Μαθηματικά Ε΄ 6.39. ΄΄ Πρόσθεση και αφαίρεση ετερώνυμων...

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής

Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 6 - Κεφάλαιο 39

΄΄ Πρόσθεση και αφαίρεση ετερώνυμων κλασμάτων ΄΄

Γ.Φ.

http://e-taksh.blogspot.gr

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 39

ΠΡΟΘΕΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΗ ΚΛΑΜΑΣΩΝ

Παράδειγμα πρόςκεςθσ: Παράδειγμα αφαίρεςθσ

4

17 +

6

17+

5

17=

15

17

9

14 -

3

14 =

6

14

Πρζπει να ξζρεισ πωσ ο βαςικόσ κανόνασ λζει ότι για να προςθζτουμε ή να αφαιροφμε κλάςματα πρζπει αυτά να είναι ομώνυμα.

Σε αυτι τθν περίπτωςθ, προςκζτουμε (ι αφαιροφμε) τουσ αρικμθτζσ των κλαςμάτων και αφινουμε ίδιο τον παρονομαςτι

Καλά, κι αν τα

κλάςματα είναι

ετερώνυμα, τότε

τι κάνουμε;

Αν είναι ετερώνυμα, κα πρζπει να βροφμε ιςοδφναμά τουσ που να είναι ομώνυμα κι ζπειτα να κάνουμε τισ προςκζςεισ ι τισ αφαιρζςεισ.

Επειδι όμωσ, όπωσ ζχουμε μάκει, υπάρχουν άπειρα ιςοδφναμα κλάςματα με τα αρχικά, μποροφμε, αν κζλουμε, να βροφμε εκείνα που ζχουν για παρονομαςτι το Ε.Κ.Π. των αρχικών παρονομαςτών.

Και τώρα, πράξεισ μεταξφ κλαςμάτων! Ασ

ξεκινιςουμε με τθν πρόςκεςθ και τθν

αφαίρεςθ. Πώσ μποροφμε να προςκζτουμε

ι να αφαιροφμε κλάςματα;

Παράδειγμα πρόςκεςθσ ετερώνυμων κλαςμάτων

χωρίσ τθ χριςθ του Ε.Κ.Π.

= =

2

3

4

5

1

2 + +

+ + 40

60

48

60

30

60

118

60

58

60 = 1

Στο διπλανό παράδειγμα,

βλζπεισ πωσ τα αρχικά κλάςματα

είναι ετερώνυμα. Ψάχνουμε να

βροφμε λοιπόν, νζα κλάςματα

ιςοδφναμα με τα αρχικά που να

ζχουν κοινοφσ παρονομαςτζσ.

Έπειτα, κάνουμε τισ πράξεισ και,

τζλοσ, τισ μετατροπζσ ςε μεικτό,

αν χρειάηεται.

• 20 • 12 • 30


Xristos

Πλαίσιο κειμένου

Παύλος Κώτσης

Όπωσ καταλαβαίνεισ, με τον προθγοφμενο τρόπο προςπακοφμε να βροφμε καταρχιν κάποιο κοινό πολλαπλάςιο των παρονομαςτϊν, ϊςτε να βροφμε, ζπειτα, τα ιςοδφναμα κλάςματα.

Πολλζσ φορζσ, όμωσ, είναι δφςκολο να εντοπίςουμε κοινά πολλαπλάςια των παρονομαςτϊν. Γι αυτό, είναι καλφτερα και πιο εφκολο να δουλεφουμε ωσ εξισ:

1ο βιμα: Βρίςκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαςτϊν

2ο βιμα: Βρίςκουμε ιςοδφναμα κλάςματα με τα αρχικά που να ζχουν για παρονομαςτι το Ε.Κ.Π. που βρικαμε προθγουμζνωσ.

3ο βιμα: Κάνουμε τισ πράξεισ

Παράδειγμα πρόςκεςθσ ετερώνυμων κλαςμάτων με τθ χριςθ του Ε.Κ.Π.

=

+ + 5

20

12

20

4

20

21

20

1

20 = 1

1ο βήμα: Υπολογίηω το Ε.Κ.Π. των παρονομαςτϊν

Ε.Κ.Π. ( 4, 5, 10 ) = 20

1

4

3

5 + +

2

10

2ο βήμα: Βρίςκω ιςοδφναμα κλάςματα που να

ζχουν για παρονομαςτι το Ε.Κ.Π. =

3ο βήμα: Κάνω τισ πράξεισ και, αν χρειάηεται,

μετατρζπω το τελικό αποτζλεςμα ςε μεικτό.

...και δυο μικρζσ βοήθειεσ !

α/ Για να βρεισ το Ε.Κ.Π. των παρονομαςτϊν μπορείσ να δουλζψεισ με

κάποιον από τουσ τρόπουσ που ζχουμε μάκει.

β/ Για να καταλάβεισ πϊσ κα βρεισ κάκε ιςοδφναμο κλάςμα, ςκζψου με ποιον

αρικμό πρζπει να πολλαπλαςιάςεισ τον αρχικό παρονομαςτι , ϊςτε να προκφψει ο

αρικμόσ του Ε.Κ.Π που κζλεισ. Με τον ίδιο αρικμό κα πολλαπλαςιάςεισ και τον

αρικμθτι. Για παράδειγμα,

ςτο κλάςμα ςκζφτομαι ότι, για να γίνει ο παρονομαςτισ (4) όςοσ και το Ε.Κ.Π.

(20), πρζπει να τον πολλαπλαςιάςω με το 5. Με αυτόν τον αρικμό κα πολλαπλαςιάςω και τον αρικμθτι, για να ζχω ιςοδφναμο κλάςμα.

1

4

• 5 • 4 • 2


Με τουσ ίδιουσ ακριβώσ τρόπουσ που χρηςιμοποιοφμε ςτην

πρόςθεςη μποροφμε να κάνουμε και αφαίρεςη κλαςμάτων.

Ωσ εδϊ ζμακεσ τον τρόπο να προςκζτεισ (ι να αφαιρείσ) ομϊνυμα ι ετερϊνυμα κλάςματα.

Υπάρχουν, όμωσ, αρκετζσ διαφορετικζσ περιπτϊςεισ και ςυνδυαςμοί μεταξφ αρικμϊν. Για παράδειγμα, τι γίνεται αν κζλουμε να προςκζςουμε κλάςματα και φυςικοφσ ι κλάςματα και δεκαδικοφσ ι κλάςματα και μεικτοφσ;

Σε όλεσ αυτζσ τισ ...παράξενεσ περιπτϊςεισ να κυμάςαι αυτό που ζχουμε μάκει ςε παλιότερα μακιματα: Και οι φυςικοί και οι δεκαδικοί και οι μεικτοί μποροφν να μετατραποφν ςε απλά κλάςματα (αν δε κυμάςαι τον τρόπο, ξαναδιάβαςε παλιότερα φυλλάδια, όπωσ τα 7 και 19).

Άρα, ςε κάκε περίπτωςθ, πριν κάνω οποιαδιποτε πράξθ, φροντίηω να είναι όλοι οι αρικμοί ςε κλαςματικι μορφι.

Παράδειγμα πρόςκεςθσ αρικμών διαφορετικισ μορφισ

5

9

2

3 + 1 + 2

Σφμφωνα με το διπλανό παράδειγμα, ζχω να

προςκζςω αρικμοφσ διαφορετικισ μορφισ. Πριν

υπολογίςω οτιδιποτε μετατρζπω και το μεικτό

και τον φυςικό ςε απλά κλάςματα.

5

9

5

3

2

1 + +

Αφοφ πλζον ζχω όλουσ τουσ αρικμοφσ ςε

κλαςματικι μορφι, μπορϊ να ςυνεχίςω

κανονικά τθν πρόςκεςθ με τον τρόπο που ξζρω.

...........................................

Δε μου φτάνει που δεν καταλαβαίνω

τίποτα, βάλανε και τοφτον τον ανόθτο και

άχρθςτο ςκφλο να με φυλάει ! Ζτςι μοφ

‘ρχεται να τον κάνω με τα κρεμμυδάκια...

Αχ, τι καλόσ κι ευγενικόσ

κυριοφλθσ! Αν κρίνω από τα

καλά του λόγια, νομίηω πωσ

με ςυμπακεί!

• 1 • 3 • 9


Πρόσθεση και αφαίρεση ετερώνυμων κλασμάτων

Γιάννης Φερεντίνος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.5

Μπορώ να προσθαφαιρέσω ετερώνυμα κλάσματα;

• Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα πρέπει πρώτα να τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα.

• Βρίσκουμε δηλαδή ισοδύναμα κλάσματα με αυτά , που έχουν κοινό παρονομαστή.


Πώς μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα;

• Η μετατροπή γίνεται με τον εξής τρόπο: I. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών II. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με κάθε παρονομαστή III. Κάθε πηλίκο που βρήκαμε διαιρώντας, το

πολλαπλασιάζουμε με τους όρους του αντίστοιχου κλάσματος

Αφού γίνουν τα κλάσματα ομώνυμα, προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.7

Παράδειγμα

• Για να προσθέσουμε τα κλάσματα

2 + 1 + 5 3 4 6 πρέπει να εργαστούμε ως εξής:


Ι. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών 3 4 6 2

3 2 3 2 3 1 3 3 1 1 1 Άρα το Ε.Κ.Π. (3, 4, 6) = 2*2*3 = 12


ΙΙ. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. των

παρονομαστών με κάθε παρονομαστή Δηλαδή:

12 : 3 = 4 12: 4 = 3 12: 6 = 2


ΙΙΙ. Κάθε πηλίκο που βρήκαμε διαιρώντας, το πολλαπλασιάζουμε με τους όρους του

αντίστοιχου κλάσματος 2 + 1 + 5 = 2*4 + 1*3 + 5*2 = 8 + 3 + 10 = 3 4 6 3*4 4*3 6*2 12 12 12 Τώρα κάνουμε την πρόσθεση: 8+3+10 = 21 = 1 9 12 12 12

4 3 2

Γιάννης Φερεντίνος


Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr -Μαθηματικά Ε΄

11

Μάθημα 20ο Πρόσθεση κλασμάτων

Για να προσθέσω δύο ή περισσότερα κλάσματα, πρέπει αυτά να είναι ομώνυμα. Για να κάνω τα κλάσματα ομώνυμα πρέπει να βρω το Ε. Κ. Π. ( Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο ), των παρονομαστών.

π.χ. 6

1 +

3

5 +

2

1 =

2 3 6 2 ( στο 2 μία φορά, στο 6 τρεις ) 1 3 3 3 ( στο 3 μία φορά ) 1 1

Ε.Κ.Π. ( 2, 3, 6 ) = 2 • 3 = 6 Μετά πολλαπλασιάζω τους όρους του κλάσματος με τα πολλαπλάσιά τους, ώστε οι παρονομαστές που θα δημιουργηθούν να είναι ίδιοι, δημιουργώ τα ισοδύναμα κλάσματά τους, οι συγκεκριμένοι πρέπει να γίνουν 6 . Έτσι :

2

1 =

32

31

= 6

3

3

5 =

23

25

= 6

10

6

1 =

16

11

= 6

1

Η αρχική πράξη γίνεται :

6

1 +

3

5 +

2

1 =

6

3 +

6

10 +

6

1 =

6

14 = 2

6

2 = 2

3

1

Προσοχή : Οι πράξεις γίνονται μόνο στους αριθμητές. Οι παρονομαστές παραμένουν οι ίδιοι.

Πρόσθεση ακεραίου με κλάσμα

Όταν έχω να προσθέσω ακέραιο με κλάσμα, κάνω κανονικά την πρόσθεση δημιουργώντας έναν μεικτό αριθμό.

π.χ. 2 + 2

1 = 2

2

1 ή

2

1 + 2 = 2

2

1 ( αντιμεταθετική ιδιότητα )


Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr -Μαθηματικά Ε΄

12

Πρόσθεση μεικτών αριθμών

Όταν έχω να προσθέσω μεικτούς αριθμούς, προσθέτω χωριστά τους ακέραιους και χωριστά τα κλάσματα :

π.χ. 22

1 + 1

2

1 = ( 2 + 1 ) + (

2

1 +

2

1 ) = 3 + 1 = 4

Όταν τα κλάσματα δεν είναι ομώνυμα, για να κάνω την πρόσθεση

πρέπει πρώτα να τα κάνω ομώνυμα .

