حل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلات...

المملكة العربية السعودية

وزارة التعليم العالي

جامعة الطائف

إدارة النشر العلمي

املعادالت التفاضلية

النظرية والتطبيق

الدكتور

بخيت نفيع المطرفي

الدكتور

عبد هللا عبد هللا موسى

الطبعة األولى م 2132 -هـ3311

النظرية والتطبيق : المعادالت التفاضلية بخيت نفيع مرزوق المطرفي. د عبد اهلل عبد اهلل محمد موسى. د

حقوق النشر محفوظة لجامعة الطائف©

الحوية -جامعة الطائف 47912 :رمز بريدي

المملكة العربية السعودية

هـ7211جامعة الطائف ( ح) فهرسة مكتبة الملك فهد الوطنية أثناء النشر

المطرفي، بخيت نفيع مرزوقـــة والتطبيـــق: المعـــادالت التفاضـــلية ـــع مـــرزوق المطرفـــي، /. النظري بخيـــت نفي هـ7211الطائف، -عبد اهلل عبد اهلل موسى

س42×71ص، 190 913-601-3061-99-6: ردمك

(مؤلف مشارك)عبداهلل موسى، عبداهلل . المعادالت التفاضلية أ العنوان -ب

2139/7211 565ديوي 2139/7211: رقم اإليداع

913-601-3061-99-6: ردمك النحيف مجدي حسين/التصميم المعلوماتي والجرافيكي د

م4074/ه7211: الطبعة األولى

المقدمة

___________________________________________________________ -هـ -

مقدمــــــــة والصــ و والســ م علــى خيــر خلــق ، الحمــد هلل رب العــالمين، بســم اهلل الــرحمن الــرحيمالرســوا الصــادق الوعــد األمــين صــلى اهلل عليــ وعلــى لــ ، اهلل أجمعــين محمــد بــن عبــد اهلل

أما بعد .. وصحب أجمعين

فهــ ا هــو أحــد المؤلفــات فــي سلســلة مؤلفــات عربيــة نســما اهلل أن يوف نــا إلكمالهــا وهــو لاـــة ال ـــر ن .. الانيـــة فـــي ألفاظهـــا مفرداتهـــامؤلـــف بلاتنـــا العربيـــة ، تلـــك اللاـــة الثريـــة فـــي

وأننــا ا ا ن ــدم هــ ا الجهــد المتواضــع الــ ي نضــيف الــى مــا . الكــريم، لاــة العــرب ولاــة العلــمبيــة فــي علــم الرياضــيات البــد أن نــ كر أن هــ ا الكتــاب ال يــزاحم أقرانــ فــى كتــب باللاــة العر نما يضيف اليهم أفكارا جديدو ومتطورو، فعلى الـرمم مـن وجـود العديـد مـن ، ه ا المضمار وا

الكتب العربية عن موضوع ه ا المؤلف اال أننا نحسب ه ا الكتـاب قـد يسـد بعـق ال صـور التـي لـم يـتم تناولهـا األخـر معالجـة بعـق المواضـيع الموجود في بعق المواضيع وكـ لك

.باإلضافة الى ثرائ باألمثلة المتنوعة التي تطرح العديد من األفكار

صورت ه ه والتـي نظنهـا ناقصـة وتفت ـر الـى الكمـاا والكمـاا فيوب لك ظهر الكتاب ا الكتــاب اال ومـا هـ . فـي وضـع فـي صــورو الئ ـة واجتهــدناوحسـبنا أننـا حاولنـا .. هلل وحـده

ثمـــرو جهـــد دؤوب وعمـــا متواصـــا مـــن التحصـــيا والتـــدريس والبحـــ طيلـــة ســـنوات عـــدو المعــادالت التفاضــلية العاديــة، وهــ ا الكتــاب فــيللمــؤلفين، ويدعــد هــ ا الكتــاب مرجعــا هامــا

موجـــ اساســـا لطـــ ب المراحـــا المتوســـطة والمتـــمخرو مـــن كليـــات الهندســـة والمعاهـــد الفنيـــة . أن يتج أيضا لط ب العلوم التطبي ية األخر من رياضيات وفيزيـاء وكيميـاءكما . العليا

تصــلم منهاجــا لطــ ب الدراســات العليــا فــى أنكــ لك يتضــمن الكتــاب أجــزاء كثيــرو يمكــن ول ـد راعينـا أن تكـون . التخصصات الهندسية المختلفـة وكـ لك تخصصـات العلـوم التطبي يـة

ـــ ـــة بطري ـــي معالجـــة المســـائا العلمي ـــم تنت ـــا ال ـــدأ بالصـــيامة والنم جـــة ث ـــة تب ة رتيبـــة منهجيبتفســــير النتـــائل ومحاولـــة اعطائهـــا التفســـير الهندســــي تنتهـــياإلجـــراءات والحـــا ثـــم أخيـــرا

والفيزيائي

الكتاب بعرق لمفهوم المعادالت التفاضلية وتبسـيط كـا المفـاهيم الخاصـة بهـا يبتدئفـى األبـواب الثـاني والثالـ . يقمن خ ا تحليا بسيط وتتابع ش، لها ال ارئومحاولة ج ب

المقدمة

___________________________________________________________ -وـ -

وكـــ لك الرتـــب ، والرابـــع تـــم ت ـــديم المعـــادالت التفاضـــلية مـــن الرتبـــة األولـــى والدرجـــة األولـــىالعليــا وأيضــا المعــادالت التفاضــلية مــن الــدرجات العليــا وطــرق حلهــا مــع ت ــديم العديــد مــن

حليــا ومحاكــاو نظــم التطبي ــات الفيزيائيــة والهندســية لجعــا المحتــو أكثــر تشــوي ا وأقــرب لتبالعديــد األبــوابهندســية ومشــاكا واقعيــة عــن كونــ أداو لحــا مســائا رياضــية ، و يلنــا تلــك

. من التمارين العامة المتنوعة

وقـــد أع ـــب لـــك البـــاب الخـــامس وفيـــ تـــم دراســـة حـــا المعـــادالت التفاضـــلية بـــالطرق ، وتـم فـي البـاب السـادس ، و لك عوضا عن حلها تحليليـا (استخدام المتسلس ت ) الت ريبية

دراســة حــا المعــادالت التفاضــلية عــدديا و لــك حــين يصــعب ايجــاد حــا تحليلــي لهــا، وتــم مـن خـ ا عمـا بـرامل لحـا المعـادالت التفاضـلية MATLAB" المـات ب"توظيف برنامل و يـا هـ ان ، لتوقيع تلك الحلوا بيانيا، وتـم سـرد العديـد مـن الطـرق استخدام عدديا وك لك

و فـي البـاب السـابع واألخيـر تـم ت ـديم تحويـا . لبابان بالعديد من التمـارين العامـة المتنوعـةاالبــ س لمــا لــ مــن أهميــة بالاــة فــي حــا المعــادالت التفاضــلية، حيــ يعــد تحويــا البــ س من أقو األدوات المسـتخدمة لحـا المعـادالت التفاضـلية الخطيـة، وتـم تـ ييا البـاب بالعديـد

.العامة المتنوعةمن التمارين

، ولـيس MATLAB" المـات ب"وختمنا الكتاب بملحق يحتوي على مرشد وجيـز فـي ه ا سو مرشد لينير بداية الطريق بحيـ يـر الباحـ درجـات السـلم التـي البـد أن يرت يهـا ليصا الى حي يريد، ونرجو أن يكون ه ا الكتاب فاتحة لسلسلة مـن المؤلفـات التـي نسـما

ثراء للمعرفة اهلل تعالى .أن يساعدنا على انجازها خدمة للعلم وا

.وهو ولي التوفيق.....واهلل تعالى من وراء ال صد

المؤلفان هـ7211محرم –الطائف

الخامس الباب

حل املعادالت التفاضلية باستخدام املتسلسالت الالنهائية

الباب الخامس

___________________________________________________

-201-

مقدمة فيياألبواييابسألبقةييداناألطييا دألصةطييداأل دليياألبعضييداألادييااألقيياليألبقلييدا ألبق د ييدعاألذب أللييع األايياالألليياألبقلييدا ألبق د ييدعاألذب ألبقلييدو ألبقلدا يياأل األلييدا ألع يي أل

اةغي ألذقيييألقييعاألي ألبقةييهاألايياأل يياأل.ألبقيي ألأل...ب ألليدو أللدا يياأل ا ييةذألذإقيي ألأل ااعدهيدألقييذقيأل ايياأليي أل.ألبقلييدا ألبق د ييدعاألاييدقصةبألبقةييداناألا يي ألاقيياأل د يي أليي ألبقة ايياألبواقيي

افيياأل ييذبألبقاييدسألةيي لةيألأل.بقااييعأل يي ألصييةبأل ييةذألبعضييداألادييااألاليييأل ييذ ألبقلييدا األبقليدا ألبق د يدعاأل دي أل ع ياألألقااألبقليدا ألبق د يدعاألايدقصةبألبق نةعاعياألاعيعألعي ألاي

اةافأل نا ألااةبةياألبقلداقياألبق د يدعاألبق ضد ةياألبق صعياألذب ألبقة اياألأل، ةدةو أل هد عاألبقلد عاألابق األ د ألبقلاةلأل

( ) ( ) 0 y p x y q x y (1.5)أل أل------------------- ألذاصةعنييييياأل ةدةيييييو ألبقنييييياأل (Taylor)اعيييييعألعنيييييا أل يييييذبألبقايييييدسألصةعنييييياأل عدييييياة

(Power series) األصةعنياألفيةااع عا (Forbenius)قاياألبقليدا ألبق د يدعاألفياأللياةلألألابآل ألاطااألبقاايألفاأل ديألبقصةبألةيافأل يدطبألالييألبق يد ع ألبقهدياألأل، ةدةداأل هد عا

.أل دألعدا

)عنيداألقدابقياأل:ألأل( Analytic)بقابقياألبق ادعدعياأل( :5-1)تعريف )f xبقياأل ادعدعياأل يياأل هيدألا)بقابقياألإقي ألأل نيدةسألاعأل0xاألطاذألااادقهدأل ايأل ةدةأل،ألبذبأل د 0xبق نصا )f xفياألبق يةلأل)،ألال أل 0xاضابة )f x0ابقاأل ادعدعاأل اxألإذبأل د ألأل

0

0

( ) ( )

n

n

n

f x a x xأل

)ا نيدةسألقدابقيا )f x0ق ياأل x x r0اعيعألإ ألrعةي أل ليفألطصيةألبق نييدةسألأل(radius of convergenceأل)اصاندألقهيذألبق لةعيفألفيا ألبقياابا,sin ,cosaxe bx bxل ايةألألألأل

,اعيعألأل، نصاأل د أل صألب اباأل ي ادعدعاأل األألااب األ ,a b cا ل ايةألبقيااباألأل،لاباي ألانعنعياأل ييابألبق نييدصأل)أل ادعدعيياأل يياأل يياألبق نييدصألاعييعأل ييا ألبقابقيياأللةفيياألألااب األأل(Rational)بق ةييةعاأل

