Асимптотические методы: Учебное пособие
55
М инист ер ство о б р а зо ва ния и на уки Ро ссийско й федерации Воронежский го суд а р ственный униве р сит ет А СИ МП Т О Т И Ч Е СК И Е МЕТОДЫ по со б ие д ля студ ент ов по спец иа льно сти 010101 «М ат ема тика » Воронеж 2004
-
Upload
phamkhuong -
Category
Documents
-
view
242 -
download
12
Transcript of Асимптотические методы: Учебное пособие
М инисте р ство о б р а зо ва ния и на уки Ро ссийско й ф е д е р а ц ии Во р о не ж ский го суд а р стве нный униве р ситет
А СИ МП Т О Т И Ч Е С К И Е МЕ Т О Д Ы
по со б ие д ля студ е нто в по спе ц иа льно сти 010101 «М а тема тика »
Во р о не ж 2004
2
У тверж д ен о н а у чн о-метод ическим советом м а тем а тического ф а ку льтет а 1 сен тя б ря 2004 год а Протокол 1
С ост а вители: Глу шко А.В., Глу шко В.П .
Пособ ие под готовлен о н а ка ф едре у ра вн ен ий в ча стн ы х производ н ы х и теории вероя тн остей м а тем а тического ф а ку льтет а Ворон еж ского
госу н иверситет а
Рекомен д у ется д ля ст у д ен тов 4-6 ку рсов м а тем а тического ф а ку льтет а всех форм об у чен ия
3
Введ ен ие
Ка либ ровочн ы е ф у н кции. М ы б у д ем за н им а ться исслед ова н ием пред елов ра зличн ы х ф у н кций, в ча стн ости, пред ела ф у н кции ( )f ε при
ε → ∞ . Этот пред ел мож ет за висеть от того, стремится ли ε → +∞ или
ε → −∞ . На пример, 1 1
lim 0 ; lime eε ε
ε ε
− −
→+∞ →−∞= = ∞ .
В д а льн ейшем м ы б у д ем предпола га ть, что все пара метры вы б ра н ы т а к, что 0ε > . Если пред ел ( )f ε при ε → ∞ су ществу ет , то имеет место
од н а из трех возмож н остей ( ) ( ) ( )0 , , 0 ,f f A A fε ε ε→ → < < ∞ → ±∞ .
Ча ще всего т а ка я кла ссиф ика ция ока зы ва ется н е слишком у д об н ой, поскольку су ществу ет б есчислен н ое м н ож ество ф у н кций, стремя щихся к н у лю при 0ε → . Т а к,
( ) ( )1
0lim sin 0 ; lim 1 cos 0 ; lim sin 0 ; lim 0e ε
ε ε ε εε ε ε ε
−
→+∞ →+∞ → →+∞= − = − = = .
Т очн о т а кж е имеется б ескон ечн о м н ого ф у н кций, которы е стремя тся к б ескон ечн ости при 0ε → . На пример,
1
20 0 0
1 1lim ; lim ; limsin 1 cos
2
ε
ε ε εε
εεε
→ → →= ∞ = ∞ = ∞
− −.
Чтоб ы у точн ить вы шепривед ен н у ю кла ссифика цию , м ы б у д ем подра зд еля ть ка ж д ы й из у ка за н н ы х кла ссов ф у н кций в соответствии со «скоростью », с которой он и стрем я тся к н у лю или б ескон ечн ости. Д ля этого мы б у д ем сра вн ива ть скорость соответству ю щего у б ы ва н ия или возра ст а н ия этих ф у н кций со скоростью стремлен ия к н у лю или б ескон ечн ости известн ы х ф у н кций. Эти ф у н кции сра вн ен ия н а зы ва ю тся ка либ ровочн ы ми ф у н кция ми. Простейшими и н а иб олее у потреб ля ем ы ми из н их я вля ю тся целы е полож ительн ы е степен и пара метра
2 3: 1, , , , ...ε ε ε ε , а т а кж е его об ра тн ы е степен и 1 2 3, , , ...ε ε ε− − − . При
этом известн о, что д ля м а лы х 2 3 4: 1 ...ε ε ε ε ε> > > > и 1 2 3 4 ...ε ε ε ε− − − −< < < .
Примеры скорости стремлен ий к н у лю или б ескон ечн ости у пом я н у т ы х ф у н кций.
И спользу ем ра злож ен ия Т ейлора .
4
а ) 3 5 7
sin ... ,3! 5! 7!ε ε ε
ε ε= − + − + след ова тельн о, sin 0ε → , ка к ε ,
поскольку 2 4
0 0
sinlim lim 1 ... 13! 5!ε ε
ε ε εε→ →
= − + + =
.
б ) Д а лее: 2 4
1 cos ...,2! 4!ε ε
ε− = − + след ова тельн о, 1 cos 0ε− → , ка к
2ε , поскольку 2
20 0
1 cos 1 1 1lim lim ...2! 4! 2! 2ε ε
ε εε→ →
−= − + = =
.
в) Д а лее: sin 0ε ε− → ка к 3ε , поскольку
3 5
sin ...3! 5!ε ε
ε ε− = − + и 2
20 0
sin 1 1lim lim ...3! 5! 3!ε ε
ε ε εε→ →
−= − + =
.
Д ля того чтоб ы опред елить скорость, с которой стремится к н у лю 1expε
−
при 0ε → + , попы та емся примен ить пра вило Л опита ля и
у вид им , что д ля лю б ого 0, 1,2,...n =
1
1
0
!lim lim lim 0n
n x xxx
x ne e
ε
ε ε
εε −
−
→+ →∞= →∞= = = .
Т а ким об ра зом , скорость стремлен ия к н у лю этой ф у н кции н е мож ет б ы ть сра вн ен а с вы б ра н н ы ми н а м и степен н ы ми ка либ ровочн ы ми ф у н кция ми.
Ан а логичн ы е резу льт а т ы полу ча ю тся при изу чен ии скорости стремлен ия к б ескон ечн ости вы писа н н ы х вы ше ф у н кций:
( ) 1sinε − → ∞ ка к 1ε − ; 1
211 cos2
ε ε−
− − → −∞
ка к 4ε − ; 1expε
→ ∞
б ы стрее лю б ой ,n nε − ∈! . Привед ен н ы е ра ссу ж д ен ия пока зы ва ю т , что
д ля полу чен ия д оста точн о полн ого н а б ора ка либ ровочн ы х ф у н кций кроме
,n nε ∈! н еоб ход имо вклю чить в н его ф у н кции вид а 11
1 1 1 1, , ln , ln ln , ln , ln
n n
e e εεε
ε ε ε ε
−−
и т .д .
С им волы поря д ка . Вместо у тверж д ен ия о том , что sin 0ε → c той ж е скоростью , что и ε , об ы чн о говоря т , что « sinε имеет поря д ок ε при
5
0ε → » и за писы ва ю т это sin ( ), 0Oε ε ε= → .
Вооб ще, м ы пола га ем ( ) ( )( ) , 0f O gε ε ε= → , если су ществу ет
т а кое число A , что 0
( )lim , 0( )
f A Agε
εε→
= < < ∞ . (О б ы чн о в вид е ( ) ng ε ε= )
Т а ким об ра зом , при 0ε → : ( ) ( )2cos (1) ; cos 1 , tg ( )O O Oε ε ε ε ε= − = = и
т .д . За метим , что при этом числен н ое зн а чен ие A н е у читы ва ется . Во м н огих слу ча я х имею ща я ся ин ф орм а ция о за д а н н ой ф у н кции
ока зы ва ется н ед оста точн ой д ля опред елен ия скорости, с которой эт а ф у н кция стремится к пред елу , од н а ко с ее помощью мож н о у ст а н овить, б у д ет ли эт а скорость б ольше или мен ьше скорости измен ен ия соответству ю щей ка либ ровочн ой ф у н кции. При этом м ы использу ем символ поря д ка о («о м а лое»), опред еля ем ы й след у ю щим об ра зом :
( )( )( )f o gε ε= при 0ε → если ( )( )0
lim 0fgε
εε→
= . Т а к, при
( )11
1 320 : sin (1) ; sin ; cos ; coso o o oε ε ε ε ε ε ε ε−−
→ = = = =
.
Асимптотические ря д ы . Ра ссмотрим теперь вопрос об оцен ке
ин тегра ла ( )0
xef dxx
ωω
ω
∞ −
=+∫ при б ольших 0ω > .
Ра злож им x
ωω +
в ря д ( )2 3
2 30
11 1 ...1
n n
nn
xx x xxx
ωω ω ω ω ω
ω
∞
=
−= = − + − + =
+ +∑ ,
которы й сход ится при x ω< . Под ст а вля я это пред ст а влен ие в под ы н тегра льн ое вы ра ж ен ие, имеем
( ) ( ) ( )0 00 0
1 1,
n nnx n x
n nn n
xf e dx x e dxω
ω ω
∞ ∞∞ ∞− −
= =
− −= =∑ ∑∫ ∫
н о поскольку д ля целы х n : 0
!x ne x dx n∞
− =∫ , то
( ) ( )0
1 !n
nn
nf ω
ω
∞
=
−= ∑ . (1)
Примен им призн а к Д а ла м б ера д ля исслед ова н ия сход имости ря д а
6
( )( )( ) ( )
1
1
1 !lim lim
1 1 1 !
n n
nnn n
nn ы й член nn ы й член n
ωωω
−
−→∞ →∞
−− −= = = −∞
− − − −,
след ова тельн о, ря д (1) ра сход ится во всех ω . Ка к ж е использова ть (1)? Вы числим оста ток, полу ча ю щийся при
у сечен ии этого ря д а н а N -м член е. За метим при этом , что отрезок ря д а
( )0
1 n nN
nn
xω=
−∑ есть геометрическа я прогрессия с су ммой
1
1
1
Nx
xω
ω
+ − −
+.
О тсю д а след у ет , что ( ) ! ( )0
1, ,
n nN
Nnn
xR x
xω
ωω ω=
−= +
+ ∑
! ( ) ( )
1 1
11( ), ,
1 1
N N
N
N N
x xxR x x xx x
ω ω ωωω ω ω
ω ω
+ +
+ − − − − = − = =
+ ++ +
или, окон ча тельн о, ( )
1
0
( 1) ( )N n NN
n Nn
x xx x
ωω ω ω ω
+
=
− −= +
+ +∑ .
Под ста вим это в пред ст а влен ие ( )f ω
( ) ( )00 0
1( ) ,
nx Nn x
Nnn
ef dx x e dx Rx
ωω ω
ω ω
∞ ∞−−
=
−= = +
+ ∑∫ ∫
( ) ( )0
1 !( ) ,
nN
Nnn
nf Rω ω
ω=
−= +∑ гд е
1 1
0
( 1)( )N N x
N N
x eR dxx
ωω ω
∞+ + −−=
+∫ .
О цен им ( )NR ω . Т .к. 1 1xω ω
<+
, то
( )11
1 10 0
1 !1 1( )N x
N xN N N N
Nx eR dx x e dxx
ωω ω ω ω
∞ ∞+ −+ −
+ +
+= < =
+∫ ∫ .
О тсю д а ( )1
0
( 1) !( ) 0nN
NN
n
nf ω ωω
− +
=
−= +∑ . И т а к, ошиб ка , об у словлен н а я
у сечен ием исход н ого ря д а н а N -м член е стремится к н у лю при ω → ∞ ка к 1Nω + . Поэтом у , хот я ря д (1) ра сход ится , первы е N член ов этого ря д а могу т пред ст а вля ть ( )f ω с ошиб кой, котора я мож ет б ы ть произвольн о
м а лой с помощью вы б ора д ост а точн о б ольшого ω . Т а кой ря д н а зы ва ется
7
а симптотическим ря д ом типа П у а н ка ре и об озн а ча ется ка к
( ) ( )0
1 !,
n
nn
nf ω ω
ω
∞
=
−→ ∞∑! .
Асимптотическое ра злож ен ие и послед ова тельн ости. Ка к отмеча лось, су ществу ет м н ож ество ф у н кций, которы е н е могу т б ы ть описа н ы ря д а ми по степен я м м а лого пара метра ε . Д ля а симптотического пред ста влен ия за д а н н ой ф у н кции н е об я за тельн о огра н ичива ться степен я ми, лога риф м а ми, экспон ен т а ми. Вместо этого мож н о воспользова ться произвольн ой послед ова тельн остью ф у н кций об щего
вид а ( )nδ ε , у д овлетворя ю щих у словию ( ) ( )( )10n nδ ε δ ε−= при 0ε → + .
Т а ка я послед ова тельн ость н а зы ва ется а симптотической послед ова тельн остью . Примеры а симптотических послед ова тельн остей:
( ) ( ) ( ) , , ln , sin , ctg ,n
n n nn nξε ε ε ε ε− − ∈
! .
В термин а х а симптотических послед ова тельн остей м ы мож ет
опред елить и а симптотические ра злож ен ия . Т а к, су мм у вид а ( )0
n nn
a δ ε∞
=∑ ,
гд е na н е за вися т от ε , а ( ) nδ ε − а симптотическа я
послед ова тельн ость, м ы б у д ем н а зы ва ть а симптотическим ра злож ен ием ф у н кции ( )f ε при 0ε → , если
( ) ( ) ( )( )10
N
n n Nn
f a Oε δ ε δ ε+=
= +∑ , (2)
или
( ) ( ) ( )( )0
N
n n Nn
f a oε δ ε δ ε=
= +∑ , (3)
за писы ва я это соотн ошен ием
( ) ( )0
n nn
f aε δ ε∞
=∑! при 0ε → .
При этом ра злож ен ие (2) н а зы ва ется а симптотическим ра злож ен ием с ква лифицирова н н ы м ост а точн ы м член ом , а ра злож ен ие (3) н а зы ва ется а симптотическим ра злож ен ием с н еква лифицирова н н ы м ост а точн ы м член ом .
8
О тметим , что а симптотическое пред ста влен ие ф у н кции ( )f ε н е
ед ин ствен н о, т .к. су ществу ет б ескон ечн ое число а симптотических послед ова тельн остей. О д н а ко при за д а н ии послед ова тельн ости ф у н кций
( ) nδ ε а симптотическое пред ста влен ие ф у н кции ( )f ε с ее помощью
ока зы ва ется у ж е ед ин ствен н ы м , т .к. ед ин ствен н ы м об ра зом опред еля ется
na . Полож им
( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1 2 2 ...f a a aε δ ε δ ε δ ε+ + +!
( ) ( )( )
( )( )
10 1 00
0 0 1
... ; lim( )
f fa a a
ε
ε δ ε εδ ε δ ε δ ε→
+ + = −!
0a - опред еля ется ед ин ствен н ы м об ра зом .
Д а лее
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
0 0 2 0 01 10
1 1 1
... ; limf a f a
a aε
ε δ ε δ ε ε δ εδ ε δ ε δ ε→
− −+ + =! .
Прод олж а я этот процесс, полу чим об щу ю форм у лу 1
0
0
( ) ( )lim
( )
n
m mm
nn
f aa
ε
ε δ ε
δ ε
−
=
→
−=
∑.
Алгеб ра ические у ра вн ен ия
Пример 1. Ра ссмотрим у ра вн ен ие ( )f z ε= (4)
при м а лы х ε . П у сть у ра вн ен ие (1) при 0ε = имеет решен ие 0z :
( ) ( )/0 0 00 , , 0f z z f z= ≠ ∞ ≠ .
Пост а вим за д а чу : н а йти решен ие у ра вн ен ия (4). За д а д им ф у н кцию
( ) ( ) ( )/ /0 0, ( ) , , 0z zF z f z F z f zε ε ε= − = ≠ . Поэтом у / ( ) 0zF z ≠ при
0z z δ− < . По теореме об об ра тн ой ф у н кции су ществу ет н епреры вн а я
ф у н кция 0( ), 0z z ε ε ε= < < и ( )( ) ( )( ), , 0F z f zε ε ε ε ε= − = . При
д ополн ительн ы х у словия х гла д кости (н а пример, если ( ) )f z C∞∈ ф у н кция
( )z ε регу ля рн а (б ескон ечн о д иф ф ерен циру ем а ) и ра зла га ется в ря д
Т ейлора ( ) 01
nn
nz z cε ε
∞
=
= + ∑ , сход я щийся при ε ρ< , гд е ρ - д ост а точн о
м а ло.
