методы моделирования и оптимизации конспект лекций

Федеральное агентство связи Федеральное государственное образовательное

бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Поволжский государственный университет

телекоммуникаций и информатики»

Кафедра автоматической электросвязи

Ваняшин С.В.

«Методы моделирования и оптимизации»

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по направлению подготовки магистра

210700 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи»

Самара 2013

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

УДК 621.391

Ваняшин С.В. Методы моделирования и оптимизации. Конспект лекций. – Са-мара.: ФГОБУ ВПО ПГУТИ, 2013. – 83 с. Конспект содержит лекционный материал по дисциплине «Ме-тоды моделирования и оптимизации», читаемой для студентов очной полной формы обучения по направлению подготовки ма-гистра «210700-Инфокоммуникационные технологии и системы связи», в котором рассматриваются целый ряд технологий по-строения мультисервисных телекоммуникацинных сетей, при-водятся основные понятия и определения теории моделирова-ния. Содержание курса обеспечивает слушателей необходимым объемом знаний для освоения основ построения и анализа со-временных мультисервисных телекоммуникационных сетей. Рецензенты: Карташевский В.Г. – д.т.н., профессор, Декан факультета «Телекоммуникаций и радиотехники» ФГОБУ ВПО ПГУТИ Мердеев Э.М. – директор департамента проектирования ООО «Старт2ком» филиал Самарский

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Поволжский государственный

университет телекоммуникаций и информатики» © Ваняшин С.В., 2013


3

Содержание – перечень тем и разделов

Список обозначений и сокращений ………………………... 4 Введение ………………………………………....................... 5 Лекция 1. Введение в дисциплину методы моделирования и оптимизации ……………………………………………….. 6 Лекция 2. Математические схемы моделирования систем .. 30 Лекция 3. Имитационное моделирование систем …………. 47 Лекция 4. Моделирование случайных воздействий.............. 60 Лекция 5. Моделирование систем с использованием типовых математических схем и автоматизированных программ……………………………………………………… 68 Список литературы ………………………………………….. 81 Глоссарий …………………………………………………….. 82


4

Список обозначений и сокращений

ATM (asynchronous transfer mode) – асинхронный режим передачи

BGP (Border Gateway Protocol) – пограничный протокол маршрутизации

FSM (Finite-state machine) – конечный автомат ICI (Interface control information) – информация по контро-

лю за интерфейсом LAN (Local Area Network) – локальная вычислительная сеть TCP/IP стек протоколов WAN (Wide Area Network) – территориально распределенная

сеть WFQ (Weighted Fair Queuing) – взвешенное справедливое

обслуживание АЦПУ Алфавитно-цифровое печатающее устройство ВС Вычислительная система ИМ Имитационная модель ММ Математическая модель ОЗУ Оперативное запоминающее устройство ОПС Однородный поток событий ПС Поток событий СМО Система массового обслуживания ТА Теория автоматов ЭВМ Электронно-вычислительная машина


5

Введение

Телекоммуникационная отрасль является одной из самых быстроразвивающихся отраслей экономики. Ее бурный и дина-мический рост обуславливает потребность в высокопрофессио-нальных специалистах, подготовку которых должны обеспечить высшие учебные заведения страны. Такие специалисты должны владеть знаниями современных технологий построения теле-коммуникационных сетей и навыками их проектирования.

Настоящий курс лекций является частью учебно-методического комплекса и предназначен для студентов, обу-чающихся по программе «Методы моделирования и оптимиза-ции» по направлению 210700 «Инфокоммуникационные техно-логии и системы связи».

Конспект лекций состоит из 5 лекций, предусмотренных учебной программой ПГУТИ. В лекции 1 приводятся основные понятия и определения теории моделирования. Лекция 2 посвя-щена математическим схемам моделирования. В 3-й лекции об-суждаются вопросы имитационного моделирования систем. Лекция 4 предлагает слушателю обзор анализ моделирования случайных воздействий, а в Лекции 5 приводится практические вопросы моделирования систем с использованием типовых ма-тематических схем и автоматизированных программ имитаци-онного моделирования.

В списке источников даны ссылки на нормативные доку-менты, статьи и монографии, использованные при написании курса лекций.


6

Лекция 1. ВВЕДЕНИЕ В ДИСЦИПЛИНУ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ

Цель лекции В вводной лекции будут рассмотрены основные понятия

и определения теории моделирования, включающие в себя мо-дель, систему. Также будет рассмотрена классификация моделей и основные этапы моделирования.

1.1. Понятие моделирования, модели и системы

Моделирование – это замещение одного объекта (ориги-нала) другим (моделью) и фиксация или изучение свойств ори-гинала путем исследования свойств модели. Объект (система) определяется совокупностью параметров и характеристик. Множество параметров системы отражает ее внутреннее содер-жание – структуру и принципы функционирования. Характери-стики системы – это ее внешние свойства, которые важны при взаимодействии с другими системами. Характеристики системы находятся в функциональной зависимости от ее параметров. Теория моделирования представляет собой взаимосвя-занную совокупность положений, определений, методов и средств создания и изучения моделей. Эти положения, опреде-ления, методы и средства, как и сами модели, являются предме-том теории моделирования.

Основная задача теории моделирования заключается в том, чтобы вооружить исследователей технологией создания таких моделей, которые достаточно точно и полно фиксируют интересующие свойства оригиналов, проще или быстрее подда-ются исследованию и допускают перенесение его результатов на оригиналы.

Трудно переоценить роль моделирования в научных изысканиях, инженерном творчестве и, вообще, в жизни челове-ка. Разработка и познание любой системы сводится по сущест-ву, к созданию ее модели. Особую ценность имеют конструк-тивные модели, то есть такие, которые допускают не только


7

фиксацию свойств, но и исследование зависимостей характери-стик от параметров системы. Такие модели позволяют оптими-зировать функционирование систем.

При изложении теоретических знаний по данной дисци-плине предлагаются наиболее известные в литературе методы и средства моделирования. Выбор методов осуществлялся также с точки зрения возможности их применения для исследования вычислительных систем (ВС). В качестве примеров при изложе-нии материала также, как правило, выступают ВС различного назначения и их компоненты.

Модель объекта – это физическая или абстрактная сис-тема, адекватно представляющая объект исследования. В теории моделирования используются преимущественно абстрактные модели – описания объекта исследования на некотором языке. Абстрактность модели проявляется в том, что компонентами модели являются не физические элементы, а понятия, в качестве которых наиболее широко используются математические. Абст-рактная модель, представленная на языке математических от-ношений, называется математической моделью. Математиче-ская модель имеет форму функциональной зависимости

( )Y F X= , где { }myyY ,...,1= и { }nxxX ,...,1= - соответствен-

но характеристики и параметры моделируемой системы, а F - функция, воспроизводимая моделью. Построение модели сво-дится к выявлению функции F и представлению ее в форме, пригодной для вычисления значений ( )Y F X= . Модель позво-

ляет оценивать характеристики Y для заданных параметров X и выбирать значения параметров, обеспечивающие требуемые характеристики, с использованием процедур оптимизации.

Модель может воспроизводить полную совокупность свойств системы либо их подмножество. Состав свойств уста-навливается в зависимости от цели исследований и при по-строении модели определяет:

- состав воспроизводимых характеристик

{ }1,..., mY y y= ;

- состав параметров { }nxxX ,...,1= , изменение кото-

рых должно влиять на характеристики Y ;


8

- область изменения параметров *jj xx ∈ , 1,...,j n=

- область определения модели; - точность – предельная допустимая погрешность

оценки характеристик Y на основе модели. Состав характеристик Y определяется в зависимости от

исследуемых свойств системы – производительности, надежно-сти, стоимости и других свойств и должен гарантировать полно-ту отображения этих свойств. Состав параметров X должен ох-ватывать все существенные аспекты организации системы, изу-чение влияния которых на качество функционирования состав-ляет цель исследования, производимого с помощью модели.

Область определения модели характеризует диапазон исследуемых вариантов организации системы. Чем шире состав характеристик и параметров, а также область определения мо-дели, тем универсальнее модель в отношении задач, которые можно решать с ее использованием.

Допустимые погрешности оценки характеристик и точ-ность задания параметров определяют требования к точности модели. Так, если изменения характеристик в пределах 10% не-существенны для выбора того или иного варианта системы, то точность определения характеристик должна составлять ± 5%. В большинстве случаев параметры, и в первую очередь пара-метры рабочей нагрузки, могут быть заданы лишь приближенно, с относительной погрешностью 10-25%. В таких случаях нет смысла предъявлять высокие требования к точности воспроиз-ведения моделью характеристик системы и погрешности их оценки на уровне 5-15% вполне приемлемы.

Модель, удовлетворяющая вышеперечисленным требо-ваниям по составу характеристик и параметров и точности вос-произведения характеристик по всей области определения, на-зывается адекватной системе.

Существенное влияние на адекватность оказывает об-ласть определения модели. Практически любая модель обеспе-чивает высокую точность воспроизведения характеристик в пределах малой окрестности точки { }1,..., nX x x= . Чем шире

область определения модели, тем меньше шансов, что некоторая модель окажется адекватной системе.


9

Другое свойство модели – сложность. Сложность моде-ли принято характеризовать двумя показателями: размерностью и сложностью вычислений, связанных с определением характе-ристик. Размерность модели – число величин, представляющих в модели параметры и характеристики. Сложность вычислений, выполняемых при расчете характеристик ( )Y F X= , оценивает-ся числом операций, приходящихся на одну реализацию опера-тора F . Обычно сложность вычислений связывается с затрата-ми ресурсов ЭВМ и характеризуется числом процессорных опе-раций и емкостью памяти для хранения информации, относя-щейся к модели. Сложность вычислений – монотонно возрас-тающая функция размерности модели. Поэтому более сложной модели присущи одновременно большая размерность и слож-ность вычислений.

Сложность модели определяется также сложностью мо-делируемой системы и назначением модели (состав характери-стик и параметров, воспроизводимых моделью), размером об-ласти определения и точностью модели. Чем сложнее система, то есть чем больше число входящих в нее элементов и процес-сов, из которых слагается функционирование системы, тем сложнее модель. Увеличение числа воспроизводимых характе-ристик и параметров, области определения и точности оценки характеристик приводят к увеличению сложности модели.

1.2. Краткий обзор методов моделирования

Модели объектов делятся на два больших класса: мате-риальные (физические) и абстрактные (математические). Среди физических моделей наибольшее распространение получили аналоговые модели. С развитием математики широкое примене-ние получили математические модели. По существу вся матема-тика создана для составления и исследования моделей объектов или процессов.

Создание математической модели преследует две основ-ные цели:


10

- дать формализованное описание структуры и про-цесса функционирования системы для однозначно-сти их понимания;

- попытаться представить процесс функционирования в виде, допускающем аналитическое исследование системы.

Единой методики построения математических моделей не существует. Это обусловлено большим разнообразием клас-сов систем:

- статические и динамические; - структурным или программным управлением; - постоянной и переменной структурой; - постоянным (жестким) или сменным (гибким) про-

граммным управлением. По характеру входных воздействий и внутренних со-

стояний системы подразделяются: - непрерывные и дискретные; - линейные и нелинейные: - стационарные и нестационарные: - детерминированные и стохастические. Построение модели, отражающей статику системы (со-

став компонентов и структуру связей) не вызывает больших за-труднений. Для динамической системы статику необходимо до-полнить описанием работы системы.

1.3. Основные этапы моделирования

Для моделирования необходимо создать модель и про-вести ее исследование. Некоторые математические модели мо-гут быть исследованы без применения средств вычислительной техники. В настоящее время это практически исключено.

Моделирование на ЭВМ предполагает выполнение сле-дующих этапов:

1. формулирование цели моделирования; 2. разработка концептуальной модели; 3. подготовка исходных данных; 4. разработка математической модели;


11

5. выбор метода моделирования; 6. выбор средств моделирования; 7. разработка программной модели; 8. проверка адекватности и корректировка моде-

ли; 9. планирование экспериментов; 10. моделирование на ЭВМ, анализ результатов

моделирования.

1.4. Цель моделирования

Для одной и той же системы 0S можно построить мно-

жество моделей { }mS .

Эффективность системы должна быть определена до по-явления новой системы. Если предполагается несколько вариан-тов системы, то можно выбрать наилучший вариант. Эффектив-ность системы сопоставляется с затратами и достигнутыми ха-рактеристиками:

( )0E E Y=

E - показатель эффективности;

0Y - множество характеристик. Однокритериальная оценка ограничивается оценкой эф-

фективности системы по одному частному показателю качества , yopt opty Y∈ . По остальным характеристикам накладываются

ограничения на их допустимые изменения:

optE y=

min max, 1,2,...,i i iy y y i n≤ ≤ =

где min max

,i iy y - нижний и верхний пределы i -го частного показа-

теля качества; n - число учитываемых характеристик.

При многокритериальной оценке часто используется нормированный аддитивный критерий:

( )1

n

i ii

E b yγ=

=∑


12

Функции ( )iyγ подобраны так, чтобы исключить раз-

мерность i -ой характеристики и обеспечить условие

( ) [ ]0,1iyγ ∈ .

Весовые коэффициенты ib удовлетворяют условию

1

1; 0n

i ii

b b=

= >∑ .

В частном случае, когда max

0 i iy y≤ ≤ , ( )max

/i i iy y yγ = ,

нормированный аддитивный критерий принимает линейную форму.

1.5. Создание концептуальной модели

Ориентация. При разработке модели выделяются следующие этапы описания: концептуальный, математический, программный. Концептуальная (содержательная) модель в словесной форме определяет состав и структуру системы, свойства компо-нентов и причинно-следственные связи между ними. Здесь при-водятся сведения и природе и параметрах элементарных явле-ний исследуемой системы, о виде и степени взаимодействия между ними, о месте и значении каждого явления в общем про-цессе функционирования системы. Процесс создания концептуальной модели никогда не будет формализован, поэтому иногда говорят, что моделирова-ние является не только наукой, но и искусством. Стратификация Стратификация – это выбор уровня детализации модели. Уровни детализации иногда называют стратами. Выбор уровня детализации часто определяется параметрами, допускающими варьирование в процессе моделирования. Такие параметры обеспечивают определение интересующих характеристик. Ос-тальные параметры должны быть, по возможности, исключены из модели.