قلداألفيا ألبقابقياألا د ألةاعاألب(ألبق األ ا أل ا دألبقابقاألغعةأللةفاألx

يا ألابقياأل ادعدعياألأل1

أل.0xااة ل دءأل األ األ ندصأل صألب ابا

حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية

___________________________________________________________

-202-

اطايييياألبق ييييايألفيييياألاةبةيييياألبق ةدةييييو ألةييييافأل ييييذ ةألةيييياعدألإايييياذأل ييييهةأل يييياب أل،ألاعيعألبق ةدةو ألبق األطاأل ي ألاةبةي هدألا ياأل يايألذب ألبقاياع ألقيااألبقةيدقسأل األقد ةية

ألع ا ألبق ايأل ادةلأل أل ةدةداأل هد عاأل دأل األا حألأل

1 2 3

0

1 1 1.....n n

n

y y y y y

أل

ق نصييياب:ألألordinary))بق نصييياألبقلداعييياألأل(:5-2)تعريففف 0xةييي أل نصييياأل داعييياألقدلداقييياألأل

)بذبأل د أل األ أل(أل1.5)بق د دعاأل ), ( )p x q x0دعاأل األ ادعألااب األxألفياألايع ألبذبأل د ي أل،) دييي ألب طييياألابقييياألابايييالألييي ), ( )p x q x0غعيييةأل ادعدعييياألفيييا ألبق نصييياxةييي أل نصييياأل يييدذلألأل

(Singularأل)أل(.1.5)قدلداقاأل

أل عاأل ندصأل دذلأل أل أل؟ األقدلدا ألبق د دعاألبآلأل( :5-1)مثال2 2

, (1 ) 0 (1 ) 2 (1 ) 0 xy x y e y x y xy x x yألألاألييييييييييبقا

1)بقلداقييييياألبق د يييييدعاأل ) 0 xy x y e yقيييييعاألقهيييييدأل نيييييدصأل يييييدذلألاذقييييييأل ألألأل( ) 1 , ( ) xp x x q x eأل.ألا دألابق د أل ادعدع د أل األ األ ندصأل صألب ابا

ق لييياحألأل(أل1.5) يييدألادق ةيييااألقدلداقييياألبق د يييدعاألبقلد عييياألف نيييا ألاا يييلهدأل دييي ألبقلييياةلأل

2

20

(1 )

xy y xy

x1ا د ألذقيألفدهدأل نص د أل يدذ د أل ياأل xاذقييأل ألبقابقياألألأل

2

2

(1 )

x

x . األابقاألغعةأل ادعدعاأل األ ديألبق ندصأل

ةيي أل نصيياألأل0xبق نصييا:(ألRegular singular)بق نصيياألبق ييدذلألبق يياألأل(:5-3)تعريفف

بذبأل د يي أل نصيياأل ييدذلألقدلداقيياألبق د ييدعاألا د يي ألأل(أل1.5) ييدذلأل يياألقدلداقيياألبق د ييدعاألألبقااباأل

2

0 0( ) ( ) ( ), ( ) ( - ) ( ) P x x x p x Q x x x q xألأل.أل0x األااباأل ادعدعاأل األبق نصا

اباييالأل ديي ألب طيياأليي ألألفيياألاييع أل ةيي أل ييذ ألبق نصيياأل نصيياأل ييدذلألغعييةأل يياألبذبألاضيياألابقييا2بقاابا

0 0( ) ( ) ( ), ( ) ( - ) ( )P x x x p x Q x x x q x 0قعة أل ادعدعاأل األبق نصاألx.أل


___________________________________________________

-203-

أل اضاألال فألبق ندصألبق دذلألقدلدا ألبق د دعاألبآل عاأل( :5-2)مثال 2 2

2

3

0 ,

(1- ) (1 ) 0,

( 1) 0

x y xy x y

x y y x x y

x y xy x y

أل

ألبقاييييييييا 2دلداقاألبق د دعاادق ةااألقأل ا األ 2 0 x y xy x y2انة هدأل د ألxأل الاأل د ألأل

10 y y y

xأل

1ا هييييييدأل( ) , ( ) 1 p x q x

x1ااعييييييعأل ،ألأل

( ) p xx

0xغعييييييةأل ادعدعيييييياأل يييييياأل أل

)ابقابقا ) 1q x0بق ندصألااهذبألفد ألبق نصاأل ادعدعاأل األ األxأل. األ نصاأل دذلألأل ألأل اةسأل واألأل0xقلةفاأل ا ألبق نصاألبق دذلأل األ

2 2( ) ( 0) ( ) 1, ( ) ( -0) ( ) P x x p x Q x x q x xألألا ل اةأل نصاأل دذلأل ألأل0x وأل هدألابقاأل ادعدعاألفا ألبق نصااععألإ ألألاأل 1)2ادق ةااألقدلداقاألبق د دعاألأللد عداأل- ) (1 ) 0 x y y x x yانة هدأل د أل

2(1- )xأل الاأل د ألأل

2

10

(1 ) (1 )

xy y y

x xأل

1 يييدألألااهيييذبألفدهيييدأل نص يييد أل يييدذ د xقلةفييياأل يييا ألبق نصييياألبق يييدذلأل ييياألبق نصييياألأل،أل1xأل ألأل اةسأل واألأل

21( ) ( 1) ( ) , ( ) ( -1) ( ) ( 1)

1

P x x p x Q x x q x x x

xأل

األأل، ياأل نصياأل يدذلأل ياأل1xفيا ألبق نصياأل1x ياألابق د أل ادعدع د هدألإااععأل1ادقلاألقد نصاأل xألفهاأل نصاأل دذلأل األ

ألقدلداقا ألادق ةاا 3أللدقلد ( 1) 0 x y xy x yأل د أل أل د أل3xانة هد الا

2 3

1 ( 1)0

xy y y

x xأل ألأل ألبق نصا ألفا ألغعةأل0xا دعه أل دذل أل نصا ا

1 األاةاسأل ا ألبقابقاأل( ) ( 0) ( ) P x x p x

xأل.أل0xغعةأل ادعدعاأل األ


___________________________________________________________

-204-

(Legendre)بقلداقاألبق د دعاألبق دقعاأل لفأللداقاألقعض اةألأل( :5-3)مثال 2(1 ) 2 ( 1) 0x y xy y أل

أل ا أللدا عع أل. ألبق نصا أل 0xاع ألا أل ألبق د دعا ألقدلداقا أل داعا أل نصا ا1x أل. دذ د أل د ألقدلداقاألبق د دعاأل دأل نص د

ألبقاييييييييا21انةاألبقلداقاألبق د دعاأل د أل xألق ا أل د ألبقلاةلألبقنعدةعاألأل

2 2

2 ( 1)0

1 1

xy y y

x x

أل

ألا هدألفا

2

2 2 ( 1)( ) , ( )

1 (1 )(1 ) (1 )(1 )

x xp x q x

x x x x x

أل

)ا وا أل ألبقااباأل ), ( )p x q x0ااباأل ادعدعياأل ياx ااهيذبألفا هيدأل نصياأل داعياألقدلداقياأل1xبق نص ع فاألاع أل أل.ألبق د دعا قدلداقياألبق د يدعا،ألا واي ألألدذ د يأل نص يد دأل1x ييهأل ييياأل 2فيييا ألبقيييااباألأل( ) ( 1) ( ), ( ) ( -1) ( )P x x p x Q x x q x أل ل ايييةألااب األأل

1xفا ألبق نص ع أل ادعدعاألاقذب أل. دأل نص د أل دذ د ألأل د أل


___________________________________________________

-205-

Taylorمفكوك تيلور : أوالا بةيي اب أل ييايأل عديياةألقايياألبقلييدا ألبق د ييدعاألفيياألليياةلألألداأل ييذبألبقضييقءألعنييا أل ة يي

) ةدةييداأل هد عيياألاذقيييأليي أل ييواألبق لاعييةأل يي أل )y xهد عيياألليي أل ديي ألليياةلأل ةدةييداألأل ,بق لييياعيألألادقابقييياألألا ييي ند هدأل , , ,...y y y y فييياأل يييايأل عدييياةألق الييياأل دييي ألاييياألأل

.ألبقلداقاألبق د دعا

) ايأل عداةألقدابقاأل )y x 0ادقنةسألx xأل األ د ألبقلاةلألأل2

00 0 0 0

00

0

2

( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....

!

( ) ( )

!

k

k

k

x xy x y x x x y x y x

x xy x

k

أل(5.2) ---------

0إذبألا ل دأل 0x ألفاأل ايأل عداةألفا دأل الاأل د أل ايألد داةع أل دألعداأل2 3

0

0 0 0 02 3

0( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .....! !

( )!

k

k

k

x xy x y xy y y

xy

k

أل(5.3) ----------

0 نييييييييييا ألااةييييييييييدسألبقنييييييييييداعةأل(5.1)اقايييييييييياألبقلداقيييييييييياألبق د ييييييييييدعاأل 0( ), ( ),...y x y x أل0اا قييييا 0( ), ( )y x y x0األبق ييييدقاألابق ليييياعيأل يييي اذقيييييألادق د ييييألألx xادةيييي اب أل،ألاأل

) ايأل عداةأل الاأل د )y xاةيع أل ا يعحأل.ألبق األ األااألقدلداقاألبق د يدعاألبقلصيد ألأل.إة اب ألبقصةعناأل أل واألب لداألبق دقعا

اضاألااألبقلداقاألبق د دعاألأل( :5-4)مثال

4 0, (0) 1, (0) 0y y y y ألألألبقاييييييييا

اةدسألطع ألبق ند ألأليبعضداألااألبقلداقاألبق د دعاألا عألبقاةبةا،أل ألبق ةاةألاقذبألة نا ألاا دالأل دااألبقلداقاألبق د دعاأل د ألبق األ،ألقدابقا

4 , (0) 1, (0) 0y y y y ألألا هدأل الاأل د أل


___________________________________________________________

-206-

(4) (4)

(5)

4 (0) 4 (0) 4

4 (0) 4 (0) 0

4 (0) 4 (0) 16

4

y y y y

y y y y

y y y y

y y

(5) (0) 4 (0) 64y y

أل

,(0) ألألادق لاعيأل ألطع أل ا (0), (0), (0),...y y y y الاألأل(5.3)فاأل ايألأل أل د ألااألبقلداقاألبق د دعا

2 42( ) 1 2 ...