9
П у сть
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 01 1
, ,n nn n
n n
f z f z a z z F z f z a z zε ε∞ ∞
= =
= + − = − + −∑ ∑ ,
а 01
nn
n
z z b ε∞
=
= + ∑ .
По д ока за н н ы м в ку рсе м а тем а тического а н а лиза форм у ла м Бу рм а н а
- Л а гра н ж а : 22 1 32
1 2 33 51 1 1
21 ; ; a a aab b ba a a
−= = − = и т .д .
Но об ы чн о коэффициен ты н а ход я т метод ом н еопред елен н ы х коэфф ициен тов.
Пример 2. Бу д ем иска ть корн и у ра вн ен ия ( )2 3 2 2 0x xε ε− + + + =
при м а лом ε . В слу ча е 0ε = имеем ( )( )2 3 2 2 1 0x x x x− + = − − = с
корн я ми 1, 2x x= = . И сход н ое у ра вн ен ие н а зы ва ется возм у щен н ы м , а при
0ε = - н евозм у щен н ы м или вы рож д ен н ы м у ра вн ен ием . Предполож им , что иском ы е корн и мож н о пред ста вить в вид е
2 30 1 2 ( )x x x x Oε ε ε= + + + .
Под ста вим ра злож ен ие в исход н ое у ра вн ен ие
( ) ( )( )22 3 2 30 1 2 0 1 2( ) 3 2 ( ) 2 0x x x O x x x Oε ε ε ε ε ε ε ε+ + + − + + + + + + = .
Ра скроем скоб ки и перегру ппиру ем по степен я м ε
( ) ( ) ( )2 2 2 30 0 0 1 1 0 0 2 1 2 13 2 2 3 2 1 2 3 2 ( ) 0x x x x x x x x x x x Oε ε ε− + + − − + + + − − + = .
Прира вн я ем н у лю коэф фициен ты при послед ова тельн ы х степен я х ε .
1) 0
0
12
xx
= =
.
2) Если 0 1 1 1 11 2 3 2 1 0 ; 1 0 , 1x x x x x= − − + = + = = − .
3) 0 1 2 2 21 ; 1 ; 2 1 3 2 0 ; 3x x x x x= = − + + − + = = ;
2 31 3 ( ).x Oε ε ε= − + +
Если 0 2x = , а н а логичн о имеем 2 32 3 3 ( )x Oε ε ε= + − + .
Пример 3. И сслед у ем у ра вн ен ие 3 2z z ε− = , а симптотические ра злож ен ия корн ей которого могу т сод ерж а ть д роб н ы е степен и ε .
1) ( ) 020 0
0
1.0; 1 0;
0 ( ).z
z zz д в укр а т ны й кор ень
ε=
= − = = −
10
И зу чим вн а ча ле а симптотику корн я , которы й при 0ε = прин им а ет зн а чен ие 0 1z = . Этот од н окра тн ы й корен ь по известн ой теореме из теории
ф у н кций комплексн ого перемен н ого я вля ется б ескон ечн о д иф ферен циру емой ф у н кцией коэф фициен тов исход н ого у ра вн ен ия и, ка к след ствие, б ескон ечн о д ифф ерен циру емой ф у н кцией пара метра ε . Поэтом у след у ет ра зы скива ть его ра злож ен ие в ря д по целы м
н еотрица тельн ы м степен я м ε : 1
1 kk
k
z c ε∞
=
= + ∑ . Под ст а вим это ра злож ен ие в
исход н ое у ра вн ен ие, полу чим : 2
1 1
1 k kk k
k kc cε ε ε
∞ ∞
= =
+ =
∑ ∑ ;
( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )
( )
22 3 21 2 1 2
2 2 21 1 2 1 1 2
1 1 2 3
1 2 2
1 ( ) ( ) 1;
1 2 0 ( ) 1; 2 0 1;
1; 1;1 2 0 .
2 0. 2.
c c O c c O
c c c O c c c
c cz
c c c
ε ε ε ε ε
ε ε ε ε ε ε
ε ε ε
+ + + + + =
+ + + + = + + + =
= == + − + + = = −
В слу ча е д ву кра тн ого корн я н а д о ра ссм а трива ть ра злож ен ие по
степен я м 12ε : ( )
1 322 2
1 2 3 0z c c cε ε ε ε= + + + . После под ста н овки этого
пред ста влен ия в исход н ое у ра вн ен ие имеем
( ) ( )1 3 1 3
2 22 2 2 21 2 3 1 2 30 0 1 ;c c c c c cε ε ε ε ε ε ε ε ε
+ + + + + + − =
21 3 1 322 2 2 2
1 2 3 1 2 3( ) 1 ( ) 1 ;c c c O c c c Oε ε ε ε ε ε ε
+ + + − + + + + =
( )1 3 1 3
2 2 22 2 2 21 1 2 2 1 3 1 2 32 2 ( ) 1 ( ) 1;c c c c c c O c c c Oε ε ε ε ε ε ε
+ + + + − + + + + =
( ) ( )1 3
2 3 2 2 32 21 1 2 1 2 1 3 1 2 1 22 2 2 ( ) 1.c c c c c c c c c c c Oε ε ε− + − + + − − + + + =
О тсю д а
( )2 2 21 1 2 2 2 1 3 1 2
3 3 3 3
11 ; ; 2 1 0 , ; 2 3 0 ;2
1 3 7 7 72 0 ; 2 ; ; .4 2 4 8 8
c c i ic i c c c c c c
iic ic ic c
− = = ± − ⋅ ± = = − − − + =
− − = = = = ±
m
m m m
11
С лед ова тельн о, ( )1 3
22 22,3
1 7 0 .2 8
iz iε ε ε ε= ± − ± +
О твет : ( ) ( )3
2 3 221 2,3
1 71 2 0 ; 0 .2 8
iz z iε ε ε ε ε ε ε= + − + = ± − ± +
Пример 4. «С ин гу лярн ое возм у щен ие»: 2 1 0 , 0x xε ε+ + = → + .
В этом примере м а лы й пара метр стоит м н ож ителем при н а иб ольшей степен и x . Когд а 0ε → у ра вн ен ие вы рож д а ется в у ра вн ен ие первого
поря д ка 1 0x + = , имею щее только од ин корен ь. Т а ким об ра зом , величин а x претерпева ет ра зры в при 0ε = . Т а ку ю за д а чу прин я то н а зы ва ть
«за д а чей син гу ля рн ы х возм у щен ий». Естествен н о предполож ить, что од ин из корн ей у ра вн ен ия след у ет
писа ть в вид е ра злож ен ия 20 1 ( )x x x Oε ε= + + (д ля у прощен ия
вы числен ий м ы огра н ичимся н а хож д ен ием только член ов первого поря д ка ). Под ста вим ра злож ен ие в у ра вн ен ие
( ) ( )22 2 2 20 1 0 1 0 1 0( ) ( ) 1 0; 1 ( ) 0;x x O x x O x x x Oε ε ε ε ε ε ε+ + + + + + = + + + + =
0 20 12
1 0
1 0;1 ; 1 ; 1 ( ).
0;x
x x x Ox x
ε ε+ =
= − = − = − − + + = .
Ка к н а йти второй корен ь? Д ля ра зра б отки мод ифицирова н н ой процед у ры , позволя ю щей это, об ра тимся к точн ом у решен ию у ра вн ен ия
( )1 1 1 42
x εε
= − ± − . (5)
Ра злож ив 1 4ε− в ря д при 0ε → , имеем 2 31 4 1 2 2 ( ).Oε ε ε ε− = − − +
Под ст а вим д а н н ое ра злож ен ие в (5). Полу чим 2
2
22
1 1 2 2 ... 1 ( ) ;2
1 1 2 2 ... 1 1 ( ) .2
x O извест ны й кор ень
x O вт ор ой кор ень
ε εε ε
εε ε
ε εε ε
− + − − += = − − + −
− − + + + = = − + + + −
Т а ким об ра зом , об а ра злож ен ия – по степен я м ε , н о од н о из н их н а чин а ется с 1ε − . В об щем слу ча е, когд а точн ое решен ие н еизвестн о, х а ра ктер корн ей тож е н е известен за ра н ее и д олж ен опред еля ться в процессе н а хож д ен ия решен ия . Вместе с тем я сн о, что при сохра н ен ии поря д ка исход н ого у ра вн ен ия , второй корен ь ст а н овится н еогра н ичен н ы м
12
при 0ε → и поэтом у ст а рший член ра злож ен ия след у ет иска ть в вид е
( )yx o νν ε
ε−= + с полож ительн ы м ν , опред еля ем ы м в процессе
д а льн ейшего решен ия . Под ст а вим это ра злож ен ие в исход н ое у ра вн ен ие: 1 2 2 1 ... 0y yν νε ε− −+ + + = . (6)
Д а лее вы д елим в (6) член ы , игра ю щие опред еля ю щу ю роль. Д ля восста н овлен ия стру кт у ры второго корн я м ы д олж н ы сохра н ить первы й
член 1 2νε − (ин а че б у д ет только од ин y , след ова тельн о, од ин корен ь). Т а к
ка к 0ν > , то 1yνε − ! , след ова тельн о, гла вн а я ча сть (6) б у д ет 1 2 2 0y yν νε ε− −+ = . При этом степен и ε в об оих сла га ем ы х д олж н ы б ы ть
од ин а ковы , т .е. 1 2ν ν− = − , т .е. 1ν = . За тем : 2 00 :
1y
y yy
=+ = = −
.
Зн а чен ие 0y = соответству ет первом у корн ю , зн а чен ие 1y = −
соответству ет втором у корн ю . Первое приб лиж ен ие второго корн я 1 (1)x Oε
= − + . Д ля опред елен ия след у ю щих член ов в ра злож ен ии д ля
второго корн я , полож им 01 ( )x x O εε
= − + + . Под ст а вим это ра злож ен ие в
исход н ое у ра вн ен ие 2
0 01 1( ) ( ) 1 0,x O x Oε ε εε ε
− + + − + + + =
или
( )0 02 1 0 0x x ε− + + + = .
С лед ова тельн о, 0 1x = . С лед ова тельн о, 1 1 ( )x O εε
= − + + .
С дру гой сторон ы , ка к только величин а ν опред елен а , мож н о
преоб ра зова ть исход н ое у ра вн ен ие за мен ой yxε
= к вид у 2 0y y ε+ + = ,
которое н е я вля ется вы рож д а ю щимся .
Ку б ические у ра вн ен ия
Пример 5. Ра ссмотрим у ра вн ен ие
( ) ( )3 2 26 11 2 6 0 , 0x x xε ε ε ε− + + + − + = → .
13
Попы т а емся построить ра злож ен ие по целы м степен я м ε : 2
0 1 ( )x x x Oε ε= + + . Под ст а вим ра злож ен ие в исход н ое у ра вн ен ие
( ) ( )( )( )( )
3 22 20 1 0 1
2 20 1
( ) 6 ( )
11 2 ( ) 6 0;
x x O x x O
x x O
ε ε ε ε ε
ε ε ε ε
+ + − + + + +
+ + + + − + = ,
3 2 2 2 20 0 1 0 0 1 0 0 1 03 6 12 11 11 2 6 ( ) 0x x x x x x x x x x Oε ε ε ε ε+ − − − + + + − + = .
При 0ε : 3 20 0 06 11 6 0x x x− + − = . (7)
При 1ε : 2 20 1 0 1 0 0 03 12 11 2 0x x x x x x x− + − + = . (8)
У ра вн ен ие (7) имеет вид : ( )( )( )0 0 01 2 3 0x x x− − − = , что д а ет
0 1 ;x = 0 2 ;x = 0 3x = . И з у ра вн ен ия (8) след у ет , что
( )2
2 2 0 00 0 1 0 0 1 2
0 0
23 12 11 2 ; .3 12 11
x xx x x x x xx x
−− + = − =
− +
При 0 1x = полу ча ем 112
x = − и 21 ( )2
x Oεε= − + ; при 0 2x = полу ча ем
1 0x = и 22 0 ( )x Oε ε= + ⋅ + ; при 0 3x = полу ча ем 132
x = и
233 ( )2
x Oεε= + + .
Пример 6. И сслед у ем у ра вн ен ие
( ) ( )3 2 24 5 2 2 0x x xε ε ε− + + − − + = при 0ε → .
Попы т а емся вн а ча ле использова ть ра злож ен ие вид а 2
0 1 ( )x x x Oε ε= + + . Под ст а вим в исход н ое у ра вн ен ие 2 3 2 2 2 2
0 1 0 1 0 1( ( )) (4 )( ( )) (5 2 )( ( )) 2 0x x O x x O x x Oε ε ε ε ε ε ε ε ε+ + − + + + + − + + − + =
или ( )3 2 2 2 20 0 0 0 1 0 1 0 1 04 5 2 3 8 5 2 ( ) 0x x x x x x x x x x Oε ε− + − + − − + − + = .
Прира вн я ем н у лю коэф фициен ты при од ин а ковы х степен я х ε : 3 20 0 0
2 20 1 0 1 0 1 0
4 5 2 0 , (9)3 8 5 2 0. (10)
x x xx x x x x x x
− + − =
− − + − =
У ра вн ен ие (9) мож н о преоб ра зова ть к вид у ( ) ( )20 01 2 0x x− − = ,
отку д а 0 1x = − д ву кра тн ы й корен ь и 0 2x = − од н окра тн ы й корен ь. На йд ем
14
из (10) коэф фициен т 1x :
( )2
2 2 0 00 0 1 0 0 1 2
0 0
23 8 5 2 ; ;3 8 5
x xx x x x x xx x
+− + = + =
− +
при 0 12 : 8,x x= = след ова тельн о, 22 8 ( )x Oε ε= + + ; при
0 11: ,x x= = ∞ след ова тельн о вы б ра н н ое ра злож ен ие н еверн о.
На помн им , что д ля д ву кра тн ого корн я м ы иска ли ра злож ен ие по
степен я м 12ε , попроб у ем тот ж е под ход : под ст а вим в исход н ое у ра вн ен ие
пред ста влен ие 1 3 1 32 2 2 2
0 1 2 1 2( ) 1 ( )x x x x O x x Oε ε ε ε ε ε= + + + + = + + + .
Полу чим
( )
( )
3 21 3 1 32 2 2 2
1 2 1 2
1 322 2
1 2
1 ( ) 4 1 ( )
5 2 1 ( ) 2 ( ) 0
x x O x x O
x x O O
ε ε ε ε ε ε ε
ε ε ε ε ε
+ + + − + + + + +
+ − + + + − + =
или 1 1 3 1
2 22 2 2 21 2 1 1 2 1 1 1
3 32 2
2 1
1 3 3 3 4 8 8 4 2 5 5
5 2 2 27 0 0 .
x x x x x x x x
x x
ε ε ε ε ε ε ε ε ε
ε ε ε ε
+ + + − − − − − − + + +
+ − − − + =
При 1ε : 2 2 2 2
2 1 1 1 2 2 2 1 1 13 3 8 4 1 5 2 0; 8 8 3 0; 3 ; 3 .x x x x x x x x x x i+ − − − + − = − − − = = − = ±
Не б у д ем иска ть 2x . (Д ля этого н а д о вы писы ва ть все член ы 32ε ). И меем
( )121 3 0x i ε ε= ± + .
