Ευκλειδης Β 63

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2006-2007 Εκπαιδευτικά βιβλία για μαθητές και εκπαιδευτικούς

Άλγεβρα Α' Ενιαίου Λυκείου Θ. Τ σιούμας, I. Σιάχος

w

f) ενιοfου Λυκεfου

Μεθοδολογία Άλγεβρας Β' Ενιαίου Λυκείου

Γενικής Παιδείας Ε. Πρωτοπαπάς

w

Γεωμετρία Β' Ενιαίου Λυκείου

Γενικής Παιδείας Ε. Πρωτοπαπάς

μαθηματικά r· Ενιαίου Λυκείου

Μαθηματικά Γ' Ενιαίου Λυκείου

Γ ενικής Παιδείας Μ. Τ σιλπιρίδης

το δυναμικό site των ΕΚΔΟΣΕΩΝ ΠΑΤΑΚΗ Επισκεφθείτε το site μαc; και θα βρείτε για την εκΠαίδευση:

t Στο on line βιβλιοπωλείο, όλα τα εκπαιδεύτικά βιβλία των Εκδόσεων Πατάκη ταξινομημένα κατά τάξη-μάθημα-σειρές, με περιγραφήπερίληψη (βεβαίως υπάρχουν βιβλία και των άλλων κατηγοριών). Μπορείτε στο τμήμα αυτό να ενημερωθείτε και να παραγγείλετε.

t Σ το τμήμα εκπαίδευση, αποσπάσματα από τα εκπαιδευτικά βιβλία ( I 0-16 σελίδες από κάθε βιβλίο) και ακόμη: άρθρα/σχόλια/ πληροφορίες για την εκπαίδευση στην Ελλάδα και σε όλο τον κόσμο.

t Στην κεντρική σελίδα του site (homepage), η ένδειξη: «Συμπληρώματα και παροράματα βιβλίων των Εκδόσεων Πατάκη», όπου θα βρείτε συμπληρωματικό υλικό για τα βιβλία και τυχόν παροράματα.

t Στο Forum μπορείτε να διατυπώσετε τις απόψεις σας, να υποβάλετε ερωτήματα, να απαντήσετε σε ερωτήσεις άλλων ή να σχολιάσετε τις απόψεις τους.

t Μπορείτε να επισκεφθείτε την ηλεκτρονική εκπαιδευτική εφημερίδα e-Π@τ@κηc;/Παιδεία, που είναι πλούσια σε εκπαιδευτικό υλικό.

t Πολλά ακόμα ενδιαφέροντα υπάρχουν για όλους: εκδηλώσεις, διαγωνισμοί, πληροφορίες για τις Εκδόσεις Πατάκη και άλλα.

Σαc; περιμένουμε στο site μαc;. Μη χάσετε την ευκαιρία που μας προσφέρει η σύγχρονη τεχνολογία για άμεση επαφή και ενημέρωση.

web site: http://www.patakis.gr, e-mail: [email protected], [email protected]

co

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ETAIPEIA Τεύχος 63 • Ιανουάριος • Φεβρουάριος - Μάρτιος 2007· Έτος λθ' - Ευρώ: 3,50

e-mail: [email protected] www.hms.gr

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ../' Ιστορικές Μαθηματικές Αναφορές • Νέα και Παλιά στον Κόσμο των Μαθηματικών 2 ../' Μαθηματικοί Διαyωνισμοί- Μαθηματικές Ολυμπιάδες ...................... 9 ../' Χρωματισμοί Επιπέδου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 1 3 ../' Αξιόλοyοι Μαθηματικοί ••• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 1 5 ../' Homo Mathematicus .......................................................... 18 ../' Το Βήμα του Ευκλείδη . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................... 20

../' Άλyεβρα

../' Γεωμετρία

Μαθηματικά Α' Τάξης

Μαθηματικά Β' Τάξ · .. ης

....... 26 33

..... 45 ../' Άλyεβρα

../' Γεωμετρία . . . . . . . . .... 56 ../' Κατεύθυνση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Μcιθηματικά Γ" Τόξης ../' Μαθηματικά Γενικής Παιδεία

../' Μαθηματικά Κατεύθυνσης

.. 69

.. 73

../' Ο Ευκλείδης προτείνει ... Ευκλείδη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 ../' Τα Μαθηματικά μας Διασκεδάζουν .................................... 79

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑfΙΚΗΣ ΗΑΙΡΕΙΑΣ

ΓΊΑΝΕΠΙΠΗΜΙΟΥ 34 • 1 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ.: 21 Ο 3617784 · 3616532 Fax:2103641025 Εκδότης: Εξαρχάκος Θε:όδωρος Διευθυντής: Τυρλής Ιωάννης

Κωδικός ΕΛ. ΤΑ.: 2055 JESN : 1105 -7998

Επιμέλεια 'Εκδοσης: Τααα6πουλος Γιώργος Ευαταβίου Βαyycλης

Εκτελεστική Γραμματεία Πρόεδρος: Ταααόπουλος Γιώργος

Αντιπρόεδρος: Ευαταβίου Βαγγcλης

Γραμματέας: Χριατ6πουλος Παναγιώτης

Μέλη: Αργυράκης Δ.

Δρούταας Π.

Λουρίδας Σ. Ταπεινός Ν.

ΙΔΙΟΚΤΗΣΙΑ ΤΗΣ ΕΜΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΥΙΚΗΣ ΕΥΑΙΡΕΙΑΣ

Συντακτική Επιτροπή Αθανασόπουλο$ Γεώργιος Ανασrασίου Για".."])ς Ανδρουλακάκης Ν ικος Αντωνόπουλος Νίκος .ι\ργυρ�κης Δημ,ήτ9ιος Βακαλόπουλος Κωσrας Γράψας Κων/νος Δρουτσας Παναγιώτης Ευσrαθίου Βαγγέλης Ζαχαρόπουλος Κων/νος Ζώτος Βαγγέλης Καλίκας Σταμάτης ΚανέλλΟς Χρήσrος Καραγκού";ης Δ'Ι]μήτρης Καρακατσανης Βασίλης Καρκάνtjς Βασίλης Κατσούλης Γιώρyος Κερασα�ιδης Γιαννης Καρδαμιτσης Σπύρος Κnπουρός Χρήσrος Κλάδη Κατερίνα Κόντζιας Νίκος Κοτσιφάκης Γιώργος Κυριακόπουλος Αντώνης Κυ�ιακόπουλος Θανάσης Κυ ερν�του ΧQυσt. Λα αρίδης Χρησrος Λάππας Λευτέ�ης Λουρίδας Σωτηρης Μαλαφέκας Θανασης

Μανολάκου Στοματική Μενδρινός Γιάννης Μεταξάς Νικόλαος Μυλωνάς Δημήτρης Μώκος Χρήσrος Πανουσάκης Νίκος Ρέγκλης Δημήτρης Σαίτη Εύα Στα'ίκος Κώσrας Στά'ίκος Παναγιώτης Στρατής Γιάννης Ταπεινός Νικόλαος Τασσόπουλος Γιώργος τζιώτζιος Θανάσης Τριάντος Γεώργιος Τσαγκάρης Ανδρέας Τσατούρας Ευάγγελος Τσικαλουδάκης Γιώργος Τσιούμας Θανάσης Τυρλής Ιωάννης Φανέλη Άννυ Χαραλαμποπούλου Λίνα Χαραλάμπους Θάνος Χρισrόπουλος Παναγιώτης

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει ότι προτείνονται από την Ε.Μ.Ε. • Οι συνεργάτες, τα άρθρα, οι προτεινόμενες ασκήσεις, οι λύσεις ασκήσεων κτλ. πρέπει να στέλνονται έγκαιρα, στα γραφεία της

Ε.Μ.Ε. με την ένδειξη "Για τον Ευκλείδη β'". Τα χειρόγραφα δεν επιοτρέφονtαι. Τιμή Τεύχους ευρώ 3,50 Ετήσια συνδρομή (10,00 + 4,00 Ταχυδρομικά= ευρώ 14,00) Ετήσια συνδρομή για Σχολεία ευρώ 10,00

Το αντίτιμο για τα τεύχη που παραγγέλνονται στέλνεται με απλή επιταγή σε διαταγή Ε.Μ.Ε. Τ αχ. Γραφείο Αθήνα 54 Τ.Θ. 30044 ή πληρώνεται στα γραφεία της Ε.Μ.Ε.

Εκτύπωση: ΙΝ1ΈΡΓΙΡΕΣ Α.Ε. τηλ.: 210 8160330 Υnι:ύθuνος τunογpαφι:ίοu: Β. Σωτηριάδης

Επιμέλεια: Χρήστος Κηπουρός

Το άρθρο που ακολουθεί μας έστειλε ο Καθηγητής του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Θόδωρος Μπόλης

αναφέρεται στη καθιέρωση ορισμένων Μαθηματικών Βραβείων και στα ονόματα των βραβευθέντων

μαθηματικών . Στη συνέχεια μας γνωρίζει πότε και από ποιους μαθηματικούς αναφέρθηκαν, για πρώτη

φορά, τα διάφορα μαθηματικά σύμβολα που χρησιμοποιούμε σήμερα ώστε να λειτουργήσει πιο καλά ο

χώρος των Μαθηματικών. Στο τεύχος 5 7 του Ευκλείδη Β', είχαμε αναφέρει μερικά από αυτά. Σχετικά με

το βραβείο Nobel, γνωρίζουμε στον αναγνώστη τα παρακάτω:

Ο Σουηδός χημικός και μεγαλοβιομήχανος Αλφρέδος Νόμπελ άφησε ένα μεγάλο μέρος της περιουσίας

του για να καθιερώσει τα 5 χρηματικά βραβεία που φέρουν το όνομά του. Τα βραβεία αυτά δίνονται ανά

ένα, σε κάθε πρόσωπο, που διακρίθηκε στη Φυσική, τη Χημεία, την Ιατρική, την Λογοτεχνία και την Ειρήνη.

Αλλά ο Νόμπελ, για δικούς του λόγους δεν είχε συμπεριλάβει τα Μαθηματικά. Όμως από το 2003, η

Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών θεσμοθέτησε ένα αντίστοιχο προς το βραβείο Νόμπελ που συνοδεύεται

από το ίδιο χρηματικό ποσόν (Ι90. 000 Σουηδικές κορώνες) και ονομάζεται βραβείο Abel προς τιμήν του

Νορβηγού Μαθηματικού Ν .:EJsH εnrikAbe1.(1802 - 1829)

Παραθέτουμε τώρα το άρθρο του Καθηγητή Θ.Μπόλη που φέρει ως τίτλο :

I ΝΕΑ I ΚΑΙ I ΠΑΛΙΑ I ΣΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ABEL

Εισαγωγή

Θόδωρος Μπόλης, Καθηγητής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Στο παρόν σημείωμα παρουσιάζουμε μερικά ενδιαφέροντα νέα από τη Διεθνή Μαθηματική σκηνή καθώς και μια σύντομη ιστορία των περισσότερο χρησιμοποιουμένων στοιχειωδών Μαθηματικών συμβόλων. Τα ονόματα των αναφερομένων Μαθηματικών των οποίων η βιογραφία (και πολύ πιθανώς φωτογραφίες) εμφανίζονται στον πράγματι εξαιρετικό ιστότοπο http://www-histoα.mcs. st-and.ac.uk/-histoα/ θα γράφονται με μπλε γράμματα. Επειδή το βιβλίο του Cajori [ 1 ] είναι πολύ ογκώδες, προτείνουμε τον ιστότοπο [2] για μια σύντομη αλλά εκτενέστερη από την παρούσα ενημέρωση .

Τα ... I NEAI ΥΠΑΡΧΕΙ ΒΡΑΒΕΙΟ ΝΟΒΕ&ο ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ;

ΟΧΙ, ΥΠΑΡΧΕΙ ΟΜΩΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟ ΠΟΥ ΛΕΓΕ Τ ΑΙ ΒΡΑΒΕΙΟ ABEL .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/2

------------- Ιστορικές Μαθηματικές Αναφορές -------------

Carleson

1 Βραβείο Abel I Τον περασμένο Μάρτιο, η Νορβηγική Ακαδημία

Επιστημών ανακοίνωσε ότι ο Σουηδός Μαθηματικός Lennart Axel Edvard Carleson ( 1 928 -) τιμήθηκε με το βραβείο Abel για τη συμβολή του στην Αρμονική Ανάλυση και τη Θεωρία των Δυναμικών Συστημάτων Η απονομή του βραβείου έγινε στις 23 Μα:fου 2006 από το βασιλιά της Νορβηγίας Harald. Το βραβείο Abel θεσμοθετήθηκε το 2003 και συνοδεύεται από το ίδιο χρηματικό ποσό με το βραβείο Nobel . Προηγούμενοι τιμηθέντες με το βραβείο Abel είναι: Για το 2005 ο Αμερικανός (Ουγγρικής καταγωγής) Peter Daνid Lax ( 1 926 -), για το 2004 ο Βρετανός (Λιβανικής καταγωγής) Sir Michael Francis Atiyah ( 1 929 - ) μαζί με τον Αμερικανό Isadore Singer και για το 2003 ο Γάλλος αλγεβριστής Jean-Pieπe Seπe ( 1 926 - ) .

I Μετάλλια Fields. Στο Διεθνές Μαθηματικό Συνέδριο (lntemational Mathematical Congress) που έγινε στη Μαδρίτη (22-30 Αυγούστου 2006) έγινε η απονομή των Μεταλλίων Fields στους Andrei

Okounkov (Πανεπιστήμιο του Berkeley και τώρα του Princeton) , Terence Tao (UCLA) και Wendelin

Wermer (Universite Paris-Sud και Ecole Normal Superieure). Ο τέταρτος τιμηθείς για την απόδειξη της εικασίας του Poincare Ρώσος Μαθηματικός Γpuropuiί Πepe.rιbMaH (Grigorii Perel'man) αρνήθηκε όμως να αποδεχτεί το Μετάλλιο . Θυμίζουμε ότι ο Tao και ο Perel 'man είχαν κερδίσει χρυσό μετάλλιο στη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα για την Αυστραλία για την ΕΣΣΔ, αντίστοιχα, όταν ήταν πολύ νεαροί μαθητές. Τα Μετάλλια Fields, προς τιμήν του Καναδού Μαθηματικού John Charles Fields ( 1 863 - 1 932), απονέμονται από τη Διεθνή Μαθηματική Ένωση (Intemational Mathematical Union, IMU) τέσσερα το πολύ κάθε τέσσερα χρόνια από το 1 936 σε διακεκριμένους Μαθηματικούς κάτω των σαράντα ετών, ενώ το βραβείο Abel (όπως και το βραβείο Nobel) δεν έχει περιορισμό ηλικίας. Μέχρι τώρα μόνο 48 Μαθηματικοί έχουν τιμηθεί με το Μετάλλιο Fields , το οποίο έχει χαραγμένη την κεφαλή του Αρχιμήδη (287 - 2 1 2 π.Χ.) .

CARLGAUSS

Στη Μαδρίτη ανακοινώθηκε ότι ο Γιαπωνέζος Μαθηματικός και Καθηγητής μου στο Παν/μιο του Aarhus της Δανίας Kiyosi ltδ ( 1 9 1 5 - ), Ομότιμος Καθηγητής του Παν/μίου του Κυότο, τιμήθηκε με το βραβείο Gauss (προς τιμήν του «πρίγκηπα των Μαθηματικών» Γερμανού Johann Carl Friedrich Gauss ( 1 777 - 1 855)) , το οποίο απονέμεται για πρώτη φορά φέτος από τη Διεθνή Μαθηματική Ένωση (IMU) και τη Γερμανική Μαθηματική Ένωση (Deutsche

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β. τ.3/3

-------------- Ιστορικές Μαθηματικές Αναφορές --------------

Mathematiker - Vereinigung) για να τιμήσουν επιστήμονες των οποίων «η μαθηματική έρευνα είχε σημαντική επίδραση σε κλάδους εκτός των Μαθηματικών, όπως στην Τεχνολογία, στις επιχειρήσεις ή απλώς στη καθημερινή ζωή των ανθρώπων». Ο Καθηγητής κ. ltό έχει εργασθεί στον κλάδο των Στοχαστικών Διαδικασιών. ΓΒραβείο RolfNevanlinna. I Στη Μαδρίτη τιμήθηκε επίσης από την IMU ο Αμερικανός Μαθηματικός

Jon Kleinberg του Παν/μίου του Comell με το Βραβείο Neνanlinna (προς τιμήν του Φινλανδού Μαθηματικού Rolf Herman Nevanlinna (1895- 1980)), το οποίο απονέμεται κάθε τέσσερα χρόνια από το 1982 σε Μαθηματικό νεώτερο των 40 χρόνων που διακρίθηκε στον κλάδο της Πληροφορικής ή της Αριθμητικής Ανάλυσης. Μέχρι σήμερα τιμήθηκαν με το βραβείο αυτό επτά Μαθηματικοί.

Nikole d' Oresme Rolf Nevalinna Marine Mersene

11 Ο 44°ς πρώτος του Mersenne. Τον περασμένο Σεπτέμβριο και πριν περάσει χρόνος από την ανακάλυψη από τους Curtis Cooper και Steνen Boone του 43ου πρώτου του Mersenne (βλ. το σημείωμά μου [3] στον Ευκλείδη Β ' του Ιουνίου 2006 και τις εκεί παραπομπές), ανακαλύφτηκε από τους ίδιους ο 44°ς γνωστός πρώτος του Mersenne

232582657- 1 = 12457502601536945540 ... 11752880154053967871

ο οποίος έχει 9808358 ψηφία (ο μεγαλύτερος γνωστός σήμερα πρώτος αριθμός) . Τα . . . lnAΛΙAI

Σύντομη Ιστορία των Στοιχειωδών Μαθηματικών Συμβόλων Σύμβολα πράξεων: Πρόσθεση (+) και αφαίρεση (-) . Ο Διόφαντος (200 - 284), δεν χρησιμοποιούσε σύμβολο για την πρόσθεση για την οποία απλώς έβαζε τις ποσότητες τη μια δίπλα από την άλλη ενώ για την αφαίρεση χρησιμοποιούσε ένα ανάποδο ψ που εικάζεται ότι προήλθε από τη λέξη «λεϊψις», έλλειμμα. Π. χ. η εξίσωση

γράφονταν κάπως έτσι 5χ3- 2χ2 +χ - 3 = ο

Ε 'Κ Υ Α' ς rll Β ' Δ vΓ 'Μ0 ΙΣΟΝ ΜΗΔΕΝΙ, δηλ. πέντε κύβοι (μιας ποσότητας) και μια σκέτη ίδια ποσότητα μείον δύο δυ\'άμει� :-η� 1 τετράγωνα) και τρεις μονάδες ίσον με μηδέν. Το μείον πάει και στις τρεις μονάδε� . δηί.. χι:ι;ί�ον·:-αι τα θετικά από τα αρνητικά.

Το σύμβολο + ήταν μια συντόμευση της Λατινική� ί.έ�η� c! ::οι (?[ιJαί\'ει «και». Θεωρείται ότι πρωτοεμφανίστηκε στο χειρόγραφο Algorίsmus prοpοrtίοnοΙϊιπι tΛογισμός Αναλογιών) που γράφτηκε από τον Γάλλο Μαθηματικό (που ανακάλυψε την Αναλυτική Γεωμετρία πολύ πριν από τον Descartes)



Nicole d' Oresme (1323- 1382) μεταξύ του 1356 και του 1361 αν και το σύμβολο εμφανίζεται σ' ένα αντίγραφο του χειρογράφου αυτού και υπάρχει η αντίληψη ότι εισήχθη από τον αντιγραφέα. Πάντως, σύμφωνα με τον Ελβετικής καταγωγής Αμερικανό Μαθηματικό και Ιστορικό των Μαθηματικών Florian Cajori (1859 - 1930), το σύμβολο εμφανίστηκε σ' ένα χειρόγραφο του 1417. Σε τυπωμένο βιβλίο τα σύμβολα + και - πρωτοεμφανίζονται στην Εμπορική Αριθμητική Behende vnnd hubshe Rechnung auff

allen Kauffmanschaften (Σβέλτος και όμορφος λογισμός για όλες τις εμπορικές επιχειρήσεις, η ορθογραφία είναι της εποχής! ), Leipzig 1489, του Γερμανού Johannes Widmann (1462 - 1498), όπου το + συμβόλιζε περίσσευμα και το - έλλειμμα: «Was - ist?, das ist minus . . . und was +ist?, das ist mer.»

Το επόμενο βιβλίο που χρησιμοποίησε τα σύμβολα + και - σε αλγεβρικές εκφράσεις ήταν του Ολλανδού Giel Vander Hoecke με τίτλο Een sonderlίnghe boek ίn dye conste Arίthmetίca (Ενα ειδικό βιβλίο στην τέχνη της Αριθμητικής), Antwerp 1514, και το αμέσως επόμενο ήταν του Γερμανού Henricus Grammateus (γνωστός και ως Henricus Scriptor ή Heinrich Schreyber) με τίτλο Ayn new Kunstlίch

Buech (Ενα νέο τεχνικό βιβλίο), 1558 ([1], σ. 131). Στην Αγγλία τα σύμβολα αυτά εμφανίστηκαν το 1557 στο βιβλίο του Άγγλου Robert Recorde (1510 - 1558) με τίτλο The Whetstone ofWίtte (το Ακόνι της Σοφίας) . Θαυμάστε την ορθογραφία της εποχής! «There be other 2 signes in often use of which the first is made thus + and betokeneth more : the other is thus made - and betokeneth lesse .» Στο βιβλίο αυτό πρωτοεμφανίστηκε και το σύμβολο ισότητας =.

Σύμβολα πολλαπλασιασμού. Το σύμβολο χ, ( ο σταυρός του Αγίου Ανδρέα κατά τον Cajori) χρησιμοποιήθηκε από τον Άγγλο Μαθηματικό που ανακάλυψε τον λογαριθμικό κανόνα William Oughtred (1574- 1660) στο βιβλίο του Clavίs Mathematίcae (Κλειδί για τα Μαθηματικά) που γράφτηκε το 1628 και δημοσιεύτηκε στο Λονδίνο το 1631, αν και το σύμβολο εμφανίστηκε το 1618 σε ένα ανώνυμο παράρτημα της μετάφρασης του Edward Wright του βιβλίου του Σκωτσέζου John Napier (1550

- 1617) Mίrijicί logarίthmorum canonίs descrίptίo (Περιγραφή των θαυματουργικών κανόνων των λογαρίθμων) από τα Λατινικά στα Αγγλικά, αλλά πιστεύεται ότι το εν λόγω παράρτημα γράφτηκε από τον Oughtred.

Florian Cajori Johann Bernoulli

Σε ένα γράμμα προς τον (Ελβετό) Johann Bemoulli (1667 - 1748) ο πολύς Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 - 1 716) στις 29 Ιουλίου 1698 δηλώνει ότι δεν του αρέσει το χ γιατί μπορεί να συγχυστεί με το χ και χρησιμοποιεί το σύμβολο • για τον πολλαπλασιασμό και το σύμβολο : για τη διαίρεση . Οι ιστορικοί των Μαθηματικών δεν συμφωνούν αν προηγούμενες χρήσεις της τελείας από τους Άγγλους Thomas Haπiot ( 1560 - 1621) (Artίs Analytίcae Praxis ad Aequatίones Algebraίcas Resolvendas

(Πρακτική της αναλυτικής τέχνης για τις προς λύσιν αλγεβρικές εξισώσεις), 1631) και Thomas Gibson

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/5


(Syntaxίs mathematίca (Μαθηματική Σύνταξη), 1 655) συμβόλιζαν πολλαπλασιασμό ή διαχωρισμό αριθμών στο κείμενο.

Ο Αστερίσκος * χρησιμοποιήθηκε από τον Ελβετό Johann Heinrich Rahn, αλλιώς Rhonius, ( 1 622 -1 676) το 1 659 στο βιβλίο του Teutshe Algebra (Γερμανική Άλγεβρα) . Επανήλθε την εποχή των υπολογιστών.

Η Απλή παράθεση για τον συμβολισμό του πολλαπλασιασμού εμφανίζεται για πρώτη φορά σε ένα χειρόγραφο που βρέθηκε θαμμένο στο χωριό Bakhshali της Ινδίας που χρονολογείται από τον όγδοο, ένατο ή δέκατο αιώνα. Χρησιμοποιήθηκε επίσης από τον Ισπανό ισλαμιστή Abu ' l Hasan ibn Ali alQalasadi ( 1 4 1 2 - 1486) τον 1 5° αιώνα και σε άλλα χειρόγραφα της ίδιας εποχής. Χρησιμοποιήθηκε επίσης από τον Γερμανό (ανακάλυψε τους λογαρίθμους ανεξάρτητα από τον Napier) Michael Stifel ( 1 487 - 1 567) το 1 544 στο βιβλίο Arίthmetίca ίntegra (Ολοκληρωμένη Αριθμητική), Nuemberg, και το 1 553 στην αναθεωρημένη έκδοση του βιβλίου του Αυστριακού Christoff Rudolff ( 1 499 - 1 545) Dίe Coss

(Η Άλγεβρα, από τη λέξη cosa που χρησιμοποιούνταν τότε για τη μεταβλητή), όπου χρησιμοποιήθηκε και η επανάληψη ενός γράμματος για τον συμβολισμό δυνάμεων.

Τα Σύμβολα διαίρεσης . Η παρένθεση κλεισίματος ), π.χ. 4)5 για το 4/5 χρησιμοποιήθηκε από τον Stifel το 1 544 στο βιβλίο Arίthmetίca ίntegra που αναφέρθηκε στο προηγούμενο εδάφιο (το βιβλίο γράφτηκε το 1 540).

Δύο τελείες: πρωτοχρησιμοποιήθηκαν το 1 633 για τον συμβολισμό κλασμάτων στο βιβλίο Johnson

Arίthmetίk; In two bookes και το 1 684 για τον συμβολισμό λόγων και διαίρεσης από τον Leibniz στο βιβλίο Acta erudίcorum.

Ο Johann Rahn (Rhonius) στην Teutshe Algebra το 1 659 χρησιμοποίησε για τη διαίρεση το σύμβολο του οβηλού +.

Σίψβολα εκθετι:ί)ν: Οι Θετικοί εκθέτες Ο Nicole d' Oresme ( 1 323 - 1 3 82) χρησιμοποίησε μη υπερυψωμένους αριθμούς για το συμβολισμό δυνάμεων, ενώ ο Γάλλος Nicolas Chuquet ( 1 445 - 1488) το 1 484 στο βιβλίο του Le Trίparty en la Scίence des Nombres (το Τριμερές στην επιστήμη των αριθμών, δηλ. η επιστήμη των αριθμών σε τρία μέρη) χρησιμοποίησε 54 για να συμβολίσει το 5χ4 ([ 1 ] , σ. 1 02). Το 1 634 ο Γάλλος Pierre Herigone (Herigonus, 1 5 80 - 1 643) συμβόλιζε τις δυνάμεις με α, α2, α3 κλπ στο Cursus mathematίcus ( [ 1 ] , σ.202), ενώ το 1 636 ο James Hume, ένας Σκωτσέζος που ζούσε στο Παρίσι χρησιμοποίησε υπερυψωμένους ρωμαϊκούς αριθμούς στο βιβλίο του L ' A lgebre de Vίete d' vne mέthode

nouvelle, claίre, et Facίle (Η Άλγεβρα του Viete με μια νέα, διαυγή και εύκολη μέθοδο, [1 ] , σ.345) . Ο συμβολισμός που χρησιμοποιείται σήμερα ανήκει στον Rene Descartes (Cartesius, 1 596 -

1 650) πρωτοεμφανίστηκε στο βιβλίο του La Gέomέtrίe, 1 637 ([ 1 ] , σ. 1 78) . Οι Αρνητικοί εκθέτες Ο Nicolas Chuquet (βλ. ανωτέρω) το 1 484 χρησιμοποίησε 5 1m με μια παύλα

πάνω από το m στον εκθέτη για το sx·1 ([ 1 ] , σ. 1 02). Ο σημερινός συμβολισμός ανήκει στον Sir lsaac

Newton ( 1 643 -1727) και εμφανίζεται το 1 676 σε ένα γράμμα του προς τον Γραμματέα της Βασιλικής Εταιρείας Henry Oldenburg, όπου περιγράφει την ανακάλυψη του γενικού διωνυμικού θεωρήματος (με οποιονδήποτε εκθέτη) δώδεκα χρόνια πριν. Στο ίδιο γράμμα χρησιμοποίησε ρητούς εκθέτες ([1 ] , σ. 1 78) με τον σημερινό συμβολισμό, ενώ άλλοι άγαρμποι συμβολισμοί για τέτοιους χρησιμοποιήθηκαν από τον Nicole d' Oresme και τον Φλαμανδό Simon Stevin ( 1 548 - 1 620).

ί\λλα σίψβολα π ρ άξεων.

Η τελεία για το εσωτερικό γινόμενο (αν και όχι στο κέντρο της γραμμής εκτύπωσης) και ο «σταυρός του Αγίου Ανδρέα» για το εξωτερικό γινόμενο χρησιμοποιήθηκε από τον Αμερικανό Μαθηματικό



Edwin Bidwell Wilson ( 1 889 - 1 964) το 1 90 1 στο βιβλίο των σημειώσεων του φημισμένου Αμερικανού εφαρμοσμένου Μαθηματικού Josiah Willard Gibbs ( 1 839 - 1 903) Vector Analysίs (Διανυσματική Ανάλυση). Μέχρι σήμερα η Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία παρουσιάζει στο ετήσιο συνέδριό της τη διάλεξη Gibbs .

Το σύμβολο ± χρησιμοποιήθηκε το 1 63 1 από τον William Oughtred στο Clavίs Mathematίcae([I], σ. 245) .

Τα σύμβολα Σ για το άθροισμα και Δ για τη διαφορά εισήχθησαν το 1 755 από τον πολυφημισμένο και πολυγραφότατο Ελβετό Μαθηματικό Leonhard Euler ( 1 707 - 1 783 ). Σύμφωνα με τον Cajori ([Ι], 11, σ. 78) το σύμβολο Π για τον πολλαπλασιασμό οφείλεται στο Gauss το 1 8 1 2 . Κάποιος Gullberg υποστηρίζει ότι το Π οφείλεται στον Descartes , στον οποίο σίγουρα οφείλεται (La Geometrίe, 1 637) το ριζικό σύμβολο ....{ , το οποίο προέρχεται από το πρώτο γράμμα της λατινικής λέξης radix = ρίζα (σας θυμίζει το ραδίκι;) . Ο Rudolff πρωτοχρησιμοποίησε το ριζικό το 1 525 χωρίς την οριζόντια γραμμή (νinculum) . Δείκτες πάνω από το άνοιγμα του ριζικού (π.χ. 3 για την κυβική ρίζα) προτάθηκαν to 1 629 από τον Γάλλο Μαθηματικό και Μουσικό (σε αυτόν οφείλουμε το συμβολισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων sin, cos, tan) Albert Girard ( 1 595 - 1 632) στο βιβλίο του lnventίon nouvelle και, σύμφωνα με τον Cajori ([1], σ.372) πρωτοχρησιμοποιήθηκαν το 1 690 από τον (Γάλλο βέβαια) Michel Rolle ( 1 652 - 1 7 1 9) στο Traίte d' A lgebre.

Το σύμβολο Ι Ι για την απόλυτη τιμή εισήχθη to 1 84 1 από τον Γερμανό Μαθηματικό Karl Weierstrass ( 1 8 1 5 - 1 897), ([1], #492, 11 σ. 1 23) .

Σύμβολα Σχέσεων.

John Wallis

Το σύμβολο της ισότητας = εμφανίστηκε το 1 557 στο βιβλίο του Robert Recorde ( 1 5 1 0 - 1 558) με τίτλο The Whetstone of Wίtte (βλ. ανωτέρω) . Σε ωραία ορθογραφία της εποχής έγραψε «I will sette as Ι



doe often in woorke use, a paire of parralles, or Gemowe lines of one lengthe, thus: =, because noe 2, thynges, can be moare equalle .» Υπάρχει εικασία από τον Cajori ([1 ], σ. 1 26) ότι το σύμβολο της ισότητας χρησιμοποιούνταν στο Πανεπιστήμιο της Bologna ανεξάρτητα από τον Recorde και ίσως ενωρίτερα.

Karl Weierstrass

Τα σύμβολα ανισότητας < και > πρωτοεμφανίστηκαν το 1 63 1 στο βιβλίο του Harriot που αναφέρθηκε ανωτέρω στα σύμβολα του πολλαπλασιασμού . Το βιβλίο δημοσιεύτηκε δέκα χρόνια μετά το θάνατο του Harriot και γράφτηκε στην τελική του μορφή από τον Nathaniel Torporley, ο οποίος φαίνεται ότι είναι υπεύθυνος για το στυλ και τους συμβολισμούς. Αναφέρεται στα Λατινικά: «Signum majoritatis ut a > b significet a majorem quam b» και «Signum minoritatis ut a < b significet a minorem quam b.)) Τα σύμβολα και χρησιμοποιήθηκαν το 1 734 από τον Γάλλο Pierre Bouguer ( 1 698 - 1 758) . Ο Άγγλος Μαθηματικός John Wallis ( 1 6 1 6 - 1 703) χρησιμοποίησε παρόμοια σύμβολα, μόνο που οι οριζόντιες γραμμές ήταν πάνω από τα σύμβολα της ανισότητας.

Το σύμβολο *-επινοήθηκε από τον Euler.

[ 1 ] Cajori, Florian, Α HISTORY OF MATHEMATICAL NOTATIONS, Two Volumes Bound As One, Doνer Publications, Inc . , New York, 1 993 . Ανατύπωση του πρωτοτύπου που ήταν σε δύο τόμους από την The Open Court Publishing Company, La Salle, Illinois, 1 928 , 1 929

[2] http://members.aol.com/jeff570/mathsym.html

[3] Μπόλης, Θεόδωρος, Και Πρώτος και Πολύ Μεγάλος, ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' , τεύχος 60 (2006), σ. 2-5 , Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία


' ' _..-/ ,) /.

/�?;-;Jι ;�/(j;j ;!J1-",!.!/:{-() :;3ij:j,;J :/ j�;'j ;i:J._;:J.�?t,'f/1�.!;'f1�;f!!'Jj) ·; 3'. I

Επιμέλεια: Σωτήρης Ε. Λουρίδας

ι_ __

ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2007

1 . Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α,β,y,δ,ε με α<Ρ<r<δ<ε και η παράσταση

αlδ-rl + αlδ-εΙ+ ε IP-α Ι+ ε IP-rl Κ= •

IP- al + IP-rl + I δ-rl + lδ-εΙ (i) Ν α αποδείξετε ότι: β < Κ < δ. (ii) Αν είναι

χ= (α+ P)(r+ δ), y= (a+ r)(P+ δ) , z= (a+δ)(P+r)

να συγκρίνετε τους αριθμούς χ, y, z.

(i) Λαμβάνοντας υπόψη τις ανισότητες α < β < r < δ< ε εύκολα βρίσκουμε ότι κ = r ' οπότε β < Κ < δ . (ίί) Έχουμε χ -y = (a+ Ρ)( r+ δ) - ( α + r)(Ρ+ δ)=

= ay + p δ -ap - yδ = = a( r -Ρ) + δ(Ρ- r) = ( r - P)(a - δ)< ο.

Άρα είναι χ - y < Ο δηλαδή χ < y . Ομοίως λαμβάνουμε y - z = ( δ - r)( α - Ρ) < ο .

2. Στο εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ υπάρχει σημείο Μ τέτοιο ώστε MBf = Mrn και πάνω στις ΜΒ και ΜΓ υπάρχουν σημεία Δ και Ε, αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΔ=ΑΕ και ΜΜ=ΜΑΕ . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.

-Επειδή είναι ΜΒΓ = ΜΓΒ , το τρίγωνο ΜΒΓ εί-ναι ισοσκελές με

ΜΒ = ΜΓ. ( 1 ) Επιπλέον, τα τρίγωνα ΜΑΔ και ΜΑΕ είναι ίσα

γιατί έχουν: ΑΜ κοινή πλευρά, ΑΔ = ΑΕ, ΜΑΔ = ΜΑΕ .

Α

Β Γ Άρα θα έχουν και ΑΜΔ = ΑΜΕ . (2) Λόγω των ( 1 ) και (2) τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΜΑΓ είναι ίσα, οπότε θα έχουν και ΑΒ =ΑΓ , δηλαδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.

3. Αν είναι χ, y> Ο και χ

3

+ I � 64, να αποδείξετε ότι: χ

4 + y < 512.

Επειδή είναι χ, y > Ο έχουμε χ 3 + / � 64 => χ 3 < 64 και / < 64 => => χ < 4 και y < 8 => χ 4 < 4 χ 3 και/ < 8y 2 '

από τις οποίες με πρόσθεση κατά μέλη λαμβάνουμε χ 4 + / < 4 χ 3 + 8/ < 8 ( χ 3 + / ) �8- 64 = 51 2 .

4. Έχουμε κέρματα και χαρτονομίσματα των 1, 10 και 100 ευρώ. Είναι δυνατόν με 1000 ακριβώς από αυτά να σχηματίσουμε το ποσό των 50000 ευρώ;

Αν υποθέσουμε ότι παίρνουμε χ κέρματα του ενός ευρώ, y χαρτονομίσματα των 1 Ο ευρώ και z χαρτονομίσματα των 1 00 ευρώ, τότε θα έχουμε τις ισότητες x + 1 0y + 1 00z= 50000 και χ + y + z= 1 000 , ( 1 ) από τις οποίες με αφαίρεση κατά μέλη λαμβάνου-


----------Μαθηματικοί Διαγωνισμοί - Μαθηματικές Ολυμπιάδες ----------

με: 9y+99z =49000=> 9·( y+ 11 z) =49000=>9149000,

που είναι άτοπο, γιατί το άθροισμα των ψηφίων του 49000 είναι ο αρι θμός 13 που δεν διαιρείται με το 9.

1 . Δίνεται ότι το πολυώνυμο Ρ(χ)=�+κχ+λ με κ,λεΙR. έχει τις πραγματικές ρίζες Xi , �, και Χ.! που ανά δύο είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Ν α εκφράσετε την παράσταση

Γ=(t- �)(ι- χ;)(ι- �) συναρτήσει των κ, λ.

Από την υπόθεση έχουμε ότι: Ρ (χ) = (Χ -Χ1 ) (Χ -Χ2 )(Χ -Χ3 ) • ( 1)

Η παράσταση Κ γράφεται: κ( Xi ,Χz,XJ) =(1- Xi )(1 + Xi )(1- Xz )(1 + Χz)(1- XJ)(1 + XJ)

=(1-Xj )(1 -Xz )(1- Χ) )(1 +χ, )(1 + Xz)(1 +XJ) =Ρ(1)[ -( -1-Xj )( -1- Χz)( -1- XJ)] =-Ρ(1)Ρ( -1) =-(1+κ+λ)( -1- κ+λ) =

=(1+κ)2 - λ2• ----

2. Θεωρούμε τόξο ΑΒ = 90° και προεκτεί-νουμε τη χορδή ΑΒ κατά ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ=ΑΒ. Ονομάζουμε Δ το σημείο

-

επαφής της εφαπτομένης του τόξου ΑΒ από το Γ και Κ το ίχνος της κάθετης από το Α προς τη ΒΔ. Ν α αποδείξετε ότι: ΚΒ=2ΚΑ.

Έχουμε: ΓΔ2 =ΓA·IΉ=2Rh ·Rh=4R2 =>ΓΔ=2R=2 ·0Δ. Επειδή επιπλέον οΔΓ = 90° , αρκεί να αποδείξου-

Δ Δ

με ότι Ο Γ Δ � Α Κ Β ή ισοδύναμα αρκεί να απο-δείξουμε ότι: ot Δ = ΑΒΚ. Πράγματι αν Ε είναι το aντιδιαμετρικό σημείο του Α ως προς τον κύκλο Ο, τότε : OBII ΕΓ => ΕΓ ..l ΟΕ=> ΟΔΓΕ εγγεγραμμένο τετράπλευ

=> ΔfΕ = ΔΟΑ => 2ΔfΟ = 2 . ΑΒΚ =>ΔfΟ= ΑΒΚ

Έστω Ε το aντιδιαμετρικό σημείο του Α ως προς τον κύκλο κέντρου Ο Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ΑΔΒΕ έπεται

--- ---

ότι ΚΔΑ = ΑΕΒ = 45° , οπότε και το τρίγωνο ΑΔΚ

είναι ορθογώνιο ισοσκελές.

Γ

Ε ι.

Άρα είναι

ο

ΚΑ=ΚΔ= ΑΔJ2. 2

Α

(1) Επιπλέον, αν είναι ΑΑ1 ..lΓΔ , ΒΒ, ..lΓΔ και ΟΑ = R , τότε με χρήση του τύπου της απόστασης σημείου κύκλου από εφαπτομένη του, λαμβάνουμε

2 ΔΑ2 1 ( ΔΑ) = /2R= AA' =ΓΑ=2 . (2) ΔΒ ΔΒ2 I ΒΒ, ΓΒ

12R

Α ' (2) ' ' ΔΒ ΑΔJ2 ' ' πο τη επεται οτι = -2-, οποτε απο την

(1) έπεται ότι ΔΒ = ΚΔ = ΚΑ και ΚΒ=ΚΔ+ΔΒ=2·ΚΑ.

3. Α ν α, β είναι θετικοί ακέραιοι, να απο-

δείξετε ότι: 3 ( α4 + β4 Ja+P � aa β Ρ. α+ β

Από την ανισότητα αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου έχουμε

α-φορές β-Φορές α4 + β4 α3 + α3 + ... + α3 + β3 + β3 + .. β3 ----'--= > α+β α+β -

� α+4( α3 )α (Ρ3 γ = α+4( α α ββ γ από την οποία έπεται το ζητούμενο. 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Από σημείο Μ

της πλευράς ΒΓ φέρουμε παράλληλες προς τις ΑΓ και ΑΒ που τέμνουν τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Κ και Λ, αντίστοιχα. Αν είναι ΜΚ=χ, ΜΛ=y, να βρείτε το ελάχιστο της παράστασης

S=x2+Y ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/10

---------- Μαθηματικοί Διαγωνισμοί- Μαθηματικές Ολυμπιάδες ----------

και τη θέση του σημείου Μ για την οποία λαμβάνεται αυτό.

ΛίJση Ι"' τρόπος Μέσω της σχέσης (1) θα μπορούσαμε να προχωρήσουμε ως εξής:

S·( α2 + α

2 ) = (β2κ2 + y2λ2 )( α: + α: ) 2::

β2 r2 α2 α2 β β

2 Η , , , α α κ γ ·

ισοτητα ισχυει οταν - =- ή - = -2 , οταν α α λ β β γ

2 το σημείο Μ χωρίζει τη ΒΓ σε λόγο �2 • 2"' Τρόπος Έστω ότι είναι ΜΒ = κ και ΜΓ = λ , οπότε θα είναι κ + λ = α . Τότε θα έχουμε

� = β και Υ = L � χ = βκ και y = yλ . κ α λ α α α Άρα η παράσταση S γίνεται

? 2 β2κ2 y2λ2 S = x- + y =--+-- (1) α2 α2

β2 κ2 + r2 ( α - κ )2 � s = .:..._----::-'-----'α2

= (β2 + r2 )κ2 - 2y2 κ+ r2 = f( κ). α2 α

Άρα η παράσταση S είναι τριώνυμο ως προς κ β2 + r2

με συντελεστή του κ2 τον 2 > Ο , οπότε η α παράσταση έχει ελάχιστο για

-2r2 I 2 /α _ αy κ - ---;---'--'=;----;- - . - 2 ( β2 + r2 ) I β2 + r2

l α2 αβ2 , , Τότε είναι λ = α - κ= 2 2 , οποτε το σημειο β + r

Μ στο οποΟίο λαμβάνεται το ελάχιστο της παράστασης S χωρίζει την πλευρά ΒΓ σε λόγο

ΜΒ Υ2 ΜΓ = β2•

Η ' λ ' ' ι( αy2 ) τιμη του ε αχιστου ειναι β2 + y2 =

Γ' τάξη Λυrκεi!ιJυ 1 . Αν log150 2 =χ, log150 3 = y τότε να υπολογι-

ι-χ-y στεί η τιμή της παράστασης Α = 502(1-y)

ΛiJση 1so· = 2, 1soy = 3

Α = ( 150)�(;_-� = ( 150 )�(;_-� =(150'-y )�t�-� =150ι-;-y 3 150Υ

1-x-y 1-x-y = (150 '-y )Ψ-y) = 150_2_ = .J1soι-x-y =

= ____!22_ = 150 = {150 = J2s = 5. 1so•+y 1so· ·15ΟΥ 'V-z-:3 2"' τρόπος 1og150A = 1 {χ-) = log150 50= 2 1-y

(150) logιso 6 1 - , = ( )log15050=-log15025-log1505. Άρα Α 5. 150 2 21ogl50 3

2. Δίνεται ότι το πολυώνυμο Ρ( χ)= χ3 + κχ+ λ με κ,λ ε JR έχει τις πραγματικές ρίζες Χι, Χ2, και Χ3 που

ανά δύο είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Να εκφράσετε την παράσταση

Γ=(l+ X:){t+ x;)(t+ Χ:) συναρτήσει των κ, λ.

Λ.ύση Από την υπόθεση έχουμε ότι:

Ρ (χ) = (χ - Χ1 )(Χ - Χ2 )(Χ - Χ3 ) · (1) Η παράσταση Κ γράφεται: Κ( .x;, Xz, -XJ) =( ί -.χ;)( -i- .x;)( ί - Xz)( -i- Xz)( ί- -ΧJ)( -i- -XJ)

=( ί -.χ;)( ί- Χz)( ί- -ΧJ)( -i- .x;)( -i - Xz)( -i- -XJ) =Ρ( 1)Ρ( -1) =( -i+ χi+λ)(ί- χi+λ) =λ2 +(κ- 1)2•

Πuφατήρψη�: Λύνεται και με τους τύπους του Vieta. 3. Να λύσετε στο ffi. την εξίσωση:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β. τ.3/ 1 1

----------Μαθηματικοί Διαγωνισμοί- Μαθηματικές Ολυμπιάδες ---------,Γh=l

= 2χ3 +1.

ν-τ- 3

' 2χ2 + 1 Η συναρτηση h ( χ ) = είναι γνησίως αύ-3

ξουσα, άρα αντιστρέφεται και 1 χ > ' - 3

Άρα ( 1 ) <=> h-' ( x ) = h (x ) με χ�!. 3

Αφού f γνησίως αύξουσα, τα κοινά σημεία των G h_, , G h θα βρίσκονται στη πρώτη διχοτόμο y=x.

h( )} 2χ3 + 1} 2χ3 + 1} 'Εχουμε: y:

x χ

<=>y =-3- <=> χ =-3- <=>

Υ y = x y = x

2χ3 - 3χ + 1 = 0} χ ε { 1 , J3 - 1 , -J3+ 1 }} <=> <=> 2 2 <=>

y = x y = x

� ::i''FJz-'}}

y = h (x ) } y = h (x )} y = 2χ� + 1 1 y � h-' ( x ) � x � h (y) �

x � 2y:+ l �

y = 2x3 + 1 } (2) <=> 3

x - y = f (y3 - x3 ) (3)

(3 ) <=> x = y ή 2x2 + 2yx + 2y2 + 3 = 0 ( 4) <=> χ = y αφού η ( 4) έχει Δ = - (1 2y2 + 24)<0, Vy εJR κ.λπ. 4. Α ν Ι είναι το έγκεντρο τριγώνου ΑΒΓ

�

με ΒΓ=2 και ΒΑΓ = 60° , να αποδείξετε ότι: ΙΑ + ΙΒ + ΙΓ � 2-fj .

Θεωρούμε τον περιγεγραμένο κύκλο C, (K,R)

Δ

του ΑΒΓ και τον συμμετρικό του C2 (Λ,R) ως προς τη ΒΓ. Τότε το Λ θα είναι μέσο του μικρού τόξου ΒΓ. Έστω Α ' το aντιδιαμετρικό του Α στον C1 και Α" το aντιδιαμετρικό του Κ στον C2. Το τρίγωνο ΒΑ"Γ είναι ισόπλευρο οπότε ΙΑ" = ΙΒ + ΙΓ . Επίσης ΒΙΓ = ΒΚΓ = 1 20°. Επομένως ΙΑ + ΙΒ + ΙΓ = ΙΑ + ΙΑ" . Αλλά ΙΑ"::::; ΚΑ" = 2R (R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου) και

ΙΑ = ΑΛ-R < ΑΆ-R = ΚΑ' = R.

Άρα ΙΑ + ΙΒ + ΙΓ::::; 3R = 3 2J3 = 2J3 , αφού ΒΓ=2 3

r:; Α' 2 2�� -�R=-=--J3 3

Έστω ΙΑ=χ, IB=y, ΙΓ=ω

Τότε Α = 30° � χ = 2ρ 2

λ ΒΙΓ = 1 20° � y2 + ω2 + yω = 4 { 1 ) : I

2 2 I

�(y + ω) - yω = 4�(y + ω) = 4't:-yω�

y + ω =�4 + yω = .J4 + λ με λ=yω.

Εξάλλου ( ΙΒΓ) =_!_. ρ . 2 = ρ 2

• Α"

1 J3 λJ3 ' λJ3 ( ΙΒΓ) = 2yω2 =-4- , οποτε ρ =-

4- .

Αρκεί λοιπόν λJ3 + .J4 + λ::::; 2J3 , ή 2

λJ3 + 2.J4 + λ::::; 4J3 ο

Όμως RJ3 = 2�R = � και 2 2J3 8 8 R > ρ� r;:; > -�8 > 3λ�- > λ�4 > - > λ . �3 4 3 3

(Η σχέση αυτή προκύπτει και άμεσα από την ( 1 )) . Οπότε αρκεί 2.J4 + λ::;J3(4 - λ ) , ή 4 (4 + λ)::ο;2 (4 - λ )2 , ή 3λ2 - 28λ + 32�0 που ισχύει αφού Δ=- 1 88 .

Α

ω !_ _____ _ __ __ _ --· - ---

8 Γ


-----------Μαθηματικοί Διαγωνισμοί - Μαθηματικές Ολυμπιάδες ----------

Πολλά προβλήματα προσεγγίζονται αποτελεσματικότερα θεωρώντας στοιχεία του προβλήματος και αναδεικνύοντας τη σχέση τους «χρωματίζοντας» τα κατάλληλα με διαφορετικά χρώματα. Για πρώτη φορά η αποδεικτική αυτή μέθοδος των διακριτών Μαθηματικών, εφαρμόσθηκε από τον Άγγλο Μ.Ε. Fisher το 1961 για τη λύση ενός δύσκολου προβλήματος που έκανε με πολύ απλό τρόπο. Βέβαια προβλήματα δυνατότητας χρωματισμού επιφανειών είχαν τεθεί από το 19° αιώνα( π.χ: πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων). Σήμερα προβλήματα χρωματισμού δίδονται συχνά σε μεγάλους μαθηματικούς διαγωνισμούς.

1 . Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με δυο χρώματα. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τμήμα μήκους k, με ομοχρωματικά άκρα.

Κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς k ( σχ. l ). Σύμφωνα με την αρχή του Dirichlet, δυο από τις κορυφές τουλάχιστον θα έχουν το ίδιο χρώμα.

Β

Α

I /

\ I \

. . ... ···-·------------ \\ κ Γ

2. Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου μαύρα και άσπρα (υπάρχουν σημεία και των δυο χρωμάτων). Να αποδείξετε ότι υπάρχει τμήμα μήκους keN* του οποίου τα άκρα έχουν διαφορετικό χρώμα.

ι /

κ

' I

Γ

' '

' - --· -·-------·---·

Β

Γ.Δ Κοντογιάννης -Δ.Γ. Κοντογιάννης

Έστω Α, Β δυο σημεία με διαφορετικό χρώμα. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : ί) AB<k. Με κορυφές τα Α, Β και ακτίνα γρά

φουμε κύκλους και ορίζουμε το Γ. Ένα από τα τμήματα ΑΓ, ΒΓ είναι το ζητούμενο.

ίί) Αν ΑΒ> k, τότε λαμβάνοντας διαδοχικά ΑΑι=ΑιΑz= . . . =Av.ιAv=k και AvB<k.

Αν τα σημεία (Α, Αι) , (Αι ,Αz) , . . . , (Av.ι,Av) έχουν το ίδιο χρώμα με το Α, και AvB, έχουν διαφορετικό χρώμα και AvB οπότε αναγόμαστε στην περίπτωση (ί)

Α Αι Az . . . Av Β i-·----··-- ... -·· -- ·-··· ···+- .. -· . -·--· ·+·-. --- ' ... --1-··.

3. Να εξετάσετε αν μπορούμε τοποθετώντας κατάλληλα τα σχήματα (πολύμινα) να σχηματίσουμε ορθογώνιο 4 χ 5.

i I_ --

Γ-�

�l ι1 --- --, -- -- --

Αν χρωματίσουμε τα πολύμινα με δυο χρώματα π.χ. άσπρο μαύρο, τότε το πλήθος των τετραγώνων με άσπρο χρώμα είναι διαφορετικό από το πλήθος των τετραγώνων με μαύρο. Όμως στο ορθογώνιο 4 Χ5 το πλήθος των άσπρων και το πλήθος των μαύρων τετραγώνων είναι ίσα.

4. ΟΙ κορυφές κανονικού 7-γώνου χρωματίζονται μαύρες ή άσπρες. Να αποδείξετε ότι


-----------Μαθηματικοί Διαγωνισμοί - Μαθηματικές Ολυμπιάδες ---------

υπάρχουν τρεις με το ίδιο χρώμα που είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου. Ισχύει το ίδιο για κανονικό 8-γωνο;

Στο κανονικό 7-γωνο πάντα υπάρχουν δυο διαδοχικές κορυφές με το ίδιο χρώμα ( αφού 7 περιττός) , π.χ. οι κορυφές Α, Β έχουν χρώμα άσπρο. Αν μεταξύ των κορυφών Γ, Ε, Η υπάρχει άσπρη κορυφή, τότε σχηματίζεται ισοσκελές με κορυφές άσπρες. Αν οι Γ, Ε, Η είναι μαύρες, αυτές σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο. Για κανονικό 8-γωνο αυτό δεν ισχύει (π.χ αν χρωματίσουμε τις κορυφές Α, Β, Ε, Ζ με το ίδιο χρώμα (Σχ. 6)).

Α

Ε (Σχ. 6) 5. Στο επίπεδο θεωρούμε ν ευθείες οι ο

ποίες το διαιρούν σε περιοχές. Να αποδείξετε ότι οι περιοχές μπορεί να χρωματιστούν με δυο χρώματα, ώστε γειτονικές περιοχές να έχουν διαφορετικό χρώμα.

Η απόδειξη θα γίνει επαγωγικά. Προφανώς για ν= 1 , η πρόταση ισχύει, αφού μια ευθεία ε ι διαιρεί το επίπεδο σε δυο ημιεπίπεδα, τα οποία είναι δυνατό να χρωματισθούν με διαφορετικά χρώματα. Έστω ότι η πρόταση ισχύει για ν=k ευθείες. Έστω μια επιπλέον ευθεία εκ+ι ·

Τότε αν αυτή τέμνει μια περιοχή ΑΒΓ στις περιοχές ΑΒΔΕ και Γ ΔΕ αφήνουμε το χρώμα της ΑΒΔΕ αμετάβλητο και αλλάζουμε το χρώμα της Γ ΔΕ. Επίσης αλλάζουμε το χρώμα της περιοχής που περικλείεται από τις ευθείες ε ι , εκ, ερ τότε αλλάζουμε το χρώμα της περιοχής και συνεχίζουμε με τον τρόπο αυτό, δηλαδή αλλάζουμε το χρώμα των νέων περιοχών που δημιουργούνται σε σχέση με τις παλιές των οποίων ήταν μέρος.

ε ρ Α

Β

----------------�----ε�ι Δ

Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

εκ ε ι (Σχ. 7)

1 . Να αποδείξετε ότι μια σκακιέρα 50Χ50 δεν είναι δυνατό να καλυφθεί από 4 μοναδικά τετράγωνα που σχηματίζουν Τ/Τ.

2. Να αποδείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για l OXl O σκακιέρα

3 . Ένα κτήριο σχήματος ισοπλεύρου τριγώνου έχει διαιρεθεί σε 1 00 ίσα δωμάτια σχήματος ισοπλεύρου τριγώνου ( σχ. 8) . Στο μέσο κάθε τοίχου μεταξύ δυο δωματίων υπάρχει πόρτα. Πόσα δωμάτια είναι δυνατόν να επισκεφθούμε, χωρίς να περάσουμε δυο φορές από το ίδιο ;

L....:>L__:;t_-'-'--..\L....::>L....::L-�L.:;,L� Σχ. 8 4. Πόσοι ρόμβοι του υπάρχουν στο Σχ. 8 ; \2J 5 . Τα σημεία των πλευρών ισοπλεύρου τριγώνου

είναι χρωματισμένα με δυο χρώματα. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 3 από αυτά που είναι ομοχρωματικά και αποτελούν κορυφές ορθογωνίου τριγώνου.

6 . (Ρ . Erdos 1 973) Σε κάθε επίπεδο (π) που είναι χρωματισμένο με δυο χρώματα (άσπρο και μαύρο) υπάρχει α) ένα μοναδιαίο τμήμα με άκρα άσπρα σημεία, είτε β) 4 συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ, Δ ώστε ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ= l .

7. Θεώρημα Fermat. Αν ν ακέραιος και ρ πρώτος, τότε ρfαΡ-α. (Να το αποδείξετε χρησιμοποιώντας «κομπολόγια» με ρ χάντρες, όπου καθεμία έχει διαφορετικό χρώμα, από α χρώματα) .


Ανδρέας Ζαχαρίου (1933-2005)

Γράφει ο

Ομότιμος Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών

Πήραμε και δημοσιεύουμε από τον Σ.Π. Ζερβό τον ομότιμο Καθηγητή του Πανεπιστημίου

Αθηνών το άρθρο αξιόλογους Μαθηματικούς που έφυγαν από την ζωή πρόσφατα.

Με το συνοπτικό βιογραφικό που παραθέτει ρίχνει φως σε ιστορικές στιγμές, τόσο της

πατρίδας μας, μέσα από τη ζωή του, όσο και χαρακτηριστικές στιγμές της ιστορίας της Ελ

ληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.

Από τους προικισμένους στα Μαθηματικά

και πιο φιλομαθείς σ' αυτά ανθρώπους που

έχω συναντήσει, διεθνώς. ''Homo mathematicus". Κυριολεκτικά «ανέπνεε μαθηματικά».

Ήταν σε θέση να κρατάει ταχύτατα κατανοη

μένες σημειώσεις από διακεκριμένους ξένους

ομιλητές (στ' αγγλικά) στα πιο διαφορετικά

αντικείμενα.

ι J 11 "' . · . . ) 1 ! ι Καθώς το περιεχόμενο

των σημειώσεων αυτών αποτελεί ανεπανάλη

πτη (γιατί οι περισσότεροι ομιλητές αυτοί, πια

δεν ζούνε) εθνική μαθηματική περιουσία μας,

να αναλάβει η ΕΜΕ τη φροντίδα, συμπληρω

μένες και μεταφρασμένες με κρατική οικονο

μική ενίσχυση, να εκτυπωθούν και να διανε

μηθούν στα μέλη της και στις βιβλιοθήκες της

πατρίδας μας. Σημαντική θα μπορούσε να εί

ναι η βοήθεια της εκλεκτής μαθηματικού συ

ζύγου του Α. Ζαχαρίου κ. Ελένης Ζαχαρίου

και του ερευνητικού μαθητή, συνεργάτη του

Α. Ζαχαρίου και συναδέλφου μας στο Πανε

πιστήμιο Αθηνών Παναγιώτη Τσαγγάρη.

Φοίτησε το 1951-57 στο Παγκύπριο Γυ

μνάσιο της Λευκωσίας και αποφοίτησε από

αυτό με βραβεία στα Μαθηματικά, στην Ιστο-

ρία και στην Έκθεση Ιδεών. Αυτά προδιαγρά

ψανε και ολόκληρη την πορεία του. Καρδιά

του εθνικοαπελευθερωτικού αγώνα το Παγκύ

πριο, θα συντονίσει τον ερευνητικό και θυελ

λώδη χαρακτήρα του Α. Ζαχαρίου με έναν σε

μόνιμη και παλικαρίσια έξαρση πατριωτισμό.

Μακροπρόθεσμα, καθώς θα μου έχει πει ο ίδι

ος ο αξέχαστος φίλος μου Ανδρέας, ο πατριω

τισμός αυτός θα βρει διέξοδο στην ολόπλευρη,

σε βάθος μελέτη των αρχαίων ελληνικών μα

θηματικών. Προσθέτουμε: Αυτό όμως θα γίνει

μόνον όταν ο Ανδρέας θα έχει κατακτήσει τη

διεθνή αναγνώριση με τις ερευνητικές εργασί

ες του στα πιο δύσκολα και προχωρημένα

σύγχρονα μαθηματικά (Διδακτορική διατριβή

στην Αλγεβρική Τοπολογία, με Καθηγητή -

Σύμβουλο και Κριτή τον J.F. Adams, από τους

μεγαλύτερους αλγεβροτοπολόγους της εποχής

μας. Α ναφορές από ερευνητές διεθνούς κύ

ρους στις σχετικές εργασίες του Ανδρέα). Α

κόμα, όταν θα έχει αποκτήσει αληθινή σοφία

σε ευρύτατο μαθηματικό φάσμα, λόγω της δε

καετούς παραμονής του σε μαθηματικά κέ

ντρα και ιδιαιτέρως σεβαστά πανεπιστήμια της

Ευρώπης και των ΗΠΑ (η διατριβή του στο

Manchester) 1963-1973, και προπαντός, της

ακούραστης και ακόρεστης φιλομάθειάς του.

Ισόβια ερωτευμένος με τη Θεωρία Αριθμών

''Homo mathematicus", ο Ανδρέας χωρίς να

πάψει να είναι πάντα βαθύς και ενημερωμένος


!·.

i I I ! I

-------------- Αξιόλογοι μαθηματικοί ... --------------

αλ γεβροτοπολόγος, θα αφοσιωθεί ερευνητικά,

ιδιαιτέρως, στη Θεωρία Αριθμών. Σχετικές εί

ναι και οι εξαίρετες διδακτορικές διατριβές

που έγιναν μαζί του. Πάντως, από κάποια

στιγμή και μετά ο Α. Ζαχαρίου θα δοθεί ολό

κληρος στη σπουδή των Αρχαίων Ελληνικών

Μαθηματικών με την πιο πλατιά έννοια του

όρου. Οι βιβλιογραφικές γνώσεις που έχουμε

σήμερα δικαιώνουν απόλυτα την άποψή του

ότι στις διακοσμήσεις των Αρχαίων έχουμε

χωρίς βέβαια αποδείξεις, στοιχεία από σημερι

νά μαθηματικά. Ένα ιδιαίτερο στοιχείο του

Ανδρέα ήταν ότι η μελέτη του αυτή δεν ήταν

στατική αλλά δυναμική. Δηλαδή, εμπνεόταν

από τους Αρχαίους για να δημιουργήσει νέα

δικά· του μαθηματικά. Μια δημιουργία που

απολάμβανε ιδιαίτερα, ένιωθε πραγματική ευ

τυχία. Αν κανείς του έλεγε ότι κάνει Ιστορία

των Μαθηματικών θα μπορούσε να επαναλά

βει την απάντηση του μεγάλου Γάλλου μαθη

ματικού Henri Lebesgue στη συνεργάτιδά του

όταν αυτή τον ρώτησε: <<'Ώστε δάσκαλε κάνετε

Ιστορία;» <<'Όχι Κυρία, κάνω Μαθηματικά».

