ΣΥΝΟΛΑ

Ω

Α Β

Γ

Κοζαλάκης Ευστάθιος

Περιεχόμενα

•Σύνολα

•Βασικό Σύνολο

•Ισα Σύνολα

•Υποσύνολα

•Κενό Σύνολο

•Πράξεις Συνόλων

ΣΎΝΟΛΑ

Σύνολο ονομάζουμε ‘‘κάθε συλλογή αντικειμένων , τα οποία προέρχονται από την εμπειρία μας ή από την νόησή μας , είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται με σαφήνεια το ένα από το άλλο ’’ . (Cantor)

Στοιχεία ή μέλη του συνόλου ονομάζονται τα αντικείμενα που αποτελούν το σύνολο

( ο συμβολισμός των συνόλων γίνεται με κεφαλαία γράμματα , ενώ των στοιχείων με μικρά )

α Α : σημαίνει ότι το στοιχείο α ανήκει στο σύνολο Α .

α Α : σημαίνει ότι το στοιχείο α δεν ανήκει στο σύνολο Α . Για παράδειγμα

Ένα σύνολο παριστάνεται με τους ακόλουθους δύο τρόπους :

Mε αναγραφή των στοιχείων του: Γράφουμε δηλαδή τα στοιχεία του συνόλου ένα - ένα (και μία φορά το καθένα ) ανάμεσα σε δύο άγκιστρα και χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά , χωρίζοντάς τα με κόμμα .

Με περιγραφή των στοιχείων του: Αναφέρουμε δηλαδή μια χαρακτηριστική ιδιότητα των στοιχείων , που να εξασφαλίζει όμως ότι αυτά είναι καλά καθορισμένα και διακρίνονται μεταξύ τους .

Κοζαλάκης Ευστάθιος

ΒΑΣΙΚΟ ΣΥΝΟΛΟ

Βασικό σύνολο : λέγεται το ευρύτερο σύνολο , με τα υποσύνολα του οποίου

εργαζόμαστε. Συμβολίζεται συνήθως με Ω.Τα διαγράμματα Venn είναι μια

εποπτική παρουσίαση των συνόλων όπου με ένα ορθογώνιο συμβολίζεται το

βασικό σύνολο , μέσα στο οποίο κάθε κλειστή καμπύλη γραμμή συμβολίζει

ένα σύνολο με στοιχεία όσα στοιχεία του βασικού συνόλου περικλείονται μέσα

στη κλειστή αυτή γραμμή .

Ω

Α Β

Γ

ΒΑΣΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ

N = {0 , 1 , 2 , 3 , . . . . } : Σύνολο των φυσικών αριθμών .

Ζ = { . . . . , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , . . . } : Σύνολο των ακεραίων .

Q = { x / x= , με α,β Ζ , β0 } : Σύνολο των ρητών

R = { x / xQ ή x : άρρητος } : Σύνολο των πραγματικών

Ζ* = Ζ - {0} ( Γενικά ο αστερίσκος σαν εκθέτης στα δεξιά του συνόλου δηλώνει ότι το σύνολο δεν περιέχει το 0 )

Ζ+ = {0 , 1 , 2 , 3 , . . . } (Γενικά το + ως δείκτης δηλώνει ότι το σύνολο περιέχει μόνο τους θετικούς αριθμούς και το 0 )

Κοζαλάκης Ευστάθιος

ΙΣΑ ΣΥΝΟΛΑ –ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ-ΚΕΝΟ ΣΥΝΟΛΟ

Ίσα σύνολα: λέγονται δύο σύνολα Α και Β όταν αυτά έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία και γράφουμε : A=B

Πχ. τα σύνολα : A={xZ / x<0 } και Ζ-* είναι ίσα .

Υποσύνολο ενός συνόλου Α λέγεται ένα σύνολο Β , όταν κάθε στοιχείο του συνόλου Β ανήκει στο Α .

