Θεωρία από τη Γεωμετρία Α΄ Λυκείου

ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΗ ΓΕΩΡΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ 1

ΜΙΧΑΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ

γ

α

β

Α

Β Γ

γ

α

β

Α

Β Γ

γ β

Α

Β Γ

γ

α

β

Α

Β Γ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Τρίγωνα

Πλευρές , ,

Γωνίες

, ,

Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ίσο με 180

δηλ.

180

Σκαληνό

Όλες οι πλευρές άνισες

Ισοσκελές

Δύο πλευρές ίσες

Στο ισοσκελές τρίγωνο οι γωνίες της βάσης είναι ίσες

δηλ.

Ισόπλευρο

Όλες οι πλευρές ίσες

Στο ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι γωνίες είναι ίσες με 60

δηλ.

60

Κύρια Στοιχεία

Τριγώνου

Είδη Τριγώνων

Με Βάση Τις Πλευρές

2 ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΗ ΓΕΩΡΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

lisari team

Α

Β Γ

Γ

Α Β

Γ

Α Β

Οξυγώνιο

Όλες οι γωνίες οξείες

90

, ,

Ορθογώνιο

Μία γωνία ορθή

90

Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μία ορθή γωνία

Αμβλυγώνιο

Μία γωνία αμβλεία

90

Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μία αμβλεία γωνία

Είδη Τριγώνων

Με Βάση Τις Γωνίες



Μ

Α

Β Γ

Α

Β ΓΔ

Α

Β ΓΕ

Γ

Ε ΒΑ υβ

Γ

ΒΑ

Ε

υγ

υβ

Γ

Α Β

Διάμεσοι , ,

Διάμεσος ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα

που ενώνει μία κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς,

δηλ.

Διχοτόμοι , ,

1 2 Διχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου λέγεται το ευθ.

τμήμα που ενώνει μία κορυφή με την απέναντι πλευρά

και χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες, δηλ. 21

Ύψοι , ,

Ύψος ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα

που ενώνει κάθετα μία κορυφή με την απέναντι πλευρά

δηλ.

Στα αμβλυγώνια τρίγωνα, τα ύψη που άγονται από τις κορυφές των οξειών γωνιών

βρίσκονται στο εξωτερικό του τριγώνου, όπως στα σχήματα που ακολουθούν:

Στα ορθογώνια τρίγωνα, τα ύψη που άγονται από τις κορυφές των οξειών γωνιών

ταυτίζονται με τις κάθετες πλευρές του τριγώνου, όπως στο σχήμα που ακολουθεί:

Δευτερεύοντα Στοιχεία

Τριγώνου


lisari team

ε

ΜΑ Β

Κ

δ

Ο

Κ

Α

Β

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου,

ισαπέχει από τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος

δηλ.

Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα

ενός ευθ. τμήματος, είναι σημείο της μεσοκαθέτου

δηλ.

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας

ισαπέχει από τις πλευρές της

δηλ.

Κάθε εσωτερικό σημείο μιας γωνίας που ισαπέχει

από τις πλευρές της, είναι σημείο της διχοτόμου

δηλ.

1

2

Μεσοκάθετος ε

Διχοτόμος δ



Α

Β Γ

Α΄

Β΄ Γ΄

Α

Β Γ

Α΄

Β΄ Γ΄

Α

Β Γ

Α΄

Β΄ Γ΄

1ο Κριτήριο (Π – Γ – Π)

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες

μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές

γωνίες ίσες, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

2ο Κριτήριο (Γ – Π – Γ)

Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά

και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες

μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

3ο Κριτήριο (Π – Π – Π)

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές ίσες


Κριτήρια Ισότητας

Τριγώνων


lisari team

Γ

Α Β

Γ΄

Α΄ Β΄

Γ

Α Β

Γ΄

Α΄ Β΄

1ο Κριτήριο (Π – Π)

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα

έχουν δύο ομόλογες πλευρές τους ίσες


2ο Κριτήριο (Π – Γ)

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα

έχουν μία πλευρά και την προσκείμενη

σε αυτή οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες


Κριτήρια Ισότητας

Ορθογωνίων Τριγώνων



Α

Β ΓΜ

Α

Β ΓΜ

Πόρισμα 1

Αν

ισοσκελές τρίγωνο και ΑΜ ένα από τα εξής:

διάμεσος, διχοτόμος, ύψος,

τότε το ΑΜ είναι και τα υπόλοιπα δύο.

