.91.С Задача: Вычислить поток векторного поля k1yxjyixa 22 ⋅−+++= через

внешнюю сторону однополостного гиперболоида 1yxz 22 −+= ,

ограниченного плоскостями 2z,0z == . Ответы: 1). π2 2). π5 3). π24 4). π53 5). π− 53

41

Номер: 2.92.С Задача: Вычислить поток векторного поля k1yxjyixa 22 ⋅−+++= через

внешнюю сторону однополостного гиперболоида 1yxz 22 −+= , ограниченного плоскостями 1z,0z == (с осью z0 тупой угол). Ответы: 1). π32 2). π2 3). π3 4). π− 32 5). π− 3

Номер: 2.93.С Задача: Найти поток радиуса вектора r через поверхность 22 yx1z +−= ( )1z0 ≤≤


2). π23

3). π 4). 2π

− 5). π−

Номер: 2.94.С

Задача: Найти поток радиуса вектора r через поверхность 22 yx1z +−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ≤≤

21z0


2). 4π

− 3). 2π

− 4). 2π

− 5). π

Номер: 2.95.С

Задача: Найти поток вектора kzjyixa 222 ++= через положительный откат

сферы 0z,0y,0x,1zyx 222 ≥≥≥=++ .


2). π83

3). π87

4). π−83

5). π−81

Номер: 2.96.С


сферы 0z,0y,0x,2zyx 222 ≥≥≥=++ .

Ответы: 1). π 2). π2 3). π− 4). π23

5). π− 2

Номер: 2.97.С


сферы 0z,0y,0x,3zyx 222 ≥≥≥=++ .


2). π8

17 3). π

821

4). π−827

5). π−821

42

Номер: 2.98.С Задача: Найти поток радиуса вектора r через поверхность 22 yz1x +−= ( )1x0 ≤≤


− 2). 4π

− 3). π 4). π− 5). 2π

Номер: 2.99.С

Задача: Найти поток радиуса вектора r через поверхность 22 zx1y +−= ( )1z0 ≤≤


− 2). 4π

− 3). π 4). π− 5). 2π


Задача: Вычислить поток векторного поля k1yxjyixa 22 −+++= через

внешнюю сторону однополостного гиперболоида 1yxz 22 −+= , ограниченного плоскостями 2z,0z == . Ответы: 1). π3 2). π2 3). π4 4). π− 4 5). π−3

43

3. Дивергенция. Поток вектора через замкнутую поверхность

Номер: 3.1.А Задача: По какой формуле вычисляется средняя обильность потока

Ответы: 1). S

da∫∫σ

σ 2).

V

da∫∫σ

σ 3).

V

dnD∫∫ σ

4). V

danD∫∫ σ


Номер: 3.2.А

Задача: Предел отношения потока вектора a через поверхность, окружающую точку M , к объему, ограниченному этой поверхностью при M→σ называется. Ответы: 1). средней обильностью 2). дивергенцией 3). ротором 4). производной по направлению 5) нет правильного ответа

Номер: 3.3.А Задача: Дивергенция векторного поля есть величина Ответы: 1). векторная 2). всегда больше нуля 3). скалярная 4). всегда меньше нуля 5). всегда равна нулю

Номер: 3.4.А Задача: При какой дивергенции количества жидкости вытекающей и втекающей равны? Ответы: 1). 0adiv < 2). 0adiv > 3). 0adiv = 4). ∞≤adiv 5). нет правильного ответа

Номер: 3.5.А Задача: Векторное поле называется соленоидальным, если Ответы: 1). 0adiv = 2). 3adiv = 3). 3adiv − 4). 1adiv = 5). 1adiv −=

Номер: 3.6.А

Задача: Что характеризует дивергенция в случае 0adiv > ? Ответы: 1). мощность стока 2). мощность источника 3). скорость потока 4). ускорение потока 5). нет правильного ответа

44

Номер: 3.7.А

Задача: Точку M вектора ( )Ma называют стоком, если Ответы: 1). ( ) 0Madiv > 2). ( ) 0Madiv < 3). ( ) 0Madiv = 4). ( )Madiv не существует 5) нет правильного ответа

Номер: 3.8.А Задача: По какой формуле вычисляется дивергенция?

Ответы: 1). y

az

ax

aadiv zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

= 2). y

ax

aadiv zx

∂∂

+∂∂

=

3). y

az

aadiv zy

∂∂

+∂

∂= 4).

za

ya

xa

adiv zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=


Номер: 3.9.А Задача: Каким условиям должны удовлетворять функции zyx a,a,a в формуле

adiv ? Ответы: 1). имеют конечное точек разрыва первого рода в области 2). имеют конечное точек разрыва второго рода в области 3). непрерывны в области вместе со своими частными производными 4). имеют точки разрыва и 1_го и 2-го рода 5). нет правильного ответа

Номер: 3.10.А Задача: Дивергенция радиус-вектора равна Ответы: 1). 3 2). 2 3). 4 4). 0 5). 1

Номер: 3.11.А

Задача: Найти ( )audiv Ответы: 1). adivu 2). ugrada 3). ugradaadivu + 4). ugradaadivu − 5). adivu2

Номер: 3.12.А Задача: Найти ( )ugrad2div

Ответы: 1). uΔ 2). u2Δ 3). u21Δ 4). u3Δ 5). u2 Δ−

45

Номер: 3.13.А Задача: Среди формул вычисление потока по замкнутой поверхности указать неверную Ответы: 1). ∫∫

σσda 2). ∫∫

σσdan 3). ∫∫

σσdna

4). ∫∫σ

σda 5). ∫∫∫V

dvadiv

Номер: 3.14.А

Задача: Можно ли вычислить поток векторного поля через площадь S по формуле ∫∫

σσda ?

Ответы: 1). да, если площадь ограничена контуром L 2). нет, так как −σ замкнутая поверхность 3). да, если площадка - квадрат 4). нет, если площадка - круг 5). нет правильного ответа

Номер: 3.15.А Задача: Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме имеет вид Ответы: 1). ∫∫∫∫∫ =σ

σ Vdvadivda 2). ∫∫∫∫∫ =σ

σ Vdvadivda

3). ∫∫∫∫∫ =σσ V

dydxadivda 4). ∫∫∫∫∫ =σσ D

dvadivda

5). ∫∫∫∫∫ =σσ V

dzdyadivda

Номер: 3.16.А

Задача: Формула Остроградского-Гаусса применяется для вычисления потока, если σ Ответы: 1). область D в плоскости Y0X 2). не замкнутая поверхность 3). замкнутая поверхность 4). область D в плоскости Z0X 5). нет правильного ответа

Номер: 3.17.А

Задача: Если 2adiv = , то поток векторного поля через сферу 9zyx 222 =++ равен Ответы: 1). π36 2). π72 3). π50 4). π62 5). π48

46

Номер: 3.18.А

Задача: Если 1adiv = , то поток векторного поля через сферу 4zyx 222 =++ равен

Ответы: 1). π10 2). π3

32 3). π

231

4). π12 5). π13

Номер: 3.19.А

Задача: Если 1adiv = , то поток векторного поля через цилиндр ,4yx 22 =+ 2H = равен