13

Детализация Здесь вводится понятие элементарной операции, для ко-торой известны и могут быть получены зависимости выходных параметров от входных. Если при этом получается модель большой размерности, то ее можно преобразовать в иерархиче-скую модульную структуру. Каждый модуль такой структуры состоит из совокупности модулей более низких рангов, в том числе и элементарных операций. Структуризация. Управление. Связи между компонентами системы могут быть веще-ственными и информационными. Вещественные отражают воз-можные пути перемещения продукта преобразования от одного элемента к другому. Информационные связи обеспечивают пе-редачу между компонентами управляющих воздействий и ин-формации о состоянии. В простых системах информационные связи могут отсутствовать, что соответствует принципу струк-турного управления. В более сложных системах управление включает указа-ния, какому компоненту какой исходный объект когда и откуда взять, какую операцию по преобразованию выполнить и куда передать. Такие системы функционируют в соответствии с про-граммным или алгоритмическим принципом управления. В кон-цептуальной модели должны быть конкретизированы все ре-шающие правила или алгоритмы управления рабочей нагрузкой, компонентами и процессами. Локализация На этапе локализации осуществляется представление внешней среды в виде генераторов внешних воздействий, вклю-чаемых в состав модели в качестве компонентов. Сюда входят генераторы рабочей нагрузки, генераторы управляющих и воз-мущающих воздействий. Приемники выходных воздействий обычно не включают в модель. Выделение процессов Функционирование системы заключается в выполнении технологических процессов преобразования вещества, энергии


14

или информации. В сложных системах, как правило, одновре-менно протекает несколько процессов. Каждый процесс состоит из определенной последовательности отдельных элементарных операций. Часть операций может выполняться параллельно раз-ными активными компонентами системы. Задается технологи-ческий процесс одним из видов представления алгоритмов. В системах с программным управлением, обеспечивающих парал-лельное выполнение нескольких процессов, имеются алгоритмы управления совокупностью параллельно функционирующих процессов.

1.6. Подготовка исходных данных

Сбор фактических данных Концептуальная модель определяет совокупность пара-метров 0S и внешних воздействий X . Для количественных па-раметров необходимо определить их конкретные значения, ко-торые будут использованы в виде исходных данных при моде-лировании. Сбор данных должен учитывать следующее:

- значения параметров могут быть детерминирован-ными и стохастическими;

- не все параметры являются стационарными; - речь идет о несуществующей системе (проектируе-

мой, модернизируемой). Ряд параметров являются случайными величинами по

своей природе. Для упрощения модели часть из них представ-ляются детерминированными средними значениями. Это допус-тимо, если величина имеет небольшой разброс, или, когда цель моделирования достигается при использовании средних значе-ний.

Иногда детерминированные параметры представляются случайной величиной. Например, при многократном выполне-нии программы количество обрабатываемых данных может из-меняться. Всю совокупность вариантов данных можно предста-вить случайной величиной с заданным законом распределения вероятностей.


15

Подбор закона распределения Для случайных параметров выявляется возможность представления их теоретическими законами распределения. Процедура подбора вида закона распределения заключается в следующем. По совокупности значений параметра строится гисто-грамма относительных частот – эмпирическая плотность рас-пределения. Гистограмма аппроксимируется плавной кривой, которая сравнивается с кривыми плотности распределения раз-личных теоретических законов распределения. По наилучшему совпадению выбирается один из законов. Далее по эмпириче-ским значениям вычисляют параметры этого распределения. Проверка совпадения эмпирического и теоретического распре-деления осуществляется по одному из критериев согласия: Пир-сона (хи-квадрат), Колмогорова, Смирнова, Фишера, Стьюдента. Особую сложность представляет сбор данных по слу-чайным параметрам, зависящим от времени, что характерно для внешних воздействий. Пренебрежение фактами нестационарно-сти параметров существенно влияет на адекватность модели. Аппроксимация функций Для каждого компонента системы существует функцио-нальная связь между параметрами входных воздействий и вы-ходными характеристиками. Иногда вид функциональной зави-симости может быть легко выявлен. Однако для некоторых компонентов удается получить лишь экспериментальные дан-ные по входным параметрам и выходным характеристикам. В этом случае вводится некоторая гипотеза о характере функциональной зависимости, то есть аппроксимация ее неко-торым математическим уравнением. Поиск математических за-висимостей между двумя или более переменными по собранным данным может выполняться с помощью методов регрессионно-го, корреляционного или дисперсионного анализа. Вид математического уравнения задает исследователь. Затем методом регрессионного анализа вычисляются коэффици-енты уравнения. Приближение кривой к экспериментальным данным оценивается по критерию наименьших квадратов.


16

Для выяснения того, насколько точно выбранная зави-симость согласуется с опытными данными, используется корре-ляционный анализ. При проектировании новой системы отсутствует воз-можность сбора фактических данных. Для таких параметров выдвигаются гипотезы об их возможных значениях. Этап сбора и обработки данных заканчивается класси-фикацией на внешние и внутренние, постоянные и переменные, непрерывные и дискретные, линейные и нелинейные, стацио-нарные и нестационарные, детерминированные и стохастиче-ские. Для переменных количественных параметров определяют-ся границы их изменений, а для дискретных – возможные значе-ния.

1.7. Разработка математической модели

Функционирование системы заключается в выполнении технологического процесса. При этом в системе одновременно протекает несколько технологических процессов. Технологиче-ский процесс представляет собой определенную последователь-ность отдельных операций. Часть операций может выполняться параллельно разными активными ресурсами системы. Задается технологический процесс одним из способов представления ал-горитмов.

В системах с программным принципом управления, обеспечивающих параллельное выполнение нескольких техно-логических процессов, имеются алгоритмы управления сово-купностью процессов. Основное назначение таких алгоритмов заключается в разрешении конфликтных ситуаций, возникаю-щих, когда два или более процесса претендуют на один и тот же ресурс. Совокупность алгоритмов управления 0A совместно с

параметрами входных воздействий 0X и компонентов 0S опи-сывают динамику функционирования системы. Обычно алго-ритмы управления представляются в виде mA удобном для мо-делирования. Данный подход к описанию динамики работы сис-темы наиболее удобен для имитационного моделирования и яв-


17

ляется естественным способом определения характеристик сис-темы:

( ), , , ,Y F X S A T= (1.1)

где F множество операторов определения выходных характе-ристик, T – календарное время моделирования.

Для систем со структурным принципом управления по-лучил распространение другой подход к описанию динамики работы системы. Для каждого компонента выбирается опреде-ленный параметр S или несколько параметров, значения кото-рых изменяются в ходе функционирования компонента и отра-жает его состояние в текущий момент времени ( )z t . Множество

таких параметров по всем 1,n N= элементам системы { }nz от-

ражает состояние системы ( )Z t . Функционирование системы

представляется в виде последовательной смены состояний:

( )0Z t , ( ) ( )1 ,...,Z t Z T . Множество { }Z возможных состояний

системы называют пространством состояний. Текущее состоя-ние системы в момент времени ( )0t t t T< ≤ отражается в виде

координаты точки в n – мерном пространстве состояний, а вся реализация процесса функционирования системы за время T – в виде некоторой траектории.

При заданном начальном состоянии системы ( )00Z Z t=

можно определить ее состояние в любой момент t из интервала

[ ]0,t T , если известна зависимость

( ) ( )0, , ,Z t H X Z Z t= . (1.2)

В этом случае выходные характеристики системы опре-деляются по выражению

( ),Y G Z T= . (1.3)

В выражениях (1.1), (1.3) операторы F и G называют операторами выходов, а в (1.2) оператор H – оператором пере-ходов. С целью перевода обобщенной модели в форме (1.1) или в форме (1.1), (1.3) в конструктивную необходимо конкретизи-ровать свойства множеств переменных и операторов. Для опре-


18

деленных классов систем разработаны формализованные схемы и математические методы, которые позволяют описать функ-ционирование системы, а в некоторых случаях – выполнить ана-литические исследования.

Одной из наиболее общих формализованных схем явля-ется описание в виде агрегативных систем. Этот метод в наи-большей мере приспособлен для описания систем, у которых характерно представление входных и выходных воздействий в виде ”сообщений”, составленных из совокупностей “сигналов”. В основе метода лежит понятие агрегата как компонента систе-мы. Математическая модель агрегата выражается в виде зависи-мостей (1.2), (1.3) с конкретизацией входных воздействий, со-стояний и операторов переходов и выходов. Единообразное ма-тематическое описание исследуемых объектов в виде агрегатив-ных систем позволяет использовать универсальные средства имитационного моделирования.

Для описания стохастических систем с дискретными множествами состояний, входных и выходных воздействий, функционирующих в непрерывном времени, широко использу-ются стохастические сети. Стохастическая сеть представляет собой совокупность систем массового обслуживания, в которой циркулируют заявки, переходящие из одной системы в другую.

Если в модели системы не учитывается воздействие слу-чайных факторов, а операторы переходов и выходов непрерыв-ны, то зависимости (1.2), (1.3) могут быть представлены в виде дифференциальных уравнений

( ) ( )( ), , ,dz

h z t x t tdt

=

( )( ), ,y g z t t=

где ,h g – вектор–функции состояний ее выходов соответствен-но; , ,x z y – векторы входных воздействий, состояний и вы-ходных воздействий соответственно.

Системы состояния которых определены в дискретные моменты времени 0 1 2, , ,...,t t t получили название автоматов. Если

за единицу времени выбран такт 1,i it t t −∆ = − то дискретные мо-


19

менты времени принимаются в виде 0,1,2,…. В каждый дис-кретный момент времени, за исключением 0t , в автомат посту-

пает входной сигнал ( )x t , под действием которого автомат пе-

реходит в новое состояние в соответствии с функцией перехо-дов

( ) ( ) ( )( )1 ,az t z t x tϕ= −

и выдает выходной сигнал, определяемый функцией выходов

( ) ( ) ( )( )1 , .ay t z t x tψ= −

Если автомат характеризуется конечными множествами состояний z , входных сигналов x , и выходных сигналов y , он называется конечным автоматом. Функции переходов и выходов конечного автомата задаются таблицами, матрицами или графи-ками.

Стохастические системы, функционирующие в дискрет-ном времени, можно представлять вероятностными автоматами. Функция переходов вероятностного автомата определяет не од-но конкретное состояние, а распределение вероятностей на множестве состояний, а функция выходов – распределение ве-роятностей на множестве выходных сигналов. Функционирова-ние вероятностных автоматов изучается при помощи аппарата цепей Маркова. Для анализа систем, представляемых в виде ав-томатов, могут использоваться аналитические или имитацион-ные методы.

В классе автоматов для исследования систем, функцио-нирование которых описывается совокупностью параллельных взаимодействующих процессов, широко используются сети Петри и их различные модификации, сети Керка, Е – сети.

1.8. Выбор метода моделирования

Математическая модель может быть исследована раз-личными методами – аналитическими или имитационными. В некоторых случаях наличие имитационной модели делает воз-можным применение математических методов оптимизации. Для использования аналитических методов необходимо матема-


20

тическую модель преобразовать к виду явных аналитических зависимостей между характеристиками и параметрами системы и внешних воздействий. Однако это удается лишь для сравни-тельно простых систем и при наличии хорошо разработанной теории исследуемых объектов.

При имитационном моделировании динамические про-цессы системы – оригинала подменяются процессами, имити-руемыми в абстрактной модели, но с соблюдением таких же со-отношением длительностей и временных последовательностей отдельных операций. Поэтому метод имитационного моделиро-вания мог бы называться алгоритмическим или операционным.

Методы имитационного моделирования различаются в зависимости от класса исследуемых систем, способа продвиже-ния модельного времени и вида количественных переменных параметров системы и внешних воздействий. Методы модели-рования разрабатываются для дискретных, непрерывных и сме-шанных дискретно – непрерывных систем.

В зависимости от способа продвижения модельного времени методы моделирования подразделяются на методы с приращением временного интервала и методы с продвижением времени до особых состояний. В первом случае модельное вре-мя продвигается на некоторую величину t∆ . Далее определяют-ся изменения состояний элементов и выходных воздействий системы, которые произошли за это время. После этого модель-ное время снова продвигается на величину t∆ , и процедура по-вторяется. Так продолжается до конца периода моделирования

mT . Этот метод моделирования называют “принципом t∆ ”. Во втором случае в текущий момент модельного време-

ни t сначала анализируются те будущие особые состояния – поступление дискретного входного воздействия, завершение обслуживания и т.п., для которых определены моменты их на-ступления .it t> Выбирается наиболее раннее особое состояние, и модельное время продвигается до момента наступления этого состояния. Затем анализируется реакция системы на выбранное особое состояние. В частности, в ходе анализа определяется мо-мент наступления нового особого случая. Затем анализируются будущие особые состояния, и модельное время продвигается до


21

ближайшего. Так продолжается до завершения периода модели-рования mT . Данный метод называют “принципом особых со-стояний”. Метод может использоваться лишь, когда имеется возможность определения моментов наступления будущих оче-редных особых состояний.

Параметры системы и внешних воздействий могут быть детерминированными или случайными. По этому признаку раз-личают детерминированное и статистическое моделирование. При статистическом моделировании для получения достовер-ных вероятностных характеристик процессов функционирова-ния системы требуется их многократное воспроизведение с раз-личными конкретными значениями случайных факторов и ста-тистической обработкой результатов измерений. В основу ста-тистического моделирования положен метод статистических испытаний, или метод Монте–Карло.

При разработке математической модели различают так-же принятую систему формализации – алгоритмический (про-граммный) или структурный (агрегатный) подход. В первом случае процессы управляют компонентами (ресурсами) систе-мы, а во втором – компоненты управляют процессами, опреде-ляют порядок функционирования системы.

1.9. Выбор средств моделирования

Технические средства моделирования Современные ЭВМ позволяют моделировать сложные

распределенные динамические системы. Фактор распределенно-сти играет важную роль и предполагает построение многопро-цессорных вычислительных систем на основе локальных вычис-лительных сетей. Поэтому для моделирования таких систем перспективным представляется использование распределенных многопроцессорных вычислительных систем.

Алгоритмические языки общего назначения Такие языки применимы для аналитических методов мо-

делирования. При использовании алгоритмических языков для программирования имитационных алгоритмов возникают труд-


22

ности. Первая из них заключается в том, что алгоритмы поведе-ния сложных систем являются параллельными, то есть предпо-лагают выполнение более чем одного преобразования в каждый момент времени. Программная имитация параллельных процес-сов при использовании языков общего назначения сводится к организации псевдопараллельного развития параллельных про-цессов, что достаточно сложно для программирования.

Вторая трудность состоит в том, что объемы данных в имитационных алгоритмах трудно оценить априорно. Поэтому требуется использовать динамическое распределение памяти, что не всегда обеспечивает язык программирования.

Языки моделирования При создании программ имитационного моделирования

возникают задачи, общие для широкого класса моделей: - организация псевдопараллельного выполнения ал-

горитмов; - динамическое распределение памяти; - операции с модельным временем, отражающим ас-

трономическое время функционирования оригина-ла;

- имитация случайных процессов; - ведение массива событий; - сбор и обработка результатов моделирования. Решение перечисленных выше задач осуществляется

полностью или частично внутренними средствами языка моде-лирования.