( συμβολισμός : Β Α ) Πχ. Ν Ζ Q R

Kενό : λέγεται το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο ( συμβολισμός : ή { } )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. Ας θεωρήσουμε τα σύνολα:

Α = {1, 2} και Β= {x∈ ℝ | (x - 1)(x - 2) = 0 }

Επειδή οι λύσεις της εξίσωσης (x - 1)(x - 2) = 0 είναι οι αριθμοί 1 και 2,

το σύνολο Β έχει τα ίδια ακριβώς στοιχεία με το Α. Σε αυτήν την

περίπτωση λέμε ότι τα σύνολα Α και Β είναι ίσα.

2. Ας θεωρήσουμε τα σύνολα

Α={1, 2, 3, ... , 15} και Β={1, 2, 3, ... , 100}

Παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του

συνόλου Β. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το Α είναι υποσύνολο

του Β.

3. Ας αναζητήσουμε τα στοιχεία του συνόλου Α = {x ∈ ℝ | x2 = -1}. Είναι

φανερό ότι τέτοια στοιχεία δεν υπάρχουν, αφού η εξίσωση x2 = -1 είναι

αδύνατη στο ℝ. Το σύνολο αυτό, που δεν έχει κανένα στοιχείο,

λέγεταικενό σύνολο και συμβολίζεται με ∅ ή { }.

ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΟΛΑ

Ένωση δύο συνόλων Α , Β λέγεται το σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία και των δύο συνόλων Α , Β. Συμβολίζεται AUB ΑΒ={xΩ / xA ή xB

Τομή δύο συνόλων Α , Β λέγεται το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των δύο συνόλων Α και Β. Συμβολίζεται Α∩Β δηλ. Α∩Β ={ xΩ / xA και xB }

.Συμπλήρωμα ενός συνόλου Α λέγεται το σύνολο που περιέχει εκείνα τα στοιχεία του βασικού συνόλου Ω που δεν ανήκουν στο Α . Συμβολίζεται Α΄ Δηλ. Α΄={xΩ / xA }π.χ.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. Έστω Ω = {1, 2, 3, ...,10} ένα βασικό σύνολο και δύο υποσύνολά του:

Α = {1, 2, 3, 4} και Β = {3, 4, 5, 6} .

Το σύνολο {1, 2, 3, 4, 5, 6}, που έχει ως στοιχεία τα κοινά και τα μη κοινά

στοιχεία των Α και Β, δηλαδή το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν

τουλάχιστον σε ένα από τα Α και Β λέγεται ένωση των συνόλων Α και Β.

2. Το σύνολο {3, 4} που έχει ως στοιχεία τα κοινά μόνο στοιχεία των Α και

Β λέγεται τομή των Α και Β.

Γενικά:

3. Το σύνολο {5, 6, 7, 8, 9, 10} που έχει ως στοιχεία τα στοιχεία του Ω που

δεν ανήκουν στο Α, λέγεται συμπλήρωμα του συνόλου Α.

Κοζαλάκης Ευστάθιος

ΕΝΩΣΗ ΣΥΝΟΛΩΝ

Α Β

Ω

α

β

γ 1 x

2

0

y

3-2

ΤΟΜΗ ΣΥΝΟΛΩΝ

Κοζαλάκης Ευστάθιος

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ

Α Β

Ω

α

β

γ 1 x

2

0

y

3-2

AΑ΄

Κοζαλάκης Ευστάθιος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα : Α={xN / x+2<7} , B={xZ / |x-2|<4 }

Γ={(x,y) / xZ , yZ , |x+y|<1 , y2=1} Δ={(x,y) / xZ , yZ , |x+2|=1 , =3}

Ε={(x,y) / xZ , yN , x3=-8 , |y2-1| 3} .

2. Να γραφούν με περιγραφή τα σύνολα : i) Α={0 , 1 , 2 , 3} ii) B={-3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3}

3. Να εξετάσετε ποια σχέση έχουν τα σύνολα :

i) Α={αR / α2=|α| } και Β={αR / α3=α} .

iii) A={xR / χ=2 } και Β={xZ / -2 1-3x 4 }

4. Να βρεθεί η ένωση και η τομή των συνόλων :

α) Α=R-{1 , 2} , B=R-{2 , 3} β) Α=R-{-1 , 2} B=[1 , +) γ) Α=(3 , +) , Β=(- , 5]

5. Να βρείτε όλα τα υποσύνολα των συνόλων : Α={0 , 1} και Β={1 , 2 , 3} .

Διάλειμμα