Ответы: 1). π6 2). π7 3). π8 4). π10 5). 0

Номер: 3.20.А

Задача: Если 2adiv = , то поток векторного поля через цилиндр 1yx 22 =+ , 2H = равен

Ответы: 1). π4 2). π3 3). π2 4). π 5). 0

Номер: 3.21.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля kxzjzyiyxa ++= в

( )3,2,1M0 Ответы: 1). 1 2). 0 3). 6 4). -1 5). нет правильного ответа

Номер: 3.22.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля kxyjzyixa 2 ++= в

( )3,2,1M0 Ответы: 1). 5 2). 0 3). 1 4). -1 5). нет правильного ответа

Номер: 3.23.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля kyzjzyiyxa 2 ++= в

( )3,2,1M0 Ответы: 1). 5 2). 9 3). 1 4). 6 5). нет правильного ответа

Номер: 3.24.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля kzxjxixa 2 ++= в ( )3,2,1M0 Ответы: 1). 3 2). 5 3). 9 4). 1 5). нет правильного ответа

Номер: 3.25.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля

( ) ( ) ( )kyzjxyiyxa 222222 +++++= Ответы: 1). z2y2x2 ++ 2). kz2jy2ix2 ++

47

3). z2y6x4 ++ 4). kz2jy6ix4 ++ 5). нет правильного ответа

Номер: 3.26.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля kzjyixa 222 ++=

Ответы: 1). z2y2x2 ++ 2). kz2jy2ix2 ++ 3). 222 zyx ++

4). 3z

3y

3x 333

++ 5). нет правильного ответа

Номер: 3.27.В

Задача: Найти дивергенцию векторного поля kzjyixa 2 ++= Ответы: 1). zyx2 ++ 2). 2x2 + 3). kjix2 ++

4). k2zj

2yi

3x 223

++ 5). нет правильного ответа

Номер: 3.28.В

Задача: Найти дивергенцию векторного поля kz2jyz2iya 2++=

Ответы: 1). z6 2). kz4jz2 + 3). 32 z32yzxy ++

4). 32 z32jyz2iyx ++ 5). нет правильного ответа

Номер: 3.29.В

Задача: Найти дивергенцию векторного поля kzjyx2iyx2a 2++= Ответы: 1). z4y4x4 ++ 2). ( )zyx2 ++ 3). kz2jy2ix2 ++ 4). kz2jy4ix4 ++ 5). нет правильного ответа


( ) ( ) ( )kzzxjyyxizya 222 +++++= Ответы: 1). 1y2x2 ++ 2). 3z2y4 ++ 3). 1x2z3y5 +++ 4). kjy2ix2 ++ 5). нет правильного ответа

Номер: 3.31.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля kz2jxiya 2+−=

Ответы: 1). kz4 2). z4 3). 3z2 3

48

4). kz32jxyiyx 3+− 5). нет правильного ответа

Номер: 3.32.В

Задача: Найти дивергенцию векторного поля kzjiyxa 32 ++−=

Ответы: 1). 1yx2 3 +− 2). kiyx2 3 +− 3). 1yx6 2 +−

4). 1yx3yx2 223 +−− 5). нет правильного ответа

Номер: 3.33.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля kyxjxiz6a +−= Ответы: 1). 0 2). yzxyxxz6 +− 3). 0 4). yx5 ++ 5). нет правильного ответа

Номер: 3.34.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля kxjyiza 2 ++= Ответы: 1). y22 + 2). y2 3). kjy2i ++

4). zx3yxz

3++ 5). нет правильного ответа

Номер: 3.35.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля kyjz2ixa 2 ++= Ответы: 1). z42 + 2). 0 3). 1 4). i 5). нет правильного ответа

Номер: 3.36.В

Задача: Найти дивергенцию векторного поля kyjz31ixa 2 +−=

Ответы: 1). i 2). 1 3). z322 − 4). kjz

32i +− 5). нет правильного ответа

Номер: 3.37.В

Задача: Найти дивергенцию векторного поля kzjxizxa 2++= Ответы: 1). z3 2). kz2iz + 3). 1xz3 ++ 4). k1jxiz3 ++ 5). нет правильного ответа

Номер: 3.38.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля kyjxiyxa 2++= Ответы: 1). y 2). 1xy3 ++ 3). ky2jiy ++ 4). iy 5). нет правильного ответа

49

Номер: 3.39.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля ( ) ( ) ( )kyxjxzizya ++−+−= Ответы: 1). 0 2). 1 3). k 4). 0 5). нет правильного ответа

Номер: 3.40.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля kzxj2iyxa 32 ++−=

Ответы: 1). xxy2 3 +− 2). kziyx2 3 +− 3). kxiyx2 3 +−

4). 2zxy2y

3x 2

33

++− 5). нет правильного ответа

Номер: 3.41.В

Задача: Найти дивергенцию векторного поля kyjxiza ++= Ответы: 1). 3 2). 0 3). kji ++ 4). zyyxxz ++ 5). нет правильного ответа

Номер: 3.42.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля kyjxiza 222 ++= Ответы: 1). ( )zyx2 ++ 2). 0 3). ( )kzjyix3 ++

4). zyyxxz 222 ++ 5). нет правильного ответа

Номер: 3.43.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля kzyjyxixza 222 ++=

Ответы: 1). 222 yxz ++ 2). kz2jy2ix2 ++

3). ( ) ( ) ( )yz2yxy2xzx2z +++++ 4). 2zy

2yx

2xz

22

22

22 ++


Номер: 3.44.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля kzjy3ix2a −+=

Ответы: 1). kj3i2 −+ 2). 4 3). 2z

2y3x

222 −+

4). k2zjy

23ix

222 ++ 5). нет правильного ответа

Номер: 3.45.В

Задача: Найти дивергенцию векторного поля kzyjxiz7a +−= Ответы: 1). 4 2). y 3). ky 4). y6 − 5). нет правильного ответа

50

Номер: 3.46.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля ( ) ( ) ( ) kxzjzyiyxa −+−+−= Ответы: 1). 3 2). 0 3). kji ++ 4). 0 5). нет правильного ответа

Номер: 3.47.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля ( ) ( ) ( ) kxzjzyiyxa +++++= Ответы: 1). 6 2). 3 3). k2j2i2 ++ 4). kji ++ 5). нет правильного ответа

Номер: 3.48.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля kx2jy5ix7a −+= Ответы: 1). 12 2). j5i7 + 3). 10 4). k2j5i7 −+ 5). нет правильного ответа


( ) ( ) ( )kxzjzy5iy2x3a ++−++= в ( )3,2,1M0 Ответы: 1). 11 2). 9 3). k2j4i5 ++ 4). kj5i3 ++ 5). нет правильного ответа

Номер: 3.50.В Задача: Найти дивергенцию векторного поля kyzjxy2izyx3a 22 −+= Ответы: 1). yx4zy + 2). kzy2jxy4izy3 −+

