µ «Õ¬ã ß¿ ¬ ã¡ « ¬æ è · 7.6...

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

¾ÔàÈÉ ¼ÙŒà¢ÕÂ¹ä´Œ¨Ñ´·ÓÇÕ´ÔâÍµÔÇà¹×éÍËÒÇÔªÒ¿�ÊÔ¡Ê� Á. 4-6 (à¾ÔèÁàµÔÁ) ÃÇÁ¶Ö§ÇÕ´ÔâÍà©ÅÂ¤ÓµÍº áÅÐÊÍ¹à·¤¹Ô¤¡ÒÃÇÔà¤ÃÒÐË� â̈ ·Â�¢ŒÍÊÍºà¢ŒÒÁËÒÇÔ·ÂÒÅÑÂ ¾.È. µ‹Ò§æ ãªŒ´Ù¤Çº¤Ù‹ä»¡Ñº¡ÒÃÈÖ¡ÉÒ µÓÃÒªØ´¿�ÊÔ¡Ê� Á. 4-6 áÅÐË¹Ñ§Ê×ÍªØ´µÕáµ¡¢ŒÍÊÍº¿�ÊÔ¡Ê�¢Í§¼ÙŒà¢ÕÂ¹ä Œ́ÍÂ‹Ò§´ÕàÂÕèÂÁ

µÔ´µÒÁ´ÙÇÕ´ÔâÍä´Œ ¿ÃÕ! ·Õè

¤Œ¹ËÒª ×èÍ PHONGSAK CHINNABOON áÅŒÇ¡´µÔ´µÒÁäÇŒ

¤Œ¹ËÒª ×èÍ ¾§É�ÈÑ¡´Ôì ªÔ¹¹ÒºØÞ áÅŒÇ¡´äÅ¤� äÇŒÃÑº¢‹ÒÇÇÕ´ÔâÍ

www.facebook.com/phongsakchin

ËÃ×Í·ÕèàÇçºä«µ� www.wphat.com

Chapter 5.indd 1 22/5/2558 15:06:21

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

ฟิสิกส์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4-6

พงษ์ศักดิ ์ ชินนาบุญ

ฉบับพิมพ์ที่ 1 พิมพ์ครั้งแรก เมษายน 2555

พิมพ์ซ�้าครั้งที่ 4 มิถุนายน 2558

สงวนสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2537

ห้ามท�าซ�้า ดัดแปลง คัดลอก ลอกเลียน หรือน�าไปเผยแพร่ในส่ือทุกประเภท ไม่ว่าส่วนใดส่วนหนึ่ง

ของหนังสือเล่มนี้ ตลอดจนห้ามมิให้สแกนหนังสือหรือคัดลอกส่วนใดส่วนหนึ่งเพื่อสร้างฐานข้อมูล

อิเล็กทรอนิกส์ นอกจากจะได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรจากบริษัทวิทยพัฒน์ จ�ากัด

จัดท�ารูปเล่ม จัดพิมพ์ และจ�าหน่ายโดย

บริษัทวิทยพัฒน์ จ�ากัด

52/103-104 บางกะปิสแควร์ ถนนรามค�าแหง

เขตบางกะปิ กรุงเทพฯ 10240

โทรศัพท์ 02 3749915 (หลายคู่สาย)

โทรสาร 02 3746495

ที่อยู่อีเมล [email protected]

พิมพ์ที่ บริษัทออฟเซ็ทพลัส จ�ากัด

95/39 หมู่ 8 ซอยสุขสวัสดิ์ 84 ถนนสุขสวัสดิ์ ต�าบลในคลองบางปลากด

อ�าเภอพระสมุทรเจดีย์ จังหวัดสมุทรปราการ 10290

ราคา 165 บาท

ข้อมูลทางบรรณานุกรมของหอสมุดแห่งชาติ

พงษ์ศักดิ์ ชินนาบุญ.

ฟิสิกส์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4-6.--กรุงเทพฯ: วิทยพัฒน์, 2558.

480 หน้า.

1. ฟิสิกส์--แบบเรียน--การศึกษาขั้นมัธยม. 2. ฟิสิกส์--การศึกษาขั้นมัธยม. I. ชื่อเรื่อง.

530.076

ISBN 978-616-7136-38-7

ท่านที่ต้องการสั่งซื้อหนังสือเล่มนี้ กรุณาสอบถามหรือสั่งซื้อได้ที่บริษัทวิทยพัฒน์ จ�ากัด โทร. 02 3749915 หรือตามที่อยู่ด้านบน

หากท่านมีข้อติชม หรือค�าแนะน�าเกี่ยวกับหนังสือหรือบริการของบริษัทฯ กรุณาส่งจดหมายถึงผู้จัดการฝ่ายลูกค้าสัมพันธ์ตามที่อยู่ด้านบน หรือส่งอีเมลที่ [email protected] จักเป็นพระคุณยิ่ง

Chapter 5.indd 2 21/5/2558 16:40:20

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

นเป็นจ�ำนวนมำกรวมไปถึงนักเรียนที่ต้องศึกษำวิทยำศำสตร์โดยเฉพำะฟิสิกส์ มักรู้สึกว่ำ

ฟิสิกส์ยำกเกินกว่ำที่จะเข้ำถึงได้ แต่ขอให้หยุดคิดสักนิดหนึ่งก่อน จำกนั้นมองไปรอบๆตัว

จะพบว่ำ วิทยำศำสตร์และผลของวิทยำศำสตร์คือเทคโนโลยีปรำกฏอยู่ทุกหนทุกแห่ง

เรำทุกคนต้องมีโอกำสได้สัมผัสวิทยำศำสตร์และเทคโนโลยีอย่ำงแน่นอน อำจจะเป็นกำรใช้โทรศัพท์มือถือ

คอมพิวเตอร์ แท็บเล็ต อินเทอร์เน็ต รถยนต์ เครื่องบิน และอื่นๆอีกมำกมำยนับไม่ถ้วน สิ่งเหล่ำนี้ชี้ให้เห็นว่ำ

มผีูค้นทัว่โลกทีเ่ข้ำใจวทิยำศำสตร์และสำมำรถประยกุต์ได้เป็นอย่ำงด ี ดงันัน้จงึไม่ใช่เรือ่งแปลกหำกนกัเรยีนจะเป็น

อีกคนหนึ่งที่เขำ้ใจฟิสิกส์ แต่ถ้ำยังไม่เป็นเช่นนั้นจะต้องมีสำเหตุบำงอย่ำง แล้วนั่นคืออะไร

ฟิสิกส์และวิทยำศำสตร์เป็นผลจำกควำมมำนะพยำยำมของมนุษย์ในกำรค้นหำควำมเป็นจริงทำง

ธรรมชำติอยำ่งมีเหตุมีผล ฟิสิกส์จึงเป็นศำสตร์แห่งกำรคิดไม่ใช่กำรท่องจ�ำ ซึ่งสอดคล้องกับควำมสัมพันธ์พื้นฐำน

ในฟิสิกส์ที่มีจ�ำนวนน้อยแต่สำมำรถประยุกต์กับปรำกฏกำรณ์ต่ำงๆได้มำกมำย สำเหตุส�ำคัญจึงอยู่ที่นักเรียน

ไม่ได้เริ่มจำกกำรท�ำควำมเขำ้ใจฟิสิกส์ แต่กลับพยำยำมเริ่มแก้โจทย์ปัญหำฟิสิกส์ด้วยกำรท่องจ�ำวิธีหำค�ำตอบหรือ

สูตรต่ำงๆที่สร้ำงข้ึนเป็นกรณีเฉพำะ ซึ่งไม่ใช่แนวทำงที่ดีและยังได้รับกำรพิสูจน์แล้วว่ำล้มเหลวมำกกว่ำประสบ

ควำมส�ำเร็จ ผู้เขียนจึงได้เขียนคู่มือฟิสิกส์ชุด อ๋อ! มันอย่างนี้นี่เอง เพื่อสร้ำงควำมเข้ำใจในฟิสิกส์เป็นอันดับแรก

ซึ่งจะช่วยน�ำทำงผู้อ่ำนทุกทำ่นเข้ำสู่โลกของวิทยำศำสตร์และฟิสิกส์ได้อย่ำงแท้จริง จำกนั้นผลกำรเรียนฟิสิกส์ที่ดี

จะอยู่ไม่ไกลเกินเอื้อม

คู่มือ ฟิสิกส์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4-6 เล่มนี้เป็นคู่มือที่ต่อจำกเล่ม 1 ซึ่งอธิบำยเนื้อหำ

กลศำสตร์ที่ต่อเนื่องกัน นักเรียนที่ต้องกำรสร้ำงควำมเข้ำใจอย่ำงครบถ้วนจึงควรศึกษำคู่มือ ฟิสิกส์ เล่ม 1 ชั้น

มัธยมศึกษำปีที่ 4-6 ด้วย

ผู้เขียนหวังเป็นอย่ำงยิ่งว่ำคู่มือเล่มนี้จะสร้ำงแรงบันดำลใจและกระตุ้นให้นักเรียนรักกำรศึกษำฟิสิกส์

ซึ่งจะท�ำให้ในอนำคตนักเรียนสำมำรถก้ำวไปพร้อมกับกำรหมุนและควำมเจริญกำ้วหน้ำของโลกได้

พงษ์ศักดิ์ ชินนาบุญ

ค�ำน�ำ

Chapter 5.indd 3 25/5/2558 14:53:19

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

สำรบัญ

บทที่ 5 งำนและพลังงำน 8

5.1 งาน 85.1.1 งำนจำกแรงคงตัว 9

5.1.2 กำรหำงำนจำกพื้นที่ใต้กรำฟ 33

5.2 ทฤษฎีบทงานและพลังงานจลน์ 40

5.3 แรงอนุรักษ์และพลังงานศักย์ 515.3.1 พลังงำนศักย์โน้มถ่วง 53

5.3.2 พลังงำนศักย์ยืดหยุ่น 58

5.4 กฎการอนุรักษ์พลังงาน 62

5.5 การประยุกต์กฎการอนุรักษ์พลังงาน 665.5.1 กำรเคลื่อนที่ภำยใต้แรงโน้มถ่วง 67

5.5.2 กำรเคลื่อนที่แบบวงกลมในระนำบดิ่ง 79

5.5.3 กำรเคลื่อนที่แบบฮำร์มอนิกอยำ่งง่ำย 90

5.5.4 กำรเคลื่อนที่รูปแบบอื่นๆที่งำนจำกแรงไม่อนุรักษ์

เท่ำกับศูนย์ 100

5.5.5 กำรเคลื่อนที่ที่มีงำนจำกแรงไม่อนุรักษ์ 110

5.6 กำาลัง 116

แบบฝึกหัดเพิ่มเติม 123

โจทย์เสริมประสบการณ์เพิ่มเติม 139

บทที่ 6 โมเมนตัมและกำรชน 141

6.1 การลบเวกเตอร์ 142

6.2 โมเมนตัมและกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน

ในรูปโมเมนตัม 144

6.3 ทฤษฎีบทการดลและโมเมนตัม 149

6.4 กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม 167

6.5 กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมกับการชน 1906.5.1 กำรชนทั่วไป 194

