《第7讲权与定权的常用方法》

测绘工程系测绘工程系误差理论与测量平差误差理论与测量平差

权与定权的常用方法权与定权的常用方法

《第 7 讲权与定权的常用方法》

主讲人：李海峰

http://www.lib.berkeley.edu/EART/



提纲：一、权的概念二、测量中定权的常用方法三、协因数与协因数阵四、协因数及权倒数传播定律



权与定权的常用方法权与定权的常用方法一、权的概念一、权的概念

在一组不等精度的观测中，由于观测值的精度不同，观测值的可靠性也不一样，观测精度高的可靠程度大，观测精度低的可靠程度小。这样我们在进行数据处理的时候就不能等同对待，即为了区别观测值精度的高低，确定各自所占的比重，就必须引入权的概念。下面我先看一个例子。

设对一个已知角 A （无误差， A=30°25′36″ ）进行两次不等精度观测，其观测值 A1=30°25′34″ ， A2=30°25′42″ ，它们的中误差分别为 2.0″ 和 4.0″ 。求该角的最或是值及其中误差。




(1) 将上述两个不等精度观测值的可靠程度等同看待，用算术平均值作为最可靠值并评定精度，则有 :

(2) 按照 A1: A2=4:1 的比例进行数据处理 , 则有：42.2ˆ

A

6.3525305

4ˆ 21 AAA

2222ˆ 2.3

251

2516

21 AAA

97.1ˆ A




(3) 按照 A1:A2=10:1 的比例进行数据处理 , 则有：

对比三种数据处理方法可知，第二种求得的最或是值最理想，精度最高。由此说明，如果观测值的观测精度不同，在做数据处理时，不能将观测值等同看待，而是精度高的所占比例较大，精度低的所占比例较小，并且二者的比例也必须适当。

2222ˆ 4.3

1211

121100

21 AAA

7.34253011

10ˆ 21 AAA

58.1ˆ A




衡量不同精度观测值在进行数据处理时所占的分量的轻重测量上称为权 , 定义式 Pi 代表第 i 个观测值的权

为比例常数可以任意选取，但比例不变。上例中 4:1 的比例就是按照权之比确定的。就定义式而言，当 Pi=1 时，也就是说是权为 1 的观测值

的中误差，在测量中权为 1 的观测值称为单位权观测值，其中误差就是单位权中误差，的真正含义就是单位权中误差。尽管是任选的，但一经选定就有其具体含义。即它是其它观测值用来对比的精度标准。精度高于它的，权大于 1 ，反之则小于 1 ，而精度与之相等的，则权必为 1 。在同一个问题中只能选取一个。

2

20

iiP

0

i 0 0

00



权与定权的常用方法权与定权的常用方法二、测量中定权的常用方法二、测量中定权的常用方法

11 、水准测量的权、水准测量的权假设水准测量中，每一测站观测高差的精度相同，且中误假设水准测量中，每一测站观测高差的精度相同，且中误差均为。若第差均为。若第 ii 条水准路线共条水准路线共 nnii 站，则该条水准路线观站，则该条水准路线观测的高差中误差为测的高差中误差为若令若令 CC 个测站观测高差中误差为单位权中误差，则个测站观测高差中误差为单位权中误差，则根据权的定义式可知，水准测量中高差的权为根据权的定义式可知，水准测量中高差的权为当当 ni=1ni=1 时，时， Pi=C; Pi=1Pi=C; Pi=1 时，时， ni=Cni=C

上式表明：当各测站观测精度相同时，水准路线观测高差的权与其测站数成反上式表明：当各测站观测精度相同时，水准路线观测高差的权与其测站数成反比。比。 CC 是是 11 测站的观测高差的权；测站的观测高差的权； CC 是单位权观测高差的测站数；是单位权观测高差的测站数；

站

站 ih ni

站 C0

ih nCP

i

2

20

1




11 、水准测量的权、水准测量的权假设水准测量中，每一公里观测高差的精度相同，且中误假设水准测量中，每一公里观测高差的精度相同，且中误差均为。若第差均为。若第 ii 条水准路线共条水准路线共 SSii 公里，则该条水准路线公里，则该条水准路线观测的高差中误差为观测的高差中误差为若令若令 CkmCkm 观测高差中误差为单位权中误差，则观测高差中误差为单位权中误差，则根据权的定义式可知，水准测量中高差的权为根据权的定义式可知，水准测量中高差的权为当当 Si=1Si=1 时，时， Pi=C; Pi=1Pi=C; Pi=1 时，时， Si=CSi=C 上式表明：当每公里观测精度相同时，水准路线观测高差的权与其测站数成反上式表明：当每公里观测精度相同时，水准路线观测高差的权与其测站数成反

比；比； CC 是是 11 公里的观测高差的权；公里的观测高差的权； CC 是单位权观测高差的公里数；是单位权观测高差的公里数；

km

kmih Si

kmC 0

ih SCP

i

2

20

1




【【例例 7-17-1 】】设某条水准网由三条水准路线，各条水准路线的高差分别设某条水准网由三条水准路线，各条水准路线的高差分别

为为 hh11 、、 hh22 、、 hh33 ，已知各条水准路线的测站数分别为，已知各条水准路线的测站数分别为nn11=15 n=15 n22=30=30 、、 nn33=60=60 站，试求站，试求