3). y3zx

3y2zy

2x3 332

−+ 4). ky3zjxy

32izyx

23 3

32 −+


Номер: 3.51.В Задача: Найти поток векторного поля

( ) ( ) ( ) kz4xjy2x11iy6x3a 22 −+++−= через замкнутую поверхность

⎩⎨⎧

====++

σ0z,0y,0x

2z2yx: по формуле Остроградского-Гаусса

Ответы: 1). 2/3 2). 11/3 3). 0 4). -3 5). нет правильного ответа

Номер: 3.52.В Задача: Найти поток векторного поля ( ) ( ) ( ) kz4yjyx11iyx3a 222 −+++−=

через замкнутую поверхность ⎩⎨⎧

====++

σ0z,0y,0x

2z2yx: по формуле

Остроградского-Гаусса Ответы: 1). 2/3 2). 11/3 3). 0 4). -3/2 5). нет правильного ответа

51


( ) ( ) ( ) kzxjy2z11iy6x5a 22 −+++−= через замкнутую поверхность

⎩⎨⎧

====++

σ0z,0y,0x


Ответы: 1). 2 2). 4 3). 0 4). 2/3 5). нет правильного ответа


( ) ( ) ( ) kz4xjy2z11iy6x5a 22 ++++−= через замкнутую поверхность

⎩⎨⎧

====++

σ0z,0y,0x


Ответы: 1). 96 2). 0 3). 288 4). 48 5). нет правильного ответа


( ) ( ) kxjxy10z10iy6x5a 2222 +−+−= через замкнутую поверхность

⎩⎨⎧

====++

σ0z,0y,0x

6z6y3x2: по формуле Остроградского-Гаусса


Номер: 3.56.В Задача: Найти поток векторного поля ( ) kzyxjyixa 2222 +++= через

замкнутую поверхность ⎩⎨⎧

====++

0z,0y,0x2z2yx

:S по формуле Остроградского-

Гаусса Ответы: 1). 2 2). 1/3 3). 0 4). 2/3 5). нет правильного ответа

Номер: 3.57.В Задача: Найти поток векторного поля kzjyixa −+= через замкнутую

поверхность ⎩⎨⎧

====++

σ0z,0y,0x



52

Номер: 3.58.В Задача: Найти поток векторного поля ( ) ( ) ( ) kyz2jxy2iyx2a +++++=


====−++

σ0z,0y,0x

06z3yx: по формуле

Остроградского-Гаусса Ответы: 1). 0 2). 72 3). 108 4). 36 5). нет правильного ответа

Номер: 3.59.В Задача: Найти поток векторного поля ( ) ( ) ( ) kzxyziyxa +++++= через


====++

σ0z,0y,0x

6zy2x3: по формуле Остроградского-

Гаусса Ответы: 1). 18 2). 36 3). 72 4). 0 5). нет правильного ответа

Номер: 3.60.В Задача: Найти поток векторного поля kzx2jyixa 2 −+= через замкнутую


====++

σ0z,0y,0x

6zy2x3: по формуле Остроградского-Гаусса


Номер: 3.61.В Задача: Найти поток векторного поля kyjyx2ixa 22 −−= через замкнутую

поверхность ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+−=

2zyx3z:S

22 по формуле Остроградского-Гаусса


Номер: 3.62.В Задача: Найти поток векторного поля kzjyixa ++= через замкнутую

поверхность ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤=

+−=σ1z00zyx1z:



Номер: 3.63.В Задача: Найти поток векторного поля kzjy3izx3a 32 −+= через

замкнутую поверхность ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+=σ1z

yxz:22

по формуле Остроградского-

Гаусса

53

Ответы: 1). 6 2). π 3). 0 4). π6 5). нет правильного ответа

Номер: 3.64.В Задача: Найти поток векторного поля kz4jyx6ix3a 2 +−= через


===+

σ2z,0z4yx:


Ответы: 1). π64 2). π 3). 0 4). 18 5). нет правильного ответа

Номер: 3.65.В Задача: Найти поток векторного поля kz2jyx6ix3a 2 +−= через


===+

σ3z,0z

y2yx:22

по формуле Остроградского-

Гаусса Ответы: 1). π64 2). π6 3). 0 4). 18 5). нет правильного ответа

Номер: 3.66.В Задача: Найти поток векторного поля kzyx2jxyiyxa 222 −+= через замкнутую поверхность по формуле Остроградского-Гаусса

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≥=+

=++σ

0zzyx

4zyx:

222

222

Ответы: 1). π64 2). π6 3). 0 4). π 5). нет правильного ответа

Номер: 3.67.В Задача: Найти поток векторного поля kx2jy4iza +−= через замкнутую


=+=

σ3z

yxz:222

по формуле Остроградского-Гаусса

Ответы: 1). π−12 2). π3 3). 36 4). π12 5). нет правильного ответа

Номер: 3.68.В Задача: Найти поток векторного поля kxjy2ix8a +−= через замкнутую


=====+

σ1z,0z,0y,0x

1yx: по формуле Остроградского-Гаусса

Ответы: 1). π3 2). 3 3). 6 4). π−12 5). нет правильного ответа

54

Номер: 3.69.В Задача: Найти поток векторного поля ( ) ( ) ( ) kz3xjyziy2xa ++−++=


=====+

σ3y,0z,0y,0x

2zx: по формуле

Остроградского-Гаусса Ответы: 1). 18 2). 3 3). π3 4). 0 5). нет правильного ответа


( ) ( )kz2ysinjy2xsini4xzcosa ++−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += через замкнутую поверхность

⎩⎨⎧

===+

σ5z,3zzyx:



2). π9

16 3). π2 4). 0 5). нет правильного ответа

Номер: 3.71.В

Задача: Найти поток векторного поля ( ) ( ) ( ) kz3xcosjyz2ix1ya ++++++= через замкнутую поверхность

⎩⎨⎧

=+=

σ2z

yxz:222



2). π9

16 3). π2 4). 0 5). нет правильного ответа

Номер: 3.72.В

Задача: Найти поток векторного поля ( ) ( ) ( ) kz3yxjxy2eix8yza x22 −+++−+++= через замкнутую


====++

σ0z,0y,0x


Ответы: 1). 1/2 2). 2π

3). 0 4). 1/3 5). нет правильного ответа

Номер: 3.73.В

Задача: Найти поток векторного поля ( ) ( ) ( ) kzyxj1yeixyza 22z22 ++++++++= через замкнутую поверхность

( )⎩⎨⎧

=+=

σ2z

yx4z:222


55


2). π4 3). π2 4). 0 5). нет правильного ответа

Номер: 3.74.В

Задача: Найти поток векторного поля ( ) ( ) ( ) kzyjy24eix2za 2z2 −++−++= через замкнутую поверхность { 4zyx: 222 =++σ по формуле Остроградского-Гаусса


2). π4 3). π64 4). 0 5). нет правильного ответа

Номер: 3.75.В

Задача: Найти поток векторного поля ( ) ( ) ( ) kz3xsinjyxcosix2ya 2 ++−+−= через замкнутую поверхность { x2zyx: 222 =++σ по формуле Остроградского-Гаусса

