Довідник з геометрії 7-9 кл. укр 12
Transcript of Довідник з геометрії 7-9 кл. укр 12
ДОВІДНИК
з геометрії
для учнів 7-9 класів
СІВЕРСЬК 2012
ДОВІДНИК
з геометрії для учнів 7-9 класів, а також для всіх абітурієнтів, що мріють стати студентами
Видання 3-тє, виправлене та доповнене
Довідник є продовженням авторської серії довідників зі шкільної математики: «Пам’яток» для учнів 5-6 класів та «Довідників» з алгебри для учнів 7-9 класів, "Vista", 2004 – 12
Усі права зберігаються. З питань комерційного розповсюдження звертатися до автора.
Євген Павлович Скиба: +38095-319-95-18www . abx . at . ua Е-mail: [email protected]
© Видавництво "Vista", 2012
2
I. Аксіоми геометріїАксіоми (належності точок і прямих)
А В С
A a, B a b – єдина
Аксіоми (розміщення)
A B C
B – між A та С
AB перетинає аCD не перетинає а
Аксіоми (вимірювання)
3
D ba
a
D
СA
B
a
C O D
а
сb
no
A
B A a B
AC=AB+BC
A B С
COD – розгорнутий
ABC= no>0AB=a>0
C
Аксіоми (відкладання)
О А
ОА = m – єдиний – єдиний
Аксіома (паралельних)
II. Кути
Радіанна міра α Градусна міра no
Суміжні кутиВластивість
Вертикальні кути Властивість
4
m
b
a
C
A Bn
b – єдина
С
А B D
1 2
ОB
a
b
A
Перпендикуляр (відстань від точки до прямої)
AB – єдиний перпендикуляр
ІІІ. Паралельність прямих
Якщо a||b, b||c, то a||c
Ознаки паралельності прямих
1. Якщо 2. Якщо 3. Якщо
то a||b
Властивості паралельних прямих
Якщо a||b, то (див. малюнки) (різносторонні) (односторонні) (відповідні)
ІV. Трикутник
Нерівність трикутника a b a < b + c b < a + b c c < a + b
5
B
A
a
ba
с
Властивість
ab 1
2ab
21
ab
2
1
Елементи трикутника
висота бісектриса медіана
Властивість суми кутів трикутника
Властивість зовнішнього кута
Ознаки рівності трикутників 1. Якщо 2. Якщо 3. Якщо
то
Середня лінія трикутникаВластивості
6
С
H
С
K
С
M
A B D
CC
С
A B
С1
A1
Фигеометричних і кутів Иикутника з кутом B1
E
С
А B
D
Рівнобедрений трикутник (AB=BC) Властивості Ознаки
Якщо - 1) Якщо , то рівнобедрений, то – рівнобедрений1) 2) Якщо BD – медіана і
бісектриса (або бісект-2) BD – медіана, риса і висота, висота бісектриса, і медіана), то - висота. рівнобедрений.
Прямокутний трикутник ( )
7
B
A CDC
катет
A B к а т е т
г і п о т е н у з а
Ознаки рівності
1) за двома катетами2) за гіпотенузою і катетом3) за гіпотенузою і гострим кутом
4-5) за катетом і гострим кутом (прилеглим; протилежним)
А
х
С
2х
B30
Властивість прямокутного трикутника з кутом
Ознака кута 30 o в прямокутному трикутнику
Якщо , то
Властивість медіани прямокутного трикутника
Співвідношення сторін і кутів ( Теорема Піфагора )
Таблиця значень тригонометричних функцій
0 1 0
123 0 - - - -1
0 1 – - -1 - 0
8
А
С B
М
ас
b
– 1 0 - -1 - –
Основні тригонометричні тотожності
9
Подібність трикутників
означає
;
Ознаки подібності
1. Якщо 2. Якщо 3. Якщо
то
Подібність прямокутних трикутників
Теорема косинусів
10
А С
C1
B B1
A1
A B
С
A1 B1
С1
C
D B A
a с
b
Теорема синусів
Властивість бісектриси трикутника
Теорема Фалеса
Якщо a||b||c і AB=BC,то A1B1=B1C1
Узагальнена теорема Фалеса
Якщо a||b||c, то
Відношення площ подібних фігур
а а1 Якщо то
V. ЧотирикутникиПаралелограм ( AB||C D , AD || BC )
11
a
R
B
CDA
a b c
C1B1A1
CBA
a b c
C1B1A1
C A
Властивості Ознаки1) 1) Якщо
2) AB=CD, AB||DC, то ABCD – паралелограм.
