第第 88 章 有限字长效应章 有限字长效应 问题的提出问题的提出 截尾和舍入效应截尾和舍入效应 滤波器输入信号量化效应滤波器输入信号量化效应 滤波器系数量化效应滤波器系数量化效应 数字滤波器的定点运算误差数字滤波器的定点运算误差

问题的提出问题的提出

(1) (1) 输入信号经输入信号经 A/DA/D 变换而产生的量化误差。变换而产生的量化误差。(2) (2) 滤波器的系数量化误差。滤波器的系数量化误差。(3) (3) 运算误差。运算误差。

数字系统，存储单元的容量有限。

有限字长的影响，主要表现在以下三方面

截尾和舍入效应截尾和舍入效应

定点二进制数的表示定点二进制数的表示 量化及量化误差量化及量化误差

一、一、定点二进制数的表示定点二进制数的表示

定点二进制数 x 有原码、反码和补码三种表示形式

01.11

10.0][

21

21

xXXXx

xXXXxx

b

b

原

01.11

10.0][

21

21

xXXXx

xXXXxx

b

b

反

012

10][

xx

xxx 补

若 x=0.X1 X2 Xb ，则其原码、反码和补码分别定义为

二、量化及量化误差二、量化及量化误差

理论上十进制数可用无穷多为二进制数表示

1

0 2n

nnx

符号位 有效数字位

实际中，只能用有限位近似表示 (b+1) 位 ) ，这种过程称为量化。

量化方式量化方式

q q

2q

2q

3q 4q

3q

q

2q

3q

4q

q 2q 3q 4qx

Q[x]

q q

2q

2q

3q 4q

3q

q

2q

3q

4q

q 2q 3q 4qx

Q[x]

截尾量化 舍入量化

b

n

nnxQ

10 2][

截掉 b 位后数据 视 b+1 位后数据的大小决定 b 位数据的值

量化误差量化误差

截尾误差 xxQET ][

舍入误差范围 22 qEq R

正数和补码负数截尾误差范围为0 TEq

原码负数和反码负数截尾误差范围为

qET 0

区别：舍入误差对称分布，截尾误差单极性分布。

bq 2

滤波器输入信号量化效应滤波器输入信号量化效应

问题的提出问题的提出 量化误差统计假设量化误差统计假设 信噪比和字长的关系信噪比和字长的关系

一、问题的提出一、问题的提出

模拟信号经过 A/D 转换为 b 位数字信号，即

][][][ˆ kekxkx

精确抽样值 量化误差

分析 A/D 转换器的量化效应目的在于选择合适的字长，以满足信噪比指标。

二、 e[k] 统计假设

1) e[k] 是平稳随机序列 2) e[k] 是白噪声，且 e[k1] 和 e[k2] 不相关 3) e[k] 和 x[k] 不相关4) e[k] 等概率分布

][ke

]}[{ keP

q1

2q 2q0

舍入量化误差的概率密度函数曲线

三、信噪比和字长的关系

信号 x[k] 的平均功率为 2x

输入信号的信噪比 SNR 为

dB)(10log1079.1002.610log10 22

2

xe

x bSNR

字长增加一位， SNR 增加 6db

12

][2

22 qkeEe 量化误差方差

滤波器系数量化效应滤波器系数量化效应

问题的提出问题的提出 IIRIIR 系数量化效应系数量化效应 FIRFIR 系数量化效应系数量化效应

一、问题的提出一、问题的提出

N

rr

M

k

kk

N

k

kk

M

k

kk

zp

zb

za

zb

zA

zBzH

1

1

0

1

0

)1(1)(

)()(

因字长有限，滤波器系数 ak 、 bk 量化后将产生误差

1. 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。

2. 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。 严重时，使系统失去稳定。

设系统只有单极点，理想 DF 的系统函数可表示为

二、二、 IIRIIR 系数量化效应系数量化效应

{ak} 量化后的值 Nkaaa kkk ,1,ˆ

011

kk

N

k

kk zaza

N

kkk aa

1

1

)1(22}max{

b

k

k q

a

a

保持稳定性的 IIR DF 系数的最小字长

量化后极点位置

为了保持稳定，设极点在单位圆内接近 z=1

Nrppp rrr ,1,ˆ

kk

rN

kr a

a

pp

1

系统对系数量化的灵敏度

量化后极点

第 r 个极点对第 k 个系数变化的敏感度

位置误差

pr /ak 越大， ak 对 pr 的影响越大，反之亦然。

将系数量化误差所造成的零、极点位置误差作为对系数量化灵敏度的度量。

系统对系数量化的灵敏度系统对系数量化的灵敏度

N

rll

lr

kNr

N

rll

rlr

kr

pzr

k

k

r

pp

p

ppp

p

p

zDa

zD

a

p

r 11

11 )()1()(

)(

对级联或并联型，每个子系统最多只有两个共轭极点，故对系数量化影响较小。

极点彼此之间距离越远，极点位置灵敏度就越低极点彼此越密集，极点位置灵敏度就越高

三、 FIR 系数量化效应

系数量化只影响零点，不涉及稳定性问题，但会影响频率特性。

若要求频响误差为 E(ej) ，则所需字长为

)1(2)1(2

)1()(

bj N

qNeE

实际中，需要在估计字长的基础上加上 3~4 位

数字滤波器的定点运算误差数字滤波器的定点运算误差

IIR DFIIR DF 的极限环振荡的极限环振荡 IIR DFIIR DF 乘积量化误差的统计分析乘积量化误差的统计分析 FIR DFFIR DF 中乘积量化的影响中乘积量化的影响 溢出问题溢出问题