Στη διάρκεια αυτής της έρευνας φάνηκε

ότι ο Α. Ζαχαρίου είχε ταλέντο και στην Αρ

χαιολογία. Επίσης, στη Γλωσσολογία, που θα

είναι και το τελευταίο αντικείμενό του. Θα τον

βοηθήσει στο τελευταίο η άριστη γνώση της

γλώσσας μας, από τα σχολικά του κιόλας χρό

νια. Οι αυτοδύναμες έρευνές του καταλήξανε

σε έναν δικό του κόσμο Μαθηματικής Αρχαι-

JΕι r<G)Ί)1J'ίfl1ΓJ2n<:"'[�Λ\� (Ξ:;;r�τι'ϊζ�σ: L·

ολογίας και Μαθηματικής Γλωσσολογίας που

μεγαλώνει ουσιαστικά τις γνώσεις που είχαμε

προηγουμένως.

Καθώς οι σχετικές

δημοσιεύσεις του είναι διάσπαρτες και αρκετό

μέρος του έργου του είναι αδημοσίευτο, θα

πρέπει όλα να συγκεντρωθούν σε έναν τόμο.

Δεν πρέπει να χαθεί αυτή η αληθινά εθνική

προσφορά του.

Στο Πανεπιστήμιο Αθηνών, στο οποίο

σταδιοδρόμησε καθηγητικά, εισήγαγε ως εξε

ταζόμενα μαθήματα την Αλγεβρική Τοπολο

γία, την Ομολογική Άλγεβρα και τη Θεωρία

Αριθμών. Εξάλλου, οργανώσαμε μαζί και τα

διεθνή Μαθηματικά Συμπόσια προς τιμή των

μεγάλων Μαθηματικών Marc Κrasner, Roger

Apery (γιος Έλληνα μετανάστη στη Γαλλία)

και Dον Tamari. Ακόμα, την πρώτη Ελληνο

σοβιετική Μαθηματική Συνάντηση (1987). Στα δυο πρώτα Συμπόσια είχαμε και την πο

λύτιμη συμπαράσταση του Σπύρου Σπαθή,

που διδάσκει από πολλά χρόνια Μαθηματικά

στο πανεπιστήμιο Paris VI αλλά δεν ξεχνά πο

τέ την πατρίδα μας. Προηγουμένως, ως Αντι

πρόεδρος του Δ.Σ. της ΕΜΕ είχε συμβάλει

ουσιαστικά στις «Πυθαγόρειες Ημέρες», το

1975, στη Σάμο. Όλα αυτά στο πιο υψηλό διε

θνές επίπεδο. Όμως, ο Ανδρέας Ζαχαρίου

μπορούσε να σταθεί παντού. Ήταν«

-».

!7:-:; ι'r:'Ι·.f: �' ��·J ·• \j. ·'--"• l��, Γ -:'V.'


Η Homo Mathematicus είναι μια στήλη στο περιοδικό μας, με σκοπό την ανταλλαγή απόψεων και την ανάπτυξη προβληματισμού πάνω στα εξής θέματα: 1 ) Τι είναι τα Μαθηματικά, 2) Πρέπει ή όχι να διδάσκονται, 3) Ποιοι είναι οι κλάδοι των Μαθηματικών και ποιο το αντικείμενο του καθενός, 4) Ποιες είναι οι εφαρμογές τους, 5) Ποιες επιστήμες ή κλάδοι επιστημών απαιτούν καλή γνώση των Μαθηματικών για να μπορέσει κάποιος να τους σπουδάσει.

Για τους συνεργάτες της στήλης: παράκληση! τα κείμενα της στήλης αυτής, ως προς το περιεχόμενό τους και ως προς το επίπεδό τους, θα πρέπει να είναι συμβιβαστά με τα ενδιαφέροντα και το επίπεδο κατανόησης από μέρους των παιδιών.

Επιμέλεια: Καρκάνης Βασίλης , Κερασαρίδης Γιάννης , Ταπεινός Νίκος

I . "τι είναι τα Λ1αθηματικά;" β) η γνώμη των Πλατωνικών

Για να καταλάβουμε την πλατωνική άποψη για τα Μαθηματικά, πρέπει να υπενθυμίσουμε στους αναγνώστες μας κάποιες πλατωνικές δοξασίες για το Σύμπαν και τους κόσμους. Κατά τον Πλάτωνα το Σύμπαν αποτελείται από δύο κόσμους: ο ένας είναι αυτός που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας (αντιστοιχεί στην ύλη), ο άλλος είναι υπεραισθητός και συλλαμβάνεται μόνο με το πνεύμα. Το "Είναι" βρίσκεται έξω από εμάς, δεν είναι ο

ρατό όπως η πραγματικότητα που μας περιβάλλει, είναι άχρονο, άϋλο, ασώματο, αόρατο και αιώνιο . Τα αισθητά πράγματα δεν είναι παρά ένα αντίγραφο του υπεραισθητού ''Είναι". Οι ιδέες που υπάρχουν στον υπεραισθητό κόσμο είναι το αρχέτυπο της ουσίας των όντων. Αυτός είναι ο περίφημος "κόσμος των ιδεών" του Πλάτωνα. Στην κορυφή της ιεραρχίας των επιστημών βρί

σκονται τα Μαθηματικά και η Διαλεκτική, επιστήμες που δίνουν τη δυνατότητα να μελετηθεί η "πρώτη αρχή του παντός". Κατά τους πλατωνιστές: α) οι μαθηματικές οντότητες είναι ένα υποσύνολο

του "κόσμου των ιδεών"

11. "οι συνεργάτες της στιμης γράφουν-ερωτούν ,

β) αντικείμενο των Μαθηματικών είναι η διερεύνηση των ιδεών μέσα στις οποίες περιέχονται οι αριθμητικές και οι γεωμετρικέ ιδέες.

γ) ο Πλάτωνας δεν απορρίπτει την πρακτική πλευρά των Μαθηματικών, την οποία, όμως, δεν θεωρεί κύρια.

δ) τα Μαθηματικά φανερώνουν την πραγματική τους αξία στο βαθμό που μέσω αυτών προσεγγίζουμε τις αιώνιες και άχρονες αλήθειες, οι οποίες αποτελούν τον "κόσμο των ιδεών" του Πλάτωνα. Να τι λέει ο ακαδημαϊκός Θανάσης Φωκάς: «Ό

πως είναι ευρύτατα γνωστό, ο Πλάτωνας μίλαγε για τον κόσμο των ιδεών ο οποίος υπάρχει ανεξάρτητα από εμάς σε μια άλλη πραγματικότητα. Οι πλατωνιστές μαθηματικοί πιστεύουν ότι σε αυτόν ακριβώς τον κόσμο κατοικούν και θεμελιώδεις μαθηματικές σχέσεις τις οποίες εμείς απλώς προσπαθούμε να ανακαλύψουμε. Δηλαδή δε δημιουργούμε αλλά ανακαλύπτουμε Μαθηματικά»

[πηγή : Κεντρική ομιλία του Θανάση Φωκά στο 23° Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας στην Πάτρα ( 1 1 /2006), με θέμα «Τα Μαθηματικά και ο Εγκέφαλος»].

Στο επόμενο η γνώμη των Αριστοτελικών Γιάννης Κερασαρίδης

Θέμα. Προλεγόμενα: Συνεχίζουμε, με τη δημοσίευση του 2ου μέρους της ενδιαφέρουσας εργασίας του φίλου της στήλης Τηλέμαχου Μπαλτσαβιά

«ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΓΕΝΕΘΛΙΩΝ» (2° μέρος), Τηλέμαχος Μπαλτσαβιάς (Κεφαλονιά)

«Μια άλλη ιστορία τώρα που θα μας εισαγάγει στο δεύτερο συμπέρασμα αυτού του άρθρου .

Πριν από πολλά χρόνια ένας προσκεκλημένος στο τηλεοπτικό πρόγραμμα του παρουσιαστή Johnny Carson στις Η.Π.Α. , προσπαθούσε να εξη-


------------------------------ #d�d ��T#E�AT/CVf -----------------------------

γήσει το φαινόμενο που μόλις περιγράψαμε. Ο Johηηy Carsoη δεν τον πίστεψε και ρώτησε πόσοι από τους παρόντες στο ακροατήριο της εκπομπήςπερίπου 1 20 άτομα-έχουν τα ίδια γενέθλια με αυτόν, ας πούμε στις 8 Αυγούστου . Η απάντηση ήταν κανείς, και ο προσκεκλημένος, που δεν ήταν μαθηματικός, είπε κάτι ασυνάρτητο για να δικαιολογηθεί. Αυτό που ο προσκεκλημένος έπρεπε να πει είναι ότι χρειάζονται σχετικά λίγα άτομα για να υπάρχει κάποια κοινή ημερομηνία γέννησης, και όχι μια συγκεκριμένη ημερομηνία, όπως η 8 Αυγούστου.

Η πιθανότητα να συμβεί αυτό που θα ήθελε ο Johηηy Carsoη είναι ίση με 1-(364/365) 1 20=0,28 και αυτό προκύπτει ως εξής : αν θεωρήσουμε πάλι το συμπληρωματικό ενδεχόμενο, αυτό θα είναι τώ-

ρα το «κανείς από τους 120 δεν έrει γεννηθεί την 8η Αυγούστου». Στην περίπτωση αυτή , κάθε ένας από τους 1 20 ανθρώπους έχει 365 δυνατές ημερομηνίες γενεθλίων και 364 επιλογές για να συμβεί το παραπάνω ενδεχόμενο, αφού πρέπει να αποκλειστεί μόνο η 8η Αυγούστου. Προσέξτε την κρίσιμη διαφορά : τώρα ζητάμε κάθε άνθρωπος από τους 1 20 να μην έχει γεννηθεί στις 8 Αυγούστου και όχι να μην έχει κοινά γενέθλια με όλους τους υπόλοιπους όπως πριν. Συνεπώς η πιθανότητα του συμπληρωματικού ενδεχομένου είναι ίση με (364/365) (364/365) (364/365) . . . (364/365)= (364/365) 1 20, άρα 1 -(364/365) 1 20=0,28

\\\0 Ε " /\ ΓΙ . \ Ρ .\ \ Ε Ι Γ'. r λ Ακόμα ένα αριθμητικό παράδειγμα για να κατα

λάβουμε πόσο διαφορετικά είναι τα ενδεχόμενα που θέσαμε. Ενώ χρειάζονται μόνο 23 άτομα για είμαστε 50% βέβαιοι πως υπάρχουν τουλάχιστον δυο άτομα με κοινή ημερομηνία γέννησης, χρειάζονται 253 άτομα για να είμαστε 50% βέβαιοι πως υπάρχουν τουλάχιστον δυο άτομα με κοινή ημερομηνία γέννησης την 8η Αυγούστου. Αυτό συμβαίνει διότι το 253 είναι ο μικρότερος φυσικός η για τον οποίο η τιμή της παράστασης 1-(364/365)n ξεπερνάει το 1 /2 .

Δείτε τώρα σε ένα διάγραμμα την σύγκριση των πιθανοτήτων αυτών των δυο ενδεχομένων. Η πράσινη καμπύλη παριστάνει την πιθανότητα του ενδεχομένου «δυο τουλάχιστον άνθρωποι έχουν την ίδια ημερομηνία γέννησης» και η μπλε καμπύλη παριστάνει την πιθανότητα του ενδεχομένου «δυο τουλάχιστον άνθρωποι έχουν γεννηθεί στις 8 Αυγούστου». Στον οριζόντιο άξονα μετράμε το πλήθος η των ανθρώπων και στον κατακόρυφο άξονα μετράμε την αντίστοιχη πιθανότητα. Από την παραπάνω διαπραγμάτευση βγάζουμε δυο συμπεράσματα :

Ι ) Τα συγκεκριμένα γεγονότα έχουν αισθητά μικρότερη πιθανότητα να συμβούν από τα γενικά. Είδαμε ότι δοθέντος ενός πλήθους ατόμων είναι εξαιρετικά πιθανό να υπάρχουν δυο τουλάχιστον με την ίδια ημερομηνία γέννησης, ωστόσο είναι πολύ μικρότερη η πιθανότητα να συμβεί το ίδιο όταν η κοινή ημερομηνία γέννησης γίνεται συγκεκριμένη . 2 ) Δεν πρέπει να παίρνουμε και πολύ στα σοβαρά τους παρουσιαστές-οικοδεσπότες των talk shows όταν το θέμα στρέφεται γύρω από επιστημονικά ζητήματα. Η κατάρτισή τους γύρω από αυτά είναι συνήθως ανύπαρκτη . Θυμηθείτε πόσο άστοχη ήταν η παρατήρηση του Johηηy Carsoη, έστω και αν ο υποστηρικτής της σωστής άποψης δεν μπόρεσε να την υπερασπίσει.

0 .8

0 . 5

0 .4

0 . 2

50 100 150 200 250 300 350 400

Ελπίζω αγαπητοί αναγνώστες να ανταμειφθήκατε για τον χρόνο που δαπανήσατε διαβάζοντας αυτό το άρθρο. Ήθελα μόνο να περιγράψω ένα ενδιαφέρον (και διασκεδαστικό) μαθηματικό φαινόμενο που δυστυχώς σήμερα δεν υπάρχουν σαν αναφορά στα σχολικά βιβλία» [ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ : 1 ) Εγκυκλοπαίδεια LIFE, τόμος ΜΑΘΗΜΑΠΚΑ, σελίδα 1 43 , 2) PAULOS, JOHN ALLEN, «Αριθμοφοβία», σελίδες 45, 46, 3) ΜΑΘΗΜΑΠΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ, Β '& Δ' ΔΕΣΜΗΣ, ΟΕΔΒ, σελίδα 88 , 4) Τα διαγράμματα προέρχονται, με τη σειρά που εμφανίζονται, από τις παρακάτω ιστοσελίδες: http :/ /www. ms te. uiuc . edu/reese/birthda y I exp laηatioη. html

http :/ /eη. wikipedia.org/wiki/Image :050329-birthday 1 .pηg] http :/ /eη. wikipedia.org/wiki/Image :Birthday _paradox .pηg


π I I

Η στήλη αυτή έχει ως στόχο την ανάπτυξη μαθηματικού διαλόγου. Φιλοδοξούμε να συμμετάσχουν όλοι

όσοι έχουν ένα γενικότερο ενδιαφέρον για τα Μαθηματικά.

Επιμέλεια: Γιάννης Στρατής ""'" Βαγγέλης Ευσταθίου

λ) Η Άλγεβρα των Δεικτών του Ρολογιού (Το ρολόι κτυπά και εξισώσεις)

Συνέχεια από το προηγούμενο τεύχος Π α ραδείγματα 1 . Μετά την 1 και μέχρι τις 2, οι δείκτες σχη

ματίζουν γωνία 1 20° στις 1 και

λ= 60(ν + 1 2) - 2ω

= 1 1

= 60 · 1 3 - 240 = 540 = 49_!_ λεπτά.

1 1 1 1 1 1 2 . Από τις 4 μέχρι τις 5 , και μετά την συνά

ντησή τους, οι δείκτες σχηματίζουν γωνία 340°

4 λ 60(ν + 1 2) - 2ω

στις και = 1 1

=

= 60 · 1 6 - 680 = 280 = 252_ λεπτά.

1 1 1 1 1 1 Όπως είδαμε (περίπτωση Α, παράδειγμα 1 )

και πριν την συνάντησή τους οι δείκτες μπορούν να σχηματίσουν γωνία 20°, δηλαδή την ίδια κυρτή

γωνία, στις 4 και 1 8 _3._ λεπτά. Οι ώρες αυτές συμ-1 1

μετρικές ως προς την ώρα συνάντησης που είναι 4

και 2 1 ..2_ λεπτά. Αυτό βέβαια συμβαίνει και στις 1 1

άλλες ώρες και για ορισμένες γωνίες. 3 . Την ώρα 1 0.00 μπορούμε να θεωρήσουμε

ότι προηγείται ο μεγάλος (αφού έφτασε στο 1 2 κατά την διάρκεια της ώρας 9 .00- 1 0.00), οπότε για ω=9, λ=60 βρίσκουμε γωνία δεικτών ω με

60(2 1) - 2ω = 60 ή ω = 300ο_ 1 1

Μπορούμε όμως και να θεωρήσουμε ότι προ-

Δημήτρης Ι. Μπουνάκης

ηγείται ο μικρός, καθώς αρχίζει η διάρκεια της ώρας 1 0- 1 1 , οπότε με ν = 10 και λ = Ο από τον τύ-

, 60(1 0) - 2ω πο ( 1 ) παιρνουμε Ο ή ω = 300°,

1 1 δηλαδή την ίδια γωνία.

4. Στις 1 .55 , προηγείται ο μεγάλος, οπότε (ν=1 , λ=55) και οι δείκτες σχηματίζουν γωνία ω με 60(1 3) - 2ω

55 ή ω = 87,5°. 1 1

5. Στις 12 .30, ο μεγάλος προηγείται του μικρού, οπότε (ν = Ο, λ = 30 ) και οι δείκτες σχηματίζουν γωνία ω με 60(1 2) - 2ω = 30 ή ω= 1 95° ή κυρτή γωνία 1 65°.

1 1

Πρόβλημα 3 Υ π άρχουν χρονικές στιγμές που συναντιού

νται και οι τρεις δείκτες του ρολογιού;

Λύση

Κατ' αρχήν υπάρχει μια προφανής στιγμή συνάντησης και των τριών δεικτών, στις 1 2 .

Α ς εξετάσουμε αν υπάρχουν και άλλες. Σε μια τέτοια στιγμή πρέπει κατ' αρχήν να συναντιούνται ο μεγάλος και ο μικρός δείκτης. Αυτό όπως είδαμε συμβαίνει στις ώρες

Σv = νh 60 ν

m ' ν = 1 ,2, . . . , 1 1 . 1 1


Το Βήμα του Ευκλείδη

Για να συναντηθεί με αυτούς και ο δείκτης των δευτερολέπτων, σε κάποια από αυτές τις στιγμές,

πρέπει στο πλήθος των δευτερολέπτων 60 ν

.60, 1 1

μετά την ώρα ν, να περιέχει ένα ακέραιο πολλα-

λ ' 60 λε' 60 ν δ ' π ασιο του και να υπο ιπονται U ευτερο-

λεπτα, δηλαδή πρέπει να υπάρχει ακέραιος κ με 60 ν 60 ν 59ν -- ·60=60κ+ -- �59ν= 1 1κ�κ= - οπότε 1 1 1 1 1 1

'

1 1 /ν, άρα ν= 1 1 .

Αλλά με ν= 1 1 έχουμε σημείο συνάντησης στις

1 2 ακριβώς. Επομένως δεν υπάρχει άλλη χρονική στιγμή συνάντησης εκτός στις 1 2 .

Πρόβλημα 4 Υπάρχουν χρονικές στιγμές που ο μεγάλος

δείκτης συμπίπτει με το δευτερολεπτοδείκτη, ενώ ο μικρός είναι σε ευθεία γωνία με τους άλλους δυο;

Λύση Αν ο μικρός προηγείται του μεγάλου (Σχήμα

4), εφόσον σχηματίζουν γωνία 1 80°, από το πρόβλημα 2, περίπτωση Α, έχουμε ότι αυτό θα συμ-βαίνει λ λεπτά μετά τις ν με

λ 60 ν - 360 = 60(ν - 6)

ν-6 7 1 1 (λόγω 1 1 1 1

' - ' , . . . ,

0::Ξ:ω::::3 Ον) 1 2

Σχήμα 4

Για να συμπίπτει τώρα ο δευτερολεπτοδείκτης με το μεγάλο δείκτη πρέπει και αρκεί, όπως στο προηγούμενο πρόβλημα, να υπάρχει ακέραιος κ με

60 (ν - 6) ·60=60κ+ 6Ο(ν - 6) � 1 1 κ=59(ν-6)

1 1 1 1 '

οπότε το 1 1 πρέπει να διαιρεί τον (ν - 6) που συμβαίνει μόνο για ν = 6, εφόσον ν = 6, . . , 1 1 . Τότε όμως λ = Ο .

Όμοια εργαζόμενοι για την περίπτωση που ο μεγάλος προηγείται του μικρού (τύπος 2) βρίσκουμε ν = 5 , οπότε λ = 60 (Άσκηση) . Άρα μόνο στις 6 ακριβώς ο μικρός δείκτης βρίσκεται σε ευθεία γωνία με τους άλλους δυο δείκτες.

Πρόβλημα 5 Υπάρχουν χρονικές στιγμές που ο μικρός

δείκτης συμπίπτει με το δευτερολεπτοδείκτη, ενώ ο μεγάλος είναι σε ευθεία γωνία με τους άλλους δυο;

Λύση Αν ο μεγάλος προηγείται του μικρού (Σχήμα

5), εφόσον σχηματίζουν γωνία 1 80° από το πρόβλημα 2, περίπτωση Β, έχουμε ότι αυτό θα συμβαίνει λ λεπτά μετά τις ν με λ- 60(ν + 1 2) - 360

= 60(ν + 6)

0 1 2 5 (λ ' 1 1 1 1

' ν= ' ' , . . . , ο-

γω 30(ν+ 1 )::Ξ:ω::Ξ:360°) . 1 2

Σχήμα 5

Για να συμπίπτει τώρα ο δευτερολεπτοδείκτης με το μικρό δείκτη πρέπει και αρκεί να υπάρχει ακέραιος κ με 60(ν+6) ·60=60κ+

6Ο(ν + 6) -30�22κ-1 1 =2 ·59(ν+6)

1 1 1 1 '

που είναι άτοπο, εφόσον το πρώτο μέλος είναι περιττός ακέραιος αριθμός ενώ το δεύτερο άρτιος.



Όμοια εργαζόμενοι για την περίπτωση που ο Άρα δεν υπάρχουν τέτοιες χρονικές στιγμές. μικρός προηγείται του μεγάλου (περίπτωση Α, Όμοια εργαζόμαστε και στις άλλες περιπτώσεις πρόβλήματος 3) καταλήγουμε σε άτοπο. Άρα δεν και βρίσκουμε ότι δεν υπάρχουν χρονικές στιγμές υπάρχουν τέτοιες χρονικές στιγμές. με γωνίες δεικτών 1 20° .

Ανάλογα αποδεικνύεται ότι δεν υπάρχουν χρο-νικές στιγμές που ο μεγάλος δείκτης συμπίπτει με το μικρό και ο δευτερολεπτοδείκτης να είναι σε ευθεία γωνία με τους άλλους δυο.

Πρόβλημα 6 Να εξεταστεί αν υπάρχουν χρονικές στιγμές

που οι τρεις δείκτες σχηματίζουν ανά δυο γωνία 120°.

Λύση Έστω ότι προηγείται ο μικρός, έπεται ο μεγά

λος και ακολουθεί ο δευτερολεπτοδείκτης (Σχήμα 6). Ο μικρός με τον μεγάλο θα σχηματίζουν γωνία 1 20° και αυτό συμβαίνει 60 ν - 2 · 1 20 60(ν - 4) λ ,

----- = επτα, 1 1 1 1

0::Ξ;ω::Ξ;30ν, ν=4,5, . . . , 1 1 . 1 2

Σχήμα 6

τις ώρες ν και

οπότε λόγω

Για να βρίσκεται ο δευτερολεπτοδείκτης σε γωνία 1 20° (χρονική απόσταση 20 δευτερολέπτων από τον μεγάλο) με τους άλλους δυο, εντός κάποιας ώρας, πρέπει να υπάρχει ακέραιος κ με

60(ν - 4) _ 60 = 6Οκ + 60( ν - 4) 20<=> 1 1 1 1

<::::>3 ( 1 1 κ-59 · (ν-4))= 1 1 που είναι άτοπο, εφόσον το 1 1 δεν είναι πολλαπλάσιο του 3 .

Προβλήματα - Ασκήσεις 1 . Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν οι δεί

κτες (ωροδείκτης, λεπτοδείκτης) στις 7 .50 το πρωί. (Απ. κυρτή 65°)

2. Ποια χρονική στιγμή , αμέσως μετά τις 9, οι δείκτες σχηματίζουν ορθή γωνία;

8 (Απ. 9 h 32- m ) 1 1

3. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν χρονικές στιγμές που ο μεγάλος δείκτης συμπίπτει με το μικρό, ενώ ο δευτερολεπτοδείκτης είναι σε ευθεία γωνία με τους άλλους δυο.

4. Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα του μεγάλου και μικρού δείκτη του ρολογιού, καθώς και η μεταξύ τους σχέση . (Απ. 6° Im, 0,5 °/m).

5. Ποια χρονική στιγμή αμέσως μετά τις 6 ο μικρός και ο μεγάλος δείκτης σχηματίζουν ευθεία γωνία; (Απ. 7h 60/ 1 1 m)

6. Δείξετε ότι, όταν προηγείται ο μεγάλος δείκτης, σχηματίζει ευθεία γωνία με τον μικρό τις ' 6Ο · (ν + 6) λε ' Ο 5 Ε' δ ωρες ν και

1 1 πτα, ν= , . . . , . ιναι υνα-

τόν να συμβεί αυτό σε ακέραιο αριθμό λεπτών και πότε;

7. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν χρονικές στιγμές που ο μεγάλος και ο μικρός δείκτης σχηματίζουν ευθεία γωνία και ο δευτερολεπτοδείκτης σχηματίζει γωνία 90° με κάθε ένα από αυτούς. -



6 ΝΕΕΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟ Υ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ Υ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΣ

του Γ. Μενδωνίδη

Στα δύο τελευταία τεύχη του ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β ' δημοσιεύθηκαν στα εξώφυλλα τους σχήματα του Πυθαγόρειου Θεωρήματος. Για το θεώρημα αυτό που θεωρείται ως το σπουδαιότερο θεώρημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας έχουν γίνει πολλές αποδείξεις και έχουν γραφτεί πολλά βιβλία.

Το 2006 γράφτηκε από τον πρόεδρο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας κ. Θα';δ(•}!JΟ Εξιφχάκ() το αξιόλογο βιβλίο : « Το ΠυΟαγiJρειο Θαύρ ημα στα ιΗα Οημα τικά τω ν Αρχαίω ν lioJ.πιrη.a& JΙ» . Το βιβλίο αυτό διατίθεται στους ενδιαφερόμενους και από τα γραφεία της Ε.Μ.Ε.

Ο μαθηματικός Ε. Loomis είχε την επιμονή και υπομονή να συγκεντρώσει σε βιβλίο του 370 διαφορετικές αποδείξεις του Π.Θ. από όλα τα έθνη και όλες τις εποχές. Σ' αυτό υπάρχουν αποδείξεις του Copemicus, του Newton, του Leibniz και πολλών άλλων διάσημων μαθηματικών.

Εκτός από τις αποδείξεις των ενδόξων Ελλήνων μαθηματικών της αρχαιότητας, αναφέρεται και η τελευταία Ελληνική απόδειξη, από τον Πάππο, το 300 περίπου μ.Χ.

Πρόσφατα στον «ΕΥΚΛΕΙΔΗ Α '» δημοσιεύτηκαν δυο <<νέες» αποδείξεις του Π.Θ. από τους μαθηματικούς Γεράσιμο Λεγάτο και Γιώργο Μ ενδωνίδη που δεν υπάρχουν στο βιβλίο του Loomis.

Ο «ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'» συνεχίζοντας δημοσιεύει παρακάτω άλλες έξι αποδείξεις του Π.Θ. από τον συνάδελφο Γιώργο Μ ενδωνίδη που δεν αναφέρονται στις 370 του παραπάνω βιβλίου. Οι αποδείξεις αυτές στηρίζονται και μας θυμίζουν τη θεωρία των εμβαδών, την ομοιότητα τριγώνων, τη δύναμη σημείου ως προς κύκλο και το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου.

I Π ρώτη Απόδειξη I Παίρνουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ

(Α = 90° ) με β<γ. Προεκτείνουμε την ΑΓ κατά

τμήμα Γ Δ=ΑΒ=γ και σχηματίζουμε το ορθογώνιο ΑΔΖΒ. Πάνω στη ΔΖ παίρνουμε τμήμα ΔΕ=ΑΓ=β. Άρα ΕΖ=γ-β. Από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων ΑΒΓ και Γ ΔΕ έχουμε: ΓΕ=ΒΓ=α, Bf Α = ΔΕΓ = ω και ΑΒΓ = ΔfΕ = φ . Άρα BfA + ΔfE = BfA +ABΓ = ro + ψ = 90° .

Επομένως BrE = 90°

Από την κατασκευή του ορθογωνίου ΑΔΖΒ έχουμε: ΒΖ=ΑΔ=β+γ

Βρίσκουμε τώρα το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΔΖΒ με δυο τρόπους και

Α Β εξισώνουμε τα αποτελέ-σματα: (ΑΔΖΒ) =ΑΒ·ΑΔ=γ (β+γ)=βγ+γ2

(ΑΔΖΒ) =2(ΑΒΓ)+(ΒΓΕ)+(ΒΕΖ)= ΑΒ ·ΑΓ ΒΓ · ΓΕ ΒΖ · ΕΖ = 2 · + +---

2 2 2

= 2 · βγ + α · α + (β + γ) (γ - β) = βy+ α2 + y -β2 2 2 2 2 2

Εξισώνοντας τα αποτελέσματα έχουμε: α2 γ2 + β2 βγ + γ2 = βγ + -+ -'------'----2 2

γ2 = α2 + γ2 _ β2

2 2γ2 = α2 + γ2 - β2

I ΔεύτερηΑπόδειξη":J Παίρνουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ

(Α = 90° ) . Με πλευρά τη ΒΓ κατασκευάζουμε

εξωτερικά του το τετράγωνο ΒΓ ΔΕ και προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ κατά τμήμα ΒΗ=ΑΓ=β. Φέρνουμε τη ΗΕ και την προεκτείνουμε κατά τμήμα ΕΖ=ΑΓ=β.

Δ Δ

Έχουμε: Β ΕΗ = ΑΒΓ γιατί έχουν: ΒΗ=ΑΓ=β, ΒΕ=ΒΓ=α και ΗΒΕ = AfB (γιατί είναι οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες) Επίσης είναι:

Δ Δ

Δ Ε Ζ = Β Ε Η , γιατί ΕΖ=ΗΒ=β, ΔΕ=ΒΕ=α και ΔΕΖ = ΗΒΕ (γωνίες με πλευρές κάθετες).

Δ Δ Δ

Άρα έχουμε: Δ Ε Ζ = ΒΕΗ = ΑΒΓ Το τετράπλευρο ΑΒΖΔ είναι παρ/μο γιατί έχει

τις απέναντι πλευρές του ΑΒ και ΔΖ ίσες και παράλληλες, ως κάθετες στην ΖΗ. τέλος τα τρίγωνα ΑΓ Δ και ΒΕΖ είναι ίσα, γιατί έχουν: ΑΓ=ΖΕ=β,



Γ Δ=ΒΕ=α και Af Δ = ΒΕΖ = 90° + Γ Α

Η

z Βρίσκουμε το εμβαδόν του πενταγώνου ΑΗΖ

ΔΓ Α με δυο τρόπους και εξισώνουμε τα αποτελέσματα:

(ΑΗΖΔΓΕ) = (ΒΓΔΕ) + 3 (ΑΒΓ) = Iα2 + 3 · β; Ι (ΑΗΖΔΓΕ) = (ΑΒΖΔ) + 2 (ΒΕΖ) + (ΒΕΗ) = . . .

Παίρνουμε το ορθογώνιο ΑΒΓ (Α = 90° ) και Στην ευθεία ΒΓ και εκατέρωθεν του σημείου Γ, τα τμήματα ΓΔ=ΓΕ=ΓΑ.

Τότε ΔΑΕ = 90° γιατί στο τρίγωνο ΕΑΔ η διάμεσός του ΑΓ, είναι ίση, με το μισό της πλευράς του ΔΕ.

Ε t

f!. ω · ' ·�

\ Ά Γ 1\

</ \ I ')(

'ω / \ r: \ Α t1 Γ ω- --- -- - --� Δ

\\ ' \ '---,-\

Β Λ πλεuρές.L Λ ΓΑ=ΓΕ Λ Έχουμε: ΒΑΔ = Γ ΑΕ = ΑΕΓ = ω

Άρα τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΕ είναι όμοια. Ε , , ΑΒ ΒΔ γ α - β πομενως εχουμε :

ΒΕ =

ΑΒ και

α + β = -γ-

Άρα γz= αz -βz Και αz=βz+γz

I Τέταρτη Απόδ ε ιξη I Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90° ) προε

κτείνουμε την πλευρά του ΒΓ κατά τμήμα ΓΕ=ΒΓ. Πάνω στην υποτείνουσα του ΒΓ παίρνουμε το σημείο Δ ώστε Γ Δ=β. Τότε είναι:

ΒΔ=α-β και ΔΕ=α+β. z

Β Δ Ε Η κάθετη από το Δ προς την ΒΓ τέμνει την

προέκταση της ΓΑ στο σημείο Ζ. Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και Γ ΔΖ είναι ίσα γιατί έχουν: Γ Δ=Γ Α=β και τη Γ κοινή

Από την ισότητα αυτή προκύπτουν: ΔΖ=ΑΒ=γ και ΓΖ=ΒΓ=α. Παρατηρούμε στο τρίγωνο ΒΕΖ ότι η διάμεσός

του ΖΓ είναι ίση με το μισό της απέναντι πλευράς ΒΕ. Άρα το τρίγωνο ΒΖΕ είναι ορθογώνιο . Τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΔΖ και ΔΕΖ έχουν, των ΒΖΔ = ΖΕΒ = ω ' γιατί είναι οξείες με πλευρές κάθετες. Άρα είναι όμοια και επομένως έχουμε:

ΒΔ = ΔΖ δηλαδή α - β =-γΔΖ ΔΕ γ α + β και γ2= α2-β2 Άρα α2=β2+γ2

I Π έμπτη Απόδε ιξη I Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, (Α = 90° ) προε

κτείνουμε την πλευρά του ΒΑ κατά τμήμα ΑΟ=ΑΓ=β και την Γ Α κατά τμήμα ΑΔ=ΑΒ=γ και γράφουμε τον κύκλο (Ο,Β) . Αφού είναι ΟΑΓ = 90° θα έχουμε ότι η ΔΑΓ εφάπτεται του κύκλου. Από τα ίσα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΟ έχουμε ΔΟ=ΒΓ=α. Άρα ΔΕ=α-β και ΔΖ=α+β.

Γ

Δ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/23


Αν πάρουμε τη δύναμη του σημείου Δ ως προς τον κύκλο (Ο,β) θα έχουμε:

Έχουμε: ΑΔ2=ΔΕ·ΔΖ γz=( α-β)-( α+β) γz= αz -βz Άρα α2=βz+γ2

I 'Εκτη Απόδειξη I Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, (Α = 90° ) με

γ<β, φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ και από το σημείο Δ την κάθετη στην ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ε και την προέκταση της ΒΑ στο σημείο Ζ.

Από το γνωστό θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου να αποδείξετε ότι:

ΒΔ = � και ΓΔ = � . β + γ α + γ

Από το σημείο Δ φέρνουμε την ΔΗ l. ΑΒ και την ΔΘ l. ΑΓ .Από ίσα τρίγωνα να αποδείξετε ότι:

ΔΕ�ΔΒ και ΔΖ�ΔΓ. Άρα ΙΔΕ � σ:y Ι · β + γ

Παίρνοντας τη δύναμη του σημείου Γ ως προς το εγγράψιμο (;) τετράπλευρο ΑΒΔΕ να βρεθεί ό-

β2 + βγ - α2 τι: ΑΕ = .:..___:_:..___ ι β + γ

z

Β Δ Γ Από την ισότητα ΖΕ=ΔΖ-ΔΕ να βρεθεί ότι:

ΖΕ = αβ - αγ . Επίσης έχουμε ΓΕ=ΑΓ -ΑΕ, δηβ + γ

λαδή : Εi@ Να αποδείξετε την ομοιότητα των τριγώνων,

ΑΖΕ και Γ ΔΕ και από την αναλογία, ΑΕ = ΔΕ

ΖΕ ΓΕ που προκύπτει από αυτήν, να αποδείξετε αντι

καθιστώντας ότι: α2=β2+γ2•

Η εικασία του Poincare . . . έλαβε , ,

καταφατικη απαντηση

Ένα από το βραβεία Fields (αντίστοιχα των βραβείων Νόμπελ για τα μαθηματικά) που απονεμήθηκαν τον Αύγουστο 2006 στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών στη Μαδρίτη, δόθηκε στον μαθηματικό Grigori Perel 'man με την αιτιολογία: "για τις συνεισφορές του στη γεωμετρία και την ε

παναστατική και σε βάθος κατανόηση, της αναλυτι

κής και γεωμετρικής δομής της εξίσωσης ροής του

Rίccί ' '. Οι εργασίες του Perel 'man είχαν ως συνέπεια την απόδειξη της εικασίας γεωμετρικοποίησης

του Therston. Η εικασία αυτή, αρκετά περίπλοκη στη διατύπωσή της, αφορά μαθηματικά αντικείμενα τα σποία ονομάζονται πολλαπλότητες και είναι επέκταση μιας φημισμένης εικασίας των μαθηματικών, της εικασίας του Poincare.

Ο μαθηματικός Poincare διατύπωσε την εικασία του το 1 904 και από τότε ήταν αντικείμενο προσπάθειας πολλών μαθηματικών, αλλά και ση-

Ανδρέας Αρβανιτογεώργος

μαντικής ανάπτυξης του κλάδου των μαθηματικών που ονομάζεται αλγεβρική τοπολογία. Το έτος 2000 το Ινστιτούτο Μαθηματικών Klay στη Βοστώνη των Η.Π.Α. παρουσίασε επτά προβλήματα, τα οποία θεωρούνται από κορυφαίους μαθηματικούς τόσο σημαντικά, ώστε να έχουν τη δυναμική να αποσχολήσουν τους μαθηματικούς κατά τον 2 1 ο αιώνα. Μάλιστα, για την επίλυση καθενός από αυτά έχει αθλοθετηθεί ποσό 1 .000.000 δολαρίων. Τα προβλήματα αυτά έχουν την αντίστοιχη βαρύτητα των εικοσιτριών προβλημάτων τα οποία είχε διατυπώσει ο Hilbert το 1 900 και τα οποία είχαν κεντρικό ρόλο στα μαθηματικά του 20ου αιώνα (κάποια από αυτά εξακολουθούν να έχουν) . Η εικασία του Poincare είναι ουσιαστικά η εξειδίκευση ενός από τα προβλήματα του Hilbert. Η διατύπωση έχει ως εξής: κάθε απλά συνεκτική, συμπαγής,



τρισδιάστατη πολλαπλότητα, είναι ομοιομορφική με την τρισδιάστατη σφαίρα.

Ας εξηγήσουμε την ορολογία. ηησ/ίιrί.στατη πο/).απ)ι)τητα: Χώρος ο οποίος γύ

ρω από κάθε σημείο του μοιάζει με τον τρισδιάστατο

Ευκλείδειο χώρο. Οι πολλαπλότητες είναι τα βασικά

αντικείμενα σπουδής του κλάδου των μαθηματικών που

ονομάζεται roπol.rηfα . Αντικείμενο της τοπολογίας εί

ναι ο προσδιορισμός του πότε δύο ( τοπολογικοί) χώροι

μπορούν να μετασχη ματιστούν ο ένας στον άλλο κάτω

από συνεχείς (δηλ. χωρίς "κοψίματα" και "ραψίματα")

μετασχη ματισμούς (π.χ. είναι δυνατόν ένας λουκουμάς

να μετασχηματιστεί στη συνηθισμένη δισδιάστατη

σφαίρα;) .

-\<>:τυ: η :; Ουσιαστικά σημαίνει ότι ο συγκεκριμέ

νος χώρος είναι πεπερασμένος σε έκταση και ότι περιέ

χει όλα τα ση μεία συσσώρευσής του.

.':" · · ι . . , .-τι;.-ιί:.; · Η ιδιότητα ενός χώρου σύμφω

να με την οποία κάθε κλειστός βρόχος επί αυτού είναι

δυνατόν να συρρικνωθεί και να "κλείσει" σε ένα σημεί

ο. Με άλλα λόγια ο χώρος δεν έχει "τρύπες". Η συνη

θισμένη σφαίρα είναι απλά συνεκτική, αλλά ο λουκου

μάς δεν είναι.

Δύο χώροι είναι ομοιμορφικοί αν

είναι δυνατόν να μετασχηματιστεί ο ένας στον άλλο

χωρίς να γίνουν κοψίματα και συρραφές.

lριΓiδιάστατη σφαίρα. Το σύνολο όλων των ση

μείων (x, y, z, w) του τετραδιάστατου Ευκλείδειου χώ-

ρου που ικανοποιούν την εξίσωση

Έτσι λοιπόν, η εικασία του Poincare αναφέρει ότι

κάθε χώρος ο οποίος κοντά σε κάθε σημείο του μοιάζει

με τον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, είναι πεπερα

σμένος σε έκταση και επιπλέον κάθε κλειστός βρόχος

σε αυτόν είναι δυνατόν να συρρικνωθεί σε σημείο, μπο

ρεί να μετασχηματιστεί στην τρισδιάστατη σφαίρα.

Η εικασία αυτή σύντομα γενικεύθηκε, με αντίστοιχες προϋποθέσεις, για μια οποιαδήποτε συμπαγή πολλαπλότητα διάστασης η . Η περίπτωση η = 1 είναι τετριμμένη , ενώ η περίπτωση της εικασίας για η = 2 είναι ένα κλασικό αποτέλεσμα της διαφορικής γεωμετρίας, ήδη γνωστό από τον 1 9° αιώνα. Η εικασία για η = 4 αποδείχτηκε το 1 982 από τον Friedman (βραβείο Fields 1 986), για

η = 5 το 1 96 1 από τον Zieman, για η = 6 το 1 962 από τον Staligs και για η � 7 το 1 96 1 από τον Smayl (βραβείο Fields 1 966). Η περίπτωση λοιπόν για η = 3 παρέμενε ανοικτή έως το 2003 . Σε μια σειρά άρθρων εξαιρετικά υψηλής μαθηματικής τεχνικής (2002-03), ο Perel 'man απέδειξε την εικασία του Therston, η οποία έχει ως συνέπεια την εικασία του Poincare.

Αξίζει εδώ να αναφέρουμε ότι ο Perel 'man στηρίχτηκε σε μια μακρά προσπάθεια πολλών μαθηματικών και κυρίως του Hamilton, ο οποίος από το 1 982 είχε αναπτύξει ένα πρόγραμμα προσέγγισης της εικασίας του Poincare, μελετώντας μια μερική διαφορική εξίσωση, η οποία σχετίζεται με την κύρτωση της πολλαπλότητας, γνωστή ως εξίσωση

ροής του Rίccί. Ο Hamilton είχε προχωρήσει πολύ στο πρόγραμμα αυτό, αλλά είχε καταλήξει σε σοβαρές δυσκολίες, τις οποίες τελικά ο Perel 'man ξεπέρασε με τα άρθρα που προαναφέραμε. Η αξία της εικασίας του Poincare έχει εφαρμογή τόσο στα μαθηματικά όσο και στη φυσική, μια και βοηθά στην πληροφόρηση για τη μορφή του σύμπαντος. Για περισσότερες πληροφορίες παραπέμπουμε στις παρακάτω πηγές και στη βιβλιογραφία τους.

Ενδεικτικές αναφορές Α. Αρβανιτογεώργος : Η εικασία του Poίncare:

Ένα πρόβλημα που απασχολεί τους μαθηματικούς και μετά την επίλυσή του, Πρακτικά 23°u Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθη ματικής Παιδείας ΕΜΕ, Πάτρα 2006, l Ο l -1 07 .

H - D . Cao - Χ . - Ρ . Zhu: Α complete proof of the Poίncare and the geometrίzatίon conjectures -applίcatίon of the Hamίlton-Perelman theorey of the Rίccί jlow, Asian J. Math. l O (2) 2006, 1 65-492. Reνised: December 2006.

Clay Mathematics Institute : The Poίncarέ Conjecture, www .claymath .org.

J . Milnor: Towards the Poίncarέ Conjecture and the classfficatίon of 3-manifolds, Notices Amer. Math. Soc. 50 ( 1 0) Noνember 2003 .

J .W. Morgan - G. Πan : Rίccίjlow and the Poίncarέ Conjecture, www. arxiν.org/abs/math . DG/0607607, July 2006.

G . Perelman : The entropy formula for the Rίccί jlow and ίts geometrίc applίcatίons, www.arxiν.org/abs/math . DG/02 1 1 1 59 , Nov. 2002 .

G. Perelman: Rίccί jlow wίth !lurgery on three-

man!folds, www.arxiv.org/abs/math .DG/0303 1 09, March 2003 .


�ωωqJLJJωιsgm� [jJO(]J 'iJ[jfιY !iJ() 'ίJcfJ�[j] [j(J)� iJflJ[fj(jιf"tlJ

! ; , , Ρ l) -

Ζαχαρόπουλος Κωνσταντίνος, Καραγκούνης Δημήτρης

Να βρεθεί το είδος των ριζών των παρακάτω εξισώσεων: α) αβχ2 + (3α2 + β2)χ + 2β2 + 6α2 - 4αβ = Ο (1 ) β) αβγ2χ2 + 3α2γχ+ β2γχ + 2β2 + 6α2 - 4αβ = Ο (2)

α) Βρίσκουμε τη διακρίνουσα της ( Ι ) εξίσωσης.

Δ = (3α2 + β2)2 - 4αβ· (2β2 + 6α2 - 4αβ)= = 9α4 + β4 + 6α2β2 - 8αβ3 - 24α3β + Ι 6α2β2 = =9α4 + β4 + Ι 6α2β2 - 8αβ3 + 6α2β2 - 24α3β =

=(3α2)2 + (β2)2 + (4αβ)2 - 2 ·β2 -4αβ + + 2 ·3α2 · β2 - 2 ·3α2 ·4αβ =

=(-3α2 - β2 + 4αβ)2 � Ο, ( 1 ) συνεπώς η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές . β) Η εξίσωση (2) γίνεται: αβγ2 χ2 + (3α2γ + β2γ)χ + 2β2 + 6α2 - 4αβ = Ο

•

Βρίσκουμε τη διακρίνουσα της (2) εξίσωσης. Δ = (3α2γ + β2γ)2 - 4αβγ2 · (2β2 + 6α2 - 4αβ) = =γ2(3α 2 + β2)2 - 4αβγ2 · (2β2 + 6α2 - 4αβ) = =γ2 · [(3α2 + β2)2 - 4αβ· (2β2 + 6α2 - 4αβ)] και από την ( 1 ) του (α) έχουμε =γ2 · (-3α2 - β2 + 4αβ)2� Ο, συνεπώς η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές .

Να βρείτε τις τιμές του χ ε R για τις οποίες α-

λ θ , , I xz - χ + 5 1 ι η ευει η ανισωση < .

5χ - 3

Γνωρίζουμε ότι: χ 2 - χ + 5 χ 2 - χ + 5 ι---- ι < Ι <=> - Ι < < Ι 5χ - 3 5χ - 3

με 5χ - 3:;t:O δηλαδή , χ :;t: i . 5

Συνεπώς χ 2 - χ + 5 > - Ι (1 ) 5χ - 3

ή χ2 - χ + 5 < Ι (2) 5χ - 3

Η ( Ι ) γίνεται: x

z - χ + 5 Ι Ο xz - χ + 5 + 5χ - 3 Ο ---+ > <::::> > <=>

5χ - 3 5χ - 3 χ2 + 4χ + 2 2 --- > 0<::::> (5χ - 3)(χ + 4χ + 2) > 0 (3)

5χ - 3 Βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου

χ2 + 4χ + 2 . Δ = β2 - 4αγ = 42 - 4·2 = 8 , άρα J8 = 2J2 .

-4 + 2J2 = -2 + J2 -β ± JΔ / 2 , Χ ι ,2 = =\. η 2α -4 - 2J2 r;; ---= -2 - ν2

2 Το τριώνυμο χ2 + 4χ + 2 είναι θετικό, δηλαδή ομόσημο του α = Ι αν χ < -2 -J2 ή χ >-2 + J2 .

Επίσης 5χ - 3 > Ο <::::> χ > i . 5

Το πρόσημο της σχέσης (3) προκύπτει από τον παρακάτω πίνακα:


-------------Μαθηματικά για την Α ' Λυκείου -------------� -·

3 χ -00 -2-.Jl -2+'.[2 5 +οο

I 5χ-3

χ2+4χ+2

Γινόμενο ---- - - · - · - - -

-+ ---

I - I -6 - 6

τ +

b + b -I I

Συνεπώς η σχέση (3) αληθεύει για χ

+

+

+

ε (-2 -h,-2 + h) u (� , +oo) (I)

Η (2) γίνεται : χ2 - χ + 5 1 ο χ2 - χ + 5 - 5χ + 3 ο

--- - < <::::> < <=>

5χ - 3 5χ -3 χ2 - 6χ + 8 2 ---<0 <::::> (5χ - 3)(χ - 6χ + 8)<0 (4)

5χ - 3 Βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου

χ2 - 6χ + 8 . Δ = β2 - 4αγ = 62 - 4· 8 = 36 - 34 = 4.

χ = 4 -β ± ν'Δ /' I χ - = 1 ,2 - 2α \.ι

Χ2 = 2 Το τριώνυμο χ2 - 6χ + 8 είναι θετικό, δηλαδή ομόσημο του α = 1

αν χ < 2 ή χ > 4.

Επίσης 5χ - 3 > Ο <::::> χ > � . 5

Το πρόσημο της σχέσης (4) προκύπτει από τον παρακάτω πίνακα:

I · · · · - ·· -··

χ

5χ-3

χ2+6χ+8

Γινόμενο

3 -00 5 - +

+ + - +

2 4 I

+οο :

I + I + i I I

? - ? + i

b 6 + I -' I · - !� - - - �

Συνεπώς η σχέση ( 4) αληθεύει για

χ ε ( -οο, �) υ ( 2, 4) ( 11 )

Από τις ( Ι ), ( 11 ) η χ 2 - χ + 5 < 1 αληθεύει ό-

5χ - 3

ταν

-2+-12 -2--12 ο 3 2 4 5 Δηλαδή χ ε (-2 -h,-2 + h) υ (2, 4)

:.; χ2 + 2χ - 1 1

δ Να δειχθεί ότι το κλάσμα ( ) εν μπο-2 χ - 3

ρεί να λάβει τιμές μεταξύ του 2 και 6, όταν το χ είναι πραγματικός αριθμός.

Θεωρούμε ότι το κλάσμα λαμβάνει τιμές μεταξύ του 2 και του 6 δηλαδή ,

2 < χ 2 + 2χ - 1 1 < 6, 2(χ - 3 )

με χ * 3 τότε θα καταλήξουμε σε άτοπο.

Α) 'Ε χ 2 + 2χ - 1 1 6 στω < <=>

2(χ - 3)

χ 2 + 2χ - 1 1 6 ο <=> -

< <=>

2(χ - 3)

χ2 + 2χ - 1 1 - 1 2(χ- 3) ο Χ2 - 1 0χ+ 25 <=> < <::::> � <::::> 2(χ- 3) 2(χ- 3)

2(χ - 3)(χ2 - l Ox + 25) < Ο<::::> 2(χ - 3)(χ - 5)2 < ο (1 )

Β) 'Ε χ 2 + 2χ - 1 1 2 στω > <=>

2(χ - 3)

χ 2 + 2χ - 1 1 2 ο χ2 + 2χ- 1 1 - 4(χ- 3) ----

- > <=> > Ο 2(χ - 3) 2(χ- 3 )

χ 2 - 2χ + 1 <::::> <::::> 2(χ - 3)(χ2 - 2χ + 1 ) >Ο

2(χ - 3) <=>

2(χ - 3)(χ - 1 )2 > ο (2) Από τις σχέσεις ( 1 ), (2) προκύπτει το σύστημα: {2(χ - 3)(χ - 5)2 <0

2(χ - 3)(χ - 1)2 > 0 για να καταλήξουμε σε άτοπο αρκεί να δείξουμε ότι το σύστημα είναι αδύνατο . {2(χ - 3)(χ - 5)2 <ο <=>

2(χ - 3)(χ - 1)2 > 0 { (χ - 3) <Ο, διότι (χ-5)2 �Ο <=> {χ < 3 (χ - 3) > Ο, διότι (χ- 1 )2 �Ο χ > 3

Πράγματι το σύστημα είναι αδύνατο συνεπώς το κλ ' χ2 + 2χ - 1 1 δ ' λ ' β ' ασμα

( ) ε μπορει να α ει τιμες με-

2 χ - 3 ταξύ του 2 και του 6 .


-------------Μαθηματικά για την Α ' Λυκείου -------------

Ν α βρεθούν οι τιμές του λ ε R ώστε το τριώνυμο g(x) = 5(2λ - 1)χ2 + χ - 1 να γράφεται ως: α) Γινόμενο ενός αριθμού επί ενός τέλειου τετραγώνου. β) Γινόμενο ενός αριθμού επί μιας διαφοράς δύο πραγματικών παραστάσεων. γ) Γινόμενο ενός αριθμού επί ενός αθροίσματος δύο τετραγώνων πραγματικών παραστάσεων.

Γνωρίζουμε ότι αν σε ένα τριώνυμο f(x) = αχ2 + βχ + γ, με α ::j::. Ο ισχύει Δ = Ο τότε αυτό

γράφεται στη μορφή f(χ) = α{ χ + :α )

2

Βρίσκουμε τη διακρίνουσα του τριωνύμου g(x) = 5(2λ - 1 )χ2 + χ - 1

Δ = 40λ - 1 9 .

Αρκεί Δ = Ο οπότε, 40λ - 1 9 = Ο � λ = ..!2_ . 40

, Γνωρίζουμε ότι αν σε ένα τριώνυμο f(x) = αχ2 + βχ + γ, με α ::j::. Ο ισχύει Δ > Ο τότε αυτό γράφεται στη μορφή

�χ) � α{( χ + tα )' - (�η

Η διακρίνουσα του τριωνύμου g(x) είναι Δ = 40λ - 1 9, αρκεί λοιπόν Δ > Ο οπότε,

40λ - 1 9 > ο � λ > ..!2_ . 40 Γνωρίζουμε ότι αν σε ένα τριώνυμο

f(x) = αχ2 + βχ + γ , με α ::j::. Ο ισχύει Δ < Ο τότε αυτό γράφεται στη μορφή

�χ) � α {( χ + tα )' + (�η

Η διακρίνουσα του τριωνύμου g(x) είναι Δ = 40λ - 1 9, αρκεί λοιπόν Δ < Ο οπότε,

40λ - 1 9 < ο � λ < ..!2_ . 40

Δίνεται το σύστημα {(λ - 1)χ + 2λy = -2 Σ· 2λχ + (λ - 1)y = λ - 1

και D η ορίζουσα των συντελεστών. Αν η εξίσωση χ2 + 5(D - 1)χ - 6(D - 1)2 = Ο έχει μία διπλή ρίζα. α) Να βρείτε τον συντελεστή λ. β) Να λυθεί το σύστημα . α) Η εξίσωση χ2 + 5(D - 1 )χ - 6(D - 1/ = Ο έχει μία διπλή ρίζα συνεπώς, Δ = Ο => [5(D - 1 )]2 + 4·6(D - 1 )2] = 0 � 25(D - 1 )2 + 24(D - 1 )2 = Ο � 49(D - 1 )2 = ο� D - 1 = 0 � D = 1 ( 1 )

. ιλ - 1 2 λ 1 2 2 Επισης D = 2λ λ _ 1

= (λ - 1 ) - 4λ =

=λ2 - 2λ + 1 - 4λ2 = -3λ2 - 2λ + 1 . (2) Από τις σχέσεις ( 1 ) και (2) προκύπτει ότι:

-3λ2 - 2λ + 1 = 1 � -3λ2 - 2λ = Ο � 3λ2 + 2λ = ο � λ(3λ + 2) = ο�

λ = ο ή 3λ + 2 = ο� λ = ο ή λ = - � 3

β) Για λ = Ο το σύστημα γίνεται: {-χ = -2

{χ = 2 Σ : � -y = -1 y = 1

Άρα η λύση του συστήματος είναι : (χ, y) = (2, 1 ) . Γ λ 2 . . ια = -- το συστημα γινεται:

3 { 5 4 --x - -y = -2 3 3

{-5x - 4y = -6 Σ : � �

4 5 5 -4x - 5y = -5 --x - -y = --3 3 3

4 · {5x + 4y = 6

-5 · 4x + 5y = 5 (3) (4)

{20χ + 1 6y = 24 πρόσθε�ατά μέλη

-20χ - 25y = -25

1

1 -9y = -1 � y = -9

Για y = - η σχέση (3) γίνεται: 9

1 50 1 0 5χ + 4 ·- = 6 � 5χ = - � χ = - . 9 9 9

Ά λ . . . ( ) (1 0 1 ) ρα η υση του συστηματος ειναι: χ, y = "9'9" .

;;.σκη ση 6 Δίνονται οι εξισώσεις :


-------------Μαθηματικά για την Α ' Λυκείου -------------

χ2 - ιΟDχ·χ + 25·D/ = Ο (ι) και y2 - 8α·Dy·y + ι6α2·D/ = Ο (2)

με α Ε R * . Έστω ότι το ζεύγος (χ, y) με χ, y >Ο είναι η μοναδική λύση ενός συστήματος ευθειών τότε : α) Να υπολογίσετε την ορίζουσα D του συστήματος και να βρείτε τον α Ε R * . β) Αν η λύση του συστήματος έχει μορφή (χ, y) = (β, β) όπου Ρ Ε R: να βρείτε τις ορίζουσες Dx , Dy συναρτήσει του Ρ Ε R: .

γ) Να λύσετε την εξίσωση

(D2 - ι )χ4 - 2D2x2 + _!__ = Ο 25 και να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό Ρ .

α) Αφού το σύστημα έχει μοναδική λύση ισχύει D Q

Βρίσκουμε τις λύσεις της εξίσωσης (ι) οπότε: χ2 - 1 0Dx·x + 25 ·D/ = Ο <=>

χ2 - 2 ·5 ·Dx ·x + (5 ·Dx )2 = Ο <::::> (χ - 5Dx)2 = Ο <::::> Χ - 5Dx = Ο <::::> Χ = 5Dx .

Σ ' Dx 1 Ο υνεπως - =- με χ χ 5

οπότε : D = Dx = ..!_ . (3) χ 5

Βρίσκουμε τις λύσεις της εξίσωσης (2) οπότε: y2 - 8α·Dy-y + 1 6α

2 ·D/ = Ο <=> <=> y2 - 2 ·4 ·α·Dy·y + (4αDy)

2 = Ο<::> <=> (y - 4·α·Dy)

2 = Ο <=> y - 4·α·Dy <=> y = 4·α·Dy . D 1 Συνεπώς _Υ =- με y Ο οπότε: y 4α

DY 1 D = - =- (4) y 4α

Από τις σχέσεις (3) , (4) τα πρώτα μέλη είναι ίσα άρα και τα δεύτερα οπότε :

1 1 5 - = - <=> 4α = 5 <=> α = - . (5) 5 4α 4

β) Επειδή (χ, y) = (β, β) η μοναδική λύση του συστήματος προκύπτει ότι:

χ = � => β = � <=> β = 5D <=> D = � και D 1 χ χ 5

5

Υ = DY => β = DY <=> β = 5D <=> D =� . D 1 Υ Υ 5

5

γ) (D2 - 1 )χ4 - 2D2x2 + ;5 = Ο,

θέτουμε χ2 = u (6) οπότε η εξίσωση γίνεται:

2 2 2 1 1 (D - 1 )u - 2D u + -= Ο και για D = -25 5

προκύπτει:

(-1 - 1)u2 -�u +-1 = Ο <=> 25 25 25

- 24 u2 - �u +-1 = 0 <::> 24u2 + 2u - 1 = 0 . 25 25 25

Βρίσκουμε τη διακρίνουσα Δ = 4 + 96 = 1 00 >0.

Οι ρίζες της εξίσωσης είναι: u ι -2 + 1 0 8 =- = -48 48 6

ή -2 - 1 0 - 1 2 1 u2 = = - = --48 48 4

Οπότε από τις σχέσεις ( 6),(7),(8) ισχύει ότι :

απορρίπτεται

2 1 2 1 χ = - ή χ = --6 4

(7)

(8)

2 1 1 .J6 χ = - <=> χ = -=- ή 1 .J6 6 .J6 6

χ = - - = - --16 6 απορρίπτεται διότι x,y ε R: Επειδή (χ, y) = (β, β) με β ε R: η λύση του συ-, ' ( ) (.J6 .J6) '

β .J6 στηματος ειναι χ, y = -,- αρα = - .

6 6 6

Δίνεται η εξίσωση χ2 - �αχ + i = Ο . 3 9

Α ν η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι ίση με ι :

α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α. β) Για τις τιμές του α που βρήκατε να δείξετε


--------------Μαθηματικά για την Α ' Λυκείου --------------

ότι η συνάρτηση 2 5 4

f(x) = χ - -αχ + -3 9 εκφράζει δύο παραβολές.

γ) Να βρείτε τα μέγιστα ή τα ελάχιστα των δύο παραβολών. δ) Να βρείτε τους άξονες συμμετρίας των δύο παραβολών και πόσο αυτοί απέχουν μεταξύ τους. ε) Να σχεδιάσετε τις παραβολές και να βρείτε την ευθεία που εφάπτεται συγχρόνως και στις δύο.

. 5 4 α) Εχουμε χ2 - -αχ +-= Ο . 3 9 ( 5 J2 4 Δ = 1 => 3α - 4 · 1 · 9" = 1

<::::> 25 α2 _ � = 1 <::::> 9 9 25 α2 = 1 +

�<=>

9 9 25 2 25 2 -α =-<=> α = 1 <::::> α = ± 1 9 9

β) Η f(x) = χ2 - �αχ + _i εκφράζει δύο παραβο-3 9

λές. Για α = 1 προκύπτει: f1 (x) = χ2 - �χ + _i .

3 9 Για α = - 1 προκύπτει: f2(x) = χ2 +

�χ + _i .

3 9 γ) Οι συναρτήσεις f1 , f2 παρουσιάζουν και οι δύο ελάχιστα διότι ο συντελεστής των μεγιστοβαθμίων όρων τους είναι το 1 .

5 Η f ' λ ' - -β 3 5 1 εχει ε αχιστο στο χ 1 - - = - =- με 2α 2 6

-Δ - 1 fi (X I ) = -=- . 4α 4

5 Η f ' λ ' - -β

-3 5 2 εχει ε αχιστο στο χ2 - 2α

=Τ= -6 με -Δ - 1 f2(x2) = -=- . 4α 4

δ) Οι άξονες συμμετρίας για τις f1 , f2 είναι οι αντί-' θ Ι θ , 5 στοιχες κα ετες στον χ χ ευ ειες χ 1=6" και χ2 =

5 6

Οι δύο κάθετες ευθείες απέχουν μεταξύ τους απόσταση

d(x 1 , χ2) = Ιχ 1 - χ2 Ι = li - ( �JI = � 1� � = 1�

ε) Βρίσκουμε τα σημεία που τέμνει τον άξονα χ 'χ 2 5 4 η f1 (χ) = χ - -χ + -

3 9 2 5 4 f1 (χ) = Ο � χ - -χ + - = Ο οπότε

3 9

/'

5 - + 1 _3 - =

.i 2 3

χ -1 ,2 - \, 5 - - 1 ή

_3 - =_!_

2 3

άρα η f1 τέμνει τον χ 'χ στα σημεία Α = (�, Ο J και Β = (� , Ο J

Βρίσκουμε τα σημεία που τέμνει τον άξονα χ 'χ η 2 5 4 f2(x) = x + -χ + - .