По структуре и правилам программирования языки мо-делирования подобны процедурно-ориентированным алгорит-мическим языкам высокого уровня. Операторы языков модели-рования выполняют более сложные процедуры, поэтому они имеют более высокий уровень и упрощают составление про-грамм. Языки моделирования рассматриваются как формализо-ванный базис для создания математических моделей.

Автоматизированные системы моделирования Дальнейшее упрощение и ускорение процесса програм-

мирования привело к необходимости его автоматизации. К на-


23

стоящему времени создан ряд систем автоматизации имитаци-онного моделирования, среди которых можно отметить OPNET Modeler, NS-3, Simulink и др.

1.10. Проверка адекватности и корректировка модели

Проверка адекватности Адекватность модели нарушается по многим причинам:

из-за идеализации внешних условий и режимов функциониро-вания; исключения тех или иных параметров; пренебрежения некоторыми случайными факторами. Отсутствие точных сведе-ний о внешних воздействиях, определенных нюансах структуры системы, принятые аппроксимации, интерполяции, предполо-жения и гипотезы также ведут к уменьшению соответствия ме-жду моделью и системой. Это приводит к тому, что результаты моделирования будут существенно отличаться от реальных.

Простейшей мерой адекватности может служить откло-нение некоторой характеристики 0y оригинала и my модели,

0 my y y∆ = − или 0 0/my y y y∆ = −

Тогда можно считать, что модель адекватна с системой, если вероятность того, что отклонение y∆ не превышает пре-

дельной величины ∆ , больше допустимой вероятности P∆ :

( )P y P∆∆ < ∆ ≥

Практическое использование данного критерия адекват-ности зачастую невозможно по следующим причинам:

- для проектируемых или модернизируемых систем отсутствует информация о значении характеристики

0y ; - система оценивается не по одной, а по множеству

характеристик, у котолрых может быть разная вели-чина отклонения;

- характеристики могут быть случайными величина-ми и функциями, а часто и нестационарными;


24

- отсутствует возможность априорного точного зада-ния предельных отклонений ∆ и допустимых веро-ятностей P∆ .

Несмотря на это проверять адекватность необходимо иначе по неверным результатам моделирования будут приняты неправильные решения. На практике оценка адекватности обычно проводится путем экспертного анализа разумности ре-зультатов моделирования. Можно выделить следующие виды проверок:

- проверка моделей компонентов; - проверка модели внешних воздействий (аппрокси-

мации и гипотезы необходимо оценить математиче-скими методами);

- проверка концептуальной модели функционирова-ния системы;

- проверка формализованной и математической мо-дели;

- проверка способов измерения и вычисления выход-ных характеристик;

- проверка программной модели.

Корректировка модели Если по результатам проверки адекватности выявляется

недопустимое рассогласование модели и системы, возникает необходимость в корректировке или калибровке модели. При этом выделяются следующие типы изменений: глобальные, ло-кальные и параметрические.

Стратегия корректировки модели должна быть направ-лена на первоочередное введение глобальных изменений, затем – локальных и параметрических изменений. Для выработки так-тики параметрических изменений большое значение имеет ана-лиз чувствительности модели к вариациям ее параметров.

Завершается этап проверки адекватности и корректиров-ки модели определением и фиксацией области пригодности мо-дели. Под областью пригодности понимается множество усло-вий, при соблюдении которых точность результатов моделиро-вания находится в допустимых пределах.


25

1.11. Планирование экспериментов с моделью

Стратегическое планирование Цели моделирования достигаются путем исследования

разработанной модели. Исследования заключаются в проведе-нии экспериментов по определению выходных характеристик системы при разных значениях управляемых переменных пара-метров модели. Эксперименты следует проводить по опреде-ленному плану.

Особо важным является планирование экспериментов при численном и статистическом моделировании. Это обуслов-лено большим числом возможных сочетаний значений управ-ляемых параметров, а каждый эксперимент проводится при оп-ределенном сочетании значений параметров. Например, при пя-ти управляемых параметрах, имеющих по три значения, количе-ство сочетаний параметров равно 243, при десяти параметрах по пять значений, число сочетаний приближается к 10 млн. Поэто-му возникает необходимость в выборе определенных сочетаний параметров и последовательности проведения экспериментов. Это называется стратегическим планированием.

Разработка плана начинается на ранних этапах создания модели, когда выявляются характеристики качества и парамет-ры, с помощью которых предполагается управлять качеством функционирования системы. Эти параметры называют факто-рами. Затем выделяются возможные значения количественных параметров и варианты качественных (функциональных) пара-метров. Их называют уровнями q . При этом число сочетаний

1 2 ...s kN q q q= × × × , где k - число факторов.

Если число факторов велико, то для проведения иссле-дований системы используется один из методов составления плана по неполному факторному анализу. Эти методы хорошо разработаны в теории планирования экспериментов.

Тактическое планирование Совокупность методов уменьшения длительности ма-

шинного эксперимента при обеспечении статистической досто-


26

верности результатов имитационного моделирования получила название тактического планирования. На длительность одного эксперимента (периода моделирования mT ) влияет степень ста-ционарности системы, взаимозависимости характеристик и зна-чения начальных условий моделирования.

Данные, собранные в эксперименте, можно рассматри-вать как временные ряды, состоящие из замеров определенных характеристик. Ряд замеров характеристики y может рассмат-риваться как выборка из стохастической последовательности. Если эта последовательность стационарна, ее среднее y не за-

висит от времени. Оценкой Ny является среднее по временному

ряду 1,..., Ny y . Для эргодической последовательности точность этой оценки возрастает с ростом N .

Если заданы максимальная допустимая ошибка оценки (доверительный интервал) и минимальная вероятность того, что истинное среднее y лежит внутри этого интервала, то сущест-вует минимальный размер исследуемой выборки. Этот размер соответствует минимальной длительности эксперимента. Для оценки нескольких характеристик период моделирования опре-деляется по максимальному значению.

1.12. Моделирование на ЭВМ и анализ результатов моделирования

Обработка измерений имитационного моделирования При статистическом моделировании в ходе имитацион-

ного эксперимента измеряются множества значений по каждой выходной характеристике. Эти выборки необходимо обрабаты-вать для удобства последующего анализа и использования. По-скольку выходные характеристики зачастую являются случай-ными величинами или функциями, обработка заключается в вы-числении оценок математических ожиданий, дисперсий и кор-реляционных моментов.

Для того, чтобы исключить необходимость хранения в машине всех измерений, обработку проводят по рекуррентным формулам, когда оценки вычисляют в процессе эксперимента


27

методом нарастающего итога по мере появления новых измере-ний.

Для стохастических характеристик можно построить гистограмму относительных частот – эмпирическую плотность распределения. С этой целью область предполагаемых значений характеристики y разбиваются на интервалы. В ходе экспери-мента по мере измерений определяют число попаданий характе-ристики в каждый интервал и подсчитывают общее число изме-рений. После завершения эксперимента для каждого интервала вычисляют отношение числа попаданий характеристики к об-щему числу измерений и длине интервала.

Для случайных нестационарных характеристик период моделирования mT разбивается на отрезки t∆ и запоминаются значения характеристики в конце каждого t∆ . Проводится серия экспериментов с разными последовательностями случайных па-раметров модели. Измерения по каждому t∆ обрабатываются как при оценке случайных величин.

Определение зависимостей характеристик от пара-метров системы Для анализа зависимостей характеристик от параметров

системы и внешних воздействий можно воспользоваться корре-ляционным, дисперсионным или регрессионным методами.

С помощью корреляционного анализа можно установить наличие связи между двумя или более случайными величинами. Оценкой связи служит коэффициент корреляции при наличии линейной связи между величинами и нормальном законе их со-вместного распределения.

Дисперсионный анализ можно использовать для уста-новления относительного влияния различных факторов на зна-чения выходных характеристик. При этом общая дисперсия ха-рактеристики разлагается на компоненты, соответствующие рассматриваемым факторам. По значениям отдельных компо-нентов делают вывод о степени влияния того или другого фак-тора на анализируемую характеристику.

Когда все факторы в эксперименте являются количест-венными, можно найти аналитическую зависимость между ха-


28

рактеристиками и факторами. Для этого используются методы регрессионного анализа.

К анализу результатов моделирования можно отнести задачу анализа чувствительности модели к вариациям ее пара-метров. Под анализом чувствительности понимают проверку устойчивости характеристик процесса функционирования сис-темы к возможным отклонениям значений параметров.

Использование результатов моделирования Результаты моделирования используются для принятия

решения о работоспособности системы, для выбора лучшего проектного варианта или для оптимизации системы. Решение о работоспособности принимается по тому, выходят или не выхо-дят характеристики системы за установленные границы при лю-бых допустимых изменениях параметров. При выборе лучшего варианта из всех работоспособных вариантов выбирается тот, у которого максимальное значение критерия эффективности. Наиболее общей и сложной является оптимизация системы: требуется найти такие сочетания значений переменных пара-метров системы или рабочей нагрузки из множества допусти-мых, которое максимизирует значение критерия эффективности:

( ) ( )max minoptE E y=

при соблюдении ограничений на все n характеристик

min max, 1,2,...,i i iy y y i n≤ ≤ =

Если выходная характеристика iy является случайной

величиной с некоторой плотностью распределения ( )if y , целе-

сообразно ввести в задачу оптимизации стохастические ограни-чения следующего вида:

( ) ( )max

min maxmin

i

i

y

i i i i i iyP y y y f y dy β≤ ≤ = ≥∫ ,

где iβ - минимально допустимая вероятность того, что конкрет-

ные значения iy не выйдут за ограничивающие пределы.


29

Выводы по лекции 1: Моделированием называется замещение одного объекта,

называемого системой, другим объектом, называемым моделью. Для описания системы необходимо определить ее структурную и функциональную организацию. Область определения модели характеризует диапазон исследуемых вариантов организации системы. Чем шире состав характеристик и параметров, а также область определения модели, тем универсальнее модель в отно-шении задач, которые можно решать с ее использованием. Мо-дели объектов делятся на два больших класса: материальные (физические) и абстрактные (математические).

Вопросы для самопроверки по лекции 1:

− Назовите цели моделирования. − Дайте определение понятий система и модель. − От каких факторов зависит адекватность модели? − Назовите основные признаки, необходимые для клас-

сификации моделей. − Чем определяется сложность модели? − Назовите и охарактеризуйте основные этапы модели-

рования. − Перечислите примеры систем автоматизации имита-

ционного моделирования.


30

Лекция 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

Цель лекции В данной лекции будут рассмотрены основные подходы к

построению математических моделей систем, а также математи-ческие схемы моделирования систем.

2.1. Основные подходы к построению математических моделей систем

Исходной информацией при построении математических моделей (ММ) процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проекти-руемой) системы S. Эта информация определяет основную цель моделирования, требования к ММ, уровень абстрагирования, выбор математической схемы моделирования. Понятие математическая схема позволяет рассматри-вать математику не как метод расчёта, а как метод мышления, средства формулирования понятий, что является наиболее важ-ным при переходе от словесного описания к формализованному представлению процесса её функционирования в виде некото-рой ММ.

При пользовании математической схемой в первую оче-редь исследователя системы должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследова-ния.

Например, представление процесса функционирования информационно-вычислительной сети коллективного пользова-ния в виде сети схем массового обслуживания даёт возможность хорошо описать процессы, происходящие в системе, но при сложных законах входящих потоков и потоков обслуживания не даёт возможности получения результатов в явном виде.


31

Математическую схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формализованному описанию процесса функционирования системы с учётом воздействия внешней среды. Т.е. имеет место цепочка: описательная модель — математическая схема — имитационная модель.

Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отображающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учиты-ваются условия её функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е.

При построении ММ системы S необходимо решить во-прос о её полноте. Полнота моделирования регулируется, в ос-новном, выбором границ "Система S — среда Е". Также должна быть решена задача упрощения ММ, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные в плане цели моделирования.

ММ объекта моделирования, т.е. системы S можно пред-ставить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества:

− совокупность Х – входных воздействий на S хi∈Х, i=1…nx;

− совокупность воздействий внешней среды vl∈V, l=1…nv;

− совокупность внутренних (собственных) параметров системы hk∈H, k=1…nh;

− совокупность выходных характеристик системы yj∈Y, j=1…ny.

В перечисленных множествах можно выделить управ-ляемые и неуправляемые величины. В общем случае X, V, H, Y не пересекаемые множества, содержат как детерминированные так и стохастические составляющие. Входные воздействия Е и внутренние параметры S являются независимыми (экзогенны-ми) переменными, ( ); ( ); ( ).X t V t H t Выходные характеристики

– зависимые переменные (эндогенные) ( )Y t . Процесс функ-ционирования S описывается оператором FS:


32

( ) ( , , , )SY t F X V H t=r

(2.1)

( )Y tr

- выходная траектория. FS – закон функционирования S. FS может быть функция, функционал, логические условия, алго-ритм, таблица или словесное описание правил.

Алгоритм функционирования AS – метод получения вы-

ходных характеристик ( )Y t с учётом входных воздействий

( ); ( ); ( ).X t V t H t Очевидно один и тот же FS может быть реализо-ван различными способами, т.е. с помощью множества различ-ных AS. Соотношение (2.1) является математическим описанием поведения объекта S моделирования во времени t, т.е. отражает его динамические свойства. (2.1) – это динамическая модель системы S. Для статических условий ММ есть отображения X, V,

H в Y, т.е. ( , , )Y f X V H=rr r rv

(2.2) Соотношения (2.1), (2.2) могут быть заданы формулами,

таблицами и т.д. Также соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы в конкретные моменты времени, назы-ваемые состояниями. Состояния системы S характеризуются векторами:

1( ,..., )l l lkZ Z Z

r r rи 1( ,..., )ll ll ll

kZ Z Zr r r

,

где 1 1( )... ( )l l l lk kZ Z t Z Z t= =

rв момент tl∈(t0, T).

1 1( )... ( )ll ll ll lll kZ Z t Z Z t= =

rв момент tll∈(t0, T) и т.д. к=1…nZ.

Z1(t), Z2(t)… Zk(t) – это координаты точки в к-мерном фа-зовом пространстве. Каждой реализации процесса будет соот-ветствовать некоторая фазовая траектория.

Совокупность всех возможных значений состояний { Zr

} называется пространством состояний объекта моделирования Z, причём zk∈Z.