3y t t t أل(5.4) -------------

إ ادةأل هدأللداقاأل د دعاأل صعاأل ألبقوا أل هألاااأل ديألبقلداقاألبق د دعاألا د ألألذب أللدو أللدا األ الاأل د ألبقااألاع ا أل د ألبقل أل ضد ةا )اةل ) cos2y t tأل

أل ايأل د ألبقلاةلألألألها ذبألبقااألق2 4 6(2 ) (2 ) (2 )

( ) 12! 4! 6!

t t ty t ------------- (5.1)

tاععألألtطعاألقيألألا األلدقحألآليأل Rألقدلداقيياألبق د ييدعاألابقايياأل عا ييحألبقلوطيياألييدألاييع ألبقايياألبق ادعديياألاابق يي األبق ييدق

أل(5.4)بق يييايألادةيي اب أل يألالييد دأل دعييهبقايياألبقيييذاعييعألإ ألأل ييايأل عدييياةأل اب ألادةيي0t د ألب طاأل ا(5.5)صداندأل ددألقااألبقلداقاألبق د دعاألبق ادعداأل أل

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-3

-2

-1

0

1

2

3

4

t

y

Taylor Solution

Anlytical Solution

ألأل ايأل عداةاابقااأل بقلوطاألدألاع ألبقااألبق ادعداأل(:1-5)شكل


___________________________________________________

-207-

قلييدا ألبق د ييدعاألغعييةألبق صعييا،أل ديي ألبقييةغ ألابقصةعنيياألبقاع يياأل ةيي ا أل ع ييدألقايياألبع صديييسأل يييناأل اعيييةل،ألا ا يييدأل ييياألبقليييداألبواقييي ألألييي أل ألاةيييدسألبق ييي ند ألالييياألبق ييي نا

ألألألاقدبق

أل اضاألااألبقلداقاألبق د دعاألألأل( :5-5)مثال sin( ) 0, y(0)=0, y (0)=1y y أل

ألألبقاييييييييااةدسألطع ألبق ند ألأليبق ةاةأل عضداألااألبقلداقاألبق د دعاألا عألبقاةبةا،أل أل

ألبق األ أل د ألبق د دعا ألبقلداقا أل داا ألاا دال ألة نا ألاقذب قدابقاsin( ), y(0)=0, y (0)=1y y ألألا هدأل الاأل د أل

2(4)

sin (0) 0

cos y (0) 1

cos y + sin y

y y y

y y y

y y y

(4)

2 2(5) (5)

(0) 0

cos y + sin y y +2 sin y y + cos y (0) 2

y

y y y y y y

أل

,(0)ادق لاعيأل (0), (0), (0),...y y y y أل الاأل د ،أل(5.3)فاأل ايألد داةع ألأل3 51 2

( ) ...6 5!

y t t t t أل

ييييايأل عديييياةألصدانييييدأل دييييدألقايييياألبقلداقيييياألادةيييي اب ألألا ألبقايييياألبقييييذيألالييييد دأل دعييييهاع يييي0tبق د ييدعاأل ديي ألب طيياأل يياأل عا ييحألبقلوطيياألييداع ألبقايياألبقاةيياسألألاابق يي األبق ييدقأل

ا يياأل ديييألبقصييةبألبق يي ألةييع أل ييياباقهدألقدلداقيياألبق د ييدعاأل(ألNumerical)اييدقصةبألبقلااعيياألأل. ايأل عداةادة اب ألابقااألاق ألأل ع األبهللأل لابقندا ألبقادسألألاف


___________________________________________________________

-208-

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

y

Numerical Solution

Taylor Solution

ألأل. ايأل عداةابقلوطاألداع ألبقااألادقصةبألبقلااعاألابقااألأل(:2-5)شكل

ألألأل اضاألااألبقلداقاألبق د دعا ( :5-6)مثال

0, (0) , (0)y xy y y y أل بقاييييييييا

ذألاةييدسألطييع ألبق يي ند ألعضييداألايياألبقلداقيياألبق د ييدعاألا ييعألبقاةبةييا،أليي ألبق ييةاةألبقدابقيييييييييييييياألاقييييييييييييييذبألةيييييييييييييي نا ألاا ييييييييييييييدالأل دايييييييييييييياألبقلداقيييييييييييييياألبق د ييييييييييييييدعاأل ديييييييييييييي ألبق يييييييييييييي األ

, (0) , (0)y xy y y y ألألا هدأل الاأل د أل

(4) (4)

(5) (4) (5)

(0)

2 (0) 2 (0) 2

3 (0) 3 (0) 3

4 (0) 4 (0) 8

y xy y y

y xy y y y

y xy y y y

y xy y y y

أل

: الاأل د ألبقااألبق دقاألأل (5.3)ادق لاعيألفاأل ايألد داةع أل2 3 4 5

2 4 3 5

( ) (2 ) (3 ) (8 ) .....2! 3! 4! 5!

3 2 8 = 1 ... ...

2! 4! 3! 5!

x x x xy x x

x x x xx


___________________________________________________

-209-

ألبقا ( :5-7)مثال ألبق د دعا اضا ألقدلداقا ألبقلد )ا 2) 2 0y x y y أل2x ادقنةسأل

بقاييييييييا1ا ةيأل ألألأل 2(2) , (2)y c y c (2)1ااذقيألع ا ألألألألأل 2 (2) 2y y c ألألألألأل

ألاةييدسألطييع ألبق يي ندأليبعضييداألايياألبقلداقيياألبق د ييدعاألا ييعألبقاةبةييا،أليي ألبق ييةاةألnقدابقاألاقيذبألةي نا ألا د ياألبقلداقياألبق د يدعاأل يدأل ةعياألقعا يقألادةي اب ألي ألبقيةب ألألأل

ألألعدا( 2) ( 1) ( ) ( )( 2) 2 0n n n ny x y ny y أل

2xادق لاعيأل أل أل الاأل د أل( 2) ( )

(3) (4) (5) (6)

2 2

( 2)

, 0, , 0,....

n ny n y

y y c y y y c y

ألألد ألبقااأل دألعدا الاألأل ألأل (5.2)اادق لاعيألفاأل ايأل عداة

2 3 5

1 2 1 2 2

52 3

1 2

( 2) ( 2) ( 2)( ) ( 2) 2 0 ....

2! 3! 5!

1 ( 2) 1 ( 2) ( 2) ( 2) ...

6 5!

x x xy x c x c c c c

xc x c x x

أل

قيييعاأل دعيييداألاطييياأل(أل األيييد داةع أل)ييي ألبولدييياألبقةيييداناأل واييي أل ألبقاييياألاصةعنييياأل عدييياةألع ييا أل ييدطداألفيياألاليييألبقاييد ،ألاع يي ألايياألليياأل ييذ ألبقلييدا أل ديي أل ع يياأل ةدةييداأل أل

)0اةسألطاذأل هد عا )x xدألعداأل 2

0 0 1 0 2 0

0

( ) ( ) ( ) ....

n

n

n

a x x a a x x a x x (5.6) أل-------ألألألألألألألألألأل

أل أل 0اععألإ 1 2, , ,...a a aأللدو ألبق ةدةأل ألاعة دلابا ألا ة ألاأل0xألا ألxبقة قألا عأل، عة أل ا أل دلا 0ألا ادقا 0x ألأل ألد داةع أل اي أل أل د د أل الا

أل بقلاةلألأل2 3

0 1 2 3

0

.......

n

n

n

a x a a x a x a xأل

ألااهذبألفا أل ايألد داةع ألعل اةأل ااأل هةأل صاعند أل ةدةو ألبقناذأل


___________________________________________________________

-210-

النقطة العادية قربالحل :ثانياا ألع ييي ألبةييي اب ألبق ةعييياألأل(5.1) نصييياأل داعييياألقدلداقييياألبق د يييدعاألأل0xفييياألادقييياأل يييا

ألبق دقعاأل

فيا ألبقاياألبقليد أل(أل1.5) ياأل نصياأل داعياألقدلداقياألبق د يدعاأل0xبذبأل د ي أل( :5-1) نظريفةألقهدألع ا أل د ألبق ااألبق دقاأل

0 0 1 1 1

0

( )

n

n

n

y a x x a y a y أل(5.7) -------------

0ألاعع 1,a a1الابا ألب عدةعاألأل 2,y yدع ألة ندع أل صعداأل دي أل ي األ دأل ادةلأل ألاع يييي ألألعضييييداألبقايييياأل ديييي أل ع يييياأل ةدةييييداأل هد عيييياابأل،(1.5) ةدةييييداأل هد عيييياألقدلداقيييياأل

,ألا يي ند هد(أل1.5)بق ليياعيألادقلييع األ ,y y y اع يي أل(أل1.5)فيياألبقلداقيياألبق د ييدعاألاةيافألأل،ادقلي ةألx األلدياألي ألليدو ألطياذألاةدابلألnaاع هدأل ااعاألطع ألبقلدو

أل نا ألا ا عحألدألةابأل د ألبقلاعاأل ألب لداأل د ألبق ااألبق دقا

0yأل اضاألااألبقلداقاألبق د دعا ( :5-8)مثال y ألألبقاييييييييا

ألبق د دعاألأللداقا األ نصاأل داعاألقدأل0xألبق نصا2ألا ةيأل 3

0 1 2 3

0

........

n

n

n

y a x a a x a x a xأل

2ا هدأل 3 1

1 2 3 4

1

2 3 4 ........ ( )

n

n

n

y a a x a x a x na xأل

y,ادق لاعيألايأل y0فاألبقلداقاألبق د دعاألألy y أل الاأل د أل2 2

1 2 3 0 1 2

2

1 0 2 1 3 2

2 3 ......... ( .....) 0

( ) (2 ) (3 ) ......... 0

a a x a x a a x a x

a a a a x a a xأل

ألبق د األادقل ةأل الاأل د ألألxاةدابلألبقلدو ألقناذأل1 0 1 0

012 1 2

0

2 02 2

,

!

a a a a

aaa a a

أل


___________________________________________________

-211-

0 023 2 33 0 3

3 2 3

/

! !

a aaa a aأل

ألااع ا ألااألبقلداقاألبق د دعاأل د ألبق ااألبق دق

2 3 2 30 00 1 2 3 0 0

2 3

0 0

2 3

12 3

.... = ....! !

= ....! !

x

a ay a a x a x a x a a x x x

x xa x a e

أل

2y اضاألااألبقلداقاألبق د دعاألأل( :5-9)مثال xy أل

ألبقاييييييييا0xبق نصاأل أل األ نصاأل داعاألقدلداقاألبق د دعاألأل

2ا ةيأل أل 3

0 1 2 3

0

........

n

n

n


1ا هدأل 2 3

1 2 3 4

1

2 3 4 ........

n

n

n

y na x a a x a x a xأل

ألا هدأل ا ألبقلداقاألبق د دعاأل2 2

1 2 3 0 1 2

2 3 2 3

1 2 3 4 0 1 2

2 3 ......... 2 ( .....)

2 3 4 2 2 2 ...

a a x a x x a a x a x

a a x a x a x a x a x a xأل

أل بق د األادقل ةأل الاأل دxاةدابلألبقلدو ألقناذ0 02 4

1 2 0 3 1 3 4 5 6 0 , ,3 2 0, , 0, ,2 2! 3 3!

a aa a

a a a a a a a a aأل

ألااع ا ألااألبقلداقاألبق د دعاأل د ألبق ااألبق دق2

4 62 4 6 20 0

0 0 0 0.... = 1 ....2! 3! 2! 3!

xa a x xy a a x x x a x a eأل

0y اضاألااألبقلداقاألبق د دعاألأل ( :5-11)مثال y أل

ألبقايييييييياألبق د دعا األ نصاأل داعاألقدلداقاألأل0xبق نصاأل

2ةيأل ألا 3

0 1 2 3

0

........

n

n

n



___________________________________________________________

-212-

ألا هد1 3 3

1 2 3 4

1

2 2 3

2 3 4 5

2

2 2 4 ........