Пример 7. У ра вн ен ие 3 2 0x xε ε+ + + = при 0ε → + . О чевид н о, это за д а ча о син гу ля рн ом возм у щен ии. При 0ε =
у ра вн ен ие прин им а ет вид 2 0x + = . И сход я из этого полож им , что од ин из корн ей исход н ого у ра вн ен ия мож н о пред ст а вить в вид е
212 ( )x x Oε ε= − + + . Под ст а н овка этого ра злож ен ия в исход н ое у ра вн ен ие
д а ет ( )31 12 ... 2 ... 2 0x xε ε ε ε− + + − + + + + = или ( )( )3
1 2 1 0xε + − + = или
1 7x = , т .е. ( )22 7 0x ε ε= − + + .
15
Преж д е чем прист у пить к н а хож д ен ию ост а льн ы х корн ей, отметим , что при 0ε → он и б у д у т стремиться к б ескон ечн ости, поскольку ε вход ит м н ож ителем в член н а ивы сшего поря д ка . Поэтом у при вы б оре ра злож ен ий д ля этих корн ей примем , что их гла вн ы е член ы имею т вид
... , 0yx ν νε
= + > . Под ст а вим это ра злож ен ие в исход н ое у ра вн ен ие,
полу чим 1 3 3 2 ... 0y yν νε ε− −+ + + = . (11)
Д ля того чтоб ы опред еля ю щие член ы в (11) компен сирова ли д ру г
д ру га , н еоб ход имо, чтоб ы 11 3 ; ,2
ν ν ν− = − = поэтом у 3 0y y+ = ,
отку д а 0y = и y i= ± . С лу ча й 0y = соответству ет первом у корн ю
исход н ого у ра вн ен ия и поэтом у зд есь н е ра ссм а трива ется . При построен ии ра злож ен ий д ля второго и третьего корн я воспользу емся полу чен н ой
ин ф орм а цией и б у д ем иска ть ра злож ен ие в вид е 12
012
( )yx x O εε
= + + , гд е
y i= ± . Под ст а н овка этого ра злож ен ия в исход н ое у ра вн ен ие д а ет
1 1230 2 2
03 12 2
( ) ( ) 2 0y xy yO x Oε ε ε εε
ε ε
+ + + + + + + =
или
( )1
3 220 03 2 ... 0y y y x xε
−+ + + + + = .
3 20 0 0 2
20 вы полн ен о; 3 2 0 или 1.3 1
y y y x x xy
+ = − + + = = − =+
Поэтом у ра злож ен ия второго и третьего корн ей имею т вид 1 12 21 0x iε ε
− = ± + +
.
У ра вн ен ия вы сших поря д ков
Ра ссмотрим у ра вн ен ия вы сших поря д ков, причем особ о н а с б у д ет ин тересова ть слу ча й син гу лярн ого возм у щен ия . В ча стн ости, исслед у ем
у ра вн ен ие 1 21 2 1 1 0...n m m m
m mx x a x a x a x aε − −− −= + + + + + , гд е коэфф ициен ты
sa н е за вися т от ε и x ; n и m - целы е числа n m> . При 0ε = у ра вн ен ие
16
свод ится к вид у 1 21 2 1 1 0
m m mm mx a x a x a x a− −
− −+ + + + , имею щем у корн и
, 1,s s mα = . Предполож им , что все эти корн и од н окра тн ы е. Д ля
у точн ен ия этих корн ей полож им 20 1 ( )x x x Oε ε= + + , под ст а вим послед н ее
пред ста влен ие в исход н ое у ра вн ен ие, полу чим
( ) ( ) ( )( ) ( )
10 1 0 1 1 0 1
22 0 1 1 0 1 0
... ... ...
... ... ...
n m mm
mm
x x x x a x x
a x x a x x a
ε ε ε ε
ε ε
−−
−−
+ + = + + + + + +
+ + + + + + + +
или
( )( ) ( )( ) ( )
1 20 1 0 2 0 1 0 0
1 2 3 20 0 2 0 1 1 01 2 ... 0 0 .
m m mm m
m m m nm
x a x a x a x a
mx m x m a x a x xε ε ε
− −− −
− − −−
+ + + + +
+ + − + − + + − + =
Прира вн ива я н у лю коэффициен ты при од ин а ковы х степен я х ε , полу ча ем
1 20 1 0 2 0 1 0 0... 0m m m
m mx a x a x a x a− −− −+ + + + + = , (12)
( ) ( )1 2 30 1 0 2 1 1 01 2 ...m m m n
m mmx m a x m a x a x x− − −− − + − + − + + = . (13)
У ра вн ен ие (12), ка к м ы отмеча ли, имеет корн и , 1,s s mα = . Т огд а из
(13) след у ет , что
( ) ( ) 11 2 31 0 1 0 2 0 11 2 ...n m m m
s m mx mx m a x m a x aα−− − −
− − = + − + − + + .
Т а ким об ра зом ,
( ) ( ) 11 2 3 21 2 11 2 ... ( ).n m m m
s s s m s m sx m m a m a a Oα εα α α α ε−− − −
− − = + + − + − + + + .
С лед у ет отметить, что послед н ее ра злож ен ие ста н овится н епригод н ы м вся кий ра з, когд а член ы в ква д ра тн ы х скоб ка х ст а н овя тся н у лем . Это соответству ет слу ча ю кра тн ого корн я у ра вн ен ия (12). При этом ра злож ен ие д олж н о вклю ча ть в себ я д роб н ы е степен и ε и строится в соответствии с метод икой, излож ен н ой ра н ее в т а ких слу ча я х .
Преж д е чем прист у пить к опред елен ию ост а вшихся n m− корн ей, за метим , что он и стрем я тся к б ескон ечн ости при 0ε → + , поскольку ε стоит м н ож ителем при н а иб ольшей степен и н еизвестн ой x . Поэтом у ра злож ен ие д ля н их б у д ем иска ть в вид е
0 ( ) , 0yx x O νν ε ν
ε= + + > . (14)
Под ста вля я (14) в исход н ое у ра вн ен ие, полу чим
17
( )
10
( 1)
21 11 00 1
( 1) ( 1) ( 2)
...
1... ... .
nn
n n
mm mmmm
m m m m
ny xy
a m y xmy x a yy
ν ν
ν ν ν ν
εε ε
ε ε ε ε
−
−
−− −−−
− − −
+ + =
−
= + + + + +
(15)
Вы д еля я гла вн ы е член ы , полу ча ем (1 )n n m my yν νε ε− −= и,
след ова тельн о, 1 n mν ν− = − , т а к что 1 ; n my yn m
ν = =−
. У ра вн ен ие
n my y= имеет корен ь 0 кра тн ости m , кроме того, 1n my − = . Это
у ра вн ен ие, ка к известн о из теории ф у н кций комплексн ого перемен н ого,
имеет n m− корн ей вид а 2, ,..., n my ω ω ω −= , гд е 2exp in m
πω = −
. Корен ь
0y = м ы отб ра сы ва ем , т а к ка к он соответству ет первы м m корн я м .
И спользу я , что 1n m
ν =−
и n my y= , перепишем (15) в вид е
1 1 10 0 1
( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 ( ) 1 ( )0 0 1
... ,
... ,
n m mnm
n m m
n m n m m n mm
ny x my x a y
ny x my x a y
νν ν ν
ν ν ν ν ν
ε εε ε ε
ε ε ε ε ε
− − −−
− − −
− + − − − −−
= + + ×
= ⋅ + ⋅ +
т а к ка к ( ) 1n m ν− = , то 1
1 1 1 1 10 0 1 0 1 1; , ( . . ) .
mn m m n mm m
m n m
a y any x my x a y x т к y yny my n m
−− − − − −
− − −= + = = =− −
Т а ким об ра зом , ост а вшиеся ( )n m− корн ей д а ю тся ра злож ен ия ми
( )1 10 , , 1, 2,...,r
max r n mn m n m
νν
ωε ν
ε−= + + = = −
− − .
Т ра н сцен д ен тн ы е у ра вн ен ия
Пример 8. Ра ссмотрим у ра вн ен ие 1tg xx
= . П у сть nx - корен ь
у ра вн ен ия , у д овлетворя ю щий н ера вен ства м ,2 2
n x nπ ππ π− < < +
0, 1, 2, ...n = .
О б озн а чим 1n
επ
= и н а йд ем а симптотику nx при n → ∞ или
18
0ε → . П у сть ; , ;2 2
y x n yπ ππ ∈ − = +
( )( )
( )( )
sin 1 sin sintgcos cos1 cos
n
n
n y y yxn y yy
ππ
+ −= = =
+ −.
И сход н ое у ра вн ен ие прин им а ет после за мен ы вид sin 1 ; sin sin cos ; cos sin sin ;cos
cos sin 1 sin; ; ( ) ,sin cos sin
y y y n y y y y y n yy n y
y y y yn f yy n y y y
π ππ
π επ
= + = − =+−
= = =−
гд е sin( ) .cos sin
yf yy y y
=−
1) Ра ссмотрим вн а ча ле вы рож д ен н ы й слу ча й 0ε = . И сход н ое
у ра вн ен ие примет вид ( ) 0f y = , отку д а 0 0y = т .к. ;2 2
y π π ∈ −
. И меем
( ) ( )( ) ( )
2/
2 2
cos cos sin sin sin cos sin 1 sin 0 .cos sin cos sin
y
y y y y y y y y y yfy y y y y y
− + + + += = ≠
− −
Воспользу емся форм у ла ми Бу рм а н а -Л а гра н ж а
1 /1
1, 1;(0)
kk
k
y c cf
ε∞
=
= = =∑ ( )22
1 10 ; 0 , .ny x n nn n
ε ε ππ
= + = + + → ∞
y
1yx
=
0 0x
2π π 1x 3
2π 2π 2x 5
2π 3π 3x x
1yx
=
19
Асимптотические ра злож ен ия ин тегра лов, за вися щих от б ольшого вн ешн его пара метра
Метод Л а пла са (од н омерн ы й слу ча й)
Эвристические сооб ра ж ен ия . И н тегра ла ми Л а пла са н а зы ва ю тся ин тегра лы вид а
( ) ( ) ( ( ))b
a
F t f x e tS x dx= ∫ , (16)
гд е ( )S x - веществен н озн а чн а я ф у н кция , t - б ольшой полож ительн ы й
пара метр. Ф у н кция ( )f x мож ет прин им а ть комплексн ы е зн а чен ия . Бу д ем
счит а ть д ля простоты , что [ ],I a b= - кон ечн ы й отрезок и что ( ), ( )f x S x -
д ост а точн о гла д кие при x I∈ ф у н кции. П у сть ( )0max ( )
x IS x S x
∈= и
д остига ется только в точке 0x . Т огд а
ф у н кция ( )exp ( )tS x имеет м а ксим у м
в точке 0x , которы й тем резче, чем
б ольше t . И н тегра л ( )F t мож н о
приб лиж ен н о за мен ить ин тегра лом по м а лой окрестн ости точки
м а ксим у м а 0x и это приб лиж ен ие тем точн ее, чем б ольше t . Д а лее в этой
окрестн ости ф у н кции ,f S мож н о приб лиж ен н о за мен ить по форм у ле
Т ейлора и м ы полу чим ин тегра л, а симптотика которого легко вы числя ется . Этот метод б ы л пред лож ен Л а пла сом .
1) П у сть 0a x b< < . Т огд а ( )/0 0S x = и пу сть д ля простоты
( ) ( )//0 00 , 0S x f x≠ = . Т огд а ( )
0
0
( ) ( )exp ( )x
x
F t f x tS x dxε
ε
+
−
≈ ∫ , гд е 0ε > -
м а лое фиксирова н н ое число и ( )0( )f x f x≈ , ( ) ( ) ( ) ( )//00 02
x xS x S x S x
−≈ + ,
след ова тельн о,
( ) ( ) ( )//20
0 0( ) exp exp2
tS xF t f x tS x t d
ε
ε
τ−
≈
∫ .
( )tS xe 0 a 0x b x
20
За метим , что ( )//0 0S x < . Послед н ий ин тегра л ра вен
( ) ( ) ( )21
// 220 //
0
2 ,t
t
tS x e d ttS x
ε τ
ε
πτ
−−
−
− → ∞ −∫ ! , т а к ка к 2
2 2e dτ
τ π∞
−
−∞
=∫ .
И т а к, мы полу чили а симптотическу ю ф орм у лу
( ) ( ) ( ) ( )00//
0
2( ) ,tS xF t f x e ttS x
π≈ − → +∞ . (17)
2) П у сть теперь 0x совпа д а ет с од н им из кон цов отрезка I ,
н а пример, 0x a= , и пу сть д ля простоты / ( ) 0 , ( ) 0S a f a≠ ≠ . За мен я я ( )F t
ин тегра лом по отрезку [ ];a a ε+ и за мен я я приб лиж ен н о н а этом отрезке
ф у н кции / /( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( )f x f a S x S a x a S a≈ ≈ + − полу ча ем , что
( ) ( )/
0
( ) ( )exp ( ) exp ( )F t f a tS a S a dtε
τ≈ ∫ . За метим , что / ( ) 0S a < . Вы числя я
послед н ий ин тегра л, полу ча ем
( )/
( )exp ( )( ) ,
( )f a tS a
F t ttS a
= − → +∞ . (18)
С трогий вы вод форм у л (17) и (18) привед ен в след у ю щих ра зд ела х . Эти д ве форм у лы я вля ю тся осн овн ы ми а симптотическими ф орм у ла ми д ля ин тегра лов Л а пла са . На м у д а лось полу чить просты е а симптотические форм у лы д ля ин тегра лов Л а пла са . Просты е форм у лы у д а лось полу чить по след у ю щим причин а м :
1) под ы н тегра льн а я ф у н кция в (16) имеет при б ольших t резкий м а ксим у м (т .е. ин тегра л I ) мож н о приб лиж ен н о за мен ить ин тегра лом по м а лой окрестн ости точки м а ксим у м а ;
2) в окрестн ости точки м а ксим у м а под ы н тегра льн у ю ф у н кцию мож н о за мен ить б олее простой.
Простейшие оцен ки
Л емм а 1. П у сть sup ( )a x b
M S x< <
= < ∞ и при н екотором 0 0t > ин тегра л
(16) сход ится а б солю тн о [ ]0( ) exp ( ) 0b
a
f x t S x dx <∫ . Т огд а имеет место
оцен ка ( )0( ) ,tMF t c e t t≤ ≥ .
21
Д ока за тельство. И меем при 0t t≥
( ) ( )( )
[ ] ( ) [ ] ( )
0 0
1
/0 0 0
( ) exp( ) exp ( ) exp ( ) ( )
exp exp ( ) exp ( ) exp exp .
b
a
b
a
F t tM t S x M t t S x M f x dx
tM t M f x t S x dx c t t M c tM
=
≤ − ⋅ − − ≤
≤ − = − ≤
∫
∫
14444244443
Л емм а Ва тсон а Ра ссмотрим ин тегра л Л а пла са , в котором ( )S x - степен н а я ф у н кция
( )1
0
( ) ( )expa
Ф t x f x tx dxβ α−= −∫ , гд е 0 , 0 , 0α β α< < ∞ > > .
На м пон а д об ится форм у ла 1
0
12
txx e dx t Гα
ββ α β
α
∞−− − = ⋅
∫ при 0t > .
Л емм а 2 (Ва тсон а ). П у сть [ ]( )0 , 0 , ( ) 0;f x C aα β ∞> > ∈ . Т огд а
при t → ∞ спра вед ливо а симптотическое ра злож ен ие ( ) ( )
0
1 (0)( )!
k k
k
k fФ t t Гk
βα β
α α
+∞ −
=
+
∑! .
Это ра злож ен ие мож н о д иф ферен цирова ть по t лю б ое число ра з. Гла вн ы й член а симптотики имеет вид
[ ]1( ) (0) (1)p
Ф t Г f O t αβα α
− = +
. (19)
Д ока за тельство. Ра злож им ф у н кцию ( )f x в ря д Т ейлора в
окрестн ости точки 0x = .