Chapter 5 D3.indd 4 9/3/2555 11:07:01

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

6.5.2 กำรชนแบบยืดหยุ่น 198

6.5.3 กำรชนแบบไม่ยืดหยุ่น 209

6.5.4 กำรชนรวมกับกำรเคลื่อนที่รูปแบบอื่นๆ 214



บทที่ 7 กำรเคลื่อนที่แบบหมุน 236

7.1 ผลคูณเชิงเวกเตอร ์ 237

7.2 ศูนย์กลางมวล 239

7.3 ปริมาณต่างๆที่เกี่ยวข้องกับการหมุน 2427.3.1 ต�ำแหน่งเชิงมุม 242

7.3.2 กำรกระจัดเชิงมุม 243

7.3.3 ควำมเร็วเชิงมุม 244

7.3.4 ควำมเร่งเชิงมุม 245

7.3.5 ควำมสัมพันธ์ระหว่ำงปริมำณเชิงมุมกับปริมำณเชิงเส้น 246

7.4 การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งที่มีความเร่งเชิงมุมคงตัว

รอบแกนหมุนตรึงแน่น 254

7.5 ทอร์กและโมเมนต์ความเฉื่อยกับการเคลื่อนที่แบบหมุน 2617.5.1 ทอร์ก 261

7.5.2 กฎกำรเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตันส�ำหรับกำรหมุน

ของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนหมุนตรึงแน่น 267

7.5.3 กำรค�ำนวณโมเมนต์ควำมเฉื่อย 270

7.5.4 ศูนย์ถ่วง 273

7.5.5 โจทย์ปัญหำกำรหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

รอบแกนหมุนตรึงแน่น 275

7.6 งานและพลังงานในการหมุน 284

7.7 โมเมนตัมเชิงมุมและการอนุรักษ์ 294

7.8 การเคลื่อนที่ทั้งแบบเลื่อนที่และแบบหมุน 301



Chapter 5 D3.indd 5 9/3/2555 11:07:01

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

บทที่ 8 สภำพสมดุลและสภำพยืดหยุ่น 320

8.1 สภาพสมดุล 320

8.2 โจทย์ปัญหาสภาพสมดุล 3228.2.1 สมดุลของอนุภำคและสมดุลต่อกำรเลื่อนที่ 323

8.2.2 สมดุลบนพื้นเอียง 330

8.2.3 สมดุลของคำน 337

8.2.4 สมดุลของวัตถุกลม 344

8.2.5 สมดุลของแท่งพิงหรือพำดก�ำแพง 352

8.2.6 สมดุลที่มีบำนพับ 358

8.2.7 กำรล้มของวัตถุ 362

8.2.8 สมดุลของแรง 3 แรง 370

8.3 เสถียรภาพของสมดุล 381

8.4 เครื่องกล 3818.4.1 คำน 385

8.4.2 รอก 387

8.4.3 ล้อกับเพลำ 391

8.4.4 พื้นเอียง 393

8.4.5 สกรู 395

8.4.6 ลิ่ม 397

8.5 สภาพยืดหยุ่น 398



เฉลยปัญหำท้ำยบทของแบบเรียน สสวท. 421

บรรณำนุกรม 474

Chapter 5 D3.indd 6 9/3/2555 11:07:01

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

รถไฟเหาะเป็นเครื่องเล่นท่ีสร้างความสนุกสนานระคนไปกับความหวาดเสียวจากการกลัวตกจากรถ

ที่ทั้งหมุนควงและกลับหัวตลอดเวลา มีเด็กและผู้ใหญ่ทั่วโลกนับเป็นล้านๆคนต่างเคยสัมผัสกับความตื่นเต้นนี้

ด้วยตัวเองแล้ว

ในตอนเดก็หากไม่ใช่เพราะว่าไปเล่นเครือ่งเล่นชนดิอืน่ก่อนทีท่�าให้หวาดเสยีวมากจนกลายเป็นหวาดกลวั

แล้ว ในตอนนั้นเราหลายคนคงได้เล่นรถไฟเหาะแทนที่จะตัดสินใจเข้าบ้านผีสิง

ในขณะนี้เชื่อว่ายังมีน้องๆอีกเป็นจ�านวนมากที่ไม่มีโอกาสได้สัมผัสกับความสนุกเช่นนั้น แต่ไม่เป็นไร

เพราะเมื่อได้ศึกษาฟิสิกส์โดยเฉพาะพลังงานซึ่งเป็นหลักการที่ส�าคัญที่สุดด้านหนึ่งในโลกของวิทยาศาสตร์แล้ว

เราก็จะสนุกไปกับการวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของรถไฟเหาะได้ไม่ต่างกัน น้องๆที่อยากสนุกเช่นนี้บ้างก็ให้พลิกไป

ยังหน้าถัดไปได้เลย

Chapter 5. D1.indd 7 20/1/2555 16:05:10

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

บทที่ 5 งานและพลังงาน

ก่อนหน้านี้การศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุได้ใช้กฎการเคลื่อนที่ 3 ข้อของนิวตันซึ่งใช้ แรง เป็นปริมาณ

หลักในการวิเคราะห์ แต่ในทางฟิสิกส์ไม่ได้มีวิธีวิเคราะห์การเคลื่อนที่เพียงวิธีเดียว ดังนั้นในบทนี้และบทต่อไปจึง

จะศึกษาวิธีวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบอื่นๆอีก 2 วิธี คือ พลังงาน (energy) และ โมเมนตัม (momentum)

ตามล�าดับ

ส�าหรับบทเรียนนี้จะศึกษาพลังงานซึ่งเป็นหลักการที่มีความส�าคัญมากในโลกของวิทยาศาสตร์ อาจ

กล่าวในเบื้องต้นได้ว่า พลังงานเป็นความสามารถในการท�างานของวัตถุ แต่เนื่องจากพลังงานมีหลายรูปแบบ

ดังนั้นจึงค่อนข้างยากที่จะให้ค�าจ�ากัดความอย่างชัดเจน โดยทั่วไปจึงมักเริ่มศึกษาจาก งาน (work) ซึ่งเป็น

ปริมาณที่มีความสัมพันธ์กับพลังงานโดยตรงแต่ท�าความเข้าใจได้ง่ายกว่า อีกทั้งยังใช้งานเป็นตัวเชื่อมระหว่าง

แรงกับพลังงานได้อีกด้วย ในส่วนต่อไปจึงจะศึกษาหลักการของงานก่อน

5.1 งาน

ค�าว่า งาน มีความหมายแตกต่างกันได้มากในชีวิตประจ�าวัน เริ่มตั้งแต่คนสวนท�างานด้วยการตัด

หญ้าในสนาม พนักงานในบริษัทนั่งท�างานที่โต๊ะ และอาจรวมไปถึงการเดินซื้อของของผู้หญิง เป็นต้น แต่ในทาง

ฟิสิกส์นั้นงานมีความหมายท่ีชัดเจนและมีขอบเขตจ�ากัดมากกว่า โดยแนวคิดของงานจะถูกเชื่อมโยงเป็นอันหนึ่ง

อันเดียวกันกับการเคลื่อนที่ กล่าวคือ

เมื่อมีแรงกระท�าต่อวัตถุ งานจากแรงนั้นจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อวัตถุมีการเคลื่อนที่ในแนวเดียวกับแรงที่กระท�า

ตามแนวคิดข้างต้น แรงหนึ่งๆจะท�าให้เกิดงานบนวัตถุได้เฉพาะกรณีที่วัตถุมีการเคลื่อนที่ในแนวเดียว

กับแรงนั้น หรือในทางตรงกันข้ามกล่าวได้ว่า ไม่ว่าจะใช้แรงมากเพียงใดก็ตาม หากวัตถุไม่เคลื่อนที่หรือเคลื่อนที่

แต่ไม่ได้อยู่ในแนวเดียวกับแรงที่กระท�า ในทางฟิสิกส์จะกล่าวว่าไม่มีงานจากแรงนั้นเกิดขึ้นหรืองานเท่ากับศูนย์

เพื่อความชัดเจนให้พิจารณาตัวอย่างที่แรงกระท�าต่อวัตถุแล้วท�าให้เกิดงานกับไม่ท�าให้เกิดงานในภาพ 5.1

Chapter 5 D3.indd 8 8/3/2555 16:14:55

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

5.1งาน 9

บทที่ 5 งานและพลังงาน

ก่อนหน้านี้การศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุได้ใช้กฎการเคลื่อนที่ 3 ข้อของนิวตันซึ่งใช้ แรง เป็นปริมาณ

หลักในการวิเคราะห์ แต่ในทางฟิสิกส์ไม่ได้มีวิธีวิเคราะห์การเคลื่อนที่เพียงวิธีเดียว ดังนั้นในบทนี้และบทต่อไปจึง

จะศึกษาวิธีวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบอื่นๆอีก 2 วิธี คือ พลังงาน (energy) และ โมเมนตัม (momentum)

ตามล�าดับ

ส�าหรับบทเรียนนี้จะศึกษาพลังงานซึ่งเป็นหลักการท่ีมีความส�าคัญมากในโลกของวิทยาศาสตร์ อาจ

กล่าวในเบื้องต้นได้ว่า พลังงานเป็นความสามารถในการท�างานของวัตถุ แต่เนื่องจากพลังงานมีหลายรูปแบบ

ดังนั้นจึงค่อนข้างยากที่จะให้ค�าจ�ากัดความอย่างชัดเจน โดยทั่วไปจึงมักเริ่มศึกษาจาก งาน (work) ซึ่งเป็น

ปริมาณที่มีความสัมพันธ์กับพลังงานโดยตรงแต่ท�าความเข้าใจได้ง่ายกว่า อีกท้ังยังใช้งานเป็นตัวเชื่อมระหว่าง

แรงกับพลังงานได้อีกด้วย ในส่วนต่อไปจึงจะศึกษาหลักการของงานก่อน

5.1 งาน

ค�าว่า งาน มีความหมายแตกต่างกันได้มากในชีวิตประจ�าวัน เริ่มตั้งแต่คนสวนท�างานด้วยการตัด