Ответы: 1). 0 2). π4 3). 64 4). 0 5). нет правильного ответа

Номер: 3.76.В Задача: Найти поток векторного поля ( ) ( ) ( ) kz2yjyz2iyx2a 2 ++−++=

через замкнутую поверхность { 04y4x2zyx: 222 =++−++σ по формуле Остроградского-Гаусса Ответы: 1). π 2). π4 3). π2 4). 0 5). нет правильного ответа

Номер: 3.77.В Задача: Найти поток векторного поля kz6jy5ix3a +−= через замкнутую

поверхность { 015z6zy4x2yx: 222 =+−++−+σ по формуле Остроградского-Гаусса

Ответы: 1). π 2). π4 3). π2 4). π3


Номер: 3.78.В

Задача: Найти поток векторного поля ( ) kz3xsin2jysiniycosxa ++−=

через замкнутую поверхность { 010z6zy4x2y2x: 222 =+−++−+σ по формуле Остроградского-Гаусса

Ответы: 1). π 2). π4 3). π2 4). π3


56

Номер: 3.79.В Задача: Найти поток векторного поля kz2jyx2ixa 2 +−= через замкнутую

поверхность ( )

⎩⎨⎧

=+=

3zyx9z:S


Ответы: 1). π18 2). π2 3). 0 4). 16 5). нет правильного ответа

Номер: 3.80.В Задача: Найти поток векторного поля kzyejziyea x2x −+= через

замкнутую поверхность ( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+−=22

22

yx2z

yx24z:S по формуле Остроградского-

Гаусса

Ответы: 1). π18 2). π2 3). 0 4). π3


Номер: 3.81.В

Задача: Вычислить поток векторного поля kz2jyiza +−= через замкнутую поверхность }{ 0z,0y,0x,6zy2x3: ≥≥≥=++σ Ответы: 1). 6 2). 3 3). 0 4). -3 5). 12

Номер: 3.82.В Задача: Вычислить поток векторного поля ( ) ( ) ( ) kzyjxyizxa +++++=

через замкнутую поверхность }{ 0z,Rzyx,Ryx: 222 ≥=++=+σ

Ответы: 1). 3R3π 2). 3R3π

3). 0 4). 3R3π−


Номер: 3.83.В

Задача: Вычислить поток векторного поля kxjya 22 += через замкнутую

поверхность }{ 0z,0y,0x,zy1x: 2 ≥≥≥−−=σ Ответы: 1). -16/105 2). 16/105 3). 16/35 4). -16/35 5). 0

Номер: 3.84.В Задача: Вычислить поток векторного поля kz2jyiyx2a 2 +−= через

замкнутую поверхность }{ 0z,0y,0x,9zyx: 222 ≥≥≥=++σ Ответы: 1). π12 2). π18 3). π−12 4). 0 5). нет правильного ответа

57

Номер: 3.85.В Задача: Вычислить поток векторного поля ( ) ( ) kz2xjzyiy2a +++−=


Ответы: 1). 3R3π 2). 3R3π

3). 0 4). 3R3π−


Номер: 3.86.В

Задача: Вычислить поток векторного поля ( ) ( ) kxzjziyx3a 2 ++−+=


Ответы: 1). 3R3π 2). 3R4π 3). 3R9π 4). 0 5). нет правильного ответа

Номер: 3.87.В Задача: Вычислить поток векторного поля kyxjzxizya ++= через полную поверхность пирамиды с вершиной в точке ( )2;0;0D и основанием ABC, где ( ) ( ) ( )0,1,0C;0,0,2B;0,0,0A Ответы: 1). 1/3 2). 2 3). 2/3 4). 0 5). нет правильного ответа

Номер: 3.88.В Задача: Найти поток вектора k2jyixa −+= через поверхность куба

2z,2y,2x ±=±=±= в направлении внешней нормали. Ответы: 1). π8 2). 0 3). 8 4). 8/3 5). 16

Номер: 3.89.С Задача: Найти поток векторного поля kzjyixa 333 ++= через замкнутую

поверхность ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥≤+

=++σ

0z,zyx

9zyx:

222

222

Ответы: 1). 5

2729 2).

10281

3). 5

3486 4). 0 5).

103243

Номер: 3.90.С

Задача: Найти поток векторного поля kzjyixa 22 ++= через всю

поверхность тела 4zyx 22 ≤≤+ в направлении внешней нормали.

Ответы: 1). 3

16π 2). π16 3). 0 4). π48 5). нет правильного ответа

58

Номер: 3.91.С Задача: Найти поток векторного поля kzjyixa 222 ++= через часть

поверхности параболоида ( ) 3z,z4yx3 22 ≤=+ в направлении внутренней нормали

Ответы: 1). π12 2). 3

4π 3). π 4).

3π

5). 0

Номер: 3.92.С

Задача: Найти поток векторного поля kzjy3ix2a 222 ++= через всю

поверхность тела 2222 yx8zyx −−≤≤+ в направлении внешней нормали

Ответы: 1). π64 2). π32 3). 3

16π 4).

332π

5). 0

Номер: 3.93.С

Задача: Найти поток векторного поля kzjyixa 222 ++= через внешнюю сторону поверхности куба 2z0,2y0,2x0 ≤≤≤≤≤≤ Ответы: 1). 48 2). 64 3). 36 4). 0 5). 96

Номер: 3.94.С Задача: Найти поток векторного поля kzjyixa 222 ++= через поверхность

конуса в направлении внешней нормали ( ) 2z0,zyx4 222 ≤≤=+

Ответы: 1). π2 2). π3 3). 3

2 π 4).

34π

5). 0

Номер: 3.95.С

Задача: Найти поток вектора kzjyixa 222 +−= через часть сферы 0z,0y,0x,9zyx 222 ≥≥≥=++ в направлении внешней нормали.

Ответы: 1). 8

81π 2). π

227

3). 4

81 π 4). π27 5). 0

Номер: 3.96.С

Задача: Найти поток векторного поля kzjyixa 333 ++= через замкнутую

поверхность ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥≤+

=++σ

0z,zyx

2zyx:

222

222

Ответы: 1). 24/5 2). 5

23 3).

564

4). 0 5). нет правильного ответа

59

Номер: 3.97.С Задача: Найти поток векторного поля kzjyixa 333 ++= через внешнюю

сторону сферы 25zyx 222 =++


12 2). π7500 3). π3725 4). π625 5). 0

Номер: 3.98.С

Задача: Найти поток векторного поля kzjy3ix2a 222 ++= через

замкнутую поверхность, ограниченную поверхностями ⎪⎩

⎪⎨⎧

−−≤

+>σ

22

22

yx2z

yxz:

Ответы: 1). π2 2). π16 3). π 4). π12 5). 0

Номер: 3.99.С Задача: Найти поток вектора kzjyixa 222 ++= , где :σ внешняя полная

поверхность конуса 3z0,09z

4y

4x 222

≤≤=−+

Ответы: 1). π72 2). π36 3). π− 36 4). 0 5). нет правильного ответа

Номер: 3.100.С Задача: Найти поток вектора kzjyixa 333 ++= через полную поверхность

конуса 2z04z

25yx 222

≤≤≤+

Ответы: 1). π495 2). π990 3). π165 4). 0 5). нет правильного ответа

Номер: 3.101.С Задача: Найти поток векторного поля kzjyixa 222 ++= через внешнюю сторону куба 3z0,3y0,3x0 ≤≤≤≤≤≤ . Ответы: 1). 243 2). 81 3). 27 4). 9 5). 81/4

Номер: 3.102.С Задача: Найти поток векторного поля kzjyixa 222 +−= через поверхность

тела 4yxz0,12zyx 22222 −+≤≤≤++

Ответы: 1). π56 2). π28 3). 3

28 π 4). 0 5). нет правильного ответа

60

Номер: 3.103.С Задача: Найти поток векторного поля kzjyixa 22 ++= через поверхность

тела 2zyx32 22 ≤≤+

Ответы: 1). π 2). π32

3). π6 4). 3π

5). 0


Задача: Найти поток векторного поля kzjyixa 222 +−= через поверхность

тела, ограниченного поверхностями ,3zyx 222 ≤++ 1yxz0 22 −+≤≤ в направлении внешней нормали.

Ответы: 1). π5,3 2). 2π

3). 3π

4). 0 5). π9


Задача: Найти поток векторного поля ky3jz2ixa 2 +−= через пирамиду ограниченную поверхностями 0z,0y,0x,3zyx ====++ Ответы: 1). 81/4 2). 189/8 3). 0 4). 163/4 5). нет правильного ответа

Номер: 3.106.С Задача: Найти поток векторного поля kzjyixa 333 ++= через замкнутую

поверхность { }0z,zxy,4zyx: 222222 ≥≤+=++σ

Ответы: 1). 0 2). 5

2768 3).

5296

4). 3



Задача: Найти поток векторного поля ( ) kzjy3iyxa 2 +−+= через пирамиду, ограниченную поверхностями 0z,0y,0x,1zyx ====++ Ответы: 1). 1/4 2). 1/12 3). 0 4). – 3/4 5). нет правильного ответа

Номер: 3.108.С Задача: Найти поток векторного поля kzjyixa 22 ++= через всю

поверхность тела 2zyx 22 ≤≤+ в направлении внешней нормали.

Ответы: 1). 3

8π 2). π8 3). π 4).

32π

5). 0

61

4. Ротор. Циркуляция векторного поля

Номер: 4.1.А Задача: Ротор это – Ответы: 1). поле 2). вектор 3). скаляр 4). скалярное поле 5). векторное поле

Номер: 4.2.А Задача: Ротор векторного поля { }a= P,Q,R

rвычисляется по формуле

Ответы: 1). P Q Rx y z∂ ∂ ∂

+ +∂ ∂ ∂

2). P Q Q R R P; ;x y y z z x∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎧ ⎫− − −⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭

3). R Q P R Q P; ;y z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎧ ⎫− − −⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭ 4).

Q R R P Q P; ;z y x z x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎧ ⎫− − −⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭

5). R Q P R Q P; ;z y x z y x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎧ ⎫− − −⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭

Номер: 4.3.А

Задача: Циркуляция векторного поля arпо замкнутому контуру L задается

формулой Ответы: 1). ∫ rda 2). ∫ rda 3). ∫

Lrda 4). rda

L∫ 5). ∫ ⋅

Lrdna

Номер: 4.4.А

Задача: Для того, чтобы векторное поле ar

было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы Ответы: 1). diva=0

r 2). rot a 0=

r 3). потенциал векторного поля равен 0

4). ( ) 0Ugradrot = 5). правильного ответа нет

Номер: 4.5.А Задача: Запишите ротор векторного поля a

r с помощью оператора Гамильтона.

rot a =r

Ответы: 1). u∇⋅

ur 2). a∇⋅

ur r 3). ∇⋅∇

ur ur 4). a∇×

ur r 5). правильного ответа нет

Номер: 4.6.А

Задача: Векторное поле ar

называется потенциальным, если a =r

Ответы: 1). grad u 2). div u 3). rot u 4). ( )grad div u 5). правильного ответа нет

62

Номер: 4.7.А Задача: Средняя плотность циркуляции по замкнутому контуру L , являющимся границей поверхности σ , с площадью δ равна

Ответы: 1). δ

∫ Lda 2).

δ

∫

→

LML

Ldalim 3). adL∫

r

4). L Mlim adL→

∫r

5). правильного ответа нет

Номер: 4.8.А

Задача: Плотность циркуляции по замкнутому контуру L , являющимся границей поверхностиσ , с площадью δ , в точке M равна

Ответы: 1). δ

∫ Lda 2).

δ∫

→

Ldalim

ML 3). adL∫

r

4). L Mlim adL→

∫r


Номер: 4.9.А

Задача: Физическим смыслом циркуляции силового поля arявляется

Ответы: 1). перемещение точки по замкнутому контуру L 2). поле, в котором работа не равна нулю 3). перемещение точки по контуру L 4). работа поля вдоль заданного контура 5). правильного ответа нет

Номер: 4.10.А Задача: Плотность циркуляции зависит от: Ответы: 1). поверхности 2). контура L 3). выбранной точки 4). вектора нормали к поверхности 5). площади фигуры, ограниченной контуром

Номер: 4.11.А Задача: Физический смысл ротора – Ответы: 1). поле скоростей твердого тела 2). удвоенная угловая скорость твердого тела 3). вектор, в направлении которого плотность циркуляции в данной точке является наибольшей 4). скорость твердого тела 5). правильного ответа нет

Номер: 4.12.А Задача: Потенциальная функция u(x, y,z) векторного поля { }a= P,Q,R

r равна

Ответы: 1). 0M M

P Q Rdx dy dz Ccos cos cos

+ + +α β γ∫

63

2). 0M M

P cos dx Q cos dy R cos dz Cα + β + γ +∫

3). 0M M

Pdx Qdy Rdz+ +∫ 4). 0M M

Pdx Qdy Rdz C+ + +∫


Номер: 4.13.А Задача: Циркуляция векторного поля { }a= P,Q,R

r, с нормалью

{ }n cos ,cos ,cosα β γr

к поверхности S по формуле Стокса равна

Ответы: 1). S

R Q P R Q Pcos cos cos dSy z z x x y

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− α + − β+ − γ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫∫

2). S

R Q P R Q Pcos cos cos dSy z z x x y

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ α + + β+ + γ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫∫

3). S

P Q Q R R Pcos cos cos dSy z z x x y

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ α + + β+ + γ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫∫

4). S

P Q Q R R Pcos cos cos dSy z z x x y

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− α + − β+ − γ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫∫


Номер: 4.14.А Задача: Циркуляция векторного поля { }a= P,Q

r вдоль замкнутой кривой L

задается интегралом: Ответы: 1). ∫ +−

LdyQdxP 2). ∫ −

LdyQdxP 3). ∫ +

LdyQdxP

4). ∫ +L

dyPdxQ 5). правильного ответа нет

Номер: 4.15.А

Задача: Дано векторное поле { }a= P,Q,Rr

и скалярная функция ( )x, y,zϕ .