( )( )
1(0)( ) ( ) ; ( ) , 0 .!
kNk N
N N Nk o
ff x x r x r x c x x ak
+
=
= + ≤ ≤ ≤∑
Пока ж ем , что при t → ∞
( )( )
( )1
0
1( ) expka
k ctkФ t x tx dx t O e
ββ α α
α
+−+ − −≡ − = +∫ ,
гд е 0c > . Под ста вим ( )kФ t в вид е ра зн ости ин тегра лов по полу ося м
(0; )+ ∞ и ( ; )a + ∞ , тогд а первы й ин тегра л ра вен 12
k
Г tβ
αβα
+−
. Т а к ка к
0x aα α− ≥ − > при x a≥ , то ин тегра л по полу оси [ )( ;a ∞ в силу леммы 1
есть ( ) , 0O e cα− > при t → ∞ . Т ем са м ы м пред ст а влен ие д ля
22
( )kФ t д ока за н о. О цен им д ост а точн ы й член
( )( )1
1 2 /
0
| ( ) | ( )exp exp .b N
NN N N
a
R t x r x tx dx c x tx dx c tβ
β β α α
∞ − + +− + = − ≤ − = ∫ ∫
Т а к ка к ( ) ( )ct NO e O t− −= при лю б ом целом 0N ≥ , то
( )1( ) ( )
0 0
(0) 1 (0)( ) ( ) ( )! !
Nkk kN N
k Nk k
f f kФ t Ф t R t Г t O tk k
ββα αβ
α α
+ ++− −
= =
+ = + = + ∑ ∑ .
Асимптотическое ра злож ен ие ( )Ф t д ока за н о. Д ифф ерен цирова н ие
( )Ф t по t привод ит к ин тегра лу того ж е вид а , отку д а след у ет возмож н ость
почлен н ого д иф ф ерен цирова н ия . Л емм а 3. Если ф у н кция ( )f x н епреры вн а при [ ]0;x a∈ и
0, 0α β> > , то при t → ∞ спра вед лива а симптотическа я ф орм у ла (19).
Д ока за тельство. П у сть 0 1δ< < . Т огд а ин тегра л
( )1
11( ) ( )exp
a
t
Ф t x f x tx dxδα
β α
−
−= −∫
имеет поря д ок ( )ctO eδ− в силу лемм ы 1. Поэтом у д оста точн о д ока за ть, что
ин тегра л ( )1
12
0
( ) ( )expt
Ф t x f x tx dx
δα
β α
−
−= −∫ имеет а симптотику (19). И меем
[ ]1 1
1 12 1 2
0 0
( ) (0) ( ) (0) ( ) ( )t t
tx txФ t x e dx f x e f x f dx F t F t
δ δα α
α αβ β
− −
− − − −
= + − ≡ + ∫ ∫ .
Ра ссмотрим ин тегра лы 1F и 2F по отд ельн ости.
( )1
11
0
(0)( ) (0)p
tx ct
t
fF t f x e dx t Г O eα δ
δα
β α βα α−
∞ ∞−− − −
= − = +
∫ ∫ , гд е 0c > .
В силу н епреры вн ости ф у н кции ( )f x , 1
( ) (0) ( ) , 0 , ( ) 0 при f x f t x t t tδαε ε−
− ≤ ≤ ≤ → → ∞
. С лед ова тельн о,
12
0
( ) ( ) txF t t x e dx O tα
ββ αε
∞−− −
= =
∫ .
23
Пример 9. Ра ссмотрим преоб ра зова н ие Л а пла са 0
( ) ( ) txF t f x e dx∞
−= ∫ .
П у сть ( )f x C∞∈ при м а лы х 0x ≥ и ин тегра л сход ится а б солю тн о
при н екотором 0 0t > . Т огд а ( )1 ( )
0
( ) (0), ( )k k
kF t t f t
∞− +
−
→ ∞∑! .
Д ействительн о, ( )1
( ) tx tf x e dx O e∞
− −=∫ , а 1
10
( ) ( )exp( )F t f x tx dx= −∫ -
ин тегра л, под ход я щий под у словия лемм ы Ва тсон а при 1, 1β α= =
( )1
111
0 0
1 1 (0)( ) (0)1 1 !
k kk k
k k
k fF t t Г t fk
+∞ ∞− − +
= =
+ = =
∑ ∑ .
О сн овн ой слу ча й метод а Л а пла са
1. Вкла д от гра н ичн ой точки м а ксим у м а Т еорем а 1. П у сть [ ];I a b= - кон ечн ы й отрезок и вы полн ен ы
у словия : 1о. max ( )
x IS x
∈ д остига ется только в точке x a= ;
2о. ( ), ( ) ( )f x S x C I∈ ;
3о. ( ), ( )f x S x C∞∈ при x , б лизких к a и / ( ) 0S a ≠ .
Т огд а при t → ∞ : 1
0
( ) exp ( ) kk
kF t tS a c t
∞− −
=
= ∑ , причем коэффициен ты
kc имею т вид / /
( ) 1;( ) ( )
kk
x a
f x dc M MS x S x dx
=
= − = −
.
Это ра злож ен ие мож н о д иф ферен цирова ть по t лю б ое число ра з.
Д ока за тельство. Вы б ерем δ т а кое, что ( ), ( )f x S x C∞∈ при
[ ];x a a δ∈ + и полож им 1 2( ) ( ) ( )F t F t F t= + , гд е 1( )F t - ин тегра л по отрезку
[ ];a a δ+ . В силу лемм ы 1 ин тегра л 2 ( )F t экспон ен циа льн о м а л по
сра вн ен ию с ( )exp ( )tS a , т а к ка к [ ] ( )exp ( ) exp ( ) exp ( ) ( )tS x tS a t S x S a= ⋅ − ,
а т а к ка к ( ) max ( )x I
S a S x∈
= , то ! !( ) ( ) ( ) : ( ) 0S x S a S x S x ε− = < − < при x I∈ .
Д а лее, ин тегриру я 1( )F t по ча ст я м , полу ча ем
24
[ ] ( ) ( )( )1 / / /
( )exp ( )1 ( ) 1( ) exp ( )( ) ( ) ( )
aa aS x t
a aa
f x S x t f xf x dF t e tS x dxt S x S t t dx S x
δδ δ
α++ +
= = −
∫ ∫
И н тегриру я точн о т а к ж е еще 1N − ра з, полу ча ем
( ) ( )
( )
11 /
0
/
1 0/
( )( ) exp ( )( )
( ) exp ( ) , ( ) .( )
N ak ka
k
aN N
a
f kF t t M tS xS x
f xt M tS x dx M IS x
δ
δ
+− −
=
+− −
= − −
− =
∑
∫ (20)
Вн еин тегра льн ы е под ст а н овки в (20) при x a= д а ю т N сла га ем ы х а симптотического ря д а , а под ст а н овка x a δ= + экспон ен циа льн о м а ла по сра вн ен ию с ( )exp ( )tS x . Послед н ий ин тегра л в (20) есть
( )( )10 exp ( )Nt tS a− − , т .е., по кра йн ей мере, того ж е поря д ка , что и послед н ее
сла га емое в су мме а симптотического ра злож ен ия :
( ) ( )1
1
0( ) exp ( )
Nk n
kk
F t tS a c t O t−
− − −
=
= + ∑ , причем N - произвольн о.
Д иф ферен цирова н ие ( )F t по t привод ит к ин тегра лу того ж е вид а .
Д ля н его мож н о повторить те ж е ра ссу ж д ен ия , что д ока зы ва ет возмож н ость почлен н ого д иф ферен цирова н ия .
Т еорем а 2. П у сть у словия 1о и 2о теорем ы 1 вы полн ен ы и 1( )S x C∈
при x , б лизких к a , / ( ) 0S a ≠ . Т огд а при t → ∞ спра вед лива форм у ла ( )
/
( )( ) ,( )
tS af a eF t ttS a
−→ ∞! . (21)
Д ока за тельство. П у сть 0δ > т а кое, что при [ ];x a a Iδδ∈ + =
( ) 0S x′ ≠ . И н тегра л по ост а вшем у ся у ча стку м ы отб росим , т .к. он имеет
поря д ок ( )( )( )0 exp ( ) , 0t S a c c− > . С д ела ем за мен у
( ) ( ) ,S x S a x Iδτ− = − ∈ . Т огд а по теореме об об ра тн ой ф у н кции,
( ) 1 /, 0,x Cϕ τ ϕ δ = ∈ . (О чевид н о, ( )/ ( ) 0S a S aδ δ= − + > ).
Примен я я к ин тегра лу ( ) ( ) ( )( ) ( )/
/
0
exp ( ) exptS a t f dδ
τ ϕ τ ϕ τ τ−∫ лемм у
3, полу ча ем (21). Пример 10. Еще Л а пла с полу чил а симптотическое ра злож ен ие д ля
25
ф у н кции ошиб ок
( )22
20
1 (2 1)!!( ) ,
2 2
kxt
k kkx
keErfc x e dt xx x
∞ − ∞−
=
− −= → +∞∑∫ ! . (22)
Д ела я за мен у перемен н ой t xt→ , полу ча ем 2 2
1
( ) x tErfc x x e dt∞
−= ∫ .
В д а н н ом примере 2( ) 1 , ( )f t S t t≡ = − . Ф у н кция ( )S x д остига ет
м а ксим у м а только при 1t = и / (1) 0S ≠ . Примен я я теорем у 1, полу ча ем
искомое ра злож ен ие (22), в ча стн ости (по теореме 2):
( )2
( ) 1 (1)2
xeErfc x ox
−
= + .
Ря д (22) ра сход ится при всех x .
2. Вкла д от вн у трен н ей н евы рож д ен н ой точки м а ксим у м а
Л емм а 4. П у сть ( )S x C∞∈ в окрестн ости точки 0x , причем
( ) ( ) ( )/ ( 1) ( )0 0 0... 0 , 0N NS x S x S x−= = = ≠
и ( )S x - веществен н озн а чн а я ф у н кция . Т огд а су ществу ет отрезок
[ ] [ ]0 1 0 2 0 0 0; , ; , 0 , 0,2x yI x x I lδ δ δ δ δ= − + = − > =
и ф у н кция ( )x yϕ= т а кие, что
1о. ( )( ) ( ) ( )( )0 0, , sgnN N
yS y S x y y I S xϕ ε ε= + ∈ = .
2о. Ф у н кция ( ) ( )yy C Iϕ ∞∈ вза им н о од н озн а чн о отоб ра ж а ет
отрезок yI н а отрезок xI и ( )( )
1
/0 0 ( )
0
!;N
N
Ny xS x
ϕ ϕ = =
.
Д ока за тельство. П у сть д ля опред елен н ости ( )( )0 0NS x > . Т огд а
( ) ( ) ( )( )
00 0 0
( )( ) ( ) , 0, ( )!
NN S xS x S x x x h x h x h x
N− = − > = при м а лы х 0x x− ,
гд е ( )h x C∞∈ , т а к что ф у н кция ( )0 ( )Ny x x h x= − прин а д леж ит кла ссу C∞
при м а лы х ( )0x x− и ( )/0 0y x x− ≠ . И з теорем ы об об ра тн ой ф у н кции
след у ю т об а у тверж д ен ия лемм ы . Все оста льн ы е у тверж д ен ия этого ра зд ела след у ю т из леммы 4 и
26
лемм ы Ва тсон а . Т еорем а 3. П у сть [ ];I a b= - кон ечн ы й отрезок и вы полн ен ы
у словия 1о. ( ) , ( ) ( )f x S x C I∈ .
2о. max ( )S x д остига ется только в точке 0 0:x a x b< < .
3о. ( ) , ( )f x C S x C∞∈ ∈ при x , б лизких к 0x и ( )//0 0S x ≠ .
Т огд а при t → ∞ спра вед ливо а симптотическое ра злож ен ие
( )
( ) ( )( )00//
0
2( ) 1 (1) ,tS xF t e f x o ttS x
π= − + → ∞ .
Д ока за тельство. В окрестн ости точки 0x сд ела ем за мен у
перемен н ой ( ) ( )20( ) ,S x S x y x yϕ− = − = и вы б ерем окрестн ость т а кой,
чтоб ы 0 0yδ δ− ≤ ≤ . И н тегра л по ост а вшейся ча сти отрезка I
экспон ен циа льн о м а л по сра вн ен ию с ( )( )0exp tS x , и м ы его отб росим .
И меем (при н екотором 0c > )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
0
2 /0
/ /0
0
/ /0 0 0
0 0 0////00
( ) exp 1 exp ( )
exp 1 ( ) .
1 1exp (0) (0) (1)2 2
2 2exp 1 (1) (1) .
ct
ct ty
tS x
F t tS x O c ty f y y dy
tS x O c e f y y f y y dy
F t tS x Г f x f x o
tS x f x o f x o etS xt S x
δ
δ
δ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ππ
−
−
− −
= + ⋅ − =
= + ⋅ + − −
= + + =
−= ⋅ + = − +
∫
∫
Т очн о т а к ж е д ока зы ва ется Т еорем а 4. П у сть все у словия теорем ы 3 вы полн ен ы за исклю чен ием
од н ого 0x a= . Т огд а при t → ∞ : ( )1 2( ) [ ( ) (1)]2 ( )
tS aF t f a o etS a
π−= +
′′
(т .е. пра ва я ча сть а симптотического пред ст а влен ия отлича ется от
соответству ю щего вы ра ж ен ия в теореме 3 м н ож ителем 12
).
Пример 11. Д ока ж ем форм у лу С тирлин га
( )( 1) 2 1 (1) ,x xx xe x o xπ −Γ + = + → +∞ .
27
Воспользу емся ин тегра льн ы м пред ст а влен ием Г - ф у н кции Эйлера
0
( 1) x tx t e dt∞
−Γ + = ∫ .
Метод Л а пла са н епосред ствен н о н е примен им к этом у ин тегра лу , т .к. под ы н тегра льн ое вы ра ж ен ие н е привед ен о к ста н д а ртн ом у вид у (16). Преоб ра зу ем ин тегра льн ое пред ста влен ие Γ − ф у н кции, д ела я за мен у
t xt→ , тогд а ( )1
0
( 1) exp lnxx x x t t dt∞
+Γ + = − ∫ . Послед н ий ин тегра л имеет
ст а н д а ртн ы й вид (16), гд е ( ) 1, ( ) lnf t S t t t≡ = − . Ф у н кция ( )S t д остига ет
м а ксим у м а н а [ ]0;∞ только в точке 1t = , причем / //(1) 0 , (1) 1S S= = − .
В силу лемм ы 1 мож н о за мен ить ин тегрирова н ие по полу оси ин тегрирова н ием по лю б ом у кон ечн ом у отрезку , сод ерж а щем у вн у три себ я точку 1t = . Примен я я теорем у 3, полу ча ем
[ ]12( 1) 1 0(1) ,x xx x exπ + −Γ + = ⋅ + ⋅ или ( 1) 2 (1 0(1))x xГ x x x eπ −+ = ⋅ ⋅ + ,
что и треб ова лось д ока за ть.
Пример 12. Пока ж ем , что при n → ∞ : [ ]2
0
sin 1 0(1)2
n xdxn
π
π= +∫ .
И меем ( )( )sin exp ln sinn t n t= , т а к что использу ем ы й ин тегра л имеет
ст а н д а ртн ы й вид метод а Л а пла са , гд е ( ), ln sin , ( ) 1t n S x x f x= = = .
Ф у н кция ( )S x д остига ет м а ксим у м а в точке 2
x π= , причем
/ 12 2
S Sπ π = = −
и а симптотика вы числя ется по форм у ле из теоремы 4.
За меча н ие. И звестн о из спра вочн иков, что ( )22
0
2 1 !!sin
2 !! 2n ntdt
n
π
π−= ⋅∫
при 2n ≥ . С ра вн ива я послед н ее вы ра ж ен ие с а симптотической форм у лой,
полу ча ем ф орм у лу Ва ллиса ( )( )
22 !!1lim
2 1 !!n
nn n
π→∞
= −
.