(1)(1) 若若 C=60C=60 站，求三条水准路线的权及比例；站，求三条水准路线的权及比例； (2)(2) 若若 C=30C=30 站，求三条水准路线的权及比例。站，求三条水准路线的权及比例。解：解： (1)(1) 根据公式根据公式 Pi=C/niPi=C/ni 且且 C=60C=60 得得 PP11=60/15=4=60/15=4 PP22=60/30=2=60/30=2 PP33=60/60=1=60/60=1 PP11: P: P22: P: P33= 4: 2: 1= 4: 2: 1




(2)(2) 根据公式根据公式 Pi=C/niPi=C/ni 且且 C=30C=30 得得 PP11=30/15=2=30/15=2 PP22=30/30=1=30/30=1 PP33=30/60=1/2=30/60=1/2 PP11: P: P22: P: P33= 4: 2: 1= 4: 2: 1 说明：即使取不同的 C 值，但权之间的比例保持不变。




22 、三角高程的权、三角高程的权用三角测量推算的高差观测值，其精度随边长的增加而急用三角测量推算的高差观测值，其精度随边长的增加而急

剧下降，其两点间高差观测值的权的计算公式为剧下降，其两点间高差观测值的权的计算公式为

SiSi 为任一边的水平距离；为任一边的水平距离； CC 为任意常数为任意常数),...,3,2,1(2 ni

SCPi

i




3 、同精度观测值算术平均值的权设同精度独立观测值 L1,L2, …,Ln, 它们分别是 N1,N2,

…,Nn 次观测值的平均值。设每次观测中误差是，则 Li

的中误差为令 , 则由权的定义可得

ii N

c

0cNP i

i



权与定权的常用方法权与定权的常用方法三、协因数和协因数阵三、协因数和协因数阵

1 、协因数由权的定义可知权与观测值的方差成反比，设有观测值 Li

和 Lj ，它们的方差分别为令

称 Qii 、 Qjj 为观测值 Li 和 Lj 的协因数或权倒数； Qij 为观测值 Li 和 Lj 的互协因数。

不难理解，有类似的作用，也可作为比较观测值精度高低的一种指标。协因数与方差成正比；互协因数有正负之分，绝对值越大相关性越大。

ij22 协方差为、 ji

20

20

2

20

2 11

ij

ijj

jjj

i

iii Q

PQ

PQ 、、

jjjii PPQQ 、与、 i




2 、协因数阵当有一组观测值 L1,L2,…,Ln 构成观测向量 , 每个观测值均

有自己的协因数，任意两个观测值之间存在互协因数，于是我们定义协因数阵 (QLL) 如下

1nL

nn

LL

Q

QQ

Q

00

0000

22

11

nnnn

n

n

LL

QQQ

QQQQQQ

Q

21

22221

11211 观测值相互独立




3 、权阵协因数可以表示观测向量的相对精度，但平差过程中经常用

其逆矩阵参与运算，定义协因数的逆矩阵为权阵，表示如下

对单个观测值而言，权和协因数互为倒数，对观测向量而言互为逆矩阵，注意权阵主对角线上的元素并不一定是对应观测值的权，这要分两种情况：若观测值相互独立则主对角线的各个元素代表观测值的权，若不独立需通过协因数阵来求权。

nnnn

n

n

nnnn

n

n

PPP

PPPPPP

QQQ

QQQQQQ

QP

21

22221

112111

21

22221

11211

1




【例 7-2 】

已知观测向量 L的权阵为 , 试求观测向量 L的协因数阵及观测值 L1 、 L2 的权。

解：因为观测向量 L的协因数阵为权阵的逆矩阵，所以 L的协因数阵为

所以 L1 、 L2 的协因数为 Q11=Q22=1/3 L1 、 L2 的权为 P1=P2=3

4004

P

31

6161

31

4224 1

1PQ

4224

P

思考P=?



权与定权的常用方法权与定权的常用方法四、协因数及权倒数传播定律四、协因数及权倒数传播定律

1 、协因数传播定律由于任意观测向量的协方差总是等于单位权方差因子乘以该向量的协因数阵，因此可以方便的由协方差传播定律推导出协因数传播定律即

KXZ 函数向量 TXXZZ KKDD

20

20

TXXZZ KKDD

TXXZZ KKQQ




2 、权倒数传播定律设有一观测值的函数 , 各观测值误差相互独立对其求全微分得： =应用协因数传播律：

上式即为权倒数传播定律，注意：权倒数传播定律成立的条件，观测值之间相互独立是必要前提。

)...,( 21 nXXXfZ ，，

nn

dXXfdX

XfdZ 0101

)(...)(

11 nnZdK

nn

Z

TXXZZ p

kp

kp

kP

KKQQ 1...111 2

2

22

1

21




【例 7-3 】

已知独立观测值 Li 的权为 Pi(i=1,2,…,n), 求加权平均值的权 Px 。解：由权倒数传播定律得

PQ

PXX

X 1

PPLX

n

n LPPL

PPL

PP

PPLX 2

21

1

PPPPP

PPP

PPP

PPP

PQ

n

n

n

XXX

1

1111

221

2

2

22

22

12

21




谢谢！


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