3 9 2 5 4 f2(x) = Ο � χ +- χ + - = Ο οπότε

3 9 5 -- + 1

_3_ = - -

2 3 /' Χ 1 ,2 = \, 5

ή -- - 1

_3_ = _ _i 2 3

άρα η f2 τέμνει τον χ 'χ στα σημεία Γ = ( -i ,o J και Δ = ( -� , 0 J

4 Για χ = Ο προκύπτει ότι f1 (0) = f2(0) = - οπότε οι 9

f1 ,f2 τέμνουν τον άξονα y 'y στο σημείο αντιστοί-χως Ε ( O,�J .


--------------Μαθηματικά για την Α' Λυκείου --------------

χ=5/6 / Cπ

\ / 1 /� l/3 4/} -8 -6 -4 -2 ι ι 2

-2

-4

-6

-8

Η ευθεία που εφάπτεται συγχρόνως και στις δύο παραβολές είναι η παράλληλη στον χ 'χ που περνά από τα ελάχιστα των δύο παραβολών και είναι η

1 y = -- . 4

8. Να λυθεί το σύστημα:

ι: - λ �ι = Ο ι; �ι = λ4

Το σύστημα γράφεται: {λ (χ - λ ) - y = Ο λχ - y = λ2 (Σ )� � 4 χ - λy = λ4 χ - λy = Λ

Ιλ - 1 ι D = 1 λ = ( 1 - λ ) ( 1 + λ) λ2 - 1 D = = J3 (λ - 1 ) χ λ4 λ

λ λ2 DY = 1 λ4 = λ2 (λ - 1 ) (λ2 + λ + 1 )

D = Ο � λ = 1 ή λ = - 1

Ι) Α ν λ * 1 και λ::F- 1 τότε το (Σ) έχει μοναδική λύση την

D J: χ =-χ = ---D 1 + λ D Υ λ2 ( λ2 + λ + 1 ) y =o = 1 + λ

11) Αν λ= 1 , τότε το (Σ) γίνεται:

: = � : �} � {χ�:� 1} � {χ::� 1} � {Υ : :· κκ+ε1 �}

δηλ. έχει άπειρες λύσεις της μορφής (χ, y)=(κ+ 1 , κ) με κ ε � .

111) Αν λ=- 1 , τότε το (Σ) γίνεται: -χ - Υ = 1} χ + y = 1 � Ox + Oy = 2

δηλαδή είναι αδύνατο.

9. Να λυθεί το σύστημα: χ - 1 3

-- - -y + 2 4 2y - 1 ι --=-ω - 1 3

� = 2 χ + 1

Για να ορίζονται οι εξισώσεις του συστήματος, πρέπει να ισχύει: yi--2, ω i-1 , xi-- 1 Το σύστημα παίρνει τη μορφή :

{4x - 3y = 1 0 6y - ω = 2 2χ - ω = -2

Τώρα πολλαπλασιάζοντας την Τρίτη εξίσωση με ( - 1 ) και προσθέτοντας στη δεύτερη γίνεται:

{�;::�;��l 2χ - ω = -2 J

{4χ - 3y = 1 0 Διαιρούμε τη 2η εξίσωση με 2 � -χ + 3y = 2

2χ - ω = -2 Αν πολλαπλασιάσουμε τη δεύτερη εξίσωση με 4 και την προσθέσουμε στην πρώτη , τότε το τελευταίο σύστημα θα γίνει ισοδύναμο με το :

{9y = 1 8 {Υ = 2 -x + 3y = 2 � -x + 3y = 2 �

2χ - ω = -2 2χ - ω = -2

{y = 2 χ = 4 � 2χ - ω = -2

y = 2 χ = 2 χ = 4 ω = l Ο

Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση (χ, y, ω)= (4, 2, 1 0)

10. i) Να λυθεί η ανίσωση -2< χ2-2χ-3:55 ίί) Να ερμηνευτούν γραφικά οι λύσεις της παραπάνω ανίσωσης

ΕΥΚΛΕ ΙΔΗΣ Β' τ.3/3 1


Λύση i) Έχουμε -2< χ2-2χ-3:::;5 {χ2 - 2χ - 3 > -2 {Χ2 - 2χ - 1 > 0 ( 1 ) <:::::>

χ2 - 2χ - 3 � 5 <:::::>

χ2 - 2χ - 8 � 0 (2 ) • Λύνοντας την ( 1 ) έχουμε: Δ=β2 -4αγ=8>0

-β ±ΓΔ

= 2 ±../8

.,....._ {χ ι = 1 +Ji χ ι .2 .......,.. 2α 2 χ2 = 1 -

Ji

χ Ι --{2 Ι +νl I 2 + Ο ι - 01 l x -2x- l

. I I + I Οι λύσεις είναι χ < 1 - Ji ή χ > 1 + Ji

ο Λύνοντας τη (2) έχουμε : Δ=36 2 ± 6 {Χ ι = 4 χ =--<:::::> ι ,2 2 χ2 = -2

g;c·-�2-� -+

Οι λύσεις της (2) είναι -2:-::;χ:-::;4 Επομένως οι λύσεις της αρχικής (δοθείσας) ανίσωσης είναι οι κοινές λύσεις των ( 1 ) και (2)

Δηλαδή l-2 � x < 1 -J2 ή 1 +

Ji < χ � 4 1

ii) Για τη γραφική λύση της ανίσωσης κάνουμε τις γραφικές παραστάσεις της παραβολής y=x2-2x-3 και των ευθειών y=-2, y=5 .

5 y=5

4

( 1 ,-4)

Οι λύσεις της ανίσωσης είναι οι τετμημένες των σημείων της παραβολής που βρίσκονται μεταξύ των ευθειών y=-2, y=5 .

Δηλαδή : l-2 � x < 1 -J2 ή 1 + Ji < x � 4 1

1 1 . Να βρείτε τις τιμές του λΕR για τις οποίες η aνίσωση (λ+2)χ2-2λχ+3λ<Ο με /..;:f:.-2 να αληθεύει για όλες τις πραγματικές του χ.

Λύση Θα πρέπει να ισχύουν {Δ < Ο <:::::> {4λ2 - 1 2λ2 - 24λ < Ο λ + 2 < 0 λ + 2 < 0

<:::::> {-8λ2 - 24λ < ο <:::::> {λ2 + 3λ > ο <:::::> {λ (λ + 3) > ο λ + 2 < 0 λ < -2 λ < -2

Οι τιμές του λ φαίνονται στο παρακάτω σχήμα

-3 -2 ο

Άρα λ<-3 .

12χ2 - χ + 2 1 1 2. Ν α λυθεί η aνίσωση 2 � 1

χ - 2χ Λύση Η ανίσωση ορίζεται για χ2-2 χ *Ο <:::::> χ(χ-2) *0<=> χ *Ο και χ *2 . Και επειδή 2χ2-χ+2>0 για κάθε χ Ε IR λόγω Δ=-1 5<0 έχουμε: 12χ2 - χ + 2 1 2χ2 - χ + 2

2 � Ι <=:> 2 � 1 <:::::> χ - 2χ χ - 2χ 2χ 2 - χ + 2 - 1 > ο χ 2 + χ + 2 > ο <:::::> 2 - <:::::> 2 -χ - 2χ χ - 2χ

<:::::> ( χ2 + χ + 2) . ( χ2 - 2χ ) � ο <:::::> <:::::> χ 2 - 2χ � ο <:::::> χ ( χ - 2) � ο

Αφού χ 2 + χ + 2 > Ο για κάθε χ Ε IR .

Άρα οι λύσεις δίνονται στο παρακάτω σχήμα

ο 2

Αυτές είναι χ<Ο ή χ>2



Εγγεγραμμένα σχήματα- αναλογίες -ομοιότητα

IJl ρόλογος : Θα προσπαθήσουμε να παρουσιάσουμε μέσα από ένα παράδειγμα τη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων που αναφέρονται στα κεφάλαια εγγεγραμμένα σχήματα - αναλογίες - ομοιότητα. Αυτό πιστεύουμε ότι μπορεί να γίνει με μια μεθοδολογική σκέψη, η οποία θα συνδέει με σωστό τρόπο τα δεδομένα προς τα ζητούμενα. Γι' αυτό και σε ορισμένες ασκήσεις έχουμε γράψει και μια σκέψη ώστε να είναι εύκολο να προσανατολιστεί κανείς προς την ιδέα αυτή .

;j . . · , , Έστω το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και τα σημεία Κ, Λ, Μ, τέτοια ώστε τα Κ, Μ να βρίσκονται προς το ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζει η ΑΒ, ενώ το Λ στο άλλο, όπως δείχνει το σχή-

Λ Λ Λ

μα. Α ν ισχύει ΑΚΒ = ΑΜΒ = 1 80° - ΑΛΒ τότε τα Α, Β, Κ, Λ, Μ θα είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο.

κ Μ

Λ /\τrόΛ � _ -·

Το τετράπλευρο ΚΑΛΒ είναι εγγράψιμο σε κύκλο Λ Λ

Cι αφού οι 2 απέναντι γωνίες ΑΚΒ, ΒΛΑ είναι παραπληρωματικές. Τα σημεία Μ και Κ βλέπουν την ΑΒ υπό την ίδια γωνία. Άρα το σημείο Μ θα είναι είτε σημείο του κύκλου C 1 , είτε σημείο του συμμετρικού του κύκλου C1 προς τον φορέα της ΑΒ (έστω C2). Όμως επειδή τα Κ, Μ βρίσκονται προς το ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζει η ΑΒ, το σημείο Μ θα είναι σημείο του κύκλου C1 • Άρα τα Α, Β, Κ, Λ, Μ θα είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο.

Παραηjρ ιίf"'i · Ισχύει και το αντίστροφο της πρότασης αυτής. Η απόδειξη προκύπτει εύκολα από τον ορισμό των εγγεγραμμένων τετραπλεύρων.

Χρήστος Κανέλλος

ορθόκεντρου ενός εγγεγραμμένου τριγώνου ως προς άξονα τον φορέα οποιασδήποτε πλευράς του, ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο.

Α ... -- - - -. ·-

/ Γ

Α '

: Πολλές φορές κάνουμε κατασκευαστική απόδειξη, που σημαίνει ότι χρησιμοποιούμε το ζητούμενο σαν δεδομένο κι ταυτίζουμε το δεδομένο με αυτό που προκύπτει. Ένα τέτοιο παράδειγμα μπορούμε να δούμε στην άσκηση αυτή .

Έστω το εγγεγραμμένο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Α Τ το ύψος που αντιστοιχεί στη κορυφή Α. Προεκτείνω την Α Τ και έστω ότι τέμνει τον κύκλο στο Α ' . Θεωρώ το συμμετρικό σημείο Η του Α ' ως προς την ΒΓ. Θα δείξω ότι το Η είναι ορθόκεντρο του τριγώνου. Φέρνω την ΒΗ και έστω ότι τέμνει την ΑΓ στο Σ. Τα τρίγωνα ΗΤΒ και Α 'τΒ είναι ίσα (Α 'τ=ΤΗ από κατασκευή , ΒΤ κοινή, ΗΤΒ = A'i'B = 90° ) , άρα ΤΒΗ = Α 'ΒΤ = ω . Επειδή οι γωνίες Α 'Ar, Α 'ΒΤ είναι εγγεγραμμένες

.-.

στον ίδιο κύκλο και βαίνουν στο ίδιο τόξο Α ' Γ , θα είναι ίσες μεταξύ τους, άρα και ίσες με ω. Δη-λαδή από το τρίγωνο Α ΤΓ η γωνία AfT θα είναι 90° -ω. Άρα από το τρίγωνο ΒΣΓ θα έχω : ΒΣΓ + AfT + ΓΒΣ = 1 80° δηλαδή ΒΣΓ + 90° - ω + ω = 1 80° . Οπότε ΒΣΓ = 90° . Επομένως το ΒΣ είναι ύψος του τριγώνου ΑΒΓ. Αφού οι φορείς των υψών ΑΓ και ΒΣ τέμνονται στο Η, το Η είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ.

\. 1 ' !� "z c \ �,; t: \lff η : Θέλω να αποδείξω ότι το συμμετρικό του σημείου Η ως προς την ευθεία ΒΓ θα είναι σημείο του κύκλου. Ισοδύναμα μπορώ να αποδείξω ότι το σημείο Τ βρίσκεται στο μέσο του ευθύ-



γραμμου τμήματος ΗΑ ' , δηλαδή ότι τα τμήματα ΤΗ,ΤΑ ' είναι ίσα κάτι που με ωθεί στο να χρησιμοποιήσω το εργαλείο της ισότητας τριγώνων. Λύση Έστω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου . Προεκτείνω την ΗΤ και έστω ότι τέμνει τον κύκλο στο Α · . Ε-πειδή οι γωνίες Α 'ΒΓ, Α 'ΑΓ είναι εγγεγραμμένες στον ίδιο κύκλο και βαίνουν στο ίδιο τόξο Α : Γ , θα είναι ίσες μεταξύ τους. Επίσης οι γωνίες Τ ΑΓ και ΗΒΓ έχουν τις πλευρές τους κάθετες και είναι και οξείες (ως γωνίες ορθογωνίων τριγώνων) . Άρα είναι ίσες, δηλαδή Τ ΑΓ = ΗΒΓ . Ακόμη τα τρίγωνα ΗΤΒ και Α 'ΤΒ έχουν κοινή πλευρά την ΒΤ και είναι ορθογώνια, άρα θα είναι τελικά ίσα, οπότε ΗΤ=Τ Α · . Άρα το Α· είναι συμμετρικό του Η ως προς την ΒΓ. Όμοια αποδεικνύεται ότι το συμμετρικό του Η ως προς τους φορείς των άλλων δύο πλευρών ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο.

Β ασικtΊ πρόταση : Να αποδειχθεί ότι αν έχουμε μια σειρά από ευθύγραμμα τμήματα τα οποία είναι παράλληλα ή βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε ο λόγος των μηκών των ευθυγράμμων αυτών τμημάτων ισούται με το λόγο των μηκών των προβολών τους.

Β

� Α Β ,

Δ

ε , LJZ

rz z, Ε Ε '

Μ ία σκέψη : Έστω ΑΒ, Γ Δ, ΕΖ τα ευθύγραμμα τμήματα (όπως φαίνονται στο σχήμα) . Κατ ' αρχήν η εκφώνηση μας οδηγεί στο να προβάλλουμε τα τμήματα πάνω στην ε. Η ισότητα λόγων που μας ζητείται να αποδείξουμε, μας παραπέμπει στις αναλογίες. Επειδή στο συγκεκριμένο πρόβλημα έχουμε και καθετότητα, το μυαλό μας πηγαίνει στην ομοιότητα ορθογωνίων τριγώνων. Με το σκεπτικό αυτό σχηματίζουμε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΒ 1 , ΓΔΓ' , ΕΖΕ' .

Απόδ ειξη : Έστω ότι έχουμε τα παράλληλα τμήματα ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ και την ευθεία ε και έστω ΑΒ 1 , Γ 1Δ 1 , Ε 1Ζ 1 οι προβολές τους στην ε αντίστοιχα. Έστω Γ' η προβολή του σημείου Γ στην ΔΔ 1 , Ε' η προβολή του σημείου Ε στην ΖΖ 1 . Οι γωνίες Β Α Β 1 , Δ fΓ, Ζ Ε Ε' , είναι ίσες μεταξύ τους σαν αξείες με πλευρές μια προς μια παράλληλες. Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΒ 1 , Γ ΔΓ' , ΕΖΕ' είναι όμοια μεταξύ τους οπότε οι πλευρές τους είναι ανάλογες, δηλαδή θα έχουμε

ΑΒ ΓΔ ΕΖ ΑΒ = ΓΓ ' = ΕΕ ' (Σ l ) .

I

Όμως ΓΓ'=Γ 1Δ 1 και ΕΕ'=Ε 1Ζ 1 (ως απέναντι πλευρές ορθογωνίων παραλληλογράμμων) άρα η σχέση

ΑΒ ΓΔ ΕΖ (Σ l ) γίνεται ΑΒ = Γ Δ = Ε z Ι I I I I

Μια σημαντική εφαρμογή του γεγονότος αυτού είναι η απόδειξη του Θεω ρ ή ματος του Μ ενελάο υ . Εδώ θα πρέπει βέβαια να λάβουμε υπ ' όψιν το αξίωμα του Pach σύμφωνα με το οποίο μια ευθεία είναι αδύνατο να τέμνει και τις τρεις πλευρές ενός τριγώνου σε εσωτερικά τους σημεία. Θεώ ρη μα Μ ενελάου : Εάν η ευθεία (ε) διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ και τέμνει τους φορείς των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ και Δ, Ε, Ζ

. ΖΒ ΕΓ ΔΑ αντίστοιχα, τότε ισχυει - - - = 1 . ΖΓ ΕΑ ΔΒ

Μ ία σ κέψη : Βλέποντας το σχήμα, παρατηρούμε ότι δεν διαπιστώνεται άμεσα ομοιότητα, άρα δεν μπορούμε να πάρουμε την ζητούμενη αναλογία από ομοιότητες. Η μονάδα μας προδιαθέτει για απλοποίηση αριθμητών-παρονομαστών. Όμως δεν μπορούμε να εργαστούμε με τα ευθύγραμμα τμήματα καθώς αυτά βρίσκονται σε διαφορετικούς φορείς. Άρα σκεπτόμαστε να προβάλλουμε τα σχήματα σε μια ευθεία. Επειδή τα Δ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά (ευθεία ε), προβάλλουμε όλα τα σημεία στην ευθεία ε ' που είναι κάθετη στην ε, έτσι ώστε η προβολή των Δ, Ε, Ζ να είναι το ίδιο σημείο . Κάτι τέτοιο θα απλοποιήσει την άσκηση και πιθανόν να μας οδηγήσει στο αποτέλεσμα

Απόδειξη Θ . Μ ενελάου : Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία ε η οποία τέμνει τους φορείς των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ στα Δ,Ε,Ζ αντίστοιχα. Θεωρώ την ε ' με ε Όlε και προβάλλω στην ε ' όλα τα σημεία. Έστω Ο η προβολή των Δ, Ε, Ζ, έστω Α' η προβολή του Α, Β ' του Β και Γ του Γ. Άρα, βασιζόμενοι



και στην προηγούμενη πρόταση θα έχουμε : ΖΒ ΕΓ ΔΑ ΟΒΌΓΌΑ ' ΟΑ 'ΟΒΌΓ ' ΖΓ ΕΑ ΔΒ = ΟΓ ' ΟΑ ' ΟΒ ' = ΟΑ 'ΟΒ 'ΟΓ ' = 1

Παρατ;jρηση : Ισχύει και το αντίστροφο του Θεωρήματος Μενελάου.

Ασκηση : Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Τ του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ με την ιδιότητα νΤΒ-μΤΓ=Ο, όπου μ,ν θετικοί ακέραιοι και σταθεροί. Έστω Σ τυχαίο σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ. Φέρνω παράλληλη από το Σ προς την Α Τ και έστω ότι αυτή τέμνει την ΑΒ στο Δ και την ΑΓ στο Ε. Να αποδειχθεί ότι μβΑΔ-νγΑΕ=Ο

ί I I /

Β Γ

ΤΓ ν Ισχύει ότι νΤΒ-μΤΓ=Ο=>νΤΒ=μΤΓ=> ΤΒ = μ ( 1 )

Σύμφωνα με το Θεώρημα του Θαλή θα έχω ΑΔ ΤΣ ΑΔ ΤΣ - = -=:>- = - (2)* και επίσης ΑΒ ΤΒ γ ΤΒ

ΑΓ ΤΓ β ΤΓ ΑΕ = ΤΣ => ΑΕ = ΤΣ (3)*

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις σχέσεις (2),(3) θα έχω τελικά: ΑΔ β ΤΣ ΤΓ ( ι) βΑΔ ΤΓ βΑΔ ν -- = -- =>-- = -=> -- = - => γ ΑΕ ΤΒ ΤΣ γΑΕ ΤΒ γΑΕ μ

μβΑΔ=νγΑΕ=> μβΑΔ-νγΑΕ=Ο Παρατιjρηση : Στην ειδική περίπτωση που μ=ν=l � το Τ είναι μέσο του Β Γ, παρατηρούμε ότι προκύ-

ΑΕ β πτει: ΑΔ = γ (*) Σημείωση: Για να γίνει πιο κατανοητό το πώς εφαρμόζεται το Θεώρημα του Θαλή και προκύπτουν οι σχέσεις (2), (3), μπορείτε να θεωρήσετε στην πρώτη περίπτωση την ευθεία ε 1 παράλληλη προς τις Α τ,ΕΣ τέτοια που να διέρχεται από την κορυφή Β και στην δεύτερη περίπτωση την ευθεία ε2 παράλληλη προς τις Α τ,ΕΣ τέτοια που να διέρχεται από την κορυφή Γ. Άσκηση : Θεωρούμε το τρίγωνο ΑΒΓ τέτοιο ώστε φέροντας το ύψος ΑΔ και τη διάμεσο ΑΜ, να έχουμε ΒΔ=ΔΜ. Φέρουμε από το Μ παράλληλη

προς την ΑΔ και έστω Ζ το σημείο που τέμνει την ΑΓ. Από το Ζ φέρνουμε παράλληλη προς τη ΒΓ και έστω Ε το σημείο τομής με την ΑΒ. Να απο-δ θ " ΑΕ 1 ει χ ει οτι -=- .

ΕΒ 2 Α

Μ ια σκέψη : Στην άσκηση αυτή πρέπει να αποδείξουμε ότι ένας λόγος ευθυγράμμων τμημάτων ι-σούται με _.!._ . Και επειδή έχουμε και παράλληλες 2 ευθείες, διαφαίνεται ότι το θεώρημα του Θαλή θα μας χρησιμεύσει στη λύση της άσκησης. Λύση : Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Θαλή στο τρίγωνο ΑΒΓ, καθώς έχουμε ΕΖ//ΒΓ, και παίρ-

ΑΕ ΑΖ -=- (1 ) νου με: ΕΒ ΖΓ

Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Θαλή στο τρίγωνο ΑΔΓ, καθώς έχουμε ΜΖ//ΑΔ, και παίρνουμε :

ΑΖ ΔΜ - = --ΖΓ ΜΓ Από τις σχέσεις ( 1 ), (2) παίρνουμε τελικά ότι

ΑΕ ΔΜ -=--ΕΒ ΜΓ 1 1

ΑΕ ΔΜ -ΒΜ -ΜΓ 1 Ά 2 2 ρα ΕΒ

= ΜΓ

= ΜΓ

= ΜΓ

= l .

(2)

Άσκηση : Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ με διαμέσους μα , μβ , μy και το τρίγωνο ΑΉ 'Γ με διαμέσους

Ι Ι Ι Α • • μα μβ μγ λ μα , μβ , μγ . ν ισχυει οτι -1 = -1 = -1 = να απο-μα μβ μγ

δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΉ 'Γ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ.

Α

Γ

κ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/35


Α '

Β '�μγ'··. Γ ' Κ'

Αφού έχουμε σαν δεδομένο μια αναλογία ευθυγράμμων τμημάτων, θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι τα ΑΒΓ και Α 'Β 'Γ ' έχουν τις πλευρές τους μία προς μία ανάλογες οπότε θα είναι και όμοια.

Έστω Δ και Δ ' τα βαρύκεντρα των τριγώνων ΑΒΓ και Α 'Β 'Γ ' αντίστοιχα. Κατασκευάζω τα παραλληλόγραμμα ΒΔΓΚ και Β ' Δ 'Γ ' Κ' . Παρατηρούμε ότι

2 ΒΚ ΓΔ 3μr μ1 και ΒιΚι = Γιι:i = -2- = -ι = λ

-μ/ μγ 3 γ

άρα τα δύο αυτά παραλληλόγραμμα είναι όμοια μεταξύ τους με λόγο ομοιότητας λ. Άρα οι διαγώνιοι των παραλληλογράμμων αυτών θα διατηρούν τον ίδιο λόγο ομοιότητας.

ΒΓ Συγκεκριμένα -1 -1 = λ . Β Γ

Όμοια αποδεικνύεται

ΑΒ

ΑΓ ότι ΑιΓι = λ και ότι

ΑιΒι = λ . Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α 'ΒΤ ' έχουν τις πλευρές τους μια προς μια ανάλογες οπότε είναι όμοια μεταξύ τους με λόγο ομοιότητας λ . .

Δοκιμάστε τις αντίστοιχες ασκήσεις με τις διχοτόμους και τα ύψη.

Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90° ) . Έστω ότι η διχοτόμος της γωνίας Β τέμνει το ύψος ΑΔ στο Ε. Από το σημείο Ε φέρουμε ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ. Αν Ζ το σημείο τομής της (ε) με την ΑΓ, να αποδειχθεί ότι ΑΕ=ΖΓ.

Α

Β Γ

· . Έχουμε να αποδείξουμε μια ισότητα ευθυγράμμων τμημάτων. Αφού δεν υπάρχουν ίσα τρίγωνα στο σχήμα, θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε την ισότητα, μέσω της ισότητας δύο λόγων με ίσους αριθμητές ή ίσους παρονομαστές. Τα ορθογώνια τρίγωνα και οι παράλληλες ευθείες που έχουμε στη συγκεκριμένη άσκηση, συντείνουν στο να αναζητήσουμε τη λύση στα όμοια τρίγωνα που σχηματίζονται και στις αναλογίες ευθυγράμμων τμημάτων.

Οι ευθείες (ε) και ΒΓ είναι παράλληλες, οπότε, εφαρμόζοντας το Θεώρημα του Θαλή παίρνουμε ότι

ΑΕ ΑΖ ( Ι ) ΕΔ ΖΓ

Στο τρίγωνο ΑΒΔ, η ΒΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Β . Θεωρούμε ΕΕ ' l_ ΑΒ . Προφανής ΕΕ '=ΕΔ (2) . Τα τρίγωνα ΑΕΈ και ΑΔΒ είναι όμοια ως ορθο-γώνια με κοινή την Ε 'ΑΕ . Επομένως θα έχουμε:

Άρα θα έχουμε

ΑΕ ' ΕΕ ' (2 ) ΕΔ -- = -- = -

ΑΒ ΒΔ ΔΒ

ΑΕ ΑΒ ΕΔ ΒΔ

Από ( 1 ) , (3) παίρνουμε ΑΒ = ΑΖ

ΒΔ ΖΓ

(3)

(4)

Παρατηρούμε ότι ΑΒΔ = ΖΑΕ , ως οξείες γωνίες με τις πλευρές τους μια προς μια κάθετες. Άρα συμπεραίνουμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΒ και ΖΕΑ είναι όμοια, οπότε θα έχουμε

ΑΒ ΑΖ ΒΔ ΑΕ

(5)

Από τις σχέσεις (4) και (5), παίρνουμε τελικά ότι ΑΕ=ΖΓ.

ι " Η σχέση (3) μπορεί να προκύψει επίσης από το Θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου ή τριγωνομετρικά από τον νόμο των ημιτόνων.


Α' Α8ΗΝΑΣ ΑΤτJΚΗ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΝΔΡΙΤΣΑΚΗ ΕΛΕΝΗ-ΑΝΝΑ ΕΚΠΙΡΙΑ ΒΥΖΑΝτιΟ

ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗ ΕΥΓΕΝΙΑ So ENIAIO Λ YKEIO Η Λ ΙΟΥΠΟΛΗΣ

'ΕΥ ΑΓΓΕΛΟΣ ΠΑΠΑΝΟΥΤΣΟΣ'

ΒΑΡΔΑΚΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ So ENIAIO Λ YKEIO ΒΥΡΩΝΑ

ΓΕΩΡΓΟΠΟΥ ΛΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΓΙΑΝΝΑΚΟΥ ΙΩΑΝΝΑ 4ο ENIAIO Λ YKEIO Η Λ ΙΟΥΠΟΛΗΣ

ΖΑΙΜΗ ΑΝΙΣΑ 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΚΑΡΡΑΣ ΜΑΝΟΣ Ι ο ΠΕΙΡ. NIAIO Λ YKEIO ΑΘΗΝΩΝ

ΚΑΡΥΣΑΚΛΗ ΕΛΠΙΣ MAPIA ι 6ο ENIAIO Λ YKEIO ΑΘΗΝΩΝ

ΚΟΜΙΑΝΟΣ ΝΙΚΟΣ 40ο ΕΝιΑIΟ Λ YKEIO ΑΘΗΝΩΝ

ΚΟΥΚΟΥ!'iΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΒΥΖΑΝτιΟ

KPIKA MAPIA ι ο ΠΕΙΡ. ΕΝιΑιΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΚΩΝΣΤΑΝΤΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΞΕ:>iΟΦΩ:"ό 9ο ΕΝΙΑιΟ Λ YKEIO ΑΘΗΝΩ'J

ΛΑΒΔΑ ΒΑΣΙΛΙΚΗ 4ο ΕΝιΑιΟ Λ γκειο Η Λ ιΟΥ ΠΟΛΗΣ

ΛΑΖΑΡΙΔΟΥ KATEPI:'\A 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΒΥΡΩΝΑ

ΛΑΜΠΡΟΥ ΔΗ:\ΙΗΤΡΑ 5Ίο ΕΝΙΑιΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΘΗ'JΩΝ

ΛΕΟΥΣΗ MAPIA ι 6ο ΕΝιΑιΟ Λ γ κ ε ιΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΣ Η.\ΙΑΣ 5Ίο ENIAIO Λ γκειο ΑΘΗΝΩΝ

ΠΑΠΑΔΑΚΗ :'\ΑΣΙΑ 5Ίο ΕΝιΑιΟ Λ γκειο ΑΘΗΝΩΝ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥ.\ΟΣ ΑΛΚΙΒΙΑΔΗΣ ι ο ΠΕΙΡ. ΕΝιΑιΟ Λ γκειο ΑΘΗΝΩΝ

ΠΑΠΑΛΟΥΚΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ι Ίο ΕΝιΑιΟ Λ γ κ ε ιο ΑΘΗ!'Ω!'i

ΠΑΣJQγ A:"i:'\A

ι 6ο ΕΝιΑιΟ ΛγΚΕIΟ ΑΘΗΙ'Ω!'i

ΠΕΡΠΙΝΙΑΣ ΣΤΡΑΤΟΣ ΛΕΟΝΤΕιΟ ΛΥΚΕιΟ ΠΑΤΗΣΙΩΝ

ΠΕΤΣΑΛΑΚΗΣ ΣΤΑΥΡΟΣ ι 4ο ENIAIO Λ γ κ ε ι ο ΑΘΗ!'Ω!'i

ΠΟΛ ΥΖΟΣ ΟΡΕΣΤΗΣ 4ο ΕΝιΑιΟ Λ γκειο ΖΩΓΡΑΦQγ

ΡΑΙΛΗΣ ΚΩ:'\1:'\ΟΣ ι 6ο ENIAIO Λ ΥΚΕιΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΡΑΠΗΣ ΠΑΣΧΑΛΗΣ 38ο ΕΝιΑιΟ Λ γκειο ΑΘΗΝΑΣ

ΣΤΑΘΑΤΟΣ ΠΑ:'\ΑΓΙΩΤΗΣ 4ο ΕΝιΑΙΟ Λ YKEIO ΖΩΓΡΑΦΟγ

ΣΤ ΑΘΗΣ ΑΓΓΕΛΟΣ ι ο ΠΕιΡ. ΕΝ ιΑιΟ Λ YKEIO ΑΘΗΝΩΝ

ΤΣΑΡΠΑΛΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 2ο ΕΝιΑιΟ Λ γκειο Η Λ ιογΠΟΛΗΣ

ΦΑΣΟΥ ΛΑ ΑΛΙΚΗ 2ο ΕΝΙΑιΟ Λ γκειο ΚΑιΣΑΡιΑΝΗΣ

ΦΡΑΓΚΟΥΛΗΣ ΝΙΚΟΣ ι ο ENIAIO Λ γκειο Γ ΑΛΑΤΣΙΟΥ

ΧΑΤΖΗΑΝΤΩΝIΟΥ ΒΑΣΙΛΕIΟΣ ι 6ο ΕΝιΑIΟ Λ ΥΚΕιΟ ΑΘΗΝΩΝ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ 4ο ENIAIO Λ YKEIO Γ ΑΛΑ τΣΙΟΥ

ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ Λ ΕΟΝΤΕΙΟ Λ ΥΚΕιΟ ΠΑ ΤΗΣΙΩΝ

ΖΙΩΓΑΣ ΒΑΙΟΣ 4ο ENIAIO Λ ΥΚΕιΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΚΑΤΑΒΟΥΤΑΣ ΗΛΙΑΣ 4ο ΕΝΙΑιΟ Λ Υ Κ Ε ΙΟ Γ ΑΛΑ τΣIΟΥ

ΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ 54ο ENIAIO Λ YKEIO ΑΘΗΝΑΣ

ΜΠΑΡΜΠΑΛΙΑ ΕΛΕΝΗ-ΜΑΡΙΑ Λ ΕΟΝΤΕΙΟ Λ YKEIO ΠΑΤΗΣΙΩΝ

ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ ΝΙ ΚΟΛΑΟΣ ΛΕΟΝΤΕΙΟ Λ γκΕΙΟ ΠΑΤΗΣιΩΝ

ΡΟΜΠΟΥ ΒΑΙΑ-ΑΛΙΚΗ ι ο ΠΕιΡ. ΕΝιΑIΟ Λ ΥΚΕιΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΣΒΩΛΟΣ ΛΑΜΠΡΟΣ So ENIAIO Λ YKEIO ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΤΑ Υ ΛΑΚΗ ΧΡΥΣΑΝθΗ 3ο ΕΝιΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΑΦΝΗΣ

ΧΑΤΖΗΓΕΩΡΓΙΟΥ ΞΕΝΟΦΩΝΤΑΣ Π ΕΙΡ. ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠ. ΑΘΗΝΩΝ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΚΙ ΚΟ ΠΟΥ Λ Ι ΑΝΔΡIΑΝΑ 34ο ΕΝιΑΙΟ Λ YKEIO ΑΘΗΝΩΝ

ΚΑΒΑΖΗΣ ΠΑΣΧΑΛΗΣ 5Ίο ENIAIO Λ YKEIO ΑΘΗΝΩΝ

ΚΑΡΑΒΕΛΛΑΣ ΣΟΦΟΚΛΗΣ 2ο ΠΕΙΡ. ΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΑΘΗΝΩΝ

ΜΑΡΙΝΟΣ ΜΙΛΤΟΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΘΕΟΜΗΤΩΡ

ΜΗΛΟΥ ΛΗΣ ΣΤΑ ΥΡΟΣ ΕΚΠ/ΡιΑ ΘΕΟΜ ΗΤΩΡ

ΝΕΣΤΟΡΙΔΗ ΕΥΡΙΔΙΚΗ ΛΕΟΝΤΕΙΟ Λ YKEIO ΠΑ ΤΗΣΙΩΝ

ΝΕΣΤΩΡΑΣ ΛΑΜΠΡΟΣ ι 6ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕιΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΤΣΑΠΑΝΑΚΗΣ θΩΜΑΣ 26ο ENIAIO Λ YKEIO ΑΘΗΝΩΝ

ΦΩΤΟΠΟΥ ΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 4ο ENIAIO Λ γκΕιΟ ΒΥΡΩΝΑ

ΧΑΤΖΗΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ 43ο ENIAIO Λ YKEIO ΑΘΗΝΩΝ

Α' θΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΣ ΕΛΛΗΝ ΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝ ΙΚΗΣ

Α!ΙiΔΡΙΚΟΣ ΑΡΓΥΡΗΣ ΕΚΠ.'ΡιΑ Μ ΑΝΤΟΥ ΛιΔΗ Ε.

Α:>IΔΡΙ ΚΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΕΚΠΙΡΙΑ ΜΑ ΝΤΟ γ ΛΙΔΗ Ε.

A:>iTΩNIOY ΟΡΦΕΑΣ Ε ΚΠ.'ΡΙΑ ΜΑ ΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

ΑΡΕΤΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΕΚΠιΡιΑ ΜΑΝΤQγ ΛιΔΗ Ε .

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΟΥΣ Ν Ι ΚΟΣ ΑΠΟΗΟΛΟΣ Π Α γ ΛΟΣ

ΒΑΣΜΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΕIΟΣ-ΠΕΡΙΚ ΕΚΠιΡΙΑ Μ ΑΝΤQγΛιΔΗ Ε .

ΒΟΥΛΓΑΡΕΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΕΚΠιΡΙΑ ΜΑ ΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

ΒΡΟΧΙΔΗΣ ΠΑΡΗΣ I Oo ΕΝιΑΙΟ Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Γ AIT ΑΝΙΔΟΥ MAPIA ΕΚΠιΡιΑ ΜΑΝΤΟγΛιΔΗ Ε .

ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΧΡΗΣΤΟΣ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΤΡΙΑΝΔΡΙΑΣ

ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΓΙΕΧΑΣΚΙΕΛ ΗΛΙΑΣ ΑΜΕΡΙΚΆ Ν ι ΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΝΑΤΟΛΙΑ

ΓΚΑΝτJΔΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ 2ο ENIAIO ΠΕΙΡ. ΛΥΚΕΙΟ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΓΚΑΡ Α ΔΗΜΗΤΡΑ ΑΠΟΗΟΛΟΣ ΠΑ Υ ΛΟΣ

ΔΗΜΗΤΡΟΥΛΗ ΝΑΤΑΛΙΑ ΕΚΠΙΡιΑ ΜΑ ΝΤΟΥ Λ Ι Δ Η Ε .

ΔΟΥΓ ΑΝΙΩΤΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

ΔΟΥΡΑΛΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΑΠΟΗΟΛΟΣ Π Α γ ΛΟΣ

ΕΡΜΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΣ Ίο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ


ΖΑΦΕΙΡΑΚΟΓΛΟΥ ΑΡΙΣΤΗ ι Ίο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝ ιΚΗΣ

ΙΓΝΑ ΥΙΑΔΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΕΛΛΗΝ ΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝ ΙΚΗΣ

ΚΑΛΙΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΡιΣΤΟΤΕΛΕιΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΟΠΟΥ ΛΟΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ ΑΡΙΗΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ

ΚΑΡΑΜΑΝΛΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΗΣ ι Οο ENIAIO Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΚΑΡΠΟΥΖΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΣ 3ο ΕΝιΑΙΟ Λ ΥΚΕιΟ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ


ΚΑ ΥΣΟΥ ΛΕΑ ΕΛΕΝΑ-ΑΡΓΥΡΟΥ ΛΑ ΕΛΛΗΝ ΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝ ΙΚΗΣ

ΚΕΣΚΙΝΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛιΚΗ ΣΧΟΛΗ ΚΑΛΑΜΑΡΙ

ΚΙ ΡΥΣΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝΙΚΗΣ

ΚΟΤΑΝΙΔΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ Μ ΑΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

ΚΟΥΚΟΥ ΛΗ ΛΙΝΤΑ-ΕΥ ΑΓΓΕΛΙΑ 2ο ENIAIO ΠΕΙΡ. Λ YKEIO ΘΕΣΙΚΗΣ

ΚΟΥΡΟΥ MAPIA I Oo ΕΝΙΑιΟ Λ ΥΚΕιΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝ ιΚΗΣ

ΚΟΥΡΟΥΔΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΚΟΥΤΟΥΚΟΓΛΟΥ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ ΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΚΟΥΤΣΟΠΕΤΡΑΣ ΗΛΙΑΣ 32ο ΕΝΙΑιΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΙΔΟΥ ΣΕΒΑΣΤΗ ΕΚΠ/ΡιΑ ΜΑΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

ΚΩΤΤΗ ΣΟΦΙΑ-ΕΙΡΗΝΗ 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΠΕιΡ . Λ ΥΚΕΙΟ ΘΕΣ/ΚΗΣ

ΛΕΩΝΗ KATEPINA A M EPIKAN IKO ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΝΑΤΟΛΙΑ

ΜΕΛΕΖΙΑΔΟΥ KATEPINA ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝΙΚΗΣ

ΜΗΤΣΟΥ ΛΗΣ ΣΠΥΡΟΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΦΡΥΓ ΑΝΙΩΤΗ ΑΕ

MIMIKOY ΖΑΦΕΙΡΩ

Ίο ENIAIO Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΜΟΣΧΟΣ ΑΧΙΛΛΕΑΣ ι 4ο ΕΝιΑΙΟ Λ ΥΚΕιΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΜΠΑΚΑΣ ΙΑΣΟΝΑΣ Ε Κ Π/ΡΙΑ ΦΡΥΓΑΝΙΩΤΗ ΑΕ

ΜΠΑΛΑΣΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 4ο ΕΝιΑιΟ Λ ΥΚΕιΟ ΚΑΛΑΜΑΡιΑΣ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ ιΚΗΣ

ΜΠΑΛΤΑΤΖΗΣ ΘΑΝΟΣ Ε Κ Π/ΡΙΑ ΜΑ ΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

ΜΠΟΥΖΟΥΚΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ι ο ΠΕΙΡ. ΕΝιΑιΟ ΛΥΚΕΙΟ


ΜΠ ΡΕΖΑΣ ΑΛΕΞIΟΣ ΕΛΛΗΝ ιΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣ/Ν ιΚΗΣ

ΝΑΖΙΡΟΓΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ Θ ΕΣΙΝ Ι ΚΗΣ

ΠΑΜΠΑΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 1 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ Ι ο ΠΕιΡ. ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ

Θ ΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΑΡΙΠΟΤΕΛΕιΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ

ΠΑΣΒΑΤΗΣ ΑΔΑΜ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΠΑ γ ΛΟΣ

ΠΑΣΧΑΛΙΔΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑ Ε Κ Π/ΡΙΑ ΜΑ ΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

ΠΑ Υ ΛΙΔΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ ΕΛΛΗΝ ΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝ ΙΚΗΣ

ΠΕΤΡΗΧΟΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝΙΚΗΣ

ΠΛΑΤΣΑ KYPIAKH ΕΚΠ/ΡιΑ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΗ

ΠΡΩΤΟΠΑΠΑΣ ΑΔΩΝΙΣ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝΙΚΗΣ

ΡΟΥΥΣΩΝΗΣ ΚΟΡΝΗΛΙΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝ ΙΚΗΣ

ΣΑΚΕΛΛΑΡΗ BEPONIKA ι 2ο ΕΝιΑιΟ Λ ΥΚΕιΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΣΤΑΥΡΙΑΝΟΥ ΔΑΝΑΗ ι Sο ENIAIO Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΤΖΕΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΑΜΕΡιΚΑΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΝΑΤΟΛ ι Α

ΤΖΟΥ ΛΗΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ ΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

τJΚΤΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΚΠ/ΡιΑ ΜΑΝΤΟΥ ΛιΔΗ Ε.

ΤΟΛΙΑΣ ΦΩΤΗΣ 2ο ENIAIO ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕιΟ


ΤΣΑΚΟΥΡΙΔΟΥ ΑΝΝΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝ ΙΚΗΣ

ΤΣΕΡΑΝΙΔΗΣ ΣΤΑ ΥΡΟΣ Ε Κ Π/ΡΙΑ ΜΑ ΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

ΤΣΙΑΓΓΟΥ ΝΙΚΟΛΕΤΤΑ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

ΤΣΙΑΛ ΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΑΡΙΠΟΤΕΛΕιΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ

ΤΣΙΛΟΓΛΟΥ ΟΔΥΣΣΕΑΣ ΕΛΛΗΝ ΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝιΚΗΣ

ΦΩΤΗ ΕΛΕΑΝΑ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΚΑΛΑΜΑΡΙ

ΧΑΡΑΛΑΜΠΙΔΟΥ ΕΛΕΝΗ ΑΡΙΠΟΤΕΛΕIΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ

ΧΑΤΖΗΑθΑΝΑΣΙΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΑ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΚΑΛΑΜΑΡΙ

ΧΑΤΖΗΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΣΩΤΗΡΗΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥ ΛιΔΗ Ε .

ΧΑΤΖΗΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ 30ο ENIAIO Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΧΑΤΖΗΣΤΕΡΓΙΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΣ AMEPIKAN IKO ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΝΑΤΟΛιΑ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΒΡΑΝΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΠΑΝΟΡΑΜΑΤΟΣ


ΑIΒΑΖΙΔΟΥ E I PHNH I 5o ΕΝΙΑιΟ Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 2ο ΕΝιΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΥ ΛΑΙΑΣ

ΓΑΒΡΙΗΛΙΔΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ι sο ENIAIO Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΓΕΩΡΓΟΥΣΑΚΗ AIKATEPINH ΕΝιΑιΟ Λ YKEIO ΤΡιΑΝΔΡΙΑΣ


ΔΡΑΚΟΝΤΑΕΙΔΗΣ ΠΑ Υ ΛΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝΙΚΗΣ

ΖΑΧΑΡΙΑΔΟΥ ΧΡΙΣτJΝΑ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε .

ΖΒΕ ΕΛΕΝΑ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΚΑΛΑΜΑΡΙ

ZIAMOY MAPIA-ZAXAPIA 2ο ENIAIO ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕιΟ ΘΕΣΙΚΗΣ

ΚΑIΤΑΛΙΔΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑ


AMEPIKANIKO ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΝ ΑΤΟΛ Ι Α

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΟΠΟΥ ΛΟΣ Ν ΙΚΟΛΑΟΣ ΑΡιΣτΟΤΕΛΕιΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ

ΚΑΡΑΓΚΟΥΝΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ι ο ENIAIO Λ YKEIO Π ΑΝΟΡΑΜΑΤΟΣ


ΚΑΡΑΦΕΡΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ-ΓΕΩΡΓΙΣ ι ο ENIAIO Λ YKEIO ΠΑΝΟΡΑΜΑ ΤΟΣ


ΚΑΤΣΗ ΟΛΓΑ 4ο ΕΝιΑιΟ Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΚΑΤΣΟΥ ΛΙΔΟΥ ΣΤΕΛΛΑ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Π Ε Ι Ρ . Λ ΥΚΕιΟ


ΚΙΛΙΓΚΑΡΙΔΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΕΛΛΗΝ ΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣ!Ν ιΚΗΣ

ΚΟΝΤΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ I ο ΕΝΙΑιΟ Λ ΥΚΕιΟ ΠΥ ΛΑΙΑΣ

ΚΟΠΑΝΟΣ ΓΡΗΓΟΡIΟΣ Ε Κ ΠΙΡιΑ ΜΑ ΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε .

ΚΟΥΦΟΓΙΑΝΝΙΔΗΣ ΟΡΕΣΤΗΣ Α Μ ΕΡιΚΑΝιΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΝΑ ΤΟ Λ Ι Α

ΛΑΖΑΡΙΔΗΣ-ΓΙΑΝΝΟΠΟΥ Λ ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΕΚΠΙΡιΑ Μ Α ΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

ΛΑΝΑΡΑΣ ΧΑΡΗΣ-ΑΛΕΞΑΝΔΡΟ ι ο ΕΝιΑιΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΕΠΑΝΟΜΗΣ


ΛΙΑΚΑ ΚΑΛΗ-ΑΦΡΟΔJτΗ ΑΡΣΑΚΕιΟ ΘΕΣΙΝ ΙΚΗΣ

ΛΟΥΦΑΚΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ-ΜΙΧΑΗΛ ΑΜ ΕΡιΚΑΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΝΑΤΟΛ ιΑ

Μ ΕΝΤΕΣΙΔΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΣ ΕΚΠΙΡΙΑ Μ Α ΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

ΜΠΑJΙ\ΑΚΑΚΗΣ ΚΩΣΤΑΣ Ε ΚΠΙΡιΑ Μ ΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε.

Μ Π Ι ΖΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ Ίο ΕΝιΑIΟ Λ YKEIO ΚΑΛΑΜΑΡιΑΣ


ΝΤΡΙΑΝ ΚΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΛΛΗΝιΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝΙΚΗΣ

ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ ΕΛΛΗΝ ΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣ!ΝιΚΗΣ

ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ ΑΘΑΝΑΣIΟΣ ΓΕΡΜΑΝιΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΠΑΠΠΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΚΑΛΑΜΑΡι

ΠΕΤΡιΔΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 30ο ΕΝΙΑιΟ Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΠΟΝτJΚΙΔΗΣ ΑΡΣΕΝΙΟΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΠΑ Υ ΛΟΣ

ΣΙΩΚΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ 1 4ο ΕΝΙΑιΟ Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΤΑΛΑΤΖΙΔΟΥ ΝΑΝΣΗ Α ΡΙΠΟΤΕΛΕιΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ

ΤΖΙΩΛΑ ΤΑτJΑΝΑ ι 4ο ENIAIO Λ ΥΚΕιΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝ ιΚΗΣ

ΧΑΪΔΟΥΔΗ ΕΙΡΗΝΗ ΓΕΡΜΑΝ ιΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΧΑΛΚΙΑΣ ΕΥΘΥΜΙΟΣ A M EPIKANIKO ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΝΑΤΟΛ ιΑ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΓΓΟΥΣ ΚΥΡΙΛΛΑ ι 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝιΚΗΣ

ΓΑΡΥΦΑΛΟΥ MAPINA Ε Κ ΠΙΡιΑ ΒΑΣιΛΕΙΑΔΗ

ΓΙΑΤΣΟΓΛΟΥ Ν Ι ΚΟΣ 1 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕιΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝιΚΗΣ

ΓΡΗΓΟΡIΟΥ ΡΑΦΑΗΛΑ 2Ίο ENIAIO Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΓΡΟΣΔΟΣ-ΚΟΥΤΣΟΥΜΠΕΛΙ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ι ο ΠΕΙΡ. ENIAIO Λ YKEIO


ΖΕΡΒΑ ΕΛΕΥΘΕΡΙΆ 2Ίο ΕΝΙΑιΟ Λ γκΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΥ ΝΙ ΚΟΛΕΤΑ Α ΡΙΠΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ

ΚΟΛΛΙΑΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ι ο ENIAIO Λ YKEIO ΘΕΡΜΗΣ


ΛΕΥΚΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ι 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΛΙΑΚΑΣ ΣΠΥΡΟΣ ΕΚΠιΡιΑ ΜΑ ΝΤΟΥ ΛιΔΗ Ε.

ΜΑΝΤΟΥ ΛΙΔΗΣ ΧΡΙΣΤΟΣ-ΑΠΟΣΤΟΛ ΕΚΠΙΡΙΑ ΜΑ ΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

ΜΑΥΡΟΥΔΗ NANYIA ΕΚΠΙΡιΑ ΒΑΣιΛΕΙΑΔΗ

ΜΕΛΙΔΗΣ ΛΑΖΑΡΟΣ ι ο ENIAIO Λ ΥΚΕιΟ Π Υ ΛΑΙΑΣ

ΜΠΑΝΤΡΑ ΕΛΠΙΔΑ ι 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΜΠΑΤΖΙΛΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΕΚΠΙΡιΑ ΜΑΝΤΟΥΛιΔΗ Ε.

ΜΠΙΚΗΣ ΤΗΛΕΜΑΧΟΣ

---------- Αποτελέσματα Πανελληνίου Διαγωνισμού «0 ΘΑΛΗΣ» 9-1 2-2006

Ι ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΘΕΡΜΗΣ


ΝΑΤΣΙΚΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑ ΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

ΠΑΝΙΔΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ Α Μ ΕΡΙΚΆΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΝΑΤΟΛ Ι Α

Π ΑΡΑΣΧΟΥ ΑΝΝΑ 2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Π Ε Ι Ρ . Λ ΥΚΕΙΟ


ΣΙ ΒΒΛΣ ΚΩΝΣΤΛΝτΙΝΟΣ ΕΚΠΙΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε.

ΤΟΥΡΑΣ ΙΩΛΝΝΗΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε .

ΤΣΟΓΓΙΔΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 2ο ENIAIO ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ


ΦΡΛΓΚΟΠΟΥ ΛΟΣ ΛΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΆ�ΤΟΥΛΙΔΗ Ε.

ΧΑΡΑΛΛΜ ΠΙΔΗΣ ΠΛΝΛΓΙΩΤΗΣ ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΚΑΛΑΜΆΡΙ

ΧΛΤΖΗΔΗΜΗΤΡΙΛΔΟΥ ΖΗΝΟΒΙΛ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑ ΝΤΟΥ Λ Ι Δ Η Ε .

ΧΛΤΖΗΠΛΝΤΛΖΗ ΜΑΡΙΛ 1 4ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

ΑΙτΩΛΟΑΚΛΡΝΛΝΙΛΣ Α ΆΥΚΕΙΟΥ ΚΛΡΛΓΙΛΝΝΗΣ ΘΩΜΛΣ 3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΑΓΡΙΝ ΙΟΥ

ΝΙΚΟΥ ΑΘΛΝΛΣΙΟΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΓΡΙΝ ΙΟΥ

ΡΙΖΟΥ ΔΙΟ�ΥΣΙΛ ΠΑΛΛΆΔΙΟ

ΣΛΚΚΑΣ Τ ΛΣΟΣ 4ο EN IAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΑΓΡΙΝΙΟΥ

Τ ΛΣΟΥΛΛΣ ΖΩΗΣ-ΓΕΡΛΣΙΜΟΣ 2ο ENIA/0 Λ ΥΚΕΙΟ Α ΓΡΙΝΙΟΥ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ ΤΗΛΕΜΛΧΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΓΡΙΝ ΙΟΥ

ΒΑΛτΙΝΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 2ο ΕΝΙΑ/0 Λ ΥΚΕ/0 ΑΓΡΙΝΙΟΥ

ΖΑΒΙτΣΑΝΛΚΗ Α Ι ΚΑΤΕΡΙ ΝΗ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕ/0 Μ ΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ

ΛΛΝΤΖΟΥΝΗΣ Ν ΙΚΟΛΛΟΣ 2ο ΕΝΙΆ/0 Λ ΥΚΕΙΟ ΑΓΡΙΝΙΟΥ

ΤΣΙΡΟΓΙΑΝΝΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΓΡΙΝΙΟΥ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΟΦΙΛΛΤΟΣ ΑΓΓΕΛΟΣ Ι ο ΕΝΙΛΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Μ ΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ

ΚΑΡΛΧΛΛΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ι ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Ν Α ΥΠΑΚΤΟΥ

ΤΣΙΛΙΓΙΑΝΝΗΣ ΑΝΤΩΝΗΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΑΥΠΆΚΤΟΥ

ΑΝΑ ΤΟΛΙ ΚΗΣ Α ΤτΙΚΗΣ Λ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΖΑΡΙΑΔΗ ΔΗΜΗΤΡΑ ΕΚΠΙΡΙΑ ΩΘΗΣΗ

ΑΝΔΡΙΑΝ ΕΣΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

ΛΝΔΡΟΥΤΣΟΠΟΥ ΛΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΝΕΑ ΓΕΝΙΛ ΖΗΡΙΔΗ

ΑΡΜΑΟΥ ΕΛΕΝΗ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣτΕΑ-ΓΕ ΙΤΟΝΑ

ΑΡΤΑΒΑΝΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΤΟΣΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆ Κ Ε Ι Ο ΕΚΛΛΗΣ

ΒΑΣΙΛΟΠΟΥ ΛΟΥ ΣΤ Α ΥΡΟΥ ΛΑ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑΛΛΗΝΗΣ

ΒΟΥΔΟΥΡΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΩΘΗΣΗ

ΒΡΥΝΙΩΤΗΣ ΠΑΝΤΑΖΗΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣτΕΑ-ΓΕ ΠΟΝΛ

ΓΥΠΛ ΙΟΛΗ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΓΕΠΟΝΑ

ΔΗΜΑΚΟΠΟΥ ΛΟΥ MAPIA ΤΟΣΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ

ΙΟΡΔΑΝΙΔΟΥ ΧΛΟΗ Α ΡΣΕΝΙΑ Ε Κ Π / Ρ Ι Α ΚΩΣτΕΑ-ΓΕΠΟΝΑ

ΙΩΑΝΝΙΔΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΛΛΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΛΓΩΓΗ ΣΧΟΛΗ

ΙΙΑΝΑΓΕΑ - ΣΑΒΒΑ

ΚΙΜΠΙΖΗ ΑΘΗΝΑ-ΔΕΣΠΟΙΝΑ 3 ο E N I A IO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΡΩΠΙΟΥ

ΚΙτΛΡΤΖΙΑΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

ΚΡΟΜΠΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΤΟΣΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΑΝΆΒΥΣΣΟΥ

Λ ΥΤΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ Ι ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΥΛΑΣ

ΜΑΝΣΟΛΑΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΤΟΣΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ

ΜΟΣΧΟΥ ΜΑΡΙΛΕΝΑ E N I A IO Λ ΥΚΕΙΟ ΑΝΟΙΞΗΣ

ΜΟΤΣΚΑ ΛΟΡΕΝΑ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΝΆΒΥΣΣΟΥ

ΜΟΥΓΚΑΣΗ ΕΛΕΝΗ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΙΟΝΥΣΟΥ

ΜΠΑΜΠΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΟΣΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆΚ Ε Ι Ο ΕΚΑΛΗΣ

ΜΠΑΦΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ

ΜΠΟΖΙΚΗ ΑΡΙΑΔΝΗ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΥ ΛΑΣ

ΜΠΟΥΚΑΣ ΛΕΑΝΔΡΟΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΓΕΠΟΝΑ

ΜΠΟΥΡΑ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΤΟΣΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ

ΠΑΝΑΓΟΥ ΗΛΙΑΝΑ ΤΟΣΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ

ΠΑΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛ Υ ΒΙΩΝ ΘΟΡΙΚΟΥ

ΠΑΝΤΕΛΑΚΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

ΠΑΠΛΔΗΜΑΣ ΔΗΜ ΗΤΡΗΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣτΕΑ-ΓΕΠΟΝΑ

ΠΛΠΟΥΔΟΥ ΜΛΡΙΑ ΤΟΣΙτΣΕΙΟ ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΕΚΛΛΗΣ

ΠΛΑΤΛΝΙΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΓΕΠΟΝΑ

ΠΟΝΤΟΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ ΤΟΣΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ

ΡΟΖΗ ΔΗΜΗΤΡΑ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΑΝΟ!ΞΗΣ

ΣΙΓΛΛΛΣ ΗΛΙΛΣ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΥ ΛΛΣ

ΣΙΔΕΡΗ ΘΕΟΔΩΡΑ ΤΟΣΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆ Κ Ε Ι Ο ΕΚΑΛΗΣ

ΣΚΟΥ ΛΑΡΙΚΗΣ ΣΩΤΗΡΗΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΓΕΠΟΝΑ

ΣΟΥ ΛΕΛΕΣ ΒΛΣΙΛΗΣ ΤΟΣ!ΤΣΕΙΟ ΑΡΣΆΚ Ε Ι Ο ΕΚΑΛΗΣ

ΣΠΥΡΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΟΣΠΣΕ/0 ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ

ΣΤΑΜΑΤΕΛΟΣ Π ΕΤΡΟΣ ΤΟΣΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ

ΣΤΕΦΑΝΟΥ ΝΕΦΕΛΗ ΤΟΣΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ

ΣΥΚΩΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΥ ΛΑΣ

ΤΟΥΝΤΛΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΤΟΣΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ

ΗΟΥΜΠΟΥΝΗΣ ΚΩΣΤ ΑΣ ΝΕΑ ΓΕΝ Ι Α ΖΗΡΙΔΗ

ΤΣΑΓΚΛΛΟΥ ΛΝΝΑ Ι ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΥ ΛΑΣ

ΤΣΑΝΑΚΑΣ ΣΤΕΛΙΟΣ ΕΝΙΑ/0 Λ ΥΚΕΙΟ ΑΝΆΒΥΣΣΟΥ

ΤΣΙΓΚΡΗΣ Χ ΡΗΣΤΟΣ ΤΟΣΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ

ΤΣΙΟΛΚΑΣ ΑΧΙΛΛΕΑΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕ/0 ΚΟΡΩΠΙΟΥ

ΤΣΙΠ ΡΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣΤΕΑ-ΓΕΠΟΝΑ

ΦΙΝΤΖΟΣ ΣΤΕΛΙΟΣ ΕΚΠ/Ρ ΙΑ ΚΩΣΤΕΑ-ΓΕΠΟΝΑ

ΦΡΟΥΖΗΣ ΜΙΧΛΗΛ ΤΟΣΙτΣΕΙΟ ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ

ΦΩΤΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΥ ΛΑΣ

ΧΑΛΑΖΩΝΙτΗ ΛΣΠΑΣΙΛ ΤΟΣΙτΣΕΙΟ ΑΡΣΆΚΕΙΟ Ε ΚΑ Λ Η Σ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝ ΗΣ ΤΟΣΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆ Κ Ε Ι Ο ΕΚΑΛΗΣ

ΜΑΝΟΥΣΟΠΟΥΛΟΥ ΚΛΤΕΡΙΝΑ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣτΕΑ-ΓΕΠΟΝΑ

ΜΑ ΥΡΟΕΙΔΗ ΑΛΚΗΣτΙΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣτΕΑ-ΓΕΠΟΝΑ

ΜΠΟΥΡΟΥΤΖΗΣ ΠΛΝΑΓΙΩΤΗΣ ENIAIO Λ YKEIO ΓΕΡΑΚΑ

ΠΑΡΟΛΛΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΒΟΥ ΛΑΣ

ΣΛΜΟΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣΤΕΑ-ΓΕ ΙΤΟΝΑ

ΧΑΡΙΤΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΕΡΑΣΜΕ ΙΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ

ΣΧΟΛΗ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΡΩΠΙΟΥ

ΒΛΑΧΟΣ ΘΛΝΛΣΗΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΡΩΠΙΟΥ

Γ ΑΝΑ ΤΟΣ ΘΕΟΔΩΡΗΣ ΕΚΠΙΡΙΑ ΓΕΠΟΝΑ

ΚΑΛΟΤΕΡΑΚΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΤΟΣΙτΣΕ/0 ΑΡΣΆ Κ Ε Ι Ο ΕΚΛΛΗΣ

ΚΑΤΣΑΡΟΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ Y K E IO ΒΑΡΗΣ

ΚΟΥΣΟΥΤΗ EIPHNH 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΥ ΛΑΣ

ΟΡΥΣΤΑΙΝ ΑΓΓΕΛΙΝΑ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕ/0 ΒΟΥ ΛΑΣ

ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ι ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΥ ΛΑΣ

ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ ΜΙΧΑΗΛ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΒΑΡΗΣ

ΠΑΠ ΠΛΣ ΘΩΜΛΣ ENIAIO ΜΟΥΣΙΚΟ Π Ε Ι Ρ . Λ ΥΚΕΙΟ

ΠΑΛΛΗΝΗΣ

ΠΡΙΦΤΗΣ ΑΝΤΩΝΗΣ

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΓΕΠΟΝΑ

ΣΟΥΡΛΑ ΤΖΗΣ ΣΩΤΗΡΗΣ Ι ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΡΩΠΙΟΥ

ΣΧΙΖΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΥ ΛΑΣ

ΧΑΡΔΑΛΟΥΠΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣτΕΑ-ΓΕΠΟΝΑ

ΑΡΓΟΛΙΔΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΑΚΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΡΓΟΥΣ

ΚΟΡΔΩΜΕΝΟΥ ΔΗΜ ΗΤΡΑ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑ!ΔΕ!Α-ΚΟντΡΟΥΜΠΗ Α.Ε.

ΟΙΚΟΝΟΜΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΡΑΝΙΔΙΟΥ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΠΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΡΓΟΥΣ

ΤΣΑΠΡΑΛΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΝΑ ΥΠΛΙΟΥ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΟΥΒΡΟΠΟΥ ΛΟΥ ΟΛΓ Α 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕ/0 ΑΡΓΟΥΣ

Λ ΥΚΟΓΙΑΝΝΗ ΣΟΦΙΑ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ - ΚΟΥΤΡΟΥΜΠΗ

ΡΟΤΖΙΩΚΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΑΡΓΟΥΣ

ΦΡΑΓΚΟΣ ΕΥ ΑΓΓΕΛΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΡΓΟΥΣ

ΑΡΚΑΔΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΛΟΠΟΥ ΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΤΡΙΠΟΛΗΣ

ΒΡΕΤΤΟΥ ΚΑΛ ΥΨΩ-ΕΥΓΕΝΙΑ ΓΚΙτΖΙΑ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΕΝ Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΤΕΓΕΑΣ

ΔΟΥΡΙΔΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΤΡΙΠΟΛΗΣ

ΜΑΛΕΒΙτΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΑΣτΡΟΥΣ

ΓΙΑΝΝΑΤΣΕΛΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 2ο ΕΝΙ Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ τrΙΠΟΛΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΓΡΙΟΣΤ ΑΘΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΤΡΙΠΟΛΗΣ

ΚΑΛΟΜΙτΣΙΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΤΡΙΠΟΛΗΣ

ΜΑΡΙΟΛΑ ΣΤ Α Υ ΡΟΥ ΛΑ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΤΡΙΠΟΛΗΣ

ΜΠΟΥΡΑΝΤΑΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣΝΙ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΤΡΙΠΟΛΗΣ

ΣΙΟΡΟΒΙΓΚΑ OYPANIA 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΤΡΙΠΟΛΗΣ

ΑΠΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΔΡΕΟΥ ΑΡΓΥΡΩ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΗ ΑΣ

ΓΙΑΝΝΑΚΗ ΠΑΣΧΑΛΙΑ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΗ ΑΣ

ΣΤΑΥ ΡΟΥ ΕΛΙΣΑΒΕΤ-ΠΑΡΑΣΚ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΗ ΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΗΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΣΤ ΑΣΟΠΟΥ ΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΗ ΑΣ

ΑΧΑΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΚΤΥΠΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ

ΠΑΝΕΠ ΙΣτΗΜIΟΥ Π Α ΤΡΩΝ

ΑΝΑΓΩΣΤΟΠΟΥ ΛΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Α Ι ΓΙΟΥ

ΑΝΤΩΝΟΠΟΥ ΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΕΝ Ι Α Ι Ο ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣτΗΜΙΟΥ ΠΑτrΩΝ

ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΟΘΩΝΑΣ ENIAIO Π Ε Ι Ρ . Λ ΥΚΕΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΠΙΜΙΟΥ ΠΑ ΤΡΩΝ

ΒΙτΣΑΣ Ν Ι ΚΟΛΑΣ ENIAIO Π Ε Ι Ρ . Λ ΥΚΕΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣτΗΜΙΟΥ ΠΑ ΤΡΩΝ

ΒΟΥ ΛΓ ΑΡΙΔΗΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑ ΤΡΩΝ

ΒΟΥΡΛΟΥΜΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ ΑΡΣΆΚΕΙΟ Π Α τrΩΝ

ΔΑΡΕΙΩΤΗ ΝΙΚΟΛΙτΣΑ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΛΟΥΣΙΚΩΝ ΑΧΑΪΑΣ

ΔΑΡΜΑΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 1 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO Π Α τrΩΝ

ΔΕΛΗΓΙΑΝΝΗ ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ 1 1 ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑ τrΩΝ

ΔΗΜΟΠΟΥ ΛΟΥ ΘΕΟΦΑΝΗ ΕΝΙΑΙΟ Π Ε Ι Ρ . Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠ.

ΠΑτrΩΝ

ΖΕΙΝΗΣ ΕΥΘΥΜΗΣ I ο ENIAIO Λ ΥΚΕ/0 Π Α ΤΡΩΝ


ΖΕΡΒΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ ENIAIO Π Ε Ι Ρ . ΛΥΚΕΙΟ ΠΑ ΤΡΩΝ

ΖΗΚΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π Α τrΑΣ

ΚΕΧΑΓΙΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΕΝΙΑ/0 Π Ε Ι Ρ . Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑ ΤΡΩΝ

ΚΟΛΛΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 4ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑ ΤΡΩΝ

ΚΟΤΡΩΝΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΑΣτΡΠΣΙΟΥ ΑΧΑΪΑΣ

ΚΟΥΓΙΑΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΝΙΑΙΟ Π Ε Ι Ρ . ΛΥΚΕΙΟ ΠΑ ΤΡΩΝ

ΚΟΥΚΟΥ ΛΗΣ ΚΩΣΤ ΛΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Π ΑΤΡΑΣ

ΚΟΥ ΛΗΣ ΘΑΝΑΣΗΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π Α ΤΡΩΝ

ΚΟΥΤΡΑΣ ΘΩΜΑΣ ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΣτΡΙτΣ ΙΟΥ ΑΧΑΪΑΣ

ΜΑΝΙΑΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΣτΡΠΣΙΟΥ ΑΧΑΪΑΣ

ΜΑΡΟΥΝΤ ΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Π Α ΤΡΩΝ

ΜΠΑΖΑΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ E N I A I O Π Ε Ι Ρ . ΛΥΚΕΙΟ Π Α ΤΡΩΝ

ΜΠΑΛΑΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π Α ΤΡΩΝ

ΜΠΑΡΛΑΣ ΦΩτΙΟΣ ENIAIO Π Ε Ι Ρ . Λ YKEIO

ΠΑΝΕΠ ΙΣτΗΜΙΟΥ Π Α ΤΡΩΝ

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥ ΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Α Ι ΓΙΟΥ

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥ ΛΟΥ ΒΑΣΙΛΙ Κ Η ENIAIO Π Ε Ι Ρ . Λ Y K E I O ΠΑ ΤΡΩΝ

ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΤΕΦΑΝΙΑ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Α Ι Γ Ι Ο Υ

ΠΕΡΙΒΟΛΑΡΟΠΟΥ ΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΣτrlτΣΙΟΥ ΑΧΑΪΑΣ

ΡΑΖΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ I ο ENIAIO Λ YKEIO Α Ι ΓΙΟΥ

ΡΟΘΟΠΟΥ ΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕ/0 ΑΙ ΓΙΟΥ

ΣΑΡΡΛΣ ΜΑΡΙΟΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO Π Α ΤΡΩΝ

ΣΙΜΙτΖΗ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΑ ENIAIO ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑ ΤΡΩΝ

ΣΟΥΡΟΥΝΗ MAPINA ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡ. Λ YKEIO Π Α ΤΡΩΝ

ΣΠΗΛΙΟΠΟΥ ΛΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Α Ι ΓΙΟΥ

ΣΩΡΡΑΣ ΑΡΤΕΜΗΣ Ίο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO Π Α τrΩΝ

ΤΖΑΜΑΡΙΑΣ ΔΙΩΝ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΣτΡΙΤΣΙΟΥ ΑΧΑΪΑΣ

TPIANT ΑΦΥ ΛΛΟΠΟΥ ΛΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π Α ΤΡΩΝ

ΤΣΙ ΠΟΥΡΙΑΡΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΣτΡΙτΣΙΟΥ ΑΧΑΪΑΣ

ΤΣΙτΣΙΡΙΔΗΣ ΜΑΝΩΛΗΣ ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡ. ΛΥΚΕΙΟ

ΠΑΝΕΠ ΙΣτΗΜΙΟΥ ΠΑ ΤΡΩΝ

ΥΦΑΝΤΗ ΜΑΡΙΑΝΘΗ ENIAIO ΠΕΙΡ. Λ YKEIO

ΠΑΝΕΠΙΣτΗΜΙΟΥ Π Α ΤΡΩΝ

ΦΑΚΑΛΟΥ ΠΟΛ ΥΞΕΝΗ ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΠΑ ΤΡΩΝ

ΦΛΩΡΑΤΟΣ ΖΗΣΙΜΟΣ ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡ. Λ YKEIO

ΠΑΝΕΠ ΙΣτΗΜΙΟΥ Π Α τrΩΝ

Ψ ΑΛΛΙΔΑΣ ΕΥ ΑΓΓΕΛΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ ΚΕΙ Ο Α ΙΓΙΟΥ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΑΡΣΆΚΕΙΟ Π Α ΤΡΩΝ

ΑΔΡΙΑΝΟΣ ΛΑΜΠ ΡΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Ρ !ΟΥ ΑΧΑΪΑΣ

ΑΝΔΡΟΥΤΣΕΛΛΗΣ ΘΩΜΑΣ ΕΝΙΑ/0 Π Ε Ι Ρ . Λ ΥΚΕΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣτΗΜΙΟΥ ΠΑ ΤΡΩΝ

ΑΝΤΩΝΕΛΛΗ ΕΛΕΝΗ ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ Π Α τrΩΝ

ΓΙΑΝΝΚΟΠΟΥ ΛΟΥ ΕΛΕΝΗ 3ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Π Α τrΩΝ

ΓΟΥΜΕΝΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΠΑτrΩΝ

ΔΕΛΛΑΤΟΛΑ MAPIA ΕΝ Ι Α Ι Ο ΠΕΙΡ. ΛΥΚΕ/0 ΠΑ ΤΡΩΝ

ΔΗΜΟΥ ΟΡΕΣΤΗΣ Ίο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO Π Α ΤΡΩΝ

ΔΡΑΚΟΥΛΕΛΗΣ ΜΙΧΑΗΛ ENIAIO Π Ε Ι Ρ . ΛΥΚΕΙΟ ΠΑ ΤΡΩΝ

ΘΡΑΜΠΟΥΛΙΔΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΑΣτΡΠΣΙΟΥ ΑΧΑΪΑΣ

ΚΑΛΟΦΩΝΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΠΑ ΤΡΩΝ

ΚΑΛ ΥΒΑ ΝΕΚΤ APIA ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ

ΚΑΡΚΟΥ ΛΙΑΣ ΔΙΟΝΥΣΗΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑ ΤΡΩΝ

ΚΗΠΟΥΡΓΟΣ ΘΡΑΣΥΒΟΥ ΛΟΣ ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΠΑ ΤΡΩΝ

Αποτελέσματα Πανελληνίου Διαγωνισμού «0 ΘΑΛΗΣ» 9-1 2-2006

ΚΟΥΗΛΣ ΚΩΣΤΑΣ ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ 3ο ENIAIO Λ Y K E I O ΑΓΙΑΣ

ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΑΣτΡΙτΣΙΟΥ ΑΧΑIΑΣ ΟΥΡΣΟΥΛΙΝΩΝ ΤΣΕΤΣΕΡΗ ΜΑΡΙΑ-ΝΕΦΕΛΗ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ

ΚΩΤΣΕΛΕΝΗ ΣΤΑΜΑΤΟΥΛΑ ΚΑΖΑΝΤΖΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΔΑΒΡΗΣ-ΣΑΜΠΑΤ ΑΚΗΣ 4ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑ τΡΩΝ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΦΑΦΑΛΙΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΛΑΜΠΙ ΡΗΣ ΒΛΑΣΗΣ ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΧΑΡΗΣ ΙΟΝΙΟΣ ΣΧΟΛΗ 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ

Ίο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑ ΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑϊΤΗ ΦΙΟΡΑΒΑΝΤΕΣ ΦΟΙΒΟΣ ΔΙΑΜΑΝΤΑΡΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ .\I BANIOΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΚΑΜΠΡΑΝΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ

ENIAIO Λ YKEIO PIOY ΑΧΑIΑΣ Ι ο ENIAIO Λ YKEIO ΑΓΙΑΣ ΟΥΡΣΟΥ Λ ΙΝΩΝ ΖΟΥΡΝΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ ΜΑΣΤΡΟΓΕΩΡΓΙΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ ΧΑΡJτΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΦΡΟΣΥΝΗ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ

ENIAIO ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΡΑΜΑΝΛΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΡΑ ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΚΑΡΑΠΙ ΠΕΡΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΠΑΝΕΠΙΠΗΜΙΟΥ ΠΑ ΤΡΩΝ ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ENIAIO Λ YKEIO ΝΕΑΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ

ΜΠΟΝΙΚΟΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ ΟΥΡΣΟΥ Λ ΙΝΩΝ ΑΓΓΕΛΕΡΟΥ ΠΟΛ ΥΞΕΝΗ ΚΑ ΡΚΛΛΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ENIAIO Π Ε Ι Ρ . Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ-ΛΙΝΑΡΔΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Π Ε Ι Ρ . ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ Π Ε Ι Ρ . ΑΝΑ ΒΡvτΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΠΗΜ ΙΟΥ ΠΑ τΡΩΝ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΑΓ. ΒΑΡΕΛΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΚΟΚΚΙΝΕΛΗΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΑΣΤΑΣΗΣ Π Α ΡΑΣΚΕΥΗΣ 3ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΗΦΙΣΙΑΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΒΡΙΛ ΗΣΣΙΩΝ

ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΣτΡΙτΣΙΟΥ ΑΧΑIΑΣ ΚΕΦΑΛΟΓΙΑΝΝΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΧΡΙΣτJΝΑ-ΝΕΦΕΛΗ ΚΟΥΚΟΥΤΟΣ ΜΑΝΟΣ Π ΕΡΡΑΚΗΣ ΚΥΡΙΛΚΟΣ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ PIERCE COLLEGE ΓΕΡΜΑΝ ΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΑΘΗΝΩΝ

ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΣτΡΙτΣΙΟΥ ΑΧΑIΑΣ ΚΙΤΡΟΜ ΗΛΙΔΗΣ Μ Ι ΧΑΗΛ- ΓΚΟΛΟΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑ Υ ΛΟΣ ΚΥΡΚΑΣΙΑΔΟΥ MAPIA ΡΑΠΑΝΟΣ ΝΙ ΚΟΛΑΟΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗ 4ο ENIAIO Λ YKEIO Η ΡΑΚΛΕ ΙΟΥ 9ο ENIAIO Λ YKEIO ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ

ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΑΠΙΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΠΟΥ ΛΟΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΠΑΝΕΠΙΠΗΜΙΟΥ ΠΑ ΤΡΩΝ ΚΟΖΩΝΗΣ ΑΓΓΕΛΟΣ ΔΑΤΣΕΡΗΣ ΜΑΝΩΛΗΣ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΣΑΛΑΜΑΑΙΚΗ ΧΡΙΣτJΝΑ ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑϊΤΗ ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑϊΤΗ Α ΥΚΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΣτΡΙτΣΙΟΥ ΑΧΑIΑΣ ΚΟΚΚΙΔΗΣ ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΔΕΔΟΥΣΗ ΕΙΡΗΝΗ-ΚΩΝ/ΝΑ ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ Π Ε Ι Ρ . Λ Υ ΚΕΙ Ο

ΣΑΜΑΡΗΣ Μ ΙΧΑΛΗΣ 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΚΟΑΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΜΑΛΟΒJτΣ ΙΩΣΗΦ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΣτΡΙτΣΙΟΥ ΑΧΑIΑΣ ΚΟΝΤΟΜΑΡΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΔΗΜ ΗΤΡΙΑΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

ΣΦΗΚΑ AIKATEPINH ΕΚΠ/ΡΙΑ Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΙΟΝ ΙΟΣ ΣΧΟΛΗ �1ΑΣΟΥΡΟΣ ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΚΟΝΤΟΝΑΣΙΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΔΙΑΚΟΣΑΒΒΑΣ ΜΙΧΑΛΗΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΧΟΛΑΡΓΟΥ

ΤΑΓΚΑΛΑΚΗ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗ ΝΩΝ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Μ ΠΟΥΝΤΑΣ Ν Ι ΚΟΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO Π Α τΡΩΝ ΚΩΝΣΤΑΝΤΕΛΑΚΗ ΜΥrτΩ ΕΛΜΑΝΟΓΛΟΥ ΜΑΡΙΑΝΘΗ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛ ΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΑΓ. ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ ΝΑΚΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΖΑΦΕΙ ΡΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ ΕΥΣΤΑΘΙΑΔΗ ΧΛΟΗ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Π Α ΤΡΩΝ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΙΔΗ ΑΘΗΝΑ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΑΠΙΚΗΣ

ΘΕΟΔΟΡΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΚΑΛΟΓΕΡΟΠΟΥ ΛΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ-ΔΑΝΑΗ ΟΡΦΑΝΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Π Ε Ι Ρ . Λ ΥΚΕΙΟ ΛΑΔΙΑΣ ΧΑΡΙΛΑΟΣ ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΠΗΜΙΟΥ ΠΑ τΡΩΝ 8ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΚΟΛΟΚΥΘΑΣ ΑΡΓΥΡΙΟΣ ΑΠΙΚΗΣ

ΘΕΟΔΩΡΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΩΡΓ- ΑΓΓΕΛΟΣ ΛΑΔΙΚΟΥ ΕΛΕΝΗ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ ΠΑΝΤΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ I Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑ τΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΚΟΡΑΣΙΔΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Η ΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΚΑ ΡΑΤΑ ΠΑΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΣ ΛΕΚΚΑ ΒΑΣΙΑ 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧ Ι ΚΟΥ ΑΠΙΚΗΣ

ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΠΑ τΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΚΟΥΚΟΥΡΑΚΗ EYTYXIA ΠΑΠΑΔΟΠΟΥ ΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΚΕΧΑΓΙΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΝΩΛΑ ΒΙΟΛΕΤΤ Α Π Ε Ι Ρ . ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

ΕΝΙΑΙΟ Π Ε Ι Ρ . Λ Υ ΚΕΙ Ο ΠΑ ΗΩΝ ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑϊΤΗ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΡΓΥΡΙΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΗΣ ΚΟΡΕΝΤΖΕΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΑΤΘΙΟΠΟΥ ΛΟΣ ΝΙ ΚΟΛΑΟΣ 2ο ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΕΝΙΑΙΟ Π Ε Ι Ρ . Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑ τΡΩΝ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΜΙΧΑΛΟΠΟΥ ΛΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΠΟΥ ΛΟΠΟΥ ΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΟΤΣΑΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΑ ΥΡΟΓΟΡΔΑ ΤΟΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΕΝΤΕΛΗΣ

Ι Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑ ΤΡΩΝ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗ ΝΩΝ ΜΟΥΖΑΚΗΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΡΑΠΤΟΔΗΜΟΥ AIKATEPINH ΜΑΜΑΡΕΛΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΕΓΑΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΧΑΛΑΝΔΡΙΟΥ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε ΙΟ Α Ι ΓΙΟΥ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ ΣΑΒΒΑΛΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΜΠΟΝΕΛΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΙΑΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΕΝΙΑΙΟ Π Ε Ι Ρ . Λ ΥΚΕΙΟ 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΛΛΗΝΟΓΑ Λ Λ Ι Κ Η ΣΧΟΛΗ ΣΚΟΡΔΙΛΗΣ ΖΗΣΗΣ-ΙΑΣΩΝ ΠΑΝΕΠΙΠΗΜΙΟΥ ΠΑ τΡΩΝ Μ ΙΧΑΔΟΠΟΥ ΛΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΟΥΡΣΟΥ Λ ΙΝΩΝ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΣΑΑΚΙΑΝ ΝΟΡΑ Ι Ρ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ν Ι ΚΟΛΟΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΜΥΡΝΙΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ENIAIO ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ ΜΟΝΦΕΡΑΤΟΥ ΕΣΜΕΡΑΛΔΑ ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ Ι ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ Ψ Υ Χ Ι ΚΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΠΗΜΙΟΥ ΠΑ ΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΝΤΟΓΚΑΣ ΔΗΜ ΗΤΡΗΣ ΣΠΙΘΟΥΡΑΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΤΟΛΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΠΑΡΜΠΑΤΗ ΕΙΡΗΝΗ-ΙΩΑΝΝΑ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΟΛΑΡΓΟΥ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ENIAIO ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ 2ο ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΝΤΡΙΓΙΟΥ BAIA ΑΠΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΠΗΜ ΙΟΥ ΠΑ τΡΩΝ ΜΠ JτΣΑΚΗ ΤΩΝΙΑ ΒΑΡΒΑ ΚΕΙΟ ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ ΣΦΑΚΙΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Β' ΑΘΗΝΑΣ ΑΤτJΚΗ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΞΑΝΘΟΠΟΥ ΛΟΥ ΘΕΜΙΣ-ΔΗ Μ ΗΤΡΑ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Η ΡΑΚΛΕΙΟΥ

Α ΛΥΚΕIΟΥ Μ ΠΟΛΕΤΗ ΟΛΓ Α 2ο ΛΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΑΠΙΚΗΣ

ΑΔΑΜΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗ ΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΑΚΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΧΙΖΑΣ ΝΙ ΚΟΛΑΟΣ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΜΠΟΝΑΤΗΣ ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ Π Ε Ι Ρ . Λ Υ Κ Ε Ι Ο 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΑΗΔΟΝΗ ΓΕΩΡΓΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΥ I . M . ΠΑΝΑΓΙΩΤΛΚΟΣ Ν Ι ΚΟΣ ΑΠΙΚΗΣ

Π Ε Ι Ρ. ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ Ν Ι ΚΟΛΑΙΔΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΑΤΑΡΑΚΗΣ ΜΑΝΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΛΙΑΝΗ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥ ΛΟΣ ΦΑΙΔΩΝ BAPBAKEIO ΠΕΙΡ. ΛΥΚΕΙΟ

ΕΚΠ!ΡΙΑ ΜΑΝΕΣΗ ΞΥΔΑΚΗΣ ΓΑΛΑΤΗΣ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΖΙΜΠΛΑΚΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO Ν ΕΟΥ ΨΥΧΙ ΚΟΥ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ OIKONOMOY ΕΥ ΑΓΓΕΛΟΣ ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ ΤΖΩrτΖΗΣ ΔΗΜ ΗΤΡIΟΣ ΑΝΤΩ:>ΟΙΟΥ ΓΙΑΥ'iΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑϊΤΗ ΠΑΠΑΚΥΡJτΣΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

Ι ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΟΙ ΚΟΝΟΜΟΥ ΝΑΤΑΣΑ 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΦΛΩΡΙΩΤΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΒΑΛΥΡΑΚΗ ΝΕΦΕΛΗ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΜΕΛ ΙΣΣΙΩΝ ΠΕΝΤΑΡΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ Π Ε Ι Ρ . Λ YKEIO

ΕΛΛΗΝΟΓΑ Λ Λ Ι Κ Η ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΟΥΤΣΟΠΟΥΛΟΣ ΑΓΓΕΛΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛ ΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΑΓ. ΧΑΡΑΛΑΜΠ ΙΔΗΣ Ι ΓΝΑτJΟΣ ΟΥ ΡΣΟΥ Λ Ι ΝΩΝ 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΜΕΛ ΙΣΣΙΩΝ

ΒΑΣΙΛΑΚΑΚΗΣ Μ ΙΧΑΛΗΣ ΠΑΝΤΕΛΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ Π ΕΤΡΟΠΟΥ ΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΛΗ MAPIA ΕΚΠΙΡΙΑ Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ PIERCE COLLEGE ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

ΒΛΑΧΑΒΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΡΗΣ ΣΑΒΒΑΛΑ θΕΝΙΑ ΟΥ ΡΣΟΥ Λ Ι ΝΩΝ

2ο ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑϊΤΗ ΚΟΛΑΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΨΥΧΑΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΑΤΡΑΣ Ν Ι ΚΟΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΑΒΒΙΔΗΣ ΑΜΒΡΟΣΙΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Α ΥΚΕΙΟ ΝΕΟΥ ΨΥΧΙΚΟΥ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΚΟΑΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Β' ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΑΓΚΛΗΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΠΑΠΠΕΛΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΣΑΡΑΝΤΗ ΝΙ ΚΟΛ-ΔΗΜ ΗΤΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2ο ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ PIERCE COLLEGE ΑΦΕΝΤΟΥ ΛΙΔΗΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ ΔΡΙΖΟΣ ΑΛΕΞΗΣ ΠΑΤΜΑΝΙΔΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΣΤ ΑΜ ΠΟΥ ΛΟΓ ΛΟΥ ΤΑΣΟΣ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ

8ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΑΓΙΟΣ ΙΩΣΗΦ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΠΑΥΛΑΤΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΤ ΑΣΙΝΟΠΟΥ ΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Μ Π Ι ΡΝΙΟΥ Ac'llτΩNETA ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑϊΤΗ 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΕΥΟΣΜΟΥ

ΕΥ ΑΓΓΕΛΙΟΥ Ν ΙΚΟΛΑΟΣ ΠΕΤΡΟΠΟΥ ΛΟΣ ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΦΛΟΚΑ ΜΥΡΤΩ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Y K E I O ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ 2ο ΛΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥ ΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΑΠΙΚΗΣ ΠΕΤΡΟΧΕΙΛΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΝΑΣΤΑΣΗΣ ΠΕΙΡ. ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑΝ/ΜΙΟΥ

ΖΑΡΚΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ Μ Α Κ ΕΔΟΝ ΙΑΣ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΡΟΥΣΙΩΤΗ ΙΩΑΝΝΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥ ΛΑΚΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΤΖΙΤΖΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΖΕΡΒΑΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ Π Ε Ι Ρ . ΣΧΟΛ ΕΙΟ ΠΑΝ/ΜΙΟΥ

2ο ΓΥΜΝΆΣΙΟ ΠΕΥΚΗΣ ΟΥΡΣΟΥΛ ΙΝΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΖΟΥΡΑΣ ΣΩΚΡΑΤΗΣ ΣΑΚΑΡΙΔΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΑΓΓΕΛΕΡΟΥ ΜΑΡΙΑ-ΓΑΛΗΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ι ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ Ψ Υ Χ Ι ΚΟΥ PIERC E COLLEGE Ι ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΖΑΓΚΛΙ ΒΕΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΖΥΓΟΥΡΟΠΟΥ ΛΟΥ MAPIA ΣΑΡΗΓΙΑΝΝΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΑΛΕΞΙΑΔΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΥΚΕΩΝ

ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ Π Ε Ι Ρ . ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΘΑΝΟΥ ΙΩΑΝΝΑ ΣΤΥΛΙΑΝΝΙΔΟΥ ΜΑΡΙΑ-ΧΑΡΑ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΤΕΡΨΗ ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥ ΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΟΝ ΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΠΕΥΚΗΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΡΥΜΟΥ

ΘΕΟΔΩΡΟΠΟΥΛΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΤΖΑΝΝΕΤΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΑΡΒΑΝΙΤΑΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΑΜΠΡΙΔΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΣ Ι ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ PIERCE COLLEGE ΕΚΠ/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ Λ Υ ΚΕΙ Ο ΠΕΥΚΩΝ ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ ΤΟΜΠΛΕΡ ΡΩΜΑΝΟΣ ΑΡΚΟΥΛΗ ΧΑΡΑ ΜΑΡΑΝτJΔΗΣ ΠΑΥΛΟΣ ΙΟΝ ΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ ΠΕΙΡ. ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑΝ/ΜΙΟΥ

ΙΩΑΝΝΙΔΟΥ ΑΝΤΩΝΙΑ ΤΡΟΜΠΟΥΚΗΣ Ι ΚΑ ΡΟΣ ΒΛΑΧΟΔΗΜΗΤΡΟΠΟΥ ΛΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝ ΙΑΣ


ΜΑΡΙΝΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΟΛΙΧΝΗΣ

ΜΙΧΑΗΛΙΔΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΥΚΕΩΝ


Π ΕΤΡΙΔΟΥ ΓΙΟΛΑΝΤΑ I ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΣΥΚΕΩΝ


ΡΩΣΣΙΚΟΠΟΥ ΛΟΥ-ΠΑΠΠΑ ΣΤΥΛΙΑΝΉ Π Ε Ι Ρ . ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝ/Μ ΙΟΥ


ΣΤΡΑΤΑΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Π Ε Ι Ρ . ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝ/ΜΙΟΥ


ΤΟΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΧΟΗΙΑ ΤΗ

ΦΛΑΡΗ ΜΑΓΔΑΛΗΝ Ή Π Ε Ι Ρ . ΣΧΟΛ ΕΙΟ ΠΑΝ/ΜΙΟΥ


Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΛΚΑΝΙΔΟΥ ΔΗΜ ΗΤΡΑ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΥΦΑΛΙΩΝ


ΚΑΛΑΪΤΖΙΔΟΥ ΙΩΑΝΝΑ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΥΦΑΛ ΙΩΝ

Θ ΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΛΙΑΛΙΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΝτΙΟΣ ΙΩΑΚΕΙΜ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΥΚΕΩΝ


ΜΙΧΑΗΛΙΔΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Στ Α ΥΡΟΥΠΟΜΙΣ


ΠΑ Υ ΛΙΔΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΧΟΗΙΑ ΠΙ

ΤΖΙ Μ ΟΥ ΛΙΔΗΣ ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΕΥΚΩΝ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΒΟιΩτJΑΣ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΗΜΉΤΡΙΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΘΕΣΠ ΙΩΝ

ΚΑΡΑΜΠJτΣΑΚΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Θ ΗΒΩΝ

ΚΑΡΑΤΖΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΘΗ ΒΩΝ

ΚΡΑΛΛΗΣ ΝΙΚΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Λ Ι ΒΑΔΕΙΑΣ

ΜΑΡΚΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΒΑΓΙΩΝ ΒΟ ΙΩτΙΑΣ

ΝΤΑΛΙΑΝΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Λ Ι ΒΑΔΕΙΑΣ

ΠΑΝΤΕΛΟΠΟΥ ΛΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΒΑΓΙΩΝ ΒΟΙΩτΙΑΣ

ΠΑΠΑΔΙΑΣ ΣΕΡΑΦΕΙΜ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Α Λ Ι ΑΗΟΥ ΒΟΙΩτΙΑΣ

ΠΑΠΑΘΕΟΔΟΣΙΟΥ ΧΡΙΣτΙΝΑ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Α Λ ΙΑΗΟΥ ΒΟΙΩτΙΑΣ

Π ΕΤΡΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΣΠ ΡΩΝ ΣΠ ΠΙΩΝ

ΒΟΙΩτΙΑΣ

ΦΛΩΡΑ ΑΓΓΕΛΙΚΉ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΒΑΓΙΩΝ ΒΟΙΩτΙΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΑΛΑΚΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΘΗΒΑΣ

ΔΟΥΚΛΙΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΘΙ-ΙΒΩΝ

ΚΑΡΑΚΙΚΕ ΣΩΤΗΡΙΑ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Α Λ ΙΑΡτΟΥ ΒΟΙΩτΙΑΣ

ΚΟΝΤΟΠΟΥ ΛΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΟΡΧΟΜ ΕΝΟΥ

ΒΟΙΩτΙΑΣ

ΚΥΜΠΑΡΗΣ ΚΩΣΤ ΑΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΘΗΒΩΝ

ΜΟΥ ΛΑ! ΕΝΤΒΑΛΝΤΟ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΛΙΑΗΟΥ ΒΟΙΩτΙΑΣ

ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΛΙΑΗΟΥ ΒΟΙΩτΙΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΚΑΛΙΓΚΟΥ ΠΑΓΩΝΑ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Λ Ι ΒΑΔΕΙΑΣ

ΤΑΤΣΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Λ Ι ΒΑΔΕΙΑΣ

ΧΑΛΑΤΣΗ ΘΕΟΔΩΡΗ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΘΗ ΒΩΝ

Γ' ΑθΗΝΑΣ ΑΠΙΚΗ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΝΔΡΙΑΝΟΠΟΥ ΛΟΣ ΣΤΑ ΥΡΟΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π ΕτΡΟΥΠΟΛΗΣ

ΑΣΤΑΡΑΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ 5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΙΓ ΑΛΕΩ

ΓΙΑΝΤΖΑ ΦΩΤΕΙΝΗ 2ο Λ ΥΚΕΙΟ ΙΛ ΙΟΥ

ΘΑΝΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π ΕτΡΟΥΠΟΛΗΣ

ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π ΕτΡΟΥΠΟΛΗΣ

ΚΑΛ ΥΒΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΚΟΛΕΛΗ MAPIA 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π ΕτΡΟΥΠΟΛΗΣ

Αποτελέσματα Πανελληνίου Διαγωνισμού «0 ΘΑΛΗΣ» 9-1 2-2006 ----------

ΚΟΤΣΑΜΠΟΥΓΙΟΥΚΟΓΛΟΥ ΗΛΙΑΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΧΑΪΔΑΡΙΟΥ

ΛΑΔΟΠΟΥ ΛΟΣ ΝΙΚΟΣ Ι ο ΕΝ ΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π ΕτΡΟΥΠΟΛΗΣ

ΜΑΧΑΙΡΟΥΔΙΑ ΓΕΝΟΒΕΦΑ 8ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π Ε Ρ ΙΣτΕΡΙΟΥ

ΜΗΤΡΟΠΟΥ ΛΟΥ ΚΑ ΤΕΡΙΝΑ 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α Ι ΓΑΛΕΩ

ΜΠΟΥ ΛΓΟΥΡΗΣ ΛΑΖΑΡΟΣ 6ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΙΓ ΑΛΕΩ

ΜΠΡΑΧΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ 2ο Λ ΥΚΕΙΟ Ι Λ ΙΟΥ

ΝΤΟΥΡΜΑΣ ΠΕΤΡΟΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΧΑΪΔΑΡΙΟΥ

ΟΣΑΝΑ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΙΔΙΩτΙΚΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ ΠΟΛ ΥΤΡΟΠΗ

ΑΡΜΟΝ ΙΑ

ΠΑΝΑΓΙΑΝΝΑΚΗ ΠΑΡΑΣΚΕΥΉ ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ ΝΤΑΓΚΑΣ Σ.

Π ΕΡΡΟΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΑΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΧΑΪΔΑΡΙΟΥ

ΡΕΠΠΑΣ ΧΡΥΣΟΒJτΣΙΝΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Α ΥΓΟΥ ΛΕΑ - ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ

ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΡΓΑΡJτΑ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π ΕτΡΟΥ ΠΟΛΗΣ

ΤΕΡΛΕΜΕΣ Ν ΙΚΟΛΑΟΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ τΣΙΑΜΟΥ Λ Η I.

τrJΑ:'<ΤΑΦΛΑΡΟΣ ΑΓΓΕΛΟΣ ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ ΝΤΑΓΚΑΣ Σ.

ΤΡΟΥ ΛΛΙΝΟΣ Μ ΙΧΑΛΗΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΓΙ ΕτΡΟΥΠΟΛΗΣ

ΤΣΙΟΥΝΗΣ Ν Ι ΚΟΛΛΟΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π ΕτΡΟΥΠΟΛΗΣ

ΤΩΜΛΔΑΚΗΣ ΠΟΛ ΥΒΙΟΣ ΙΔΙΩτΙΚΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ ΠΟΛ ΥΤΡΟΠΗ

ΑΡΜΟΝΙΑ

ΧΡΗΣτΙΔΗ ΔΕΣΠΟΙΝΑ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π ΕτΡΟΥΠΟΛΗΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΕΝΤΟΥΡΗ ΕΙΡΗΝΗ-ΜΙΚΑΕΛΑ ΑΥΓΟΥΛΕΑ - Λ Ι ΝΑΡΔΑΤΟΥ

Γ ΑΛΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ 5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Α Ι ΓΑΛΕΩ

ΣΤ ΑΜΟΥ ΛΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ 2ο Λ ΥΚΕΙΟ ΙΛ ΙΟΥ

ΣΤΕΡΓΙΟΠΟΥ ΛΟΥ ΔΙΟΝΥΣΙΑ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π ΕτΡΟΥ ΠΟΛΗΣ

ΤΣΕΚΟΥΡΑΣ ΙΑΣΟΝΑΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Π ΕτΡΟΥΠΟΛΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΠΟΥ ΛΟΥ ΑΘΛΝΛΣΙΑ ΙΔ ΙΩτΙΚΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ ΠΟΛ ΥΤΡΟΠΗ

ΑΡΜΟΝ ΙΑ

ΚΑΡΥΩΤΗΣ ΔΗΜ ΗΤΡΗΣ ΙΔΙΩτΙΚΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ ΠΟΛΥΤΡΟΠΗ

ΑΡΜΟΝ ΙΑ

ΣΑΡΑΝΤΛΚΟΣ ΗΛΙΑΣ 5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π ΕτΡΟΥ ΠΟΛΗΣ

ΣΚΑΠΕΡΛΣ ΣΩΤΗΡΗΣ ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ Α ΓΙΩΝ ΑΝΆΡΓΥΡΩΝ

ΣΚΛΑΒΟΥΝΟΣ ΧΛΡΑΛΑΜ ΠΟΣ 5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Α Ι Γ ΑΛΕΩ

ΧΙΩΤΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Ι ο EN IAIO ΛΥΚΕΙΟ Π ΕτΡΟΥΠΟΛΗΣ

ΓΡΕΒΕΝΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΑΤΖΗΖΗΣΗΣ ΒΛΣΙΛΕΙΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΕΣΚΑ ΤΗΣ

ΓΡΕΒΕΝΩΝ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΣΙΛΦΛΑΚΛ ΑΗΕΜΙΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΕΣΚΑ ΤΗΣ

ΓΡΕΒΕΝΩΝ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΚΑΝΤΗΡΛΓΑ ΧΑΡΟΥΛΑ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΓΡΕΒΕΝΩΝ

ΔΗ ΜΟΥ ΛΑ ΣΠΥΡΙΔΟΥ ΛΑ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΓΡΕΒΕΝΩΝ

ΔΡΟΥΓΚΑ ΖΩΗ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΕΣΚΑΗΙΣ ΓΡΕΒΕΝΩΝ

ΣΩΤΗΡΗ ΕΛΕΝΗ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΕΣΚΑ ΤΗΣ ΓΡΕΒΕΝΩΝ

Δ' ΑΘΗΝΑΣ Α ΠΙΚΗ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑΝΝΟΠΟΥ ΛΟΣ ΜΕΝΕΛΑΟΣ 6ο EN IAIO Λ ΥΚΕΙΟ Ν ΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

ΓΟΥΝΑΛΑΚΗ ΗΛΙΑΝΛ-ΕΛΕΥΘΕΡΙ Ίο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛΛΙΘΕΑΣ

ΔΑΣΚΑΛΑΚΗΣ ΙΛΣΟΝΑΣ 4ο ΕΝΙΛΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΛΙΜΟΥ

ΔΕΣΠΟΤΗΣ ΘΩΜΑΣ 5ο ΓΥΜΝΆΣΙΟ ΠΑΛΑΙΟΥ ΦΑΛΗ ΡΟΥ

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΜΑΡΙΛ-ΜΑΛΒΙΝΑ ΠΕΙΡ. ΕΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ Ν ΕΑ

ΣΜΥΡΝΗ

ΚΕ ΡΕΣΤΕΤΖΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Λ ΕΟΝΤΕΙΟ Λ YKEIO ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΟΛΙΑ Ν Ι ΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΕΝΟΠΟΥ ΛΟΥ

ΚΟΤΣΙΕΒΑ ΕΛΙΣΩ

Ίο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛΛΙΘΕΑΣ

ΚΟΥΤΣΟΠΟΥ ΛΟΣ ΘΟΔΩΡΗΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Α Λ Ι ΜΟΥ

ΜΗΤΡΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΛΕΟΝΤΕΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Ν ΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

ΞΥΓΓΗ ΕΛΕΝΗ 6ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Ν ΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

ΣΕΡΚΕΔΛΚΗΣ ΛΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Γ Λ ΥΦΑΔΑΣ

ΣΤ ΑΘΑΚΟΠΟΥ ΛΟΥ ΧΡΥΣΟΥ ΛΑ ΠΕΙΡ. ΕΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ

ΣΜΥΡΝΗ

ΣΤΛΛΙΟΣ ΔΟΜΕΝΙΚΟΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛΛΙΘΕΑΣ

ΤΖΩΡΤΖΑ ΤΟΣ ΣΠΥΡΟΣ Λ ΕΟΝΤΕΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Ν ΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

ΦΑΡΑΚΟΥΚΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΛΙΜΟΥ

ΧΑΤΖΗΡΟΔΟΣ Μ ΙΧΑΛΗΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΛΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΛΓΓΕΛΗΣ ΘΩΜΑΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ :-Ι ΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

ΔΑΛΑΜΑΓΚΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ 4ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ

ΔΕΙΚΤ ΛΚΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΠΕΙΡ. Ε Υ ΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ

ΣΜΥΡΝΗ

ΗΛΙΟΠΟΥ ΛΟΣ ΦΩΤΗΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΖΩΗ Γ.

ΚΛΛΠΥΡΗ ΜΛΡΙΛ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗΣ

ΚΟΥΣΤΕΝΗΣ ΚΑΝΕΛΛΟΣ-ΡΑΦΑΗΛ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΓΛ ΥΦΑΔΑΣ

ΜΠΟΥΛΟΥΤΑ ΣΟΦΙΑ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Ν ΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

ΝΤΟΚΟΣ ΕΡΜΗΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ !\ΓΙΟΥ Δ Η Μ ΗΤΡΙΟΥ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΦΡΟΥΔΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑΛΑΙΟΥ

ΦΛΛΗ ΡΟΥ

ΓΙΟΥ ΛΗ ΜΛΡΙΑ-ΕΥΓΕΝΙΑ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑΛΑΙΟΥ

ΦΑΛΗ ΡΟΥ

ΓΟΥΝΑΛΑΚΗΣ ΛΝΤΩΝΗΣ Ίο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛΛ ΙΘΕΑΣ

ΔΗΜΗΤΡΟΓΛΟΥ ΠΛΝΝΗΣ 5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ :-Ι ΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΑΤΣΕΛΗ ΒΑΣΙΛΙΚΉ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑΛΑΙΟΥ

ΦΑΛ Η ΡΟΥ

ΚΙΝΑΖΗΣ ΣΑΒΒΑΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ "ΙΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

ΛΟΓΟΘΕΤΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑΛΑΙΟΥ

ΦΑΛfΙ ΡΟΥ

Λ ΥΜΠΕΡΟΠΟΥ ΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Γ Λ ΥΦΑΔΑΣ

!\ΙΛΓΟΥΛΛ ΕΛΕΝΗ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑΛΑΙΟΥ

ΦΑΛΗΡΟΥ

ΤΖΛΒΛΡΛΣ ΣΠΥ ΡΙΔΩΝ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΙΒΠΑΝΙΔΕΙΟΥ

ΣΧΟΛΗΣ

ΤΣΟΛΑΚΙΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΔΗΜ ΗΤΡΙΟΥ

ΧΛΛΜΟΥΚΗΣ ΧΑΡΛΛΛΜΠΟΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗΣ

ΔΡΑΜΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΟΥ ΒΑΡΒΑΡΑ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ

ΘΩΙΔΟΥ KYPIAKH Ι ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ

ΚΑΙ ΚΤΖΟΓΛΟΥ MAPIA 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ

ΤΣΙΟΛΕΡΙΔΟΥ ΒΑΣΙΛ Ι ΚΉ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΡΟΥΣΣΟΠΟΥ ΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ

ΤΣΙ Μ ΠΟΥΚΕΛΛΗ ΜΑΡΙΑ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΙΔΗΣ ΛΡΙΣΤΕΙΔΗΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΔΡΑΜΑΣ

ΔΟΒΛΕΤΟΓ ΛΟΥ ΣΤΥ ΛΙΑΝΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ

ΚΑΡΛΠΑΝΝΙΔΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ

ΛΑΖΑΡΙΔΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ

!\ΙΙΧΑΗΛΙΔΗΣ ΛΝΤΩΝΗΣ 2ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ

ΠΛΝΛΓΙΩτΙΔΗΣ ΣΤΑΘΗΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ

ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΠΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ

ΔvτJΚΗΣ ΑΠΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ


ΒΟΥΡΔΟΥΜΠΑΣ ΦΑΝΗΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΜΑΓΟΥ ΛΑΣ

ΠΑΝΝΙΚΑΚΗ ΣΩΤΗΡΙΑ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΜΑΝΔΡΑΣ Α ΠΙΚΗΣ

ΚΟΛΟΒΟΥ ΣΟΦΙΑ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΕΛΕΥΣΙΝΑΣ

ΠΑΚτΙΤΗΣ ΠΩΡΓΟΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΝΩ Λ ΙΟΣΙΩΝ

ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΑΙΜΙΛΙΑ EIPHNH 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Μ ΕΓΑΡΩΝ ΑΠΙΚΗΣ

ΠΑΠΑΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΥ ΑΡΕΤΗ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΜΑΝΔΡΑΣ ΑΠΙΚΗΣ

ΠΕΠΠΑΣ ΠΑΝΝΗΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΜΑΝΔΡΑΣ Α ΠΙΚΗΣ

ΧΑ ΤΖΗΒΛΣΙΛΕΙΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΕΛΕΥΣΙΝΑΣ

ΔΡJτΣΑΣ ΚΩΝΣΤ ΑΝτΙΝΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΜΕΓ ΑΡΩΝ Α ΠΙΚΗΣ

ΚΑΛΛΙΕΡΗ ΜΑΡΙΑ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ

ΚΑΣΤΑΝ Η ΑΝΑΣΤΑΣΙΛ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Μ Ε ΓΑΡΩΝ ΑΠΙΚΗΣ

ΚΥΡΙΑΚΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΜΑΝΔΡΑΣ Α ΠΙΚΗΣ

ΞΕΚΟΥΚΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΕΛΕΥΣΙΝΑΣ

ΤΣΙΓΚΟΣ ΣΠΥΡΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΡΓΥΡΙΟΥ ΣΩΤΗΡΙΑ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΜΑΝΔΡΑΣ Α ΠΙΚΗΣ

ΒΕΛΕΝΤΖΑ ΓΕΩΡΠΑ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΕΛΕΥΣΙΝΑΣ

ΓΚΕΛΟΥ ΣΕΒΑΣΤΗ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΕΛΕΥΣΙΝΑΣ

ΚΟΛΟΒΟΥ ΙΟΥ ΛΙΑ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΕΛΕΥΣΙΝΑΣ

ΜΑΡΑΓΚΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΕΛΕΥΣΙΝΑΣ

ΜΙΚΕΔΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΕΛΕΥΣrΝΑΣ

ΠΑΠΛΚΩΝΣΤ Λ ΝτΙ ΝΟΥ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΜΑΝΔΡΑΣ Α ΠΙΚΗΣ

ΡΟΚΚΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΜΑΝΔΡΑΣ Α ΠΙΚΗΣ

ΔΩΔΕΚΑΝΉΣΟΥ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΦΛΝΤΕΝΟΥ ΑΝΤΩΝΙΑ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΡΧΆΓΓΕΛΟΥ

ΓΙΩΤΑ ΣΜΑΡΑΓΔΉ 3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ

ΓΚΑΒΟΠΑΝΝΗ ΚΥΡΙΑΚΗ ΡΟΔΙΩΝ ΠΑ ΙΔΕΙΑ

ΖΛΧΑΡΟΣ ΠΕΤΡΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΩ

ΚΙΟΥΖΕΛΟΓΛΟΥ ΗΛΙΑΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΩ

ΜΑΡΚΟΓΛΟΥ ΝΙ ΚΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΩ

ΜΑ ΥΡΟΝΙΚΟΛΑ ΜΑΡΙΑ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ

ΜΟΣΧΟΒΑΚΟΥ ΕΛΕΝΗ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ

ΜΠΛΛΑΛΗΣ ΔΗΜ ΗΤΡΗΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛ ΥΜΝΟΥ

ΜΠΟΥΚΟΥΒΑΛΑ ΛΓΓΕΛΑ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ

ΠΛΠΛΜΕΝΤΖΕΛΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΑ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ

ΣΑΡΗΓΙΑΝΝΗ ANNA-EI PHNH Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΩ

ΣΑΡΡΗ ΑΓΓΕΛΙΚΉ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ

ΣΤΑ ΥΡΙΔΟΥ MAPIA ΧΡΙΣτΙΝΑ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΟΡΩΝΗΣ ΡΟΔΟΥ

ΤΣΑΚΙ ΡΗΣ ΣΛΒΒΑΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΡΧΆΓΓΕΛΟΥ

ΧΑΤΖΗΝΙ ΚΟΛΑΟΥ ΑΡΓΥΡΩ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΩ

ΨΥ ΛΛΑΚΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΡΟΔΙΩΝ ΠΑΙΔΕΙΑ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΤΩΝΟΓΛΟΥ ΑΡΧΟΝΤΟΥΛΑ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ

ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΑΝΤΩΝΗΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ .ΡΟΔΟΥ

ΚΑΖΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ

ΚΟΥ ΛΛΙΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛ ΥΜΝΟΥ

ΚΥΖΑΛΑΣ ΣΤΑΥΡΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ

ΛΑΓΚΑΝΗ ΦΙΛΑΡΕΤΗ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ

ΜΑΡτΙΝΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛ ΥΜΝΟΥ

ΜΕΙΧΑΝΕΤΖΙΔΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ ΡΟΔΙΩΝ ΠΑΙΔΕΙΑ

\Α ΚΟΣ ΑΡΙΣΤΕΗΗΣ ΡΟC.!ΩΝ Π Λ !C. Ε ! Α

ΠΕΤΡΟΠΟΥ.\ΟΣ ΣΟΦΟΚΛΗΣ ΕΝ!.-\10 Λ ΥΚΕ!Ο Α Π Ε Ρ!ΟΥ

ΠΟ.\ΙτΗΣ ΕΜΜΑ!'ΙΟΥΗΛ ΕΝ!.-\10 Λ ΥΚΕ!Ο ΑΠ ΕΡ!ΟΥ

ΣΑΡΟΥΚΟΣ :'1/Ι ΚΟΣ ΡΟΔ!ΩΝ Π Α ! Δ Ε ! Α

ΣΜΑΡΝΙΑΝΑΚΗΣ ΓΛΑΥΚΟΣ ΜΟΥΣ!ΚΟ Λ Υ Κ Ε ! Ο ΡΟΔΟΥ

ΣΤΑ�10Υ ΑΛΙΚΗ 2ο Ε Ν ! Α ! Ο Λ YKEIO ΡΟΔΟΥ

ΣΩΤΗ ΡΑΚΗ ΑΙ Κ.ΗΕΡΙΝΗ 3ο ENIA!O Λ ΥΚΕ!Ο ΡΟΔΟΥ

ΣΩΤΗΡΟΠΟΥ.\ΟΣ ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ 2ο ΕΝ!Α!Ο .\ ΥΚΕ!Ο ΡΟΔΟΥ

ΤΣΙΓΚΡΑΣ ΙΩΑΚΕΙ'Ι 2ο ΕΝ!Α!Ο .\ΥΚΕ!Ο ΚΑΛΥΜΝΟΥ

ΦΙ.\ΙΠ Π ΗΗΣ Α'ΠΡΕΑΣ ΕΝ!.-\10 .\ ΥΚΕ!Ο ΛΠΕ Ρ!ΟΥ

Γ ΛΥΚΕIΟΥ ΜΚΟ.\ΗΣ λΗ,ΙΗΤΡΗΣ 2ο ES!.-\ 1 0 .\ ΥΚΕ!Ο ΡΟΔΟΥ

ΣΤΑ\ Ι..\. ΠΑλΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 2ο ESI.-\ 1 0 .\ ΥΚΕ!Ο ΡΟΔΟΥ

Ε Β ΡΟΥ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΡΓΙΩΤΟΥλΗ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΑ ESIA!O .\ ΥΚΕ!Ο C. ! Δ YMOTEIXOY

Ε Β ΡΟΥ

ΜΗΤΚ.-1. Ε.\IΣΑΒΕΤ ΕΝ!Α!Ο . \ ΥΚΕΚJ .liΔ �ΟτΕΙΧΟΥ ΕΒΡΟΥ

ΤΟΚ.-\.\1 .-Ι. Ν Η ΓΕΩΡΓΙΑ ENWO . \\ l<.E!O .liΔ ΥΜΟτΕ!ΧΟΥ ΕΒΡΟΥ

ΧΡΗΣΤΑIΝΑΣ ΓΡΗΓΟΡΗΣ Β ΛΥ ΚΕΙΟΥ ΠΑΠΑΖΗ.\Α ΚΗ 'IAPIA ENIAIO . \\ l<.E!O lli ΥΜΟτΕ!ΧΟΥ ΕΒΡΟΥ

Γ AYKEIOY ΔΑΡΗΟΥ Ε.\ΕΝΗ 2ο ESL-\10 . \ ΥΚΕ!Ο ΟΡΕΣ"ΠΑΔΑΣΕΒΡΟΥ

ΕΥΒΟΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΓΙΑ\ΝΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΝ!Α!Ο .\ ΥΚΕ!Ο ΒΑΘ ΕΟΣ Α Υ Λ Ι ΔΑΣ

ΑΡΒΑΝΙτΗ 'ΙΑΡΙΑ-ΙΣΜ ΗΝΗ ΕΝ!.-\10 .\ ΥΚΕΙΟ ΚΑΡΥΣτΟΥ ΕΥΒΟ!ΑΣ

ΑΦΡ.ΗΗ Α\ΑΣΤΑΣΙΑ !ο ES! .-\ ! 0 .\ Υ Κ Ε ! Ο ΧΑΛΚ!ΔΑΣ

ΕΥΒΟ!.-\Σ

8.\.-\ΧΟΓΙ .-\\ΝΗ AIKATEPINH Ε Ν ! .-\ ! 0 .\ YKEIO ΙΣτ Ι Α ΙΑΣ

ΓΙΑΓΚΟΥ ΒΙ ΡΓIΝΙΑ ENI .-\ 10 .\ ΥΚΕΙΟ ΙΣτΙΑΙΑΣ

ΓΙΑ\Ν ΙτΣΟΥΔΗ ΑΡΓΥΡΩ Ε Ν Ι Α ! Ο Λ YKEIO ΙΣτΙΑΙΑΣ

ΔΟΥ.\.<\:\Ι ΗΣ ΗΛΙΑΣ l ο ENIAIO Λ YKEIO ΧΑΛΚΙΔΑΣ

ΕΥΒΟΙΑΣ

ΚΑΚΑΡΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΕΝΙΑ!Ο Λ YKEIO ΒΑΣΙΛΙΚΟΥ ΕΥΒΟIΑΣ

ΚΟΚΚΟΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ENIAIO Λ Y K E I O ΚΑΝΗΘΟΥ

ΚΟΥΒΛΗΣ Α:"ΙΑ ΡΓΥΡΟΣ ENIAIO Λ YKEIO ΙΣτ Ι Α ΙΑΣ

ΤΟΥΛΟΥΜ Η ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ ENIAIO Λ YKEIO ΒΑΣΙΛΙΚΟΥ ΕΥΒΟΙΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΕΞΙΟΥ ΕΥ ΑΓΓΕΛΙΑ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Λ Ι ΜΝΗΣ ΕΥΒΟΙΑΣ

ΑΛΕΞΙΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ ENIAIO Λ YKEIO Λ Ι ΜΝΗΣ ΕΥΒΟΙΑΣ

ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ENIAIO Λ YKEIO Λ Ι Μ Ν ΗΣ ΕΥΒΟIΑΣ

ΚΟΤΡΟΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΑΜ ΑΡΥΝΘΟΥ

ΕΥΒΟΙΑΣ

ΚΟΥΒΑΡΗ ΜΑΡΙΑ ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΙΣτΙΑ!ΑΣ

ΜΑΔΕΝΛΙΔΟΥ ΣΤΑ ΥΡΟΥ ΛΑ ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΛΟΥΤΡΩΝ Α ΙΔΗΨΟΥ

ΕΥΒΟ!ΑΣ

ΞΑΝΘΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΝ!Α!Ο Λ ΥΚΕ!Ο !Στ!Α!ΑΣ

ΠΑΠΑΝΔΡΕΟΥ ΚΩΣΤΑΣ ΕΝ!Α!Ο Λ ΥΚΕ!Ο !Στ!Α!ΑΣ

ΣΤΑΜΑΤΟΥΚΟΥ ΣΟΦΙΑ 4ο ΕΝ!Α!Ο Λ ΥΚΕ!Ο ΧΑΛΚ!ΔΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΤΩΝΙΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ ΕΝ!ΑΙΟ Λ YKEIO Ν ΕΑΣ Αrτ ΑΚΗΣ

ΕΥΒΟ!ΑΣ

ΓΙΑΓΚΟΣ Ν Ι ΚΟΣ ΕΝ!Α!Ο Λ Υ Κ Ε ! Ο ΙΣτ!Α!ΑΣ

ΓΚΟΥΝΤΑΣ ΚΩΣΤΑΣ 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΧΑΛΚΙΔΑΣ

ΜΠΕΜΠΕΛΟΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ ENIAIO Λ Y K E I O ΙΣτJΑΙΑΣ

Ν Ι ΚΟΛΆΟΥ ΑΛΕΞΆΝΔΡΑ ENIAIO Λ Y K E I O ΚΑΝΗΘΟΥ

ΧΕΛΑΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ


ENIA!O Λ ΥΚΕ!Ο ΚΑΝ ΗΘΟΥ

ΕΥΡΥΤΑΝΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Α::ΟΟΑΓΝΩΣΤΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΡΠΕΝΗΣΙΟΥ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΣΑΚΝΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΡΠΕΝΗΣΙΟΥ

ΖΑΚΥΝΘΟΥ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΡΟΚΚΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 3 ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑ ΤΑΣτ A P IOY

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΛΛΙ ΒΩΚΑΣ ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ 2ο ΕΝΙΑ!Ο Λ YKEIO ΖΑΚΥΝΘΟΥ

ΗΛΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕIΟΥ ΑΒΡΑΜΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΔΟΞΙΑ ENIAIO Λ YKEIO ΖΛΧΑΡΩΣ Η Λ Ε ΙΑΣ

ΔΑΜΆΣΚΟΥ ΧΡΙΣτΙΝΑ ENIAIO Λ YKEIO ΠΕΛΟΠΙΟΥ Η Λ Ε ΙΑΣ

ΔΑΝΙ ΚΑΣ Χ ΡΥΣΑΝΘΟΣ 4ο Λ ΥΚΕΙΟ ΠΥΡΓΟΥ Η Λ Ε ΙΑΣ

ΚΟΛΟΒΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΣ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΑΜΑΛ ΙΑΔΑΣ

ΗΛΕΙΑΣ

ΚΟΝΤΟθΑΝΑΣΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΑΜΑΛ ΙΑΔΑΣ

Η Λ Ε ΙΑΣ

ΚΟΡΚΟΛΗΣ ΠΑΝΛ ΓΙΩΤΗΣ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Π Υ ΡΓΟΥ Η Λ Ε ΙΑΣ

ΚΟΤΣΙΦΑ ΕΥΓΕΝΙΑ 4ο Λ YKEIO ΠΥΡΓΟΥ ΗΛΕΙΑΣ

ΜΑ ΡΚΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 4ο Λ ΥΚΕΙΟ Π Υ ΡΓΟΥ Η Λ Ε ΙΑΣ

ΝΤΥΜΕΝΟΥ IOY ΛΙΑ 2ο ENIAIO Λ YKEIO Α Μ Α Λ Ι ΑΔΑΣ

ΗΛΕΙΑΣ

ΟΙ ΚΟΝΟΜΟΠΟΥ ΛΟΣ Α ΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Α Μ Α Λ Ι ΑΔΑΣ

ΗΛΕΙΑΣ

ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΔΙΟΝΥΣΙΟΣ I ο ENIAIO Λ YKEIO Π ΥΡΓΟΥ Η Λ Ε ΙΑΣ

ΠΑΠΑΔΗΜΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ENIAIO Λ Y K E I O ΖΑΧΑΡΩΣ Η Λ ΕΙΑΣ

ΠΟΛΥΔΩΡΟΣ ΒΗΣΣΑΡΙΩΝ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΑΜΑΛ ΙΑΔΑΣ

ΗΛΕΙΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΒΡΑΜΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΣΗΜΑΚΗΣ ENIAIO Λ YKEIO ΖΑΧΑΡΩΣ Η Λ Ε Ι ΑΣ

ΔΟΥΝΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΥΡΓΟΥ Η Λ Ε ΙΑΣ

ΚΩΝΣΤΑΝΤΟΥΛΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Ι ο ENIAIO Λ YKEIO ΑΜΑΛΙΑΔΑΣ

ΗΛΕΙΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΛΑΣΟΠΟΥ ΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΑ Ι ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΑΛ ΙΑΔΑΣ

ΗΛΕΙΑΣ

ΔΗΜ ΗΤΡΟΥΛΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 4ο Λ YKEIO ΠΥΡΓΟΥ Η Λ Ε ΙΑΣ

ΚΑΤΣΙΚΑ Π Η Ν ΕΛΟΠΗ ENIAIO Λ YKEIO ΓΙΕΛΟΠΙΟΥ ΗΛΕΙΑΣ

ΗΜΑΘΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΑΑΦΟΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ I ο ENIAIO Λ YKEIO Β ΕΡΟΙΑΣ

ΑΝΑΣΤΑΣΟΠΟΥ ΑΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ 4ο EN!AIO Λ ΥΚΕ!Ο ΒΕΡΟΙΑΣ

ΒΑΡΑΚΛΗ ΑΝΝΑ 4ο ENIAIO Λ ΥΚΕ!Ο ΒΕΡΟ!ΑΣ

ΓΚΟΥΣΔΟΥΒΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ! ο ΕΝ!ΑΙΟ Λ ΥΚΕ!Ο ΝΑΟΥΣΑΣ

ΕΥΘΥΜΙΑΔΟΥ ΘΑΛΕΙΑ 4ο ENIAIO Λ Y K E IO ΒΕΡΟΙΑΣ

ΚΟΓΙΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 4ο ΕΝΙΑ!Ο Λ ΥΚΕ!Ο Β Ε ΡΟ!ΑΣ

ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΠΟΥ ΛΟΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ 4ο EN!AIO Λ ΥΚΕ!Ο ΒΕΡΟΙΑΣ

ΜΕΛIΟΠΟΥ ΛΟΥ ΚΥΡΙΑΚΉ !ο ENIAIO Λ ΥΚΕ!Ο Β F. ΡΟ!ΑΣ

ΜΙΚΡΟΠΟΥΛΟΥ ΙΩΑΝΝΑ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕ!Ο Ν ΑΟΥΣΑΣ

ΜΟΛ ΥΒΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ l ο ENIAIO Λ YKEIO Ν ΑΟΥΣΑΣ

ΜΠΑΛΤΖΗΣ ΑΝΤΩΝΗΣ 4ο EN!AIO Λ ΥΚΕ!Ο ΒΕΡΟΙΑΣ

ΜΠΟΥΝΤΟΥΣΗΣ ΠΑΝΑΓΙ!!l"ΗΣ ΕΝ Ι Α ΙΟ Λ Υ Κ Ε !Ο Μ Ε Λ Ι Κ Η Σ Η Μ ΑΘ!ΑΣ

Π ΡΟΥΣΑΛΗ ΕΥΘΥΜΙΑ l ο Ε Ν Ι Α ! Ο Λ ΥΚΕ!Ο ΝΑΟΥΣΑΣ

ΤΖΗΜΟΥ ΜΙΧΑΗΛΙΑ l ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Α Λ ΕΞΆΝΔΡΕΙΑΣ

ΗΜΑΘΙΑΣ

ΤΣΙΛΙΓΓΕΡΙΔΗΣ ΣΤΑ ΥΡΟΣ 4ο ENIAIO Λ ΥΚΕ!Ο ΒΕΡΟΙΑΣ

ΧΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ENIAIO Λ YKEIO ΜΕΛΙΚΗΣ Η ΜΑΘ !ΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΜΒΡΟΣΙΔΗΣ ΘΕΟΚΛΗΣ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΒΕΡΟ!ΑΣ

ΒΑΦΕΙΔΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ ΣΑΦΑΡ ΙΚΑΣ I . - Μ Π Α Ρ Μ Π Α ΡΟΥΣΗΣ Λ.

ΓΑΡΕΦΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΣ !ο ΕΝ!Α!Ο ΛΥΚΕ!Ο ΑΛ ΕΞΑΝΔΡΕ !ΑΣ

ΗΜΑΘΙΑΣ

ΓΙΑΡΙ ΜΠΑΜΠΛ ΔΕΣΠΟΙΝΑ 3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΒΕΡΟΙΑΣ

Μ Π Ι ΚΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 2ο EN!AIO Λ ΥΚΕ!Ο ΒΕΡΟIΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΡΑΓΙΑΝΝΟΠΟΥ ΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ !ο ENIA!O ΛΥΚΕ!Ο Ν ΑΟΥΣΆΣ

ΚΑΤΣΙΆΝΙΔΟΥ ΑΡΙΑΝΑ-ΝΙ ΚΟΛΕΤΑ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΆΛΕΞΆΝΔΡΕΙΆΣ

ΗΜΑΘΙΆΣ

ΚΟτΙΔΗΣ ΑΝΕΣΤΗΣ 2ο ΕΝΙΆ!Ο Λ YKEIO Β Ε ΡΟ!ΆΣ

ΣΙΜΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΓΓΕΛΟΣ 4ο Ε Ν Ι Ά ! Ο Λ Y K F. ! O ΒΕΡΟΙΆΣ

Η ΡΑΚΛΕΙΟΥ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΥΦΑΝΤ ΑΚΗ ΑΝΝΑ 3ο ΕΝΙΆΙΟ Λ Y K E I O Η Ρ Ά Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΒΑΚΟΥΦΤΣΗ ΝΑ Τ ΑΣΑ ΠΑΓΚΡΙΠΙΟΝ

ΚΑΠ ΕΤΑΝΑΚΗΣ ΜΑΡΚΟΣ 2ο ENIA!O Λ Υ Κ Ε ! Ο ΗΡΆΚΛΕ ΙΟΥ

ΚΟΥΜΑΝΤΖΙΛ ΔΩΡΟΘΕΑ ΠΆΓΚΡΗτJΟΝ

ΚΡΑΣΑΝΑΚΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ Π Ε Ι !'. EN!AIO Λ ΥΚΕΙΟ

ΛΑΜΠ ΡΑΚΗ ΕΙΡΗΝΗ 3ο Ε Ν Ι Ά ! Ο ΛΥΚΕ!Ο Η ΡΆ Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΜΑΡΑΓΚΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ-ΜΙΛΤΟΣ ΠΛΓΚΡΗτJΟΝ

ΜΟΧΙΑΝΑΚΗ ΜΑΡΙΛΕΝΑ 2ο ΕΝΙΛ!Ο ΛΥΚΕ!Ο ΗΡΆΚΛΕ ΙΟΥ

ΜΠΟΛΑΚΗΣ ΖΑΧΑΡΗΣ 2ο ΕΝ!Ά!Ο Λ ΥΚΕΙΟ Η ΡΆΚΛΕΙΟΥ

ΟI ΚΟΝΟΜΟΠΟΥΛΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕ!Ο ΗΡΆΚΛΕ ΙΟΥ

ΡΙΣτJ ΒΟΤΕΒΗΣ ΣΟΝΙΑ ΓΥΜΝΆΣΙΟ Λ I M F.NA Χ Ε ΡΣΟΝΗΣΟΥ

Η ΡΆ Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΣΜΠΩΚΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ι ο Ε Ν Ι Ά Ι Ο Λ YKEIO Η Ρ Ά Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΣΟΥΛΤΛΊΌΥ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ .Jo ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO Η Ρ Λ Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΣΥΓΓΕΛΑΚΗ ΕΛΕΝΗ 8ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO !ΙΡΑΚΛΕ ΙΟΥ

ΣΩΜΑΡΑΚΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ENIAIO Λ YKEIO Ν ΕΑΣ

ΑΛΙΚΑΡΝΑΣΣΟΥ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΤΖΑΝΙΔΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΠΑΓΚΡΗτJΟΝ

ΤΖΩΡl"ΖΟΠΟΥ ΛΟΥ ΚΥΡΙΑΚΟΥ ΛΑ Ι ο ΕΝΙΆ!Ο ΛΥΚΕΙΟ Η ΡΛΚΛΕ!ΟΥ

ΤΡΥΠΑΚΗΣ ΜΑΝΟΣ I !ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕ ΙΟΥ

ΧΑΤΖΑ ΚΗ ΜΑΡΙΛΕΝΑ 2ο ENIAIO Λ YKF.IO ΗΡΆΚΛΕ ΙΟΥ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΕΤΑΚΗ ΔΑΝΑΗ-ι\ΕΣΠΟΙΝΑ 3ο ENIAIO Λ YKEIO Ι Ι ΡΑΚΛΕ ΙΟΥ

ΑΝΔΡΟΥ ΛΑΚΗΣ Ν Ι ΚΟΣ 3ο ΕΝ!ΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Η Ρ Ά Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ ΛΕΥΤΕΡΗΣ Ι ο ENIAIO Λ YKEIO Η ΡΑΚΛΕ!ΟΥ

ΔΡΑΚΩΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 5 ο ENIAIO Λ YKEIO Η Ρ Ά ΚΛ Ε ΙΟΥ

ΚΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 3 ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Ι·Ι ΡΑΚΛ Ε ΙΟΥ

ΚΟΥΝΕΝΟΣ ΜΑΝΩΛΗΣ ENIAIO Λ YKEIO ΜΕΛ ΕΣΩΝ

Η ΡΆΚΛΕ ΙΟΥ

ΚΡΑΣΑΚΗΣ ΑΝΤΩΝ ΗΣ 3ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο Η Ρ Α Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΦΡΛΓΚΙΑΔΑΚΗ ΒΑΣΙΛΕΙΑ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΗΡΛΚΛΕΙΟΥ

ΦΡΑΓΚΟΥΛΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΕΙΡ. ENIAIO Λ YKEIO

ΦΥΣΑΡΑΚΗ ΚΑΛΛIΟΠΗ ΠΕΙΡ. ENIA!O Λ Y K E I O

ΧΡΗΣΤ ΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 2ο ENIAIO Λ YKEIO Η ΡΑΚΛ ΕΙΟΥ

ΧΡΥΣΟΣ ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ 2ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε ΙΟ Ι i ΡΑΚΛΕ ΙΟΥ

ΨΥΧΑΡΑΚΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Ι ο ENIA!O ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΓΙΟΡΓΙΩΤΑΚΗΣ ΜΙΧΑΗΛ 2ο ENIAIO Λ YKEIO Η ΡΆ Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΑΝΤΩΝΙΑΔΗΣ ΚΑΡΟΛΟΣ Π Ε Ι Ρ . Ε Ν Ι Ά Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ

ΚΑΛΟΓΕΡΑΚΗΣ ΑΝΤΩΝΗΣ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕ ΙΟΥ

ΜΠΟΛΛΚΗ ΜΛΡΙΑ 2ο ENIAIO Λ YKEIO Η ΡΆ Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΠΑΠΑΦΡΑΓΚΑΚΗΣ Α ΠΟΣΤΟΛΟΣ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/4 1

3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΗΡΆΚΛΕΙΟΥ

ΣΤΡΑΤΆΚΗ ΒΑΓΓΕΛΙΩ !ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Η ΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΤΖΙΡΙτΑ ΖΑΧΑΡΑΤΟΥ ΕΛΕΝΗ 8ο ΕΝ Ι Α !Ο Λ ΥΚΕΙΟ Η ΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΤΡΑΓΑΝΙΤΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΠΕΙΡ. ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ

ΤΣΑΠΑΚΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΖIΟΥ ΗΡΆΚΛΕΙΟΥ

ΘΕΣΠΡΩτJΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΥΤΣΟΓΙΑΝΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΣ !ο EN!AIO Λ ΥΚΕΙΟ ΗΓΟΥΜΕΝ ΙΤΣΑΣ

ΜΑΝΤΖΙΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝl"ΙΝΟΣ !ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ Η ΓΟΥΜΕΝΠΣΑΣ

ΝΤΕΤΣΙΚΑ ΜΑΓΔΑΛΗΝΗ Ι ο EN!AIO Λ ΥΚΕΙΟ Η ΓΟΥΜΕΝΠΣΆΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΡΡΑΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ Ι ο ENIAIO Λ YKEIO Η ΓΟΥΜΕΝΠΣΆΣ

Γ ΛΥΚΕIΟΥ ΓΕΩΡΓΟΥΛΑΣ ΠΕΤΡΟΣ 2ο EN!AIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο Η ΓΟΥΜΕΝΠΣΑΣ

ΙΩΑΝΝ/ΝΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΟΧΑΡΗ ΜΙ ΚΕΛΑ 3 ο EN!AIO Λ YKEIO ΙΩΆΝΝ ΙΝΩΝ

ΚΑΡΑΤΖΕΝΗ ΙΣΜΗΝΗ-ΧΑΡΙΚΛΕ 4ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΙΩΑΝΝ ΙΝΩΝ

ΛIΑΓΚΟΥ ΧΡΥΣΑ Υ ΑΓΗ-ΜΑΡΙΑ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΑΝΑΤΟΛΗΣ

ΙΩΛΝΝ !ΝΩΝ

ΜΕΛΙΣΣΟΥΡΓΟΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ ΔΩΔΩΝ Α Ι Α ΕΚΠ/ΡΙΆ

ΜΠΑΤΣΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΩΔΩΝΑ Ι Α ΕΚΠ/ΡΙΑ

Μ ΠΟΛΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Ε Ν Ι Ά Ι Ο Λ YKEIO ΖΩΣΙΜΑΙΑ ΣΧΟΛΗ

ΠΟΥ ΛΙΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

Π ΡΟΥΣΚΑΣ ΜΑΡΙΟΣ-ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ι ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

ΦΕΡΕΝτΙΝΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ENIAIO Λ YKEIO ΖΩΣ Ι Μ Ά Ι Ά ΣΧΟΛΗ

Β ΛΥΚΕIΟΥ ΔΕΜΙΡΤΖΟΓΛΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ίο ΕΝ Ι Α !Ο Λ Υ Κ Ε ! Ο ΙΩΑΝΝ ΙΝΩΝ

ΘΕΟΔΩΡΙΚΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΔΩΔΩΝΛ Ι Α ΕΚΠΙΡΙΆ

ΚΛΡΛΜΠΙ ΝΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ Ι ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

ΜΟΥΣΤΑΛΑΣ ΛΑΕΡΤΗΣ Ίο ENIAIO Λ ΥΚΕ!Ο ΙΩΆΝΝΙΝΩΝ

ΝΤΑΣΚΑΓΙΑΝΝΗ ΠΑΝΑΓΙΟΥΛΑ Ε Ν Ι Α ΙΟ Λ YKEIO ΖΩΣ Ι Μ Α Ι Α ΣΧΟΛΗ

ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ ΑΡΗΣ 3ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

ΠΑΠΠΑΣ ΜΙΧΑΗΛ ΔΩΔΩΝΆΙΆ ΕΚΠ/ΡΙΑ

ΣΥΜΙΝΕΛΑΚΗ ΘΑΛΕΙΑ ΔΩΔΩΝΆ Ι Α ΕΚΠΙΡ!Α

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΝΙ ΚΟΣ ΚΟΣΜΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 3 ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΙΩΑΝΝΙ ΝΩΝ

ΛΑΓΚΑΣ - ΝΙ ΚΟΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΖΩΣ Ι Μ Α Ι Ά ΣΧΟΛΗ

ΜΑΣΤΟΡΑΣ ΑΡΙΣΤΕΙΔΗΣ ENIAIO Λ YKEIO ΖΩΣ Ι Μ Α Ι Α ΣΧΟΛΗ

ΜΕΛ ΙΣΣΟΒΑΣ ΣΟΦΟΚΛΗΣ !ο EN!AIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΙΩΑΝ Ν ΙΝΩΝ

Μ ΗΛΙΩΝΗΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ 4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΙΩΑΝΝ ΙΝΩΝ

ΠΑΠΠΑΣ ΣΤΑ Υ ΡΟΣ 4ο ΕΝΙΆΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΙΩΑΝΝ !ΝΩΝ

ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ ΞΕΝΟΦΩΝ 4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ YKEIO ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

ΚΑΒΑΛΑΣ Α ΛΥΚΕIΟΥ ΓIΑΝΝ ΙΩΤΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΣ 3 ο EN!AIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΆΒΑΛΑΣ

ΓΚΡΑΝΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ 5ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΒΑΛΑΣ

ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΔΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ 3 ο E N I A IO Λ YKEIO ΚΛΒΑΛΑΣ

ΟΦΡΥ ΔΟΠΟΥ ΛΟΥ ΑΝΝΑ 2ο EN!AIO Λ YKEIO ΚΑΒΑΛΑΣ

τJΦΚΙΤΣΗΣ ΚΩΣΤΑΣ 3 ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΒΑΛΑΣ

ΤΣΑΡΟΥΧΑ ΔΕΣΠΟΙΝΑ 5 ο ΕΝΙΆΙΟ Λ YKEIO ΚΑΒΑΛΑΣ

ΤΣΟτΣΚΑΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ 5ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΒΑΛΑΣ

ΧΑΤΖΗΓΙΑΝΝΑΚΟΥ ΜΑΡΙΑ 2ο ΕΝΙΆΙΟ Λ YKEIO ΚΑΒΑΛΑΣ

ΧΡΥΣΟΣΤΟΜΙΔΗΣ ΑΝΕΣΤΗΣ 3 ο ΕΝΙΆΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑ ΒΑΛΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΑΜΠΕΛΗ ΜΑΡΙΛ 3ο ΕΝΙΆΙΟ Λ Υ Κ Ε !Ο ΚΑΒΑΛΑΣ

ΚΟΥΚΟΥ ΞΑΝΘΗ

3ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΒΑΛΑΣ

ΜΑΝΔΡΙΝΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΑΣ

ΜΑΧΜΟΥΚΙΩΤΗΣ ΝΕΡΑΝΤΖΗΣ 5ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΑΣ

ΜΠΑΝΤΗ MAPIA ENIAIO Λ YKEIO Ν Ι Κ ΗΣΙΑΝΗΣ

Μ ΠΟΥΖΕΛΟΣ ΓΑΒΡIΗΛ-ΡΑΦΑΗΛ 5ο ΕΝΙΛΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΑΣ

ΣΕΪΤΑΝΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ 6ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΑΣ

ΤΣΑΤΣΟΠΟΥΛΟΣ ΘΩΜΑΣ Ι ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΑΣ

Γ ΛΥΚΕ/ΟΥ ΔΕΜΙΡΤΖΟΓΛΟΥ ΘΩΜΑΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΛΒΑΛΑΣ

ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ ΘΩΜΑΣ !ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΑΒΑΛΑΣ

ΚΟΥΡΙΔΗΣ ΣΤ Α ΥΡΟΣ !ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΑΣ

ΛΑΣΚΑΡΙΛΗΣ ΚΩΣΤΑΣ 5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΑΣ

ΠΑΠΛΠΑΝΑΓΙΩΤΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ 5ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΑΣ

ΠΕΤΡΙΔΗΣ ΠΕΤΡΟΣ Jo ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΒΑΛΑΣ

ΠΟΛΑΤΟΓΛΟΥ ΙΟΡΔΑΝΗΣ 5ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΒΑΛΑΣ

ΡΑΜΚΑΪ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΑΒΑΛΑΣ

ΣΟΦ/ΑΝΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΙΜ ΙΛΙΟΣ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΑΣ

ΧΑ ΤΖΗ ΚΥΡΙΑΚΙΔΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΛΣ

ΧΡΥΣΟΧΟΪΔΟΥ MAPIA 6ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΒΑΛΑΣ

ΚΑΡΔJτΣΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΛΗΓΙΑΝΝΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΠΟ ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΚΑΡΑΚΑ�ΙΠΑ ΑΛΙΝΑ 4ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΚΑΡΥΔΑΣ ΜΑΤΘΑΙΟΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΚΑΤΣΙΩΝΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ !ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΚΟΥΚΟΣΙΑΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ !ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΜΗΝΟΥ ΕΥΦΡΟΣΥΝ Η 3ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΝΤΑΝΤΑΜΗΣ ΑΘΑΝΑΣ/ΟΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔ ΙΤΣΑΣ

ΝΤΡΙΣΜΠΙΩΤΗ ΚΩΝΣΤΑΝτιΝΑ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΠΑΛΑΝΤΖΑ EIPHNH 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ ΕΥ ΑΓΓΕΛΟΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΠΣΑΣ

Π ΡJτΣΑΣ ΘΩΜΑΣ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΤΣΙΝΟΠΟΥ ΛΟΥ ΧΑ ΡΟΥ ΛΑ 5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΠΣΑΣ

Β ΛΥΚΕ/ΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗ ΕΛΕΝΗ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΦΑΝΑΡΙΟΥ

ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ 5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΒΑΪΟΠΟΥ ΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ MOYZA KIOY

ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΓΚΙΝΗ ΚΩΝΣΤΑΝτιΑ-ΠΑΡ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ MOYZAKIOY

ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΚΑΤΣΑΡΟΥ ΛΕΜΟΝIΑ Ι ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΜΠΛΛΛΑ ΘΕΟΠΙΣΤΗ 5ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΝΤΟΥ ΛΑΒΕΡΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΣΑΡΑΦΗ ΒΑΣ!ΛΙΚΗ ΧΑΡΜΠΑ ΜΥΡΙΟΚΑΛΗ !ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΠΣΑΣ

Γ ΛΥΚΕ/ΟΥ ΜΕΛΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 4ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΣΟΦΟΣ ΓΡΙΙΓΟΡΗΣ 3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΚΑΣΤΟΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΛ ΥΡΕΝΤΑΚΗΣ ΜΛΝΩΛΗΣ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ

ΣΑΛΠΙ ΓΓΙΔΟΥ ΧΡΙΣτιΝΑ 3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΠΟΡΙΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ Ι ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΠΟΡΙΑΣ

ΝΑΣ/ΟΣ Σ/ΜΟΣ ! ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΠΟΡΙΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΤΩΝ!ΑΔΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ


! ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ

ΚΟΥΚΟΥΦ Ι ΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ

ΜΑΛΕΑΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΠΟΡΙΑΣ

ΠΑΝΤΑΖΟΠΟΥ ΛΟΣ ΠΑΝΤΕΛΕΗ ΜΩΝ !ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΠΟΡΙΑΣ

ΚΕΡΚΥΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΡΥ ΔΗΣ Θ ΡΑΣΥΒΟΥ ΛΟΣ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Κ ΕΡΚΥΡΑΣ

ΜΑ ΥΡΩΝΑΣ Ν Ι ΚΟΣ 3ο ENIAIO Λ Y K E I O Κ ΕΡΚΥΡΑΣ

ΝΙΚΑΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΕΡΚΥΡΑΣ

ΝΙΚΟΠΟΥΛΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ 3ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΕΡΚΥΡΑΣ

ΠΟΛJτΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ

ΡΕΒΥΘΗΣ ΑΝΤΩΝΗΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΛΟΥΔΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτιΝΟΣ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ

ΚΕΦΑΛΛΗΝΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΣΣΑΡΗΣ ΓΕΡΑΣΙ ΜΟΣ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Α Ρ ΓΟΠΟΛΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΛΟΝ ΙΑΣ

ΜΕΤΑΞΑΣ ΔΗΜΗrΡΗΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Α Ρ ΓΟΠΟΛΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΛΟΝΙΑΣ

ΜΠΑΖΙ ΓΟΣ ΔΙΟΝΥΣΗΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΡΓΟΠΟΛΙΟΥ


ΣΙΛΑΤΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ENIAIO Λ YKEIO ΚΕΡΑΜΕΙΩΝ


Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΔΡΕΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Α ΡΓΟΠΟΛ ΙΟΥ

Κ ΕΦΑΛΛΟΝΙΑΣ

ΜΟΥΡΕΛΑΤΟΥ ΛΑΟΥΡΑ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΜΕΙΩΝ


ΚΙΛΚΙΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΑΡΙΔΟΥ Ν Ι ΚΟΛΕΤΑ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΙΛΚΙΣ

ΓΚΙΟΥ ΛΕΚΑ ΣΟΝ ΙΑ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε !Ο ΚΙΛΚΙΣ

ΕΥΘΥΜΙΟΥ ΑΓΑΠΗ 2 ο ENIAIO Λ Y K E I O Κ Ι Λ Κ ΙΣ

ΚΟΥΣΙΔΩΝΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΓΟΥ Μ ΕΝ ΙΣΣΑΣ

ΚΙΛΚΙΣ

ΜΑΝΟΥΣΑΡ/ΔΟΥ ΣΥΜΕΛΑ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΙΛΚΙΣ

ΜΥΛΩΝΑΚΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ENIAIO Λ YKEIO ΓΟΥΜΕΝ ΙΣΣΑΣ

ΚΙΛΚΙΣ

ΣΥΡΚΙΑΔΗΣ ΚΟΣΜΑΣ !ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΙΛΚΙΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΚΡJτ!ΔΟΥ TPIANT ΑΦΥ ΛΛΙΑ !ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΙΛΚΙΣ

ΓΚ/ΟΥΛΕΚΑ ΜΑΡΙΑ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΙΛΚΙΣ

ΜΟΣΧΟΓ ΛΟΥ ΣΤΥ ΛΙΑΝΟΣ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Κ Ι Λ Κ ΙΣ

Γ ΛΥΚΕ/ΟΥ Α ΓΤΖΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Κ Ι Λ Κ ΙΣ

ΚΟΖΑΝΗΣ Α ΛΥΚΕ/ΟΥ ΑΝΤΩΝΙΑΔΟΥ ΕΜΟΡΦΙΛΗ-ΙΩΑΝΝΑ 2 ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΟΖΑΝΗΣ

ΒΑΡΒΟΥΤΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΟΖΑΝΗΣ

ΓΚΟΥΤΖΗΚΩΣΤ ΑΣ ΠΑ Υ ΛΟΣ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΖΑΝΗΣ

ΚΑΛΑΪΤΖΟΠΟΥ ΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΡΑΘΑΝΑΣΗ ΒΑΣΙΛIΚΗ Ι ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΟΖΑΝΗΣ

ΚΑτιΚΑΡΙΔΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΠΤΟΛ ΕΜΑ ΙΔΑΣ

ΚΑΤΣΑΟΥΝΗ ΖΩΗ-ΕΙΡΗΝΗ ! ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΖΑΝΗΣ

ΚΙΛΗΣ ΝΙΚΟΣ 3ο ENIAIO Λ YKEIO ΠΤΟΛ ΕΜΑΙΔΑΣ

ΚΩΝΣΤ ΑΝτιΝΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ !ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΖΑΝ Η Σ

ΣΑΒΒΟΥ ΛΙΔΟΥ ΕΥΣΑΪΑ 3 ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε ΙΟ ΠΤΟΛΕΜΑΙΔΑΣ

ΤΣΟΥΦΛΙΔΗΣ ΟΡΕΣΤΗΣ-ΡΩΜΑΝΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΠΤΟΛ ΕΜΑΙΔΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΟΥΝΖΟΥΡΙΔΗ ΑΡΓΥΡΩ !ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΖΑΝΗΣ

ΜΠΑ ΤΣΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΖΑΝΗΣ

ΠΑΠΑΔΗΜΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΦΑΝΙΑΔΟΥ ΕΛΕΝΗ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΤΟΛ ΕΜΑ ΙΔΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΜΑΝΑ τιΔΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΖΑΝΗΣ

ΑΝΤΩΝ ΙΑΔΗΣ ΣΤΕΛ/ΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΖΑΝΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτιΝΟΣ !ο ENIAIO Λ YKEIO ΠΤΟΛ Ε Μ ΑΙΔΑΣ

ΚΟΥ ΛΙΔΗΣ ΣΤΥ ΛΙΑΝΟΣ !ο ENIAIO Λ YKEIO ΠΤΟΛΕΜΑΙΔΑΣ

ΛΑΜΠΡΙΛΝΙΔΗΣ ΑΡΙΣΤΕΙΔΗΣ !ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΠΤΟΛ ΕΜΑ ΙΔΑΣ

ΛΕΣΓΙΔΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ !ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΤΟΛ ΕΜΑ ΙΔΑΣ

ΠΑΛΑΝΤΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΖΑΝΗΣ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτιΝΟΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΤΟΛΕ Μ ΑΙΔΑΣ

ΠΑΠΑΠΡΙΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΠΤΟΛ Ε Μ Α ΙΔΑΣ

ΠΑΤΜΑΝΙΔΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτιΝΟΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΤΟΛ ΕΜΑ ΙΔΑΣ

ΤΕΡΡΑ ΑΛΕΞΗΣ !ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΤΟΛΕΜΑ IΔΑΣ

ΤΣΑΧΕΙ ΡΙΔΗΣ ΘΕΟΦΙΛΟΣ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΠΤΟΛΕΜΑ ΙΔΛΣ

ΚΟΡΙΝΘΟΥ Α ΛΥΚΕ/ΟΥ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥ ΛΟΥ EIPHNH-MAPIA 4ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ

ΒΑΛΜΑ ΑΡΓΥΡΩ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ

ΓΡΙΣΠΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ

ΚΑΡΑΧΑΛ/ΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ-ΣΟΦΙΑ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ

ΚΟΛΛΙΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ

ΚΟΥΚΟΥ Λ/ΔΗ ΚΛΕΙΩ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ

ΤΣΑΜΠΑΝΙΟΥΚ ΟΛΓΑ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΒΕΛΟΥ ΚΟΡΙΝΘΙΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑΝΝΟΠΟΥ ΛΟΣ ΒΛΑΣΗΣ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΒΕΛΟΥ ΚΟΡΙΝΘΙΑΣ

ΛΕΚΚΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝτιΝΟΣ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΒΕΛΟΥ ΚΟΡΙΝΘΙΑΣ

ΠΟΥΛΑΚΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ

Π ΡΑΝΤΖΙΚΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτιΟΝΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Β ΕΛΟΥ ΚΟΡΙΝΘΙΑΣ

ΣΑΡΛΑ ΒΛΣΙΛΙΚΗ ! ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ

Χ Ρ/ΣΤΟΠΟΥ ΛΟΥ ΣΟΦΙΑ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΛΑΧΟΥ ΣΤΑ ΥΡΟΥ ΛΑ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ

Γ Αlτ ΑΝΑΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΡΙΠΟτΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΟ

ΓΕΩΡΓΟΠΟΥ ΛΟΣ ΚΩΝΣΤ ΑΝτιΝΟΣ !ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ K IATOY

ΕΥ ΑΓΓΕΛ/ΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ

ΗΛΙΟΠΟΥ ΛΟΥ ΠΑΝΩΡΑΙΑ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΙΑΤΟΥ

ΚΟΡΔΑΛΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ

ΜΑ ΥΡΑΓ ΑΝΗΣ ΘΟΔΩΡΗΣ Α ΡΙΠΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘιΑΚΟ

ΕΚΠΑιΔΕΥΤΗΡΙΟ

ΚΥΚΛΆΔΩΝ Α ΛΥΚΕ/ΟΥ ΒΕΛΟΥΔΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ι ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΣΥΡΟΥ

ΚΑΛΗ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΒΑΛΠΕΙΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ !ΟΥ ΜΕ

Λ ΥΚΕιΑΚΕΣ ΤΑΞΕΙΣ

ΚΟΥΒΕΛΗΣ ΔΗΜ ΗΤΡΗΣ ΒΑΛΠΕΙΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ !ΟΥ Μ Ε

Λ ΥΚΕΙΑΚΕΣ ΤΑΞΕΙΣ

ΚΩΝΣΤΑ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΒΑΛΠΕιΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ !ΟΥ ΜΕ


ΛΕΙΒΑΔΑΡΑΣ Ν Ι ΚΟΣ !ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΥ ΡΟΥ

ΜΑΚΡΟΠΟΥ ΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ι ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΣΥ ΡΟΥ

ΜΑΡΑΓΚΟΥ ΑΝΝΑ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΥ ΡΟΥ

ΜΠΑΛΚΟΥΡΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΒΑΛΠΕΙΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ !ΟΥ ΜΕ


ΜΠΑΤΣΑΛΗ ΜΑΡΟΥΣΑ ΒΑΛΠΕΙΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ !ΟΥ Μ Ε


ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΜΑΡΙΑ-ΦΑΝΗ !ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΣΥΡΟΥ


ΠΑΠΑΖΟΓΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝτιΝΑ ι ο ENIAIO Λ ΥΚΕιΟ ΣΥΡΟΥ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΓΥΜΝΆΣΙΟ & Λ. Τ ΚΟΡΘΙΟΥ

ΦΙΛΕΡΗ ΧΡΙΣτιΝΑ ΒΑΛΠΕΙΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ !ΟΥ Μ Ε

Λ ΥΚΕΙΑΚΕΣ ΤΑΞΕιΣ

ΦΡΕΡΗ ΑΝΝΑ !ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΣΥ ΡΟΥ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΟΥΤΣ/ΝΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕιΟ ΣΥΡΟΥ

ΣΙΟΥΡΗΣ ΙΑΣΩΝ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΥΡΟΥ

ΛΑΚΩΝΙΑΣ Α ΛΥΚΕ/ΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΚΟΚΚΙΝΗ 3ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΣΠΑ ΡτΗΣ

ΓΙΑΝΝΑΚΟΠΟΥ ΛΟΥ ΚΩΝΣΤ Α Ντι ΝΑ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΠΑΗΗΣ

ΓIΑΝΝΑΚΟΠΟΥ ΛΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ 3ο ENIAIO Λ YKEIO ΣΠΑ ΡτΗΣ

ΓΙΑΝΝΟΥ ΛΕΑ ΓΕΩΡΓΙΑ 3ο ΕΝΙΛΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡτΗΣ

ΓΡΗΓΟΡΗ MAPIA 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΣΠΑΗΗΣ

ΚΙΟΥΣΗΣ ΛΗΜΗΤΡΗΣ ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡτΗΣ

ΛΑΓΓΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΜΟΛΑΩΝ ΛΑΚΩΝ ΙΑΣ

ΠΑΝΑΓΙΩΤΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ !ο ENIAIO Λ YKEIO ΣΠΑΡΤΗΣ

ΠΟΛ Υ ΔΕΡΑΚΗ ΜΑΝ ΤΩ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Σ ΠΑΡτΗΣ

Β ΛΥΚΕ/ΟΥ ΒΑΣΙΛΑΚΟΥ ΣΟΦΙΑ 3ο ΕΝιΑΙΟ Λ ΥΚΕιΟ ΣΠΑΗΗΣ

ΒΑΧΑΒΙΩΛΟΥ NIKH 2ο ΕΝΙΛΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΠΑΗΗΣ

ΚΑΡΕΛΛΑ ΕΥ ΛΓΓΕΛΙΑ 3ο ENIAIO Λ YKEIO ΣΠΑΗΗΣ

ΣΚΡΟΥΜ ΠΕΛΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ 2ο ΕΝ ΙΑΙΟ Λ YKEIO ΣΠΑΡτΗΣ

ΤΣΕΛΛΟΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ 3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡΤΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΛΑΧΑΒΙΩΛΟΣ ΦΑΝΗΣ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡΤΗΣ

ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 3ο ΕΝιΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡτΗΣ

ΓΙΑΝΝΑΚΟΥΡΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡΤΗΣ

ΚΑΣΤΡΙΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ι ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡΤΗΣ

ΠΑΙΠΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΗΛΙΑΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡΤΗΣ

ΠΑΠΑΣΠΥΡΙΔΑΚΟΣ ΠΑΝΑΓIΩΤΗΣ ι ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡτΗΣ

ΠΟΥΛ ΥΚΕΦΑΛΟΣ ΑΝΑΣΤ ΑΣΙΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕιΟ ΣΠΑΡτΗΣ

ΡΕΤΣΙΝΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 2ο ΕΝιΑΙΟ Λ YKEIO ΣΠΑΗΗΣ

ΤΣΟΥΤΣΟΥΡΑΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡτΗΣ

ΛΑΡΙΣΑΣ Α ΛΥΚΕ/ΟΥ ΑΝΑΓΝΩΣΤΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Ίο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΛΑΡ ΙΣΑΣ

ΑΡΜΠΑΡΑ ΣΟΦΙΑ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΝΤΟΛΚΟΥ Κ.

ΜΠΑΚΟΓΙΑΝΝΗ Ν.

ΓΚΑΝΑΤΣΙΟΥ OYPANIA ΕΚΠΙΡΙΑ - ΡΑΠΤΟΥ Μ .

ΕΥΘΥΝΙΑΔΗ ΜΑΡΙΑ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ

ΚΑΤΣΙΑΝΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΥΚΟΥΡΙΟΥ

ΝΑΣΤΛΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 9ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ

ΟΥΓΙΑΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ

ΠΑΠΑΔΟΥ ΛΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ 2ο ΕΝιΑΙΟ Λ YKEIO ΛΑΡΙΣΛΣ

ΠΑΠΑΝΤΟΥ MAPIA 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΛΑΡ IΣΑΣ

ΣΑΙτΗΣ ΔΗΜ ΗΤΡ/ΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΛΑΡΙΣΑΣ

ΣΒΑΡΝΑ ΕΥΦΡΟΣΥΝΗ 5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Λ Α Ρ ΙΣΑΣ

Φ/ΛΙΠ ΠΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ 9ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε ΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ

ΧΛΝΤΖΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε !Ο ΛΑΡΙΣΑΣ

Β ΛΥΚΕ/ΟΥ ΒΑΝΗΣ ΖΗΣΗΣ 5ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΛΑΡIΣΑΣ

ΓΚΟΥΓΚΟΥ ΛΗ ΕΛΕΝΗ 5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ

ΖΑΧΑΡΗ ΚΩΝ/ΝΑ 3 ο ENIAIO Λ YKEIO Λ Α ΡΙΣΑΣ

ΚΟΛΟΚΟΤΡΩΝΗ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ

\ I H T PO ' Σ I -\ � Β Α Σ I . \ Η Σ

= Ξ"'\: . .; : •:' ΌΥ!\.ΞΙΟ . \ΑΡΙΣΑΣ \ Ι ! Χλ:: ' l !o.:O.\AO::

"' E ' l λ i O . \ Υ Κ Ε Ι Ο .\λ ΡΙΣΑΣ

\η .\Ω'.-\ Π Α ΡλΣ ΚΕ ΥΗ

i σο E'l .-\ 1 0 .\ YKEIO ΛΑΡΙΣΑΣ

' " ΤΣΙ ΟΣ Α'ΤΩ:>iΗΣ Ι ο E'IAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΛΑ ΡΙΣΑΣ

Ο Ι ΚΟ,ΟΜΟΥ ΜΕΛΠΟΜΕΝΗ 3ο ENIAIO Λ YKEIO ΛΑΡΙΣΑΣ

ΣΑΠΟΥ:>iΑ ΒΑΣΙΛΙΚΗ 3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ

ΣΟΥΛ ΤΣΙΩΤΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ 3 ο ENIAIO Λ YKEIO Λ ΑΡΙΣΑΣ

ΣΥΡ:νΙΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΕΚΠ P I A - ΡΑΠΤΟΥ Μ.

ΤΖΑΤΖ Α Κ Η ΚΩ,ΑΑ

4ο Ε'όl .-\ 10 .\ ΥΚΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ

Χ.-ΗΖΗ .-1.'>.-\ΣΤΑΣΙΟ Υ :'Ι: Α ΥΣΙΚΑ ΕΝΙΑΙΟ .\ ΥΚΕΙΟ ΓΙΑΝΝΟΥ ΛΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΛΙΑΣ \ Ι Η , ΑΣ

ΕΚΠ Ρlλ - ΡλΠΤΟΥ \1. ΚΑΤΣΙ ΟΥ.\ΗΣ Χ ΡΥΣΟΣΤΟΜΟΣ

5ο Ε 'ό l .-\ 1 0 . \ ΥΚΕΙΟ .\Α ΡΙΣΑΣ

Π Α Π Α , Ι ΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

2ο E ' l .-\ 10 . \ ΥΚΕΙΟ .\λΡΙΣΑΣ

ΣΑΡΡΟΣ θ E OillPOΣ

ENIAIO . \ ΥΚΕΙΟ ΓΟ'όΝΩΝ

ΤΟΤΣΙ Α-"! Π Ι Ο '

E N I A I O .\ Y K E I O λΓIΑΣ

ΤΣΑ ΠΕ Ρ .\ Η Σ ΑθΑ,ΑΣΙΟΣ

2ο Ε:\ 1.-\ 10 .\ ΥΚΕΙΟ .\Α ΡΙΣΑΣ

ΛΑΣΙθΙΟΥ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΑ Ρ\Ι Ι � Η Σ \1.-\ ,ΟΣ

2ο Ε 'ό l .-\ 1 0 .\ ΥΚΕΙΟ ΙΕΡλΠ ΠΡλΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΔΕ Ρ,ΙΙΤΖΑΚΗ ΚΩ'ΣΤ-\'τΙ'Α ENIAIO . \ Y K E I O ΠΕΡ\ΙΙΑΔΩΝ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΚΑ ΡΟΦΥ.\.-\ΚΗΣ :νΙΑ,ΟΣ

Ι ο Ε Μ - \ 1 0 . \ YKEIO ΙΕΡΑΠΠΡΑΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

\I A,IOY:'(AKHΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

2ο Ε'όl.-\10 .\ ΥΚΕΙΟ ΙΕΡΑΠΠΡΑΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΚΑΚΗ ΚΑΛΛΙΟΠΗ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΙΕΡΑΠΠΡΑΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

Κ.\ΩΝΤΖΑΣ Μ Ι ΧΑΗΛ ENIAIO Λ Y K E I O ΑΓΙΟΥ Ν Ι ΚΟΛΑΟΥ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΠΑΤΕΡΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 2ο ENIAIO Λ YKEIO Ι Ε ΡΑΠΠΡΑΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΣΟΥΣΑΜΛΗ ΜΑΡΙΑΝθΗ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΑΓIΟΥ Ν Ι ΚΟΛΑΟΥ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ENIAIO Λ YKEIO ΝΕΑΠΟΛΕΩΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΤΖΩ?τΖΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 2ο ENIAIO Λ Y K E I O ΙΕΡΑΠΠΡΑΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΧΑΝΙΩΤΑΚΗΣ ΠΕΤΡΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΙΕΡΑΠΠΡΑΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΙ ΒΑΛΙΩΤΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΙΕΡΑΠΠΡΑΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΒΑΣΑΡΜΙΔΗ EIPHNH 2ο EN IAIO Λ YKEIO ΙΕΡΑΠΠΡΑΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΔΕΡΜΙτΖΑΚΗΣ ΜΑΝΩΛΗΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΤΖΕΡΜΙΑΔΩΝ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΔΟΡΓΙΑ ΙΣΜ Η Ν Η 2ο ENIAIO Λ Y K E I O ΙΕΡΑΠΠΡΑΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΕΜΠΕΡΛΕ ΣΙτΑ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ Ν Ι ΚΟΛΑΟΥ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΚΑΒΟΥΣΑΝΟΥ ΣΟΦΙΑ ΙΩΑΝΝΑ ENIAIO Λ YKEIO Α ΓΙΟΥ Ν Ι ΚΟΛΆΟΥ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

Π ΕΡΟΝΙΚΟΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ !ο ENIAIO Λ YKEIO ΙΕΡΑΠΠΡΑΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ.

ΠΛΑΤΑΚΗ MAPINA ENIAIO Λ YKEIO ΑΓΙΟΥ Ν Ι ΚΟΛΑΟΥ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΧΡΙΣτΙΝΑΚΗΣ ΓIΩΡΓΟΣ !ο ENIAIO Λ YKEIO ΙΕΡΑΠΠΡΑΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΛΕΣΒΟΥ

Α ΛΥΚΕΙ ΟΥ

ΜΑ ΥΡΙΚΟΣ ΜΑΝΩΛΗΣ

Αποτελέσματα Πανελληνίου Διαγωνισμού «0 ΘΑΛΗΣ» 9-12-2006

ΠΕΙΡ. E'IIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΜΥτΙΛΗΝΗΣ

ΠΑΤΣΑΤΖΗΣ ΔΗΜ ΗΤΡΙΟΣ ENIAIO Λ YKEIO ΠΟΛΙΧΝ ΠΟΥ Λ ΕΣΒΟΥ

ΤΑΜΒΑΚΕΡΑ ΒΙΚΤΩΡΙΑ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΜΥτΙΛΗΝΗΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΟΥΚΛΑΡΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ 3 ο ENIAIO Λ YKEIO ΜΥτΙΛΗΝΗΣ

ΚΟΥΚΕΛΛΗΣ Μ ΙΧΑΛΗΣ 5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΜΥτΙΛΗΝΗΣ

ΦΩτΙΟΥ ΔΙΑΜΑΝΤΟΥ ΛΑ ENIAIO Λ YKEIO ΠΠΡΑΣ Λ ΕΣΒΟΥ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ZEPBOV ΖΩΓΡΑΦΙΑ E N I A I O Λ YKEIO ΠΟΛΙΧΝΠΟΥ Λ ΕΣΒΟΥ

ΚΟΝΤΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ 5ο ENIAIO Λ YKEIO ΜΥτΙΛΗΝΗΣ

ΛΑΜΠ ΡΟΠΟΥ ΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΠΕΙΡ. ENIAIO Λ YKEIO ΜΥτΙΛΗΝΗΣ

Ν ΙΚΟΛΑΟΥ Μ Ι ΧΑΕΛΑ 5ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΜΥτΙΛΗΝΗΣ

ΣΑΒΒΑΣ Μ ΙΧΑΛΗΣ 3ο ENIAIO Λ YKEIO ΜΥτΙΛΗΝΗΣ

ΛΕΥΚΑΔΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΑΝΕΛΛΟΠΟΥ ΛΟΣ ΘΩΜΑΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Λ ΕΥΚΑΔΑΣ

ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΝΔΡΙΚΟΠΟΥ ΛΟΥ ΛΟΥΙΖΑ ΜΟΥΣΙΚΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ

ΑΤΣΙΑ ΣΤΕΛΙΝΑ 5ο EN IAIO Λ YKEIO ΒΟΛΟΥ

ΒΙΛΑΕΤΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ 6ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΒΟΛΟΥ

ΔΕΛΗΓΙΑΝΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ENIAIO Λ YKEIO ΑΛΜΥΡΟΥ

ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΜΙΛΤΟΣ !ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ

ΚΟΚΟΝΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ 6ο ENIAIO Λ YKEIO ΒΟΛΟΥ

ΜΑΝΤΖΟΡΟΓΕΩΡΓΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΛΜΥΡΟΥ

ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ

Μ Π Ι ΡΜΠΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΑΛΜΥΡΟΥ

ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ

ΜΠΛΑΤΣΗ ΖΩΗ Ι ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΙΩΝ ΙΑΣ

Μ Α ΓΝΗΣΙΑΣ

ΝΙτΣΑΚΟΥ KATEPINA \ο ENIAIO Λ YKEIO Ν ΕΑΣ ΙΩΝ ΙΑΣ

ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ

ΡΑΠΤΗΣ Ν Ι ΚΟΣ 6ο ENIAIO Λ Υ ΚΕΙ Ο ΒΟΛΟΥ

ΣΠΑΘΗΣ Α ΓΓΕΛΟΣ 6ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ

ΣΤΑ VPIANOV ΔΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 6ο EN IAIO Λ YKEIO ΒΟΛΟΥ

ΤΣΑΛΑΤΖΙΔΟΥ -ΦΟΥΝΤΑ ΤΖΟΥ ΛΙΑΜΑΡΙΑ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ

Ψ ΑΡΟΓΙΩΡΓΟΣ ΣΠΥΡΟΣ 6ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΟΥ ΔΟΥΡΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ 3 ο ENIAIO Λ YKEIO ΒΟΛΟΥ

ΓΚΟΥΠΑΣ ΝΙΚΟΣ 3 ο ENIAIO Λ YKEIO ΒΟΛΟΥ

ΕΥθΥΜΙΟΥ ΕΥΓΕΝΙΑ Ίο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ

ΠΑΓΩΝΟΠΠΟΥΛΟΣ ΣΩΤΗΡΗΣ 5ο ENIAIO Λ YKEIO ΒΟΛΟΥ

ΣΚΟΥΛΑΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΣ 8ο ENIAIO Λ YKEIO ΒΟΛΟΥ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΟΝΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ 6ο ENIAIO Λ YKEIO ΒΟΛΟΥ

ΣΑΚΕΛΛΑΡΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΟΥΣΙΚΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ

ΜΕΣΣΗΝΙΑΣ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΣΠΑΝΙΟΛ ΟΔΥΣΣΕΑΣ 4ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΘΕΟΔΩΡΑΚΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΚΟΜΕΣΣΑΡΙΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΚΟΡΟΜΗΛΑ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΑ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΚΥΡΙΟΠΟΥ ΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ 3 ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

Μ ΠΕΧΡΑΚΗΣ ΠΕΤΡΟΣ \ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΜΠΟΡ Α ΜΑΡΓΑΡΙΤΑ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΦΟΥΡΝΑΡΑΚΗΣ ΜΑΡΙΟΣ 3 ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΕΛΙΣΣΑΡΗ ΧΡΙΣτΙΝΑ

4ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΓΕΩΡΓ ΑΚΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΡΙΣΤΕΙΔΗΣ 4ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΓΙΟΥΧΙΜΕΝΚΟ ΓΙΟΥΡΙ 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΓΚΑΡΚΟΥ ΛΑΣ ΦΩτΙΟΣ 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΛΑΜΑ ΤΑΣ

ΜΑΘΙΟΠΟΥ ΛΟΥ MAPIA I ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΛΑΜΑ ΤΑΣ

ΠlτΣΙΛΗ-ΧΑΤΖΗ ΔΙΟΝΥΣΙΑ I ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑ Τ ΑΣ

ΣΟΥΜΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 4ο ENIAIO Λ γκειο ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΤΣΙΛΙΒΑΡΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 4ο ENIAIO Λ γκΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΣΤΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ 4ο ENIAIO Λ γκειο ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

Γ ΑΛΑΝΟΠΟΥ ΛΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ 4ο ENIAIO Λ γκειο ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ 3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ γκΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΓΡΗΓΟΡΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ 4ο ENIAIO Λ γκειο ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΔΑΡΣΑΚΛΗ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΑ 4ο ENIAIO ΛγΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΚΑΡΑΒΙτΗΣ ΔΑΡΕΙΛΕΝΑ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ γκΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ \ο ENIAIO Λ γκειο Μ ΕΣΣΗΝ ΗΣ

ΚΟΜΗΝΕΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 4ο ENIAIO Λ γκΕΙΟ ΚΑΛΑΜ ΑΤΑΣ

ΜΑΛΑΝΔΡΙΝΟΥ ΙΩΑΝΝΑ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

Μ ΗΛΙΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΛΑΜΑ ΤΑΣ

Μ ΗΤΡΟΠΟΥ ΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

OIKONOMOV ΣΩΤΗΡΗΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ γκΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥ ΛΟΥ ΣΤΑ YPOV ΛΑ 4ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΤΣΙΧΡΙΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΧΑΛΟΥ ΛΑΚΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ \ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΞΑΝΘΗΣ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΑΝΤΖΑΡΙΔΟΥ MAPIA 3 ο ENIAIO Λ YKEIO ΞΑΝΘΗΣ

ΚΥΡΓΟΥ ΧΡΥΣΟΥ ΛΑ 3 ο ENIAIO Λ YKEIO ΞΑΝΘΗΣ

ΧΟΝΔΡΟΥ MAPIA \ο ΕΝΙΑΙΟ Λ γκειΟ ΞΑΝΘΗΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΧΑΓΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΣΙΡΙΓΚΑΚΗΣ ΣΠΥΡΟΣ I ο ENIAIO Λ YKEIO ΞΑΝΘΗΣ

ΠΕΙΡΑΙΑ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΩΡΓΙΑΔΗ ΑΝΝΑ 3 ο ENIAIO Λ YKEIO Ν Ι ΚΑΙΑΣ

ΓΙΑΛΟΥΣΗΣ ΜΙΛτΙΑΔΗΣ \ο ΕΝΙΑ\0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑτΣΙΝ ΙΟΥ

ΓΙΑΝΝΟΥ ΛΙΔΗΣ ΣΩΤΗΡΗΣ \ο ENIAIO Λ YKEIO Κ ΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ

ΓΚΙΟΚΑ MAPIA ΑΓ. ΠΑ Υ ΛΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛΙΚΗ

ΣΧΟΛΗ Π Ε ΙΡΑΙΑ

ΓΚΙΡΙΤΗ ΕΛΙΣΑΒΕΤ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΠΕΙΡΑΙΑ

ΔΗΜΟΠΟΥ ΛΟΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΑΓ. ΙΩΣΗΦ ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

"JEANNE D' ARC"

ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΔΗ Ν Ι ΚΟΛ ΑΓ. ΙΩΣΗΦ ΕΛΛΗΝΟΓ Α Λ Λ Ι Κ Η ΣΧΟΛΗ

"JEANNE D' ARC"

ΕΥΣΤΡΑτΙΟΥ ΑΝΝΑ ENIAIO ΠΕΙΡ. Λ YKEIO ZANNEIOY

ΠΕΙΡΑΙΑ

ΘΕΜΕΛΗΣ ΦΙΛΙΠΠΟΣ 3 ο ENIAIO Λ YKEIO Ν Ι ΚΑΙΑΣ

ΚΑΛΑΜΠΟΚΗ ΗΛΙΑΝΑ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΑΜΠΕΛΑΚ ΙΩΝ

ΣΑΛΑΜ ΙΝΑΣ

ΚΑΡΠΟΔΙΝΗ ΧΡΙΣτΙΝΑ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΕΡΑ τΣΙΝ ΙΟΥ

ΚΛΗΜΟΥ ΕΥ ΑΓΓΕΛΙΑ ΜΟΥΣΙΚΟ Λ YKEIO Π Ε ΙΡΑΙΑ

ΚΟΥΡΕΤΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 1 2ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ

ΚΟΥΦΑΤΖΙΔΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ 1 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΠΕΙΡΑΙΑ

ΚΟΥΦΟΠΑΝΤΕΛΗ ΤΖΟΥ ΛΙΑΝΝΑ ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕ\0 ΖΑΝΝΕ\Ογ

ΠΕΙΡΑΙΑ

ΚΥΡΓΙΑΛΑΝΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ


ENIAIO ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ ZANNEIOY

ΠΕΙΡΑΙΑ

ΛΟΥΚΑΣ Χ ΡΗΣΤΟΣ ENIAIO Λ YKEIO Α Μ Π ΕΛΑΚ ΙΩΝ

ΣΑΛΑΜΙΝΑΣ

Λ VKOVPH ΕΛΠΙΔΑ ENIAIO ΠΕΙΡ. Λ YKEIO ZANNEIOY

Π Ε ΙΡΑΙΑ

ΜΑ Υ ΡΟΘΑΛΑΣΣΙτΗΣ ΣΤΑ ΥΡΟΣ 1 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ

Μ ΕΛΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΑ ΑΓ. ΙΩΣΗΦ ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛ ΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

"JEANNE D' ARC"

ΜΙΚΡΟΜΑΣΤΟΡΑΣ Χ ΡΗΣΤΟΣ \ο Λ ΥΚΕΙΟ ΣΑΛΑΜΙΝΑΣ

ΜΟΒΣΕΣΙΑΝ ΣΤΕΠΑΝ 3 ο ENIAIO Λ YKEIO Ν Ι ΚΑΙΑΣ

Μ ΠΕΛΕΧΑΚΗΣ ΣΠΥΡΟΣ 9ο ENIAIO Λ YKEIO ΠΕΙΡΑΙΑ

ΠΑΒΕΛ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΑΓ. ΠΑ Υ ΛΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛΙΚΗ

ΣΧΟΛΗ ΠΕΙΡΑΙΑ

ΠΟΛ ΥΜΕΝΑΚΟΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ ΑΓ. ΠΑΥΛΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ


ΣΑΡΔΕΛΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ENIAIO ΡΑΛΛΕΙΟ Λ ΥΚΕ\0 ΘΗΛΕΩΝ

Π ΕΙΡΑΙΑ

ΣΕΡΓΗΣ ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΑΓ. ΠΑ Υ ΛΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛΙΚΗ


ΣΚΑΡΑΦΙΓΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Π Ε Ι Ρ . Λ ΥΚΕΙΟ ΙΩΝ ΙΔΕΙΟΥ

ΣΧΟΛΗΣ ΠΕΙΡΑΙΑ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΝΔΡΙ ΚΟΠΟΥΛΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ ΙΩΝΙΔΕΙΟΥ

ΣΧΟΛΗΣ ΠΕΙΡΑΙΑ

ΓΑΙτΑΝΗΣ Μ Ι ΧΑΗΛ ΑΓ. ΠΑ γ ΛΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛΙΚΗ


Δ ΡΑ ΓΩΝΑ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΑΓ. ΙΩΣΗΦ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

"JEANNE D' ARC"

ΚΟΚΚΑΛΙΑΡΗ ΣΟΦΙΑ ΑΓ. ΠΑ Υ ΛΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛΙΚΗ


ΛΑΔΑΣ ΠΕΤΡΟΣ ΑΓ. ΙΩΣΗΦ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

"JEANNE D' ARC"

ΜΑΚΡΙΔΗ ΕΛΕΝΗ ΕΥ ΑΓΓΕΛΙΑ ΑΓ. ΙΩΣΗΦ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

"JEANNE D' ARC"

ΠΑΠΑΣΠΥΡΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ \ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Π ΕΡΑΜΑΤΟΣ

ΣΕΡΓΗΣ ΙΩΝΑΣ ΑΓ. ΠΑ Υ ΛΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛΙΚΗ


ΣΟΥΡΔΑΚΟΣ ΝΙ ΚΗΤΑΣ ΤΑΣΗΣ Ν ΙΚΟΛΑΟΣ ENIAIO ΠΕΙΡ. Λ YKEIO ZANNEIOY

ΠΕΙΡΑΙΑ

ΦΙΛΙΠΠΙΔΗΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥ ΑΣ ΑΓ. ΙΩΣΗΦ ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

"JEANNE D' ARC"

ΧΡΗΣΤΑΚΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΑΓ. ΙΩΣΗΦ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

"JEANNE D' ARC"

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΕΡΜΙΤΖΗ ΚΑΛΛΙΟΠΗ 2ο ENIAIO Λ YKEIO Κ ΕΡΑτΣΙΝ ΙΟΥ

ΚΑΝτΙΩΤΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 1 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΠΕΙΡΑΙΑ

ΚΑΡΕΛΛΗΣ ΧΑΡΗΣ ΑΓ. ΠΑ γ ΛΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛΙΚΗ


ΚΕΡΑΜΙΔΑΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 6ο ENIAIO Λ YKEIO ΠΕΙΡΑΙΑ

ΚΟΛΛΑ ΧΡΥΣΟΥ ΛΑ 2 ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑτΣΙΝ ΙΟΥ

ΛΟΥΡΟΥΝΤΖΗΣ Ν Ι ΚΟΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕ\0 ΚΟΡΥΔΑΛΛΟΥ

ΜΑΝΟΥΣΙΑΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜ ΠΟΣ 3ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΕΡΑτΣΙΝΙΟΥ

ΜΕΛΛΙΟΥ KATEPINA ΑΓ. ΙΩΣΗΦ ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

"JEANNE D' ARC"

ΜΟΚΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ \ο ENIA\0 ΛΥΚΕΙΟ Π ΕΡΑΜΑΤΟΣ

· Μ ΠΑΛ ΤΖΗΣ ΣΠΥΡΟΣ 3ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ

ΜΠΟΜΠΟΤΑΣ ΑΓΟΡΑΚΗΣ I Οο ENIAIO Λ YKEIO ΠΕΙΡΑΙΑ

ΠΕΛΛΑΣ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΑΛΙτΑΚΙΔΟΥ ΣΟΦΙΑ 3 ο ENIAIO Λ YKEIO ΠΑΝΝΠΣΩΝ

ΚΟΝΔΥΛΗ ΓΑΛΗΝΗ 2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΕΔΕΣΣΑΣ ΠΕΛΛΑΣ

ΛΑίΔΟΥ ΣΤΑΜΑτΙΑ

2ο ENIAIO Λ YKEIO ΕΔΕΣΣΑΣ Π ΕΛΛΑΣ

ΜΑΝΩΛΟΓ ΛΟΥ ΣΟΦΙΑ ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΣΚΥΔΡΑΣ

ΜΠΕΚΤΣΗΣ Τ ΡΥΦΩΝ I ο ENIAIO Λ YKEIO ΕΔΕΣΣΑΣ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥ ΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ E N I A IO ΛΥΚΕΙΟ ΣΚΥΔΡΑΣ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΣΤΑΣ ENIAIO Λ YKEIO ΚΡΥ ΑΣ ΒΡΥΣΗΣ

Π ΕΛΛΑΣ

Π ΙΠΡΟΥ ΕΛΕΝΗ ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΣΚΥ ΔΡΑΣ

ΠΙΑ ΤΣΗΣ ΔΗΜ ΗΤΡΗΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΕΔΕΣΣΑΣ ΠΕΛΛΑΣ

ΤΕΡΖΑΝΙΔΟΥ ΕΛΙΣΆΒΕΤ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΕΔΕΣΣΑΣ

ΤΣΑΒΛΙΔΟΥ MAPIA I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Y K E I O ΕΔΕΣΣΑΣ

ΧΡΗΣΤΆΚΗ ΚΩΝΣΤΑΝΠΝΑ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΚΥ ΔΡΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΥΘΡΟΠΟΥΛΟΥ-ΚΑΛ ΤΣΙΔ ΛΝΑΣΤΑΣΙΑ Ι ο Λ YKEIO ΓΙΑΝΝ ΙτΣΩΝ

ΠΑΠΑΧΡΙΣΤΟΔΟΥ ΛΟΥ ΒΑΣΙΛIΚΗ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΕΔΕΣΣΑΣ ΠΕΛΛΑΣ

ΣΤ ΑΘΗΣ ΛΑΜ Π ΡΟΣ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΕΔ ΕΣΣΑΣ Π ΕΛΛΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΛΚΛΣ ΛΠΟΣΤΟΛΟΣ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΓΙΑΝΝ ΠΣΩΝ

Π ΕΛΛΑΣ

ΠΕΝΤΕΡΙΔΗΣ ΛΑΖΑΡΟΣ ENIAIO Λ YKEIO ΣΚΥΔΡΑΣ

ΡΩΜΑΝΙΔΗΣ ΝΙ ΚΟΛΑΟΣ 3 ο ΕΝΙΛΙΟ Λ YKEIO ΓΙΑΝΝ ΠΣΩΝ

Π ΙΕΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΔΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ

Π Ι ΕΡΙΑΣ

ΜΑΚΡΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ

Π Ι ΕΡΙΑΣ

ΝΤΑΛΑΜΠΕΚΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ι ο ΕΝΙΛΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ

Π Ι ΕΡΙΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΠΑΡΙΣΣΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙ ΚΟΛΑΟΣ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ

Π Ι ΕΡΙΑΣ

ΤΖΑΦΕΡΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ

ΧΑΡΑΛΑΜΠΙΔΗΣ ΣΟΦΟΚΛΗΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ

Π Ι Ε ΡΙΑΣ

ΠΡΕΒΕΖΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΟΣ ΑΝΑΣΤ ΑΣΙΟΣ ENIAIO Λ YKEIO Π ΑΡΓΑΣ

ΛΙΒΙΕΡΑΤΟΣ ΗΛΙΑΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO Π Ρ Ε Β ΕΖΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΜΠΟΝΙΑΣ ΚΩΝΣΤΑΙ'ο:τΙΝΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π Ρ ΕΒ ΕΖΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΑΜΠΡΟΥ ΛΑΜΠ ΡΟΣ 2ο ΕΝ ΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π Ρ Ε Β ΕΖΑΣ

ΜΕΛΕΚΗΣ ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Π Ρ Ε Β ΕΖΑΣ

ΠΕΠΟΝΗΣ ΘΩΜΑΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO Π Ρ ΕΒ ΕΖΑΣ

ΡΕΘΥΜΝΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΛΜΑΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Π Ε Ι Ρ . ENIAIO Λ YKEIO

ΠΑΝΕΠΙΠΗΜ ΙΟΥ ΚΡΗΤΗΣ

ΤΖΩΡΤΖΙΝΑΚΗΣ ΜΑ ΡΙΟΣ Π Ε Ι Ρ . ENIAIO Λ YKEIO

ΠΑΝΕΠ ΙΣΗΙΜ ΙΟΥ ΚΡΗΤΗΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΜΑΛΑΚΗΣ ΑΝΤΩΝΗΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΡΕΘΥΜΝΟΥ

ΡΟΔΟΠΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΡΑΜ ΠΑΤΖΗ ΔΕΣΠΟΙΝΑ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΔΟΥΡΟΥΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΕΠΤΑΜΗΝ ΙτΑΚΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

Ι ΓΝΑΤΑΚΗΣ ΑΝΕΣΤΗΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΘΑΝΟΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΟΜΟΠΙΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΚΑΦΑΛΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ

Αποτελέσματα Πανελληνίου Διαγωνισμού «0 ΘΑΛΗΣ» 9-12-2006 ----------

3ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΚΟΚΟΖΙΔΟΥ ΧΡΙΣΠΝΑ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠ ΙΙΣ

ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Ι ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΜΠΑΝ ΙΩΤΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΠΑΝΑΓΙΩΠΔΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΣΙΣΜΑΝ ΙΔΗΣ ΣΤΥ ΛΙΛΝΟΣ-ΜΑΡΙΟ 3ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΣΤΕΦΑΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ 3ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝ Η Σ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΤΣΙΜΟΥΗΑΚΙΔΟΥ ΞΑΝΘΙΠΠΗ 3ο E N I A I O Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

Ψ ΑΘΑΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ-ΠΑΝΑ 3ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑΜΟΥΡΙΔΗΣ ΜΑΡΙΝΟΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΕΥΣΤΑΘΑΚΗΣ Ν Ι ΚΟΣ 3ο ΕΝΙΛΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΚΥΡΓΕΛΑΝΗΣ Ν Ι ΚΟΣ Ι ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε ΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΠΛΠΑΝΤΩΝΙΟΥ ΕΛΕΝΗ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΤΑΚΑ ΕΥΔΟΞΙΑ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΤΟΚΜΑΚIΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΧΡΗΣΠΔΗΣ ΧΡΙΣΤΟΣ 3ο ENIAIO Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΤΩΝΙΛΔΟΥ-ΠΛΥΤΑΡΙΑ KYPIAKH 3ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΒΑΡΕΛΑ EIPHNH 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠ ΗΣ

ΓΕΩΡΓIΑΔΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΑ Ι ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΛΕΟΝΠΔΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 2ο EN IAIO Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΜΑ ΡΟΥ ΔΑΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ 2ο ENIAIO Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΣΚΑΡΛΑ τΙΔΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Ι ο ΕΝΙΛΙΟ Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΧΑΤΖΗ ΝΙ ΚΟΛΛΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Ι ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε ΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΧΙΝΕΛΗΣ ΠΑΝΟΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΣΑ ΜΟΥ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓIΟΚΑΡΙΝΗ ΑΘΗΝΑ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ENIAIO Λ YKEIO ΣΑΜΟΥ

ΛΟΥΚΑΔΑΚΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΣΑΜΟΥ

ΤΖΑΝ Η ΑΣΠΛΣΙΑ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ E N I A I O Λ YKEIO ΣΑΜΟΥ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΡΗΠ ΚΟΣ :ΙΙΙ ΚΟΛΑΟΣ ΠΥΘΛΓΟΡΕΙΟ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΑ ΜΟΥ

ΜΗΤΣΟΥ ΠΛΝΑΓΙΩΤΗΣ ΠΥΘΑΓΌΡΕΙΟ ENIAIO Λ YKEIO ΣΑΜΟΥ

ΠΟΛΥΕΖΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΣΑΜΟΥ

ΣΕΡΡΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΞΑΝΘΟΠΟΥ ΛΟΥ ΕΥΘΑΛΙΑ I ο ΕΝΙΛΙΟ Λ Y K E IO ΣΕΡΡΩΝ

ΡΟΝΤΣΗΣ Ν Ι ΚΗΤΑΣ ΜΟΥΣΙΚΟ Λ YKEIO ΣΕΡΡΩΝ

ΤΡΙΚΑΛΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΩΓΡΑΦΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ENIAIO Λ YKEIO Ο Ι Χ Α Λ ΙΑΣ ΤΡΙΚΆΛΩΝ

ΚΑΒΑΛΛΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΤΡΙΚΆΛΩΝ

ΚΑ ΨΙΩΤΗΣ ΞΕΝΟΦΩΝ

Ι ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε ΙΟ ΤΡΙΚΆΛΩΝ

ΚΛΙΑΦΑ ΑΘΗΝΑ EPI KETH Ι ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙ ΚΆΛΩΝ

ΚΟΜΠΟΛΙΑΣ Ν Ι ΚΟΣ 3ο ENIAIO Λ YKEIO ΗIΚΑΛΩΝ

ΜΑΓΚΟΥΤΗΣ ΒΛΣΙΛΗΣ 3ο ENIAIO Λ Y K E I O ΤΡΙΚΆΛΩΝ

ΜΑΝΤΖΙΟΣ ΟΡΕΣΤΗΣ 3ο ΕΝΙΛΙΟ Λ Y K E IO Η Ι ΚΑΛΩΝ

ΜΠΑΚΩΣΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΤΡΙ ΚΆΛΩΝ

VI Π E KA ΕΛΕΝΗ 4ο ENIAIO Λ YKEIO Η ΙΚΑΛΩΝ

ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ E N I A IO Λ Y K E IO ΟΙΧΑΛ ΙΑΣ ΤΡΙ ΚΆΛΩΝ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ 3ο ENIAIO Λ YKEIO ΤΡΙΚΆΛΩΝ

ΤΑΤΣΙΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΤΡΙ ΚΆΛΩΝ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΗΣΟΠΟΥ ΛΟΥ ΦΙΛΟΘΕΗ 4ο ΕΝΙΛΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΤΡΙ ΚΆΛΩΝ

ΚΑ ΤΣΑΔΩΡΑΚΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ 6ο ENIAIO Λ YKEIO Η Ι Κ ΑΛΩΝ

ΚΑ ΤΣΑ ΝΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΤΡΙΚΆΛΩΝ

Μ Π ΡΑΖΙτΙ ΚΟΣ ΣΙΛΟΥ ΑΝΟΣ Jo ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Η Ι Κ ΑΛΩΝ

ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΕΥΓΕΝΙΑ 6ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΤΡΙΚΛΛΩΝ

ΣΓΟΥΡΑΛΗ ΕΛΕΝΗ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛ ΑΜΠΑΚΑΣ

ΣΚΑΛΙΑΣ ΑΝΤΩΝΗΣ 3ο ENIAIO Λ YKEIO Η Ι ΚΛΛΩΝ

ΣΦΗΝΑ ΕΛΕΝΗ ΑΝΝΑ 3ο ΕΝΙΛΙΟ Λ YKEIO ΤΡΙ ΚΑΛΩΝ

ΤΖΑΤΖΛ ΡΑΚΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΤΡΙΚΆΛΩΝ

ΧΑΡΙΣΗΣ ΝΕΚΤΑΡΙΟΣ 3ο ENIAIO Λ YKEIO ΤΡΙ ΚΆΛΩΝ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΡΑΘΑΝΑΣΗΣ ΔΗΜ ΗΤΡΗΣ 3ο ENIAIO Λ YKEIO ΤΡΙΚΆΛΩΝ

ΚΕΡΑΜΙΔΑΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΤΡΙΚΆΛΩΝ

ΚΡΥΝ ΙτΣΛ E PPIKA 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΤΡΙΚΆΛΩΝ

ΛΙτΣΙΟΣ ΛΕΩ:Ι!ΙΔΑΣ ENIAIO Λ YKEIO ΟΙΧΑΛΙΑΣ ΤΡΙ ΚΆΛΩΝ

ΠΛΡΙΣΙΔΗΣ ΑΡΓΥΡΗΣ ENIAIO Λ YKEIO ΟIΧΛΛ ΙΑΣ ΤΡΙΚΛΛΩΝ

ΤΣΙΑΧΡΗΣΤΟΣ ΗΛΙΑΣ 6ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε ΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ

ΦΘΙΩτΙΔΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΑΡΟΔΗ:νΙΟΣ ΕΥΣΤΡΑΠΟΣ Ι ο ΕΝΙΛΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΛΑΜ ΙΑΣ

ΚΟΓΙΑΣ ΜΑΡΙΟΣ-ΕΥΑΓΓΕΛΟ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO Λ Α Μ ΙΑΣ

ΛΟΓΟΘΕΤΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ EN I A I O Λ YKEIO ΜΑΛΕΣΙΝΑΣ

ΦΘΙΩl'ΙΔΑΣ

ΜΑ ΥΡΙ ΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 4σ ENIAIO Λ YKEIO ΛΑΜ ΙΑΣ

ΠΑΠ ΠΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 3ο ENIAIO Λ YKEIO Λ Α Μ ΙΑΣ

ΠΕΡΛΕΠΕ ΓΑΡΥΦΑΛΛΙΑ-ΕΙΡΗ ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΜΑΛΕΣΙΝΑΣ

ΦΘΙΩl'ΙΔΑΣ

ΤΡΙΑΝΤ ΑΦΥ ΛΛΟΥ EIPHNH ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΜΠΟΥΚΑΛΗ

ΧΑΝΤΖΑΚΟΥ ΦΡΑ:-ΙΤΖΕΣΚΑ ΕΚΠΛΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΜΠΟΥΚΑΛΗ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΚΕΝΕΡΑΛΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ENIAIO Λ Y K E I O ΑΜΦΙΚΛΕ ΙΑΣ

ΦΘΙΩl'ΙΔΑΣ

ΚΑΡΟΥΜΠΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ENIAIO Λ YKEIO ΑΜΦΙΚΛΕΙΑΣ

ΦΘΙΩl'ΙΔΑΣ

ΛΑΜΠΡΙΝΙΔΗ ΘΕΟΛΩΡΑ EN IAIO Λ Y K E IO ΑΤΑΛΑΝΤΗΣ

ΦΘΙΩl'ΙΔΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΡΓΥΡΙΔΗ ΑΜΑΛΙΑ Ι ο ENIAIO Λ Y K E IO ΛΑΜ ΙΑΣ

ΖΑΡΚΑΣ ΧΑΡΑΑΑΜΠΟΣ ENIAIO Λ YKEIO Α ΤΑΛΑΝΤΗΣ

ΦΘΙ!ΠΙΔΑΣ

ΖΩΓΟΠΟΥ ΛΟΣ-ΠΑΠΑΛΙΑΚΟ ΓΙΩΡΓΟΣ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΑΤΑΛΑΝΤΗΣ

ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

ΚΑΝΕΛΛΟΠΟΥ ΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΛΑΪΝΑ Η ΡΩ 4ο ΕΝΙΛΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΛΑΜΙΑΣ

Ν Ι ΚΟΑΟΥΤΣΟΣ ΑΑΕΞΑΝΛΡΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΛΑΜΙΑΣ

ΝΤΑΝΑΣΗΣ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Ι ο ENIAIO Λ YKEIO ΛΑΜΙΑΣ


ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥ ΛΟΣ ΚΩΝΣΤ ΑΝΠΝΟΣ ENIAIO Λ YKEIO Α Τ ΑΛΑΝΤΗΣ

ΦΘΙΩl'ΙΔΑΣ

ΤΟΥΝΤ ΛΣ ΣΤ ΑΜΑ ΤΗΣ ENIAIO Λ YKEIO Μ Α Λ ΕΣΙΝΑΣ

ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

ΤΣΙτΣΙΜΠΗΣ ΗΛΙΑΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO Λ Α Μ ΙΑΣ

ΦΑΩΡΙΝΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΡΠΕΝΟΥ ΧΡΗΣΤΟΣ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΦΛΩΡΙΝΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΥΣΙΑΣ ΜΙΧΑΗΛ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΦΛΩΡΙΝΑΣ

ΣΙΩΚΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ENIAIO Λ YKEIO AMYNTAIOY

ΦΛΩΡΙΝΑΣ

ΦΩΚΙΔΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΌΛΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΑ ΕΝΙΑΙΟ Α ΥΚΕΙΟ ΠΕΑΣ ΦΩΚΙΔΑΣ

ΚΑΛΛΙΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ENIAIO Α YKEIO ΑΜΦΙΣΣΑΣ ΦΩΚΙΔΑΣ

ΚΟΥΡΕΑΗ ΟΛΓΑ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΑΜΦΙΣΣΑΣ ΦΩΚΙΔΑΣ

Β ΑΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΡΓΑΚΗΣ Ν ΙΚΗΤΑΣ ENIAIO Λ YKEIO ΠΕΑΣ ΦΩΚΙΔΑΣ

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΠΕΑΣ ΦΩΚΙΔΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΟΦΑΝΗ ΕΛΕΝΗ ENIAIO Λ YKEIO ΑΜΦΙΣΣΑΣ ΦΩΚΙΔΑΣ

ΧΑΛΚΙΔΙΚΗΣ A AYKEIOY ΚΛΡΑΜΑ ΥΡΟΣ ΣΤΥ ΛΙΑ:ΙΙΟΣ ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΣΣΑΝΔΡΑΣ

ΧΑΛΚΙΔΙΚΗΣ

XANIA A AYKEIOY ΒΟΡ.10Υ ΧΡΙΣΠΝΑ 3 ο ENIAIO Λ YKEIO ΧΑΝΙΩΝ

ΓIA!'O:II IKAKI MAPIA 3ο E N I A IO Λ YKEIO ΧΑ Ν ΙΩΝ

ΚΑΡΜΠΑΔΑΚΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ 2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ YKEIO ΧΑΝ ΙΩΝ

ΚΟΝΤΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ 3ο ENIAIO Λ YKEIO ΧΑ Ν ΙΩΝ

ΚΟΥ ΡΙΔΛΚΗ ΧΡΙΣΠΝΑ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΧΑΝ ΙΩΝ

ΜΠΟΥΡΝΑΖΟΣ ΑΓΓΕΑΟΣ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΧΑ Ν ΙΩΝ

ΞΥΛΑΚΗ MAIPH 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΧΑΝ ΙΩΝ

ΠΑΠΑΛΑΚΗΣ Ν Ι ΚΟΣ 3ο ENIAIO Α YKEIO ΧΑΝΙΩΝ

ΣΑΡΙΔΑΚΗΣ ΜΑΘΙΟΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΧΑΝΙΩΝ

ΣΕΚΑΔΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΧΑ Ν ΙΩΝ

ΣΠΒΑΝΑΚΙ ΧΡΥΣΑ ΦΙΑΙΠΠΑ 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΧΑΝ ΙΩΝ

ΦΑΝΤΑΚΗΣ ΑΝΤΩΝ ΗΣ 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΧΑΝΙΩΝ

Β ΑΥΚΕΙΟΥ ΒΟΥΓΙΟΥΚΑΛΑΚΗ ΟΛΓΑ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΧΑΝ ΙΩΝ

ΓΟΥ ΑΕΑΚΟΣ Ν Ι ΚΟΣ 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ

ΚΟΥΤΣΑΚΗ ΠΛΟΥ ΛΙΝΑ 3ο ENIAIO Λ YKEIO ΧΑΝ ΙΩΝ

ΤΡΑΚΑΚΗ ΘΑΑΕΙΑ ENIAIO Λ YKEIO ΠΑΛΑ ΙΟΧΩΡΑΣ

ΧΑ Ν ΙΩΝ

ΦΥl'ΡΑΚΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΧΑΝ ΙΩΝ

Γ AYKEIOY ΓIΑΚΟΥΜΑΚΗΣ ΘΟΔΩΡΗΣ ΜΑΡΙΟΣ 2ο ENIAIO Λ YKEIO ΧΑΝ ΙΩΝ

ΚΑΣΑΜΠΑΑΗΣ ΒΑΣΙΑΗΣ ΛΥΚΕΙΟ Ν ΕΑΣ ΚΥΔΩΝ ΙΑΣ

ΚΛΩΘΑΚΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ Λ YKEIO Ν ΕΑΣ ΚΥ ΔΩΝ ΙΑΣ

ΤΣΙ ΡΑΝΤΩΝΑΚΗ ΔΑΝΑΗ 4ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΧΑΝ ΙΩΝ

ΤΣΙΧΛΑΚΗΣ ΝΕΚΤΑΡΙΟΣ 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΧΑΝ ΙΩΝ

ΧΑΙ ΡΕΤΗΣ Ν Ι ΚΟΣ 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΧΑΝ ΙΩΝ

ΧΑΤΖΗΔΑΚΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 3 ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΧΑΝ ΙΩΝ

ΧIΟΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΥΛΩΝΑ KYPIAKH 3ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Χ ΙΟΥ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Λ ΕΟΝΤΑΡΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΒΡΟΝΤΑΔΟΥ Χ ΙΟΥ

ΚaΙιιιι8τιιιet

,.. I'IIP lr �ιllιι 'W•ιι Αιι••Ι•ιι

Άλγεβρα

περί προόδων Καρακατσάνης Βασίλης, Κυριακόπουλος Θανάσης, Καρδαμίτσης Σπύρος

«Στη βάση ποί.ί.ών μαθηματικών ανακαλύψεων βρίσκεται μια εντελώς απλή ιδέα: Ένα προφανές γεωμε

τρικό σχήμα, μια καινούργια στοιχειώδης ανισότητα κ. ο. κ. Αρκεί μόνο η καινούργια αυτή ιδέα να εφαρμο

στεί με τον κατάί.ί.ηί.ο τρόπο για να λυθεί η άσκηση που με την πρώτη ματιά δείχνει απλησίαστη. »

Adreί Kolmogoroν

Ειδική κατηγορία των ακολουθιών αν = f(ν) αποτελούν οι πρόοδοι. Στην αριθμητική πρόοδο ο γενικός

όρος α,. είναι ypαμμική συνάρτηση του ν, ενώ στην γεωμετρική πρόοδο ο γενικός όρος αv είναι εκθετική συ

νάρτηση του ν. Γι ' αυτό και η «αργή» μεταβολή ενός μεγέθους έχει συνδεθεί με αριθμητική πρόοδο, ενώ αν

το μέγεθος συνδεθεί με γεωμετρική πρόοδο έχει «αλματώδη» μεταβολή.

Πρώτοι ασχολήθηκαν με τις προόδους οι Αρχαίοι Έλληνες μελετώντας τους τρίγωνους, πλευρικούς και

διαμετρικούς αριθμούς, ενώ μέσα από την Γεωμετρία και τις αναλογίες μελέτησαν τις γεωμετρικές προό

δους ( «αναλλοίωτος λόγος» Στοιχεία ΕΥΚΛΕΙΔΗ βιβλίο ΙΧ ). Πολύ αργότερα η αντιστοιχία μεταξύ της α

ριθμητικής και της γεωμετρικής προόδου θα οδηγήσει στην έννοια του λογαρίθμου και της λογαριθμικής

συνάρτησης (Nαpίer 1550-1 61 7) . Από τις βασικές εφαρμογές της θεωρίας των προόδων είναι ο υπολογι

σμός διαφόρων μορφών αθροισμάτων. Ένα τέτοιο άθροισμα εμπλέκεται και στον υπολογι

σμό(τετραγωνισμό) του εμβαδού του παραβολικού χωρίου από τον Αρχιμήδη.

Οι Αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν το άθροισμα των όρων αριθμητικής προόδου α1, α2, • • • αν , δηλαδή γνώ

ριζαν την ισότητα α1 + α2 + . . . + αv = � · (α1 + αv) . Το άθροισμα αυτό απαιτείται για την λύση ενός παλιού 2

Κινέζικου προβλήματος (1"ς αιώνας) «Μια γυναίκα υφαίνει 5 πόδια ύφασμα την πρώτη ημέρα και ελλατώ

νεται σταθερά η ύφανση φτάνοντας στο 1 πόδι την τελευταία ημέρα. Αν η γυναίκα εργάστηκε 30 ημέρες να

βρεθεί πόσα συνολικά πόδια ύφανε;» και η λύση: « Πρόσθεσε ότι ύφανε την πρώτη μέρα και την τελευταία

μέρα και πάρε το μισό του αθροίσματος και τότε πολλαπλασίασε επί το πλήθος των ημερών» Τον ίδιο τύπο

χρησιμοποίησε ο νεαρός τότε Gauss για να υπολογίσει ταχύτατα το άθροισμα 1 + 2+ . . . +40 εντυπωσιάζοντας

τον δάσκαλό του.

Μερικές χαρακτηριστικές περιπτώσεις του μαθηματικού μοντέλου «γεωμετρική πρόοδος» έχουμε στον

περίφημο συνδυασμό « σκακιέρας - κόκκων ρυζιού» του Ινδού Sessa, και ακόμα στο "Great chaίn letter

of 1935 " και στο πρόβλημα των προγόνων: «Βρείτε πόσους προγόνους είχατε πριν από 1 000 χρόνια» (

βλέπε Ευκλείδης Β ' τεύχος 1 0, 1 993) . τέλος οι Πυθαγόρειοι ήταν εκείνοι που μέσω της «παλλόμενης χορ

δής» επινόησαν τον αρμονικό μέσο και την Αρμονική πρόοδο.


Μαθηματικά για την Β ' Λυκείου

I Α Ρ Ι Θ ί\1 Η τ i Κ Η Π ΡΟ Ο Λ Ο ΣI Ο Ρ Ι Σ Μ ΟΣ Μια ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο του με την πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Δηλαδή : αν+ ι = αv +ω για κάθε ν ε Ν* ο αριθμός ω= �ι-αν ονομάζεται διαφορά της προόδου.

� Ι ΟΣ ΤΟΣ Ο ΡΟΣ I αν = α, + (ν - 1 )ωl

Α Ρ Ι Θ Μ Η τ Ι ΚΟΣ Μ ΕΣΟΣ Ι β = α; γ ι όπου α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Η συνθήκη για να είναι οι α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου είναι: 2β = α + γ

Ά Θ Ρ Ο Ι Σ Μ Α Δ Ι Α Λ Ο Χ Ι ΚΩ '\1 Ο ΡΩ'\1 I s. � Ξ · (αι + α,) � Ξ · [2α , + (ν - Ι )ω]

Σ Υ Μ Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ή Π Α Ρ ΆΣΤΑΣ Η Τ Ω Ν Ο ΡΩ Ν

Α Ρ Ι Θ Μ Ι-Π Ι Κ Η Σ Π Ρ Ο Ο Δ Ο Υ

Α) Αν το πλήθος των όρων είναι περιττό. Υπάρχει τότε μεσαίος όρος της προόδου, έστω χ, και αν η διαφορά της προόδου είναι ω τότε τους όρους της τους γράφουμε:

. . . χ - 2ω, χ - ω, χ, χ + ω, χ + 2ω . . . .

Β) Α ν το πλήθος των όρων είναι άρτιο. Υ πάρχουν δύο μεσαίοι όροι και στην περίπτωση αυτή τους όρους της προόδου που έχουν διαφορά 2ω, τους γράφουμε :

• . . χ - 3ω, χ - ω, χ + ω, χ + 3ω • • • •

Π Α Ρ Α ΊΉ Ρ Ή Σ Ε Ι Σ Σ Τ Η Ν Θ Ε Ω Ρ Ι Α :

Ι . Δύο πολύ χρήσιμα αθροίσματα

I Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ή Π ΡΟΟΔΟΣI Ο Ρ Ι Σ Μ ΟΣ Μια ακολουθία ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο του με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικού αριθμό. Δηλαδή :αν+ ι =αν . λ για κάθε ν ε Ν* και α ,:;eΟ ο αριθμός λ = αν+ ι lαν ονομάζεται λόγος της προόδου.

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ ΟΣ VΙ ΕΣΟΣ l β =�l όπου α, β, γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου μη μηδενικοί. Η συνθήκη για να είναι οι α, β, γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου είναι: β2 = α · γ

Α Θ ΡΟ Ι Σ Μ Α Δ Ι ΑΔ Ο Χ Ι Κ Ω Ν Ο Ρ Ω Ν I s. � α, .fΞf λ ;' I I Σ Υ Μ Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ή Π Α Ρ ΛΣf Α Σ Ή Τ Ω Ν Ο ΡΩ Ν

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Η Σ Π Ρ Ο Ο Δ Ο Υ

Α) Αν το πλήθος των όρων είναι περιττό. Υπάρχει τότε μεσαίος όρος της προόδου, έστω χ, και αν ο λόγος της προόδου είναι λ τότε τους όρους της τους γράφουμε:

χ χ 2 • • •

-2 , - , χ, χλ, χλ , . . . •

λ λ Β) Αν το πλήθος των όρων είναι άρτιο. Υπάρχουν δύο μεσαίοι όροι και στην περίπτωση αυτή τους όρους της προόδου που έχουν λόγο λ2, τους γράφουμε :

χ χ 3 • • • -3 , - , χλ, χλ , . . . •

λ λ

") S _ 1 2 3 _ ν( ν + 1) ") S _ 1 2 22 32 2 _ ν( ν + 1)(2ν + 1) ι 1 - + + + . . . + ν - ι ι 2 - + + + . . . + ν - ----'--....:......:...-----'-2 6

Για την απόδειξή τους το πρώτο είναι άθροισμα όρων αριθμητικής προόδου με α1 = 1 και ω= 1 και για το δεύτερο θέτουμε διαδοχικά α = Ο, 1 , 2, . . . . , ν στην ταυτότητα (α + 1 )3 = α3 + 3α2 +3α + 1 και προσθέτουμε κατά μέλη . 2 . Αν (αν) ν εΝ μια ακολουθία ισχύει: αν = Sv - Sv- ι , με ν �3 3 . Αν (αν) ν ε Ν μια αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω είναι: αμ+κ = ακ + μω = αμ +κω



Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Τ Υ Π ΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ 1 . Για κάθε α, β, γ ε R, αν α - β, β, α + β είναι δι

αδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε α = β

2. Η ακολουθία 2, 7, 1 2 , 1 6, . . . . είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω = 5

3. Σε κάθε αριθμητική πρόοδο α1 , α2, • • • • με δια-φορά ω, ο όρος της αzοΟΊ είναι ίσος με α ι+ 2006ω

4. Σε κάθε αριθμητική πρόοδο που ισχύει: S5 = 45 και S6 = 63 τότε ό έκτος όρος α6 της προόδου είναι 1 8

5. Μια ακολουθία α 1 , α 2 , α 3 , . · · ,α ν είναι αριθμητική πρόοδος αν και μόνο αν οι διαφορές α" - α" ... 1 των διαδοχικών όρων της είναι ίδιες για κάθε ν ε Ν*.

6. Για κάθε α, β, γ>Ο αν α, β και γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε και οι αριθμοί ra_ , ..Jβ και .JY είναι επίσης διαδο-χικοί όροι αριθμητικής προόδου.

7. Αν οι αριθμοί α , � , 1_ ( α > Ο) είναι δια-γ α

δοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε α = 1

8. Αν σε μία γεωμετρική πρόοδο είναι λ 2 . 22007 αι = = , τοτε αzοο7 =

9. Αν οι θετικοί αριθμοί α, β και γ είναι συγχρόνως διαδοχικοί όροι αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου, τότε

α = β = γ. lΟ.Στην γεωμετρική πρόοδο α - 1 ,

(α - 1 )α, (α - 1 )α2, . . . . με α f. 1 το άθροισμα των πέντε πρώτων όρων της είναι: S5 = α5 - 1

ΑΠΑΝΤ Η Σ Ε Ι Σ

ι � ι � ι � ι : ι � ι : ι � ι : ι � ι �

Ε Ρ!Η Η Σ Ε Ι Σ Π ΟΛ.\.Α Π Λ Η Σ JF: Π ι\ Ο Πη : 1 . Αν η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου είναι

η μεγαλύτερη ρίζα και ο πρώτος της όρος η μικρότερη ρίζα της εξίσωσης χ2 - 7χ + 1 Ο = Ο, τότε ο 1 οος όρος της προόδου είναι ο Α. 47 Β. 50 Γ. 37 Δ. 27 Ε. 67

α3 - β 3 2. Αν οι αριθμοί χ, , 3αβ(α - β) είναι δι-

2 αδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε: Α. χ = α3 - β3 Β. χ = (α + β)3 Γ. χ = (α - β)3 Δ. χ = 3αβ(α+β) Ε. χ = αβ

3. Η ακολουθία (αν) με νιοστό όρο αν= 1 82 1ν +2007 είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω ίση με: Α. 2007 Β. 1 82 1 Γ. 1 Δ. 2006 Ε. 1 820

4. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι α 1 = 5 και α5 = 1 7 . Τότε η διαφορά ω είναι ίση με Α. 5 Β. 3 Γ. 4 Δ. 2 Ε. 1 7

5. Αν οι αριθμοί 1 , �2χ + 7 , χ + 2 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε : Α. χ = 2 Β. χ = -2 Γ. χ = ± 2 Δ. χ = 1 Ε. χ = -3 ή χ = 1

6. Η ακολουθία ( αv) με νιοστό όρο αν = 1 82 1 . 2οογ-ι είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ ίσο με: Α. 2007 Β. 1 82 1 Γ. 1 Δ. 2006 Ε. 1 820

7. Σε γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο α1 = α και λόγο λ, το γινόμενο Ρ ι ο = α1 • α2 • α3 . . . . α1 0 είναι ίσο με : Α. α 1 ο · λsο Β. α9 · λsο Γ. αι ο · λ zο

Δ. α1 0 • λ1 00 Ε. α 1 0 · λ 45

8. Αν ο λόγος μιας γεωμετρικής προόδου είναι η μικρότερη ρίζα και ο πρώτος όρος της η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης 2χ2 - 3χ + 1 =0, τότε ο έκτος όρος της προόδου είναι:

1 1 1 1 Α. - Β.- Γ. - Δ. -

3 1 32 33 35 1

Ε. -36



Α 1 • Το παρακάτω διάγραμμα αναπαριστάνει {5 =α · 1 +β} { α + β = 5 } {α = 2} 7 =α · 2+β

<::::> 2α + β = 7

<::::> β = 3 και η ευ

όρους μιας ακολουθίας («ν)·

:!\+3 - - - . - - - - - - - - - - - - . 1\1

•

•

- · · · · 5 • : '

' ο 1 :!

ί) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος.

ίί) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι συντεταγμένες όλων των σημείων της αριθμητικής προόδου.

ίίί) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(7, 1 7) και

Β( � ,6) είναι σημεία της παραπάνω ακο-2

λουθίας. Λ Υ Σ Η

i ) Επειδή η ακολουθία είναι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν*, γνωρίζουμε ότι η γραφική της παράσταση αποτελείται από σημεία με τετμημένες ακέραιους θετικούς αριθμούς. Συνεπώς ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι η τεταγμένη του «πρώτου» σημείου της που έχει ως τετ μ η μένη το θετικό ακέραιο 1 , δηλαδή είναι α 1 = 5 και αντίστοιχα έχουμε αz = 7 και ο νιοστός όρος της είναι αν = 2ν+3 . Επιπλέον είναι αν+ ι = 2(ν+ 1 ) + 3 = 2ν + 5 άρα αν+ ι - αν = 2ν + 5 - ( 2ν + 3) = 2, οπότε η ακολουθία (αν) είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω = αν+ ι - αν = 2 και πρώτο όρο αι = 5 . i) . Η εξίσωση της ευθείας από την οποία διέρχονται τα δύο «πρώτα» σημεία ( 1 ,5 ) και (2,7) της αριθμητικής προόδου έχει μορφή y = αχ + β και τα σημεία αυτά την επαληθεύουν, επομένως έχουμε :

θεία έχει εξίσωση y =2χ + 3 . Απομένει να δείξουμε ότι ο ι συντεταγμένες όλων των σημείων της αριθμητικής προόδου ανήκουν στην ευθεία (ε) : y =2χ + 3 , επομένως αρκεί να δείξουμε ότι το σημείο Μ (ν, 2ν+3) επαληθεύει την παραπάνω ευθεία. Πράγματι για χΜ = ν και ΥΜ = 2ν + 3 έχουμε 2χΜ + 3 = 2ν +3 = ΥΜ οπότε το Μ ανήκει στην (ε) . Άρα η εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι συντεταγμένες όλων των σημείων της αριθμητικής προόδου είναι η ευθεία y =2χ + 3 . iii) Το σημείο Α(7, 1 7) προφανώς επαληθεύει την παραπάνω ευθεία, άρα είναι σημείο της ακολουθί-

ας, αλλά το σημείο Β(% ,6) αν και επαληθεύει την

ευθεία δεν είναι σημείο της ακολουθίας διότι 3 Ν .. - � . 2

ι\ 1 0 Δίνονται οι ακολουθίες (αν), νεΝ με «t = 2, αν+t = «ν +2 και (βν), νεΝ με β1 = 2, βν+ Ι = «ν + βν για κάθε ν εΝ*.

Να βρείτε τους «ν, β,. ως συνάρτηση του ν

Για την ακολουθία (αν), νεΝ έχουμε: αν+ ι - αν = 2 συνεπώς είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω=2, τότε αν = α1 + (ν - 1 )ω = 2 + (ν- 1 ) · 2 = 2ν Για την ακολουθία (βν) ν ε Ν έχουμε :

βκ+ Ι = ακ + βκ δηλαδή βκ+ Ι = 2Κ +βκ για κάθε κε Ν* ( 1 ) Θέτοντας διαδοχικά στην θέση του κ της σχέσης ( 1 ) τις τιμές 1 , 2, . . . ,ν- 1 έχουμε: με κ = 1 : βz = 2 · 1 + β ι με κ = 2 : β3 = 2 · 2 + βz

με κ= ν- 1 : βν = 2 · (ν - l) + βv. ι και προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:

2� . . . +βv=2 [ 1 +2+ . . . +(ν - 1 )]+βι+ . . . +;χ{, ή ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/48


β _ β 2 ν(ν - 1) - I + . ___.:. _ ____:_ ν 2 ' ή βν = 2 + ν( ν - 1 ) αφού

είναι β 1 = 2 (το άθροισμα 1 + 2 +3 + . . . + (ν - 1 ) είναι άθροισμα των ν- 1 πρώτων όρων αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο και διαφορά ίση με 1 ΣΧΟΛ i Ο : Παρατηρήστε τον διαγώνιο νόμο της διαγραφής κατά την πρόσθεση .

Λ 3 • Σε μια αριθμητική πρόοδο με διαφορά ω έχουμε: α7 + αι 7 = 30 και α9 + α2ο = 40 ί) Να βρεθεί ο πρώτος όρος α1 και η διαφορά

ω της προόδου. ίί) Να βρεθεί το άθροισμα S των όρων της α

ριθμητικής προόδου που βρίσκονται μεταξύ των όρων της αs και α2s·

i) Ο πρώτος όρος α1 και η διαφορά ω της προόδου προσδιορίζονται από την λύση του παρακάτω συστήματος: {α7 + α 1 7 = 30} <:::::> α9 + α20 = 40 {α 1 + 6ω + α 1 + 1 6ω = 30}<=> α1 + 8ω + α1 + 1 9ω = 40 {2α1 + 22ω = 30} 2α1 + 27ω = 40 που έχει ως λύση α1 = -7 και

ω=2 ii) Από την διάταξη του αθροίσματος των όρων της αριθμητικής προόδου :

α1 + α1 + . . . . + υ.s + Ut,� + . . . . + υ.1-' + α15 --- s8 - +-- s -------s1-' ------+

βλέπουμε ότι το άθροισμα S των όρων της αριθμητικής προόδου που βρίσκονται μεταξύ των όρων της αs και α2s είναι : S = S24 - Ss =

24 8 =- · [2α 1 + (24-1 )ω]-- · [2α 1 + (8 - 1 )ω] και για 2 2 α 1 =-7 και ω=2 έχουμε:

24 8 s = 2 . [2 . ( -7) +(24-1 )2]-2 . [2 . ( -7) +(8-1 )2]=

= 384 Σ:Χα \ Π Ο : Εάν (αν) μια ακολουθία τότε οι όροι

που περιέχονται μεταξύ των αμ και αλ όρων της όπου λ>μ+ 1 είναι όσοι οι ακέραιοι χ 1 , χ2 , . . . χρ μεταξύ των λ και μ. Όμως οι ακέραιοι μ, χ 1 , χ2 , . . . χρ, λ αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθ . προόδου (βν) με β 1=μ, βρ+2=λ και ω= 1 , οπότε

βρ+2=β Ι+(ρ+2- 1 ) · 1 <:::::>λ=μ+ρ+ 1<:::::>ρ=λ-μ-1 το πλήθος. Παράδειγμα: Έστω αμ = αs και αλ = α25 τότε

. . . . . . . . ,αs , . . . . . . . . . . . , α2s , . . . . . . . . '----ν---'

μεταξύ των α8 και α25 παρεμβάλλονται 25-8- 1 = 1 6 όροι οπότε στο ερώτημα ii) ( άλλη αντιμετώπιση ) :

S = (α9 + α24 ) · 1 6 = (9 + 39) · 1 6 =384 2 2

Α � . Για 12 διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου ισχύουν τα εξής: Το γινόμενο των δύο ακραίων είναι ίσο με 70, ενώ το άθροισμα των τεσσάρων μεσαίων όρων είναι 74. Να βρείτε τους όρους αυτούς.

Λ ΥΣ Η Παριστάνουμε τους 1 2 όρους της αριθμητικής προόδου ως εξής: α - 1 1 ω, α - 9ω, α - 7ω, α - 5ω, α - 3ω, α - ω, α + ω, α + 3ω, α + 5ω, α + 7ω, α + 9ω και α + 1 1 ω. Τότε σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης έχουμε το σύστημα: {α - 3ω + α - ω + α + ω + α + 3ω = 74 (1) }

(α - 1 1ω)(α + 1 1ω) = 70 (2) Από την σχέση ( 1 ) έχουμε ότι:

4α = 74 δηλαδή α = 37 και από την σχέση (2) 2 έχουμε: α2 - ( 1 1 ω)2 = 70 <:::::>

37 2 2 2 ( 37 )2 <=> ( 2 ) - ( 1 1 ω) =70<:::::> ( 1 1 ω) = 2 - 70 <:::::>

<=>( 1 1 ω)2 = 37 2 - 280 = 1 089 <=>1 1 ω = 4 4 {1089 33 . 3 = ±ν-τ = ±2 επομενως ω = ±2

Ά .

' δ . 3 ρα οι οροι της προο ου ειναι: για ω = 2 :



3 3 3 1 7 - 1 1 · - , 1 7 - 9 · - , . . . ' 1 7 + 1 1 · -2 2 2

3 3 3 και για ω = -- : 1 7+ 1 1 · - , 1 7 + 9 · - , . . . , 2 2 2

3 1 7- 1 1 · -2

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι αν οι συνεφαπτόμενες των γωνιών του τριγώνου σφΑ, σφΒ, σφΓ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε και τα τετράγωνα των αντιστοίχων πλευρών του τριγώνου είναι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

Αφού οι σφΑ, σφΒ και σφΓ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε:

2 συνΒ συνΑ συνΓ 2σφΒ = σφΑ + σφΓ ή ·--=--+--ημΒ ημΑ ημΓ

ή 2 . συν Β = συνΑημΓ + ημΑσυνΓ ημΒ ημΑημΓ

ή 2 _ συνΒ ημ(Α + Γ) ημΒ ημΑημΓ

ή 2 _ συνΒ _ ημΒ ημΒ ημΑημΓ

ή ημ2Β = 2ημΑημΓσυνΒ ( 1 ) (αφού Α + Γ = 1 80° - Β θα έχουμε

η μ( Α + Γ) = η μ( 1 80° - Β) = ημΒ)

Αλλά είναι ημΑ = � ημΒ = .1_ ημΓ =� 2R ' 2R ' 2R

(νόμος ημιτόνων) και α2 + 2 - β2

συνΒ = γ (νόμος συνημιτόνων) 2αγ τότε από την ( 1 ) σχέση έχουμε :

L =2 - � . l . α2 + γ2 - βz

4R2 2R 2R 2αγ τότε β2 = α2 + γ2 - β2 � 2β2 = α2 + γ2 δηλαδή τα τετράγωνα των αντιστοίχων πλευρών του τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

Δίνονται τρεις αριθμητικές πρόοδοι με κοινό πρώτο όρο α1 = 1 και διαφορές ωι= 1 , ω2 = 2 και ω3 = 3 αντίστοιχα. i) Να βρεθούν τα αθροίσματα S ι , S2 και S3 των ν πρώτων όρων των τριών παραπάνω προόδων.

ii) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί S1 , S2 και S3 αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.

i) Για τα αθροίσματα S 1 , S2 και S3 των ν πρώτων όρων των τριών παραπάνω προόδων έχουμε:

ν ν S ι = 2 · [2α1 + (ν - 1) · ω1 ] = 2 - [2 · 1 + (ν - 1) · 1] = ν - · (ν + 1 ) 2

ν ν s2 = - · [2α + (ν - l ) · ω ] = - · [2 · 1 + (ν - 1) · 2] = 2 ι 2 2 �- 2ν = ν2 2

ν =- · (3ν - 1 ) 2 ii) Για να δείξουμε ότι οι αριθμοί S 1 , S2 και S3 αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προό-δου, αρκεί να αποδείξουμε ότι: ..!_ · (S ι+S3)=S2 2 πράγματι έχουμε: _!_ · ( S ι + S3) =

..!__ [�· (ν + 1) +

�· (3ν - 1)] = 2 2 2 2

1 ν 1 ν 2 - · - · (ν + 1 +3ν - 1 ) = - · - · 4ν = ν = S2 2 2 2 2

Έχουμε 4200 αντικείμενα και τα χωρίζουμε σε ν+1 ομάδες (νεΝ*), ως εξής: Η 1 η ομάδα να περιέχει 5 αντικείμενα, η 2η να περιέχει 8 αντικείμενα, η 3η να περιέχει 1 1 , κ.ο.κ. Δηλαδή κάθε ομάδα να περιέχει 3 αντικείμενα περισσότερα της προηγουμένης. i) Να βρείτε το μέγιστο πλήθος των ομάδων

που μπορούμε να σχηματίσουμε. (δίνεται ό-τι: .JιΟΟ849 � 318 )

ii) Να βρείτε το πλήθος των αντικειμένων της τελευταίας ομάδας.

iii) Να βρείτε το πλήθος των αντικειμένων που περισσεύουν.

i) Τα πλήθη των αντικειμένων στις ομάδες αποτελούν διαδοχικούς όρους της αριθμητικής προόδου : 5 , 8, 1 1 , . . . με πρώτο όρο α ι = 5 και διαφορά ω =



3 . Η (ν+ 1 ) ομάδα περιέχει: <Χν+ι = αι + (ν + 1 - 1 )ω = 3ν + 5 αντικείμενα. Το πλήθος των αντικειμένων στις (ν + 1 ) ομάδες είναι:

S - (αι + αν+ Ι ) ( 1) -+ Ι - · ν + -ν 2 (5 + 3ν + 5) · (ν + 1) = (3ν + 1 0) · (ν + 1) ( 1 )

2 2 Από την υπόθεση έχουμε:

(3ν + 1 0) 2 Sv+ I � 4200 <=> · (ν + 1) � 4200 <=> 3ν 2 ' - 1 3 ± ν'1 00849 + 1 3ν - 8390 < Ο απ ' οπου ν ι 2 = ------- ' 6

και οι ρίζες είναι : ν 1 � 3�5 = 50,8

33 1 ή ν2 � -- = -55 ,2 6

Άρα η ανίσωση αληθεύει για εκείνα τα ν που είναι: - 55 ,2 � ν � 50,8 . Επειδή ζητάμε το μέγιστο πλήθος των ομάδων που μπορεί να σχηματιστεί και με δεδομένο ότι ν ε Ν' έχουμε ότι η μέγιστη τιμή του ν είναι η ν = 50 . Συνεπώς μπορούμε να σχηματίσουμε ν + 1 = 5 1 το πολύ ομάδες. ii) Η τελευταία ομάδα είναι η 5 1 η και το πλήθος των αντικειμένων της είναι:

αs ι = αsο+ ι = 3 · 50 +5 = 1 55 αντικείμενα. iii) Από την ( 1 ) για ν = 50 έχουμε: S5 1 = (3 · 50 + 1 Ο) · (50 + 1) = 4080, άρα απομένουν 2 4200 - 4080 = 1 20 αντικείμενα.

_ _ ' � ,�� Η επόμενη (ν+ 1 ) + 1 = ν+2 ομάδα θα έπρεπε να περιέχει 3(ν+ 1 ) +5 = 3 · 5 1 +5 = 1 58 αντικείμενα, άρα 1 58 - 1 20 = 38 είναι τα επιπλέον αντικείμενα που χρειαζόμαστε για να συμπληρώσουμε την αμέσως επόμενη ομάδα.

Δίνεται η αριθμητική πρόοδος α1 , α2, α3, • • • ακ, . . . αν με κεΝ, l<�ν. Να αποδείξετε ότι:

i) αν-κ+\ = αν - (κ-l)ω ii)

iii)

ακ + αν-κ+ \ = α ι + αν ακ · α ι � α ι · α ν ν-κ+

ί) Έχουμε ότι : αν-κ+ Ι = α ι + (ν - κ + 1 - 1 )ω = α1 +

(ν - 1 )ω + (-κ + 1 )ω = αν - (κ- 1 )ω ii) Με βάση το πρώτο ερώτημα έχουμε : ακ + αν-κ+ ι = αι + (κ - 1 )ω + αν - (κ- 1 )ω = αι + αν iii) Αρκεί να αποδείξουμε ότι:

[α ι + (κ - 1 )ω] [αν - (κ- 1 )ω � α1 · αν αρκεί αι αν-αι (κ- 1 )ω + αν(κ - 1 )ω--(κ- 1 )2ω2] � α 1 αν, αρκεί - α ι (κ- 1 )ω + αv(κ - 1 )ω - (κ- 1 )2ω2 � Ο, αρκεί (κ - 1 )ω(αv - α1 ) - (κ - 1 )2ω2 � Ο, αρκεί (κ - 1 )ω[α 1+(ν - 1 )ω-α1 ]-(κ - 1 )2ω2� Ο, αρκεί (κ - 1 )(ν - 1 )ω2- (κ - 1 )2ω2 � Ο, αρκεί (κ - 1 )ω2 [ν - 1 - (κ - 1 )] � Ο, αρκεί (κ - 1 )ω2(ν - κ) � Ο που ισχύει γιατί 1 <κ�ν.

Λ <J . Τα μήκη των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Α ν α είναι το μήκος της μικρότερης πλευράς και ω η διαφορά της προόδου, τότε να δείξετε: i) Α ν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο, τότε

α = 3ω ii) Α ν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο, τότε

α > 3ω iii) Α ν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο, τότε

α < 3ω . \. Υ Σ Η

Τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ είναι: α, α + ω, α + 2ω, με μεγαλύτερη πλευρά την α + 2ω, συνεπώς: i) Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, τότε έχουμε : (α + 2ω)2 = α2 + (α + ω)2 <=> α2 + 4αω +4ω2 = =α2 + α2 + 2αω + ω2 <=> α2 - 2αω - 3ω2 = Ο ( 1 ) Θεωρώντας την σχέση ( 1 ) τριώνυμο ως προς α έχουμε : Δ = (-2ω)2 -4(-3ω2) = 4ω2 + 1 2ω2 = 1 6ω2 και η εξίσωση ( 1 ) έχει ρίζες: α = - ω < Ο που απορρίπτεται και α = 3ω που είναι δεκτή . ii) Αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, τότε : (α + 2ω)2 < α2 + (α + ω)2 <=> α2- 2αω--3ω2 > Ο που αληθεύει όταν α > 3ω ( ή α < -ω που απορρίπτεται γιατί α > 0.) i i i ) Αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο, τότε έχουμε : (α + 2ω )2 > α2 + (α + ω )2 <=> α2 - 2αω - 3ω2 < Ο

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/5 1


που αληθεύει όταν α <3ω

. \. J Ι ι · Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε η εξίσωση χ4 - (3λ+2)χ2 + λ2

= Ο να έχει τέσσερεις ρίζες πραγματικές που αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. (εξετάσεις ΑΣΕΠ 2002)

Λ 'Ι Σ Η Αρχικά για να έχει η εξίσωση τέσσερεις ρίζες πραγματικές πρέπει η επιλύουσα της εξίσωσης, y2 - (3λ+2)y + λ2 = Ο ( 1 ) να έχει δύο ρίζες και μάλιστα να είναι θετικές, άρα πρέπει και αρκεί:

{� : �} δηλαδή ι:: � � ο} · Η πρώτη σχέση ισχύει για κάθε λ ε R • και η δεύτε-

� ---3 Σ . , , ρη για ιv---2 . υνεπως πρεπει και αρκει

λ> -2 . 3 Έστω χ-3ω, χ-ω, χ+ω, χ+3ω, οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης. Επειδή αυτές προκύπτουν από την ( 1 ) με τον μετασχηματισμό χ2 = y θ α πρέπει να είναι ανά δύο αντίθετες, επομένως θα πρέπει

χ-3ω+χ+3ω=Ο δηλαδή χ = Ο. Συνεπώς οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης θα έχουν την μορφή - 3ω, - ω , ω, 3ω. Επομένως οι ρίζες της επιλύουσας ( 1 ) είναι Υ ι = 9ω2, Υ2 = ω2, και από τις σχέσεις Vieta για την εξίσωση ( 1 ) έχουμε : {Υι + y2 = 3λ + 2}<=> {9ω2 + ω2 = 3λ + 2}<=>

Υ ι · Υ 2 = λ 2 9ω2 · ω2 = λ 2 { 1 0ω2 = 3λ + 2} 9ω4 = λ2

aπαλείφοντας από τις παραπάνω σχέσεις το ω2 έχουμε:

9 { 3� � 2 )2

= λ 2 <=> 1 9λ2 - 1 08λ - 36 = ο . Οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης είναι λ=6,

λ 6 ' δ ' δ ' ' ' = -19 που ειναι και οι υο εκτες αφου ειναι τι-

, λ ' -2 μες μεγα υτερες του ) l: Χα\ ϊ Ο : «διτετράγωνη εξίσωση και αριθμητική πρόοδος»

Θεωρούμε την διτετράγωνη εξίσωση αχ4 + βχ2 + γ = Ο (α f:- Ο) ( 1 ) και την επιλύουσά της αy2 + βy +γ = Ο (2) που προκύπτει θέτοντας στην αρχική εξίσωση χ2 = y � Ο . Έστω ότι η εξίσωση (2) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες τις Υ ι , Υ2 με Ο< Υ ι < Υ2 τότε η εξίσωση ( 1 ) θα έχει ως ρίζες τις

- )Υ; , - JY: , JY: , )Υ; . Για να έχει η διτετράγωνη τέσσερεις ρίζες πρέπει και αρκεί για την επιλύουσά της να είναι: Δ > Ο, Ρ > Ο, S >Ο και αν απαιτήσουμε η διτετράγωνη εξίσωση να έχει ρίζες διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου πρέπει και αρκεί: 2 JY: = -JY: +)Υ; δηλαδή 3 JY: = )Υ; δηλαδή 9y ι = Yz

ι , · . Έστω η γεωμετρική πρόοδος (γ.) με λόγο λ και η αριθμητική πρόοδος (αν) με διαφορά ω. Να υπολογίσετε την παράσταση :

Ρ _ α 1 α, α ,. (Δ , , . ν - γ 1 • γ 2 • • • • γ ν ινεται Οτι.

1 2 + 22 +32 + . . . + (ν-1)2 = ν(ν - 1)(2ν - 1)

) 6

Έχουμε: γ ν = γ ι ·λ ν - ι και αν = α ι + (ν - 1 )ω, ν ε Ν* επομένως: Ρ v = γ�' · γ�' . . . . γ�' = = γ�' · (γ , λ)α 1 + ω

· (γ ,λ 2 )α1 + 2 ω · . . .

·(γ,λν - Ι )α1 + ( ν - Ι ) ω

= γ�' + ( α 1 +ω)+ . . . +α1 + ( ν - Ι ) ω . λ ( α 1 +ω)+ . . . + ( ν - Ι ) [α 1 + ( ν - Ι ) ω ]

_ να1 +ω[ 1 + 2 + . . . � ( ν - 1 )] λα1 -[ 1 + 2+ . . . + ( ν - Ι )]+ i 1 1 + 21 + . . . + ( ν - 1 )1 ]ω - γ, . ν ( ν - 1 ) ν ( ν - 1 ) ν ( ν - 1 )( 2 ν - 1 )

ν ·α 1 +ω·-- α1 ·--+ω = γ, 2 • λ 2 6

, z . Ο Νίκος γιορτάζοντας τα 1 0α γενέθλιά του ζήτησε από τους γονείς του ως δώρο 30 € και για κάθε επόμενα γενέθλιά του να του αυξάνουν το ποσό κατά 6 €, μέχρι να γιορτάσει τα 21 α γενέθλιά του. Οι γονείς του aντιπρότειναν τα εξής:

«Θα σου δώσουμε τώρα 1 € και κάθε επόμενα γενέθλια θα σου διπλασιάζουμε το προηγούμενο ποσό». Ο Νίκος σκέφτηκε λίγο και απέρριψε την πρόταση των γονιών του, πιστεύοντας ότι με την δική του πρόταση θα κέρδιζε περισσότερa χρήματα όταν θα γιορτάζει τα 1 8α γενέθλια του.



i) Να δικαιολογήσετε αν συμφωνείτε ή διαφωνείτε με την άποψη του Νίκου.

ii) Πόσα χρήματα θα πάρει με την δική του άποψη στα 21 α γενέθλιά του και πόσα θα έπαιρνε με την πρόταση των γονιών του;

ί) Σύμφωνα με την άποψη του Νίκου θα πάρει δώρο στα ωα γενέθλιά του 30€, στα 1 1 α γενέθλια 36 € στα 1 2α γενέθλια 42 € κ.τ.λ. Τα ετήσια δώρα του επομένως είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α1 = 30 και διαφορά ω = 6, οπότε για να βρούμε τα χρήματα που θα πάρει στα 1 8α γενέθλιά του πρέπει να υπολογίσουμε τον ένατο όρο της προόδου, επομένως έχουμε:

α9 = α1 + (9- 1 )ω = 30 + 8 · 6 = 78 € Σύμφωνα με την άποψη των γονέων του θα πάρει 1€ στα ωα γενέθλιά του, 2€ στα 1 1 α, 4€ στα 1 2α κ.τ.λ. Τα ετήσια δώρα του επομένως είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α1 = 1 και λόγο λ = 2, οπότε για να βρούμε τα χρήματα που θα πάρει στα 1 8α γενέθλιά του πρέπει να υπολογίσουμε τον ένατο όρο της προόδου, επομένως έχουμε: α9 = α 1 . λ9- 1 = 28 = 256 € Επομένως διαφωνούμε με την άποψη του Νίκου. ίί) Επειδή από τα 1 σα γενέθλια του Νίκου μέχρι τα 2 1 α μεσολαβούν 1 2 χρόνια, έχουμε ότι με την άποψη του στα 2 1 α γενέθλια θα πάρει:

α 1 2 = α1+( 1 2- 1 )ω=α1+ 1 1 ω=30+ 1 1 · 6 =96€ και με την άποψη των γονέων του στα 2 1 α γενέθλια θα πάρει:

α1 2 = α1 . λ1 1 = 21 1 = 2048 € !

, _,, , Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος 1 , λ, λ2, . . . ,λν (λ > 1) . Σε κάθε ένα από τα διαστήματα (1 , λ), (λ, λ2), • • • • , (λ ν- ι , λ ν) παρεμβάλουμε κ aριθμητικούς ενδιάμεσους. Έτσι σχηματίζεται μια νέα ακολουθία. Να βρείτε το άθροισμα των όρων της.

ΛΥ:Ζ.:Η Σε κάθε ένα από τα ν διαστήματα ( 1 , λ), (λ, λ2), . . . . , (λ ν- Ι , λ ν) υπάρχουν κ + 2 όροι

λ

� � � 1< ιφιθ . evδ . 1< ιφιθ. evδ. 1< ιφιθ. evδ.

Το άθροισμα των όρων που βρίσκονται στο 1 °

διάστημα είναι: s l = κ + 2 · ( l +λ) 2

Το άθροισμα των όρων που βρίσκονται στο 2° διάστημα είναι:

κ + 2 2 κ + 2 s2 = --· (λ+λ ) = -- · λ( l +λ) 2 2

Το άθροισμα των όρων που βρίσκονται στο ν0 διάστημα είναι:

Sν = κ ; 2 . (λν- Ι+λν) = κ ; 2 · λν- 1 ( 1 +λ)

τότε το ζητούμενο άθροισμα είναι: κ + 2 2 ν- 1 S=S 1+S2+ . . . . +Sν= -- · ( l +λ)( l +λ+λ + . . . +λ )( 1 ) 2

αλλά το άθροισμα 1+λ+λ2+ . . . +λν- Ι είναι άθροισμα ν όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο 1 και λόγο λ * 1 , επομένως είναι:

λν - 1 1 +λ+λ2+ . . . +λν- Ι = --, άρα από την ( 1 ) σχέση λ - 1

έχουμε ότι το ζητούμενο άθροισμα είναι: κ + 2 λν - 1 S = S 1+S2+ . . . . +Sν = --· ( l+λ) ·--2 λ - 1

Α i � . Ν α αποδείξετε ότι: 1 1 1 ... 1 - 222 . • • 2 = 333 • • • 3 � � � 2ν ψηφία ν ψηφία ν ψηφία

Α Π ΟΛ Ε i Ξ Η Είναι:

1 1 1 . . . 1 = 1 +ω+ ω2 + ω3 + . . . + ω2ν- Ι � 2ν ψηφία

ω2ν - 1 ω2ν - 1 ω - 1 9

222 . . . 2 = 2 • ( 1 +ω+ ω2 + ω3 + . . . + ων- Ι ) "-ν-' ν ψηφία

και

ων - 1 ων - 1 = 2 ·-- = 2 ·--ω- 1 9

333 . . . 3 = 3 · ( 1 +ω+ ω2 + ω3 + . . . + ων- Ι ) � ν ψηφία



1 0ν - 1 1 0ν - 1 1 0ν - 1 = 3 ·-- = 3 ·-- = ·--1 0 - 1 9 3

επομένως έχουμε :

1 1 1 . . . 1 - 222 . . . 2 = Jl 02ν - l - 2 - 1 0ν - l

= � � 9 9

=�1 02ν - 1 -92 · 1 0ν + 2

= 1 02ν - 2

9- 1 0ν + 1

=

�J[ 1 0ν3 - 1 )2 =

1 0� - 1 = � ν ψηφια

ΣλΟ.\ [1 0 : Εάν τα ψηφία ενός ν- ψηφίου αριθμού είναι ίσα, τότε αυτός αναλύεται σε άθροισμα ν όρων γεωμετρικής προόδου π.χ. 33333 =

....._,_._.. 5 ψηφία

= 3 · 1 Q Ο + 3 · 1 0 I + 3 · 1 02 + 3 · 1 03 + 3 · 1 04

= 3 . ( 1 + 1 0 + 1 02+ 1 03 + 1 04) = 3 . 1 05 - 1 9

Λ-�:,. Δίνονται δύο πρόοδοι, μια αριθμητική και μια γεωμετρική με κοινό πρώτο όρο α (α > Ο) και ω=λ(Ο<λ<l). Αν οι δεύτεροι όροι τους διαφέρουν κατά 5/2 και οι τρίτοι όροι τους διαφέρουν κατά 4, να βρείτε τις δύο αυτές προόδους.

Αφού οι δύο πρόοδοι έχουν κοινό πρώτο όρο α (α>Ο) και ω=λ με Ο<λ< l , τότε συμβολίζουμε τους όρους τους ως εξής: α, α + λ, α + 2λ, . . . . . . τους όρους της α. π. και α, αλ, αλ2, • • • • • • • • • • • • • τους όρους της γ. π. Σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης έχουμε :

{ (α + λ) - αλ = � (1) } (α + 2λ) - αλ2 :4 (2)

Από την ( 1) σχέση έχουμε : α( l -λ) = � -λ <::::> α= 5 - 2λ (3) και από την σχέση 2 2 - 2λ (2) έχουμε :

α+2λ-αλ2 = 4 <::::> S - 2λ + 2λ - S - 2λ λ2 = 4 <::::> 2 - 2λ 2 - 2λ

2λ3 -9λ2 + 1 0λ - 3 =Ο Με την βοήθεια του σχήματος Horner έχουμε

1 (λ-l )(λ-- )(λ-3)= Ο. Η εξίσωση αυτή έχει ρίζες 2

1 τις λ = 1 , λ = - και λ =3 . Επειδή είναι Ο < λ < 1 2

δεκτή είναι μόνο η τιμή λ = _!_ . Τέλος από την 2

σχέση(3) για λ = _!_ έχουμε : α 2

5 - 2 · _!_ --=2 = 5 - l =4. 2 - 2 · _!_ 2 - 1

2 Επομένως οι ζητούμενες δύο πρόοδοι είναι:

1 1 η αριθμητική 4, 4+- , 4+ 2 · - , . . . . . . . και 2 2

η γεωμετρική

Λ ι (, - Να υπολογίσετε το άθροισμα ι 3 5 2ν - ι *

S = - + - + -+ ... +-- νεΝ ν 2 4 8 2ν '

:\ ΥΣ f,, Παρατηρούμε ότι κάθε όρος του παραπάνω αθροίσματος είναι γινόμενο των αντίστοιχων όρων μιας αριθμητικής προόδου ( 1 , 3 , 5, . . . . , 2ν- 1 ) με διαφορά ω = 2 και μιας γεωμετρικής προόδου 1 1 1 1 . 1 ( - ,-2 ,-3

, . . . ,- ) με λογο λ=- . 2 2 2 2ν 2 Για τον υπολογισμό του αθροίσματος παίρνουμε

το Sν -λ Sv = Sν -_!_ Sν 'Ε χουμε: 2

1 3 5 2ν - 1 s = - + -+-+ +--ν 2 22 23 • • •

2ν 1 1 3 5 2ν - 1 - s = -+-+-+ +--2 ν 22 23 24

. . . 2ν+ Ι

και αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε : s - ! s = ν 2 ν

= _!_ + (2_ __ 1 ) + (2__2_) + + 2 22 22 23 23

. . .

+ ( 2ν - 1 _ 2ν - 3 ) - 2ν - 1 <=>(ι -!) S = 2ν 2ν 2ν+ Ι 2 ν

= _!_ + (�+�+�+ . . . +�) _ 2ν - 1 <=> 2 22 23 24 2ν 2ν+ Ι

_!_ S =_!_ +2 (_1 +-1 +-1 + . . . +-1 ) _ 2ν - 1 2 ν 2 22 23 24 2ν 2ν+ Ι

ν- 1 όροι



Ι _ Ι [Η(ΞΓ' - I]] 2ν - 1 . - S - - +2 · l - -- η 2 ν 2 2ν+ Ι - - 1

2 _!_ S = _!_ - 4 ·_!_ [(_!_)ν- ι - ι] - 2ν - 1 2 ν 2 2 2 2ν+ Ι

_!_ - 2 . [(! )ν- ι - Ι ] - 2ν - Ι

2 2 2ν+ l επομένως Sv = ------=------=-----2

Α.:.:. Κ Η .:.:. Ε Ι Σ: Γ ι\ . \. Y l: H I . Να βρεθεί διτετράγωνη εξίσωση με πραγματικές ρίζες, όταν αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και η μεγαλύτερη ρίζα είναι η ρ = 2 + J3

( υπόδ�ιξη : δείτε το σχόλιο της άσκησης 9) 2. Να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου 2, 6, Ι 8 , 54, . . . . που i) υπερβαίνει τον 5000 ii) είναι αμέσως μικρότερος του 4000

(απάντηση : i) α9 και ii) α7) 3. Δίνεται η ακολουθία αν με Sν = 3ν2 + ν. α) Να βρείτε τον νιοστό όρο αν και να αποδείξετε

ότι η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. β) Να βρείτε την τάξη του όρου της προόδου που

είναι ίσος με Ι 00. (υπόδε ιξη : είναι αν = Sν - Sν- ι )

.ci . Να υπολογίσετε το άθροισμα S = Ι + 22 + 333 + 4444 + . . . + ν (1 1 1 . . . 1)

'-----v---J ν ψηφία

(υπόδ:; ιξη : Είναι 98=9+2 ·99 + 3 · 999 + . . . . + ν (99 . . . 9) =

'-ν-' ν =( 1 0- 1 )+2( 1 02-Ι )+3 ( 103 -1 )+4( 1 04- 1 )+ . . . . +ν( 1 Ον-l ) Θέτουμε S 1 = 1 0+ 2 · 1 02+ . . . + v · 1 0ν υπολογίζουμε το S 1 - 1 0 S 1 και τελικά το 9S ως συνάρτηση του S ι ) 5 . Να βρεθεί ο β ώστε οι αριθμοί 1 9, 1 0β, 25 + 9β να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου . Αν ο 1 0β είναι ο όγδοος όρος της παραπάνω προόδου να βρείτε το Sso .