ύψος& διχοτόμος διάμεσος

ισοσκελές

ύψος& διάμεσος διχοτόμος

ισοσκελές

διχοτόμος& διάμεσος ύψος

ισοσκελές

Πόρισμα 2

Αν σε ένα τρίγωνο

το ΑΜ είναι ταυτόχρονα

δύο από τα εξής: διάμεσος, διχοτόμος, ύψος,

τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

ισοσκελές διχοτόμος

διάμεσος

ισοσκελές ύψος

διάμεσος

ισοσκελές ύψος

διχοτόμος

Πορίσματα


lisari team

εξ.

εξ.εξ.

Α

Β Γ

Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου

είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις

απέναντι γωνίες του τριγώνου

,

,

,

Α

Σε κάθε τρίγωνο, απέναντι από άνισες πλευρές

βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα

Κάθε πλευρά τριγώνου είναι

μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο

& μεγαλύτερη τη διαφορά τους

Ανισοτικές Σχέσεις



ε

δ

R

Ο

ε

δ R

Ο

Α

εδ R

ΒΑ

Ο

Ν1 Μ2

1

2ΟΡ

Α

Β

Κανένα Η ε εξωτερική

κοινό σημείο του κύκλου δ > R

1 κοινό σημείο Η ε εφαπτομένη

επαφής σημείο : του κύκλου δ = R

Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής

είναι κάθετη στην εφαπτομένη

2 κοινά σημεία Η ε τέμνουσα

τομήςσημεία : , του κύκλου δ < R

Εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ, ΡΒ

Διακεντρική ευθεία ΡΟ

Τα εφαπτόμενα τμήματα είναι ίσα μεταξύ τους, δηλ.

Η διακεντρική ευθεία διχοτομεί τη γωνία

, δηλ. 21

Η διακεντρική ευθεία διχοτομεί τη γωνία

, δηλ. 21

Η διακεντρική ευθεία διχοτομεί τη χορδή ΑΒ, δηλ.

Η διακεντρική ευθεία τέμνει κάθετα τη χορδή ΑΒ, δηλ.

Η διακεντρική ευθεία διχοτομεί το τόξο ΑΒ, δηλ.

Σχετικές Θέσεις Ευθείας – Κύκλου

Εφαπτόμενα Τμήματα


lisari team

R ρδΚ Λ

δΛΚ

ρR

δ

ΑΛΚ

δΚ Λ Α

δ Μ

Β

Α

Κ Λ

Ο , εξωτερικός

του R , R

Κανένα

κοινό σημείο

Ο , εσωτερικός R

του R ,

Ο , εφάπτεται

εξωτερικά του R , R

1 κοινό σημείο

επαφής σημείο :

Ο , εφάπτεται R

εσωτερικά του R ,

2 κοινά σημεία Ο , τέμνει

τομήςσημεία : , τον R , RR

Η διάκεντρος (δ) δύο τεμνόμενων κύκλων

είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής

δηλ. και

Σχετικές Θέσεις Δύο Κύκλων



Α

ε1

ε2

ε

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Παράλληλες Ευθείες

1 Άπειρα κοινά σημεία Οι ευθείες ταυτίζονται

2 21

1 Ένα κοινό σημείο Οι ευθείες τέμνονται

2 τομήςσημείο : 21 //

1 Κανένα κοινό σημείο Οι ευθείες είναι παράλληλες

2 21 //

γ β δ α

η ζ

θ ε

εντός εναλλάξ :

- ,- (ίσες)

εκτός εναλλάξ :

- ,- (ίσες)

εντός επί τα αυτά :

- ,- (παραπληρωματικές)

εκτός επί τα αυτά :

- ,- (παραπληρωματικές)

εντός εκτός εναλλάξ :

- ,- ,- ,- (παραπληρωματικές)

εντός εκτός επί τα αυτά :

- ,- ,- ,- (ίσες)

Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται

από τρίτη, σχηματίζουν:

τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες

τις εντός εκτός & επί τα αυτά γωνίες ίσες

(ισχύουν και οι αντίστροφες προτάσεις)

Σχετικές Θέσεις Δύο Ευθειών

Ιδιότητες Παράλληλων Ευθειών


lisari team

Ο

B Γ

A

Ο

Β

Α

Γ

ΟΞ

Μ

Ν

Α

Β Γ

Ο

Α

Β Γ

Περίκεντρο

Σημείο τομής μεσοκαθέτων

Το περίκεντρο είναι το κέντρο

του περιγεγραμμένου κύκλου

Έγκεντρο

Σημείο τομής διχοτόμων

Το έγκεντρο είναι το κέντρο

του εγγεγραμμένου κύκλου

Βαρύκεντρο

Σημείο τομής διαμέσων

3

2

3

2

3

2 , ,

Ορθόκεντρο

Σημείο τομής υψών

Χαρακτηριστικά Σημεία



Γ

Α Β

εξ.

εξ.εξ.

Α

Β Γ

Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου

είναι ίσο με 180 ( 2 ορθές )

180

180

180

180

Το άθροισμα των οξειών γωνιών

κάθε ορθογωνίου τριγώνου

είναι ίσο με 90 ( 1 ορθή )

90

90

90

Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου

είναι ίση με το άθροισμα

των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του

Άθροισμα Γωνιών Τριγώνου


lisari team

Α Β

Δ Γ

Α

Δ

Β

Γ

Α

Β

Δ

Γ

Α Β

Δ Γ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Παραλληλόγραμμα – Τραπέζια