Состояние системы S в интервале времени t0<t≤Tl полно-

стью определяется начальными условиями 0 0 01( ,..., )kZ Z Z

r, где

01 1 0( )...Z Z t= входными ( )X t

r, внутренними параметрами ( )H t

rи


33

воздействиями внешней среды ( )V tr

, которые имели место за промежуток времени t* - t0 c помощью 2-х векторных уравнений:

0( ) ( , , , , )Z t X V h tz= Φ

rr r rr; (2.3)

( ) ( , )Y t F Z t=r r

. (2.4)

иначе: 0

( ) ( ( , , , , ))Y t F X V h tz= Φrr rr

. (2.5)

Время в модеди S может рассматриваться на интервале моделирования (t0, T) как непрерывное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезке длин. ∆t.

Таким образом под ММ объекта понимаем конечное

множество переменных { , ,X Z hrr r

} вместе с математическими

связями между ними и характеристиками Yr

. Моделирование называется детерминированным, если

операторы F, Ф детерминированные, т.е. для конкретного входа выход детерминированный. Детерминированное моделирование - частный случай стохастического моделирования. В практике моделирование объектов в области системного анализа на пер-вичных этапах исследования рациональнее использовать типо-вые математические схемы: дифференциальные уравнения, ко-нечные и вероятностные автоматы, СМО и т.д.

Не обладающие такой степенью общности, как модели (2.3), (2.4), типовые математические схемы имеют преимущест-во простоты и наглядности, но при существенном сужении воз-можности применения.

В качестве детерминированных моделей, когда при ис-следовании случайный факт не учитывается, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, использу-ются дифференциальные, интегральные и др. уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном време-ни — конечные автоматы и конечно разностные схемы.

В начале стохастических моделей (при учёте случайного фактора) для представления систем с дискретным временем ис-пользуются вероятностные автоматы, а для представления сис-тем с непрерывным временем — системы массового обслужи-вания (СМО). Большое практическое значение при исследова-нии сложных индивидуальных управленческих систем, к кото-


34

рым относятся автоматизированные системы управления, имеют так называемые агрегативные модели.

Aгрегативные модели (системы) позволяют описать ши-рокий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект расчленяется на конечное число частей (под-систем), сохраняя при этом связи, обеспечивая взаимодействие частей.

2.2. Непрерывно детерминированные модели (Д - схемы).

Рассмотрим особенности непрерывно детерминирован-ного подхода на примере, используя в качестве ММ дифферен-циальные уравнения. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной пе-ременной или нескольких переменных, причём в уравнение вхо-дят не только их функции но их производные различных поряд-ков.

Если неизвестные – функции многих переменных, то уравнения называются — уравнения в частных производных. Если неизвестные функции одной независимой переменной, то имеют место обыкновенные дифференциальные уравнения.

Математическое соотношение для детерминированных систем в общем виде:

0 0( , ), ( )ly f y t y t y= =rr r r r

(2.6) Например, процесс малых колебаний маятника описан

обыкновенными дифференциальным уравнением

2

21 1 22

( )( ) 0

tm l m gl t

t

∂ Θ + Θ =∂

,

где m1, l1 – масса, длина подвески маятника, Θ – угол отклоне-ния маятника от положения равновесия. Из этого уравнения можно найти оценки интересующих характеристик, например

период колебаний 2 /T l gπ= .


35

Дифференциальные уравнения, Д – схемы являются ма-тематическим аппаратом теории систем автоматического регу-лирования, управления.

При проектировании и эксплуатации систем автоматиче-ского управления необходимо выбрать такие параметры систе-мы, которые бы обеспечивали требуемую точность управления.

Следует отметить, что часто используемые в системах автоматического управления системы дифференциальных урав-нений определяются путём линеаризацией управления объекта (системы), более сложного вида, имеющего нелинейности:

1 1( , ,... , , ,... ) 0n n m nnF y y y x x x− − = ;

11

0 0 0 0 0

... ...n n mn n m

dF dF dF dF dFy y y y y x x

dy dy dy dx dx−

−∆ + ∆ ∆ + ∆ = ∆ + ∆ + ∆ .

2.3. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

Дискретно-детерминированные модели (ДДМ) являются предметом рассмотрения теории автоматов (ТА). ТА – раздел теоретической кибернетики, изучающей устройства, перераба-тывающие дискретную информацию и меняющего свои внут-ренние состояния лишь в допустимые моменты времени.

Конечный автомат имеет множество внутренних состоя-ний и входных сигналов, являющихся конечными множествами. Автомат задаётся F- схемой:

F=<z,x,y,ϕ,ψ,z0>, (2.7) где z,x,y – соответственно конечные множества входных, вы-ходных сигналов (алфавитов) и конечное множество внутренних состояний (алфавита). z0∈Z – начальное состояние; ϕ(z,x) – функция переходов; ψ(z,x) – функция выхода. Автомат функ-ционирует в дискретном автоматном времени, моментами кото-рого являются такты, т.е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют посто-янные значения входного, выходного сигнала и внутреннего со-стояния. Абстрактный автомат имеет один входной и один вы-ходной каналы.


36

В момент t, будучи в состоянии z(t), автомат способен воспринять сигнал x(t) и выдать сигнал y(t)=ψ[z(t),x(t)], переходя в состояние z(t+1)=ϕ[z(t),z(t)], z(t)∈Z; y(t)∈Y; x(t)∈X. Абстракт-ный КА в начальном состоянии z0 принимая сигналы x(0), x(1), x(2) … выдаёт сигналы y(0), y(1), y(2)… (выходное слово). Существуют F- автомат 1-ого рода (Миля), функционирующий по схеме:

z(t+1)= ϕ[z(t),z(t)], t=0,1,2… (2.8) y(t)=ψ[z(t),x(t)], t=0,1,2… (2.9)

F- автомат 2-ого рода: z(t+1)= ϕ[z(t),z(t)], t=0,1,2… (2.10)

y(t)=ψ[z(t),x(t-1)], t=1,2,3… (2.11) Автомат 2-ого рода, для которого y(t)=ψ[z(t)], t=0,1,2,… (2.12)

т.е. функция выходов не зависит от входной переменной x(t), называется автоматом Мура.

Таким образом, уравнения 2.8-2.12 полностью задающие F- автомат, являются частным случаем уравнения

0( ) ( , , , , )z t z x v h t= Φrr rr r

(2.13) где z

r- вектор состояния, x

r- вектор независимых входных пе-

ременных, vr

- вектор воздействий внешней среды, hr

- вектор собственных внутренних параметров системы, 0z

r- вектор на-

чального состояния, t – время; и уравнение

( ) ( , )y t F z t=rr r

, (2.14) когда система S – денорминированная и на её вход поступает дискретный сигнал x.

По числу состояний конечные автоматы бывают с памя-тью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного со-стояния, а автоматы без памяти (комбинационные или логиче-ские схемы) обладают лишь одним состоянием. При этом со-гласно (2.9), работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу x(t) определённый выходной сигнал y(t), т.е. реализует логическую функцию вида: y(t)=ψ[x(t)], t=0,1,2,…


37

Эта функция называется булевой, если алфавиты X и Y, которым принадлежат значения сигналов x и y состоят из 2-х букв.

По характеру отсчёта времени (дискретному) F- автома-ты делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных авто-матах моменты времени, в которые автомат "считывает" вход-ные сигналы, определяются принудительно синхронизирующи-ми сигналами. Реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт синхронизации. Асинхрон-ный F- автомат считывает входной сигнал непрерывно и поэто-му, реагируя на достаточно длинный водной сигнал постоянной величины x, он может, как это следует из 1-5, несколько раз из-менить своё состояние, выдавая соответствующее число выход-ных сигналов, пока не перейдёт в устойчивое.

Для задания F- автомата необходимо описать все эле-менты множества F=<z,x,y,ϕ,ψ,z0>, т.е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функции переходов и выходов. Для задания работы F- автоматов наиболее часто используются таб-личный, графический и матричный способ.

В табличном способе задания используется таблицы пе-реходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы - его состояниям. При этом обыч-но 1-ый столбец слева соответствует начальному состоянию z0. На пересечении i-ой строки и j-ого столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение ϕ(zk,xi) функции перехо-дов, а в таблице выходов - ψ(zk, xi) функции выходов. Для F- ав-томата Мура обе таблицы можно совместить, получив т.н. от-меченную таблицу переходов, в которой над каждым состояни-ем zk автомата, обозначающим столбец таблицы, стоит соответ-ствующий этому состоянию, согласно (2.12), выходной сигнал ψ(zi).

Описание работы F- автомата Мили таблицами перехо-дов ϕ и выходов ψ иллюстрируется таблицей 2.1, а описание F- автомата Мура – таблицей переходов 2.2. Примеры табличного способа задания F- автомата Мили F1 с тремя состояниями, двумя входными и двумя выходными сигналами приведены в таблице 2.3, а для F- автомата Мура F2 – в таблице 2.4.


38

Таблица 2.1. Описание работы F- автомата Мили xj zk z0 z1 … zk Переходы x1 ϕ(z0,x1) ϕ(z1,x1) … ϕ(zk,x1) x2 ϕ(z0,x2) ϕ(z1,x2) … ϕ(zk,x2) ………………………………………………………… xl … … … … Выходы x1 ψ(z0,x1) ψ(z1,x1) … ψ(zk,x1) ………………………………………………………… xl ψ(z0,xl) ψ(z1,xl) … ψ(zk,xl)

Таблица 2.2. Описание работы F- автомата Мура

ψ(zk) xi ψ(z0) ψ(z1) … ψ(zk) z0 z1 … zk x1 ϕ(z0,x1) ϕ(z1,x1) … ϕ(zk,x1) x2 ϕ(z0,x2) ϕ(z1,x2) … ϕ(zk,x2) ………………………………………………………… xl ϕ(z0,xl) ϕ(z1,xl) … ϕ(zk,xl)

Таблица 2.3. Табличный способ задания F- автомата Мили F1

xj z0 z0 z1 z2 Переходы x1 z2 z0 z0 x2 z0 z2 z1 Выходы x1 y1 y1 y2 x2 y1 y2 y1

Таблица 2.4. Табличный способ задания F- автомата Мура F2

y xi y1 y1 y3 y2 y3 z0 z1 z2 z3 z4 x1 z1 z4 z4 z2 z2 x2 z3 z1 z1 z0 z0


39

При другом способе задания конечного автомата исполь-зуется понятие направленного графа. Граф автомата представ-ляет собой набор вершин, соответствующих различным состоя-ниям автомата и соединяющих вершин дуг графа, соответст-вующих тем или иным переходам автомата. Если входной сиг-нал xk вызывает переход из состояния zi в состояние zj, то на графе автомата дуга, соединяющая вершину zi с вершиной zj обозначается xk. Для того, чтобы задать функцию переходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходны-ми сигналами. Для автоматов Мили эта разметка производиться так: если входной сигнал xk действует на состояние zi, то соглас-но сказанному получается дуга, исходящая из zi и помеченная xk; эту дугу дополнительно отмечают выходным сигналом y=ψ(zi, xk). Для автомата Мура аналогичная разметка графа такова: если входной сигнал xk, действуя на некоторое состояние автомата, вызывает переход в состояние zj, то дугу, направленную в zj и помеченную xk, дополнительно отмечают выходным сигналом y=ψ(zj, xk). На рис. 2.1 приведены заданные ранее таблицами F- автоматы Мили F1 и Мура F2 соответственно.

Рис. 2.1 Графы автоматов Мили (а) и Мура (б)

При решении задач моделирования часто более удобной

формой является матричное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть квадратная матрица С=|| cij ||, строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы - состояниям перехода. Элемент cij=xk/yS в случае авто-мата Мили соответствует входному сигналу xk, вызывающему переход из состояния zi в состояние zj и выходному сигналу yS, выдаваемому при этом переходе. Для автомата Мили F1, рас-смотренного выше, матрица соединений имеет вид:


40

2 11 1

1 1 21 2

1 22 1

/ /

/ /

/ /

y yx xy yC x xy yx x

− = − −

.

Если переход из состояния zi в состояние zj происходит под действием нескольких сигналов, элемент матрицы cij пред-ставляет собой множество пар "вход/выход" для этого перехода, соединённых знаком дизъюнкции.

Для F- автомата Мура элемент cij равен множеству вход-ных сигналов на переходе (zizj), а выход описывается вектором выходов:

0

1

( )

( )

......

( )k

y

zz

z

Ψ Ψ = Ψ

r i-ая компонента которого выходной сигнал,

отмечающий состояние zi.

С помощью F-схем описываются узлы и элементы ЭВМ, устройства контроля, регулирования и управления, системы временной и пространственной коммутации в технике обмена информацией. Широта применения F-схем не означает их уни-версальность. Этот подход непригоден для описания процессов принятия решений, процессов в динамических системах с нали-чием переходных процессов и стохастических элементов.

2.4. Непрерывно-стохастические модели (Q - схемы)

К непрерывно-стохастическим моделям относятся сис-темы массового обслуживания (англ. queueing system), которые называют Q- схемами.

Предмет теории массового обслуживания – системы массового обслуживания (СМО) и сети массового обслужива-ния. Под СМО понимают динамическую систему, предназна-ченную для эффективного обслуживания случайного потока заявок при ограниченных ресурсах системы. Обобщённая струк-тура СМО приведена на рис. 2.2.


41

Рис. 2.2 Схема СМО

Поступающие на вход СМО однородные заявки в зави-

симости от порождающей причины делятся на типы, интенсив-ность потока заявок типа i (i=1…M) обозначено λi. Совокуп-ность заявок всех типов – входящий поток СМО. Обслуживание заявок выполняется m каналами. Разли-чают универсальные и специализированные каналы обслужива-ния. Для универсального канала типа j считается известными функции распределения Fji(τ) длительности обслуживания зая-вок произвольного типа. Для специализированных каналов функции распределения длительности обслуживания каналов заявок некоторых типов являются неопределёнными, назначе-ние этих заявок на данный канал. В качестве процесса обслуживания могут быть пред-ставлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, техни-ческих и других систем, например, потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку ин-формации ЭВМ от удалённых терминалов и т.д. При этом ха-рактерным для работы таких объектов является случайное пове-дение заявок (требований) на обслуживание и завершение об-служивания в случайные моменты времени.


42

Q- схемы можно исследовать аналитически и имитационными моделями. Последнее обеспечивает большую универсальность. Рассмотрим понятие массового обслуживания.

В любом элементарном акте обслуживания можно выде-лить две основные составляющие: ожидание обслуживания за-явкой и собственно обслуживание заявки. Это можно отобра-зить в виде некоторого i-ого прибора обслуживания Пi, состоя-щего из накопителя заявок, в котором может находится одно-временно li=0…Li

H заявок, где LiH - ёмкость i-ого накопителя, и

канала обслуживания заявок, ki.

ui

wi

Hi

K i

Пi

yi

Рис. 2.3 Схема прибора СМО

На каждый элемент прибора обслуживания Пi поступают

потоки событий: в накопитель Hi поток заявок wi , на канал ki - поток обслуживания ui.