Вычислить ( )rot aϕ =r

Ответы: 1). rota a rotϕ⋅ + ⋅ ϕr r

2). [ ]agradarot rr⋅ϕ+ϕ

3). rotaϕ⋅r

4). a grad⋅ ϕr


Номер: 4.16.А Задача: Ротор от постоянного вектора c

r равен

Ответы: 1). 1 2). 1− 3). 0 4). не существует 5). правильного ответа нет

64

Номер: 4.17.А Задача: Произведение adr

r r в формуле вычисления циркуляции есть

Ответ: 1). векторное 2). двойное векторное 3). скалярное 4). скаляра на число 5). правильного ответа нет

Номер: 4.18.А Задача: Вектор dr

r в формуле вычисления циркуляции направлен

Ответы: 1). по касательной к кривой 2). по нормали к кривой 3). под углом к кривой 4). произвольным образом 5). правильного ответа нет

Номер: 4.19.А Задача: Средняя плотность циркуляции по замкнутому контуру есть величина Ответ: 1). векторная 2). скалярная 3). смешанная 4). не определяемая 5). правильного ответа нет

Номер: 4.20.А Задача: Плотность циркуляции в точке M в направлении n равна Ответы: 1). arot 2). adiv 3). проекции ротора на это направление 4). agrad 5). нет правильного ответа

Номер: 4.21.В Задача: Установить потенциально ли поле

( ) ( ) kzy3cosjzy3cos3ix6a 2 ⋅++⋅++⋅= . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). ( )zy3sin2x2 3 ++

3). ( )zy3sinx2 3 ++ 4). ( ) Czy3sinx2 3 ++−

5). ( ) Czy3sinx2 3 +++

Номер: 4.22.В Задача: Установить потенциально ли поле ( ) ( ) ( ) kyxjzxizya ⋅++⋅++⋅+= . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). yz3xz3xy3 ++ 3). Cyz3xz3xy3 +++ 4). yzxzxy ++ 5). Cyzxzxy +++

Номер: 4.23.В Задача: Установить потенциально ли поле kyz2jzix5a 2 ⋅+⋅+⋅= . Если поле потенциально, то найти его потенциал

Ответы: 1). поле не потенциально 2). yz2x25 22 +

65

3). yzx25 22 + 4). Cyz2x

25 22 ++ 5). Cyzx

25 22 ++

Номер: 4.24.В

Задача: Установить потенциально ли поле ( ) ( ) ( ) kz3xyjz1xy2iz1ya 222 ⋅−−⋅−+⋅−= . Если поле потенциально, то

найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). 322 zxzyxy +−

3). 322 zxzy2xy +− 4). Czxzyxy 322 ++−

5). Czxzy2xy 322 ++−


( ) ( ) ( ) kyxjy2zix2za ⋅++⋅−+⋅−= . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). zyyzxx 22 +−+−

3). Czyyzxx 22 ++−+− 4). zy2y2zx2x2 22 +−+−

5). Czy2y2zx2x2 22 ++−+−


( ) ( ) k1yz2zxy3jzxyz2iyza 222323 ⋅+++⋅++⋅= . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). zyz2zxy3 232 ++

3). Czyz2zxy3 232 +++ 4). zyzzxy 232 ++

5). Czyzzxy 232 +++

Номер: 4.27.В Задача: Установить потенциально ли поле ( ) kxyz2jxzi1yza 22 ⋅+⋅+⋅−= . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). xxyz3 2 − 3). Cxxyz3 2 +−

4). xxyz2 − 5). Cxxyz2 +−

66


( ) ( ) ( ) ky21jz2x3ix2xy6a 2 ⋅−+⋅−+⋅−= . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). zyz4xyx6 22 +−−

3). Czyz4xyx6 22 ++−− 4). Czzy2xyx3 22 ++−−

5). zzy2xyx3 22 +−−

Номер: 4.29.В Задача: Установить потенциально ли поле kzsinjytgixcosa ⋅+⋅+⋅= . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). zcosycoslnxsin ++ 3). Czcosycoslnxsin +−− 4). zcosycoslnxsin +− 5). Czcosycoslnxsin +−+


( ) ( ) kz2xyjxziyzx2a ⋅++⋅+⋅+= . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). Czxyzx 22 +++

3). 22 zxyzx ++ 4). Czxyz3x 22 +++ 5). 22 zxyz3x ++


( ) ( ) ( ) kzxjyxizyx3a 2 ⋅−+⋅++⋅++= . Если поле потенциально, то найти его потенциал

Ответы: 1). поле не потенциально 2). C2

z2

yxzxyx22

3 +−+++

3). 2

z2

yxzxyx22

3 −+++ 4). C2

z2

yxz2xy2x22

3 +−+++

5). 2

z2

yxz2xy2x22

3 −+++

Номер: 4.32.В

Задача: Установить потенциально ли поле kxyjxziyza ⋅+⋅+⋅= . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). xyz 3). Cxyz + 4). xyz3 5). Cxyz3 +

67


( ) ( ) ( ) kzsinxysinjycoszxcosixsinyzcosa ⋅−+⋅++⋅−= . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). ( )zcosxysinzxcosy3 ⋅+⋅+⋅ 3). ( )Czcosxysinzxcosy3 +⋅+⋅+⋅ 4). Czcosxysinzxcosy +⋅+⋅+⋅ 5). zcosxysinzxcosy ⋅+⋅+⋅


( ) ( ) kzx2zcosyxjzsinxizzsinxy2a 222 ⋅++⋅+⋅+= . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). Cxz2zsinyx3 22 ++

3). Cxzzsinyx 22 ++ 4). xz2zsinyx3 22 +

5). xzzsinyx 22 +


( ) ( ) ( ) kyxjyz2xiyza 2 ⋅++⋅++⋅+= . Если поле потенциально, то найти его потенциал Ответы: 1). поле не потенциально 2). 2zyxyxz ++

3). Czy2xy2xz2 2 +++ 4). 2zy2xy2xz2 ++

5). Czyxyxz 2 +++

Номер: 4.36.В Задача: Вычислить ротор векторного поля kxzjyizxa 222 ⋅−⋅+⋅=

Ответы: 1). 0 2). ( ) jzx 22 ⋅+− 3). ( ) jxz 22 ⋅+

4). ( ) jzx 22 ⋅− 5). ( ) jxz 22 ⋅−

Номер: 4.37.В Задача: Вычислить ротор векторного поля

( ) ( ) kzyjxy3izxa 2222 ⋅++⋅−⋅−= Ответы: 1). 0 2). ky3jz2iy2 ⋅−⋅−⋅ 3). ky3jz2iy2 ⋅−⋅+⋅ 4). ky3jz2iy2 ⋅+⋅+⋅ 5). ky3jz2iy2 ⋅+⋅−⋅

68

Номер: 4.38.В Задача: Вычислить ротор векторного поля ( ) kzjyizya 2 ⋅−⋅+⋅−= Ответы: 1). kj − 2). 0 3). kj + 4). kj +− 5). kj −−

