Тема. Обернена пропорційність. Функція у = , її графік та властивості

Мета: формувати уявлення про обернену пропорційність як функцію,

навчити будувати її графік, дослідити властивості оберненої

пропорційності, порівняти їх з прямою пропорційністю; розвивати вміння

i навички знаходження області визначення та області значень функції,

логічне мислення та інформаційні компетенції: вміння знаходити,

осмислювати та аналізувати інформацію; виховувати інтерес до

математики, старанність i працьовитість.

Тип уроку:формування вмінь та навичок.

Обладнання: презентація, мультимедійний проектор, комп’ютери,

програмне забезпечення «Microsoft Office Excel», опорні конспекти з теми

«Функція у = », порівняльна таблиця.

ХІД УРОКУ

I. Вступ. Мотивація навчальної діяльності

На попередньому уроці ми закріплювали вміння i навички побудови та

дослідження властивостей лінійної функції та її окремого виду — прямої

пропорційності.

Як ми можемо спостерігати, у природі більшістьпроцесів та явищпарні.

Давайте разом згадаємо такі природні пари. Наприклад, заряди існують

позитивні i ... (негативні), є молодість i ... (старість), життя i ... (смерть),

холод i ... (тепло), миттєвість i ... (вічність), світло i... (темрява) i т. д.

У прямої пропорційності є теж свій, так би мовити, антипод – це обернена

пропорційність.

На цьому уроці ми розглянемо обернену пропорційність як функцію,

побудуємо її графік, дослідимо її властивості та порівняємо їх з

властивостями прямої пропорційності.

II. Актуалізація опорних знань

Спочатку пригадаємо, що ми знаємо про пряму та обернену

пропорційність нарівні понять.

1. Що називається прямою пропорційністю?

Залежність між двома величинами, за якої вони одночасно збільшуються

або зменшуються.

2. Що називається оберненою пропорційністю?

Залежність між двома величинами, за якої зі збільшенням однієї величини

зменшується інша, i навпаки.

3. Визначте вид залежності:

1) довжина сторони квадрата i його периметр;

2) обсяг виконаного домашнього завдання i отримана оцінка;

3) змарнований час i обсяг виконаної роботи;

4) оцінки в щоденнику i радість батьків.

Розглянемо прояви оберненої пропорційності у явищах природи та

галузях людської діяльності. Цим ми ще раз підтвердимо слова Г. Галілея:

«Природа формулює свої закони мовою математики».

Цей вислів можна вважати епіграфом нашого уроку.

А зараз прослухаємо звіт учнів про виконану пошукову роботу

(виконуючи роботу, вони звертались за рекомендаціями до «Довідника

школяра»)

1. Обернена пропорційність у біології:

У біології можна знайти багато прикладів оберненопропорційних залежностей:

Наприклад, чисельність особин певного виду на деякій території i кількість

корму, розміри тварин та їхня рухливість (наприклад, порівняємо ящірку i

варана, слона та мишку); розміри тварин та їх плодючість (маленькі тварини

дають більше потомства, ніж великі)| діаметр кровоносних судин і тиск крові

(із звуженням судин тиск крові збільшується).

2. Обернена пропорційність у фізиці:

1) Залежність тиску від площі поверхні

Ця залежність описується графіком p =

Тиск, який чинить тіло на деяку поверхню,

обернено пропорційний до площі цієї поверхні.

За графіком бачимо, що із збільшенням площі

поверхнізменшується тиск на неї, i навпаки.

Наприклад, людині важко йти по пухкому

снігу, вона провалюється на кожному кроці.

Але на лижах можна йти по снігу, майже не провалюючись у нього. Сила, з

якою людина діє на сніг, в обох випадках однакова, проте різна площа

поверхні на яку тисне людина на лижах i без них.

Леза різальних івістря колючих інструментів(ножів, ножиць, різців, пилок,

голок тощо) добре загострюють. Гостре лезо має маленьку площу, тому

навіть від малої сили створюється великий тиск,ітаким інструментом легко

працювати.

2) Залежність атмосферного тиску від висоти над поверхнею землі

Із збільшенням висоти над рівнем моря зменшуються тиск і температура

повітря.

Таке зменшення відбувається поступово:

Залежність атмосферного тиску від

висоти над поверхнею землі вперше

відкрив Блез Паскаль. Група його учнів

піднялась на гору То – де – Дом

(Франція) і виявила, що на вершині гори стовп ртуті на 7,5 см коротший ніж

біля її підніжжя.

3) Залежність між швидкістю і часом

Певну відстань із більшою швидкістю можна

проїхати за менший час, за умови зменшення

швидкості їхати доведеться довше. Отже,

швидкість i час обернено пропорційні

величини.

4) Закон Ома для ділянки кола

Сила струму на ділянці кола прямо пропорційна

напрузі на кінцях цієї ділянки i обернено

пропорційна її опору (закон Ома для ділянки

кола).

3.Обернена пропорційність в економіці

В економіці прикладом оберненої пропорційності є

закон попиту: якщо ціна якогось товару

підвищується i при цьому решта умов залишається

незмінними, попитом буде користуватися менша

кількість цього товару.

ІІІ. Формування вмінь i навичок

Узагальнивши всі формули, можна записати формулу

оберненоїпропорційності:у = , де – сталий коефіцієнт, у– залежна

величина (значення функції), х– аргумент функції.

1. № 340(усно)

2. Побудуємо графік функції у =

х – 6 –3 –2 –1 1 2 3 6

у –1 –2 –3 –6 6 3 2 1

Висновок: - область визначення функції складається з усіх чисел, крім 0;

- область значень функції складається з усіх чисел, крім 0

- графік функції називається гіпербола, вітки якої розміщені в І і ІІІ

координатних чвертях, якщо > 0, і в ІІ та ІV, якщо < 0.

- вітки гіперболи необмежено наближаються до осей координат.

Графік оберненої пропорційності називається гіперболою. Де ще ви

зустрічалися з таким терміном? Що він означає?

3. Побудуємо графік функції у =– . (№ 347)

(група учнів будує графік за комп’ютерами)

х – 8 –4 –2 –1 1 2 4 8

у 1 2 4 8 –8 –4 – 2 – 1

4. Графічний метод розв’язування рівнянь.

За допомогою графіків функцій можна розв’язувати рівняння, які аналітично

розв’язати важко. Розв’яжемо рівняння = 2х. Для цього побудуємо графіки

функцій у = та у = 2х в одній системі координат. (Відповідь: х =–2; х = 2)

Отже, щойно ми розглянули один з видів практичного застосування даної теми.

ІV. Підсумок уроку

Аналізуючи побудовані графіки, заповнюємо таблицю:

Порівняльна таблиця графіків прямої та оберненої пропорційності

Характеристикафункції

Пряма пропорційність Обернена пропорційність

Формула у = х у = Область визначення всі числа х ≠ 0

Область значень всі числа у ≠ 0Графік пряма гіпербола

> 0 І і ІІІ чверть, зростає І і ІІІ чверть, спадає

< 0 ІІ і ІV чверть, спадає ІІ і ІV чверть, зростає

Перетин з осями координат

перетинає не перетинає

V. Домашнє завдання

§12, вивчити властивості графіка функції, № 344, 348, 359(3)