Ασκήσεις

1. Κάνε στο τετράδιό σου τις παρακάτω πράξεις :

6

1 +

6

4 =

5

2 +

5

4 =

8

1 +

8

3 =

7

3 +

21

5 =

3

2 +

6

1 =


6

1 +

6

2 +

6

3 =

5

1 +

2

1 +

10

2 =

8

1 +

4

2 +

2

1 =


2 + 6

1 = 5 +

5

2 =

8

3 + 4 =

21

5 + 7 = 0,9 +

10

2 =


26

1 + 3

6

2 = 4

5

1 + 3

2

1 = 5

8

1 + 3

5

1 =

5. Ο Μιχάλης παρακολούθησε μία μέρα ένα παιδικό πρόγραμμα στην τηλεόραση που είχε

διάρκεια 3

2 της ώρας, έναν ποδοσφαιρικό αγώνα που είχε διάρκεια 1

2

1 ώρες και μία

ταινία η οποία είχε διάρκεια 26

1 ώρες. Πόση ώρα παρακολούθησε συνολικά τηλεόραση

εκείνη την ημέρα ;

6. Η Θεοδώρα μάζεψε την πρώτη μέρα από τον κήπο 2

1 κιλά σπανάκια, τη δεύτερη μέρα

5

2 κιλά σπανάκια. και την τρίτη μέρα

10

2 κιλά σπανάκια. Πόσα κιλά σπανάκια μάζεψε

συνολικά τις τρεις αυτές ημέρες ;


ΠΡΟΣΘΕΣΗ & ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΟΜΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

Πρόσθεση ομώνυμων κλασμάτων

Προσθέτουμε τους αριθμητές και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή.


http://eclass31.weebly.com/uploads/8/3/3/4/8334101/1978238_orig.png?219

Αφαίρεση ομώνυμων κλασμάτων

Αφαιρούμε τους αριθμητές και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή.

Πρόσθεση μεικτών αριθμών

Μετατρέπουμε τους μεικτούς σε κλάσματα

και τους προσθέτουμε.

ή

Προσθέτουμε χωριστά τους

ακέραιους

και χωριστά τα κλάσματα.



http://eclass31.weebly.com/uploads/8/3/3/4/8334101/1668375_orig.png


Αφαίρεση μεικτών αριθμών

Μετατρέπουμε τους μεικτούς σε κλάσματα

και τους προσθέτουμε.

ή

Προσθέτουμε χωριστά τους ακέραιους

και χωριστά τα κλάσματα.




ΠΡΟΣΘΕΣΗ & ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΕΤΕΡΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, πρέπει πρώτα να τα μετατρέψουμε σε

ομώνυμα. Εδώ μπορείς να θυμηθείς πώς γίνεται η μετατροπή.


Αν έχουμε μεικτούς αριθμούς που τα κλασματικά τους μέρη είναι ετερώνυμα κλάσματα, τους μετρατρέπουμε πρώτα σε κλάσματα και μετά

μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα.


http://eclass31.weebly.com/kappalambda940sigmamualphataualpha-07.html


ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΕΤΕΡΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

ΣΕ ΟΜΩΝΥΜΑ

Θέλω να μετατρέψω τα παρακάτω ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα.

Ακολουθώ τα εξής βήματα:

Βρίσκω ένα Κοινό Πολλαπλάσιο των παρονομαστών ή καλύτερα το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.).

Γράφω στο ημικύκλιο (καπελάκι), πάνω από τον αριθμητή του κλάσματος, τον αριθμό εκείνο που, αν τον πολλαπλασιάσω με τον παρονομαστή, μου δίνει το Κοινό Πολλαπλάσιο ή το Ε.Κ.Π. (ανάλογα ποιο χρησιμοποίησα).

Πολλαπλασιάζω και τους δύο όρους του κλάσματος (αριθμητή και παρονομαστή) με τον αριθμό που είναι στο "καπελάκι".

Τα ισοδύναμα κλάσματα που προκύπτουν έχουν τον ίδιο παρονομαστή, δηλαδή είναι ομώνυμα.


http://eclass31.weebly.com/kappalambda940sigmamualphataualpha-08.html



Xristos


Φώτης Τουλιόπουλος

1

2.4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση οµωνύµων κλασµάτων : Προσθέτουµε τους αριθµητές και παρονοµαστή αφήνουµε τον ίδιο 2. Πρόσθεση ετερωνύµων κλασµάτων : Τα κάνουµε οµώνυµα και συνεχίζουµε όπως στο 1 3. Αφαίρεση οµωνύµων κλασµάτων : Αφαιρούµε τους αριθµητές και παρονοµαστή αφήνουµε τον ίδιο 4. Αφαίρεση ετερωνύµων κλασµάτων : Τα κάνουµε οµώνυµα και συνεχίζουµε όπως στο 3 5. Μεικτός αριθµός : Είναι το άθροισµα ενός ακεραίου και ενός κλάσµατος µικρότερου της µονάδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Συµπληρώστε τα παρακάτω κενά α) Το άθροισµα δύο …..κλασµάτων είναι ίσο µε το κλάσµα που έχει αριθµητή το …και παρονοµαστή τον ίδιο. β) Το άθροισµα ενός φυσικού αριθµού και ενός κλάσµατος µικρότερου από την 1 ονοµάζεται …αριθµός γ) Κάθε φυσικός αριθµός µπορεί να γραφτεί µε την µορφή ενός κλάσµατος µε αριθµητή τον φυσικό αριθµό και παρονοµαστή τη …. Προτεινόµενη λύση α) Το άθροισµα δύο οµωνύµων κλασµάτων είναι ίσο µε το κλάσµα που έχει αριθµητή το άθροισµα των αριθµητών και παρονοµαστή τον ίδιο. β) Το άθροισµα ενός φυσικού αριθµού και ενός κλάσµατος µικρότερου από την 1 ονοµάζεται µεικτός αριθµός. γ) Κάθε φυσικός αριθµός µπορεί να γραφτεί µε την µορφή ενός κλάσµατος µε αριθµητή τον φυσικό αριθµό και παρονοµαστή τη µονάδα.


2

2. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες.

α) 5 + 1

4 =

21

4 , β) 2−

1

3= 2

1

3 , γ)

5

6−

2

6 > 1 ,

δ) 3

4 +

2

5 > 1 , ε)

3

4 +

7

4 +

9

4 +

1

4 = 5

Προτεινόµενη λύση α)

5 + 1

4 =

5 4

4

⋅+

1

4 =

20

4+

1

4 =

21

4 Πρόταση σωστή

β)

2−1

3=

2 3

3

⋅−

1

3=

6

3−

1

3=

5

3 =

3 1 2

3

⋅ + =

3 1

3

⋅ +

2

3 = 1 +

2

3 = 1

2

3 Πρόταση λάθος

γ) 5

6−

2

6 =

3

6 =

1

2 < 1 Πρόταση λάθος

δ) 3

4 +

2

5 =

3 5

4 5

⋅

⋅ +

2 4

4 5

⋅

⋅=

15

20 +

8

20=

23

20 > 1 Πρόταση σωστή

ε) 3

4 +

7

4 +

9

4 +

1

4 =

3 + 7 + 9 + 1

4 =

20

4= 5 Πρόταση σωστή

3.

Να αποδείξετε ότι 21

4< 3

2

5

Προτεινόµενη λύση

Είναι 21

4 = 2 +

1

4=

2 4

4

⋅ +

1

4=

8

4+

1

4 =

9

4 =

9 5

4 5

⋅

⋅ =

45

20

και 32

5 = 3 +

2

5 =

3 5

5

⋅ +

2

5 =

15

5+

2

5=

17

5 =

17 4

5 4

⋅

⋅=

68

20

Επειδή 45 < 68 , είναι 45

20<

68

20 δηλαδή 2

1

4< 3

2

5


3

4. Υπολόγισε τα παρακάτω αθροίσµατα

α) 1

8 +

6

8 +

2

8 β)

2

11 +

5

11+

4

11 γ)

2

5 +

5

6 δ)

4

7+

2

14 + 2

Προτεινόµενη λύση α) 1

8 +

6

8 +

2

8 =

1 + 6 + 2

8 =

9

8

β) 2

11 +

5

11+

4

11 =

2 + 5 + 4

11 =

11

11= 1

γ) 2

5 +

5

6 =

2 6

5 6

⋅

⋅ +

5 5

6 5

⋅

⋅ =

12

30 +

25

30 =

37

30

δ) 4

7+

2

14 + 2 =

4

7+

1

7 +

14

7 =

4+1+14

7 =

19

7

5. Σε ποια περίπτωση είµαστε υποχρεωµένοι να µετατρέψουµε ετερώνυµα κλάσµατα σε οµώνυµα ; Απάντηση Όταν θέλουµε να τα προσθέσουµε ή να τα αφαιρέσουµε 6. Υπολόγισε τις παρακάτω διαφορές

α) 7

12−

5

12 β)

7

12− 1 γ)

7

2−

4

12 δ)

15

22−

5

10


12−

5

12=

2

12 =

2:2

12:2 =

1

6

β) 7

12− 1 =

7

12−

1 12

12

⋅ =

7

12−

12

12 =

7 12

12

− επειδή 7 < 12 η διαφορά δεν υπάρχει

γ) 7

2−

4

12 =

7

2−

1

3 =

7 3

2 3

⋅

⋅−

1 2

3 2

⋅

⋅=

21

6−

2

6=

19

6

δ ) 15

22−

5

10 =

15

22−

1

2 =

15

22−

1 11

2 11

⋅

⋅=

15

22−

11

22=

4

22 =

2

11


4

7. Εκτελέστε τις παρακάτω πράξεις και δώστε το αποτέλεσµα στην απλοποιηµένη του µορφή

α) 5

8 +

2

8 β)

9

5 +

2

5 γ)

3

2+

15

12 +

5

4 δ)

8

5 +

4

10 +

7

15


8 +

2

8 =

7

8

β) 9

5 +

2

5 =

11

5

γ) 3

2+

15

12 +

5

4=

3

2+

5

4 +

5

4 =

6

4 +

5

4 +

5

4=

16

4 = 4

δ) 8

5 +

4

10 +

7

15 =

8

5 +

2

5 +

7

15=

24

15+

6

15 +

7

15=

37

15

8. Οµοίως

α) 1

2 +

5

4 β)

3

8 +

8

10 γ)

1

14 +

2

7 δ)

22

30 +

47

50


2 +

5

4=

2

4 +

5

4=

7

4

β) 3

8 +

8

10 =

3

8 +

4

5 =

3 5

8 5

⋅

⋅+

4 8

5 8

⋅

⋅=

15

40+

32

40=

47

40

γ) 1

14 +

2

7 =

1

14 +

4

14=

5

14

δ) 22

30 +

47

50 =

11

15 +

47

50=

11 10

15 10

⋅

⋅+

47 3

50 3

⋅

⋅=

110

150 +

141

150 =

251

150


5

9. Να υπολογιστούν τα εξαγόµενα

α) 52 29 11

7 7 7

− +

β) 5 1 4

6 3 3

− +

γ) 5 2 1

43 3 12

− + +

δ) 5

1

2 + 7

3

8 + 3

1

4

Προτεινόµενη λύση α) 52 29 11

7 7 7

− +

=52

7−

40

7=

12

7

β) 5 1 4

6 3 3

− +

=5 2 4

6 6 3

− +

=3

6 +

4

3 =

3

6+

8

6=

11

6

γ) 5 2 1

43 3 12

− + +

=

12 5 8 1

3 3 12 12

− + +

=7

3 +

9

12 =

28

12 +

9

12=

37

12

δ)

51

2 + 7

3

8 + 3

1

4 = 5 +

1

2 + 7 +

3

8+ 3 +

1

4=

= 15 +4

8+

3

8+

2

8=

= 15 + 9

8 =

120

8+

9

8 =

129

8

10.