Потоком событий (ПС) называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднород-ных событий. Однородный ПС (ОПС) характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими момен-тами) и задаётся последовательностью { tn}={0 ≤t1≤t2…≤tn≤…}, где tn - момент поступления n- ого события - неотрицательное вещественное число. ОПС может быть также задан в виде по-следовательности промежутков времени между n-ым и n-1-ым событиями {τn}.

Неоднородным ПС называется последовательность { tn, fn}, где tn- вызывающие моменты; fn- набор признаков события. Например, может быть задана принадлежность к тому или ино-


43

му источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслу-живания тем или иным типом канала и т.п.

Рассмотрим ОПС, для которого τi∈{ τn}- случайные ве-личины, независимые между собой. Тогда ПС называется пото-ком с ограниченным последействием.

ПС называется ординарным, если вероятность того, что на малый интервал времени ∆t, примыкающий к моменту вре-мени t попадает больше одного события Р≥1(t, ∆t) пренебрежи-тельно мала.

Если для любого интервала ∆t событие P0(t, ∆t) + P1(t, ∆t) + Р≥1(t, ∆t)=1, P1(t, ∆t) - вероятность попадания на интервал ∆t ровно одного события. Как сумма вероятностей событий, обра-зующих полную группу и несовместных, то для ординарного потока событий P0(t, ∆t) + P1(t, ∆t) ≈ 1, Р≥1(t, ∆t)=Θ(∆t), где Θ(∆t) – величиина, порядок малости который выше, чем ∆t, т.е. lim(Θ(∆t))=0 при ∆t→0.

Стационарным ПС называется поток, для которого веро-ятность появления того или иного числа событий на интервале времени τ зависит от длины этого участка и не зависит от того, где на оси времени 0 - t взят этот участок. Для ОПС справедливо 0*P0(t, ∆t) + 1*P1(t, ∆t)= P1(t, ∆t) - среднее число событий на ин-тервале ∆t. Среднее число событий, наступающих на участке ∆t в единицу времени составляет P1(t, ∆t)/∆t. Рассмотрим предел этого выражения при ∆t→0 lim P1(t, ∆t)/∆t=λ(t)*(1/един.вр.).

Если этот предел существует, то он называется интен-сивностью (плотностью) ОПС. Для стандартного ПС λ(t)=λ=const.

Применительно к элементарному каналу обслуживания ki можно считать что поток заявок wi∈W, т.е. интервалы времени между моментами появления заявок на входе ki образуют под-множество неуправляемых переменных, а поток обслуживания ui∈U, т.е. интервалы времени между началом и окончанием об-служивания заявки образуют подмножество управляемых пере-менных.


44

Заявки, обслуженные каналом ki и заявки, покинувшие прибор Пi по различным причинам не обслуженными, образуют выходной поток yi∈Y.

Процесс функционирования прибора обслуживания Пi можно представить как процесс изменения состояний его эле-ментов во времени Zi(t). Переход в новое состояние для Пi озна-чает изменение кол-ва заявок, которые в нём находятся (в кана-ле ki и накопителе Hi). Т.о. вектор состояний для Пi имеет вид:

,H Ki i iZ Z Z=r

, где HiZ - состояния накопителя, ( 0H

iZ = - накопи-

тель пуст, 1HiZ = - в накопителе одна заявка…, H H

i iZ L= - нако-

питель занят полностью; KiZ - состояние канала ki (

KiZ = 0 - ка-

нал свободен, KiZ = 1 канал занят).

Q-схемы реальных объектов образуются композицией многих элементарных приборов обслуживания Пi. Если ki раз-личных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальная Q-схема), а если приборы Пi и их параллельные композиции со-единены последовательно, то имеет место многофазное обслу-живание (многофазная Q-схема).

Таким образом, для задания Q-схемы необходимо опера-тор сопряжения R, отражающий взаимосвязь элементов струк-туры.

Связи в Q-схеме изображают в виде стрелок (линий по-тока, отражающих направление движения заявок). Различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы. В разомкнутой выходной поток не может снова поступить на какой-либо элемент, т.е. об-ратная связь отсутствует.

Собственными (внутренними) параметрами Q-схемы бу-дут являться количество фаз LФ, количество каналов в каждой фазе, Lkj, j=1… LФ, количество накопителей каждой фазы Lkj, k=1… LФ, ёмкость i-ого накопителя Li

H. Следует отметить, что в теории массового обслуживания в зависимости от ёмкости на-копителя применяют следующую терминологию:

− системы с потерями (LiH=0, накопитель отсутствует);

− системы с ожиданием (LiH→∞);


45

− системы с ограниченной ёмкостью накопителя Нi (смешанные).

Обозначим всю совокупность собственных параметров Q-схемы как подмножество Н.

Для задания Q-схемы также необходимо описать алго-ритмы её функционирования, которые определяют правила по-ведения заявок в различных неоднозначных ситуациях.

В зависимости от места возникновения таких ситуаций различают алгоритмы (дисциплины) ожидания заявок в накопи-теле Нi и обслуживания заявок каналом ki. Неоднородность по-тока заявок учитывается с помощью введения класса приорите-тов.

В зависимости от динамики приоритетов Q-схемы раз-личают статические и динамические. Статические приоритеты назначаются заранее и не зависят от состояний Q-схемы, т.е. они являются фиксированными в пределах решения конкретной за-дачи моделирования. Динамические приоритеты возникают при моделировании. Исходя из правил выбора заявок из накопитель Нi на обслуживание каналом ki можно выделить относительные и абсолютные приоритеты. Относительный приоритет означа-ет, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в на-копитель Н, ожидает окончания обслуживания представляющей заявки каналом ki и только после этого занимает канал. Абсо-лютный приоритет означает, что заявка с более высоким при-оритетом, поступившая в накопитель, прерывает обслуживание каналом ki заявки с более низким приоритетом и сами занимает канал (при этом вытесненная из ki заявка может либо покинуть систему, либо может быть снова записана на какое-то место в Нi).

Необходимо также знать набор правил, по которым заяв-ки покидают Нi и ki: для Нi – либо правила переполнения, либо правила ухода, связанные с истечением времени ожидания заяв-ки в Нi; для ki – правила выбора маршрутов или направлений ухода. Кроме того, для заявок необходимо задать правила, по которым они остаются в канале ki, т.е. правила блокировок ка-нала. При этом различают блокировки ki по выходу и по входу. Такие блокировки отражают наличие управляющих связей в Q-схеме, регулирующих поток заявок в зависимости от состоя-


46

ний Q-схемы. Набор возможных алгоритмов поведения заявок в Q-схеме можно представить в виде некоторого оператора алго-ритмов поведения заявок А.

Таким образом, Q-схема, описывающая процесс функ-ционирования СМО любой сложности однозначно задаётся в виде набора множеств: Q = <W, U, H, Z, R, A>.

Выводы по лекции 2: Исходной информацией при построении математических

моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой системы. В практи-ке моделирование объектов в области системного анализа на первичных этапах исследования рациональнее использовать ти-повые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, СМО и т.д. Существуют различные схемы моделирования систем, среди которых Д-схемы, F-схемы и Q-схемы.


− Какая исходная информация необходима для построе-ния математических моделей процессов функциониро-вания систем?

− Дайте определение понятия математическая схема. − Дайте определения агрегативной модели и охарактери-

зуйте её значение для исследования индивидуальных управленческих систем.

− Дайте понятие и охарактеризуйте непрерывно-детерминированную модель.

− Дайте понятие и охарактеризуйте дискретно-детерминированную модель.

− Дайте понятие и охарактеризуйте непрерывно-стохастическую модель.

− Приведите примеры работы F-автомата Мили и Мура.


47

Лекция 3. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

Цель лекции В лекции будут рассмотрены процедура имитационного

моделирования, описан процесс имитации функционирования системы, общие алгоритмы моделирования систем и некоторые методы определения характеристик моделируемых систем.

3.1. Процедура имитационного моделирования

Метод имитационного моделирования (ИМ) заключается в создании логико-аналитической (математической модели сис-темы и внешних воздействий), имитации функционирования системы, т.е. в определении временных изменений состояния системы под влиянием внешних воздействий и в поучении вы-борок значений выходных параметров, по которым определяют-ся их основные вероятностные характеристики. Данное опреде-ление справедливо для стохастических систем.

При исследовании детерминированных систем отпадает необходимость изучения выборок значений выходных парамет-ров.

Модель системы со структурным принципом управления представляет собой совокупность моделей элементов и их функциональные взаимосвязи. Модель элемента (агрегата, об-служивающего прибора) – это, в первую очередь, набор правил (алгоритмов) поведения устройства по отношению к выходным воздействиям (заявкам) и правил изменений состояний элемен-та. Элемент отображает функциональное устройство на том или ином уровне детализации. В простейшем случае устройство мо-жет находится в работоспособном состоянии или в состоянии отказа. В работоспособном состоянии устройство может быть занято, например, выполнение операции по обслуживанию заяв-ки или быть свободным. К правилам поведения устройства от-носятся правила выборки заявок из очереди; реакция устройства на поступление заявки, когда устройство занято или к нему име-


48

ется очередь заявок; реакция устройства на возникновение отка-за в процессе обслуживания заявки и некоторые другие.

Имитационное моделирование – это метод исследования, который основан на том, что анализируемая динамическая сис-тема заменяется имитатором и с ним производятся эксперимен-ты для получения об изучаемой системе. Роль имитатора зачас-тую выполняет программа ЭВМ.

Основная идея метода ИМ состоит в следующем. Пусть необходимо определить функцию распределения случайной ве-личины y. Допустим, что искомая величина y может быть пред-ставлена в виде зависимости: y=f(α,β,....,ω) где α,β,....,ω случай-ные величины с известными функциями распределения.

Для решения задач такого вида применяется следующий алгоритм:

1) по каждой из величин α,β,....,ω производится случай-ное испытание, в результате каждого определяется некоторое конкретное значение случайной величины αi,βi,....,ωi;

2) используя найденные величины, определяется одно частное значение yi по выше приведённой зависимо-сти;

3) предыдущие операции повторяются N раз, в резуль-тате чего определяется N значений случайной вели-чины y;

4) на основании N значений величины находится её эм-пирическая функция распределения.

3.2. Имитация функционирования системы

Предположим, исследуется вычислительная система (ВС), в которую входит процессор 1 с основной памятью, уст-ройство вода перфокарт 4, алфавитно-цифровое печатающее устройство (АЦПУ) 2 и дисплей 3 (рис. 3.1.).


49

Рис. 3.1 Упрощённая схема моделируемой системы Через устройство 4 поступает поток заданий Х1. Процес-

сор обрабатывает задания и результаты выдаёт на АЦПУ 2. Од-новременно с этим ВС используется, например, как информаци-онно-справочная система. Оператор-пользователь, работающий за дисплеем, посылает в систему запросы Х2, которые обраба-тываются процессором и ответы выводятся на экран дисплея. Процессор работает в 2-х программном режиме: в одном разде-ле обрабатываются задания Х1, в другом, с более высоким отно-сительным приоритетом запросы Х2. Представим данную ВС в упрощённом варианте в виде стохастической сети из 4-х СМО. Потоки заданий и запросы будем называть потоками заявок. Считаем потоки Х1 и Х2 независимыми. Известны функции рас-пределения периодов следования заявок τ1 и τ2 и длительность обслуживания Т1К , T2К заявок в к-ом устройстве. Требуется оп-ределить времена загрузки каждого устройства и времена реак-ции по каждому из потоков. Вначале определяется момент поступления в систему 1-ой заявки потока Х1 по результатам случайного испытания в соответствии с функцией распределения периода следования заявок.

На рис. 3.2 это момент времени t1=0+τ11 (здесь и далее

верхний индекс обозначает порядковый номер заявки данного потока). То же самое делается для потока Х2. На рис. 3.2 момент поступления 1-ой заявки потока Х2 t2=0+τ2

1. Затем находится минимальное время, т.е. наиболее раннее событие. В примере это время t1. Для 1-ой заявки потока Х1 определяется время об-служивания устройством ввода перфокарт Т1

14 методом случай-


50

ного испытания и отмечается момент окончания обслуживания t4=t1+Т

114.

Рис. 3.2 Временная диаграмма функционирования ВС

На рис. 3.2 показан переход устройства 4 в состояние "занято". Одновременно определяется момент поступления сле-дующей заявки потока Х1: t12=t1+τ1

2. Следующее минимальное время это момент поступления заявки потока Х2 – t2. Для этой заявки находится время обслуживания на дисплее Т1

23 и отсле-живается время окончания обслуживания t3=t2+ Т1

23 . Определя-ется момент поступления второй заявки потока Х2: t7=t2+τ2

2 . Снова выбирается минимальное время – это t3. В этот момент заявка потока Х2 начинает обрабатываться процессором. По ре-зультату случайного испытания определяется время её обслу-живания T1

21 и отмечается момент t5=t3+T121 окончания обслу-

живания. Следующее минимальное время t4 – момент заверше-ния обслуживания заявки потока Х1 устройством 4. С этого мо-мента заявка может начать обрабатываться процессором, но он занят обслуживанием потока Х2. Тогда заявка потока Х1 пере-ходит в состояние ожидания, становиться в очередь. В следую-щий момент времени t5 освобождается процессор. С этого мо-мента процессор начинает обрабатывать заявку потока Х1, а за-явка потока Х2 переходит на обслуживание дисплеем, т.е. ответ на запрос пользователя передаётся из основной памяти в буфер-ный накопитель дисплея. Далее определяются соответствующие времена обслуживания: T1

11 и T123 и отмечаются моменты вре-

мени t9=t5+ T111 и t6=t5+ T1

23. В момент t6 полностью завершается обработка первой заявки потока Х2. По разности времени t6 и t2


51

вычисляется время реакции по этой заявке u12= t6- t2. Следую-

щий минимальный момент t7 – это наступление 2-ой заявки по-тока Х2. Определяет время поступления очередной заявки этого потока t15= t7+τ2

3. Затем вычисляется время обслуживания 2-ой заявки на дисплее T2

23 и отмечается момент t8=t7+ T223, после че-

го заявка становится в очередь, т.к. процессор занят. Эта заявка поступит на обслуживание в процессор только после его осво-бождения в момент t9 . В этот момент заявка потока Х1 начинает обслуживаться в АЦПУ. Определяются времена обслуживания Т

221 и Т1

12 по результатам случайных испытаний и отмечаются моменты окончания обслуживания t11= t9+Т

223 и t10= t9+Т

112. В

момент времени t10 завершается полное обслуживание 1-ой за-явки потока Х1. Разность между этим моментом и моментом времени t1 даёт 1-ое значение времени реакции по потоку Х1 u1

1= t10- t1. Указанные процедуры выполняются до истечения вре-мени моделирования. В результате получается некоторое коли-чество (выборка) случайных значений времени реакции (u1) и (u2) по 1-ому и 2-ому потокам. По этим значениям могут быть определены эмпирические функции распределения и вычислены количественные вероятностные характеристики времени реак-ции. В процессе моделирования можно суммировать продолжи-тельности занятости каждого устройства обслуживанием всех потоков. Например, на рис. 3.2 занятость процессора 1 выделена заштрихованными ступеньками. Если результаты суммирования разделить на время моделирования, то получатся коэффициенты загрузки устройств. Можно определить время ожидания заявок в очереди, обслуженных системой, среднюю и максимальную длину оче-реди заявок к каждому устройству, требуемая ёмкость памяти и др. Имитация даёт возможность учесть надёжностные ха-рактеристики ВС. В частности, если известны времена наработ-ки на отказ и восстановления всех входящих в систему уст-ройств, то определяются моменты возникновения отказов уст-ройств в период моделирования и моменты восстановления. Ес-ли устройство отказало, то возможны решения:


52

− снятие заявки без возврата; − помещение заявки в очередь и дообслуживание после

восстановления; − поступление на повторное обслуживание из очереди;

3.3. Алгоритм моделирования по принципу особых состояний

Алгоритм моделирования по принципу особых состоя-ний использовался в приведённом выше примере. В качестве событий выделены:

− поступление заявки в систему; − освобождение элемента после обслуживания заявки; − завершения моделирования. Другими типами событий являются: − возникновение отказа устройств; − завершение восстановления устройств.