( 1) 2 3.2 4.3 5.4 ........

n

n

n

n

n

n

y na x a a x a x a x

y n n a x a a x a x a x

أل

y,ادق لاعيألايأل y0فاألبقلداقاألبق د دعاألألy y أل 2 3 2 3

2 3 4 5 0 1 2 32 3.2 4.3 5.4 .. ... 0 a a x a x a x a a x a x a xألألبق د األادقل ةأل الاأل د xاةدابلألبقلدو ألقناذ

02 0 2

13 1 3

024 2 4

35 3 5

2 02

3 2 03

4 3 04 3 4

5 4 0

!

. !

. . !

.

aa a a

aa a a

aaa a a

aa a a 0

5 4 5

. !

a

أل

2 ا أل دأل ألبقلدو أل 4 6, ,a a a0 اةأل هدألاا قاألaا ذقيأل اةأل ألأل3 5 7, ,a a a1اا قاألaأل

ألااع ا ألااألبقلداقاألبق د دعاأل د ألبق ااألبق دق2 3 40 01

0 1

2 4 3 5

0 1 0 1

....2! 3! 4!

= 1 .... ..... cos sin2! 4! 3! 5!

a aay a a x x x x

x x x xa a x a x a x

أل

اضاألااألبقلداقاألبق د دعاألأل ( :5-11)مثال

( 1) 0, (0) 2, (0) -1x y xy y y y ألألبقاييييييييا

0xبق نصاألاععألإ أل ألبقااأل د أل ةيأل،أل نصاأل داعاألقدلداقاألبق د دعاأل األ ألألبقلاةل


___________________________________________________

-213-

2 3

0 1 2 3

0

2 1

1 2 3

1

2 2

2 3 4

2

.......

2 3 ....... ,

2 3.2 4.3 ....... ( 1) .

n

n

n

n

n

n

n

n

n

y a x a a x a x a x

y a a x a x na x

y a a x a x n n a x

أل

ألعاأل الاأل د ألادق لاعيألفاألبقلداقاألبق د د1 2

2 2 1 0

1 1 0( ) ( )n n n n

n n n n

n n n n

n n a x n n a x na x a x

أل

1nايألألn ة اااألأل(ألnxقضلدهدألضعلدأل ا ايأل د )ألألا أل ة صععأل ضععألبقاااا فاألألألبواق ألاألدبق ةدة2nايألألnا ة اااأل ألاألبقلد عا،ألق الاأل د ألدفاألبق ةدةأل

1 2

1 0 1 0

( 1) ( 2)( 1) 0

n n n n

n n n n

n n n n

n n a x n n a x na x a xأل

ا هدأل

0

2 0 1 2

1

( 2 ) ( 1) ( 2)( 1) 0n

n n n n

n

a a x n n a n n a na a x

أل

ألفا ألاق ألألاادق

2 0

1 2

2 0

1 ( 2) 0

n n n

a a

n na n a aأل

ألا الاأل هدأل د 0 1

2 2, , 12 ( 2)

n nn

a a naa a n

n

أل

ألاع ألبقالااأل د أل

02 13 1 0 1

3 24 0 1

4 35 0 1

1 1 1 1

3 3 2 3 6 3

2 5 1

4 24 6

3 19 1

5 120 6

aa aa a a a

a aa a a

a aa a a

أل


___________________________________________________________

-214-

ألد ألبقااألا هدأل الاأل 2 3 4

0 1 2 3 4

2 3 4 5 3 4 5

0 1

......

5 191 .... ...

2 6 24 120 3 6 6

y a a x a x a x a x

x x x x x x xy a a x

أل

ألا ألبق ةاصألب ا اب عاأل ضاأل ،0 0

1 1

(0) 2 2

(0) -1 1

y a a

y a aأل

ألا د ألذقيألع ا ألبقااأل د ألبقلاةلأل4 5

2 32 ...

4 20

x xy x x أل

0y اضاألااألبقلداقاألبق د دعاألأل ( :5-12)مثال xy y أل

ألبقاييييييييا0xبق نصاأل أل. األ نصاأل داعاألقدلداقاألبق د دعاأل

ألألبقلاةلا ةيألبقااأل د أل2 3

0 1 2 3

0

2 1

1 2 3

1

2 2

2 3 4

2

2 3

2 3 2 4 3 1

.......

....... ,

. . ....... ( ) .

n

n

n

n

n

n

n

n

n

y a x a a x a x a x

y a a x a x na x

y a a x a x n n a x

أل

ألادق لاعيألفاألبقلداقاألبق د دعاأل الاأل د أل2

2 1 0

( 1) 0

n n n

n n n

n n n

n n a x na x a xأل

فاألألأل2nايألألn ة اااأل(ألnxقضلدهدألضعلدأل ا ايأل د )ألألا أل ة صععأل ضععألبقااااألبواق ألاألدبق ةدة

2

0 1 0

( 2)( 1) 0

n n n

n n n

n n n

n n a x na x a xأل

ا هدأل 0

2 0 2

1

(2 ) ( 2)( 1) 0n

n n n

n

a a x n n a na a x

أل


___________________________________________________

-215-

ألفا ألألااادق دق

02 0 2

2 2

2 02

( 2)( 1) 0 ( 2)( 1) ( 1) 0

n n n n n

aa a a

n n a na a n n a n a

أل

ألا الاأل هدأل د ألبقلوطاألبق ةبةعاأل

2

( 1) 1, 1

( 2)( 1) 2n n n

na a a n

n n n

أل

ألإذبأل

3 1 5 3 1 7 5 1

1 1 1 1 1, ,

3 5 3.5 7 7.5.3a a a a a a a a أل

ألا ذبأل ضاأل أل

2 1 1

2 1 1

2 1 1

( 1), 1

3.5.....(2 1)

( 1) 2 ! , 1

3.5.....(2 1) 2 !

( 1) 2 ! 1

(2 1)!

k

k

k k

k k

k k

k

a a kk

ka a k

k k

ka a k

k

أل

أل ع دأل ضاأل أل

4 2 0 02

6 4 0 02 3

1 1 1 1,

4 4 2 2 (2 1)

1 1 1 1,

6 6 2 (2 1) 2 (3 2 1)

a a a a

a a a a

أل

أل ألأل ذبأل ضااأل

2 0

( 1), 1

2 !

k

k ka a k

kأل

أل ضاأل أل0k األ

2 0 0 2 1 1 1

( 1) ( 1) 2 !,

2 ! (2 1)!

k k k

k kk

ka a a a a a

k kأل

ألادقلاةلألبق دقعاألyع ألبق لاعةأل


___________________________________________________________

-216-

2 2 1

2 2 1

0 0 0

2 2 1

0 2 1 2 1

1 1

n k k

n k k

n k k

k k

k k

k k

y a x a x a x

a a x a x a x

أل

ألا د أل ذبألع ا ألبقااألأل

2 2 1

0 1

0 0

( 1) ( 1) 2 !

2 ! (2 1)!

k k kk k

kk k

ky a x a x

k k

أل

األبقناذألقلداقاألقعض اةألبق د دعاألد اضاألبقااأل د أللاةلأل ةدةألأل( :5-13)مثال

2(1 ) 2 ( 1) 0x y xy y ألأللدا ألألاععألإ ألأل

ألألبقايييييييياألأل عألبقلداقاألبق د دعاأل د ألبقلاةلأل أل األ

2 2

2 ( 1)0

(1 ) (1 )

xy y y

x x

أل

ألا هدأل ضاأل أل

2 2

2 ( 1)( ) , ( )

(1 ) (1 )

xp x q x

x xأل

0x يييياألبق نصيييياألأل ييييد أل ادعدع ييييد ا ييييدألابق 0 ييييا ألبق نصيييياألألا دعييييهألx نصيييياأل داعيييياألأل أل.قدلداقاألبق د دعاأل

ألألفةيألبقااأل د ألبق ااألبق دقاألع ألا د ألذقي2 3

0 1 2 3

0

2 1

1 2 3

1

2 2

2 3 4

2

2 3

2 3 2 4 3 1

.......

....... ,

. . ....... ( ) .

n

n

n

n

n

n

n

n

n

y a a x a x a x a x

y a a x a x na x

y a a x a x n n a x

أل

ألادق لاعيألفاألبقلداقاألبق د دعاأل الاأل د أل


___________________________________________________

-217-

2 2 1

2 1 0

2

2 2 1 0

(1 ) ( 1) 2 ( 1) 0

( 1) ( 1) 2 ( 1) 0

n n n

n n n

n n n

n n n n

n n n n

n n n n

x n n a x x na x a x


أل

2nايألألn ة اااأل(ألnx د أليقضلدهدألضعلدأل ا األ)ألا أل ة صععأل ضععألبقااااأل فاألألبواق ألاألدبق ةدة

2

0 2 1 0

( 2)( 1) ( 1) 2 ( 1) 0n n n n

n n n n

n n n n


أل

ألا هدأل

2 3 1 0 1 2

2

2 2 2

2 0 3 1 1

2

2

2 0 3 1

2 6 2 ( 1) ( 1) ( 2)( 1)

( 1) 2 ( 1) 0

2 ( 1) 6 2 ( 1)

( 2)( 1) ( 1) ( 1) 0

2 ( 1) 6 2

n

n

n

n n n

n n n

n n n

n

n n n

n

a a x a x a a x n n a x

n n a x na x a x

a a a a a x

n n a n n a a x

a a a a

1

2

2

2 0 3 1 1

2

2

( 1)

( 2)( 1) ( 1) ( 1) 0

2 ( 1) 6 2 ( 1)

( 2)( 1) ( 1) ( 1) 0

n

n n

n

n

n n

n

a x

n n a n n a x

a a a a a x

n n a n n a x

أل

ألبق د األادقل ة،أل الاأل د ألألxااةدابلألطاذأل2 0 2 0

3 1 1 3 1

( 1)2 ( 1) 0 a

2

2 ( 1)6 2 ( 1) 0 a

6

a a a

a a a a

أل

ألاع ألبقالااأل د ألبقلوطاألبق ةبةعاأل 2

2

( 2)( 1) ( 1) ( 1) 0

( 1) ( 1), 2

( 2)( 1)

n n

n n

n n a n n a

n na a n

n n

أل


___________________________________________________________

-218-

أل الاأل د ألألn...,2,4,6ااا عأل4 2 0

6 2 0

(2 )( 3) ( 2)( 1)( 3)

4.3 4!