Номер: 4.39.В Задача: Вычислить ротор векторного поля kxz2jxy2iyx3a 22 ⋅−⋅−⋅=

Ответы: 1). 0 2). ( ) ky2x3jz2 2 ⋅++⋅

3). ( ) ky2x3jz2 2 ⋅−+⋅− 4). ( ) ky2x3jz2 2 ⋅−+⋅

5). ( ) ky2x3jz2 2 ⋅++⋅−

Номер: 4.40.В Задача: Вычислить ротор векторного поля kzjyzixya 22 ⋅+⋅−⋅= Ответы: 1). kxy2iy ⋅−⋅ 2). kxy2iy ⋅+⋅ 3). kxy2iy ⋅−⋅− 4). kxy2iy ⋅+⋅− 5). 0

Номер: 4.41.В Задача: Вычислить ротор векторного поля kxyjxyziyz3a ⋅+⋅+⋅= Ответы: 1). 0 2). ( ) ( ) kz3yzjy2ixyx ⋅−+⋅−⋅− 3). ( ) ( ) kz3yzjy2ixyx ⋅−+⋅+⋅− 4). ( ) ( ) kyzz3jy2ixyx ⋅−+⋅+⋅− 5). ( ) ( ) kz3yzjy2ixyx ⋅−−⋅+⋅−

Номер: 4.42.В Задача: Вычислить ротор векторного поля kzyjyxixa ⋅+⋅+⋅= Ответы: 1). kyjxiz ⋅+⋅+⋅ 2). kyjxiz ⋅+⋅−⋅ 3). 0 4). kyjxiz ⋅−⋅+⋅ 5). kyjxiz ⋅−⋅−⋅

Номер: 4.43.В Задача: Вычислить ротор векторного поля kzxjyixa 222 ⋅+⋅−⋅= Ответы: 1). jz ⋅ 2). 0 3). jz ⋅− 4). jxz2 ⋅ 5). jxz2 ⋅−

Номер: 4.44.В Задача: Вычислить ротор векторного поля kxjzixya ⋅+⋅−⋅= Ответы: 1). kxji ⋅−+ 2). kxji ⋅+− 3). kxji ⋅−− 4). kxji ⋅++ 5). 0

69

Номер: 4.45.В Задача: Вычислить ротор векторного поля kxyzjzxyiyzxa 222 ⋅+⋅+⋅=

Ответы: 1). ( ) ( ) ( ) kxyzjxzyiyzx 222222 ⋅−+⋅−+⋅−

2). ( ) ( ) ( ) kxyzjzxyiyzx 222222 ⋅−+⋅−+⋅−

3). ( ) ( ) ( ) kxyzjzxyizyx 222222 ⋅−+⋅−+⋅−

4). ( ) ( ) ( ) kyxzjzxyiyzx 222222 ⋅−+⋅−+⋅− 5). 0


( ) ( ) ( ) kyxjzxizya 222222 ⋅++⋅++⋅+= Ответы: 1). ( ) ( ) ( )[ ]kyxjzxizy2 ⋅−+⋅−+⋅−⋅ 2). 0 3). ( ) ( ) ( )[ ]kyxjxzizy2 ⋅−+⋅−+⋅−⋅ 4). ( ) ( ) ( ) kyxjzxizy ⋅−+⋅−+⋅− 5). ( ) ( ) ( ) kyxjxzizy ⋅−+⋅−+⋅−

Номер: 4.47.В

Задача: Вычислить ротор векторного поля ( ) ( ) kyjz2yxiy3x2za ⋅+⋅−++⋅−+=

Ответы: 1). k4ji3 ⋅++⋅ 2). k4ji3 ⋅+−⋅ 3). 0 4). k2ji ⋅−−− 5). k2ji ⋅−+−


( ) kyz2zxy3jxyz2izy2a 22332 ⋅++⋅+⋅=

Ответы: 1). 322 yz2jzy3iz2 −⋅−⋅ 2). 322 yz2jzy3iz2 +⋅−⋅

3). 322 yz2jzy3iz2 −⋅+⋅ 4). 322 yz2jzy3iz2 +⋅+⋅ 5). 0


( )( ) ( )( ) jyxsinxyx3iyxsinxyxya 222223 ⋅++⋅+=

Ответы: 1). ( ) ( )( ) kyxcosx4yxsinx3xy9 2322 ⋅++ 2). 0

3). ( )( ) kyxsinxxy3 22 ⋅+ 4). ( )( ) kyxsinxxy3 22 ⋅+−

5). ( )( ) kyxsinxxy3 22 ⋅−

70

Номер: 4.50.В Задача: Вычислить ротор векторного поля ( ) ( ) kzyzjxyixya ⋅−+⋅+−⋅= Ответы: 1). ( ) ky1iz ⋅++⋅ 2). ( ) ky1iz ⋅+−⋅ 3). ( ) ky1iz ⋅++⋅− 4). ( ) ky1iz ⋅+−⋅− 5). 0

Номер: 4.51.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=(x+y)i+(y+z) j+(z+x)k

r r r r вдоль

периметра треугольника с вершинами A(2,0,0), B(0,0,-3) , C(0,1,0) . Обход положительный. Ответы: 1). 0 2). 7/2 3). 7 4). – 7/2 5). – 7

Номер: 4.52.С Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=xyi+yz j+zk

r r r r вдоль периметра

треугольника с вершинами A(5,0,0), B(0,0,1) , C(0,-4,0) . Обход положительный. Ответы: 1). 14− 2). 14 3). 0 4). 7− 5). 7

Номер: 4.53.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=xi+(y - 2z) j+(2x-y+2z)k

r r r r вдоль

периметра треугольника с вершинами A(2,0,0), B(0,1,0) , C(0,0,1) . Обход положительный. Ответы: 1). 0 2). 3/2 3). – 3/2 4). 3 5). 3−

Номер: 4.54.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля ( ) ( )a=3xi+ y+z j+ x - z k

r r r r вдоль

периметра треугольника с вершинами A(3,0,0), B(0,1,0) , C(0,0,3) . Обход положительный. Ответы: 1). 6− 2). 6 3). 0 4). 12 5). 12−

Номер: 4.55.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля ( ) ( ) ( )a= y+2z i+ x+2z j+ x - 2y k

r r r r

вдоль периметра треугольника с вершинами A(1,0,0), B(0,2,0) , C(0,0,2) . Обход положительный. Ответы: 1). 7/2 2). – 7/2 3). 7 4). – 7 5). 0

Номер: 4.56.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля ( ) ( )2a=6x i+3cos 3y+z j+cos 3y+z k

r r r r

вдоль периметра треугольника с вершинами A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) . Обход положительный. Ответы: 1). 3/2 2). – 3/2 3). 3 4). 0 5). 3−

71

Номер: 4.57.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля ( ) ( )a= y - z+x i-2y j+ x+2z k

r r r r вдоль

периметра треугольника с вершинами A(2,0,0), B(0,1,0), C(0,0,2) . Обход положительный. Ответы: 1). 0 2). 5 3). – 5/2 4). 5/2 5). 5−

Номер: 4.58.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля ( ) ( )a= z+x i+2y j+ x+y - z k

r r r r вдоль

периметра треугольника с вершинами A(2,0,0), B(0,-1,0), C(0,0,2) . Обход положительный. Ответы: 1). 0 2). 1− 3). 1 4). 2 5). 2−

Номер: 4.59.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля ( ) ( ) ( )a= y+2z i x+2z j+ x-2y k+

r r r r

вдоль периметра треугольника с вершинами A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3) . Обход положительный. Ответы: 1). 21− 2). – 21/2 3). 0 4). 21/2 5). 21

Номер: 4.60.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля ( ) ( )a= 2z+x i+ y - 3z j+zk

r r r r вдоль

периметра треугольника с вершинами A( 5,0,0), B(0,-3,0), C(0,0,-1)− . Обход положительный. Ответы: 1). 19/2 2). 19/4 3). – 19/2 4). – 19/4 5). 0

Номер: 4.61.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля ( ) ( )a=3xi+ y+z j+ x-z k

r r r r вдоль

периметра треугольника с вершинами A( 5,0,0), B(0,2,0), C(0,0,4)− . Обход положительный. Ответы: 1). 0 2). 6− 3). 6 4). 12 5). 12−

Номер: 4.62.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля ( ) ( ) ( )a= 2z - x i+ x - y j+ 3x+z k

r r r r

вдоль периметра треугольника с вершинами 1 1 1A( ,0,0), B(0, ,0), C(0,0, )2 3 4

.

Обход положительный. Ответы: 1). 7/48 2). – 1/48 3). 1/48 4). – 1/24 5). – 7/48

72

Номер: 4.63.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля ( ) ( )a= z+x i+z j+ 2x-y k

r r r r вдоль

периметра треугольника с вершинами A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6) . Обход положительный. Ответы: 1). 24− 2). 12− 3). 0 4). 12 5). 24

Номер: 4.64.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля ( ) ( )a= 2y-z i+ x y j+xk+

r r r r вдоль

периметра треугольника с вершинами A(4,0,0), B(0,2,0), C(0,0,2) . Обход положительный. Ответы: 1). 12− 2). 6− 3). 0 4). 6 5). 12

Номер: 4.65.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля ( ) ( ) ( )a= z+y i+ x+z j+ x+y k

r r r r вдоль

контура Γ : 2 2x=asin t, y=asin2t,z=acos t , в направлении возрастания параметра t .

Ответы: 1). 0 2). a 3). a − 4). a2

− 5). a2

−

Номер: 4.66.C

Задача: Найти циркуляцию векторного поля 2 2 2a=x i+y j+z kr r r r

вдоль контура Γ : x=cos t, y=sin t, z=1, в направлении возрастания параметра t . Ответы: 1). π 2). 0 3). 2π 4). 2π− 5). 4π

Номер: 4.67.C

Задача: Найти циркуляцию векторного поля 2 2 2 2y xa=- i+ j

x x+ +

r r r

y y вдоль

контура Γ : x=cost, y=sint,z=h , в направлении возрастания параметра t . Ответы: 1). 2π 2). 2π− 3). 0 4). π 5). -π

Номер: 4.68.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=-xi+x j+yk

r r r r вдоль контура Γ :

x=5cos t, y=4sin t, z=2, в направлении возрастания параметра t . Ответы: 1). 0 2). -5π 3). 5π 4). 10π− 5). 10π

Номер: 4.69.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля 2 3a=x y i+ j+zk

r r r r вдоль замкнутого

контура Γ , получаемого в результате пересечения поверхностей 2 2 2x +y z =0− и z 2= , в направлении возрастания параметра t .

73

Ответы: 1). 4π 2). 4π− 3). -8π 4). 8π 5). 0

Номер: 4.70.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля 2a=xi-z j+y k


контура Γ : x=5, y=5cos t, z=sin t , в направлении возрастания параметра t .

Ответы: 1). 3 π2

− 2). 0 3). 3 π2

4). 3π− 5). 3π

Номер: 4.71.C

Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=-5yi 5x j+r r r

вдоль замкнутого контура Γ : x=2cos t, y=2sin t , в направлении возрастания параметра t . Ответы: 1). 0 2). 20π 3). 40π 4). 20π− 5). 40π−

Номер: 4.72.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=yi x j k− +


контура Γ : x=3cos t, y=3sin t, z=5, в направлении возрастания параметра t . Ответы: 1). 0 2). 18π 3). 18− π 4). 9π 5). 9π−

Номер: 4.73.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля a=3yi 4x j 5k− +


контура Γ : x=cos t, y=sin t, z=1, в направлении возрастания параметра t .

Ответы: 1). 7− π 2). 7π 3). 0 4). 7 π2

− 5). 7 π2

Номер: 4.74.C

Задача: Найти циркуляцию векторного поля { }a= 2x+2z+3y;x z;x y+ −r

вдоль замкнутого контура Γ : 2 2x=sin t, y=sin 2t, z=cos t , в направлении возрастания параметра t . Ответы: 1). −π 2). π 3). 0 4). 2π− 5). 2π

Номер: 4.75.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля ( ) ( )a= x+z i x y j xk+ − +

r r r r вдоль

замкнутого контура Γ : x=5cos t, y=3sin t, z=0 , в направлении возрастания параметра t .

Ответы: 1). 15− π 2). 15π 3). 0 4). 15 π2

− 5). 15 π2

74

Номер: 4.76.C Задача: Найти циркуляцию векторного поля 2 2a=x zi 2y x j 2xyzk− +

r r r r вдоль

замкнутого контура Γ : x=5cos t, y=2cos t, z=3sin t , в направлении возрастания параметра t .

Ответы: 1). 3754

− π 2). 3752

π 3). 0 4). 375 π

2− 5).

375 π4

Номер: 4.77.C

Задача: Найти циркуляцию векторного поля 2a=x i 2yx j zk− +r r r r

вдоль

замкнутого контура Γ : 1x=8, y= sin t, z=3sin t2

, в направлении возрастания

параметра t .


− π 2). 52π 3). 5π 4). 0 5). 5π−

Номер: 4.78.C

Задача: Найти циркуляцию векторного поля ( )a=-zi 1 z j xyk+ − +r r r r

вдоль замкнутого контура Γ : x=5sin t, y=8,z=3cos t , в направлении возрастания параметра t .

Ответы: 1). 15− π 2). 15π 3). 0 4). 15 π2

− 5). 15 π2

Номер: 4.79.C

Задача: Найти циркуляцию векторного поля ( ) ( ) ( )a= 1 yz i 1 zx j 2 x y k− + + + +r r r r

вдоль замкнутого контура Γ : 1x=cos t, y=-2cos t, z= sin t4

, в направлении

возрастания параметра t .

Ответы: 1). −π 2). π 3). 0 4). π2

− 5). π2

Номер: 4.80.C

Задача: Найти циркуляцию векторного поля 2x y za= zi j k

y z y+ +

r r r r вдоль

замкнутого контура Γ : x=cos t, y=3sin t, z= 2cos t , в направлении возрастания параметра t .


− π 2). 83π 3). 0 4).

4 π3

− 5). 8- π3

Раздел 8. Элементы теории поля (задачник)

Documents

Transcript of Раздел 8. Элементы теории поля (задачник)