Процесс имитации развивался с использованием управ-ляющих последовательностей, определяемых по функциям рас-пределения вероятностей исходных данных путём проведения случайных испытаний. В качестве управляющих последователь-ностей использовались в примере последовательности значений периодов следования заявок по каждому i-ому потоку {τi} и длительности обслуживания заявок i-ого потока устройством { Tik}. Моменты наступления будущих событий определялись по простым рекуррентным соотношениям. Эта особенность даёт возможность построить простой циклический алгоритм модели-рования, который сводится к следующим действиям:

1) определяется событие с минимальным временем — наиболее раннее событие;

2) модельному времени присваивается значение време-ни наступления наиболее раннего события;

3) определяется тип события; 4) в зависимости от типа события предпринимаются

действия, направленные на загрузку устройств и про-движение заявок в соответствии с алгоритмом их об-работки, и вычисляются моменты наступления буду-


53

щих событий; эти действия называют реакцией моде-ли на события;

5) перечисленные действия повторяются до истечения времени моделирования.

В процессе моделирования производится измерение и статистическая обработка значений выходных характеристик. Обобщённая схема алгоритма моделирования по принципу осо-бых состояний приведена на рис. 3.3.

Рис. 3.3 Обобщённый алгоритм моделирования систем по принципу особых состояний

3.4. Алгоритм моделирования по принципу ∆t

Укрупнённая схема моделирующего алгоритма, который реализует принцип постоянного приращения модельного време-ни (принципа ∆t), представлен на рис. 3.4.


54

Рис. 3.4 Обобщённый алгоритм моделирования систем по принципу приращений «∆t»

В начале инициализируется программа, в частности вво-

дятся значения Zi(t0), i=1,2,…k. Которые характеризуют состоя-ние системы в k-мерном фазовом пространстве состояний в на-чальный момент времени t0. Модельное время устанавливается t = t0= 0. Основные операции по имитации системы осуществля-ется в цикле. Функционирование системы отслеживается по по-следовательной схеме состояний Zi(t). Для этого модельному даётся некоторое приращение dt. Затем по вектору текущих со-стояний определяются новые состояния Zi(t + dt), которые ста-новятся текущими. Для определения новых состояний по теку-щим в формализованном описании системы должны существо-вать необходимые математические зависимости. По ходу ими-тации измеряются, вычисляются, фиксируются необходимые выходные характеристики. При моделировании стохастических систем вместо новых состояний вычисляются распределения вероятностей для возможных состояний. Конкретные значения вектора текущих состояний определяются по результатам слу-чайных испытаний. В результате проведения имитационного эксперимента получается одна из возможных реализаций слу-


55

чайного многомерного процесса в заданном интервале времени (t0 , Tk).

Моделирующий алгоритм, основанный на применении dt применим для более широкого круга систем, чем алгоритм, по-строенный по принципу особых состояний. Однако при его реа-лизации возникают проблемы определения величины dt. Для моделирования ВС на системном уровне в основном использу-ются принцип особых состояний.

3.5. Методы определения характеристик моделируемых систем

Измеряемые характеристики моделируемых систем При имитационном моделировании можно измерять зна-

чения любых характеристик, интересующих исследователя. Обычно по результатам вычислений определяются характери-стики всей системы, каждого потока и устройства.

Для всей системы производится подсчёт поступивших в систему заявок, полностью обслуженных и покинувших систему заявок без обслуживания по тем или иным причинам. Соотно-шения этих величин характеризует производительность системы при определённой рабочей нагрузке.

По каждому потоку заявок могут вычисляться времена реакций и ожидания, количества обслуженных и потерянных заявок. По каждому устройству определяется время загрузки при обслуживании одной заявки м число обслуженным устрой-ством заявок, время простоя устройства в результате отказов и количество отказов, возникших в процессе моделирования, ди-ны очередей и занимаемые ёмкости памяти.

При статистическом моделировании большая часть ха-рактеристик — это случайные величины. По каждой такой ха-рактеристике y определяется N значений, по которым строится гистограмма относительных частот, вычисляется математиче-ское ожидание, дисперсия и моменты более высокого порядка, определяются средние по времени и максимальные значения. Коэффициенты загрузки устройств вычисляются по формуле:

ρk=Vk*Nok/Tm


56

Vk – среднее время обслуживания одной заявки к-ым устройст-вом; Nok – количество обслуженных заявок устройством за время моделирования Tm. Определение условий удовлетворения стохастических ограничений при имитационном моделировании производится путём простого подсчёта количества измерений, вышедших и не вышедших за допустимые пределы. Расчёт математического ожидания и дисперсии выходной

характеристики В случае стационарного эргодического процесса функ-

ционирования системы вычисление М(у) и Д(у) выходной харак-теристики у производится усреднением не по времени, а по множеству Nзнач., измеренных по одной реализации достаточной длительности. В целях экономия ОЗУ ЭВМ М(у) и Д(у) вычис-ляются по рекуррентным формулам: mn=mn-1*(n-1)/n + y/n; где mn-1 - математическое ожидание, вычисленное на предыду-щем шаге. dn=dn-1*(n-2)/(n-1) + 1/n*(yn-mn-1)

2 . Здесь dn-1 – дисперсия, вычисленная на предыдущем ша-

ге. При большом количестве измерений эти оценки являются состоятельными и несмещёнными.

Расчёт среднего по времени значения выходной

характеристики Например, средняя длина очереди к каждому устройству вычисляется по формуле:

1

Ni i

Ni m

ll

T

τ=

=∑ ,

где i – номер очередного изменения состояния очереди (занесе-ние заявки в очередь или исключение из очереди); N – количе-ство изменений состояния очереди; iτ – интервал времени меж-ду двумя последними изменениями очереди. Ёмкость накопителя:


57

1

Ni i

ni m

qq

T

τ=

=∑ ,

где iq – ёмкость накопителя, занятая в интервале между двумя последними обращениями к накопителю для ввода-вывода заяв-ки.

Построение гистограммы для стационарной системы Г – эмпирическая плотность распределения вероятно-стей. Задаются границы изменения интересующей характери-стики. уi→[yн;ув], числом интервалов Ng. Определяется ширина интервала ∆=( yн - ув)/Ng.

Затем в процессе моделирования по мере появления зна-чений уi определяется число попаданий этой случайной величи-ны в каждый из интервалов Ri гистограммы. По этим данным вычисляется относительная частота по каждому интервалу: Gi=Ri/(N*∆), где N – общее число измерений у. Площадь гисто-граммы равна единице, равна сумме площадей:

1

1gN

i ii i

R RS G

N N= ∆ = ∆ = =

∆∑ ∑ ∑ , т.к. 1

gN

iN R=∑ .

При необходимости выдвигается гипотеза о том, что эм-пирическое распределение согласуется с некоторым теоретиче-ским распределением. Эта гипотеза проверяется по тому или иному критерию. Например, при использовании критерия χ2 в качестве меры расхождения используется выражение

2

2 1

( )gN

i i

i

R NP

NPχ

−=∑

,

где iP определяется из выбранного теоретического распределе-ния вероятность попадания случайной величины в i-ый интер-вал.

1

1( ) ( ) ( )i

i

y

i i iyP x dx F y F yϕ+

+= = −∫ .

Из теоремы Пирсона следует, что для любой функции распределения F(y) случайной величины у при N→ ∞ распреде-ления величины χ2 имеет вид:


58

2 / 2 1 / 2/ 2

0

1( ) ( )

2 ( / 2)

zk t

k kM z p z t e dtχ − −= < =

∂ ∫h

,

где z – значение случайной величины χ2 , k = Ng - (r +1) – число степеней свободы распределения χ2 , r – количество параметров теоретического распределения, Г(к/2) – гамма функция. Функция распределения χ2 табулирована. По вычислен-ному значению χ2 и числу степеней свободы с помощью таблиц определяется вероятность Р(χ2 < Z). Если она превышает задан-ный уровень значимости С, то выдвинутая гипотеза принимает-ся.

Выводы по лекции 3: Метод имитационного моделирования заключается в

создании логико-аналитической (математической модели систе-мы и внешних воздействий), имитации функционирования сис-темы, т.е. в определении временных изменений состояния сис-темы под влиянием внешних воздействий и в поучении выборок значений выходных параметров, по которым определяются их основные вероятностные характеристики. В процессе моделиро-вания производится измерение и статистическая обработка зна-чений выходных характеристик. При имитационном моделиро-вании можно измерять значения любых характеристик, интере-сующих исследователя. Обычно по результатам вычислений определяются характеристики всей системы, каждого потока и устройства.


− В чем заключается метод имитационного моделирова-ния?

− Охарактеризуйте алгоритм моделирования по принци-пу особых состояний.

− Поясните моделирующий алгоритм, который реализу-ет принцип постоянного приращения модельного вре-мени.


59

− Перечислите измеряемые характеристики моделируе-мых систем.

− Охарактеризуйте методы определения характеристик моделируемых систем.


60

Лекция 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Цель лекции В лекции будут рассмотрены особенности моделирования

случайных событий, особенности преобразования и вычисления случайных величин, а также моделирование нормально распре-делённой случайной величины.

4.1. Особенности моделирования случайных событий

Важной задачей в практике имитационного моделирова-ния систем на ЭВМ является расчёт случайных величин. В язы-ках программирования существуют датчики равномерно рас-пределённых псевдослучайных величин в интервале {0,1}. Ос-тановимся на вопросах преобразования последовательности псевдослучайных величин {X i} в последовательности {Y i} с за-данным законом распределения и моделировании различных случайных событий.

Пусть имеются случайные числа xi, т.е. возможные зна-чения случайной величины ξ, равномерно распределённой в ин-тервале {0,1}. Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью Р. Определим А как со-бытие, состоящее в том, что выбранное значение xi удовлетворя-ет неравенству:

xi ≤ Р. (4.1)

Тогда вероятность события А будет : 0

( )p

P A dx p= =∫ .

Противоположное событию А состоит в том, что xi>р. Тогда

( ) 1P A P= − . Процедура моделирования состоит в этом случае в выборе значений xi и сравнение их с р. При этом, если условие (4.1) удовлетворяется, то исходом испытания будет событие А.

Таким же образом можно рассмотреть группу событий. Пусть А1, А2…Аn – полная группа событий, наступающая с веро-ятностями Р1, Р2, … Рn соответственно. Определим Аm как собы-


61

тие, состоящее, в том, что выбранное значение xi случайной ве-личины ξ удовлетворяет неравенству:

1m i ml x l− < < , где 1

k

k ii

l p=

=∑ . (4.2)

Тогда 1

( )m

m

l

m m

l

P A dx P−

= =∫ . Процедура моделирования ис-

пытаний в этом случае состоит в последовательности сравнений случайных чисел xi со значениями lk. Исходом испытания оказы-вается событие Am, если выполняется условие (4.2). Эту проце-дуру называют определением исхода по жребию в соответствии с вероятностями Р1, Р2, … Рn.

При моделировании систем часто необходимо осущест-вить такие испытания, при которых искомый результат является сложным событием, зависящим от 2-х и более простых.

Пусть например, независимые события А и В имеют ве-роятности наступления РА и РВ. Возможными исходами совме-

стных испытаний в этом случае будут события , , ,AA AB AB AB с вероятностями РАРВ, (1-РА)РВ, РА(1-РВ), (1-РА)(1-РВ). Для моде-лирования совместных испытаний можно использовать после-довательную проверку условия (4.1). Он требует двух чисел xi.

Рассмотрим случай, когда события А и В являются зави-симыми и наступают с вероятностями РА и РВ. Обозначим через Р(В/А) условную вероятность события В при условии, что собы-тие А произошло. Считаем, что Р(В/А) задана. Из последова-тельности случайных чисел {Xi} извлекается определённое чис-ло xm и проверяется справедливость неравенства xm<PA. Если это неравенство справедливо, то наступило событие А. Для ис-пытания, связанного с событием В используется вероятность Р(В/А). Из совокупности чисел {Xi} берётся очередное число xm+1 и проверяется условие xm+1≤ Р(В/А). В зависимости от того выполняется или нет это неравенство, исходом испытания явля-ется АВ или AB . Если неравенство xm<PA не выполняется, то наступило событие A . Поэтому для испытания, связанного с событием В необходимо определить вероятность:

( / ) [ ( ) ( ) / ( / )] /(1 ( ))P B A P B P A P B A P A= − − .


62

Выберем из совокупности {Xi} число xm+1 и проверим

справедливость неравенства ( / )mx P B A≤ . В зависимости от того, выполняется оно или нет, получаем исходы испытания AB . Алгоритм вычислений можно представить в виде схемы, которая изображена на рисунке 4.1.

Выдача исхода

Генерация Xm+1 Генерация Xm+1

Генерация Xm PB/A=… Ввод РА,РВ,РВ/А

Xm<PA

XA=КА+1

m B Ax P− ≤1 / m B Ax P− ≤1 /

A AK K= +1

AB ABK K= +1 AB ABK K= +1

AB ABK K= +1 AB ABK K= +1

нет

нет

нет да

да

да

Рис. 4.1 Схема моделирования группы случайных событий

4.2. Преобразование случайных величин

Дискретная случайная величина η принимает значения y1≤ y2 y3… yl с вероятностями P1, P2…, Pl составляющими диф-ференциальное распределение вероятностей: y y1 y2…… yj… P(η=y) P1, P2……Pj… (4.3) При этом интегральная функция распределения

1

( ) ( )m

jj

F y P y Pη η=

= ≤ =∑ , ym≤ym+1; m=1,2,...