Пример 13. На йд ем а симптотику при n → +∞ ф у н кции Бесселя
28
( )cos
0
1( ) cosxnI x e n d
πθ θ θ
π= ∫ ,
гд е 1n ≥ - целое. Зд есь cos , cosf n Sθ θ= = и [ ]
( )0;
max (0) 1S Sπ
θ = = ,
/ //(0) 0 , (0) 1S S= = − . Примен я я теорем у 4, полу ча ем
[ ]( ) 1 (1) ,2
x
neI x o x
xπ= + → +∞ .
Пример 14. На йд ем а симптотику полин ом а Л еж а н д ра
( )2
0
1( ) 1cosn
nP x x x dπ
θ θπ
= + −∫ при 1,x n> → +∞ .
Пред ва рительн о б у д ет решен а след у ю ща я
За д а ча . П у сть [ ];a b - кон ечн ы й отрезок, ( ) 0 , ,S x f S C∞> ∈ и
пу сть ( )S x д остига ет м а ксим у м а только в точке a . Если // ( ) 0S a ≠ , то при
t → ∞ : [ ] ( ) [ ]12
//
2( ) ( ) ( ) ( ) (1 (1)).2 ( )
bt t
a
fI t f x S x dx S a o
tS aθ π += = − +∫
Д ействительн о, ( )I t имеет ста н д а ртн ы й вид ln ( )( ) ( ) .b
t S x
a
I t f x e dx= ∫
( )/
/ ( )ln ( ) ,( )
S xS xS x
= отку д а ( )/ln ( ) 0;x a
S x=
= ( )// 3
//2
( ) ( ) ( )ln ( )( )
S x S x S xS xS x
−= ,
поэтом у ( )//
// ( )ln ( ) 0 .( )x a
S aS xS a=
= < По теореме 4 имеем
( ) ( )1
ln ( ) 2// //
1 2 ( ) 1 2( ) ( ) (1) ( ) ( ) (1)2 ( ) 2 ( )
tS a tS aI t e f a o S a f a otS a tS aπ π +
= − + = − + ,
что и треб ова лось д ока за ть. Верн емся к примеру 14. Воспользу емся резу льт а т а м и за д а чи. В
д а н н ом слу ча е ( ) 2 1 cos , 1S x x fθ θ= + − ⋅ ≡ , ф у н кция ( )S x д остига ет
м а ксим у м а при 0θ = и 2 / // 2(0) 1; (0) 0 ; (0) 1S x x S S x= + − = = − − .
О тсю д а ( )
( )
122
4 2
1( ) 1 (1)
2 1
n
n
x xP x o
xπ
+
+ −= +
⋅ −.
Д ополн ительн ы е ста н д а ртн ы е метод ы
29
1. Ра злож ен ие под ы н тегра льн ой ф у н кции Пример 15. На йти а симптотическое ра злож ен ие ин тегра ла
( )1
2
0
sinJ x dxε ε= ∫ при 0ε → + .
Решен ие. Ра злож им под ы н тегра льн у ю ф у н кцию в ря д
( ) ( )3 6 5 10
2 2 7sin 13! 5!x xx x O xε ε
ε ε ε= − + + < . И н тегриру я , полу чим
( ) ( )1 3 6 5 10 3 5
2 7 7
0
( ) .3! 5! 3 3!7 5!11x xJ x O dx Oε ε ε ε ε
ε ε ε ε
= − + + = − + +
∫
Пример 16. На йти а симптотическое ра злож ен ие ин тегра ла
( )34
0
xtJ t e dtε
− −= ∫ при 0x → + .
Решен ие. Ра злож им под ы н тегра льн у ю ф у н кцию в ря д
( )2 3 4
51 0 .2 6 24
t t t te t t− = − + − + + Проин тегриру ем полу чен н ое вы ра ж ен ие
5 9 133 4 1 174 4 44 4 4 4
0 0
1 5 9 13 174 4 4 4 4
( ) ( ( ))2 6 24
4 2 24 ( ).5 9 39
x xt t t tJ x t e dt t t O t dt
x x x x O x
− −−= = − + − + + =
= − + − +
∫ ∫
2. И н тегрирова н ие по ча ст я м Пример 17. На йти а симптотическое ра злож ен ие ин тегра ла
2( )t
x
eJ x dtt
∞ −
= ∫ при x → +∞ .
Решен ие. О б озн а чим 2
1 ; v tu d e dtt
−= = , тогд а 3
2 ; v tdu dt et
−= − = − .
О тсю д а 2 3 2 3( ) 2 2 ,tt t x t
x xt x
e e e eJ x dt dtt t x t
=∞ ∞ ∞− − − −
=
= − − = −∫ ∫ д а лее
3 2 3 4( ) 2 6 .t x x t
x x
e e e eJ x dt dtt x x t
∞ ∞− − − −
= = − +∫ ∫ Т а к ка к
44 5 4 5 6
1 14 4 20t t t
x x x
x x x
e e edt e x dt e e dtt t x x t
∞ ∞ ∞− − −− − − −= ⋅ − = − + <∫ ∫ ∫
30
44 5 6 4 5 5
1 1 1 1 12020 4 ( ),x
x x x x
x
ee e dt e e O xx x t x x x
∞−− − − − −< − < − + =∫ то
2 3 4( ) ( 2 ( )).xJ x e x x O x− − − −= − +
Д ополн ен ие Т еорем а 5. П у сть [ ];I a b= - кон ечн ы й отрезок, ( ), ( ) ( )f x S x C I∈ и
max ( )x I
S x∈
д остига ется только в точке 0x . Т огд а
1о. Если 0a x b< < и ( ) ( )( ) (2 )0 00 , 1 2 1 , 0j mS x j m S x= ≤ ≤ − ≠ , гд е
1m ≥ , то при t → +∞
( )( ) ( )( ) ( )
112
20 0(2 )
0
2 !1 1( ) exp (1) .2
mm
m
mF t t tS x f x o
m m S x− = Γ − ⋅ ⋅ +
2о. П у сть 0x a= и / ( 1) ( )( ) ... ( ) 0 ; ( ) 0m mS a S a S a−= = = ≠ . Т огд а при
t → +∞
( ) ( )1
1( )
( )
1 1 !( ) (1) .2
mtS am
m
mF t t e f a om m S a
− = Γ − ⋅ ⋅ +
Д ока за тельство. В слу ча е 1о осн овн ой вкла д в а симптотику ( )F t
д а ет м а ла я окрестн ость точки 0x . Д ела я в этой окрестн ости за мен у
( )x yϕ= , т а ку ю что ( )( ) ( ) 20
mS y S x yϕ − = − , полу ча ем эт а лон н ы й
ин тегра л лемм ы Ва тсон а . Т очн о т а к ж е использу ется слу ча й 2о. Т еорем а 6. (Ан а лог лемм ы Ва тсон а в слу ча е, когд а ( )f x имеет
лога рифмическу ю особ ен н ость).
П у сть 1, 0 ,R f Cγ β∈ > ∈ при м а лы х 0x ≥ и [ ]( )( ) 0;f x C a∈ .
Т огд а при t → ∞ спра вед ливо а симптотическое пред ста влен ие
( ) ( )[ ]1
0
ln ( ) ln (0) (1)a
txx x e f x dx t t Г f oγ γβ β β− − −= +∫ .
Д ока за тельство. Т а к ка к ф у н кция ( )S x x= − д остига ет м а ксим у м а
при 0x = , мож н о счит а ть 1a < ; отб рошен н ы й ин тегра л экспон ен циа льн о м а л. Полож им ( ) (0) ( )f x f h x= + .Т а к ка к ( ) ( )h x O x= , то при 0t > :
( )11 /
0 0
( ) lna a
tx xtx h x x e dx c x e dx c tγ β δβ β δ − − +− − − −≤ ≤∫ ∫ .
31
М ы воспользова лись тем , что ( )ln 0 , 0x x xγ δ−= → при лю б ом сколь
у год н о м а лом 0δ > .
О ст а ется исслед ова ть ин тегра л ( ) 10
0
( ) lna
xtI t f x x x e dxγβ − −= ∫ .
С д ела ем за мен у , ytx y xt
= = . Т огд а (т .к. при 1a < имеем 0 y at t< < < )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
10
0
10
0
( ) ln ln
lnln 1 .ln
aty
aty
I t f x t y y t e dy
yf x t t y e dyt
γβ β
γγβ β
− − −
− − −
= ⋅ − =
= −
∫
∫
Ра злож им ф у н кцию ( )1 , 1z zγ− < в ря д Т ейлора : ( )1 1 0( )z zγ− = + .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
11 10 0
0 0
10 0
0
( ) ln ln 0 ln
ln ( ) ln ( ) ( ) ,
at aty y
y
I t f x t t y e dy f x t t y y e dy
f x t t y e dy Ф t f x t t Ф t
γ γβ β β β
γ γβ β β β
−− − − − − −
∞− − − −
= + =
= + = Γ +
∫ ∫
∫
зд есь ( )1 1
0
1( ) 0 ln (1)ln
aty y
at
Ф t y e dy y y e dy ot
β β∞
− − − −= + =∫ ∫ .
Пример 18. На йти а симптотику ин тегра ла 1 1
0
( )tx
xF t e dx− −
= ∫ при t → ∞ .
Решен ие. В этом ин тегра ле 1
1( ) ; ( ) xS x x f x x e−−= = − . Ф у н кция
1xe
−
об ра ща ется в н у ль при 0x = вместе со всеми своими производ н ы ми.
Примен ен ие лемм ы Ва тсон а д а ет только оцен ку ( )0 t−∞ . Чтоб ы полу чить
б олее точн у ю оцен ку , за метим , что ф у н кция 1tx x−− − д остига ет
м а ксим у м а при 12x t
−= . С д ела ем за мен у перемен н ой
12x tτ
−= , тогд а
12
0
1( ) exp( ( ))t
F t t t dτ ττ
−= − +∫ .
Ф у н кция ( ) 1S τ τ τ −= − − д остига ет м а ксим у м а при 1τ = , причем //(1) 2, (1) 2S S= − = − . Примен я я теорем у 3, полу ча ем
( )3
24( ) 1 (1) ,tF t t e O tπ− −= + → +∞ .
32
Метод ст а цион а рн ой ф а зы
1. Ф а зова я ф у н кция б ез критических точек. М ы б у д ем ра ссм а трива ть ин тегра лы Ф у рье
( )( ) ( )b
itS x
a
F t f x e dx= ∫ .
Зд есь ( )S x - веществен н озн а чн а я ф у н кция , 0t > . Ф у н кция ( )S x
н а зы ва ется ф а зовой ф у н кцией. И н тегра л ( )F t б у д ет м а л при t → ∞ за счет
б ы строй осцилля ции ( )itS xe Л емм а Рима н а -Л еб ега . Если ( )1f L∈ ! , то
( )( ) ( ) (1) ,itS xF t f x e dx o t∞
−∞
= = → ∞∫ . (23)
Д ока за тельство. П у сть [ ];( ) a bf x χ= - х а ра ктеристическа я ф у н кция
ин терва ла ( );a b , тогд а ее преоб ра зова н ие Ф у рье ( )F t стремится к н у лю
при t → ∞ : [ ];1 0
bb itb itaitx itx itx
a baa
e ee dx e dx eit it
χ∞
−∞
−= = = →∫ ∫ .
С овершен н о а н а логичн о д ля лю б ой кон ечн озн а чн ой (ст у пен ча той)
ф у н кции :kϕ ( ) 0itxk x e dxϕ
∞
−∞
→∫ при t → ∞ . Ка к известн о из
ф у н кцион а льн ого а н а лиза , д ля лю б ой ( )1f L∈ ! су ществу ет
послед ова тельн ость кон ечн озн а чн ы х ф у н кций ( )k xϕ , а ппроксимиру ю ща я
её в ( )1L ! : ( ) ( )k x f xϕ → в ( )1L ! , т .е. ( ) ( ) 0kf x x dxϕ∞
−∞
− →∫ . Поэтом у
д ля лю б ого 0ε > имеем ( ) ( ) ( )itx itxk kf x e dx f x x dx e dxϕ ϕ
∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
≤ − +∫ ∫ ∫ .
С лед ова тельн о, при ( )0k k ε≥ и лю б ом 0t > :
( )2
itx itxkf x e dx e dxε
ϕ∞ ∞
−∞ −∞
≤ +∫ ∫ , а при ( )0 : ( )2
itxkt t x e dx ε
ε ϕ∞
−∞
≥ ≤∫ .
Ника кой б олее точн ой ин ф орм а ции при этих у словия х полу чить н ельзя . Ясн о только, что осн овн ой вкла д в а симптотику ин тегра лов Ф у рье (при гла д ких ,f S ) д олж н ы вн осить критические точки ф а зовой ф у н кции
33
( )S x (т .к. вб лизи н их осцилля ция за мед ля ется ), а т а кж е особ ен н ости
ф у н кций f и S . За метим , что в отличие от ин тегра лов Л а пла са , д ля
ин тегра лов Ф у рье гла д кость f и S су ществен н а н а всем промеж у тке
ин тегрирова н ия . В слу ча е, когд а ф а зова я ф у н кция ( )S x н е имеет ст а цион а рн ы х
точек, а симптотика ( )F t легко вы числя ется с помощью ин тегрирова н ия
по ча ст я м .
Т еорем а 1. П у сть [ ];I a b= - кон ечн ы й отрезок / ( ) 0 ,S x x I≠ ∈ , 1 2( ) ( ), ( ) ( )N Nf x C I S x C I+ +∈ ∈ . Т огд а при t → ∞
( ) ( )1
1( ) ( )/ /
0
1 ( )( )( ) ( )
kb N bkitS x itS x Na
ka
d f xf x e dx it e O tS x dx S x
−− − −
=
= ⋅ ⋅ +
∑∫ . (24)
Д ока за тельство. И н тегриру я по ча ст я м , полу ча ем , что ра зн ость меж д у ( )F t и су ммой в пра вой ча сти (24) ра вн а
( ) ( )/
/
( ) exp ( ) ,( )
bN N
a
f xit M itS x dxS x
−
∫ гд е /
1( )
dMS x dx
−= ⋅ .
По лемме Л еб ега -Рим а н а послед н ий ин тегра л есть (1)O . Гла вн ы й
член а симптотики имеет вид
( )( ) ( ) 2/ /
1 ( ) ( )( )( ) ( )
itS b itS af b f aF t e e O tit S b S a
− = − +
.
С помощью ин тегрирова н ия по ча стя м мож н о вы числя ть т а кж е
а симптотику при x → ∞ ин тегра лов вид а ( )( ) ( ) iS t
x
F x f t e dt∞
= ∫ , гд е ( )S t -
веществен н озн а чн а я ф у н кция , / ( ) 0S t ≠ при 1t ! .
Пример 19. П у сть [ ]( )2 / //( ) 0; , ( ) 0, ( ) 0 , ( ) 0f t C f t f t f t∈ ∞ > < > при
1t ! , ( )( ) /( ) (1), 0,1; ( ) ( ) ,jf t o j f t o f t t= = = → +∞ . Т огд а при x → +∞
( )( )( ) ( ) 1 (1)iS t ix
x
f t e dt if x e o∞
= − +∫ .
Проин тегриру ем ( )F x по ча ст я м д ва ж д ы .
( ) /1( ) ( ) ( ) ( )it it it
xx x
F x f t d e ie f x i f t e dtt
∞ ∞∞
= = − + =∫ ∫
34
( )/ / //
/ //
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
ix it ix it it
xx x
ix ix it
x
ie f x f t d e ie f x f x e f t e dt
ie f x f x e f t e dt
∞ ∞∞
∞
= + = + + =
= − +
∫ ∫
∫
О цен им по мод у лю ин тегра л в пра вой ча сти послед н его ра вен ства
( )// // /( ) ( ) ( ) ( ) .it
x x
f t e dt f t dt f x o f x∞ ∞
≤ = − =∫ ∫
И з послед н ей оцен ки и у словий примера след у ет его у тверж д ен ие. Прин цип лока лиза ции
П у сть x∈Ω ⊂ ! . Через ( )0C∞ Ω об озн а чим м н ож ество всех
фин итн ы х б ескон ечн о д иф ферен циру ем ы х ф у н кций ( )xϕ т а ких , что
suppϕ ⊂ Ω .