หญ้าในสนาม พนักงานในบริษัทนั่งท�างานที่โต๊ะ และอาจรวมไปถึงการเดินซื้อของของผู้หญิง เป็นต้น แต่ในทาง

ฟิสิกส์นั้นงานมีความหมายที่ชัดเจนและมีขอบเขตจ�ากัดมากกว่า โดยแนวคิดของงานจะถูกเชื่อมโยงเป็นอันหนึ่ง

อันเดียวกันกับการเคลื่อนที่ กล่าวคือ

เมื่อมีแรงกระท�าต่อวัตถุ งานจากแรงนั้นจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อวัตถุมีการเคลื่อนที่ในแนวเดียวกับแรงที่กระท�า

ตามแนวคิดข้างต้น แรงหนึ่งๆจะท�าให้เกิดงานบนวัตถุได้เฉพาะกรณีที่วัตถุมีการเคลื่อนที่ในแนวเดียว

กับแรงนั้น หรือในทางตรงกันข้ามกล่าวได้ว่า ไม่ว่าจะใช้แรงมากเพียงใดก็ตาม หากวัตถุไม่เคลื่อนที่หรือเคลื่อนที่

แต่ไม่ได้อยู่ในแนวเดียวกับแรงที่กระท�า ในทางฟิสิกส์จะกล่าวว่าไม่มีงานจากแรงนั้นเกิดขึ้นหรืองานเท่ากับศูนย์

เพื่อความชัดเจนให้พิจารณาตัวอย่างที่แรงกระท�าต่อวัตถุแล้วท�าให้เกิดงานกับไม่ท�าให้เกิดงานในภาพ 5.1

(ก) (ข)

F�

FN�

θF�

m mm�s�mg

F cos θ

F sin θ

�sFN��mg

m

ภาพ 5.1 ตัวอย่างงานในฟิสิกส์

ภาพ 5.1 (ก) แสดงวัตถุมวล m ที่มีแรง

F กระท�าในแนวราบท�าให้วัตถุเคลื่อนที่ไปทางขวามือจาก

จุด ไปยังจุด ได้การกระจัดเท่ากับ s เมื่อต้องการทราบงานที่เกิดขึ้นบนมวล m จะต้องเริ่มจากการ

พิจารณาแรงที่กระท�าต่อมวล m โดยเขียนผังวัตถุอิสระของมวล m ดังที่ได้แสดงไว้แล้วในภาพ

เมื่อพิจารณาแรงทีละแรงในภาพ 5.1 (ก) จะพบว่า แรง

F กระท�าในแนวราบและวัตถุเคลื่อนที่ใน

แนวราบตามทิศของการกระจัด s ดังนั้นแรง

F จึงท�าให้เกิดงานบนมวล m แต่ส�าหรับแรงอีก 2 แรง คือ

น�า้หนัก mg ซึง่เป็นแรงทีโ่ลกกระท�าต่อมวล m กบัแรงตัง้ฉาก FN ซึง่เป็นแรงทีพ่ืน้กระท�าต่อวตัถ ุต่างมทีศิอยูใ่น

แนวดิ่งซึ่งเป็นทิศที่ตั้งฉากกับแนวการเคลื่อนที่ของวัตถุหรือทิศของการกระจัด s ดังนั้นวัตถุจึงไม่ได้เคลื่อนที่ใน

แนวเดียวกับแรงทั้งสอง ท�าให้งานจากน�้าหนัก mg และแรงตั้งฉาก FN บนมวล m เท่ากับศูนย์

ในส่วนของภาพ 5.1 (ข) จะคล้ายคลึงกับภาพ 5.1 (ก) เพียงแต่แรง

F กระท�าต่อวัตถุในทิศท�ามุม

θ ≠ 0 � กับแนวการเคลื่อนที่ของวัตถุที่อยู่ในแนวราบ เมื่อเขียนผังวัตถุอิสระของมวล m จะพบว่า น�้าหนัก mg

และแรงตั้งฉาก FN ยังคงไม่ท�าให้เกิดงานบนมวล m เนื่องจากแรงมีทิศตั้งฉากกับแนวการเคลื่อนที่ของวัตถุ แต่

สิ่งที่ต่างกันออกไปคือ แรง

F ถูกแยกออกเป็นส่วนประกอบของแรง 2 ส่วน ประกอบด้วยแรง F cos θ ซึ่งอยู่

ในแนวเดียวกับการเคลื่อนที่ของวัตถุ กับแรง F sin θ ซึ่งมีทิศตั้งฉากกับแนวการเคลื่อนที่ของวัตถุ (ตามพื้นฐาน

ของแรงที่เป็นเวกเตอร์) เมื่อพิจารณาตามแนวคิดของงานพบว่า แรง F cos θ จะท�าให้เกิดงาน แต่แรง F sin θ

ไม่ท�าให้เกิดงานบนมวล m จึงกล่าวได้ว่า แรง

F ไม่จ�าเป็นต้องอยู่ในแนวเดียวกับการเคลื่อนที่ของวัตถุ โดย

อาจมีทิศท�ามุม θ กับแนวการเคลื่อนที่ของวัตถุก็ได้ แต่จะมีเพียงส่วนหนึ่งของแรง

F เท่านั้นที่ท�าให้เกิดงาน

ตัวอย่างงานในภาพ 5.1 อาจช่วยให้นักเรียนมีความเข้าใจในเบื้องต้นมากเพียงพอที่จะระบุได้ว่า แรง

หนึง่ๆท�าให้เกดิงานบนวตัถหุรอืไม่ ส�าหรบัในส่วนต่อไปจะเป็นการสร้างความสมัพนัธ์ทางคณติศาสตร์ทีใ่ช้ค�านวณ

ปริมาณงาน รวมไปถึงรายละเอียดในด้านต่างๆของงานก่อนที่จะน�างานไปใช้ในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่ดังนี้

5.1.1 งานจากแรงคงตัว

ในหวัข้อนีจ้ะเป็นการค�านวณงานกรณพีืน้ฐานทีส่ดุคอื วตัถเุคลือ่นทีใ่นแนวเส้นตรงจากจดุ

ไปยังจุด ได้การกระจัดที่มีขนาดเท่ากับ s โดยมีแรงคงตัว

F กระท�าต่อวัตถุในทิศท�ามุม θ กับ

การกระจัด s ดังภาพ 5.2 (ก) จากภาพแรงคงตัวหมายถึงแรงที่มีขนาดคงตัวเท่ากับ F และมีทิศ

ท�ามุม θ กับการกระจัด s ไม่เปลี่ยนแปลง ซึ่งมุม θ เป็นมุมขนาดเล็ก เมื่อน�าหางของแรง

F กับ

หางของการกระจัด s มาต่อที่จุดเดียวกันดังภาพ 5.2 (ข)

Chapter 5 D3.indd 9 9/3/2555 11:12:36

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

10 บทที่5งานและพลังงาน

(ก) (ข) (ค)

F�

θθ

F�

F�

θmm m�s F cos θ

F sin θ�s

�sหางของแรง ตอกับหางของการกระจัด

F��s

ภาพ 5.2 งานจากแรงคงตัว

ตามแนวคิดของงานที่ได้กล่าวมาแล้ว แรงคงตัว

F จะถูกแยกออกเป็นส่วนประกอบของ

แรง 2 ส่วน คือ แรง F cos θ ที่อยู่ในแนวเดียวกับการกระจัด s และแรง F sin θ ที่ตั้งฉากกับ

การกระจัด s ดังภาพ 5.2 (ค) โดยงานบนวัตถุจะเกิดจากแรง F cos θ เท่านั้น ดังนั้นนิยามของ

งานจึงก�าหนดได้ดังนี้

งานที่กระท�าโดยแรงคงตัวเท่ากับผลคูณระหว่างขนาดของการกระจัดกับส่วนประกอบของแรงที่อยู่ในแนวเดียวกับการกระจัด

เนื่องจากขนาดของการกระจัดเท่ากับ s และส่วนประกอบของแรง

F ในแนวเดียวกับการ

กระจัดเท่ากับ F cos θ ดังนั้นจึงเขียนความสัมพันธ์ที่ใช้ค�านวณงานจากแรงคงตัว

F ได้ดังนี้

W = ขนาดของการกระจัด × ส่วนประกอบของแรงในแนวเดียวกับการกระจัด

= s × F cos θ

W = Fs cos θ ...... (5.1)

หน่วยของงานได้จากหน่วยของแรงคูณกับหน่วยของการกระจัด ในระบบ SI หน่วยของงาน

คือ นวิตนั ⋅ เมตร (N ⋅m) ซึง่จะแทนด้วยหน่วย จลู (J) หน่วยนีต้ัง้ขึน้เพือ่เป็นเกียรตแิก่นกัวทิยาศาสตร์

ชาวอังกฤษชื่อ เจมส์ เพรสคอตต์ จูล (Jame Prescott Joule, ค.ศ. 1818-1889) ซึ่งได้ท�าการทดลองจน

พบความสมัพนัธ์เชงิปรมิาณระหว่างความร้อนกับงาน (นกัเรยีนจะได้ศกึษาจากบทเรยีนเรือ่งความร้อน)

เนื่องจากงานเป็นปริมาณใหม่และมีรายละเอียดหลายอย่างที่ควรทราบ ดังนั้นในส่วนต่อไป

ผู้เขียนจะอธิบายงานในด้านต่างๆแยกออกทีละข้อดังนี้

งานเป็นสเกลาร์

ให้ลองค�านวณงานในภาพ 5.3 (ก) จากภาพแรง

F ขนาด 5 N กระท�าต่อวัตถุไปทางขวา

มือและวัตถุเคลื่อนที่ได้การกระจัด s ขนาด 3 m ในทิศเดียวกัน ในกรณีนี้มุม θ ตามสมการ (5.1)

เท่ากับ 0 � ท�าให้ค�านวณงานได้ดังนี้

W = Fs cos θ = 5 × 3 × cos 0 �

= 15 N ⋅m = 15 J, (cos 0 � = 1)

Chapter 5 D3.indd 10 8/3/2555 14:38:22

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

5.1งาน 11

(ก) (ข) (ค) (ง)

s = 3 m

F = 5 N

s = 3

ms = 3

m

s = 3 m

F = 5 N F = 5 NF = 5 N

ภาพ 5.3 งานเป็นสเกลาร์

ต่อไปให้ค�านวณงานในภาพ 5.3 (ข) จากภาพจะเห็นได้ว่า ถึงแม้แรง

F และการกระจัด s จะ

เปลี่ยนทิศเป็นทิศชี้ขึ้น แต่ปริมาณที่ใช้ค�านวณงานยังคงเท่ากับในภาพ 5.3 (ก) คือ F = 5 N, s = 3 m

และ θ = 0 � ท�าให้งานที่เกิดขึ้นบนวัตถุยังคงไม่เปลี่ยนแปลง คือ W = 5 × 3 × cos 0 � = 15 J

เม่ือพจิารณาในท�านองเดียวกนั ไม่ว่าจะเป็นการเคลือ่นท่ีของวตัถไุปทางซ้ายมอืดงัภาพ 5.3 (ค)

หรือวัตถุเคลื่อนที่ลงดังภาพ 5.3 (ง) ปริมาณแรงที่ใช้และขนาดของการกระจัดยังคงเท่าเดิม ท�าให้ผล

การค�านวณงานเท่ากับงานในภาพย่อยอีกสองภาพที่ผ่านมา

จากตัวอย่างการค�านวณงานในภาพ 5.3 จะพบว่า งานที่เกิดขึ้นบนวัตถุมีค่าเท่ากันไม่ว่าวัตถุ

จะเคลื่อนที่ไปในทิศทางใด งานตามนิยามที่ก�าหนดขึ้นจึงไม่ได้แสดงข้อมูลใดๆเกี่ยวกับทิศทาง ดังนั้น

จึงสรุปได้ว่า งานเป็นสเกลาร์

งานเป็นได้ทั้งจ�านวนบวก จ�านวนลบ และศูนย์

ตามสมการ (5.1) งานขึ้นอยู่กับมุมระหว่างแรง

F กับการกระจัด s (หรือทิศการเคลื่อนที่)

ดังนั้นค่าของงานจึงเป็นไปได้ 3 กรณี คือ

1) งานเป็นจ�านวนบวก เกิดขึ้นเมื่อมุม 0 � ≤ θ < 90 � ซึ่งท�าให้ cos θ > 0 ดังภาพ 5.4 (ก)

ในกรณีนี้ส่วนประกอบของแรงที่อยู่ในแนวเดียวกับการกระจัด s (หรือทิศการเคลื่อนที่) มี

ทิศเดียวกับการกระจัด s หากแรง

F มีทิศเดียวกับการกระจัด s จะหมายถึง θ = 0 �

และ cos θ = cos 0 � = +1 ท�าให้ค�านวณงานได้ดังนี้

W = Fs , (

F มีทิศเดียวกับ s ) ...... (5.2)

ส�าหรับมุม θ ที่อยู่ในช่วง 0 � < θ < 90 � งานที่ค�านวณได้ยังคงเป็นจ�านวนบวก แต่มีค่า

น้อยกว่าในสมการ (5.2)

(ก) 0 ํ ≤ θ < 90 ํ, cos θ > 0, W > 0 (ข) θ = 90 ํ, cos θ = 0, W = 0 (ค) 90 ํ < θ ≤ 180 ํ, cos θ < 0, W < 0

F�

θF� F

�

θ = 90 ํF cos θ

�sF cos θ

θ�s �s

ภาพ 5.4 งานที่เป็นจ�านวนบวก จ�านวนลบ และศูนย์

Chapter 5. D2.indd 11 17/2/2555 11:45:15

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


2) งานเท่ากับศูนย์ เกิดขึ้นเมื่อมุม θ = 90 � หรือแรง

F มีทิศตั้งฉากกับการกระจัด s ซึ่ง

ท�าให้ cosθ = cos 90 � = 0 ดังภาพ 5.4 (ข) ในกรณีนี้ไม่มีส่วนประกอบของแรง

F ที่

อยู่ในแนวเดียวกับการกระจัด s กล่าวได้ว่า ไม่ว่าจะใช้แรงขนาดมากเพียงใดก็ตาม หาก

แนวแรงตั้งฉากกับทิศการเคลื่อนที่ งานจะเท่ากับศูนย์เสมอ

3)งานเป็นจ�านวนลบ เกิดขึ้นเมื่อมุม90 �< θ ≤ 180 �ซึ่งท�าให้ cosθ <0ดังภาพ5.4 (ค)

จากภาพมุมθท่ีอยูใ่นช่วงดงักล่าวจะท�าให้ส่วนประกอบของแรง

F ทีอ่ยูใ่นแนวเดยีวกบัการ

กระจัด s มีทิศตรงกันข้ามกับทิศของการกระจัด s ในกรณีที่มุมθ= 180 � แรง

F จะมี

ทิศตรงกันข้ามกับทิศของการกระจัด s ท�าให้ cosθ = cos 180 � = -1 และค�านวณงาน

ได้เท่ากับW = F× s × (-1) หรือ

W = -Fs , (

F มีทิศตรงกันข้ามกับ s ) ...... (5.3)

ส�าหรับมุม θ ที่อยู่ในช่วง 90 � < θ < 180 � งานที่ค�านวณได้จะเป็นจ�านวนลบเช่นเดียวกัน

แต่มีค่าอยู่ในช่วง -Fs< W < 0

ข้อควรระวัง

งานที่เป็นได้ทั้งจ�านวนบวก จ�านวนลบ และศูนย์ เป็นเพียงการก�าหนดเครื่องหมายของงาน

ซึ่งขึ้นอยู่กับทิศของแรง

F ที่สัมพันธ์กับการกระจัด s ไม่ใช่การก�าหนดทิศของเวกเตอร์

ระบุงานจากแรงใดและงานบนวัตถุใดให้ชัดเจน

งานเป็นปริมาณท่ีมีพื้นฐานจากการพิจารณาแรงควบคู่กับการเคลื่อนที่ของวัตถุ ตามกฎการ

เคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตัน แรงเกิดขึ้นระหว่างวัตถุคู่หนึ่ง โดยเป็นแรง 2 แรงที่มีขนาดเท่ากัน มีทิศ

ตรงกันข้าม และกระท�าบนคนละวัตถุ ดังนั้นเมื่อต้องการทราบปริมาณงานจะต้องระบุให้ชัดเจนว่าเป็น

งานจากแรงใดในแรง 2 แรงระหว่างวัตถุ อีกทั้งยังต้องระบุวัตถุที่แรงกระท�าด้วย

ยกตัวอย่างเช่น การใช้มือออกแรงลากวัตถุในทิศท�ามุม

θ กับทิศการเคลื่อนที่ของวัตถุดังภาพ 5.5 จากภาพเมื่อเขียนผัง

วัตถุอิสระของวัตถุกับมือแยกออกจากกัน จะพบว่ามีแรง

F และ′F ซึง่เป็นแรงตามกฎการเคลือ่นทีข้่อที่3ของนวิตนัเมือ่ต้องการ

ทราบงานจากการลากบนวัตถุจะต้องพิจารณาจากแรง

F ควบคู่

ไปกับการเคลื่อนที่ของวัตถุ แต่หากต้องการทราบงานบนมือ จะ

ต้องใช้แรง′F ควบคู่ไปกับการเคลื่อนที่ของมือ จะเหน็ได้ว่าถึง

แม้ในบทเรียนนีจ้ะศึกษางานซึง่เป็นปรมิาณใหม่แต่กฎการเคลือ่นทีข่องนิวตนัยงัคงเป็นพืน้ฐานทีส่�าคญั

ดังนั้นนักเรียนควรทบทวนเรื่องดังกล่าวจากคู่มือฟิสิกส์ เล่ม 1 ม. 4-6 ให้แม่นย�า

งานรวมบนวัตถุ

เมื่อมีแรงหลายแรงกระท�าต่อวัตถุหนึ่ง งานจากแรงแต่ละแรงสามารถค�านวณได้จากสมการ

(5.1) เช่น วัตถุเคลื่อนที่ด้วยการกระจัด s โดยมีแรงF1 กระท�าในทิศท�ามุมθ1 กับการกระจัด

s

ในเวลาเดียวกันมีแรงF2 กระท�าในทิศท�ามุมθ2กับการกระจัด

s และอาจมีแรงอื่นๆกระท�าต่อวัตถุ

ในรูปแบบเดียวกัน งานจากแรงแต่ละแรงซึ่งในที่นี้ก�าหนดให้มี n แรง จะค�านวณได้ดังนี้

ภาพ 5.5 ระบุงานจากแรงใดและงานบนวัตถุใดใหชัดเจน

F�

F�

�sθ

Chapter 5. D1.indd 12 20/1/2555 16:05:20

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

5.1งาน 13

W1 = F1s cosθ1

W2 = F2s cosθ2

Wn = Fns cosθn

ก�าหนดให้งานรวม Wรวม เป็นผลรวมของงานจากแรงแต่ละแรงที่กระท�าต่อวัตถุ เนื่องจาก

งานเป็นปริมาณสเกลาร์ งานรวมจึงหาได้จากผลรวมแบบพีชคณิตของงานจากแรงแต่ละแรง กล่าวคือ

Wรวม = W1 +W2 + ... +Wn ...... (5.4)

ข้อสังเกต

งานจากแรงแต่ละแรงอาจเป็นได้ทั้งจ�านวนบวก จ�านวนลบ และศูนย์ เช่น W1 = 5 J,

W2 = -6 JและW3= 0 เป็นต้น เมื่อค�านวณงานรวมแบบพีชคณิตจึงอาจจะได้ผลลัพธ์เป็นจ�านวน

บวก จ�านวนลบ หรือศูนย์ด้วยเช่นกัน ในกรณีนี้งานรวมค�านวณได้เท่ากับ

Wรวม = W1 +W2 +W3 = 5 + (-6) + 0 = -1 J

นอกเหนือจากการค�านวณงานรวมจากผลรวมของงานจากแรงแต่ละแรงแล้ว งานรวมยัง

สามารถค�านวณได้อีกวิธีหนึ่งคือ เริ่มจากการหาแรงลัพธ์ι ∑F ของแรงทั้งหมดที่กระท�าต่อวัตถุซึ่งจะ

ต้องค�านวณแรงลัพธ์แบบเวกเตอร์ดังที่ได้ศึกษามาแล้วจากบทที่ 3 ในคู่มือฟิสิกส์ เล่ม 1ม. 4-6จาก

นั้นใช้แรงลัพธ์ที่หาได้ซึ่งเป็นแรง 1 แรงค�านวณงานรวมตามสมการ (5.1) เช่น หากแรงลัพธ์ι ∑F มี

ทิศท�ามุมθ กับการกระจัด s ของวัตถุ จะค�านวณงานรวมได้ดังนี้

Wรวม = (ι ∑F )s cosθ ...... (5.5)

กล่าวโดยสรุปได้ว่างานรวมบนวัตถุสามารถค�านวณได้2วิธีคือค�านวณงานจากแรงแต่ละ

แรงแยกกัน จากนั้นน�ามารวมกันแบบพีชคณิต หรืออีกวิธีหนึ่งอาจจะหาแรงลัพธ์ของแรงทั้งหมดแบบ

เวกเตอร์ก่อน จากนั้นจึงน�าแรงลัพธ์ไปค�านวณงานรวม นักเรียนจะได้ศึกษารายละเอียดการค�านวณ

งานรวมทั้ง 2 วิธีอย่างชัดเจนในตัวอย่าง 5.5 และ 5.6

ก่อนที่จะเริ่มค�านวณงาน ในส่วนต่อไปจะเป็นกลยุทธ์ที่ใช้เป็นแนวทางเบื้องต้นดังนี้

กลยุทธ์1. ก�าหนดระบบพิกัดฉากx-yโดยเลือกแนวแกนหนึ่งให้อยู่ในแนวเดียวกับทิศการเคลื่อนที่

ของวัตถุ เช่น หากวัตถุเคลื่อนที่บนพื้นเอียง อาจจะก�าหนดให้แกน x อยู่ในแนวขนาน

กับพื้นเอียง เป็นต้น

2. วาดผังวัตถุอิสระของวัตถุเพื่อแสดงแรงทั้งหมดที่กระท�าต่อวัตถุ

3.ค�านวณแรงที่ไม่ทราบค่าจากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน

Chapter 5. D1.indd 13 20/1/2555 16:05:20

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


4. เมื่อต้องการทราบงานจากแรงใดแรงหนึ่ง ให้ค�านวณงานจากสมการ (5.1) โดยมุมθ ใน

สมการดังกล่าวเป็นมุมขนาดเล็กระหว่างแรง

F กับการกระจัด s ที่น�าหางเวกเตอร์มา

ต่อที่จุดเดียวกัน

5. หากต้องการทราบงานรวมบนวัตถุสามารถค�านวณได้ 2 วิธีตามที่ได้กล่าวมาแล้ว

ตัวอย่ำง 5.1

ปวีณาออกแรงผลักกล่องมวล 23.0 kg ให้

เคลื่อนที่ในแนวราบเป็นระยะทาง 3.00 m หาก

ปวีณาใช้แรงในแนวราบขนาด80.0Nจงค�านวณงาน

ที่ปวีณากระท�าต่อกล่อง

ขัันตอนกำรหำค�ำตอบ

จากภาพจะเห็นได้ว่า แรงผลัก

F มีทิศเดียวกับการกระจัด s ของกล่อง ดังนั้นงานที่ปวีณา

กระท�าต่อกล่องจึงค�านวณได้จากสมการ (5.1) โดยมุมθ = 0 � หรืออาจจะใช้สมการ (5.2) ก็ได้ดังนี้

W = Fs = 80.0× 3.00 = 240 J ตอบ


คนขับรถห้ามล้อให้รถเคลื่อนที่ช้าลง

โดยมีแรงต้านขนาด3.00× 103Nกระท�า

ต่อรถในช่วงระยะทาง 850 m จงค�านวณ

งานที่แรงนี้กระท�าต่อรถ


เนื่องจากแรงที่ใช้ห้ามล้อเป็นแรงต้านการเคลื่อนที่ของรถ ดังนั้นแรง

F ขนาด 3.00 × 103 N

จึงมีทิศตรงกันข้ามกับการกระจัด s ของรถดังแสดงในภาพ กล่าวได้ว่า แรง

F มีทิศท�ามุม θ = 180 �

กับการกระจัด s ท�าให้ค�านวณงานได้จากสมการ (5.3) หรืออาจใช้สมการ (5.1) แล้วแทนมุม θ = 180 �

ก็ได้ดังนี้

W = Fs cosθ = Fs cos 180 � = -Fs = -3.00× 103 × 850

W = -2.55× 106 J ตอบ

s = 3.00 m F�

F = 80.0 N�s

θ = 0 ํ

s = 850 m

F�

F = 3.00 × 103 N

θ = 180 ํ�s

Chapter 5. D1.indd 14 20/1/2555 16:05:22

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

5.1งาน 15


วตัถมุวล60.0kgถกูลากด้วยเชอืกทีท่�า

มุม60 �กับแนวราบดังภาพหากแรงตึงในเชือก

เท่ากับ 125N และวัตถุเคลื่อนที่ในแนวราบได้

ระยะทาง 4.00m จงค�านวณงานที่ใช้ลากวัตถุ


งานที่ใช้ลากวัตถุคืองานที่แรง 125 N กระท�าต่อวัตถุ จากภาพจะเห็นได้ว่า แรง 125 N ท�ามุม

θ = 60 � กับการกระจัดของวัตถุ ดังนั้นจะค�านวณงานได้จากสมการ (5.1) ดังนี้ี้

W = Fs cosθ = 125 × 4.00 cos 60 � = 250 J ตอบ


แรง

F กระท�าต่อกล่องซึ่งก�าลังเคลื่อนที่ในแนวราบด้วยความเร็ว v ในทิศต่างๆกันดังภาพ

(ก) ถึง (ค) เมื่อกล่องเคล่ือนท่ีได้การกระจัดค่าหนึ่ง จงเรียงล�าดับงานที่แรง

F กระท�าต่อกล่องจาก

น้อยไปหามาก

(ก) (ข) (ค)

F�

F�F

�

F� F

�F�

θ

θ = 0 ํ�v�s

�s

�s �v�vθ = 90 ํ


เมื่อพิจารณางานตามความสัมพันธ์ W = Fs cos θ จะพบว่า งานในภาพ (ก) ถึง (ค) มีค่า

แตกต่างกันตามมุมθระหว่างแรง

F กับการกระจัด s เนื่องจากการกระจัดมีทิศเดียวกับความเร็ว v

ดังนั้นจึงสามารถระบุมุมθ จากแรง

F กับความเร็ว v ของกล่องได้ดังนี้ี้

ในภาพ (ค) มุม θ ระหว่างแรงกับการกระจัดเท่ากับ 90 � หรืออยู่ในแนวตั้งฉากกัน ดังนั้นงาน

จากแรง

F ในภาพนี้จึงเท่ากับศูนย์ ส่วนในภาพ (ข) แรงมีทิศเดียวกับการกระจัด นั่นคือ θ = 0 �

ดังนั้นงานจะมีค่ามากที่สุดและในภาพ (ก)แรงมีทิศท�ามุม 0 �< θ < 90 � กับการกระจัดดังนั้นงานจึง

มีค่าอยู่ระหว่างศูนย์กับค่ามากที่สุดในภาพ (ข) กล่าวโดยสรุปได้ว่า

W(ข) > W(ก) > W(ค) ตอบ


กล่องมวล 40 kg ถูกลากให้เคลื่อนที่บนพื้นราบด้วยแรงคงตัวขนาด FP = 100 N ในทิศ

ท�ามุม 37 � กับแนวราบดังภาพ (ก) หากกล่องเคลื่อนที่ได้ 45 m และมีแรงเสียดทานจากพื้นขนาด

s = 4.00 m

F�

F = 125 N

60 ํ60.0 kg�s

θ = 60 ํ

Chapter 5. D1.indd 15 20/1/2555 16:05:23

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


Ffr = 50 N กระท�าต่อกล่อง จงค�านวณงานจากแรงแต่ละแรงที่กระท�าต่อกล่องและงานรวมบนกล่อง

ก�าหนดให้ g = 10m/s2

(ก) (ข) (ค)

s = 45 m

x

y

FP�

FN� Ffr = 50 N

37 ํ 37 ํ

FP = 100 N

40 kg�mg

Ffr��s

θ = 37 ํ θ = 180 ํ

�mgFN�

θ = 90 ํ

θ = 90 ํ

FP = 100 N �s�s

�s


เริ่มจากการวาดผังวัตถุอิสระของกล่องและก�าหนดระบบแกนxyดังภาพ(ข)จากภาพจะเห็นได้

ว่าแรงที่กระท�าต่อกล่องมี4แรงคือแรงลากFP แรงเสียดทานจากพื้น

Ffr แรงตั้งฉากจากพื้นFN

และน�้าหนัก mg ของกล่อง เนื่องจากแรงทั้ง 4 แรงเป็นแรงคงตัว งานจากแรงแต่ละแรงจึงค�านวณได้

จากสมการ(5.1)โดยมุมθระหว่างแรงแต่ละแรงกับการกระจัดของกล่องพิจารณาได้จากภาพ(ค)ดังนี้ี้

แรงลากFP ท�ามุมθ = 37 � กับการกระจัด s ดังนั้น

WP = FPs cos 37 � = 100× 45 cos 37 � = 3600 J ตอบ

แรงเสียดทานFfr ท�ามุมθ = 180 � กับการกระจัด s ดังนั้น

Wfr = Ffrs cos 180 � = -Ffrs = -50× 45 = -2250 J ตอบ

น�้าหนัก mg กับแรงตั้งฉาก FN ท�ามุมθ = 90 � กับการกระจัด s ดังนั้น

Wmg = (mg)s cos 90 � = 0 ตอบ

WN = FNs cos 90 � = 0 ตอบ

ส�าหรับงานรวมบนกล่องจะค�านวณได้ 2 วิธี คือ

วิธีแรก เป็นการหาผลรวมแบบสเกลาร์ของงานจากแรงทุกแรงที่กระท�าต่อกล่อง ซึ่งในที่นี้มีแรง 4 แรงและได้ค�านวณงานจากแรงแต่ละแรงแล้ว ดังนั้น

Wรวม = WP +Wfr +Wmg +WN

= 3600 + (-2250) + 0 + 0

Wรวม = 1350 J ตอบ

วิธีท่ีสอง เริ่มจากการค�านวณแรงลัพธ์ที่กระท�าต่อกล่อง เนื่องจากกล่องเคลื่อนที่ในแนวราบ

ดังนั้นแรงลัพธ์จึงอยู่ในแนวแกน x ซึ่งค�านวณได้ดังนี้

ι ∑F = ι ∑Fx = (+FP cos 37 �) + (-50)

= (+100 cos 37 �) + (-50) = 30N

Chapter 5. D1.indd 16 20/1/2555 16:05:25

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

5.1งาน 17

เนื่องจากแรงลัพธ์มีทิศเดียวกับการกระจัดของกล่อง ดังนั้นจะค�านวณงานรวมบนกล่องได้ดังนี้

Wรวม = (ι ∑F )s cos 0 � = (ι ∑Fx )s = 30× 45 = 1350 J


1) ถึงแม้จะไม่ทราบค่าแรงตั้งฉาก แต่เนื่องจากแรงตั้งฉากมีทิศท�ามุม 90 � กับการกระจัดของกล่อง

ดงันัน้ไม่ว่าแรงตัง้ฉากจะมค่ีาเท่าใดงานจากแรงตัง้ฉากจะเท่ากับศูนย์เสมอแต่หากต้องการทราบ

ค่าแรงตั้งฉากจะหาได้จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่2ของนิวตันในแนวแกนyที่มีay=0สาเหตุ

เนื่องจากกล่องไม่มีการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งดังนี้

ι ∑Fy = may

(+FP sin 37 �) + FN + (-40g) = 40(0)

FN = 40g - FP sin 37 � = 40× 10 - 100 sin 37 �

= 340N

2) จากขัน้ตอนการค�านวณงานจะเห็นได้ว่ากฎการเคลือ่นทีข่องนิวตนัทีไ่ด้ศึกษามาแล้วในคูมื่อฟิสกิส์

เล่ม 1 ม. 4-6 ยังคงเป็นพื้นฐานที่ส�าคัญ ดังนั้นนักเรียนควรทบทวนเรื่องดังกล่าว


สมศักดิ์ลากกล่องมวล 30.0 kg ให้เคลื่อนที่บนพื้นด้วยเชือกที่ผูกกับกล่องในทิศท�ามุม 37 � กับ

แนวราบดังภาพ (ก)ก�าหนดให้สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างกล่องกับพื้นเท่ากับµk=0.150

หากกล่องเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัว 2 km/h ได้ระยะทาง 150m จงค�านวณงานรวมบนกล่อง

(ก) (ข)s = 150 m

vคงตัว = 2 km/h x

y

FN�

FT�

FT sin 37 ํ

FT cos 37 ํ37 ํ37 ํFk = µkFN30.0g�µk = 0.150

FT�


งานรวมบนกล่องค�านวณได้ 2 วิธี วิธีแรกเร่ิมจากการค�านวณงานจากแรงแต่ละแรงที่กระท�าต่อ

กล่อง จากนั้นหาผลรวมแบบสเกลาร์ของงานจากแรงทุกแรง อีกวิธีหนึ่งจะหาแรงลัพธ์ที่กระท�าต่อกล่อง

จากนั้นใช้แรงลัพธ์ค�านวณงานรวมบนกล่อง รายละเอียดมีดังต่อไปนี้

วิธีแรกให้วาดผังวัตถุอิสระของกล่องดังภาพ (ข) จากนั้นใช้กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตันหา

แรงตึงFT แรงตั้งฉาก

FN และแรงเสียดทานจลน์Fk เนื่องจากกล่องเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัว

Chapter 5. D1.indd 17 20/1/2555 16:05:27

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


ดังนั้นความเร่งของกล่องเท่ากับศูนย์ นั่นคือ ax = ay = 0 เมื่อใช้กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตันใน

แนวแกน x และ y จะได้ว่า ι ∑Fx = max = 0 และ ι ∑Fy = may = 0 ดังนั้น

ι ∑Fx = (+FT cos 37 ํ) + (-µkFN) = 0 ... (1)

ι ∑Fy = (+FT sin 37 ํ) + (+FN) + (-30.0g) = 0 ... (2)

คํานวณแรงตึงจากสมการ (1) และ (2) โดยให้คูณสมการ (2) ด้วย µk ตลอดสมการดังนี้

µkFT sin 37 ํ + µkFN - µk30.0g = 0 ... (3)

นําสมการ (1) บวกกับสมการ (3) จะได้ว่า

FT cos 37 ํ + µkFT sin 37 ํ - µk30.0g = 0

FT = µ

µk

k

g30 037 37

.cos sin ° °+

= 0 150 30 0 9 837 0 150 37. . .

cos . sin× ×+ ° ° = 49.6 N

แทน FT = 49.6 N ลงในสมการ (1) จะคํานวณแรงตั้งฉากได้ดังนี้

FN = FT

k

cos 37°

ιµ = 49 6 370 150

. cos.

° = 264 N

และจะคํานวณแรงเสียดทานจลน์ได้ดังนี้

Fk = µkFN = 0.150 × 264 = 39.6 N

เมื่อทราบค่าแรงต่างๆที่กระทําต่อกล่องแล้ว จะคํานวณงานจากแรงแต่ละแรงบนกล่องได้จาก

สมการ (5.1) โดยมุม θ ระหว่างแรงแต่ละแรงกับการกระจัดของกล่องพิจารณาได้จากภาพ (ค) ดังนี้

(ค)

FN�FT

�

Fk�

30.0g��sθ = 37 ํ θ = 180 ํ

θ = 90 ํ �s

�s

�sθ = 90 ํ

งานจากแรงตึง:

WT = FTs cos 37 ํ = 49.6 × 150 cos 37 ํ = 5.94 × 103 J

งานจากแรงเสียดทานจลน์:

Wk = Fks cos 180 ํ = 39.6 × 150 cos 180 ํ = -5.94 × 103 J

งานจากแรงตั้งฉาก:

WN = FNs cos 90 ํ = 264 × 150 cos 90 ํ = 0

Chapter 5. D2.indd 18 17/2/2555 11:45:52

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

5.1งาน 19

งานจากน�า้หนัก:

Wmg = mgs cos 90 � = 30.0g× 150 cos 90 � = 0

ดังนั้นงานรวมบนกล่องค�านวณได้จากผลรวมแบบสเกลาร์ของงานจากแรงทั้ง 4 แรงข้างต้นดังนี้

Wรวม = WT +Wk +WN +Wmg

= 5.94× 103 + (-5.94× 103) + 0 + 0

Wรวม = 0 ตอบ

วิธีที่สองเนื่องจากกล่องเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวแสดงว่ากล่องมีความเร่งเท่ากับศูนย์ ( a =0)ดังนั้น

จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 ของนิวตันจึงสรุปได้ว่า แรงลัพธ์ที่กระท�าต่อกล่องเท่ากับศูนย์ (ι ∑F = 0)

เมื่อน�าแรงลัพธ์ไปค�านวณงานรวมบนกล่องจะได้ว่า

Wรวม = (ι ∑F )s cosθ = 0× s cosθ = 0 ตอบ


ไม่ว่ากล่องจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวมากเพียงใด แรงลัพธ์ที่กระท�าต่อกล่องและงานรวมบน

กล่องเท่ากับศูนย์เสมอ


จงค�านวณงานที่ใช ้ผลักกล่องมวล

160 kg ให้เคลื่อนที่บนพื้นราบด้วยความเร็ว

คงตัวได ้ระยะทาง 15.0 m ก�าหนดให้

สัมประสิทธ์ิความเสียดทานจลน์ระหว่างกล่อง

กับพื้นเท่ากับ 0.500 และ g = 10m/s2


ให้วาดผังวัตถุอิสระของกล่องดังภาพ (ก) จากนั้นใช้กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตันหา

แรงผลัก

F ดังนี้

เนื่องจากกล่องไม่มีการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งหรือแนวแกน y ดังนั้น

ι ∑Fy = may = 0

(+FN) + (-160g) = 0

FN = 160g ... (1)

และกล่องเคลื่อนที่ในแนวราบด้วยความเร็วคงตัว ดังนั้น ax = 0 ซึ่งจะได้ว่า

(ก) (ข)

x

y

F�

FN�

F�

Fk = µkFN

160g��s

θ = 0 ํs = 15.0 mµk = 0.500

Chapter 5. D1.indd 19 20/1/2555 16:05:29

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


ι ∑Fx = max = 0

(+F) + (-mkFN) = 0

F = mkFN ... (2)

แทน FN จากสมการ (1) ลงในสมการ (2) จะได้ว่า

F = mk(160g)

เมื่อทราบค่าแรงผลัก

F แล้ว จะค�านวณงานจากแรงผลักบนกล่องได้จากสมการ (5.1) โดย

แรงผลักท�ามุม θ = 0 � กับการกระจัดของกล่องดังภาพ (ข) ดังนั้น

WF = Fs cos θ = (mk160g)s cos 0 �

= 0.500 × 160 × 10 × 15.0 × 1

WF = 12000 J = 1.20 × 104 J ตอบ

หมาย หต

หากต้องการทราบงานรวมบนกล่องจะพบว่า Wรวม = 0 สาเหตุเนื่องจากกล่องเคลื่อนที่ด้วย

ความเร็วคงตัว ท�าให้ความเร่งและแรงลัพธ์ที่กระท�าต่อกล่องเท่ากับศูนย์

หัวอา่มง 5.8

กล่องใบหนึ่งมีมวล 6.0 kg เคลื่อนที่บน

พื้นราบจากจุดหยุดนิ่งด้วยความเร่งคงตัวเท่ากับ

2.0 m/s2 เป็นเวลา 7.0 s จงค�านวณงานรวม

บนกล่อง

ัั้หอ้นมา มาคมหอบ

ในตัวอย่างนี้จะค�านวณงานรวมจากแรงลัพธ์ที่กระท�าต่อกล่อง จากภาพจะพบว่าแรงลัพธ์ ι ∑F

มีทิศเดียวกับการกระจัด s ของกล่อง โดยแรงลัพธ์ค�านวณได้จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตันดังนี้

ι ∑F = ma = 6.0(+2.0) = 12 N

เนื่องจากกล่องเคล่ือนท่ีด้วยความเร่งคงตัว และมีข้อมูลการเคลื่อนที่ประกอบด้วย u = 0, a = +2.0 m/s2 และ t = 7.0 s ดังนั้นจะค�านวณการกระจัด s ของกล่องได้จากสมการ (2.13) ดังนี้

s = ut + 12

2at = 0(7.0) + 12 (+2.0)(7.0)2 = 49 m

เมื่อทราบแรงลัพธ์และการกระจัดของกล่องแล้วจะค�านวณงานรวมได้จากสมการ (5.5) โดยมุม θ

ระหว่างแรงลัพธ์กับการกระจัดของกล่องเท่ากับ 0 � ดังนี้

t = 7.0 s�

ΣF�

ΣF

6.0 kg

�a = +2.0 m/s2

�u = 0

�sθ = 0 ํ�s

Chapter 5 D3.indd 20 8/3/2555 14:39:05

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

5.1งาน 21

Wรวม = (ι ∑F )s cosθ = 12 × 49 cos 0 � = 588 J ตอบ

ตัวอย่ำง 5.9 (ent)

กล่องมวล3.0kgถูกผลักด้วยแรงคงตวัขนาด9.0Nท�าให้กล่องเคลือ่นทีบ่นพืน้ราบด้วยความเร่ง

คงตัวเท่ากับ2.0m/s2ในช่วงระยะทาง10mจงค�านวณปริมาณงานจากแรงเสียดทานที่กระท�าต่อกล่อง

ก. 10 J ข. 20 J ค. 30 J ง. 40 J

x

y

FN�

Ffr�

F = 9.0 N3.0 kg �mg

Ffr��aคงตัว = +2.0 m/s2

�s

θ = 180 ํ

s = 10 m


ในที่นี้จะแสดงวิธีค�านวณงานจากแรงเสียดทาน 2 วิธี ดังนี้

วิธีแรก จะหาแรงเสียดทานท่ีกระท�าต่อกล่อง จากนั้นใช้ผลการค�านวณแรงเสียดทานหางานที่

ต้องการทราบ ให้เริ่มจากการวาดผังวัตถุอิสระของกล่องดังภาพ จากนั้นใช้กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของ

นิวตันในแนวแกน x หาแรงเสียดทานโดย ax = +2.0m/s2 ดังนี้

ι ∑Fx = max

(+9.0) + (-Ffr) = 3.0(+2.0)

Ffr = 9.0 - 6.0 = 3.0N

เนื่องจากแรงเสียดทานFfr มีทิศตรงกันข้ามกับการกระจัด

s ของกล่อง ดังนั้นจะค�านวณงาน

จากแรงเสียดทานได้จากสมการ (5.1) ที่มีθ = 180 � ดังนี้

Wfr = Ffrs cos 180 � = 3.0× 10 cos 180 � = -30 J

จากผลการค�านวณข้างต้นสรุปได้ว่า ปริมาณงานจากแรงเสียดทานเท่ากับ 30 J ตอบ ข้อ ค.

วิธีที่สอง จะหางานจากแรงเสียดทานด้วยงานรวมบนกล่อง เนื่องจากแรงที่กระท�าต่อกล่องมี4 แรง คือ น�้าหนัก mg แรงตั้งฉาก FN แรงเสียดทาน

Ffr และแรงผลัก

F ดังนั้นจะเขียนความ

สัมพันธ์ของงานรวมได้ดังนี้

Wรวม = Wmg +WN +Wfr +WF ... (1)

พิจารณางานในสมการ (1) ทีละปริมาณ เริ่มจากน�้าหนัก mg และแรงตั้งฉาก FN เป็นแรงใน

ทิศตั้งฉากกับการกระจัด s ของกล่อง ดังนั้น

Wmg = WN = 0

Chapter 5. D1.indd 21 20/1/2555 16:05:33

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


ส่วนแรงผลัก

F เป็นแรงที่มีทิศเดียวกันกับการกระจัด s ดังนั้น

WF = Fs cos 0 � = 9.0× 10 cos 0 � = 90 J

ส�าหรับงานรวมจะค�านวณได้จากสมการWรวม = (ι ∑F )s cos θ โดย θ = 0 � และแรงลัพธ์

ค�านวณได้จากสมการ ι ∑ F = ma ดังนั้น

Wรวม = (ma)s cos 0 � = 3.0× 2.0× 10 cos 0 � = 60 J

แทนผลการค�านวณงานที่ผ่านมาลงในสมการ (1) จะได้ว่า

60 = 0 + 0 +Wfr + 90

Wfr = -30 J


ใช้เชอืกผกูกล่องมวล10.0kgจากนัน้ออกแรงดงึกล่องให้เคล่ือนทีข่ึน้ด้วยความเร่ง2.00m/s2เป็น

ระยะทาง3.00mดังภาพ(ก)จงค�านวณงานที่แรงตึงในเชือกกระท�าต่อกล่องก�าหนดให้g=10m/s2

(ก) (ข)

FT�

10.0 kg

� a = +

2.00 m

/s2

10.0g�

�sθ = 0 ํ

s = 3.

00 m

FT�

FT�

� a = +

2.00 m

/s2


เริ่มจากการวาดผังวัตถุอิสระของกล่องดังภาพ (ข) จากภาพให้ใช้กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของ

นิวตันในแนวแกน y ค�านวณแรงตึงFT ดังนี้

ι ∑Fy = may

(+FT) + (-10.0g) = 10.0(+2.00)

FT = 10.0(g + 2.00) = 10.0(10 + 2.00)

= 120N

เนื่องจากแรงตึงFT มีทิศเดียวกับการกระจัด s ดังนั้นจะค�านวณงานได้จากสมการ (5.1) โดย

θ = 0 � ดังนี้

WT = FTs cos 0 � = 120× 3.00 cos 0 � = 360 J ตอบ

Chapter 5. D1.indd 22 20/1/2555 16:05:34

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

5.1งาน 23


จงค�านวณงานน้อยที่สุดซึ่งใช้ยกกล่องมวล1.00kgขึ้นในแนวดิ่งเป็นระยะทาง5.00mดังภาพ

(ก) ก�าหนดให้ g = 10m/s2

(ก) (ข)

F�

F�F

�

h =

5.00 m

1.00 kg �s

� s = h

= 5.

00 m θ = 0 ํ

�mg = 1.00g�


เริ่มจากการวาดผังวัตถุอิสระของกล่องในขณะที่ถูกยกขึ้นจากพื้นดังภาพ (ข) จากภาพจะเห็นได้

ว่า แรงยก

F จะต้องมีขนาดน้อยที่สุดเท่ากับ F =mg = 1.00 × 10 = 10.0 N จึงจะยกกล่องขึ้นได้

ในกรณีที่ใช้แรงยกที่มีขนาดมากกว่า 10.0 N จะยกกล่องขึ้นได้เช่นกัน แต่งานจากแรงยกนั้นจะมากกว่า

กรณีที่ใช้แรงยกขนาด 10.0 N กล่าวได้ว่า งานน้อยที่สุดในการยกกล่องเกิดขึ้นเมื่อใช้แรงยก F = mg

=10.0Nแต่ก่อนที่นักเรียนจะค�านวณงานขอให้พิจารณาแนวคิดและขั้นตอนการยกกล่องให้ชัดเจนก่อน

ในตอนเริ่มต้นกล่องวางนิ่งอยู่บนพื้น เมื่อใช้แรงยกขนาด F = mg = 10.0 N จะท�าให้แรงลัพธ์

(ในแนวดิ่ง) ท่ีกระท�าต่อกล่องเท่ากับศูนย์ ตามกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 ของนิวตัน กล่องจะมีความเร่ง

เท่ากับศูนย์ท�าให้กล่องที่ในตอนเริ่มต้นอยู่นิ่งจะยังคงอยู่นิ่งต่อไปสิ่งนี้หมายความว่าไม่สามารถยกกล่อง

ขึ้นได้ ค�าถามคือ แล้วการยกกล่องด้วยแรงยก F =mg ที่ผ่านมาท�าได้อย่างไร

ค�าตอบคือในช่วงเริ่มต้นจะใช้แรงยกที่มีขนาดมากกว่าน�า้หนักmgเล็กน้อยในช่วงเวลาสั้นๆเช่น

ใช้แรงยกที่มีขนาดเท่ากับF= 10.0000 ... 1N เป็นต้น เมื่อเพิ่มแรงยกให้มากขึ้นเล็กน้อยแล้วจะท�าให้

มีแรงลัพธ์ที่ไม่เท่ากับศูนย์กระท�าต่อกล่อง กล่องจึงเริ่มเคลื่อนที่ขึ้น อย่างไรก็ดี เมื่อกล่องเคลื่อนที่แล้วจะ

ลดแรงยกลงให้เท่ากับน�้าหนัก mg ซ่ึงท�าให้แรงลัพธ์ที่กระท�าต่อกล่องเท่ากับศูนย์ แต่กล่องจะยังคง

เคลื่อนที่ขึ้นต่อไปด้วยความเร็วคงตัวตามกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 ของนิวตัน กล่าวโดยสรุปได้ว่า

การยกวัตถุด้วยงานที่น้อยที่สุดรวมไปถึงการยกวัตถุด้วยความเร็วคงตัว จะใช้แรงยกที่มีขนาดเท่ากับน�้าหนักของวัตถุ โดยได้สมมติเป็นนัยว่ามีการเพิ่มแรงยก

ให้มากกว่าน�้าหนักของวัตถุเล็กน้อยในช่วงเริ่มต้นเพื่อให้วัตถุเริ่มเคลื่อนที่ได้

ในตัวอย่างต่อๆไปหากไม่ได้ก�าหนดรูปแบบการยกที่ชัดเจนจะหมายถึงการยกวัตถุข้ึนด้วย

แรงที่มีขนาดเท่ากับน�้าหนักของวัตถุ ส�าหรับในตัวอย่างนี้งานน้อยที่สุดเกิดจากการใช้แรงยกที่มีขนาด

F = mg = 10.0 N โดยกล่องมีการกระจัด s = h = 5.00 m และแรงยก

F มีทิศเดียวกับการ

กระจัด s นั่นคือθ = 0 � ดังนั้น

W = Fs cos 0 � = (mg)s cos 0 � = 10.0× 5.00 cos 0 � = 50.0 J ตอบ

Chapter 5. D1.indd 23 20/1/2555 16:05:35

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡



สายเคเบิลเส้นหนึ่งใช้ยกลิฟต์มวล

1200 kg ขึ้นในแนวดิ่งเป็นระยะทาง 40 m

ด้วยความเร็วคงตัวดังภาพ จงค�านวณงาน

จากแรงตึงในสายเคเบิลและงานจากน�้าหนัก

ของลิฟต์ ก�าหนดให้ g = 10m/s2


ตามที่ได้อธิบายในตัวอย่าง 5.11 แรงตึงในสายเคเบิลที่ท�าให้ลิฟต์เคลื่อนที่ขึ้นด้วยความเร็วคงตัว

จะเท่ากับน�้าหนักของลิฟต์ นั่นคือ FT = mg = 1200g เนื่องจากแรงตึงFT มีทิศเดียวกับการกระจัด

s ของลิฟต์ ดังนั้นจะค�านวณงานจากแรงตึงได้จากสมการ (5.1) โดยθ = 0 � ดังนี้

WT = FTs cos 0 � = (1200g)s cos 0 � = 1200× 10× 40 cos 0 �

WT = 4.8× 105 J ตอบ

น�้าหนัก mg ของลิฟต์มีทิศชี้ลง ซึ่งตรงกันข้ามกับทิศของการกระจัด s ดังนั้นจะค�านวณงาน

จากน�้าหนักของลิฟต์ได้จากสมการ (5.1) โดยθ = 180 � ดังนี้

Wmg = mgs cos 180 � = 1200× 10× 40× (-1)

Wmg = -4.8× 105 J ตอบ


หากลิฟต์เคลื่อนที่ขึ้นด้วยความเร่งแรงตึงในสายเคเบิลจะมีขนาดมากกว่าน�้าหนักของลิฟต์ท�าให้

งานจากแรงตึงมากกว่า 4.8 × 105 J แต่งานจากน�า้หนักของลิฟต์ยังคงเท่ากับ -4.8 × 105 J สาเหตุ

เนื่องจากน�้าหนักของลิฟต์เป็นแรงโน้มถ่วงที่โลกกระท�าต่อลิฟต์ซึ่งมีค่าคงตัว


จงค�านวณงานที่แรงโน้มถ่วงกระท�าต่อก้อนหินมวล 250 kg

ในขณะท่ีก้อนหินตกลงได้ระยะทาง 3.00 m ดังภาพ ก�าหนดให้

g = 10m/s2


แรงโน้มถ่วงท่ีกระท�าต่อก้อนหินคือ น�้าหนักของก้อนหินซึ่งเท่ากับ 250g เนื่องจากแรงโน้มถ่วง

มีทิศชี้ลงซึ่งเป็นทิศเดียวกับการกระจัด s ของก้อนหิน ดังนั้นจะค�านวณงานได้จากสมการ (5.1) โดย

θ = 0 � ดังนี้

Wmg = mgs cos 0 � = 250× 10× 3.00 cos 0 �

FT�FT = mg = 1200g

1200 kg�s

θ = 180 ํ

s = 40

m

θ = 0 ํ

�mg = 1200g�

�mg

�s

250 kg

�sθ = 0 ํs =

3.00

m �mg�mg = 250g�

Chapter 5. D1.indd 24 20/1/2555 16:05:36

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

5.1งาน 25

Wmg = 7.50 × 103 J ตอบ

ตัวอย่าง 5.14

บวรศักดิ์ออกแรงดึงเชือกเพื่อยกกล่องขึ้นมายังชั้นสองของบ้าน

หากกล่องเคลื่อนที่ขึ้นได้ระยะทาง 5.00 m และบวรศักดิ์ท�างาน

200 J จงค�านวณมวลของกล่อง ก�าหนดให้ g = 10 m/s2

ัั้ตอ้นาาราาคาตอบ

เนื่องจากไม่ได้ก�าหนดรูปแบบการเคลื่อนที่ของกล่อง ดังนั้นจึงก�าหนดให้กล่องเคลื่อนที่ขึ้นด้วย

ความเร็วคงตัว ท�าให้แรงตึงในเชือกที่ใช้ยกกล่องเท่ากับ FT = mg

แรงตึง FT กับการกระจัด s ของกล่องมีทิศเดียวกัน งานจากแรงตึงจึงค�านวณได้จากสมการ

(5.1) โดยมุม θ = 0 � ดังนี้

WT = FTs cos 0 � = FTs = (mg)s ... (1)

แทน WT = 200 J และ s = 5.00 m ลงในสมการ (1) จะได้ว่า

m = Wgs

T = 20010 5 00× . = 4.00 kg ตอบ


นักสเกตมวล 60.0 kg เลื่อนตัวลงบนพื้นเอียงที่ท�ามุม 30 � กับแนวราบได้ระยะทาง 9.00 m

ดังภาพ (ก) หากพื้นเอียงมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์เท่ากับ 0.200 จงค�านวณงานจากแรงแต่ละ

แรงที่กระท�าต่อนักสเกตและงานรวมบนนักสเกต ก�าหนดให้ g = 10 m/s2

(ก) (ข)

x

yFN�

30 ํ

mg sin 30 ํ

30 ํ 30 ํ

m = 60.0 kg Fk = µkFNs = 9.00 m

�mgmg cos 30 ํ

ัั้ตอ้นาาราาคาตอบ

ให้วาดผังวัตถุอิสระของนักสเกตดังภาพ (ข) จากภาพจะเห็นได้ว่าแรงที่ยังไม่ทราบค่า คือ

แรงตั้งฉาก FN และแรงเสียดทานจลน์

Fk โดยแรงตั้งฉากหาได้จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน

ในแนวแกน y ที่มี ay = 0 (นักสเกตไม่มีการเคลื่อนที่ในแนวตั้งฉากกับพื้นเอียง) ดังนี้

FT�

m

�s

s = 5.

00 m

�mg

θ = 0 ํ

FT�

Chapter 5. D2.indd 25 17/2/2555 11:46:16

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


ι ∑Fy = may = 0

(+FN) + (-mg cos 30 �) = 0

FN = mg cos 30 �

เมื่อทราบค่าแรงตั้งฉากแล้วจะค�านวณแรงเสียดทานจลน์ได้ดังนี้

Fk = mkFN = mkmg cos 30 �

แรงที่กระท�าต่อนักสเกตประกอบด้วยแรง 3 แรง คือ น�้าหนัก mg แรงตั้งฉาก FN และแรง

เสียดทานจลน์ Fk ทั้ง 3 แรงเป็นแรงคงตัว ท�าให้ค�านวณงานได้จากสมการ (5.1) ที่มีมุม θ ดังภาพ (ค)

ดังนี้

(ค)

FN�30 ํ Fk

��s

θ = 60 ํ�mg

θ = 90 ํ

θ = 180 ํ

�s�s

งานจากน�้าหนัก:

Wmg = mgs cos 60 � = 60.0 × 10 × 9.00 cos 60 � = 2700 J ตอบ

งานจากแรงตั้งฉาก:

WN = FNs cos 90 � = 0 ตอบ

งานจากแรงเสียดทาน:

Wk = Fks cos 180 � = (mkmg cos 30 �)s cos 180 �

= 0.200 × 60.0 × 10 cos 30 � × 9.00 × (-1)

Wk = -935 J ตอบ

และจะค�านวณงานรวมได้ดังนี้

Wรวม = Wmg + WN + Wk

= 2700 + 0 + (-935)

Wรวม = 1765 J ตอบ


กอบชัยมีมวล m = 60.0 kg เลื่อนตัวลงตามแนวพื้นเอียงได้ระยะตามแนวพื้นเอียงเท่ากับ

d = 3.00 m และได้ระยะในแนวดิ่งเท่ากับ h = 2.00 m ดังภาพ (ก) จงค�านวณงานที่แรงโน้มถ่วง

กระท�าต่อกอบชัย ก�าหนดให้ g = 10 m/s2

Chapter 5. D2.indd 26 17/2/2555 11:46:17

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

5.1งาน 27

(ก)(ข)

h =

2.00 m

dh

θ

θ

m = 60.0 kg

�ss = d = 3.00 m

�mg


ก�าหนดให้พื้นเอียงท�ามุม θ กับแนวดิ่งดังภาพ (ข) จากภาพแรงโน้มถ่วงที่กระท�าต่อกอบชัยคือ

น�้าหนัก mg ของกอบชัย โดยน�้าหนัก mg มีทิศท�ามุมθ กับการกระจัด s ของกอบชัย ดังนั้นจะ

ค�านวณงานจากแรงโน้มถ่วงได้ดังนี้

Wmg = mgs cosθ = mgd cosθ, (s = d) ... (1)

จากความสัมพันธ์ของมุม θ บนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากในภาพ (ข) จะได้ว่า cos θ = hd ให้

แทนค่า cosθ ลงในสมการ (1) จะได้ว่า

Wmg = mgd hd( ) = mgh = 60.0× 10× 2.00

Wmg = 1200 J ตอบ


เมื่อพิจารณาผลการค�านวณงานจากแรงโน้มถ่วงหรือน�้าหนักในการเคลื่อนที่ลงตามสมการ

Wmg = mgh จะพบว่า งานจากแรงโน้มถ่วงขึ้นอยู่กับระยะในแนวดิ่ง h โดยไม่ขึ้นอยู่กับระยะ d ตาม

แนวพื้นเอียง ดังนั้นหากระยะ d เปลี่ยนแปลงไป แต่ระยะในแนวดิ่ง h ยังคงเท่าเดิมดังภาพ (ค) งาน

จากแรงโน้มถ่วงในการเคลื่อนที่ลงจะยังคงเท่ากับmgh

h

d1

d2

(ค) เคลื่อนที่ลง

Wmg = mgh

h�mg�mg

�mg

Chapter 5. D1.indd 27 20/1/2555 16:05:40

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡


นักเรียนสามารถหางานจากแรงโน้มถ่วงในการเคลื่อนที่ลงได้จากการพิจารณาการกระจัดใน

แนวดิ่ง กล่าวคือ กอบชัยเคลื่อนที่ลงได้การกระจัดในแนวดิ่งเท่ากับ h ในทิศชี้ลง ซึ่งเป็นทิศเดียวกับ

น�้าหนัก mg ดังนั้นงานจากน�้าหนัก mg จึงเป็นจ�านวนบวก และค�านวณได้ดังนี้

Wmg = mgh , (เคลื่อนที่ลง)

ในท�านองเดียวกัน หากกอบชัยเคลื่อนที่ขึ้นได้การกระจัดในแนวดิ่งเท่ากับ h ดังภาพ (ง)

การกระจัดในแนวดิ่งจะมีทิศตรงกันข้ามกับน�้าหนัก mg ท�าให้งานจากน�้าหนัก mg เป็นจ�านวนลบแต่ยังคงขึ้นอยู่กับระยะในแนวดิ่ง h เท่านั้น ดังนั้น

Wmg = -mgh , (เคลื่อนที่ขึ้น)

d1

d2

(ง) เคลื่อนที่ขึ้น

h

Wmg = -mgh�mg

�mg

�mg

h

ตัวอย่ำง 5.17 (ent)

จงหางานอย่างน้อยทีก่รรมกรคนหนึง่ต้องท�าในการผลกักล่องสนิค้ามวล50kgข้ึนไปตามพืน้เอยีง

ท�ามุม53 �กับพื้นราบจนถึงจุดสูงสุดในแนวดิ่งซึ่งสูงขึ้นเป็นระยะ4.0mดังภาพ(ก)ถ้าแรงเสียดทาน

ระหว่างพื้นเอียงกับกล่องเท่ากับ 80N และ g = 10m/s2

ก. 400 J ข. 520 J ค. 2000 J ง. 2400 J

(ก) (ข)

h =

4.0 m

F�

FN�F

�

53 ํ53 ํ

m = 50 kgs = d

�mg

�sFfr = 80 NFfr = 80 N

50 kg

Chapter 5. D1.indd 28 20/1/2555 16:05:42

«‘∑¬æ—≤πè


¬„π‡≈ã¡

µ «Õ¬ã ß¿ ¬ ã¡ « ¬æ è · 7.6...

Documents

Transcript of µ «Õ¬ã ß¿ ¬ ã¡ « ¬æ è · 7.6...