第 7 章 行 列 式
-
Upload
felicia-clements -
Category
Documents
-
view
35 -
download
2
description
Transcript of 第 7 章 行 列 式
第 7 章
行 列 式
A 矩陣的行列式以det(A) 或 |A| 表示
det(A) 或 |A| 表示一個數值,它可能為正,為負或為 0.
22 矩陣的行列式
33
24+ )3(4− )3(2 6
711
612
340
+−
)7)(1(0 )3)(1(2 )1)(6)(4( )1)(1(3
)1)(6(0 )7)(2)(4(
56032460
29
33 矩陣的行列式
餘因子展開子行列式 (Minor)
若 A 為 nn 矩陣, aij 的子行列式表為Mij ,它是 A 中去掉第 i 列第 j 行所得的(n-1)(n-1) 階矩陣的行列式。餘因子 (Cofactor)
(−1)i+j Mij 稱為 aij 的餘因子 .
利用列的餘因子展開求行列式
若 A 為 nn 矩陣,則對任意整數 i , 1 ≤ i ≤ n ,
n
jijij
ji Ma1
)1(A
第 i 列的餘因子展開式
44 矩陣的行列式
3225
1432
5612
2340
選某一列展開:例如以第 2 列展開
)2( )1(
)6(
322
143
234
325
142
230
325
132
240
)5(225
432
340
利用行的餘因子展開式求行列式
若 A 為 nn 矩陣,則對任意整數 j , 1 ≤ j ≤ n ,
n
iijij
ji Ma1
)1(A
第 j 行的餘因子展開式
44 矩陣的行列式
3225
1432
5612
2340
選某一行展開:例如以第 1 行展開
)0( )2(
)2(
322
143
561
322
143
234
322
561
234
)5(
143
561
234
排列分為奇排列與偶排列
說明如下考慮 1, 2, 3, 4, 5 的一種排列 2, 5, 1, 4, 3
問題: 2, 5, 1, 4, 3 的排列順序須經 過幾次相鄰位置的交換,才 能變回 1, 2, 3, 4, 5 之順序?
2, 5, 1, 4, 3
→ 1, 2, 5, 4, 3
→ 1, 2, 5, 3, 4
→ 1, 2, 3, 4, 5
→ 2, 1, 5, 4, 3
→ 1, 2, 3, 5, 4
5 次交換 奇排列
從 2, 5, 1, 4, 3 排列中的每一個數字 k ,數算在其右邊較 k 小的個數,再加總起來,即可判定為奇排列或偶排列。
2, 5, 1, 4, 3 :1+3+0+1+0 = 5
3, 1, 4, 5, 2 :2+0+1+1+0 = 4
→奇排列
→偶排列
若 p 為一排列,定義
為奇排列為偶排列
p
pp
, 1
, 0)sgn(
令 p = 排列 2, 5, 1, 4, 3
則 p(1)=2, p(2)=5, p(3)=1 p(4)=4, p(5)=3
若 A 為 nn 矩陣,則 A 的行列式等於下列乘積的總和
(−1)sgn(p)a1p(1)a2p(2) anp(n)
p 為 1,2, , n 的所有排列,即
|A| =Σ(−1)sgn(p)a1p(1)a2p(2) anp(n)
p
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
1,2,3 的排列共有 6 種: (1,2,3),(1,3,2),
(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1), 其排列分別為 偶 , 奇 , 奇 , 偶 , 偶 , 奇
332112 aaa
322113 aaa
332211 aaa 322311 aaa
312312 aaa
312213 aaa
行列式的性質1. 展開的每一項一定從每列僅取 一個元素,同時也從每行僅取 一個元素。
2. 若有零列或零行,行列式必等 於 0 。
3. 經列運算或行運算後,若可造 成零列或零行,行列式必等於 0 。
4. 某一列或某一行乘以一常數 k , 則行列式將變成原來的 k 倍。5. 若將某兩列交換或某兩行交換, 則行列式的值將變更正負號。6. 以某一列 ( 行 ) 的純量倍加到另一 列 ( 行 ) 則行列式的值不變 .
7. 設 A 與 B 均為 nn 階矩陣,則 | AB | = |A| |B|
7.5 習 題
1.3.5.9.
反矩陣的行列式表法
設 A 為 nn 階非奇異矩陣 ( 即 |A|≠0) ,定義另一 nn 階矩陣 B 如下
jiji
ij Mb )1(1
A
則 B =A−1.
592
336
142
A設
A 則
)9)(3)(2(5)4(6)(1(3)(2)
)9)(6(1)2)(3(4)5)(3)(2(
541206
542430
120
令 B =A−1.
592
336
142
120
12
59
33
120
)1( 11
11
b
120
24
52
36
120
)1( 12
21
b
120
48
92
36
120
)1( 13
31
b
120
112
24
48
592
336
142
120
29
59
14
120
)1( 21
12
b
120
8
52
12
120
)1( 22
22
b
120
26
92
42
120
)1( 23
32
b
120
112
24
48
29
8
26
592
336
142
120
15
33
14
120
)1( 31
13
b
036
12
120
)1( 32
23
b
120
30
36
42
120
)1( 33
33
b
120
112
24
48
29
8
26
15
030
7.7 習 題
3.5.
克蘭姆法則 (Cramer’s rule)
利用行列式法求解方程組 AX = B ,其中 A 為 nn 階非奇異矩陣 .
設 A 為 nn 階非奇異矩陣,則 AX=B的唯一解為
nx
x
x
2
1
X ,其中A
BA )( ;kxk
而 A(k ; B) 為 A 中第 k 行以 B 替代後所得的矩陣 .
nb
b
b
2
1
B 設
證明
A
A
k
k
x
kx
矩陣之行列式為
行所形成的 中第乘以 且以
nnknknn
nkk
nkk
k
axaaa
axaaa
axaaa
x
21
222221
111211
A
x1
x2 xn
再將每一第 j 行 ( j≠k ) 乘以 xj 後加於第 k 行,如此並不影響行列式值
nnnnnnnnn
nnn
nnn
axaxaxaaa
axaxaxaaa
axaxaxaaa
221121
222221212221
112121111211
nnnnn
n
n
abaa
abaa
abaa
21
222221
111211
Akx
)( BA ;k
)( BAA ;kxk 即
A
BA )(
;kxk
53
143
143
32
321
321
xx
xxx
xxx試解方程組:
310
311
431
令解:
)9(
)3(0
403
13
53
143
143
32
321
321
xx
xxx
xxx
117
315
3114
431
1
10
350
3141
411
2
25
510
1411
131
3
13
117 1
x
13
102
x
13
253
x
7.8 習 題
2.4.8.