Пример ф у н кции из ( )0C∞ Ω .
О б озн а чим 20
1exp , 1;1( )
0, 1.
xxx
xϕ
< −= ≥
Ф у н кция ( )0 0 ,Cϕ ∞∈ !
[ ]0supp 1;1 .ϕ = −
Л емм а 1. П у сть ( ) ( )0( ) , ( )S x C f x C∞ ∞∈ ∈! ! и ( ) 0S x′ ≠ н а
supp f . Т огд а при t → +∞
( ) ( )( )exp ( ) .f x itS x dx O t−∞=∫
Д ока за тельство. И н тегра л ф а ктически б ерется по a x b≤ ≤ , т а к ка к ф у н кция f фин итн а . Примен им теорем у 1, у читы ва я , что все
вн еин тегра льн ы е член ы ра вн ы н у лю в силу ф ин итн ости ф у н кции f , т а к
что ( ) ( )( ) , 0NF t O t N−= ∀ ≥ . Л емм а д ока за н а .
За меча н ие. Т а к ка к гла вн ы й член а симптотики об ы чн о имеет степен н ой х а ра ктер, то ин тегра ла ми, у д овлетворя ю щими у словия м прин ципа лока лиза ции, мож н о прен еб речь.
На м пон а д об ится н екоторы й тех н ический а ппара т – ра зб иен ие ед ин ицы .
Т еорем а о ра зб иен ии ед ин ицы . П у сть м н ож ество nM ⊂ ! покры то
35
кон ечн ы м или счетн ы м числом откры ты х м н ож еств αΩ . Т огд а
су ществу ет семейство ф у н кций ( )Ф xαϕ= т а кое, что
1о. ( )0( )x Cα αϕ ∞∈ Ω .
2о. ( ) 1, .x x Mαα
ϕ ≡ ∈∑
3о. 0 ( ) 1 ,x x Mαϕ≤ ≤ ∈ .
4о. Ка ж д а я точка x M∈ имеет т а ку ю окрестн ость, в которой только кон ечн ое число ф у н кций αϕ отличн о от н у ля .
Если м н ож ество M - компа ктн о, то покры тие αΩ мож н о вы б ра ть
кон ечн ы м .
Ра ссмотрим ин тегра л ( )( ) ( )b
iS x t
a
F t f x e dx= ∫ . Прод олж им ,f S н у лем
при [ ];x a b∉ и об озн а чим прод олж ен н ы е ф у н кции т а кж е через ,f S .
О пред елен ие. Бу д ем н а зы ва ть 0x об ы кн овен н ой точкой ин тегра ла
( )F t , если ф у н кции ( )0 0, ;f S C x xδ δ∞∈ − + при н екотором 0δ > и
( )/0 0S x ≠ . В противн ом слу ча е б у д ем н а зы ва ть 0x критической точкой
ин тегра ла ( )F t . М ы б у д ем ра ссм а трива ть только изолирова н н ы е
критические точки. Вкла д ом от критической точки 0x в ин тегра л ( )F t
н а зовем ин тегра л ( ) ( ) ( )0 0, ( ) , exp ( )F t x f x x x itS x dxϕ∞
−∞
= ∫ . Зд есь ( )0,x xϕ -
фин итн а я б ескон ечн о д иф ферен циру ем а я ф у н кция т а ка я , что 1) suppϕ н е сод ерж ит критических точек, отличн ы х от 0x ;
2) ( )0, 1x xϕ ≡ в н екоторой окрестн ости точки 0x (н а пом н им , что м ы
прод олж или ф у н кции ,f S н у лем вн е I ).
Т еорем а 2 (прин цип лока лиза ции). П у сть [ ];I a b= - кон ечн ы й
отрезок и пу сть ин тегра л ( )F t имеет кон ечн ое число изолирова н н ы х
критических точек 1 ,..., kx x I∈ . Т огд а
( ) ( )( ) , ,k
jj a
F t F t x O t t−∞
=
= + → ∞∑ ,
т .е. ин тегра л ( )F t ра вен су мме вкла д ов от критических точек с точн остью
36
д о ( )O t−∞ .
Д ока за тельство. Покроем отрезок I кон ечн ы м числом откры ты х ин терва лов αΩ т а к, чтоб ы ка ж д а я критическа я точка jx сод ерж а ла сь
ровн о в од н ом ин терва ле jαΩ и у строим ра зб иен ие ед ин ицы ( ) xαϕ ,
отвеча ю щее покры тию αΩ . Т огд а 1jαϕ ≡ в н екоторой окрестн ости
точки jx . Прод олж им ф у н кции ( ), ( )f x S x н а всю ось, пола га я их
ра вн ы ми н у лю при [ ],x a b∉ . Т огд а
( )( ) ( )exp ( )F t f x itS x dxαα
ϕ∞
−∞
= ∑ ∫ .
Если , 1j j kα α≠ ≤ ≤ , то ин тегра л, сод ерж а щий ( )xαϕ , имеет
поря д ок ( )O t−∞ в силу лемм ы 1.
Вы числим вкла д от гра н ичн ой критической точки в простейшем слу ча е.
Т еорем а 3. П у сть [ )( ), ( ) ; , 0f x S x C a a δ δ∞∈ + > и / ( ) 0S a ≠ .
Т огд а д ля ин тегра ла ( )( )( ) ( )expb
a
F t f x itS a dx= ∫ вкла д в а симптотику ( )F t
при t → ∞ от точки a имеет вид
( ) ( ) 1( )/ /
0
( ) 1,( ) ( )
kitS a k
k x a
f x dF t a e it M MS x S x dx
∞− −
= =
− =
∑! .
Это ра злож ен ие мож н о д иф ферен цирова ть по t лю б ое число ра з.
Гла вн ы й член а симптотики имеет вид ( )/
( )exp ( )( , )
( )f a itS a
F t aitS a
= − .
Д ока за тельство след у ет из теоремы 1 и опред елен ия вкла д а . Эта лон н ы е ин тегра лы
Ра ссмотрим ин тегра л
1
0
( ) ( )a
itxФ t x f x e dxαβ −= ∫ .
Л емм а 2 (Эрд ейи). П у сть 1 , 0α β≥ > , ф у н кция [ ]( )( ) 0;f x C a∞∈ и
( )f x об ра ща ется в н у ль вместе со всеми своими производ н ы ми в точке
x a= . Т огд а
37
( )
( )
1
00
( )
( )exp ,
(0) exp .! 2
a k
kk
k
k
x f x itx dx a t t
i kf ka Гk
ββ α α
π ββα α α
+∞ −−
=
→ +∞
+ + =
∑∫ !
Это ра злож ен ие мож н о д иф ферен цирова ть по t лю б ое число ра з. Л емм а Эрд ейи игра ет т а ку ю ж е роль д ля ин тегра лов Ф у рье, ка к
лемм а Ва тсон а д ля ин тегра лов Л а пла са .
Д ока за тельство. Ф а зова я ф у н кция ( )S x xα= имеет ед ин ствен н у ю
критическу ю точку 0x = н а у ча стке ин тегрирова н ия . Ра ссмотрим вн а ча ле слу ча й, когд а ( ) 1f x ≡ при 0 x δ≤ ≤ , гд е 0 aδ< < . Т огд а
под ы н тегра льн а я ф у н кция а н а литичн а н а ин терва ле ( )0;δ . В секторе
0 arg x πα
< < имеем ( ) ( ) ( )( )( )Re Re cos arg sin argix i x x i x ααα = − =
( ) ( )( ) ( )Re cos arg sin arg sin arg ,x i x i x x xα α α = − = − н о т а к ка к
0 arg xα π< < , след ова тельн о,
( )sin arg 0xα > и, след ова тельн о,
( )Re 0ixα < .
По теореме Коши ин тегра л н а
отрезке 0;2δ
ра вен ин тегра лу по
лом а н ой 1 2b l l= U , гд е 1l - отрезок 200;
i
eπα ρ
, 2l - отрезок 200;
i
eπα ρ
,
0 cos2 2π δ
ρα
= . Т огд а (1) (2) (3)( ) ( ) ( ) ( )t t t tβ β β βΦ = Φ + Φ + Φ . Зд есь βΦ − исход н ы й
ин тегра л при у словии, что 0 | |x δ≤ ≤ ;
( )3( ) ( )exp( ( )) , 1, 2, 3; [ ; ]
2k
k
l
x f x itS x dx k l aβ
δΦ = = =∫ .
На йд ем а симптотику при t → ∞ ин тегра ла (1)βΦ с помощью лемм ы
Ва тсон а , с у четом того, что н а промеж у тке ин тегрирова н ия ( ) 1f x ≡ . /( 2 )
0 0
/ 2
1 1(1) 1 1 /2 2
0 0
1( ) ( ) ( ), 0i
i
eitx tx ct
x e xt x e e x e dx e t O e c
π α
α α
π α
ρ ρπβ πββ β β αα α
β
βα α
− − − − −
=Φ = = = Γ + >∫ ∫ %
%% .
Im x
20
i
eπα ρ−
0ρ 1l
2πα
2l
0 2δ
δ a Re x
38
И н тегриру я по ча стя м , имеем
20
2 20
2(2) (3) 1 1
1 1
2
1 12
1 1
2 2
1 1( ) ( ) [ ] ( ) [ ]
1 ( ) 1( ) ( ( ) ) .
i
i
aitx itx
e
a aitx itxitx itx
le
x x x d e f x x d eit x it x
x e x f x ee x dx e f x x dxit x it it x it
α α
βπα
α αα α
πα
δ
β ββ α α
δρ
δβ β
β α β αα α
δ δρ
α α
α α α α
− −− −
− −− −
− −
Φ + Φ = + =
′ ′= − + −
∫ ∫
∫ ∫
Вн еин тегра льн а я под ст а н овка при 20
ix e
παρ= экспон ен циа льн о м а ла , т а к
ка к в этой точке 0titxe eαρ−= . Вн еин тегра льн а я под ст а н овка при x a= ра вн а
н у лю , т а к ка к ( ) 0f a = , н а кон ец, вн еин тегра льн ы е под ст а н овки в точке
2x δ
= сокра ща ю тся . С лед ова тельн о, вн еин тегра льн ы е под ста н овки в
послед н ем ра вен стве имею т поря д ок ( )O t−∞ . Кроме того,
( )(2) (3) 1( ) ( )t t O tβ β−Φ + Φ = при t → ∞ , т а к ка к ( )exp 1itxα ≤ н а 1 2 3, ,l l l при
0t ≥ . Д а лее,
( )2 3
(2) (3) 1 1( ) ( ) exp ( ) itx
l l
t t x itx dx x f x e dxit
β α α β αβ β
β αα
− − − − −
Φ + Φ = − + − ∫ ∫
/
2
1 ( ) ( ) .a
itxx f x e dx O tit
β α
δα− −∞− +∫
Поскольку [ ]( )/ ( ) 0;f x C a∞∈ и / ( ) 0 ,f x ≡ при 0 x δ≤ ≤ и ( ) ( ) 0kf a = при 0, 1,2...k = , то послед н ий ин тегра л имеет поря д ок ( )O t−∞ в
силу лемм ы 1, т а к что
( )(2) (3) (2) (3)( ) ( ) ( ) ( )t t t t O titβ β β α β α
α βα
−∞− −
− Φ + Φ = Φ + Φ + .
Повторя я эти вы кла д ки произвольн ое число ра з (н а 2l и 3 0l x ≠ ),
полу ча ем ( )(2) (3)( ) ( ) .t t O tβ β−∞Φ + Φ = Поэтом у , а т а кж е из ра злож ен ия д ля
(1)( )tβΦ имеем
( ) ( )2/
( ) , ,iГ
t e t O t tβ β
πα α
β
β αα
− −∞Φ = + → ∞ (25)
39
если ( ) 1f x ≡ при м а лы х x .
Д ока ж ем лемм у в об щем слу ча е. По форм у ле Т ейлора
[ ]( )( ) ( )
1
0 0
(0) (0)( ) ( ) ( ) , ( ) 0; .! !
k kN Nk k N
N N Nk k
f ff x x f x x x h x h x C ak k
+ ∞
= =
= + = + ∈∑ ∑
За мен им в ин тегра ле ( ) ( )Ф t f x н а ( ) ( )f x xψ , гд е [ ]( )( ) 0;x C aψ ∞∈ ,
1ψ ≡ при 0 x aδ≤ ≤ < и ( )xψ об ра ща ется в н у ль при x a= вместе со
всеми производ н ы ми. Т а к ка к ( ) ( ) ( ) 0f x f x xψ− ≡ при 0 x δ≤ ≤ , то по
лемме 1: ( )( ) ( )t t O t−∞Φ = Ψ + , гд е 1
0
( ) ( ) ( )a
itxt x f x x e dxαβ ψ−Ψ = ∫ . Д а лее
1
0 0
(0)( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) .!
akNk itx
k N kk
ft t R t t x x e dxk
αββ β ψ+ −
+ +=
Ψ = Φ + Φ =∑ ∫
По д ока за н н ом у вы ше пред ст а влен ию (25), а симптотика k β+Φ д а ется
форм у лой ( )
( )21( )kk i
kkt t e O t
ββ παα
β
βα α
++ − −∞
+
+ Φ = Γ +
. О ст а ется оцен ить
ост а ток ( )NR t , гд е 0
( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) .a
itx NN N N NR t x e dx x x h x x
α βϕ ϕ ψ+= =∫
И н тегриру я по ча стя м , полу ча ем
/
1 100
( )1( ) ( )aa
itx itxNN N
если N
xR t x e e dxit x it x
α α
α αβ α
ϕϕ
α α− −+ >
= − ∫ .
Ф у н кция ( )N xϕ об ла д а ет след у ю щими свойства ми:
1) при x a= он а ра вн а н у лю вместе со всеми производ н ы ми; 2) при 0x = он а имеет н у ль поря д ка S Nβ= + . Поэтом у вн еин тегра льн а я под ст а н овка ра вн а н у лю при N α β> − .
Ф у н кция /1 ( )Nx xα ϕ− + об ла д а ет т а кими ж е свойства ми при s Nβ α= + − .
Поэтом у т а кое ж е ин тегрирова н ие мож н о повторить k ра з, гд е , 0 ; 2 0 , ( ) / ,k s N k k Nβ β α∈ > + − > < +! отку д а [ ]( ) /k Nβ α= + .
При этом все вн еин тегра льн ы е под ст а н овки об ра тя тся в н у ль и
0
( ) ( )N a
itxN N NR t c t q x e dx
αβ
α+ − = ∫ ,
гд е ( )Nq x - н епреры вн а я при 0 x a≤ ≤ ф у н кция . С лед ова тельн о,
40
( ) ,N
NR t O t tβ
α+ −
= → ∞
.
Д а лее м ы б у д ем д ействова ть т а к ж е, ка к и при д ока за тельство теорем метод ом Л а пла са , а имен н о, ком б ин ирова ть лемм у Эрд ейи и лемм у 4 о за мен е перемен н ой.
Т еорем а 4. П у сть [ ]0 0;I x xδ δ= − + - кон ечн ы й отрезок и
вы полн ен ы у словия
1о. 0( ) ( ) , ( ) ( )f x C I S x C I∞ ∞∈ ∈ .
2о. Ф у н кция ( )S x имеет при x I∈ ед ин ствен н у ю ст а цион а рн у ю
точку 0x .
3о. ( )//0 0S x ≠ .
Т огд а при t → ∞
( ) [ ]0
0
0, ( )exp ( )x
x
F t x f x itS x dxδ
δ
+
−
= =∫
( )( ) ( ) ( )
12
0 0 0//0
2 exp sgn .4
f x O t itS x i S xt S x
π π− ′′= + +
Д ока за тельство. С д ела ем за мен у перемен н ой ( )x yψ= т а ку ю , что
( ) ( )2 //0 0( ) , sgn
2S x S x y S xε
ε= + = . При этом 0δ > мож н о счит а ть
н а столько м а лы м , чтоб ы ф у н кции ( ) 1, ( )x y y x Cψ ψ − ∞= = ∈ . Т огд а
( ) [ ] ( )( )2
1
2 /0 0, exp ( ) exp ( )F t x itS x it y f y y dy
δ
δ
ε ψ ψ−
= ∫ .