Από τα έσοδα µιας οικογένειας, τα 19

100 διατίθενται για φαγητό, το

1

50 για

εισιτήρια, τα 2

5 για ενοίκιο και τα

3

25 για ρούχα. Ποιο µέρος των εσόδων

µένει για αποταµίευση ;

Προτεινόµενη λύση

Τα συνολικά έξοδα είναι 19

100+

1

50 +

2

5+

3

25 =

19

100+

2

100 +

40

100+

12

100=

73

100

Όλα τα έσοδα της οικογένειας είναι 100

100

Για αποταµίευση µένει το ποσό 100

100−

73

100=

27

100


6

11 . i) Τα παρακάτω κλάσµατα να γίνουν µεικτοί αριθµοί

α) 23

7 β)

17

2 γ)

25

21

ii) Οι παρακάτω µεικτοί αριθµοί να µετατραπούν σε κλάσµατα

α) 24

5 β) 5

3

4 γ) 18

1

2

Προτεινόµενη λύση i) α) Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης του 23 δια του 7 είναι 23 = 7⋅3 + 2

Οπότε 23

7 =

7 3 + 2

7

⋅=

7 3

7

⋅+

2

7 = 3 +

2

7= 3

2

7

β) Οµοίως 17

2=

2 8 + 1

2

⋅=

2 8

2

⋅ +

1

2= 8 +

1

2= 8

1

2

γ) 25

21=

21 1 + 4

21

⋅ =

21 1

21

⋅ +

4

21= 1 +

4

21=1

4

21

ii)

α) 24

5= 2 +

4

5 =

10

5 +

4

5=

14

5

β) 53

4= 5 +

3

4 =

20

4 +

3

4=

23

4

γ) 181

2= 18 +

1

2=

36

2 +

1

2=

37

2


eva-edu

Τα κλάσματα που έχουν ίδιο παρονομαστή (δηλαδή το κάτω) λέγονται

ομώνυμα!!!

Για παράδειγμα: 4

1 4

3 4

2 4

5 4

6

Τα κλάσματα που έχουν διαφορετικό παρονομαστή (δηλαδή το κάτω) λέγονται

ετερώνυμα!!!

Για παράδειγμα: 2

1 3

2 7

3 6

1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να κυκλώσεις τα κλάσματα που είναι ομώνυμα

2

1 5

2 2

4

Γεια σου Εύα! Εμένα με λένε παρονομαστή !!!


eva-edu

Όταν πρέπει να προσθέσουμε κλάσματα που το κάτω μέρος

τους, ο παρονομαστής, είναι διαφορετικό βάζουμε καπελάκια.

3 2

Παράδειγμα : 2

1 + 3

2 =

Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό που είναι μέσα στο

καπελάκι και με τον πάνω και με τον κάτω αριθμό.

3 2

Παράδειγμα : 2

1 + 3

2 = 23

13

x

x + 32

22

x

x= 6

3+ 6

4= 6

43= 6

7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να κάνεις τις παρακάτω προσθέσεις

2

1+ 4

2=

2

3+ 5

2=


eva-edu

Να κάνεις τις παρακάτω προσθέσεις

2

1+ 4

2=

5

2+ 2

1=

4

3+ 6

1=

3

2+ 4

2=

5

2+ 3

1=

7

1+ 8

2=


ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΣΕ 6 ΒΗΜΑΤΑ.

Βήμα 1ο: εάν οι αριθμοί μου είναι:

Μεικτοί → τους μετατρέπω σε απλά κλάσματα

(πολλαπλασιάζω το ακέραιο μέρος με τον παρονομαστή, στο

γινόμενο προσθέτω τον αριθμητή ,το άθροισμα αυτό το γράφω στη

θέση του αριθμητή, τον παρονομαστή τον αφήνω ίδιο)→ προχωρώ

στο βήμα 2ο

Απλά κλάσματα → προχωρώ στο βήμα 2ο

Βήμα 2ο: εάν τα κλάσματα είναι:

ετερώνυμα → τα μετατρέπω σε ομώνυμα ( βρίσκω το Ε.Κ.Π των

παρανομαστών, πολλαπλασιάζω με τον κατάλληλο αριθμό και των

αριθμητή και τον παρονομαστή ) → προχωρώ στο βήμα 3ο

ομώνυμα → προχωρώ στο βήμα 3ο

Βήμα 3ο: κάνω την πράξη που μου ζητείται (πρόσθεση ή αφαίρεση)

Βήμα 4ο: εάν το αποτέλεσμα είναι:

Ανάγωγο κλάσμα → προχωρώ στο βήμα 5ο

Δεν είναι ανάγωγο κλάσμα → το απλοποιώ( βρίσκω τους κοινούς

διαιρέτες του αριθμητή και του παρονομαστή, διαιρώ τον αριθμητή

και τον παρονομαστή με το Μ.Κ.Δ τους) → προχωρώ στο βήμα 5ο

Βήμα 5ο: εάν το ανάγωγο κλάσμα είναι:

Καταχρηστικό → το μετατρέπω σε μεικτό αριθμό (διαιρώ τον

αριθμητή με τον παρονομαστή: πηλίκο- στο ακέραιο μέρος, το

υπόλοιπο- στον αριθμητή, τον παρονομαστή τον αφήνω ίδιο) →

προχωρώ στο βήμα 6ο

Γνήσιο → προχωρώ στο βήμα 6ο

Βήμα 6ο: γράφω την απάντηση.

Arabadzi Nadezda


ΟΛΕΣ ΟΙ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΒΗΜΑ ‐ ΒΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ


Xristos


velipsi

ΒΗΜΑ 1ΟΑ.ΠΡΟΣΘΕΤΩ – ΑΦΑΙΡΩ ΜΕΙΚΤΟΥΣΑ.ΠΡΟΣΘΕΤΩ ΑΦΑΙΡΩ ΜΕΙΚΤΟΥΣ

Τους μετατρέπω σε απλά κλάσματα (πολλαπλασιάζω το ακέραιο μέρος με τον παρονομαστή, στο γινόμενο προσθέτω τον αριθμητή ,το άθροισμα αυτό το γράφω ρ μ ή, γ μ ρ ρ μη ή , ρ μ γρ φστη θέση του αριθμητή, τον παρονομαστή τον αφήνω ίδιο)

π.χ 751227

35

213

321

Β.ΠΡΟΣΘΕΤΩ – ΑΦΑΙΡΩ ΑΠΛΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

31 35π.χ ή 53

31

83

85

ΠΡΟΧΩΡΩ ΣΤΗΝ ΕΠΟΜΕΝΗ ΚΑΡΤΕΛΑΚΑΡΤΕΛΑ


ΒΗΜΑ 2ΟΑν τα απλά κλάσματα ή αυτά που προκύπτουν από τους μεικτούς είναι :Αν τα απλά κλάσματα ή αυτά που προκύπτουν από τους μεικτούς είναι :Α. ΕΤΕΡΩΝΥΜΑ

τα μετατρέπω σε ομώνυμα ( βρίσκω το Ε.Κ.Π των παρονομαστών, πολλαπλασιάζω με τον κατάλληλο αριθμό και τον αριθμητή και τον παρονομαστή ) ΒΛΕΠΩ ΕΠΟΜΕΝΗ ΚΑΡΤΕΛΑΠροσθέτω ή αφαιρώ τους αριθμητές αφήνοντας ίδιο τον παρονομαστή.ρ ή φ ρ ς ρ μη ς φή ς ρ μ ήΓράφω το αποτέλεσμα.

π.χ. 149531

15151553

Β. ΟΜΩΝΥΜΑΕκτελώ την πράξηΕκτελώ την πράξη

Προσθέτω ή αφαιρώ τους αριθμητές αφήνοντας ίδιο τον παρονομαστή.Γράφω το αποτέλεσμα.ρ φ μ

π.χ ή

127

123

124

123

125

128

121212 121212


ΘΥΜΑΜΑΙ …..


ΒΗΜΑ 3ΟΑν το αποτέλεσμα είναι κλάσμα:

Α. Καταχρηστικότο μετατρέπω σε μεικτό αριθμό (διαιρώ τον αριθμητή με τον παρονομαστή: πηλίκο στο ακέραιο μέρος το υπόλοιπο στον αριθμητή τον παρονομαστή τονπηλίκο- στο ακέραιο μέρος, το υπόλοιπο- στον αριθμητή, τον παρονομαστή τον αφήνω ίδιο)

π χ 1273 10 5415 11π.χ

411

821

87

83

810

651

64

615

611

Β. Γνήσιο Ολοκληρώνω την πράξη μου γράφοντας την απάντηση.

π.χ

157

154

153

91

94

95

Και κάτι τελευταίο……

ΕΠΟΜΕΝΗ ΚΑΡΤΕΛΑ


Προσέχω να δω αν το τελικό μου αποτέλεσμα είναι κλάσμα :

Α Α άΑ. Ανάγωγο.∆ηλαδή κλάσμα που δεν μπορεί να απλοποιηθεί γιατί οι όροι του (αριθμητής και παρονομαστής) είναι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους.

π.χ.

713,

65,

32,

21

Β. Μη ανάγωγο κλάσμα .∆ηλαδή κλάσμα που μπορεί να απλοποιηθεί.Τότε το απλοποιώ( βρίσκω τους κοινούς διαιρέτες του αριθμητή και τουΤότε το απλοποιώ( βρίσκω τους κοινούς διαιρέτες του αριθμητή και του παρονομαστή, διαιρώ τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το Μ.Κ.∆ τους)

π.χ. (Διαίρεσα το 9 και το 12 με το Μ.Κ.Δ που είναι το 3)345 9χ ( ρ μ )

41212

12

Παρουσίαση :Βελισσάριος Κ ΨυχογυιόςΒελισσάριος Κ. Ψυχογυιός∆άσκαλος


Δημοτικό Σχολείο Μενιδίου Σχ. Έτος: 2012-13

Μαθηματικά ΣΤ΄: ¨ Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων¨ Υπεύθυνος τάξης: Γεωργακόπουλος Ανδρέας

Όταν θέλουμε να προσθέσουμε κλάσματα που είναι ομώνυμα, το μόνο που κάνουμε είναι να προσθέσουμε τους αριθμητές τους. Στο νέο κλάσμα, αριθμητής θα είναι το άθροισμα των αριθμητών, ενώ παρονομαστή βάζουμε τον ίδιο. Το ίδιο ακριβώς συμβαίνει και όταν θέλουμε να αφαιρέσουμε.


Τι γίνεται όμως όταν τα κλάσματα είναι ετερώνυμα;

Για να προσθέσουμε ή για να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, πρέπει πρώτα να τα κάνουμε ομώνυμα.

Ας θυμηθούμε πώς το βρίσκουμε.

16 9 8 9 4 9 2 9 1 9 1 3 1 1

2 2 2 2 3 3


Πώς χρησιμοποιούμε το ΕΚΠ;

Διαιρούμε τους παρονομαστές των κλασμάτων με το ΕΚΠ και με το αποτέλεσμα (πηλίκο) πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους.

144 16 9 9 144 9 16 16

ομώνυμα

Μπορούμε να προσθέσουμε πολλά κλάσματα ταυτόχρονα βρίσκοντας το ΕΚΠ των παρονομαστών τους.


Τα θυμόμαστε;


Πρόσθεση και αφαίρεση ετερώνυμων κλασμάτων (16/12/2014)

Ας θυμηθούμε με ποιους τρόπους βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων αριθμών ;

1. Με τα κοινά πολλαπλάσια. Το μικρότερο από αυτά είναι το Ε.Κ.Π. 2. Διπλασιάζοντας, τριπλασιάζοντας κ.λπ. τον μεγαλύτερο αριθμό. Το

μικρότερο από τα πολλαπλάσιά του, που διαιρείται με όλους τους υπόλοιπους αριθμούς, είναι το Ε.Κ.Π.

3. Με γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των αριθμών 3, 5, 6 :

Α. Με τα κοινά πολλαπλάσια

Π3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63 ...

Π5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65 ...

Π6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66 ...

Κοινά πολλαπλάσια είναι το 30 και το 60. Ε.Κ.Π. είναι το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια, άρα Ε.Κ.Π.3,5,6 = 30

Β. Με τα πολλαπλάσια του μεγαλύτερου αριθμού

Από τους τρεις αριθμούς μεγαλύτερος είναι το 6.

Π6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66 ...

Από τα πολλαπλάσια του 6 διαιρούνται και με το 3 και με το 5 το 30 και το 60. Επειδή Ε.Κ.Π. είναι το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια, άρα Ε.Κ.Π.3,5,6 = 30


http://sainia.gr/mathimatika-e/941-prosthesi-kai-afairesi-eteronymon-klasmaton

Γ. Με το γινόμενο πρώτων αριθμών

3 5 6 | 2

3 5 3 | 3

1 5 1 | 5

1 1 1 |

Ε.Κ.Π.3,5,6 = 2 * 3 * 5 = 30

Πώς συγκρίνω, προσθέτω και αφαιρώ ετερώνυμα κλάσματα ;

Για να συγκρίνω, να προσθέσω ή να αφαιρέσω ετερώνυμα κλάσματα :

1. Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών. 2. Βάζω καπελάκια πάνω από τους αριθμητές 3. Σε κάθε καπελάκι βάζω το πηλίκο της διαίρεσης του Ε.Κ.Π. με τον

παρονομαστή του κλάσματος. 4. Πολλαπλασιάζω τους όρους κάθε κλάσματος με τον αριθμό που έβαλα

στο καπελάκι. 5. Τα κλάσματά μου τώρα έγιναν ομώνυμα. 6. Μπορώ να τα συγκρίνω, να τα προσθέσω ή να τα αφαιρέσω. 7. Αφού βρω το αποτέλεσμα, κάνω απλοποίηση.


Πρόσθεση και αφαίρεση ετερωνύμων κλασμάτων

Όπως είναι γνωστό, ο παρονομαστής σε ένα κλάσμα φανερώνει τον αριθμό των ίσων μερών που έχει χωριστεί ένα σύνολο. Επομένως, όταν έχουμε δύο κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, δεν είμαστε σε θέση να κάνουμε την οποιαδήποτε σύγκριση μεταξύ τους, αφού μιλούμε για δύο τελείως διαφορετικά μεγέθη. Προκειμένου λοιπόν να συγκρίνουμε και εν συνεχεία να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα, θα πρέπει να τα μετατρέψουμε σε ισοδύναμά τους με τον ίδιο παρονομαστή, να τα κάνουμε δηλαδή ομώνυμα... Για λόγους δικής μας ευκολίας, αλλά και για να ελαχιστοποιήσουμε τις πιθανότητες λάθους που ενέχει η εμπλοκή μας σε πράξεις με μεγάλους αριθμούς, χρησιμοποιούμε ως κοινό παρονομαστή το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των παρονομαστών.

Η διαδικασία μετατροπής των ετερωνύμων κλασμάτων σε ομώνυμα είναι συνοπτικά η παρακάτω. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών τους


http://3.bp.blogspot.com/_LafDHOe8cg8/TVGSPpvRczI/AAAAAAAAANU/RBQH2iTrkSY/s1600/images.jpg

http://1.bp.blogspot.com/_LafDHOe8cg8/TVGTWWeU9FI/AAAAAAAAANY/IpFExfQWwuY/s1600/images1.jpg

Το διαιρούμε με τους παρονομαστές

Βάζουμε στα «καπελάκια» τα πηλίκα των διαιρέσεων

Πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος (αριθμητή και παρονομαστή) με τους αριθμούς στα καπελάκια

Παράδειγμα Θέλω να μετατρέψω τα παρακάτω ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα

Βρίσκω το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των τριών παρονομαστών

Ε.Κ.Π. (4, 6, 8) = 24 Γράφω στο καπελάκι, πάνω από τον αριθμητή του κλάσματος, τον αριθμό που αν τον πολλαπλασιάσω με τον παρονομαστή, μου δίνει το Ε.Κ.Π., δηλαδή αντίστοιχα το 6, το 4 και το 3.

Στη συνέχεια πολλαπλασιάζω και τους δύο όρους του κλάσματος (αριθμητή & παρονομαστή) με τον αριθμό που είναι στο καπελάκι.

Τα ισοδύναμα κλάσματα που προκύπτουν έχουν τον ίδιο παρονομαστή, δηλαδή είναι ομώνυμα. Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ομώνυμα κλάσματα, απλά προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές και παρονομαστές αφήνουμε τους ίδιους. Όταν τα κλάσματα είναι μεικτοί αριθμοί, είτε μετατρέπουμε τους μεικτούς σε καταχρηστικά κλάσματα και κάνουμε την ανάλογη πράξη είτε προσθέτουμε ή αφαιρούμε χωριστά τους


http://3.bp.blogspot.com/_LafDHOe8cg8/TVGP6bFbCDI/AAAAAAAAANM/lmdh1FRihtc/s1600/Klasmata09.jpg

http://2.bp.blogspot.com/_LafDHOe8cg8/TVGQOFbJ6nI/AAAAAAAAANQ/ourH9emABiE/s1600/Klasmata11.jpg

ακέραιους και χωριστά τα κλάσματα, εφαρμόζοντας κι εδώ τα όσα έχουμε προαναφέρει. Και βέβαια, είναι πολύ σημαντικό να θυμόμαστε ότι κάνουμε όσες απλοποιήσεις γίνονται είτε πριν κάνουμε

οποιαδήποτε πράξη είτε όταν βρούμε το τελικό αποτέλεσμα.

Για εξάσκηση στην πρόσθεση ΚΛΙΚ ΕΔΩ Για εξάσκηση στην αφαίρεση ΚΛΙΚ ΕΔΩ Για εξάσκηση στη μετατροπή ετερωνύμων ΚΛΙΚ ΕΔΩ

Ο δάσκαλος του Ε2 Μιλτιάδης Ζωγράφος


http://www.mathplayground.com/fractions_add.html

http://www.mathplayground.com/fractions_sub.html




http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_106_g_3_t_1.html




http://4.bp.blogspot.com/_LafDHOe8cg8/TVGT71L4Z6I/AAAAAAAAANc/2oCc1VYHVhY/s1600/%25CE%25B1%25CF%2580%25CE%25BB%25CE%25BF%25CF%2580%25CE%25BF%25CE%25B9%25CE%25B7%25CF%2583%25CE%25B7.jpg

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ

ÃÉÁ ÔÇÍ Å’ ÔÁÎÇ ÄÇÌÏÔÉÊÏÕ

Ðåñéå÷üìåíá:

36. ÄéáéñÝôåò êáé ðïëëáðëÜóéá ......................................... óåë. 195

37. ÊñéôÞñéá äéáéñåôüôçôáò ôïõ 2, ôïõ 5 êáé ôïõ 10 .......... óåë. 198

38. ÊïéíÜ ðïëëáðëÜóéá, Å.Ê.Ð. ......................................... óåë. 202

39. Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç åôåñþíõìùí êëáóìÜôùí .... óåë. 205

40. Äéá÷åßñéóç ðëçñïöïñßáò - Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá ....... óåë. 209

6ï Åðáíáëçðôéêü ........................................................ óåë. 213

41. ÌÝôñçóç ãùíéþí ........................................................ óåë. 216

42. Åßäç ôñéãþíùí ùò ðñïò ôéò ãùíßåò ............................. óåë. 219

43. Åßäç ôñéãþíùí ùò ðñïò ôéò ðëåõñÝò ........................... óåë. 224

44. Êáèåôüôçôá - ýøç ôñéãþíïõ........................................ óåë. 228

45. Äéáßñåóç ãåùìåôñéêþí ó÷çìÜôùí - Óõììåôñßá ........... óåë. 232

7ï Åðáíáëçðôéêü ........................................................ óåë. 234

ÊñéôÞñéï áîéïëüãçóçò ................................................. óåë. 238

Áðáãïñåýåôáé ç áíáðáñáãùãÞ ôïõ ðáñüíôïòâéâëßïõ ìå ïðïéïíäÞðïôå ôñüðï, ÷ùñßò ôçíÝããñáöç Üäåéá ôïõ åêäüôç.

Äéåýèõíóç åêðáéäåõôéêÞò óåéñÜò:ÆÕÑÌÐÁÓ ÁÍÄÑÅÁÓ

Õðåýèõíïé Ýêäïóçò:ÖÅÔÓÇÓ ÃÅÙÑÃÉÏÓÂÏÕÄÏÕÑÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓÄÅÌÅÑÏÕÔÇ ÁÉÊÁÔÅÑÉÍÇ

ÓõíôáêôéêÞ ïìÜäá:ÁËÁÌÁÍÇ ÃÅÙÑÃÉÁÂÏÕÄÏÕÑÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓÃÅÑÏÍÔÏÐÏÕËÏÓ ÓÔÅÖÁÍÏÓÄÅÌÅÑÏÕÔÇ ÁÉÊÁÔÅÑÉÍÇÌÏÉÑÁÓ ÐÁÍÁÃÉÙÔÇÓÌÏÕÓÏÕËÇÓ ÉÙÁÍÍÇÓÏÑÓÏÐÏÕËÏÓ ÉÙÁÍÍÇÓÐËÏÕÌÁÊÇÓ ÊÙÍÓÔÁÍÔÉÍÏÓÖÅÔÓÇÓ ÃÅÙÑÃÉÏÓ×ÁÍÉÙÔÇ ÉÙÁÍÍÁ

Êáëëéôå÷íéêÞ äéåýèõíóç:FORWARD CREATIVE BUREAU210 9585645

DTP - ÃñáöéêÜ:Á×ÉËËÉÁ ÓÏÕËÔÁÍÁ

ÅéêïíïãñÜöçóç:ÊÁËÁÍÔÙÍÇÓ ÅËÅÕÈÅÑÉÏÓÆÏÕËÁÊÇÓ ÅÌÌÁÍÏÕÇËÔÓÉÏÌÐÁÍÉÄÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ

Copyright:Ç. ÌáíéáôÝáòÅêäïôéêÝò Åðé÷åéñÞóåéò Á.Å.ÈçóÝùò 50, ÊáëëéèÝáôçë. 210 9546555


195

36. ÄéáéñÝôåò êáé ðïëëáðëÜóéá

ëýóç

Ïé áñéèìïß ðïõ Ý÷ïõí ðïëëáðëÜóéï

ôïí áñéèìü 1.500 åßíáé ïé:

2, 3, 5, 150, 500

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò áôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 20

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò âôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 20

¢óêçóç á

Ðïéïé áðü ôïõò ðáñáêÜôù áñéèìïýò Ý÷ïõí ùò

ðïëëáðëÜóéï ôïí áñéèìü 1500;

2, 3, 5, 150, 500, 200, 1000, 800


196

ÄéáéñÝôåò êáé ðïëëáðëÜóéá

• ¸÷åé 4 ìáýñåò, 8 ìðëå êáé 12 êüêêéíåò Ýôóé þóôå

íá åðáíáëáìâÜíåôáé ìå ôïí êáíüíá:

2 ìáýñåò - 4 ìðëå - 6 êüêêéíåò

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò ãôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 20

• ¼ëá ìáæß ôá ìõñìÞãêéá êïõâÜëçóáí 72 óðüñïõò óå ìßá þñá,

äéüôé (2 + 3 + 7) ÷ 6 = 12 ÷ 6 = 72 .

• Ôï ìõñìÞãêé Á êïõâÜëçóå 12 óðüñïõò, äéüôé 2 ÷ 6 = 12.

Ôï ìõñìÞãêé Â êïõâÜëçóå 18 óðüñïõò, äéüôé 3 ÷ 6 = 18.

Ôï ìõñìÞãêé Ã êïõâÜëçóå 42 óðüñïõò, äéüôé 7 ÷ 6 = 42.

• Ôï ìõñìÞãêé Á Ý÷åé ìåôáöÝñåé 180 óðüñïõò = 12 ÷ 15

Ôï ìõñìÞãêé Â Ý÷åé ìåôáöÝñåé 270 óðüñïõò = 18 ÷ 15

Ôï ìõñìÞãêé Ã Ý÷åé ìåôáöÝñåé 630 óðüñïõò = 42 ÷ 15, äéüôé

Ý÷ïõí “åñãáóôåß” 1080 : 72=15 þñåò

A Â Ã

óõíÝ÷åéá áðÜíôçóçòÜóêçóçò âôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 20


197

ÄéáéñÝôåò êáé ðïëëáðëÜóéá

¢óêçóç â

Óå Ýíá åñãïóôÜóéï, ï áñéèìüò ôùí åñãáôþí åßíáé ìåãáëýôåñïò ôïõ 130

êáé ìéêñüôåñïò ôïõ 200. Áí ï áñéèìüò ôùí åñãáôþí äéáéñåèåß ìå ôï 11,

äåí áöÞíåé õðüëïéðï. Áí ï áñéèìüò ôùí åñãáôþí äéáéñåèåß ìå ôï 5 Þ

ìå ôï 10, áöÞíåé õðüëïéðï 2. Ðüóïé åßíáé ïé åñãÜôåò ôïõ åñãïóôáóßïõ;

ëýóç

Ïé áñéèìïß ðïõ åßíáé ìåãáëýôåñïé ôïõ 130 êáé ìéêñüôåñïé ôïõ 200, ðïõ üôáí äéáéñåèïýí ìå ôï 11

áöÞíïõí õðüëïéðï 0, åßíáé:

132, 143, 154, 165, 176, 187, 198

Áðü áõôïýò ôïõò áñéèìïýò áõôüò ðïõ üôáí äéáéñåèåß ìå ôï 5 Þ ìå ôï 10 áöÞíåé õðüëïéðï 2 åßíáé ï 132.