Fη(y)=0, y<y1. (4.4) Для получения дискретных случайных величин можно использовать метод обратной функции. Если ξ – равномерно


63

распределённая на интервале (0, 1), случайная величина η полу-чается с помощью преобразования

η=Fη-1(ξ), где Fη

-1 – функция, обратная Fη. (4.5) Алгоритм вычисления по (4.4) и (4.5) сводится к выпол-

нению следующих действий: если х1<Р1 то η=y1 иначе, если х2<Р1+Р2 то η=y2 иначе, … (4.6)

… если хj<1

m

jj

P=∑ то η=ym иначе…

При счёте по (4.6) среднее число циклов сравнения рав-

няется 1

jj

jP∞

=∑ .

4.3. Вычисление непрерывных случайных величин

Непрерывная случайная величина η задана интегральной функцией распределения:

( ) ( ) ( )y

F y P y f y dyη ηη−∞

= ≤ = ∫ ,

где ( )f yη – плотность вероятностей.

Для получения непрерывных случайных величин с за-данным законом распределения, как и для дискретных величин можно использовать метод обратной функции. Взаимно одно-значная монотонная функция η=Fη

-1(ξ), полученная решением относительно η управления Fη(y)=ξ преобразует равномерно распределённую на интервале (0,1) величину ξ в η с требуемой плотностью fη(y).

Действительно, если случайная величина η имеет плот-ность распределения fη(y), то распределение случайной величи-

ны 0

( )y dyfη

ηξ = ∫ является равномерным.

Таким образом, чтобы получить число, принадлежащее последовательность случайных чисел {y}, имеющих функцию


64

плотности fη(y), необходимо разделить относительно yi уравне-ние

( )iy

jf y dy xη−∞

=∫ (4.7)

Рассмотрим универсальный метод моделирования не-прерывных случайных величин (метод исключений).

При моделировании случайной величины y с плотностью распределения вероятностей fη(y) в интервале a≤y≤b независи-мые значения xm и xm+1 преобразуются в значения

y1m=a+(b-a)xm (4.8) z1m+1=f1η(y)xm+1 (4.9)

где f1η(y)=max| fη(y)|. При этом y1m и z1m+1 – значениия случайных величин, равномерно распределенных на интервале (a,b) и (0,f1m). Эти значения можно рассматривать как абсциссы и орди-наты случайных точек, равномерно распределяющихся внутри прямоугольника со сторонами b-a и f1m, охватывающего кривую распределения fη(y) (см. рис. 4.2).

a b

f1m

y

fη(y)

Рис. 4.2 Иллюстрация метода исключений

Если z1m+1≤fη(ym1), (4.10)

тогда пара y1m, z1m+1 определяет случайную точку под кривой fη. Вероятность попадания случайной точки, удовлетворяющей ус-ловию (4.10) под кривую fη равна единице, а вероятность попа-дания в заштрихованную элементарную площадку равна fη(y1m)∆y1m. Это обозначает, что абсциссы y1m случайных точек, попадающих под кривую fη - значения случайной величины y с


65

заданной плотностью вероятности fη(y). Моделируемый алго-ритм состоит из функций : 1) получения xm1 и xm+1 от датчика; 2) расчёта y1v и z1m+1 согласно (4.8) и (4.9); 3) вычисления fη(y1m); 4) сравнения z1m+1 с fη(y1m). Если условия (4.10) выполняются, то y=y1m; если нет, то значения y1m и z1m+1 исключаются и процесс повторяется, начиная с пункта 1. При моделировании системы 2-х случайных величин (y1y2) с плотностью вероятности f(y1, y2), a1≤y1≤b1; a2≤y2≤b2, аналогично моделированию одной случайной величины, три значения: xm, xm+1, xm+2, выданные датчиком Е, преобразуются в значения:

y1m=a1+(b1-a1)xm (4.11) y2m=a2+(b2-a2)xm+1 (4.12) z3m=fηmxm+2, где fηm=max[f(x1,x2)] (4.13) Если z3m≤f(y1m,y2m) (4.14)

то y1=y1m; y2=y2m. В этом случае случайные точки с координатами y1m, y2m,

z3m – равномерно распределены в пределах параллепипеда со сторонами, равными (b1-a1)(b2-a2), fηm и условие (4.14) означает попадание точки под поверхность fη. Аналогично моделируется система n случайных величин (y1,y2,…,yn).

4.4. Моделирование нормально распределённой случайной величины «y»

Моделирование нормально распределённой случайной величины y может быть осуществлено на основании централь-ной предельной теоремы, согласно которой закон распределения суммы независимых случайных величин стремится к нормаль-ному с увеличением числа слагаемых. Для решения некоторых

задач практически сумму 1

n

ii

y y=

=∑ значений, выданных с гене-

ратором случайных чисел с характеристиками f(xi)=1, 0≤xi≤1,

mx=0.5, 0.5/ 3ixσ = .


66

Можно считать значениями распределённой случайной

величины 1

n

ii

y x=

=∑ при n≥8. Так как все слагаемые xi имеют

одинаковые математические ожидания mx и дисперсии Dx, то my=nmx, Dy=nDx. В табл 4.1 приведены формулы для расчёта случайных величин для различных видов распределений на базе случайной величины с равномерным распределением.

Таблица 4.1. Формулы для расчёта случайных величин для различных видов распределений на базе случайной величины с равномерным распределением

Нужное распреде-ление

Плотность распределения Способ получе-ния случайной величины

Экспонен-циальное

( )( ) ,yf y e yλ µλ µ− −= ≤ ≤ ∞ 1' ln(1 )iy χ µ

λ= − − +

Гамма рас-пределение (целочис-ленные зна-чения η)

1( ) ,0( )

yf y e y yη

λ ηλη

− −= < < ∞Γ

1

1' ln(1 )

n

ii

y χλ =

= − −∑

Распреде-ление χ2

( / 2) 1 /2/2

1( ) , 0

2 ( / 2)yf y y e yγ

γ γ−= ≤ < ∞

Γ

1

' ;Ni

y Rγ

=

=∑ RN –

нормированная случайная вели-чина с нормаль-ным законом рас-пределения

Логарифми-ческие нор-мальные распреде-ления

21 1 ln

( ) exp ,022

yf y y

y

µσπσ

− = − ≤ < ∞

' NRy eσ µ+=

Вейбулла 1( ) exp ,0y

f y y yη

ηησ σ

− = − ≤ < ∞

( ) 1/' ln 1 iy

ησ χ= − −

Выводы по лекции 4: При моделировании систем часто необходимо осущест-

вить такие испытания, при которых искомый результат является


67

сложным событием, зависящим от 2-х и более простых. Для по-лучения непрерывных случайных величин с заданным законом распределения, как и для дискретных величин можно использо-вать метод обратной функции. Метод исключений является уни-версальным методом моделирования непрерывных случайных величин. Моделирование нормально распределённой случайной величины y может быть осуществлено на основании централь-ной предельной теоремы, согласно которой закон распределения суммы независимых случайных величин стремится к нормаль-ному с увеличением числа слагаемых.


− Поясните принцип вычисления непрерывных случай-ных величин.

− Поясните принципы преобразования случайных вели-чин.

− Охарактеризуйте метод исключений, применяемый для моделирования непрерывных случайных величин.

− Каким образом осуществляется моделирование нор-мально распределённой случайной величины?

− Приведите формулы для расчёта случайных величин для различных видов распределений на базе случайной величины с равномерным распределением.


68

Лекция 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТИПОВЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

СХЕМ И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ ПРОГРАММ

Цель лекции В лекции будут рассмотрены блочные иерархические мо-

дели процессов функционирования систем, особенности реали-зации процессов с использованием Q-схем, применение автома-тизированных систем имитационного моделирования, а также наиболее популярные системы моделирования имитационного моделирования. Более подробно будет рассмотрен пакет OPNET Modeler.

5.1. Блочные иерархические модели процессов функционирования систем

Рассмотрим машинную модель Mm, системы S как сово-купность блоков {mi}, i=1,2…n. Каждый блок модели можно охарактеризовать конечным набором возможных состояний { Z0}, в которых он может находиться. Пусть в течение рассмат-риваемого интервала времени (0,Т) блок i изменяет состояние в моменты времени ti

j≤Т , где j – номер момента времени. Момент времени можно разделить на три группы:

случайные, связанные с внутренними свойствами блока;

случайные, связанные с изменением состоянием дру-гих блоков, имитирующая воздействие среды Е;

детерминированные моменты, связанные с заданным расписанием функционирования блока.

Моментами смены состояний модели Мм в целом t(k) ≤Т будем считать все моменты изменения блоков {mi}, рис. 5.1. см. ниже.


69

Рис. 5.1 Смена состояний модели для случаев 3-х блоков

При этом моменты ti(j) и tk являются моментами систем-

ного времени, т.е. времени, в котором функционирует система S. При машинной реализации модели Мм её блки представляются соответствующими программными модулями.

5.2. Особенности реализации процессов с использованием Q-схем

При моделировании Q-схем следует адекватно учиты-вать как связи, отражающие движения заявок (сплошные линии) так и управляющие связи (пунктирные линии). Рассмотрим фрагмент Q-схемы (Рис. 5.2.):

Рис. 5.2 Фрагмент Q-схемы

Примерами управляющих связей являются различные блокировки обслуживающих каналов (по входу и по выходу): "клапаны" изображены в виде треугольников, а управляющие связи пунктирными линиями. Блокировка канала по входу озна-чает, что этот канал отключается от входящего потока заявок, а блокировка канала по выходу указывает, что заявка обслужен-


70

ная блокированным каналом, остаётся в этом канале до момента снятия блокировки. В этом случае, если перед накопителем нет "клапана", то при его переполнении будут иметь место потери заявок.

Моделирующий алгоритм должен отвечать следующим требованиям:

− обладать универсальностью относительно струк-туры, алгоритмов функционирования и параметров системы S;

− обеспечивать одновременную и независимую ра-боту системы S;

− укладываться в приемлемые затраты ресурсов ЭВМ (памяти, времени расчёта для реализации машинного экс-перимента);

− проводить разбиение на достаточно автономные логические части (блоки);

− гарантировать выполнение рекуррентного прави-ла расчётов.

При этом необходимо иметь виду, что появление одной заявки входящего потока в некоторый момент времени ti может вызвать изменение состояния не более чем одного из элементов Q-схемы, а окончание обслуживания заявки в момент ti в неко-тором канале К может привести в этот момент времени к после-довательному изменению состояний нескольких элементов (Н,К), т.е. будет иметь место процесс распространения смены состояний в направлении противоположном движению заявки в системе S. Поэтому просмотр элементов Q-схемы должен быть противоположным движению заявок.

Все виды моделирующих алгоритмов Q-схемы можно классифицировать так, как показано на рис. 5.3).

Алгоритмы моделирующие Q-схему по принципу "∆t" являются детерминированными (по шагу), а по принципу осо-бых состояний – стохастические. Последние могут быть реали-зованы синхронным и асинхронным способами.

При синхронном способе один из элементов Q-схемы (И, Н или К) выбирается в качестве ведущего и по нему "синхрони-зируется" весь процесс моделирования.


71

Рис. 5.3 Виды моделирующих алгоритмов Q-схемы

При асинхронном способе – ведущий (синхронизирую-щий) элемент не используется, а очередному шагу моделирова-ния (просмотру элементов Q-схемы) может соответствовать лю-бое особое состояние всего множества элементов И, Н и К. При этом просмотр элементов Q-схемы организован так, что при ка-ждом особом состоянии либо циклически просматриваются все элементы, спорадически – только те элементы, которые в этом случае могут изменить своё состояние (просмотр с прогнозиро-ванием).

5.3. Применение автоматизированных систем имитационного моделирования

Существуют специальные, ориентированные на модели-рование вычислительных сетей программные системы, в кото-рых процесс создания модели упрощен. Такие программные системы сами генерируют модель сети на основе исходных дан-ных о ее топологии и используемых протоколах, об интенсивно-стях потоков запросов между компьютерами сети, протяженно-сти линий связи, о типах используемого оборудования и прило-жений. Программные системы моделирования могут быть узко специализированными и достаточно универсальными, позво-ляющие имитировать сети самых различных типов. Качество результатов моделирования в значительной степени зависит от точности исходных данных о сети, переданных в систему ими-тационного моделирования.


72

Программные системы моделирования сетей – инстру-мент, который может пригодиться любому администратору кор-поративной сети, особенно при проектировании новой сети или внесении кардинальных изменений в уже существующую. Про-дукты данной категории позволяют проверить последствия вне-дрения тех или иных решений еще до оплаты приобретаемого оборудования. Конечно, большинство из этих программных па-кетов стоят достаточно дорого, но и возможная экономия может быть тоже весьма ощутимой.

Программы имитационного моделирования сети исполь-зуют в своей работе информацию о пространственном располо-жении сети, числе узлов, конфигурации связей, скоростях пере-дачи данных, используемых протоколах и типе оборудования, а также о выполняемых в сети приложениях.

Обычно имитационная модель строится не с нуля. Суще-ствуют готовые имитационные модели основных элементов се-тей: наиболее распространенных типов маршрутизаторов, кана-лов связи, методов доступа, протоколов и т.п. Эти модели от-дельных элементов сети создаются на основании различных данных: результатов тестовых испытаний реальных устройств, анализа принципов их работы, аналитических соотношений. В результате создается библиотека типовых элементов сети, кото-рые можно настраивать с помощью заранее предусмотренных в моделях параметров.

Системы имитационного моделирования обычно вклю-чают также набор средств для подготовки исходных данных об исследуемой сети – предварительной обработки данных о топо-логии сети и измеренном трафике. Эти средства могут быть по-лезны, если моделируемая сеть представляет собой вариант су-ществующей сети и имеется возможность провести в ней изме-рения трафика и других параметров, нужных для моделирова-ния. Кроме того, система снабжается средствами для статисти-ческой обработки полученных результатов моделирования.

Основными элементами, из которых состоят системы мо-делирования сетей, являются библиотеки моделей, среда моде-лирования, подсистема генерации трафика, подсистема генера-


73

ции топологии сети, подсистема анализа результатов моделиро-вания.

