Якщо через центр кола, вписаного в многокутник, проведено перпендикуляр до площини многокутника, то кожна точка перпендикуляра рівновіддалена від сторін многокутника.

Якщо точка поза площиною многокутника рівновіддалена від усіх його сторін, то основою перпендикуляра, проведеного з даної точки до площини многокутника, є центр кола, вписаного в многокутник. (т.Р є АВС, РМ=РN=РК,РО АВС => т.О – центр кола, вписаного в многокутник)

А

N

В

С

К

М

Р

О

Точка, рівновіддалена від сторін многокутникаТочка, рівновіддалена від сторін многокутника

Відстані в просторіВідстані в просторі

Точка

Точка

Площина

Площина

Пряма

Пряма

А

А 1

α

β

.

називається довжина їхнього спільного перпендикуляра( відрізка з кінцями на даних прямих, перпендикулярного до кожної з них)

β//α, А є α, А1 є β, АА1 α,АА1 β , (β,α) = АА1

а

в

А

ВАВ а , АВ в , (а,в) = АВ

Відстань між мимобіжними прямими дорівнює відстані між паралельними площинами, які проходять через ці прямі.

α

β

А

В

а

в

є довжина перпендикуляра опущеного з будь-якої точки площини на паралельну їй площину

Відстань від точки до точки (відстань між двома точками) дорівнює довжині відрізка, що з’єднує ці точки.

Відстань від точки до прямої дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з даної точки на пряму.

..

А

В

( А, В) = АВ

.

.а

А

В

АВ а (А , а ) = АВ

Відстань від точки до площини дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площинуК

Мα.

.

КМ α ( М є α ).КМ= (К;α)

Відстань від точки до відрізка не завжди дорівнює відстані від точки до прямої, якій належить цей відрізок. Вона може дорівнювати відстані від даної точки до кінця відрізка.

М

С

H

D (М, DC) = MD ≠ MH

•Відстань від прямої до паралельної їй прямої(між паралельними прямими) дорівнює відстані від якої-небудь точки однієї прямої до другої.а

в

А

М

а // в; А є а; АМ в;М є в ( а, в) = АМ

Відстань від прямої до :Відстань від прямої до :

а

Відстанню від прямої до паралельної їй площини називається відстань від будь-якої точки даної прямої до даної площини.

. А

α

а//α , А є а, (а; α) = ( А; α) = АА1

А1 .

Відстанню від прямої до паралельної їй площини називається відстань від будь-якої точки даної прямої до даної площини.

. А

α

а//α , А є а, (а; α) = ( А; α) = АА1

А1 .

Способи обчислення відстані Способи обчислення відстані між мимобіжними прямимиміж мимобіжними прямими

1. Нахай прямі а і в мимобіжні. Проводимо через пряму в площину β//а.

а

βв

(а;в) = (а;β)

2. Нехай прямі а і в мимобіжні. Проведемо через ці прямі паралельні площини площини α//β.

α

β

а

в

3. Нехай прямі а і в мимобіжні. Проведемо площину α а і спроектуємо прямі ці прямі так, що : а А, в в1.

(а;в) = ( α;β)

.α

а

А

в

в1

(а;в) = ( А; в1)

1.Якщо через центр кола , описаного навколо многокутника проведено пряму, перпендикулярну до площини многокутника, то кожна точка цієї прямої рівновіддалена від вершин многокутника.2.Якщо точка поза площиною многокутника рівновіддалена від усіх його вершин, то основою перпендикуляра, проведеного з даної точки до площини многокутника, є центр кола, описаного навколо многокутника.

Точка рівновіддаленаТочка рівновіддалена від вершин многокутникавід вершин многокутника

А

В С

М

2.АВС- даний трикутник, М ¢ ∆ АВС,МА=МВ=МС і МО АВС О – центр кола, описаного навколо ∆ АВС

ОО

1.О – центр кола, описаного навколо ∆ АВС ; МО АВС МА=МВ=МС

Вимірювання кутів у просторіВимірювання кутів у просторі

Кут

що перетинаються

мимобіжними

перпендикулярними

Між прямою іплощиною

Міжплощинами

Міжпрямими

двогранні

паралельними

паралельними між похилою

і площиною перпендикулярними

1.Кутом між прямими, що перетинаються називається найменший із кутів, що утворилися в результаті перетину даних прямих.

2.Дві прямі називають перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90˚.

3.Кут між паралельними прямими вважають таким, що дорівнює 0˚.

4.Кутом між мимобіжними прямими називають кут між прямими, які перетинаються і паралельні відповідно даним мимобіжним прямим.

Кут між прямимиКут між прямими

а

вα

(ав) = ≤90˚ α

а

в

α = 90˚=>а в

ав

а // в=> (ав) =0˚

а

в в1

а1γ

а _ в, а//а1, в//в1,а1 х в1=О ‹=› (ав) = (а1в1)

.

1.Кутом між прямою і площиною називають кут між прямою і її ортогональною проекцією на площину

АВСDA1B1C1D1 – куб. ВD – проекція відрізка В1D на площину грані АВСD. Кут між прямою DB1 і площиною грані АВСD = ∠В1D = ,В0˚ ≤ ≤ 90˚

2.Кутом між похилою і площиною називають кут між похилою і її проекцією на площину

АВ – похила,АN – перпендикуляр,BN – проекція похилої,β – кут між АВ і α0˚ < β< 90˚

3. Якщо пряма паралельна площині, то кут між такою прямою і площиною дорівнює 0˚

а // α∠ (а,α) = 0˚

4.Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між ними дорівнює 90˚

а α ∠ (а,α) = 90˚

А

А1

В

В1

С

С1

D

D1

А

NВβ

α

α

а

α

а

Кутом між площинами α і β , які перетинаються по прямій с , називається кут між прямими, проведеними через довільну точку прямої св цих площинах , перпендикулярно до неї.

0˚ ≤ ∠(α,β) ≤ 90˚

Кут між паралельнимиплощинами дорівнює 0˚

α//β, ∠(α,β)=0˚

Кут між перпендикулярними площинами дорівнює 90˚

Двогранним кутом називається частина простору,обмежена двома півплощинами, які виходять з однієї прямої

Кут між площинамиКут між площинами

α

β

са

в α∩β=с, а є α, в є β,а с, в с,∠(α,β)=∠(а,в).

β

αα

β

с

а

вα β

γ

М.

0˚≤ γ ≤ 360˚