Примен я я к ка ж д ом у из ин тегра лов 1
0
δ−∫ и
2
0
δ
∫ лемм у Эрд ейи,
полу ча ем треб у емое ра злож ен ие. Т еорем а 5. П у сть [ ]0 0;I x x δ= + - кон ечн ы й отрезок, 0δ > ,
ф у н кции ( ), ( ) ( )f x S x C I∞∈ и ( )( )0 0 , 0,1,2,...kf x kδ+ = = .
П у сть ф у н кция ( )S x имеет н а I ед ин ствен н у ю ст а цион а рн у ю точку
0x x= и ( ) ( )( ) ( )0 00 , 1 1 , 0k mS x k m S x= ≤ ≤ − ≠ , гд е 2m ≥ . Т огд а при
t → +∞
41
( )( )
( ) ( ) ( )
0
0
11
(0 ( )
0
1( )
0 0 0
1!, ( )
exp sgn .2
x mitS x m
mx
m m
ГmmF t x f x e dx t
m S x
iitS x S x f x O tm
δ
π
+−
−
= = ⋅ ⋅ ×
× + ⋅ +
∫ (26)
Д ока за тельство. П у сть д ля опред елен н ости ( )( )0 0mS x > . С д ела ем
за мен у перемен н ой ( )x yψ= т а ку ю , что ( )0( ) mS x S x y− = при м а лы х
0x x− , и к полу чен н ом у ин тегра лу примен им лемм у Эрд ейи.
Пример 20. Ф у н кция Бесселя целого ин д екса 0n ≥ имеет
ин тегра льн ое пред ст а влен ие ( )1
0
( ) cos sinnJ x x n dπ
π ϕ ϕ ϕ−= − −∫ . Вы числим
а симптотику ( )nJ x при x → +∞ и фиксирова н н ом n . И меем
sin
0
1( ) Re ix innJ x e e d
πϕ ϕ ϕ
π−= ∫ .
Ф у н кция ( ) sinS ϕ ϕ= имеет при [0; ]x π∈ ед ин ствен н у ю ст а цион а рн у ю
точку 2π
ϕ = , в которой //1; 12 2
S Sπ π = = −
. Поэтом у гла вн ы й вкла д в
а симптотику д а ет имен н о эт а точка . И з ф орм у лы теоремы 4 полу ча ем , что
( )12( ) cos2 4nnJ x x O x
xπ π
π− = − − +
.
Вкла д от 0ϕ = и ϕ π= есть ( )1O x− .
Пример 21. Ф у н кция Бесселя веществен н ого ин д екса ν имеет ин тегра льн ое пред ст а влен ие
( ) ( ) ( )0 0
1 sincos sin exp shJ x x d t x t dtπ
ν
νπν ν ϕ ϕ ϕ ν
π π
∞
= − − − + ∫ ∫ . (27)
Вы числим а симптотику ( )J xν ν при , 1xν → +∞ > - фиксирова н о.
Второе сла га емое в (27) имеет поря д ок ( )1O ν − , т .к. sh2
t te et−−
= .
/
02 2
t t t te e e e− − − −= >
- мон отон н о возра ст а ю ща я ф у н кция sh 0t ≥ .
42
( )sh 1 0 , 1x te xν ν− ≤ > > . Поэтом у ин тегра л н е превосход ит 1
0
te dtν ν∞
− −=∫ .
Первое сла га емое в (27) ра вн о [ ]1
0
Re exp ( ) ,i S dπ
π ν ϕ ϕ− ∫ гд е
sin .S xϕ ϕ= − У ра вн ен ие ( )/ 0S ϕ = имеет вид 1 cos 0x ϕ− = , отку д а
( )1cos , 1xx
ϕ = > . Един ствен н а я ст а цион а рн а я точка 01arccosx
ϕ = .
Причем ( )// 20 0 2
1sin 1 1 ;S x x xx
ϕ ϕ= = − = −
( ) 20 2
1 1 1arccos 1 arccos 1.S x xx x x
ϕ = − − = − −
По форм у ле теоремы 4:
( ) ( )2 1
2
2 1cos arccos 141
J x x Oxx
ν
πν ν ν ν
πν− = − − + +
− .
(Вкла д от 0ϕ = и ϕ π= ра вен ( )1O ν − ).
За меча н ие. О тд ельн о вы числим а симптотику ( )Jν ν при ν → +∞ .
( ) ( )( ) ( ) ( )1
0
1 Re exp , sin .J i S d O Sπ
ν ν ν ϕ ϕ ν ϕ ϕ ϕπ
−= + = −∫
(Вкла д от точки ϕ π= сост а вля ет ( )1O ν − ). С та цион а рн а я точка 0ϕ = ,
причем // //(0) (0) , (0) 1S S S= = . Примен им форм у лу (26) :
( )1
1 13
3 3
1 13 3 3
2 23 3
1 113 32
11 3!3 Re exp 0 1 1
3 6 1
1 16 3 23 3cos 1 1
63 3 2
iJ i O
O O
ν
πν ν ν ν
π
πν ν
πν πν
− −
− −
Γ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + =
Γ Γ = + = + = ⋅
23
1 2 16 3 3
13 1 .
3 2O ν
ν π
−
Γ = + ⋅ ⋅ ⋅
43
Метод перева ла Ввод н ы е ра ссу ж д ен ия и примеры . Д о сих пор м ы ра ссм а трива ли только ин тегра лы , у которы х пока за тель экспон ен ты в под ы н тегра льн ой ф у н кции б ы л чисто м н им ы м или веществен н ы м . В этом пара гра фе исслед у ем слу ча й комплексн ы х пока за телей степен и экспон ен ты , т .е. об ра тимся к ин тегра ла м вид а
( )( ) ( ) ,th z
C
I t f z e dz= ∫ (28)
гд е 0t > − д оста точн о б ольшое число, C − кон т у р ин тегрирова н ия в комплексн ой z − плоскости, а ( )f z и ( )h z − а н а литические ф у н кции z ,
регу ля рн ы е в н екоторой об ла сти плоскости z , сод ерж а щей кон т у р ин тегрирова н ия . Ка к известн о, ф у н кция ( )h z н а зы ва ется а н а литической в н екоторой
об ла сти D , если он а опред елен а и имеет производ н у ю в ка ж д ой точке этой об ла сти. Ф у н кция ( )h z , а н а литическа я в н екоторой об ла сти D , за
исклю чен ием кон ечн ого числа точек, н а зы ва ется мероморф н ой в D . Эти исклю чительн ы е точки н а зы ва ю тся особ ен н ост я ми д а н н ой ф у н кции. Ф у н кция ( )h z комплексн ого перемен н ого z x iy= + н а зы ва ется
д иф ферен циру емой в точке 0z , если пред ел 0 0
0
( ) ( )limz
h z z h zz∆ →
+ ∆ −∆
су ществу ет и н е за висит от вы б ора z∆ . Этот пред ел н а зы ва ется
производ н ой ф у н кции ( )h z в точке 0z и об озн а ча ется 0( )h z′ или 0( )dh zdz
.
Под ст а н овка z x iy= + в вы ра ж ен ие ( )h z д а ет
( ) ( ) ( , ) ( , )h z h x iy x y i x yϕ ψ= + = + . О тсю д а
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )lim lim .x x
dh z x x y x y x x y x yidz x x
ϕ ϕ ψ ψ∆ → ∆ →
+ ∆ − + ∆ −= +
∆ ∆
Т а ким об ра зом , dh idz x x
ϕ ψ∂ ∂= +
∂ ∂ при 0z z= . Ан а логичн о, вы б ира я z i y∆ = ∆ ,
н а ход им
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )lim lim .y y
dh z x y y x y x y y x yidz i y i y
ϕ ϕ ψ ψ∆ → ∆ →
+ ∆ − + ∆ −= +
∆ ∆
О тсю д а ( )dh z idz y y
ψ ϕ∂ ∂= −
∂ ∂ при 0z z= . Если ф у н кция ( )h z
44
д иф ферен циру ем а , то величин а производ н ой н е мож ет за висеть от вы б ора
z∆ , след ова тельн о, i ix x y yϕ ψ ψ ϕ∂ ∂ ∂ ∂
+ = −∂ ∂ ∂ ∂
. Ра зд еля я веществен н у ю и
м н им у ю ча сти, полу ча ем т а к н а зы ва ем ы е у ра вн ен ия Коши-Рим а н а
;x y y xϕ ψ ϕ ψ∂ ∂ ∂ ∂
= = −∂ ∂ ∂ ∂
.
И склю чен ие ψ из этой системы пу тем перекрестн ого д иф ферен цирова н ия
д а ет 2 2
2 2 0x yϕ ϕ∂ ∂
+ =∂ ∂
. Ан а логичн о, исклю ча я ϕ , имеем 2 2
2 2 0x yψ ψ∂ ∂
+ =∂ ∂
.
Д ля того чтоб ы н а йти а симптотическое пред ст а влен ие ин тегра ла ( )I t , воспользу емся свойством а н а литичн ости под ы н тегра льн ой ф у н кции
и, примен я я теорем у Коши, д еформиру ем кон т у р C в н овы й кон т у р C′ с т а ким ра счетом , чтоб ы н а C′ либ о веществен н а я , либ о м н им а я ча сть ф у н кции ( )h z ока за ла сь постоя н н ой. Т ем са м ы м исход н ы й ин тегра л
преоб ра зу ется либ о в ин тегра л Л а пла са , либ о в ин тегра л Ф у рье. Т огд а а симптотика преоб ра зова н н ого ин тегра ла мож ет б ы ть н а йд ен а с помощью метод а Л а пла са , либ о с помощью метод а ст а цион а рн ой ф а зы . Во м н огих слу ча я х ока зы ва ется предпочтительн ее тра н сформирова ть исход н ы й ин тегра л в ин тегра л Л а пла са , поскольку полн ое а симптотическое пред ста влен ие ин тегра ла Л а пла са порож д а ется лишь окрестн остью той точки н а кон т у ре C′ , гд е ф у н кция Re ( )h zϕ = прин им а ет н а иб ольшее
зн а чен ие. Полн ое ж е а симптотическое ра злож ен ие ин тегра ла Ф у рье опред еля ется н е только ст а цион а рн ы ми точка ми Im ( )h zψ = , н о и, вооб ще
говоря , повед ен ием под ы н тегра льн ой ф у н кции в кон цевы х точка х промеж у тка ин тегрирова н ия . О тметим т а кж е, что лин ии постоя н н ой ф а зы constψ = я вля ю тся т а кж е од н овремен н о лин ия ми н а иб олее б ы строго измен ен ия (спу ска или под ъем а ) д ля ф у н кции ϕ . Чтоб ы д ока за ть это, воспользу емся пон я тием
гра д иен т а . И звестн о, что ; ,T
Tx yϕ ϕ
ϕ ∂ ∂
∇ = − ∂ ∂ зн а к тра н спон ирова н ия , а
производ н а я ф у н кции ϕ по н а пра влен ию , за д а ва емом у ед ин ичн ы м
45
вектором n , опред еля ется вы ра ж ен ием ( , )nnϕ
ϕ∂
= ∇∂
. Т а ким об ра зом ,
ф у н кция nϕ∂
∂ д остига ет своего н а иб ольшего зн а чен ия , когд а !cos( , ) 1nϕ∇ = ,
т .е. ||n ϕ∇ , отку д а | |
n ϕϕ
∇=
∇. При этом , когд а n и ϕ∇ ра вн он а пра влен ы ,
д а н н ое н а пра влен ие б у д ет н а пра влен ием н а иб ольшего возра ст а н ия (под ъем а ) ф у н кции ϕ , а противополож н ое н а пра влен ие – н а пра влен ием н а иб ольшего у б ы ва н ия (спу ска ) ϕ . Кроме того, из у ра вн ен ий Коши-Рим а н а след у ет , что
( , )
( ) 0.
x x y y
y x x y
ϕ ψ ϕ ψϕ ψ
ψ ψ ψ ψ
∂ ∂ ∂ ∂∇ ∇ = ⋅ + ⋅ =
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
= ⋅ + − =∂ ∂ ∂ ∂
Векторы ϕ∇ и ψ∇ ортогон а льн ы .
Если ||l ϕ∇ , то
1 21 0
| |l l
l x y x x y yψ ψ ψ ψ ϕ ψ ϕ
ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ . Т а ким об ра зом , ф у н кция ψ ока зы ва ется постоя н н ой н а лин ия х , ка са тельн ы е к которы м пара ллельн ы ϕ∇ , отку д а сра зу след у ет , что лин ии постоя н н ой ф а зы я вля ю тся лин ия ми н а искорейшего спу ска (или под ъем а ) д ля ф у н кции ϕ . О тметим т а кж е, что ф у н кция ( , )x yϕ н е мож ет иметь в
точка х регу ля рн ости ( )h z н и м а ксим у м а , н и мин им у м а . Д ействительн о, из
у ра вн ен ия 2 2
2 2 0x yϕ ϕ∂ ∂
+ =∂ ∂
след у ет , что 2
2 0xϕ∂
<∂
, то 2
2 0yϕ∂
<∂
и н а об орот .
Вместе с тем , поверхн ость ( , )x yϕ ϕ= мож ет иметь точки, в которы х
0x yϕ ϕ∂ ∂
= =∂ ∂
, н о он и н е я вля ю тся точка ми экстрем у м а ф у н кции ( , )x yϕ , а
лишь сед ловы ми точка ми (или точка ми перева ла ). И з у ра вн ен ий Коши-
Рим а н а след у ет , что в т а ких точка х т а кж е 0x yψ ψ∂ ∂
= =∂ ∂
. Т а ким об ра зом ,
сед лова я точка ф у н кции ( , )x yϕ я вля ется од н овремен н о и сед ловой точкой
ф у н кции ( , )x yψ , а зн а чит , точкой, гд е ( ) 0h z′ = . При этом , если 0z z= -
( , )x yϕ 0z
46
сед лова я точка и если ( )0 0 0( ) ( ) ... ( ) 0,mh z h z h z′ ′′= = = = н о ( 1)
0( ) 0mh z+ ≠ ,
точку 0z н а зы ва ю т сед ловой точкой поря д ка 1m + . Через сед лову ю точку проход я т д ве (или б олее) лин ии у ровн я (т .е. кривы х constϕ = ). Кроме того, через сед лову ю точку проход я т д ве или б олее лин ии постоя н н ой ф а зы (т .е. кривы х constψ = ), я вля ю щихся лин ия ми н а искорейшего спу ска или под ъем а ф у н кции ( , )x yϕ . На йти вид и ра сполож ен ие этих лин ий в
окрестн ости сед ловой точки н етру д н о. Если сед лова я точка имеет поря д ок
m , то ( )0 0 0
1( ) ( ) ( )( )!
m mh z h z h z z zm
≈ + − . Поэтом у , если полож ить
( )0
1 ( )!
m ih z Kem
κ= и 0iz z ze θ− = , то ( )
0( ) ( ) m i mh z h z Kr e iκ θ ϕ ψ+≈ + = + или
0 0cos( ); sin( ),m mKr m Kr mϕ ϕ κ θ ψ ψ κ θ≈ + + ≈ + + зд есь 0 0 0( )h z iϕ ψ= + .
Т а ким об ра зом , лин ии у ровн я 0ϕ ϕ= приб лиж ен н о описы ва ю тся
у ра вн ен ием cos( ) 0mκ θ+ = или ( 0,5)m nκ θ π+ = + ;
0,5 , 1, 2, ...,2 .n n mm
π κ πθ
− += = Это у ра вн ен ие д а ет 2m лин ий у ровн я
ф у н кции ϕ . Эти лин ии д еля т окрестн ость 0z н а m «холмов» и m «д олин ».