Библиотеки моделей представляют собой хранилища структурных элементов модели и могут оцениваться по сле-дующим критериям:

− возможность моделировать стандартные сетевые уст-ройства;

− возможность создания моделей устройств, удовлетво-ряющих требованиям пользователя;

− уровень параметризации элементов библиотеки; − число классов моделируемых объектов; − масштабируемость времени моделирования; − точность и соответствие моделей реальным объектам. Среда моделирования используется для сбора данных о

функционировании модели. Ее организация редко раскрывается разработчиком. Поэтому организацию функционирования среды прогона нельзя использовать как критерий сравнения.

Графический интерфейс пользователя представляет собой модуль для взаимодействия с подсистемами генерации трафика и топологии сети. Он должен обеспечивать максимальное удоб-ство для пользователя и реализовывать функции управления средой моделирования, в числе которых: функция drag-and-drop; анимация процесса моделирования работы сети; возможность приостанавливать или прерывать процесс моделирования, по-вторный запуск и пошаговый анализ моделирования; обеспече-ние наглядности элементов рабочего пространства; задание па-раметров генерации трафика в удобной форме; возможность ие-рархического представления элементов сети.

Подсистема анализа результатов моделирования обраба-тывает данные, собранные при прогоне модели, вычисляет ха-рактеристики производительности и представляет результаты в удобной для пользователя форме. В значительной степени воз-можность этой подсистемы зависит от тех данных, которые со-бирает среда прогона. Определяющими для этой части системы являются следующие моменты: количество и тип характеристик,


74

собираемых в результате работы модели, а также различные ви-ды представления результирующей информации.

Одним из плюсов создания модели сети с помощью про-граммного обеспечения является то, что уровень гибкости, обеспечиваемый ядром моделирования, тот же, что и для моде-лирования, написанных с нуля, но объектное построение среды позволяет пользователю намного быстрее делать разработку, усовершенствования и производить модели для многократного использования.

5.4. Наиболее популярные системы моделирования имита-ционного моделирования

Существует множество программных средств для имита-ционного моделирования, каждое из которых дает возможность изучения работы сети в большей или меньшей степени.

BONeS (фирма Systems and Networks) – графическая сис-тема моделирования общего назначения для анализа архитекту-ры систем, сетей и протоколов. Описывает модели на транс-портном уровне и на уровне приложений. Дает возможность анализа воздействия приложений типа клиент - сервер и новых технологий на работу сети.

Netmaker (фирма OPNET Technologies) – проектирование топологии, средства планирования и анализа сетей широкого класса. Состоит из различных модулей для расчета, анализа, проектирования, визуализации, планирования и анализа резуль-татов.

Optimal Perfomance (фирма Compuware; Optimal Networks) – имеет возможности быстрого оценочного и точного моделирования, помогает оптимизировать распределенное про-граммное обеспечение.

Prophesy (компания Abstraction Software) – простая сис-тема для моделирования локальных и глобальных сетей. Позво-ляет оценить время реакции компьютера на запрос, количество "хитов" на WWW-сервере, количество рабочих станций для об-служивания активного оборудования, запас производительности сети при поломке определенного оборудования.


75

Семейство CANE (компания ImageNet) – проектирование и реинжиниринг вычислительной системы, оценка различных вариантов, сценарии "что, если". Моделирование на различных уровнях модели OSI. Развитая библиотека устройств, которая включает физические, электрические, температурные и другие характеристики объектов. Возможно создание своих библиотек.

Семейство COMNET (фирма Compuware; CACI Products Company) – объектно-ориентированная система моделирования локальных и глобальных сетей. Позволяет моделировать уров-ни: приложений, транспортный, сетевой, канальный. Использует все известные на сегодня технологии и протоколы, а также сис-темы клиент-сервер. Легко настраивается на модель оборудова-ния и технологий. Возможность импорта и экспорта данных о топологии и сетевом трафике. Моделирование иерархических сетей, многопротокольных локальных и глобальных сетей; учет алгоритмов маршрутизации.

Семейство OPNET (фирма OPNET Technologies) – сред-ство для проектирования и моделирования локальных и гло-бальных сетей, компьютерных систем, приложений и распреде-ленных систем. Возможность импорта и экспорта данных о то-пологии и сетевом трафике. Анализ воздействия приложений типа клиент-сервер и новых технологий на работу сети. Моде-лирование иерархических сетей, многопротокольных локальных и глобальных сетей; учет алгоритмов маршрутизации. Объект-но-ориентированный подход. Исчерпывающая библиотека про-токолов и объектов. Включает следующие продукты: Netbiz (проектирование и оптимизация вычислительной системы), Modeler (моделирование и анализ производительности сетей, компьютерных систем, приложений и распределенных систем), ITGuru (оценка производительности коммуникационных сетей и распределенных систем).

Stressmagic (фирма NetMagic Systems) – поддержка стан-дартных тестов измерения производительности; имитация пико-вой нагрузки на файл-сервер и сервер печати. Возможно моде-лирование взаимодействия различных пользователей с файл-сервером. Включает 87 тестов производительности.


76

Более подробные сведения об этих системах и их харак-теристиках приведены в табл. 5.1. К числу наиболее мощных и интересных относится OPNET фирмы OPNET Technologies (ра-нее называлась MIL3).

Таблица 5.1. Характеристики систем имитационного моделирования

Компания Продукт Стои-мость, долл.

Тип сети Операционная система

Systems and Networks

Bones 20000 - 40000

LAN, WAN, клиент-серверные архитектуры

Sun Solaris, Sun OS, HP/UX

ImageNet CANE 7900 - 25000


Windows NT

Optimal Net-works

Optimal Perfomance

5000 - 30000 LAN, WAN Windows 98/NT

s

Abstraction Software

Prophesy 599 LAN, WAN Windows 98/NT, OS/2

Network Analy-sis Center (http://www.nacmind.com/, http://www.salestar.com/)

WinMIND 9500 - 41000 WAN Windows 98/NT

CACI Products (Compuware)

Семейство COMNET

19000 - 60000

LAN, WAN клиент-серверные архитектуры

Windows 98/NT, OS/2, AT&T Unix, IBM AIX, DEC Ultrix, Sun Solaris, Sun OS, HP/UX

OPNET Technologies (MIL3)

Семейство OPNET

16000 - 40000


DEC AXP, Sun Solaris, Sun OS, HP/UX, Silicon Graphics IRIX, IBM AIX, Win-dows

NetMagic Sys-tems

StressMagic

3000 на 1 файл-сервер

LAN Windows 98/NT


77

5.5. Система моделирования OPNET Modeler

Наиболее распространенной и эффективной средой ими-тационного моделирования сетей является OPNET Modeler. OPNET Modeler – это гибкий и наглядный инструмент, один из лучших сетевых симуляторов не только для обучения, но и для разработок и исследований. OPNET используют более 500 раз-личных компаний по всему миру – провайдеры Интернет-услуг, правительственные организации, производители телекоммуни-кационного оборудования, ВУЗы.

OPNET Modeler предлагает пользователям графическую среду для создания, выполнения и анализа событийного моде-лирования сетей связи. Это удобное программное обеспечение может быть использовано для большого ряда задач, например, типичные создание и проверка протокола связи, анализ взаимо-действий протокола, оптимизация и планирование сети. Также возможно осуществить с помощью пакета проверку правильно-сти аналитических моделей, и описание протоколов.

Основные характеристики следующие: − самый быстрый механизм дискретного моделирования

среди существующих; − сотни моделей протоколов и сетевых устройств веду-

щих производителей; − объектно-ориентированное моделирование; − иерархическая структура оболочки моделирования; − дискретное, гибридное и аналитическое (опция) моде-

лирование; − 32-bit и 64-bit ядро параллельного моделирования; − поддержка распределенного моделирования (рис. 5.4); − дополнительно, специальные возможности по взаимо-

действию с «живыми» системами; − открытый интерфейс для интеграции внешних объек-

тов, библиотек и других систем моделирования; − встроенные графические средства отладки и анализа.


78

Рис. 5.4. Поддержка распределенного моделирования в среде

OPNET

Рассматриваемый продукт содержит несколько редакто-ров для разработки библиотек моделируемых систем (рис. 5.5). Организация объектов - иерархическая, сетевые объекты (моде-ли) связаны набором узлов и объектов связи, в то время как объ-екты узла связаны набором объектов, типа модулей очерёдно-сти, модулей процессора, передатчиков и приемников. Логику поведения процессора и модулей очередности определяет мо-дель процесса, которую пользователь может создавать и изме-нять в пределах редактора процесса. В редакторе процесса поль-зователь может определить модель процесса через комбинацию алгоритма работы конечного автомата (finite-state machine – FSM) и операторов языка программирования C/C++.

Вызов события модели процесса в течение моделирова-ния управляется возбуждением прерывания, а каждое прерыва-ние соответствует событию, которое должно быть обработано моделью процесса.

Основа связи между процессами – структура данных, на-зываемая пакетом. Могут быть заданы форматы пакета, то есть они определяют, какие поля могут содержать такие стандартные типы данных, как целые числа, числа с плавающей запятой и указатели на пакеты (эта последняя способность позволяют ин-капсулировать моделирование пакета). Структура данных, вы-


79

зывающая информацию по контролю за интерфейсом (interface control information - ICI), может быть разделена между двумя событиями моделей процесса - это ещё один механизм для меж-процессорной связи, это очень удобно для команд моделирова-ния и соответствует архитектуре многоуровневого протокола. Процесс также может динамически порождать дочерние про-цессы, которые упростят функциональное описание таких сис-тем, как серверы.

Рис. 5.5. Иерархическая организация редакторов в среде

OPNET Несколько основных моделей процесса входят в базовую

комплектацию пакета, моделируя популярные протоколы рабо-


80

ты с сетями и алгоритмы, вроде протокола шлюза границы (bor-der gateway protocol - BGP), протокола контроля передачи, ин-тернет протокол (TCP/IP), ретрансляции кадров (frame relay), Ethernet, асинхронного режима передачи (asynchronous transfer mode -ATM), и WFQ (weighted fair queuing). Базовые модели по-лезны для быстрого развития сложных имитационных моделей для общих архитектур сети. Существует возможность сопрово-ждения комментариями и графикой (с поддержкой гипертекста) моделей сети, узла или процесса.

Выводы по лекции 5: При моделировании Q-схем следует адекватно учиты-

вать как связи, отражающие движения заявок так и управляю-щие связи. Существуют специальные, ориентированные на мо-делирование вычислительных сетей программные системы, в которых процесс создания модели упрощен – автоматизирован-ные системы имитационного моделирования. Наиболее распро-страненной и эффективной средой имитационного моделирова-ния сетей является OPNET Modeler.


− Приведите примеры управляющих связей. − Каким требованиям должен удовлетворять модели-

рующий алгоритм? − Приведите классификацию моделирующих алгорит-

мов. − Для чего нужны системы имитационного моделирова-

ния? − По каким критериям оцениваются библиотеки моде-

лей? − Какие задачи решает подсистема анализа результатов

моделирования системы? − Перечислите наиболее популярные системы модели-

рования и дайте их краткую характеристику. − В чем преимущества системы OPNET Modeler.


81

Список литературы

1. Зарубин, В.С. Математическое моделирование в техни-ке: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Кри-щенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 496 с.

2. Советов, Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб.для вузов/ Б. Я. Советов, С. А. Яковлев. - 3-е изда-ние, переработанное и дополненное - М.: Высш.школа, 2001 – 341 с.: ил.

3. Советов, Б.Я. Моделирование систем: Практикум : Учебное пособие для вузов / Б. Я. Советов, С. А. Яков-лев. - 2-е издание, переработанное и дополненное. – М.: Высшая школа, 2003. - 295с.

4. Бочаров, П.П. Теория массового обслуживания / П.П. Бочаров, А.В Печинкин. – М., Изд-во. РУДН, 1995. – 529 с.

5. Башарин, Г.П. Лекции по математической теории теле-трафика / Г.П. Башарин – М, Изд-во РУДН. 2007. – 270 c.

6. Рыжиков, Ю.И. Имитационное моделирование / Ю.И. Рыжиков. – СП., Изд-во. КОРОНА принт, М., Изд-во. Альтекс-А., 2004. – 380 с.

7. Апанасович, В.В. Цифровое моделирование стохастиче-ских систем / В.В. Апанасович, О.М. Тихоненко. – Минск, Изд-во «Университетское», 1986. – 127 с.

8. Бражник, А.Н. Имитационное моделирование: возмож-ности GPSS World / А.Н. Бражник. – СП., Изд-во Рено-ме, 2006 г. – т 440 стр.

9. Кудрявцев, Е. М. GPSS World. Основы имитационного моделирования различных систем / Е.М. Кудрявцев. – Изд-во ДМК пресс, 2004. – 320 стр.


82

Глоссарий

Имитационное моделирование – Это метод исследования, ко-торый основан на том, что анализируемая динамическая система заменяется имитатором и с ним производятся эксперименты для получения об изучаемой системе.

Математическая схема – Позволяет рассматривать математику не как метод расчёта, а как метод мышления, средства формули-рования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания к формализованному представлению процесса её функционирования в виде некоторой математиче-ской модели.

Метод имитационного моделирования – Заключается в созда-нии логико-аналитической (математической модели системы и внешних воздействий), имитации функционирования системы, т.е. в определении временных изменений состояния системы под влиянием внешних воздействий и в поучении выборок зна-чений выходных параметров, по которым определяются их ос-новные вероятностные характеристики.

Моделирование – Замещение одного объекта (оригинала) дру-гим (моделью) и фиксация или изучение свойств оригинала пу-тем исследования свойств модели.

Модель объекта – Это физическая или абстрактная система, адекватно представляющая объект исследования. В теории мо-делирования используются преимущественно абстрактные мо-дели – описания объекта исследования на некотором языке. Аб-страктность модели проявляется в том, что компонентами моде-ли являются не физические элементы, а понятия, в качестве ко-торых наиболее широко используются математические. Абст-рактная модель, представленная на языке математических от-ношений, называется математической моделью.

Потоко событий – Последовательность событий, происходя-щих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

Протокол (сетевой протокол) – Набор правил, позволяющий осуществлять соединение и обмен данными между двумя вклю-чёнными в сеть компьютерами; набор правил, описывающих


83

формат и назначение пакетов, которыми обмениваются одно-ранговые сущности.

Сеть связи – Совокупность линий связи и промежуточного оборудования/промежуточных узлов, терминалов/оконечных узлов, предназначенных для передачи информации от отправи-теля до получателя с заданными параметрами качества обслу-живания.

Стратификация – Это выбор уровня детализации модели.

Теория моделирования – Представляет собой взаимосвязан-ную совокупность положений, определений, методов и средств создания и изучения моделей. Эти положения, определения, ме-тоды и средства, как и сами модели, являются предметом теории моделирования.


методы моделирования и оптимизации конспект лекций

Internet

Transcript of методы моделирования и оптимизации конспект лекций