(4 )( 5) ( 2)( 4)( 1)( 3)( 5)

6.5 6!

a a a

a a a

أل

ألألااالاةلأل داأل ا ألبقلوطاأل د ألبق األبق دق2 0

( 2)( 4)......( 2 2)( 1)( 3)...( 2 1)( 1) , m 1

(2 )!

mm

m ma a

m

أل

n...,3,5,7اادقلاألاا عأل أل الاأل د ألأل2 1 1

( 1)( 3)......( 2 1)( 2)( 4)...( 2 )( 1) , m 1

(2 1)!

mm

m ma a

m

ألادقلاةلألبق دقعاألyاع ألبق لاعةأل 2 2 1

2 2 1

0 0 0

2 2 1

0 2 1 2 1

1 1

= a

n m m

n m m

n m m

m m

m m

m m

y a x a x a x

a x a x a x

ألع ألقلداقاألقعض اةدااهذبأل ا ألطاألالد دأل د ألبقادع ألبقة ندع ألبق ةدة2

1

1

2 12

1

( 2)( 4)......( 2 2)( 1)( 3)...( 2 1)( ) 1 ( 1)

(2 )!

( 1)( 3)......( 2 1)( 2)( 4)...( 2 )( ) ( 1)

(2 1)!

m m

m

m m

m

m my x x

m

m my x x x

m

أل

0اع ا ألبقااألبقلد أل د ألبقلاةلأل 1 1 2( ) ( ) ( ) y x a y x a y x0اععألإ ألألأل 1,a aلابا ألألألعاألإ عدةألأل أل ألبقاد ألبق دلاألادق دألا اضا2)داألاضاألبألقاضداأللاعداأل ةدايألبقل ةأل األ ااإذبأل د ألألأل-أ )nفاأل ذ ألبقادقاألفا ألأل

)1بقااألبق ةدةا )y x2علاحأل لعةلألااااأل ألبقاةضاألألnا ايأل د ألبقناذألأل xيبققاضعاألق

21

1

2 (2 2)........(2 2 2).(2 1)(2 3)......(2 2 1)( ) 1 ( 1)

(2 )!

nm m

m

n n n m n n n my x x

mأل(5.8)--

2اعان ألألألألألألألأل ( )y xألاأل هد عاألد ةدةأل


___________________________________________________

-219-

2)داألاضايييألداأللييياعاألباألفةاعيييداأل يييااألي ةيييداألإذبأل د ييي ألأل-ب 1)n قادقييياألفيييا ألبقاييياألفييياأل يييذ ألبأل2بق ةدةيييييييييا ( )y x2علييييييييياحأل لعيييييييييةلألاييييييييياااألييييييييي ألبقاةضييييييييياأل 1n أل دييييييييي ألألي ا ييييييييياألأل

xبقناذألبق ةاعاألقي2 1

2

1

2 (2 2).....(2 2 2)(2 3)(2 5)......(2 2 1)( ) ( 1)

(2 1)!

n

m m

m

n n n m n n n my x x x

mألألألأل(5.9) --

)1اعان ألألأل )y xألاأل هد عاد ةدةأل )بقاياأل لعيةألبقاياااألأل( :5-4)ي تعر )nP xقلداقياألقعض ياةألبق د يدعاأل ياألm nأليابقيذأل

عانبألبق ةصأل1

1n xP

ليجندرااااأل ة أل لعةلألLegendre Polynomial .

ألبقلدو ادااألبآل 0 أل أل دةألطع 1,a aألبقادااأل ألطع 1ااععأل ا 2( ), ( )y x y xةداعاأل1xقدابااألبقلاعحأل ا .أل

أل0nفلديي ألةيياعاألبقلييداأل ييادأل 0 ييدةألأل 1a (1)1فع ييا ألفيياأل ييذ ألبقادقيياألأل 1y ألأل،

1nا يياأل 1 ييدةأل 1a 2فع ييا ألفيياأل ييذ ألبقادقيياأل ألأل (1) 1y 2ا يياألn 0 ييدةأل

1

2a

أل

(1)1فع يييا ألفييياأل يييذ ألبقادقييياأل 1y 0،ألااد ةييي ةبةألفييياألبق لييياعيأل ييي أل 1,a aانيييع ألب عدةعيييياألأل1ااعيييعألع يييا أل 2(1) 1, (1) 1y y 1،ألع ييي أل أل الييياألييي ألبقاديييع أل 2( ), ( )y x y xدييي أل يييااألأل

ا هييدألع يي أل لةعييفألاليييأل.أليي أل لعييةب ألبقاييااا،ألا ةيي أل لعييةب ألايياااألقعض يياةألا هييد ألابق دق ألااااألقعض اةأل د ألبق األب لعةأل

0

1

2

2

3

3

4 2

4

( ) 1,

( ) ,

1( ) 3 1 ,

2

1( ) 5 3 ,

2

1( ) 35 30 3 ,

8

P x

P x x

P x x

P x x x

P x x x

أل

)عا حأل لعةب ألااااألقعض اةألاابق األبق دق )nP x0,1,2,3,4,5قنع ألألn أل


___________________________________________________________

-220-

أل) لعةب ألااااألقعض اةأل( :5-3)شكل )nP xأل

أل(أل Airy's equation)بق د دعاألألي اضاألااأللداقاأل عةألألأل ( :5-14)مثال 0y xy أل

ألبقايييييييياأل األ نصاأل داعاألقدلداقاألأل0xبق نصاأل

2ا ةيأل أل 3

0 1 2 3

0

........

n

n

n

y a x a a x a x a x ألا هدألأل

2 1

1 2 3

1

2 2

2 3 4

2

2 3 ....... ,

2 3.2 4.3 ....... ( 1) .

n

n

n

n

n

n

y a a x a x na x

y a a x a x n n a x

أل

أل الاأل د بقلداقاألبق د دعاألألف لاعيأل اادق

2 1

2 0

2 1

0 1

2 2 1

1

( 1) 0

( 2)( 1) 0

2 ( 2)( 1) 0

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n

n n

n

n n a x a x

n n a x a x

a n n a a x

أل

ألبق د األادقل ةأل،أل الاأل د ألألxاةدابلأللدو ألطاذ2 2 1

12 2

2 0, ( 2)( 1) 0, 1

0, 0, 1( 2)( 1)

n n

nn

a n n a a n

aa a n

n n

أل


___________________________________________________

-221-

ألا وا ألدألعداأل5 8 11

0 3 0 6 03 6 9

0

, , 3.2 6.5 6.5.3.2 9.8 9.8.6.5.3.2

a a a

a a a a aa a aأل

ألا ا ألبقلاةلألبقلداأل د ألبق األ0

3

(-1), 1

(3 )(3 -1)(3 -3)(3 - 4).........6.5.3.2

n

n

aa n

n n n n أل

ألاألادقلاأل71 4 1 1

4 7 10, , 4.3 7.6 7.6.4.3 10.9 10.9.7.6.4.3

aa a a aa a aأل

ألا ا ألبقلاةلألبقلداأل د ألبق األ1

3 1

(-1), 1

(3 1)(3 )(3 - 2)(3 -3).......7.6.4.3

n

n

aa n

n n n n

أل

ألااع ا ألااألبقلداقاألبق د دعاأل د ألبق ااألبق دق3 6 4 7

1 ...... .....0 13.2 6.5.3.2 4.3 7.6.4.3

3( 1) = 1

0 (3 )(3 1)(3 3)(3 4)......6.5.3.21

3 1( 1)

1 (3 1)(3 )(3 2)(3 3).....7.6.4.31

x x x xy a a x

n nxa

n n n nn

n nxa x

n n n nn

بقادع ا د ألذقيألع أل دااأل1 2( ), ( )y x y xألبق دقاألد ألبق اابق د دعاأل أليعةألقلداقاألبأل

3

1

1

3 1

2

1

( 1)( ) 1

(3 )(3 1)(3 3)(3 4)......6.5.3.2

( 1)( )

(3 1)(3 )(3 2)(3 3).....7.6.4.3

n n

n

n n

n

xy x

n n n n

xy x x

n n n n

أل

0بقلاةلألأل اع ا ألبقااألبقلد أل د 1 1 2( ) ( ) ( )y x a y x a y x 0ألاععألإ أل 1,a aلابا ألألألإ عدةعاأل


___________________________________________________________

-222-

( فروبينيس)الحلول قرب النقطة الشاذة المنتظمة : ثالثاا ال يييي أل ألأل،(1.5) ييييدذلأل يييياألقدلداقيييياألبق د ييييدعاأل نصيييياألأل0xا ييييةيأل ألبق نصييييا

)إايييييييياذألبقييييييييابق ع ), ( )p x q x0 ديييييييي ألب طيييييييياألغعييييييييةأل ادعدعيييييييياأل يييييييياألبق نصيييييييياxابقييييييييااباألأل

2

0 0 ( ), ( )x x p x x x q x0ااباأل ادعدعياأل يياألبق نصياألxألفيياأل يذ ألبقادقيياأل ييةيأل،ألااأل د ألبقلاةلألبق

0 0 0

0 0

( , ) ( ) ( ) ( )s n n s

n n

n n

y x s x x a x x a x x ------ (5.51)

فيةااع عاألألابق ة ةيألاا ألصةحأل ديألبقلع األاابةيصاألبقةعد يألا ادةلأل أل ااألانعنsاععأل(F.G. Frobenius)اعيييعألع ييي ألاةيييدسألبقليييدو أل ييي ألصةعيييبألبق لييياعيألادقلوطيييد ألأل

, ,y y y ةدابلأللدو ألطاذأل(أل1.5)قلداقاألبق د دعاألفاألبأل أل.بق د األألادقل ةxا

ا ياألأل indicialألبقاقعدعيابقلي ةذأل ةي ألبقلداقياألxبقلداقياألبقةبفنياألقنياذأل(:5-5)تعري 1ة دألاضييذاألألبقاقعدعييالداقيياأليي ألبقاةضيياألبقلد عيياألابع ييدابأل ديي ألبقلداقيياأل 2,s s0 يياألxعاضيياألأل

1لوعألاد ،ألاذقيألا ةيأل أل 2s sأل.أل1بذبأل ييييييد ألبقاييييييو أل 2( , ), ( , )y x s y x s صعييييييدألفييييييا ألبقايييييياألبقلييييييد ألقدلداقيييييياألألةيييييي ندع

ألع ا أل د ألبقلاةلأل(أل1.5)بق د دعاأل1 2 ( ) ( , ) ( , )y x ay x s by x sأل

a,اععأل bفدعةي أل دييأل ياألبقايداألأل،حألادأل أل هاألبقةي د ألبقةعألاطا عدةعا،ألبلابا ألألليييوعألييي ألبقايييد ألبق د ييياأل يييادألع يييا ألإقييي ألأل ا يييذألع ييي أل نةيييع أل دييييألبقصةعنييياألأل،اب يييد

1 2s s1دأل يا أل ا يياألداأللياعاألباألقيعاألاليااأللياعحأل األعةييداذأل ياا 2s sألااليا أليي أل، ألبهللألبقناعةألة نا ألفاألبقضقءألبقندا أل صعياأل دةيااألق دييألبقايد ألبق د ياألن ة ياألادقلاعياألي

أل.لدابو

اذا كان: األولى الحالة ( 1-3)1 2

s s .اا صحيح اا ليس عدد ادقلوطييييد ألأل لييييايليييي أل(أل1.51)ألفيييياأل ييييذ ألبقادقيييياأل نييييا ألا ييييةيألبقايييياأل ديييي ألبقليييياةل