Т очн о т а к ж е из у ра вн ен ия 0 0sin( );mKr mψ ψ κ θ ψ ψ= + + = ,
след ова тельн о, sin( ) 0; ; ; 1, 2, ..., 2nm m n n mm
κ πκ θ κ θ π θ
− ++ = + = = = .
Эффективн ы м метод ом построен ия а симптотических ра злож ен ий д ля ин тегра лов по кон т у ра м , кон цевы е точки которы х ра спола га ю тся в д ву х ра зн ы х «д олин а х», я вля ется «метод перева ла », ра звиты й Рим а н ом и Д еб а ем . И д ея этого метод а за клю ча ется в д еф ормирова н ии кон т у ра ин тегрирова н ия C в н екоторы й н овы й кон т у р C′ , у д овлетворя ю щий след у ю щим у словия м
1. Кон т у р C′ проход ит через сед лову ю точку (т .е. через н у ль ф у н кции ( )h z′ ).
2. М н им а я ча сть ψ ф у н кции ( )h z н а этом кон т у ре д олж н а б ы ть
постоя н н а . 3. Кон т у р C′ пред ста вля ет соб ой лин ию н а искорейшего спу ска .
Привед ем пример. Пример 22. На йти а симптотику при t → ∞ ин тегра ла Эйри
47
3
0
1 1Ai( ) cos( )3
t s ts dsπ
∞
= +∫ .
Д ля того чтоб ы преоб ра зова ть этот ин тегра л в ст а н д а ртн ы й вид ,
введ ем преоб ра зова н ие s t z= . 3 33 32 2
3 33 32 2
3 ( ) ( )3 3 32
0 0
( ) ( )3 3
0 0
1Ai( ) cos[ ( )] [ ]3 2
[ ].2
z zit z it z
z zit z it z
t tt t z z dz e e dz
t e dz e dz
π π
π
∞ ∞+ − +
∞ −∞+ +
= + = + =
= −
∫ ∫
∫ ∫
Поэтом у 3 32 ( )
3Ai( )2
zit ztt e dzπ
∞+
−∞
= ∫ . И н тегрирова н ие по ча ст я м д а ет
тривиа льн ы й резу льт а т : 1 2Ai( ) 0 0 ...t t t− −= ⋅ + ⋅ + , поскольку , ка к б у д ет
пока за н о н иж е, в а симптотическое ра злож ен ие вход ит экспон ен циа льн о у б ы ва ю щий м н ож итель, которы й стремится к н у лю б ы стрее, чем лю б а я степен ь 1t− . Д ля того чтоб ы н а йти а симптотическое пред ста влен ие ф у н кции
Ai( )t , воспользу емся метод ом перева ла . В д а н н ом слу ча е 3
( ) ( )3zh z i z= +
и 2( ) ( 1)h z i z′ = + . Т а к что сед ловы е точки, т .е. н у ли производ н ой ( )h z′ это
z i= ± . В этих точка х 2( ) ( )3 3ih i i i± = ± =m m и, след ова тельн о, Im ( ) 0h i± = .
Полож им теперь z x iy= + , имеем 31( ) ( ( ) )3
h z i x iy x iy= + + + . После
преоб ра зова н ий полу чим
2 2 2 21 1( ) ( 1 ) ( 1)3 3
h z y y x ix x y= − − + − + . (29)
Поскольку в сед ловы х точка х Im 0h = , то у ра вн ен ие лин ий н а искорейшего спу ска , проход я щих через эти точки, полу ча ется из у словия Im 0h = . В соответствие с (29) это у ра вн ен ие имеет
вид 2 21( 1) 03
x x y− + = . Это у ра вн ен ие
y
i
0 x
i−
48
опред еля ет 3 лин ии н а искорейшего спу ска : 0x = и д ве гиперб олы
2 21 1 03
x y− + = . Эти лин ии изоб ра ж ен ы н а рису н ке, причем стрелка ми
у ка зы ва ется н а пра влен ие, в котором Re ( )h z у б ы ва ет . Т а ким об ра зом ,
чтоб ы примен ить метод перева ла , д еф ормиру ем исход н ы й кон т у р ин тегрирова н ия в кон т у р 1C , которы й
1) проход ит через сед лову ю точку z i= ; 2) пред ста вля ет соб ой криву ю постоя н н ой ф а зы ; 3) я вля ется лин ией н а искорейшего спу ска из сед ловой точки.
За метим , что 3 32 ( )
3Ai( ) lim lim2
zN it z
NN NN
tt e dz Jπ
+
→∞ →∞−
= =∫ , гд е
N N N NJ G I I+ −= + + . Д ля того чтоб ы
ввести ин тегра лы ; ;N N NG I I+ − , введ ем
вн а ча ле кон т у ры ин тегрирова н ия NC −
ча сть ветви гиперб олы 2 21 1 02
x y− + = т а ка я , что [ ; ]x N N∈ − . Кон т у ры
21: ; (0; 1)3Nl x N y N± = ∈ +m . Т огд а
3 33 32 2( ) ( )
3 3( ) ; ( ) .2 2
N N
z zit z it z
N NC l
t tG t e dz I t e dzπ π ±
+ +±= =∫ ∫ Ра ссмотрим :Nz l±∈
33 2 2 2 21 1 1( ) 1 1
3 3 3 3zi z i N iy N iy y y N iN N y
+ = ± + ± + = − − ± − + ;
3 2 2 21 1 1 8 2Re 1 13 3 3 9 3
i z z y N N N y + ≤ + − − = − − , след ова тельн о,
32 2 223 3 3
3 3 22 2 2
1 8 2 11 ( ) 11 8 2 8 23 9 3 3( ) ( ) ( )3 9 3 9 3
320 2
[ 1] 08 2( )9 3
N N
N N t Nit z z t y N N t y
l l
ee dz e dy e dyt N± ±
+ − + ++ − + − + −
≤ = = − →+
∫ ∫ ∫
при N → ∞ . Переход я к пред елу при N → ∞ , имеем
y
NC i Nl
− Nl+
N− 0 N x
49
332
112 ( )3Ai( )
2it z z
C
tt e dzπ
+= ∫
%
, зд есь 2 21( , ) 1 03
C x y x y = − + =
% , след ова тельн о,
2 23( 1)x y= − . Поэтом у из (29) 28( ) (2 )3
h z y y= − . Д ействительн о, Im 0,h =
2 2 2 2 21 1 8( ) Re ( ) ( 1 ) ( 1 3( 1)) (2 )3 3 3
h z h z y y x y y y y y= = − − = − − − = − при 1y≥ .
С лед ова тельн о, 3 8 2(2 )2 3
32
2
1
2Ai( ) [ 3( 1) )]2
y yttt e d y iy
π
−∞
= − +∫ ,
2
3( )
1
ydz i dy
y
= + −
. Провед ем за мен у 1y τ= + . Полу чим
11222
1 1 1 (1 ( ))( 1) 1 22 1 _
2
O τττ ττ
= = ++ − +
;
1 2 2223 8 8( 1) 8 16 8(1); (2 ) ( 1)(2 ) ( 1)(2 )
3 3 32dz O y y τ τ τ
τ τ τ− + + +
= + − = + − = + − =
2 2 3( 1)( 2 8 16 ) 2 18 24 8 2 6 (1 ( ))3 3 3
Oτ τ τ τ τ ττ τ
+ − − − − − − −= = − − + .
О тсю д а 32
32
211 132
6 (1 ( )) 2 2
0
( ) (1 ( ))2
t
O tt eAI t e O dτ τ τ τ τπ
− ∞−− +
= + ∫ . Д а льн ейшие преоб ра зова н ия :
32
3 32 2
211 1 1 1 132
6 (1 ( )) 6 (1 ( ))2 2 2 2
0 1
Ai( ) (1 ( )) (1 ( )) ,2
t
O t O tt et e O d e O dτ τ τ ττ τ τ τ τ τπ
− ∞− −− + − +
= + + + ∫ ∫
причем , по лемме 1: 32
1 16 (1 ( )) 2 2
1
(1 ( )) ( ), , 0O t te O d O e tτ τ ετ τ τ ε∞
−− + −+ = → ∞ >∫ .
Т а к ка к 3 32 2
36 (1 ( )) 6 22(1 ( )),O t te e t Oτ τ τ τ− + −= + то ин тегра л
32
1 1 16 (1 ( )) 2 2
0
(1 ( ))O te O dτ τ τ τ τ−− + +∫ пред ст а вим в вид е су мм ы ин тегра лов
3 32 2
1 11 1 3 36 62 2 2 2
0 0
(1 ( )) ( ) .t te O d t e O dτ ττ τ τ τ τ−− −+ +∫ ∫ Второй ин тегра л в послед н ей
50
су мме легко оцен ить с примен ен ием лемм ы Ва тсон а : 32
13 3 3 3 5 362 2 2 2 2 2
0
( ) ( ) ( ).tt e O d t O t O tτ τ τ− ⋅ −− = ⋅ =∫ Поэтом у
32
32
211 1 1 332
6 2 2 2
0
Ai( ) (1 ( )) ( ) .2
t
tt et e O d O tτ τ τ τπ
−− −−
= + + ∫ После примен ен ия лемм ы
Ва тсон а к ост а вшем у ся ин тегра лу полу чим окон ча тельн ы й резу льт а т : 3 32 22 21
3 13 322 2
14
1 1Ai( ) ( )(6 ) (1 (1)) (1 (1)), .1 22 2 3
t tt e et t o o t
tπ π
− −−
= Γ + = + → ∞
Пра ктические за д а н ия
1) Ра злож ен ия ф у н кций. На йти первы е три член а ра злож ен ий след у ю щих ф у н кций при
м а лом ε :
1.1. 12 4
23 5118 256a a
ε ε−
− +
; 1.2. ( )cos 1 , 0t t Tε− ≤ ≤ ;
1.3. 211 22
ε ε− + .
2) О пред елить поря д ок след у ю щих ф у н кций при 0ε → :
2.1. ( )ln 1 5ε+ ; 2.2. sin
εε
; 2.3. 211 cos2
ε ε− − .
3) Ра сполож ить ф у н кции по поря д ку у б ы ва н ия при м а лы х ε ( )0ε >
3.1. 11 1 3
2 1 12 2 2, , 1, , ln , ln , ,e εε ε ε ε ε ε ε−− − ;
3.2. ( ) 132
sin 1ln 1 , ctg , , ln , lnεε ε ε ε
εε
− +
;
3.3. 21 1 1 11
0,0001232
1 1 1, , , ln , , , , 5 , 5e eε ε ε εε εε ε
ε
− −
.
4) О пред елить д ва член а ра злож ен ия д ля ка ж д ого корн я след у ю щих у ра вн ен ий при м а лы х ε
4.1. ( ) ( )3 22 1 2 3 0x x xε ε ε− + − − + + = ;
51
4.2. ( )3 3 2 0x xε ε− + − + = ;
4.3. ( ) ( )4 32 3 2 1 4 0x x xε ε ε+ − − − − + = ;
4.4. ( )3 2 24 3 1 0u u u uε + + − − = ;
4.5. 3 2 0u uε + − = ; 4.6. 4 3 3 2 0u u uε − + − = ; 4.7. 4 2 3 2 0u u uε + − + = ;
4.8. 2
2 4
3 03 10
xx xε ε
− − = ;
4.9. 2211 0
53 xxε ε
− − = .
5) На йти д ва член а ра злож ен ия д ля корн ей след у ю щих тра н сцен д ен тн ы х у ра вн ен ий при б ольших зн а чен ия х а ргу м ен т а
5.1. ctg 1x x = ;
5.2. 1sin cos 04 8 4
x xx
π π − − − =
.
6. На йти а симптотику при t x
x
x e t dt∞
−→ ∞ ∫ .
7. На йти а симптотику при t
x
ex dtt
∞ −
→ ∞ ∫ .
9. На йти а симптотику при t n
x
x e t dt∞
− −→ ∞ ∫ .
10. На йти а симптотику при 1
1
0
sinx t t dtε −→ ∞ ⋅∫ .
11. На йти а симптотику при 34
0
xtx t e dt
− −→ ∞ ∫ .
12. На йти а симптотику при 2t
x
x e dt∞
−→ ∞ ∫ .
13. На йти а симптотику эллиптического ин тегра ла 2 род а при
0m → 2
2
0
( ) 1 sinI m m d
π
θ θ= −∫ .
52
14. На йти а симптотику при 1cosx
x t t dt∞
−→ ∞ ⋅∫ .
15. На йти а симптотику при ( )cos
x
t xx dt
x
∞ −→ ∞ ∫ .
16. На йти гла вн ы й член а симптотики при ( )ln 1xt
x
x e t dt∞
−→ ∞ +∫ .
17. На йти гла вн ы й член а симптотики при 1
0
x t xtx e dt
− + +→ ∞ ∫ .
18. На йти а симптотику при 0
xe dxx x
ωω ω
∞ −
→ ∞+ +∫ .
19. Д ока за ть, что при t → ∞
19.1. ( ) ( )1 2
0
1 0itxx e dx it tα∞
− − −+ = +∫ ; 19.2. ( ) ( )1 2
0
1 sin 0x txdx t tα∞
− − −+ = +∫ ;
19.3. ( ) ( )2 3
0
1 cos 0x txdx t tα α∞
− − −+ = +∫ .
20. Пока за ть, что при ω → ∞
20.1. ( )252
1
ln 2ln 12
x ee x x dxω
ω
ω
∞ −− +∫ ! ;
20.2. 2
120 4
1
2
x Гe adxx x
ω
ω
∞ −
+∫ ! ; 20.3. ( )2 2 ln 2ln 2xe x dxω πω
∞−
−∞
+∫ ! ;
20.4. 12
2
1 2
tte dt e
x
ωωπ − + − =∫ ; 20.5.
12
212
1 4
14
1 2 2
tt Г
e dt et
ω
ω
ω
− +
−
−∫ ! .
21. Пока за ть, что при α → ∞
21.1. 3
61
10 3
13
3
i
i tГ e
e dt
π
α
α
∫ ! ; 21.2.
312
1
10 6
16
3
i
i t Г ee dt
t
π
α
α
∫ ! ;
21.3. ( )3
31
20 3
23ln 1
3
i
i tГ e
e t dt
π
α
α
+ =∫ .
53
22. Вы числить а симптотику при t → ∞ ин тегра ла 1
0
( ) ( )expa
x xF t e f x te dxα α− −
− = −
∫ .
23. Пока за ть, что при x → ∞
23.1. 0 21
( )21
xtxeR x dt e
xtπ∞ −
−=−∫ ! ;
23.2. (1) 40 2
1
2 2( )1
ixt i xeH x ext
π
π π
∞ − =
−∫ ! ;
23.3. 0 21
2 sin 2( ) cos41
xtJ x xxt
ππ π
∞ = − −∫ ! ;
23.4. 0 21
2 cos 2( ) sin41
xtY x xxt
ππ π
∞ = − − −∫ ! ;
23.5. ( )1
1 1 22 2
1
2 1 11 cos2 2 2
nnixte t dt n x n
xπ+
−
−
− Γ + − + ∫ ! .
24. С помощью метод а перева ла вы числить а симптотическое пред ста влен ие при α → ∞ ин тегра льн ого пред ст а влен ия ф у н кции Бесселя
первого род а н у левого поря д ка 1
0 21
1( )1
i zeJ dzz
α
απ −
=−
∫ .
54
Л итера т у ра 1. Ф ед орю к М .В. Метод перева ла / М .В.Ф ед орю к. -М .: На у ка , 1977. -
368 с. 2. На йфэ А. Введ ен ие в метод ы возм у щен ий / А.На йфэ. -М .: Мир,
1984.- 535 с.
55
С оста вители: Глу шко Ан дрей Вла д имирович Глу шко Вла д имир П а влович Ред а ктор Т ихомирова О .А.