2) Якщо3)
AO=OC, DO=OB,4) то ABCD – паралелограм.
Прямокутник ( AB||C D , AD || BC , А=90° )
Властивості Ознака1), 2), 3) вище 1) Якщо ABCD – паралелограм4)* та AС=BD
AC=BD то ABCD – прямокутник
12
B A
D C
A
D C
B O
D A
B C
A
C D
B A
C D
B
Ромб ( AB||C D , AD || BC , AB = BC = CD = AD )
Властивості Ознака1), 2), 3) вище Якщо ABCD – паралело-4)** грам та , BD – бісектриса то ABCD – ромб.
Квадрат ( AB||C D , AD || BC , AB = BC = CD = AD , А=90° )) Властивості Ознака
1), 2), 3), 4)*, 4)** вище Якщо ABCD – ромб і AC=BD, то ABCD – квадрат
Трапеція (BС||AD)Властивості середньої лінії
EF||AD,
Рівнобічна трапеція (AB=CD)Властивість
13
D
C
B
A
D
A B
С
B C
E F
A D
B C
A D
VI. КолоВластивості радіуса і хорди
1) Якщо
2) Якщо
Властивості дотичної
1) 2)
Описане коло (трикутник) Вписане коло
Центр – точка перетину Центр – точка серединних перпендикулярів перетину бісектрис
ТРИКУТНИК ЦЕНТРгострокутний всерединіпрямокутний на гіпотенузітупокутний поза трикутником
14
C B
DO
E
O
А
B
C
OO
Описане коло (чотирикутник) Вписане коло
Властивості1) AB+CD=BC+AD2) Якщо ABCD – трапеція, то AB=CD
Вписані і центральні кути Властивість Пропорційність відрізків
Довжина кола
Довжина дуги
15
C1
B A
O
C
B
D C S
A
O B A
C
B A P
D
C
B
A
C
D
B
A
D
C
Якщо AB – діаметр, то
VII. Многокутники (n-кутники)
Сума внутрішніх кутів 180o(n-2) Сума зовнішніх кутів 360o
Правильні многокутникиКількість
кутівЗалежність а від R Залежність а від r
n
3
4
6
VIII. Координати
Відстань між точками
Координати середини відрізка
16
А(x1;y1)
C(x;y)
B(x2;y2)
Рівняння кола(x-xo)2+(y-yo)2=R2
Рівняння кола з центром O(0;0)x2+y2=R2
Рівняння прямоїax+by+c=0
Рівняння прямої, що проходитьчерез точки А(x1;y1) та В(x2;y2)
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтомy=kx+b,
k=tg – кутовий коефіцієнт
Часткові випадкиx = a рівняння прямої || Oy, що проходить
через точку (а;0)
y = b рівняння прямої || Ox, що проходитьчерез точку (0;b)
IX. Вектори
Координати вектора
17
O(xo;yo)
R
y
x O
a B(x2;y2)
А(x1;y1)
Довжина вектора (a1;a2)
Додавання векторів
Віднімання векторів
Множення вектора на число
Вектори колінеарні, якщо
Скалярний добуток векторів
18
ba
c
правило трикутника
c
b
a
правило паралелограма
a
b
c
a0, kak
0, kak
або
Властивість і ознака перпендикулярності векторів
19
Х. Площі фігур
20
a d
b
a
b ha
d2 d1
d2
d1
a
a
h
d1 d2
a
b
a
c b ha
h
a d
Правильні многокутники (n кутів)
21
b
a
a
R
R r
a n
nRS
rPS
360sin
2
12
1
2
b
a