Παραλληλόγραμμο

Παραλληλόγραμμο λέγεται * Απέναντι πλευρές παράλληλες

το τετράπλευρο που έχει * Απέναντι πλευρές ίσες

τις απέναντι πλευρές του * Απέναντι γωνίες ίσες

παράλληλες * Απέναντι πλευρές ίσες * Διαγώνιοι διχοτομούνται

* Απέναντι γωνίες ίσες * Δύο απέναντι πλευρές

* Διαγώνιοι διχοτομούνται παράλληλες και ίσες

Ορθογώνιο

Ορθογώνιο λέγεται * Παρ/μο & μία ορθή γωνία

το παρ/μο που έχει * Παρ/μο & διαγώνιοι ίσες

μία γωνία ορθή * Τρεις ορθές γωνίες

* Διαγώνιοι ίσες * Όλες οι γωνίες ίσες

Ρόμβος

Ρόμβος λέγεται * Παρ/μο & δύο διαδοχικές

το παρ/μο που έχει πλευρές ίσες

δύο διαδοχικές πλευρές ίσες * Παρ/μο & διαγώνιοι

τέμνονται κάθετα

* Παρ/μο & μία διαγώνιος

* Διαγώνιοι τέμνονται κάθετα διχοτομεί μία γωνία του

* Διαγώνιοι διχοτομούν τις γωνίες * Όλες οι πλευρές ίσες

Τετράγωνο

Τετράγωνο λέγεται * Μία γωνία ορθή & δύο

το παρ/μο που είναι διαδοχικές πλευρές ίσες

ορθογώνιο & ρόμβος * Μία γωνία ορθή & μία διαγώνιος

διχοτομεί μία γωνία του

* Μία γωνία ορθή &

* Απέναντι πλευρές παράλληλες διαγώνιοι κάθετες

* Όλες οι πλευρές ίσες * Διαγώνιοι ίσες & δύο

* Όλες οι γωνίες ορθές διαδοχικές πλευρές ίσες

* Διαγώνιοι ίσοι, τέμνονται κάθετα, * Διαγώνιοι ίσες & μία διχοτομεί

διχοτομούνται & μία γωνία του

διχοτομούν τις γωνίες * Διαγώνιοι ίσες & κάθετες

Ορισμοί Ιδιότητες Κριτήρια

Παραλληλόγραμμα – Είδη Παρ/μων



ΕΔ

Α

Β Γ

ΕΔ

Α

Β Γ

ε1

ε3

ε2

ΙΖΓ

Β Ε Θ

ΗΔΑ

Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου

είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά

και ίσο με το μισό της

2

// τουμέσο

τουμέσο

Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου

φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μια άλλη

πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται

από το μέσο της τρίτης πλευράς του

τουμέσο

//

τουμέσο

Αν τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες

ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα,

θα ορίζουν ίσα τμήματα

και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει

. . . ,////

321

Εφαρμογές Παραλληλογράμμων


lisari team

Μ

Γ

Α Β

Μ

Γ

Α Β

30

Α

Γ

Β

Α

Γ

Β

Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε

από την κορυφή της ορθής γωνίας

είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας

2

90

τουμέσο

Αν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό

της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο

είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή

90

2

τουμέσο

Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του

ισούται με 30ο, τότε η απέναντι πλευρά του

είναι το μισό της υποτείνουσας

230

90

Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο

ισχύει

2

, τότε

30

30

2

90

Ιδιότητες Ορθογωνίων τριγώνων



Δ Γ

Α Β

Δ Γ

Α Β

ΛΖΕ

Κ

Δ Γ

Α Β

Τραπέζιο

Τραπέζιο λέγεται * Δύο πλευρές παράλληλες

το κυρτό τετράπλευρο

που έχει

μόνο δύο πλευρές * Διάμεσος παράλληλη προς

παράλληλες τις βάσεις & ίση με το

ημιάθροισμά τους

* Το τμήμα που σχηματίζεται

από τη διάμεσο & τις διαγωνίους

παράλληλο στις βάσεις & ίσο

με την ημιδιαφορά τους

22

& τουμέσο

τουμέσο

Ισοσκελές τραπέζιο

Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται * Τραπέζιο & μη παράλληλες

το τραπέζιο του οποίου πλευρές ίσες

οι μη παράλληλες πλευρές * Τραπέζιο & γωνίες που

είναι ίσες * Γωνίες που πρόσκεινται πρόσκεινται σε μια βάση ίσες

σε μια βάση ίσες * Τραπέζιο & διαγώνιοι ίσες

* Διαγώνιοι ίσες


Τραπέζια


lisari team

φω

Ο

Α Β

Γ

φ

ΟΑ Β

Γ

x

φ

Ο

Β

Γ

Α

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Εγγεγραμμένα Σχήματα

Κάθε επίκεντρη γωνία ισούται

με το μέτρο του αντίστοιχου τόξου

& με το διπλάσιο κάθε εγγεγραμμένης γωνίας

που βαίνει στο τόξο αυτό

δηλ.

μέτρο 2

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία

που βαίνει σε ημικύκλιο

είναι ορθή

δηλ.

90

Η γωνία που σχηματίζεται από μία χορδή κύκλου

και την εφαπτομένη στο άκρο της χορδής

(γωνία χορδής – εφαπτομένης) ισούται με την

εγγεγραμμένη που βαίνει στο τόξο της χορδής

δηλ.

x

Επίκεντρες – Εγγεγραμμένες Γωνίες

Χορδής - Εφαπτομένης



Α

Β

Γ

Δ

Α

Β

Γ

Δ

Εγγεγραμμένο τετράπλευρο

Ένα τετράπλευρο λέγεται * Απέναντι γωνίες

εγγεγραμμένο σε κύκλο παραπληρωματικές

αν οι κορυφές του είναι * Κάθε πλευρά φαίνεται

σημεία του κύκλου από τις απέναντι κορυφές

υπό ίσες γωνίες

* Κάθε εξωτερική γωνία

ισούται με την απέναντι εσωτερική

Εγγράψιμο τετράπλευρο

Ένα τετράπλευρο λέγεται * Δύο απέναντι γωνίες

εγγράψιμο όταν μπορεί παραπληρωματικές

να γραφεί κύκλος * Μία πλευρά φαίνεται

που να διέρχεται και από από τις απέναντι κορυφές

τις τέσσερις κορυφές του υπό ίσες γωνίες

* Μία εξωτερική γωνία ισούται

με την απέναντι εσωτερική


Εγγεγραμμένα – Εγγράψιμα

Τετράπλευρα

Θεωρία από τη Γεωμετρία Α΄ Λυκείου

Education

Transcript of Θεωρία από τη Γεωμετρία Α΄ Λυκείου