, ,y y y ةدابلأللدو ألطاذأل(أل1.5)فاألبقلداقاألأل أل بق د األادقل ة،ألافاأل ذxاألبقادقاأل ا أل ضهد ألبقادااألغعةألبق صعاأل د ألبقلاةلألأل


___________________________________________________

-223-

1 2

1 0 2 0

0 0

( ) ( ) , ( ) ( ) n s n s

n n

n n

y x a x x y x b x x

---- (5.55)

اععألإ ألأل1 2,s s0 األألبقاقعدعابقلداقاأل دألضذةبألألxأل

أل اضاألبقااألفاأللاةلأل ةدةداأل هد عاألقدلداقاألبق د دعاألأل( : 5-15)مثال 2 2 5

036

x y x y

أل

ألألبقاييييييييا،ألقذبأل ااعألxاألطاذداععأل دأل ااعأل ألااألبقلداقاألبق د دعاأل د أل األ ةدة

0x األبق نصاأل األ نصاأل داعاألقدلداقاألبق د دعاأل أل دذلأل األب أل هدأل نصاأل دذلأل أل.غعةأل األ

أل الاأل د ألأل2xانةاألبقلداقاأل د

2

51 0

36y y

x

أل

ا هدأل2

5( ) 0, ( ) 1

36p x q x

x أل

)اععألإ ألألاأل )q x0غعةأل ادعدعاأل األx 0فا ألبق نصاألألx أل ل اةأل نصاأل دذلأل،ألا لةفألبقااباأل

2 2 5( ) ( ) 0, ( ) ( )

36P x xp x Q x x q x x أل

ألااباأل ادعدعاأل األبق نصاإااععأل 0x هد ألفا ألبق نأل 0xصاااهذب ا أل نصاأل دذلألأل أل. األقدلداقاألبق د دعا

أل ةيألبقااأل د ألبقلاةلألأل

0

n s

n

n

y a xأل

,ا هدأل ا أل y y ألا د ألبق ااألبق دقأل1 2

0 0

( ) , ( )( 1) , n s n s

n n

n n

y n s a x y n s n s a x

أل

,ادق لاعيأل y yألق د دعاأل الاأل د ،ألفاألبقلداقاألب


___________________________________________________________

-224-

2

0 0 0

5( )( 1) + + 0

36

n s n s n s

n n n

n n n

n s n s a x a x a xأل

nقضلدهدألضعلدأل ا ايأل د )ألا أل ة صععأل ضععألبقااااأل sxة اااأل(أل n2ايألألnفاألألبقااألبقلد ا

1

0 1

2

2

5 5( 1) (1 )

36 36

5( )( 1) 0

36

s s

n s

n n

n

s s a x s s a x

n s n s a a x

أل

ألطاذ أللدو ألألxاةدابل ألبقل ةذ أللدو ) ألsxال أل د أل( أل الا ادقل ة،أل.بقاقعدعابقلداقاأل

0

1 2 1 2

5 5 1( 1) 0, 0 0

36 6 6

5 1 2, s

6 6 3

s s a s s

s s s

أل

أل أل 1 وا 2s sأل ااأل أللدو ألألداأللاعاألباألقعا ألاةدابل ألب اق ، ألبقادقا ا األبق د األادقل ة،أل الاأل د ألxطاذ

1 2

50, ( )( 1) 0

36n na n s n s a a

أل

ألا هدأل الاأل د ألبقلوطاألبق ةبةعاأل2 , 2

5( )( 1)

36

nn

aa n

n s n s

أل

1 ادألالحل األول

5

6s إق ألألا اااألبقلوطاألبق ةبةعاألأل

2 2

2

, 25 5 5 2

( )( 1) ( )6 6 36 3

n nn

a aa n

n n n n

أل

ألبوااألا األبقلوطاألبق ةبةعاألقدااأل0

2 0 3 5 7 1

3, ..... 0,

4 164

3

aa a a a a a

أل


___________________________________________________

-225-

24 2 0

3 9,....

8 56 89616

3

aa a a

أل

ا د ألذقيألع ا أل1( )y xأل د ألبقلاةلألأل

1 1 1 11 2

1 0 1 2

0

5

2 460

( ) ......

3 9 1 ....

16 896

n s s s s

n

n

y x a x a x a x a x

a x x x

أل

1أل ادألالحل الثانى

1

6s أل

ألإق ألألا اااألبقلوطاألبق ةبةعاأل2 2

2

, n 221 1 5

136 6 36

n nn

b bb

n nn n

أل

ألابقلوطاألبق ةبةعاألقدااألبقلد ابق األ ل اةأل0

2 0 3 1 5 7

24 2 0

3, b ..... 0,

4 84

3

3 9,....

8 40 32016

3

bb b b b b

bb b b

أل

2ا د ألذقيألع ا أل ( )y xأل د ألبقلاةلأل2 2 2 21 2

2 0 1 2

0

1

2 460

( ) ......

3 9 1 ....

8 320

n s s s s

n

n

y x b x b x b x b x

b x x x

أل

1اع ا ألبقااألبقلد أل د ألبقلاةلأل 1 2 2( ) ( ) ( ) y x c y x c y x1اععألإ ألألأل 2,c cلابا ألألألإ عدةعا

أل اضاألبقااألفاأللاةلأل ةدةداأل هد عاألقدلداقاألبق د دعاألألأل( :5-11)مثال

2 22 3 1 0x y xy x y أل


___________________________________________________________

-226-

ألألبقاييييييييا،ألاقذبأل ااعأل األألxاألطاذد دأل ااعأل ألااألبقلداقاألبق د دعاألفاأل األ ةدةإاععأل0xبق نصاأل نصاألأل دذلأل األب أل هد نصاألاألبق د دعاأل ألقدا األ نصاأل داعاألقدل

أل. دذلألغعةأل األألأل22xانةاألبقلداقاأل د أل

2

2

3 10

2 2

xy y y

x x

أل

ا هدأل2

2

3 1( ) , ( )

2 2

xp x q x

x xأل

) إااععأل )q x0غعةأل ادعدعاأل األx 0هذبألفا ألبق نصاااألx أل، ل اةأل نصاأل دذلألألبقااباألا لةفأل

2 21( ) ( ) 0, ( ) ( ) 1

2 P x xp x Q x x q x xأل

0x هدألااباأل ادعدعاأل األبق نصاألإااععأل 0فا ألبق نصاألألx ا أل نصاأل دذلألأل ألد ألبقلاةلأل األقدلداقاألبق د دعا،أل ةيألبقااأل

0

,n s

n

n

y a x

أل

ألا هدأل ا أل1 2

0 0

( ) , ( )( 1) , n s n s

n n

n n


أل

ألادق لاعيألفاألبقلداقاألبق د دعاأل الاأل د

2

0 0 0

2

0 0 0 0

2

0 2

0

2( )( 1) + 3 ( ) - 1 0

2( )( 1) + 3 ( ) 0

2( )( 1) 3( ) 1 0

(2 1)

n s n s n sn n n

n n n

n s n s n s n sn n n n

n n n n

n s n sn n

n n

n s n s a x a n s x x a x

n s n s a x a n s x a x a x

n s n s n s a x a x

a s 11 2

2

( 1) (2 1)( 2) (2 2 1)( 1) 0

s s n sn n

n

s x s s a x n s n s a a x

أل


___________________________________________________

-227-

د ألبقلداقاألادقل ةأل،أل الاأل (ألsxلدو أل)ألبقل ةذألألxاةدابلأللدو ألطاذألأل.بقاقعدعا

1 2

1(2 1)( 1) 0 , s 1

2s s s أل

1ا هدأل أل 2

3

2s s ألا األبقادقاألب اق ألداأللاعاألباألقعة أل ااألأل

ألبق د األادقل ةأل،أل الاأل د ألألxاةدابلأللدو ألطاذ 1 20, (2 2 1)( 1) 0 , 2 n na n s n s a a nأل

2 , 2

(2 2 1)( 1)

nn

aa n

n s n sألألألألألألألألألألألألألألأل ----- (5.51)

3 5 7 2 1...... , ( 0) ma a a a mأل1 ادألبوااألبقااأل

1

2s إق ألأل(أل1.51)ا اااألبقلوطاألبق ةبةعاألأل

2 2

3 (2 3)2 ( )

2

n nn

a aa

n nn n

أل

ألبوااألا األبقلوطاألبق ةبةعاألقدااأل

0 0 022 4 6

02

, a , ,....,2.7 4.11 2.4.7.11 2.4.6.7.11.15

2.4.6.....2 7.11.15.....(4 3)m

a a aaa a

aa

m m

أل

)1ا د ألذقيألع ا أل )y xأل د ألبقلاةلأل

1 1 1 11 2

1 0 1 2

0

1 2 4

2

1 2

2

1

( ) ......

= 1 .......2.7 2.4.7.11

12.4.6..... 2 .7.11.15..... 4 3

n s s s s

n

n

m

m

y x a x a x a x a x

x xx

xx

m m

أل

2إق ألألادقلاألادق ةااألأل 1 s sألألا الاأل د ألبقااألبقلد (أل1.51)بقلوطاألادة اب ألأل2 ( )y xأل


___________________________________________________________

-228-

2 41

2

21

1

( ) 1 .... 2.1 2.4.1.5

= 12.4.6......(2 ).1.5.9....(4 3)

m

m

x xy x x

xx

m m

أل

1اع ا ألبقااألبقلد أل األ 1 2 2( ) ( ) y c y x c y xألألاععألإأل 1 2,c cأللابا ألب عدةعاأل

اذا كانت : الحالة الثانية ( 2-3)1 2

s s 1فاأل ذ ألبقادقاأل ضاأل أل 2s sألا ةيألبقااأل د ألبقلاةلأل

0

( , ) ( )

n s

n

n

y x s a s x ---------- (5.51)

ألألهدألاذقيأل دألعداألفا هألعاننألا دعهأل(أل1.5)قدلداقاألبق د دعاألألا األعلاألاواأل2

( ) ( ) 0y y

p x q x yx x

أل

أل الاأل د ألsاا د دهدألضق عدألادق ةااألقد عة

2

2

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

y yp x q x y

s x s x s

y y yp x q x

x s x s s

أل

yفا ألألا دعه

s

ألدأل د ألبقلاةلألع ا ألا دعهألفا ألبقادع قدلداقاألبق د دعاألألعلاأل ع دألاواألأل

1 1

1

1 1

2

0

1 1

0

( ) ( , ) ,

( , )( ) ( )

( ) ln( ) ( )

n s

n

ns s s s

n s

n

n

y x y x s

y x sy x a s x

s s

y x x a s x

--------- (5.51)

2 وا أل أل ( )y x1 صعدألعألأل،ألااهذبألع ا ألة نواألا د ألااألقاغدة أليعا األأل( )y xأل،أللداأل دألعدا عحأل ديألبقادقاأل د ألبقلاعاأل ألبواة نا ألا األ


___________________________________________________

-229-

ألاأللاةلأل ةدةداأل هد عاألقدلداقاألبق د دعاألأل اضاألبقااألفأل( :5-17)مثال 2 2 0 x y xy x yأل

ألبقايييييييياأل0xبق نصاأل أل األقدلداقاألبق د دعاأل،ألا ةيألبقااأل د ألبقلاةلألألألألل األ نصاأل دذأل

0

( , ) ,n s

n

n

y x s a x

أل

)ل ألبق لاعيألادقابقاأل , )y x sألا ند هدألفاألبقلداقاألبق د دعاألأل2

0 0 0

2 2 1 2

0 1 2

2

( )( 1) ( ) 0

( 1) ( ) 0

n s n s n s

n n n

n n n

s s n s

n n

n

n s n s a x n s a x a x

s a x s a x n s a a x

-- (5.51)

2ألبقاقعدعاا ا ألبقلداقاأل 0s 1ا هدألع ا ألأل 2 0s s ةداعد ،ألألع ا هدألفا ألبقضذةألأل أل(1.51)ا ألبقلداقاأل

1 ضاأل أللدو أل sx 1بقل ةألبذبأل د ألألي ةداألأل 0a ألا هدأل ا ألبقلوطاألبق ةبةعاألأل2

2

( )( ) . ( 2)

( )

nn

a sa s n

n s---------- (5.56)

3ا هدأل 5 7 2 1........ 0ma a a a 0ااا عألألs الاألأل (1.56)فاألبقلوطاألأل أل د أل

2

2

(0)(0) , 2,4,6,......,

( )

nn

aa n

nأل

2n عألاااأل mألأل2 2

2 2

(0)(0) , m=1,2,3,..........