¢ñá ïé åñãÜôåò åßíáé 132.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò äôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 21

Ïé áñéèìïß ïé ìåãáëýôåñïé ôïõ 60 êáé ìéêñüôåñïé ôïõ 100, ðïõ üôáí äéáéñåèïýí ìå ôï 8

äßíïõí õðüëïéðï 0, åßíáé ïé: 64, 72, 80, 88, 96.

Áðü áõôïýò ôïõò áñéèìïýò, áõôüò ðïõ äéáéñåßôáé êáé ìå ôï 6 êáé ìå ôï 7 êáé áöÞíåé õðüëïéðï

4 åßíáé ï 88.

¢ñá ôá ðáéäéÜ ôïõ ó÷ïëåßïõ åßíáé 88.


198

37. ÊñéôÞñéá äéáéñåôüôçôáò ôïõ 2, ôïõ 5 êáé ôïõ 10

Ï êõñéïò ÄçìÞôñçò ìðïñåß íá ÷ùñßóåé ôá ðáéäéÜ, óå ßóåò ïìÜäáò ÷ùñßò íá ðåñéóóåýåé

êáíÝíá ðáéäß, óôá ðáñáêÜôù áèëÞìáôá:

• ìðÜóêåô: óå 12 ïìÜäåò, ôùí 5 ðáé÷ôþí óå êÜèå ìßá áðü áõôÝò.

• âüëåú: óå 10 ïìÜäåò, ôùí 6 ðáé÷ôþí óå êÜèå ìßá áðü áõôÝò.




1.606 1.610 300 305 990 1.000

11.078 11.082 5.000 5.005 19.160 19.170


199


Ðåñéóóüôåñá ðïëëáðëÜóéá Ý÷åé ôï 2 êáé ëéãüôåñá ôï 10, äéüôé

ôá ðïëëáðëÜóéá:

• ôïõ 2 åßíáé: (1.000.000 – 1.000) : 2 = 499.500

• ôïõ 5 åßíáé: (1.000.000 – 1.000) : 5 =199.800

• ôïõ 10 åßíáé: (1.000.000 – 1.000) : 10 = 99.900

¢óêçóç â

Ðïéïò áñéèìüò, ðïõ äéáéñåßôáé áêñéâþò ìå ôï 10,

âñßóêåôáé ðéï êïíôÜ óôïõò áñéèìïýò:

7.714, 501, 237, 23.999

ëýóç

Ôï 10 åßíáé äéáéñÝôçò åíüò áñéèìïý, áí

ôï øçößï ôùí ìïíÜäùí åßíáé 0.

7.714 → 7710

501 → 500

237 → 240

23999 → 24000

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò åôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 23

ÊñéôÞñéá äéáéñåôüôçôáò ôïõ 2, ôïõ 5 êáé ôïõ 10


200

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò æôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 23


Áí ôï õðüëïéðï ìéáò äéáßñåóçò ìðïñåß íá åßíáé 0 Þ 1 Þ 2 Þ 3 Þ 4, ôüôå ï äéáéñÝôçò åßíáé ï

áñéèìüò 5.

•

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò óôôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 23

• To 450 äéáéñåßôáé ìå ôï 5, Üñá 450: 5 = 90

Ìðïñþ íá Ý÷ù 5 óåéñÝò ìå 90 öõôÜ ç êÜèå ìßá, 30 áðü êÜèå åßäïò.

• Ôï 450 äéáéñåßôáé ìå ôï 10, Üñá 450 : 10 = 45

Ìðïñþ íá Ý÷ù 10 óåéñÝò ìå 45 öõôÜ ç êÜèå ìßá, 15 áðü êÜèå åßäïò.

ÕðÜñ÷ïõí êáé Üëëïé äõíáôïß óõíäõáóìïß.


201

¢óêçóç â

Äýï áñéèìïß Ý÷ïõí ãéíüìåíï 4.050. Ôï ðçëßêï ôïõò åßíáé 50 êáé ôï ÜèñïéóìÜ ôïõò 459. Ðïéïé åßíáé

ïé áñéèìïß áõôïß;

ëýóç

Ïé áñéèìïß áõôïß åßíáé ôï 450 êáé ôï 9, äéüôé:

450 ÷ 9 = 4.050

450 : 9 = 50

450 + 9 = 459

Ãéá íá êáôáëÞîïõìå óôïõò áñéèìïýò 450 êáé 9, êÜíáìå áíÜëõóç ôïõ áñéèìïý 4.050 óå ãéíüìåíï

ðáñáãüíôùí.

ÄçëáäÞ:

Ðáñáôçñïýìå üôé: 450 : 9 = 50 êáé 450 + 9 = 459

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò çôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 23

Ïé áñéèìïß, ðïõ ôï ãéíüìåíü ôïõò åßíáé ßóï ìå 96, ôï

ðçëßêï ôïõò åßíáé 6 êáé ôï ÜèñïéóìÜ ôïõò 28, åßíáé ï

áñéèìüò 24 êáé ï áñéèìüò 4.



202


38. ÊïéíÜ ðïëëáðëÜóéá, Å.Ê.Ð.



203

ÊïéíÜ ðïëëáðëÜóéá, Å.Ê.Ð.


Ôñåéò áñéèìïß ðïõ Ý÷ïõí Å.Ê.Ð. ôïí áñéèìü 60 åßíáé ïé:

10, 12, 5

Ôñåéò áñéèìïß ðïõ Ý÷ïõí Å.Ê.Ð. ìéêñüôåñï áðü ôïí áñéèìü 50 åßíáé ïé:

5, 10, 25

¢óêçóç á

Ôá ðáéäéÜ åíüò ó÷ïëåßïõ êÜíïõí ðñüâåò ãéá ôçí ðáñÝëáóç. Ìðïñïýí üëïé ïé ìáèçôÝò íá óôïé÷é-

èïýí êáôÜ ôåôñÜäåò, åîÜäåò Þ ïêôÜäåò ÷ùñßò íá ðåñéóóåýåé êáíÝíá ðáéäß.

Ðüóá åßíáé ôá ðáéäéÜ ôïõ ó÷ïëåßïõ, üôáí ãíùñßæù ðùò ï áñéèìüò ôùí ðáéäéþí åßíáé ìåôáîý ôïõ 80

êáé ôïõ 100;

ëýóç

Ôï Å.Ê.Ð. (4, 6, 8) = 24

Ôá ðïëëáðëÜóéá ôïõ 24: 24, 48, 72, 96, 120, ...

¢ñá óýìöùíá ìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò ðïõ Ý÷ù,

êáôáëáâáßíù üôé ôï ó÷ïëåßï Ý÷åé 96 ðáéäéÜ.


Ôï Å.Ê.Ð. (3, 4, 6) = 12

Ôá ðïëëáðëÜóéá ôïõ 12: 12, 24, 36, ...

Ôá ðáéäéÜ ó’ áõôÞ ôçí ôÜîç åßíáé 24 (áöïý äåí õðÜñ÷åé ôÜîç ìå ðåñéóóüôåñá

áðü 30 ðáéäéÜ).


204

ÊïéíÜ ðïëëáðëÜóéá, Å.Ê.Ð.


ÓðÜñôç: 06:00 10:00 14:00 18:00 22:00

Áãñßíéï: 06:00 14:00 22:00

ÐÜôñá: 06:00 08:00 10:00 12:00 14:00

16:00 18:00 20:00 22:00

Ôá ëåùöïñåßá ãéá ôéò ôñåéò ðüëåéò, óôçí Ýîïäü

ôïõò, èá óõíáíôçèïýí óôéò: 06:00, 14:00, 22:00.

¢ñá ôñåéò öïñÝò

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò óôôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 25

• 15.000

• 15.000

• 15.000

• 17.500

• 22.500

¢óêçóç â

Íá âñåèïýí ôá êïéíÜ ðïëëáðëÜóéá ôùí áñéèìþí 2, 3, 4.

Íá âñåèåß ôï åëÜ÷éóôï êïéíü ðïëëáðëÜóéï ôùí 2, 3, 4 êáé íá ãñáöïýí ôá êëÜóìáôá 2

3,

3

4 êáé

1

2 óå

éóïäýíáìá êëÜóìáôá.

ëýóç

Ð2 = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28,

30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48

Ð3 = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42,

45, 48, ...

Ð4 = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, ...

Ê.Ð. 2, 3, 4 = 12, 24, 36, 48

Å.Ê.Ð. 2, 3, 4 = 12

2 8

3 12=

3 9

4 12=

1 6

2 12=

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò æôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 25

Ê.Ð. 5, 4, 10 = 20, 40, 60

Å.Ê.Ð. 5, 4, 10 = 20

Éóïäýíáìá êëÜóìáôá:

2 8

5 20= ,

3 15

4 20= ,

7 14

10 20=


205

39. Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç åôåñþíõìùí êëáóìÜôùí


5 2 7

10 10 10+ =

5 2 3

10 10 10− =


Ôçí 1ç åâäïìÜäá Ýöôéáîáí ôï 1

12 ôïõ ðáæë, äçëáäÞ

5

60.

Ôçí 2ç åâäïìÜäá Ýöôéáîáí ôá 3

10 ôïõ ðáæë, äçëáäÞ

18

60.

¸öôéáîáí, ëïéðüí, (1ç - 2ç åâäïìÜäá) ôá: 5 18 23

60 60 60+ = ôïõ ðáæë.

• Ôï ìÝñïò ôïõ ðáæë ðïõ Ýìåéíå ãéá íá ôï ïëïêëçñþóïõí ôçí 3ç åâäïìÜäá åßíáé:

60 23 37

60 60 60− =

• Ôçí 1ç åâäïìÜäá ôá: 5

60

Ôçí 2ç åâäïìÜäá ôá: 18

60

Ôçí 3ç åâäïìÜäá ôá: 37

60


206

¢óêçóç á

Ç ¢ííá êáé ç ÅëÝíç ðÞñáí ìßá ôïýñôá. Ç ¢ííá ´Ýöáãå ôï 1

3 ôçò

ôïýñôáò êáé ç ÅëÝíç ôï 1

4 ôçò ôïýñôáò. Ðüóç ôïýñôá Ýöáãáí êáé ôá

äýï ðáéäéÜ ìáæß.

ëýóç

ÐñïóèÝôù ôá êïììÜôéá ðïõ Ýöáãáí.

Âñßóêù ôï Å.Ê.Ð. (3, 4) = 12

1 1 4 3 7

3 4 12 12 12+ = + =

¸öáãáí ôá 7

12 ôçò ôïýñôáò.


Ï Ãéþñãïò Ýöáãå ôï:

1 1 1 10 8 5 23

4 5 8 40 40 40 40+ + = + + = ôçò ðßôóáò.

¢óêçóç â

ÓõìðëÞñùóå ôá êåíÜ: • + =1 2

4 5• + + =

1 3 5

3 4 6

ëýóç

• Å.Ê.Ð.(4, 5) = 20

1 2 5 8 13

4 5 20 20 20+ = + =

• Å.Ê.Ð.(3, 4, 6) = 12

1 3 5 4 9 10 23

3 4 6 12 12 12 12+ + = + + =

Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç åôåñþíõìùí êëáóìÜôùí


207


• 1 2 3

3 7 10+ = åßíáé ëÜèïò

1 2 7 6 13

3 7 21 21 21+ = + = óùóôü.

• 1 2 7 10

3 7 10 20+ + = åßíáé ëÜèïò

1 2 7 70 60 147 277

3 7 10 210 210 210 210+ + = + + = óùóôü

• 5 3 2

6 4 2− = åßíáé ëÜèïò

5 3 10 9 1

6 4 12 12 12− = − = óùóôü

ÕðÜñ÷åé ëÜèïò, äéüôé ç áöáßñåóç äýï êëáóìÜôùí ãßíåôáé ìåôáôñÝðïíôáò ôá êëÜóìáôá óå ïìþíõ-

ìá êáé ü÷é áöáéñþíôáò ôïõò áñéèìçôÝò ãéá íá ðñïêýøåé ï áñéèìçôÞò êáé áöáéñþíôáò ôïõò ðáñï-

íïìáóôÝò ãéá íá ðñïêýøåé ï ðáñïíïìáóôÞò ôïõ áðïôåëÝóìáôïò.


1ç åðéëïãÞ ìå ãñÞãïñç åêôßìçóç:1 1

4 18+

2ç åðéëïãÞ ìå áêñéâÞ õðïëïãéóìü:2 4 1 4 5

114 7 7 7 7

+ = + = <

Ðñïôåßíù ôñßá äéáöïñåôéêÜ áèñïßóìáôá:2 1 1 5 8 12

, ,9 18 3 12 21 35+ + +

• 9 2 1 2 3 1 3 12 3

, ,20 5 20 5 10 10 7 35 35

− = − = − =



208

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò óôôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 27 Ôá

7

9 ôùí ÷ñçìÜôùí ðïõ å÷åé ç Ìáñßá åßíáé 70 .

• Íá õðïëïãßóåôå ðüóá ÷ñÞìáôá Ý÷åé.

ÐëÞñùóå ãéá Ýíá ðáé÷íßäé −7 3

9 12ôùí ÷ñçìÜôùí ôçò.

• Ðüóá ÷ñÞìáôá ôçò ðåñßóóåøáí;

Ëýóç

• Ôá 7

9 ôùí ÷ñçìÜôùí ôçò åßíáé 70 , ïðüôå ôï

1

9 åßíáé: 70 : 7 = 10 .

¢ñá ôï óýíïëï ôùí ÷ñçìÜôùí ôçò, ôá 9

9 äçëáäÞ, åßíáé 9 ÷ 10 = 90

• Ôá 7 3 28 9 19

9 12 36 36 36− = − = ôùí ÷ñçìÜôùí ôçò êüóôéóå ôï ðáé÷íßäé,

äçëáäÞ :19 19χ90 1710x90 € € € 47,50€

36 36 36

= = =

¢ñá ôçò ðåñßóóåøáí: ( )90 47,50 € 42,50€− =

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò æôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 27 ÊÜèå ðáéäß Ýöáãå:

1 1 2 1 3 1

6 12 12 12 12 4+ = + = =

• Ï ìéêñüôåñïò áñéèìüò ôùí ðáéäéþí ðïõ ìðïñåß íá âñÝèçêáí óôï

ðÜñôé åßíáé 4.

• Ìßá Þôáí ç ðßôóá ó’ áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç.



Μηνάς Θεόδωρος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Ονοματεπώνυμο:…………………………………………. 79ο Δημ.Σχ.Θεσ/νίκης

15-12-06 Τάξη : ΣΤ2

1. Να συμπληρώσεις τις παρακάτω σειρές ισοδυνάμων κλασμάτων:

4

3=8

=9

=16

=15

=24

=28

, 6

5=42

, 30

=8

5 ,

35

21= 5

, 24

18=6

2. Βάλε τα κλάσματα στη σειρά από το μεγαλύτερο στο μικρότερο

8

5,8

3,8

7,8

2,8

4,8

6 …………………………………………………………………………

3. Να κάνεις τις παρακάτω πράξεις:

4 2 3 …………………………………………………………………………

8 9 12

1 2 2 ………………………………………………………………………….

3 4 7

2 3 10 = ……………………………………………………………………………

20 5 32

6

52

4

35

3

23 ………………………………………………………………………………………..

2

110

5

32

4

35 …………………………………………………………………………………..

12

36

8

7

6

5

2

1

4

3……………………………………………………………………………..

4.Το ρεζερβουάρ του αυτοκινήτου έχει χωρητικότητα 50 λίτρα. Ο μπαμπάς έβαλε 2

135 λίτρα.

Πόσα λίτρα χωράει ακόμα το ρεζερβουάρ;

Λύση

…………………………………………………………………………………………………………

Απάντηση: ……………………………………….

5. Ο Γιώργος έφαγε τα 6

2της πίτσας, η Μυρτώ έφαγε το

4

1της πίτσας και ο Χρήστος τα

8

3.Το

υπόλοιπο το έφαγε η γιαγιά. Τι μέρος της πίτσας έφαγε η γιαγιά;

Λύση

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

Απάντηση:…………………………………………………………………………


Πρόσθεση- Αφαίρεση κλασμάτων

Δεν ξεχνώ να μετατρέψω τα κλάσματα σε ομώνυμα!!!!! Εκτελώ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΔΙΟ τις παρακάτω πράξεις!

1. Εκτελώ τις πράξεις

α. 2 3

7 7 β.

3 2

5 5 γ.

3 2 1

4 4 4 δ.

4 5 6

3 3 3

ε. 3 9 8

25 25 25 στ.

12 7 9

15 15 15


α. 7 1

8 2 β.

3 2

4 3 γ.

4 5

5 6 δ.

2 5 7

3 6 12

ε. 3 2 1

8 5 4 στ.

5 3 5

20 15 12


α. 2 3

4 5 β.

2 31

3 4 γ.

1 12 1

4 2 δ.

2 2

3 4

ε. 1 1

24 2 στ.

56

8 ζ.

5 3 4

8 4 6 η.

3 7 2

8 12 4

θ. 4 3 5 1

6 5 10 2 ι.

4 2

5 6 ια.

1 2 3 8

4 5 20 15

ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΒΙΤΩΡΑΤΟΥ


ΑΣΚΗΣΕΙΣ…………. 1. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα.

(α) 3

25

(β) 3 1

54 4 (γ)

1 53

2 6 (δ)

2 43

3 5 (ε)

2 33 6

5 4 (στ)

3 1 12

8 3 6

2. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα.

(α) 3 1

2 35 4 (β)

14 8

3 (γ)

2 13 4

5 2 (δ)

1 1 22 3

2 4 5

3. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα.

(α) 3 1 2

5 320 4 5

(β) 1 1 3

2 5 44 12 8 (γ)

2 5 14 2 4

3 6 2

4. Ο πατέρας της Χριστίνας αγόρασε 4

5 του κιλού φράουλες,

12

2 κιλά μήλα και 3 κιλά

αχλάδια. Να υπολογιστεί πόσα κιλά φρούτα αγόρασε συνολικά.

5. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα

(α) 5 3 9

8 4 10 (β)

2 73

5 8 (γ)

1 3 23

5 4 3 (δ)

3 1 52 5

4 3 12

(ε) 2 1 1

4 5 13 4 2 (στ)

3 42 3

4 5 (ζ)

1 2 33 2 4

4 5 8

ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΒΙΤΩΡΑΤΟΥ


Πώς μπορούμε να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε ή να συγκρίνουμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές; Η κ. Περσεφόνη ετοίμασε στα δυο παιδιά της, τον Κώστα και την Μαρία, μια πίτα. Ο Κώστας έφαγε τα 2/4 της πίτας και η Μαρία τα 3/8. Τι μέρος της πίτας έφαγαν και τα δυο παιδιά μαζί;

Πρέπει να προσθέσουμε τα δύο κλάσματα: το και το .

Βλέπουμε, όμως, πως έχουν διαφορετικό παρανομαστή, είναι δηλαδή ετερώνυμα. Για να μπορέσουμε να κάνουμε την πρόσθεση, θα πρέπει να τα μετατρέψουμε σε κλάσματα με ίδιο παρονομαστή, να τα κάνουμε, όπως λέμε, ομώνυμα. Πρέπει, επομένως, να βρούμε άλλα κλάσματα, ισοδύναμα με τα πρώτα, που να έχουν κοινό παρονομαστή. Δηλαδή ο καινούριος παρονομαστής να είναι κοινό πολλαπλάσιο και των δύο παρονομαστών.

Όμως, έχουμε μάθει πως είναι καλύτερο να εργαζόμαστε με κλάσματα που έχουν όσο το δυνατόν μικρότερους όρους. Έτσι, πρέπει να βρούμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των δύο παρονομαστών. Βρίσκουμε πως Ε.Κ.Π. (4, 8) = ...... Εφαρμόζουμε την μέθοδο

με τα καπελάκια (τ. εργ. σελ. 25): 4

2 +

8

3 = + =

Απάντηση: Και τα δύο παιδιά έφαγαν τα της πίτας.

Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε πώς γίνεται η μετατροπή των 4

2 σε

8

4

χωρίς να αλλάξει το μέγεθος της πίτας (χωρίς, δηλαδή, να αλλάξει η αξία του κλάσματος).

Ομώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουν ίδιους παρονομαστές. Ετερώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές.

+

2 1


1. Για να προσθέσω, να αφαιρέσω ή να συγκρίνω ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπω σε ομώνυμα, δηλαδή σε ισοδύναμα κλάσματα με κοινό παρονομαστή. Ο παρονομα-στής των ομώνυμων κλασμάτων μπορεί να είναι οποιοδήποτε κοινό πολλαπλάσιο των πα-ρονομαστών των αρχικών κλασμάτων, όμως για να έχω κλάσματα με όσο πιο μικρούς ό-ρους γίνεται, παίρνω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των αρχικών παρονομα-

στών.

2. Για να συγκρίνω ετερώνυμα κλάσματα μπορώ, με τους τρόπους που έχω μάθει, να τα μετατρέψω σε ποσοστά (%) και έτσι, αντί για τα κλάσματα να συγκρίνω τα αντίστοιχα πο-

σοστά.

+ = + =

Πώς μπορώ να συγκρίνω ετερώνυμα κλάσματα, με άλλον τρόπο; ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Σε μία έρευνα που έκανε η τάξη του Κώστα και της Μαρίας, για τους τρόπους με τους οποίους

ενημερώνονται οι γονείς των μαθητών του σχολείου, βρήκαν πως τα 3/25 από αυτούς προτι-μούν τον κυριακάτικο τύπο, το 1/5 τον ημερήσιο τύπο, τα 2/5 την τηλεόραση, τα 3/15 το ραδιόφωνο και τα 8/100 το διαδίκτυο. Βοηθήστε τους να τοποθετήσουν σε σειρά τις προτιμήσεις των γονέων (από την μεγαλύτερη στην μικρότερη).

ΛΥΣΗ: Για να συγκρίνουμε τα κλάσματα μπορούμε να βρούμε άλ- λα, ισοδύ-ναμα με τα πρώτα, με παρονομαστή το 100 και να τα μετατρέψουμε σε ποσο- στά (μά-θημα 22).

25

3 = = ....... %,

5

1 = = ....... %,

5

2 = = ....... %,

15

3 =

5 = = ....... %,

100

8 = ....... %

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Οι προτιμήσεις των γονέων στον τρόπο ενημέρωσής τους είναι:

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

Ο Νίκος έφαγε το 1/3 μιας σοκολάτας και ο Λευτέρης τα 2/6 από την ίδια σοκολάτα. Πόσο μέρος της σοκολάτας έφαγαν και τα δύο παιδιά μαζί;

β.μ. σελ. 100

Θυμάμαι: Μπορώ να εκφράσω τα κλάσματα κατευθείαν σε ποσοστά, αν διαιρέσω αριθμητή με παρονομαστή και γράψω το αποτέλεσμα της διαίρεσης με 2 δεκαδικά ψηφία.

β.μ. σελ. 101


Φύλλο Εργασίας

Εκτελώ τις παρακάτω πράξεις:

6

5

9

4 ....................................................................................................................

2

13

9

52 .................................................................................................................

3 2 1

4 4 4 = .....................................................................................................................

12 7 9

15 15 15 = ...................................................................................................................

5 3 5

20 15 12 = ................................................................................................................

Δραστηριότητα 1η: “Κάνω προσθέσεις με κλάσματα”


1 2 3 8

4 5 20 15 = ...........................................................................................................

3 7 2

8 12 4 = .....................................................................................................................

2 5 14 2 4

3 6 2 = ..................................................................................

3 1 12

8 3 6 = ........................................................................................

Εκτελώ τις παρακάτω πράξεις:

2

18

7

212

............................................................................................................

συνέχεια…

Δραστηριότητα 2η: “Κάνω αφαιρέσεις με κλάσματα”


4 2

5 6 = .............................................................................................................................

4 2

5 5 = .............................................................................................................................

7 2

9 9 =.............................................................................................................................

1 1

2 6 = .............................................................................................................................

5 1

6 2 = ..............................................................................................................................

3 2

4 3 = ..............................................................................................................................

8 6

43

4

2 = .......................................................................................................................

24

9

24

15 = ........................................................................................................................

Τέλος

Πηγή: http://ioannaprangiou.weebly.com/


ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Το α΄ ημίχρονο ενός αγώνα μπάσκετ είχε διάρκεια 4

3της ώρας και το β΄

10

7της ώ-

ρας. Πόση διάρκεια είχε συνολικά ο αγώνας; Απάντηση: ........................................................................................................................... ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 Τρεις φίλοι, ο Νίκος, ο Κώστας και ο Γιάννης μοιράστηκαν μία μεγάλη σοκολάτα. Ο Νίκος

έφαγε το 2

1 της σοκολάτας, ο Κώστας το

4

1 και ο Γιάννης το 8

1 της σοκολάτας. Πόσο μέρος της σο-

κολάτας έφαγαν και οι τρεις μαζί; Απάντηση: ...........................................................................................................................

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Το α΄ ημίχρονο ενός αγώνα μπάσκετ είχε διάρκεια 4

3της ώρας και το β΄

10

7της ώρας. Πόση διάρκεια είχε συνολικά ο αγώνας;

Απάντηση: ........................................................................................................................... ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 Τρεις φίλοι, ο Νίκος, ο Κώστας και ο Γιάννης μοιράστηκαν μία μεγάλη σοκολάτα. Ο Νίκος

έφαγε το 2

1 της σοκολάτας, ο Κώστας το

4

1 και ο Γιάννης το 8

1 της σοκολάτας. Πόσο μέρος της σο-

κολάτας έφαγαν και οι τρεις μαζί; Απάντηση: ...........................................................................................................................

ε.

ε.

σελ. 27 , αντί για το ε΄


ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

Υπεύθυνος καθηγητής Χαράλαμπος Λεμονίδης

Μέντορας Γεώργιος Γεωργιόπουλος

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β΄ ΦΑΣΗΣ

Θέμα Διδασκαλίας Πρόσθεση και αφαίρεση ετερώνυμων κλασμάτων

Σχολείο 1° Πειραματικό Σχολείο Φλώρινας

Τάξη

Ε2

Ημερομηνία

15/4/2008

Φοιτήτρια Φράγκου Ανδρονίκη

Α.Ε.Μ. 2132

Εξάμηνο ΣΤ΄

ΦΛΩΡΙΝΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2008


1

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

1. ΤΟ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ

Η συγκεκριμένη διδασκαλία αφορά στο 39ο κεφάλαιο της 4ης διδακτικής ενότητας της Β΄ περιόδου του σχολικού εγχειριδίου, έχει τίτλο «Πηγές Ενημέρωσης» και αναφέρεται στην Πρόσθεση και Αφαίρεση ετερώνυμων κλασμάτων.

Σε προηγούμενες ενότητες των Μαθηματικών της Ε΄ τάξης έχουν διδαχθεί τα γνωστικά αντικείμενα που αποτελούν προϋπόθεση για τη διδασκαλία της ενότητας αυτής όπως κλασματικές μονάδες (16η), ισοδύναμα κλάσματα (17η),δεκαδικά κλάσματα (8η), αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα (15η), μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό αριθμό (18η), έννοια του ποσοστού (22η), προβλήματα με ποσοστά (23η), κοινά πολλαπλάσια και το Ε.Κ.Π (38η).

Στη Γ΄ τάξη οι μαθητές έρχονται σε επαφή με τις παραπάνω έννοιες, δηλαδή με τα κλάσματα (22η, 23η, 24η ), τα ισοδύναμα κλάσματα (25η) τα δεκαδικά κλάσματα (34η), τα δεκαδικά κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς (35η) καθώς και με τη σύγκριση και τη διάταξη δεκαδικών αριθμών και κλασμάτων (57η).

Στη Δ΄ τάξη μελετούν ιδιαίτερα τους δεκαδικούς αριθμούς (15η, 16η, 19η, 20η), και τα δεκαδικά κλάσματα (21η,22η ,23η, 24η, 26η,).

2. ΤΑ ΥΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΠΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ

Τα εποπτικά μέσα που χρησιμοποιήθηκαν είναι το βιβλίο μαθητή, τρία φύλλα εργασίας για έλεγχο των προϋπαρχουσών γνώσεων, για αφόρμηση και για εφαρμογή-εμπέδωση, χαρτόνια για ανακάλυψη της νέας γνώσης και επισημοποίηση, δραστηριότητα σε μορφή παιχνιδιού στο τρίτο φύλλο εργασίας, χάρακας και μπογιές.

3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Σε μια διδακτική ώρα διδάχθηκε η ενότητα μέσα από πρόσθετες δραστηριότητες και ασκήσεις με αφόρμηση από το Βιβλίο του Μαθητή και το Βιβλίο Εργασιών. (Η διδασκαλία ολόκληρης της ενότητας απαιτεί δύο διδακτικές ώρες σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα).

4. ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΥΡΙΟΣ ΣΤΟΧΟΣ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Ο κύριος διδακτικός σκοπός είναι οι μαθητές να μπορούν να συγκρίνουν, να προσθέτουν και να αφαιρούν ετερώνυμα κλάσματα αφού τα μετατρέψουν σε ομώνυμα χρησιμοποιώντας οποιοδήποτε κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών ή το Ε.Κ.Π.

ΕΠΙΜΕΡΟΥΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ Οι επιμέρους στόχοι αυτού του κεφαλαίου είναι οι μαθητές να είναι ικανοί:


2

Να διακρίνουν σε ποιες πράξεις κλασμάτων είναι απαραίτητη η μετατροπή των ετερώνυμων κλασμάτων σε ομώνυμα και πότε δεν είναι απαραίτητη.

Να μετατρέπουν τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα εφαρμόζοντας διάφορες στρατηγικές: κοινά πολλαπλάσια, το Ε.Κ.Π., ισοδύναμα κλάσματα, μετατροπή σε δεκαδικό, σε δεκαδικά κλάσματα.

Να χρησιμοποιούν το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών για να τα μετατρέψουν σε ισοδύναμα ομώνυμα κλάσματα με τους μικρότερους δυνατούς όρους.

Να παρατηρήσουν ότι είναι πιο εύκολο να συγκρίνουν ποσότητες που εκφράζονται με ομώνυμα κλάσματα παρά με τους αντίστοιχους δεκαδικούς αριθμούς.

Να συνεργάζονται σε ομάδες των τριών για την επίτευξη μιας άσκησης ή δραστηριότητας.

5. ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ - ΠΡΟΫΠΑΡΧΟΥΣΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ

Οι προαπαιτούμενες γνώσεις των μαθητών για τη διεξαγωγή του συγκεκριμένου μαθήματος είναι οι εξής:

Να γνωρίζουν τη μέθοδο της απλοποίησης.

Να βρίσκουν τα πολλαπλάσια ενός αριθμού ή περισσοτέρων αριθμών.

Να βρίσκουν τα κοινά πολλαπλάσια και το Ε.Κ.Π. ενός αριθμού ή περισσοτέρων αριθμών.

Να κατανοούν την έννοια των ισοδύναμων κλασμάτων και να χρησιμοποιούν με ευχέρεια τη συμβολική έκφραση ποσότητας με διαφορετικά ισοδύναμα κλάσματα.

Να μετατρέπουν κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς και ποσοστά.

Να συνεργάζονται εταιρικά για την επίτευξη μιας άσκησης ή δραστηριότητας.

6. ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ

Εφαρμόστηκε η ομαδοσυνεργατική μέθοδος, η ανακαλυπτική και η επαγωγική.

Οι διδακτικές μέθοδοι προσφοράς που χρησιμοποιήθηκαν είναι η διάλεξη και η επίδειξη και από τις μεθόδους επεξεργασίας η διδακτική μορφή της ερωταπόκρισης, του καθοδηγούμενου διαλόγου και της επαγωγής.

Σε όλες τις δραστηριότητες οι μαθητές χωρισμένοι σε ομάδες των τριών ατόμων συνεργάστηκαν για να πραγματοποιήσουν τις δραστηριότητες και να λύσουν τις ασκήσεις και τα προβλήματα, ενώ είχαν προηγηθεί καθοδηγητικές ερωταποκρίσεις και συζήτηση.

Κατά την επισημοποίηση της νέας γνώσης εφαρμόστηκαν οι μέθοδοι της διάλεξης και της επίδειξης.


3

7. ΠΟΡΕΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

1η Φάση: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΘΕΜΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ, ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΣΤΟΧΩΝ ΚΑΙ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ

Στη φάση αυτή πραγματοποιήθηκε εισαγωγή στη νέα θεματική ενότητα. Έγινε ανακοίνωση του κύριου σκοπού της θεματικής ενότητας και έλεγχος των

προϋπαρχουσών γνώσεων των μαθητών με το 1ο φύλλο εργασίας. Οι διδακτικές μέθοδοι που χρησιμοποιήθηκαν είναι η ομαδοσυνεργατική, οι

ερωταποκρίσεις, και ο καθοδηγούμενος ημιδομημένος διάλογος. Χρονική διάρκεια: 5΄-7΄

2η Φάση: ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ

Ως πρώτη εισαγωγική δραστηριότητα χρησιμοποιήθηκε μια παραλλαγή της 1ης άσκησης του Τετραδίου Εργασιών με χρήση λωρίδων χαρτονιού (μοντέλου μήκους ή μέτρησης)∗ για την πρόσθεση κι αφαίρεση ετερώνυμων κλασμάτων μέσω της μετατροπής σε ομώνυμα με σκοπό την ανακάλυψη της αναγκαιότητας της και της διαδικασίας της μετατροπής τους.

Έγινε συζήτηση σχετικά με τον τίτλο της ενότητας «Πηγές Ενημέρωσης», το γράφημα και τη μορφή του, ακολούθησε η δραστηριότητα μετατροπής των κλασμάτων σε ομώνυμα που υπάρχει στο Βιβλίο Μαθητή. Η δεύτερη αυτή δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε στο 2ο φύλλο Εργασίας για να αυτενεργήσουν οι μαθητές και μέσα από καθοδηγητικές ερωτήσεις να θυμηθούν γνωστούς και να ανακαλύψουν καινούργιους τρόπους και στρατηγικές μετατροπής ετερώνυμων κλασμάτων σε ομώνυμα καθώς και δυνατότητες σύγκρισης των κλασμάτων.

Η διδασκαλία συνεχίστηκε με την επίλυση της επόμενης δραστηριότητας που αφορά στη μετατροπή κλασμάτων σε δεκαδικό αριθμό και σε ποσοστό επί τοις εκατό.

Οι διδακτικές μέθοδοι που χρησιμοποιήθηκαν είναι η ανακαλυπτική, η επαγωγική, η ομαδοσυνεργατική, οι ερωταποκρίσεις και ο καθοδηγούμενος ημιδομημένος διάλογος. Χρονική διάρκεια: 12΄-15΄

3η Φάση: ΕΠΙΣΗΜΟΠΟΙΗΣΗ - ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΓΝΩΣΗΣ

Σ' αυτή τη φάση με επίδειξη, εκτέλεση από τους μαθητές, ερωταποκρίσεις και διάλογο έγινε επισημοποίηση της νέας γνώσης και συνειδητοποίηση της, (αναγκαιότητα της μετατροπής των ετερώνυμων κλασμάτων σε ομώνυμα, τρόποι μετατροπής τους, χρήση του Ε.Κ.Π. για τη μετατροπή και σύγκριση κλασμάτων με τους μικρότερους δυνατούς όρους και τρόποι σύγκρισης ποσοτήτων με ακριβέστερη και ευκολότερη τη χρήση ομώνυμων κλασμάτων σε σχέση με τους δεκαδικούς και τα ποσοστά ).

Η επισημοποίηση της νέας γνώσης πραγματοποιήθηκε λεκτικά μαζί με τους ∗ Van de Walle, J. (2005). Μαθηματικά για το Δημοτικό και το Γυμνάσιο. Μια Εξελικτική Διδασκαλία. Επιμελητής: Τριανταφυλλίδης Τριαντάφυλλος. Εκδόσεις Τυπωθήτω. Αθήνα. σελ. 290.


4

μαθητές και αναρτήθηκε στον πίνακα σε χαρτόνι. Οι διδακτικές μέθοδοι που χρησιμοποιήθηκαν είναι οι ερωταποκρίσεις, ο

καθοδηγούμενος ημιδομημένος διάλογος, η επίδειξη και η συζήτηση. Χρονική διάρκεια: 6΄

4η Φάση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ

Στη φάση αυτή οι μαθητές μέσα από τις δραστηριότητες του 3ου φύλλου εργασίας εφάρμοσαν και εμπέδωσαν όσα έμαθαν και οργάνωσαν στη σκέψη τους κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας. Εξασκήθηκαν, παίζοντας, στην κατανόηση των ισοδύναμων κλασμάτων και στη μετατροπή τους σε ομώνυμα. Συνειδητοποίησαν την ανάγκη μετατροπής για την πραγματοποίηση των πράξεων της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. Εξασκήθηκαν να επιλέγουν και να χρησιμοποιούν την πιο αποτελεσματική στρατηγική και να διαχειρίζονται ετερώνυμα κλάσματα με βάση τα δεδομένα του προβλήματος.

Οι διδακτικές μέθοδοι που χρησιμοποιήθηκαν είναι η ομαδοσυνεργατική, η επαγωγική, οι ερωταποκρίσεις και ο καθοδηγούμενος ημιδομημένος διάλογος. Χρονική διάρκεια: 12΄

5η Φάση: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ

Η αξιολόγηση πραγματοποιήθηκε μέσα από τις δραστηριότητες του 3ου φύλλου εργασίας (2η σελίδα) και διαπιστώθηκε η πραγματοποίηση των στόχων που τέθηκαν και η επιτυχημένη επαφή των μαθητών με τη νέα γνώση.

Οι διδακτικές μέθοδοι που χρησιμοποιήθηκαν είναι η ομαδοσυνεργατική, η επαγωγική, οι ερωταποκρίσεις και ο καθοδηγούμενος ημιδομημένος διάλογος. Χρονική διάρκεια: 4΄


5

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

1° ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Όνομα: Τάξη: Ε΄ Δημοτικού Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα: Πρόσθεση και αφαίρεση ετερώνυμων κλασμάτων

Πώς γράφεται το κλάσμα 53 ως δεκαδικός αριθμός;

Πώς γράφεται ο ίδιος αριθμός σαν ποσοστό;

Ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο: 53 ή 5

4 ;

Κυκλώνω τα κλάσματα που είναι ισοδύναμα με το 106 :

154,20

12,82,5

3

Ποιο είναι το Ε.Κ.Π. των αριθμών 2, 3 και 15. Πώς το βρίσκουμε;


6

2° ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ


Μετατρέπω τα παρακάτω ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα για να μπορώ να τα συγκρίνω:

31,10

2,153,100

10,61


7



8

Α. Συμπληρώνω και χρωματίζω σωστά:


9

Β. Ασκήσεις 1) Τρέπω σε ομώνυμα τα παρακάτω κλάσματα και τα διατάσσω σε αύξουσα σειρά (από το μικρότερο στο μεγαλύτερο).

43,12

3,64,3

2

2) Τρέπω σε ομώνυμα τα παρακάτω κλάσματα και τα διατάσσω σε φθίνουσα σειρά (από το μεγαλύτερο στο μικρότερο).

32,6

3,51,4

3

Γ. Προβλήματα 1) Η γιαγιά του Γιάννη για να φτιάξει τσουρέκια χρησιμοποιεί 5

1 του κιλού

βούτυρο, 104 του κιλού γάλα και 4

2 του κιλού ζάχαρη. Πόσο είναι συνολικά το

βάρος των υλικών που χρησιμοποιεί;


10

2) Ο Αχιλλέας μοίρασε στους συμμαθητές του τη σοκολάτα του. Έδωσε το 41

στη Μαρία, το 51

στο Διονύση και τα 102

στο Γιάννη.

Έμεινε για τον ίδιο και πόση; Ποιος πήρε το μεγαλύτερο κομμάτι;

Υπολόγισε και χώρισε το σχέδιο της σοκολάτας στα σωστά μέρη.

Δείξε τα μέρη που πήρε το κάθε παιδί, χρωματίζοντάς τα με διαφορετικό χρώμα.


22

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


http://www.pdffactory.com

23




24




25




TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ

www.ma8eno.gr

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

w w w . m a 8 e n o . g r

Σελίδα 1 Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.86

Γνωρίζω μέχρι τώρα…

• Στην πρόσθεση, οι προσθετέοι και το άθροισμα είναι ομοειδείς

αριθμοί.

Π.χ 8 κεράσια + 6 κεράσια = 14 κεράσια

+ =

Στην αφαίρεση, ο μειωτέος, ο αφαιρετέος και η διαφορά είναι κι αυτοί

ομοειδείς αριθμοί.

Π.χ 3 καρπούζια + 2 καρπούζια = 5 καρπούζια

Πρόσθεση ομώνυμων κλασμάτων

• Ομώνυμα είναι τα κλάσματα που προέρχονται από την επανάληψη της

ίδιας κλασματικής μονάδας. Π.χ

28

48



Ανακαλύπτω…

Από τα 24 κομμάτια που είχε η σοκολάτα, η Μαρία έφαγε στο 1ο

διάλειμμα 8 κομμάτια και στο δεύτερο 12 κομμάτια.

Δηλαδή έφαγε 8+12 = 20 κομμάτια

ή

824

+ 1224

= 8+1224

= 2024

της

σοκολάτας.

• Διαπιστώνουμε ότι στην πρόσθεση ομώνυμων κλασμάτων

προσθέτουμε τους αριθμητές 8 και 12 και το άθροισμα τους το βάζουμε

αριθμητή στο νέο κλάσμα. Παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο.

Αντίστροφα

Από τη σοκολάτα των 24 κομματιών η Μαρία έφαγε 20 κομμάτια

συνολικά. Αν τα 12 κομμάτια που έφαγε στο δεύτερο διάλειμμα , τότε

πόσα έφαγε στο πρώτο και τι μέρος της σοκολάτας ήταν αυτά;

Η Μαρία έφαγε στο 1ο διάλειμμα 20 – 12 = 8 κομμάτια από τα 24

ή 2024− 12

24= 20−12

24= 8

24 της σοκολάτας.

• Διαπιστώνουμε ότι στην αφαίρεση ομώνυμων κλασμάτων αφαιρούμε

τους αριθμητές 20 και 12 και βάζουμε τη διαφορά τους αριθμητή του

νέου κλάσματος. Παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο.



Συγκρατώ…

Πρόσθεση ετερώνυμων κλασμάτων

Ετερώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουν διαφορετικούς

παρονομαστές.

Το βάρος 10 πορτοκαλιών είναι 47 του κιλού και το βάρος 20 κερασιών

414

του κιλού. Πόσο ζυγίζουν μαζί;

Για να βρούμε το συνολικό βάρος πρέπει να προσθέσουμε τα κλάσματα 47

και 414

. Τα κλάσματα είναι ετερώνυμα και τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα

βρίσκοντας πρώτα το Ε.Κ.Π των παρονομαστών.

Ε.Κ.Π (7,14) = 14

Στην πρόσθεση και στην αφαίρεση όλοι οι αριθμοί πρέπει να εκφράζουν το ίδιο είδος.

Για να προσθέσουμε ομώνυμα κλάσματα, προσθέτουμε τους αριθμητές και το άθροισμα τους το βάζουμε αριθμητή του νέου κλάσματος. Παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο.

Για να αφαιρέσουμε ομώνυμα κλάσματα αφαιρούμε τους αριθμητές και τη διαφορά τους τη βάζουμε αριθμητή του νέου κλάσματος. Παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο.



2 1

47

+ 414

= 814

+ 414

= 8+414

= 1214

κιλά

Τα πορτοκάλια και τα κεράσια ζυγίζουν μαζί 1214

κιλά.

Από την παραπάνω τροπή ετερώνυμων κλασμάτων σε ομώνυμα,

διαπιστώνουμε ότι βαρύτερα είναι τα πορτοκάλια. Για να βρούμε τη

διαφορά, αφαιρούμε από το κλάσμα 47 το κλάσμα

414

, αφού πρώτα τα

τρέψουμε σε ομώνυμα.

Ε.Κ.Π (7,14) = 14

2 1

47− 4

14= 8

14− 4

14= 8−4

14= 4

14 κιλά

Τα πορτοκάλια είναι 414

του κιλού βαρύτερα από τα κεράσια.



Συγκρατώ…

Πρόσθεση και αφαίρεση μεικτών ομώνυμων και ετερώνυμων κλασμάτων

• Για να τρέψουμε έναν μεικτό σε κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε τον

παρονομαστή με τον ακέραιο και προσθέτουμε τον αριθμητή. Το

αποτέλεσμα μπαίνει αριθμητής στο καινούριο κλάσμα και παρονομαστής

μένει ο ίδιος.

Π.χ 2 47 = 18

7

Πρόσθεση

Θέλουμε να προσθέσουμε τους μεικτούς 2 14

και 1 24

Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα και έπειτα

προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές αφήνοντας παρονομαστή τον ίδιο.



Α’ Τρόπος : Μετατρέπουμε τους μεικτούς σε κλάσματα

2 14

+ 1 24

= 94

+ 64

= 9+64

= 154

Β’ Τρόπος: Προσθέτουμε χωριστά τους ακέραιους και χωριστά τα

κλάσματα

2 14

+ 1 24

= (2+1) + 14

+ 24 = 3 + 3

4 = 33

4

Αφαίρεση

Θέλουμε να αφαιρέσουμε από τα 214 τα 1

24

Α’ τρόπος: Μετατρέπουμε πρώτα τους μεικτούς σε κλάσματα

2 14

- 1 24

= 94− 6

4= 9−6

4= 3

4

Β’ Τρόπος: Αφαιρούμε χωριστά τους ακέραιους και χωριστά τα

κλάσματα:

2 14

- 1 24

=

Παρατηρούμε ότι τα κλάσματα δεν αφαιρούνται γιατί το κλάσμα του

μειωτέου είναι μικρότερο από το κλάσμα του αφαιρετέου. Παίρνουμε μια

ακέραιη μονάδα από το 2 και την τρέπουμε σε τέταρτα και αντί για 214

έχουμε 154

Επομένως τώρα έχουμε:



214 - 15

4 = (2-1) + 1

4+ 5

4 =1+

64 = 16

4

Πρόσθεση και αφαίρεση μεικτών αριθμών που τα κλάσματα τους είναι ετερώνυμα

Α’ τρόπος:

2 1

2 47

+ 1 414

= 2 814

+ 1 414

= 3614

+ 1814

= 36+1814

= 5414

Β’ Τρόπος

2 1

2 47

+ 1 414

= (2+1) + 814

+ 414 = 3 + 12

14 = 312

14

Για να αφαιρέσουμε μεικτούς με ετερώνυμα κλάσματα, τρέπουμε πρώτα

τα κλάσματα των μεικτών σε ομώνυμα.

Α’ Τρόπος:

2 1

2 47− 1 4

14= 2 8

14− 1 4

14= 36

14− 18

14= 36−18

14= 18

14

Για να προσθέσουμε μεικτούς με ετερώνυμα

κλάσματα, τρέπουμε πρώτα τα κλάσματα των

μεικτών σε ομώνυμα.



Β’ Τρόπος:

2 1

2 47− 1 4

14= (2-1) + 8

14− 4

14 = 1 4

14

Και μερικά ακόμα παραδείγματα

• Πρόσθεση μεικτού με κλάσμα:

2 1

47

+ 14

14= 1 +

814

+4

14 = 1

1214

• Αφαίρεση μεικτού με κλάσμα:

1 2

11214

− 47

= 1 + 1214

−8

14 = 1

414



Μαθηματικά Ε΄ 6.39. ΄΄ Πρόσθεση και αφαίρεση ετερώνυμων...

Education

Transcript of Μαθηματικά Ε΄ 6.39. ΄΄ Πρόσθεση και αφαίρεση ετερώνυμων...