一、 IIR DF 的极限环振荡

][]1[][ kxkyky

设： y[1]=0

b=3, =1/2=0.100, x [k]=(7/8)[k] = 0.111

[k]

]}1[{][][ kyQkxky

由于字长有限， IIR DF 零输入下也有固定不变的输出，或输出在一定范围内出现震荡现象。

乘法运算采用舍入量化处理，相应的差分方程为

分析：

一阶一阶 IIR DFIIR DF输出输出

111.087]}1[{]0[]0[ yQxy

100.0]0111.0[]}0[{]1[

QyQy

010.0]010.0[]}1[{]2[

QyQy

001.0]001.0[]}2[{]3[

QyQy

81001.0]0001.0[]}3[{]4[

QyQy

},8

1,

8

1,

8

1,

8

2,

8

4,

8

7{][ˆ ky ][)

2

1(

8

7][ kuky k

极限环震荡 无限精度输出

产生极限环震荡的原因产生极限环震荡的原因

量化使下式成立

]1[]]1[[ kykyQ )0,0( 取取

即系统的差分方程变为

]1[][][ kykxky

极点从原来的单位圆内迁移到单位圆上，从而产生等幅序列形式的极限环震荡。

消除限环震荡方法消除限环震荡方法

1. 适当地增加字长

1

2]1[

)1(b

ky

死区

2. 在滤波器的输入端加入高频脉冲，使输出跳出死区，回到零。

在一定时，增加字长 b ，死区也减小。

二、二、 IIR DFIIR DF 乘积量化误差的统计分析乘积量化误差的统计分析

乘积的舍入用噪声源 e[k] 表示，对其做如下假设：

1) 各噪声源均为白噪声序列；

2) 各噪声源统计独立，互不相关；

3) 在量化噪声范围内，各噪声源都视为等概率密度分布。

直接直接 II 型结构乘积量化误差分析型结构乘积量化误差分析

x[k] b0

b1

b2

bM

a1

aN

a2

z 1

z 1

z 1

z 1

z 1

z 1

e0[k]

e1[k]

e2[k]

eM[k]

eM+1[k]

eM+2[k]

eM+N[k]

][ˆ ky

直接 I 型结构乘积量化误差单个噪声源模型

12

][2

220

qkeE i 单个噪声源方差

直接直接 II 型结构乘积量化误差分析型结构乘积量化误差分析

x[k] b0

b1

b2

bM

a1

aN

a2

z 1

z 1

z 1

z 1

z 1

z 1

e[k]

][ˆ ky

直接 I 型结构乘积量化误差联合噪声源模型

12

)1(][2

22 qNMkeEe 联合噪声方差

直接直接 II 型结构乘积量化误差分析型结构乘积量化误差分析

e[k] 通过系统的平均噪声功率

dzzzHzHj

qNM eeCv

112

2 )()(2

1

12)1(

e[k] 所通过系统的系统函数He(z)=1/A(z)

直接直接 IIII 型结构乘积量化误差分析型结构乘积量化误差分析

x[k]

aN

z 1

eM+N[k] eM[k]

z 1

z 1

][ˆ ky

a1

a2

eM+2[k]

eM+1[k]

b0

b1

b2

bM

e0[k]

e1[k]

e2[k]

直接 II 型结构乘积量化误差单个噪声源模型

直接直接 IIII 型结构乘积量化误差分析型结构乘积量化误差分析

x[k]b0

b1

b2

bM

a1

aN

a2

z 1

z 1

z 1

ea[k]

][ˆ ky

eb[k]

直接 II 型结构乘积量化误差联合噪声源模型

12

2)1(][

12

2 22

0

22

b

k

b

v MkhN

ea[k] 和 eb[k] 通过

系统的输出噪声方差

IIR DFIIR DF级联结构乘积量化误差分析级联结构乘积量化误差分析

01

11

21

11

21

x[k]

z 1

z 1

z 1

z 1

e1[k]

][ˆ ky0L

1L

2L

1L

2L

z 1

z 1

z 1

z 1

eL[k]

dzzzAzA

zHzH

j ii

ll

L

il

Ci

L

iv

11

1

12

1

2

)()(

)()(

2

1

IIR DFIIR DF并联结构乘积量化误差分析并联结构乘积量化误差分析

01

11

21

11

21x[k]

z 1

z 1

e1[k]

][ˆ ky

0L

1L

2L

1L

2L

z 1

z 1

z 1

z 1

eL[k]

22

1

2 ][khie

L

iv i

三、三、 FIR DFFIR DF 中乘积量化的影响中乘积量化的影响

乘积量化噪声的输出平均功率

12)1(][

12)1(

2

0

22

2 qNk

qN

kv

y[k]

z 1 z 1 z 1

h[0] h[1] h[2] h[N 1]x[k]

e0 e1 e2eN 1

四、溢出问题四、溢出问题

][][][ nkxnhkyn

][][ maxmaxnhxky

n

产生原因： x[k]的最大绝对值

n

nhx ][max 超出了表示范围，就会产生溢出。

避免溢出的方法 :

1. 适当增加字长

2. 将输入信号乘以小于 1 的比例因子 A ，使下式成立

1][max n

nhAx