(2 )

mm

aa

m

أل

ألا هدألأل0 0 02

2 42 2 2 2 4 2

0 046 2 2 4 2 6 2

02 2 2

(0)(0) , (0) ,

2 (2.2) (2.2) .2 2 .2

(0)(0) ,....

(2.3) (2.3) 2 .2 2 .(3.2)

( 1)(0) , 1, 2,3,........

2 ( !)

m

m m

a a aaa a

a aaa

aa m

m

أل


___________________________________________________________

-230-

ا هدألأل الاأل د أل2

1 2 21

( 1)( ) 1

2 ( !)

m m

mm

xy x

m

أل

أل ةألع ا أل د ألبقلاةلألا دألةابألبقااععألفا ألبقااألبآل1

2 1 1

0

( ) ( ) ln( ) ( )

n s

n

n

y x y x x a s xأل

2ا ا أل دألالااألاةدسأل (0), 1,2,3,...... ma mالاأل(أل1.56)بقلوطاألادة اب ألاألأل ألأل دا

2

2 ( ) 2 2( ) /(2 ) , 1,2,3,.....m s ma a s m s m ألألا هدأل

02 2

024 2 2 2

02 2 2 2 2

( ) ,(2 )

( )( ) ,........

(4 ) (4 ) (2 )

( 1)( ) , 1,2,3,.....

(2 ) (2 2 ) .....(4 ) (2 )

m

m

aa s

s

aa sa s

s s s

aa s m

m s m s s s

أل

2قاةدسأل (0)maأل ؤلةأل د ألبقصةفع ألاابقاألبقداغدة أل دألعداأل

02 2 2 2 2

m

0

( 1)ln ( ) ln

(2 ) (2 2 ) .......(4 ) (2 )

=ln(-1) 2ln(2 ) 2ln(2 2 ) ............. 2 ln(2 ).

m

m

aa s

m s m s s s

a m s m s s

أل

أل،أل الاأل د ألxا د األبقصةفع ألادق ةااألبق 2

2

( ) 1 1 1 12 ... .

( ) 2 2 2 4 2

m

m

a s

a s m s m s s sأل

1اا عأل 0s s أل الاأل د ألأل

2 2

2

1 1 1 1 1(0) 2 ... (0)

2 2( 1) 2( 2) 4 2

1 1 1 1 = - ..... 1 (0)

( 1) ( 2) 2

m m

m

a am m m

am m m

أل

1ا ةيأل أل 1 1 1...... 1,

1 2 2

mH

m m mأل


___________________________________________________

-231-

ألا هدأل الاأل د

2 02 2

( 1)(0) ( 1)

2 ( !)

m

m m ma H a m

mأل

ألع ا أل د ألبقلاةلألاااهذبألفا ألبقااألبقلد 1

2

2 1 2 20

( 1)( ) ( ) ln( )

2 ( !)

mmm

mm

Hy x y x x x

mأل

1اع ا ألبقااألبقلد أل األ 1 2 2( ) ( ) y c y x c y x1اععألإ ألألأل 2,c cأل.لابا ألب عدةعاأل

أل اضاألبقااألفاأللاةلأل ةدةداأل هد عاألقدلداقاألبق د دعاألألأل( :5-18)مثال 0 xy y yأل

ألبقايييييييياأل 0xبق نصا أل أل أل دذ ا أل د ألأللنصا ألا ةيألبقاا ألبق د دعا، ألقدلداقا ا

بقلاةل0

( , ) n s

n

n

y x s a x

ألل ألبق لاعيألاهألاا ند هألفاألبقلداقاألبق د دعاألأل

1 1

0 0 0

1 1

1 1 0

1 1

0 0 1

0

2 1

0

( )( 1) ( ) 0

( )( 1) ( 1) 0

( 1) ( 1)( 1) 0

s (

n s n s n s

n n n

n n n

n s n s n s

n n n

n n n

s s n s

n n

n

s



s s a x sa x n s n s a a x

a x n 2

1

0

1) 0

n s

n n

n

s a a x

أل

2ألبقاقعدعاا ا ألبقلداقاأل 0s 1ا هدألع ا ألأل 2 0s s ةداعد ألألع فا ألبقضذةألا هدألأل أل،ألا هدأل ا ألبقلوطاألبق ةبةعاأل

2

1( 1) 0, 0n nn s a a n أل0sا ا 1فا ألأل 2

1, ( 0)

( 1)

n na a n

nأل

ألا ا ذألع ا 0 1 2

1 2 0 3 02 2 2 2 2 2 2 2

1 1, a ,

1 (2) (1) .2 (3) 1 2 .3

a a aa a a aأل


___________________________________________________________

-232-

ألا ألل ألفا أل0

2

( 1), 0

( !)

n

n

aa n

n

0 ابذبأل ذ د 1a فا

1 20

( 1)

( !)

n n

n

xy

nأل

أل ةألع ا أل د ألبقلاةلألا دألةابألبقااععألفا ألبقااألبآل1

2 1 1 2 1

0 1

( ) ( ) ln( ) ( ) ( ) ln( )

n s n

n n

n n

y x y x x a s x y x b x y xأل

ألإذبأل1 1

2 1

1

2 1 12 1

2

ln( ) ;

2( 1) ln( )

n

n

n

n

n

n

yy nb x y x

x

y yy n n b x y x

x x

2ق لاعيأل ألبل أل 2 2, , y y yفاألبقلداقاألبق د دعاألبقلصدلألعألوا األ أل1( )y xعألبوعانبألبقلداقاألبق د دعا أل ذألفاألب ادةأل أل،ألا

1 2

1 1 12 2 20 0 0

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) , ,

( !) ( !) ( !)

n n n n n n

n n n

x nx n n xy y y

n n nأل

أل ضاأل أل1

1 2 2

2( 1)2, , 2

( !)

n

nn

bb b n

n n nأل

2ااهذبألع ألبقالااأل د أل ( )y x

ألألطريقة أخرى للحالة الثانية1 ادأل 2s sأل ألصةعبألبق لاعيألادقلوطاألألاألبواألافعهدأل الاأل د ألبقااألأل

1

0

( ) ,n s

n

n

y x a x

أل

بقادسألبقلدقعألاذقيألألا ألصةعبأل عيألبقة ااألأل دألفألااألبقلد اع ألبقالااأل د ألبقاعاألبقاا )1الدا )y x أل د ألبقلاةلألااذقيألا ةيألبقااألبقلد


___________________________________________________

-233-

2 1

2 1 1

2 1 1 1

( ) ( ) ( )

y 2

y x u x y x

y u y uy

u y u y uy

أل

) د ألبقلاةلألاابق د دعاألادق لاعيألفاألبقلداقاألبق ) ( ) 0y p x y q x y ألأل الاأل د

1 1 1 1 1 12 ( ) ( ) 0 u y u y uy p x u y uy q x yألأل األااألقدلداقاألبق د دعاألفا ألأل1yاععألإ ألألاأل

1 1 1( ) ( ) 0 uy p x uy q x yألألبقلاةلإق ألألااهذبألفا ألبقلداقاألبق د دعاأل يأل

1 1 12 ( ) 0 u y u y p x u yأل1uاانة هدأل د أل yأل الاأل د ألأل

1

1

2 ( ) 0

yup x

u yأل

ألادق داأل الاأل د أل،

( )2

1 1

( )( ) ( )2 2

1 1 2

1

( )

2

1

ln 2ln ( ) ln ln ln

ln ln

p x dx

p x dxp x dx p x dx

p x dx

u y p x dx c u y e c

eu y e c u y e c u c

y

eu c dx

y

أل

2ا هدألفا ألبقااأل ( )y xألع ا أل د ألبقلاةلأل

( )

2 1 2

1

( )

p x dxe

y x cy dxy

(5.17) --------------ألألألألألأل

)1قادقاألفنصأل ادأل ا ألبقااباألا ة ا أل ذ ألب ), ( )y x p xغعةأللنالألااععألألااب األألأل. ة صععألأل ددهد

) اضاألااألبقلداقاألبق د دعاألألأل( :5-19)مثال 1) (3 1) 0x x y x y y أل

ألبقاييييييييا


___________________________________________________________

-234-

0xبق نصيييييياأل دق لاعيألادقلوطيييييياأل يييييياألقدلداقيييييياألبق د ييييييدعاأل،ألاييييييألل يييييياأل نصيييييياأل ييييييدذأل

0

( , ) ,n s

n

n

y x s a x

ألا ند هدألفاألبقلداقاألبق د دعاألأل

1

0 0

1

n

n=0 0 0

( )( 1) ( )( 1)

+3 (n+s)a ( ) 0

n s n s

n n

n n

n s n s n s

n n

n n

n s n s a x n s n s a x

x n s a x a x

أل

1sا األلدو ألألطاذأل)ألبقل ةذألألxاةدابلأللدو ألطاذ

xألادقل ةأل(أل

2

0 0( 1) 0, 0 s 0s s s a a أل0sضذةب ألةداعد ألقدل ةألألبقاقعدعالداقاألا هدألفا ألقد أل

0sادق لاعيأل ألطعاأل:ألبوااألبقااأل ألفاألبقلداقاأل،أل الاأل د ألأل

1

0 1 0

1

1 0

1

0 1

0 0

1

0

( )( 1) ( 1 )( ) 3 ( )

( 1) 0

( )( 1) ( 1) ( 1 )( )