(απάντηση β = 4, και Sso =57800) 6. Να βρεθεί το άθροισμα των φυσικών αριθμών

που βρίσκονται μεταξύ του Ι 00 και Ι 0000 και οι οποίοι διαιρούμενοι δια 1 2 ή δια 1 8 αφήνουν υπόλοιπο 5 . ( υπόδ� ιξη : Έστω Ν ένας τέτοιος φυσικός αριθμός τότε Ν = 1 2π 1 + 5 και Ν = Ι 8π2 +5 όπου π ι , π2 ε Ν άρα Ν - 5 = Ι 2π 1 και Ν - 5 = l 8π2 συνεπώς ο Ν - 5 είναι της μορφής 36π3 ( γιατί;) απάντηση :

s = 1 3 87375) 7 . i) Να υπολογίσετε το άθροισμα

S = Ι + 2χ + 3χ2 + . . . + νχν- Ι ( x :f 1 ) 2 ν - 1 ii) Όμοια S 1 = 1 + - + . . . + --λ λ ν-2

iii) Αν (αν) αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω και πρώτο όρο α1 = α και (βν) γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ και πρώτο όρο β 1 = β, τότε να υπολογίσετε το άθροισμα s · = �+�+ . . . + αν

β , β2 βν (υπόδειξη : i) υπολογίστε το S - χ S

ii) να θέσετε όπου χ το 1 /λ και όπου ν το ν- 1 στο προηγούμενο άθροισμα. . . . . . α λν- Ι ω 111) απαντηση : S = - · + - · S )

β (λ - 1 ) • λ v - 1 βλ I

Γ 8 . Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση α συν2 "2

γ συν2 Α = 3β . Να δείξετε ότι οι πλευρές α, β, γ 2 2

του τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

(υπόδειξη : ισχύει ασυνΓ + γσυνΑ =β) 9 . Να βρείτε το άθροισμα των αρτίων από 2 έως 3 80 που δεν είναι πολλαπλάσια του 6 ή του 8

(απάντηση : S = 1 65 1 4) 1 0 . Εάν Sν και Sν- ι τα αθροίσματα των ν και ν- 1 όρων μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ και S το άθροισμα των γινομένων των ν πρώτων όρων της προόδου ( λαμβανομένων ανά δύο καθ ' όλους τους δυνατούς τρόπους), να δείξετε ότι:

s = -1- ·s · S

λ + Ι ν ν- 1 (υπόδειξη : s� =(α ι + α2 + . . . + αν)2 = α ; + α ; + . . . + α� +2(α ι α2+αι α3+α2α3+ . . . +αν- ι αν) και

2 2 2 , . 2 λ ' - λ2 η α1 , α2 , . . . , αν ειναι γ.π. με α , = α, και -, 2 2 2 2 λ 2ν - 1 λ ) οποτε α1 + α2 + . . . + αν = α1 ·-2-κ.τ . .

λ - 1



ΚΑΝΟΝΙΙG\ ΠΟΛ ΥΓΩΝL� ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟtτ

Στέλιος Λαμνής

Τα κανονικά πολύγωνα μελετήθηκαν από τον Πάππο τον Αλεξανδρέα στο έργο του «Περί μαθηματικής συ

ναγωγής». Το έργο αυτό συντάχθηκε γύρω στα 320μ.Χ και σώζεται σε ένα και μοναδικό βυζαντινό χειρό

γραφο του 12"" αιώνα, και αποτελεί ένα πραγματικό θησαυρό για την μελέτη της αρχαίας Ελληνικής γεωμε

τρίας. Στην εισαγωγή του 5"" βιβλίου του έργου, εκθειάζει τις μέλισσες οι οποίες «με την βοήθεια κάποιας

γεωμετρικής διαίσθησης» κατασκευάζουν κελιά εξαγωνικής διατομής (κανονικά πολύγωνα) για να εξασφα

λίσουν την αποθήκευση μεγαλύτερης ποσότητας μελιού παρά αν είχαν τετράγωνη ή τριγωνική διατομή.

Α 1 • Σε κάθε κανονικό πεντάγωνο ΑΒΓ ΔΕ να αποδείξετε ότι: α). Κάθε διαγώνιος είναι παράλληλη προς την απέναντι πλευρά της. β). Φέρνοντας δύο διαγώνιές του, που δεν έχουν κοινό άκρο, δημιουργείται ένας ρόμβος. γ). Κάθε διαγώνιος χωρίζει το πεντάγωνο σε ένα ισοσκελές τρίγωνο και σε ένα ισοσκελές τραπέζιο.

. \ Y l: H Θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του κανονικού πενταγώνου. Η κεντρική γωνία του κανονικού

, , 360" 2ο Α , . πενταγωνου ειναι ω5 = --= 7 . υτο σημαινει 5

ότι καθένα από τα πέντε ίσα τόξα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ και ΕΑ έχει μέτρο ίσο με 72°.

α) . Θεωρούμε τη διαγώνιο ΕΓ του κανονικού πενταγώνου · θα αποδείξουμε ότι ΕΓ 11 ΑΒ. Η γωνία Γ Ε Α είναι εγγεγραμμένη και βαίνει στο τόξο ΑΒΓ, το οποίο έχει μέτρο 72° + 72° = 1 44°,

Λ 1 44" άρα Γ Ε Α = -- = 72°. 2

Η γωνία Ε Α Β είναι μια από τις ίσες γωνίες του κανονικού πενταγώνου, άρα

Ε Α Β = 1 80 " - 360" = 1 80° - 72° = 1 08°. 5

Συνεπώς Γ Ε Α+ Ε Α Β=72° + 1 08°= 1 80°, άρα ΕΓ I I ΑΒ γιατί οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες τους είναι παραπληρωματικές. β) . Θεωρούμε τις διαγώνιες ΕΓ και ΑΔ που τέμνονται στο σημείο Ζ. Θα αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο ΑΖΓΒ είναι ρόμβος. Σύμφωνα με το προηγούμενο ερώτημα, είναι EΓIIAB και ΑΔΙΙΒΓ, δηλαδή ΖΓΙΙΑΒ και AZIIBΓ . Συνεπώς το ΑΖΓΒ είναι παραλληλόγραμμο, γιατί οι απέναντι γωνίες του είναι παράλληλες. Επειδή όμως το παραλληλόγραμμο ΑΖΓΒ έχει δύο διαδοχικές πλευρές του ίσες, ΑΒ=ΒΓ=λ5 , το ΑΖΓΒ είναι ρόμβος. γ) . Σύμφωνα με το πρώτο ερώτημα, είναι EΓIIAB. Συνεπώς το τετράπλευρο ΑΒΓΕ είναι τραπέζιο . Επειδή ΑΕ=ΒΓ=λ5 , το τραπέζιο αυτό είναι ισοσκελές. Το τρίγωνο ΔΕΓ είναι ισοσκελές, γιατί

ΔΕ = ΔΓ = λs .

Λ 2 • Από σημείο Ρ εκτός κύκλου (0, ρ) φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ του κύκλου. Α ν ΑΡΒ =60° , να υπολογίσετε:

Α

α). Τη γωνία ΑΟΒ . β). Τα μήκη των εφαπτόμενων τμημάτων ΡΑ και ΡΒ συναρτήσει της ακτίνας ρ. γ). Το εμβαδόν του μεικτόγραμμου χωρίου ΡΑΒ συναρτήσει της ακτίνας ρ.

Λ'Ί'LΗ Γνωρίζουμε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο Ρ εκτός αυτού, είναι ίσα. Δηλαδή ΡΑ = ΡΒ = α. Γνωρίζουμε επίσης ότι η διακεντρική ευθεία ΡΟ διχοτομεί τη γωνία Α Ρ Β των εφαπτόμενων τμημάτων καθώς και τη γωνία Α Ο Β των ακτίνων που



καταλήγουν στα σημεία επαφής. - - ΑΡΒ ο Δηλαδή Α Ρ Ο = Β Ρ Ο = -- = 30 και 2 - - ΑΟΒ Α Ο Ρ = Β Ο Ρ = -- = φ.

2

α) . Το τετράπλευρο ΡΑΟΒ είναι εγγράψιμο σε κύκλο, επειδή Ρ Α Ο = Ρ Β Ο = 90° (ΟΑ, ΟΒ είναι ακτίνες που καταλήγουν στα σημεία επαφής) . Επομένως θα είναι Α Ο Β + Α Ρ Β = 1 80°, οπότε Α Ο Β = 1 80° - 60° = 1 20° .

ΟΑ β). Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΡΟ είναι γφφ = ΡΑ

• ο ρ ' J3 ρ η σφ60 = - η - = - ,

α 3 α

άρα ΡΑ = ΡΒ = α = ρ · J3 .

γ). Αν ονομάσουμε Ε το εμβαδόν του μεικτόγραμμου χωρίου Ρ ΑΒ και Εκτ το εμβαδόν του κυκλικού τομέα που ορίζεται από έλασσον τόξο ΑΒ, τότε έχουμε Ε = (ΡΑΟΒ) - Εκτ ( 1 ) . Επειδή τα τρίγωνα ΡΑΟ και ΡΒΟ είναι ίσα (γιατί έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία) , προφανώς θα είναι και ισοδύναμα.

ΟΑ · ΡΑ Άρα (ΡΑΟΒ) = 2 · (ΡΑΟ) = 2 · , οπότε 2

(ΡΑΟΒ) = ρ 2 • .fj (2) .

π . ρ 2 · 1 20 ° π . ρ 2

Επίσης Εκτ = 3600

= -3-(3) .

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2) και (3) στη σχέση ' 2 r;; π . ρ2

- 2 3J3 - π ( 1 ) , παιρνουμε : Ε = ρ · ν3 - -3

- -ρ ( 3 ) .

Α3• Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ Δ εγγεγραμμένο σε κύκλο (0, ρ) με ΑΒ = ρ και ΒΓ = ΑΔ = ρ J1, . α). Να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι ΑΓ και ΑΔ είναι ίσες και τέμνονται κάθετα. β). Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών του ΑΒΓ Δ είναι κορυφές τετραγώνου. γ). Να υπολογίσετε το εμβαδόν του ΑΒΓΔ συ-

ναρτήσει της ακτίνας ρ.

ΛΥΣ Η

α) . Είναι ΑΒ = ρ = �. ΒΓ = ΑΔ = ρ J2 = �. άρα τόξο ΑΒ = 60° , τόξο ΑΔ = τόξο ΒΓ = 90° και συνεπώς τόξο Γ Δ = 1 20°.

Α ν Ρ είναι η τομή των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ τότε η γωνία ΑΡΒ είναι εσωτερική γωνία του κύκλου και ισούται με

Λ Λ Λ 90° 90° 9 0 ΑΡΒ = 1 80° - Α - Β1 = 1 80° - - - - = Ο I 2 2 Επομένως οι ΑΓ και ΒΔ τέμνονται κάθετα.

Οι γωνίες Β Α Δ και Α Δ Γ είναι εγγεγραμμένες,

άρα Β Α Δ= 900 + 1 200 1 05° και Α Δ Γ=

2

(_Xj' +60" =75°. Είναι 2

Β Α Δ+Α Δ Γ= 1 05°+75°= 1 80°, δηλαδή ΑΒ//ΓΔ (γιατί έχουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες τους παραπληρωματικές) , συνεπώς το ΑΒΓ Δ είναι τραπέζιο και επειδή ΒΓ = ΑΔ είναι ισοσκελές. Επομένως οι διαγώνιοί του ΑΓ και ΒΔ είναι ίσες.

β) . Α ν Κ, Λ, Μ, Ν είναι τα μέσα των πλευρών του ΑΓ ΑΓ ΑΓ ΑΒΓΔ τότε θα είναι - //= - και ΚΝ 11= - , ' 2 2 2

δηλαδή ΚΝ//= ΛΜ. Άρα το ΚΑΜΝ είναι παραλληλόγραμμο.

ΑΓ Επειδή ΚΝ = ΛΜ = -2

ΒΔ ΚΑ = ΝΜ = - και ' 2

ΑΓ = ΒΔ, τότε θα είναι ΚΝ = ΛΜ = ΝΜ = ΚΑ. Άρα το ΚΑΜΝ είναι ρόμβος. Επειδή ΚΝ /I ΑΓ, ΚΑ I/ ΒΔ και ΑΓ .l ΒΔ, θα είναι ΚΝ _l ΚΑ, δηλαδή Λ Κ Ν = 90°. Άρα το ΚΑΜΝ είναι ορθογώνιο. Επομένως το ΚΑΜΝ είναι τετράγωνο. γ). Επειδή τόξο ΓΔ = 1 20°, θα είναι ΓΔ = λ3 = ρ J3 . Αν ΑΕ είναι το ύψος του ισοσκελούς τραπεζίου, τότε φανερά είναι



Γ Δ - ΑΒ ρJj - ρ ρ · ( J3 - 1 ) ΔΕ = = = _,_____.:...

2 2 2 Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΕ έχουμε:

AEz=AΔz-ΔEz=(ρJ2 / ρ2 · (J3-1)2 � - (2+J3) 22 4

, ΑΕ ρJ2� επομενως = 2 .

Έτσι, το εμβαδόν του τραπεζίου είναι

(ΑΒΓΔ)= (ΑΒ+ ΓΔ) · ΑΕ = 2

=.!. · (ρJ3 + ρ) · ρJ2 - � 2 2

ή (ΑΒΓΔ) = -iρ2J2 ( J3 + 1 )J2 + J3 .

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, ρ) και Δ, Ε είναι αντίστοιχα τα μέσα του τόξου ΑΓ και της πλευράς ΒΓ του τριγώνου. Φέρουμε την ΔΕ, η οποία τέμνει τον κύκλο στο σημείο Σ. Να υπολογίσετε τα ΔΕ και ΕΣ συναρτήσει της ακτίνας.

Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο, καθένα από τα ίσα τόξα ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ θα έχει μέτρο ίσο με 1 20°. Το Δ είναι το μέσο του τόξου ΑΓ, άρα τόξοΔΓ = 60°, οπότε τόξο ΒΔ = 1 20° + 60° = 1 80° . Συνεπώς η ΒΔ είναι διάμετρος, άρα ΒΔ = 2ρ. Επειδή το τόξο ΔΓ είναι 60°, θα είναι ΔΓ = λ6 = ρ. Εφαρμόζουμε τώρα το Θεώρημα των Διαμέσων στο τρίγωνο ΔΒΓ και έχουμε:

ΒΓ 2 ΒΔ2 + ΔΓ2 = 2ΔΕ2 + ή 4ρ2 + ρ2 = 2ΔΕ2 2

3ρ2 ' ρJ7 +- αρα ΔΕ =--· 2 2

Σ · .

Α

Από το Θεώρημα των Τεμνόμενων Χορδών, για τις τέμνουσες ΒΕΓ και ΔΕΣ, έχουμε:

ΒΕ · ΕΓ = ΔΕ · ΕΣ η' ρJj . ρJj = ρJ7 . ΕΣ δη-

2 2 2 '

λαδή ΕΣ = 3ρJ7 · 14

Ένα σημείο Α βρίσκεται σε απόσταση ΟΑ =

2α από το κέντρο ενός κύκλου (0, α). Φέρουμε από το Α το εφαπτόμενο τμήμα ΑΒ προς τον κύκλο και στη συνέχεια γράφουμε τον κύκλο (Α, ΑΒ). Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κοινού μέρους των δύο κυκλικών δίσκων.

Το εμβαδόν του κοινού μέρους των δύο κυκλικών δίσκων Ε ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των δύο κυκλικών τμημάτων τ και μ. Δηλαδή Ε=τ+μ ( 1 ) . Όμως τ = Εκ.τ. (Ο.ΒΓ) - (ΟΒΓ) και μ = Εκ.τ.(Α.ΒΓ) (ΑΒΓ), έτσι η σχέση ( 1 ) γίνεται: Ε = Εκ.τ.(Ο.ΒΓ) - (ΟΒΓ) + Εκ.τ.(Α.ΒΓ) - (ΑΒΓ) ή Ε = Εκ.τ.(Ο.ΒΓ) + Εκ.τ.(Α.ΒΓ) - [(ΟΒΓ) + (ΑΒΓ)] ή Ε = Εκ.τ. (Ο.ΒΓ) + Εκ.τ. (Α.ΒΓ) - (ΑΒΟΓ) (2).

_.. ...... -- -- - �---- - - ...

Β . . ·

Το τρίγωνο ΑΒΟ είναι ορθογώνιο και η κάθετη πλευρά ΟΒ είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας ΟΑ, άρα Β Α Ο = 30°. Επειδή τα τρίγωνα ΑΒΟ και

� �

ΑΓΟ είναι ίσα, οπότε Β Α Γ = 60° και Β Ο Γ = 1 20°. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΟ έχουμε ΑΒ2=0Α2-ΟΒ2=(2 α)2-α2= 3 α2 , δηλαδή ΑΒ=α.J3 .

Έτσι Ε (Ο.ΒΓ)= π · ΟΒ2 · 1 20° πα2 � 360 3

Ε (Α.ΒΓ)= π ·ΑΒ2 · 60° = π · 3 · α2 π · α2 κ.τ. 360 6 2

και

Επειδή οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου ΑΒΟΓ τέμνονται κάθετα, το εμβαδόν του θα ισούται με το μισό του γινομένου των διαγωνίων του, δηλαδή

1 1 {;; 2 {;; (ΑΒΟΓ) = - · ΟΑ · ΒΓ = - · 2α · α-ν3 = α -ν 3 . 2 2

Όλα αυτά τα aντικαθιστούμε στη σχέση (2) και , πα2 π · α2 2 r;; 2 5π - 6J3 εχουμε Ε = -+---α -ν3 = α · .

3 2 6

� . Δύο κύκλοι (0, R) και (Κ, ρ) εφάπτονται



εσωτερικά στο σημείο Α, από το οποίο φέρουμε μια ευθεία που τέμνει τον ένα κύκλο στο Γ και τον άλλο στο Β. Να αποδείξετε ότι τα εμβαδά των δύο κυκλικών τμημάτων που ορίζονται από τα ελάσσονα τόξα ΑΓ και ΑΒ των δύο κύκλων, είναι ανάλογα προς τα τετράγωνα των ακτίνων των δύο κύκλων.

Αν ονομάσουμε Ε 1 και Ez τα εμβαδά των κυκλικών τμημάτων που ορίζονται από ελάσσονα τόξα ΑΒ και ΑΓ των δύο κύκλων αντίστοιχα, πρέπει να

δ 'ξ . Ε, R2 απο ει ου με οτι - = -? •

Ez ρ-Τα τρίγωνα ΑΓΚ και ΑΒΟ είναι ισοσκελή (γιατί ΚΑ = ΚΓ = ρ και ΟΑ = ΟΒ = R), και είναι όμοια γιατί έχουν κοινή τη γωνία Α. Άρα, ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου

. (ΑΟΒ) R2 ομοιότητάς τους, δηλαδη

) = -2 ( 1 ) .

(ΑΚΓ ρ Β

Επειδή οι κυκλικοί τομείς Ο.ΑΒ και Κ.ΑΓ έχουν ίσες τις γωνίες Ο και Κ , ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότη-

δ . (Ο.ΑΒ) R 2 (2) τάς τους, δηλα η = -2 · (Κ.ΑΓ) ρ Από τις σχέσεις ( 1 ) και (2) παίρνουμε R 2 (ΑΟΒ) (Ο.ΑΒ) (ΑΟΒ) - (Ο.ΑΒ) ρ2 (ΑΚΓ) (Κ.ΑΓ) (ΑΚΓ) - (Κ.ΑΓ)

� -Ε2

'·· > Ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, ρ) και είναι ΑΒ = λι;, ΒΓ = λ3. α). Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΑΓ και το εμβαδόν του τριγώνου ως συνάρτηση του ρ. β). Να βρείτε το εμβαδόν των κυκλικών τμημάτων που ορίζονται από τις τρεις πλευρές του τριγώνου.

α) . Έχουμε ΑΒ = λr, = ρ και ΒΓ = λ3 = ρ J3 . Συνεπώς το τόξο ΑΒ είναι 60° και το τόξο ΒΓ είναι 1 20°, άρα το τόξο ΑΒΓ είναι 60° + 1 20° = 1 80°, επομένως η πλευρά ΑΓ είναι διάμετρος, δηλαδή ΑΓ = 2ρ. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο, με ορθή γωνία την Β , συνεπώς

1 1 ι;; ρ2 J3 (ΑΒΓ) = 2

- ΑΒ · ΒΓ = 2- ρ · ρν 3 = -2 - ·

Γ

Α Β β). Αν ονομάσουμε ΕΑ8, EBr και EAr τα εμβαδά των κυκλικών τμημάτων που ορίζονται από τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα, έχουμε :

ΕΑΒ = Εκ.τ .(Ο.ΑΒ) - (ΟΑΒ). Το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ισόπλευρο με πλευρά ρ, συ-

. β δ ' . (ΟΑΒ) ρ2 J3 . νεπως το εμ α ον του ειναι = -4- , αρα

π · ρ2 · 60° - ρ2 J3 = 2 ( 2π - 3J3 )

· ΕΑΒ = 360 4

ρ 1 2

EBr = Εκ.τ.(Ο.ΒΓ) - (ΟΒΓ) Για τον υπολογισμό του (ΟΒΓ) , φέρουμε το ύψος ΟΔ, το οποίο όμως το aπόστημα του ισοπλεύρου τριγώνου που είναι εγγεγραμμένο σ' αυτόν τον

κύκλο, δηλαδή ΟΔ = α3 = � - Συνεπώς (ΟΒΓ) =

1 1 ι;; ρ ρ2 J3 . - · ΒΓ · ΟΔ = - · ρν 3 · - = -- , αρα EBr =

2 2 2 4 π · ρ2 · 1 200

_ ρ2 J3 = ( 4π - 3J3 ) .

360 4 ρ

1 2

Επειδή η ΑΓ είναι διάμετρος, τελικά το κυκλικό τμήμα που ορίζεται από την πλευρά αυτή . ' κλ . Ε π · ρ2

ειναι ημικυ ιο, αρα ΑΓ = -- · 2

Δύο κύκλοι (Κ, ρ) και (Λ, R) τέμνονται στα σημεία Α και Β. Αν η κοινή χορδή τους ΑΒ είναι ίση με την πλευρά κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο (Κ, ρ) και επίσης ίση με την πλευρά τετραγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο (Λ, R), να βρείτε το εμβαδόν του κοινού μέρους των δύο κυκλικών δίσκων.



ΛVΣΗ Η πλευρά του κανονικού εξαγώνου που είναι εγγεγραμμένο στον κύΚλο (Κ, ρ) είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου ρ, ενώ η ακτίνα του άλλου κύκλου

θ ' ' ρ · J2 δ λαδ ' R ρ · J2

α ειναι ιση με -2- , η η = -

2- ·

Αν ονομάσουμε Ε το εμβαδόν του κοινού μέρους των δύο κυκλικών δίσκων, διαπιστώνουμε ότι το Ε είναι το άθροισμα των εμβαδών των δύο κυκλικών τμημάτων μ και τ, δηλαδή

Ε=μ+τ=Εκτ (Κ.ΑΒ)-(ΚΑΒ)+Εκτ (Λ.ΑΒ)--{ΛΑΒ) ( 1 ) . •

•

Επειδή στον κύκλο (Κ, ρ) είναι ΑΒ = λ6 = ρ , το τρίγωνο ΚΑΒ θα είναι ισόπλευρο και επί-σης Α Κ Β = 60°.

Ά α Ε (Κ.ΑΒ) = π . ρ2 • 60ο π . ρ2

και ρ κτ 360 6

(ΚΑΒ) = ρ2 Jj ·

4

Επειδή στον κύΚλο (Λ, ρ · J2 ) είναι ΑΒ = �.

2 το τρίγωνο ΛΑΒ θα είναι ορθογώνιο και επί-σης Α Λ Β = 90°.

Άρα Εκτ (Λ.ΑΒ) π . (ρ .

J2 )2 • 90° 2 2 = �

360 8 1 1 J2 2 ρ2

και (ΛΑΒ) = - · ΛΑ · ΛΒ = - · (ρ · -) = - · 2 2 2 4

Αντικαθιστώντας όλες αυτές τις τιμές στη σχέση ( 1 ) έχουμε :

Ε = π · ρ2- ρ2 Jj + π · ρ2

- � = ρz ( 7π - 1 + J3 ) . 6 4 8 4 24 4

Α9• Τρεις ίσοι κύκλοι (Κ, ρ), (Λ, ρ) και (Μ, ρ) εφάπτονται ανά δύο στα σημεία Α, Β και Γ και στα σημεία Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα με τον περιγεγραμμένο κύκλο (Ο, R) περί τους τρεις αυτούς κύκλους. Ν α υπολογίσετε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ πρώτα συναρτήσει της ακτίνας ρ και μετά συναρτήσει της ακτίνας R.

ΛΥΣΗ

Αν ονομάσουμε Ε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ, τότε έχουμε: Ε = (ΚΛΜ) - {Εκτ (Κ.ΑΓ) + Εκτ (Λ.ΑΒ) + Εκτ (Μ.ΒΓ) } ( 1 ) . • Το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο, επειδή έχει

τρεις ίσες πλευρές ΚΛ = ΛΜ = ΜΚ = 2ρ.

Άρα (ΚΛΜ) = (2ρ )2 J3 ρ2 J3 (2) .

4

z • Οι τρεις κυκλικοί τομείς, που ορίζονται από τα

ελάσσονα τόξα ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ, είναι ίσοι, γιατί έχουν την ίδια ακτίνα ρ και ίσες γωνίες, καθεμιά από τις οποίες είναι 60°. Άρα Εκτ (Κ.ΑΓ) + Εκτ (Λ.ΑΒ) + Εκτ (Μ.ΒΓ) =

2 600 2 = 3 · π · ρ .

= � (3) . 360° 2

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2) και (3) στη σχέση ( 1 ) παίρνουμε:

2

Ε = ρz J3 _ � = ρz ( J3 _ � ) (1) .

2 2 • Επειδή το Ο είναι το ορθόκεντρο του ισοπλεύ

ρου τριγώνου ΚΛΜ, θα έχουμε

ΟΚ = =� ΚΒ=� · ρ · J3 . Συνεπώς R = ΟΔ = 3 3

2 r.:; ρ · (2J3 + 3) ΟΚ + ΚΔ = - · p · v 3 + ρ = · 3 3

Ά 3R ρα ρ = 2J3 + 3 ·

Αντικαθιστώντας την τελευταία σχέση στον

τύπο (I) παίρνουμε : Ε = ( 2�R+ 3 J

2

• ( J3 -Ξ) . Α 1 0• Δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Γ και έστω ΑΒ το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους. Α ν Α Κ Γ =

60°, να βρείτε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει των ακτίνων ρ και R.

ΛΥΣΗ Φέρνουμε από το Λ την ΛΝ l_ ΚΑ. Το τετράπλευρο ΑΒΛΝ είναι ορθογώνιο . Πράγμα-


Μαθηματικά για την Β · Λυκείου

τι, το ΑΒΛΝ είναι παραλληλόγραμμο γιατί ΑΝ I I ΒΑ και ΝΑ 11 ΑΒ (οι ΑΝ και ΒΑ είναι και οι δύο κάθετες στην ΚΑ, επίσης οι ΝΑ και ΛΒ είναι και οι δύο κάθετες στην ΑΒ) . Επιπλέον το ΑΒΛΝ εί-

- -

ναι και ορθογώνιο γιατί οι γωνίες Α και Β είναι ορθές. Επομένως είναι ΑΒ = ΑΝ και ΝΑ = ΛΒ = ρ, άρα ΚΝ = ΚΑ - ΝΑ = R - ρ. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΑΝ έχουμε: ΝΛ2 = ΚΛ2 - ΚΝ2 = (R + ρ)2 - (R - ρ)2 = (R + ρ + R - ρ) (R + ρ - R + ρ) = 4 R ρ, δηλαδή Ν Λ = ΑΒ = 2 .JR"-:p . Επειδή στο τραπέζιο ΑΒΛΚ είναι Α + Β = 1 80°,

- -

θα είναι και Α Κ Γ + Β Λ Γ = 1 80° ή 60° + ΒΑΓ = 180° Επομένως ΒΑΓ = 1 20° .

Α Αν ονομάσουμε Ε το εμβαδόν του καμπυλόγραμ-

μου τριγώνου ΑΒΓ, τότε έχουμε: Ε = (ΑΒΛΚ) - Εκ.τ. (Κ.ΑΓ) - Εκ.τ. (Λ.ΒΓ) (1) .

• (ΑΒΛΚ) = (ΚΑ + ΛΒ) · ΑΒ =

(R + ρ) · 2.JR"-:p 2 2

•

ή (ΑΒΛΚ) = (R + ρ) .JR"-:p ( 1 ) .

Ε (Κ.ΑΓ) = π · R2 · 60ο κ.τ. 360ο

π · R2 ή Εκ.τ. (Κ.ΑΓ) = -

6- (2).

• Ε (Λ.ΒΓ) = π · ρ2 · 1 20ο κ.τ. 360ο

. - π · ρ2 η Εκ.τ. (Λ.ΒΓ) - -3-

(3).

Επομένως, η (I) λόγω των ( 1 ) , (2), (3) γίνεται: π · R2 π · ρ2

Ε = (R + ρ) .JR"-:p - -- - - . 6 3

Κωνικές Τομές Τζιώτζιος Αθανάσιος - Τσατούρας Ευάγγελος

Το κεφάλαιο αυτό αναφέρεται στο πώς οι κωνικές τομές, που πρωτοεμφανίστηκαν στην Ελληνική Γεωμετρία, περιγράφονται σήμερα από δευτεροβάθμιες εξισώσεις σαν καμπύλες του επιπέδου των συντεταγμένων.

Οι Έλληνες της εποχής του Πλάτωνα τις περιέγραφαν σαν τις καμπύλες που προκύπτουν όταν ένας κώνος τμηθεί από ένα επίπεδο και τις μελετούσαν με μεθόδους της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Από την εποχή της ανακάλυψης της Αναλυτικής Γεωμετρίας από τον Descartes ( 1 594 - 1 650) και τον Fermat ( 1 60 1 - 1 665) όλο και περισσότερο η μελέτη αυτών των καμπύλων γίνεται με αλγεβρικές και αναλυτικές μεθόδους με αποτέλεσμα να αποτελούν πλέον τμήμα της Αναλυτικής Γεωμετρίας.

1. Θεωρούμε τον κύκλο χ2 + y2 + Αχ + By + Γ = Ο με κέντρο Κ. Δείξτε ότι:

ί. Α ν η ευθεία y = Β χ + Γ είναι διάμετρος του τότε: Β (Α - 1) = 2Γ.

ίί. Α ν η ευθεία y = Αχ - Β εφάπτεται στον κύκλο τότε: Α2 (Β - 1)2 = 4Γ (Α2 + 1).

ίίί. Αν η ευθεία (ε) y = - Β τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία Μ , Ν τότε: Α 2 > 4Γ και αν ΚΜ.lΚΝ τότε: Α2 = Β2 + 4Γ.



Γνωρίζουμε ότι ο δεδομένος κύκλος έχει ως κέντρο το σημείο ( Α Β ) . 1 ι 2 2 Κ -- -- και ακτινα ρ = - ν Α + Β - 4Γ .

2,

2 2 ι . Αφού είναι διάμετρος η y = Βχ + Γ διέρχεται

από το Κ, δηλαδή ισχύει -� = Β (-� ) + Γ που γίνεται:

- Β = - ΑΒ +2Γ άρα Β(Α-1 )=2Γ.

η . Η y = Αχ - Β εφάπτεται στον κύκλο όταν d(K,y) = ρ . Οπότε έχουμε:

I A(- Α) - (- B) - B I 2 2 = .!_JΑ2 + Β2 - 4Γ JA2 + 1 2

δηλαδή .!. I -A2 - B I= .!.vfA2 + 1vfA2 + Β2 - 4Γ 2 2

υψώνοντας στο τετράγωνο είναι: (Α2+Β)2 = (Α2+ 1 )(Α2+Β2-4Γ) που σχηματίζεται ως εξής Α4+2 Α2Β+Β2 = Α4+Α2Β2-4 Α2Γ+Α2+Β2-4Γ οπότε γίνεταιΑ2(Β2-2Β+ 1 ) = 4Γ(Α2+ 1 ) . Επομένως ισχύει ότι: Α2 (Β-1 )2 = 4Γ (Α2+ 1 ) .

ί ί ί . Για να τέμνει τον κύκλο η (ε) y = -Β αρκεί:

d(Κ,ε) < ρ δηλ 1 - Β + B I< .!.JA2 + Β2 - 4Γ 2 2

πρέπει Β2 < Α2+Β2-4Γ άρα Α2 > 4Γ.

Μ Ν

κ

Αν Μ(χ ι ,-Β) , Ν(χ2,-Β) τα σημεία τομής, τότε

ΚΜ = χ +- -- και ΚΝ = χ +- --� ( Α Β ) � ( Α Β )

ι 2 ' 2 2 2 ' 2 � �

Αφού ΚΜ ..l ΚΝ τότε ΚΜ · ΚΝ = Ο άρα Α Α Β2

(χι + - )(χ2 + - ) + - = Ο που είναι: 2 2 4 Α Α2 Β2

Χ ιΧ2 + - (χ ι + χ2) + -+- = Ο ( 1 ) . 2 4 4

Επίσης τα χ ι και χ2 είναι οι λύσεις του συστήματος : {Υ

2 = -� } που δίνει την εξίσω-

χ + y + Αχ + Βy + Γ = Ο ση : χ2 + Αχ + Γ = Ο.

Από τους τύπους του Vieta ισχύει ότι Χ ι · Χ2 = Γ και χ ι + χ2 = -Α (2) .

Από τις ( 1 ) και (2) έχουμε: Az Az Bz

Γ - -+ -+- = 0 δηλ. Α2 = Β2 + 4Γ. 2 4 4

2. Σε σημείο Μ της παραβολής y2 =2px φέρουμε την εφαπτομένη της.

Έστω η χορδή ΑΒ της παραβολής που διέρχεται από την εστία της Ε και είναι παράλληλη της εφαπτομένης στο Μ.

ί. Να αποδειχθεί ότι: ΑΒ = 4ΜΕ. ίί. Α ν Ν μέσον της ΑΒ και Λ , Κ οι προβο

λές των Ν , Μ πάνω στη διευθετούσα και Ρ το μέσον της ΝΛ , να δείξετε ότι το ΚΜΡ Λ είναι παραλληλόγραμμο.

ι. Έστω το σημείο Μ (χο,Υο), με Yo2=2pxo, τότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: ΥοΥ = p(x+xo), που έχει συντελεστή διεύθυνσης

Ρ Υ ο

(δ)

Άρα η (ΑΒ) : y = k(x _Ε.) . Οπότε οι συντεταγ-Υο 2

μένες των Α και Β είναι οι λύσεις του συστήματος:


Μαθηματικά για την Β · Λυκείου

{:'��:�: _f)} ::::} {:: : :::x -f)'

} Υο 2 Υο 2

Εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη , οι τετμημένες χ ι , χ2 των σημείων Α και Β, είναι οι λύσεις της εξί-

3

σωσης: px2 - (p2 + 2yo2)x + Ε_ = Ο ( 1 ) . 4

Όμως ΑΒ = ΑΕ + ΒΕ = d(Α,δ) + d(Β,δ) =

=χ ι +Ε + xz + Ε = χ ι + xz + p 2 2

(όπου δ η διευθετούσα της παραβολής). Από την ( 1 ) και από τους τύπους Vieta έχουμε ότι

p2 + 2y2 y2 Χ ι + Xz = 0 = p + 2-0 .

Επομένως η Ρ Ρ

AB = 2p + 2 Υ� = 4 [Ε + y� ) = 4(E + x0 ) =

Ρ 2 2p 2

=4d(Μ,δ) = 4ΜΕ.

ι ι . Οι συντεταγμένες ( Χ ι + χ" Υι + y2 ) · 2 ' 2

του

Συνεπώc η ΛΝ= Χ ι + χ2 + Ε - 2 2

Ν είναι

ΑΒ . Δηλαδή 2

το ΛΡ = ΑΒ = ΜΕ. Επειδή ΜΕ = ΜΚ τότε 4

ΜΚ = ΛΡ. Όμως ισχύει ΜΚ // ΛΡ, άρα το ΚΜΡ Λ είναι παραλληλόγραμμο.

χ2 y2 3. Έστω η έλλειψη : - + -= 1 και η ευθεία αz βz (ε) : y = λχ + β με λ -::�; Ο .

i . Να δείξετε ότι τα μέσα των χορδών της έλλειψης, που είναι παράλληλες της ευθείας (ε) ανήκουν σε ευθεία.

ii. Ν α αποδείξετε ότι κάθε παραλληλόγραμμο, με κορυφές σημεία της έλλειψης και πλευρές μη παράλληλες των αξόνων, δεν είναι ορθογώνιο.

1 . Θεωρούμε χορδή ΓΔ // (ε) με Γ(χ ι ,Υ ι ) και Δ(xz,y2) σημεία της έλλειψης. Επομένως ισχύει

και

Όμως λrΔ = λ άρα y2 - Υι - λ. Χ 2 - χ ι

Το μέσον του ΓΔ έχει συντεταγμένες : Χ ι + Χ2 Υι + Υ2 χ = Υ - ..:....:...____:_=-2 ' - 2

Οπότε η ( 1 ) δίνει: λ·2y = - β: 2χ δηλ. α β2

y = ---χ. λα2

Συνεπώς τα μέσα των χορδών ανήκουν στην ευ-

θεία: y = - β22 χ .

λα ι ι . Α ν ΚΑΜΝ είναι παραλληλόγραμμο εγγε

γραμμένο στην έλλειψη και Ζ, Η μέσα των ΚΑ, ΜΝ αντίστοιχα, τότε από (i) έχουμε ότι:

β 2 β2 λzΗ = --- δηλ. λzΗ · λκΛ = -- -:F -1 α-

λ α2 α2 ΚΑ

φού β2 * α2 . Οπότε η ΖΗ δεν είναι κάθετη της ΚΑ. Όμως ΖΗ//ΚΝ, άρα η ΚΝ δεν είναι κάθετη της ΚΑ. Επομένως το ΚΑΜΝ δεν είναι ορθογώνιο .

4. Δίνεται η ευθεία χ = α , α>Ο και σημείο Α

( κ2α , Ο) με κ>l . Από μεταβλητό σημείο Μ φέρουμε την

ΜΒ κάθετη στην χ = α, ώστε ΜΑ = κ· ΜΒ.

i. Να αποδειχθεί ότι το Μ ανήκει σε υπερβολή και να υπολογισθεί η εκκεντρότητα της.

ίί. Αν η παραπάνω υπερβολή είναι ισοσκελής να βρεθεί το κ. Ακολούθως από ένα



σημείο Ρ (χο, Υο) αν φέρουμε εφαπτομένες ΡΓ, ΡΔ στην ισοσκελή υπερβολή και ορίσουμε Ν το μέσον της Γ Δ να δειχθεί ότι η ΡΝ διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

i. Έστω το Μ (χ , y) τότε η σχέση ΜΑ = κΜΒ γίνεται �(κ2α - χ)2 + y2 = κ lχ - α l άρα κ4α2 + χ2 - 2κ2αχ + y2 = κ2χ2 - 2κ2αχ + κ2α2

δηλ. (κ2 - 1 )χ2 - y2 = κ4α2 - �α2 που είναι:

ο

χ2 y2 -----''------= 1 κzαz κzαz (κz - 1) .

Β Ι-----..

α Α

Άρα το Μ διαγράφει την παραπάνω υπερβολή με γ2 = �α2 + �α2(� - 1 ) = κ4α2 .

, , , κ2α Οποτε η εκκεντροτητα ει ναι ε = --= κ. κ α ii . Για να είναι ισοσκελής η υπερβολή, πρέπει ε = ..fi δηλ. κ = ..fi . Επομένως έχουμε την ισοσκελή υπερβολή

χ2 - y2 = 2αz . Αν ορίσουμε τα σημεία Γ(χ ι ,Υ ι ) και Δ(χ2,y2) τότε

' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 ισχυει οτι: χ ι - y ι = α και χ2 - y2 = α . Εξ ' ' 2 2 2 2 ισωνοντας ειναι Χ ι - Υ ι = χ2 - Υ2 δηλ. (χ ι-χ2)(χ ι+χ2)=

αφού οι συντεταγμένες του Ν είναι ( Χ ι + Xz Υ ι + y2 ) · 2 ' 2 Οι εξισώσεις των ΡΓ και Ρ Δ αντίστοιχα είναι:

Χ ι Χ -Υ ιΥ = 2α2 και XzX -Υ2Υ =2α2 . Αφού διέρχονται από το Ρ ισχύει:

-2 2 -2 2 Χ ι Χο - Υ ιΥο - α και χ2χο - Υ2Υο - α . Αφαιρώντας γίνεται:

Χο(Χ ι -χ2)-Υο(Υ ι-Υ2) =Ο δηλ. χ , - χ 2 Υ ο =λpο (2) y, - y2 Χο

Γ

Ρ

Δ Από τις ( 1 ) και (2) έχουμε ότι ΟΝ 11 ΟΡ και αφού το Ο είναι κοινό τότε η ΡΝ διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

5. Για τα σημεία Α(α,Ο), Α '(-α,Ο) με α > Ο και M(x,y) με χ ::;:. ± α, ισχύει ότι:

Λ Λ εφ (ΑΜ, χ'χ) ·εφ (Α'Μ, χ'χ) =λ.

Α. Να βρεθεί η καμπύλη που διαγράφουν τα σημεία Μ για κάθε λ ε 9t.

Β. Έστω cι η καμπύλη που προκύπτει για λ = 1 και c2 αυτή που προκύπτει για λ = -1 .

Να δείξετε ότι: ί. Για κάθε σημείο Ν της c1 ισχύει ΟΝ2 =

ΕΝ · Ε 'Ν, όπου Ε, Ε ' οι εστίες της c1 και Ο το κέντρο της c2.

ii. Αν φέρουμε εφαπτομένη σε τυχαίο σημείο Κ της c2 η οποία τέμνει τον χχ ' στο Λ και η κάθετη στο Λ του χχ ' τέμνει την c1 στα Γ και Δ, τότε ΚΓ l_ ΚΔ

Λ y - 0 Λ

Α. Η φ (ΑΜ, χ 'χ) = -- και η εφ (Α'Μ, χ 'χ ) = χ - α

y - 0 ' ' ' y2 λ -- επομενως ισχυει οτι: 2 2 = που

χ + α χ - α είναι y2 = λχ2 - λα2, άρα λχ2 - / = λα2 ( 1 ) .

• Α ν λ = Ο τα σημεία Μ ανήκουν στην ευθεία y = Ο (άξονας χχ ') .

• χ2

Αν λ > Ο η ( 1 ) δίνει: α2

y2 ' ι;:: = 1 , που ει-

(ν ι..α)2



ναι υπερβολή και μάλιστα όταν το λ = 1 γίνε-λ , 2 2 2 ται η ισοσκε ης: χ - y = α .

χ 2 y2 Αν λ < Ο η ( 1 ) δίνει: -2 + Η = 1 ,

α ( -λα)2

δηλ. έλλειψη και για την τιμή λ = -1 τότε το Μ ανήκει στον κύκλο : χ2 + y2 = α2.

Β. i. Από το (Α) έχουμε ότι η c ι : χ2 - / = α2 και c2 : χ2 + y2 = α2, οπότε οι εστίες είναι Ε( .J2 α,Ο) και Ε '( -.J2α , Ο) και το κέντρο 0(0,0) . Αφού το N(xo,yo) ανήκει στην ισοσκελή υπερβολή τότε ισχύει ότι IEN - Ε 'ΝΙ = 2α υψώνοντας τετράγωνο γίνεται:

ΕΝ2 + Ε 'Ν2 - 2ΕΝ·Ε 'Ν =4α2

δηλ. (χ0 -J2α)2 +lo +(χ0 +-Γ2α)2 +Υο -2ΕΝ·Ε 'Ν=4α2

που είναι 2χσ2 + 4α2 + 2y02 - 2 ΕΝ·Ε 'Ν = 4α2

άρα 2ΕΝ·Ε 'Ν = 2 (χο2 + y02) . Όμως η ΟΝ = �χ� + y� . Επομένως ισχύει:

ΟΝ2 = ΕΝ · Ε 'Ν. 1 1 . Έστω το Κ(χ ι ,Υ ι ) , η εφαπτομένη της Cz

στο Κ είναι: χ ι χ + Υ ιΥ = α2 • αz αz

Για y=O το χ = - . Οπότε το Λ( - ,0) και η Χ ι Χ ι

, , αz καθετη στο Λ ειναι: χ = - .

Χ ι 2

Αν είναι το Γ( x2,y2) τότε Λ(χ2,-y2) με χ2 =� Χ ι

' 2 ' 2 2 2 0 ' λ αρα χ ι χ2 = α και επισης χ2 - Υ2 =α . κυκ ος με διάμετρο την ΓΔ είναι: (χ - χ2)2 + / = y22 . Αρκεί το Κ να είναι σημείο του . Δηλαδή να ι-

, ( )2 + 2 2 ' σχυει: χ ι - χ2 Υ ι = Υ2 που ειναι 2 2 2 2 2 0 ' 2 2 2 Χ ι - Χ ι Χ2 + Υ ι + Χ2 - Υ2 = η Χ ι + Υ ι = α .

Το οποίο ισχύει μια και το Κ είναι σημείο του c2 .

6. Τα σημεία Α και Β κινούνται στους ημιάξονες Οχ και Oy αντίστοιχα, ώστε ΟΑ+ΟΒ = κ, με κ σταθερό. Θεωρούμε τους κύκλους που διαγράφονται με διάμετρο την ΑΒ. Να αποδείξετε ότι:

i. Όλοι οι κύκλοι διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Ο και Ρ (με Ο την αρχή των αξόνων).

πάντα παράλληλη της ΑΒ, ενώ η εφαπτομένη στο Ο έχει συντελεστή διεύθυνσης αντίστροφο του συντελεστή της εφαπτομένης στο Ρ.

ίίί. Τα σημεία τομής των εφαπτομένων στα σημεία Ρ και Ο για κάθε κύκλο είναι συνευθειακά με τα κέντρα των κύκλων.

ι . Δεχόμαστε ότι Α( α, Ο) και Β(Ο, β) με α, β πραγματικούς θετικούς. Ισχύει λοιπόν ότι α + β = κ. Έστω Κ το κέντρο των κύκλων,

άρα κ ( Ξ ·%} η εξίσωση των κύκλων εί-

ναι: β αz + β2

(χ - � )2 + (y -- )2 = που γίνεται 2 2 4

χ2 + y2 - αχ - βy = Ο δηλ. χ2 + y2 - αχ - (κ-α)y = Ο. Αν θεωρήσουμε ότι όλοι τους διέρχονται από σταθερό σημείο, τότε αυτό θα επαληθεύει για κάθε α την σχέση : α(y - χ) - κ y + χ2 + y2 = Ο . Οπότε πρέπει: {Υ - χ = Ο } {Υ = χ } χ2 + y2 - κy = Ο <=> 2χ 2 - κχ = Ο

άρα {y - x } χ(2χ - κ) = Ο

και τελικά έχουμε : y = χ = Ο ή y = χ = κ . Συ-2

νεπώς οι κύκλοι τέμνονται στα σημεία 0(0,0) και

Ρ( � � ) . 2 ' 2

η. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΚΡ είναι

λκp = κ - β = α + β - β = � . κ - α _ α + β - α β

Η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ΚΡ άρα

το λεφ·λκp = -1 δηλ. λεφ = _Q_ . α

Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΒ είναι

λΑΒ = β - Ο = _Q_ · 0 - α α Οπότε η εφαπτομένη είναι παράλληλη της ΑΒ . Όμοια αν λε ο συντελεστής της εφαπτομένης στο σημείο Ο τότε λε · λακ = - 1 ,

ii. Η εφαπτομένη κάθε κύκλου στο Ρ είναι ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/65


με λοκ = � δηλ. λε = -� . α β

Επομένως λεφ · λε = 1 . 1 1 1 . Η εξίσωση της εφαπτομένης στο Ο είναι:

y - Ο = -�. (χ -0) <::::> y = -� . χ, ενώ στο Ρ β β

. κ β ( κ ) ειναι: y - - = -- χ - - <::::> 2 α 2

β κ β β κ2 <::::>y = -- χ + - ( - + 1 ) <::::> y = -- χ +- .

α 2 α α 2α Το σημείο τομής τους είναι η λύση του συ

στήματος των δύο εξισώσεων, που γίνεται: α β Κ2 2 2 κ2β . -- . χ = -- χ +- <::>-(α - β )χ = - αρα β α 2α 2

χ = κ2β κ2β κβ 2(α - β)(α + β) 2(α - β)κ 2(α - β)

για α:;t:β. Αντίστοιχα το α κβ κα y = - = . β 2(α - β) 2(α - β)

κ(α - β) κ Επομένως x + y = - . 2(α - β) 2

Οπότε τα σημεία τομής των εφαπτομένων ανή-

θ . θ . κ . κουν στην στα ερη ευ εια: χ + y = - την οποια 2

επαληθεύουν οι συντεταγμένες των κέντρων, αφού α β κ Τ 'λ . β . . - + - = - . ε ος οταν α = , οι εφαπτομενες ει-2 2 2 ναι παράλληλες.

7. Στην παραβολή y2 = 2px με κορυφή το Ο θεωρούμε τα μεταβλητά σημεία A(xt ,Yt),

ι .

B(xz,Yz) ώστε το τρίγωνο ΟΑΒ να είναι πάντα ορθογώνιο στο Ο. Να αποδείξετε ότι: ί. XtXz = 4p2 και Υ1Υ2 = -4p2

ίί. Οι συντεταγμένες του μέσου Μ της υποτείνουσας επαληθεύουν την εξίσωση :

yz = Ρ (χ - 2p). ίίί. Η ευθεία ΑΒ διέρχεται πάντα από ένα

σταθερό σημείο Ρ. iv. Αν οι εφαπτομένες στα σημεία Α, Β τέ

μνονται στο Κ, τότε αυτό το σημείο κινείται πάνω σε μια ευθεία και επίσης ισχύει ότι: ΚΜ I I χ χ Ό

Τα διανύσματαθέσης των Α ,Β είναι --> -->

ΟΑ = (χ ι ,Υ ι ) και ΟΒ = (x2 ,y2) . -+ -+ -+ -+

Αφού ΟΑ l_ ΟΒ τότε ΟΑ- ΟΒ = Ο δηλ. Χ ι Χ2 + Υ ιΥ2 = Ο <::::> Υ ιΥ2 = - Χ ι Χ2 .

ο

Επειδή τα Α, Β είναι σημεία της παραβολής τότε ισχύει: Υ ι 2 = 2pχ ι και Yz2 = 2px2 ( 1 ) Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε

(Υ ι Υz? = 4p2X ι Xz <::::> (-χ ι χ2)2 = 4p2χ ι χ2 . 4 2 4 2 αρα Χ ι Χ2 = p και Υ ιΥ2 = - Ρ .

1 1 . Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις ( 1 ) έχουμε Υ ι 2 + y/ = 2p(χ ι + Xz)

ή (Υ ι + Υ2)2 - 2Υ ιΥz = 2p(χ ι + χ2) . Το μέσον Μ της ΑΒ έχει συντεταγμένες

χ = -χ!..-1 +_χ-=-2 και y = Υι + Yz , επίσης από (i) το 2 2

Συνεπώς είναι - 4 2 Υ ιΥ2 - - Ρ ·

(2y)2+8p2=2p(2x)<::::>4y2 = 4px - 8p2<::::>/=p(x-2p) . Επομένως το σημείο Μ επαληθεύει την παραπάνω



εξίσωση .

ι ι ι . Αφαιρώντας τις σχέσεις ( 1 ) σχηματίζεται η (Y ι-Y2)(y ,+y2)=2p(x ι-x2), αν x ,:;ex2 τότε y, - y2 2p --"--- . Ο συντελεστής της ΑΒ εί-χ , - Xz Υι + Yz

ναι λ = Υι - y2 , επομένως λ = -2-"Ρ- . Άρα

x , - X z Υι + Υz

η εξίσωση της ΑΒ είναι : y-y 1=

που γίνεται:

2p (χ-χ , ) Υι + Yz

Υ ι Υ - Υ ι 2 + ΥΥ2 - Υ ιΥ2 = 2px - 2px , <:::::> <=>ΥιΥ + ΥΥ2 + 4p2 = 2px.

Ό 4p2 . ΑΒ . μως y2 = -- , οποτε η γραφεται: Υ ι

4p2 4 2 2 . ξ ' y ,y - - y + p = px που ειναι η ε ης:

Υ ι y y ,

2- 2p(x-2p)y , - 4p2y = Ο. Για να επαληθεύουν

οι συντεταγμένες του Ρ την σχέση, για κάθε y 1 πραγματικό αριθμό, πρέπει y = Ο και x-2p =0 . Άρα το σημείο Ρ είναι (2p, 0).

Όταν χ , = Xz τότε χ 1 = χ2 = 2p, άρα η ΑΒ είναι η ευθεία χ = 2p που προφανώς διέρχεται από το Ρ( 2p,O) . ιν. Οι εξισώσεις των εφαπτομένων είναι:

εφΑ : Υ ιΥ = p(x + Χ ι ) εφΒ : YzY = p(x + χ2) αφαιρώντας τις σχέσεις έχουμε (Υ ι - Υ2)Υ = p(χ ι - χ2), αν x ,:;ex2 τότε

p(x , - χ ? ) Ρ Ρ Υι + Yz Υ = - = - = _.::.___

Υι - Υ2 λ 2p 2 Υι + Yz

Άρα η τεταγμένη του Κ είναι ίση με την τεταγμένη του Μ. Δηλαδή η ΚΜ I/ χχΌ Αντικαθιστώντας την τιμή του y σε μία από τις εξισώσεις των εφαπτομένων γίνεται: y, (yς y2 ) = p(x + x 1 ) <=:> y� + y1 y2 = 2px + 2px,

από τις σχέσεις του ( i ) έχουμε -4p2 = 2px δηλ. χ = -2p.

Συνεπώς τα σημεία Κ κινούνται στην ευθεία χ = -2p.

Όταν χ , = χ2 = 2p, τότε και Υ ι = 2p, Υ2 = - 2p. Οπότε οι εξισώσεις των εφαπτομένων είναι: 2py = p(x+2p) και -2py = p(x+2p) που λύνοντας το σύστημα το Κ είναι (-2p,O) . Άρα και σ ' αυτήν την περίπτωση ισχύουν τα ζητούμενα.

χ2 y2 - + - = ι με κέντρο το Ο α2 β2 8. Στην έλλειψη

θεωρούμε δύο κάθετες διαμέτρους ΑΒ και Γ Δ διαφορετικές των αξόνων. Να αποδείξετε ότι:

ι ι ι ι ί. ΑΟ2 + ΓΟ2 = � + ff .

ii. Αν το (ΟΑΓ)

=

�α 2 + β2 τότε η

2 α 2 + β2 ΑΓ

=-

.....:...__

α β ίίί. Το γινόμενο των συντελεστών διεύθυν

σης των εφαπτομένων στα σημεία Α και Γ είναι σταθερό και ίσο με - (ι - ε2)2, όπου ε η εκκεντρότητα της έλλειψης.

ίν. Η ΑΒ δεν μπορεί να διχοτομεί χορδή της έλλειψης παράλληλη της Γ Δ.

ι . Έστω οι εξισώσεις των διαμέτρων είναι: 1 (ΑΒ) : y = λχ , με λ:;t:Ο και (ΓΔ) : y = -- χ . Τα λ

σημεία Α, Γ θα έχουν συντεταγμένες (χ 1 ,λχ 1 )

( 1 ) . Α . . . και χ2 , -λ χ 2 αντιστοιχα. φου ειναι σημεια

χ 2 λ2χ 2 της έλλειψης θα ισχύει ότι: -2

1 + -?-1 = 1 και α β-

ΕΥΚ\ΕΗΗΣ Β ' τ.3/67


χ2 χ 2 ---+ + � = 1 που λύνοντας ως προς χ 1 και χ2 α λ β 2β2 , 2 α εχουμε χ , = -?::--:-2-'------::-2 λ-α + β

Τότε είναι: 1 1 1

ενώ

_Α_ο_2 + _r_o_2 = (�χ� + λ2 χ� )2

+ --::(-;:::::=2 ==x=;�J22 χ2 + )Υ )

1 λ2

χ� (l + λ2 ) +

χ; (l + λ2 ) .

- _! Α

Β . Ί Δ

Α θ ' ' 2 2 ' ντικα ιστωντας τις τιμες των χ1 , χ2 και κα-νοντας τα σύνθετα κλάσματα απλά γίνεται:

1 1 J!α2 + β2 λ\α2 + λ2β2 ) --+-- + = ΑΟ2 Γ02 (1 + λ2 )α2β2 (1 + λ2 )λ2α2β2

λ2α2 + β2 + α2 + λ2β2 (1 + λ2 )(α2 + β2 ) (1 + λ2 )α2β2 (1 + λ2 )α2β2

α2 + β2 1 1 ---'-- = -+ -α2β2 α2 β2 ·

ι ι . Η παραπάνω ισότητα γίνεται: ΑΟ2 + Γ02 α2 + β2 , ,

2 2 = 2 2 . Απο το Πυθαγορειο ΑΟ ΓΟ α β

Θεώρημα στο ΟΑΓ είναι: ΑΟ2+ΓΟ2=ΑΓ2, ενώ για το εμβαδόν του ισχύει: ΑΟ.ΓΟ =2(0ΑΓ). Άρα έχουμε:

ΑΓ2 α2 + β2 4(0ΑΓ)2 α2β2 ·

Η οποία μας δίνει

ΑΓ2 = α2 + β2 4 α2 + β2 =

[ α2 + β2 )2 α2β2 4 αβ

2 β2 δηλ. ΑΓ = α + α β

i i i . Οι εξισώσεις των εφαπτομένων στα Α και Γ ' χ , λχ , ειναι: εφ Α : -2 χ + -2 y = 1 α β

και εφΒ : χ; χ - χ\ y = 1 . Άρα έχουν συντελε-α λβ

στές διεύθυνσης τους:

- χ ,β2 β2 χ2λβ2 λβ2 λΑ - - --2 = -- και λΒ = -- = -.

λχ, α λα2 χ2α2 α2

Το γινόμενο τους ισούται:

λΑ·λΒ = _ λβ4 = -[r_)2 = -[ α2 - γ2 )2

λα4 α2 α2 -[ι - :: )' = -( ι - ε' )' Ιν. Έστω χορδή ΚΛ // ΓΔ με K(x3,y3) και

Λ(χ4,y4) . Αφού τα Κ,Λ ανήκουν στην έλλειψη 2 2 2 2

τότε : � +2:1._ = 1 και �+ � = 1 α2 β2 α2 β2 ·

Λ 2 2 2 2 χ4 - χ3 + y4 - y3 --0 Αφαιρώντας είναι: που α2 β2

γίνεται: β2 (y4-y3)(y4+y3) = - (χ4-χ3)(χ4+χ3)-2 <=> α

<=> y4 - y3 y4 + y3 = - β: . ( 1 )

χ4 - χ3 χ4 + χ3 α Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΚΛ είναι:

λκΛ = -_!_ = Υ4 - y3 λ χ4 - χ3

Θεωρώντας ως Μ το μέσον του ΚΛ τότε

Μ ( χ4 ; χ3 , Υ4 ; y3 J και αν υποθέσουμε ότι η ΑΒ

διέρχεται από το Μ, τότε : λ = λΜο = Υ 4 + Υ 3 . χ4 + χ 3

Επομένως η ( 1 ) δίνει: _ _!_λ = - β: δηλ. λ α

αδύνατο αφού β =t- α.

β2 - = 1 α2

Άρα η ΑΒ δεν διχοτομεί καμία χορδή παράλληλη της ΓΔ.


ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. Τσικαλουδάκης

Τα τε;.ευταία χρόνια συνηθίζεται στις Εισαγωγικές Εξετάσεις σε ένα η δύο από τα θέματα να έχουμε

συνδυαστικές ασκήσεις από στατιστική και πιθανότητες ή από ανάλυση και πιθανότητες.

Μια τέτοια προσπάθεια έχει γίνει σε μερικά από τα πα ακάτω θέματα: Ρ(Α) = -ν - , Ρ(Β) = 2ν - 3 και

Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού ν2 + 7 V2 + 7 χώρου Ω . Αν είναι: P(A' u B) = P(A n B') , να Ρ(Α υ Β) = _1y_

ν2 + 7 αποδείξετε ότι :

i) Ρ( Α - Β) = � , ii) Ρ(Β) S � , iii) Ρ(Β) S Ρ(Α)

' '

Έχουμε : i) Ρ( Α' υ Β) = Ρ( Α n Β') � Ρ( Α') + Ρ(Β) - Ρ( Α' n Β) = Ρ(Α) - Ρ( Α n Β) � 1 - Ρ( Α) + Ρ(Β) - ( Ρ(Β) - Ρ( Α n Β)) = = Ρ( Α) - Ρ(Α n Β) � 1 - Ρ(Α) + P(A n B) = Ρ(Α) - Ρ(Α n Β)

2P(A) - 2P(A n B) = l � P(A n B') = ! ( 1 ) ii) Είναι: Ρ ( Α υ Β) ::;; 1 , ισοδύναμα:

Ρ( Α) + Ρ(Β) - Ρ( Α n Β) ::;; 1 (2)

Αλλά είναι: Ρ( Α) - Ρ( Α n Β) = ! , οπότε (2)

γίνεται: Ρ(Β) +! ::;; 1 , ισοδύναμα: Ρ(Β) ::;; ! .

iii) Είναι: Ρ [ (Α - Β) u (Β -Α)] S 1 , ισοδύναμα: Ρ( Α) + Ρ(Β) - 2Ρ(Α n Β) ::;; 1

ισοδύναμα: 2Ρ(Α) + Ρ(Β) - 2Ρ(Α n Β) ::;; 1 + Ρ( Α) και λόγω της ( 1 ) , 1 + Ρ(Β) ::;; 1 + Ρ( Α) , άρα Ρ(Β) ::;; Ρ( Α) .

Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός; δειγματικού χώQου Ω με:

όπου ν είναι θετικός; ακέQαιος; . 1 . Να βQείτε τι τιμές; μποQεί να πάQει ο ν . 2. Αν τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα,να βQείτε την

τιμή του ν . 3. Να βQείτε για ποια τιμή του ν η Ρ( Α n Β)

γίνεται μέγιστη, καθώς; και τη μέγιστη τιμή της;.

1. Αρκεί να είναι: Ο ::;; Ρ(Χ) ::;; 1 , για Χ ε {Α, Β, Α υ Β}

Δηλαδή πρέπει να είναι: 0 ::;; -ν- ::;; 1 , 0 ::;; 2ν - 3 ::;; 1 και 0 ::;; � ::;; 1

ν2 + 7 ν2 + 7 ν2 + 7 ν2 - ν + 7 � 0 2ν - 3 � ο 3 ισοδύναμα: 2 , ισοδύναμα: ν � -2 ν - 2ν + 1 0 � 0 ν2 - 2ν + 7 � Ο

Άρα αρκεί να είναι ν � 2 . 2. Αν τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα, τότε P(AnB) =O

Αλλά έχουμε: Ρ( Α n Β) = Ρ( Α) + Ρ(Β) - Ρ( Α υ Β) , οπότε είναι: Ρ( Α) + Ρ(Β) - Ρ( Α υ Β) = Ο και συνεπώς: _ν_ + 2ν - 3 -� = 0 , ισοδύναμα: ν = 3 ν2 + 7 ν2 + 7 ν2 + 7 2. Είναι: Ρ( Α Γ'ι Β) = ν - 3 . Θεωρούμε τη συ

ν2 + 7


Μαθηματικά για την Γ Λυκείου

νάρτηση f με : f(x) = � - 3 , χ � 2 και έχουμε: χ + 7

f'(x) = -x z + 6χ + 7 (χ2 + 7 )2 οπότε επειδή είναι: -χ2 +6χ + 7 =0 <=> χ = - 1 ή χ = 7 έχουμε: f'(χ) < Ο , για χ > 7 και f'(χ) > Ο , για 2 5, χ < 7 .

Συνεπώς η f παρουσιάζει μέγιστο στο 7, οπότε και η Ρ( Α n Β) γίνεται μέγιστη για ν = 7 . (καθότι το σύνολο τιμών της Ρ( Α n Β) είναι υπο-σύνολο του συνόλου τιμών της t).

Για ν = 7 είναι: Ρ( Α n Β) = 1� Θ !F.: '\Ή Α J σ Δίνεται η συνάρτηση:

f(x) = χ4 - 4χ3 + 4χ2 + 2 1 . Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f . 2. Έστω Ω = { 0 , 1 , 2 , . . . , ν } ο δειγματικός χώ-

ρος ενός πειράματος τύχης με πιθανότητες α

πλών ενδεχομένων:

2k + 1 P(k) = -- , k = 0 , 1 , 2 , . . . , ν 100

α) Να αποδείξετε ότι Ν(Ω) = 10 . β) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου

Ε του Ω, όπου

Ε= { k ε Ω/ η f παραυσιάf;,ει τοmκό ακράrαχο σrο k} γ) Έστω Ω' = f(Ω) , το σύνολο τιμών της f στο Ω. Σε τυχαία επιλογή ενός στοιχείου του Ω' να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου το στοιχείο αυτό να είναι τοπικό ακρότατο της f.

1 . Είναι: f'(x) = 4χ(χ - 1)(χ - 2) , οπότε έχου� το�_�αρα�άτω πίνακα μονοτονία'i_της f:._

i ο +οο I χ -00 2

Γ(χ) ο + ο ο + f(x)

_i __

� / ! _j

Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f( χ) παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στις θέσεις: Ο, 2 με τιμές: f(0)=2, f(2)=2 και τοπικό μέγιστο στο 1 με f( 1 )=3 .

2. α) Είναι: Ρ(Ο) + P(l) + Ρ(2) + . . . + Ρ( ν) = 1 ,

δ , . 1 3 5 2ν + 1 1 ισο υναμα. 1 00 + 1 00 + 1 00 + . . . + """"iOO = , ισο-

δύναμα: 1 + 3 + 5 + . . . + (2ν + 1) = 1 00 ( 1 ) Οι προσθετέοι του αθροίσματος ( 1 ) αποτελούν

αριθμητική πρόοδο με α 1 = 1 , διαφορά ω=2 και α ν = α ι + (ν - 1)ω = 1 + (ν - 1) · 2 = 2ν - 1 ,

οπότε είναι: αν+ I = 2ν + 1 και:

1 + 3 + 5 + . . . + (2ν + 1) = 1 00 <=> sv+ l = 1 00 <=> [ 1 + (2ν + 1) ] · ν; 1 = 1 00 <=> (ν + 1) 2 = 1 00

<=> ν + 1 = 1 0 <=> ν = 9 . Άρα έχουμε : Ω = {Ο , 1 , 2 , . . . , 9 } και συνεπώς

Ν(Ω) = 1 0 . β) Είναι: Ε = {Ο , 1 , 2 } με Ε ενδεχόμενο του Ω, οπότε έχουμε: Ρ(Ε) = Ρ(Ο) + P(l) + Ρ(2) =

1 3 5 9 = 1 0 0 + 1 0 0 + 1 0 0 = 1 0 0 γ) Είναι: Ω = {0 , 1 , 2 , . . . , 9 } . Ακόμα έχουμε :

f(O) = 2 , f(l) = 3 , f(2) = 2 και f(3) = 1 1 Αλλά η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο διάστημα [2, +οο) , οπότε για κάθε ν � 3 είναι f(ν) � f(3) , δηλαδή f(ν) > 3 και συνεπώς το πλή-θος των (διαφορετικών) τιμών της f στο Ω είναι

Ν (f(Ω) ) = Ν(Ω) - 1 = 9 αφού μόνο δύο τιμές της f στο Ω είναι ίδιες: f(O) = f(2) = 2 . Επομένως σε τυχαία επιλογή ενός στοιχείου του Ω' = f(Ω) , αν με Α συμβολίσουμε το ενδεχόμενο : το στοιχείο που επιλέξαμε να είναι τοπικό ακρότατο της f, έχουμε:

Α = {2, 3} και συνεπώς Ρ(Α) = % · Θ Ε Μ Α 4ο Δίνεται το σύνολο :

Ω = {1 , 2 , 3 , . . . , ν } και οι συναρτήσεις fk , k ε Ω με:

fk (x) = tx3 + kx2 + (k + 12)χ , k ε Ω Επιλέγουμε τυχαία μια από τις παραπάνω συναρτήσεις και θεωρούμε το ενδεχόμενο: Ε: η επιλεγείσα από τις fk να έχει δυο τοπι-κά ακρότατα α) Αν είναι Ρ(Ε) = Ο, 7 να βρείτε το πλή-

θος των fk β) Αν τα στοιχεία του Ω έχουν μέση τιμή



χ = 9 , να βρείτε την πιθανότητα του παραπάνω ενδεχομένου Ε .

γ) Αν το Ω είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με πιθανότητες:

Ρ(ω) = ι�ν' ω ε Ω

να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου Ε. . \. Υ �':.: Η

Η συνάρτηση f έχει παράγωγο : ( (χ) = χ 2 + 2kx + (k + 1 2)

Το τριώνυμο χ 2 + 2kx + (k + 1 2) έχει διακρί-νουσα: Δ = 4k2 - 4k - 48 = 4 (k2 - k - 1 2) = 4(k - 3)(k + 4)

με: Δ > Ο <=> k > 3 (για k ε Ω ) Συνεπώς από τις παραπάνω συναρτήσεις μόνο

οι τρεις πρώτες δεν έχουν δύο τοπικά ακρότατα. Συνεπώς είναι: Ρ(Ε) = ν - 3 , οπότε έχουμε: ν

α) Αν Ρ(Ε) = 0, 7 , τότε είναι ν - 3 = 0, 7 , άρα ν ν = l Ο .

β) Είναι :

χ = � ( 1 + 2 + 3 + . . + ν ) = � (l +;) · ν = 1 � ν ,

οπότε αν χ = 9 , έχουμε : 9 = 1 � ν , άρα ν = 17 και

συνεπώς: Ρ(Ε) = ν - 3 = Η ν 1 7

γ) Είναι: p(1) + P(2) + p(3) + . . . + p(ν) = 1 <=> 1 1 (1 + ν) · ν - (1 + 2 + 3 + . . + ν ) = 1 � -10 · 2 = 1 lΟν ν

<:::> 1 + ν = 1 <=:> ν = 19 . 20 Οπότε: Ρ(Ε) = ν � 3 = ��

Σε μια πόλη που αποτελείται από 500 οικογένειες υπάρχουν τρεις τράπεζες, Α , Β , Γ . Το 70% των οικογενειών της πόλης αυτής διαθέτει μία τουλάχιστον κάρτα ανάληψης χρημάτων από τις τράπεζες Α ή Β μόνο, ενώ το 30ο/ο των οικογενειών της πόλης αυτής διαθέτει κάρτα ανάληψης χρημάτων μόνο μίας από τις τράπεζες Α,Β.

Το 90% των οικογενειών της πόλης διαθέτει μία τουλάχιστον κάρτα ανάληψης χρημάτων από

οποιαδήποτε τράπεζα Α, Β, Γ. Επιλέγουμε τυχαία μια οικογένεια της πόλης

αυτής. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου: Ε1 : Η επιλεγείσα οικογένεια έχει κάρτα ανά-

ληψης από την Α και από την Β τράπεζα. Ε2 : Η επιλεγείσα οικογένεια έχει κάρτα ανά-

ληψης χρημάτων από μια μόνο από τις τράπεζες Α , Β , Γ .

\ \'Σ Η Θεωρούμε τα ενδεχόμενα:

Α : μια οικογένεια διαθέτει κάρτα από την Α τράπεζα.

Β : μια οικογένεια διαθέτει κάρτα από την Β τράπεζα

Γ : μια οικογένεια διαθέτει κάρτα μόνο από την Γ τράπεζα.

Έχουμε: Ε1 = Α Π Β P (A U B) = 0, 7 και P [ (A - B) U (B - A)] = 0, 3

Ακόμα είναι: Ρ (Α Π Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α υ Β) και

Ρ ( (Α - B) U (Β - Α)) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - 2Ρ(Α Π Β)

οπότε έχουμε το σύστημα: {Ρ(Α) + Ρ(Β) = Ρ (Α Π Β) + Ο, 7

Ρ( Α) + Ρ(Β) - 2Ρ(Α Π Β) = 0, 3

από το οποίο προκύπτει: Ρ(Α Π Β) = 0, 4 και Ρ(Α) + Ρ(Β) = 1, 1

Επομένως έχουμε: Ρ ( Ε 1 ) = Ρ(Α Π Β) = 0, 4 , Ακόμα είναι: Ρ (Γ) = 0, 9 - 0, 7 = 0, 2 , οπότε

έχουμε : Ρ( ξ ) = Ρ( Α-Β) + Ρ(Β-Α) + Ρ(Γ) = = Ρ( Α) +(B) -2P(AnB) + P(Γ) = l, l -0, 8 + 0, 2 = 0,5

Δίνεται το σύνολο: Ω = { 1 0 , 1 1 , 1 2 , . . . , 9 9 }

Επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του ω ε Ω . i) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα:

Α: το ω είναι πολλαπλάσιο του 3 Β: 80ω - ω2 � 1200

Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: Α, Β, Α Π Β .

ii) Θεωρούμε τις συναρτήσεις fk , k ε Ω με: fk (χ) = �2kx - 3χ2 '

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3!71


Επιλέγουμε τυχαία μία από τις fk . Να βρεί

τε την πιθανότητα του ενδεχομένου Ε, όπου: Ε= { ν ε Ω / το fk (ν) είναι μέγιστο της fk }

.\ Υ Σ Η i) Είναι: Ν (Ω) = 90 και Α = { 12, 15 , 1 8, . . . , 99} με Ν (Α) = 30 , αφού οι αριθμοί 1 2, 1 5 , 1 8 , . . . , 99 εί-ναι τα πολλαπλάσια του 3 από το 1 2 έως και το 99 και τα πολλαπλάσια του 3 μέχρι και το 99 είναι 34 , αφού 99 : 3 = 33 (συν το 0), ενώ μέχρι το 1 2 υπάρχουν τέσσερα πολλαπλάσια του 3 , το Ο, το 3 , το 6 και το 9. Επομένως είναι:

Ρ(Α) = Ν(Α) = 30 = l Ν(Ω) 90 3 Για την πιθανότητα του Β έχουμε: 80ω - ω2 � 1 200 <=> ω2 - 80ω + 1 200 � Ο <:::} (ω - 60)(ω - 20) 2 Ο <=> ω � 20 ή ω 2 60

Άρα B = { l 0, 1 1, 1 2, . . . , 20} U {60, 6 1, 62, . . . , 99} , οπότε: Ρ (Β ) =

Ν (Β ) = 1 1 + 40 = 21. Ν (Ω) 9 0 9 0

Ακόμα είναι: AnB={ 12, 15, 18} υ{ 60, 63,66, . . . ,99} με N (AnB) = 3 + (34 - 20) = 17 ,

, . _ N(A nB) _ 1 7 οποτε. P(AnB) - Ν(Ω) - 90

ii) Για τα τοπικά ακρότατα της fk έχουμε :

α) η fk έχει πεδίο ορισμού : [ο ' 2{ J με:

f� (χ) = .J2�: ��χ 2 οπότε έχουμε : f� (χ ) < Ο , για

χ ε ( f , 23k ) και f� (χ) > Ο , για χ ε (Ο , � ) . Άρα η fk παρουσιάζει μέγιστο για χ = f .

β) Συνεπώς για το ενδεχόμενο Ε έχουμε : Ε= { ν ε Ω / το fk (ν) είναι μέγιστο της fk }

Ε = {ν ε Ω / ν =f , k ε Ω } , αφού το fk (ν) γίνεται μέγιστο για ν = � , με

ν, k ε Ω οπότε πρέπει (και αρκεί) στο κλάσμα f , το k να είναι πολλαπλάσιο του 3 και το πηλίκο � ν α είναι στοιχείο του Ω. Άρα είναι:

Ν(Ε) 23 Ε = {30, 33, . . . , 99} και Ρ(Ε) = Ν(Ω) = 90 .

Σε ένα χωριό το 90% των οικογενειών έχει ένα

τουλάχιστον παιδί, ενώ το 80% έχει ένα ή δυο παι

δία και το 60% των οικογενειών έχει τουλάχιστον

δυο παιδιά.

Πάνω από τρία παιδία δεν έχει καμία οικογέ

νεια.

α) Αν οι οικογένειες του χωριού είναι 200, να ε

κτιμήσετε το πλήθος τω παιδιών του χωριού.

β) Σε τυχαία επιλογή μιας οικογένειας του χω

ριού, να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου: Α:

η οικογένεια έχει ένα ή δυο παιδιά.

γ) Συναντάμε στο δρόμο ένα παιδί του χωριού

αυτού: να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχόμενου:

Ε1 : το παιδί να ανήκει σε οικογένεια που έχει ένα

μόνο παιδί.

Ε2 :το παιδί να ανήκει σε οικογένεια που έχει το

πολύ δύο παιδιά.

Έστω τα ενδεχόμενα: Α0 : μια οικογένεια δεν έχει παιδία Α 1 : μια οικογένεια έχει ένα παιδί Α2 : μια οικογένεια έχει δύο παιδία Α3 : μια οικογένεια έχει τρία παιδία

Για το παραπάνω πείραμα είναι: Ρ(Α0 ) = 0, 1 , Ρ(Α 1 ) + Ρ(Α2 ) = 0, 8 Ρ(Α3 ) + Ρ(Α2 ) = 0, 6 Ρ(Α 1 ) + Ρ(Α2 ) + Ρ(Α3 ) = 0, 9

Από τις παραπάνω ισότητες προκύπτει: Ρ(Α3 ) = 0, 1 , Ρ(Α2 ) = 0, 5 , Ρ(Α 1 ) = 0, 3

οπότε έχουμε: α) Το πλήθος των παιδιών του χωριού εκτι

μάται ότι είναι: 0, 1 · 200 · 3+0, 5 · 2 · 200+0,3 · 1 · 200 = = 60 + 200 + 60 = 320 .

β) Είναι: Ρ(Α) = Ρ(Α 1 ) + Ρ(Α2 ) = 0, 8 γ) Το πλήθος των οικογενειών που έχουν παιδιά

είναι: 90 200 · 100 = 180 '

οπότε ένουμε: Ρ( Ε ) = Ο, 3 · 200 = _§_ = 1 Λ I 1 80 18 3 '

Ρ(Ε ) = 0, 3 · 200 + 0, 5 · 200 = 160 = � 2 180 180 9



Ασκήσεις που λύνονται με τη βοήθεια παραγώγων

1. Δίνεται η συνάρτηση f , με f(x) = χ(π - χ)συvχ + (2χ - π)ημχ .

(α) Να μελετήσετε την fως προς τη μονοτονία στο (Ο, π). (β) Να δείξετε ότι η εξίσωση /(χ) = Ο έχει ακριβώς μια πραγματική λύση στο διάστημα (0, π).

(γ) Να δείξετε ότι _!_ < ημχ � �, για κάθε π χ(π - χ) π στο (0, π). Λύση . (α) Είναι

f'(x) = [χ(π - χ)συvχ + (2χ - π)ημχ]' = = (π - χ)συvχ - χσυvχ - χ( π - χ)ημχ + +2ημχ + (2χ - π)συvχ = =�-� - χπημχ + χ2ημχ + +2ημχ + � - � = = (χ2 - χπ + 2)ημχ

με ημχ > Ο στο διάστημα (Ο, π) , οπότε το πρόσημο της πρώτης παραγώγου εξαρτάται από το τριώνυμο χ2 - χ π + 2 , το οποίο έχει ρίζες

π - � π] - 8 π + � π2 - 8 Ο < ρ = < ρ = < π . I 2 2 2

Συνεπώς η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο [0, p1 ] και στο [p2 , π] , ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο [Ρι ' Pz J · (β) Το π = Ρι + Pz είναι το μέσο του [p1 , Ρ2 ] και 2 2 είναι ρίζα της f(x) = Ο , διότι ι (� ) = Ο . Συνεπώς

η εξίσωση f (χ) = Ο έχει μια ρίζα. Δεν έχει άλλη ρίζα στο διάστημα [p1 , p2 ] , διότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα σ' αυτό. Επειδή f(O) = Ο και η f είναι γνησίως αύξουσα στο [O, p1 ] , για κάθε χ με Ο < χ � p1 είναι Ο < f (χ) , οπότε δεν έχει ρίζα στο (O, p1 ] . Δεν έχει ρίζα στο διάστημα [pz , π) , διότι στο διάστημα [p2 , π] η f είναι γνησίως αύξουσα, και f(π) = Ο . (γ) Θέτουμε g(x) = ημχ , g '(x) = f(x)

χ(π - χ) χ2 (π - χ)2

στο (Ο, π) . Η συνάρτηση g στο διάστημα (0, π ] 2

Θανάσης Τριανταφύλλου

είναι γνησίως αύξουσα, διότι, όπως είδαμε στο (β) στο διάστημα αυτό είναι Ο < f(x) , ενώ στο

διάστημα [ π , π) , είναι γνησίως φθίνουσα. Η g 2 ' ζ ' π (π ) 4 ' παροισια ει μεγιστο στο 2 , το g 2 = π2 , οποτε

για κάθε χ στο (Ο, π) είναι g(x) � � ( 1 ) . π Είναι

lim g(x) = lim ημχ ·-1 - = 1 · _!_ = _!_ (2) χ--.ο• χ--.ο+ χ π - χ π π

και lim g(x) = lim η μ( π - χ) · _!_ = _.!._ (3) Χ-> Π- Χ -> Π- Π - Χ Χ Π

Αν υπάρχει α στο διάστημα (0, π ) με g(α) � _.!._ , 2 π τότε, επειδή ο α , , < - < α και η συναρτηση g ειναι 2

, ' ξ (Ο, π2 ) γνησιως αυ ουσα στο

α 1 g(-) < g (α) � - (4) . 2 π

θα είναι

Στην περίπτωση αυτή για κάθε χ στο (0, α ) θα 2 είναι g(x) < g(α ) . Οπότε θα είναι 2 lim g(x) � g(α ) < _.!._ (5) . Από τις (2) και (5)

χ--.ο• 2 π λ ' ' δ λ δ ' 1 1 ' ' κατα ηγουμε οτι η α η - < - , που ειναι ατοπο. π π

Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε και στο διάστημα

(� , π) . Δηλαδή, αν υπάρχει β στο διάστημα

( � , π) με g(β) � � ( 6), τότε, επειδή από το

π β ' ' π β β + π - < < π προκυπτει οτι - < < -- < π και 2 2 2 η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο

( � , π) , θα είναι � � g(β) > g (β ; π ) (7).

Στην περίπτωση αυτή για κάθε χ στο (β ; π , π) δηλαδή, για κάθε χ για το οποίο θα είναι



π β + π ' - < -- < χ < π , εχουμε g(x) < g ( β; π ) 2 2

Οπότε θα είναι lim g(x) :-ς g (β + π ) < _!._ (8) . .r->π 2 π

Από τις (3) και (8) καταλήγουμε ότι _!._ < _!._ , που π π είναι άτοπο, επίσης. Συνεπώς, δείξαμε ότι για κάθε χ ε (Ο, π) είναι

g(x) = ημχ > _!._ (9). χ(π - χ) π Από τις ( 1 ) και (9) προκύπτει ότι

1 ημχ 4 - < < -π χ(π - χ) - π2 •

2. Μια συνάρτηση/ορίζεται στο διάστημα {α, β) και είναι τρείς φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό. Για την fιιη;ύουν (ί) J<3> (x) > Ο για κάθε χ στο διάστημα {α, β].

(ii) Η f παρουσιάζει στο διάστημα (α,β) ακριβώς 2 τοπικά ακρότατα στις θέσεις γ,δ με α < y < δ < β . Να δείξετε ότι

(α) Η f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής (ξ, /(ξ)) με y < ξ < δ .

(β) Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στη θέση γ και τοπικό ελάχιστο στη θέση δ.

(γ) Η f στρέφει τα κοίλα άνω στο [ξ,β] και τα κοίλα κάτω στο διάστημα [α,ξ] .

Cδ> ι ( ξ�Ρ ) :::; Ι< ξ>� Ι<Ρ>

και ι( α; ξ ) � f(a); /(ξ)

.\iJσn� , (α) . Επειδή η f -σύμφωνα με το (i)- είναι παραγωγίσιμη στο {α,β} και παρουσιάζει ακρότατα -σύμφωνα με το (ii)- στις θέσεις r και δ, θα έχουμε -σύμφωνα με το θεώρημα του Feπnat-ΓCr) = Γ(δ) = Ο ( 1 ) . Επειδή η f' είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [γ,δ] και, όπως είδαμε στην ( 1 ), ισχύει Γ(r) = Γ(δ) , σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, θα υπάρχει ξ στο (y, δ) με f"(ξ) = Ο . Επειδή f<3 > (x) > Ο στο [α,β} η συνάρτηση f"

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό· και επειδή μηδενίζεται στο ξ θα είναι f"(x) < Ο (2) στο [α, ξ) και f"(x) > Ο (3) στο (ξ, β] , οπότε έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής στη θέση ξ.

(β) . Από το (ii) και το (α) προκύπτει ότι α < r < ξ < δ < β και ότι η /" είναι γνησίως

αύξουσα στο διάστημα {α,β}. Θα είναι, συνεπώς, f"(α) < f"(y) < f"(ξ) = Ο < f"(δ) < f"(β) (4)

Οπότε θα είναι: f"(α) < f"(y) < Ο (5) ,

και Ο < f"(δ) < f"(β) (6). Από τις ( 5) και ( 6) προκύπτει αντιστοίχως ότι η f' είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, ξ] και γνησίως αύξουσα στο [ξ, β] . Και επειδή από το ( 1 ) έχουμε ότι στα γ και δ η τιμή της f' είναι Ο, θα πρέπει να είναι:

Γ(α) > ΓCr) = Ο > Γ(ξ) (7), οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, γ] και γνησίως φθίνουσα στο [γ, ξ] . Δηλαδή στο σημείο γ έχουμε αλλαγή της μονοτονίας -από αύξουσα σε φθίνουσα- και συνεπώς στη θέση αυτή η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο . Με παρόμοιο τρόπο θα δείξουμε ότι στη θέση δ ηf παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο . Είναι

Γ(ξ) < Γ(δ) = ο < Γ(β) (8), οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ξ,δ] και γνησίως αύξουσα στο [δ,β] . Από όσα προηγήθηκαν προκύπτει ότι στο σημείο δ έχουμε αλλαγή της μονοτονίας -από φθίνουσα σε αύξουσα - και συνεπώς στη θέση αυτή η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

3. Δίνεται ότι η συνάρτηση f είναι ορισμένη και δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ= [α,β] και ότι στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ. (α) Να δείξετε ότι το σύνολο τιμών της /' είναι το διάστημα Δ'= [J'(a), J'(β)] . (β) Αν λ πραγματικός αριθμός στο Δ ', να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα σημείο Α της γραφικής παράστασης C ι της f στο οποίο η εφαπτομένη

να είναι παράλληλη προς την y = λ χ + μ .

(γ) Αν η ευθεία y = λχ + μ δεν τέμνει την C 1 και ισχύει f(χ) > λχ + μ για κάθε χ στο Δ, να δείξετε ότι το σημείο Α του προηγούμενου ερωτήματος είναι το σημείο της C ι , το οποίο

έχει από την ευθεία y = λ χ + μ τη μικρότερη απόσταση. (δ) Να βρεθεί το σημείο της έλλειψης 4χ2 + y2 = 1 το οποίο απέχει τη μικρότερη απόσταση από την ευθεία y = χ - 3 .

,\ι'Jση, (α) . Επειδή η f στρέφει τα κοίλα άνω, η Γ είναι γνησίως αύξουσα στο Δ = [α, β] , οπότε το σύνολο τιμών της Γ είναι το



f'([α,β]) = [f'(α), f'(β)] = Δ' . (β). Επειδή η f' είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ και το λ ανήκει στο Δ ' , η εξίσωση f'(x) = λ έχει ακριβώς μια λύση στο Δ, την χ = δ , οπότε f' (δ) = λ . Η εφαπτομένη στο σημείο (δ, f (δ)) έχει συντελεστή διεύθυνσης f' (δ) = λ , οπότε είναι παράλληλη προς την

(ε) : y = λχ + μ ή -λχ + y - μ = Ο (γ) . Είναι γνωστό από τη ΒΆυκείου ότι η απόσταση σημείου M0 (x0 , y0 ) από ευθεία (ε ') με εξίσωση Ατ: + Β γ + Γ = Ο στο καρτεσιανό επίπεδο δίνεται από τη σχέση :

ι IAxo + Byo + ΓI d(Μ0 , ε ) = 1

ν Α2 + Β2 Αν, λοιπόν, M(x0 , f(x0 )) τυχαίο σημείο της C.r με χ0 στο Δ = [α,β] , η απόσταση του Μ από την (ε) είναι, αφού f(x) > λχ + μ :

d(M, ε) = 1 -λχο + f(xo ) - μ I = �1 + λ2

= f(χ0 ) - λχ0 - μ = f(χ0 ) - λχ0 - μ = d(x) �1 + λ2 �1 + λ2 Δηλαδή η ζητούμενη απόσταση είναι μια συνάρτηση του χ0 με τύπο

d(xo ) = f(xo J - λχο - μ ( l ) �1 + λ2

Η παράγωγος της ( 1 ) είναι

d'(xo J = f'(xo ) - λ (2) �1 + λ2 Η (2) μηδενίζεται όταν ο αριθμητής γίνει μηδέν. Δηλαδή, όταν f'(x0 ) = λ (3 ) . Σύμφωνα, όμως, με το (β), η μοναδική λύση της (3) στο Δ είναι η χ0 = δ . Οπότε είναι d'( δ) = Ο (4) . Επειδή για τιμές χ0 < δ είναι αρνητικός ο αριθμητής της (2) ενώ τιμές χ0 > δ αυτός είναι θετικός, όπως προκύπτει από το γεγονός ότι η f' είναι γνησίως αύξουσα στο Δ . Τελικά έχουμε ακρότατο, και μάλιστα τοπικό ελάχισrο, στη θέση χ0 = δ . (δ). Λύνουμε την εξίσωση 4χ2 + / = 1 ως προς y . Είναι f(x) = ±�1 - 4χ2 • Το μέρος της C/ , που βρίσκεται κάτω από τον άξονα των χ και στρέφει τα κοίλα άνω είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = -�1 - 4x2 με

1 - 4χ2 � Ο <=> χ ε [ -� ·�] . Η παράγωγος της

συνάρτησης αυτής είναι: I

f'(x) = (-�1 - 4χ2 ) ' = (-(1 - 4χ2 )2 ) ' =

= -.!_(l - 4x2 )t-� . (l - 4x2 ) ' = 4χ (4) 2 �1 - 4χ2

Από την εξίσωση y = x - 3 ή χ - y - 3 = 0 , την (4), και με όσα αναφέραμε στο (γ) είναι f' (χ) = λ = 1 , οπότε έχουμε

f'(x) = 1 <=> �

4χ = 1 <:=> 4χ = �1 - 4χ2 <=> 1 - 4χ2

2 2 2 J3 <=> 1 6χ = 1 - 4 χ <=> 1 2χ = 1 <=> χ = ±-6 Επειδή οι τιμές του χ , που μηδενίζουν την αντίστοιχη σχέση (2) (από την απάντηση του γ ' ερωτήματος, για την περίπτωση που εξετάζουμε), ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f(x) = -�1 - 4χ2 ,

δ λ δ ' J3 [ 1 1 ] ' η α η ±6 ε -2 ,.2 , εχουμε:

ι (-�) � -f - 4(-�)' � -� , αλΜ και ι ( �) �

-Jι - 4( �)' � -� οπότε, σύμφωνα με όσα αναφέραμε στο (γ '), τα σημεία

Α (- J3 - fi) B (Jj - fi) 6 ' \ {3 ' 6 ' \ {3

της c/ απέχουν τη μικρότερη απόσταση από τη ευθεία y = χ - 3 .

Γ. ΠΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ Λ) ΜΛθΗΜΛΤΙΚΛ ΚΛΤΕΥθΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ

Σε τέσσερις τόμους ( 1400 σελίδες) 1. ΜΙΓΛΔΙΚΟΙ: πλήρης θεωρία, μεθοδολαyία,

ασκήσεις, διαγωνίσματα 2. ΣΥΝΆΡΤΗΣΕ/Σ ._ ΟΡΙΛ - ΣΥΝΕΧΕΙΛ:

πλήρης θεωρία, μεθοδολαyία, ασκήσεις, διαγωνίσματα

3. ΠΑΡΛΓΩΓΟΙ: ερωτήσεις θεωρίας- ασκήσεις, διαγωνίσματα

4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΛΤΛ: πλήρης θεωρία, μεθοδολαyία, ασκήσεις, διαγωνίσματα

Β) θΕΜΛΤΛ: ΣΤΛΤΙΣΠΚΙΙΣ - ΠΙθΑΝΟΠΠΏΝ

Τηλ. : 210 9517863 Κιν . :6973827622


Ο Εuκλεiίδnς π ροτεiίνειι ... ... ...

<<Η καρδιά των μαθηματικών είναι τα προβλήματα και οι λύσεις και

ο κύριος λόγος ύπαρξης του μαθηματικού είναι να λύνει προβλήματα». P. R. HALMOS

Επιμέλεια: Γ. Στρατής, Γ. Τριάντος, Ν. Αντωνόπουλος

83. Να λύσετε την εξίσωση :

Ji(x3 +�+ 5χ +-;-) = 25 + 5χ2 + 2. + χ χ χ χ (Επροτάθη από τον καθηγητή Θ ό δ ω ρ ο Μπόλη )

Λ ί> ση (από τ ο ν ίδ ω } Θέτουμε α=5 και η εξίσωση γράφεται

<V L χ3 + -3 + αχ + -2 = α2 + αχ2 +-- + χ ι;; ( 1 α ) α + 2 χ χ χ

που είναι δευτεροβάθμια ως προς α και γράφεται

α2 - [.J2x + .J2 - χ2 _ _!_Jα +'!: + x -.J2x3 - .J2 = 0 χ2 χ χ χ3

Που έχει ρίζες ως προς α τις J2x _ _!_ και χ

Άρα η αρχική εξίσωση αναλύεται στο γινόμενο (s -J2x + � )[s -� + χ' J = o

και έτσι έχουμε να λύσουμε τις δυο εξισώσεις J2x2 - 5x - 1 = 0 και x4 + 5x2 -J2= 0 των οποίων οι ρίζες στο σύνολο C είναι οι: �(sJ2 ± �50 + sJ2) , ±J�( -5 + �25 + 4J2)

Λύσεις επίσης έστειλαν οι συνάδελφοι Γιάννης Σταματογ ιάννης, Δροσιά Αττικής, Ι ω ανν ίδη ς

Αντι•η·ης. Λάρισα και Ρηδόλφος \1 π ό ρ η ς . Δάφνη Αττικής. 84. Δίνεται η συνάρτηση f : R � R για την οποία ισχύει f(x)-e-r<x>=x-1 για κάθε XER και f(R) =R. Να αποδείξετε ότι: α) Για κάθε χ Ε R ισχύει: f(x)>x-1

β) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R γ) f(O) =Ο δ) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο � ε) Η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την 11

στ) Η εξίσωση f(x2-1)=f(-x) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0, 1 ) ζ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο � . (Επροτάθη από το συνάδελφο Σάμπα Θεόδωρο ,

Πάτρα) Λ ίΗ:rη (από το συνάδελφο Τ σαπακίδη Γιι:ίψγο , Αγρίνιο) α) Για κάθε χ Ε � είναι:

f(x)- (χ- 1 )= e-f(x)>O, οπότε f(x) >χ-1 β) Αν η f δεν ήταν γν. αύξουσα, τότε θα υπήρχαν α, β Ε � με α<β ώστε f(α) � f(β) . Τότε : -f(α) � -f(β)<::::>e-f(α):::; e-f(β) <::::> -e-f(α)� -e-f(β)' οπότε f(α) -e-f(α) � f(β) -e-f(β) <::::>α- 1�β- 1<::::>α � β, άτοπο. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. γ) Αν υποθέσουμε ότι f(O):;t: Ο και χωρίς βλάβη της γενικότητας f(O)>O, τότε έχουμε

-f(O) <Ο<::> e-f(O) < e0<::::>-e-f(0)>- 1<::::> <::::>f(O) -e-r<o>>- 1 + f(O) <::::>0- 1>- 1+ f(O) <::::>

<::::>f(O)<O, άτοπο. Άρα f(O) =Ο δ) Η συνάρτηση ως γνησίως μονότονη είναι και « 1 - 1 », οπότε αντιστρέφεται. Θέτουμε y=f(x), οπότε η δοσμένη ισότητα γίνεται

y-e -y=x- 1 <::::>x=y-e -y+ 1 . Άρα Γι (x)=x-e-x+ 1 , χ Ε � . Επειδή η Γι είναι συνεχής στο � , το ίδιο συμβαίνει και με την αντίστροφή της δηλαδή την f. ε) Περιέχεται στο (δ)


Ο Ευκλείδης προτείνει ... Ευκλείδη ... και Διόφαντο

στ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x2- 1 )-f(-x) η οποία είναι συνεχής στο [0, 1 ] και g(O)=f( - 1 )-f(O)=f( - 1 ), g( 1 )=f(O)-f( -1 )=-f( - 1 ), οπότε g(O)g( 1 )=-[f(- 1 )]2<0, διότι f( - 1 ) * f(O)=O Επομένως από το Θ. του Bolzano προκύπτει ότι η g(x)=O έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0, 1 ) ζ) Για κάθε χ Ε IR είναι (tι (x)) '= l + e-x-:FO, οπότε η αντίστροφη συνάρτηση της Γι . δηλ. η f, αντιστρέφεται στο R.

\ ι , σ υ � έστειλαν οι συνάδελφοι Χρ. Κοίφτης. Λάρισα, Γ . Η λιόπουλος . Καλαμάτα, Α. Ι ωαννί

δ η ς . Λάρισα και Ρ. ' l πόρης . Δάφνη Αττικής.

85. Έστω μια συνάρτηση f : IR � IR η οποία είναι παραγωγίσιμη στο IR . Α ν η συνάρτηση f' είναι συνεχής και γνησίως μονότονη και επιπλέον ισχύει lim f { χ) = .e, .e Ε IR να αποδείξετε ότι

Χ-Η-ω

υπάρχει ένα, το πολύ, χ0 Ε IR , ώστε f'(xo)= f(x0).

Επροτάθη από το συνάδελφο Θ. Κ υ ρ ια κόπουλο .\ί;ση από το συνάδελφο Ρ . Μπόρη, Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε ότι fγν. αύξουσα, οπότε η f είναι κυρτή στο R. Θα αποδείξουμε ότι η fδιατηρεί το πρόσημό της σταθερό . Έστω ότι η fαλλάζει πρόσημο. Τότε από τη συνέχει της f προκύπτει ότι υπάρχει ξ Ε IR ώστε f(ξ)>Ο . Με χ ι>ξ έχουμε f(χ ι )> f(ξ)=Ο και επειδή η f είναι κυρτή, η Cr θα είναι "πάνω" από την εφαπτομένη της στο χ ι , οπότε

f(x)> f(χ ι )+ f(χ ι )(χ- χ ι ) για κάθε χ>χ ι . Ισχύει επίσης:

lim [f ( x , ) + f ' ( x , ) ( x - x , )] = +oo χ�+οο οπότε lim f ( χ ) = +οο άτοπο. Άρα η f διατηρεί

Χ -ΗΟΟ

σταθερό πρόσημο. Αν υποθέσουμε ότι f(x)>O, τότε θεωρώντας τυχαίο α Ε IR και εργαζόμενοι όπως προηγουμένως με την εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη α,

ν

καταλήγουμε σε άτοπο. Άρα f(x)<O, οπότε f .J... στο IR . Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση g(x)=f(x)-f(x) είναι γνησίως αύξουσα, οπότε υ-

πάρχει το πολύ ένα χ0 Ε IR ώστε g( Χο)=Ο<::> f ( Xo)=f( Χο).

ΛίJσεις έστειλαν επίσης οι συνάδελφοι Κ αρ αβό

τας Δημήτριος, κ. Αχαίας, ί�Π λ Τh {ιπουλος Γ ι άννης, Καλαμάτα, Μάγκος Θανάσης, Κοζάνη και Ι ωαννίδης Αντώνης, Λάρισα.

86. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύουν αβγ-:FΟ και α+β+γ=αβγ, να αποδείξετε ότι για οποιονδήποτε ακέραιο κ, κ-:10, ισχύει: ακ+βκ+γκ-:FΟ (προτείνεται από τους συναδέλφους Τ. _\ροίJτσα και !\ . Π ανουσά κη . Αθήνα) Λ ίJση από το συνάδελφο Ρ. fVff πόρη. Είναι φανερό ότι η πρόταση ακ+βκ+γκ μπορεί να μηδενίζεται μόνο όταν οι α, β, γ δεν είναι ομόσημοι και κ=2m+ 1 , περιττός. Έστω ότι ο αριθμός γ είναι αρνητικός και Ο<α:::;β . Θέτουμε εφχ=α και εφy=β και εφz=γ με

π π π Ο < χ < - Ο < y < - και - - < z < Ο 2 ' 2 2

Η δοσμένη ισότητα γράφεται

-γ = α+ β � εφ(-z) = εφ(χ + y)� χ + y+ z =λπ, λ Ε Ζ 1 -αβ

Αλλά -2: < χ + y + z < π <=> -2: < λπ < π <=> λ = Ο , 2 2

οπότε -z = χ + y . Αν θέσουμε f(χ)=(εφχym+ Ι+(εφy) zm

+ ι_(εφ(χ+y)) zm+l

αρκεί να δείξουμε ότι f(x)-:FO όταν χ , y Ε (Ο,�) . Είναι:

f'(x) = {2m+1) [εφ2mx_1 __ εφ2m (x+y) 1 ]=

O"UJx O"UJ(x+y)

= {2m+ 1) [ εψ2mΧ + εφ2ιn+2Χ - εψ2m { Χ + y) - εφ2ιn+2 { Χ + y) J Αν m>O και εφ2χ> εφ2(χ+y), τότε f(x)>O στο (Ο,�) και εξαιτίας του γεγονότος ότι lim f ( χ ) = Ο θα είναι f(x)>O στο (ο,2:) χ�Ο 2 • Αν m<O και εφ2χ> εφ2(χ+y), τότε f(x)<O στο

(Ο, �) και εξαιτίας του γεγονότος ότι


Ο Ευκλείδης προτείνει .. . Ευκλείδη ... και Διόφαντο

lim f ( χ ) = Ο θα είναι f(x)<O στο (ο, !:) χ � Ο 2 Επομένως σε κάθε περίπτωση ισχύει f(x):f;O

δηλ. ακ+βκ+γκ:f:Ο Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε αν θεωρή

σουμε ότι οι δυο από τους α, β, γ είναι αρνητικοί και ο ένας θετικός. Λύσεις έστειλαν επίσης οι συνάδελφοι Γ.Τσα

πακίδης, Αγρίνιο, Α . Καλάκος , Κ. Πατήσια, Α . Ι ωαννίδης, Λάρισα, Ρ . ίVΙ π

ο ρ

ής, Δάφνη Αττικής και Χ . \ερμη;όγλου , Δράμα

Οι συνάδελφοι Γ. Σταματογιάννης. Δροσιά Αττικής, Xp. Κού ρτης . Λάρισα, Γ.Τσαπακίδης , Αγρί-

νιο και Ρ. :\1 πόρης . Δάφνη Αττικής 88. Ονομάζουμε S το σύνολο των τριγώνων των οποίων οι κορυφές έχουν ακέραιες συντεταγμένες και είναι όμοια με δοσμένο τρίγωνο. Αν ΑΒΓ είναι το τρίγωνο του S με το ελάχιστο εμβαδόν, να αποδείξετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου δεν έχει ακέραιες συντεταγμένες.

(Επροτάθη από τον Ν . Λ ντωνόπουλο)

Λύση (από τον ίδιο) 87. Σε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα R θεω- Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων ρούμε μια διάμετρο ΑΒ και σημείο Ρ στο εσω- στο οποίο Α = Ο και έστω Β(α,β), Γ(γ,δ) οι άλλες τερικό του. Αν Γ, Δ είναι τα σημεία τομής των ΑΡ, ΒΡ με τον κύκλο και D1 , D2 οι δυνάμεις του σημείου Ο ως προς τους περιγεγραμμένους κύκλους C1, C2 των τριγώνων ΡΒΓ και ΡΑΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: I Dι-D2 1 �2R·OH, όπου Η το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλων Cι , C2.

(Επροτάθη από το συνάδελφο Γ ι ώρ

γο Τ ρ ι άντο)

ΛίJση (Από τον πολιτικό μηχανικό ί\νδρη Ι ω άν

νη . Αθήνα) Αν Η είναι η προβολή του σημείου Ρ στην ΑΒ, τότε το γεγονός ότι τα τετράπλευρα ΗΒΓΡ και ΗΡΒΑ είναι εγγράψιμα, μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το Η θα είναι το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλων C , , Cz.

Έτσι έχουμε : I D ι l =ΟΒ·ΟΗ= R·OH ( 1 ) και I Dz l =ΟΗ·ΟΑ= R·OH (2)

Οπότε I D ι-Dz l � I D ι I + I Dz l � R.OH+R·OH, όπως προκύπτει από τις ( 1 ) και (2) Άρα I D ι-Dz l � 2R-OH Λύσεις έστειλαν επίσης:

κορυφές του και K(x,y) το περίκεντρό του με α, β, γ, δ ε Ζ .

Υ

χ

Β(α,β)

Έστω χ , y ε Ζ , τότε: (ΑΚ)=(ΚΒ) � (ΑΚ)2 = (ΚΒ)2� �χ2+y2=(α- χ)2+(β- y)2�α2+β2=2(αχ+βy), οπότε ο αριθμός α2+β2 είναι άρτιος, που σημαίνει ότι οι αριθμοί α,β είναι ή και οι δυο άρτιοι ή και οι δυο περιττοί. Τότε όμως θα ισχύει α+β, α-β άρτιοι ο-

α + β α - β πότε -- -- ε Ζ 2 ' 2

Ομοίως βρίσκουμε ότι οι γ+δ και γ-δ άρτιοι, οπότε γ + δ γ - δ ε Ζ

2 ' 2 Θεωρούμε τρίγωνο ΑιΒ 1Γ 1 με

Α, = Α, Β, ( α ; β , α ; β} r. ( γ + δ γ - δ ) · I 2 ' 2

Στο τρίγωνο αυτό οι συντεταγμένες των κορυφών του είναι ακέραιες και:

(Α,Β1 )2 =�[( α+β)2 + ( α-β)2 ] =� ( α2 + β2 ) =� (ΑΒ)2

οπότε ΑΒ = J2A,B1

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3178

Ο Ευκλείδης προτείνει ... Ευκλείδη ... και Διόφαντο

Ομοίως ΑΓ = .JiA,Γ, και

(Β,Γ, )2 = � [(α + β - γ - δ)2 + (α - β - γ + δ)2 ] =

= � [( α - γ)2 + (β - δ γ ] = �ΒΓ2

οπότε ΒΓ = .JiB, Γ, Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α 1Β 1Γ 1 είναι όμοια μεταξύ τους με λόγο ομοιότητας J2 οπότε:

(ΑΒΓ) Ι ( )

= 2 � (Α,Β1 Γ1 ) = -(ΑΒΓ) Α ,Β,� 2

που είναι άτοπο διότι υποθέσαμε ότι το ΑΒΓ είναι το τρίγωνο του S με το ελάχιστο εμβαδόν. Άρα το περίκεντρο του τριγώνου δεν έχει ακέραιες συντεταγμένες

Π ΡΟΙΈ Ι :\ Ο Μ Ε Ν ΕΣ A1: K H Σ E i l: l l l . Τα σημεία Αι,Βι,Γι βρίσκονται πάνω στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, Γ Α τριγώνου ΑΒΓ αντίστοιχα, δ ιάφορα των κορυφών του. Αν εί-

ΑΑ ΒΒ ΓΓ ναι --1 = λ, __ ι = μ, __ ι = ν και Ε0 το εμβα-

Α,Β Β 1 Γ Γ1Α

δόν του τριγώνου που ορίζουν τα σημεία τομής των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ ι , ΒΓ ι , Γ Αι ανά δύο , τότε να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε0 συναρτήσει των λ, μ, ν και του εμβαδού Ε του τρ ιγώνου ΑΒΓ.

(Προτείνεται από τον � . Βαδιβούλη , Άρτα)

1 1 2 . Να βρείτε τους μη αρνητικούς ακέραι-ους χ, y, w, ώστε να ισχύει

[2χ + 3Υ + �( 2' + 3y ).�{ w 2 - .JvJt + ι ) = - ι

(Προτείνεται από τον Χρ. Λψφτζόγλου ., Δράμα)

ι ι 3 . Δίνεται κανονικό επτάγωνο ΑΒΓΔΕΖΗ. Αν ονομάσουμε β το κοινό μήκος των μικρότερων και γ το κοινό μήκος των μεγαλυτέρων διαγωνίων του, να δείξετε ότι ο λόγος ..!!_

είναι λύση της εξίσωσης χ3+2χ2-χ-1 = Ο. γ

(Προτείνεται από τον Γ. 1\' ι κητάκη, Σητεία)

ι ι 4 . Για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ και χ,

y, Ζ δίνονται οι σχέσεις α2 + β2 = γ2 και z z z Ν δ 'ξ , , χ + y = z . α απο ει ετε οτι ισχυει (γ + z

} 2 � (α + χ

} 2 + (β + yγ . Πότε ισχύει η

ισότητα; (Προτείνεται από τον 2.: >: • . \ ντuΗ'έu, Σπάρτη)

1 1 5. Στο εσωτερικό ορθογωνίου παραλληλογράμμου ( της περιμέτρου του συμπερ ιλαμβανομένης) με δ ιαστάσεις a= 1 2m, β=8m , θεωρούμε 17 τυχαία σημεία. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τρία από τα 17 αυτά σημεία με εμβαδόν ( ΑΒΓ

} � 6m2 •

(Προτείνεται από τον Λ . Τσ�λιακ\) , Αθήνα)

1 ι6. Ν α αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος m δεν διαιρείται με το 2 ή το 3, τότε ο αριθμός 3 · 2ν+2 διαιρεί τον αριθμό m2' - 1 , για κάθε ν ε Ν * . (Προτείνεται από τον Χημικό \ , �ιφJ3ιλ6, Αθήνα)

Στο προηγούμενο τεύχος του περιοδικού έκανε την εμφάνισή του ο «δαίμονας της αυτόματης αρίθμησης» Βέβαια όσον αφορά στα λυμένα θέματα το κακό είναι μικρό, ωστόσο για να διατηρηθεί η ενιαία αρίθμηση , παρακαλούμε τους φίλους αναγνώστες της στήλης, από τους οποίους ζητάμε συγνώμη για αυτή την αναστάτωση, να aριθμήσουν εκ νέου τις ασκήσεις προς λύση .

Έτσι οι ασκήσεις αυτές θα πρέπει να aριθμηθούν εκ νέου και αντί των αριθμών 89 έως 96 να χρησιμοποιηθεί η ορθή αρίθμηση από ·

1 03 έως 1 1 0 . 2) Στην εκφώνηση της ασκησης 92 (με σω

στή αρίθμηση 1 06) οι αριθμοί χ, y, z κακώς θεωρήθηκαν θετικοί. Το σωστό είναι μη αρνητικοί. Το γεγονός

επεσήμανε εκτός από τον κ. Τσαπακίδη ο συνάδελφος και φίλος Ρ. Μπόρης που πολύ ορθά απέδειξε ότι κα άθροισμα S, δεν έχει μέγιστο με x,y,z θετικά και τον ευχαριστούμε.

Ευχαριστούμε πάλι για την κατανόηση.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3179

Τα Μαθηματικά μας διασκεδάζουν Τα μαθηματικά αν και είναι επιστήμη που απαιτεί αυστηρή διατύπωση, έχουν τη μαγεία να αποσπούν το ενδιαφέρον όλων των ανθρώπων. Επινοήσεις σε προβλήματα ή ασκήσεις με κατάλληλο τρόπο διατυπωμένα εξάπτουν το πνεύμα, διεγείρουν τη φαντασία και κεντρίζουν την περιέργεια. Πρώτοι οι Αρχαίοι Έλληνες όπως ο Δ ιόφαντος, ο Ζήνωνας κ. ά. μας δίδαξαν αυτά τα μαθηματικά. Στη στήλη αυτή θα παρουσιάζουμε θέματα τα οποία δεν απαιτούν ιδιαίτερες μαθηματικές γνώσεις αλλά μας διασκεδάζουν με την εκφώνησή τους ή τη λύση τους και είναι μια ευχάριστη και συναρπαστική ασχολία .

Ο μεταπτυχιακός φοιτητής στους Η/Υ /1{τρος Χριστrί

που).ος μας έγραψε για τη στήλη ένα πάρα πολύ ωραίο πρόβλημα (το δηλητήριο), η λύση του προβλήματος φαίνεται δύσκολη αλλά είναι απλή και εντυπωσιακή .

Το Δηληη)ριο Έχουμε 256 βαρέλια με κρασί αλλά το ένα έχει δηλητήριο . Ένας χημικός έλεγχος, μας δίνει την πληροφορία αν ένα δείγμα έχει δηλητήριο ή όχι. Θέλουμε να βρούμε , με τον ελάχιστο αριθμό ελέγχων ποιο βαρέλι έχει το δηλητήριο . 1 ) Πόσους ελέγχους θα κάνουμε ; 2) Α ν θέλουμε και την ποσότητα δηλητηρίου που έχει το δείγμα πόσοι έλεγχοι χρειάζονται;

Τώρα που είπαμε δηλητήριο μην ξεχάσω να σας πω για μια πάρα πολύ ωραία θεατρική παράσταση «η 1 7'1 νύχτα» του Απόστολου Δοξιάδη στο θέατρο «ΑΝΕΣIΣ». Το θεατρικό έργο έχει να κάνει με το θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ. Ο Συνάδελφος Κώστας Βακαλόπουλος έγραψε για τη στήλη : « Από μια μαθήτριά μου δέχτηκα δώρο ένα βιβλίο. Όταν το διάβασα ενθουσιάστηκα από τις ωραίες και ενδιαφέρουσες ιστορίες του. τίτλος του βιβλίου Ο ΑΝΘΡΩΠΟΣ ΠΟΥ ΜΕΤΡΟΥΣΕ (μια συλλογή από μαθηματικές περιπέτειες για νεαρούς αναγνώστες) του Βραζιλιάνου συγγραφέα Malba Tahan». Οι ιστορίες του θυμίζουν Χίλιες και μία νύχτες. Το βιβλίο είναι συναρπαστικό και απολαυστικό συγχρόνως. Μπορεί να το διαβάσει ευχάριστα ο καθένας, είτε είναι

Επιμέλεια : Παναγιώτης Χριστόπουλος

μαθητής είτε είναι δάσκαλος. Όλες οι ιστορίες είναι γραμμένες σε μυθιστορηματική αφήγηση .

Ένα απόσπασμα του βιβλίου: Η προσφορά που έκανε ο χαλίφης αλ Μουτασίμ στονΜπέρεμιζ, στον Άνθρωπο που μετρούσε.

Μια μέρα που ο Μπέρεμιζ έδωσε λύση σε ένα πρόβλημα, ο Χαλίφης του είπε ότι μπορεί να ζητήσει όσα πλούτη θέλει. Τότε αυτός ζήτησε να παντρευτεί την κόρη του σεΊχη Γεζίντ, Τελασίμ. «Δεν υπάρχουν μάγια για να κερδίσεις την καρδιά μιας γυναίκας.» Όμως «Μπέρεμιζ, του είπε ο σέtχης, δεν θα αντιτεθώ στο γάμο σου με την όμορφη κόρη μου Τελασίμ αν λύσεις σωστά το εξής πρόβλημα: Έχω στην υπηρεσία μου 5 όμορφες σκλάβες που μου προσφέρθηκαν από έναν πρίγκιπα της Μογγολίας. Δύο έχουν μαύρα μάτια , οι άλλες τρεις γαλανά. Οι μαυρομάτες λένε πάντα την αλήθεια ενώ οι άλλες πάντα λένε ψέματα. Σε λίγο θα έρθουν εδώ αλλά έχουν καλυμμένα τα πρόσωπα με πέπλο και δεν φαίνονται τα μάτια τους. Πρέπει να ανακαλύψεις ποιες έχουν μάτια μαύρα και ποιες γαλανά. Μπορείς να υποβάλεις στις τρεις από τις σκλάβες μια μόνο ερώτηση σε καθεμιά. Αν απαντήσεις σωστά θα παντρευτείς την Τελασίμ. » Άραγε παντρεύτηκε την όμορφη Τελασίμ; Άλλα βιβλία που είναι στο πνεύμα της στήλης «τα μαθηματικά μας διασκεδάζουν» είναι: Διασκεδαστικά Μαθηματικά, Yakoν Perelman. Σκέψου έναν αριθμό, Johnny Ball. Το πανηγύρι των Μα

θηματικών, Martin Gardner. Ο Σατανάς, ο Cantor και το άπειρο, Raymond Smullyan . Μηδέν, ΝΤΕΝΙ ΓΚΕΤΖ. Το κοτόπουλο από το ΜΙΝΣΚ, Chemyak & Rose. Αιχμάλωτος των μαθηματικών, Rebecca Goldstein. Την κυρία ή την τίγρη, Raymont Smullyan. Ακόμα θα σας πρότεινα να επισκεφθείτε την διεύθυνση της ΕΜΕ www.hms.gr καθώς και την διεύθυνση www.thalesandfriends.org.gr.

Δ ιάλογος. Το δεκαέξι λεει στο δεκατρία: Θέλω να αποτίσω φόρο τιμής στη φιλία μας. Το δεκατρία απαντά: Ευχαριστώ καλέ μου φίλε για την καλοσύνη σου θα την ξεπληρώσω με το ίδιο νόμισμα.


Τα Μαθηματικά μας Διασκεδάζουν

Άραγε τι το ιδιαίτερο έχουν αυτοί οι αριθμοί; Απλά είναι τετράγωνοι φίλοι αριθμοί. Το τετράγωνο του 16 είναι 256 που 2+5+6=13. Το τετράγωνο το 13 είναι 1 69 που 1 +6+9=1 6. Το επιτάφιο επίγραμμα του Δ ιόφαντου.

Πέρασε το ένα έκτο της ζωής του ως παιδί και το ένα δωδέκατο ως έφηβος. Έμεινε παντρεμένος χωρίς παιδί για το ένα έβδομο της ζωής του. Πέντε χρόνια αργότερα απέκτησε ένα γιο. Ο γιος του πέθανε όταν έφτασε στο μισό της ηλικίας του πατέρα του. Ο Διόφαντος έζησε τέσσερα ακόμα χρόνια, πνίγοντας τον πόνο του στη μελέτη των αριθμών, και ύστερα πέθανε. Σε ποια ηλικία πέθανε; Η βρύση Μια χαλασμένη βρύση στάζει μία σταγόνα κάθε δύο λεπτά. Οι 575 σταγόνες είναι το 1 / 1 0 του λίτρου. Πόσο νερό θα χαθεί σε ένα μήνα. Ο μαθητής Ένας μαθητής το καλοκαίρι πήγε στη Ρόδο για δουλειά και συμφώνησε να δουλέψει 2 μήνες για 1440 Ευρώ_και ένα ποδήλατο. Ύστερα από 35 μέρες συνέβη κάτι και έφυγε αφού πήρε 300 Ευρώ και το ποδήλατο. Ποια ήταν η αξία του ποδηλάτου; Το τραμ Ένας πεζός βαδίζει με 6 χιλιόμετρα την ώρα και

"'" ακολουθεί τις γραμμές του τραμ από Σύνταγμα προς Γλυφάδα. Στα δύο χιλιόμετρα τον προσπερνά ένα τραμ που ξεκίνησε από το Σύνταγμα 1 Ο λεπτά αργότερα. Αφού βάδισε 1 1 και 1 /3 χιλιόμετρα ακόμα συναντήθηκε για δεύτερη φορά με το τραμ που επέστρεφε από τη Γλυφάδα. Α ν το τραμ

έμεινε στη Γλυφάδα 1 Ο λεπτά ποιο είναι το μήκος της γραμμής του τραμ(Σύνταγμα - Γλυφάδα) ; Ο φύλακας Ένας φύλακας κάθετε στο κέντρο της φυλακής και παρακολουθεί τους φυλακισμένους στα 8 κελιά, τα οποία επικοινωνούν μεταξύ τους, με τον εξής τρό-πο :

και κάθετε ήσυχος. Είναι σωστός ο συλλογισμός του; Πόσοι είναι οι κρατούμενοι; Ξέρετε ότι: 1 3 + 2 3 + 3 3 = ( 1 +2+3) 2

Ο θ ' 3 7 1 = 3 3 +7 3 + 1 3 και 407=4 3 +0 3 +7 3

Οι αριθμοί Α) Ποια είναι τα δυο τελευταία ψηφία

θ ' 2 70 του αρυ μου ; Β) Ο αριθμός Χ είναι παράγο

ντας του αριθμού 926 1 000. Δεν διαιρείται με τους 50, 270, 686, 1 764 αλλά διαιρείται με 1 0, 90, 98 και 882 . Ποιος είναι ο αριθμός Χ;

Κύκλοι με ίδιο μήκους Κυλάμε τον δακτύλιο στο τραπέζι μέχρι που το σημείο Α να ξαναβρεθεί στο τραπέζι στο σημείο Β . Οι 2 κύκλοι του δακτυλίου έχουν το ίδιο μήκος; Δηλαδή ΑΑ' = ΒΒ ' ;

($)------- ------ -=---- r�· Α'

Α ινίγματα 1 ) Βρίσκεται σε χώρο κλειστό που έχει δέκα πόρ

τες. Όταν ανοίξει μια από αυτές, οι άλλες πόρτες κλείνουν, όταν ανοίγουν οι 9, μένει κλειστή η μία. Τι είναι;

2) Ποια περιοχή είδε τον ήλιο μόνο μια φορά; 3 ) Όσο ήταν ζωντανό, έμενε ακίνητο, όταν του

έκοψαν το κεφάλι, κινήθηκε. Τι είναι; Τα αινίγματα αυτά λέγεται ότι τα έθεσε στο σοφό Σολομώντα πριν 3000 χρόνια η Βασίλισσα Βαλκίς του βασιλείου Σαβά (σημερινή Υεμένη) και στη συνέχεια του πρόσφερε αμύθητους θησαυρούς.

ι/ πω•τιίσειc: στα 0/:ματα το υ 2'"' Τ;:ι!ιιι ιι;:; �: Στο iii) θέλει διόρθωση των 3 τελευταίων να γίνει πρώτων και των 2 πρώτων τελευταίων.

Το Πρόβλημα δίνει δύο λύσεις ΓΛΑ ΥΞ και ΘΖΑ ΥΞ άρα το πουλί είναι η ΓΛΑ ΥΞ (κουκουβάγια). Το ποδήλατοΥπάρχει απάτη διότι οι αγοραστές των κουπονιών αυξάνουν με Γεωμετρική Πρόοδο. Άρα ύστερα από λίγες μέρες δεν θα βρίσκονται άλλοι παίκτες και οι τελευταίοι θα χάσουν τα λεφτά τους. Η ηλικία του παιδιού Ο καθηγητής είναι 49 ετών και ο γιος του 28 . Τα πουλιά Καναρίνια 6 επί 2/3 Ευρώ, Παπαγάλοι 2 επί l /3 Ευρώ και Περιστέρια 1 8 επί 4/3 Ευρώ. Το πρόβλημα έχει και άλλες λύσεις. Το παιχνίδι με τα νομίσματα Αυτό λέγεται πύργος του Anoi . Α: 2 ι ο,5 0 ,2 ο, ι '"' ο, ι ο ,2 ο, ι ο, ι 0,5 ο ,2 ο, ι ο, ι Β: ο,2 ο, ι ι ο, ι o,s ο,2 ο, ι ο, ι 0,2 ο, ι Γ: ο, ι ο,5 ο,2 ο, ι ο, ι 2 ο,2 ο, ι ι ο, ι ο,5 ο,2 ο, ι Ο Πολλαπλασιασμός

4 ι 5 3 8 2

8 3 0 3 3 2 0

ι 2 4 5

ι 5 8 5 3 0 Ο πύργος του Αϊφελ

Οι Π ίθηκοι

χ 2 Χ-( - ) = 1 2 και Χ= 1 6

8

ή Χ= 48 .

Ο λόγος των όγκων( άρα και του βάρους) ομοίων ( σωμάτων) σχημάτων ισούται με τον κύβο του λόγου των

. (

300 )

3 20

3 8000tn υψων τους. - = = -- .

1 5 ltn

Άρα ζυγίζει 1 τόνο.


από r ιs ε κδόσε ιs «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

Γιώργος Μ. Μιχαηλίδης

ΜΑθΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΟΜΟΣ Β' θετική - Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

• θεω{!ία • Μεθοδολογία

8 Παρατηρήσει; - Σχόλια 8 Λυμένα ΙlαQαδείγματα

8 ΕQωηiσεις Καταν6ησης • Ασκήσεις: - θέματα

ΔιοΦΑΝΤΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Ευκλειδης Β 63

Documents

Transcript of Ευκλειδης Β 63