Урок 7

Трехгранный угол

sin

sin

sin

sin

sin

sin

a b c

Теорема синусов для трехгранного угла

Свойство двойственности: если в любом верном утверждении плоские углы заменить на углы, дополняющие двугранные до 180, а двугранные – на углы, дополняющие плоские до 180, то получится верное утверждение!

Какое утверждение является двойственным к теореме: а) синусов; б) косинусов?

Как доказать признаки равенства трехгранных углов?

1) Докажите, что в трехгранном угле ребро двугранного угла проектируется на прямую, содержащую биссектрису противолежащего плоского угла т. и т. т., когда два других двугранных угла равны

Два плоских угла трехгранного угла равны по 45, а двугранный угол между ними – 90. Найдите третий плоский угол

c

Следствие. Если = 90, то cos = coscos – аналог теоремы Пифагора!

Верно ли, что:а)каждый двугранный угол трехгранного угла меньше суммы двух других двугранных углов?

б)сумма всех двугранных углов трехгранного угла больше чем 1800?

Чем 3600?

В основании призмы – ромб АВСD с тупым углом B = . Вершина B’ проектируется в точку O – центр нижнего основания. Боковое ребро в два раза меньше ребра основания. Найдите остальные элементы трехгранного угла с вершиной В.

Так как О[BD], то ABB’ = CBB’ = < 90

cos = cos0,5cosB’BO BO

BB' = cos0,5

a

a

cos ,

,

0 5

0 5

= cos0,5

= 2cos2 0,5 =

(BA) = (BC) =

1 + cos

= arccos(1 + cos);

=OKB’;

BA 'ВВПусть

OK

B K'

0 5

0 5

, sin

, sin

a

a

sin

cos cos

2 2

tg

cos ( cos )

cos

2

2

;

;

cos = = =

= arccos

OA

MA

a

a

sin ,

sin

0 5

sin ,

cos cos

0 5

22

]

(BB’) = = AMC = 2AMO = 2arcsin = 2arcsin

= 2arcsin

(BA) = (BC) = =OKB’;