3 ( ) ( 1

n s n s n s

n n n

n n n

n s n s

n n

n n

n s s n s

n n

n n

n s s

n

n s n s a x n s n s a x n s a x

n s a x a x

n s n s a x s s a x n s n s a x

n s a x sa x n s

1

0 0 0

) 0n s n s

n n

n n n

a x a x

أل

ألادقل ة،أل الاأل د ألبق د األألxااةدابلألطاذأل 1( )( 1) 3( ) 1 ( 1 )( ) ( 1)n nn s n s n s a n s n s n s a أل

0sاا عأل أل الاأل د أل 1 1

0 1 2 3

( )( 1) 3 1 ( 1)( ) ( 1)

.....

n n n nn n n a n n n a a a

a a a a

a 0اا عأل 1أل الاأل د ألأل

1

0

1( )

1

n

n

y x xx

أل

2ادق لاعيأل أل:ألألابقااألبقلد 1( ) ( ) ( )y x u x y xا ند هألفاألبقلداقاألبق د دعاألأل2بقااألأل الاأل د ( )y xألاذقيأل دألعدا(أل1.55) د أللاةلألبقلوطاأل


___________________________________________________

-235-

2

2 2

2

2

3 1( )

2 1 2 2

1

2 13 12 2

2

ln ln 12

2 2ln 1

2

1( )

1 1

1

( ) 1 11 1

11

1 1 1

1 1 1

xdxp x dx

x x

x xxdx dx

x x x x

x x x

x x

e ey x cy dx c dx

xy

x

c cy x x e dx x e dx

x x

cx e dx

x

c cx e dx x

x x x x ln

1

c

dx xx

أل

1اع ا ألبقااألبقلد أل األ 1 2 2( ) ( ) y c y x c y x1اععألإ ألألأل 2,c cأل.لابا ألب عدةعاأل

اذا كان )الحالة الثالثة ( 3-3)1 2

s s اا موجب اا يحصح اا عدد) ألفاأل ذ ألبقادقاألع ا ألقدلداقاألبق د دعاألااأل األادع أل د أللاةلألبق ةدةداأل

0

( , ) n s

n

n

y x s a x

أل

أل د ألبقلاةلألبق دقعاألبوااألاع ا ألبقااأل1

1 1 1

0

( ) ( , ) ( ) n s

n

n

y x y x s a s x

أل

2اع ا ألأل ( )y xألبا د أل د ألبق ااألبق دق ألاقهأللولأل دألفاأل د هدعاإق ألأل ؤااألألy ضلاأللدو ألبق ةدةداألادق ةااألإق أل2sطعاأل (5

ألافاأل ذ ألبقادقاأل ةيأل (أل1-11)لداأل*

2

0

( , ) ( ) ( , ) ( ) n s

n

n

y x s s s y x s b s x

أل

أل د ألبقلاةلألألااع ا ألبقااألبقلد 2

22

*

2 1 2

0

( , )( ) ( ) ln( ) ( ) n sn s

n n

ns ss s

y x sy x b x y x x b s x

s s

أل

أل (1 ألأل2sطعا ألبق ةدةدا أللدو ألإااذ ) ضلا , )y x sأللةفأل ألاغعةindeterminate ااهذبألفا ألأليافاأل ذ ألبقادقاأل نا ألا ةيأل ذبألبقلداألإ عدةألأل


___________________________________________________________

-236-

)2بقااأل , )y x s2 د أللدا ع ألإ عدةعع ألااهذبألعل اةألألعا ايأل( , )y x sبقااألأل األ(.1-15)بقلداألألا ألقدلداقاألبق د دعاألاذقيأل دألفبقلد

2،ألفاأل ذ ألبقادقاأل ةيأل ألاابقلد بوااألإذبألق ألع انبأل (1 2( ) ( , )y x y x s Varation of) ةب ألبصةعنياأل ععيةألبقايدةألادةي اب ألاع ي ألبةي ااباألبقادقياألبقلد عياألابقلدقلياأل

parameterألاق اليياأل ديي ألبقايياألبقلييد ("أل1.55)لداقيياأل" ييدألةييابألفيياألبقادقيياألبقةييداناأل(ألألأل د ألبقلاةلأل

( )

2 1 2

1

( )

p x dxe

y x cy dxy

أل

2 اضاألااألبقلداقاألبق د دعاألألألأل( :5-21)مثال 0xy y y أل

ألبقاييييييييا0xبق نصاأل ألا ةيألبقااأل د ألبقلاةلأل دذلأل األألقدلداقاألبق د دعا،أل األ نصاألأل

0

( , ) ( ) ,n s

n

n

y x s a s x

أل

ألا هدأل ضاأل 1 1

0 0 0

1 1

1 0

( )( 1) 2( ) 0

( 1)( ) 2( 1) 0

n s n s n s

n n n

n n n

n s n s n s

n n n

n n



أل

ألا هدألفا

1 1

0 0 1

0

( 1) 2 ( 1)( 2) 0s s n s

n n

n

s s a x sa x n s n s a a x

أل

1sxلدو أل)ألألبقاقعدعاا هدأل الاأل د ألبقلداقاأل أل(أل 2

0 0( 1) 2 0 0 0, 1s s s a s s a s s ألأل األ الاأل د ألبق دألxااندة األلدو أل

1 , ( 0)( 1)( 2)

nn

aa n

n s n s

أل

)ا هدأل اةسأل ), 0,1,2,3,....na s n أل ألبقلوطاألبق ةبةعاأل


___________________________________________________

-237-

0 011 2 2

( )( ) , ( ) ,

( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 1)( 2) ( 3)

a aa sa s a s

s s s s s s s

أل

ألاع أل لع ألذقي0

2 2 2( )

( 1)( 2) ( 3) ........( ) ( 1)n

aa s

s s s s n s n

أل

1ا ةيأل أل 0s s أل0 0

2 2 2(0) , ( 0)

1.2 .3 .......... ( 1) !( 1)!

n

a aa n

n n n nأل

)2 ا أل أل !) ( 1) ! !( 1) !( 1)!n n n n n n n أل0اا ةيأل أل 1a ألأل ادةلأل ألبوااألعلاحألبقااألأل

1

0

( )!( 1)!

n

n

xy x

n n

أل

2،ألفا ألألا عضداألبقااألبقلد 1s s أل1nق األإق ألأل ؤااألألna وا أل ألبقلدو أل بقلداألاععألإ ألأل،أل( 1)s فاألأل

ألبقند ،أل نا ألا ةيألبقااأل د ألبقلاةلأل*

2

0

( , ) ( ) ( , ) ( ) n s

n

n

y x s s s y x s b s x

أل

ألا هدألفا أل

أل0

2 2 2

00 0 1

( ) ( 1) ( ) ( 2)( 2) ( 3) ..........( ) ( 1)

( ) ( 1) , b ( ) ,2

n n

ab s s a s n

s s s n s n

ab s s a s

s

أل

0ا ألذقيأل ضاأل ألأل 0, 1 0( 1) ( 1)b a b a أل)ابعضداأل )nb s2 األألn نا ألادق لعةأل د ألأل ( )nb sأل دألعداألااابقاألبقداغدة ألبقصاعلأل

0

0

2

2 2 2

ln ( ) 2 ln( 2) 2ln( 3) ... 2 ln( ) ln( 1)

2 2 2 1( ) ( ) ....

2 3 1

2 2 2 1....

2 3 1( )

( 2) ( 3) ..........( ) ( 1)

n

n n

o

n

b s a s s s n s n

b s a b ss s s n s n

as s s n s n

b ss s s n s n

أل


___________________________________________________________

-238-

2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 12 1 .... 2 1 ....

2 3 1 2 3 1( 1)

(1) (2) ..........( 1) ( ) ( 1)!( )!n o o

n n n nb a a

n n n n

ألأل

1ا د ألإ ادةأل أل 1 1( ) 1 ....

2 3n

n ع ألبق لاعةأل أل( 1)nb ألبق دقعاألادقلاةلأل

2( ) ( 1)( 1) ( 2)

( 1)!( )!n o

n nb a n

n n

أل

0اا عأل 1aألألا الاأل د ألبقااألبقلد أل

2

1 12

1 0 0

1 1 10 1

0 0

1

( ) ( , ) ln ( 1) ( 1)

ln ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

( 1) ( )1 ( ) ln 1

!( 1)!

n nn n

s n n

n nn n

n n

n

y x y x s x b x b xs

x b x b x b x b x

n ny x x

x n n

1

2

nx

أل

أل اضاألااألبقلداقاألبق د دعاألألألأل( :5-21)مثال

2(1 ) 2 2 0x y xy y ألألبقاييييييييا

اا عأل0

( , ) ,n s

n

n

y x s a x

ألاععألإ ألألاأل

1 2

0 0

( ) , ( )( -1)n s n s

n n

n n


أل

ألا الاأل هدأل د أل2

0

( )( 1) ( )( 1) 2 ( ) 2 0

n s n s n s n s

n n n n

n

a n s n s x a n s n s x a n s x a x

1 األألبقاقعدعابقلداقاأل 2( 1) 0 1, s 0s s s ألألا الاأل د ألبقلوطاألبق ةبةعاأل

2

3

1

n n

s na a

s nأل

2 ادأل ا أل 0s s أل الاأل د ألأل


___________________________________________________

-239-

2

3 ( 1)

1n n

na a n

n

أل

1nاا عأل ضاأل ألأل 1

0

0a بقلوطاألبق ةبةعاأل لاةأل ألادة اب ألطعاألغعةأللع األاألأل

2 4 6, , ,....a a a0اا قاألa3،ألا ع دأل لاةأل أل 5 7, , ,....a a a1اا قاaادةفة عاألأل د ألإ ألأل أل

1aألااالألألا هدألقهألطعاأل

2 0 4 2 2 6 4 0

8 6 0

1 1 3 1, , ,

3 3 5 5

5 1,.........

7 7

a a a a a a a a

a a a

أل

2ا هدأل 0

1

2 1na a

n

أل

3 5 7 9 10, ......... 0 , 0 a a a a aأل0sاا عأل أل الاأل د ألبقااألبقلد أل

2 4 2

. 0 1

1 11 ......... .....

3 2 1

n

G Sy a x x x a xn


___________________________________________________________

-240-

(5-1)تمارين ألاأل هد عاألد عاألفاأللاةلأل ةدةبقلدا ألبق د دعاألبآل اضاألااأل

(1) 2(1 ) 2 2 0 x y xy y (2) 3 2 0 y y y (3) 2 y y (4) 2 0 y xy (5) ( 1) (2 3) 0 x y x y (6) 2 22 (1 ) 0 x y xy x y (7) 2 2 1

( ) 04

x y xy x y

(8) 2 0 xy y y (9) 3 2 0 xy y y (10) 2(1 ) 5 3 0 x y xy y (11) 3 2 0 xy y y (12) 0 xy y y (13) 2(1 ) 4 4 0 x y xy y (14) (1 ) 2 0 xy x y y (15) 0 xy xy y (16) 2 (1 ) 0 xy x y y (17) 1

3 0 xy xy yx

(18) 2 2 ( 1) 0 x y x x y y (19) 2 0 y x y (20) 2 22 0 x y x x y y

حل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلات...

Science

Transcript of حل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلات...