Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'04):...

СОДЕРЖАНИЕ

План работы конференции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Пленарные и обзорные доклады . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Секция Дискретный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Секция Комбинаторика и символьные последовательности . . . . . . . . . . . . . . . 82

Секция Теория кодирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Секция Теория графов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Секция Линейное и нелинейное программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Секция Многокритериальное и двухуровневое программирование . . . . . . 138

Секция Дискретная оптимизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Секция Задачи теории расписаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Секция Локальный поиск и метаэвристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Секция Математическая экономика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Секция Приложения методов исследования операций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216

Список авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

6 Пленарные и обзорные доклады

ЗАДАЧА РАСКРАСКИ ИНЦИДЕНТОРОВ МУЛЬТИГРАФА

В. Г. Визинг, А. В. Пяткин

1. ВВЕДЕНИЕ

Пусть G = (V,E) — ориентированный мультиграф без петель с множеством вер-шин V и множеством дуг E. Чеpез ∆(G),∆+(G) и ∆−(G) обозначаются соответствен-но его максимальные степень, входящая и исходящая полустепени. Если дуга e ∈ Eинцидентна вершине v ∈ V , то упорядоченная пара (v, e) называется инцидентором.Инцидентор (v, e) удобно трактовать как половину дуги e, инцидентную вершине v.Будем также говорить, что инцидентор (v, e) примыкает к вершине v. Каждая дугаe = uv имеет два инцидентора: начальный инцидентор (u, e) и конечный инцидентор(v, e). Эти два инцидентора называются сопряженными по отношению друг к другу.Два инцидентора называются смежными, если они примыкают к одной вершине.Множество всех инциденторов мультиграфа G обозначим через I. Раскpаской инци-дентоpов называется пpоизвольное отобpажение f : I −→ Z+, где Z+ — множествоцелых положительных чисел (цветов). Варьируя ограничения на цвета смежных исопряжённых инциденторов, можно получить широкий класс задач инциденторнойраскраски мультиграфов.

Впервые задача раскраски инциденторов появилась в работе [10], где была рас-смотрена следующая проблема. Пусть задана локальная сеть, состоящая из цен-тральной ЭВМ и n шин, соединяющих её с периферийными объектами. Для каж-дой пары объектов i, j известен объём информации dij, который i-й объект долженпередать j-му. Информация может передаваться либо напрямую (из i-го объектав j-й за 1 единицу времени), либо с запоминанием в центральной ЭВМ. Пропуск-ные способности всех шин равны 1, т. е. каждая шина в каждый момент времениможет получать или передавать не более 1 единицы информации. Требуется найтирасписание с минимальным временем передачи сообщений. Эта задача моделируетсямультиграфом G, в котором каждая вершина соответствует шине, а каждая дуга —единице передаваемой информации (т. е. из i-й вершину в j-ю ведёт dij дуг). Рас-писание передачи сообщений эквивалентно раскраске инциденторов мультиграфа G,в которой цвета любых двух смежных инциденторов различны, а цвет начальногоинцидентора каждой дуги не превосходит цвета конечного инцидентора.

2. p – РАСКРАСКА ИНЦИДЕНТОРОВ

Раскpаска инцидентоpов называется пpавильной, если любые два смежных инци-дентоpа окpашены в pазные цвета. Пpавильная pаскpаска инцидентоpов называется

Визинг Вадим Георгиевич,Одесская государственная академия пищевых технологий,ул. Канатная, 112, Одесса, 270039, Украина, E-mail: [email protected]

Пяткин Артём Валерьевич,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия, тел. (8-383-2) 33-25-94,факс (8-383-2) 33-25-98, E-mail: [email protected]

Пленарные и обзорные доклады 7

p–pаскpаской, если pазность цветов конечного и начального инцидентоpов каждойдуги не меньше p. В частности, упомянутая выше задача оптимизации расписанияпередачи сообщений сводится к задаче 0–раскраски инциденторов. Задача p–рас-краски инциденторов возникает при рассмотрении двухуровневой сети, где каналысвязи верхнего уровня (соединяющие центральные ЭВМ) имеют высокие пропускныеспособности. Наименьшее число цветов, необходимое для p–раскраски инциденторовмультиграфа G, называется (инциденторным) p–хроматическим числом мультигра-фа G и обозначается через χ(p,G). Основным утверждением, касающимся p–раскрас-ки инциденторов, является

Теорема 1. Пусть G — ориентированный мультиграф. Тогда

χ(p,G) = max∆+(G),∆−(G)+ p (1)

При p = 0 формула (1) была получена в [10], при p = 1 — в [15], при произвольномp она была впервые доказана в [11]. Наиболее простое доказательство формулы (1)приведено в [5]. С помощью теоремы 1 легко доказывается содержащаяся в [8]

Теорема 2. Для любого неориентированного мультиграфа G справедливо равен-ство χ(p,G) = max∆(G), d∆(G)/2e+ p.

Таким образом, инциденторное p–хроматическое число точно выражается черездругие, легко обозримые характеристики мультиграфа. Любопытно отметить, чтоэта, не характерная для задач раскраски ситуация не изменится, если перейти к p–раскраске инциденторов взвешенных мультиграфов, т. е. мультиграфов, у которыхкаждой вершине v приписан вес w(v). Раскраску инциденторов такого взвешенногомультиграфа будем называть правильной, если для каждой вершины выполняетсяусловие: число одинаково окрашенных инциденторов, примыкающих к вершине, небольше веса вершины. Такая задача возникает в случае, когда шины сети имеютпроизвольные пропускные способности [11,17]. Минимальная p–раскраска инциден-торов взвешенного мультиграфа G = (V,E) сводится к минимальной p–раскраскеневзвешенного мультиграфа, который получится из G, если каждую вершину v ∈ Vзаменить на множество из w(v) попарно не смежных вершин, между которыми наибо-лее равномерным образом распределить дуги, инцидентные v. Поэтому минимальноечисло цветов, необходимое для p–раскраски инциденторов взвешенного ориентиро-ванного мультиграфа равно maxv∈V dd+(v)/w(v)e, dd−(v)/w(v)e+ p, а неориентиро-ванного мультиграфа — maxv∈V R(v), dR(v)/2e+ p, где R(v) = dd(v)/w(v)e.

В теории графов достаточно много работ посвящено раскраске в предписанныецвета [14]. В работе [2] изучается p–раскраска инциденторов ориентированных муль-тиграфов в предписанные цвета. Предположим, что каждой дуге e мультиграфа Gпредписано некоторое множество A(e) цветов, допустимых для раскраски инциденто-ров дуги e. Обозначим через χL(p,G) наименьшее натуральное число такое, что прилюбом предписании A, удовлетворяющем для любой дуги e мультиграфа G условию|A(e)| ≥ χL(p,G), существует p–раскраска всех инциденторов мультиграфа G в пред-писанные цвета. Ясно, что χ(p,G) ≤ χL(p,G), однако, как показано в [2], равенствоχL(p,G) = χ(p,G) выполняется не всегда. (Аналогичный вопрос, касающийся рас-краски ребер, является открытой проблемой [14]). В [2] также доказана

Теорема 3. ПустьG— ориентированный мультиграф степени ∆. Тогда χL(p,G) ≤2b(∆ + 1)/2c+ p.

Не решен вопрос, имеет ли место оценка χL(p,G) ≤ ∆+p? В [8] показано, что длянеориентированных мультиграфов это верно, хотя подробно раскраска инциденторов


в предписанные цвета в случае неориентированных мультиграфов не изучалась.В статьях [3, 8] изучалась тотальная раскраска мультиграфов. При тотальной

p–раскраске раскрашиваются и инциденторы, и вершины, причем инциденторы p–раскрашиваются, а цвет каждой вершины отличается как от цветов примыкающих кней инциденторов, так и от цветов смежных с ней вершин. Наименьшее число цветов,необходимое для тотальной p–раскраски мультиграфа G, обозначается через τ(p,G).Очевидно, что χ(p,G) ≤ τ(p,G). В отличие от изучавшейся в теории графов задачитотальной раскраски ребер и вершин [14], удалось получить верхние оценки тоталь-ного p–хроматического числа, мало отличающиеся от указанной нижней оценки.

Теорема 4. Пусть G — ориентированный мультиграф. Тогда τ(0, G) = χ(0, G) +1 = ∆(G) + 1, а при любом p ≥ 1 выполняется неравенство τ(p,G) ≤ χ(p,G) + 2.

Не решен вопрос: верно ли при любом p неравенство τ(p,G) ≤ χ(p,G) + 1?Теорема 5. ПустьG— неориентированный мультиграф. Тогда τ(p,G) ≤ χ(p,G)+

1 при любом p.В [3, 8] доказывается также, что как для ориентированного, так и для неориен-

тированного мультиграфа G при p ≥ 3b∆(G)/2c+ 1 имеет место равенство τ(p,G) =χ(p,G). Кроме того, в [8] устанавливается, что для неориентированного мультиграфаG при p ≤ b∆(G)/2c верно равенство τ(p,G) = χ(p,G) + 1 = ∆(G) + 1; приводятсятакже точные значения тотального p–хроматического числа для полных неориенти-рованных графов.

3. (p,q) – РАСКРАСКА ИНЦИДЕНТОРОВ

Правильная раскраска инциденторов мультиграфа G называется (p, q)–раскрас-кой, где p ≤ q, если разность цветов конечного и начального инциденторов каждойдуги лежит в интервале [p, q]. Упоминавшаяся ранее p–раскраска является частнымслучаем (p, q)–раскраски при q = ∞, а в случае p = q = 0 имеет место обычнаяправильная рёберная раскраска. Содержательный смысл ограничения сверху на раз-ность цветов заключается в том, что передаваемая информация не может храниться впамяти центральной ЭВМ больше заданного времени. Такое требование может бытьобосновано, например, ограничением памяти центральной ЭВМ [11,17]. Наименьшеечисло цветов, необходимое для (p, q)–раскраски инциденторов мультиграфа G, на-зывается (инциденторным) (p, q)–хроматическим числом мультиграфа G и обозна-чается через χ(p, q,G). В отличие от p–хроматического числа, для отыскания (p, q)–хроматического числа не найдено эффективного алгоритма. Приведем результаты,полученные при изучении (p, q)–хроматического числа. Легко видеть, что при любыхp и q таких, что 0 ≤ p ≤ q, справедливы неравенства χ(p,G) ≤ χ(p, q,G) ≤ χ(p, p,G).В работах [5,7] устанавливаются некоторые достаточные условия, при которых (p, q)–хроматическое число равно p–хроматическому. В [7] доказана

Теорема 6. ПустьG— ориентированный мультиграф. Тогда χ(0, 1, G) = χ(0, G) =∆(G).

В работе [5] доказанаТеорема 7. Пусть G — ориентированный мультиграф. Тогда при q ≥ ∆(G) − 1

справедливо равенство χ(p, q,G) = χ(p,G), причем при q ≤ ∆(G) − 2 равенствоχ(p, q,G) = χ(p,G) может не выполняться.

Обозначим через χp,q(∆) точную верхнюю оценку для (p, q)–хроматического числамультиграфов степени ∆, т. е. наименьшее число такое, что для любого мультигра-фа G степени ∆ выполняется неравенство χ(p, q,G) ≤ χp,q(∆). В силу теоремы 1


при любом ∆ существует мультиграф H степени ∆, для которого χ(p,H) = ∆ + p.Поэтому всегда χp,q(∆) ≥ ∆ + p. В работах [12, 13] доказана

Теорема 8. При q ≥ d∆/2e выполняется равенство χp,q(∆) = ∆ + p.В работе [13] показано также, что χ1,1(2t + 1) ≥ 2t + 3. Пока это единственный

известный пример, подтверждающий, что равенство χp,q(∆) = ∆ + p не всегда вы-полняется. В целом, исследования (p, q)–хроматического числа нельзя считать ис-черпывающими. Не решен, например, такой вопрос. Пусть p ≥ 1. Существует литакая функция f(p) ≥ p, что для любого ∆ при q ≥ f(p) выполняется равенствоχp,q(∆) = ∆ + p? (В силу равенства χ(0, G) = ∆(G) имеем, что f(0) = 1). Следуеттакже отметить, что (p, q)–хроматические числа неориентированных мультиграфоввообще не изучались.

Имеет смысл упомянуть также о неоднородной или смешанной раскраске ин-циденторов. В работе [15] рассматривался вопрос о минимальной раскраске инци-денторов ориентированного мультиграфа G при условии, что некоторые дуги 1–раскрашиваются, а другие — (0, 0)–раскрашиваются. Пусть χ′(G) — наименьшеечисло цветов, необходимых для правильной раскраски всех ребер мультиграфа G.Доказывается, что для раскраски указанным образом всех дуг мультиграфа G до-статочно χ′(G)+1 цветов. Высказывается гипотеза, что наименьшее число цветов небольше maxχ′(G),∆(G)+1. Справедливость этой гипотезы при ∆(G) ≤ 3 доказанав [16].

4. ИНТЕРВАЛЬНАЯ РАСКРАСКА ИНЦИДЕНТОРОВ

Правильная раскраска инциденторов называется интервальной, если цвета ин-циденторов, примыкающих к каждой вершине мультиграфа, образуют интервал.Наименьшее число цветов, необходимое для интервальной p-раскраски инциденто-ров мультиграфа G, (если такая раскраска существует), обозначается через γ(p,G).Очевидно, что γ(p,G) ≥ χ(p,G) ≥ ∆(G). Интервальная раскраска имеет следующуюприкладную интерпретацию. Предположим, что за простои компьютеров коммуни-кационной сети приходится платить штраф и решается двухкритериальная оптими-зационная задача, в которой в первую очередь нужно минимизировать суммарныйштраф за простои компьютеров, а после этого минимизировать общее время для пе-редачи всех сообщений. В тех случаях, когда существует интервальная p-раскраскавсех инциденторов, удается вообще избежать штрафа. Идея рёберной интервальнойраскраски возникла в [1]. Интервальной раскраске инциденторов посвящены две ра-боты [4,6]. В [4] рассматривался случай ориентированных мультиграфов. При p ≥ 2интервальная p-раскраска всех инциденторов ориентированного мультиграфа можетне существовать (например, она не существует для мультиграфа, являющегося про-стым контуром). Однако для бесконтурного мультиграфа G интервальная p-раскрас-ка существует всегда, причем γ(p,G) ≤ ∆+(G) + ∆−(G) + l(p − 1), где l — длинамаксимального пути в мультиграфе G. При p ≤ 1 интервальная p–раскраска инци-денторов ориентированного мультиграфа существует всегда. При p = 1 имеет местонеравенство γ(1, G) ≤ ∆+(G) + ∆−(G). Более подробно в [4] изучалась интерваль-ная 0–раскраска инциденторов. Оказалось, что при ∆(G) ≤ 4 имеет место равенствоγ(0, G) = ∆(G). Далее, обозначим через Γ(0,∆) = maxγ(0, G) | ∆(G) = ∆. Доказа-но, что при ∆ ≥ 5 имеют место неравенства

2∆− d2∆1/2e ≤ Γ(0,∆) ≤ 2∆− 4 (2)


Остается открытой проблема уменьшения разности между верхней и нижней гра-ницах в (2). Не известно, например, верно ли равенство Γ(0,∆) = ∆ при 5 ≤ ∆ ≤7. Работа [6] посвящена интервальной p-раскраске неориентированных мультигра-фов. Показано, что интервальная p-раскраска всех инциденторов неориентированно-го мультиграфа существует при любом p, причем при p ≤ 1 и ∆(G) ≥ 2 выполняетсяравенство γ(p,G) = ∆(G). При ∆(G) ≥ 2 и p ≥ 2 имеет место следующая неулуч-шаемая нижняя оценка γ(p,G) ≥ max∆(G),min2p,∆(G) + p. При p ≥ 2,∆ ≥ 2обозначим через Γ(p,∆) = maxγ(p,G) | ∆(G) = ∆. В [6] устанавливаются две верх-ние оценки: Γ(p,∆) ≤ 2∆ + p(p − 1)/2 и Γ(p,∆) ≤ max∆, p2 + p. Вторая оценкапоказывает, что неравенство Γ(p,∆) > ∆ при фиксированном p может иметь местотолько при конечном множестве значений ∆, а именно, при ∆ ≤ p2 + p − 1. Случайp = 2 исследован полностью. Показано, что Γ(2, 2) = 5, а при ∆ ≥ 3 выполняетсяравенство Γ(2,∆) = max∆, 6.

5. ОБОБЩЁННАЯ РАСКРАСКА ИНЦИДЕНТОРОВ

В случае двухуровневой сети с ограниченной пропускной способностью каналовсвязи верхнего уровня, задача выходит за рамки модели инциденторной раскраски.Случай сети с двумя центральными ЭВМ, соединёнными шиной пропускной способ-ности 1 был рассмотрен в [9]. Эта задача сводится к следующей задаче обобщённойраскраски инциденторов ориентированного мультиграфа G = (V,E). Пусть в G вы-делено подмножество дуг E0 ⊂ E мощности k. Для дуг из E0 будем красить не толькоинциденторы, но и средние части этих дуг. Требуется найти такую 0–раскраску инци-денторов G и средних частей дуг из E0, при которой цвета средних частей различныи цвет средней части каждой дуги лежит между цветами её начального и конечногоинциденторов. Обозначим наименьшее число цветов в такой раскраске через χI(G).Ясно, что χI(G) ≥ max∆(G), k. Однако в [9] показано, что при k ≤ ∆ равенстваможет не быть. Однако при k > ∆ равенство имеет место, как показывает следующая

Теорема 9. Пусть G — ориентированный мультиграф степени ∆ с |E0| = k. ТогдаχI(G) ≤ maxk,∆ + 1.

Работа второго автора поддержана грантом СО РАН для поддержки молодыхученых и грантами РФФИ 02-01-00039 и 02-01-00977.

ЛИТЕРАТУРА

1. Асратян А. С., Камалян Р. Р. Интервальные раскраски ребер мультиграфа // При-кладная математика. Вып. 5. Ереван: Изд-во Ереван. Ун-та, 1987. С. 25–34.

2. Визинг В. Г. Раскраска инциденторов мультиграфа в предписанные цвета // Дис-крет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2000. Т. 7, 1. С. 32–39.

3. Визинг В. Г. Раскраска инциденторов и вершин ориентированного мультиграфа// Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2000. Т. 7, 3. С. 6–16.

4. Визинг В. Г. Интервальная раскраска инциденторов ориентированного мульти-графа // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2001. Т. 8, 2. С. 40–51.

5. Визинг В. Г. Двудольная интерпретация ориентированного мультиграфа // Дис-крет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2002. Т. 9, 1. С. 27–41.

6. Визинг В. Г. Интервальная раскраска инциденторов неориентированного муль-тиграфа // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2003. Т. 10, 1. С. 14–40.


7. Визинг В. Г., Мельников Л. С., Пяткин А. В. О (k, l)–раскраске инциденторов //Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2000. Т. 7, 4. С. 29–37.

8. Визинг В. Г., Тофт Б. Раскраска инциденторов и вершин неориентированногомультиграфа // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2001. Т. 8, 3. С. 3–14.

9. Плеханова Н. С., Пяткин А. В. Передача сообщений в локальной сети с двумяцентральными ЭВМ // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2002. Т. 9, 2.С. 91–99.

10. Пяткин А. В. Некоторые задачи оптимизации расписания передачи сообщений влокальной сети связи // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 1995. Т. 2, 4.С. 74–79.

11. Пяткин А. В. Задачи раскраски инциденторов и их приложения: Дис. канд. Физ.-мат. наук. Новосибирск, 1999.

12. Пяткин А. В. Некоторые верхние оценки для инциденторного (k, l)–хроматичес-кого числа // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2003. Т. 10, 2. С. 66-78.

13. Пяткин А. В. Верхние и нижние оценки для инциденторного (k, l)–хроматичес-кого числа // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2004. Т. 11, 1. С. 93–102.

14. Jensen T. R., Toft B. Graph coloring problems. New York: John Wiley & Sons, 1995.

15. Melnikov L. S., Vizing V.G. The edge-chromatic number of a directed / mixed multi-graph // J. Graph Theory. 1999. V. 23, N 4. P. 267–273.

16. Pyatkin A. V. Proof of Melnikov - Vizing conjecture for multigraphs with maximumdegree at most 3 // Discrete Mathematics. 1998. N 185. P. 275–278.

17. Pyatkin A. V. The incidentor coloring of multigraphs and its applications // DiscreteAppl. Math. 2002. V. 120. P. 209–217.


АЛГОРИТМЫ С ОЦЕНКАМИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХЗАДАЧ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Э. Х. Гимади

Аннотация

Приводится обзор некоторых результатов по задачам дискретной оптимиза-ции, которые в общем случае являются NP-трудными. Выделяются подклассыэтих задач, для которых удается построить полиномиальные (в некоторых слу-чаях, псевдополиномиальные) алгоритмы с априорно доказуемыми оценкамикачества решения. Алгоритмы для решения задач на детерминированных вхо-дах характеризуются оценкой временной сложности и оценкой точности (либоотносительной погрешности) решения. Для задач на случайных входах (в до-полнение к указанным оценкам) добавляется еще оценка вероятности события,что результатом работы алгоритма будет решение, удовлетворяющее указаннымвыше оценкам временной сложности и точности решения.

1 Введение

В данной статье рассматриваются некоторые дискретные оптимизационные задачи,для которых в общем случае не удается построить точные алгоритмы полиномиаль-ной сложности (в рамках предположения, что классы P и NP не совпадают). Вы-деляются подклассы этих задач, для которых удается построить полиномиальные(в некоторых случаях, псевдополиномиальные) алгоритмы с априорно доказуемымиоценками качества решения. Для алгоритмов решения задач на детерминированныхвходах стандартно используются оценки временной сложности и оценки точности(либо относительной погрешности) решения. В случае недетеминированных входов(в дополнение к указанным оценкам) добавляется еще оценка вероятности события,что результатом работы алгоритма будет решение, удовлетворяющее указанным вы-ше оценкам временной сложности и точности решения.

Приведенные ниже результаты в основном получены в последние полтора-двагода участниками РФФИ (проект 02-01-01153) и ИНТАС (проект 00-217).

2 Задачи размещения

2.1 Задача размещения в сетевой постановке с ограничени-

ями на объемы производства и пропускные способности

коммуникаций

В задаче размещения на сети предполагается, что затраты на транспортировку еди-ницы продукции от одного конца ребра до другого конца равна длине (весу) этого

Гимади Эдуард Хайрутдинович,Институт математики им. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел.: (8-383-2) 33-21-89, факс: (8-383-2) 33-25-98, e-mail: [email protected]


ребра. Для каждой вершины сети задан объем спроса продукта, затраты на откры-тие предприятия в этой вершине и ограничение сверху на объем производства про-дукта в случае, если предприятие открыто. Для каждого ребра сети указана егопропускная способность. Требуется найти множество открытых предприятий и плантранспортировки продукта от этих предприятий в пункты спроса, чтобы полностьюудовлетворить спрос и минимизировать суммарные затраты на открытие предпри-ятий и транспортные затраты на доставку продукта в пункты спроса. Задача яв-ляется обобщением классической задачи размещения с неограниченными объема-ми производства и пропускными способностями коммуникаций, которая NP-трудна.Для последней известны полиномиальные точные алгоритмы для сети в форме де-рева. Впервые алгоритм временной сложности O(mn) (m—число возможных мест(вершин) размещения предприятий, n—число пунктов спроса) был предложен авто-ром (1984 г.). Для задачи с учетом пропускных способностей коммуникаций ВознюкИ.П. (1999 г.) предложил псевдополиномиальный алгоритм трудоемкостью O(nB2),где B—суммарный объем спроса. В настоящее время в случае древесной сети пред-лагается точный алгоритм такой же временной сложности для решения задачи, вкоторой заданы как ограничения как на объемы производства предприятий так и напропускные способности коммуникаций (Гимади Э.Х., Дзюба А.С., 2004 г.).

Ранее для общей задачи размещения с ограниченными объемами производствабыло проведено обоснование некоторых условий асимптотической точности полино-миального приближенного алгоритма при случайных входных данных с равномернойфункцией распределения (Вознюк И.П., Гимади Э.Х., Филатов М.Ю., 2001 г.).

2.2 Метрическая многоуровневая задача размещения

Метрическая многоуровневая задача размещения обобщает обычную классическуюметрическую задачу размещения. В этой задаче каждое предприятие принадлежитк одному из k уровней и каждой точке спроса требуется назначить обслуживаю-щий путь, проходящий последовательно через открытые (размещенные) предпри-ятия всех уровней, начиная с первого и кончая последним. Минимизируется сум-марная стоимость обслуживания, представляющая собой сумму стоимости открытияпредприятий и стоимости обслуживания, равную сумме длин обслуживающих путей;при этом предполагается, что расстояния между пунктами удовлетворяют неравен-ству треугольника (порождаются некоторой метрикой на множестве всех пунктов).Модель включает в себя в качестве частного случая задачу многоуровневого разме-щения на сетях и может быть сформулирована как задача об оптимальном покрытиипутями точек спроса.

Рекордная на настоящий момент оценка точности 3 получена Aardal, Chudak,Shmoys (1999 г.) алгоритмом, который основан на округлении оптимального решениялинейной релаксации с экспоненциальным числом переменных. Полиномиальностьэтого алгоритма достигается применением метода эллипсоидов. Это побудило иссле-дователей к поиску простых комбинаторных алгоритмов с константными оценкамиточности.

Агеевым А.А. (2003 г.) установлено, что с помощью комбинаторного алгоритмарешения обычной метрической задачи размещения с оценкой точности 1.52 (Mahdian,Ye, Zhang, 2002 г.) строится комбинаторный алгоритм с оценкой точности 4.56 дляметрической многоуровневой задачи размещения.


3 Задачи коммивояжера

3.1 Евклидова задача коммивояжера

Для задачи коммивояжера на максимум в евклидовом пространстве представлен ал-горитм, являющийся асимптотически точным и обладающий более высокими оцен-ками точности, чем известный алгоритм Сердюкова (1987 г.) на широком подклассеисходной задачи (Бабурин А.Е., Гимади Э.Х., 2002 г.).

3.2 Задача отыскания остовного связного подграфа максималь-

ного веса с заданными степенями вершин

Пусть G(V,E) – полный n-вершинный неориентированный граф без петель с неот-рицательной весовой функцией w ребер. Заданы числа d1, d2, ..., dn, представляющиеграфическое множество степеней графа G, 1 < di < n − 1, i = 1, 2, . . . , n. Требуетсянайти суграф G′(V,E ′) графа G, удовлетворяющий следующим трем условиям: 1. G′

– связен; 2. степени всех вершин в G′ равны d; 3.∑

v∈V w(v)→ max. Задача являетсяобобщением известной задачи коммивояжера на максимум.

Представлены приближенные алгоритмы решения некоторых классов задачи с де-терминированными и случайными входами. В общем случае задача решается за вре-мяO(n3) с относительной погрешностью не более 2/(d2+d), где d = mind1, d2, . . . , dn.В метрическом случае достигается в 2 раза меньшая относительная погрешность.Еще меньшая погрешность достигается в случае эвклидовых расстояний.

Ранее Сердюковым и одним из авторов был представлен приближенный алгоритмрешения задачи со случайными входами, когда веса ребер графа являются случай-ными независимыми равномерно распределенными (в некотором числовом сегменте)величинами с одинаковой функцией распределения. Были получены некоторые усло-вия асимптотической точности этого алгоритма, имеющего временную сложностьO(n2).

В данном докладе для решения задачи предлагается новый приближенный ал-горитм с той же временной сложностью, но лучшими оценками качества решениячем ранее известные. Алгоритм использует декомпозицию задачи на ряд подзадачменьшей размерности, каждая из которых решается с использованием жадной эври-стики. С вероятностью большей (1− 1/n) относительная погрешность алгоритма не

превышает величины O( ln(n/d)

n/d

). Таким образом, при d = o(n) алгоритм является

асимптотически точным. Аналогичные условия получены и в случае функции рас-пределения весов ребер графа, минорирующей сответствующую (нормализованную)функцию равномерного распределения (Бабурин А.Е., Гимади Э.Х., 2004 г.).

3.3 Метрическая задача отыскания двух реберно непересека-

ющихся гамильтоновых циклов минимального суммарно-

го веса

Бабуриным А.Е., Гимади Э.Х. и Коркишко Н.М. (2003 г.) исследована метрическаязадача отыскания двух реберно непересекающихся гамильтоновых циклов минималь-ного суммарного веса в полном неориентированном взвешенном графе, в котором


выполняется неравенство треугольника.Рассматриваемая задача возникает, например, при планировании одновременной

работы двух роботов, обрабатывающих n деталей на плате. Каждый из роботов со-вершает замкнутый обход всех деталей. В интересах технологической безопасностипрохождение роботов по одному и тому же ребру запрещается. При этом требуетсяминимизировать суммарное время, затрачиваемое роботами на обработку деталей.

Показано, что задача NP -трудна в сильном смысле. Для решения задачи по-строены приближенные алгоритмы с временной сложностью O(n3) и с гарантиро-ванными оценками точности, асимптотически (с ростом n) равными 9/4 (в случаеодной весовой функции) и 12/5 (в случае двух весовых функций). Получение оце-нок существенно опирается на классический результат Кристофидеса и Сердюкова,предложивших (независимо друг от друга) приближенный алгоритм построения га-мильтонова цикла в полном графе с расстояниями, удовлетворяющими неравенствутреугольника. Этот алгоритм находит решение с гарантированной оценкой точности3/2 за время O(n3), определяемое сложностью отыскания совершенного паросочета-ния минимального веса. При построении первого алгоритма (в случае одной весовойфункции) авторы использовали технику склеивания циклов 2-фактора в гамильто-нов цикл, примененную ранее Сердюковым и Косточкой (1985 г.).

3.4 Задача отыскания двух реберно непересекающихся гамиль-

тоновых циклов максимального суммарного веса

Агеевым А.А., Бабуриным А.Е., Гимади Э.Х. и Коркишко Н.М. (2003 г.) предложенприближенный алгоритм решения с временной сложностью O(n3) и с гарантирован-ной оценкой точности 3/4. Отправная идея построения алгоритма навеяна работойСердюкова А.И. (1984), в которой представлен приближенный алгоритм АС для на-хождения гамильтонова цикла в полном неориентированном взвешенном графе стеми же оценками временной сложности и точности алгоритма. Идея алгоритма АСсостоит в следующем. Сначала в графе строятся два подграфа — два-фактор и па-росочетание (каждый максимального веса). Очевидно, их суммарный вес не менее,чем 3/2 от веса гамильтонова цикла максимального веса. Ребра построенных подгра-фов распределяются по двум частичным турам, дополняемым далее до гамильтоно-вых циклов посредством остальных ребер. За решение принимается тот гамильтоновцикл, вес которого больше. Это решение имеет константную оценку точности, рав-ную 3/4. Однако прямое применение алгоритма АС к задаче, рассматриваемой вданной статье, оказывается неприемлемым, поскольку уже сами частичные туры поалгоритму АС могут содержать пересекающиеся ребра.

4 Многоиндексные задачи о назначениях

Предложен полиномиальный алгоритм для решения трехиндексной аксиальной за-дачи о назначениях, которая заключается в выборе в трехмерной матрице порядка nтаких n элементов, что при каждом фиксированном значении одного из индексов вполученном сечении содержится ровно один элемент и сумма выбранных элементовминимальна. Приведены условия, при которых этот алгоритм позволяет находить


асимптотически точные решения задач на случайно задаваемых входах. Аналогич-ные результаты получены и для многоиндексной версии задачи.

Проведено исследование k-слойной планарной задачи о назначениях, которая за-ключается в выборе в трехмерной матрице размера n×n×k, таких nk элементов, чтопри фиксированном значении третьего индекса полученная подматрица размера n×nсодержит ровно по одному элементу в каждой строке и каждом столбце и сумма вы-бранных во всей матрице элементов минимальна. Известно, что задача NP-труднапри k ≥ 2. При k < n/2 построен приближенный алгоритм временной сложностиO(mn2 +m7/5), который при k ≤ lnn позволяет находить решение, асимптотическисовпадающее с оптимальным.

Аналогичные результаты были получены для модификаций аксиальных и пла-нарных задач, связанных с дополнительным требованием одноцикличности однойили нескольких подстановок, определяющих решение задачи.

Отметим, что в случае максимизационных вариантов задач условия асимптоти-ческой точности оказались намного проще (Гимади Э.Х., Коркишко Н.М., 2003 г.).

5 Задачи теории расписаний

5.1 Календарное планирование при ограниченных ресурсах

складируемого типа

Показана полиномиальная разрешимость задачи календарного планирования с огра-ниченными ресурсами и директивными сроками, когда выделяемые ресурсы склади-руемого типа и имеют произвольный знак, а длительности работ положительныецелые числа. В случае, когда произвольный знак имеют требуемые ресурсы, задачастановится NP-трудной (Гимади Э.Х., Севастьянов С.В., 2003 г.).

5.2 Календарное планирование при наличии контуров в сети

Рассмотрена задача календарного планирования на минимум произвольной неубыва-ющей функции от моментов завершения работ и с ограничениями предшествования,заданными ориентированным графом G (типа работы-вершины) с n вершинами, mвзвешенными дугами и допускающим наличие контуров. В случае, когда ограни-чения на потребляемые ресурсы отсутствуют, построен алгоритм точного решения,имеющий трудоемкость O(nm) (Севастьянов С.В., 2003 г.).

5.3 Построение расписаний с прерываниями

Для достаточно общей задачи на построение расписаний с прерываниями Севастья-новым С.В. (2002-2003 г.г.) получен ряд теоретических результатов:а) при условии существования оптимального расписания доказано существованиетакого расписания с конечным (и полиномиальным от длины записи входной инфор-мации) числом прерываний;б) для задачи с произвольным регулярным критерием доказано существование опти-мального расписания при условии, что множество допустимых расписаний непусто;в) для задачи с сепарабельным критерием типа суммы или максимума неубывающих


кусочно линейных функций от моментов завершения выделенных множеств опера-ций доказана теорема о рациональной структуре оптимального решения: доказаносуществование дробной единицы времени, в терминах которой все изменения в рас-писании происходят в моменты, кратные выбранной единице; при этом размер записидробной единицы не превосходит полинома от длины записи исходных данных, чтообеспечивает принадлежность данной задачи классу NP.

5.4 Двухстадийные задачи построения расписаний с жестки-

ми задержками

Изучались двухстадийные задачи построения расписаний с жесткими задержками.Задачи построения расписаний с жесткими задержками принадлежат к наиболеетруднорешаемым с алгоритмической точки зрения. В первой из рассматриваемыхзадач одна машина выполняет все операции заданного множества работ. Вторая за-дача принадлежит к типу flow shop: имеются две машины, причем первая машинавыполняет все первые операции, вторая машина — все вторые операции заданногомножества работ. В обеих задачах вторая операция начинает выполняться по истече-нии заданного (зависящего от работы) промежутка времени после окончания первойоперации, (т. е. имеет место жесткая задержка). Обе задачи NP-трудны в сильномсмысле даже в случае единичных длительностей работ (доказано Yu в 1996 г.) и вэтом случае легко переформулируются как задачи разбиения на графах. Для слу-чая единичных длительностей для первой задачи нами построен алгоритм с оценкойточности 7/4, для второй задачи построен алгоритм с оценкой точности 3/2. Уста-новлено также, что оценка точности первого алгоритма неулучшаема. Отметим, чтоэто первые нетривиальные алгоритмические результаты для данного класса задач.(Агеев А.А., Бабурин А.Е., 2003 г.)

6 О разрешимости оптимизационных задач алгорит-

мами типа покоординатного подъема

Шенмайером В.В. получены оценки точности быстрого эвристического алгоритматипа покоординатного подъема для задачи о кратчайшем пути с входными данны-ми, удовлетворяющими условию симметричности. Условие симметричности выража-ет "равноправность", "изотропность"всех допустимых решений относительно другдруга. Данному условию удовлетворяет широкий класс индивидуальных задач, вчастности, задачи, являющиеся представлением в виде задачи о кратчайшем путимногих других известных задач дискретной оптимизации (Коммивояжер, Изомор-физм подграфу, Разбиение на треугольники и др.)

Исследуемый жадный алгоритм является одним из самых распространенных ал-горитмов, используемых для получения быстрых "разумных"допустимых решений.Однако известно немного классов задач, на которых алгоритм имеет хорошие га-рантированные оценки погрешности. Во многом это обусловлено отсутствием на се-годняшний день эффективных техник для оценивания точности алгоритма. Пред-лагается исследовать поведение алгоритма в условиях симметричного входа задачи.Проведен анализ жадного алгоритма в худшем случае, а именно найдены формулы


для оценок погрешности в терминах заданного симметричного графа для задач наминимум и на максимум.

7 О полиномильной разрешимости одной задачи сум-

мирования векторов на максимум

Бабуриным А.Е. (2003 г.) исследовалась задача суммирования векторов из некото-рого векторного нормированного пространства V на максимум. В качестве базовойвзята задача максимально неравномерного разбиения заданного множества k-мерныхвекторов на два подмножества : для заданных n векторов v1, . . . , vn ∈ Rk, требуетсямаксимизировать функцию ||S(x)||∗, где S(x) =

∑ni=1 vixi, xi ∈ −1, 1, i = 1, . . . , n,

||.||∗ — одна из стандартных норм пространства Rk,Построены полиномиальные алгоритмы решения задачи в случае, когда про-

странство V совпадает с Rk с первой (L1) или L∞ нормой. Предложен алгорит-мический подход для отыскания точного решения задачи в евклидовом k-мерномпространстве V произвольной размерности k. Показана ее полиномиальная разре-шимость в евклидовых пространствах R2 и R3.

Анализ задачи основан на рассмотрении другой задачи — выбора подмножествазаданного множества k-мерных векторов, обладающего максимумом нормы суммывекторов этого подмножества. Данная модель может быть применена к решению за-дач выбора оптимального (максимизирующего прибыль) производства на предпри-ятии, когда некоторые характеристики выбираемых компонент могут иметь отри-цательный знак (затраты на ресурсы). Тогда каждая компонента может быть пред-ставлена вектором, где ее характеристики – координаты вектора. При суммированиивекторов (одновременном выборе ряда компонент производства) соответствующиекоординаты складываются (как и соответствующие им характеристики компонент).Роль целевой функции (метрики в пространстве векторов) играет оценка эффектив-ности производства.

Данная работа была выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ (про-ект 02-01-01153) и ИНТАС (проект 00-217).


МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ СТРУКТУРЫСПЕЦИАЛЬНЫХ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В. Т. Дементьев, А. И. Ерзин

Одним из направлений исследования ”больших” систем является рассмотрение ихкак многоуровневых систем с иерархической структурой. Иерархический принциппостроения имеют различные организационные структуры, базы данных, сети пере-дачи данных, системы мониторинга и принятия решений, системы связи, снабжения,управления и оповещения, системы параллельных вычислений и многие другие.

Вопросами оптимизации иерархических систем в той или иной степени занима-лись такие ученые как Ю. Б. Гермейер, Г. П. Захаров, М. Месарович, Н. Н. Моисеев,Т. Л. Саати, L. P. Jennergren, F. Murtagh, P. Willett и др. В данной работе при-водятся результаты авторов, полученные при исследовании иерархических системразличного назначения. В обобщенном виде они сводятся к следующему:

• Осуществлена классификация иерархических систем.

• Построены и исследованы модели оптимизации структуры и состава иерархи-ческих систем различных классов.

• Исследованы задачи дискретной оптимизации, лежащие в основе разработан-ных моделей. Предложены точные, асимптотически точные и приближенныеалгоритмы их решения. Осуществлен априорный и апостериорный анализ ка-чества предложенных методов. Выделены эффективно разрешимые классы за-дач, определены условия эффективного построения субоптимальных решений,а также найдены апостериорные оценки точности алгоритмов.

• Осуществлена практическая реализация разработанных моделей и методов всистемах различного назначения.

Теперь отметим некоторые из конкретных результатов.В работе [1] были построены и исследованы модели оптимизации структуры од-

нородных, неоднородных и древовидных иерархических систем. Здесь рассмотренатак называемая базовая модель, заключающаяся в синтезе минимальной по стои-мости структуры управления над заданным множеством V0 однородных элементовнулевого уровня. Каждый элемент связывается с одним из элементов первого уров-ня управления. В свою очередь, элементы первого уровня (которые также считаютсяоднородными) связываются с элементами второго уровня и т. д. Элементы (l − 1)-го уровня связываются с единственным элементом l-го уровня. Количество уровнейуправления l ≤ L и количество элементов (k− 1)-го уровня, связанных с i-м элемен-том k-го уровня, являются искомыми величинами.

Дементьев Владимир Тихонович, Ерзин Адиль Ильясович,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия;тел.: (8-383-2) 33-37-88, fax: (8-383-2) 33-25-98,e-mail: [email protected], [email protected]


Затраты на создание (содержание) i-го элемента (пункта) k-го уровня и затратына связи с ним xki элементов (k− 1)-го уровня задаются неотрицательными функци-ми fk(xki), зависящими лишь от количества присоединенных к пункту i элементовуровня k − 1. Если обозначить через nk количество элементов k-го уровня иерархии(k = 1, . . . , l;n = n0 = |V0|), то математическая модель запишется в виде:

l∑

k=1

nk∑

i=1

fk(xki) −→ minxki,nk

; (1)

nk∑

i=1

xki = nk−1, k = 1, . . . , l; (2)

1 = nl < nl−1 < . . . < n1 < n0 = n; l ≤ L; (3)

l, xki, nk ∈ Z+. (4)

Для задачи (1)–(4) предложен полиномиальный алгоритм построения оптималь-ного решения, использующий декомпозицию задачи и метод динамического програм-мирования и имеющий трудоемкость O(Ln3) и память O(Ln2) (полиномиальностьследует из очевидного неравенства L < n). Рассмотрены частные случаи функцийзатрат, когда удается уменьшить трудоемкость решения базовой задачи. Найденыусловия, при которых оптимальная структура является равномерной. В одном изчастных случаев дается аналитическое решение задачи.

Рассмотрены также модели, которые являются обобщениями базовой модели.Они позволяют учесть надежность и время передачи информации по иерархическойструктуре, а также возможность назначения исполнителей на работы и созданиеиерархической структуры управления над множеством исполнителей. Для постав-ленных задач предложены эффективные методы решения.

Были рассмотрены модели определения оптимальной структуры и состава неод-нородных многоуровневых иерархических систем с учетом потоков между элемен-тами системы, которые определяются составом пунктов. Эти модели могут быть ис-пользованы при оптимизации структуры и состава метрологической службы, систе-мы мониторинга и управления, многокаскадной (многоуровневой) системы снабже-ния и др.

Рассмотренная в [1] модель является обобщением NP-трудной задачи многоуров-невого размещения. Предложен приближенный алгоритм, основанный на линейнойрелаксации и решении двойственной задачи с последующим локальным улучшени-ем решения. Для построения точного решения задачи используется метод ветвей играниц, в котором нижние границы и рекорд находятся с полиномиальной трудоем-костью, равной O(LN2), где N – общее число пунктов.

В [1] помещена также модель построения оптимального остовного дерева с учетомзатрат как на создание ребер, так и на передачу потока между терминалами и цен-тром. Пусть G = (V,E) – связный неориентированный граф с множеством вершинV = 0, 1, . . . , n и множеством ребер E. Через F обозначим множество подграфов-деревьев T графа G, связывающих вершины V , а через Pk(T ) – цепь, соединяющуювершины k и 0 в дереве T . Произвольному ребру графа (i, j) ∈ E поставим в со-ответствие неотрицательные числа: ”вес” aij и ”длину” bij. Каждой вершине k 6= 0сопоставим ”удельный вес” dk > 0, т. е. вес, приходящийся на единицу длины любой


цепи, выходящей из вершины k. Величину dk можно представить как объем данных,которые циркулируют между вершинами k и 0. Задача заключается в поиске деревас минимальным суммарным весом:

∑

(i,j)∈T

aij +n∑

k=1

dk

∑

(i,j)∈Pk(T )

bij −→ minT∈F

. (5)

Эта модель имеет богатую область приложений, и рассматривалась рядом оте-чественных и зарубежных авторов, среди которых Э. А. Ахпателов, А. В. Злотов,В. А. Клетин, В. Н. Лившиц, Д. Т. Лотарев, В. А. Трубин, F. Maffioli. В. К. Попко-вым и С. Б. Каулем, а также независимо M. Dell’Amico и F. Maffioli, была доказанаNP-трудность задачи (5). Значительная доля публикаций посвящена реализациямметода ветвей и границ, разработке эвристических приближенных алгоритмов и ихапостериорному анализу. Для модели на минимум затрат авторами были предложе-ны новые приближенные алгоритмы, найдены априорные оценки их относительнойпогрешности, исследовано асимптотическое поведение решений при различных до-полнительных условиях, а также выделены частные случаи, когда оптимум строитсяэффективно. Для задачи на максимум затрат, которая также NP-трудна, построе-ны приближенные алгоритмы с оценками погрешности для наихудшего случая и ”всреднем”.

Позже был опубликован ряд статей [2, 3, 6], в которых исследовались задачи опти-мизации структуры и состава систем, имеющих применение в различных техническихприложениях. Среди рассмотренных моделей – задачи маршрутизации на различныхвзвешенных графах, которые можно охарактеризовать как задачи построения опти-мальных связывающих корневых деревьев с дополнительными ограничениями.

Исследовались NP-трудные проблемы построения коммуникационных деревьевс дополнительными ограничениями, среди которых, в частности, 1) построение оп-тимального остовного дерева ограниченного радиуса; 2) построение оптимальногодерева Штейнера на графе с ограниченными длинами путей и ограниченным коли-чеством точек Штейнера; 3) построение оптимального прямоугольного дерева Штей-нера с путями одинаковой длины.

Первая из перечисленных выше задач заключается в следующем. Задан полныйнеориентированный граф G = (V,E), V = 0, 1, . . . , n, с неотрицательными весамиребер aij . Пусть, как и прежде, через F = F (G) обозначено множество остовныхдеревьев графа G. Требуется построить дерево, являющееся решением задачи:

∑

(i,j)∈T

aij −→ minT∈F

(max); (6)

|Pk(T )| ≤ R, k = 1, . . . , n, (7)

где R – заданное положительное целое число, а через |Pk(T )| обозначено количестворебер в цепи Pk(T ). Эта задача рассмотрена в двух постановках: на максимум и наминимум веса искомого дерева. Показана их полиномиальная эквивалентность. Дляпроблемы построения максимального остовного дерева впервые предложен полино-миальный (квадратичный) алгоритм, строящий приближенное решение с гаранти-рованной относительной погрешностью


max

3

5,R + 3

R + 7,R− 1

R + 1

.

Позже А. И. Сердюковым [5] для задачи (6)–(7) на максимум был предложеналгоритм с оценкой (R− 1)/R.

Для модели построения минимального остовного дерева ограниченного радиу-са предложены приближенные полиномиальные алгоритмы с априорными оценкамиточности, зависящими от числовых параметров задачи. Рассмотрены частные слу-чаи.

Задача 2) состоит в следующем. Пусть задан граф G = (V,E), V = 0, 1, . . . , n,в котором вершина 0 – центр (корень или источник). Для каждого терминала k ∈V ′ ⊆ V задана максимально допустимая длина пути dk > 0 из него в центр. Длякаждого ребра (i, j) ∈ E заданы целые неотрицательные числа: ”вес” cij и ”длина” dij.Требуется построить такое прямоугольное минимальное дерево Штейнера T , котороесвязывает вершины V ′ ∪ 0, и в котором:

– для каждого терминала k ∈ V ′ длина пути из центра 0 не превосходит заданнойвеличины dk.

– количество точек Штейнера S(T ) не превышает заданного числа B.Математическая модель задачи записана ниже.

∑

(i,j)∈T

cij −→ minT∈F

; (8)

∑

(i,j)∈Pk(T )

dij ≤ dk, k ∈ V ′; (9)

S(T ) ≤ B. (10)

Здесь F – множество деревьев Штейнера для множества V ′ ∪ 0. Задача (8)–(10)имеет применение в различных приложениях, в частности при проектировании ин-тегральных схем и коммуникационных сетей, и рассматривалась в различных поста-новках рядом авторов. Среди них E. G. Friedman, A. Kahng, Y. Kajitani, M. Pedram, I.Pyo, M. Sarrafzadeh, A. Takahashi, M. Tellez и др., ссылки на работы которых можнонайти в [6]. Большинство авторов использовали эвристические подходы с последу-ющим апостериорным анализом качества строящегося решения. При этом приме-нялись процедуры локального улучшения первоначально построенного решения. Кточным методам следует отнести метод ветвей и границ, который, правда, можетбыть применен лишь для задач малой размерности. Поэтому в апостериорном ана-лизе упомянутые авторы в основном сравнивали свои алгоритмы с ранее известнымиподходами.

Авторами был предложен [6] полиномиальный параметрический метод построе-ния допустимого решения, качество которого зависит от величины одного параметра.С помощью численного эксперимента удалось выбрать конечное множество значенийпараметра, при которых лучшее из построенных решений оказывалось достаточнохорошим. При этом решения задач малой размерности сравнивались с оптимальны-ми решениями, а качество деревьев, построенных для задач большой размерности,сравнивалось с решениями, построенными ранее известными алгоритмами. Оказа-лось, что решение, строящееся предложенным алгоритмом, лучше решений, постро-


енных ранее известными алгоритмами. Отметим, что ограничения на длины путейи на количество точек Штейнера ранее в литературе не рассматривались.

Кроме упомянутых выше общих результатов, исследованы частные случаи. Вчастности, показано, что в случае, когда строится минимальное остовное деревос кратчайшими путями, предложенный алгоритм строит оптимальное решение заO(n2) операций.

Модель 3) заключается в построении минимального прямоугольного дерева Штей-нера с одинаковыми длинами путей. В некоторых приложениях, например при синте-зе сигнальной сети вычислительной системы, необходимо связать между собой тер-миналы и вершину-источник минимальным по весу связывающим деревом, в кото-ром времена передачи команды из источника в терминалы одинаковы. Так как раз-ница в моментах получения управляющих сигналов разными элементами влияет набыстродействие всей системы, задача построения сигнального дерева с одинаковымидлинами путей из источника сигнала в терминалы является важной проблемой, и ейпосвятили свои работы (см. библиографию в [3]) K. D. Boese, J. Cong , A. B. Kahng,C. K. Koh, J. Kong, G. Robins и другие авторы. В частности, J. Kong, A. Kahng, G.Robins показали, что проблема построения сигнального дерева с минимальной раз-ницей моментов получения команд разными элементами является NP-трудной. Дляпостроения искомого дерева в литературе применяются два подхода. Первый ис-пользует последовательное построение максимальных паросочетаний минимальноговеса. В основе второго подхода лежит построение некоторой остовной конструкции,часто в виде латинской буквы ”H”, с последующим присоединением к ней терми-налов. Упомянутые эвристики имеют ряд недостатков, поэтому предложен новыйподход [3]. Сначала исходная проблема сводится к модели на специальной иерархи-ческой структуре. Это позволяет в дальнейшем не следить за длинами строящихсяпутей, т.к. в построенной иерархической структуре все допустимые пути будут иметьодинаковую длину. Затем для каждого ребра численно оценивается возможность еговхождения в искомое дерево. На основе этих характеристик строится допустимоедерево на иерархической структуре, которое затем легко представляется на исход-ном графе. Впервые рассмотрена модель с возможностью перемещения терминалов.Если допустимое дерево не удавалось построить без перемещения терминалов, торазрешалось их перемещение в пределах заданной окрестности. Во время построе-ния дерева на иерархической структуре к терминалам добавлялись промежуточныевершины, в которые могли быть перенесены терминалы, находящиеся от них на еди-ничном расстоянии. Для поиска новых мест размещения терминалов, в которые небыли найдены допустимые пути, достаточно найти соответствующее паросочетание.Рассмотрены частные случаи модели, когда искомое дерево строится полиномиаль-ным алгоритмом. Проведен численный эксперимент, который показал высокую эф-фективность подхода. Так при сравнении его с популярным методом, использующимпоследовательное построение паросочетаний, он оказался не хуже в 85% случаев.

В работе [5] предложен эффективный эвристический подход к решению задачи,возникающей при проектировании интегральной схемы, который объединяет стадиюразмещения логических элементов чипа со стадией детальной маршрутизации и приэтом минимизирует как критическую (максимальную) задержку, так и площадь чи-па, необходимую для маршрутизации. Предложенный подход, который используетиерархический характер сети, решает сложную задачу и не всегда строит ее решение.Отдельные задачи, как размещения, так и маршрутизации сами по себе уже слож-


ны для решения, а одновременное размещение и маршрутизация делают проблемусущественно более сложной. Поэтому предложенный метод (впрочем, как и другие)иногда может не найти ни одного допустимого решения. В таких случаях можнодопустить увеличение критической задержки. Другой вариант решения проблемы,когда предложенный подход не находит допустимого решения, – это уменьшить раз-мер ячеек решетки. Такой способ даст больше возможностей для маршрутизации,но и увеличит количество узлов решетки, что приведет к увеличению трудоемкостиалгоритма.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 02-01-00977).


1. Дементьев В. Т., Ерзин А. И., Ларин Р. М., Шамардин Ю. В. (1996). Задачиоптимизации иерархических структур. Новосибирск: Изд-во Новосибирского уни-верситета.

2. Ерзин А. И. (1987). Задачи построения остова максимального веса с ограничен-ным радиусом. // Управляемые системы: Сб. научн. тр. Новосибирск: Институт ма-тематики СО АН СССР. Вып. 27. С. 70-78.

3. Ерзин А. И., Чо Д. Д. (2003). Задача построения синхронизирующего сигнальногодерева. // Автоматика и телемеханика. 3. С. 163-176.

4. Ерзин А. И., Чо Д. Д. (2003). Задача одновременного размещения и маршрутиза-ции при проектировании интегральных схем. // Автоматика и телемеханика. 12.С. 177-190.

5. Сердюков А. И. (1998). К задаче о максимальном остове ограниченного радиуса.// Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. Т. 5. 3, С. 64-69.

6. Erzin A. I., Cho J. D. (2000). A Deep-Submicron Steiner Tree. // Mathematical andComputer Modelling. V. 31. 6/7. P. 215-226.


WIENER INDEX OF ITERATED LINE GRAPHS

A. A. Dobrynin, L. S. Mel’nikov

The Wiener index is the sum of distances between all unordered pairs of vertices of asimple graph G:

W (G) =∑

u,v⊆V (G)

d(u, v),

where d(u, v) is the number of edges in a shortest path connecting the vertices u and v.Mathematical properties and chemical applications of the Wiener index have been

intensively studied in the last thirty years (see recent reviews [1–3]). There are two groupsof closely related problems which have attracted the attention of researchers for a longtime: how W depends on the structure of a graph and how W changes under graphoperations.

The iterated line graph of a graph G is defined as Lk(G) = L(Lk−1(G)), where k ≥ 1,L0(G) = G and L(G) is the line graph of G. A graph L2(G) is called the quadraticline graph of G. The size of Lk(G) rapidly increases when k tends to infinity. Thereforefor sufficiently large k the inequality W (G) < W (Lk(G)) holds for any graph G exceptfor K1,3, simple cycles and simple paths. The concept of line graph has found variousapplications in chemical research [4, 5].

In this report we observe results known for the Wiener index of iterated line graphs. Inparticular, we are interesting in finding of graphs G with the property W (G) = W (Lk(G))for k ≥ 1.

1. Cycle-containing graphs. If a cycle-containing graph, except a simple cycle,satisfies the equality W (G) = W (L(G)) then it has at least two cycles. There are 26smallest bicyclic graphs of order 9 and 71 tricyclic graphs of order 12 [6]. The followingquestion was put forward in [6]: does there exist graphs with cyclomatic number λ havingthe property W (G) = W (L(G)) for every λ ≥ 4?

Two infinite families of graphs with increasing cyclomatic number are presented in [7].The equality of Wiener indices for these graphs with cyclomatic number λ and their linegraphs leads to the following Diophantine equations

x2 − 5y2 = ±4, (1)

where y2 = 20λ2− 12λ+1 and x = 10λ− 3. This is a well-known equation in the numbertheory called the Pell equation. A solution of equations (1) satisfies the following recurrentrelations [8]:

xn = (xn−1 + 5yn−1)/2

yn = (xn−1 + yn−1)/2(2)

where x0 = 1 and y0 = 1. All even n generate solutions for the right part 4 of (1) and odd ngenerate solutions for −4. In order to construct an infinite family of graphs with increasing

Dobrynin Andrey Alekseevich, Mel’nikov Leonid Sergeevich,Sobolev Institute of Mathematics,pr. Academica Koptyuga 4, Novosibirsk, 630090, Russia, phone: (383-2) 33-25-94,fax: (383-2) 33-25-98, e-mail: [email protected], [email protected]


cyclomatic number, we find an infinite subsequence of (2) which provides integer-valuedof λ. However, the obtained λ does not cover all possible values of the cyclomatic number.

A complete solution of the question has been recently constructed by the authors.Families of bipartite and outerplanar graphs with property W (G) = W (L(G)) have beenfound for every cyclomatic number. Such graphs consist of a cyclic subgraph and a tree-like subgraph (see figure below). A tree-like subgraph may be a generalized star or adouble star (a double star is shown in the figure).

t

ttt t t t

tt t1 2 λp p p

p p p

v

t

t tt p p p

v

︸︷︷︸s

tt

t tt p p p︸︷︷︸

r

Let the graph Gλ,s,r be obtained from the pictured graphs by identifying vertices v.There are certain relations between the numbers of branches in a tree-like subgraph andthe cyclomatic number of graphs having the same Wiener index. As an illustration, wegive a result of this kind.

Theorem 1. Graphs Gλ,2λ−4,2 and Gλ,2λ−6,5 with the cyclomatic number λ ≥ 3 satisfythe equality W (G) = W (L(G)).

All the constructed graphs with the considered property contain cycles of small sizes(C3 or C4). It would be interesting to find graphs with the large girth.

Question. Does there exist a graph with the girth g having the property W (G) =W (L(G)) for every g ≥ 5?

2. Trees. Buckley shown that the Wiener indices of a tree and its line graph arealways distinct [9]. Namely, for a tree T with n ≥ 2 vertices

W (L(T )) = W (T )−(n

2

).

Therefore, the following question naturally arises: does there exist a tree T with theproperty

W (L2(T )) = W (T ) ? (3)

The smallest trees with this property have been found by inspection all trees of ordern ≤ 26 [2,10,11]. Table shows the number of such trees. Here tn is the number of alln-vertex trees and wn denotes the number of trees having property (3).

Table 1: The number of trees of order n with property(3).n tn wn n tn wn n tn wn

9 47 1 15 7741 22 21 2144505 513

10 106 1 16 19320 25 22 5623756 576

11 235 1 17 48629 66 23 14828074 1520

12 551 0 18 123867 73 24 39299897 1715

13 1301 7 19 317955 204 25 104636890 3763

14 3159 8 20 823065 231 26 279793450 4085


The above data leads to the following question: does there exist an infinite family oftrees having property (3)? We answer this question in affirmative.

Theorem 2. There exist infinite families of trees T satisfying equality (3).

To prove this result, we construct several families of trees in question [11]. They belongto specific classes of trees known in graph theory as lobsters and caterpillars. A tree isa caterpillar if the removal of all its endvertices results in a path. A tree is a lobster ifthe removal of all its endvertices results in a caterpillar. The structure of lobsters Tk andtheir quadratic line graphs are presented below:

t t t t tq q q t t q q q t t

@@

t

t ttTk

︷︸︸︷xk edges

︷︸︸︷yk edges

t t t t tq q q t t q q q t t

t t

tt t

t

t tL2(Tk)

xk − 2 edges︷︸︸︷

yk − 2 edges︷︸︸︷

Here xk = 3(k2 − k + 2)/2 and yk = 3(k2 + k + 2)/2, k ≥ 0. Since xk+1 = yk, twoneighbor trees of this family differ in the length of one long branch.

Other families contain trees called combs and forks (see figure below). Forks form aninfinite two-parameter family of growing trees with property (3) [12].

t t t t tq q q t t q q q t ttt t t

tt t t

t t t t t t tq q q

t

q q q t t t t t

t t

q q q t t

Attempts to find trees with W (T ) = W (L3(T )) lead to the following conjecture.

Conjecture. There is no tree satisfying equality W (T ) = W (Lk(T )) for any k ≥ 3.

3. The generalized stars. An interesting problem was posed in [12]: construct aninfinite family of trees satisfying equality (3) such that they have several paths growingfrom a vertex. A generalized star S is a tree consisting of paths, called branches, withthe unique common endvertex. The number of branches is equal to the maximal vertexdegree ∆ ≥ 3 of a generalized star. The following relation between Wiener indices of Sand its quadratic line graph has been derived in [13].

Theorem 3. Let S be a star with q edges and ∆ branches of length k1, k2, . . . , k∆. Then

W (L2(S)) = W (S) +1

2

(∆− 1

2

)[ ∆∑

i=1

k2i + q

]− q2 + 6

(∆

4

).

This implies necessary conditions for a generalized star and its quadratic line graphto have the same Wiener index.

Theorem 4. Let S be a generalized star with ∆ branches. If ∆ = 3, then W (L2(S)) <W (S). If ∆ ≥ 7, then W (L2(S)) > W (S).

This implies that if W (S) = W (L2(S)), then ∆ ∈ 4, 5, 6. Infinite families ofgeneralized stars with this property for ∆ = 5, 6 have been constructed.


Let ∆ = 5. All trees have two branches of fixed length and three growing branches.F1. Generalized stars of the first family have 6(k2 + 3), k ≥ 0, edges and branches of

length k1 = 1, k2 = 2, k3 = k4 = 2k2 − k + 5, and k5 = 2k2 + 2k + 5.F2. Trees of the second family have 6(k2 + 3), k ≥ 0, edges and branches of lengths

k1 = 1, k2 = 2, k3 = 2k2 − 2k + 5 and k4 = k5 = 2k2 + k + 5.F3. The third family contains generalized stars with q = 6(k2+k+4), k ≥ 0, edges and

branches of length k1 = 1, k2 = 2, k3 = 2k2 + 6, k4 = 2k2 + 3k+ 6, and k5 = 2k2 + 3k+ 9.

Let ∆ = 6. An infinite family of such trees is formed by stars with the following lengthsof branches: k1 = 3, k2 = 4k2 + 33, k3 = k4 = 4k2 − k + 36, and k5 = k6 = 4k2 + k + 36.

It would be interesting to construct an infinite family of stars with ∆ = 4 branches.

This work was supported by RFBR (project codes 02–01–00039 and 04–01–00715).

REFERENCES

1. Dobrynin A. A., Gutman I. The Wiener index for trees and graphs of hexagonal systems// Diskretn. Anal. Issled. Oper. Ser. 2. 1998. V. 5, N 2. P. 34–60, in Russian.

2. Dobrynin A. A., Entringer R., Gutman I. Wiener index for trees: theory and applications// Acta Appl. Math. 2001. V. 66, N 3. P. 211–249.

3. Dobrynin A. A., Gutman I., Klavzar S., Zigert P. Wiener index of hexagonal systems.// Acta Appl. Math. 2002. V. 72, N 3. P. 247–294.

4. Gutman I., Estrada E. Topological indices based on the line graph of the moleculargraph // J. Chem. Inf. Comput. Sci. 1996. V. 36. P. 541–543.

5. Gutman I., Popovic L., Mishra B. K., Kaunar M., Estrada E., Guevara N. Applicationof line graphs in physical chemistry. Predicting surface tension of alkanes // J. Serb.Chem. Soc. 1997 V. 62. P. 1025–1029.

6. Dobrynin A. A., Gutman I., Jovasevic V. Bicyclic graphs and its line graphs with thesame Wiener index // Diskretn. Analiz Issled. Oper. Ser. 2. 1997. V. 4, N 2. P. 3–9, inRussian.

7. Dobrynin A. A., Mel’nikov L. S. Wiener index for graphs and their line graphs withincreasing cyclomatic number // Appl. Math. Lett., submitted.

8. Redmond D. Number Theory: An Introduction. New York, Basel: Marcel Dekker, 1996.

9. Buckley F. Mean distance of line graphs // Congr. Numer. 1981. V. 32. P. 153–162.

10. Dobrynin A. A. Distance of iterated line graphs // Graph Theory Notes New York.1998. V. 37. P. 8–9.

11. Dobrynin A. A., Mel’nikov L. S. Trees and their quadratic line graphs having the sameWiener index // MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 2004. V. 50. P. 145–164.

12. Dobrynin A. A., Mel’nikov L. S. Trees, quadratic line graphs and the Wiener index //Croat. Chem Acta, accepted for publication.

13. Dobrynin A. A., Mel’nikov L. S. Wiener index of generalized stars and their quadraticline graphs // Discrete Appl. Math., submitted.


УСТОЙЧИВОСТЬ ВЕКТОРНЫХ ЗАДАЧ БУЛЕВА ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В. А. Емеличев, В. Н. Кричко, Д. П. Подкопаев

Под устойчивостью задачи дискретной оптимизации обычно понимают некото-рое свойство инвариантности множества оптимальных решений при ”малых” воз-мущениях ее параметров. В качестве таких параметров, как правило, выступаюткоэффициенты критерия, а в некоторых случаях возмущениям подвергаются и па-раметры ограничений. В настоящем докладе представлены результаты работ [1-3],касающиеся устойчивости векторной задачи линейного булева программирования квозмущениям и коэффициентов векторного критерия, и параметров ограничений.Приведенные здесь формулы и оценки радиусов устойчивости получены с помощьютехники, предложенной в [4] для анализа устойчивости скалярной (однокритериаль-ной) задачи линейного булева программирования.

Пусть C = [cij] ∈ Rk×n, A = [aij] ∈ Rm×n, b ∈ Rm, k ≥ 1, n ≥ 2, m ≥ 1, En =0, 1n.

Рассмотрим векторную (k-критериальную) задачу булева программирования

Cx→ max, (1)

Ax ≤ b, x ∈ En, (2)

состоящую в нахождении множества паретовских оптимумов P . Будем предполагать,что P 6= ∅. Через X будем обозначать множество решений системы (2).

Расстояние между задачей (1)-(2) и ”возмущенной” задачей

(C + C ′)x→ max, (3)

(A+ A′)x ≤ b+ b′, x ∈ En, (4)

определим числомmax‖ C ′ ‖, ‖ A′ ‖, ‖ b′ ‖,

где ‖ . ‖ – чебышевская норма (l∞) в соответствующем пространстве. Через ‖ . ‖∗будем обозначать норму в сопряженном пространстве (l1).

Определение 1. Радиусом устойчивости ρk(A, b, C) векторной задачи (1)-(2) на-зывается инфимум расстояний от этой задачи до задач вида (3)-(4), каждая из ко-торых или не имеет решений, или имеет хотя бы один паретовский оптимум, неявляющийся паретовским оптимумом задачи (1)-(2).

Положим P = En \ P, ν(x) = −β(x),

β(x) = max

Aix− bi‖ x ‖∗ +1

: i ∈ Nm

, α(x′, x) = min

Ci(x

′ − x)‖ x′ − x ‖∗ : i ∈ Nk

,

где Ai (Ci) – i-я строка матрицы A (C), Nm = 1, 2, . . . ,m.Емеличев Владимир Алексеевич, Кричко Виталий Николаевич,Подкопаев Дмитрий Петрович,Белорусский государственный университет,пр. Ф. Скорины, 4, 220050, Минск, Беларусь,e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]


Теорема 1 [1]. Если P 6= ∅, то

minx∈P

maxx′∈X\x

minα(x′, x), ν(x′) ≤ ρk(A, b, C) ≤ minx∈P

maxx′∈X\x

maxα(x′, x), β(x).

Если P = ∅, то ρk(A, b, C) = maxν(x) : x ∈ En.Введем обозначения

λ(x0) =

minα(x0, x) : x ∈ X,x 6= x0, если X 6= x0,+∞, если X = x0,

t(x0) =

minx∈En\X

maxα(x0, x), β(x), если En \X 6= ∅,

+∞, если En \X = ∅.

Теорема 2 [2]. Если x0 – единственный паретовский оптимум задачи (1)-(2),то

ρk(A, b, C) = minν(x0), λ(x0), t(x0). (5)

При k = 1 из формулы (5) получаем формулу радиуса устойчивости скалярнойзадачи линейного булева программирования в случае, когда оптимальное решениеединственно. Эта формула в некотором смысле уточняет формулу из [4]

Определение 2. Радиусом устойчивости ρk(x0, A, b, C) паретовского оптимума x0

векторной задачи (1)-(2) называется инфимум расстояний от этой задачи до задачвида (3)-(4), в которых x0 не является паретовским оптимумом.

Пусть

t(x0) =

minx∈En\X

maxα(x0, x), β(x), если En \X 6= ∅,

+∞, если En \X = ∅,

α(x0, x) = max

Ci(x

0 − x)‖ x0 − x ‖∗ : i ∈ Nk

,

λ(x0) =

minα(x0, x) : x ∈ X,x 6= x0, если X 6= x0,+∞, если X = x0.

Теорема 3 [3]. Радиус устойчивости паретовского оптимума x0 векторной за-дачи (1)-(2) выражается формулой

ρk(x0, A, b, C) = minν(x0), λ(x0), t(x0).

Заметим, что все величины, фигурирующие в формулах и оценках радиусовустойчивости, имеют вполне определенный смысл. Например, ν(x0) – предельныйуровень возмущений пары (A, b), при которых x0 остается решением системы (2), аλ(x0) – предельный уровень возмущений матрицы C, сохраняющих оптимальностьрешения x0 по Парето.

Из теоремы 3, в частности, вытекает


Следствие [3]. Для радиуса устойчивости оптимального решения x0 скалярной(k = 1) задачи

cx→ max, (6)

Ax ≤ b, x ∈ En (7)

справедлива формула

ρ1(x0, A, b, c) = min

mini∈Nm

bi − Aix0

‖ x0 ‖∗ +1, minx∈X\x0

c(x0 − x)‖ x− x0 ‖ , t(x

0)

,

где

t(x0) = minx∈En\X

max

c(x0 − x)‖ x− x0 ‖ ,max

i∈Nm

Aix0 − bi

‖ x0 ‖∗ +1

, если En \X 6= ∅,

t(x0) = +∞, если En \X = ∅.Отсюда следует очевидный факт, что радиус устойчивости оптимального решения

x0 скалярной задачи (6)–(7) может быть больше нуля лишь в том случае, когда x0 –единственное оптимальное решение.

Приведенные результаты нетрудно распространить и на векторную задачу булевапрограммирования с квадратичными частными критериями (см. [5]).

Отметим, что вопросы устойчивости к возмущениям параметров ограниченийвекторной задачи на конечном множестве целочисленных точек выпуклого много-гранника исследованы в [6] (см. также [7]).


1. В. А. Емеличев, В. Н. Кричко, Д. П. Подкопаев. О радиусе устойчивости вектор-ной задачи линейного булева программирования // Дискретная математика. 2000.Т. 12, вып. 2. С. 25–30.

2. В. А. Емеличев, В. Н. Кричко. О радиусе устойчивости паретовского оптимумавекторной задачи булева программирования // Известия АН Республики Молдова.Математика. 1999. 1. С. 79–84.

3. В. А. Емеличев, В. Н. Кричко. Об устойчивости паретовского оптимума вектор-ной задачи булева программирования // Дискретная математика. 1999. Т. 11, вып.4. С. 27–32.

4. В. К. Леонтьев, К. Х. Мамутов. Устойчивость решений в задачах линейного бу-лева программирования // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1988. Т. 28,10. С. 1475–1481.

5. В. А. Емеличев, В. Н. Кричко. Радиус устойчивости эффективного решения век-торной квадратичной задачи булева программирования // Журн. вычисл. матем. иматем. физики. 2001. Т. 41, 2. С. 346–350.

6. Т. Т. Лебедева, Т. И. Сергиенко. Сравнительный анализ различных типов устой-чивости по ограничениям векторной задачи целочисленной оптимизации // Кибер-нетика и системный анализ. 2004. 1. С. 63–70.

7. И. В. Сергиенко, Л. Н. Козерацкая, Т. Т. Лебедева. Исследование устойчивостии параметрический анализ дискретных оптимизационных задач. Киев: Навуковадумка. 1995. 169 С.


О НЕЯВНЫХ ФОРМАХ ВЫРАЗИМОСТИ В МНОГОЗНАЧНЫХ ЛОГИКАХ

О. М. Касим-Заде

Неявные формы выразимости в многозначных логиках: неявная выразимость,неявная сводимость, параметрическая выразимость и некоторые другие введеныА. В. Кузнецовым как обобщения понятия выразимости функций суперпозициями[9]. Такие формы позволяют выражать функции как решения систем неявных урав-нений различных типов.

Функция f(x1, . . . , xn) k-значной логики Pk называется параметрически вырази-мой над системой функций A ⊆ Pk, если найдутся функции Φi, Ψi, выразимые су-перпозициями функций системы A или являющиеся тривиальными (селекторными)функциями, такие, что система уравнений

Φ1(x1, . . . , xn, π1, . . . , πp, y) = Ψ1(x1, . . . , xn, π1, . . . , πp, y),

. . .

Φq(x1, . . . , xn, π1, . . . , πp, y) = Ψq(x1, . . . , xn, π1, . . . , πp, y)

при любых фиксированных x1, . . . , xn имеет по крайней мере одно решение в пере-менных π1, . . . , πp, y, причем в любом таком решении y = f(x1, . . . , xn). Если прилюбых x1, . . . , xn не только значение специальной переменной y, но и значения всехпараметров π1, . . . , πp определены однозначно, то f называется регулярно парамет-рически выразимой над A [6]. Если параметры отсутствуют (p = 0), то f называетсянеявно выразимой над A. Функция f называется выразимой над системой A по неяв-ной сводимости, если существует последовательность функций f1, . . . , fm−1, fm = f ,в которой каждая функция fi неявно выразима над A ∪ f1, . . . , fi−1.

Неявные формы выразимости, вообще говоря, сильнее выразимости суперпози-циями. Например, в двузначной логике P2 функция отрицания x неявно выразиманад системой монотонных функций A1 = xy, x ∨ y, 0, 1. Соответствующая системауравнений имеет вид

xy = 0,

x ∨ y = 1.

Единственным решением этой системы при любом x является y = x. В то же время xне выразима суперпозициями функций системы A1, так как не является монотонной.В действительности система A1 является неявно полной в P2, т. е. над ней неявновыразима любая функция двузначной логики.

В любой многозначной логике описанные формы выразимости упорядочены понеубыванию выразительной силы следующим образом: выразимость суперпозиция-ми, неявная выразимость, неявная сводимость, регулярная параметрическая выра-зимость, параметрическая выразимость.

Присоединив к системе A все выразимые над ней функции f , получим множе-ство функций, называемое: в случае параметрической выразимости, регулярной па-раметрической выразимости, неявной сводимости — замыканием системы A отно-сительно соответствующей формы выразимости, в случае неявной выразимости —

Касим-Заде Октай Мурадович,МГУ им. М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет,Воробьевы горы, Москва, 119992, Россия, e-mail: [email protected]


неявным расширением системы A. Для первых трех форм описанные операции при-соединения являются операциями замыкания в обычном смысле и порождают в Pk

соответствующие системы замкнутых классов. В случае неявной выразимости делообстоит иначе: при k ≥ 3 соответствующая операция присоединения не транзитивна(двузначная логика составляет исключение). Эта особенность неявной выразимостисущественно затрудняет ее изучение.

Наиболее полно изучены неявные формы выразимости в двузначной логике. Здесьвсе четыре неявные формы выразимости эквивалентны (т. е. над любой системойвыражают одни и те же функции) [2, 4, 9]. Известно описание системы всех пара-метрически замкнутых классов в P2 [9]. Число этих классов конечно и равно 25. Всилу эквивалентности всех форм указанное описание без изменений переносится ина них. Эти результаты отчетливо показывают возможности неявных форм выра-зимости: под действием любой из них счетная система замкнутых по суперпозицииклассов функций в P2 «сжимается» в конечную систему параметрически замкнутыхклассов.

В k-значных логиках, начиная с трехзначной, положение существенно иное. Прилюбом k ≥ 3 все четыре неявные формы выразимости в Pk не эквивалентны [4, 9].Число параметрически замкнутых классов в Pk при любом k ≥ 2 конечно [1, 9, 16].В то же время при любом k ≥ 3 система неявных расширений и системы замкну-тых классов, соответствующих двум остальным неявным формам выразимости в Pk,бесконечны и имеют мощность континуума [4].

Значительная часть исследований в области неявных форм выразимости посвя-щена вопросам полноты. Критерии полноты в терминах предполных классов уста-новлены в P2 для всех четырех неявных форм выразимости [3, 9]. Аналогичныйкритерий установлен для параметрической полноты в P3 [1]. Последний результатпрямо переносится на случай регулярной параметрической полноты в P3. Хотя ре-гулярная параметрическая выразимость и параметрическая выразимость в Pk приk ≥ 3 не эквивалентны, при любом k ≥ 2 эти формы выразимости эквивалентны пополноте [8].

Недавно найден критерий неявной полноты в P3. Описаны 27 конкретных ко-нечных систем функций трехзначной логики таких, что заданная система функцийнеявно полна в P3 тогда и только тогда, когда ее замыкание по суперпозиции содер-жит хотя бы одну из этих 27 систем [14]. Обычно критерии полноты формулируютсяв терминах предполных классов, т. е. максимальных по включению неполных систем.В данном случае, напротив, найдены все минимальные с точки зрения замыканияпо суперпозиции неявно полные системы. Как следствие из найденного критерияполноты установлено, что в P3 число неявно предполных классов конечно и что этиклассы образуют критериальную по неявной полноте систему [14]. В P3 установлентакже критерий неявной шефферовости функций [13].

Найден критерий типа теоремы Слупецкого неявной полноты систем функций вPk, k ≥ 2, содержащих все одноместные функции. Роль класса Слупецкого в этомслучае, как оказалось, выполняет класс всех квазилинейных функций (класс Бур-ле) [12]. Попутно установлено, что класс всех одноместных функций в Pk обладаетлюбопытными свойствами: он неполон по неявной выразимости при любом k ≥ 2;полон по неявной сводимости при любом k ≥ 4 и неполон при k = 2, 3; полон попараметрической выразимости при любом k ≥ 3 и неполон при k = 2 [12].

Известны также критерии параметрической полноты и полноты по неявной сво-


димости в некоторых логиках, соответствующих отдельным классам функций в Pk

(см., например, [10, 11, 15]).Результаты исследований в области неявных форм выразимости в многозначных

логиках нашли применение при решении некоторых вопросов теории управляющихсистем [3, 6], универсальной алгебры [4]. Вопросы сложности, связанные с неявнымиформами выразимости, изучались в [3, 5, 6, 7].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 02-01-00985), программы под-держки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1807.2003.1), программы «Универ-ситеты России» и программы фундаментальных исследований Отделения математи-ческих наук РАН «Алгебраические и комбинаторные методы дискретной математи-ки» (проект «Оптимальный синтез управляющих систем»).


1. Данильченко А. Ф. О параметрической выразимости функций трехзначной ло-гики // Алгебра и логика. 1977. Т. 16, 4. С. 397–416.

2. Касим-Заде О. М. О неявной выразимости булевых функций // Вестник МГУ.Серия 1. Математика. Механика. 1995. 2. С. 44–49.

3. Касим-Заде О. М. О синтезе сетей из функциональных элементов // ДокладыРАН. 1996. Т. 348, 2. С. 159–161.

4. Касим-Заде О. М. О неявной выразимости в двузначной логике и криптоизомор-физмах двухэлементных алгебр // Доклады РАН. 1996. Т. 348, 3. С. 299–301.

5. Касим-Заде О. М. Об одной метрической характеристике неявных и параметри-ческих представлений булевых функций // Математические вопросы кибернетики.Вып. 6. М.: Наука. Физматлит, 1996. С. 133–188.

6. Касим-Заде О. М. О сложности параметрических представлений булевых функ-ций // Математические вопросы кибернетики. Вып. 7. М.: Наука. Физматлит, 1998.С. 85–160.

7. Касим-Заде О. М. О поведении функций Шеннона сложности параметрическихпредставлений булевых функций // Вестник МГУ. Серия 1. Математика. Механика.2001. 3. С. 66–68.

8. Касим-Заде О. М. Об эквивалентности двух видов параметрической полноты вk-значных логиках // Проблемы теоретической кибернетики. Тезисы докладов XIIIМеждународной конференции (Казань, 27–31 мая 2002 г.). Часть I. М.: Изд-во Цен-тра прикладных иследований при механико-математическом ф-те МГУ, 2002. С. 83.

9. Кузнецов А. В. О средствах для обнаружения невыводимости или невыразимо-сти // Логический вывод. М.: Наука, 1979. С. 5–33.

10. Куку И. В. О параметрической полноте систем формул в цепных логиках //Известия АН МССР. Серия физико-технических и математических наук. 1988. 3.

11. Куку И. В., Раца М. Ф. Критерии параметрической полноты в логике простей-шей псевдобулевой алгебры с несравнимыми элементами // Сборник трудов семина-ра по дискретной математике и ее приложениям (Москва, МГУ, 1990 г.). М.: Изд-вомеханико-математического ф-та МГУ, 1997. С. 52–53.


12. Орехова Е. А. Об одном критерии неявной полноты в k-значной логике // Ма-тематические вопросы кибернетики. Вып. 11. М.: Наука. Физматлит, 2002. С. 77–90.

13. Орехова Е. А. О критерии неявной шефферовости в трехзначной логике // Дис-кретный анализ и исследование операций. Серия 1. 2003. Т. 10, 3. С. 82–105.

14. Орехова Е. А. О критерии полноты по неявной выразимости в трехзначнойлогике // Математические вопросы кибернетики. Вып. 12. М.: Наука. Физматлит,2003.

15. Раца М. Ф., Куку И. В. О полноте по неявной сводимости в логике первойматрицы Яськовского // Известия АН МССР. Серия физико-технических и матема-тических наук. 1988. 1.

16. Burris S., Willard R. Finitely many primitive positive clones // Proc. Amer. Math.Soc. 1987. V. 101, N 3. P. 427–430.


О ЧИСЛЕ K-НЕРАЗДЕЛЕННЫХ СЕМЕЙСТВ ПОДМНОЖЕСТВN -ЭЛЕМЕНТНОГО МНОЖЕСТВА

A.Д.Коршунов

Потребность в изучении различных семейств подмножеств конечного множества,удовлетворяющих тем или иным ограничениям, возникает при решении некоторыхзадач дискретной математики. Среди простейших ограничений, которым должныудовлетворять семейства подмножеств конечного множества, является отсутствие вкаждом семействе k членов (подмножеств) с пустым пересечением, k = 2, 3, . . .. Такиесемейства называются k-неразделенными.

Нетрудно видеть, что задача о числе k-неразделенных семейств подмножеств n-элементного множества эквивалентна задаче о числе так называемых k-неразделен-ных булевых функций от n переменных, определяемых следующим образом.

Булева функция f(x1, . . . , xn) называется k-неразделенной, если у любых k двоич-ных наборов, на которых f равна 1, имеется по меньшей мере одна общая единичнаякомпонента. Такие функции часто называют функциями, удовлетворяющими усло-вию Aµ, µ = 2, 3, . . . (см., например, [1], [2]).

Пусть Fk(n) обозначает множество k-неразделенных булевых функций от n пе-ременных. Можно, конечно, предложить точные формулы для числа функций изFk(n) (т. е. |Fk(n)|), являющиеся формульной записью различных алгоритмов пере-бора всех булевых функций от n переменных и проверкой их на k-неразделенность.Однако не ясно, как из таких формул извлечь информацию о величине |Fk(n)|.

В связи с этим обстоятельством возникает желание найти асимптотические фор-мулы для размера множества Fk(n) при n → ∞. Такие формулы мною были полу-чены. Они имеют следующий вид.

Теорема 3. При любом нечетном n→∞

|F2(n)| ∼ n · 22n−1

(3/2)

(n−1

(n−3)/2

)exp

(n− 1

(n− 5)/2

)[1

2(2/3)(n+3)/2

+1

26(n2 − 2n− 23)(2/3)n+3 − 1

214 · 3(1653n4 + 2248n3 − 8162n2

+1176n+ 1741) (2/3)3(n+3)/2

]+

(n− 1

(n− 1)/2

)[1

2(2/3)(n−1)/2

+1

26 · 32(n2 + 14n− 159)(2/3)n−1 − 1

210 · 34(177n4 − 561n3

− 861n2 − 1527n+ 16596)(2/3)3(n−1)/2

].

Коршунов Алексей Дмитриевич,Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия;тел. 8–3832–33–38–69, e-mail: [email protected]


Теорема 2. При любом четном n→∞

|F2(n)| ∼ 22n−1

(3/2)12

(n

n/2

)exp

(n

n/2−1

) [1

3(2/3)n/2 − 1

2332(n+ 6)(2/3)n

+

(1

2734(5n3 + 8n2 + 76n+ 288)

)(2/3)3n/2

].

Теорема 3. При любом фиксированном k > 3 и n→∞

|Fk(n)| ∼ n · 22n−1

.

Доказательство каждой теоремы проводится в два этапа и основано на разбиениимножества Fk(n) на подмножества F 1

k (n) и F 2k (n). Функции из F 1

k (n) называютсятипичными, а из F 1

k 2(n) — нетипичными.Приведем сведения (неполные) о структуре типичных функций. Пусть En,k обо-

значает множество двоичных наборов длины n, в каждом из которых имеется kединиц и n − k нулей. Двоичные наборы α = (α1, . . . , αn) и α = (α1, . . . , αn), гдеαi = αi⊕1, называются противоположными. Если A — произвольное множество на-боров из En,k, то через A обозначается множество наборов, каждый из которых про-тивоположен одному набору из A. Все наборы из A принадлежат множеству En,n−k.Если A — произвольное множество наборов из En,k, то через P 1(A) обозначаетсямножество наборов β из En,k−s таких, что β предшествует по меньшей мере одногонабору α из A (т. е. β ≺ α).

При четном n множество F 12 (n) состоит из функций f , удовлетворяющих следу-

ющим требованиям.1) Функция f равна 0 на каждом наборе из En,0 ∪ . . . ∪ En,n/2−2.2) На каждом наборе из En,n/2+2 ∪ . . .∪En,n функция f может принимать произ-

вольные значения.3) Если f равна 1 на наборах 2-неразделенного множества A ⊆ En,n/2−1, то на

наборах из En,n/2+1 \ A функция f может принимать произвольные значения.4) Пусть A — множество 2-неразделенных наборов из En,n/2−1, на которых функ-

ция f равна 1. Тогда на наборах из En,n/2 \ P 1(A) функция f может быть заданапроизвольно, но так, чтобы на любых двух противоположных наборах она одновре-менно не принимала значение 1.

5) Функция f равна 1 не более чем на(

nn/2−1

)(2/3)n/2+1 наборах из En,n/2−1.

6) Множество наборов из En,n/2−1, на которых функция f равна 1, состоит из такназываемых одноэлементных, двухэлементных и трех типов трехэлементных связок.

При любом нечетном n множество F 12 (n) является объединением n равномощных

подмножеств F 1,i2 (n), 1 6 i 6 n. Подмножество F 1,i

2 (n) ассоциируется с i-й перемен-ной. Пусть En,k

i,0 (En,ki,1 ) обозначает множество наборов из En,k, в каждом из которых

i-я компонента равна 0 (равна 1). Подмножество F 1,i2 (n) состоит из таких функций

f , которые удовлетворяют следующим требованиям.1) Функция f равна 0 на всех наборах из En,0 ∪ . . . ∪ En,(n−5)/2.2) На наборах из En,(n+5)/2∪ . . .∪En,n функция f может принимать произвольные

значения.3) Функция f может быть равна 1 только на таких наборах из En,(n−3)/2, которые

принадлежат множеству En,(n−3)/2i,1 (n).


4) Пусть A — множество наборов из En,(n−3)/2i,1 , на которых функция f равна

1. Тогда на наборах из En,(n+3)/2 \ A функция f может принимать произвольныезначения.

5) Пусть B — 2-неразделенное множество наборов из En,(n−1)/2i,0 ), на которых функ-

ция f равна 1. Тогда на наборах из En,(n+1)/2i,1 (n) \ B функция f может принимать

произвольные значения.6) На наборах из (E

n,(n−1)/2i,1 \P 1(B))∪ (E

n,(n+1)/2i,0 \P 1(A)), функция f может быть

задана произвольно с соблюдением 2-неразделенности.7) Функция f равна 1 не более чем на

(n−1

(n−3)/2

)(2/3)(n+3)/2 наборах из En,(n−3)/2

i,1 и

не более чем на(

n−1(n−1)/2

)(2/3)(n−1)/2 наборах из En,(n−1)/2

i,0 .8) Каждое из множеств A и B состоит из одноэлементных, двухэлементных и

трех типов трехэлементных связок.При любом фиксированном k > 3 множество f 1

k (n) состоит из таких функцийf , что у всех наборов, на которых f равна 1, имеется по меньшей мере одна общаяединичная компонента.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ (проект 02–01–00939)и программы поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ–313.2003.1).


[1] МарченковС.С. Замкнутые классы булевых функций. М.: Физматлит, 2000.

[2] Яблонский С.В., ГавриловГ.П., КудрявцевВ.Б. Функции алгебры логики и клас-сы Поста. М.: Наука, 1966.


СЛОЖНОСТЬ В СРЕДНЕМ И ЗАДАЧИ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГОЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Н. Н. Кузюрин

Известно, что многие NP-трудные задачи комбинаторной оптимизации не име-ют хороших приближенных полиномиальных алгоритмов при анализе по худшемуслучаю. В частности, для любого фиксированного δ > 0 максимальная клика в гра-фе не может быть аппроксимирована в полиномиальное время с мультипликатив-ной точностью n1−δ, если NP 6= coRP [1], а минимальное покрытие не может бытьаппроксимировано с мультипликативной точностью (1 − δ) lnm (если не выполне-но включение NP ⊆ DTIME[nO(log log n]) [2]. Почти такая же ситуация и в задачахцелочисленного линейного программирования (ЦЛП), для которых наилучшие при-ближенные алгоритмы основаны на методе вероятностного округления решений ихлинейных релаксаций [3,4].

Рассмотрение более широких классов алгоритмов, например, вероятностных, ча-сто приводит к лучшим приближениям. Другой подход заключается в переходе кполиномиальным в среднем алгоритмам, понимая под последними алгоритмы, ма-тематическое ожидание времени работы которых (при заданном вероятностном рас-пределении на исходных данных) ограничено полиномом от длины входа [5].

Классические исследования по анализу сложности в среднем проведены для симп-лекс-метода решения задач линейного программирования [6,7,8] (новые результатысм. в [9]). Что касается задач ЦЛП, то давно известны результаты по анализу слож-ности в среднем метода ветвей и границ для специального подкласса задачи о рюк-заке [10] и метода динамического программирования для некоторых классов задач омногомерной упаковке [11]. Недавно, доказана полиномиальность в среднем одногоклассического алгоритма, основанного на методе динамического программирования,для задачи о рюкзаке [12]. Аналогичный результат для любого фиксированного чис-ла линейных ограничений получен в [13] (см. также более раннюю работу [14], вкоторой получен несколько более слабый результат).

Интересные попытки были предприняты с целью построения полиномиальныхв среднем приближенных алгоритмов для плохо аппроксимируемых задач (напри-мер, КЛИКИ). Так в [15] предложен полиномиальный в среднем алгоритм для на-хождения клики в графе, имеющий мультипликативную точность O(

√n/ log n) (для

случая, когда все ребра графа независимо появляются с вероятностью 1/2), что су-щественно лучше аппроксимаций, полученных полиномиальными алгоритмами.

В докладе предполагается рассмотреть эти и другие результаты по точным иприближенным алгоритмам для различных классов задач ЦЛП с полиномиальнымв среднем временем работы, в частности, оценки среднего времени работы некоторыхвариантов метода ветвей и границ для классов ЦЛП типа покрытия и упаковки.

В последние годы в теоретической криптографии активизирован поиск задач,которые также сложны "в среднем", как и в худшем случае. Основополагающий ре-зультат Ajtai [16] основан на доказательстве того факта, что задача типа рюкзак(или точнее сумма подмножеств) обладает указанным свойством. В связи с этим ре-

Кузюрин Николай Николаевич,Институт системного программирования РАН,ул. Б. Коммунистическая, 25, Москва, 109004, Россия, e-mail: [email protected]


зультатом возрастает интерес к исследованию способов решения различных классовзадач ЦЛП "для почти всех" входов. Для задач ЦЛП типа покрытия мы можемпоказать, что метод вероятностного округления дает константную аппроксимациюдля "почти всех" исходных данных (в отличие от логарифмической при анализе похудшему случаю). Сходные результаты для другой вероятностной модели полученыв [17].Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 02-01-00713.


1. J. Hastad (1997) Some optimal inapproximability results, Proc. 28th ACM Symposiumon Theory of Computing, 1–10.

2. U. Feige (1996) A threshold of lnn for the approximating set cover, Proc. of the ACMSymposium on Theory of Computing, 314-318 (1996)

3. A. Srinivasan (1999) Improved approximations of packing and covering problems, SIAMJ Comput., 29 648-670.

4. C. Chekuri, S. Khanna (1999) On Multidimensional Packing Problems, Proc. 10thAnnual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA), 185-194.

5. Y. Gurevich (1991) Average case completeness, J. Comp. System Sci., 42 (3), 346–398.

6. K. H. Borgward (1982) Some distribution independent results about the asymptoticorder of the average number of pivot steps of the simplex method, Math. of OperationsResearch, 7, 441–462.

7. S. Smale (1983) On the average number of steps in the simplex method of linearprogramming, Math. Programming, 27, 241–262.

8. M. Haimovich (1983) The simplex method is very good! – On the expected number ofpivot steps and related properties of random linear programs, preprint.

9. D. A. Spielman, Shang-Hua Teng (2001) Smoothed analysis of algorithms: why simplexalgorithm usually takes polynomial time, Proc. 33rd ACM Symposium on Theory ofComputing (STOC), 296–305.

10. V. Chvatal (1980) Hard knapsack problems, Operations Research, 28, 1402–1411.

11. Н. Н. Кузюрин (1994) Полиномиальный в среднем алгоритм в целочисленномлинейном программировании, Дискретный анализ и исследование операций, 1(3).

12. R. Beier, B. Vocking (2003) Random knapsack in expected polynomial time, 35th ACMSymp. on Theory of Computing, San Diego.

13. R. Beier, B. Vocking (2004) Typical Properties of Winners and Losers in DiscreteOptimization, 36th ACM Symp. on Theory of Computing, Chicago, Illinois.

14. M. E. Dyer, A. M. Frieze (1989) Probabilistic analysis of the multidimensional knap-sack problem, Math. of Operations Research, 14(1), 162–176.

15. M. Krivelevich, V. H. Vu (2000) Approximating the independence number and thechromatic number in expected polynomial time, Proceedings ICALP 2000, Springer, LNCS1853, 13-24.

16. M. Ajtai (1996) Generating Hard Instances of Lattice Problems, In 28th ACM Sym-posium on Theory of Computing, Philadelphia, 99–108.

17. N. Kuzjurin (2003) Generalized covers and their approximations, EuroComb’03, Prague,September 8–12, Abstracts, 247–250.


ОБУЧЕНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНТЕРНЕТ-ТЕХНОЛОГИЙ. ОТКРЫТАЯУЧЕБНАЯ ОБОЛОЧКА ILIAS — ОПИСАНИЕ И ОПЫТ ПРИМЕНЕНИЯ

Е. А. Нурминский, Н. Б. Шамрай

Введение

Быстрая смена технологий, высокий темп обновления оборудования, растущие тре-бования к квалификации работников, появление новых и совершенствование старыхсредств распространения информации требуют адекватного ответа со стороны си-стемы образования. В этих условиях образовательная система должна не тольковооружать знаниями, но и, в следствии постоянного и быстрого обновления знаний,формировать потребность в непрерывном и самостоятельном обучении.

Одной из попыток ответить на эти вызовы современного мира является разви-тие дистанционных средств обучения, которые при наличии соответствующей ин-фраструктуры позволяют использовать резервы вне офисного времени обучаемых,удаленные интеллектуально-педагогические ресурсы, не требуют значительных ка-питальных затрат на оборудование учебных центров, делают высшее и другие уровниобразования доступным для широких слоев населения, сохраняют и приумножаютзнания.

Вместе с тем, эффективность подобных форм обучения, особенно при преподава-нии фундаментальных дисциплин, традиционно оценивается научно-педагогическойобщественностью весьма низко. Нельзя не согласиться, что в подобном скепсисе естьдоля истины, но все же представляется возможным, что эта образовательная тех-нология может найти свою область разумного применения. В данном докладе мырассмотрим некоторые варианты ее реализации и личный (пока небольшой) опытприменения.

1 Обзор проблемы

Метод проведения занятий в соответствии с установившимися традициями прошлоговека в виде аудиторных лекционных курсов, сопровождающихся практикумами влабораториях, страдает значительными изъянами. Вот некоторые из них:

• абстрактное изложение теории на лекции, не подкрепленное реально действу-ющим примером, снижает мгновенный эффект восприятия материала, ставитего в зависимость от степени доверия к лектору, а окончательное освоение от-кладывает до практического занятия;

• потери времени на конспектирование занимают не менее 50% продолжительно-сти лекции и оставляют не так много возможностей для того, чтобы вникнутьв содержание;

Нурминский Евгений Алексеевич, ИАПУ ДВО РАН,ул. Радио, 5, Владивосток, 690041, Россия, e-mail: [email protected]

Шамрай Наталья Борисовна, Омский государственный технический университет,Мира 11, Омск, 644050, Россия, тел. (8-381-2) 65-20-84, e-mail: [email protected]


• развернутый по инициативе отдельного студента диалог с лектором, зачастуюприводит к срыву плана лекции либо авторитарно прерывается, не удовлетво-рив интереса студента;

• наличие филиалов у учебного заведения, приводит к необходимости командиро-вок преподавательского состава. В связи с этим процесс обучения теряет своюнепрерывность, приобретает дискретный характер. Это существенно влияет назапоминаемость учебного материала и, как правило, приводит к существенномуснижению качества образования;

• ограниченные возможности по предоставлению широким слоям населения ка-чественного и доступного образования. Существует широкий контингент лиц,остро нуждающихся в образовательных услугах, которые традиционная систе-ма образования предоставить не может.

Приведенные недостатки стимулируют поиск, апробацию и внедрение некоторыхальтернативных, неантагонистических существующим в системе образования, но-вых форм получения образования, адекватных нарождающемуся информационно-му обществу. Одной из таких форм получения образования является дистанцион-ное обучение с использованием интерактивных курсов, базирующихся на интернет-технологиях (ИДО). В дальнейшем, говоря о дистанционном образовании, мы будемиметь в виду именно эту форму.

1.1 Преимущества дистанционного образования

Дистанционное обучение от традиционных форм обучения отличают следующие ха-рактерные черты:

• Гибкость. Обучающиеся, занимаются в удобное для себя время, в удобном ме-сте и в удобном темпе. Каждый может учиться столько, сколько ему личнонеобходимо для освоения курсов и получения необходимых знаний по выбран-ным дисциплинам.

• Модульность. В основу программ ИДО закладывается модульный принцип.Каждая отдельная дисциплина (учебный курс) адекватна по содержанию опре-деленной предметной области. Это позволяет из набора независимых учебныхкурсов формировать учебный план, отвечающий индивидуальным или группо-вым потребностям.

• Параллельность. Обучение может проводиться при совмещении основной про-фессиональной деятельности с учебой, то есть ”без отрыва от производства”.

• Дальнодействие. Расстояние от места нахождения обучающегося до образо-вательного учреждения (при условии качественной работы связи) не являетсяпрепятствием для эффективного образовательного процесса.

• Асинхронность. В процессе обучения обучающий и обучаемый работают поудобному для каждого расписанию.

• Охват. Количество обучающихся не является критичным параметром.


• Рентабельность. Под этой особенностью подразумевается экономическая эф-фективность ИДО.

• Новые информационные технологии. В ИДО используются преимуще-ственно новые информационные технологии, средствами которых являются ком-пьютерные сети, мультимедиа системы и т.д., что одновременно приучает сту-дентов к практическому их использованию.

• Социальность. ИДО в определенной степени снимает социальную напряжен-ность, обеспечивая равную возможность получения образования независимо отместа проживания и материальных условий.

• Интернациональность. ИДО обеспечивает удобную возможность экспорта иимпорта образовательных услуг.

К более отдаленным или гипотетическим преимуществам относятся использова-ние систем искусственного интеллекта, экспертных систем для представления зна-ний, консультаций, генерации тестов и пр.

Вышеперечисленные преимущества порождают в общем-то положительное отно-шение обучаемых (по крайней мере студентов дневной формы обучения) к техноло-гиям дистанционного образования, что подтверждается данными опросов, приведен-ными в Табл. 1.1. Опрос был проведен в ОмГТУ. Из таблицы видно, что студенты,

Таблица 1: Опрос студентов.No. Вопрос 38.4% 5.5% 45.2% 6.8% 4.1%1. Есть ли в вашем личном распоряжении

ПК?да нет да да да

2. Есть ли доступ к сети Internet? нет нет да да нет3. Есть ли желание использовать интернет

в учебном процессе?да да да нет нет

в большинстве своем (89.1%), желают использовать интерактивные средства образо-вания, как дополнение к аудиторным занятиям. Практически все оснащены ПК, ноне все имеют доступ в интернет. Среди положительных ответов на 3-й вопрос былии весьма эмоциональные ”Да, очень хочу”, ”Да, было бы замечательно”. Основнаяпричина отказа в интернет-обучении, при наличии доступа — это высокая плата запередачу данных. Но многие, даже при наличие платного интернета, готовы исполь-зовать его в учебном процессе.

1.2 Недостатки дистанционного образования

Перечисленные особенности определяют преимущества ИДО перед другими форма-ми получения образования. Вместе с тем ИДО предъявляет и определенные дополни-тельные требования как к преподавателю, так и к слушателю, не облегчая, а подчасувеличивая трудозатраты и того и другого.

Безусловно, любая система обучения не идеальна. К организационным недостат-кам ИДО можно отнести следующие обстоятельства:

• при аттестации в интерактивном режиме затруднена идентификация студента;


• существуют ограничения возможности применения полностью интерактивногодистанционного обучения в связи с зачастую низким качеством услуг связи.

Среди иных факторов, препятствующих использованию этой формы обучения сту-дентами, можно отметить:

• недостаток стимулов, в том числе и экономических;

• отсутствие навыков самостоятельной работы над учебным материалом;

• технические проблемы.

Любопытно, что и со стороны преподавателей факторы, препятствующие развитиюИДО те же, но в другой интерпретации: недостаток экономических стимулов связанс неопределенностью форм оплаты труда преподавателей при работе по схеме ИДО;отсутствие навыков связано с необходимостью овладения новыми, зачастую доста-точно сложными средствами ИДО; технические проблемы состоят в неразвитостисетевой инфраструктуры, как по месту работы, так и дома.

На стороне преподавателей негативное отношение усугубляется, возможно, чрез-мерным усердием энтузиастов ИДО, которые стремятся свести к этой форме всеобразование вообще и/или ищут в интернет-технологиях некую ”серебряную пулю”.Последние иллюзии, впрочем, при реальном применении достаточно быстро рассеи-ваются и интернет-средства занимают полезное, но отнюдь не главенствующее местов общем наборе образовательных технологий. Тем не менее, они привносят многонового и интересного в практику преподавания, что приводит к постоянно расширя-ющейся сфере их применения. Несомненно, эти технологии пришли, чтобы остатьсяи в данный момент актуальной является задача выбора подходящих средств и ихосвоение.

2 Как это сделать

В киберпространстве существует значительное количество систем ИДО, каждая изкоторых обладает своими достоинствами и недостатками. С точки зрения потенци-ального применения их можно в первую очередь разделить на коммерческие пред-ложения (закрытые) и некоммерческие (системы с открытым кодом).

Различие между этими системами заключается не только в стоимости, но и впринципах построения (централизованные — децентрализованые), расширяемости(есть возможность подключать свои модули или нет), адаптируемости (можно на-страивать под свои потребности или нет), поддержке (можно ли консультироватьсяс разработчиками или для этого нужен дополнительный контракт на поддержку),взаимодействие с другими средствами (используются ли открытые форматы данныхдля коммуникаций или нет) и т.д.

В условиях неустоявшихся технологий ИДО, неопределенного спроса и скудно-го опыта применения открытые системы обладают определенными преимуществами(упомянем лишь несколько): по сути дела неограниченной свободой эксперименти-рования с различными продуктами, прямыми контактами с разработчиками, отсут-ствием ограничений на типы и количество инсталляций, ориентацией на открытые


Таблица 2: Программные системы с открытым кодом.Система Дом. страница проекта Разработчик Русский

Atutor http://www.atutor.ca Университет Торронто (Канада) нет

dotLRN http://www.dotlrn.org Консорциум:

Массачусетский технологи-ческий (США), УниверситетГейдельберга (Германия),Университет Манхейма (Гер-мания), Университет Галлилея(Италия), Университет Берге-на (Норвегия)

нет

ILIAS http://www.ilias.uni-koeln.de Университет Кельна (Германия) есть

LON-CAPA http://www.lon-capa.org Университет шт.Мичиган(США) нет

Moodle http://www.moodle.com Частная компания (Австралия) есть

и общепринятые форматы данных, энтузиазмом и духом взаимопомощи пользова-телей, возможность повлиять на направления развития системы, начиная от заказаопределенных функций вплоть до непосредственного участия в реализации.

Исходя их этих соображений, было принято решения рассмотреть в первую оче-редь именно открытые системы ИДО. Дополнительным аргументом являлось то,что использование таких систем можно было реализовать как инициативу ”снизу”,не привлекая руководство учебного заведения для выделения финансов на закупкучасто весьма дорогостоящих коммерческих решений.

Кроме этого существовало опасение, что будет принято административно-ориен-тированное решение, обеспечивающее в первую очередь удобства администраторовот образования, но игнорирующее именно интересы преподавателей. Особо велика та-кая опасность по отношению к математически насыщенным дисциплинам, которыевыдвигают весьма специфические требования к системам разработки и поддержкикурсов и где уже существует определенная традиция и большой объем подготовлен-ного материала.

Наиболее известные программные системы ИДО с открытым кодом представленыв Табл. 2

В результате анализа ситуации было принято решение провести тестирование иопытное применение системы ILIAS, которая, во-первых, поддерживает русский языки, во-вторых, допускает использование TEXдля подготовки курсов. Надо отметить,что и по другим обзорам и оценкам ILIAS занимала достаточно высокие места врейтинге подобных систем.

3 ILIAS — текущее состояние

Система ILIAS базируется в основном на следующих открытых продуктах: web-сервер Apache, СУБД MySQL, скриптовый язык PHP. Для ряда специальных ра-бот используются также открытые графические конверторы, программы сжатия,библиотеки. Все это достаточно легко получается из интернет и на современныхLinux-дистрибутивах (мы используем SuSE-9.0 в настоящий момент) сборка системыпроисходит без особых проблем, чему помогает достаточно подробное руководство.


Языковые зависимости выделены в отдельные файлы по каждому языку, так чторусификация системы прошла без особых проблем, хотя отдельные элементы интер-фейса еще надо доработать.

Основная трудность при овладении ILIAS заключается в довольно сложной систе-ме администрирования курсов. Курсы предоставляются слушателям, объединеннымв ”группы”. Группы надо создавать, приписывать им определенные права, ассоции-ровать с курсами и пр. Все это в значительной степени ложится на автора курса,который не всегда морально к этому готов. Однако альтернатива — специальный си-стемный администратор, занимающийся всем этим хлопотным делом, наверное, ещехуже. Такие администраторы, в силу их загруженности, либо замедляют процесс,либо вносят в него дополнительные ошибки. Так что решения, принятое разработ-чиками, по-видимому, разумно.

Авторам курсов система предоставляет две основные возможности: либо подго-товить курс за пределами ILIAS и импортировать его в виде HTML-ресурса, ли-бо, используя встроенный в систему редактор курсов, готовить его непосредственнов системе. При этом достаточно иметь сетевое соединение и на машине автора —какой-либо приемлемый браузер. Тип машины автора и платформа не имеют осо-бого значения. Сам редактор является вполне типичной CMS ( Content ManagementSystem ) и дает достаточные возможности для сборки страниц курса с элементамиболее 20 типов — текстовых и мультимедийных.

Для математически ориентированных курсов особое значение имеет возможностьвключать в курс элементы, подготовленные с помощью TEX— как на уровне отдель-ных формул, так и на уровне файлов, представляющих TEX-документы. В последнемслучае происходит конвертация TEX-документа в HTML-ресурс с помощью системыtex4ht, весьма мощной системы, позволяющей использовать при подготовке HTML-ресурсов всю мощь TEX-LATEXи сопровождающих пакетов. Надо сказать, что этоотносительно новая функция системы и ее настройка на сервере потребовала неко-торых раздумий. Хотя существующая технология и не идеальна, но она и не претен-дует на роль полномасштабной издательской системы — возможности современныхмониторов и каналов связи все еще не слишком впечатляющие и результат вполнеим соответствует. Ознакомиться с результатами такой конвертации можно на сайтеавторов http://lis.dvo.ru/ilias по гостевому входу: имя пользователя — guest,пароль — anonim.

Подробнее система будет представлена на дополнительных занятиях в ходе кон-ференции, здесь мы отметим лишь еще одну важную особенность работы с ILIAS:это активно развивающаяся система, сопровождаемая группой разработчиков, опера-тивно реагирующих на проблемы пользователей. Более того, часто можно получитьполезный, а то и бесценный совет от собственно пользователей или в ходе дискуссиина форуме ILIAS.

В настоящее время идет отладка 3-го поколения системы, которое будет в основ-ном XML-ориентировано. Очевидно, что по мере развития XML у ILIAS тоже будутпоявляться новые функциональные возможности, так что этой системе можно про-гнозировать достаточно долгую жизнь. Что касается ее роли в создании российскойсреды ИДО, то можно рекомендовать по крайней мере попробовать с ней практиче-ски ознакомиться с тем, чтобы на ее фоне судить о других.

Работа поддержана ФЦП ”Интеграция” проект Ф0012 ”Создание электронногонаучно-образовательного ресурса Открытого университета ДВГУ-ДВО РАН”.


ПРОБЛЕМА БОРСУКА И ХРОМАТИЧЕСКИЕ ЧИСЛАНЕКОТОРЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

А. М. Райгородский

В настоящем докладе мы обсудим современное положение дел в двух тесно свя-занных между собою проблемах комбинаторной геометрии — проблемах, которые,будучи едва ли не самыми яркими и значимыми в своей области, на протяжениипоследних десятилетий привлекали внимание многочисленных специалистов. Речьпойдет о проблемах Борсука и Нелсона – Эрдеша – Хадвигера. Дабы сделать крат-кое изложение максимально ясным и прозрачным, мы дадим сначала постановкиупомянутых проблем в их самом наглядном - оригинальном и, так сказать, клас-сическом - виде. В самом деле, проблема, впервые сформулированная в 1933 годуизвестным польским математиком К. Борсуком (см. [1]), состоит в отыскании наи-меньшего числа f(d) частей меньшего диаметра, на которые может быть разбитопроизвольное ограниченное множество в d-мерном евклидовом пространстве Rd. Всвою очередь, проблема Нелсона – Эрдеша – Хадвигера, возникшая, по-видимому,в 1950 году и имеющая весьма интригующую, почти детективную историю своегосоздания (см. [2]), сводится к определению минимального количества цветов χ(Rd),в которые можно так раскрасить все точки в Rd, чтобы точки, отстоящие друг отдруга на расстояние 1, были непременно разноцветными. Видно, насколько простыи изящны по своей формулировке наши проблемы. Однако, как это часто бывает,они весьма и весьма нетривиальны, огромное число тонких результатов относитель-но этих проблем было получено в разное время, и тем не менее до сих пор многиевопросы остаются неисследованными, а перспектив, которые можно наметить здесь,оказывается даже больше, чем это было когда-либо прежде.

В действительности, обе проблемы имеют глубокую теоретико-графовую при-роду. Мы будем называть графом расстояний бесконечный “геометрический” графG = (V , E), у которого множество вершин V совпадает с евклидовым пространствомRd, а ребрами соединены те и только те пары вершин (пары d - мерных векторов),расстояние между которыми равно 1:

E = (x,y) ∈ V × V : |x− y| = 1.

В свою очередь, если фиксировано множество Ω в Rd, то отвечающим ему графомдиаметров мы будем называть (вообще говоря, бесконечный) “геометрический” графG = G(Ω) = (V , E) с множеством вершин V = Ω (черта означает замыкание) и мно-жеством ребер

E = (x,y) ∈ Ω× Ω : |x− y| = diam Ω.Понятно, что в новой терминологии χ(Rd) – это хроматическое число графа рассто-яний (его еще вслед за П. Эрдешом называют хроматическим числом пространства),

Райгородский Андрей Михайлович,МГУ им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет,кафедра математической статистики и случайных процессов,Воробьевы горы, 119992, ГСП-2, Москва, факс: (095) 939-20-90 и (095) 956-68-52,тел.: (095) 939-16-48, 289-81-63, 932-34-09,e-mail: [email protected], [email protected]


а f(d) – это точная верхняя грань хроматических чисел графов диаметров. С однойстороны, такая терминология просто удобна для обсуждения проблем в едином клю-че, а с другой стороны, она дает почву для создания теоретико-графовых методоврешения исходных задач.

Разумеется, несколько смущает, на первый взгляд, тот факт, что рассматривае-мые нами “геометрические” графы имеют бесконечные - более того, континуальные -множества вершин. Однако нетрудно показать, что их хроматические числа заведомоконечны, а в этом случае работает теорема Эрдеша - де Брёйна (см. [3]), утвержда-ющая, что эти хроматические числа достигаются на конечных подграфах исходныхграфов.

Выпишем вкратце те направления исследования, которые здесь естественно воз-никают и в которых удается достичь значительных продвижений:

1. Доказательство нижних и верхних оценок для хроматических чисел геометри-ческих графов в малых размерностях и в асимптотике по d.

2. Доказательство нижних и верхних оценок для хроматических чисел “конеч-ных геометрических” графов, т.е. конечных подграфов графов расстояний идиаметров (в последнем случае мы имеем дело фактически с разбиением мно-гогранников на части, что из различных соображений важно само по себе).

3. Изучение связи между конечными геометрическими графами ислучайным графом (например, вопросов реализации случайныхграфов “почти наверное” в качестве конечных геометрическихграфов).

4. Обобщение результатов на случай не только евклидовых, но произвольных мет-рических пространств - скажем, пространств Rd с гёльдеровыми метриками lqи пр. Ясно ведь, что все определения останутся в силе, коль скоро мы заменимевклидово расстояние произвольной метрикой.

5. Обобщение результатов на случай, когда речь идет о графах G = (V , E) вида:V = X ((X, ρ) - некоторое метрическое пространство),

E = (x, y) ∈ X ×X : ρ(x, y) ∈ H,

где H - некоторое (возможно, бесконечное) множество.

В нашей лекции мы вначале подробно остановимся на захватывающей историиклассических проблем, затем осветим различные аспекты перечисленных выше на-правлений исследований и, наконец, сформулируем новые задачи и гипотезы. Отме-тим, что наиболее полные обзоры по проблемам могут быть найдены в [2], [4], [5], [6]и [7].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 02-01-00912), гран-та поддержки Ведущих научных школ НШ-136.2003.1, гранта Президента РФ МК-3130.2004.1 и гранта ИНТАС 03-51-5070.



[1] K. Borsuk, Drei Satze uber die n - dimensionale euklidische Sphare, FundamentaMath., 20 (1933), 177 - 190.

[2] A. Soifer, Mathematical coloring book, Center for Excellence in Mathematical Ed-ucation, 1997.

[3] N. G. de Bruijn and P. Erdos, A colour problem for infinite graphs and a problemin the theory of relations, Proc. Koninkl. Nederl. Acad. Wet., Ser. A, 54 (1951), N5,371 - 373.

[4] А. М. Райгородский, Проблема Борсука и хроматические числа некоторыхметрических пространств, УМН, 56 (2001), N1, 107 - 146.

[5] А. М. Райгородский, Хроматические числа, Московский Центр НепрерывногоМатематического Образования, Москва, 2003.

[6] A. M. Raigorodskii, The Borsuk partition problem: the seventieth anniversary, Math.Intelligencer, 26 (2004), N3.

[7] V. G. Boltyanski, H. Martini and P.S. Soltan, Excursions into combinatorial geom-etry, Universitext, Springer - Verlag, Berlin Heidelberg 1997.


ГИПОТЕЗА КАМЕРОНА–ЭРДЕША О ЧИСЛЕ МНОЖЕСТВ,СВОБОДНЫХ ОТ СУММ

А. А. Сапоженко

Подмножество A целых чисел называется свободным от сумм, (сокращенно,МСС) если для любых a, b ∈ A число a + b не принадлежит множеству A. Длялюбых действительных чисел q и p обозначим через [q, p] множество натуральныхчисел x таких, что q ≤ x ≤ p. Семейство всех подмножеств A ⊆ [t, n], свободных отсумм, обозначим через S(t, n). Пусть s(t, n) = |S(t, n)|, а s(n) = |S(1, n)|. В 1988 г.П. Камерон и П. Эрдеш [9] предположили, что s(n) = O(2n/2). Они доказали, чтоs(n/3, n) = O(2n/2) и, кроме того, что существуют константы c0 и c1, такие, чтоs(n/3, n) ∼ c02

dn/2e для четных n и s(n/3, n) ∼ c12dn/2e для нечетных n. Статья [9]

инициировала ряд работ по перечислению МСС во множестве целых чисел и в груп-пах. Н. Алон [7], Н. Калкин [8], доказали, что log s(n) ≤ (n/2)(1+o(1)) (здесь и далееlogm = log2m). В. Лев, Т. Лучак и Т. Шон [10] и А. А. Сапоженко [3] получилиасимптотику для числа МСС в абелевых группах четного порядка. К. Г. Оме-льянов и А. А. Сапоженко [1] доказали, что s(n/4, n) = O(2n/2). Результат полученбез использования фактов из [9]. Ими же было доказано [2], что s(q, n) = O(2n/2) приq ≥ n3/4

√log n. Пусть S1(n) — семейство всех подмножеств нечетных чисел из от-

резка [1, n] и s1(n) = |S1(n)| = 2dn/2e. Целью данной статьи является доказательствоcледующего утверждения.

Теорема 1.s(n) ∼ s(n/3, n) + s1(n). (1)

Содержательно это означает, что семействами S1(n) и S(n/3, n) в основном исчерпы-вается семейство МСС в отрезке [1, n] натурального ряда. Отсюда вытекает спра-ведливость гипотезы Камерона-Эрдеша. Автору стало известно, что аналогичныйрезультат получен недавно Б. Грином [11]. Из (1) и [9] следует, что s(n) ∼ (c0+1)2dn/2e

для четных n и s(n) ∼ (c1 + 1)2dn/2e для нечетных n, где c0, c1 — упомянутые вышеконстанты из статьи [9]. Доказательство основного утверждения проводится в дваэтапа. Пусть

S(n) = S(n) \ (S(n/3, n) ∪ S1(n)). (2)

На первом этапе (теорема 3) доказывается, что для семейства S(n) существует такназываемая почти правильная система контейнеров. На втором доказывается, что|S(n)| = o(2n/2). Отсюда вытекает теорема 1.

Системы контейнеров. Положим N = [1, n], и пусть N0 и N1 — соответственноподмножества четных и нечетных чисел из N . Рассмотрим два семейства A и Bподмножеств множества N . Будем говорить, что семейство B покрывает семействоA, если для всякого A ∈ A существует B ∈ B такое, что A ⊆ B. Множества B ∈ Bбудем называть контейнерами, а семейство B — системой контейнеров для A. Вдальнейшем везде Ri,p = [i, i+ p− 1], а Li,p = [i− p+1, i]. Если X — интервал в N , томножество B∩X будем называть X-фрагментом множества B. Будем использовать

Сапоженко Александр Антонович, МГУ им. М. В. Ломоносова,Факультет вычислительной математики и кибернетики,Воробьевы горы, Москва, 119992, Россия, e-mail: [email protected]


обозначение Bi,p для множества B∩X, если X = Ri,p. Везде далее q = n3/4 log n и q =q log n. Cистему B контейнеров для A будем называть правильной, если выполненыследующие условия:

1) для достаточно больших n и любого B ∈ B

|B| ≤ n/2 +O(q). (3)

2) для достаточно больших n|B| ≤ 2o(q). (4)

3) для любых i ∈ [q, n− q], p ∈ [q, n− i]

||Bi,p| − p/2| ≤ q. (5)

4) для любых σ ∈ 0, 1, i ∈ [q, n− q] и p ∈ [q, n− i]

||Bi,p ∩Nσ| − p/4| ≤ q. (6)

Cистему B контейнеров для A назовем почти правильной, если она являетсяправильной для некоторого подсемейства A′ ⊆ A такого, что |A \ A′| = o(2n/2). Мысводим задачу об оценке s(n) к оценке числа независимых множеств в графе Кэли.Если F ⊆ [1, n] и V ⊆ [1, n], то граф CF (V ) с множеством вершин V , в которомпара i, j ⊆ V, i 6= j, является ребром тогда и только тогда, когда |i − j| ∈ F илиi + j ∈ F , назовем графом Кэли на множестве V относительно F . Подмножество Aвеpшин гpафа G называется независимым, если подгpаф, поpожденный множествомA, не содеpжит pебеp. Ясно, что для всякого МСС A ⊆ V и любого F ⊆ A множе-ство A независимо в графе CF (V ). Пусть I(G) — семейство независимых множествграфа G, а I(G) = |I(G)|. Cемейство B подмножеств вершин графа G назовем покры-вающим, если для всякого A ∈ I(G) существует B ∈ B такое, что A ⊆ B. Пусть ∂v —множество вершин, смежных с v, а ∂A =

(⋃v∈A ∂v

)\A. Пусть l ≤ k − θ ≤ k + θ ≤ p.

Граф c p вершинами, в котором минимальная степень вершины не меньше l, макси-мальная степень вершины не больше m, доля вершин, степень которых больше k+θ,не превышает ε, доля вершин, степень которых меньше k−θ, не превышает δ, назовем(p, l, k,m, δ, ε, θ)-графом.

Теорема 2. Пусть G = (V,E) является (p, l, k,m, δ, ε, θ)-графом, k > 3. Тогда суще-ствует покрывающее семейство B, удовлетворяющее следующим условиям:

1) для всякого D ∈ B

|D| ≤ pk + δ(k − l) + ε(m− k) + θ

2k −√k log k; (7)

2) для доcтаточно больших p

|B| ≤ 2p√

log kk ; (8)

3) для доcтаточно больших p

I(G) ≤ 2p2

1+δ(1− l

k)+ε(

mk−1)+Oθ

k+√

log kk . (9)


Сводя задачу оценки числа МСС в отрезке натуральных чисел к оценке чис-ла независимых множеств в подходящих графах Кэли и используя результаты ста-тьи [2], получаем следующее утверждение.

Теорема 3. Существует почти правильная система контейнеров для S(n).

Положим ν = bn/4c + 1, X = [ν, bn/2c], Y = [bn/2c + 1, n], Z = [1, ν − 1]. Сэтого момента вплоть мы будем считать, что зафиксирована некоторая правильнаядля S ′(n) система B и контейнер B ∈ B. Положим SB(n) = A ∈ S ′(n)|A ⊆ B,D = B ∩ X и H = B ∩ Y . Если K ⊆ N , то K + K = i + j ∈ N | i, j ⊆ K. ПустьQ = D + D и Q = Q ∩ H. Пусть Γ = (D,E) граф с множеством вершин D и мно-жеством E ребер вида i, j : i + j ∈ Q (петли, т.е. пары вида i, i допустимы).Число i+ j будем рассматривать как цвет ребра i, j. Тогда ребра графа Γ пра-вильно раскрашены в |Q| цветов. Для P ⊆ E пусть Ch(P ) — множество цветов ребериз P и χ(P ) = |Ch(P )|. Подмножество ребер называется паросочетанием, если в немникакие два ребра не смежны. Петли могут являться элементами паросочетания.Положим χ(Γ) = maxχ(P ), где максимум берется по множеству всех паросочетанийграфа Γ.

Лемма 1. Пусть χ(Γ) = µ. Тогда существует подмножество D′ ⊆ D такое, что

|D′| ≥ |D| − 2µ (10)

и|D′ +D′| ≤ |Y |/2 + q + µ. (11)

Доказательство. Пусть P — паросочетание такое, что χ(P ) = |P | = µ. Пусть W —множество вершин паросочетания P . Положим D′ = D \W . Тогда (10) выполнено.Пусть H = Y \ H. Ясно, что D′ + D′ ⊆ Ch(P ) ∪ H. Иное ведет к противоречию смаксимальностью χ(P ). В силу (5) имеем |H| ≤ |Y |/2 + q. Отсюда вытекает (11).

Теорема 4 (Г. А. Фрейман [5]). Если множество K целых чисел таково, что|K + K| ≤ 2|K| − 1 + b, где 0 ≤ b ≤ |K| − 3, то K содержится в арифметическойпрогрессии длины |K|+ b.

Следствие 1. Пусть Q = Q ∩H и Γ = (D,E) — определенный выше граф. Тогда

χ(Γ) ≥ |D|/8. (12)

Доказательство. Пусть D′ — множество, определенное в лемме 1, и χ(Γ) = µ.Предположим, что χ(Γ) < |D|/8. Тогда

|D′| ≥ |D| − 2µ > 3|D|/4 ≥ (3/4)(|X|/2− q) > |X|/3.

Пусть R — арифметическая прогрессия минимальной длины, содержащая D′. ТогдаR ⊆ X. Ясно, что R не может иметь разность, большую чем 2, так как в этом случае|R| ≤ |X|/3.

Пусть R имеет разность 2. Положим ‖R‖ = maxr ∈ R −minr ∈ R+ 1. Из (6)следует, что

‖R‖ ≥ 4|D ∩R| − 4q ≥ 4|D′| − 4q > 3|D| − 4q.


Поскольку ‖R‖ ≤ |X|, |X| ≤ 2|D|+2q ввиду (5), а |D| q, приходим к противоречию.Пусть R имеет разность 1. Из (5) вытекает, что |R| ≥ 2|D ∩ R| − 2q ≥ 2|D′| − 2q.

По теореме 4

|D′ +D′| ≥ 3|D′| − 2q − 1 = 9|D|/4− 2q − 1 ≥ 9|Y |/16− 5q.

При µ < |D|/8 это противоречит (11).Доказательство теоремы 1. Сначала оценим сверху |SB(n)|. Контейнер B од-

нозначно определяет граф Γ. Можно считать, что граф Γ однозначно определяет па-росочетание P такое, что |P | = χ(P ) = χ(Γ), а, значит, и T = Ch(P ). Заметим, что поопределению T ⊆ H. Пусть t = |T |. Положим S1 = A ∈ SB(n)| |A∩T | ≥ |t|(1−ε)/2)и S2 = SB(n) \ S1. Оценим |S1|. Для M ⊆ T пусть W (M) — множество концов реберпаросочетания P , окрашенных в цвета из M . Пусть M = A ∩ T , w1 — число вер-шин из W (M), инцидентных петлям, и w2= |W (M)| −w1. Тогда число подмножествC ⊆ W (M) таких, что C ∪M свободно от сумм, не превышает 3w2/2, а число подмно-жеств множества B\(T ∪W (M)) в силу (3) равно 2|B|−|T |−|W (M)| = 2n/2−|T |−|W (M)|+O(q).Заметим, что 3w2/22−|W (M)| ≤ 3w2/22−w2−w1 ≤ (4/3)|M |. Поскольку |M | ≥ t(1−ε)/2 дляA ∈ S1, то

|S1| ≤∑

M⊆T

3w2/22n/2−|T |−|W (M)|+O(q) ≤ 2n/2−(t/2)(1−ε) log(4/3)+O(q). (13)

С другой стороны, в силу неравенства больших уклонений, число подмножествM ⊆ T таких, что |M | < t(1− ε)/2, не превосходит 2t exp−2ε2t. Так как T ⊆ B, точисло подмножеств множества B \ T в силу (3) равно 2n/2−|T |+O(q). Отсюда

|S2| ≤ 2n/2−t(2ε2 log e)+O(q). (14)

Из (13) и (14), положив ε = 0.2346 и учтя, что t ≥ |D|/8 = n/64 + O(q) в силу (12),имеем

|SB(n)| = |S1|+ |S2| ≤ 2n/2−0.0158(|D|/8)+O(q) ≤ 2n/2−0.0024n+O(q).

Верхнюю оценку для |S ′(n)| получим суммированием |SB(n)| по B. Принимая вовнимание (4), имеем

|S ′(n)| ≤∑

B

|SB(n)| ≤ 2o(q) · 2n/2−0.0024n+O(q) = 2n/2−0.0024n+o(hq). (15)

Поскольку |S(n)| = |S ′(n)|+ o(2n/2), то из (2), теоремы 3 и (15) вытекает (1).Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 04-01-00359).


[1] Омельянов К. Г., Сапоженко А. А., О числе множеств, свободных от сумм, вотpезке натуpальных чисел.// Дискpетная математика, (2002) 14, No 3, с. 3–7.

[2] Омельянов К. Г., Сапоженко А. А., О числе и структуре множеств, свободныхот сумм, в отpезке натуpальных чисел.// Дискpетная математика, (2003) 15,No 4, с. 11–15.


[3] Сапоженко А. А. О числе множеств, свободных от сумм в абелевых группах //Вестник московского университета, Серия 1, Математика, Механика, No 4, 2002,C. 14-18. 2001, C. 56–62.

[4] Сапоженко А. А. О числе независимых множеств в расширителях // Дискрет-ная математика, т. 13, вып. 1, 2001, C. 56–62.

[5] Фрейман Г. А., Сложение конечных множеств, Изв. Высш. Учебн. Завед., Ма-тематика, 6(13), (1959), 202–213.

[7] Alon N., Independent sets in regular graphs and Sum-Free Subsets of Finite Groups.//Israel J. of Math., 73 (1991), No 2, 247–256.

[8] Calkin N. On the number of sum-free set// Bull. London Math. Soc., 22 (1990), 141–144.

[9] Cameron P., Erdos P., On the number of integers with various properties// in R. A.Mollin (ed). Number Theory: Proc. First Conf. Can. Number Th. Ass., Banff, 1988,— de Gruyter. 1990 — P. 61–79.

[10] Lev V.F., Luczak T., Schoen T., Sum-free sets in Abelian groups, Israel Journ.Math.125 (2001) 347, P.347–367.

[11] Green B., The Cameron-Erdos conjecture, Bull. Lond. Math. Soc. Сдано в печать.


COMPUTERS, GRAPHS AND DISCOVERY

Pierre Hansen

As already stressed by Archimedes [4] discovery and proof are different activities, whichrequire different methods. One must first find what is to be proved, i.e., a conjecture, byany procedure, possibly aided by a physical model, then prove it or refute it by logicalmeans. Both tasks can be aided by computers in various fields of mathematics. Fully auto-mated proofs in graph theory are still limited to simple properties [19][20][22][16][24][25].In contrast, partly automated proofs, which use both human reasoning and specializedcomputer programs, have met with much success since the proof of the 4-color theorem[1][2][3][36] (and despite the controversy on the reliability of such proofs, see e.g. [5]). Toillustrate, the fifth update of a “dynamic survey” on “Small Ramsey Numbers” [35] reviewsresults which were obtained with the aid of the computer in 71 papers among the 274which are cited. Recourse to the computer to complete a difficult proof is thus widespread.

In this talk, we focus on computer aids to discovery, i.e., finding conjectures andrefutations, in graph theory.

Quite a few systems have been developed in the last 25 years. They are based ondifferent principles:

a) EnumerationAll graphs with up to 12 vertices have been enumerated. Various systems use (usually

smaller) such lists to suggest conjectures about particular classes of graphs or to refuteconjectures, e.g. in Colton’s HR system.

Programs such as McKay’s Geng [33][34] perform an orderly generation of graphs sat-isfying various types of constraints and exploit symmetry. Specific enumeration programsare also in wide use.

b) Interactive ComputingThe system GRAPH developed by Cvetkovic and co-workers [16][17][18][23] from 1980

onwards is the pioneering example, and led to numerous research papers. It exploits thespeed of the computer together with effective graph representation.

c) Invariant manipulationThe INGRID system of Brigham and Dutton [6][7][8][9] exploits a database of graph

relations to compute bounds on the values of invariants. This leads, among other features,to generate conjectures of particular forms.

d) Generation and selectionThe Graffiti program of Fajtlowicz [26][27][28][29][30][31] generates large numbers of

a priori conjectures then eliminates false or uninteresting ones by various heuristics, orby proving or disproving easy ones by hand and iterating. Remaining conjectures arepublicized on the Written On the Wall site.

e) Heuristic OptimizationCaporossi’s and Hansen’s system Autographix (AGX) [10][11][12][15][13][14] deter-

mines near-optimal graphs for some invariant (or formula involving several invariants)using the Variable Neighborhood Search metaheuristic of Hansen and Mladenovic [32].Then conjectures are determined in:

Pierre Hansen, GERAD and Department of Quantitative Methods in Management,HEC Montreal, Canada, phone: (1-514) 340-6052,fax: (1-514) 340-5665, e-mail: [email protected]


e1) a numerical way exploiting the mathematics of Principal Component Analysis:e2) a geometric way, using a gift-wrapping algorithm to find the converse hall of points rep-resenting graph in invariant space. (This approach is also followed in the recent GrapHe-dron system of Melot et al.)e3) an algebraic way, recognizing the class of extremal graphs obtained and performingalgebraic manipulations to deduce conjectures from the experiences of individual invari-ants.

These approaches will be reviewed, illustrated by examples and compared.

REFERENCES

[1] Appel, K., and Haken, W. Every planar map is four colorable. Part I. Discharging.Illinois J. Math., 21 (1977), 429 – 490.

[2] Appel, K., and Haken, W. Every planar map is four colorable. Part II. Reducibility.Illinois J. Math., 21 (1977), 491 – 567.

[3] Appel, K., and Haken, W. Every planar map is four colorable. Contemp. Math., 98(1989), 1 – 741.

[4] Archimedes. The method of mechanical theorem proving, cited by J. Gray in “Sale ofthe Century ?”. The Mathematical Intelligencer, 21 (1999), 12 – 15.

[5] Barefoot, C. A., Entringer, R. C., and Mullhaupt, A. P. Computer based proofs byinduction in graph theory – A house of cards ? Math. Comput. Modelling 17, 11(1993), 17 – 23.

[6] Brigham, R. C., and Dutton, R. D. Ingrid: A software tool for extremal graph theoryresearch. Congressum Numerantium, 39 (1983), 337 – 352.

[7] Brigham, R. C., and Dutton, R. D. A compilation of relations between graph invari-ants. Networks, 15 (1985), 73 – 107.

[8] Brigham, R. C., and Dutton, R. D. A compilation of relations between graph invari-ants. Supplement 1. Networks, 21 (1991), 421 – 455.

[9] Brigham, R. C., Dutton, R. D., and Gomez, F. INGRID: A graph invariant manip-ulator. J. Symbolic Computation, 7 (1989), 163 – 177.

[10] Caporossi, G., Cvetkovic, D., Gutman, I., and Hansen, P. Variable NeighborhoodSearch for Extremal Graphs 2. Finding Graphs with Extremal Energy. J. of Chem.Inf. and Comp. Sci., 39 (1999), 984 – 996.

[11] Caporossi, G., Dobrynin, A. A., Hansen, P., and Gutman, I. Trees with palindromicHosoya polynomials. Graph Theory Notes N. Y., 37 (1999), 10 – 16.

[12] Caporossi, G., Gutman, I., and Hansen, P. Variable Neighborhood Search for Ex-tremal Graphs 4. Chemical Trees with Extremal Connectivity Index. Computers andChemistry, 23 (1999), 469 – 477.

[13] Caporossi, G., and Hansen, P. Finding Relations in Polynomial Time. In Proceed-ings of the XVIth International Joint Conference on Artificial Intelligence (IJCAI)(Stockholm, 1999), vol. 2.


[14] Caporossi, G., and Hansen, P. Variable Neighborhood for Extremal Graphs 1. TheSystem AutoGraphiX. Discr. Math., 212 (2000), 29 – 44.

[15] Caporossi, G., and Hansen, P. Variable Neighborhood for Extremal Graphs 5. Threeways to automate finding conjectures. Discr. Math., 276 (2004), 81 – 94.

[16] Cvetkovic, D. Discussing graph theory with a computer, II: Theorems suggested bythe computer. Publications de l’Institut Mathematique de Beograd, 47 (1983), 29 –33.

[17] Cvetkovic, D., and Kraus, L. “Graph” an expert system for the classification andextension of the knowledge in the field of graph theory, User’s manual. Elektrotehn.Fak., Beograd, 1983.

[18] Cvetkovic, D., Kraus, L., and Simic, S. Discussing graph theory with a computer, I:Implementation of graph theoretic algorithms. Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak(1981), 100 – 104.

[19] Cvetkovic, D. Discussing graph theory with a computer, IV: Knowledge organisationand examples of theorem proving. In Proceeding of the Fourth Yugoslav Seminar onGraph Theory (Novi Sad, 1983), pp. 43 – 68.

[20] Cvetkovic, D. Discussing graph theory with a computer, VI: Theorems proved withthe aid of the computer. Bulletin de l’Academie Serbe des Sciences et des Arts, T.XCVII (1988), 51 – 70.

[21] Cvetkovic, D., and Pevac, I. Discussing graph theory with a computer, III: Man-machine theorem proving. Publ. Inst. Math. (Beograd) 34(49)(1983), 37 – 47.

[22] Cvetkovic, D., and Pevac, I. Man-machine theorem proving in graph theory. ArtificialIntell., 35 (1988), 1 – 23.

[23] Cvetkovic, D., and Simic, S. Graph theoretical results obtained by the support of theexpert system “graph”. Bulletin de l’Academie Serbe des Sciences et des Arts, T.CVII (1994), 19 – 41.

[24] Epstein, S. L. On the discovery of mathematical theorems. In Proceedings of theTenth International Joint Conference on Articial Intelligence (Milan, Italy, 1987),pp. 194 – 197.

[25] Epstein, S. L., and Sridharan, N. S. Knowledge representation for mathematicaldiscovery : Three experiments in Graph Theory. J. of Apllied Intelligence, 1 (1991),7 – 33.

[26] Fajtlowicz, S. Written on the Wall. A regulary updated file accessible fromhttp://www.math.uh.edu/˜clarson/.

[27] Fajtlowicz, S. On conjectures of Graffiti – II. Congr. Numer., 60 (1987), 187 – 197.

[28] Fajtlowicz, S. On conjectures of Graffiti. Discrete Mathematics, 72 (1988), 113 –118.

[29] Fajtlowicz, S. On conjectures of Graffiti – III. Congr. Numer., 66 (1988), 23 – 32.

[30] Fajtlowicz, S. On conjectures of Graffiti – IV. Congr. Numer., 70 (1990), 231 – 240.

[31] Fajtlowicz, S. On conjectures of Graffiti – V. In Seventh International QuadrennialConference on Graph Theory (1995), vol. 1, pp. 367 – 376.


[32] Hansen, P., and Mladenovic, N. Variable Neighborhood Search : Principles and Ap-plications. European J. of Oper. Res., 130 (2001), 449 – 467.

[33] McKay, B. D. Nauty user’s guide (version 1.5). Tech. Rep. TR-CS-90-02, Departmentof Computer Science, Australian National University, 1990.

[34] McKay, B. D. Isomorph-free exhaustive generation. Journal of Algorithms, 26 (1998),306 – 324.

[35] Radziszowski, S. P. Small Ramsey Numbers. Dynamic Survey 1. Electr. J. of Combin.(1994). Updated 1998.

[36] Robertson, N., Sanders, D., Seymour, P., and Thomas, R. The four-color theorem.Journal of Combinatorial theory, Ser. B, 70 (1997), 2 – 44.


О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ СРЕДНЕЙ СЛОЖНОСТИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

А. В. Чашкин

Введение

В докладе рассматривается средняя сложность вычисления булевых функцийневетвящимися программами с условной остановкой и ограниченной памятью и мо-нотонными неветвящимися программами с условной остановкой. Эти программы яв-ляются частными случаями неветвящихся программ с условной остановкой, рассмот-ренных в [1]–[3]. Программы в [1]–[3] вычисляют булевы функции и их работу можнопредставить следующим образом. Вычисления выполняет процессор, снабженный па-мятью, состоящей из отдельных ячеек, которые будем обозначать символами xi, yj

и zk. Ячейки xi содержат значения независимых переменных xi. Ячейки yj исполь-зуются для хранения промежуточных результатов вычислений, эти ячейки будемназывать внутренними переменными. Ячейки zk используются для записи резуль-татов работы программы, такие ячейки будем называть выходными переменными.Процессор работает под управление программы, являющейся последовательностьювычислительных команд и команд остановки. Каждая вычислительная команда име-ет вид a = f(b, c) и за единицу времени вычисляет значение булевой функции f ,аргументы которой b и c являются переменными xi, yj или zk. Вычисленное значениеприсваивается внутренней или выходной переменной a. Команда остановки имеетвид Stop(q), где аргумент q есть xi, yj или zk. Если значение аргумента равно еди-нице, то команда Stop(q) прекращает работу программы. Если значение аргументаравно нулю, то выполняется следующая команда программы. Число команд, выпол-ненных программой P на наборе переменных x, назовем временем работы P на x иобозначим через TP (x). Величину

T (P ) = 2−n∑

TP (x),

где суммирование производится по всем двоичным наборам длины n, назовем сред-ним временем работы программы P . Если для некоторой n-местной булевой вектор-функции f и любого двоичного набора x длины n справедливо равенство f(x) = P (x),то будем говорить, что программа P вычисляет функцию f . Величину

T (f) = minT (P ),

где минимум берется по всем программам, вычисляющим f , назовем средней слож-ностью функции f . Программу P , вычисляющую функцию f , для которой спра-ведливо равенство T (P ) = T (f), назовем минимальной программой. СложностьюC(P ) программы P назовем число команд этой программы. Величину

C(f) = minC(P ),

где минимум берется по всем программам, вычисляющим f , назовем сложностьюфункции f . Величина C(f) характеризует время, необходимое для вычисления f вхудшем случае, поэтому C(f) так же будем называть сложностью в худшем случае.

Чашкин Александр Викторович, МГУ им. М.В.Ломоносова,механико-математический факультет, Воробьевы горы, Москва, 119992, Россия,e-mail: [email protected], [email protected]


В качестве примера рассмотрим программу P , вычисляющую систему из двухфункций — дизъюнкции и конъюнкции четырех переменных:

z1 = x1 ⊕ x2; z2 = 0; Stop(z1); z1 = x3 ⊕ x4; Stop(z1); z1 = x1 ∨ x3; z2 = x1&x3.

В этой программе дизъюнкция вычисляется переменной z1, а конъюнкция — перемен-ной z2. Легко видеть, что сложность этой программы равна семи. Найдем ее среднеевремя работы. Первая команда остановки прекращает ее работу на восьми наборах:(0100), (0101), (0110), (0111), (1000), (1001), (1010), (1011); вторая команда остановки— на четырех наборах: (0001), (0010), (1101), (1110); наконец, на оставшихся четы-рех наборах (0000), (0011), (1100) и (1111) выполняются все команды программы.Поэтому для среднего времени работы имеем

T (P ) =1

16

(3 · 8 + 5 · 4 + 7 · 5

)=

9

2.

Отметим, что неветвящаяся программа, не содержащая команды остановки ивычисляющая функцию, отличную от независимой переменной, является обычнойсхемой из функциональных элементов, базис которой состоит из всех не более чемдвухместных булевых функций. Поэтому средняя сложность любой булевой функцииf(x1, . . . , xn), существенно зависящей не менее чем от двух переменных, не большеее схемной сложности, т. е.

T (f(x1, . . . , xn)) ≤ L(f(x1, . . . , xn)).

Здесь L(f) обозначает сложность вычисления функции f схемами, базис которыхсостоит из всех двухместных булевых функций.

1. Программы с ограниченной памятью

Будем говорить, что программа P использует память объемаM , если сумма числавнутренних и числа выходных переменных этой программы равна M . Положим

TM(f) = minT (P ), CM(f) = minC(P ),

где минимум берется по всем программам, которые вычисляют f и объем памятикоторых не превосходит M . Имеет место следующий результат.

Теорема. 1 Пусть n → ∞, n ≤ M ≤ 2n. Тогда: (i) для почти каждой булевойфункции f , зависящей от n переменных,

TM(f) &3

4· 2n−1

log2M;

(ii) для каждой булевой функции f , зависящей от n переменных,

TM(f) .2n−1

log2M.

Далее n-местные булевы вектор-функции сm компонентами будем называть буле-выми (n,m)-вектор-функциями. Для средней сложности вычисления булевых вектор-функций программами с ограниченной памятью имеет место следующий результат.


Теорема. 2 Положим γ = 2m+2

. Пусть n → ∞, m = nO(1), n + m ≤ M ≤ 2n.Тогда: (i) для почти каждой булевой (n,m)-вектор-функции f

TM(f) &m

2− γ ·2n−1

log2M;

(ii) для каждой булевой (n,m)-вектор-функции f

TM(f) .m+ 2

2· 2n−1

log2M.

Из теоремы 2 легко извлекается следствие, устанавливающее асимптотически точ-ную формулу для средней сложности почти всех булевых вектор-функций с расту-щим числом компонент при их вычислении программами с ограниченной памятью.

Следствие. 1 Пусть n,m → ∞, m = nO(1), n + m ≤ M ≤ 2n. Тогда: (i) дляпочти каждой булевой (n,m)-вектор-функции f

TM(f) ∼ 2n−2m

log2M;

(ii) для каждой булевой (n,m)-вектор-функции f

TM(f) .2n−2m

log2M.

Сложность булевых функций при их вычислении схемами с ограниченной па-мятью исследовалась ранее В.К.Коробковым. Им в частности было установлено,что если использовать память объема M , то при n,M → ∞ сложность LM почтикаждой n-местной булевой функции асимптотически равна 2n

log2 M. Из этого резуль-

тата и из теоремы 1 следует, что при одинаковом объеме памяти, используемомсхемами и неветвящимися программами с условной остановкой, отношение схемнойи средней сложности равно константе для почти всех булевых функций. С другойстороны, нетрудно показать, что существуют функции для которых такое отноше-ние значительно больше. В следующей теореме устанавливается порядок величинымаксимально возможного отношения схемной сложности n-местной булевой функ-ции к ее средней сложности при вычислениях с ограниченной памятью. ПоложимµM(n) = maxLM (f)/TM(f), где максимум берется по всем n-местным булевым функ-циям.

Теорема. 3 Пусть n→∞, n ≤M ≤ 2n. Тогда

µM(n) √

2n

log2M. (1)

2. Монотонные программы

Рассматриваемые далее монотонные программы отличаются от произвольныхпрограмм из [1]–[3] тем, что в вычислительных командах используются только моно-тонные булевы функции: дизъюнкция, конъюнкция, тождественная функция и две


константы 0 и 1. Нетрудно видеть, что любая булева функция может быть вычис-лена подходящей монотонной неветвящейся программой с условной остановкой. Вкачестве примера рассмотрим следующую программу:

z = 0; y = x1&x2; Stop(y); z = 1; y = x1 ∨ x2; Stop(y); z = 0,

которая, как легко видеть, вычисляет линейную функция x1⊕ x2. Средней монотон-ной сложностью и монотонной сложностью булевой функции f назовем величины

Tm(f) = minT (P ), Cm(f) = minC(P ),

где минимумы берутся по всем монотонным программам, вычисляющим f . Нижечерез L&,∨,¬(f) обозначается сложность реализации булевой функции f схемами вбазисе &,∨,¬. Следующая теорема доказывается при помощи результатов о слож-ности слой-функций из [6].

Теорема. 4 Для каждой булевой (n,m)-вектор-функции f

Cm(f) ≤ 2nL&,∨,¬(f) + 7n2.

Из предыдущей теоремы, теоремы 1 и результатов работы [5] имеем следующееутверждение о средней монотонной сложности почти всех булевых функций.

Теорема. 5 Пусть n → ∞. Тогда: (i) для почти каждой булевой функции f ,зависящей от n переменных,

Tm(f) &3

4· 2

n−1

n;

(ii) для каждой булевой функции f , зависящей от n переменных,

Tm(f) .c · 2n

n,

где c — некоторая постоянная.

Сравнение теорем 1 и 5 показывает, что для почти всех булевых функций их сред-няя монотонная и средняя сложности отличаются не более чем в постоянное числораз. В приводимой ниже теореме 6 оценивается максимально возможное значениеэтого отношения. Положим λ(n) = maxTm(f)

/T (f), где максимум берется по всем

n-местным булевым функциям.

Теорема. 6 Существуют такие постоянные c1 и c2, что

c1√

2n/n ≤ λ(n) ≤ c2√

2n · n

Далее приведем два утверждения о монотонной средней сложности конкретныхбулевых функций.

Теорема. 7 Пусть fn : 0, 1n → 0, 1n — линейная булева вектор-функция,в матрице которой все элементы, кроме стоящих на главной диагонали, равныединице. Тогда при n→∞

Tm(fn) n2, Cm(fn) n2.


Так как для линейной булевой вектор-функции fn из теоремы 7 справедливо ра-венство L(fn) n, то легко видеть, что неравенство в теореме 4 является точным сточностью до постоянного множителя.

Теорема. 8 При n→∞

Tm(x1 ⊕ · · · ⊕ xn) n log2 n, Cm(x1 ⊕ · · · ⊕ xn) n log2 n.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-ных исследований (проект 02-01-00985), программы поддержки ведущих научныхшкол РФ (проект НШ-1807.2003.1), программы «Университеты России» (проектУР.04.03.007) и программы фундаментальных исследований Отделения математи-ческих наук РАН «Алгебраические и комбинаторные методы математической кибер-нетики» (проект «Оптимальный синтез управляющих систем»).


[1] Чашкин А.В. О среднем времени вычисления значений булевых функций // Дис-кретный анализ и исследование операций. 1997. Вып. 1. С. 60–78.

[2] Чашкин А.В. О среднем времени вычисления булевых операторов // Дискрет-ный анализ и исследование операций. 1998. Вып. 1. С. 88–103.

[3] Чашкин А.В. Среднее время вычисления значений элементарных булевыхфункций // Дискретная математика. 2000. Вып. 4. С. 109–120.

[4] Чашкин А.В. О средней монотонной сложности линейных булевых функций //Материалы XIV Международной школы-семинара "Синтез и сложность управ-ляющих систем". Н. Новгород 2003. С. 92–97.

[5] ШоломовЛ.А. О реализации недоопределенных булевых функций схемами изфункциональных элементов // Проблемы кибернетики. Вып. 21. — М.: Наука,1969. — С. 215–226.

[6] Wegener I. The Complexity of Boolean Function. Willy and B.G. Teubner, Stuttgart.1987.


МНОГОГРАННИКИ МНОГОИНДЕКСНЫХ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ:АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД

В. Н. Шевченко

Обозначения. Q – поле рациональных чисел, Z – кольцо целых чисел;(

mn

)=

m!n!(n−m)!

– число сочетаний из m по n; [n]=1,. . . ,n; если A ∈ Q, то A+ – множество

неотрицательных целых чисел из A, и Am×n – множество матриц с элементами измножества A с m строками и n столбцами, в частности, Am×1 обозначим через Am

и матрицу (единственную) из 1m×n обозначим 1m×n; 0m×n ∈ 0m×n; En – единич-ная матрица n-го порядка и ej – ее j-ый столбец (j = 1, . . . , n); через A′ обозначимматрицу, транспонированную к матрице A. Нам потребуется еще кронекерово произ-ведение матриц (определение и свойства см., например, в [1]): если A = (aij) ∈ Qm×n

и B ∈ Qs×t, то их кронекеровым произведением называется блочная матрица изQms×nt

A× B =

a11B . . . a1nB. . . . . . . . .am1B . . . amnB

.

1. Широко известная [2-4] транспортная задача (ТЗ) заключается в минимизациилинейной функции на многограннике, задаваемом в евклидовом пространстве Qn1n2

неравенствами xj1j2 ≥ 0 и уравнениями

∑

j1∈[n1]

xj1j2 = b0j2 (j2 ∈ [n2]),∑

j2∈[n2]

xj1j2 = bj10 (j1 ∈ [n1]).

Естественный переход от двух к k индексам (широкий спектр прикладных задач,получаемых таким образом, см., например, в [3]), накладывает на неотрицательныепеременные xJ = xj1...jk

, J = (j1 . . . jk) ∈ [n1] × · · · × [nk] ограничения – равенстватипа: ∑

j1∈[n1]

· · ·∑

js∈[ns]

xj1...jk= b0...0js+1...jk

, jν ∈ [nν ] при ν > k.

Если суммировать не по первым s индексам, а по индексам jiµ с номерами iµ измножества I = i1, . . . , is, где 1 ≤ i1 < · · · < is ≤ k, то получим равенство (ср. [4,5])

∑

ji1∈[ni1

]

· · ·∑

jis∈[nis ]

xj1...jk= bj1...ji1

−1 0 ji1+1...jis−1 0 jis+1...jik

, jν ∈ [nν ] при ν /∈ I. (1)

Матрицу системы (1) будем обозначать через TI(n1, . . . , nk) или, короче, черезTI , а столбец правых частей – через bI . Итак, для задания k-индексной ТЗ кроменатуральных чисел n1, . . . , nk надо задать конечное число I1, . . . , It различных под-множеств множества [k] и, полагая I = Iτ , для каждого τ ∈ [t] записать уравнения

Шевченко Валерий Николаевич,Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского,пр-т Гагарина 23, Н. Новгород, 603950, Россия, тел. (8312) 65-78-81.e-mail: [email protected], [email protected]


(1). Вообще говоря, sτ = |Iτ | 6= |Iσ| при σ 6= τ , если же sτ = s (τ ∈ [t]), то назовем за-дачу s-валентной, а в противном случае – разновалентной. При t =

(ks

)s-валентная

задача называется k-индексной s-арной ТЗ ; при s = 1 назовем ее планарной, а приs = k − 1 – аксиальной. Следует заметить впрочем, что терминологию нельзя счи-тать установившейся: например, в [5] s-арная задача называется симметричной, яже предпочитаю сохранить этот термин для случая, когда n1 = . . . = nk = n.

Используя, как и в [6], кронекерово произведение и лексикографически упоря-дочивая переменные и уравнения, систему (1) можно переписать в матричном видеTIx = bI , где TI = T (1, I) × · · · × T (k, I), а T (µ, I) = 11×nµ при µ ∈ I и T (µ, I) = Enµ

при µ /∈ I. Тогда система уравнений

Tx = b (2)

k-индексной ТЗ (можно считать это эквивалентным определением) состоит из t бло-ков, где блок с номером τ ∈ [t] имеет вид TIτ

x = bIτ.

В развернутом виде матрицу T k-индексной ТЗ будем обозначать черезT (k; I1, . . . , It;n1, . . . , nk); если она симметричная – через T (k; I1, . . . , It;n); если онаs-арная – через T (k, s;n1, . . . , nk), если она еще и симметричная – через T (k, s, n). Вчастности, обычная ТЗ имеет матрицу T (2, 1;n1, n2). Кроме того, положимT (k, 0;n1, . . . , nk) = EN , T (k, k;n1, . . . , nk) = 1N , где N =

∏i∈[k] ni.

Вопросы сводимости k-индексных ТЗ к задачам с меньшим числом индексов рас-смотрены в [5], где, в частности, показано, что можно ограничиться случаем попарнонесравнимых I1, . . . , It. Будем считать также, что n1 ≥ . . . ≥ nk ≥ 2.

МножествоP(T, b) = x ∈ QN

+ | Tx = b (3)

назовем k-индексным транспортным многогранником, а множество

P(T, b, d) = x ∈ P(b)| x ≤ d

– его d-усечением. Рассматриваются также многогранники P(T≤, b) и P(T≤, b, d), вкоторых система уравнений Tx = b заменяется системой неравенств Tx ≤ b.

Широкий круг вопросов (например, условия совместности, число вершин, числобазисов), как правило успешно решаемый при k = 2 (см. [4] и имеющуюся там биб-лиографию), легко обобщить на многоиндексный случай, но, к сожалению, не частоудается получить удовлетворительные ответы.

В первую очередь это связано с тем, что, как хорошо известно, при переходеот k = 2 к k ≥ 3 (за исключением случая T (k, 1, 2)) матрица T перестает бытьвполне унимодулярной (вполне унимодулярной называется целочисленная матрица,все миноры которой равны 0, либо ±1; если же этим свойством обладают толькобазисные миноры, то матрицу назовем унимодулярной). Особенно это важно приизучении вопросов, связанных с пересечением P (T, b) или P (T, b, d) с целочисленнойрешеткой, к которым сводятся многочисленные обобщения задачи о назначениях [4](в этом случае все координаты вектора b равны 1). Разумеется, здесь имеются иNP -полные задачи (начиная с k = 3). По-видимому, [7] - первая публикация такогорода. В ней фактически доказано, что задача определения, содержит ли P (T, b) приk = 3 и s = 1 целочисленную точку, является NP -полной. Аналогичный результатдля P (T, b, d) при k = 3, s = 2, n1 = n2 = n3 = n, b = 13n, dJ ∈ 0, 1 можно найти в[8,9].


2. Хорошо известно (см., например, [4]), что при неунимодулярной матрице T су-ществует целочисленный вектор b, при котором многогранник P (T, b) имеет вершиныV с дробными координатами.

Максимальный из знаменателей дробных компонент вершин многогранниковP (T, b) при произвольном b – обозначим эту величину через q(T ) – не превосходит аб-солютной величины ∆(T ) базисного минора матрицы T . Для некоторых T (k, s, n) - восновном при s = 1, k−1 - эти величины исследованы в [10]. Аналогично, абсолютнаявеличина ∆j(T ) минора j-го порядка матрицы T играет ту же роль для многогран-ника P (T≤, b). Ключ к исследованию ∆j(T ) дает следующий результат, полученныйв [6] для s-арных задач. Рассмотрим матрицу n-го порядка

Qn =

1 1 . . . 11 −1 . . . 0...

.... . .

...1 0 . . . −1

и ее j-й столбец q(j, n). Положив Q = Qn1 × · · · × Qnk, обозначим через qJ , где

J = j1, . . . , jk, J-й столбец матрицы Q. Очевидно, что qJ = q(j1, n1)×· · ·× q(jk, nk).

Теорема 1. Для любой матрицы T = T (k; I1, . . . , It;n1, . . . , nk) столбцы матри-цы Q составляют базис из собственных векторов матрицы T ′T , причем собственноечисло λJ , соответствующее столбцу qJ , вычисляется по формуле

λJ =∑

τ∈[t]

∏

µ∈[k]

λ(µ, jµ, Iτ ), (4)

где λ(µ, jµ, Iτ ) = 1 при µ /∈ Iτ , λ(µ, jµ, Iτ ) = 0 при µ ∈ Iτ и jµ 6= 1, λ(µ, jµ, Iτ ) = nµ приµ ∈ Iτ и jµ = 1.

Этот результат позволяет находить характеристический многочлен

det(λEN − T ′T ) = λN−r

r∑

j=0

(−1)jsj(T )λr−j, (5)

где sj(T ) – сумма квадратов миноров j-го порядка матрицы T . Таким образом, появ-ляется возможность исследовать асимптотику поведения величины δj(T ) – среднегозначения квадрата минора j-го порядка матрицы T , что и было сделано для различ-ных симметричных s-арных ТЗ [11 - 14].

В частности, имеет местоСледствие 1. Пусть T = T (k, s, n) и j ∼ αnk−s. Тогда

δj(T )→∞ , при e < α <

(ks

),

0 , при 0 < α < e/(

k−1s

)

с экспоненциальной скоростью.Множество RT = x ∈ QN |Tx = 0 назовем правым нуль-пространством мат-

рицы T , а множество RZ

T = RT ∩ ZN – правым модулем матрицы T . Будем считать,что базис пространства RT задан матрицей B ∈ ZN×(N−r), где r-ранг матрицы T .


Ясно, что множество целочисленных комбинаций столбцов матрицы B содержитсяв RZ

T , но, вообще говоря, с ним не совпадает. Последнее выполняется тогда и толькотогда, когда B – унимодулярна; в этом случае назовем ее базисом модуля RZ

T .Следствие 2. Базис пространства RT можно составить из столбцов qJ матрицы

Q, соответствующих λJ = 0. Множество таких J определяется условием:

∀τ ∈ [t] ∃µ ∈ Iτ | jµ 6= 1. (6)

Матрицу, получающуюся из Qn заменой ее первого столбца на e1, обозначим черезQn и положим Q = Qn1×· · ·×Qnk

. Выбросим из Q все те ее столбцы qj, для которыхJ не удовлетворяет условию (6), и оставшуюся после этого матрицу обозначим черезR0.

Следствие 3 [15]. Если T = T (k, s;n1, . . . , nk), то R0 – базис модуля RZT .

По-видимому, это верно для любых k-индексных ТЗ.3. Подсчитав у матрицы T число строк

M =∑

τ∈[t]

∏

i∈Iτ

ni,

из (5) легко получить формулу

det(λEM − TT ′) = λM−r

r∑

j=0

(−1)jsj(T )λr−j. (7)

Теорема 1 позволяет находить и собственные векторы fJ матрицы TT ′, соответству-ющие λJ 6= 0: так как (TT ′)(TqJ) = λ(TqJ), то fJ = TqJ .

Сложнее обстоит дело с собственными векторами, соответствующими нулевымсобственным значениям или, что то же самое, с построением базиса левого нуль-пространства LT матрицы T , то есть множества решений системы

yT = 0. (8)

Проведем его построение для k-индексной s-арной ТЗ. Для ν /∈ I положим L(ν, I)=L1(ν, I)× . . .× Lk(ν, I), где Lν(ν, I) = 11×nν , Lµ(ν, I) = 1 при µ ∈ I и Lµ(ν, I) = Eνµ востальных случаях. Нетрудно проверить, что

L(ν, I)TI = TI , (9)

где TI – блок матрицы k-индексной (s + 1)-арной ТЗ, соответствующей множествуI = I ∪ s. Для каждого (s + 1)-элементного подмножества I = i0, i1, . . . , is икаждого µ = 0, 1, . . . , s образуем s-элементное подмножество Iµ = I\iµ. Из (9) длякаждого I получаем s равенств

L(i0, I0)TI0 − L(iµ, Iµ)TIµ= 0, µ ∈ [s], (10)

дающих строки из пространства LT . Отсюда следует, что для любой совместнойсистемы (2) необходимо выполнение так называемых условий баланса

L(i0, I0)bI0 = L(iµ, Iµ)bIµ. (11)


Этот факт отмечается многими исследователями для различных s и k (см., например[16, 17]). Оказывается имеет место и обратное, что было известно [5] лишь при k =s− 1.

Теорема 2. Для любой матрицы T = T (k, s;n1, . . . , nk) условия (11) необходимыи достаточны для совместности системы (2) над полем Q. Если b ∈ Zµ, то то жеверно и над кольцом Z.

Следствие 1. Для построения базиса пространства LT достаточно удалить изсистемы (10) равенства, являющиеся линейными комбинациями остальных.

Как и в п.2 можно определить LZT – левый модуль матрицы T как множество

целочисленных решений системы (8) и его базис.Следствие 2. Среди базисов пространства LT , построенных в следствии 1, име-

ются базисы модуля LZT .

4. Полученные результаты полезны при решении вопроса о непустоте P (T, b), ко-торый можно поставить в двух вариантах: а) при данных b и T найти x ∈ P (T, b)или доказать, что P (T, b) = ∅, б) при данной матрице T найти необходимые и доста-точные условия (т.е. описать множество векторов b), при которых P (T, b) 6= ∅.

Поскольку, как хорошо известно [18], имеется полиномиальный алгоритм для ре-шения общей задачи линейного программирования, то для ответа на первый из по-ставленных вопросов принципиальных препятствий нет. Тем не менее разработкаалгоритмов, использующих специфику многоиндексных ТЗ, начатая с первых работв этой области [16,19,3], заслуживает всяческого уважения.

Ввиду теоремы 2 для s-арной ТЗ во втором варианте вопрос можно поставитьтак: найти такую матрицу KT , чтобы условия (11) и

KT b ≥ 0 (12)

давали критерий непустоты многогранника P (T, b). Теория линейных неравенств [20]дает алгоритм построения KT , для оценки трудоемкости которого немаловажна ин-формация о минорах (r − 1)-го порядка матрицы T . Единственный случай, когдаможно обойтись без нее, s = k − 1 – при этом (12) обращается в b ≥ 0.

По-видимому, в остальных случаях построение матрицыKT является весьма слож-ной задачей. Даже при k = 3 многочисленные необходимые условия [4, 21] становятсянеобозримыми.

Эти трудности многократно усиливаются при изучении PZ = P (T, b) ∩ ZN . При-ятным исключением снова является аксиальная задача, когда для непустоты мно-жества PZ необходимо и достаточно к уже полученным условиям добавить цело-численность вектора b. При s = k − 1 удается решить много вопросов, связанных смногогранником P (T,1M) и его вершинами.

В общем случае ясно, что, даже имея матрицу KT , вряд ли можно надеяться наполучение критерия непустоты PZ .

В заключение приведу еще один результат общего характера, связывающий базис-ные миноры матрицы T с соответствующими минорами базисов ее правого и левогомодулей.

Теорема 3. Пусть T – матрица k-индексной s-арной ТЗ, L и R – базисы еелевого и правого модулей соответственно, TA

B – подматрица матрицы T со строкамииз множества A и столбцами из множества B, |A| = |B| = r, LA – подматрицаматрицы L со столбцами из множества A, дополнительного к множеству A, RB –


подматрица матрицы R со строками из множества B, дополнительного к множествуB. Тогда |detTA

B | = |detLAdetRB|.Следствие 1. Матрица планарной ТЗ унимодулярна при n3 = . . . = nk [16] и

неунимодулярна при n1 ≥ n2 ≥ n3 ≥ 3.Следствие 2 [10]. Если T = T (3, 1;n1, n2, n3), |A1| = |A2| = |B| = r, то |detTA1

B | =|detTA2

B |.


1. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А., СМБ. Матрицы и вычисления. Наука, Москва,1984.

2. Гольштейн Е. Г., Юдин Д. Б., Задачи линейного программирования транспорт-ного типа. Москва: Наука, 1969. – 384с.

3. Раскин Л. Г., Кириченко И. О., Многоиндексные задачи линейного программиро-вания. Москва: Радио и связь, 1982. – 240 c.

4. Емеличев В. А., Ковалев М. М., Кравцов М. К., Многогранники, графы, оптими-зация. Наука, Москва, 1981.

5. Верховский Б. С., Многомерные задачи линейного программирования типа транс-портной. //ДАН СССР, т.151, N 3, 1963. – с. 515-518.

6. Шевченко В. Н., Характеристические многочлены многоиндексных транспорт-ных задач.// Дискретная математика, т. 15, вып. 2, 2003 - с.83-88.

7. Even S., Itai A., Shamir A. On the complexity of timetable and multicommodity flowproblems.//SIAM J. Comput. 1976, v.5, N 4, p. 691-703.

8. Чирков А. Ю., Шевченко В. Н., О нахождении последовательных минимумов це-лочисленной решетки и вектора решетки, ближайшего к данному .// Кибернетика,1987, N 4, c. 46-49.

9. Шевченко В. Н., Качественные вопросы целочисленного программирования. —М.: Наука. 1995.

10. Ильичёв А. П. Исследование многогранников многоиндексных транспортных за-дач: Автореферат дис. канд. физ.-мат. наук. — Горький, 1988.

11. Шевченко В. Н., Титова Е. Б., Средняя величина миноров многоиндексной транс-портной задачи. // Материалы XIII Международной школы-семинара "Синтез исложность управляющих систем". Часть 1. —Москва: Изд-во ЦПИ при мех-матеМГУ. 2002. С.205 – 208.

12. Шевченко В. Н., Титова Е. Б., Средняя величина миноров k-индексной s-валент-ной транспортной задачи. // Информационный бюллетень Ассоциации математи-ческого программирования. 10. —Екатеринбург: УрО РАН, 2003. С.248.

13. Титова Е. Б., Шевченко В. Н., Среднее значение квадрата минора любого по-рядка матрицы ограничений многоиндексной транспортной задачи. // МатериалыXIV Международной школы-семинара "Синтез и сложность управляющих систем".Часть 1. —Москва: Изд-во ЦПИ при мех-мате МГУ. 2003. С.81 – 83.

14. Титова Е. Б., Шевченко В. Н., Среднее значение квадрата минора матрицы огра-ничений аксиальной транспортной задачи. //Автоматика и телемеханика, 2, 2004.С.113 – 117.


15. Титова Е. Б., Шевченко В. Н., Базис правого модуля матрицы ограничений мно-гоиндексной транспортной задачи.// Математика и кибернетика 2003: Сб. науч. ст.юб. науч.-техн. конф. ф. ВМК ННГУ и НИИ ПМК. - Н.Новгород, 2003 - с.264-265.

16. Motzkin T. Multi-index transport problem.//Bull.Am.Math.Soc.,1952,58,4.

17. Верховский Б. С., О существовании решения многоиндексной задачи линейногопрограммирования.// ДАН СССР, 1964, т.158, N 4. – с. 763-766.

18. Хачиян Л. Г., Полиномиальный алгоритм в линейном программировании.// ДАНСССР, 1979, т.244, N 5. – с. 1093-1096.

19. Haley K. B., The solid transportation problem.// Operations Research. 1962, v 1, n 4.– p. 448-463.

20. Черников С. Н., Линейные неравенства.// Москва: Наука, 1968. – с. 763-766.

21. Smith G., A procedure for determining necessary and sufficient conditions for theexistence of a solution to the multi-index problem.// Apl. Math., 1974, v 19, N 3. – p.177-183.

72 Дискретный анализ

ТЕРМАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СПЕКТРА РИДА-МАЛЛЕРА

С. Ф. Винокуров, Л. В. Рябец

Для булевой функции f(x1, . . . , xn) спектр Рида-Маллера определяется следую-щим образом [1]. Пусть функция f имеет совершенную дизъюнктивную нормальнуюформу: f(x1, . . . , xn) =

∨σ∈En

ασxσ11 · · · · · xσn

n , где ασ ∈ 0, 1;xσi

i = xi, если σi = 1 и xσi

i = xi, если σi = 0; σ = (σ1, . . . σn);En = 0, 1n.Тогда спектром Рида-Маллера называют функцию fT такую, что

fT (x1, . . . , xn) =⊕

σ∈En

ασxσ+1

1 · · · · · xσ+n

n , где ασ ∈ 0, 1;

xσ+

i

i = xi, если σi = 1 и xσ+

i

i = 1, если σi = 0;⊕

— сложение по модулю 2.Спектр fT может быть представлен в виде матричного произведения:

fT = A · f, где A =⊗n

i=1

(1011

),⊗

— кронекерово произведение матриц, f — век-тор функции.

Оператор, действующий на функцию f(x1, . . . , xn), ассоциируется с последова-тельностью a1 . . . an, где ai ∈ p, e,d. Определение и свойства таких операторовподробно изложены в [2].

Пример: pde(f(x1, x2, x3)) = f(x1, 0, x3)⊕ f(x1, 1, x3).На множестве операторов определим отображение ϕ следующим образом:

ϕ(a1 . . . an) = ϕ(a1) . . . ϕ(an), где ϕ =(depped

)— подстановка на p, e,d.

Теорема. Пусть f(x1, . . . , xn) имеет полиномиальное представление

f(x1, . . . , xn) =

k⊕

i=1

oi(x1 · · · · · xn),

где oi — некоторый набор операторов. Тогда функция

fT (x1, . . . , xn) =k⊕

i=1

(ϕ(oi))(x1 · · · · · xn)

является спектром Рида-Маллера.Теорема позволяет получать термальное представление спектра Рида-Маллера

без использования векторного представления функции.Пример. f(x1, x2, x3) = x1 ⊕ x2 ⊕ x1 · x3; та же функция в операторном виде:f = pdd(x1 · x2 · x3)⊕ ded(x1 · x2 · x3)⊕ ede(x1 · x2 · x3).fT = ϕ(pdd)(x1 · x2 · x3)⊕ ϕ(ded)(x1 · x2 · x3)⊕ ϕ(ede)(x1 · x2 · x3) =

dpp(x1 · x2 · x3)⊕ pep(x1 · x2 · x3)⊕ epe(x1 · x2 · x3) = x2 · x3 ⊕ x1 · x2 · x3 ⊕ x1 · x2 · x3.Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ проект 04-07-90178.


1. R. Stankovic, T. Sasao. A discussion on the history of research in the arithmetic andReed-Muller expressions. IEEE transactionson computer-aided design of integrated circutsand systems, Vol 20, No 9. 2001.2. Избранные вопросы теории булевых функций. Под ред. Винокурова С. Ф. и Перя-зева Н. А.–М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.Винокуров Сергей Федорович, Рябец Леонид Владимирович,Иркутский государственный педагогический университет,ул. Н. Набережная, 6, Иркутск, 664011, Россия,тел. (8-395-2) 24-04-35, e-mail: [email protected]; [email protected]

Дискретный анализ 73

О МОЩНОСТИ РАЗРЕШАЮЩЕГО МНОЖЕСТВАПОРОГОВОЙ ФУНКЦИИ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ

М. А. Вировлянская, Н. Ю. Золотых

Пусть n ≥ 2, k ≥ 2 — натуральные числа. Обозначим B(n, k) множество наборовx = (x1, . . . , xn), таких, что xi — целое и 0 ≤ xi ≤ k − 1 (i = 1, . . . , n). Пусть f :B(n, k) → 0, 1, Mν = x ∈ B(n, k) : f(x) = ν (ν = 0, 1). Функция f называетсяпороговой, если существуют такие действительные числа ai (i = 0, 1, . . . , n), что

M0(f) = x ∈ B(n, k) :n∑

i=1

aixi ≤ a0.

Множество T ⊆ B(n, k) называется разрешающим для f ∈ F (n, k), если для лю-бой функции g ∈ F (n, k) (g 6= f) существует набор z ∈ T , такой, что g(z) 6= f(z).Разрешающее множество минимальной мощности назовем минимальным разрешаю-щим множеством и обозначим T (f). Пусть Tν(f) = T (f)∩Mν(f) (ν = 0, 1). Известно[1], что для любой пороговой функции минимальное разрешающее множество един-ственно. Мощность минимального разрешающего множества функции f обозначимчерез t(f). Длиной обучения назовем величину

t(n, k) = maxf∈F (n,k)

t(f).

Известно [1], что cn logn−2 k ≤ t(n, k) ≤ c′n logn−1 k, где cn и c′n — величины, зави-сящие только от n. В [2] показано, что t(2, k) = 4. Из [3] следует

Утверждение 1. Минимальное разрешающее множество функции f ∈ F (3, k)состоит из точек, лежащих на соседних параллельных плоскостях. При этом однаиз этих плоскостей содержит все точки множества T0(f), а вторая — все точкимножества T1(f).

Утверждение 1 позволяет получить асимптотику t(3, k).

Утверждение 2. Для любого k ≥ 2

t(3, k) ∼ 12 log1+√

2 k.


1. Золотых Н. Ю., Шевченко В. Н. О нижней оценке сложности расшифровки по-роговых функций k-значной логики // Журнал вычислительной математики и мате-матической физики. 1999. Т. 39, 2. С. 346–352.2. Золотых Н. Ю. Пороговые функции, зависящие от двух переменных: сложностьрасшифровки и мощность разрешающего множества // Материалы четвертой мо-лодежной научной школы по дискретной математике и ее приложениям. М.: Изд-вомеханико-математического факультета МГУ, 2000. С. 48–54.3. Чирков А. Ю., Веселов С. И. Строение простых множеств трехмерной целочис-ленной решетки // Автоматика и телемеханика. 2004. 2 (в печати).

Вировлянская Маргарита Анатольевна, Золотых Николай Юрьевич,Нижегородский гос. университет им.Н.И.Лобачевского,пр. Гагарина, 23, Нижний Новгород, 603950, Россия,тел. (8-831-2) 65-78-81, факс (8-831-2) 65-85-92,e-mail: [email protected], [email protected]


ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИЛИНЕЙНОГО ДВОИЧНОГО КОДА

М. Н. Вялый

В работе рассматривается задача приближенного вычисления весовой функциидвоичного линейного кода в точках единичной окружности с аддитивной погрешно-стью ε. Входом задачи является пара (код C, точка q), выходом — число w такое,что |w − wC(q)| < ε, где

wC(q) =∑

x∈C

q|x|.

Приближения весовых функций линейных двоичных кодов с аддитивной погреш-ностью возникают при анализе квантовых алгоритмов, как показано в [3]. Задачаточного вычисления значения весовой функции вычислительно трудна. К ней сво-дятся по Тьюрингу за полиномиальное время все задачи из классов PP [1] и изполиномиальной иерархии (как следует из теоремы Тода [2]). Если весовая функ-ция известна с очень малой ошибкой, то ее коэффициенты можно найти точно. Сдругой стороны, задача приближенного вычисления весовой функции с аддитивнойпогрешностью обладает свойствами самосводимости с увеличением точности. Этопозволяет доказать, что приближенного вычисления весовой функции с аддитивнойпогрешностью 2n−Ω(nc), где c — константа, достаточно для точного определения ко-эффициентов весовой функции. При этом необходимо вычислять весовую функциюво многих точках малой окрестности 1 (для различных кодов). Более слабыми свой-ствами самосводимости с увеличением точности обладает задача вычисления весовойфункции в фиксированной точке. Есть исключительные точки q ∈ ±1,±i, для ко-торых существует полиномиальный по времени алгоритм нахождения весовой функ-ции wC(q). Типичным примером является корень 8-й степени из единицы ω = eiπ/4.Точное вычисление весовой функции в точке ω вычислительно столь же трудно, каки определение всех коэффициентов весовой функции. При этом для точного вычис-ления весовой функции достаточно уметь вычислять ее значения приближенно вточке ω c аддитивной точностью 2αn, где α > 0 — достаточно малая константа.Работа поддержана грантами РФФИ 02–01–00547, 02-01-22001 НЦНИ_а и грантомподдержки научных школ НШ 1721.2003.1.


1. S. Fenner, L. Fortnow, S. Kurtz. Gap-definable counting classes. J. of Comp. and Sys.Sci. 1994. V. 48. P. 116–148.2. S. Toda. PP is as hard as the polynomial-time hierarchy. SIAM J. on Comput. 1991.V. 20. P. 865–877.3. M. N. Vyalyi. Hardness of approximating the weight enumerator of a binary linear code.E-print, 2003. cs.CC/0304044.

Вялый Михаил Николаевич,Вычислительный Центр им. А. А. Дородницына РАН,ул. Вавилова, 40, Москва, 119991, Россия,тел. (095) 135-62-38, факс (095) 291-65-01, e-mail: [email protected]


О k-МЕРНЫХ МНОГОГРАННИКАХ С ВЕРШИНАМИ ИЗd-МЕРНОГО БУЛЕВА КУБА

Д. В. Груздев

Через Sk(d) и Pk(d) обозначим соответственно число k-мерных симплексов и чис-ло k-мерных параллелепипедов, вершины которых являются вершинами d-мерногобулева куба. Заметим, что ребра такого k-мерного параллелепипеда, инцидентныеодной и той же вершине, попарно ортогональны. Заметим также, что P0(d) = 2d,Sk(d) =

(2d

k+1

)при k = 0, 1, 2 и Sk(d) <

(2d

k+1

)при k = 3, 4, . . . , d. В дальнейшем будем

рассматривать натуральные d и k = 1, . . . , d.

ЛЕММА 1. Sk(d) ≥ 2d−2k−1

k+1Sk−1(d).

ТЕОРЕМА 1. Sk(d) ≥ 2d(k+1)

(k+1)!

∏di=d−k+1(1− 2−i).

Заметим, что при k = d утверждение теоремы можно также получить на ос-нове известного результата [1, с. 228]. Положим α(m) =

∏mi=1(1 − 2−i) при нату-

ральном m и α(0) = 1. Тогда Sk(d) > α(d)α(d−k)

(2d

k+1

)и можно показать, что α(j) ≥

α(m) (1− 2−m + 2−j) при натуральных j и m. Тогда при натуральном t: α(d)α(d−k)

≥α(d−k+t)α(d−k)

(1− 2−(d−k+t) + 2−d

). Полагая t = 1, получаем

СЛЕДСТВИЕ 1. Sk(d) >(1− 1

2d−k+1

)2 ( 2d

k+1

).

Заметим, что оценка Sd(d) >14

(2d

d+1

)следует также из [2, с. 103].

ТЕОРЕМА 2. Pk(d) = 2d−k 1k!

∑ki=0(−1)i

(ki

)(k − i+ 1)d.

СЛЕДСТВИЕ 2. S3(d) =(2d

4

)− P2(d) =

(2d

4

)− 2d−3(3d − 2d+1 + 1).

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ(СПбКЦ, грант А03-2.8-475).


1. Артин Э. Геометрическая алгебра. М.: Наука, 1969.

2. Шевченко В. Н. Качественные вопросы целочисленного программирования. М.:Физматлит, 1995.

Груздев Дмитрий Валентинович,Нижегородский государственный университет,пр. Гагарина, 23, Нижний Новгород, 603950, Россия,тел. (8312) 65-78-81, e-mail: [email protected]


ВЫЧИСЛЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФОРМУЛКЛЕТОЧНЫМИ АВТОМАТАМИ

И. И. Захарчук

Переход микроэлектроники в область наноструктур стимулирует разработку ме-тодов синтеза устройств с однородной структурой и локальными связями, реализую-щих заданные функции без процедуры настройки элементов или связей между ними.Клеточный автомат наиболее полно отвечает таким требованиям.

Предлагается метод реализации произвольной булевой функции универсальнымклеточным автоматом, начальное состояние которого гомоморфно булевой формуле,представленной в бесскобочной записи Лукашевича, заключительное — значениюфункции.

В формуле, наряду с семантической компонентой, дескрипторами (операнд - опе-ратор) явно задается ее синтаксическая структура.

Клеточный автомат K представлен в обобщенном виде как кортеж K ==< Gd

R(V ),Φ >, где GdR(V ) — топологическая структура клеточного автомата —

бесконечный граф с множеством вершин V группы движений фундаментальной об-ласти R в пространстве размерности d (регулярный граф); Φ — локальный операторпереходов Φ = ϕ1, ϕ2, . . . ϕr; ϕi — локальная функция переходов i-ой вершиныфундаментальной области, ϕi : Qm → Q; Q — множество состояний каждой верши-ны (клетки) |Q| = k, ø ∈ Q,ϕi(ø, ø, . . . , ø) = ø; m — полустепень захода i-ой вершиныфундаментальной области, m = deg−(vi) + 1, vi ∈ V .

Синтез клеточного автомата сводится к синтезу функции переходов, осуществля-ющей свертку синтаксической структуры и определение семантики редуцированнойвершины.

Пусть µ – максимальная арность операций базиса B, a — общее число символовв формуле — ее длина, h — высота дерева, сопоставленного формуле. Справедливыследующие утверждения.

ТЕОРЕМА 1. Клеточный автомат, топологическая структура которого однород-ный граф с полустепенью захода каждой вершины deg−(vi) = deg+(vi) = 1, вычис-ляет булеву формулу длины a за (a− 1) шаг.

ТЕОРЕМА 2. Клеточный автомат c топологической структурой однородного де-рева, для каждой вершины которого deg−(vi) = µ, deg+(vi) = 1, вычисляет булевуформулу длины a за h шагов.

Предлагаемый подход позволяет синтезировать клеточные автоматы для вычис-ления формул в произвольных алгебрах.

Захарчук Илларион Иванович,Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского,Ждановская наб., 13, Санкт-Петербург, 197082, Россия,тел. (8-812) 235-86-12, e-mail: [email protected]


О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ СХЕМ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХЭЛЕМЕНТОВ С ЛИНЕЙНОЙ СЛОЖНОСТЬЮ

К. Д. Кириченко

Известно, что попытки нахождения эффективных нелинейных нижних оценоксложности схем функциональных элементов связаны с большими трудностями. Здесьпредлагается задача, которая в некотором смысле является подзадачей нахождениятаких оценок.

Последовательностью булевых функций fn будем считать такое множество функ-ций, в котором для каждого натурального n есть ровно одна функция от n пере-менных. Такие последовательности могут быть заданы разными способами. Здесьиспользуется следующее построение.

Пусть L — некоторый язык над алфавитом 0,1. Тогда по языку L можно по-строить последовательность булевых функций fn(x1, . . . , xn) следующим образом:fn(σ1, . . . , σn) = 1, если слово σ1 . . . σn ∈ L и fn(σ1, . . . , σn) = 0 в противном случае.

Вопрос о принадлежности языка тому или иному классу по типу устройства, спо-собного распознавать язык, часто зависит от порядка, в котором отдельные символыслова поступают на вход рассматриваемого устройства. В том случае, когда языкраспознается последовательностью схем функциональных элементов без задержек,очевидно, последовательность поступления символов не важна (можно считать, чтовсе символы поступают одновременно). В связи с этим представляются уместнымиследующие определения

Пусть p(n) – произвольная вычислимая функция, значениями которой являютсяперестановки натуральных чисел от 1 до n, p(n) = (in1 , . . . , i

nn). Тогда будем говорить

что язык L′ получен перестановкой p(n) из языка L, если любое слово a1a2 . . . an ∈ Lтогда и только тогда, когда слово ain1

ain2. . . ainn ∈ L′

Одним из наиболее простых является класс регулярных языков. Будем говорить,что язык L является квазирегулярным, если существует последовательность переста-новок p(n) такая, что язык L может быть получен перестановкой p(n) из некоторогорегулярного языка.

Очевидно, что не все языки являются квазирегулярными. Простейший примернеквазирегулярного языка — это язык правильных скобочных выражений.

Класс регулярных языков является замкнутым относительно основных теоретико-множественных операций. Аналогичное утверждение для класса квазирегулярныхязыков неверно.

Теорема. Класс квазирегулярных языков не является замкнутым относитель-но пересечения.

Легко понять, что регулярные языки распознаются последовательностями схемфункциональных элементов линейной сложности. В силу этого с линейной сложно-стью распознаются квазирегулярные языки и языки, представимые в виде пересече-ния, объединения и т.д. конечного числа квазирегулярных языков.

Таким образом, всякая последовательность булевых функций с нелинейной слож-ностью в классе схем функциональных элементов, как минимум, должна порождатьязык, не представимый в виде конечной суперпозиции квазирегулярных языков.

Кириченко Константин Дмитриевич, ИрГУПС,ул. Чернышевского, 15, 664074, Иркутск, Россия,тел. (3952) 38-76-07, e-mail:[email protected]


О ЧИСЛЕ ГАМИЛЬТОНОВЫХ ЦИКЛОВВ ПЛОТНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ ГРАФАХ

Е. А. Окольнишникова

Данная задача возникла при решении одной из задач теории сложности. ПустьXn — множество булевых переменных, соответствующих ребрам полного n-вершин-ного графа Kn. Набору a значений переменных Xn можно поставить в соответствиеподмножество ребер графа, которые соответствуют переменным, принимающим нанаборе a значение 1. Пусть hn(Xn) — булева функция, характеризующая свойствоподмножеств ребер графа Kn образовывать гамильтонов цикл. В [1] было показано,что для получения нижней оценки сложности вычисления булевой функции вет-вящимися программами без ограничений достаточно уметь находить сложности вы-числения ветвящимися программами с ограничениями подфункций данной функции,зависящих от CN переменных, где N — число переменных функции, а C — любаязаранее заданная константа. При этом для получения нижних оценок сложности вы-числения требуется знать нижнюю оценку числа единиц подфункций булевой функ-ции. Из соображений, связанных с методом получения нижних оценок сложностивычислений в [1], следует, что в случае функции h(Xn) это приводит к задаче полу-чения нижней оценки числа гамильтоновых циклов в n-вершинных гамильтоновыхграфах с Cn(n− 1)/2 ребрами.

Верхняя оценка для числа гамильтоновых циклов для графов с фиксированнымчислом вершин и ребер приведена в [2].

Теорема 1. Число гамильтоновых циклов в n-вершинном гамильтоновом графеG, содержащем Cn(n− 1)/2 ребер, C > 3/4, не меньше чем (C1n)C2n, где C1 и C2 —зависящие от C константы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 03-01-00634) и про-граммой поддержки ведущих научных школ (НШ-313.2003.1).


1. Окольнишникова E. A. Об одном методе получения нижних оценок сложностиреализации булевых функций недетерминированными ветвящимися программами// Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2001. Т. 8, 4. С. 76–102.2. Teunter R. H., van der Poort E. S. The maximum number of Hamiltonian cycles ingraphs with a fixed number of vertices and edges // Operation Research Letters. 2000.V. 26. P. 91–98.

Окольнишникова Елизавета Антоновна,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия;тел. (8-383-2) 33-34-97, e-mail: [email protected]


О СУЩЕСТВОВАНИИ КОНЕЧНЫХ БАЗИСОВВ ЗАМКНУТЫХ КЛАССАХ k-ЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Н. Г. Парватов

Исследуются условия, при которых клон (замкнутый класс k-значных функций,содержащий все селекторые функции) имеет конечный базис. Пусть k — натураль-ное число, k ≥ 2, Ek = 0, . . . , k − 1 и через Pk обозначается множество функцийf : En

k → Ek при всевозможных n = 1, 2, . . .. Отношение A ⊆ Emk называется инва-

риантным для клона F ⊆ Pk, если оно сохраняется всеми функциями в F . Имеетместо следующая

Теорема 1 Пусть клон M1 содержится в клоне M2 и d ≥ 1. Следующие условияравносильны:

1. для любого инвариантного для клона M1 отношения A арности n > d и лю-бого подмножества U ⊆ 1, . . . , n мощности |U | > d существует инвари-антное для клона M2 отношение B, такое, что A(x1, . . . , xn) ≡ B(x1, . . . , xn)∧∧

i∈U(∃xi)A(x1, . . . , xn);

2. для всякой функции g(x1, . . . , xm) из M2 существует такая функцияmg(x1, . . . , xm+d+1) в M1, что для любого i = 1, . . . , d + 1 имеет место тож-дество: mg(x, g(x), . . . , g(x), xm+i, g(x), . . . , g(x)) = g(x), где (x) = (x1, . . . , xm) ипеременная xm+i стоит на (m+ i)-м месте.

Клон M1 называется d-подклоном в клоне M2, если M1 содержится в M2, и клоныM1 и M2 удовлетворяют условиям сформулированной выше теоремы. Справедлива

Теорема 2 Клон, содержащий конечно порождаемый d-подклон, является конечнопорождаемым.

Пусть c — целое неотрицательное число и во втором пункте теоремы 1 для любойфункции g ∈M2 функциюmg ∈M1 удается выбрать зависящей существенно не болеечем от c переменных набора (x1, . . . , xn). В этом случае каждый из клонов M1 и M2

называется (c, d)-клоном.

Теорема 3 Всякий (c, d)-клон имеет конечный базис.

Парватов Николай Георгиевич,Томский государственный университет,пр. Ленина, 36, Томск, 634050, Россия, e-mail: [email protected]


ГРАФЫ СОВЕРШЕННЫХ ПАРОСОЧЕТАНИЙ БУЛЕВА КУБА

А.Л.Пережогин

Пусть M – совершенное паросочетание в булевом кубе En. Графом паросочетанияM назовем ориентированный граф Gn

M = (M, AM), где два ребра e1 и e2 паросоче-тания M соединены дугой (e1, e2) тогда и только тогда, когда существуют такиесмежные вершины v1 и v2 в En, что vi инцидентна ei, i = 1, 2, и вершина v1 имеетчетный вес.

Для многих комбинаторных задач [1–3] представляется интересным изучение стру-ктуры графов Gn

M в зависимости от выбора паросочетания M . В частности, каковохроматическое число графа Gn

M , является ли этот граф гамильтоновым для любогоM и если да, то сколько гамильтоновых контуров в этом графе? Так для паросочета-нияM , состоящего из всех ребер направления i в En легко видеть, что хроматическоечисло графа Gn

M равно 2, а число гамильтоновых контуров в этом графе равно удво-енному числу гамильтоновых циклов в En−1.

Доказано, что для любого n, n ≥ 6, существует такое совершенное паросочетаниеM в En, что любой подграф графа Gn

M не изоморфен GkH для любого k, 2 ≤ k < n,

и любого совершенного паросочетания H в Ek.Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 02-01-00939) и госу-

дарственной программы поддержки ведущих научных школ (проект НШ-313.2003.1).


[1] Глаголев В.В., Евдокимов А.А. О минимальной раскраске одного бесконечногографа // Дискретный анализ: Сб. науч. тр. Новосибирск: Ин-т математики СО АНСССР, 1970. Вып. 17. С. 9–17.[2] Евдокимов А.А. Вложение цепей и циклов в гиперкуб. I // Методы дискретногоанализа в решении экстремальных задач: Сб. науч. тр. Новосибирск: Ин-т матема-тики СО АН СССР, 1990. Вып. 50. С. 10–25.[3] Пережогин А.Л., Потапов В.Н. О числе гамильтоновых циклов в булевом кубе// Дискрет. анализ и исслед. операций. 2001. Сер. 1. Т. 8, 2. С. 52–62.

Пережогин Алексей Львович,Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия;тел. (8-383-2) 33-38-69, факс (8-383-2) 32-25-98, e-mail: [email protected]


СВОЙСТВО МЕТРИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯКРАТЧАЙШИХ ЦЕПЕЙ

Т. И. Федоряева

Исследование вложений дискретных метрических пространств привело к изуче-нию таких свойств пространств, которые позволяли бы выделять "метрически пра-вильные" пространства и графы и при этом не слишком сужали рассматриваемыеклассы. Один из таких подходов был рассмотрен в [1], где определено свойство про-должения метрики (СПМ), а в [2, 3] было продолжено его изучение. В настоящейработе рассматривается усиление СПМ.

Определение. Граф G диаметра d удовлетворяет свойству метрического про-должения кратчайших цепей, если S1(x) 6⊆ Si(y) и S1(y) 6⊆ Si(x) для любых вершинx, y графа G, где i = ρ(x, y) < d и Si(z) — шар радиуса i с центром в вершине z сестественной метрикой ρ на G.

Свойство метрического продолжения кратчайших цепей сильнее СПМ, а классграфов, удовлетворяющих этому свойству, является сужением класса графов с СПМ.Многие естественные графы обладают свойством метрического продолжения крат-чайших цепей, например, платоновы тела, n-мерный булев куб, граф Петерсена.Справедлива следующая

Теорема 1. Почти все графы удовлетворяют свойству метрического продол-жения кратчайших цепей.

Свойство метрического продолжения кратчайших цепей инвариантно относитель-но операции декартова произведения, которая позволяет получать новые "простран-ственные" графы, удовлетворяющие этому свойству. Для плоских графов полученряд свойств таких графов, в частности, справедлива следующая

Теорема 2. Произвольный граф G, гомеоморфный внешнепланарному графу, удо-влетворяет свойству метрического продолжения кратчайших цепей тогда и толь-ко тогда, когда G – граф одного из четырех конкретных типов.


1. Евдокимов А. А. Метрические свойства вложений и коды, сохраняющие рассто-яния // Тр. Ин-та математики СО АН СССР. Модели и методы оптимизации. - 1988.- Т. 10. - С. 116–132.2. Евдокимов А. А. Локально изометрические вложения графов и свойство продол-жения метрики // Сиб. журн. исслед. операций. 1994. Т. 1, 1. С. 5–12.3. Федоряева Т. И. Операции и изометрические вложения графов, связанные сосвойством продолжения метрики // Дискрет. анализ и исслед. операций. 1995. Т. 2, 3. С. 49–67.

Федоряева Татьяна ИвановнаИнститут математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел.(83832)33-38-69, факс (83832) 32-25-98, e-mail:[email protected]

82 Комбинаторика и символьные последовательности

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯПЕРИОДОВ ЧАСТИЧНЫХ СЛОВ

Ю. В. Гамзова

Частичное слово длины n над алфавитом A есть частичная функция

W : 1, . . . , n → A

(см. [1]). Частичное слово можно рассматривать как обычное слово над расширеннымалфавитом A = A ∪ , считая W (i) = для i таких, что W (i) не определена.Символ будем называть джокером.

Частичное слово W имеет период p, если для всех i, j ∈ D(W )

i ≡ j (mod p)⇒ W (i) = W (j).

Свойство взаимодействия периодов для периодических слов заключается в следу-ющем: слово c периодами p и q необходимо имеет период НОД(p, q). Выполнениеэтого свойства для обычных слов зависит только от длины слова, а для частичныхслов — от длины слова, а также от количества и расположения джокеров в слове. Вработе [2] приведена оценка минимальной длины L(k, p, q), при которой свойство вза-имодействия периодов выполняется для частичных слов с периодами p, q и любымрасположением k джокеров: L(k, p, q) < kpq/(p+ q − 2) + 4(q − 1).

В случае, когда длина слова меньше L(k, p, q), нас интересует вопрос о вероят-ности выполнения свойства взаимодействия периодов для частичных слов даннойдлины с данным количеством джокеров. Разработан эффективный алгоритм дляопределения этой вероятности. “Наивный” алгоритм является экспоненциальным отдлины слова; время работы нашего алгоритма экспоненциально зависит только отпараметров p и q. С помощью данного алгоритма изучались статистические аспектывзаимодействия периодов и были сформулированы следующие результаты.

Теорема. Наименьшая вероятность выполнения свойства взаимодействия пери-одов для частичных слов длины L достигается при количестве джокеров k′ таком,что L− q ≤ k′ ≤ L−2. Эта вероятность является постоянной для заданных периодовp, q.

Гипотеза. Для любых периодов p, q можно указать числа m ∈ N и 0 < b < 1 та-кие, что вероятность выполнения свойства взаимодействия периодов для частичныхслов длины L не превосходит b, когда количество джокеров не превосходит L−m, ибольше b в остальных случаях.


1. J. Berstel, L. Boasson, Partial words and a theorem of Fine and Wilf, Theor. Comp.Sci., 218 (1999), 135–141.2. Шур А. М., Гамзова Ю. В. Частичные слова и свойство взаимодействия периодов,Изв. РАН. Cерия матем. 68, 2 (2004), 199–222.

Гамзова Юлия Васильевна,Уральский государственный университет, ул. Ленина, 51, 620083, Екатеринбург,тел. (8-343) 350-75-79, факс (8-343) 350-74-01, e-mail [email protected]

Комбинаторика и символьные последовательности 83

ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ГАММА-ЛАТИНСКИХ КОНФИГУРАЦИЙ:РЕШЕНИЕ РАСШИРЕННОЙ ЗАДАЧИ

О ЧИСЛЕ ЛАТИНСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

А. С. Гаспарян

Полулатинский прямоугольник размера k×n представляет собой прямоугольнуютаблицу T = ‖ti,j‖, состоящую из k перестановок τ1, . . . , τk ∈ Sn, где τr = (tr1 , . . . , trn

).Полулатинский прямоугольник называется латинским, если не только в его строках,но и в столбцах нет повторений, т. е. если для ∀j ∈ Nn имеет место (i1 6= i2)⇔ (ti1j 6=ti2j).

Задача о числе Lk,n латинских прямоугольников размера k× n появляется в раз-личных разделах дискретной математики. Её решение в частных случаях k = 2, 3даётся хорошо известными формулами. Для k > 3 известны формулы, выражающиеответ в теоретико-графовых терминах, но не дающие простого способа для вычисле-ния Lk,n при произвольных k и n.

В данной работе формулируется более общая задача подсчета, в которой спра-шивается о числе L(G,Γ) Γ-латинских прямоугольников, ассоциированных с про-извольно заданным G-симметрическим множеством Γ, Γ ⊆ (Nn)k, G — заданнаягруппа перестановок, G ⊆ Sn. При этом G-симметрическим множеством мы называ-ем всякое подмножество Γ k-мерного n-куба, инвариантное относительно действиягруппы G на куб через его рёбра, т. е. удовлетворяющее условию: для ∀σ ∈ G,(i1, . . . , ik) ∈ Γ⇔ (σ(i1), . . . , σ(ik)) ∈ Γ.

Решение основано на вычислении перманента специальной k-мерной n-кубической(0, 1)-матрицы AΓ = ‖ai1,...,ik‖, где ai1,...,ik = 1 для всех (i1, . . . , ik) ∈ Γ и = 0 в осталь-ных местах.

Применяется техника декомпозиции G-симметрических матриц и техника вычис-ления многомерных перманентов. Полученные формулы для L(G,Γ) в частном слу-чае латинских прямоугольников при k = 2 совпадают с формулой для числа паро-сочетаний, а при k = 3 с формулой Риордана.

Гаспарян Арменак Сократович,Институт программных систем РАН,м. Ботик, ИПС РАН, 152020, Переславль-Залесский, Россия,e-mail: [email protected]


УПРАВЛЯЮЩИЕ СИМВОЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИВ АЛФАВИТЕ НАИМЕНЬШЕЙ МОЩНОСТИ

А.А.Евдокимов, А.Л.Пережогин

В [2] показано, что задача о наибольшей длине l(n) цепи без хорд в булевом n-мерном кубе может быть редуцирована к вопросу о существовании слов в n-буквенномалфавите с запретами на подслова, и на основе этой интерпретации был найден по-рядок величины такой цепи l(n) = O(2n). Величина константы в нижней оценке l(n)зависит от наименьшего числа букв, достаточного для существования управляющейбесконечной последовательности [1, 4]. Отображение f : N → A множества натураль-ных чисел N = 1, 2, . . . в алфавит A определяет управляющую последовательность,если для любых натуральных x и y, удовлетворяющих неравенству |x−y| < ϕ(x+y),буквы в каждой четверке f(x − 1), f(x), f(y), f(y + 1) все различны, где ϕ(m) –наибольшая степень двойки, делящая m. (При x = 1 и x = y имеем тройку букв.)

Доказано, что наименьшая мощность алфавита A всякой управляющей последо-вательности равна семи, а для размерностей n ≤ 11 достаточно шести букв. Послед-нее позволяет построить, например, для n = 11 цикл длины 640, что превосходитизвестную нижнюю оценку (таблица в [5]).

Заметим, что все известные конструкции длинных цепей и циклов в n-мерныхкубах явно или неявно опираются на построение управляющей последовательностис “малым” значением мощности алфавита A. Явление “скачка” этой мощности припереходе к “большим” размерностям было обнаружено уже в работе [1], а семибуквен-ная управляющая последовательность построена впервые в [3], но без доказательстваминимальности значения |A| = 7.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 02-01-00939) и про-граммы Министерства образования РФ (проект Е02-6.0-250).


[1] Глаголев В.В., Евдокимов А.А. О минимальной раскраске одного бесконечногографа // Дискретный анализ: Сб. науч. тр. Новосибирск: Ин-т математики СО АНСССР, 1970. Вып. 17. С. 9–17.[2] Евдокимов А.А. О максимальной длине цепи в единичном n-мерном кубе // Ма-тем. заметки. 1969. Т. 6, вып. 3. С. 309–319.[3] Евдокимов А.А. О максимальной длине цепи в n-мерном единичном кубе и неко-торых родственных задачах // Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-матем. наук. 1971. 60 стр.[4] Евдокимов А.А. Вложение цепей и циклов в гиперкуб. I // Методы дискретногоанализа в решении экстремальных задач: Сб. науч. тр. Новосибирск: Ин-т матема-тики СО АН СССР, 1990. Вып. 50. С. 10–25.[5] Kochut K. J. Snake-in-the-box codes for dimension 7 // J. Combin. Math. Combin.Comput. 1996. V. 20. P. 175–185.

Евдокимов Александр Андреевич, Пережогин Алексей Львович,Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4,Новосибирск, 630090, Россия; тел. (8-383-2) 33-38-69, факс (8-383-2) 32-25-98,e-mail: [email protected], [email protected]


ON THE MAXIMAL SIZE OF ANTICODES

A. J. van Zanten

In algebraic coding theory one usually studies binary (n,M, d)-codes. An (n,M, d)-code is a set of M binary words of length n and minimal Hamming distance d. Optimalityquestions arise when two of the three parameters are fixed. More generally, one can definesuch optimality problems for q-ary codes over an alphabet 0, 1, ..., q − 1, where theHamming distance between two words is defined as the number of positions in whichthey differ. Occasionally, one studies binary codes with a maximal distance for any twocodewords, and one speaks of anticodes. In particular one can ask for the maximal sizeN(n,m) of an anticode with the codeword length n and maximum distance m. In [5] itwas conjectured that this maximal size is equal to

N(n,m) =

k∑

i=0

(n

i

)for m even,

k∑

i=0

(n

i

)+

(n− 1

k

)for m odd,

where k = dm2e and 1 ≤ m < n. The r.h.s of these equalities are equal to the contents of

a ball with radius m2, with an additional term for odd values of m. Although this result

seems quite obvious, an immediate proof was not at hand. Actually, it was Erdos whoposed this question (for even m), and which was proved later by Kleitman in [4], andalso by Katona in [3], in terms of extremal set theory. We shall present a relatively shortinduction proof in term of binary words, based on the well-known addition theorem forbinomial coeficients. Our proof can immediately be generalized yielding a similar resultfor q-ary anticodes by Ahlswede, Cai and Zhang in [1](cf. also [2]), which was also provedin the context of extremal set theory. This result can be stated as

N(n,m) =

k∑

i=0

(n

i

)(q − 1)ifor m even,

k∑

i=0

(n

i

)(q − 1)i +

(n− 1

k

)for m odd,

where k = dm2e and 1 ≤ m ≤ n− (q − 1).

REFERENCES

[1] Ahlswede R., Cai N. and Zhang Z., Diametric theorem in sequence spaces, Combina-torica, vol. 12 (1992), pp. 1–17.

[2] Ahlswede R. and Khachiatru L.H., Diametric theorem in Hamming spaces-optimalanticodes, Adv. Appl. Math., vol. 20 (1998), pp. 429–449.

[3] Katona G. O. H., Intersection theorem for systems of finite sets, Acta Math. AcadSci. Hungar vol. 15 (1964), pp. 329–337.

[4] Kleitman D. J., On a combinatorial conjecture of Erdos, J. Comb. Theory vol. 1(1966), pp. 209–214.

[5] Reddy S. M., On block codes with specified maximum distance, IEEE, Trans., Inform.Theory vol. 18 (1973), pp. 823–824.

Jan van Zanten, Delft University of Technology,Department of Mathematics, P.O. BOX 5031, 2600 GA Delft, The Netherlands,fax:++15-2786178, e-mail: [email protected].


CONSTRUCTION OF BALANCED GRAY CODES

A. J. van Zanten and I Nengah Suparta

A cyclic Gray codes of length n is an ordered list of all 2n n-bit codewords such thatsuccessive codewords (including the last and the first word) differ in precisely one bit posi-tion. A compact way to define a Gray code is by presenting its transition sequence, whichis the sequence of bit positions t1, t2, ..., t2n , where the transition number ti indicates thebit to be changed when going from word gi−1 to word gi. Here, we adopt the conventionsthat g2n = g0 = 0, and that bits are labeled by 1, 2, ..., n, from right to left. The bestknown Gray code is the standard Gray code with its transition sequence recursively de-fined as T1 = 1, Tn = Tn−1, n, Tn−1 for n > 1, while T (n), n is the the transition sequencefor G(n) considered as a cyclic list.

The number of times that an integer i occurs in a transition sequence is called itstransition count, and will be denoted by TCn(i). The standard cyclic Gray code of lengthn has transition counts TCn(i) = 2n−i for 1 ≤ i ≤ n − 1, whereas TCn(n) = 2. It canbe seen that the differences between the various values of TCn(i) are relatively large. Forthat reason this code is called unbalanced. For the sake of certain applications and alsobecause of mathematical interest, one occasionally requires a more uniform distributionof these transition counts. If |TCn(i) − TCn(j)| ≤ 2 for all 1 ≤ i, j ≤ n, one says thatthe code is balanced. If |TCn(i) − TCn(j)| = 0 for all 1 ≤ i, j ≤ n, the code is calledtotally balanced. A number of techniques are known for the construction of balancedGray codes. Robinson and Cohn in [2] claimed, without giving a complete proof, that byapplying their technique, balanced codes could be produced for any n ≥ 1. In [1] Bhatand Savage completed the method of [2]. Wagner and West in [3] proved the existenceof totally balanced Gray codes for all values n = 2k, by a graph-theoretic approach. In[4] we developed a more general and simpler version of the Robinson-Cohn constructionwhich enables us to construct new balanced Gray codes. By applying our method we canalso prove the existence of Gray codes with a very special transition counts spectrum. Theexistence of such codes was a long-standing conjecture of Wagner and West in [3].

REFERENCES

[1] Bhat G. S. and Savage C. D., Balanced Gray codes, The Electronic J. Combinatoricsvol. 3 (1996), paper 25.

[2] Robinson J. P. and Cohn M., Counting sequences, IEEE Trans. Computers, vol. 30,No. 1 (1981), pp. 17–23.

[3] Wagner D. J. and West J., Construction of uniform Gray codes, Congressus Numer-antium, vol. 80 (1991), pp. 217–223.

[4] Suparta I. N. and Zanten A. J. van, Balanced Gray codes, Rep. CS 03-12, IKAT,Universiteit Maastricht, Maastricht, The Netherlands, (2003).

Jan van Zanten, I Nengah Suparta,Department of Mathematics, Delft University of Technology,P.O. BOX 5031, 2600 GA Delft, The Netherlands,fax:++15-2786178, e-mail: [email protected].


ON ARITHMETICAL COMPLEXITY OF STURMIAN WORDS

J. Cassaigne, A. Frid

Arithmetical complexity aw(n) of an infinite word w on a finite alphabet is the numberof words of length n which occur in arithmetical progressions of w, i. e., if w = w1w2w3 · · · ,where wi are symbols, then aw(n) is the number of words of the form wkwk+d · · ·wk+(n−1)d,where k, d > 0. This function is relative to the classical subword complexity which is equalto the number of words of the form wkwk+1 · · ·wk+n−1.

A word w = w(x0, α), where α is irrational, is called Sturmian if for all i eitherwi = b(n+1)α+x0c−bnα+x0c, or wi = d(n+1)α+x0e−dnα+x0e. The set of subwordsof a Sturmian word, and thus its arithmetical complexity, depend only on α. The subwordcomplexity of any Sturmian word is n+ 1, but the arithmetical one is not even linear [2].

Using the geometric dual method by Berstel and Pocchiola [1], we prove that for allx0, α, and sufficiently large n,

aw(x0,α)(n) < Q(n) =n−1∑

q=1

(n− q)ϕ(q) +(n− 1)n(n+ 1)

6;

here ϕ is the Euler function. Leaning upon computational experiments, we also conjecturethat aw(x0,α)(n) ≥ Q(n)− c(α) for some constant c(α) depending on α, and in particularthat aw(x0,α)(n) = O(n3).

The research of A. Frid is supported in part by RFBR grants 02-01-00939 and 03-01-00796.

REFERENCES

1. J. Berstel, M. Pocchiola (1993) A geometric proof of the enumeration formula forSturmian words. Int. J. Algebra and Computation 3, 349–355.2. A. Frid (2003) Sequences of linear arithmetical complexity. Proc. of WORDS’03, TUCSGen. Publ. 27, Turku, Finland. P. 53–64.

Julien Cassaigne, Institut de Mathematiques de LuminyCase 907, 163 av. de Luminy, F-13288 Marseille Cedex 9, France,fax. +33 4 91 26 96 55, e-mail: [email protected]

Anna E. Frid, Sobolev Institute of Mathematics,pr. Akademika Koptyuga, 4, 630090, Novosibirsk, Russia,phone (8-383-2) 36-46-54, fax (8-383-2) 33-25-98, e-mail: [email protected]


INDEPENDENT SETS ON PATH-SCHEMES

S. Kitaev

Let I(G) denote the number of independent sets of a graph G. Let V = 1, 2, . . . , nand M be a subset of V . A path-scheme P (n,M) is a graph G = (V,E), where the edgeset is E = (x, y) | |x− y| ∈M.

Suppose k ≥ 2 and A= A1, A2, . . . , Ak is a set of words of the form Ai = 1 0 . . . 0︸︷︷︸ai−1

1,

where ai ≥ 1, and ai < aj if i < j. Moreover, we assume that for any i > 1 and Ai ∈ A,if we replace any number of 0’s in Ai by 1’s, then we obtain a word A′

i that contains theword Aj ∈ A as a subword for some j < i. In this case, we call A well-based set, and wecall the sequence of ais associated with A well-based sequence.

We call a scheme P (n,M) well-based scheme if the elements of M listed in the increas-ing order form a well-based sequence.

Our main result in this paper is the theorem below which generalizes the known resultin this direction [2]. We prove the theorem by reformulating the problem in terms ofcombinatorics on words.

Theorem. Let M = a1, a2, . . . , ak be a subset of V = 1, 2, . . . , n such that thesequence a1, a2, . . . , ak is well-based (in particular, a1 = 1). Let c(x) = 1 + x +

∑ki=2 x

ai.Then the generating function for the number of independent sets on the well-based path-scheme P = P (n,M) (with vertex set V ) is given by

G(x) =c(x)

(1− x)c(x)− x.

REFERENCES

1. Guibas L. J., Odlyzko A. M. String overlaps, patterns matching, and nontransitivegames // J. Comb. Theory Ser. A, 1981. V. 30. P. 19–42.

2. T. Sillke Counting independent sets,http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/PROBLEMS/stable_sets

Sergey Kitaev, Department of Mathematics, University of Kentucky,Lexington, KY 40506-0027, USA; e-mail: [email protected]


О МНОЖЕСТВАХ ДВОИЧНЫХ СЛОВ, СОДЕРЖАЩИХФИКСИРОВАННОЕ ПОДСЛОВО

В. К. Леонтьев, М. Р. Хошманд Асл

Рассматривается множество Bn двоичных наборов длины не более n со следую-щим отношением частичного порядка

a ⊆ b,

если a является подсловом слова b. При фиксированном слове a ∈ Bk мощностьмножества слов Nn(a) длины n, содержащих слово a в качестве подслова, зависит отa и потому определенный интерес представляют экстремумы этот величины, т. е.

NMn (k) = max

a∈Bk|Nn(a)|

Nmn (k) = min

a∈Bk|Nn(a)|

Относительно этих величин получены следующие утверждения.

Теорема. Справедливы соотношения

1) NMn (k) =

[ nk+2

]−1∑

j=1

(−1)j+1

(n− jk − j

j

)2n−jk

2) Nmn (k) = 2n − 2

n∑

m=2

m/2∑

s=0

(−1)s

(m/2s

)(n− (k − 1)s− 1

m− 1

)−

n∑

m=1

(m−1)/2∑

s=0

(−1)s

((m− 1)/2

s

)(n− (k − 1)s− 1

m− 1

)−

n∑

m=1

(m+1)/2∑

s=0

(−1)s

((m+ 1)/2

s

)(n− (k − 1)s− 1

m− 1

)

Следствие.

NMn (k) ∼

n2n−k при k ≥ lg2 n,2n при k < lg2 n.

Леонтьев Владимир Константинович, Хошманд Асл Мохаммад Реза,МГУ им. М. И. Ломоносова, Воробьевы горы, 119992, Москва, Россия,e-mail: [email protected], [email protected]


О МАКСИМАЛЬНОЙ ДЛИНЕ СЛОВА БЕЗ ПОВТОРЯЮЩИХСЯПОДСЛОВ С ОГРАНИЧЕННОЙ ЧАСТОТОЙ ЕДИНИЦ

В. Н. Потапов

Обозначим через |u| длину двоичного слова u, а через wt(u) — число единиц вслове u. Частота единиц в слове u не превосходит β, 0 ≤ β ≤ 1, если wt(u) ≤ β|u|.Пусть d(n, β) = max |u|, где максимум берется по всем словам u с частотой единицне более β, которые не содержат одинаковых подслов длины n.

При β ≥ 1/2 максимальная длина d(n, β) = 2n + n − 1 достигается на словах деБрёйна, в которых в качестве подслов содержатся все слова длины n (см., например,[1]). Доказано, что если 0 < β < 1/2, то при n→∞

d(n, β) =1− β

(1− 2β)(1− 2γ)(n(γ − β) + 1)

√1− γ2πnγ

(1

γ

)nγ(1

1− γ

)n(1−γ)

(1 + o(1)),

где γ = dβn+ β/(1− 2β)− 1e/n.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 02-01-00939) и про-граммы Министерства образования РФ (проект Е 02-6.0-250).


[1] Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.

Потапов Владимир Николаевич,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия;тел. (8-383-2) 33-38-69, факс (8-383-2) 32-25-98, e-mail: [email protected]


ОБ ОДНОЙ КОМБИНАТОРНОЙ ЗАДАЧЕ ЭРДЕША

Д. А. Шабанов

В работе исследуется классическая задача экстремальной теории гиперграфов,восходящая к П. Эрдешу. Рассматривается ряд параметрических свойств для n-равномерных гиперграфов, являющихся более общими нетривиальными аналогамиизвестного свойства B, введенного Эрдешом в [1].

Напомним, что n-равномерный гиперграф G = (V,E) обладает свойством B, ес-ли существует двухцветная раскраска множества его вершин V, в которой ни одноребро из E не является одноцветным. Задача, поставленная Эрдешом, состоит в отыс-кании величины m(n), равной максимуму из таких m, что любой n – равномерныйгиперграф, имеющий в точности m ребер, обладает свойством B.

Основным свойством, рассматриваемым в докладе, является свойство Bk . Ска-жем, что n-равномерный гиперграф обладает свойством Bk , если существует такаяраскраска множества его вершин в два цвета, при которой в любом его ребре ока-жется не менее k вершин каждого из этих цветов. По аналогии с величиной m(n)через mk(n) обозначим максимум из таких m, что произвольный n-равномерный ги-перграф, имеющий m ребер, обладает свойством Bk . Параметр k, вообще говоря,зависит от n и, соответственно, может расти с ростом n. При некоторых значенияхпараметра k автором были получены нетривиальные верхние и нижние оценки навеличину mk (n) (см. [2]).

В докладе также вводятся обобщения свойства Bk – двухпараметрические свой-ства Bk ,ε и Fk ,l . В самом деле, пусть G = (V ,E ) – n-равномерный гиперграф. Бу-дем говорить, что G обладает свойством Bk ,ε, если существует такой гиперграфG

′

= (V ,E′

), обладающий свойством Bk , что E′ ∈ E и |E ′| ≥ (1− ε)|E |. По аналогии

с m(n) и mk(n) рассматривается величина mk ,ε(n). Скажем, наконец, что гиперграфG = (V,E) обладает свойством Fk ,l , если существует такой гиперграф G

′

= (V ,E′

),обладающий свойством Bk , что E

′ ∈ E и |E ′| > |E |− l . Как обычно, обозначим черезfk ,l(n) максимум из таких m, что произвольный n-равномерный гиперграф, имеющийm ребер, обладает свойством Fk ,l . Для величин mk ,ε(n) и fk ,l(n) удается получить но-вые верхние и нижние оценки.

В работе используются вероятностные методы в комбинаторике и методы, свя-занные с комбинаторной задачей о покрытии.Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант N 02-01-00912).


[1] P. Erdos, On a combinatorial problem, Nordisk Mat. Tidskr., 11 (1963), 5 - 10.

[2] Д. А. Шабанов, Об одной комбинаторной задаче Эрдеша, Доклады РАН, 2004(в печати).

Дмитрий Александрович Шабанов,МГУ им. М.В. Ломоносова, Воробьевы горы, 119992, ГСП-2, Москва, Россия,факс: (095) 939-20-90 , тел.: (095) 939-16-48, e-mail: [email protected]


КОМБИНАТОРНАЯ СЛОЖНОСТЬРАЦИОНАЛЬНЫХ ЯЗЫКОВ

А. М. Шур

Функция CL : N0 → N0 называется комбинаторной сложностью формальногоязыка L, если CL(n) есть количество слов длины n в языке L (см., напр. [1]). Комби-наторная сложность рассматривалась для языков подслов различных бесконечныхслов, а также для некоторых языков, порожденных отношением избегаемости (на-пример, состоящих из всех слов в фиксированном алфавите, избегающих заданноемножество слов). В то же время классификация по сложности представляет инте-рес для любых классов языков, задаваемых естественным образом. Мы приводимтакую классификацию для рациональных языков; сложность рационального языкаопределяется свойствами конечного автомата, распознающего этот язык.

Любой рациональный язык L распознается некоторым конечным автоматом соследующими свойствами:1) всякий переход δ(q, a) определен единственным образом или не определен вовсе;2) через любую вершину проходит путь, помеченный словом из L;3) начальная вершина единственна.

Теорема 1. Пусть A — автомат со свойствами 1)– 3), распознающий язык L. Еслив A найдется вершина, принадлежащая не менее, чем двум циклам, то функция CL(n)экспоненциальна. В противном случае CL(n) = O(nk−1), где k — максимальное числоразличных циклов, содержащихся в пути, помеченном словом из L.

До сих пор комбинаторная сложность рассматривалась для языков, замкнутыхотносительно взятия подслов (факториальных языков). Поэтому возникает вопрос:сохранятся ли все классы в классификации из теоремы 1, если ограничиться рассмот-рением факториальных рациональных языков? Оказывается да, даже если рассмат-ривать только языки с конечными антисловарями (см. [2]), применяемые в сжатииданных. Язык L над алфавитом Σ называется языком с конечным антисловарем,если он представим в виде L = Σ∗\Σ∗MΣ∗ для конечного языка M .

Теорема 2. Для любого натурального k найдется конечный язык Mk ∈ a, b∗такой, что язык Lk = Σ∗\Σ∗MkΣ

∗ имеет комбинаторную сложность O(nk).


1. C. Choffrut, J. Karhumaki, Combinatorics of words, in: G. Rosenberg, A. Salomaa(Eds.), Handbook of formal languages, v.1, Ch. 6, Springer, Berlin, 1997, 329-438.2. M. Crochemore, F. Mignosi, A. Restivo, S. Salemi Data compression using antidic-tionaries, Proc. of the I.E.E.E., Lossless data compression, J. Storer, ed., 88-11, 2000,1756-1768.

Шур Арсений Михайлович,Уральский госуниверситет,пр. Ленина, 51, Екатеринбург, 620083, Россия,тел. (343)-3507579, факс (343)-3507401, e-mail: [email protected]

Теория кодирования 93

RECONSTRUCTION OF CAPS FOR CENTERED FUNCTION

A. Yu. Vasil’eva

We consider the space En = 0; 1n with the Hamming metric ρ, where ρ(x,y) =∑ni=0 |xi − yi|. Denote by wt(x) = ρ(x,0) the Hamming weight of x. A partial ordering

of En is defined as usual: x y if xi ≤ yi for any i = 0, 1, . . . , n.We study centered functions as a generalization of perfect binary codes with distance 3.

A function f : En −→ R is said to be centered [2] if a sum of its values on every ballof radius 1 is equal to 0. It is known [1, 2], that the values of a 0-centered function atthe vertices of weight (n + 1)/2 uniquely determine all values of this function. Moreover[3, 4], given all values of such a function at the vertices of weight i, 0 ≤ i ≤ (n − 1)/2,all values of this function at the vertices of weight less than i and more than n − i areuniquely determined.

If wt(x) = i ≤ h, then put Uh(x) = y ∈ En | x y, wt(y) = h and call theset Uh(x) an (i, h)-cap with respect to x. We also say that a sum

∑y∈Uh(x) f(y) is an

(i, h)-cap of the function f with respect to the vertex x. Our main result is the following:Theorem. Let f : En −→ R be a 0-centered function and 0 ≤ i ≤ k, h ≤ n. Then all

(i, h)-caps of the function f are uniquely determined by all (i, k)-caps of this function.The corresponding reconstruction formula is obtained.Corollary 1. Let f : En −→ R be a 0-centered function and 0 ≤ i ≤ h ≤ n. Given

all values of f at the vertices of weight i, all (i, h)-caps of f are uniquely determined.Corollary 2. Let f : En −→ R be a 0-centered function and 0 ≤ i ≤ h ≤ n. Given

all (i, h)-caps of f at the vertices of weight i, all values of f at the vertices of weight iand less than i are uniquely determined.

The author is grateful to S.V. Avgustinovich for statement of the problem and constantattention to this work.

REFERENCES

1. S.V.Avgustinovich, (1995) On a property of perfect binary codes, Discrete Analysis andOperation Research V.2. No. 1. 1995. P. 4-6. (in Russian).2. S.V. Avgustinovich, A.Yu.Vasil’eva, (2003) Reconstruction of centered function by itsvalues at two middle levels of hypercube, Discrete Analysis and Operation Research V. 10.No. 2. 2003. P. 3-16. (in Russian).3. S.V.Avgustinovich, A.Yu. Vasil’eva, (2002) Testing sets for 1-perfect codes, Proc. ofInt. Conf. "General theory of information transfer and combinatorics", Germany, Bielefeld,November 4-9, 2002, submitted.4. A.Yu. Vasil’eva, 92003) Partial reconstruction of perfect binary codes, Proc. of Int.Workshop on Coding and Cryptography, March 24-28 2003, Versailles, France. P. 445-452.

Vasil’eva Anastasia Yurievna,Sobolev Institute of Mathematics,pr. Akademika Koptyuga, 4, Novosibirsk, 630090, Russia,phone: (8-383-2) 33-38-96, fax: (8-383-2) 33-25-98, e-mail: [email protected]

94 Теория кодирования

CODING THEORY OVER POSET METRICS

Hyun Kwang Kim

Let Fq be the finite field with q elements and Fnq be the vector space of n-tuples

of Fq. Coding theory may be viewed as the study of Fnq when F

nq is endowed with the

Hamming metric. Let P be a poset on [n] = 1, 2, · · · , n. Brualdi et al.([2]) defined anew non Hamming metric on F

nq which is associated to P . This metric is called the P -

metric or simply the poset metric. In this talk we survey recent results on codes over posetmetrics. We first review basic facts on poset metrics. Next we discuss some results on theclassification of perfect codes over crown poset metrics([1],[9]), the classification of posetsadmitting a given code to be a perfect code([5]), the automorphism groups of certain posetmetric spaces([3],[10]), generalizations of MacWilliams identity on poset codes([4],[6],[7]),and association schemes arising from poset metrics([8]).

This research was supported by Com2MaC-KOSEF and BK-21 research fund.

REFERENCES

1. J. Ahn, H. K. Kim, J. S. Kim and M. Kim, (2003) Classification of perfect codes withcrown poset structure, Discrete Math. 268, P/ 21–30.2. R. A. Brualdi, J. Graves and K. M. Lawrence, (1995) Codes with a poset metric, Dis-crete Math. 147, P. 57–72.3. S. H. Cho and D. S. Kim, Automorphism group of the crown-weighted space, submitted.4. S. T. Dougherty and M. M. Skriganov, (2002) MacWilliams duality and the Rosenbloom-Tsfasman metric, Mosc. Math. J. 2, P. 82–97.5. J. Y. Hyun and H. K. Kim, The poset structures admitting the extended binary Ham-ming code to be a perfect code, submitted.6. D. S. Kim, MacWilliams-type identities for fragment and sphere enumerators, submit-ted.7. H. K. Kim and D. Y. Oh, A classification of posets admitting MacWilliams identity,submitted.8. H. K. Kim and D. Y. Oh, Association schemes for poset metrics and MacWilliamsduality, preprint.9. H. K. Kim and D. Y. Oh, On the nonexistence of triple-error-correcting perfect binarylinear codes with crown poset structure, submitted.10. K. Lee, (2003) Automorphism group of the Rosenbloom-Tsfasman space, Eur. J. Com-bin. 24, P. 607-612.

Hyun Kwang Kim,Pohang University of Science and Technology,Department of Mathematics, San 31 Hyoja Dong, Pohang, 790-784, Korea,phone: 82-54-279-2049, fax: 82-54-279-2799, e-mail: [email protected]


ON THE NUMBER OF 1-PERFECT BINARY CODES. A LOWER BOUND

D. S.Krotov and S.V.Avgustinovich

Let F n (F nev, F

nod) be the set of binary n-words (with even or odd number of ones, re-

spectively) with the Hamming distance d and mod 2 coordinate-wise addition. If S ⊆ F n,then Aut(S) is the group of isometries g of F n such that g(S) = S, and the neighborhood

of S is the set Ω(S)df=⋃

x∈S Ω(x), where Ω(x)df= y ∈ F n | d(y, x) = 1. For a collection

S = S1, ..., Sl of subsets of F n, by Aut(S) denote the group of isometries g of F n suchthat for each S ∈ S the set g(S) is also in S.

An extended 1-perfect code is a set C ⊆ F nev such that the neighborhoods of the words

of C are pairwise disjoint and Ω(C) = F nod. It follows that |C| = |F n

od|/n = 2n−log2 n−1 andn is a power of 2. We assume n = 2m ≥ 16. A unique (up to equivalence) linear extended1-perfect code H (the Hamming code) can be represented by the following inductiveformulas

A1 df= V 1, At df

=⋃

r∈V t(r + At−1), Hdf= Am−1, (1)

where V t df= (v, v, 0, ..., 0) ∈ F n | v ∈ F 2m−t

ev .If in (1) for some r we replace At−1 by the set with the same neighborhood, then Ω(At)

and, consequently, Ω(H) do not change. Let At df= Aut(Ω(At)). Then the set C represented

by the following formulas is an extended 1-perfect code.

A1r1,...,rm−1

df= V 1, At

rt+1,...,rm−1

df=⋃

rt∈V t

(rt + grt,...,rm−1(A

t−1rt,...,rm−1

)), C

df= g(Am−1), (2)

where grt,...,rm−1 ∈ At−1; in particular, g ∈ Am−1. Let Bt df= Aut

(Ω(r + At−1)r∈V t

), t =

2, ...,m− 1, and B1 df= Aut(A1). For each t = 1, ...,m− 1 we fix a set Dt of representatives

of cosets from At/Bt. It can be shown by induction that the restrictions

grt,...,rm−1 ∈ Dt−1 (3)

do not reduce the set of codes that can be represented by (2). Almost all (n→∞) codesrepresented by (2,3) have a unique representation (2,3), and their number is not less than

K(n)df= |Dm−1|

m−2∏

t=1

(|Dt||Vt+1| − |Dt| · |Vt+1|

)|Vt+2|·...·|Vm−1|= (4)

=n!

6·(

n4!)4

m−2∏

t=1k=2t

(2(

12

k

k/2

)n

k

)2 n2k

−1

−2(

12

k

k/2

)n

k·2n2k

−1

2

n2k

−log2n2k

−1

' n!

6·(

n4!)4

m−2∏

t=1k=2t

(2(

12

k

k/2

)n

k

)2nk−log2

nk−1

.

There is a one-to-one correspondence (deleting the last symbol) between extended 1-perfect codes and 1-perfect codes. So, for the number B(n− 1) of 1-perfect binary codesof length n− 1 we get the lower bound B(n− 1) ≥ K(n). All previous lower bounds arerestricted by two multipliers (t = 1, 2) of (4).

Hypothesis. The lower bound B(n− 1) ≥ K(n) is asymptotically tight.

Krotov Denis Stanislavovich, Avgustinovich Sergey Vladimirovich,Sobolev Institute of Mathematics, Koptyuga, 4, Novosibirsk, 630090, Russia,e-mail: [email protected], [email protected]


О ТРАНЗИТИВНЫХ СОВЕРШЕННЫХ КОДАХ ДЛИНЫ 15

С. А. Малюгин

Число нелинейных совершенных двоичных кодов длины n = 2k − 1 (k ≥ 4) оце-

нивается снизу величиной 22n2 +o(n)

. До настоящего времени задача перечисления иклассификации не решена даже для кодов минимальной длины n = 15. В последнеевремя интерес к этой задаче возрос в связи с возможностью применения компью-теров [1–3]. В [4] дана классификация всех кодов длины 15, которые строятся изкода Хемминга сдвигами непересекающихся компонент. Так как кодов очень много,то имеет смысл перечислять только неэквивалентные друг другу коды. Например,число всех неэквивалентных кодов Васильева равно 19 [1], для кодов, построенныхв [2] и [3], эти числа равны соответственно 963 и 777. Число неэквивалентных кодов,построенных в [4] равно 370. Кроме этого можно рассматривать только специальныеподклассы кодов, которые в каком то смысле близки к линейным кодам. Сейчас по-является интерес к транзитивным кодам [5]. Код C называется транзитивным, еслигруппа автоморфизмов Aut(C) действует транзитивно на элементах кода C. Средикодов, построенных в [4], найдены все транзитивные. Оказалось, что существует все-го 5 неэквивалентных транзитивных кодов Васильева (включая один линейный кодранга 11 и 4 кода ранга 12), 9 кодов ранга 13 и 2 кода ранга 14. Их разбиения нагруппы из расширенно эквивалентных кодов соответственно имеют вид 2+1+1+1,3+2+2+1+1 и 1+1. Не существует транзитивных кодов ранга 15. Размерности ядертрех кодов Васильева равны 9 и у одного кода размерность ядра равна 7. У всех кодовранга 13 размерности ядер равны 8. Размерности ядер двух кодов ранга 14 равнысоответственно 8 и 5. Найдены также группы автоморфизмов всех перечисленныхкодов.

Работа поддержана грантом РФФИ (проект 02-01-00939) и программой поддержкиведущих научных школ (проект НШ–313.2003.1).


1. Hergert F. The equivalence classes of the Vasil’ev codes of length 15 // Combinator-ial theory (Schloss Rauischholzhausen, 1982), P. 176–186, Lectures Notes in Math.,969,Springer, Berlin—New York, 1982.2. Phelps K. T. An enumeration of 1-perfect binary codes // Australasian Journal of Com-binatorics. 2000. V. 21. P. 287–298.3. Зиновьев В. А., Зиновьев Д. В. Двоичные совершенные коды длины 15, построен-ные обобщенной каскадной конструкцией // Проблемы передачи информации. 2004.Т. 40, вып. 1. С. 27–39.4. Малюгин С. А. О перечислении совершенных двоичных кодов длины 15 // Дискрет.анализ и исслед. операций. Сер. 2. 1999. Т. 6, 2. C. 48–73.5. Solov’eva F. I. On transitive codes // См. настоящий сборник. c. 99

Малюгин Сергей Артемьевич,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 33-38-69, факс (8-383-2) 32-25-98, e-mail: [email protected]


ON PERFECT COLORINGS OFTHE INFINITE RECTANGULAR GRID

S. A. Puzynina

Let M = (mij)ni,j=1 be an arbitrary nonnegative integer matrix and A = a1, ..., an

be a set of colors. A coloring of vertices of a graph G into colors from A is called perfectwith matrix M if the number of vertices of a color aj incident to a vertex of a color ai

does not depend on the vertex and equals to mij.A coloring of a graph G can be considered as a function

ϕ : V (G)→ A.

We consider perfect colorings of the graph G(Z2) that is an infinite rectangular grid.This graph is regular of degree 4. Each vertex of graph G(Z2) corresponds to a pair ofintegers, two vertices are adjacent if their pairs differ in one coordinate by unit, and theother coordinate is the same.

We say that a matrix M is possible, if a perfect coloring of G(Z2) with matrix Mexists.

A perfect coloring ϕ of G(Z2) is (p, q)-periodic if ϕ(x + p, y + q) = ϕ(x, y) for anyintegers x, y. A perfect coloring that is (p, p)- and (q,−q)-periodic is called periodic. Theexistence of a periodic perfect coloring for any possible matrix is proved [1].

The main result is the following

Theorem 1 Every possible matrix of perfect colorings into three colors is equivalent toone of the following 21 matrices:

1.

0 0 40 0 41 3 0

2.

0 0 40 0 42 2 0

3.

0 2 22 0 22 2 0

4.

0 0 40 0 41 1 2

5.

0 1 31 0 31 1 2

6.

0 2 22 0 21 1 2

7.

0 2 24 0 02 0 2

8.

0 3 13 0 11 1 2

9.

0 2 21 1 21 2 1

10.

0 2 22 1 12 1 1

11.

0 4 01 1 20 2 2

12.

0 2 21 2 11 1 2

13.

0 2 22 2 02 0 2

14.

1 0 30 1 31 2 1

15.

1 0 30 1 31 1 2

16.

1 1 21 1 21 1 2

17.

1 2 12 1 11 1 2

18.

2 0 20 2 21 1 2

19.

2 1 11 2 11 1 2

20.

2 1 12 2 01 0 3

21.

2 1 11 3 01 0 3

We also found that 5 of these matrices correspond to uncountably many perfect col-orings, others correspond to finite set of colorings. Earlier a similar problem was solvedfor two colors [2].

REFERENCES

1. Puzynina S. A. Periodicity of perfect colorings of the infinite rectangular grid. // Dis-crete analysis and operations research, 2004, 1:11, P. 79–92.[Russian]2. Axenovich M. On multiple coverings of the infinite rectangular grid with balls of con-stant radius. // Discrete Math. 2003. V. 268. P. 31–49.

Puzynina Svetlana Aleksandrovna, Sobolev Institute of Mathematics,pr. Akademika Koptyuga, 4, Novosibirsk, 630090, Russia,e-mail: [email protected]


О РАЗБИЕНИЯХ q-ИЧНЫХ КОДОВ ХЕММИНГА НА НЕПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯКОМПОНЕНТЫ

А.М.Романов

Найдены новые разбиения q-ичных кодов Хемминга на непересекающиеся компо-ненты, которые позволяют сдвигами компонент получать новые нелинейные совер-шенные q-ичные коды.

В n-мерном векторном пространстве F nq над полем Галуа GF (q) рассматривает-

ся q-ичный код Хемминга Hk длины n, где n = qk−1q−1

, k ≥ 2, q — простое числоили степень простого числа. Пусть Ri — подпространство, порожденное всеми век-торами веса 3 кода Hk с ненулевой i-й координатой. Всевозможные смежные классыRi + u (u ∈ Hk) представляют собой совокупность всех i-компонент q-ичного кодаХемминга Hk.

Пусть λ ∈ GF (q), λ 6= 0, u ∈ Hk, ei — базисный вектор, в котором i-я координатаравна 1. Тогда при k ≥ 4 множество H ′

k = (Hk \ (Ri + u)) ∪ (Ri + u + λei) являетсянелинейным совершенным q-ичным кодом длины n. Говорят, что код H ′

k получен изкода Hk сдвигом компоненты Ri + u.

Теорема. Для любого k ≥ 3 и любого p такого, что 0 ≤ p ≤ k − 3, существуетразбиение q-ичного кода Хемминга Hk на is-компоненты (1 ≤ s ≤ qp), в котором

при каждом s число is-компонент равно qn−1

q−k−p+1.

Предложенные разбиения являются обобщением конструкций из [1, 2].


1. Малюгин С. А., Романов А. М. О разбиениях кодов Хемминга на непересекающиесякомпоненты //Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2002. Т. 9, 1. С. 42–48.2. Романов А. М. О построении совершенных нелинейных двоичных кодов инверсиейсимволов // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 1997. Т. 4, 1. С. 46–52.

Романов Александр Михайлович,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 33-38-69, e-mail: [email protected]


ON TRANSITIVE CODES

F. I. Solov’eva

Transitive objects play an important role in coding theory, combinatorics, graph the-ory and group theory. Applying some well-known constructions (Vasil’ev’s, Plotkin’s andMollard’s) to known binary transitive codes of some lengths, see [1–3], it is possible toget infinite classes of transitive binary codes of greater lengths. Let En be the set of allbinary vectors of length n. It is well known that every isometry of En is defined by apermutation π on the n coordinate positions and by adding a vector v ∈ En, i.e., for theautomorphism group of En it is true that Aut(En) = Sn iEn = (π, v) | π ∈ Sn, v ∈ En,where i denotes a semidirect product. The automorphism group Aut(C) of any code Cof length n consists of all the isometries of En that transform the code into itself, i.e.,Aut(C) = (π, v) | π(C) + v = C. The set Sym(C) = π ∈ Sn | π(C) = C is called thegroup of symmetries of the code C. A code C is said to be transitive if for every codewordv ∈ C there exists a permutation πv ∈ Sn such that (πv, v) ∈Aut(C) and πv may notbelong to the set Sym(C).

Theorem 1. Let C1 and C2 be arbitrary binary transitive codes of length n with codedistance d1 and d2 respectively, such that for every automorphism (πy, y) ∈Aut(C2) itholds πy ∈Sym(C1). Then the Plotkin code C2n = (x, x+ y) : x ∈ C1, y ∈ C2 is a binarytransitive code of length 2n, size |C1| × |C2| and code distance d =min2d1, d2.

Let Cr and Cm be two perfect binary codes of length r and m respectively, where r =2k − 1, m = 2p − 1. Let x = (x11, x12, . . . , x1m, x21, . . . , x2m, . . . , xr1, . . . , xrm) ∈ Erm. Thegeneralized parity functions p1(x) and p2(x) are defined by p1(x) = (σ1, σ2, . . . , σr) ∈ Er,p2(x) = (σ′

1, σ′2, . . . , σ

′m) ∈ Em, where σi =

∑mj=1 xij and σ′

j =∑r

i=1 xij.

Theorem 2. Let Cr and Cm be arbitrary perfect binary transitive codes of length rand m respectively. Then the Mollard code Cn = (x, y + p1(x), z + p2(x)) : x ∈ Erm, y ∈Cr, z ∈ Cm is a perfect binary transitive code of length n = rm+ r +m.

It is easy to see that an extended code obtained by adding an overall parity check toa transitive code is transitive. Using Theorem 2, we get transitive Vasil’ev codes in thecase r = 1. The dimension of the subspace spanned by a code C is called the rank of thecode C. The kernel of a code C is the set of all codewords x ∈ C such that x + C = C.Ranks and kernels of all these transitive codes can be easily found from ranks and kernelsof starting transitive codes and used to obtain new transitive codes.

REFERENCES

1. Borges J., Phelps K.T., Rifa J.K. The rank and kernel of extended 1-perfect Z4-linearand additive non-Z4-linear codes // IEEE Trans. on Inform. Theory. 2003. V 49. N 8.P. 2028-2034.2. Krotov D. S. Z4-linear perfect codes // Discrete Analysis and Operation Research. Ser.1. 2000. V.7. N 4. P. 78–90 (in Russian).3. Malyugin S. A. On transitive perfect codes of length 15, see present volume. P. 96

Solov’eva Faina Ivanovna, Sobolev Institute of Mathematics RAS,pr. Akademika Koptyuga, 4, Novosibirsk, 630090, Russia;phone: 8-3832-333788, fax: 8-3832-332598, e-mail: [email protected]


THE NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITION FORA BINARY CODE TO BE A Z4-LINEAR PREPARATA CODE

N. N. Tokareva

Codes with a group structure are the most important codes in the coding theory. Thefamily of Z4-linear codes have such property among extended binary Preparata codes (i.e.,codes of length 4m, cardinality 24m−4m with code distance 6). The first Z4-linear Preparatacode for every admissible length was discovered in [2], the reach class of such codes wasconstructed in [1]. It is an open problem to classify all such codes.

Let us consider the metric spaces Z2N2 and ZN

4 with the Hamming and the Lee metricsrespectively. The Gray map φ : Z4 → Z2

2 is defined as follows: φ(0) = 00, φ(1) = 01,φ(2) = 11, φ(3) = 10 and can be extended to the map ZN

4 → Z2N2 in the natural way.

It is well-known that the Gray map is an isometry of the metric space ZN4 onto Z2N

2 , see[2]. A binary code C ⊆ Z2N

2 is called Z4-linear if the code φ−1(C) is a subgroup of theadditive group of the ring ZN

4 .Let n = 22m−1−1, m = 2, 3, . . . For vectors from Zn

2 we use the following notations: e0is the all-zero vector, ei is the vector with one only in the ith coordinate, x∗y is the vector(x1y1, . . . , xnyn) for any x, y from Zn

2 . Let H be a binary Hamming code of length n, i.e.,a code of cardinality 2n−log2(n+1) with code distance 3 that is a linear subspace of thespace Zn

2 . Suppose λ is a Boolean function such that λ(y) = 0 if and only if wt(y) = 0, 3(mod 4), where wt(y) is the Hamming weight of the vector y ∈ Zn

2 . Let ϕ be a functionfrom H to the set 0, 1, . . . , n. With arbitrary vectors x, y from H we associate thefollowing vectors of length 2(n+ 1):

x = (x, |x|, x, |x|),yϕ = (eϕ(y), λ(y) + |eϕ(y)|, y + eϕ(y), |y|+ λ(y) + |eϕ(y)|).Theorem. A code P of length 2(n + 1) = 4m is a Z4-linear extended Preparata code

if and only if it can be represented in the form P = x + yϕ |x, y ∈ H for some functionϕ satisfying the following conditions:

1. it is true that ϕ(e0) = 0;2. for all u and v from H the vector u ∗ v + eϕ(u) + eϕ(v) + eϕ(u+v) belongs to H;3. for any u = ei + ej + ek ∈ H it should be ϕ(u) /∈ 0, i, j, k;4. for any u = ei + ej + ek and v = ei + em + el from H it is true that ϕ(u+v) /∈ 0, i.

REFERENCES

1. Calderbank A. R., Cameron P. J., Kantor W. M., Seidel J. J. Z4-Kerdock Codes,Orthogonal Spreads, and Extremal Euclidean Line-sets // Proc. London Math. Soc. 1997.V. 75, P. 436–480.

2. Hammons A. R., Kumar P. V., Calderbank A. R., Sloane N. J. A., Sole P. The Z4-linearity of Kerdock, Preparata, Goethals, and Related Codes // IEEE Trans. on Informa-tion Theory 1994. V. 40, P. 301–319.

Tokareva Natalia Nikolaevna,Novosibirsk State University, ul. Pirogova 2, Novosibirsk, 630090, Russia;e-mail: [email protected]

Теория графов 101

МИНИМАЛЬНЫЕ РЕБЕРНЫЕ 1-РАСШИРЕНИЯНЕКОТОРЫХ ГРАФОВ

М. Б. Абросимов

Назовем граф G1 = (V1, α1) реберным k-расширением графа G = (V, α), если графG вкладывается в каждый подграф графа G1, получающийся удалением любых его kребер. Очевидно, что всякий граф имеет реберное k-расширение, например, полныйграф с числом вершин на k большим.

Граф G∗ = (V ∗, α∗) называется минимальным реберным k-расширением (сокра-щенно, МР-kР) графа G = (V, α), если выполняются следующие условия:

1) Граф G является реберным k-расширением;2) |V ∗| = |V | ;3) α∗ имеет минимальную мощность при выполнении условий 1) и 2).Понятие k-расширения является общеграфовым аналогом введенного Харари и

Хейзом в [1] понятия реберной k-отказоустойчивой реализации. Задача определенияминимального реберного k-расширения графа в общем случае предположительноявляется NP полной, поэтому представляет интерес поиск классов графов, для ко-торых можно аналитически определить вид минимальных реберных k-расширений.В данной работе рассматриваются вопросы связанные с наличием у неориентиро-ванных графов неизоморфных минимальных реберных 1-расширений (МР-1Р). Ра-нее аналогичные исследования были проведены для минимальных вершинных 1-расширений графов (см. [2]).


1. Harary F., Hayes J. P. (1993) Edge fault tolerance in graphs // Networks. - Vol. 23. -P. 135-142.2. Абросимов М. Б. (2000) О неизоморфных оптимальных 1-отказоустойчивых ре-ализациях некоторых графов // Теоретические проблемы информатики и ее прило-жений. - Саратов: СГУ, 2000. - Вып. 3. - С. 3-10.

Абросимов Михаил Борисович,Саратовский Государственный Университет им. Н. Г. Чернышевского,ул. Радищева, 18а, 71, Саратов, 410028, Россия, тел. (8-845-2) 22-44-72,факс (8-845-2) 45-95-99, e-mail: [email protected]

102 Теория графов

ЦИКЛОВЫЕ И 2-ДИСТАНЦИОННЫЕ РАСКРАСКИ ПЛОСКИХ ГРАФОВ

О.В. Бородин, Х. Брусма, А.Н. Глебов, Я. ван ден Хойвел

Раскраска вершин плоского графа называется цикловой, если любые две вер-шины, инцидентные одной грани, окрашены в различные цвета. Наименьшее числоцветов в цикловой раскраске плоского графа G называется его цикловым хромати-ческим числом и обозначается через χC(G). Раскраска вершин графа называется2-дистанционной, если любые две вершины, находящиеся на расстоянии не более 2,окрашены в различные цвета. Ясно, что любая 2-дистанционная раскраска графа Gявляется правильной раскраской графа G2 и наоборот. Наименьшее число цветов в2-дистанционной раскраске графа G называется его 2-дистанционным хроматиче-ским числом и обозначается через χ2(G).

Обычным подходом при изучении цикловых и 2-дистанционных раскрасок плос-ких графов является получение оценок для параметров χC и χ2 с помощью величин∆∗ и ∆ соответственно, где ∆∗ обозначает максимальный ранг грани, а ∆ — макси-мальную степень вершины в плоском графе. На этом пути были получены верхниеоценки χC ≤ d5

3∆∗e [2] и χ2 ≤ d95∆e+ 1 при ∆ ≥ 47 [1] и построены примеры плоских

графов, показывающие, что χC ≥ b32∆∗c и χ2 ≥ b32∆c+ 1.

В настоящей работе доказаны верхние оценки для χC и χ2 с использованием новыхпараметров k∗ и k, определяемых соответственно как максимальное число вершин,инцидентных двум граням плоского графа, и максимальное число вершин, смежныхс двумя вершинами графа. Полученные оценки имеют вид χC ≤ ∆∗ + 3k∗ + 2 при∆∗ ≥ 4, k∗ ≥ 4, и χ2 ≤ ∆+3k+20 при ∆ ≥ 25, k ≥ 5. Заметим, что эти результаты придостаточно малых значениях k и k∗ улучшают соответствующие оценки, в которыхиспользуются только величины ∆∗ и ∆.

Авторами высказывается предположение о том, что χC ≤ ∆∗+k∗ и χ2 ≤ ∆+k+1при достаточно больших значениях ∆, ∆∗, k и k∗.

Работа поддержана РФФИ (проекты 03-01-00796, 03-01-06214) и голландско-рос-сийской программой NWO (грант 047-008-006).


1. Бородин О.В., Брусма Х., Глебов А.Н., Ван ден Хойвел Я. (2001) Минимальныестепени и хроматические числа квадратов плоских графов // Дискрет. анализ иисслед. операций. Сер. 1. 2001. Т. 8, 4. С. 9–33.2. Sanders D.P., Zhao Y. (2001) A new bound on the cyclic chromatic number // J. Comb.Th. 83, P. 102–111.

Бородин Олег Вениаминович, Глебов Алексей Николаевич,Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия, тел. (8-383-2) 33-25-94,факс (8-383-2) 33-25-98, e-mail: [email protected], [email protected]

Hajo Broersma, University of Twente, Enschede, Netherlands,e-mail: [email protected]

Jan van den Heuvel, Centre for Discr. and Applicable Mathematics, Dep. of Mathematics,Londnon, School of Economics, Houghton Street, London WC2A 2AE, U.K.


ПРИМЕНЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ИНВАРИАНТОВВ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРАФОВ

М. В. Видюк, Е. В. Константинова

Теория информации используется в различных областях знаний. В последние го-ды она интенсивно применяется в химической теории графов для описания хими-ческих структур и для поиска корреляций между физико–химическими и струк-турными свойствами соединений [1,2]. Построение и исследование топологических иинформационных инвариантов, однозначно характеризующих топологию химическо-го соединения, является одним из основных направлений химической теории графов[3]. В работе рассматриваются информационные и топологические инварианты, осно-ванные на расстоянии в молекулярном графе, представляющим структурную форму-лу химического соединения. Чувствительность инвариантов исследуется на 3.490.538деревьев и 1.443.032 “животных” (подграфов правильных шестиугольной, четырех-угольной и треугольной решеток). Химические деревья, степень вершин которых непревышает 4, представляют структурные формулы алканов [4], а шестиугольные жи-вотные соответствуют графам планарных бензоидных углеводородов [5]. Для этихклассов графов найдены наиболее чувствительные инварианты. Показана предпо-чтительность использования информационных инвариантов для характеризации мо-лекулярных структур.Работа поддержана грантом РФФИ 03-01-00796.


1. D. Bonchev, N. Trinajstic, (1982) Chemical information theory. Structural aspects, In-tern. J. Quantum Chem. Symp. 16, P. 463–480.

2. E. V. Konstantinova, V. A. Skorobogatov, M. V. Vidyuk, (2003) Applications of infor-mation theory in chemical graph theory, Indian Journal of Chemistry, 42A, P. 1227–1240.

3. D. Bonchev, (1983) Information theoretic indices for characterization of chemical struc-tures, Chichester: Research Studies Press.

4. N. Trinajstic, (1992) Chemical graph theory, CRC Press, Boca Raton, FL.

5. I. Gutman, S. J. Cyvin, (1989) Introduction to the theory of benzenoid hydrocarbons,Berlin: Springer-Verlag.

Видюк Максим Витальевич,Институт ядерной физики им. А. М. Будкера СО РАН,ул. Лаврентьева 11, Новосибирск, 630090, Россия, тел. (8-383-2) 39-43-36,факс (8-383-2) 34-21-63, e-mail: : [email protected]

Константинова Елена Валентиновна,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия, тел. (8-383-2) 33-25-94,факс (8-383-2) 32-25-98, e-mail: [email protected]


АЛГОРИТМЫ ЧИСЛОВОЙ ХАРАКТЕРИЗАЦИИГРАФОВ СЛУЧАЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

В. М. Демиденко

При оценке качества и надежности симметрических криптосистем с фиксирован-ным ключом и псевдослучайных генераторов возникают задачи, связанные с число-вой характеризацией графов случайных отображений [1], [2]. Согласно [3], к такимзадачам относится нахождение числа компонент связности случайного графа, ихразмера, длин максимальных циклов и их лидеров, наибольшей из высот деревьевв каждой компоненте связности. Специфика реальных случайных графов, возника-ющих в криптологических приложениях (их большие размеры и полное отсутствиеаприорной информации об их структуре) не позволяет применять для решения за-дач характеризации достаточно хорошо развитый теоретико-графовый аппарат, чтоприводит к необходимости разработки новых алгоритмов решения указанных задач.

Один из таких алгоритмов был предложен Келлером [3] для характеризации гра-фов случайных небиективных отображений, время выполнения которого равнялосьO (n2) в худшем и O (n

√n) в среднем случаях, а требуемая для выполнения алгорит-

ма память составляла O(k), где k — число компонент связности, а n — число вершинслучайного графа. Анализ алгоритма Келлера позволил выделить его две базовыепроцедуры, которые в процессе выполнения алгоритма последовательно применяют-ся ко всем вершинам случайного графа. Первая из процедур позволяет полностьюхарактеризовать циклы, т. е. при заданной начальной вершине вычислить длинуцикла компоненты связности, содержащей эту вершину, и найти минимального ли-дера цикла. Вторая процедура определяет длину пути, ведущего из произвольнойвершины графа к лидеру цикла.

Детальное исследование базовых процедур алгоритма Келлера позволило разра-ботать на их основе две улучшенные версии, превосходящие по быстродействию ис-ходные аналоги на 62, 5% и 85, 7% и требующие, соответственно, O(log2 n) и O(log2

2 n)бит памяти. Применение улучшенных процедур не требует изменения общей схемыалгоритма Келлера и позволяет получить его ускорение, соответствующее указан-ным выше величинам. Базовые процедуры алгоритма Келлера и их предложенныеулучшенные версии представляют самостоятельный теоретический и практическийинтерес, так как помимо использования в алгоритмах характеризации графов слу-чайных отображений, могут применяться для нахождения их коллизий.


1. W. G. Chambers (1995) On Random Mappings and Random Permutations. LectureNotes in Computer Science, Springer, 1008, 22–28.2. B. Schneier (1996) Applied Cryptography. New York, John Wiley & Sons, 2nd Edition.3. J. Keller (2002) Parallel Exploration of the Structure of Random Functions. Proc.PASA’02, Karlsruhe, April, 233 – 236.

Демиденко Виталий Михайлович,Институт математики НАН Беларуси,ул. Сурганова 11, Минск, 220072, Беларусь,тел.: (375-17) 284-17-62, факс: (375-17) 284-09-15,e-mail: [email protected]


ON THE EQUIVALENCE OF TWO POLYNOMIALS OF SPATIAL GRAPHS

A. A. Dobrynin, A. Yu. Vesnin

We consider spatial graphs, i. e. graphs which are piecewise linear embedded in R3.

Spatial graphs G1 and G2 are said to be equivalent if they are ambient isotopic. Letπ : R

3 → R2 be a canonical projection. A regular projection π(G) with over/under

information at each crossing point is called a diagram of G and it is denoted by g = g(G).Two polynomial invariants of spatial graphs were introduced by Yamada in [1] and

by Yoshinaga in [2]. The Yamada polynomail R(g; t) of a diagram g(G) is a Laurentpolynomial defined by the following skein relations:

(R1) R ( ) = t R (

) + t−1R (

) + R ( s )

(R2) R ( qq qq) = R ( qq qq)+R ( qq qq )

(R3) R ( m)= R ( ms ) = t+ 1 + t−1 .

Here and below in skein relations we consider diagrams which have differences in onecrossing only, and these differences are pictured in the skein relations.

The Yoshinaga polynomail Y (g; t) ∈ Z[t1/2, t−1/2] of a diagram g(G) can be defined bythe following skein relations:

(Y1) Y ( ) = t−1 Y (

) + t Y ( ) − (t+ t−1)Y ( s )

(Y2) Y ( qq qq) = Y ( qq qq ) − 1t+t−1 Y ( qq qq )

(Y3) Y ( m)= Y ( ms ) = t+ 1 + t−1 .

We show that the following explicit relation between the considered polynomials holds.

Theorem. [3] Let g be a diagram of a spatial graph with p vertices and q edges. Then

Y (g; t) = (−t− t−1)p− qR (g; t−1) = (−t− t−1)p− qR (g′; t),

where g′ is a mirror image of g.

This research was supported by RFBR (grant 02-01-01118) and INTAS (grant 03-51-3663).

REFERENCES

1. S. Yamada (1989) An invariant of spatial graphs. J. Graph Theory 13, 537-551.2. S. Yoshinaga (1991) An invariant of spatial graphs associated with Uq(sl(2, C)). KobeJ. Math. 8, 25–40.3. A.A. Dobrynin, A.Yu. Vesnin (2004) On the Yoshinaga polynomial of spatial graphs.Kobe J. Math. 20 (to appear).Dobrynin Andrey Alekseevich, Vesnin Andrey Yurievich,Sobolev Institute of Mathematics, pr. Akademika Koptyuga 4, Novosibirsk, 630090,Russia, phone: (383-2) 33-25-94, fax: (383-2) 33-25-98,e-mail: [email protected], [email protected]


О ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОЙ НУМЕРАЦИИ ВЕРШИН ГРАФА

С. Д. Иванова

Рассматривается следующая задача оптимальной нумерации вершин графа с ми-нимаксным критерием. Дан неориентированный граф G = (V,E). Требуется прону-меровать вершины графа числами 1, 2, ..., |V | так, чтобы максимум модуля разностиномеров смежных вершин был минимальным. Оптимальное значение целевой функ-ции называется шириной графа G и обозначается B(G).

Задача оптимальной нумерации является NP -трудной. В связи с приложениямипредставляют особый интерес варианты задачи на решеточных графах. Граф назы-вается решеточным, если множество его вершин является подмножеством Z2, и двевершины смежны тогда и только тогда, когда евклидово расстояние между нимиравно единице. На решеточных графах задача также остается NP -трудной [2].

Для произвольного решеточного графа G определим граф G(α), полученныйсдвигом графа G на вектор α = (α1, α2) ∈ Z2. Обозначим через Gm,n решеточныйграф с множеством вершин V = [1,m]×[1, n], гдеm,n ≥ 1. Прямоугольная решетка –это решеточный граф, изоморфный Gm,n для некоторых m,n. В [1] была определенаширина прямоугольной решетки и указана ее оптимальная нумерация.

В данной работе продолжается исследование подкласса решеточных графов, ко-торые могут быть представлены в виде объединения двух пересекающихся прямо-угольных решеток (см. [3]). Он определяется следующим образом. Пусть L – реше-точный граф с множеством вершин V (L) = V (L1) ∪ V (L2), где L1 = Gm,n, L2 =Gp,q(α), m,n > 1, p ≥ 1, q > 1, α ∈ [0,m) × [0, n). Найдена ширина графа L приразличных значениях указанных параметров и предложены способы построения заполиномиальное время соответствующих оптимальных нумераций.

Кроме того, исследуется модель целочисленного линейного программированиядля задачи оптимальной нумерации. Показано, что для любого графа G существу-ют упорядочения координат, при которых мощность L-накрытия задачи не меньше(B(G)− 1)!


1. J. Chvatalova. (1975) Optimal Labelling of a Product of Two Paths.// Discrete Math.V. 11. P. 249–253.2. J. Dıaz, M. D. Penrose, J. Petit, M. J. Serna. (1999) Layout Problems on LatticeGraphs.// Computing and Combinatorics. Lecture Notes in Computer Science. V. 1627.P. 103–112.3. S. D. Ivanova. (2003) On the complexity of Bandwidth Minimization Problem for somegraphs.// EURO Working Group on Location Analysis. XIV Meeting, September 11–13,2003, Corfu, Greece. Programme - Abstracts. p. 31.

Иванова Светлана Диадоровна,Омский государственный университет,пр. Мира, 55а, Омск, 644077, Россия, тел. (3812) 23-67-39,e-mail: [email protected]


EXTREMAL PROBLEMS ON PACKING OF SPARSE GRAPHS

A. Kostochka

A number of basic problems in graph theory can be stated as packing problems. GraphsG1, G2, . . . , Gk (on n vertices each) pack, if there exists an edge disjoint placement of allthese graphs into the complete graph Kn.

A famous example of a packing problem is the Hamilton cycle problem: the problemof existence of a spanning (Hamiltonian) cycle in an n-vertex graph G is equivalent to thequestion whether the n-cycle Cn packs with the complement G of G. Another example:a graph G on n vertices is equitably k-colorable if and only if G packs with the n-vertexgraph whose components are cliques with bn/kc or dn/ke vertices.

Important examples of packing problems are problems on existence of a given sub-graph, Turan-type problems and Ramsey-type problems. These examples (and many more)show that graph packing is a rather general problem. The talk will pay the main attentionto packing sparse subgraphs. The sparseness will be measured mostly by the maximumdegree of vertices or the largest average degree over the subgraphs.

The talk will discuss recent joint results of B. Bollobas, K. Nakprasit, and the speakeron three conjectures of Bollobas and Eldridge. We prove a partial case of the main Bol-lobas-Eldridge-Catlin Conjecture. Apart from this, we extend a conjecture and disproveanother conjecture from their paper. We apply obtained results on packing of two graphsto packing many sparse graphs.

Alexandr Kostochka,Sobolev Institute of Mathematics, 630090 Novosibirsk, Russia,and University of Illinois, Urbana, IL 61801, USA;e-mail: [email protected]


ПОЛИНОМИАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ 2-РАСКРАСКИ РЕКУРСИВНОПОРОЖДАЕМЫХ k-ТЕРМИНАЛЬНЫХ ГИПЕРГРАФОВ

В. В. Лепин

Пусть H = (V, E) — гиперграф с множеством вершин V = V (H) и семействомребер E = E1, E2, . . . , Em. Множество вершин U ⊆ V (H) называется независи-мым, если ни одно гиперребро не является подмножеством множества U. Правиль-ной 2-раскраской гиперграфа называется отображение c : V (H) → 1, 2, где 1, 2— краски, такое, что ни одно ребро не является монохроматическим. Эквивалентно,правильная 2-раскраска это разбиение множества вершин на два множества незави-симых вершин.

Даже в случае, когда H является 3-униформным гиперграфом проблема 2-рас-краски является NP-трудной. Поэтому актуальна задача разработки алгоритмов рас-познавания, которые отвечают, можно ли правильно 2-раскрасить гиперграф из неко-торого класса гиперграфов. Рассмотрим эту задачу в классе рекурсивно порождае-мых k-терминальных гиперграфов.

Упорядоченная тройка (V, E , T ) называется k-терминальным гиперграфом, еслиH = (V, E) — гиперграф, в котором выделено (и, возможно, упорядочено) множе-ство вершин (терминалов) T ⊆ V такое, что |T | ≤ k. Пусть k фиксировано и Φ —множество всех k–терминальных гиперграфов, в котором выделено некоторое под-множество базовых гиперграфов B ⊆ Φ и задано конечное множество рекурсивныхкомпозиционных операций R = f1, f2, . . . , fe, где fi : Φpi → Φ. Здесь pi обозначаетарность операции fi. Обозначим через Ψk = (B,R, k) класс рекурсивно порождаемыхk-терминальных гиперграфов в Φ.

Уточним понятие композиционной операции f. Пусть дано m гиперграфов Hi =(Vi, Ti, Ei) (1 ≤ i ≤ m), для которых множества вершин V1 \ T1, V2 \ T2, . . . , Vm \ Tm

попарно не пересекаются. Тогда в результате применения операции f ∈ R к этимгиперграфам, получаем гиперграф f(H1, H2, . . . , Hm) = H = (V, E , T ), такой, чтоV = V1 ∪ V2 ∪ . . . ∪ Vm, E = E1 ∪ E2 ∪ . . . ∪ Em и T ⊆ T1 ∪ T2 ∪ . . . ∪ Tm.

Т е о р ем а. Существует алгоритм, который за полиномиальное время отвеча-ет, можно ли правильно 2-раскрасить рекурсивно порождаемый k-терминальныйгиперграф.

Работа выполнена при поддержке INTAS (Проект 03-50-5975).

Лепин Виктор Васильевич,Институт математики НАН Беларуси,ул. Сурганова 11, Минск, 220072, Республика Беларусь,тел. (375-17) 284-17-62, факс (375-17) 284-09-15, e-mail: [email protected]


НАИБОЛЬШИЕ ГРАФЫ ДИАМЕТРА 2 И СТЕПЕНИ 6

С. Г. Молодцов

Рассматриваются конечные неориентированные графы. Порядок графа есть чис-ло его вершин. Степень вершины есть число инцидентных ребер вершины. Длинакратчайшей цепи между двумя вершинами называется расстоянием между этимивершинами. Максимальное среди всех расстояний между двумя вершинами называ-ется диаметром графа. Граф диаметра k, степень вершин которого не превосходитd, назовем (d, k)-графом.

Проблема Степень/Диаметр. Найти максимальный порядок n(d, k) среди (d, k)-графов для различных значений d и k.

Последние известные результаты по этой проблеме приведены в [1,2]. В докладерассматриваются графы диаметра 2. Известна верхняя граница Мура для порядка(d, k)-графов. Из нее следует, что n(d, 2) ≤ d2 + 1. Эта граница достигается толькодля d = 1, 2, 3, 7 и, возможно, 57. Для оставшихся d доказано, что n(d, 2) ≤ d2− 1 [3].Для d = 4, 5 известны наибольшие графы с 15 и 24 вершинами соответственно. Дляd = 6 построен вершинно-транзитивный (6, 2)-граф порядка 32 [2].

Наша цель состояла в построении всех (6, 2)-графов максимального порядка. Дляэтого программа генерации всех неизоморфных графов из заданного множества вер-шин [4] была дополнена специальными процедурами, позволяющими проводить про-верку на возможность построения графов диаметра 2 в процессе генерации. Нетруднопоказать, что все (6, 2)-графы с порядком более 31 являются регулярными графамистепени 6. Прямым комбинаторным перебором найдено, что не существует (6, 2)-графов порядка 35, 34 и 33. Построено ровно 6 неизоморфных (6, 2)-графов порядка32, один из которых является вершинно-транзитивным графом. Общее время гене-рации всех (6, 2)-графов порядка 35, 34, 33 и 32 составило приблизительно 400 часовна компьютере Pentium-4 1.8 ГГц.


1. M. J. Dinneen, (1994) New Results for the Degree/Diameter Problem, // Networks.V. 24. P. 359–367.2. http://maite71.upc.es/grup_de_grafs/grafs/taula_delta_d.html3. P. Erdos, S. Fajtlowicz, A. J. Hoffman, (1980) Maximum Degree in Graphs of Diameter2, // Networks. V. 10. P. 87–90.4. S. G. Molodtsov, (1994) Computer-Aided Generation of Molecular Graphs. // MATCH1994. V. 30. P. 213–224.

Молодцов Сергей Георгиевич,Новосибирский институт органической химии им. Н. Н. Ворожцова СО РАН,пр. Академика Лаврентьева, 9, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (383-2) 34-46-45, факс (383-2) 34-47-52, e-mail: [email protected]


A NEW CLASS RELATED TO INDUCED MATCHINGS

Yu. L. Orlovich and I. E. Zverovich

An induced matching in a graph G is edge-set of a 1-regular induced subgraph. Aninduced matching M is maximal if M 6⊆ M ′ for any other induced matching M ′ in G.A graph G is called well-matched if all maximal induced matchings in G have the samesize. We show that recognizing the class WELLMAT CH of well-matched graphs is aco-NP-complete problem even for (2P5,K1,5)-free graphs.

Let IMatch(G) be the set of all maximal induced matchings of a graph G. We defineσ(G) = min|M | : M ∈ IMatch(G) and Σ(G) = max|M | : M ∈ IMatch(G). In agreedy way we can find both σ(G) and Σ(G) in any well-matched graph G. It is well-known that the decision problem corresponding to the problem of computing Σ(G) isNP-complete. We prove NP-completeness for σ(G).

Ko and Shepherd [SIAM J. Discrete Math. 16 (2003)] investigated relations betweenΣ(G) and γ(G), the domination number of G. They mentioned that they know of no classof graphs for which exactly one of γ, Σ is polynomial-time computable. We show thatINDEPENDENT SET, INDEPENDENT DOMINATING SET, and DOMINATING SETare NP-complete problems for well-matched graphs. Thus, for the classWELLMAT CH,γ is hard to find, while Σ is easily computable. As corollaries, we obtain that the well-known problems PARTITION INTO TRIANGLES and CHORDAL GRAPH COMPLE-TION are NP-complete problems for well-matched graphs. Further, PARTITION INTOSUBGRAPHS ISOMORPHIC TO P3 is an NP-complete problem for well-matched graphs.This implies that computing Σ is NP-hard even if the input is restricted to Hamiltonianline graphs of well-matched graphs and so generalizes recent results of Kobler and Rotics[Algorithmica 37 (2003)]. Also, CHROMATIC NUMBER and CLIQUE are NP-completeproblems for well-matched graphs.

We show that WELLMAT CH is a co-matching hereditary class, that is it is closedunder deleting an induced matching along with its neighborhood. We characterize well-matched graphs in terms of forbidden co-matching subgraphs. It means that we specify theminimal set of graphs Z such that G is well-matched if and only if G does not contain eachgraph in Z as a co-matching subgraph. However we prove that recognizing co-matchingsubgraphs is an NP-complete problem. Finally, we consider perfectly well-matched graphs,i.e., graphs in which every induced subgraph is well-matched. We characterize the class ofall perfectly well-matched graphs in terms of forbidden induced subgraphs, thus obtaininga new polynomial-time recognizible hereditary class, where both σ and Σ are easy tocompute.

Yu. Orlovich was supported by the INTAS (Project INTAS-BELARUS 03-50-5975).I. Zverovich was partially supported by DIMACS Winter 2003/2004 Award.

Orlovich Yury Leonidovich, Institute of Mathematics,National Academy of Sciences, 11 Surganova Str., Minsk, 220072, Belarus,phone: (375-17) 284-17-62, fax: (375-17) 284-09-15, e-mail: [email protected]

Zverovich Igor′ Edmundovich, RUTCOR − Rutgers Center for Operations Research,640 Bartholomew Road, Piscataway, NJ 08854-8003, USA,e-mail: [email protected]


ЭЙЛЕРОВЫ ЦИКЛЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Т. А. Панюкова

Задачам построения эйлеровых циклов специального вида уделяется недостаточ-но внимания в литературе. Единственным изданием, полностью посвященным эйле-ровым циклам, можно считать монографию [1, 2], где рассмотрены некоторые видыэйлеровых цепей: 1) цепи, избегающие запрещенных переходов; 2) попарно совмести-мые эйлеровы цепи; 3) A-цепи в плоских графах[1]; 4) маршрут W , использующийкаждое ребро ровно один раз в каждом направлении (бинаправленный двойной об-ход); 5) маршрут W , содержащий каждое ребро всегда в одном направлении (нигдененулевые потоки, истинные маршруты) [2].

В [3] рассматривается построение маршрутов Петри, суть которых в том, что приобходе графа мы в качестве следующего для обхода ребра выбираем ребра, находя-щиеся слева или справа от текущего, поочередно.

В работе [4] доказано существование самонепересекающегося эйлерова цикла, т.е.цикла, который не имеет пересечений ни в одной из вершин графа, а только сопри-косновения.

Автором рассмотрена задача [5] построения в плоском графе обхода, удовлетворя-ющего следующему ограничению. Пусть на плоскости S задан плоский эйлеров графG = (V,E), и пусть f0 – внешняя (бесконечная) грань графа G. Для любого подмно-жества H ⊂ S через Int (H) обозначим подмножество S, являющееся объединениемвсех связных компонент множества S\H, не содержащих внешней грани f0, другимисловами, представляющее внутренность множества H. Множества вершин, ребер играней графаG будем обозначать через V ,E и F соответственно. Будем говорить, чтомаршрут C = v1e1v2e2 . . . env1, содержащий все ребра графа G имеет v-упорядоченноеохватывание, если для любой его начальной части Cel

= v1e1v2 . . . el, l ≤ n = |E| вы-полнено условие Int(Cl)

⋂E = ∅.


1. Фляйшнер Г. (2002) Эйлеровы графы и смежные вопросы: Пер. с англ. - М.: Мир,335 с., ил.2. Fleischner H.; (1991) Eulerian Graphs and Related Topics, Part 1, Vol 2, Ann. DiscreteMath. 50 (North-Holland, Amsterdam).3. Zitnik A. (2002) Plane graphs with Eulerian Petrie walks Diskrete Mathematics, 2002.- 244. - P. 539-549.4. Белый С. Б. (1983) О самонепересекающихся и непересекающихся цепях. Матема-тические заметки, 1983. - Т.34. - 4. - С. 625-628.5. Panioukova T. A., Panyukov A. V. (2003) Algorithms for Construction of OrderedEnclosing Traces in Planar Eulerian Graphs. The International Workshop on ComputerScience and Information Technologies’ 2003 Proceedings of Workshop, Ufa, September16-18, 2003. Volume 1, Ufa State Technical University, p. 134-138.

Панюкова Татьяна Анатольевна,Южно-Уральский государственный университет,пр. Ленина, 76, Челябинск, 454080, Россия,тел: (3512) 67-90-47, e-mail: [email protected]


ПРЯМОЙ АЛГОРИТМ ПРОВЕРКИ ИЗОМОРФИЗМА ГРАФОВ

А. В. Пролубников, Р. Т. Файзуллин

Нами предлагается алгоритм решения задачи проверки изоморфизма графов, ос-нованный на использовании аппарата линейной алгебры и ее численных методов.Вопрос о вычислительной сложности задачи проверки изоморфизма графов до сихпор остается открытым. Разработаны полиномиальные алгоритмы решения частныхслучаев задачи, получаемых внесением некоторых ограничений на структуру гра-фов. В частности, полиномиально разрешимы задачи проверки изоморфизма графовс ограниченной степенью вершин [1], графов c ограниченной кратностью собствен-ных значений их матрицы смежности [2]. Предлагаемый нами алгоритм являетсяполиномиальным для широкого класса графов, включающего указанные выше.

Алгоритм работает с матрицами смежности графов, видоизмененными до поло-жительно определенных, что соответствует рассмотрению не исходных неориентиро-ванных невзвешенных графов, а взвешенных мультиграфов с теми же множествамивершин, но в множества ребер которых добавлены взвешенные петли. Последова-тельно возмущая матрицы мультиграфов в ходе работы алгоритма, к завершениюего работы мы получаем матрицы, которым соответствуют мультиграфы с триви-альными группами автоморфизмов. При этом если GA = 〈VA, EA〉 и GB = 〈VB, EB〉– графы, изоморфизм которых проверяется, а G′

A = 〈VA, E′A〉 и G′

B = 〈VB, E′B〉 –

мультиграфы, соответствующие возмущенным матрицам, то

GA ' GB ⇔ G′A ' G′

B и ∃!P : (A0 = PB0P−1 и A = PBP−1),

где P – матрица перестановки, задающая изоморфизм, A0, B0 – матрицы смежностиGA, GB, A,B – матрицы смежности G′

A, G′B.

Алгоритм является прямым в том смысле, что в ходе его итераций построениеизоморфизма происходит без использования какой-либо модификации процедурырекурсии с возвратом, широко используемой для решения задачи. Вычислитель-ная сложность алгоритма для указанных классов графов может быть оценена какO(n5 log2 n), где n – число вершин графа [3].


1. Luks, E.M. (1982) Isomorphism of graphs of bounded valence can be tested in polynomialtime // Journ. of Comput. System Sci., 1982. PP. 42–65.2. Babai, L., Grigoryev, D. Y., Mount, D. M. (1982) Isomorphism of graphs with boundedeigenvalue multiplicity // Proc. 14th ACM Symp. on Theory of Comput., STOC, 1982.PP. 310–324.3. Пролубников А. В., Файзуллин Р. Т. (2003) Класс графов, задача проверки изомор-физма для которых разрешима за полиномиальное время алгоритмом спектрально-го расщепления // Математические структуры и моделирование: Сб. научн. тр. Подред. А. К. Гуца. Омск: Омск. гос. университет, 2003. Вып. 11. C. 28–57.

Пролубников Александр Вячеславович, Файзуллин Рашит Тагирович,Омский государственный университет, пр. Мира 55-a, Омск, 644077, Россия,тел. (3812) 67-12-06, e-mail: [email protected], [email protected]


СВОЙСТВА ГРАФОВ, ПОЛУЧЕННЫХ С ПОМОЩЬЮОПЕРАЦИИ ДУБЛИРОВАНИЯ ВЕРШИН

Е. В. Просолупов

Определим операцию дублирования вершин графа как добавление к каждой вер-шине графа G новой вершины, смежной в новом графе с теми и только теми верши-нами, с которыми была смежна исходная вершина в G. Подобные операции исполь-зовались, например, в [1–3]. Здесь нас интересуют значения некоторых инвариантовграфа при дублировании вершин. Нетрудно показать, что полученный с помощьюоперации дублирования вершин граф всегда обладает теми же хроматическим чис-лом и размером максимальной клики, что и исходный. Построим два семейства сим-метричных матриц следующим образом: P1 = Q1 = (1),

Pi+1 =

(Pi Pi

Pi 0

), Qi+1 =

(q〈i〉1 q

〈i〉1 . . . q

〈i〉2i−1 q

〈i〉2i−1

q〈i〉1 0 . . . q

〈i〉2i−1 0

)

P(t)i =

0 Pi . . . Pi

Pi 0 . . . Pi...

.... . .

...Pi Pi . . . 0

t, Q

(t)i =

0 Qi . . . Qi

Qi 0 . . . Qi...

.... . .

...Qi Qi . . . 0

t,

где q〈i〉j – j-ый столбец матрицы Qi, i ≥ 1 и t ≥ 2 – целые числа. По матрицам

смежности P(t)i и Q

(t)i построены два семейства графов: G(t)

i и F(t)i . Семейство G(t)

i втерминах графов может быть построено с помощью операции дублирования вершиниз полного графа с t вершинами. Можно показать, что G(2)

i = F(2)i для любого i ≥ 1.

Теорема 1. Граф G является t-раскрашиваемым тогда и только тогда, когда суще-ствует такое i, что G является подграфом графа F (t)

i .Теорема 2. Если для любого i существует k такое, что граф F

(t)i является подгра-

фом графа G(t)k , то граф является t-раскрашиваемым тогда и только тогда, когда он

встречается среди подграфов графов, получаемых дублированием вершин из любогографа с ω(G) = χ(G) = t.Следствие. Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он встречаетсясреди подграфов графов, получаемых дублированием вершин из любого непустогодвудольного графа.

Пусть граф G′ получен дублированием вершин графа G. Обозначим χ(G) — раз-мер минимального кликового покрытия графа G; α(G) — мощность максимальногонезависимого множества вершин графа G.Теорема 3. max2α(G), |V (G)|+ t ≤ α(G′) ≤ χ(G′) ≤ |V (G)|+ s, где t – количествоизолированных вершин графа G, s – минимальное число клик размера 1 по всемкликовым покрытиям графа G.


1. Knuth D. E. (1994) The Sandwich Theorem // Electron. J. Combinat. 1, A1, 48pp.2. Kotlov A., Lovasz L. (1996) The rank and size of graphs // J. Graph Theory 23,185–189.3. Mycielski F. (1953) Sur le coloriage des graphs // Collog. Math. 3, 2, 161–162.Просолупов Евгений Викторович, Санкт-Петербургский гос. университет,Университетский пр. 35, Петродворец, Санкт-Петербург, 198504, Россия,тел. (812) 428-71-59, e-mail: [email protected]


(k,l)-РАСКРАСКА ИНЦИДЕНТОРОВ: НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

А. В. Пяткин

Под инцидентором в ориентированном мультиграфе G = (V,E) понимается упо-рядоченная пара (v, e) из вершины v ∈ V и инцидентной ей дуги e ∈ E. Инциден-тор (u, e) дуги e = uv назовём начальным, а инцидентор (v, e) — конечным. Еслидва инцидентора имеют общую вершину, то они называются смежными. Множе-ство всех инциденторов обозначается через I. Раскраской инциденторов называетсяпроизвольное отображение f : I −→ Z+. Раскраска f называется (k, l)-раскраской,если цвета любых смежных инциденторов различны, а разность цветов конечного иначального инциденторов любой дуги лежит в интервале [k, l]. Минимальное числоцветов, необходимое для (k, l)-раскраски любого мультиграфа степени ∆ обознача-ется через χk,l(∆). Ясно, что χk,l(∆) ≥ k + ∆. Вопрос о верхних оценках для этогочисла до конца ещё не изучен.

В докладе обсуждаются некоторые верхние оценки для χk,l(∆), в частности:1) Если k ≥ d∆/2e, то χk,k(∆) = χk,∞(∆) = k + ∆.2) Если l ≥ d∆/2e, то χk,l(∆) = χk,∞(∆) = k + ∆.3) Для любого k ≥ 1, χk,k(∆) ≤ d3∆/2e+ k − 1.4) Для любого нечётного ∆, χ1,1(∆) ≥ ∆ + 2.5) Для любого k ≥ 1, χk,k(4k) = 5k.Результаты 1)–4) опубликованы ранее в работах [1,2].Работа поддержана РФФИ (проекты 02-01-00977 и 02-01-00039) и молодёжным

грантом СО РАН.


1. А. В. Пяткин. (2003) Некоторые верхние оценки для инциденторного (k, l)-хро-матического числа // Дискретный анализ и исследование операций, Cер. 1. Том 10,2. С. 66–78.2. А. В. Пяткин. (2004) Верхние и нижние оценки для инциденторного (k, l)-хрома-тического числа // Дискретный анализ и исследование операций, Cер. 1. Том 11,1. С. 93–102.

Пяткин Артём Валерьевич,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия, тел. (8-383-2) 33-25-94,факс (8-383-2) 33-25-98, e-mail: [email protected]


ИЗОМОРФИЗМЫ ЦВЕТНЫХ ГРАФОВИ ДРЕВЕСНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО РАССТОЯНИЮ

О. В. Расин

Под графом мы понимаем неориентированный граф без петель и кратных ре-бер. Если U – подмножество множества вершин V графа G, то через G(U) будемобозначать подграф графа G, порожденный множеством U .

Определение. Цветным графом называется пара (G, f), где G – обыкновенныйграф, а f – функция из множества вершин графа G в начальный отрезок натурально-го ряда 1, . . . , s. Для вершины v графа G число f(v) называется цветом вершиныv. Число вершин цвета i называется кратностью цвета i

В дальнейшем будем говорить, что цветной граф G принадлежит классу BCk,если кратности всех его цветов не превосходят k. Бабаи разработал полиномиальныйалгоритм проверки изоморфизма в классе цветных графов, у которых кратностькаждого цвета ограничена константой k [1].

Пусть G – некоторый граф, а u и v – его вершины. Длина кратчайшего маршрутаиз вершины u в вершину v обозначается через dG(u, v) и называется расстояниеммежду вершинами u и v. По аналогии с [2], введем

Определение. Пусть G = (V,E) – связный цветной граф. TreeColork-разложе-нием графа G называется тройка (Xi : i ∈ I, T = (I, F ), r) такая, что 1)

⋃i∈I

Xi = V

и Xi ∩ Xj = ∅ для любых i 6= j, где i, j ∈ I; 2) T является корневым деревом скорнем в вершине r ∈ I; 3) |Xr| = 1; 4) для любых i ∈ I и v ∈ Xi выполняетсяdG(Xr, v) = dT (r, i), 5) для каждого ребра v, w ∈ E существуют такие i, j ∈ I,что v ∈ Xi, w ∈ Xj и либо i = j, либо i, j ∈ F ; 6) для любого i ∈ I граф G(Xi)принадлежит классу BCk

Пусть k и l – натуральные константы. Через T BC lk обозначим класс графов,

которые обладают хотя бы одним TreeColork-разложением D =(Xi : i ∈ I, T =(I, F ), r), что каждая вершина в T имеет не более l сыновей.

Теорема 1. Существует алгоритм, который для двух произвольных цветныхграфов из класса T BC1

k , за время O(n8 · (2k!)6) · (n + (2k)2) определяет изоморфныони или нет.

Теорема 2. Существует алгоритм, который для двух произвольных цветныхграфов из класса T BC l

k за время O(l! · n9 · (2k!)6) · (n+ (2k)2) определяет изоморфныони или нет.


1. Hoffmann C. M., (1982) Group-Theoretics Algorithms and Graph Isomorphism, LectureNotes in Computer Science, Vol. 136 (Springer, Berlin).2. Bodlaender H. L., de Fluiter B., Thilikos D. M., Yamazaki K., (1997) Isomorphism forgraphs of bounded distance width, Department of Computer Science, Utrecht Univercity.

Расин Олег Вениаминович,Уральский государственный университет им. А. М. Горького,пр. Ленина, 51, Екатеринбург, 620083, Россия,тел. (8-343) 350-50-75, e-mail: [email protected]


ЗАДАЧА ВЫДЕЛЕНИЯ P -ЦЕНТРА С ГАРАНТИРОВАННЫМИ ОЦЕНКАМИНА ПРЕДФРАКТАЛЬНОМ ГРАФЕ С ЗАТРАВКОЙ — ДВУДОЛЬНЫЙ ГРАФ

А. А. Узденов

В данной работе рассматривается известная задача о p-центрах [1] в новой по-становке на предфрактальных и фрактальных графах. Используем общепринятоеобозначение G = (V,E) для всякого конечного или бесконечного графа [2, 3]. Терми-ном “затравка” [2, 3] условимся называть связный n-вершинный граф H = (W,Q) сребрами, взвешенными двумя числами al

ij ∈ [a, b] и blij ∈ [c, d], 1 ≤ i, j ≤ n. Недоста-ющие определения предфрактальных и фрактальных графов можно найти в [2, 3],а недостающие определения графов можно найти в [1, 4].

Обозначим через X = Y ∗p множество всех центров предфрактального (n, L)-графа

Gl = (Vl, El). На множестве X определим критерии

F1(x) = [s(Yp)]→ min, F2(x) =∑

pli∈X

alij → min,

F3(x) =∑

pli∈X

blij → min, F4(x) = |Yp| → min,

где F1(x)− pli-центр, F2(x), F3(x) – суммарный минимальный вес рёбер, участвующих

в p-центрах, F4(x) – мощность множества Yp.Для решения этой задачи предложены полиномиальные алгоритмы α1 и α2 с

оценками, обоснованием которых являются следующие теоремы:Теорема 1. Алгоритм α1 выделяет абсолютный pl

i-центр, 1 ≤ i ≤ s, на пред-фрактальном (n, l)-графе Gl = (Vl, El), 1 ≤ l ≤ L, оптимальный по F1(x) с оценкамиF2(x) ≤ nL−1·kL−1·b

2, F4(x) ≤ p, где k < a

b[4]. Причём трудоёмкость [5] алгоритма α1

равна τ(α1) = O(N2), где N = |V |.Теорема 2. Алгоритм α2 выделяет абсолютный pl

i-центр, 1 ≤ i ≤ s, на пред-фрактальном (n, l)-графе Gl = (Vl, El), 1 ≤ l ≤ L, оптимальный по F1(x) с оценкамиF3(x) ≤ nL−1·kL−1·d

2, F4(x) ≤ p, где k < a

b[4]. Причём трудоёмкость [5] алгоритма α2

равна τ(α2) = O(N2), где N = |V |.]Теорема 3. pl

i-центр предфрактального (n, L)-графа Gl = (Vl, El) равен pli =

vl∗i,η

∣∣mid(vl∗

i,η, vli,η

)< 22·(L−1) · kL−1

, 1 ≤ l ≤ L, 1 ≤ i ≤ n, η – номер затравки, если

затравка – полный двудольный граф.


1. Кристофидес Н. (1978) Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир.2. Кочкаров А. М. (1998) Распознавание фрактальных графов. Нижний Архыз.3. Кочкаров А. М., Перепелица В. А. (1999) Метрические характеристики фрак-тального и предфрактального графа. Сб. РАН САО.4. Емеличев В. А. и др. (1990) Лекции по теории графов. – М.: Наука.5. Гэри М., Джонсон Д. (1982) Вычислительные машины и труднорешаемые задачи.М.: Мир.Ахмат Абдулахович Узденов,Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия,каф. математики, ул. Ставропольская, 36, Черкесск, 369000, тел. (87822) 3-33-87

Линейное и нелинейное программирование 117

О РЕШЕНИИ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙСПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Т. Л. Алексеева

Доклад посвящен изложению результатов исследования, начатых авторами в [1].Рассматривается, важная для многих приложений, задача нахождения корней систе-мы уравнений

fi(x) = 0, i = 1,m, x ∈ X,где fi(x) = 0, i = 1,m – d. c. функции, т.е. функции fi(x) можно представить в видеразности двух выпуклых непрерывных функций gi(x) и hi(x):

fi(x) = gi(x)− hi(x), i = 1,m, (1)

X – выпуклое, компактное множество. Как известно, пространство d. c. функцийвключает в себя множество квадратичных, дважды непрерывно дифференцируемыхфункций и является плотным в пространстве непрерывных функций. Введем новыепеременные yi = hi(x) и обозначения

gi(x, yi) = gi(x)− yi, hi(x, yi) = hi(x)− yi, i = 1,m.

Тогда исходную задачу можно записать в следующем виде:

gi(x, yi) = 0, i = 1,m, (2)

hi(x, yi) = 0, i = 1,m, x ∈ X. (3)

Задаче (2)–(3) можем поставить в соответствие задачу максимизации выпуклой функ-ции на выпуклом множестве:

m∑

i=1

gi(x, yi) +m∑

i=1

hi(x, yi)→ max (4)

gi(x, yi) ≤ 0, i = 1,m, (5)

hi(x, yi) ≤ 0, i = 1,m, (6)

x ∈ X. (7)

Для решения задачи (4)–(5) используется метод ветвей и границ [2], основанныйна d. c. декомпозиции (1), и приводятся результаты численных экспериментов.


1. Алексеева Т. Л., Хамисов О. В. (2001) К нахождению корней систем квадратич-ных уравнений // Труды XII Байкальской международной конференции "Методыоптимизации и их приложения", Иркутск, С. 3–12.2. R. Horst, P. Pardalos, H. Tuy. (1995) Introduction to Global Optimization. KluwerAcademic Publishers, Boston.Алексеева Татьяна Леонидовна,ИрГУПС, ул. Чернышевского, 15, Иркутск, 664074, Россия,e-mail: [email protected]

118 Линейное и нелинейное программирование

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АБСТРАКТНОГО ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗАВ ОПТИМИЗАЦИИ

М. Ю. Андрамонов

В последнее время большое внимание привлекают задачи оптимизации обобщен-но выпуклых функций. C применением абстрактного выпуклого анализа сфера обоб-щенной выпуклости значительно расширилась. Теперь такие функции, как липши-цевы, возрастающие выпуклые по лучам, возрастающие звездные, могут также бытьназваны обобщенно выпуклыми. Подобные функции гораздо труднее минимизиро-вать в силу многоэкстремальности. Был предложен ряд алгоритмов липшицева про-граммирования, в частности, методы ветвей и границ и методы случайного поиска.

Абстрактная выпуклость появилась сравнительно недавно как область исследо-ваний с потенциально большими приложениями к глобальной оптимизации.

Важное средство, которое мы будем использовать из абстрактного выпуклого ана-лиза – это обобщенный субдифференциал. Однако в отличие от субдифференциалаКларка из невыпуклого анализа он несет глобальную, а не локальную информациюо функции. Конечно, невозможно обсуждать общие задачи абстрактного выпуклогопрограммирования с надеждой получения эффективных вычислительных методов.

Мы предлагаем ряд методов, основанных на методе секущих углов и его расшире-ниях, для минимизации невыпуклых функций. При этом возникает вспомогательнаязадача дизъюнктивного программирования. Данные методы могут широко исполь-зоваться для решения разнообразных технико-экономических задач.

Мы рассматриваем важный класс целевых функций – возрастающие функции. Вбольшинстве задач их оптимизации можно считать, что целевая функция выпукла получам (ВВЛ). Для задач минимизации таких функций построен эффективный методсекущих углов, основанный на абстрактном выпуклом анализе. Заметим, что общийалгоритм максимизации возрастающих функций был построен А.М.Рубиновым.

Предлагаются три подхода к максимизации ВВЛ функций. Первый из них осно-ван на преобразовании исходной задачи, при котором целевая функция становитсявогнутой по лучам (и тогда ее можно максимизировать методом секущих углов).Второй подход основан на разбиениях единичного симплекса. В третьем подходеудаляются области, не содержащие глобальный минимум, и подход применим дляпроизвольных возрастающих целевых функций.

Андрамонов Михаил Юрьевич,факультет ПМПУ СПБГУ, Университетский пр., 20, Старый Петергоф,тел. 812 5916893, e-mail: [email protected]


МИНИМИЗАЦИЯ С ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ В ПАРАМЕТРИЗОВАННОММЕТОДЕ ВНЕШНИХ ЦЕНТРОВ

А. А. Андрианова

Требуется найти приближенное с точностью ε > 0 решение задачи minf(x), x ∈D(0), D(0) = x : x ∈ Rn, g(x) ≤ 0, где g(x) = maxfi(x), i = 1..m, D(δ) = x :x ∈ Rn, g(x) − δ ≤ 0,D′(δ) = x : x ∈ Rn, g(x) < 0, D′(0) 6= ∅, D′(0) = D(0), f(x)– непрерывная выпуклая функция, которая удовлетворяет на множестве D условиюЛипшица с константой L > 0, g(x) – сильно выпуклая функция с постоянной сильнойвыпуклости µ > 0.

Пусть f ∗ = minf(x), x ∈ D(0) > −∞, Y ∩D(0) = ∅, где Y = Argminf(x), x ∈Rn, множество X∗

ε = x : x ∈ D(0), f(x) ≤ f ∗ + ε ограничено, ming(x), x ∈ X∗ε 6=

ming(x), x ∈ Rn.Введем следующие обозначения. Для фиксированных значений ρ > 0, δ > 0, t, γ

положим F (x, t, γ, ρ) = maxf(x)−t, ρg(x)−γ, Z(t, γ, ρ, δ) = x : x ∈ Rn, F (x, t, γ, ρ) ≤F ∗(t, γ, ρ) + δ, |f(x) − t − ρg(x) + γ| ≤ δ, где F ∗(t, γ, ρ) = minF (x, t, γ, ρ), x ∈ Rn.Множество Z(t, γ, ρ, δ) является окрестностью множества точек абсолютного мини-мума функции F (x, t, γ, ρ) при заданных значениях параметров ρ > 0, δ > 0, t, γ.Пусть известно число f , для которого справедливо неравенство f ∗ ≤ f .

Предлагается алгоритм в методе внешних центров, позволяющий найти ε-решениеисходной задачи не более чем за заданное число N > 0 процессов минимизациифункции вида F (x, t, γ, ρ). Этот алгоритм является обобщением алгоритма, предло-женного в [1].

Алгоритм. Фиксируется точка x0 /∈ D(0), для которой f(x0) ≤ f ∗, числа ε > 0,

δ > 0, для которых выполняется неравенство ε > 3δ+L√

δµ, N > 0 – число итераций,

за которое должно быть найдено ε-решение задачи. Задается возрастающая функцияφ(u), удовлетворяющая условию φ(1) > 0, φ(N) > 1. Полагается k = 0, ρ−1 = 0, ε1 =

ε− δ − L√

δµ.

1. Вычисляется Ck = −L2√µ(ε1−2δ−f+f(xk))−L3√

δ√µ(µε2

1+L2δ), ρk = maxρk−1;φ(k + 1)Ck.

2. Фиксируется γk = ρk(µε2

1

L2 + δ) + ε− δ.3. Выбирается xk+1 ∈ Z(f(xk),−γk, ρk, δ).4. Если xk+1 ∈ D(0), то xk+1 ∈ X∗

ε . Процесс решения завершен.5. Осуществляется переход к п.1 при k, замененном на k + 1.Доказано, что если параметр δ > 0 выбран так, что D′(−δ) 6= ∅ и D′(−δ) =

D(−δ), не более чем за N > 0 итераций, проделанных по алгоритму, будет полученоε−решение задачи minf(x), x ∈ D(0). Следует заметить, что на практике в силузавышенности значений Ck условия пункта 4 алгоритма могут выполниться на ите-рации с номером, меньшим N > 0.


1. А. А. Андрианова, Я. И. Заботин. (2002) Управление процессом минимизации впараметризованном методе центров // Изв. вузов. Математика, 2002, 12, c. 3-10.

Андрианова Анастасия Александровна,Казанский Государственный Университет,ул. Журналистов, 7, кв. 57, 420029, Казань, тел. (8432)72-69-01, e-mail: [email protected]


О МЕРЕ НЕСОВМЕСТНОСТИ СИСТЕМЫЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕБОВАНИЕМ

НЕОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ

Н. Н. Астафьев

Как известно, для несовместных систем линейных неравенств Ax ≤ b или соот-ветственно уравнений Ax = b (здесь A = (aij) – (m × n) матрица, xT = (x1, . . . , xn),bT = (b1, . . . , bm)) мера несовместности (чебышевская) определяется задачами

minx

maxi(ai•,x)− bi; min

xmax

i|(ai•,x)− bi|,

здесь ai• — i-ая строка матрицы A. В данной работе для системы

Ax = b, x ≥ 0 (m ≤ n) (1)

мера несовместности определяется на некотором классе равносильных преобразова-ний ее системы уравнений. Будем предполагать, что r(A) = m. Выберем некоторуюбазисную подматрицу B(J) = (a•j1 , . . . , a•jm

) из A, где a•j — j-ая колонка из A,J = j1, . . . , jm и обозначим eT = (1, . . . , 1) ∈ Rm. Рассмотрим задачу:

v(J) = min t | Ax = b+ tB(J)e, x ≥ 0, t ≥ 0.

Выпишем для нее двойственную задачу:

v∗(J) = max (bT , u) | (aT•j, u) ≤ 0 (j ∈ 1, n),

(∑

j∈J

−aT•j, u

)≤ 1.

Утверждение 1. Всегда v(J) — конечно (v(J) = v∗(J)) и система (1) несовместнав том и только в том случае, когда v(J) > 0.

Для функции v(J) определим значения

v = minJ

v(J); v = maxJ

v(J),

которые, очевидно, конечны. Отрезок [v; v] будем рассматривать как меру несов-местности по классу J равносильных преобразований.

Утверждение 2. (некоторое обобщение теоремы Фань-Цзи). Система (1) сов-местна тогда и только тогда, когда v = 0 = v.

Отметим, что в случае v(J) = 0 оптимальное решение соответствующей задачидает некоторое неотрицательное базисное решение системы (1).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ 04-01-00108 и НШ 792.2003.1.

Астафьев Николай Николаевич,Институт математики и механики Уральского отделения РАН,ул. С. Ковалевской, 16, Екатеринбург, 620219, ГСП-384, Россия,e-mail: [email protected]


ГЛОБАЛЬНАЯ МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ ЗАДАННЫХ ПОЛИНОМАМИ

В. П. Булатов

В докладе рассматривается задача глобальной минимизации функции ϕ (x) за-данной полиномом на ограниченном множестве R, заданном неравенствами такжес полиномиальными функциями в левах частях. Эта работа является обобщениемрезультатов приведенных в [1,2].

Исходной задаче сопоставляется задача Лагранжа, для которой выписываютсянеобходимые условия оптимизации. Эти необходимые условия есть замкнутая систе-ма нелинейных алгебраических уравнений с полиномиальными функциями в левыхчастях. Последняя система редуцируется к некоторой расширенной системе квад-ратичных алгебраических уравнений относительно вектора z = (x, y) с выпуклымифункциями в левых частях. Показывается, что если x∗, y∗ разрешает эту систему,то x∗ удовлетворяет необходимым условиям оптимальности и обратно, если x∗ удо-влетворяет необходимым условиям оптимальности, то существует y∗ такой, что параx∗, y∗ есть решение расширенной системы нелинейных алгебраических уравнений.Допустим, что решение исходной задачи принадлежит множеству изолированныхрешений в “необходимых условиях оптимальности” на некотором выпуклом компак-те R0. Тогда исходная задача сводится к минимизации ϕ (x) на конечном множестверешений z = x, y расширенной системы квадратичных алгебраических выраженийс выпуклыми функциями в левых частях. Если ϕ (x) вогнутая функция, то исходнаязадача сводится к поиску ее глобального минимума на выпуклой оболочке решенийрасширенной системы. Для ее решения предлагаются методы, аналогичные [1,2].


1. Булатов В. П. (2000) Глобальная оптимизация и численные методы поиска всехвещественных решений систем нелинейных алгебраических уравнений с выпуклымифункциями в левых частях. ЖВМ и МФ. 2000. V.60 3. P. 348-355.2. Bulatov V. P., Ganhuand Necwessary D. (2003) Optimality Conditions and Mothodsof Global Optimization Optimization and Optimal Control. Series on Computers andOperations Research. 2003. V. 1. P.69-76

Булатов Валерьян Павлович,Институт систем энергетики им. Л. А. Мелентьева СО РАН, ул. Лермонтова, 130,Иркутск, 664033, Россия, тел. (395-2)42-84-40, e-mail: [email protected]


ОБ ОДНОЙ НОВОЙ ВЕРСИИ МЕТОДОВ ОТСЕЧЕНИЯВ ГЛОБАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

В. П. Булатов, Н. В. Горбунова, Н. И. Федурина

В докладе рассматривается задача минимизации линейной функции cTx на за-мкнутом ограниченном множестве R ⊂ En, причем минимум понимается в глобаль-ном смысле. Очевидно

mincTx : x ∈ R

= min

cTx : x ∈ coR

(1)

следовательно, решение задачи (1) сводится к конструктивным способам овыпукле-ния R. Будем предполагать, что R задано системой неравенств qj (x) ≤ 0, j = 1,mи, что в каждой граничной точке x множества R известна вогнутая опорная функ-ция ψ (x), т.е. такая функция, что множество R = x : ψ(x) ≤ 0 ⊃ R, и ψ (x) =max

1≤j≤mqj (x). Допустим также, что известна внутренняя точка x0 множества R. Пусть

уже построено множество Rk =x : Akx ≤ bk

⊃ R, найдем

xk = argmincTx : x ∈ Rk

, (2)

если xk ∈ R, то исходная задача (1) решена. В противном случае найдем точку xk пе-ресечения отрезка x = λxk +(1− λ)x0 с границей множества R и в точке xk построимвогнутую опорную функцию ψk (x). Допустим, что множество Rk не вырожденное,т.е. в точке xk n активных ограничений и им соответствует квадратная невырож-денная матрица A

k. Выпишем уравнения лучей, исходящих из точки xk к соседним

вершинам многогранника Rk

x = xk − λjskj, j = 1, n (3)

здесь skj – столбцы матрицы обратной к Ak.

Теперь найдем точки xkj пересечения лучей (3) с поверхностью задаваемой урав-нением ψk (x) = 0. Через линейно независимые точки

xk1, xk2, ...xkn

проведем плос-

кость x : αkTx = βk, и построим полупространство x : αkTx ≤ βk не содержащеерешения xk задачи (2). Нетрудно увидеть, что неравенство αkTx ≤ βk задает пра-вильное отсечение, т.е. множество Rk+1 =

x : x ∈ Rk, αkTx ≤ βk

содержит решение

x∗ задачи (1).Следующее приближение xk+1 найдем из решения задачи min

cTx : x ∈ Rk+1

.

Приведенный итерационный процесс является модификацией методов отсеченияв En+1 [1]. Метод применяется для решения обобщенных задач линейного програм-мирования.


1. Е. Г. Анциферов, Л. Т. Ащепков, В. П. Булатов. (1990) Методы оптимизации иих приложения. т.1. Математическое программирование. Новосибирск. Наука.

Булатов Валерьян Павлович, Горбунова Наталия Владимировна,Федурина Нина Ивановна,Иркутская Государственная сельскохозяйственная Академия – Институт системэнергетики СО РАН, ул. Лермонтова, 130, Иркутск, 664033, Россия,тел. (8-395-2)42-84-40, e-mail: [email protected]


ОБ ОДНОМ ВАРИАНТЕ БАРЬЕРНО-ГРАДИЕНТНОГО МЕТОДА ДЛЯЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ

М. В. Втюрина, В. Г. Жадан

Пусть IRn+ обозначает неотрицательный ортант IRn. Линейная задача дополни-

тельности (ЛЗД) состоит в нахождении двух векторов x ∈ IRn+ и y ∈ IRn

+, удовлетво-ряющих соотношениям

y = Mx+ q, xTy = 0. (1)

Предполагается, что матрица M положительно определена и вектор q отличен отнулевого. Как известно, к системам вида (1) сводятся многие оптимизационные, иг-ровые и равновесные задачи.

Для решения (1) был разработан итеративный метод, обобщающий барьерно-проективный метод для задач линейного программирования [1]. Пусть In – единичнаяматрица порядка n и пусть D(z) – диагональная матрица с вектором z на диагонали.Обозначим G(x, y) = MD(x)MT +D(y). Итерации в методе проводились по следую-щим рекуррентным формулам:

xk+1 = D(xk)In − αk

[In +MTG−1(xk, yk) (In −M)D(xk)

]yk

,

yk+1 = D(yk) In − αk [In −G−1(xk, yk) (In −M)D(yk)] xk . (2)

Начальная пара [x0, y0] бралась строго внутренней и допустимой, т.е. x0 > 0n, y0 > 0n

и y0 = Mx0 + q. Шаг αk выбирался таким образом, чтобы все последующие парытакже оставались строго внутренними.

В настоящем сообщении рассматривается вариант метода (2), в котором шаг αk

ищется из условия минимизации функции V (x, y) = xTy вдоль направлений переме-щений при условии, что xk+1 ≥ 0n, yk+1 ≥ 0n. В этом случае текущие пары [xk, yk]могут принадлежать границам ортанта IR2n

+ и попадать в стационарные точки, ко-торые не являются решением задачи. Показывается, как можно модифицироватьметод, чтобы у него стационарными точками были бы только решения ЛЗД. Обсуж-даются свойства метода и обосновывается его конечная сходимость.

Работа поддержана грантом РФФИ 03-01-00464.


1. Evtushenko Yu.G., Zhadan V.G. (1994) Stable Barrier-Projection and Barrier-NewtonMethods in Linear Programming // Computational Optimization and Applications, 1994.V. 3, 4. P. 289-304.

Жадан Виталий Григорьевич,Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН,ул. Вавилова 40, Москва, ГСП-1, 119991, Россия, тел. (095)135-25-39,факс (095)-135-61-59. E-mail: [email protected]

Втюрина Марина Витальевна,Московский физико-технический институт (государственный университет),Институтский пер. 9, Московская обл., г. Долгопрудный, 141700, Россия,тел. (095)-408-77-72, e-mail: [email protected]


РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯМЕТОДОМ ВНУТРЕННИХ ТОЧЕК

И. И. Дикин

Рассматривается интересный класс оптимизационных задач, исследование кото-рого в большинстве монографий, посвященных математическому программирова-нию, отсутствует [1,2]. Следует отметить, что редки публикации, в которых изучают-ся численные методы решения задач геометрического программирования. Теория иметоды геометрического программирования нашли применение в инженерной прак-тике.

Для определения допустимых и оптимальных решений геометрических программестественно применить алгоритмы метода внутренних точек [3], что в настоящей ра-боте и делается. Предлагаются итеративные алгоритмы, в некоторой степени учиты-вающие специфику исследуемых экстремальных проблем. Доказаны новые теоремысходимости непрерывных и дискретных процессов [4].


1. Даффин Р., Петерсон Э., Зенер К. (1972) Геометрическое программирование. –М.: Мир. – 312 c.2. Бекишев Г. А., Кратко М. И. (1980) Элементарное введение в геометрическоепрограммирование. – М.: Наука. – 144 c.3. Дикин И. И., Попова О. М. (1997) Исследование и ускорение сходимости алгорит-мов метода внутренних точек: Решение оптимизационных задач термодинамики.– Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН. – 70 с.4. Дикин И. И. (2002) Решение задачи геометрического программирования методомвнутренних точек. – Иркутск. – 18 с. – (Препр. / ИСЭМ СО РАН; N 7).

Дикин Илья Иосифович,Институт систем энергетики им. Л. А. Мелентьева СО РАН,664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 130, тел. 426380, e-mail: [email protected]


СИММЕТРИЧНАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ОПТИМИЗАЦИИ И ЕЕПРИЛОЖЕНИЯХ В МОДЕЛЯХ ПОТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ

С. П. Епифанов, В. И. Зоркальцев

Рассматриваются взаимно двойственные задачи минимизации дифференцируемыхвыпуклых функций при линейных ограничениях. Выделяемые отдельно нелинейныесоставляющие целевых функций являются сопряженными функциями, их градиенты– взаимнообратные отображения. Это позволяет достичь симметрии двойственныхзадач, аналогичной симметрии у задач линейного программирования. Определяющеесвойство симметричной двойственности состоит в том, что двойственная к двойствен-ной является исходной задачей оптимизации.

Формулируются и обсуждаются основные теоретические факты симметричнойдвойственности [1]. Рассматриваются ее приложения для формирования эффектив-ных методов решения систем линейных неравенств (развитие подхода Голикова–Евтушенко [2]), для регуляризации задач линейного программирования (на базе уста-новленных Ереминым фактов двойственности разных способов регуляризации [3]).Особое внимание уделяется приложениям к моделям потокораспределения при рас-четах электрических и гидравлических цепей [1,4]. Рассматриваются новые алгорит-мы расчета моделей гидравлических цепей эффективно учитывающие ортогональ-ность матриц в ограничениях выражающих 1-й и 2-й законы Кирхгофа [4].


1. Зоркальцев В.И. (2004) Симметричная двойственность. Приложения к моделямэлектрических и гидравлических цепей . - Иркутск: Препринт ИСЭМ СО РАН, 2004,40 с.2. Голиков А.И. Евтушенко Ю.Г. (2001) Новый метод решения систем линейныхравенств и неравенств.// Докл. РАН, 2001, том 381, 4, с. 444-447.3. Еремин И.И. (2003) Двойственность для регуляризованных задач линейного про-граммирования.// Материалы конференции Проблемы оптимизации и экономиче-ские приложения. - Омск: Омский филиал ИМ СО РАН, – с. 33-35.4. Епифанов С.П., Новицкий Н.Н. (2003) Алгебраический анализ потокораспреде-ления в гидравлических цепях с сосредоточенными параметрами.// Методы иссле-дования и моделирования технических, социальных и природных систем. - Новоси-бирск: Наука, 2003, - с. 221-240.

Епифанов Сергей Петрович, Зоркальцев Валерий Иванович,Институт систем энергетики им. Л. А. Мелентьева,ул. Лермонтова, 130, Иркутск, 664033, Россия, факс (8-395-2) 42-67-96,e-mail: [email protected], [email protected]


МИНИМАКСНАЯ МАТРИЧНАЯ КОРРЕКЦИЯ НЕСОВМЕСТНЫХ СИСТЕМЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

В. И. Ерохин

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений[A ST U

]·[xA

xS

]=

[bd

], (1)

где A ∈ IRm×n, S ∈ IRm×l, T ∈ IRk×n, U ∈ IRk×l, xA ∈ IRn, xS ∈ IRl, b ∈ IRm, d ∈ IRk.Пусть X (A,S, T, U, b, d) – множество ее решений, причем X (A,S, T, U, b, d) = ∅.

Пусть H ∈ IRm×n – некоторая матрица, h ∈ IRm – некоторый вектор. Для упроще-ния обозначений будем считать, что H = (hij), и, в то же время,

[H −h

]= (hij).

Свяжем с системой (1) следующие две задачи:

maxi,j|hij| → inf

X (A+H,S,T,U,b,d) 6=∅= γ, (2)

maxi,j|hij| → inf

X (A+H,S,T,U,b+h,d) 6=∅γ′. (3)

Опираясь на результаты работы [1], можно показать, что от задач (2) и (3), ко-торые являются задачами оптимизации в пространствах IRm×n и IRm×(n+1), можноперейти к соответствующим задачам оптимизации в пространствах IRn+l, и, соответ-ственно, IRn+l+1:

‖b− AxA − SxS‖∞‖xA‖1

→ infTxA+UxS=d

= γ, (4)

∥∥[ −A b]z − SxS

∥∥∞

‖z‖1→ inf

[T −d]z+UxS=0γ′, (5)

где z ∈ IRn+1 – некоторый вектор.Хотя задачи (4) и (5) проще чем (2) и (3), они все же являются задачами невыпук-

лого программирования, в силу чего подходы к их решению не очевидны. В настоя-щем докладе предполагается обсудить один из возможных подходов, существенно ис-пользующий алгоритмическую особенность симплекс-метода оперировать в процессевычислений только допустимыми базисными решениями. Указанная особенность всочетании с представлением векторов xA и z в виде выпуклой комбинации вершинсоответствующих многогранников ‖xA‖1 = const и ‖z‖1 = const позволяет свести за-дачи (4),(5) к задачам линейного программирования, решаемым симплекс-методом.


1. Ерохин В. И. (2002) Оптимальная матричная коррекция и регуляризация несов-местных линейных моделей // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 2.2002. Т. 9, 2. С. 41–77.

Ерохин Владимир Иванович,Борисоглебский государственный педагогический институт,ул. Народная, 43, Борисоглебск Воронежской обл., 397160, Россия,тел. (9-07354)648-89, факс (8-07354)626-01, e-mail: [email protected]


АВТОМАТИЧЕСКАЯ ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ.

А. Р. Ершов, О. В. Хамисов

Рассматривается задача глобальной минимизации функции f(x), имеющей вы-пуклые и вогнутые опорные функции, на выпуклом компактном множестве X ⊂ Rn.Будем говорить, что функция f(x), f : X ⊂ Rn → R, имеет вогнутую опорнуюфункцию-миноратнту и выпуклую опорную функцию миноранту если существуютфункции µ−(x, y), µ− : Rn ×X → R и µ+(x, y), µ+ : Rn ×X → R такие, что

1. µ−(x, y) - непрерывна и вогнута по по x при фиксированном y ∈ X;

µ+(x, y) непрерывна и выпукла по x при фиксированном y ∈ X;

2. µ−(x, y) ≤ f(x) ≤ µ+(x, y),∀(x, y) ∈ X ×X;

3. µ−(y, y) = f(y) = µ+(y, y),∀y ∈ X;

Класс функций, удовлетворяющих приведенному определению, очень широк. Внего, например, входят локально липшицевые функции. Рассматриваемые функцииобладают следующими конструктивными свойствами [1]. Пусть h(x) и g(x) - функ-ции, имеющие вогнутые и выпуклые опорные функции, тогда функции fi(x), i = 1, 5также имеют вогнутые и выпуклые опорные функции.f1(x) = λ ∗ h(x) + β ∗ g(x), λ, β ∈ R;f2(x) = h(x) ∗ g(x);f3(x) = h(x)

g(x), при условии g(x) > 0;

f4(x) = maxh(x), g(x);f5(x) = minh(x), g(x).Для явно заданной функции применение данных конструктивных свойств может

быть автоматизировано, если в качестве вспомогательных функций fi(x) рассматри-вать элементарные функции. Набор элементарных функций конечен. Например, вкачестве таковых можно использовать следующие функции:

f1(x) = x, f2(x) = sin(x), f3(x) = ln(x), f4(x) = ex, f5(x) =1

x.

Затем, глобальный минимум ищется при помощи методики, описанной в [1]. Сле-довательно, задачу поиска глобального минимума явно заданной функции можноавтоматизировать (по крайней мере, для задач средней размерности) так, что отпользователя потребуется только введение формулы, определяющей целевую функ-цию.


1. Khamisov O. V. (1999) On Optimization Properties of Functions with a concave Mi-norant. Journal of Global Optimization, Kluwer Academic Publishers, Netherlands, vol.14, 1999, pp. 79-101

Хамисов Олег Валерьевич, Ершов Андрей РудольфовичИнститут систем энергетики им. Л. А. Мелентьева СО РАН,ул. Лермонтова, 130, Иркутск, 664033, Россия, тел. (3952) 42-84-39,e-mail: [email protected]


О МЕТОДАХ УСЛОВНОЙ МИНИМИЗАЦИИНЕГЛАДКИХ СТРОГО ПСЕВДОВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ

И. Я. Заботин

Предлагаются алгоритмы условной минимизации строго псевдовыпуклых функ-ций, использующие в реализациях при построении подходящих направлений проце-дуру погружения допустимого множества в многогранники.

Решается задача minx∈D

f(x), где f(x) – строго псевдовыпуклая дифференцируемая

по направлениям функция ([1]), множество D ⊂ Rn выпукло и замкнуто, intD 6= .Пусть E(y) = x ∈ Rn : f(x) ≤ f(y), D(y) = x ∈ D : f(x) ≤ f(y), W (f, y) = p ∈Rn : 〈p, x− y〉 ≤ 0 ∀ y ∈ E(y), W (f, y,D) = p ∈ Rn : 〈p, x− y〉 ≤ 0 ∀ y ∈ D(y). Пер-вый из предлагаемых методов решения задачи заключается в следующем. Выбира-ется точка x0 ∈ D. На k – ом шаге полагается Wk = p ∈ Rn : p ∈W (f, xk), ||p|| = 1,выбирается конечное множество Pk ⊂ Wk, и отыскивается такая точка x ∈ D(xk),что

maxp∈Pk

〈p, xk − xk〉 ≤ σk minx∈D(xk)

maxp∈Pk

〈p, x− xk〉 , 0 < σ ≤ σk ≤ 1. (1)

Полагается xk+1 = xk + βksk, где sk = xk − xk, а шаг βk > 0 выбирается различнымиспособами из условия релаксации.

Второй из предлагаемых методов предназначен для решения задачи со строговыпуклым допустимым множеством D, т. е. при условии, что αz1 + (1− α)z2 ∈ intD∀ z1, z2 ∈ D, α ∈ (0, 1). Этот алгоритм отличается от предыдущего только тем,что на k-ом шаге подмножество Pk выбирается из множества Wk = p ∈ Rn : p ∈W (f, xk, D), ||p|| = 1.

Доказана сходимость методов. Получены оценки скорости сходимости. Предложе-на конечная итерационная процедура отыскания точки xk из условия (1), где σk < 1,для случая, когда D = x ∈ Rn : fj(x) ≤ 0, j ∈ J, fj(x) – строго псевдовыпуклы.На i-ом шаге этой процедуры, i = 0, 1, ..., отыскивается точка yi минимума функцииmaxp∈Pk

〈p, x− xk〉 на некотором многограннике Mi, содержащем множество D. Затем

часть множества Mi, содержащая yi, отсекается по определенному правилу. Процессотсечений идейно близок к известным методам погружения, разработанным в [2] длязадач математического программирования.


1. Заботин Я. И., Кораблев А. И. (1974) Псевдовыпуклые функционалы и их экстре-мальные свойства// Изв. вузов. Математика.– 1974. – N 4. – С. 27 – 31.2. Булатов В. П. (1997) Методы погружения в задачах оптимизации// Новосибирск:Наука, 158 с.

Заботин Игорь Ярославич, Казанский государственный университет,ул. Кремлевская, 18, Казань, 420008, Татарстан, Россия,тел. (8-8432) 31-54-53, e-mail: [email protected]


О РЕШЕНИИ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

А. В. Зыкина

Рассмотрим сложную систему, функционирование которой задается характери-стиками

F (x) = (f1(x), ..., fm(x)) ∈ Rm,

зависящими от внутренних параметров системы x ∈ Rn. Каждая характеристикаоценивается вектором внешних параметров y ∈ Rm

+ и с помощью квадратной матри-цы P задаются допустимые характеристики

F (x) ≤ Py. (1)

Требуется выбрать такие внешние параметры y = y∗, для которых внутренние па-раметры системы x∗ = x(y∗) задают допустимые характеристики (1) с минимальнойсуммарной оценкой yTF (x). Кроме того, для каждой координаты характеристикивыполняются классические условия дополняющей нежесткости между ограничени-ем на координату характеристики и соотвествующей координатой оценки.

Математическая модель для решения поставленной задачи задает обратную за-дачу оптимизации в следующем виде

minxyTF (x) | F (x)− Py ≤ 0 , (2)

yT (F (x)− Py) = 0, y ≥ 0 . (3)

Обратные задачи оптимизации можно рассматривать как специальные задачи из-вестных классов задач, а именно, нелинейные операторные уравнения, игры n лицс равновесием по Нешу, иерархические игры с равновесием, реализующим принципгарантированного результата и другие. Однако критический обзор возможных подхо-дов к решению обратных задач оптимизации показывает невозможность, либо неэф-фективность использования известных методов решения [1].

В связи с этим представляется актуальной разработка новых подходов к решениюобратных задач.

Выписывая условия Куна-Таккера для задачи (2) при фиксированном векторепараметров y ∈ Rm и выбирая параметры y, удовлетворяющие условиям (3), получимзадачу об обобщенном решении [2] для системы неравенств, задаваемых функциямиF (x).


1. Антипин А.С. (1992) Обратная задача оптимизации: постановка задачи и подхо-ды к ее решению. // Обратные задачи математического программирования – М.: ВЦРАН.2. Булавский В.А. (1981) Методы релаксации для систем неравенств. Новосибирск:НГУ.Зыкина Анна Владимировна,Омский государственный технический университет,пр. Мира, 11, Омск, 644050, Россия, тел. (8-381-2) 65-20-84,e-mail:[email protected], [email protected]


ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ В РЕГРЕССИОННОМ АНАЛИЗЕ

О. Н. Канева

Рассмотрим следующую задачу: построить регрессионную модель по выборке

(xi, yi), i = 1, . . . , N, xi = (xi1, . . . , xin).

Предполагается, что зависимость между входными xi и выходной yi величинами ввекторной форме имеет вид y = β0 +β1x1 + . . .+βnxn и предсказание осуществляетсяпо формуле yi = b0+b1xi1+. . .+bnxin, где b = (b0, . . . , bn) – вектор оценок неизвестноговектора параметров регрессии β = (β0, . . . , βn).

Действия внешних факторов и субъективные представления исследователя могутпривести к нечеткой информации об объекте, в этом случае для решения поставлен-ной задачи привлекаем аппарат нечетких множеств [1].

В такой постановке оценки bj являются нечеткими числами Bj , которые, в своюочередь определим как нечеткие числа (L − R)-типа. В этом случае функции при-надлежности нечетких чисел µBj

определяются четверкой своих параметров, то естьв виде Bj = (b−j , b

+j , d

Lj , d

Rj ), j = 0, . . . , n, где b−j , b

+j – нижние и верхние модальные

значения, dLj , d

Rj – левые и правые коэффициенты нечеткости. Из свойств нечетких

чисел (L − R)−типа следует, что на выходе такой модели получим так же нечет-кое число (L− R)−типа Y = (y−, y+, dL, dR), где параметры нечеткого числа Y естьлинейная комбинация соответствующих параметров нечетких чисел Bj.

Нахождение параметров b−j , b+j , d

Lj , d

Rj сведем к решению следующей системы нера-

венств:µY (yi) ≥ α, i = 1, . . . , N,dL

j ≥ 0, dRj ≥ 0, j = 0, . . . , n.

(1)

Из решения системы (1) найдем нечеткие коэффициенты регрессии Bj, при которыхрезультат наблюдения yi содержится в Y со степенью принадлежности не меньше α,α ∈ [0, 1].

Если выборка содержит "аномальные" наблюдения, то параметры неопределен-ности dL, dR выхода модели Y будут иметь достаточно большие значения, а это зна-чит, что прогноз будет иметь большую степень неопределенности. Чтобы избежатьэтого, изменим систему (1) следующим способом:

µY (yi) ≥ α, i = 1, . . . , N,

0 ≤ dLj ≤ dL

j , 0 ≤ dRj ≤ dR

j , j = 0, . . . , n.

и для ее исследования используем аппарат обобщенных решений [2].


1. Вощинин А. П.,Сотиров Г. Р. (1989) Оптимизация в условиях неопределенности:научное издание М: Изд-во МЭИ; София: Изд-во “Техника”.2. Булавский В. А. (1981) Методы релаксации для систем неравенств. - Новоси-бирск: НГУ.

Канева Ольга Николаевна,Омский государственный технический университет,проспект Мира, 11, Омск, 644050, Россия, тел. (8-381-2) 65-20-84,e-mail: [email protected], [email protected]


ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕВЫПУКЛОГОКВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Е. А. Котельников

Рассматривается задача: максимизировать f(x) = xTQx+cTx на многограннике V =x ∈ Rn|Ax = b, α ≤ x ≤ β. Здесь A – матрица размера m×n; Q – матрица размераn×n; α, β, c ∈ Rn; b ∈ Rm. Пусть Q > 0 и LDLT – ее разложение Холесского. Сделавзамену y = LTx, преобразуем задачу к виду: максимизировать φ(y) = yTDy+cTL−Tyна G = y ∈ Rn|AL−Ty = b, α ≤ L−Ty ≤ β, и найдем ui = min

Gyi и vi = max

Gyi.

Рассмотрим мажоранту MG(y) = (L−1c+Du+Dv)Tx−vTDu функции φ на G, точкуy∗ ∈ G, имеющую хотя бы одну компоненту ui < y∗i < vi, множества G−

i = y ∈ G|yi ≤y∗i , G+

i = y ∈ G|y∗i ≤ yi и мажоранты MG−

i(y), MG+

i(y) функции φ на G−

i и G+i со-

ответственно. Функции MG, MG−

i, MG+

iудовлетворяет условиям MG ≥ MG−

iна G−

i ,

MG ≥MG+i

на G+i , MG−

i(y∗) = MG+

i(y∗), которые позволяют построить метод ветвей и

границ с односторонним ветвлением, на каждом уровне которого φ аппроксимирует-ся сверху убывающей последовательностью линейных функций. Если Q – знакопере-менная матрица, то ее можно представить Q = Q1−Q2, Q1 > 0, Q2 ≥ 0 с помощью,например, модифицированного разложения Холесского. Пусть Q1 = LDLT , тогдацелевая функция преобразованной задачи имеет вид φ(y) = yTDy − yTL−1Q2L

−Ty +cTL−Ty, а ее мажоранта MG(y) = (L−1c+Du+Dv)Ty−yTL−1Q2L

−Ty−uTDv удовле-творяет условиям, которые позволяют аппроксимировать φ убывающей последова-тельностью вогнутых мажорант на подмножествах множества допустимых решений.

Котельников Евгений Алексеевич,Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,пр. Академика Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 34-10-66, факс (8-383-2) 34-37-83, e-mail: [email protected]


О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ НЕВЫПУКЛОЙКВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ НА ВЫПУКЛОМ КОМПАКТНОМ

МНОЖЕСТВЕ.

И. В. Мокрый, О. В. Хамисов

В докладе рассматривается следующая задача глобальной оптимизации

q(x)→ min, (1)

x ∈ X ⊂ Rn, (2)

где q(x) = xTQx + cTx,Q – n × n симметичная матрица, c ∈ Rn, множество Xопределяется системой неравенств

X = x ∈ Rn : fi(x) ≤ 0, i = 1, ...,m, (3)

fi(x) – выпуклые дважды непрерывно дифференцируемые функции. Предполагает-ся, что множество X не пусто и ограничено.

Идея получения “хорошего” локального решения задачи (1)–(3) состоит в следую-щем. В множество X вписывается эллипсоид и целевая функция (1) минимизируетсяна этом эллипсоиде. Известно [1], что подобная задача полиномиально разрешима.Затем, используя полученное оптимальное решение вспомогательной задачи в каче-стве стартовой точки, осуществляется локальный спуск на всем множестве X.

В докладе обсуждаются различные способы вписывания вспомогательного эл-липсоида в X, сравниваются различные методики решения вспомогательной задачиглобальной минимизации невыпуклой квадратичной функции на эллипсоиде, приво-дятся результаты численных экспериментов.


1. Y. Ye (1992) On affine scaling algorithm for nonconvex quadratic programming.- Math-ematical Programming, v56, N3, 1992, p.285-300.

Хамисов Олег Валерьевич, Мокрый Игорь Владимирович,Институт систем энергетики им. Л. А. Мелентьева СО РАН,ул. Лермонтова, 130, Иркутск, 664033, Россия, тел. (3952) 42-84-39e-mail: [email protected]


ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ ЭКСТРАГРАДИЕНТНОГО МЕТОДАРЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ

Л. Д. Попов

Пусть заданы X — выпуклое замкнутое множество точек евклидова пространстваRn и F (x) — монотонный липшицевый оператор, действующий из X в Rn. Решитьвариационное неравенство VI(X,F ) — значит найти точку x, удовлетворяющую усло-виям

x ∈ X, 〈F (x), y − x〉 ≥ 0 ∀y ∈ X;

здесь скобки 〈·, ·〉 обозначают скалярное произведение.В докладе обсуждается модификация регуляризованного экстраградиентного ме-

тода из [1], предложенная в [2] и описываемая следующими рекуррентными соотно-шениями:

xk+1 =πX(xk − µ(Fk(xk) + αkxk)),

xk+1 =πX(xk+1 − µ(Fk(xk) + αk+1xk+1));

здесь πX — операция проектирования на множество X, xk — основная последова-тельность, xk — последовательность ведущих (прогнозных) точек, µ > 0 и αk > 0— числовые параметры,

‖Fk(x)− F (x)‖ ≤ δk(1 + ‖x‖), δk > 0, k = 0, 1, . . . .

Начальные приближения x0, x0 выбираются в X произвольно.Основное отличие модифицированного метода от прототипа из [1] состоит в том,

что значение оператора F на каждом шаге вычисляется только один раз (хотя затемиспользуется дважды: один раз при переопределении точки xk основной последова-тельности, второй раз — при переопределении точки xk, используемой при экстра-поляции направления спуска). В докладе обсуждаются условия сходимости итераци-онной последовательности в обычном смысле, возможности применения рассматри-ваемого подхода к противоречивым (несобственным [3]) задачам и предварительныерезультаты численных экспериментов.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проекты 04-01-00108 и НШ-792.2003.1.


1. Антипин А. С., Васильев Ф. П. (2003) Регуляризованный экстраградиентныйметод для решения вариационных неравенств // Вычислит. методы и програм-мирование. 2002. Т. 3, 2. С. 144–150.

2. Попов Л. Д. (2004) О схемах формирования ведущей последовательности в ре-гуляризованном экстраградиентном методе решения вариационных неравенств// Известия вузов. Математика. 2004. 1 (500). С. 70–79.

3. Еремин И. И., Мазуров Вл. Д., Астафьев Н. Н. (1983) Несобственные задачилинейного и выпуклого программирования. – М.: Наука.

Попов Леонид Денисович,Институт математики и механики УрО РАН,ул. С. Ковалевской, 16, 620219, Екатеринбург,тел. (3432) 375-34-23. факс: (3423) 374-25-81, e-mail: [email protected]


О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДОВ ЛОКАЛЬНОГО ПОИСКА В ЗАДАЧАХНАХОЖДЕНИЯ ДОПУСТИМОЙ ТОЧКИ СИСТЕМ НЕВЫПУКЛЫХ

КВАДРАТИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ.

Е. В. Таирова

Рассматривается задача нахождения допустимой точки для системы невыпуклыхквадратичных неравенств

gi(x) ≤ 0, (1)

x ∈ X, (2)

где X - выпуклый компакт.В докладе рассматривается способ сведения задачи (1)–(2) к задаче вогнутого

программирования. Сопоставим задаче (1)–(2) следующую задачу:

max gi(x)→ min, (3)

x ∈ X. (4)

Используя свойство диагонального доминирования можно представить целевуюфункцию (3) в виде разности двух выпуклых функций, а задачу (3)-(4) переписатьв следующем виде

maxigi(x) −N ‖ x ‖2,

x ∈ X,где N -константа, а gi(x) - выпуклые квадратичные функции.

Вводя новую переменную t, перепишем последнюю задачу в следующем эквива-лентном виде

t−N ‖ x ‖2→ min, (5)

gi(x) ≤ t, (6)

x ∈ X. (7)

Задача (5)–(7) является задачей вогнутого программирования и для ее реше-ния применяются методы локального поиска [1]. Приводятся результаты численныхэкспериментов. Предлагаемый подход распространяется и на решение общих задачневыпуклого квадратичного программирования при помощи различных модифика-ций метода центров.


1. R. Horst, P. M. Pardalos, N. Thoai, (1995) Introduction to Global Optimization. –Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 320 p.

Таирова Елена Викторовна,Институт систем энергетики им. Л. А. Мелентьева СО РАН,ул. Лермонтова, 130, Иркутск, 664033, Россия, тел. (3952) 42-87-11,e-mail: [email protected], [email protected]


ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕДВОЙСТВЕННЫХ АЛГОРИТМОВ ВНУТРЕННИХ ТОЧЕК

НА СИСТЕМАХ ЛИНЕЙНЫХ ДВУХСТОРОННИХ НЕРАВЕНСТВ

А. Ю. Филатов

В [1] для поиска решения x ∈ Rn или максимально быстрого выявления несов-местности системы двухсторонних линейных неравенств

Ax = b, x ≤ x ≤ x, (1)

где A ∈ Rm×n - матрица полного ранга, b ∈ Rm, x < x ∈ Rn - заданные векторы, былопредложено использовать двойственные алгоритмы. Они, как правило, значительнобыстрее вырабатывают решение системы (1), если оно существует, а также быстрееустанавливают факт противоречивости условий на базе следующего критерия:

Теорема 1. Система (1) несовместна в том и только в том случае, когдасуществует вектор u ∈ Rm, при котором

ψ(u) ≡ bTu− xT (ATu)+ − xT (ATu)− > 0. (2)

Двойственные алгоритмы основаны на решении следующей задачи квадратичногопрограммирования относительно векторов переменных u ∈ Rm, v, w, y ∈ Rn:

1

2α yTy − bTu− xTv + xTw → min, ATu− v + w − y = 0, v ≥ 0, w ≥ 0. (3)

Обозначим y(α) оптимальное значение y в задаче (3) при заданном α > 0. ДоказанаТеорема 2. Если система (1) совместна, то задача (3) имеет решение. Вектор

x = αy(α) будет решением системы (1) с минимальной нормой. Если система (1)несовместна, то задача (3) неразрешима, ее целевая функция неограниченна снизу.

К решению задачи (3) с α = 1 сводится подход Голикова-Евтушенко. Предельныйслучай α → ∞ идентичен постановке в виде задачи линейного программирования,использовавшейся ранее автором данного доклада.

В работе проводятся следующие эксперименты:1. Исследование эффективности использования различных вариантов весовых ко-

эффициентов для двойственных алгоритмов, базирующихся на решении задачи (3).2. Проверка работы алгоритмов в пограничных условиях, когда либо имеется до-

статочно узкая допустимая область, либо система (1) несовместна, но за счет неболь-ших корректировок исходных данных может быть сделана совместной.

3. Проверка практической эффективности использования алгоритмов, основан-ных на решении задачи (3) при конечных значениях параметра α. Эти алгоритмыобладают рядом преимуществ. В частности, в этом случае они ориентированы напоиск решения x с минимальной евклидовой нормой, что важно при решении нели-нейных задач на основе линеаризации.


1. В. И. Зоркальцев, А. Ю. Филатов (2004) Новые варианты двойственных алгорит-мов внутренних точек для систем линейных неравенств // Журнал вычислитель-ной математики и математической физики, (в печати).Филатов Александр Юрьевич, Институт систем энергетики им.Мелентьева СО РАН,Россия, 664033, Иркутск, ул.Лермонтова, 130,тел. (8-395-2) 42-97-64, факс (8-395-2) 42-67-96, e-mail: [email protected]


АЛГОРИТМЫ В МЕТОДЕ ШТРАФОВС ДВУСТОРОННИМ ПРИБЛИЖЕНИЕМ К РЕШЕНИЮ

И. А. Фукин

Пусть функции f(x), fi(x), i = 1,m определены и непрерывны в Rn, множествоD(p) = x ∈ Rn : fi(x) + p ≤ 0, i = 1,m. Требуется найти f ∗ = minf(x), x ∈ D(0)с заданной точностью ε. То есть, необходимо отыскать точку x′ ∈ X∗

ε , где X∗t = x ∈

D(0), f(x) ≤ f ∗ + t.Обозначим g(x) = maxfi(x), i = 1,m, Fp(x,C) = f(x) + CVp(x), где функция

Vp(x) такая, что Vp(x) = 0 при x ∈ D(p) и Vp(x) > 0 при x 6∈ D(p), множествоM(α) = x ∈ Rn : Vp(x) ≤ α, число α = maxα : M(α) ⊂ D(0), точка x(C) ∈Argminf(x) + CVp(x), x ∈ Rn, число γ ∈ (0, 1).

Теорема. Пусть Vp(x) = W (g(x)+p), где W (t)-неубывающая по t функция. Тогданеравенство f(x(C)) ≤ f ∗ выполняется при всех C > 0 таких, что g(x(C)) ≥ 0.

Из теоремы следует, что при g(x(C)) = 0 имеет место равенство f(x(C)) = f ∗.В [1] приведен алгоритм решения уравнения g(x(C)) = 0 по C с заданной точно-

стью ε по функционалу f(x(C)) путем построения последовательностей C ′k, C ′′

kтаких, что C ′

k → C∗, C ′′k → C∗, где C∗ = C > 0 : g(x(C)) = 0 и для всех k выпол-

няется f(x(C ′k)) ≥ f ∗, f(x(C ′′

k )) < f ∗. Вычисление останавливают при выполнениинеравенства f(x(C ′

k))− f(x(C ′′k )) ≤ ε.

Для функции штрафа более общего вида в работе [2] оценено значение p, прикотором выполнение неравенств γα ≤ Vp(x(C)) ≤ α влечет за собой включениеx(C) ∈ X∗

ε . Там же описан алгоритм, обеспечивающий нахождение C∗ ∈ C > 0 :γα ≤ Vp(x(C)) ≤ α за конечное число шагов с помощью двусторонних приближе-ний. Вычислено значение α для некоторых конкретных функций штрафа. Число γв алгоритме является параметром и может выбираться произвольно из интервала(0, 1). Численные эксперименты показали, что при выборе значений γ, близких к 0или 1 наблюдается значительное увеличение времени вычислений по сравнению сослучаем γ ∈ (0.1, 0.9).


1. Заботин Я. И., Фукин И. А. (2000) Об одной модификации метода сдвига штрафовдля задач нелинейного программирования // Изв. вузов. Матем., 2000, N12, c. 49–54.2. Заботин Я. И., Фукин И. А. (2004) Алгоритмы в методе штрафов с аппроксима-цией допустимого множества // Изв. вузов. Матем., 2004, N1, c. 36–47.

Фукин Игорь Анатольевич,Казанский гос. университет, Казань, ул. Кремлевская, 18, каф. эконом. кибернетики,тел.: (8432)31-54-53, e-mail: [email protected]


ПСЕВДООБОБЩЕННОЕ ВАРИАЦИОННОЕ НЕРАВЕНСТВО

Н. Б. Шамрай

Рассмотрим обобщенное вариационное неравенство (ОВН) [1]:

ΦT (x∗)(G(x)−G(x∗)) ≥ 0, ∀G(x) ∈ Ω, (1)

где Ω ⊆ Rn — непустое замкнутое выпуклое множество, Φ, G : Rn → Rm.При G(x) = x ОВН (1) сводится к классическому вариационному неравенству:

ΦT (x∗)(x− x∗) ≥ 0, ∀x ∈ Ω. (2)

К итерационным процессам первого порядка для решения вариационных нера-венств (1) и (2) относятся проекционные методы. Итерационный процесс для ОВН(1) ведется по функции G(x), что вообще говоря не очень удобно [1]. Итерационныйпроцесс для ВН (2) ведется по x, но не предполагает наличия функции G(x).

Чтобы устранить указанные недостатки, построим вариационное неравенство ви-да:

ΦT (x∗)(G(x)−G(x∗)) ≥ 0, ∀x ∈ Ω. (3)

Такое вариационное неравенство назовем псевдообобщенным (ПОВН).В работе предлагается итерационный процесс для ПОВН (3). Процесс строит

последовательность точек xk, которая сходится к решению x∗ ПОВН (3) при опре-деленных предположениях о свойствах функций Φ(x) и G(x).

Показано, что задача решения ПОВН в некоторых частных случаях совпадает собобщенным решением [2] системы неравенств

G(x) ≤ 0, ∀x ∈ Rn.


1. Noor M. A. (2002) Iterative methods for generalized variational inequalities// AppliedMathematics Letters, 15(2002), 1(январь), 77-82.2. Булавский А. В. (1981) Методы релаксации для систем неравенств. Новосибирск:НГУ.

Шамрай Наталья Борисовна,Омский государственный технический университет,Мира 11, Омск, 644050, Россия,тел. (8-381-2) 65-20-84,e-mail: [email protected]

138 Многокритериальное и двухуровневое программирование

КОНЕЧНЫЕ КОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ: ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ПРИНЦИПАОПТИМАЛЬНОСТИ (“ОТ ПАРЕТО ДО НЭША”) И УСТОЙЧИВОСТЬ

МНОЖЕСТВА ОБОБЩЕННО-ЭФФЕКТИВНЫХ СИТУАЦИЙ

В. А. Емеличев, С. Е. Бухтояров

Пусть Xi ⊂ R – конечное множество (чистых) стратегий игрока i ∈ Nn =1, 2, . . . , n, n ≥ 2, fi(x) = Cix – функция выигрыша игрока i, определенная на

множестве ситуаций игры X =n∏

i=1

Xi, |Xi| > 1. Здесь Ci – i-я строка матрицы

C = (cij)n×n ∈ Rnn, x = (x1, x2, . . . , xn)T , xi ∈ Xi, i ∈ Nn.Для любой коалиции игроков J ⊆ Nn и любой ситуации x0 = (x0

1, x02, . . . , x

0n) ∈

X введем множество W (x0, J) =∏

j∈Nn

Wj(x0, J), где Wj(x

0, J) = Xj при j ∈ J и

Wj(x0, J) = x0

j при j ∈ Nn\J. Пусть s ∈ Nn, Nn =⋃

r∈Ns

Jr – разбиение множества

Nn на s коалиций. Определим множество (J1, J2, . . . , Js)-эффективных ситуаций игрыс матрицей C согласно формуле

Qn(C, J1, J2, . . . , Js) = x ∈ X : ∀r ∈ Ns (π(x,C, Jr) = ∅),

где π(x,C, Jr) = x′ ∈ W (x, Jr) : CJrx ≤ CJr

x′ & CJrx 6= CJr

x′, CJr– подматрица

матрицы C, состоящая из строк с номерами множества Jr. Очевидно, что Qn(C,Nn)– множество Парето, а Qn(C, 1, 2, . . . , n) – множество ситуаций равновесия поНэшу.

Для каждого числа r ∈ Ns через C(r) будем обозначать квадратную матрицу раз-мера |Jr| × |Jr|, состоящую из элементов матрицы C, находящихся на пересечениистрок и столбцов с номерами Jr. Радиусом устойчивости множества (J1, J2, . . . , Js) –эффективных ситуацийQn(C, J1, J2, . . . , Js) назовем число ρn(C, J1, J2, . . . , Js) = sup Ξ,если Ξ 6= ∅ и ρn(C, J1, J2, . . . , Js) = 0 в противном случае. Здесь

Ξ = ε > 0 : ∀C ′ ∈ Ω(ε) (Qn(C, J1, J2, . . . , Js) ⊇ Qn(C + C ′, J1, J2, . . . , Js)),

Ω(ε) = C ′ ∈ Rnn : ||C ′||∞ < ε, ||C||∞ = max|cij| : (i, j) ∈ Nn ×Nn.Положим

ϕn(C, J1, J2, . . . , Js) = minx∈Qn(C,J1,J2,...,Js)

maxx′∈W (x,Jr)\x

maxr∈Ns

mini∈Jr

Ci(x′ − x)

||x′ − x||1,

где ||z||1 =n∑

i=1

|zi|, z = (z1, z2, . . . , zn), Qn(C, J1, J2, . . . , Js) = X\Qn(C, J1, J2, . . . , Js).

Теорема. Если Qn(C, J1, J2, . . . , Js) 6= ∅, то

ϕn(C, J1, J2, . . . , Js) ≤ ρn(C, J1, J2, . . . , Js) ≤ max||C(r)||∞ : r ∈ Ns.

Емеличев Владимир Алексеевич, Бухтояров Сергей Евгеньевич,Белорусский государственный университет,пр. Ф. Скорины, 4, Минск, 22050, Беларусь,e-mail: [email protected]

Многокритериальное и двухуровневое программирование 139

РАДИУС КВАЗИУСТОЙЧИВОСТИ ВЕКТОРНОЙ ЗАДАЧИ БУЛЕВАПРОГРАММИРОВАНИЯ

В. А. Емеличев, В. Н. Кричко

Пусть Ci — i−я строка матрицы C = [cij ]k×n ∈ Rkn, A = [aij ]m×n ∈ Rmn, b =

(b1, b2, ..., bm)T ∈ Rm, k ≥ 1, n ≥ 2, m ≥ 1. Будем рассматривать следующую модельk-критериальной (векторной) задачи булева программирования

|Cix| → max, i ∈ Nk = 1, 2, ..., k (1)

Ax ≤ b, x ∈ En\0. (2)

Множество Парето [1] данной задачи обозначим через P k(A, b, C). Радиусом квази-устойчивости задачи (1)-(2) назовем число ρk(A, b, C) = supΩ при Ω 6= ∅, ρk(A, b, C) =0 при Ω = ∅. Здесь Ω = ε > 0 : ∀(A′, b′, C ′) ∈ R(ε) (P k(A, b, C) ⊆ P k(A+A′, b+b′, C+C ′)), R(ε) = (A′, b′, C ′) ∈ Rmn ×Rm ×Rkn : ||A′|| < ε, ||b′|| < ε, ||C ′|| < ε, || ||−чебышевская норма l∞ в соответствующем пространстве.

Введем функцию

α(x, x′) = maxi∈N(x, x′)

min |Ci(x+ x′)|||x||∗ + ||x′||∗ ,

|Ci(x− x′)|||x− x′||∗ ,

где N(x, x′) = i ∈ Nk : |Cix| ≥ |Cix′|, || ||∗− норма l1 в соответствующем про-

странстве. Через X обозначим множество всех векторов, удовлетворяющих системе(2).

Теорема. Пусть

ν(x) = mini∈Nm

bi − Aix

||x||∗ + 1,

λ(x) =

minα(x, x′) : x′ ∈ X \ x при X 6= x,∞ при X = x,

t(x) =

minx′∈En\X maxα(x, x′),−ν(x′) при X 6= En,∞ при X = En,

где Ai — i−я строка матрицы A. Тогда для радиуса квазиустойчивости ρk(A, b, C)векторной задачи (1)-(2) справедлива формула

ρk(A, b, C) = minx∈P k(A,b,C)

minν(x), λ(x), t(x).


1. Емеличев В. А., Кричко В. Н. (1999) Об устойчивости паретовского оптиму-ма векторной задачи булева программирования // Дискретная математика. Т. 11,вып. 4. С. 27-32.

Емеличев Владимир Алексеевич, Кричко Виталий НиколаевичБелорусский государственный университет,пр. Ф. Скорины, 4, Минск, 220050, Беларусь,e-mail: [email protected], [email protected]


О РАДИУСЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЭФФЕКТИВНОГО РЕШЕНИЯ ВЕКТОРНОЙЗАДАЧИ БУЛЕВА ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ЧАСТНЫМИ КРИТЕРИЯМИ,

ЯВЛЯЮЩИМИСЯ ПРОЕКЦИЯМИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ НА R+

В. А. Емеличев, К. Г. Кузьмин

На множестве булевых векторов X ⊆ En = 0, 1n зададим векторный критерий

([A1x+ b1]+, [A2x+ b2]

+, . . . , [Amx+ bm]+)→ minx∈X

,

где [γ]+ = max0, γ, Ai – i-я строка матрицыA = aij ∈ Rm×n, b = (b1, . . . , bm) ∈ Rm,x = (x1, . . . , xn)T , m ≥ 1, n ≥ 2.

Функции вида [Aix+ bi]+, x ∈ Rn, играют существенную роль в процедурах кор-

рекции несовместных систем линейных неравенств, а также используются при ис-следовании несобственных задач линейного программирования [1].

Под радиусом устойчивости ρm(x,A, b) эффективного вектора x, т. е. элементамножества Парето Pm(A, b), будем, как обычно (см., например, [2]), понимать пре-дельный уровень возмущений в пространстве Rm×(n+1) (с метрикой l1) параметроввекторного критерия, сохраняющих эффективность x.

Теорема. Для вектора x ∈ Pm(A, b) верна формула

ρm(x,A, b) = minα(x, x′, A, b) + β(x, x′, A, b) : x′ ∈ X \ x,

где

α(x, x′, A, b) =

m∑

i=1

[[Aix

′ + bi]+ − [Aix+ bi]

+]+,

β(x, x′, A, b) = minγi(x, x′, Ai, bi) : i ∈ Nm,

γi(x, x′, Ai, bi) =

[−Aix− bi]+ при ∆(x, x′) 6= ∅,[−Aix− bi]+ + [[−Aix− bi]+ − [−Aix

′ − bi]+]+ при ∆(x, x′) = ∅,

∆(x, x′) = j ∈ Nn : xj − x′j = 1,Nk = 1, 2, . . . , k.

Работа поддержана Государственной программой фундаментальных исследова-ний Республики Беларусь “Математические структуры 29” (грант 913/28).


1. Еремин И. И., Мазуров Вл. Д., Астафьев Н. Н. (1983) Несобственные задачи ли-нейного и выпуклого программирования. М.: Наука. 336 с.2. Бухтояров С. Е., Емеличев В. А., Степанишина Ю. В. (2003) Вопросы устойчиво-сти некоторых дискретных задач с параметрическим принципом оптимальности// Кибернетика и системный анализ. 4. С. 155 – 166.

Емеличев Владимир Алексеевич, Кузьмин Кирилл Геннадьевич,Белорусский государственный университет,пр. Ф. Скорины, 4, Минск, 220050, Беларусь,e-mail: [email protected], [email protected]


КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ВЕКТОРНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИКОМБИНАТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

В. А. Емеличев, А. М. Леонович

Пусть E = e1, e2, ..., em, m ≥ 2, множество траекторий T ⊆ 2E \ ∅, |T | ≥2, Ai — i-я строка матрицы A = [aij] ∈ Rn×m, n ≥ 1. Пусть частные критерииn−критериальной задачи Zn(A) поиска множества Парето P n(A) имеют вид:

Σ-MINMAX : fi(t, Ai) = max∑

j∈N(s)

aij : s ∈ S(t, ki) → mint∈T

, i ∈ I1,

Σ-MINMIN : fi(t, Ai) = min∑

j∈N(s)

aij : s ∈ S(t, ki) → mint∈T

, i ∈ I2,

где S(t, ki) = s ⊆ t : |s| = min|t|, ki, N(s) = j ∈ Nm : ej ∈ s, I1 ∩ I2 = ∅,I1 ∪ I2 = Nn = 1, 2, ..., n; k1, k2, ..., kn — заданные числа из Nm.

Следуя [1, 2], траекторную задачу Zn(A) назовем устойчивой, если справедливаформула ∃ε > 0 ∀B ∈ B(ε) (P n(A+B) ⊆ P n(A)), где B(ε) = B ∈ Rn×m : ||B|| < ε.Ясно, что при P

n(A) = T\P n(A) = ∅ задача Zn(A) устойчива.

Для i ∈ Nn и t ∈ T введем обозначения

Wi(t, A) =

t′ ∈ T\t : Ui(t

′, Ai) ⊆ Ui(t, Ai), если i ∈ I1,t′ ∈ T\t : Ui(t, Ai) ⊆ Ui(t

′, Ai), если i ∈ I2,

Ui(t, Ai) =

Arg max∑j∈N(s) aij : s ∈ S(t, ki), если i ∈ I1,Arg min∑j∈N(s) aij : s ∈ S(t, ki), если i ∈ I2.

Теорема. При Pn(A) 6= ∅ задача Zn(A), n ≥ 1, устойчива тогда и только тогда,

когда справедлива формула

∀t ∈ P n(A) ∃t′ ∈ P n(A) ∀i ∈ Nn (fi(t, Ai) ≤ fi(t

′, Ai) =⇒ t′ ∈Wi(t, Ai)).

Работа поддержана Государственной программой фундаментальных исследова-ний Республики Беларусь ”Математические структуры 29” (грант 913/28).


1. Емеличев В. А., Кузьмин К. Г., Леонович А. М. (2004) Устойчивость в векторныхкомбинаторных задачах оптимизации // Автоматика и телемеханика. N 2. С. 79–92.2. Emelichev V. A., Girlich E., Nikulin Yu. V., Podkopaev D. P. (2002) Stability andregularization of vector problen of integer linear programming // Optimization. Vol. 51,N 4. P. 645–676.

Емеличев Владимир Алексеевич, Леонович Андрей Михайлович,Белорусский государственный университет,пр. Ф. Скорины, 4, Минск, 220050, Беларусь,e-mail: [email protected], [email protected]


КАЧЕСТВЕННАЯ НИЖНЯЯ ОЦЕНКАВ КВАДРАТИЧНОЙ ЗАДАЧЕ ДВУХУРОВНЕВОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

М. С. Ершова

Рассматривается задача двухуровневого программирования:

minxF (x, y)

при условияхGi(x, y) ≤ 0, i = 1, ..., p;

minyf(x, y); gi(x, y) ≤ 0, i = 1, ..., q. (1)

Здесь x ∈ En, y ∈ Em — векторы переменных соответственно верхнего и нижнегоуровня, F и f — квадратичные по совокупности переменных функции, причем f —выпуклая, Gi — выпуклые квадратичные, а gi — линейные функции. Пусть в задаченижнего уровня (1) допустимая область ограничена.

Двухуровневая задача математического программирования может быть представ-лена как одноуровневая

minx,y

F (x, y); (x, y) ∈ Ψ,

где Ψ — неявно заданное допустимое множество, называемое индуктивной областью.Индуктивная область является частью слабого допустимого множества

S = (x, y) : Gi(x, y) ≤ 0, i = 1, ..., p, gi(x, y) ≤ 0, i = 1, ..., q.

Для такой задачи предложен метод ветвей и границ, основанный на последо-вательном разбиении слабого допустимого множества, а вместе с ней неявно и ин-дуктивной области. Элемент разбиения Sp слабого допустимого множества образо-ван линейными и выпуклыми квадратичными неравенствами. Некоторую (заданнуюнеявно, возможно несвязную и невыпуклую, но ограниченную) его часть составляетсоответствующее подмножество Ψp индуктивной области.

Верхняя оценка оптимального значения целевой функции на Ψp достигается пу-тем локальной минимизации целевой функции верхнего уровня при условии равен-ства нулю невязки двойственности в задаче нижнего уровня.

Для построения оценки снизу целевая функция верхнего уровня минимизируетсяна эллипсоиде, который содержит в себе область Ψp. В докладе исследуются воз-можности качественной аппроксимации этой заданной неявно, в общем случае невы-пуклой области. Приводятся численные результаты, касающиеся качества оценок иработы метода в целом.

Ершова Мария Станиславовна,Институт систем эгергетики им. Л. А. Мелентьева СО РАН,ул. Лермонтова, 130, Иркутск, 664033, Россия,тел. (8-395-2) 42-87-11, e-mail: [email protected]


НИЖНИЕ И ВЕРХНИЕ ГРАНИЦЫДЛЯ ЗАДАЧИ ВЫБОРА РЯДА ИЗДЕЛИЙ

С ЧАСТИЧНЫМ ВНЕШНИМ ФИНАНСИРОВАНИЕМ

Д. С. Иваненко, А. В. Плясунов

В задаче выбора оптимального ряда изделий считается заданным множество ра-бот, подлежащих выполнению, и множество изделий, которые могут использоватьсядля этого. Требуется выполнить все работы с наименьшими затратами. Затраты наразработку, производство и эксплуатацию изделий, а также ограничения на объемыпроизводства изделий считаются известными.

Особенностью рассматриваемой постановки является покрытие части расходовна производство средствами инвестора, который может получить любые изделияиз числа произведенных по заранее согласованным (уменьшенным) ценам. В такихусловиях выбор ряда изделий и выбор множества изделий, используемых для пога-шения кредита, становятся взаимозависимыми, что приводит к двухуровневой мате-матической модели [1]. На верхнем уровне выбирается ряд изделий, которые будутпроизводиться для выполнения работ, а на нижнем уровне инвестор стремится макси-мизировать суммарную эффективность выбранных им изделий, исходя из величинысвоего кредита.

Предлагается способ сведения двухуровневой задачи к семейству одноуровневыхзадач размещения специального вида, основанный на декомпозиции допустимогомножества исходной задачи [1]. Это сведение используется для построения нижнихи верхних границ на оптимальное значение целевой функции задачи [2]. Полученныеоценки анализируются с точки зрения вычислительной сложности. Устанавливаетсясвязь между различными нижними границами для данной задачи [3].Работа поддержана грантом РФФИ 03–01–00455.


1. Кочетов Ю. А., Плясунов А. В. (2002) Задача выбора ряда изделий с частичнымвнешним финансированием. // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 2. 2002.Т. 9. N 2. С. 78–96.2. Geoffrion A. (1974) Lagrangean Relaxation for Integer Programming. // Math. prog.study, 1974. V. 2. P. 82–114.3. Cornuejols G., Sridharan R., Thizy J. M. (1991) A comparison of heuristics andrelaxations for the capacitated plant location problem. // EJOR. N. 50. P. 280–297.

Иваненко Дмитрий Сергеевич, Плясунов Александр ВладимировичИнститут математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 33-20-86, факс (8-383-2) 32-25-98,e-mail: [email protected], [email protected]


ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ БИЛИНЕЙНОГО РАВНОВЕСНОГОПРОГРАММИРОВАНИЯ.

Д. В. Иванов

Рассматривается следующая задача равновесного программирования.Найти y∗ ∈ D:

y∗ ∈ ArgminxT (Φy∗ + φ) +

1

2xTBx : Ax ≤ b, x ≥ 0

, (1)

где Φ и B — n× n матрицы, A — m× n матрица, b ∈ Em,

D = x ∈ En : Ax ≤ b, x ≥ 0 .

Если матрица B неотрицательно определена, то задача (1) является задачей выпук-лого билинейного программирования [1]. В докладе приводятся результаты числен-ного решения выпуклой задачи (1) при помощи методов, описанных в [1].Если же не делать предположений относительно матрицы B, то задача (1) в общемслучае оказывается невыпуклой и может иметь несколько равновесных решений,каждому из которых соответствует несколько значений целевой функции (конеч-но, может оказаться и так, что задача (1) не будет иметь равновесных решений). Вэтом случае для решения рассматриваемой задачи применяются методы невыпукло-го квадратичного программирования.

Часть доклада посвящена приложению используемой методики решения задачивида (1) к решению прикладных задач энергетики, связанных с управлением функ-ционирования ЭЭС в рыночных условиях.


1. Антипин А. С. (2002) Градиентный и экстраградиентный подходы в билинейномравновесном программировании. – М.: ВЦ РАН.

Иванов Дмитрий Владиславович,Институт систем энергетики им. Л. А. Мелентьева СО РАН,ул. Лермонтова, 130, Иркутск, 664033, Россия, тел. (3952) 42-87-11,e-mail: [email protected]


ОДНА ЗАДАЧА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОДУКЦИИ ПРЕДПРИЯТИЙ

Л. Ю. Прокопьева

В системах “Производство-Потребление” нередко возникает следующая схема ре-ализации продукции: одна часть продукции направляется по договорам–поставкам,другая — на свободный рынок. При этом Производитель, имеющий несколько пред-приятий, сам решает, какое количество продукции от каждого предприятия выделитьна обязательные поставки и как её распределить по потребителям. Другая же частьпродукции, выделенная Производителем для свободного рынка, “распределяется” са-мими участниками рынка с учётом их предпочтений.

В работе рассматривается задача оптимального распределения продукции пред-приятий следующего вида:

n∑

i=1

k∑

j=1

cij xij + maxx∗

ij∈X

n∑

i=1

m∑

j=k+1

cij x∗ij → max

yi,xij

0 ≤ yi ≤ ai , i = 1, n;n∑

i=1

yi =k∑

j=1

bj;

n∑i=1

xij = bj , j = 1, k;k∑

j=1

xij = yj , i = 1, n; xij ≥ 0 , i = 1, n, j = 1, k;

где X - множество оптимальных решений x∗ij задачи:

n∑i=1

m∑j=k+1

dij xij → minxij

n∑i=1

xij = bj , j = k + 1,m;m∑

j=k+1

xij = ai − yi , i = 1, n;

xij ≥ 0 , i = 1, n, j = k + 1,m;

Здесь ai — объем производства i-го предприятия, i = 1, n; yi — количество продук-ции i-го предприятия, направляемое на обязательные поставки, i = 1, n; bj — объемспроса j-го потребителя j = 1,m; cij — доход i-го предприятия от реализации еди-ницы продукции j-му потребителю i = 1, n; j = 1,m; dij — закупочно-транспортныезатраты на единицу продукции, приобретаемой j-м потребителем на i-м предприя-тии, i = 1, n, j = k + 1,m; xij — объем продукции поступающей от i-го предприятияj-му потребителю, i = 1, n, j = 1,m;В работе получены следующие результаты:

1. показано, что данная задача NP-трудна (к её частному случаю с сводится двух-уровневая задача о назначении);

2. выделены эффективно-разрешимые случаи;3. предложен приближенный метод решения.

Работа выполнена при поддержке РФФИ грант 02-01-00977

Прокопьева Людмила Юрьевна,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Акадамика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. 33-37-88, e-mail: [email protected]


ДВУХУРОВНЕВАЯ ЗАДАЧА ВЫБОРА ЦЕН НА ПРОДУКЦИЮПРЕДПРИЯТИЙ

И. А. Рыков

В работе рассматривается следующая задача отыскания оптимальных цен на про-дукцию предприятий с учётом реакции потребителей:

f(x∗, u, v) = maxx∗

ij∈X∗

m∑

i=1

n∑

j=1

min(ui − cij, vi)x∗ij → max

u,v≥0

где X∗ – множество оптимальных решений x∗ij(u, v) задачи:

g(x, u, v) =m∑

i=1

n∑j=1

min(ui, vi + cij)xij → minxij

xij ≥ 0n∑

j=1

xij = ai, i = 1, . . . m

m∑i=1

xij = bj, j = 1, . . . n

min(ui, vi + cij) ≤ dj, для всех (i, j) : xij > 0

Здесь верхний уровень - производитель имеет m предприятий с объёмами произ-водства ai, для которых выбираются отпускная и поставочная цены (ui и vi). Нижнийуровень - потребитель имеет n пунктов потребления с объёмами bj, ценовыми поро-гами dj (внешние цены) и транспортными издержками на единицу продукции cij.

В работе показано:1. Задача NP-трудна (к её частному случаю с n = 2, cij = 0 сводится задача о

разбиении)2. В случае одного вектора цен u или v рассматриваемая задача дискретна, то есть

оптимальное решение выбирается из конечного набора значений: u∗i ∈ d1, . . . dn,∞,v∗i ∈ d1 − ci1, . . . dn − cin,∞. Алгоритм полного перебора при этом имеет трудоём-кость O(nm).

3. Для задачи с одним вектором цен предлагается точный алгоритм неявногоперебора.

Работа выполнена при поддержке РФФИ грант 02-01-00977.

Рыков Иван Александрович,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Акадамика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. 33-37-88, e-mail: [email protected]


ВЕКТОРНАЯ ЗАДАЧА ПОКРЫТИЯ ПРЕДФРАКТАЛЬНОГО ИФРАКТАЛЬНОГО ГРАФА ЛЕСОМ

С. И. Салпагаров

При моделировании экономических, физических, экологических задач большойразмерности удобно использовать предфрактальные и фрактальные графы [1].

Хаотическая предфрактальная модель предполагает наглядную связь между стру-ктурой [2] системы и ее количественными (экономическими, энергетическими, фи-зическими) характеристиками во времени, т.е. в динамике. Эта модель позволяетучитывать изменение связи с течением времени. Целью работы является выделениеполиномиальных многокритериальных задач покрытия графа лесом и построениесоответствующего алгоритма.

Пусть дан предфрактальный [1, 2] (n, L)-граф GL = (VL, EL) порожденный за-травкой H = (W,Q) и каждому ребру ur

ij сопоставлены веса arij, b

rij, выбранные про-

извольно из интервалов: arij ∈ [kr−1a, kr−1b], brij ∈ [kr−1c, kr−1d], где k < 1 – коэффи-

циент подобия, a, b, c, d – произвольные числа. Под типом дерева будем пониматьчисло ребер, образующих это дерево.

Далее будем говорить, что дерево имеет ранг l = 1, . . . L, если выделенное деревосостоит только из ребер ранга l.

Ранговым типом дерева называется тип S дерева ранга l и обозначается Rls.

Покрытием x(n, L) – графа GL = (VL, EL), (L = 1 . . . n) называем такой подграфD = (V,Ex), где каждая компонента связности PS, (S = 1, 2, . . .) графа D представ-ляет собой дерево, причем пересечение компонент PS, (S = 1, 2, . . .) образует ∅, аобъединение вершин PS образует множество V , |V | = N . Множество всех покры-тии x обозначим через X. На множестве X определим минимизируемые критерии:F1(x) =

∑uij∈x a

rij – вес покрытия по ar

ij; F2(x) =∑

uij∈x brij – вес покрытия по brij;

F3(x) – критерии ранговых типов; F4(x) = |x| – число компонент в покрытии X.Эти критерии определяют паретовское множество [3]. Мы рассматриваем задачи,для которых важно выделение полных [3] решений, X0 ∈ X. (X0 называется полныммножеством, если F (X0) = F (X, F (x) = (Fi(x), i = 1, 4, x ∈ X).

Предлагается алгоритм α1 выделения покрытия лесом x ∈ X0 предфрактальногографа, обоснованием которого служит

ТЕОРЕМА 1. Алгоритм α1 выделяет на предфрактальном (n, L)- графе покрытиеоптимальное по F1(x) и F3(x), причем F2(x) ≤ kL−1 nL d

2, где H = (W,Q) – произволь-

ный граф, и τ(α1) O(N4).ЗАМЕЧАНИЕ. Алгоритм α1 модифицируется так, что с его помощью можно вы-

делить полное множество альтернатив X0.


1. Кочкаров А. М., Перепелица А. В. (1999) Метрические характеристики фрак-тального и предфрактального графа. Сб. РАН САО.2. Хакен Г. (1985) Синергетика: Иерархия неустоичивости в самоорганизующихсясистемах и устройствах. – М.: Мир.3. Перепелица В. А., Мамедов А. А. (1995) Исследование сложности и разрешимо-сти векторных задач на графах. Учебное пособие. Черкесск.Салпагаров Сосланбек Исмаилович, Карачаево-Черкесская государственнаятехнологическая академия, ул. Московская, 63, Черкесск, тел.: (8 878-22)5-36-52

148 Дискретная оптимизация

BEST POSSIBLE APPROXIMATIONSFOR THE ONE-WAY AND ROUND-TRIP CENTER LOCATION PROBLEMS

A. A. Ageev

One-way and round-trip center location problems are generalizations of the classicalp-center problem. In both problems an instance consists of a complete graph G = (V,E),whose edges have nonnegative lengths d(u, v) satisfying triangle inequality. The vertexset V is treated as the set of customers. Each customer v ∈ V is associated with a set ofdepots X(v) ⊆ V and a nonnegative weight w(v). In the one-way model the service of acustomer v consists of the travel of a server from its base y ∈ V to a permissible depotx ∈ X(v), loading of some package at the depot and delivering it to the customer. In theround trip model the service also includes the travel from the customer v to the homebase y. The objective is to locate p servers so as to minimize the maximum customer cost(weighted distance travelled by the respective server).

The round-trip center location model (the case when X(v) = X for each v ∈ V ) wasintroduced in [1]. Tamir and Halman [3] present 9 and 12-approximations for the one-tripand round-trip problem, respectively. In this paper we show that both problems can beapproximated with a performance factor of 3, which is best possible [2].

This research was supported by RFBR, grant 02-01-01153, by INTAS, grant 00-217,and by the Programme “Universities of Russia”, project code UR.04.01.012.

REFERENCES

1. O. Berman, Z. Drezner, and G. O. Wesolowsky (2002) The collection depots locationproblem on networks, Naval Research Logistics 49, 15–24.2. D. S. Hochbaum and D. B. Shmoys (1986) A unified approach to approximation algo-rithms for bottleneck problems, J. ACM 33, 533–550.3. A. Tamir and N. Halman, (2003) One-way and round-trip center location problems,submitted for publication.

Ageev Alexander Alexandrovich,Sobolev Institute of Mathematics,pr. Akademika Koptyuga, 4, Novosibirsk, 630090, Russia,phone: (8-383-2) 33-20-86, fax: (8-383-2) 33-25-98, e-mail: [email protected]

Дискретная оптимизация 149

О СРАВНЕНИИ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИТМОВЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

А. В. Адельшин

Одним из актуальных направлений исследований в области целочисленного про-граммирования является анализ работы алгоритмов, основанных на методах отсе-чений, ветвей и границ, методах направленного перебора и др. В работах [1,2] рас-сматриваются модели целочисленного линейного программирования (ЦЛП) задачмаксимальной и минимальной выполнимости логической формулы. Для некоторыхсемейств указанных задач исследовалась работа алгоритмов перебора L-классов иветвей и границ (Лэнд и Дойг) и было показано, что число итераций этих алгорит-мов растет экспоненциально с увеличением числа переменных в формуле.

В данной работе продолжается исследование в этом направлении для 1-го ал-горитма Гомори. Для методов отсечений вопросы построения оценок числа итера-ций представляют значительный интерес. Для 1-го алгоритма Гомори и ряда другихдвойственных дробных алгоритмов отсечения известны верхние оценки числа ите-раций, полученные А. А. Колоколовым на основе свойств лексикографически моно-тонных последовательностей и L-разбиения [3].

В данной работе рассматриваются специальные семейства задач ЦЛП, у которыхматрица ограничений может быть приведена к блочно-диагональному виду переста-новкой строк и столбцов. Эти семейства являются обобщениями построенных в [1,2]задач максимальной и минимальной выполнимости, для них проводится сравнениеперечисленных алгоритмов. Показано, что в отличие от методов Лэнд и Дойг и пере-бора L-классов, число итераций 1-го алгоритма Гомори растет линейно с увеличениемразмерности задач.

Кроме того, предложены алгоритмы приближенного и точного решения задачимаксимальной выполнимости. Эксперименты проводились на задачах из библиотекиDIMACS, случайных задачах и на указанных выше семействах.


1. Адельшин А. В. (2002) Задача максимальной выполнимости и некоторые ал-горитмы целочисленного программирования. В кн.: Алгебра и линейная оптими-зация. Труды международного семинара, посвященного 90-летию со дня рожденияС. Н. Черникова, Екатеринбург. Екатеринбург: УрО РАН, 2002. С. 235 – 239.2. Адельшин А. В. (2003) Задача минимальной выполнимости и некоторые алгорит-мы дискретной оптимизации // Материалы конференции "Проблемы оптимизациии экономические приложения", Омск. 2003. С. 72.3. Колоколов А. А. (1994) Регулярные разбиения и отсечения в целочисленном про-граммировании. Сиб. журнал исследования операций. 1994. Т. 2. С. 18 – 39.

Адельшин Александр Владимирович,Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН,ул. Певцова, 13, Омск, 644099, Россия, тел. (8-381-2) 23-67-39,факс (8-381-2) 23-45-84, e-mail: [email protected]


ОДИН АЛГОРИТМ ПОИСКА d–РЕГУЛЯРНОГО СВЯЗНОГО ПОДГРАФАМАКСИМАЛЬНОГО РЕБЕРНОГО ВЕСА НА СЛУЧАЙНЫХ ВХОДАХ

А. Е. Бабурин, Э. Х. Гимади

Рассматривается задача отыскания регулярного связного остовного подграфа за-данной степени максимального веса в полном графе со взвешенными ребрами. ПустьG(V,E) – полный неориентированный граф без петель. Задана неотрицательнаяфункция веса ребер w : E → R+. Задано натуральное число 1 < d < n−1. Требуетсянайти подграф G′(V,E ′) графа G, удовлетворяющий следующим трем условиям:

1. G′ – связен;2. степени всех вершин в G′ равны d;3.∑

v∈V w(v)→ max.В [1] был представлен приближенный алгоритм решения задачи со случайными

входами, когда веса ребер графа являются случайными независимыми равномернораспределенными (в некотором числовом сегменте) величинами с одинаковой функ-цией распределения. Там же были получены некоторые условия асимптотическойточности этого алгоритма, имеющего временную сложность O(n2).

В данном докладе для решения задачи предлагается новый приближенный ал-горитм с той же временной сложностью, но лучшими оценками качества решениячем в [1]. Алгоритм использует декомпозицию задачи на ряд подзадач меньшей раз-мерности, каждая из которых решается с использованием жадной эвристики. С ве-роятностью большей (1− 1/n) относительная погрешность алгоритма не превышает

величины O( ln(n/d)

n/d

). Таким образом, при d = o(n) алгоритм является асимптоти-

чески точным. Аналогичные условия получены и в случае функции распределениявесов ребер графа, минорирующей сответствующую (нормализованную) функциюравномерного распределения.


1. E. Kh. Gimadi, A. I. Serdukov, (2000) A problem of finding the maximal spanningconnected subgraph with given vertex degrees, Oper. Res. Proc. 2000, Springer Verlag(2001), 55–59.

Бабурин Алексей Евгеньевич, Гимади Эдуард Хайрутдинович,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга 4, Новосибирск, 630090, Россия, тел.: (8-383-2) 33-21-89,факс: (8-383-2) 33-25-98, e-mail: [email protected], [email protected]


ПРИБЛИЖЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ ПОИСКА МИНИМАЛЬНОГОДВУСВЯЗНОГО ОСТОВНОГО ПОДГРАФА

В. В. Введенский, В. П. Ильев

Рассматривается задача поиска двусвязного остовного подграфа минимальноговеса, которая формулируется следующим образом: дан граф G = (V,E), ребернаясвязность которого λ(G) ≥ k. На множестве ребер E определена функция весовc : E → R+. Требуется найти такой подграф G∗ = (V,E∗), что λ(G∗) ≥ k и значениеc(E∗) минимально.

Уже для k = 2 задача является NP-трудной [1]. В работе [2] для любого k пред-ложен 2-приближенный алгоритм.

В докладе предлагаются приближенные методы решения задачи о минимальномдвусвязном остовном подграфе. Эти методы представляют собой модификации гра-диетного алгоритма (дискретного аналога алгоритма наискорейшего спуска). В однойиз схем для удаления выбирается ребро с максимальным произведением веса на сум-му степеней его вершин. В других методах используются данные о весах смежныхребер. Рассматриваются также приближенные методы решения невзвешенного вари-анта задачи, в которых учитываются локальные реберные связности вершин графа.

Проведен вычислительный эксперимент на случайных графах, целью которогоявлялось сравнение предложенных методов между собой и известными приближен-ными алгоритмами. Кроме того, проводился анализ работы алгоритмов в зависимо-сти от входных данных.

В докладе представлены описания методов и результаты экспериментов. Получен-ные результаты позволяют сделать вывод о перспективности предложенных схем.


1. М. Гэри, Д. Джонсон. (1982) Вычислительные машины и труднорешаемые задачи.М.: Мир.2. S. Khuller, U. Vishkin. (1994) Biconnectivity Approximations and Graph Carvings.//J. ACM. 1994. V. 41. P. 214–235.

Введенский Вячеслав Владимирович, Ильев Виктор Петрович,Омский государственный университет,пр. Мира, 55а, Омск, 644077, Россия, тел. (3812) 23-67-39,e-mail: [email protected], [email protected]


ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ МИНИМАКСНОЙ ЗАДАЧИ О НАЗНАЧЕНИЯХ

Н. И. Глебов

Рассматриваемая задача представляет собой обобщение известной минимакснойзадачи о назначениях или, более точно, транспортную задачу с минимаксным кри-терием и ограниченными целочисленными переменными:

maxi,j

cijxij −→ min(x)

при ограничениях

m∑

j=1

xij = ai, i = 1, 2, . . . , n

n∑

i=1

xij ≤ bj, j = 1, 2, . . . ,m

0 ≤ xij ≤ dij, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . ,m

xij − целое, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . ,m,

где ai, bj, dij — натуральные числа и cij ≥ 0.Предложен алгоритм решения данной задачи, который в общем случае является

псевдополиномиальным. В случае ai = bj = dij = 1 ( i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . ,m)алгоритм оказывается полиномиальным и имеет оценку трудоемкостиO(n3+nm), такчто при m ≥ n2 трудоемкость алгоритма сравнима по порядку с размером матрицы(cij)n×m. Алгоритм также корректно решает задачу и в том случае, когда целеваяфункция имеет более общий вид:

maxi,j

fij(xij),

где fij(·) — монотонно неубывающие функции.Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 02–01–01153).

Глебов Николай Иванович,Новосибирский государственный университет,ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090, Россия; e-mail: [email protected]


ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

М. В. Девятерикова, А. А. Колоколов

Рассматривается задача целочисленного программирования (ЦП) в следующейпостановке:

f(x)→ max, x ∈ (Ω ∩ Zn), (1)

где f - вещественнозначная функция, а Ω - непустое множество из некоторого беско-нечного класса Ψ замкнутых множеств из Rn. В работе исследуются вопросы устой-чивости алгоритмов решения задачи (1), которые основаны на использовании релак-сационного множества Ω.

Пусть алгоритм A в процессе решения задачи (1) порождает последовательностьприближений SA(Ω) = x(k) ∈ Ω, k = 1, 2, ..., τ. Под устойчивостью алгоритма наклассе задач с релаксационными множествами из Ψ понимается не более чем по-линомиальный по n рост длины последовательности SA(Ω) при достаточно малыхизменениях релаксационных множеств, оставляющих неизменным множество допу-стимых решений задачи (1).

Ранее было установлено, что метод перебора L-классов и дробный двойственныйпроцесс отсечения с вполне регулярными отсечениями устойчивы на классе задачЦП с замкнутыми, ограниченными множествами [1]. Для ряда других алгоритмовотсечения, в том числе алгоритмов Гомори, вопрос об устойчивости пока остаетсяоткрытым.

В [2] показано, что некоторые алгоритмы ветвей и границ (схема Лэнд и Дойг)являются неустойчивыми для задач целочисленного линейного программирования сограниченными релаксационными множествами. В данной работе установлено, чтоэти алгоритмы обладают тем же свойством для задач булева программирования.Кроме того, рассмотрены вопросы повышения устойчивости указанных алгоритмов,в частности, путем использования правильных отсечений.

Нами изучаются также следующие типы устойчивости алгоритмов: слабая устой-чивость, устойчивость оценок длины последовательности приближений и некоторыедругие.

Работа выполнена при поддержке INTAS, проект N 00-217.


1. Девятерикова М. В., Колоколов А. А. (2003) Об устойчивости некоторых алго-ритмов целочисленного программирования // Известия вузов. Математика. - Казань,2003. - N 12. - С. 41-48.2. Колоколов А. А., Девятерикова М. В. (2003) Анализ устойчивости алгорит-мов целочисленного программирования // Российская конференция “Проблемы оп-тимизации и экономические приложения”: Материалы конференции. - Омск, 2003. -С. 38-42.Колоколов Александр Александрович, Омский филиал Института математикиим. С.Л. Соболева СО РАН, ул. Певцова 13, Омск, 644099, Россия,тел. (8-381-2) 23-67-39, факс (8-381-2) 23-45-84, e-mail: [email protected]

Девятерикова Марина Владимировна, Омский государственный техническийуниверситет, Пр. Мира 11, Омск, 644050, Россия, тел. (8-381-2) 65-20-84,факс (8-381-2) 65-26-98, e-mail: [email protected]


ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ АЛГОРИТМОВРЕШЕНИЯ ТРЕХИНДЕКСНОЙ АКСИАЛЬНОЙ ПРОБЛЕМЫ ВЫБОРА

С. А. Дичковская

Известно [4], что трехиндексная аксиальная проблема выбора (3-аксиальная ПВ)является NP-полной и имеет многочисленные практические применения [3]. В на-стоящей работе исследуются четыре приближенных алгоритма нахождения реше-ния 3-аксиальной ПВ: алгоритмы α0, α1, α2 из [2], трудоемкость которых составляетO(n4), O(n3), O(n2) действий соответственно и один алгоритм из [1], который будемобозначать через α3, имеющий трудоемкость O(nlnn) действий.

Все эти алгоритмы программно реализованы на языке Object Pascal (в средеDelphi) и по ним проведены вычислительные эксперименты на тестовых 3-аксиальныхПВ порядка n, для которых трехиндексная матрица формировалась с помощью дат-чика случайных чисел, настроенного на работу с целыми числами из отрезка [1,r],где 2 ≤ r ≤ n2. Было сформировано 5 групп задач, каждая из которых состоит из10 серий. Порядок задач изменялся от 50 до 250. Всего было решено 50000 задач, по1000 задач в каждой серии.

В результате проведенных вычислительных экспериментов установлено, что доляоптимальных решений 3-аксиальной ПВ, порядка n, n ≥ 50, находимых посредство-малгоритма α0 (алгоритмов α1, α2, α3) составляет:

• не менее 97% (93%, 87%, 87%), если r=2; не менее 96% (91%, 84%, 84%), еслиr = [ 3

√n]; не менее 90% (86%, 77%, 76%), если r = [ 2

√n]; не менее 82% (75%, 68%,

67%), если r = [n/lnn]; не менее 73% (64%, 57%, 57%), если r = [4√n3] и не менее

59% (51%, 46%, 45%), если r=[n/2], причем с ростом n их доля увеличивается.Здесь [a]- наибольшее целое число, не превосходящее числа a;

• не более 46% (38%, 31%, 29%), если r = [34n]; не более 32% (26%, 19%, 19%),

если r = n; не более 13% (8%, 5%, 4%), если r = [nlnn] и не более 9% (4%, 2% ,2%), если r = n2, причем с ростом n их доля уменьшается.


1. Гимади Э. Х. (1998) Асимптотически точный подход к решению многоиндекснойаксиальной задачи о назначении. // Пленарные доклады 11 международной Бай-кальской школы - семинара. Иркутск, Байкал. С.62–65.2. Кравцов В. М. (2003) Алгоритмы нахождения асимптотически оптимальногорешения многоиндексной аксиальной проблемы выбора. // Математическое модели-рование экономических процессов переходного периода: Материалы 1-й Междуна-родной конференции. Минск: БГЭУ. С.280–282.3. Arbib C., Pacciarelli D., Smriglix S. (1999) A three-dimensional matching model forperishable production scheduling. // Discrete Appl. Math. 1999. V92. P.1–15.4. Balas E., Salthzman M. (1989) Facets of the three-index assignment polytope. // DiscreteAppl. Math. 1989. Vol.23, 3. P. 201–229.

Дичковская Светлана Александровна,Белгосуниверситет, пр. Ф. Скорины 4, Минск, 220050, Беларусь,ул. Космонавтов 3/2, 18, т. 296-82-95, e-mail: [email protected]


ОДНА ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ГРУЗОПЕРЕВОЗОК

А. И. Ерзин, Н. Н. Карпышев

Пусть задан участок транспортной сети, состоящий из двух пунктов с номера-ми 1 и 2 и связывающего их ребра. В каждый момент времени t = 0, . . . , T в п.i = 1, 2 извне поставляется груз в количестве qt

i единиц. Этот груз перевозится изодного пункта в другой транспорными средствами (ТС), которые курсируют междупунктами и за один рейс одно ТС может перевести единицу груза. Пусть каждоеТС затрачивает τ единиц времени для преодоления пути между пунктами. Требу-ется так организовать перевозку груза и перемещение ТС, чтобы минимизироватьсуммарное время простоя (ожидания ТС) груза. Если в некоторый момент временив пункте i есть груз и есть ТС, то ТС отправляется вместе с грузом. Если же внекоторый момент в каком-нибудь пункте есть ТС, а груза нет, то возможна альтер-натива: либо ТС остается в этом пункте, либо отправляется в другой пункт без груза(порожняком).

В начальный (нулевой) момент времени для каждого пункта считаем известными:r1 (r2) – начальное количество ТС в пункте 1 (2);qt1 (qt

2) – количество единиц груза, приходящего извне в пункт 1 (2) в момент t;Qt

1 (Qt2) – количество груза, ожидающего отправление в момент t в пункте 1 (2).

Введем обозначения для переменных:yt

1 (yt2) – количество единиц груза, отправляемых из пункта 1 (2) в пункт 2 (1) в

момент t;xt

1 (xt2) – количество порожних ТС, отправляемых из пункта 1 (2) в пункт 2 (1) в

момент t.Модель задачи запишется в виде:

T∑

t=0

[(Qt1 − yt

1) + (Qt2 − yt

2)]→ minx,y

;

ytj ≤ Qt

j; Qtj =

t∑

i=0

qij −

t−1∑

i=0

yij;

ytj + xt

j ≤ rj +t∑

i=0

(yi−τ3−j + xi−τ

3−j)−t−1∑

i=0

(xij + yi

j);

xtj, y

tj ∈ Z+

0 , j = 1, 2; t = 0, . . . , T,

где xtj = yt

j = 0 при t < 0.В работе предлагается метод динамического программирования, строящий реше-

ние для случая τ = 1 и имеющий псевдополиномиальную трудоемкость, равнуюO(T 4R3). Разработан также полиномиальный алгоритм с временной сложностьюO(Tτ), строящий приближенное решение, которое в случае τ = 1 имеет гаранти-рованную оценку отностительной погрешности, равную 1/5.Ерзин Адиль Ильясович, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 33-37-88, факс (8-383-2) 33-25-98, e-mail: [email protected]Карпышев Николай Николаевич, Новосибирский государственный университет,ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090, Россия.


АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ ЭВРИСТИК РАЗМЕЩЕНИЯ ЗАДАЧНА ГРУППЕ КЛАСТЕРОВ

С. Н. Жук

Пусть T1, . . . , Tn – множество независимых задач, каждая из которых характери-зуется временем выполнения h(Tj) и требуемым числом процессоров w(Tj),

C1, . . . , Cm – множество кластеров (машин), wi – число процессоров в i-м кластере.Требуется найти размещение задач на кластерах, минимизирующее максимум извремён окончания работ на всех кластерах.

Даже для случая одного кластера, состоящего из двух процессоров, эта задачаNP-трудна, т.к. соответствует задаче PARTITION [1]. Мы анализируем простые всмысле реализации эвристики, в которых брокер (система распределения задач покластерам) работает on-line, то есть обрабатывает последовательно все приходящиек нему задачи по одной.Алгоритм A1. Брокер для каждой поступающей к нему задачи Tj производит опросвсех кластеров Ci, для которых w(Tj) ≤ wi. Каждый кластер сообщает брокеру времязавершения последней задачи, получающееся при размещении всех своих задач вме-сте с данной (каждый кластер размещает свои задачи пользуясь алгоритмом Bottom-Left [2], предварительно сортируя их в порядке убывания w(Tk)). Затем брокер от-правляет эту задачу на один из кластеров, у которого это время минимально.

Пусть HO – оптимальное время выполнения, HA – время выполнения при исполь-зовании алгоритма A.Утверждение 1. Для любого k существует такой набор задач, что

HA1

HO≥ k.

Алгоритм A2. Пусть first(Tj) = mini | wi ≥ w(Tj),

last(Tj) = minr∣∣

r∑

i=first(Tj)

wi ≥1

2

m∑

i=first(Tj)

wi

Кластеры first(Tj), first(Tj)+1, . . . , last(Tj) назовём допустимыми для задачи Tj.Алгоритм A2 отличается от алгоритма A1 только тем, что брокер производит опростолько допустимых для задачи кластеров.Утверждение 2. Для любого набора задач

HA2

HO≤ 10.

Утверждение 3. Для любого ε > 0 существует набор задач, для которогоHA2

HO≥ 7− ε.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 02-01-00713.


1. М. Гэри, Д. Джонсон, (1982) Вычислительные машины и труднорешаемые зада-чи, М., Мир.2. B. S. Baker, E. J. Coffman and R. L. Rivest, (1980) Orthogonal packings in twodimensions, SIAM J. Computing, 1980, V. 9, P. 846–855.

Жук Сергей Николаевич, Московский физико-технический институт,Институтский переулок, 9, г. Долгопрудный, 141700, Московская область,тел. (095) 408 5700, e-mail: [email protected]


РЕШЕНИЕ МИНИСУММНОЙ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯНА ПЛОСКОСТИ С ЗАПРЕЩЕННЫМИ ОБЛАСТЯМИ

Г. Г. Забудский, М. В. Орлова

На плоскости размещено m объектов в точках P1, P2, ..., Pm и k запрещенных зонв виде изотетичных прямоугольников. Объединение зон обозначим через Z. Необхо-димо разместить на той же плоскости n новых объектов в точках X1, X2, ..., Xn внезапрещенных зон таким образом, чтобы суммарное взвешенное расстояние междуобъектами было минимальным. Пусть wij и vjk – удельные стоимости связей междуфиксированным объектом i и новым j и новыми объектами j и k соответственно.Математическая модель задачи имеет вид:

∑

1≤j<k≤n

vjkd(Xj, Xk) +∑

1≤i≤m

∑

1≤j≤n

wijd(Pi, Xj)→ min (1)

Xj /∈ Z, j = 1, 2, ..., n, (2)

где d(·, ·) – некоторая метрика.Задача с минимаксным критерием и прямоугольной метрикой рассматривалась

в [1]. В данной работе также используется прямоугольная метрика. Для размеще-ния одного нового объекта и произвольного числа запрещенных областей предло-жен эффективный алгоритм, использующий процедуру построения контура обла-сти Z [2]. Для общего случая задача (1)–(2) записывается в виде модели частично-целочисленного линейного программирования с булевыми переменными. Для это-го предварительно по области Z строится совокупность прямоугольных областей,в которых допускается размещение новых объектов. Предложен алгоритм ветвей играниц и эвристический алгоритм для ее решения. Проведен вычислительный экс-перимент.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта INTAS 00-217.


1. Забудский Г. Г. (2004) Алгоритмы решения минимаксной задачи размещения наплоскости с запрещенными зонами// Автоматика и телемеханика. М. 2004, N2. С.93–100.2. Препарата Ф., Шеймос М. (1989) Вычислительная геометрия: Введение. М.:Мир.478 с.

Забудский Геннадий Григорьевич,Омский филиал Института математики им С. Л. Соболева СО РАН,ул. Певцова, 13, Омск, 644099, Россия, тел. (3812) 23-67-39,факс (8-381-2) 23-45-84, e-mail: [email protected],

Орлова Мария Владиславовна,Омский государственный университет,пр. Мира, 55а, Омск, 644077, Россия, тел. (3812) 22-56-96


АЛГОРИТМ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯЗАДАЧИ УПАКОВКИ В КОНТЕЙНЕРЫ

В. В. Залюбовский

Задача упаковки в контейнеры (BPP) формулируется следующим образом: мно-жество неотрицательных чисел x1, . . . , xn необходимо разбить на минимальное числоподмножеств таким образом, чтобы сумма чисел в каждом из них не превосходилазаданной константы C > 0. Задача является NP-трудной в сильном смысле [1], ибольшая часть исследований связана с построением приближенных алгоритмов [2].К настоящему времени известно лишь несколько работ, посвященных алгоритмамнахождения точного решения BPP [3,4].

В работе предлагается метод ветвей и границ, использующий представление допу-стимых решений задачи в виде перестановок специального вида. Мы вводим понятиеNF-активных упаковок и показываем, что поиск оптимального решения можно ве-сти только в этом классе. Доказано, что каждой перестановке соответствует ровноодна NF-активная упаковка, а при дополнительных условиях на структуру пере-становки удается добиться также однозначности обратного соответствия. Безызбы-точность выбранной схемы представления решения в сочетании с использованием вкачестве процедуры восстановления решения алгоритм NextFit, имеющий линейнуюсложность, позволяют существенно ускорить процесс поиска.

Кроме того, проведен сравнительный анализ различных процедур нахождениянижних оценок как с точки зрения точности оценок, так и по соотношению "качество-сложность".



1. М. Гэри, Д. Джонсон. (1982) Вычислительные машины и труднорешаемые задачи.М.: Мир.2. E. G. Coffman, M. R. Garey, D. S. Johnson (1997) Approximation algorithms for binpacking: a survey. In: D. S. Hochbaum (ed.) Approximation Algorithms for NP-hardProblems. PWS Publishing, Boston, 1997. pp. 46–93.3. S. Martello, P. Toth (1990) Lower bounds and reduction procedures for bin packingproblem. // Discrete Applied Mathematics 1990. V. 28. P. 59–70.4. A. Scholl, R. Klein, C. Jurgens (1997) BISON: A fast hybrid procedure for exactlysolving the one-dimensional bin packing problem. // Computers and Operations Research1997. V. 24. P. 627–645.

Залюбовский Вячеслав Валерьевич,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 33-21-89, факс (8-383-2) 32-25-98, e-mail: [email protected]


АНАЛИЗ ДРОБНОГО НАКРЫТИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИО ПОСТАВКАХ ПРОДУКЦИИ

Л. А. Заозерская

Рассматривается задача о поставках продукции, которой соответствует следущаязадача частично целочисленного программирования (ЧЦП):

F (z, x) =n∑

i=1

m∑

j=1

(aijzij + gij(xij))→ min

m∑

j=1

xij ≤Mi, i = 1, n,

n∑

i=1

xij = Aj, j = 1,m,

mijzij ≤ xij ≤Mizij , i = 1, n, j = 1,m,

zij ∈ 0, 1, i = 1, n, j = 1,m,

где все Mi, Aj,mij ∈ Z+, aij ≥ 0, а gij(xij) – неотрицательные вогнутые функции приxij > 0. В [1] доказано, что соответствующая задача поиска допустимого решенияявляется NP -трудной даже в случае m = 1.

При анализе эффективности ряда алгоритмов решения задач ЧЦП важную рольиграет такая характеристика задач как мощность Lk-разбиения дробного накрытия[2]. В работе предложено параметрическое семейство задач о поставках продукции слинейной целевой функцией, обладающих Lk-накрытиями, мощность которых рас-тет экспоненциально с увеличением размерности задачи при любом порядке перемен-ных. Указаны такие задачи с разностью между оптимальными значениями целевойфункции задачи и ее непрерывной релаксации, равной любому натуральному чис-лу. С использованием данного семейства построена задача о поставках продукциис Lk-накрытиями подобного типа, которая относится к классу NP -трудных задач.Показано, что эти задачи являются трудными для решения методом Лэнд и Дойг инекоторыми другими методами.

Работа выполнена при финансовой поддержке INTAS (проект 00-217), РГНФ(проект 04-02-00238а).


1. S. S. Chauhan, A. V. Eremeev, A. A. Kolokolov, V. V. Servakh. (2002) On solving con-cave cost supply management problem with single manufacturing unit. // Proc. of Produc-tion System Design, Supply Chain Management and Logistics Conference. Miedzyzdroje,Poland, 2002. P. 147–154.2. А. А. Колоколов. (1993) Применение регулярных разбиений в целочисленном про-граммировании. // Известия вузов. Математика. – Казань, 1993. 12. С. 11–30.

Заозерская Лидия Анатольевна,Омский филиал Института математики им С. Л. Соболева СО РАНул. Певцова, 13, Омск, 644099, Россия, тел. (8-381-2) 23-67-39,факс (8-381-2) 23-45-84, e-mail: [email protected]


О ПРИБЛИЖЕННОМ АЛГОРИТМЕ ОТЫСКАНИЯ ПОКРЫТИЯ ГРАФА СЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ СИММЕТРИИ

Т. В. Заховалко, И. В. Козин, Н. К. Максишко

Группой симметрии S графа будем называть любую подгруппу группы автомор-физмов этого графа. S-орбитой частичного графа G будем называть объединение⋃

s∈S s(G) всех образов графа G при действиях отображений из S. Частичный графG будем называть симметричным относительно действия заданной группы симмет-рии S, если сужение любого элемента этой группы на граф G является автомор-физмом этого графа. Другими словами, частичный граф симметричен относительнодействия группы S, если его S-орбита совпадает с графом G. Для любого частич-ного графа G и группы симметрии S определим меру симметрии, как отношениеколичества вершин графа G количеству вершин его S-орбиты.

В работе рассматривается задача отыскания в заданном графе частичных графовопределенного вида, обладающих максимальной (минимальной) мерой симметрии. Вчастности, исследовалась задача отыскания такого частичного графа, каждая ком-понента которого изоморфна одному из графов заданного набора.

Для решения задачи предлагается приближенный полиномиальный алгоритм. Накаждом шаге алгоритма делается попытка разместить очередную компоненту связ-ности в S -орбите уже построенного частичного графа. В случае неудачи компонентадобавляется к частичному графу и строится новая орбита.

Имеется промышленная программная реализация алгоритма для частного случаяспециального вида: решение задачи о симметричном размещение рекламных блоковна страницах рекламных изданий.


1. Зыков А. А. (1987) Основы теории графов. М.: Наука. 384 с.2. Перепелиця В. О., Заховалко Т. В., Максишко Н. К. (2001) Точнi алгоритми длязадач покриття графiв зiрками та ланцюгами // Вiсник Київського нацiональногоунiверситету. Серiя: фiзико-математичнi науки. 2001, вип. 5. С. 154–162.

Заховалко Татьяна Викторовна,Козин Игорь Викторович,Максишко Наталия Константиновна,Запорожский государственный университет,ул. Жуковского, 66, Запорожье, 69600, Украина,тел. (0612) 64-55-12, e-mail: [email protected]


ПРИБЛИЖЕННЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИО МИНИМАЛЬНОЙ РАСКРАСКЕ ГРАФА

В. П. Ильев

Рассматривается задача о минимальной раскраске графа. Раскраска неориенти-рованного n-вершинного графа G = (V,E) есть разбиение P = (V1, . . . , Vk) множестваV на попарно непересекающиеся подмножества, где каждое Vi – независимое множе-ство вершин графа. Число |P | = k называется мощностью или числом раскраски P .Задача состоит в отыскании раскраски минимальной мощности.

Задача является NP -трудной [1]. Существует O(n(log log n)2/(log n)3)-приближен-ный полиномиальный алгоритм решения этой задачи [2].

Предлагается следующий простой приближенный алгоритм решения задачи о ми-нимальной раскраске графа.

Алгоритм GC.Шаг 0. Начать с тривиальной раскраски P = (V1, . . . , Vn), где Vi = vi,

i = 1, . . . , n. Перейти на шаг 1.Шаг i (i = 1, . . . , n). Текущая раскраска P содержит множество Vi. Если суще-

ствует такое j ∈ i+ 1, . . . , n, что множество Vi ∪ Vj независимо в G, то Vj ← Vi ∪ Vj

и удалить из P множество Vi. Если i < n, то перейти на шаг i+ 1, иначе S ← P .Конец.

Доказано, что для любого графа G этот алгоритм находит такую раскраску P ,что |P | − |P0| ≤ n − |P |, где P0 – оптимальная раскраска графа (т.е. |P0| = χ(G) –хроматическое число графа G).

Получены гарантированные оценки погрешности алгоритма GC. В частности, до-казано, что для любого графа G

|P ||P0|≤ n(n+ 1)− 2m

2n,

где n – число вершин, m – число ребер графа G. Эта оценка достижима (например,на полных графах).


1. М. Гэри, Д. Джонсон. (1982) Вычислительные машины и труднорешаемые задачи.М.: Мир.2. M. M. Halldorsson. (1993) A Still Better Performance Guarantee for ApproximateGraph Coloring.// Inform. Process. Lett. 1993. V. 45. P. 19–23.

Ильев Виктор Петрович,Омский государственный университет,а/я 4553, Омск, 644001, Россия, тел. (3812) 56-70-88,e-mail: [email protected]


ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ В ЗАШУМЛЕННОЙ ЧИСЛОВОЙПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЗАДАННОГО ЧИСЛА ФРАГМЕНТОВИЗ ЭТАЛОННОГО НАБОРА И ЕЕ РАЗБИЕНИЕ НА УЧАСТКИ,

ВКЛЮЧАЮЩИЕ СЕРИИ ОДИНАКОВЫХ ФРАГМЕНТОВ

А. В. Кельманов, Л. В. Михайлова

Рассматривается задача совместного обнаружения (поиска) фрагментов из эта-лонного набора в зашумленной числовой последовательности и разбиения этой по-следовательности на участки, включающие серии одинаковых фрагментов. Последо-вательный (on-line) подход к решению данной задачи традиционен и широко приме-няется в приложениях, связанных с обработкой и распознаванием сигналов. В работеисследован альтернативный – апостериорный (off-line) – подход. Анализируется слу-чай заданного числа квазипериодически повторяющихся фрагментов.

Формальная постановка задачи, основанная на принципе максимального правдо-подобия, приводит к минимизации критерия

F (µ1, ..., µL, n1, ..., nµL) =

b∑

n=a

yn −L∑

i=1

µi∑

m=µi−1+1

un−nm(i)2,

где µ0 = 0, µL = M , L ≤ M , при ограничениях: 1) µ0 < µ1 < ... < µL;2) a ≤ n1 ≤ a+ ≤ b; 3) a ≤ b− ≤ nM ≤ b; 4) 0 < q ≤ Tmin ≤ nm − nm−1 ≤ Tmax,m = 2, ...,M ; здесь a, a+, b, b−, Tmin, Tmax и q – целые числа, ограничение1) – условие разбиения последовательности на однородные участки, 2) и 3) – кра-евые условия, 4) – условие квазипериодичности повторов; M – число повторов, L– число серий, yn, n = a, . . . , b, – наблюдаемая последовательность. Кроме того,предполагается, что 5) 0 <

∑bn=a y

2n < ∞, и при каждом i = 1, ..., L имеют место:

6) uj(i) = 0, j 6= 0, ..., q− 1, и 7) 0 <∑q−1

j=0 u2j(i) <∞. Эталонный набор (U (1), ..., U (L)),

где U (i) = (u0(i), ..., uq−1(i)), i = 1, ..., L, считается заданным.Исходная задача сведена к дискретной задаче минимизации целевой функции

G(µ1, ..., µL, n1, ..., nµL) =

L∑

i=1

µi∑

m=µi−1+1

gi(nm),

где gi(n) =∑q−1

j=0u2j(i)− 2yj+nuj(i), i = 1, ..., L, n = a, . . . , b. Сформулированы необ-

ходимые и достаточные условия совместности системы ограничений. Для общегослучая, когда gi(n) : Z → <, i = 1, ..., L, – функция, ограниченная на [a, b], полученырекуррентные формулы, гарантирующие отыскание глобального экстремума за по-линомиальное время. Временная и емкостная сложности алгоритма есть величиныO[LM(Tmax − Tmin + 1)(b − a + 1)] и O[LM(b − a + 1)] соответственно, где b − a + 1– длина последовательности. В зависимости от значений параметров задачи времен-ная сложность алгоритма изменяется в интервале от O(b− a+ 1) до O[(b− a+ 1)4];емкостная сложность лежит в диапазоне от O(b−a+1) до O[(b−a+1)3]. Приведенырезультаты численного моделирования.Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 03-01-00036.Кельманов Александр Васильевич, Михайлова Людмила Викторовна,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 333-291, факс (8-383-2) 322-598, e-mail: kelm, [email protected]


ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ МОДЕЛИ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГОПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ О МИНИМАЛЬНОМ КОМИТЕТЕ

А. А. Колоколов, Д. И. Ягофарова

В [2,3] и других работах, посвященных задаче о минимальном комитете, особоевнимание уделяется связанным с ней моделям целочисленного программирования(ЦП). Пусть X – произвольное множество и задана система включений Di ⊂ X,

i = 1,m, для которой допускаетсяm⋂

i=1

Di = ∅. В [3] предложена модель ЦП для поис-

ка минимального комитета этой системы, которую сложно исследовать с помощьюметода регулярных разбиений [1]. На ее основе нами построена адаптированная дляуказанного метода модель целочисленного линейного программирования:

s→ min (1)n∑

j=1

aijtj ≥ s, i = 1,m, (2)

n∑

j=1

tj ≤ 2s− 1, (3)

s ≥ 1, tj ≥ 0, j = 1, n, (4)

s, tj ∈ Z, j = 1, n, (5)

где A = (aij)m×n – булева матрица инциденций множеств Di и максимально сов-местных подсистем рассматриваемой системы включений. Установлена взаимосвязьмодели (1)–(5) с задачей о минимальном комитете.

Следует отметить, что при фиксированном s система неравенств (2) представляетсобой обобщение системы линейных ограничений задачи о покрытии множества. Вданной работе изучается выпуклое многогранное множество, определяемое ограни-чениями (2)-(4), структура его L-разбиения и возможность применения алгоритмовперебора L-классов на основе ранее выполненных исследований [1].


1. А. В. Еремеев, Л. А. Заозерская, А. А. Колоколов. (2000) Задача о покрытии мно-жества: сложность, алгоритмы, экспериментальные исследования. // Дискрет-ный анализ и исследование операций. 2000. Cер. 2, Т. 7. С. 22–46.2. Вл. Д. Мазуров, М. Ю. Хачай. (2004) Комитеты систем линейных неравенств.// Автоматика и телемеханика. 2004. 2. С. 43–54.3. М. Ю. Хачай. (2004) К задаче о минимальном комитете. // Тезисы докладовВсероссийской конференции “Алгоритмический анализ неустойчивых задач”. Екате-ринбург, 2004. С. 309.

Колоколов Александр Александрович, Ягофарова Дарья Ивановна,Омский филиал Института математики им С. Л. Соболева СО РАН,ул. Певцова, 13, Омск, 644099, Россия,тел. (8-381-2) 23-67-39, факс (8-381-2) 23-45-84,e-mail: [email protected], [email protected]


ОБ ОТСЕЧЕНИЯХ БЕНДЕРСА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧРАЗМЕЩЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ

Н. А. Косарев, Н. А. Рубанова

Одним из подходов к решению задач оптимального размещения предприятий яв-ляется применение декомпозиционных алгоритмов с отсечениями Бендерса [1,2]. Вданной работе проводится теоретическое исследование ряда таких алгоритмов длязадачи о p-медиане на минимум и простейшей задачи размещения (ПЗР).

В рассматриваемых алгоритмах на каждой итерации сначала определяется набороткрытых предприятий, затем находится наилучшее прикрепление клиентов, котороерассматривается как решение задачи линейного программирования. Соответствую-щие оптимальные значения двойственных оценок используются для построения от-сечения Бендерса.

С использованием понятия глубины отсечения [1], которая равна количеству ис-ключаемых допустимых наборов открытых предприятий, строятся семейства задачПЗР и о p-медиане, являющиеся сложными для метода декомпозиции Бендерса придостаточно естественных способах выбора оптимальных значений двойственных оце-нок (отсечения Бендерса имеют глубину, равную 1). В этом случае число итерацийрассматриваемых алгоритмов экспоненциально, в частности, для задачи о p-медианеоно равно Cp

m, гдеm— число предприятий. Проведены аналогии между полученныминеравенствами Бендерса и известными отсечениями целочисленного программирова-ния, например, вполне регулярными отсечениями. Для задачи о p-медиане на основеуказанных семейств выделен частный случай, обладающий теми же свойствами ипринадлежащий классу NP-трудных задач.


1. Колоколов А. А., Косарев Н. А. (2003) Исследование отсечений Бендерса для зада-чи о р-медиане // Материалы Всероссийской конференции "Проблемы оптимизациии экономические приложения", 1–5 июля 2003 г., Омск. – С. 96.2. Колоколов А. А., Леванова Т. В. (1996) Алгоритмы декомпозиции и перебораL-классов для решения некоторых задач размещения// Вестник Омского государ-ственного университета. Омск: ОмГУ, 1996. – N1. – С. 21–23.

Косарев Николай Александрович,Омский государственный университет,пр. Мира, 55а, Омск, 644077, Россия, тел. (8-381-2) 22-56-96.e-mail: [email protected]

Рубанова Наталья Алексеевна,Омский государственный университет путей сообщения,пр. Маркса, 35, Омск, 644024, Россия, тел. (8-381-2) 36-18-11


ПОЛИЭДРАЛЬНАЯ КОМБИНАТОРИКА В МНОГОИНДЕКСНЫХАКСИАЛЬНЫХ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧАХ

М. К. Кравцов

Основные результаты комбинаторной теории p-индексных (p ≥ 2) аксиальныхтранспортных многогранников (p-АТМ) изложены в [1]. В докладе обсуждаютсянекоторые старые и новые результаты, полученные белорусской школой исследо-вателей в указанном направлении. К этим результатам относятся (терминологию см.в [1]):

• теоремы, касающиеся асимптотического поведения некоторых классов p-АТМпорядка n1×n2×· · ·×np (здесь и далее предполагается, что n1 ≥ n2 ≥ · · · ≥ np ≥2): с ростом порядка многогранника отношение числа p-АТМ с максимальнымколичеством k-граней к общему числу p-АТМ стремится к единице, где k =∏p

s=1 ns−∑p

s=1 ns−[

np

2

]+ p− 1; почти все p-АТМ имеют диаметр, не меньший

∑ps=1 ns−p+1; почти все 2-АТМ имеют максимальный диаметр (М. К. Кравцов,

А. П. Крачковский, 1998);

• теорема о представлении 3-АТМ порядка n1×n2×n3 в виде некоторой (n1n2n3−n1−n2−n3+2)-грани трехиндексного планарного транспортного многогранникапорядка (n1 +1)× (n2 +1)× (n3 +1) (М. К. Кравцов, А. П. Крачковский, 1999);

• опровержение гипотезы 17[1], согласно которой p-АТМM(a1, a2, . . . , ap) порядкаn1×n2×· · ·×np, p ≥ 3, определенный целочисленными векторами a1, a2, . . . , ap,имеет максимальное число целочисленных вершин (ЦВ) тогда и только тогда,когда всякий 2-АТМ M(a1, as) порядка n1 × ns, s = 2, . . . , p, обладает макси-мальным числом вершин;

• верхние оценки числа целочисленных точек и ЦВ p-АТМ M(a1, a2, . . . , ap);

• теорема, опровергающая гипотезу 18[1] о том, что для всякого p-АТМ M ,определенного целочисленными векторами, справедлива оценка fz

0 (M)

f0(M)≥ 2

p, где

f z0 (M) – число ЦВ, а f0(M) – число вершин многогранника M ;

• решение проблемы о том, что для любого числа r ∈ 4, 6, 7, . . . ,minn1, n2+n3−2+ n2 + n3− 2, n3 ≥ 3, и только для него, найдется 3-АТМ порядка n1× n2×n3, определенный целочисленными векторами, содержащий r-нецелочисленныевершины, т. е. вершины, число дробных компонент у которых равно r (М. К.Кравцов, Е. В. Лукшин, 2003).


1. Емеличев В. А., Кравцов М. К. (1991) Полиэдральные аспекты многоиндексныхаксиальных транспортных задач // Дискретная матемематика 1991. Т. 3, вып. 2.С. 3–24.

Кравцов Михаил Константинович, НИЭИ Минэкономики РБ,ул. Славинского, 1, к. 1., Минск, 220086, Республика Беларусь,тел. (+375 17) 264-35-24, e-mail: [email protected].


ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О МНОГОМЕРНОМ РЮКЗАКЕ

А. А. Кузнецова, Т. В. Яковлева

В работе рассматривается следующая задача дискретной оптимизации:

〈c, x〉 ↑ max, x ∈ 0, 1n;〈aj, x〉 ≤ βj , j = 1, . . . ,m,

(MKP )

где βj, ci, aji > 0, aj

i ≤ βj,n∑

i=1

aji > βj, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m, и все коэффициенты

— целые числа.Также в качестве вспомогательной структуры рассматривается частный случай

(при m = 1) задачи (MKP ) — задача о рюкзаке:

〈c, x〉 ↑ max, 〈a, x〉 ≤ β, x ∈ 0, 1n. (KP )

Задача (KP ) равносильна [1] следующей непрерывной задаче обратно-выпуклогопрограммирования:

〈c, x〉 ↑ max,

〈a, x〉 ≤ β, ‖ x− e

2‖2 −n

4≥ 0,

x ∈ Π = x ∈ IRn | 0 ≤ xi ≤ 1.

(1)

Для решения обратно-выпуклой задачи (1) на основании условий глобальной оп-тимальности [2] и стратегии глобального поиска [1, 2] строится алгоритм, ключевымимоментами которого являются аппроксимация поверхности уровня, решение линеа-ризованной задачи и построение оценок сверху на численное значение задачи.

Для решения задачи о многомерном рюкзаке разработан метод, в котором ис-пользована частичная декомпозиция задачи (MKP ) на задачи о рюкзаке с однимограничением и применен алгоритм решения задачи (KP ), эффективность которогопроверена вычислительным экспериментом в [3].

Результаты проведенного на серии задач из OR-Library вычислительного экспери-мента показали, что глобальное решение найдено в 36% задач; в остальных задачахудалось значительно (в среднем до 99%) приблизиться к известному решению. Мак-симальная погрешность решения (около 8%) была получена всего в двух задачах.При этом полученные алгоритмом оценки сверху на численные значения задач всреднем в 80 раз лучше оценок, построенных на основе LP-релаксации.


1. Кузнецова А. А., Стрекаловский А. С., Цэвээндорж И. (1999) Об одном подходе крешению целочисленных задач оптимизации. ЖВММФ, Том 39, 1, с. 9–16.2. Стрекаловский А. С. (1993) Об экстремальных задачах на дополнениях выпуклыхмножеств. Кибернетика и системный анализ, 1, c. 113–126.3. Кузнецова А. А., Яковлева Т. В. (2003) К решению задачи о рюкзаке алгоритмомс построением оценок. Материалы Всероссийской конференции “Инфокоммуника-ционные и вычислительные технологии и системы” (Улан-Удэ, 5-9 августа 2003 г.).Ч. 2. – Улан-Удэ: Изд-во Бурятского госуниверситета, с. 133–136.Кузнецова Антонина Александровна, Яковлева Татьяна Владимировна,Институт динамики систем и теории управления СО РАН,ул. Лермонтова, 134, Иркутск, 664033, Россия,тел. (8-395-2) 51-13-98, факс (8-395-2) 51-16-16, e-mail: [email protected], [email protected]


РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ВЫБОРА ИЗДЕЛИЙМЕТОДОМ ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ

Р. М. Ларин, Е. В. Хмель

Рассматривается задача

S(x, y) =n∑

i=1

(−c0ix0i + ciyi)→ max

x,y

xi ∈ 0, 1, 0 ≤ yi ≤ aixi (i = 1, n),

n∑

i=1

yi ≤ b,n∑

i=1

diyi ≤ d,

где 0 ≤ ci ≤ di, а ai (i = 1, n), b, d – положительны.Эта задача является частично-целочисленной, и для её решения предлагается

применить метод ветвей и границ по переменным xi (i = 1, n). Переходя к двой-ственной задаче по непрерывным переменным yi, получаем задачу

Φ(x, v, w) =n∑

i=1

ai max(0, ci − v − diw)− c0i xi + bv + dw → maxx

minv≥0,w≥0

,

причёмmaxx,y

S(x, y) = maxx

minv,w

Φ(x, v, w).

Справедливы неравенства

Φ(x, v′, w′) = minv,w

Φ(x, v, w) ≤ maxx

minv,w

Φ(x, v, w) ≤ minv,w

maxx

Φ(x, v, w) = Φ(x, v, w).

Здесь слева – нижняя оценка для метода ветвей и границ, справа – верхняя; (x, v, w)– решение задачи minv,w maxx Φ(x, v, w); а (v′, w′) – решение задачи minv,w Φ(x, v, w).Эти задачи легко модифицируются для случая, когда некоторые компоненты вектораx заданы.

Определение верхней оценки – это решение задачи выпуклого программированияс кусочно-линейной целевой функцией при ограничениях v ≥ 0, w ≥ 0. Для еёнахождения применяется метод, аналогичный симплекс-методу. Подобная процедураиспользуется и при вычислении нижней оценки.

Понятно, что метод ветвей и границ можно применить непосредственно к исход-ной задаче. Однако при предлагаемом подходе понижается размерность простран-ства. Кроме того, при непрерывном векторе x минимакс равен максимину, что поз-воляет надеяться на высокое качество оценок.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 02-01-00977.

Ларин Рудольф Михайлович, Институт математики им. С. Л. Соболева,пр. Академика В. А. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 33-34-97, e-mail: [email protected]

Хмель Екатерина Владимировна, Новосибирский госуниверситет, ММФ,ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090, Россия,тел. 8-913-8905450, e-mail: [email protected]


АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯКВАДРАТИЧНОЙ ЗАДАЧИ О НАЗНАЧЕНИЯХ

МЕТОДОМ ПЛЕТЕЙ И ГРАНИЦ

А. В. Мартюшев

Для известной квадратичной задачи о назначениях [1] предлагается обобщениеметода ветвей и границ, названного методом плетей и границ [2]. В нем оцениваютсяне единичные частичные решения, а наборы блоков частичных решений (плети).Разработана техника работы с плетьми и проведен ряд численных экспериментов наизвестных в литературе трудных задачах [3]. В некоторых задачах удалось улучшитьрекорд.


1. Koopmans T. C., Beckmann M. Assignment Problems and the Location of EconomicActivities. Econometrica, vol.25, No. 1, 1957, p. 53–762. Давыдов Г. В., Давыдова И. М. Метод плетей и границ. Исследование операций истатистическое моделирование. Издательство Санкт-Петербургского Университета.1994. Вып. 6. с. 14–303. http://www.opt.math.tu-graz.ac.at/qaplib/inst.html

Мартюшев Алескей Владимирович,Санкт–Петербургский государственный университет,Университетский пр., 28, 198504, Старый Петергоф, Санкт-Петербург, Россия,тел.: 8-812-5265458, e-mail: [email protected]


О ГАРАНТИРОВАННОЙ ОЦЕНКЕ ТОЧНОСТИ ГРАДИЕНТНОГОАЛГОРИТМА НА ПЕРЕСЕЧЕНИЯХ ДВУХ СУПЕРМАТРОИДОВ

А. Б. Рамазанов

В данной работе рассматривается задача максимизации ρ -координатно-выпуклойфункции, понятие которой введено в [1], на пересечении двух суперматроидов. Дляэтой задачи впервые получены априорные и апостериорные гарантированные оценкиточности градиентного алгоритма покоординатного подъема, который уточняет иобобщает ранее известные аналогичные оценки из [2]. Кроме того найдены новыеусловия, когда значения целевой функции рассматриваемой задачи в глобальном(оптимальном) и градиентном экстремуме совпадают.

Рассматривается следующая задача А дискретной оптимизации:

maxf(x) : x = (x1, · · · , xn) ∈ S1 ∩ S2,где f(x) ρ -координатно-выпуклая функция на Zn

+ [1], S1, S2 ⊆ Zn+ – суперматрои-

ды [2], Zn+ – множество n–мерных неотрицательных целочисленных векторов. Пусть

x∗− оптимальное, а xg – градиентное (то есть построенное с помощью градиентногоалгоритма покоординатного подъема [1-3]) решении задачи А.Теорема. Пусть в задаче A f(x) неубывающая функция, ω1(ρ, δf ) > 0. Тогда спра-ведлива следующая гарантированная оценка погрешности градиентного алгоритмапокоординатного подъема для решения задачи A

(f(x∗)− f(xg))/(f(x∗)− f(0)) ≤ ε,

где ε = (2−B(ρ, r, h))/3, B(ρ, r, h) = (h− r)2ω(ρ)/h2ω1(ρ, δf ),

h = maxh(x) =n∑

i=1

xi : x ∈ S1 ∩ S2, r = minh(x)− 1 : x ∈ Zn+\(S1 ∩ S2),

ω1(ρ, δf ) = 2Ω(δf)− ω(ρ), δf = (δf1 , · · · , δf

n), δfi = f(ei)− f(0), i = 1, n, Ω(δf) =

n∑

i=1

δfi ,

ω(ρ) =

0, если N+ρ = ∅,(

∑i∈N+

ρ

1ρi

)−1

, если N+ρ 6= ∅,

N+ρ = i : ρi > 0, i = 1, n,

ei – i-й единичный n-мерный орт.Следствие 1. В условиях теоремы, если B(ρ, r, h) = 1, то ε = 1/3 (ср. с [2]).Следствие 2. В условиях теоремы, если B(ρ, r, h) = 1 и S1 ∩ S2 суперматроид, тоf(x∗) = f(xg).Следствие 3. В условиях теоремы, если S1 ∩ S2однородный суперматроид [2], тоε = 1/2.


1. V. A. Emelichev, M. M. Kovalev, A. B. Ramazanov. // J. Discrete Mathematic andApplications. 1992. V. 2. P. 113-131.2. М. М. Ковалев. (1987) Матроиды в дискретной оптимизации. // Бел. Гос. Ун-т.3. Н. И. Глебов. //Управляемые системы. Новосибирск: Наука, 1973. Вып. 11. С.10-15.

Рамазанов Али Багдаш оглы, Бакинский Государственный Университет,пр. Гянджа, 111/24, Баку, 370126, Азербайджан, e-mail: [email protected]


РЕШЕНИЕ МИНИСУММНОЙ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ НА ЛИНИИС ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА МАКСИМАЛЬНЫЕ РАССТОЯНИЯ

Д. В. Филимонов

Рассматривается задача размещения взаимосвязанных объектов на сети, в вер-шинах которой расположены фиксированные объекты. Новые объекты связаны сфиксированными и размещаются в вершинах. В одной вершине можно размещатьпроизвольное количество новых объектов. Заданы максимальные допустимые рас-стояния между парами объектов. В задаче используется минисуммный критерий оп-тимизации.

Пусть фиксированные объекты расположены в вершинах v1, ..., vm сети, n – коли-чество новых объектов. Введем обозначения: I = 1, ...,m, J = 1, ..., n. Размеще-нием объектов назовем однозначное отображение π : J → I. В размещении π новыйобъект j ∈ J размещается в вершине vπ(j).

Через wij, i ∈ I, j ∈ J , обозначим удельные стоимости связей фиксированногообъекта i и размещаемого j. Через vjk обозначим удельные стоимости связей новыхобъектов j и k между собой, j, k ∈ J , j < k. Необходимо найти размещение, миними-зирующее суммарную стоимость связей между объектами:

∑

j,k∈J, j<k

vjkd(vπ(j), vπ(k)) +∑

i∈I

∑

j∈J

wijd(vi, vπ(j))→ minπ, (1)

удовлетворяющее ограничениям:

d(vπ(j), vπ(k)) ≤ bjk, j, k ∈ J, j < k, (2)

d(vi, vπ(j)) ≤ cij, i ∈ I, j ∈ J. (3)

Здесь bjk и cij – максимальные допустимые расстояния между соответствующимиобъектами, d(·, ·) – расстояние между вершинами сети.

В работе [3] предложен полиномиальный алгоритм решения задачи (1) на линии.В [1] рассматривалось решение задачи (1),(3) на древовидной сети. На произвольнойсети задача является NP -трудной [2].

В докладе предлагается полиномиальный алгоритм решения задачи (1)-(3) налинии, в котором задача сводится к решению серии вспомогательных задач без огра-ничений на максимальные расстояния новых объектов между собой.


1. Забудский Г. Г., Филимонов Д. В. (2000) Алгоритмы решения задач размещенияна деревьях с ограничениями на максимальные расстояния // Материалы между-народной конференции "Дискретный анализ и исследование операций"Новосибирск,2000. С.165.2. Kolen A. (1982) Location problems on trees and in rectilinear plane // StitchtingMathematish Centrum, Kruislaan 413, 1098 SJ, The Netherlands, Amsterdam, 1982.3. Picard J. C., Ratliff D. H. (1978) A cut approach to the rectilinear distance facilitylocation problem // Oper. Res.– 26(3).– 1978.– P. 422–433.

Филимонов Дмитрий Валерьевич, Омский государственный университет,пр. Мира, 55а, Омск, 644077, Россия, тел.(3812) 22-56-96,e-mail: [email protected]

Задачи теории расписаний 171

RELOCATION PROBLEMS WITH MULTIPLE WORKING CREWS

A. V. Kononov, B. M. T. Lin

Given a fixed budget, the generic relocation problem seeks to determine a feasible re-construction sequence of old buildings for a public housing project. The feasibility issuecan be resolved because it is mathematically equivalent to makespan minimization ina two-machine flowshop. In this paper, we consider the variant where multiple workingcrews are available for the redevelopment project. Most of our results center on the unit-execution time (UET) situations. In this case the relocation problem is a generalization ofthe classical bin packing problem and can be considered as a special resource-constrainedscheduling problem. We first present an NP-hardness proof for a case with two workingcrews and unit processing times that has remained open since 1988. Then, we design sev-eral approximation algorithms and obtain non-approximability results for different casesof relocation problem.

The research of Kononov A.V. was supported by RFBR grant 03–01–00455.

Kononov Alexander Veniaminovich, Sobolev Institute of Mathematics,pr. Akademika Koptyuga, 4, Novosibirsk, 630090, Russia,phone: (8-383-2) 33-20-86, fax: (8-383-2) 33-25-98,e-mail: [email protected]

Bertrand M. T. Lin, National Chi Nan University,303, University Rd., Puli, Nantou, Taiwan, 545, R.O.Cphone: 886-49-2910960 ext 4848, fax: 886-49-2915205,e-mail: [email protected]


ON THE COMPACT VECTOR SUMMATIONIN STOCHASTIC MACHINE SCHEDULING

R. A. Koryakin, S. V. Sevastyanov

For a wide class of machine scheduling problems (including FlowShop, OpenShop andothers), there exists a scheme which allows to reduce such problem to the compact vectorsummation problem ([2],[3]) formulated as follows. Given set of vectorsX = x1, . . . , xn ⊂R

d such that∑n

j=1 xj = 0, one needs to derive a permutation π = (π1, . . . , πn) of 1, . . . , nminimizing the function

fX(π) = maxk=1,...,n

‖x1 + · · ·+ xπk‖, (1)

where the norm is defined by its d-dimensional unit ball Bd:

Bd = x = (x(1), . . . , x(d)) ∈ Rd : |x(i)| ≤ 1; |x(i) − x(j)| ≤ 1; i, j = 1, . . . , d.

In other words, one needs to sum vectors from X in such order π that all partial sumsremain within a radius as small as possible. The problem (1) is solved ([1]) with theestimate

fX(π) ≤ (d− 1 + 1/d) maxi‖xi‖, (2)

which implies good makespan estimates for machine scheduling problems.In our paper, we consider machine scheduling problems in stochastic formulation and

assume all operation lengths being independent identically distributed random variableswith distribution F . For a wide class of distributions F , we suggest two polynomial timealgorithms. The first one almost always (for n → ∞) executes a more precise reductionscheme from a machine scheduling problem to a problem of type (1). The second algorithmalmost always (for n → ∞) solves that problem with the bound fX(π) ≤ maxi ‖xi‖/2 +o(1) guaranteed, which is significantly better than (2).

Thus, we show that for a wide class of stochastic machine scheduling problems, onecan almost always find a much better solution in comparison with the deterministic case.

Supported by the Russian Foundation for Basic Research (grant no. 02-01-01153).

REFERENCES

1. S. V. Sevastyanov (1976) On a Compact Vector Summation. Diskretnaya Matematika(Moscow) 3(3), P. 66–72. (Russian)2. S. V. Sevast’janov (1994) On Some Geometric Methods in Scheduling Theory: a Survey.Discrete Appl. Math. 55, P. 59–82.3. S. V. Sevast’janov (1995) Vector Summation in Banach Space and Polynomial TimeAlgorithms for Flow Shops and Open Shops. Mathematics of Operations Research 20,P. 90–103.

Koryakin Roman Aleksandrovich, Sevastyanov Sergey Vassilievich,Sobolev Institute of Mathematics, pr. Akademika Koptyuga, 4, Novosibirsk, 630090,Russia, phone: (8-383-2) 33-21-89, fax: (8-383-2) 33-25-98,e-mails: [email protected], [email protected].


СХЕМА ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ 1 | rj | Lmax

А. А. Лазарев, Р. Р. Садыков

Рассматривается NP -трудная в сильном смысле проблема 1 | rj | Lmax. Для за-данного примера Iα рассматриваемой проблемы необходимо на одном приборе безпрерываний и одновременного обслуживания более одного требования в каждый мо-мент времени обслужить требования множества Nα = 1, 2, . . . , n с моментами по-ступления rα

j , продолжительностями обслуживания pαj и директивными сроками dα

j .При этом минимизируется целевая функция Lα

max(π) = maxcαj (π)− dαj , где cαj (π) —

момент окончания обслуживания требования j ∈ Nα.

Теорема. Пусть πα и πβ — оптимальные расписания для примеров Iα и Iβ, соот-ветственно (pα

j = pβj ). Тогда справедливо

0 ≤ Lαmax(π

β)− Lαmax(π

α) ≤ ρ,

где ρ = maxj∈Nrα

j − rβj −min

j∈Nrα

j − rβj + max

j∈Ndα

j − dβj −min

j∈Ndα

j − dβj .

Предлагается следующая схема решения исходной проблемы 1 | rj | Lmax. Произ-вольный пример Iα путем изменения времен поступления и/или директивных сроковсводится к примеру Iβ, удовлетворяющему некоторому полиномиально разрешимомучастному случаю проблемы, выраженному линейными ограничениями. При этом ми-нимизируется величина ρ. В общем случае для этого надо решить задачу линейногопрограммирования.

Для некоторых известных полиномиально разрешимых случаев проблемы1 | rj | Lmax построены эффективные алгоритмы решения задачи линейного про-граммирования для минимизации абсолютной погрешности ρ при сведении примераIα к примеру Iβ. Таким образом, для произвольного примера Iα за полиномиаль-ное время мы находим расписание πβ с гарантированной абсолютной погрешностью,которая является минимальной в рамках рассмотренной схемы.

Лазарев Александр Алексеевич, Садыков Руслан Равильевич,Казанский государственный университет, кафедра экономической кибернетики,ул. Кремлевская, 18, г. Казань, 420008,тел. (8432) 31-54-53, факс (8432) 38-74-18, e-mail: [email protected]


СООТВЕТСТВИЕ ДВУХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕОРИИРАСПИСАНИЙ ИСХОДНЫМ УСЛОВИЯМ

О. А. Ляхов

Показано, что требование однократного обхода вершин является чрезмернымв формализации задачи коммивояжера относительно ее исходных формулировок.Ослабленное условие – “посетить каждый пункт не менее чем по одному разу” – непротиворечит большей части практических проблем, но способствует уменьшениюзначения критериальной функции. На примерах показано, что во многих практиче-ских задачах возможно улучшение “оптимального” решения. Определены условия,при которых решения задач в стандартной формулировке и с ослабленными услови-ями совпадают и различаются.

В сетевом планировании при оценке ресурсообеспеченности интервалы времениучета ресурсов и число ресурсных групп определяют степень агрегированности сете-вых моделей. Необходимость в решении практических задач заставляет укрупнятьмодели. В результате возникают ошибки учета ресурсов во времени. Показано, чтоошибки агрегирования – систематические. Они уменьшают оценки несбалансирован-ности ресурсов относительно их реальных величин. Расчеты на ЭВМ примеров изпрактики показали, что величина ошибок достаточно велика, чтобы их игнорирори-ровать в планировании. В экспериментах отмечены ситуации, когда улучшение сба-лансированности агрегированных планов одновременно ухудшает детализированноерасписание.

Ляхов Олег Алексеевич,Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,пр. Академика Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 34-10-66, факс (8-383-2) 34-37-83, e-mail: [email protected]


О ПОСТРОЕНИИ ЦИКЛИЧЕСКИХ РАСПИСАНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИОБРАБОТКИ ОДНОТИПНЫХ ДЕТАЛЕЙ

А. А. Романова, В. В. Сервах

Рассмотрим следующие задачи построения циклических расписаний. На произ-водственной линии, состоящей из M различных машин, необходимо обработать пар-тию однотипных деталей. Обработка каждой детали заключается в последователь-ном выполнении N операций. Операция i выполняется на машине Mi в течение pi

единиц времени (i = 1, 2, . . . , N). Возможно многократное использование некоторыхмашин в технологическом маршруте детали.

Обозначим t(i;n) – время начала выполнения i-ой операции n-ой детали. Распи-сание называется циклическим, если для любого i = 1, 2, . . . , N и для любого n ∈ N

выполняется t(i;n) = ti + (n − 1)C, где ti = t(i; 1) и C – время цикла (производи-тельность линии). В задаче необходимо построить циклическое расписание, то естьопределить ti для всех i. Циклическое расписание, кроме времени цикла, можно ха-рактеризовать временем F нахождения детали в системе и числом H одновременнообрабатываемых деталей за время цикла. Целесообразно рассматривать следующиезадачи: (1) C → min; (2) F → min при условии C ≤ C ′; (3) C → min при условииH ≤ H ′.

Задача (1) полиномиально разрешима, задачи (2) и (3) — NP -трудны в силь-ном смысле [1,2]. Но оптимальное решение задачи (1) может быть не рациональнос производственной точки зрения. В работе был построен класс задач, в которыхпри минимальном значении C значение F велико, а незначительное увеличение вре-мени цикла приводит к существенному сокращению F . В связи с этим необходимоминимизировать не только длину цикла, но и время нахождения детали в системе.Величины F , C и H связаны соотношением H = dF

Ce. Таким образом, в задаче (3)

одновременно учитываются F и C.В данной работе изучаются различные подходы к решению задач (2) и (3). Уста-

новлено, что для задачи (2) не существует FPTAS, если P 6= NP . Для задачи (3)при H ′ < n предложен алгоритм трудоемкости CH′−1

n−1 O(n), показывающий, что прификсированном H ′ задача полиномиально разрешима. При H ′ ≥ n задача такжеполиномиально разрешима.


1. R. Roundy. (1992) Cyclic schedules for job shops with identical jobs //Mathematics ofOperations Research. - 1992. - Vol. 17, N 4. p. 842–865.2. C. Hanen. (1994) Study of a NP-hard cyclic scheduling problem: The recurrent job-shop// European Journal of Operational Research. - 1994. - Vol. 72. p. 82-101.3. M. R. Gary, D. S. Johnson. (1978) “Strong” NP-completeness results: Motivation,examples, and implication. - Journal of the ACM 25, 1978. p. 499-508.

Романова Анна Анатольевна, Омский государственный университет,пр. Мира, 55а, Омск, 644077, Россия, тел. (8-381-2) 22-56-96, e-mail: [email protected]

Сервах Владимир Вицентьевич, Омский филиал института математикиим. С. Л. Соболева СО РАН, ул. Певцова, 13, Омск, 644099, Россия,тел. (8-381-2) 30-19-97, факс (8-381-2) 23-45-84, e-mail: [email protected]


ОБЩИЕ СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА РАСПИСАНИЙДОПУСКАЮЩИХ ПРЕРЫВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

С. В. Севастьянов

Понятие расписания, как нетрудно понять, является базовым в Теории Расписа-ний. Между тем, расписание, как ключевой объект наших исследований, не всегдаподдается не только эффективному нахождению, но даже описанию. Такая ситуациянаблюдается, в первую очередь, при рассмотрении задач, допускающих неограни-ченное число прерываний операций. Действительно, поскольку для задания такогорасписания необходимо задать информацию о каждом фрагменте каждой опера-ции, то в некоторых случаях число фрагментов операций в оптимальном расписа-нии может расти неполиномиально от длины записи входной информации (и значит,эффективного алгоритма решения такой задачи не существует по определению); вдругих случаях оптимальное расписание может потребовать бесконечного дробленияопераций (тогда задача алгоритмически неразрешима); и наконец, в третьих слу-чаях оптимального решения может не существовать вовсе — при том, что множестводопустимых решений непусто.

Между тем, очевидная исключительность задач с прерываниями в контексте про-чих задач зачастую игнорируется исследователями. Вопросы о существовании опти-мального расписания с конечным (либо полиномиальным) числом прерываний — каки существования оптимального расписания вообще — не ставятся при исследованииконкретных задач, а если и ставятся, то ответы на них, как правило, предполага-ются “очевидными” (но не всегда верными). Наше исследование нарушает эту тра-дицию. Впервые для очень широкого круга моделей (включающего большую частьизвестных в литературе моделей теории расписаний и календарного планированияс ограничениями на ресурсы и прерываниями операций) и для широкого набора це-левых функций (включающего все “классические” целевые функции) получены тео-ремы о существовании оптимального решения, о существовании решения с конеч-ным/полиномиально ограниченным числом прерываний, о рациональной структуреоптимального решения, о существовании решений с прерываниями в целых точках, ит.п. Построен ряд примеров, подтверждающих необходимость тех или иных свойствмоделей и целевых функций, используемых в формулировках теорем.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фунда-ментальных исследований (проект 02-01-00039).


1. Ph. Baptiste, J. Carlier, A. Kononov, M. Queyranne, S. Sevastianov, M. Sviridenko.Structural Properties of Preemptive Schedules. SIAM J. of Computing, submitted.

Севастьянов Сергей Васильевич,Институт математики им. С. Л. Соболева,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия;тел. (8-3832) 332189, e-mail: [email protected]


СВОЙСТВА ОПТИМАЛЬНЫХ РАСПИСАНИЙВ ЗАДАЧЕ ДЖОНСОНА С ПРЕРЫВАНИЯМИ

С. В. Севастьянов, Д. А. Тарасова, И. Д. Черных

Рассматривается трехмашинная задача Джонсона (или задача FLOW SHOP) наминимум длины расписания в двух постановках — с разрешением прерываний ибез прерывания операций. В общепринятой системе эти задачи обозначаются какF3|pmtn|Cmax и F3||Cmax соответственно. Исследуется соотношение между оптиму-мами этих задач, а также их отношение к стандартной нижней оценке C (равноймаксимуму из наибольшей машинной нагрузки и наибольшей длины работы) в худ-шем случае. Пусть S∗ обозначает оптимальное расписание для данного входа, а S∗∗

— оптимальное расписание с прерываниями. Если Cmax(S, I) обозначает длину рас-писания S для входа I, то

C(I) 6 Cmax(S∗∗, I) 6 Cmax(S

∗, I). (1)

Обозначим три функции от I, входящие в (1), через η0(I), η1(I) и η2(I) соответствен-но. Тогда соотношение между ними удобно описать с помощью функций

ρij(m)

.= sup

I∈Im

ηi(I)

ηj(I), 0 6 j < i 6 2,

где Im — множество входов задачи с m машинами. Основной результат работы (полу-ченный с использованием компьютерной программы) состоит в нахождении точногозначения ρ1

0(3) = 95, т.е. — в определении точного интервала локализации оптиму-

мов задачи Джонсона с прерываниями: Cmax(S∗∗) ∈ [C, 9

5C]. В совокупности с ранее

известными результатами это дает нам полную картину значений ρij(3). В качестве

побочного продукта получен алгоритм приближенного решения данной задачи с от-носительной погрешностью 9

5и линейной трудоемкостью. При этом строящееся ал-

горитмом расписание содержит не более одного прерывания.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фунда-ментальных исследований (коды проектов 02-01-00039, 02-01-01153).

Севастьянов Сергей Васильевич, Черных Илья Дмитриевич,Институт математики им. С. Л. Соболева,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия, тел. (8-3832) 332189,e-mail: [email protected], [email protected]

Тарасова Дарья Александровна,Новосибирский Государственный Университет,пр. Академика Коптюга, 2, Новосибирск, 630090, Россия


НЕКОТОРЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИМИНИМИЗАЦИИ МАКСИМАЛЬНОГО ВРЕМЕННОГО СМЕЩЕНИЯ

О. Н. Шульгина

Исследуется NP–трудная в сильном смысле задача теории расписаний — зада-ча минимизации максимального временного смещения. Для указанной задачи пред-ложены и обоснованы приближенный алгоритм решения и псевдополиномиальныйалгоритм решения NP–трудного частного случая.

Опишем сначала второй из алгоритмов. Пусть требования задачи можно пере-нумеровать одновременно по неубыванию моментов поступления и невозрастаниюдирективных сроков. Алгоритм решения этого частного случая заключается в сле-дующем. Первоначально отыскивается приближенное расписание со значением y це-левой функции задачи, отличающееся от оптимального значения на величину, непревышающую pmax = max

j∈Npj, где N – множество требований, pj – продолжитель-

ность обслуживания требования j ∈ N . Затем, уменьшая последовательно значе-ние y на единицу и строя на каждой итерации допустимое расписание со значе-нием целевой функции, не превышающим текущего значения y, не более, чем заpmax шагов отыскивается оптимальное расписание указанного NP–трудного частногослучая. Получена следующая псевдополиномиальная оценка трудоемкости алгори-та: O(n2

∑j∈N

pj +npmax

∑j∈N

pj), где n – количество требований. Процедуры построения

приближенного расписания, а также допустимых относительно y расписаний на каж-дом шаге описанного алгоритма предложены в [1,2].

На основе алгоритма решения частного случая разработан приближенный алго-ритм той же трудоемкости решения общего случая задачи. Для него теоретическиполучена оценка абсолютной погрешности по значению целевой функции. Идея при-ближенного метода заключается в следующем. Некоторым алгоритмом директивныесроки требований изменяются так, чтобы новые параметры требований удовлетво-ряли условиям приведенного выше частного случая. Далее применяется описанныйалгоритм решения частного случая. Полученное расписание является приближеннымрасписанием с минимальным значением верхней границы абсолютной погрешностиоптимального значения целевой функции на множестве оптимальных расписанийуказанного частного случая. Минимизация верхней границы абсолютной погрешно-сти обеспечивается алгоритмом изменения директивных сроков.


1. Шульгина О. Н. (2001) Процедура построения допустимого расписания для зада-чи минимизации максимального временного смещения// Исслед. по прикл. матем.– Выпуск 23. – Казань. – С. 150 – 158.2. Шульгина О. Н., Щербакова Н. К. (2003) Об одном приближенном алгоритме ре-шения NP–трудной задачи теории расписаний// Исслед. по прикл. матем. – Выпуск24. – Казань, – С. 147 – 159.

Шульгина Оксана Николаевна,Казанский государственный университет,ул. Кремлевская, 18, Казань, 420008, Татарстан, Россия,тел. (8-8432) 31-54-53, e-mail: [email protected]

Локальный поиск и метаэвристики 179

ГЕНЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМДЛЯ ДВУХУРОВНЕВОЙ ЗАДАЧИ О P -МЕДИАНЕ

Е. В. Алексеева, Ю. А. Кочетов, А. В. Плясунов

В работе рассматривается задача о p-медиане в двухуровневой постановке:

miny∑

i∈I

∑

j∈J

cijxij(y)|∑

i∈I

yi = p, yi ∈ 0, 1,

где xij(y)– оптимальное решение задачи:

minx∑

i∈I

∑

j∈J

dijxij|∑

i∈I

xij = 1, j ∈ J, 0 ≤ xij ≤ yi, i ∈ I, j ∈ J.

Если (cij) = (dij), то получаем классическую задачу о p-медиане. Таким образом,рассмотренная задача является не только NP-трудной в сильном смысле, но и оказы-вается в классе PLS-полных задач [1], если требуется найти локальный минимум поокрестности 1-замена. В работе показано, что допустимое решение задачи являетсялокально оптимальным относительно этой окрестности тогда и только тогда, когдаоно удовлетворяет необходимым условиям Куна-Таккера для соответствующей ли-нейной релаксации.

Для поиска глобального оптимума разработан генетический алгоритм, элемента-ми популяции которого являются локальные оптимумы по окрестности 1-замена. Ал-горитм использует стандартные операторы скрещивания, мутации и селекции, а так-же рандомизированный алгоритм локального спуска для получения новых локаль-ных оптимумов. На стадии улучшения элементов популяции применяется локальныйспуск по окрестности Лина-Кернигана [2], которая помогает исключить точки пере-гиба и найти лучшие решения на значительном расстоянии от текущего.

Для получения нижних оценок используется сведение исходной задачи к зада-че выбора оптимального набора строк пары матриц. Исследуются пять различныхпредставлений этой задачи в терминах целочисленного линейного программирова-ния. Они отличаются разрывом двойственности, что существенно влияет на времяработы метода ветвей и границ. Обсуждаются результаты численных экспериментов.Работа поддержана грантом РФФИ 03–01–00455.


1. M. Yannakakis. (1997) Computational complexity. E.Aarts and J.K. Lenstra (eds.) LocalSearch in Combinatorial Optimization, Chichester: Wiley, 1997. P. 19–55.2. Yu. Kochetov, E. Alexeeva. (2003) Large Neighborhood Search for the p-Median Problem.Proceedings SYM-OP-IS 2003, Herceg-Novi, Montenegro, 2003. P. 19–21.

Алексеева Екатерина Вячеславовна, Кочетов Юрий Андреевич,Плясунов Александр ВладимировичИнститут математики им. С. Л. Соболева СОРАН,пр. Академика Коптюга 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 33-20-86, факс (8-383-2) 33-25-98,e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

180 Локальный поиск и метаэвристики

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО УПОРЯДОЧЕНИЯ ДЛЯСРАВНЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ С ОДНИМ АЛГОРИТМОМ

СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА

П. А. Борисовский, А. В. Еремеев

В настоящей работе проводится сравнение алгоритма случайного поиска с пе-ресчетом при неудачном шаге [1], обозначаемого далее через (1+1)-EA, и вероят-ностных методов оптимизации из класса алгоритмов эволюционного типа. Сфор-мулированы достаточные условия, при которых (1+1)-EA не уступает эволюцион-ным алгоритмам в терминах функции распределения и математического ожиданиязначения целевой функции решения, полученного на заданной итерации, а также всреднем числе итераций до получения оптимума. Данные условия основаны на свой-стве доминирования вероятностных операторов построения пробных точек, котороеаналогично свойству стохастического доминирования (см., например, [2]).

С использованием условий доминирования могут быть обобщены некоторые ниж-ние оценки средней трудоемкости, известные для (1+1)-EA, на класс всех эволю-ционных алгоритмов, основанных на том же операторе построения пробных точек.Применение данного подхода иллюстрируется на примере обобщения нижней оценкисредней трудоемкости Ω(n2 lnn) [3] на соответствующий класс эволюционных алго-ритмов для одной задачи сортировки.


1. Растригин Л. А. (1968) Статистические методы поиска. М. Наука.2. Lindvall, T. (1992) Lectures on the coupling method. Wiley, New York.3. Scharnow, J., Tinnefeld, K., Wegener, I. The analysis of evolutionary algorithms onsorting and shortest paths problems. To appear in Journal of Mathematical Modelling andAlgorithms.

Борисовский Павел Александрович, Еремеев Антон Валентинович,Омский филиал института математики им. С. Л. Соболева СО РАН,Певцова, 13, Омск, 644099, Россия, тел. (3812) 23-67-39, факс (3812) 234584,e-mail: [email protected], [email protected]


ЗАДАЧИ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ УПАКОВКИ: ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТС МЕТАЭВРИСТИКОЙ МУРАВЬИНОЙ КОЛОНИИ И АЛГОРИТМОМ

ПАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

А. Ф. Валеева

Рассматриваются следующие задачи двухмерной упаковки:1). Упаковка конечного набора прямоугольников в полубесконечную полосу задан-ной ширины (1.5DBP). Требуется найти минимальную длину занятой части полосы.2). Упаковка конечного набора прямоугольников в листы заданного размера. Требу-ется найти минимальное количество листов.

Перечисленные задачи являются NP-трудными. Для их решения разработаны эв-ристические методы: метод Ant Colony Packing (ACP), основанный на метаэвристикемуравьиной колонии [1] и метод QSeq, использующий известный декодер Q-Sequence[2]. В статье приводятся результаты численных экспериментов, проводимые на те-стовых задачах из OR-Library [3]. При этом сравнивались методы ACP, QSeq и SP[4]. Лучший результат показал метод ACP.



1. Dorigo M., Di Caro G. ,Gambardella L.M. (1999) Ant Algorithms for Discrete Opti-mization // Artifical Life. 1999. Vol. 5. 3. pp. 137–172.2. Sakanushi K., Kajitani Y. (2000) The Quarter-State Sequence (Q-Sequence) to Repre-sent the Floorplant and Applications to Layout Optimization //Proc. of IEEE Asia PacificConference Circuits And Systems 2000, pp. 175-178.3. Beasley J. E. (1990) OR-Library:distributing test problems by electronic mail //Journalof the Operational Rsearch Society. 41. 1990. P. 1069-1072.4. Imahori S., Yaguira M., Ibaraki T. (2001) Local Search Heuristics for the RectanglePacking Problem With General Spatial Costs // MIC’2001-4th Metaheuristics Interna-tional conference. pp. 471-476.

Валеева Аида Фаритовна,Уфимский государственный авиационный технический университет,К. Маркса, 12, Уфа, 450000, Россия, тел. (8-3472)23-79-67,факс (8-3472)23-77-17, e-mail: [email protected]


ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯНЕВЫПУКЛЫХ ОРИЕНТИРОВАННЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПОЛОСЕ

М. А. Верхотуров, С. В. Петренко

В работе рассматривается решение следующей задачи: требуется в полубесконеч-ной прямоугольной области S0 шириной w разместить n плоских невыпуклых много-угольников S1, S2, ..., Sn, таким образом, чтобы длина занятой части области S0 быламинимальной. Предлагаемый подход к решению задачи основан на специфическойструктуре линейных неравенств [1] и идеологии активного набора [2]. Этот способрешения позволяет итерационно улучшать некоторое начальное приближение, в ре-зультате чего достигается локальный экстремум задачи. Данный метод используетневыпуклость допустимой области, что позволяет существенно уменьшить объем об-рабатываемых данных, и, следовательно, скорость работы алгоритма. Надежностьметода повышает то, что для нахождения годографов функции плотного размещения[3] используется только простой алгоритм для выпуклых многоугольников [4], дляэтого каждый из исходных невыпуклых многоугольников разбивается на множествовыпуклых.

Алгоритм решения состоит из трех этапов: 1) Разбиение невыпуклых многоуголь-ников на выпуклые. 2) Построение годографов (ф-функций) для пар выпуклых мно-гоугольников и области размещения и получение допустимой областиD в виде струк-туры неравенств. 3) Итерационный поиск локального экстремума на области D, за-данной в виде структуры неравенств.

На базе предложенных алгоритмов разработано программное обеспечение, тести-рование которого подтвердило получение планируемых результатов. В дальнейшемпредполагается дальнейшее совершенствование предложенного подхода, а также ис-пользование соответствующих алгоритмов в автоматизированной системе нерегуляр-ного раскроя NestCAD/CAM, разработанной при участии авторов.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант 01-01-00510.


1. Стоян Ю. Г., Яковлев С. В. (1986) Математические модели и оптимизационныеметоды геометрического проектирования. - Киев: Наук. Думка.2. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. (1985) Практическая оптимизация. - М.: Мир.3. Стоян Ю. Г. (1975) Размещение геометрических объектов. - Киев: Наук. Думка.4. Julia A. Bennell, Kathryn A. Dowsland, William B. Dowsland (2001) The irregularcutting-stock problem - a new procedure for deriving the no-fit polygon// ComputersOperations Research 28, P. 271–287.

Верхотуров Михаил Александрович, Петренко Семен Васильевич,Уфимский государственный авиационный технический университет,ул. К. Маркса, 12, 450000, Уфа, тел. (3472)-237967, факс (3472)-222918,e-mail: [email protected], p s v a [email protected]


ПОИСК С ЗАПРЕТАМИ С ОКРЕСТНОСТЬЮ ТИПА ЛИНА–КЕРНИГАНАДЛЯ МНОГОСТАДИЙНОЙ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ

Е. Н. Гончаров, Ю. А. Кочетов

Многостадийная задача размещения относится к числу NP-трудных в сильномсмысле задач дискретной оптимизации [1]. Она является обобщением простейшейзадачи размещения и легко переформулируется в виде задачи минимизации псевдо-булевых полиномов, двухуровневой задачи размещения или задачи выбора оптималь-ного набора строк пары матриц.

Для решения сформулированной задачи в работе предлагается алгоритм поиска сзапретами, использующий рандомизированный вариант окрестности Лина–Кернига-на [2]. Окрестность содержит заданное число упорядоченных элементов, каждый изкоторых является лучшим в рандомизированной окрестности Swap&Flip для пред-шествующего элемента. Новая окрестность сохраняет преимущества окрестностейSwap и Flip, в частности, малую трудоемкость поиска, обусловленную специализи-рованными структурами данных [3], и сглаживает их недостатки, связанные с ма-лым диаметром. Управляя рандомизацией и мощностью новой окрестности, удаетсяснизить погрешность при решении трудных примеров [4] и повысить частоту нахож-дения глобального оптимума при заданном числе итераций. Аналогичный подходможет быть использован при решении других задач дискретной оптимизации.

Работа поддержана грантами РФФИ 03–01–00455, 02–01–01153.


1. Гончаров Е. Н., Кочетов Ю. А. (2002) Вероятностный поиск с запретами длядискретных задач безусловной оптимизации // Дискретный анализ и исследованиеопераций, Серия 2, 9(2), 2002, 13-30.2. Yu. Kochetov, E. Alexeeva, (2003) Large neighborhood search for the p-median problem.Proceedings SYM-OP-IS 2003, Herceg-Novi, Montenegro, 2003. 19–21.3. Resende M. G. C., Werneck F. R., On the implementation of a swap-based local searchprocedure for the p-median problem, http://www.optimization-online.org/archive-digest/4. http://www.math.nsc.ru/AP/benchmarks/english.html

Гончаров Евгений Николаевич, Кочетов Юрий Андреевич,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 33-20-86, факс (8-383-2) 32-25-98,e-mail: [email protected], [email protected]


ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ АЛГОРИТМА СЛУЧАЙНОГО ПОИСКАС ОДНИМ И ДВУМЯ ШАГАМИ АДАПТАЦИИ

Е. Г. Данилов

В работе рассматривается эвристический алгоритм случайного глобального по-иска АДАПТ [1]. Как и большинство известных эвристических алгоритмов поиска[2], он использует гипотезу, что в природе чаще встречаются функции, у которыхлучшие значения целевой функции лежат ближе к оптимальному, нежели плохиезначения.

Алгоритм АДАПТ хорошо работает на сложных задачах, встречающихся на прак-тике, что говорит о справедливости используемой гипотезы. Однако вопрос о том,почему алгоритм работает, и какие свойства функции в наибольшей степени влияютна поведение алгоритма, остается открытым.

Работа посвящена исследованию данного вопроса. В частности, рассматриваютсяслучаи, когда алгоритм использует 1 или 2 шага адаптации. То есть алгоритм после-довательно проводит 2 или 3 серии экспериментов, каждая их которых планируетсясогласно полученной в предыдущих сериях экспериментов информации. В этом слу-чае удается оценить, насколько задача сложна для оптимизации таким алгоритмом,и выделить свойства задачи, влияющие на результат. Так же приводятся результатычисленных экспериментов для ряда тестовых примеров.


1. Г. С. Лбов, Н. Г. Старцева (1999) Логические решающие функции и вопросы ста-тистической устойчивости решений - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики.2. V. J. Rayward-Smith, I. H. Osman, C. R. Reeves, G. D. Smith (1996) Modern heuristicsearch methods - Whiley & Sons

Данилов Евгений Геннадьевич,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. 8-913-901-2254, e-mail: [email protected]


СОВМЕСТНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ ПОВТОРЯЮЩЕГОСЯФРАГМЕНТА В ЗАШУМЛЕННОЙ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ПРИ ЗАДАННОМ ЧИСЛЕ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ ПОВТОРОВ

А. В. Кельманов, С. А. Хамидуллин, М. А. Кельманова

Рассматривается задача совместного обнаружения (поиска) и оценивания (восста-новления) повторяющегося фрагмента в зашумленной числовой последовательности.On-line подход к решению данной задачи традиционен и широко применяется в при-ложениях, связанных с обработкой и распознаванием сигналов. В работе исследуетсяальтернативный – off-line – подход. Анализируется случай заданного числа квазипе-риодических повторов.

Решение задачи, основанное на принципе максимального правдоподобия, приво-дит к минимизации суммы S(n1, . . . , nM , u0, . . . , uq−1) =

∑bn=ayn−

∑Mm=1 un−nm

2, гдеuj = 0, j 6= 0, . . . , q − 1, 0 <

∑q−1j=0 u

2j < ∞, 0 <

∑bn=a y

2n < ∞, при краевых условиях

1) a ≤ n1 ≤ a+ ≤ b, 2) a ≤ b− ≤ nM ≤ b и условии квазипериодичности повторов3) 0 < q ≤ Tmin ≤ nm − nm−1 ≤ Tmax, m = 2, . . . ,M ; здесь a, a+, b, b−, Tmin, Tmax и q– целые числа, M – число повторов, yn, n = a, . . . , b, – наблюдаемая последователь-ность.

Оптимальный вектор (û0, . . . , ûq−1) – искомый фрагмент – находится по правилуûk = (1/M)

∑Mi=1 yni+k, k = 0, . . . , q − 1, которое устанавливается аналитически. По-

иск оптимального набора (n1, . . . , nM ) сводится к задаче на максимум целевой функ-ции F (n1, . . . , nM) =

∑Mi=1

∑Mj=1 f(ni, nj), где f(ni, nj) =

∑q−1k=0 yni+kynj+k. Какие-либо

полиномиальные алгоритмы решения этой задачи с оценками их точности в насто-ящее время не известны. Поэтому решение задачи находится в два этапа: 1) поискначального приближения, 2) покоординатное улучшение приближения. Начальноеприближение определяется в результате решения вспомогательной задачи на мак-симум сепарабельной функции G(n1, . . . , nM ) =

∑Mi=1 f(ni, ni). Содержательно эта

задача связана с разложением F = G +∑

i6=j f(ni, nj) и состоит в оптимальном раз-биении числовой последовательности на M участков, каждый из которых включаетровно один фрагмент. Для алгоритма решения этой задачи получены рекуррент-ные формулы, учитывающие специфику ограничений и гарантирующие отысканиеглобального экстремума за время O[M(Tmax − Tmin + 1)(b − a + 1)] при затратах попамяти O[M(b − a + 1)], где b − a + 1 – длина последовательности. Число итерацийна втором этапе ограничено величиной b− a+ 1, а затраты по памяти есть величинаO[(b− a+ 1)2]. Поэтому временная сложность двухэтапного алгоритма изменяется винтервале от O(b− a+ 1) до O[(b− a+ 1)3] при емкостной сложности O[(b− a+ 1)2].Приведены результаты численного моделирования, иллюстрирующие среднеквадра-тическую сходимость оценок фрагмента.Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 03-01-00036.

Кельманов Александр Васильевич, Хамидуллин Сергей Асгадуллович,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел.: (8-383-2) 333-291, факс: (8-383-2) 322-598, e-mail: kelm, [email protected]Кельманова Мария Александровна, Новосибирский государственный университет,ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090, Россия


ЛОКАЛЬНЫЙ ПОИСК В ЗАДАЧЕ О P–МЕДИАНЕ

Ю. А. Кочетов, М. Г. Пащенко, А. В. Плясунов

Для задачи о p–медиане исследуется сложность нахождения локального миниму-ма: для заданной окрестности и произвольного входа найти локально оптимальноерешение. Рассматривались окрестности: Swap, LKSwap, FM −Swap, FM [1], LK1

Swap

и m − Swap. Окрестность LK1Swap получена из окрестности LKSwap по аналогии с

окрестностью FM − Swap, а m− Swap получена из окрестности m− Flip [2].Установлено, что задача о p–медиане является PLS–полной с любой из рассмат-

риваемых окрестностей. Это означает, что существование полиномиального алгорит-ма для нахождения локального минимума хотя бы для одной из этих окрестностей,приводит к полиномиальной разрешимости всех задач из класса PLS [1]. Заметим,что до сих пор неизвестно ни одного полиномиального алгоритма для решения PLS–полных задач.

Показано, что в худшем случае локальный минимум относительно любой поли-номиально проверяемой окрестности может быть хуже глобального минимума в про-извольное число раз.

Под стандартным алгоритмом локального спуска (LD) понимают итеративнуюпроцедуру, которая начинает работу с произвольного допустимого решения. Шагсостоит в переходе от текущего решения к соседнему с лучшим значением целевойфункции. Процедура заканчивает свою работу в локальном минимуме относительнозаданной окрестности.

Для алгоритма LD получены следующие результаты.1. С каждой из выше перечисленных окрестностей алгоритм в худшем случае тре-

бует экспоненциального числа шагов для нахождения локального минимума задачио p-медиане при любом выборе направления спуска.

2. Получен пример исходных данных, в котором алгоритм c окрестностями LK1Swap

и FM − Swap совершает экспоненциальное число шагов.3. Для любой из выше перечисленных окрестностей следующая задача является

PSPACE-полной: для заданного входа и произвольного начального решения найтилокальной минимум, который может быть получен алгоритмом LD.Работа поддержана грантом РФФИ 03–01–00455.


1. M. Yannakakis, (1997) Computational complexity. E. Aarts and J. K. Lenstra (eds.)Local Search in Combinatorial Optimization, Chichester: Wiley, P. 19–55.2. T. Vredeveld, J. K. Lenstra (2003) On local search for the generalized graph coloringproblem //Oper. Res. Letters. V. 31, N. 4. P. 28–34.

Кочетов Юрий Андреевич, Плясунов Александр Владимирович,Пащенко Михаил Георгиевич,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россиятел. (8-383-2) 33-20-86, факс (8-383-2) 32-25-98,e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]


АЛГОРИТМ ИМИТАЦИИ ОТЖИГА ДЛЯ ЗАДАЧПРЯМОУГОЛЬНОЙ УПАКОВКИ

Ю. А. Кочетов, А. С. Руднев

В задачах прямоугольной упаковки заданы n предметов прямоугольной формы.Каждый предмет имеет свою длину и ширину. Требуется уложить предметы на плос-кости без пересечений так, чтобы значение некоторой целевой функции достигаломинимального значения. В качестве целевой функции могут рассматриваться пло-щадь окаймляющего прямоугольника, длина занимаемой полосы заданной ширины,суммарная длина взаимных связей и др. Предполагается, что стороны прямоуголь-ников параллельны осям координат. Повороты предметов не допускаются.

При решении задач указанного класса важную роль играет кодировка упаковок.На сегодняшний день известно более десяти различных кодировок [1,2]. В даннойработе исследовались возможности O-Tree кодировки, имеющей линейную трудоем-кость декодирования [3]. Эта кодировка использовалась в стандартной схеме имита-ции отжига. Целью экспериментальных исследований являлась оценка влияния раз-личных процедур уплотнения и локального спуска на относительную погрешностьи время работы алгоритма. Разработана новая процедура упаковки прямоугольни-ков, аналогичная процедуре построения T -поздних расписаний в календарном пла-нировании. Она приводит к значительному сокращению погрешности, имеет малуютрудоемкость и позволяет получать рекордные решения на известных тестовых при-мерах.Работа поддержана грантом РФФИ 03–01–00455.


1. Мухачева Э. А. (2002) Обзор и перспективы развития комбинаторных методоврешения задач раскроя и упаковки // Российская конференция “Дискретный анализи исследование операций” Материалы конференции (Новосибирск 24–28 июня 2002).Новосибирск. Изд-во Ин-та математики, С. 80–87.2. Lin J.-M., Chang Y.-W., (2002) TCG-S: Orthogonal Coupling of P*-admissible Repre-sentations for General Floorplans, in Proc. of ACM/IEEE Design Automation Conference(DAC-2002), New Orlean, LA.(http://cc.ee.ntu.edu.tw/∼ywchang/publications.html)3. Guo P.-N., Cheng C.-K., Yoshimura T. (1999) An O-Tree representation of non-slicingfloorplan and its application // Proc. DAC. 1999. P. 268–273.

Кочетов Юрий Андреевич, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 33-20-86, факс (8-383-2) 32-25-98, e-mail: [email protected],

Руднев Антон Сергеевич, Новосибирский государственный университет,ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090, Россия


ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АДАПТИВНЫЙ ПОИСКДЛЯ ЗАДАЧИ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ

С ОГРАНИЧЕННЫМИ РЕСУРСАМИ

Ю. А. Кочетов, А. А. Столяр

В работе рассматривается известная NP–трудная задача календарного планиро-вания с ограниченными ресурсами. Для ее решения предлагается эвристический ал-горитм, основанный на идеях вероятностных жадных методов. Решение строитсяшаг за шагом, на каждом из которых выбор очередной работы осуществляется всоответствии с оптимальным решением вспомогательной задачи на узкое место. Кполученному решению применяется процедура встречного прохода, основанная наитеративном переходе от активного расписания к T-позднему и обратно [1]. На за-вершающей стадии используется процедура локального спуска по трем окрестностямлинейной и квадратичной мощности.

Численные эксперименты проводились на примерах из электронной библиотекиPSPLib [2]. Интересным свойством метода является то, что решения, полученныепроцедурой встречного прохода, часто оказываются локальными оптимумами отно-сительно рассматриваемых окрестностей. Получены доверительные интервалы длявероятности получения локального оптимума, а также для вероятности получениярешения, содержащего таковые в своей окрестности. Они позволяют найти оптималь-ный баланс между числом итераций алгоритма и числом шагов локального спуска.Обсуждаются направления дальнейших исследований.

Работа поддержана грантом РФФИ 03–01–00455.


1. Кочетов Ю. А., Столяр А. А. Использование чередующихся окрестностей дляприближенного решения задачи календарного планирования с ограниченными ресур-сами // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 2. 2003. Т. 10, 2. С. 29–55.2. Kolisch R., Schwindt C., Sprecher A. Benchmark instances for project scheduling prob-lems // Project Scheduling. Recent Models, Algorithms and Applications. Boston: KluwerAcad. Publ., 1999. P. 197–212.

Кочетов Юрий Андреевич, Столяр Артём АлександровичИнститут математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 33-20-86, факс (8-383-2) 32-25-98,e-mail: [email protected], [email protected]


АЛГОРИТМ МУРАВЬИНОЙ КОЛОНИИ ДЛЯ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯПРЕДПРИЯТИЙ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА МОЩНОСТИ ПРОИЗВОДСТВА

Т. В. Леванова, М. А. Лореш

Рассматривается задача размещения с ограничениями на объемы производства вследующей целочисленной постановке:

F (z, x) =∑i∈I

cizi +∑i∈I

∑j∈J

tijxij → min∑i∈I

xij = 1, j ∈ J,∑j∈J

pijxij ≤ Vizi, i ∈ I,

zi, xij ∈ 0, 1, i ∈ I, j ∈ J.

Здесь I, J – множества предприятий и потребителей некоторого продукта, ci – про-изводственные затраты для i-го предприятия, tij – затраты на транспортировку про-дукта из i в j, pij – потребность клиента j в продукте предприятия i, Vi – мощностьпредприятия i. Переменная zi равна 1, если предприятие i открыто, 0 – в противномслучае; xij равна 1, если предприятие i обслуживает клиента j, иначе xij = 0. Хорошоизвестна постановка, в которой потребности pij клиента j одинаковы для каждогопредприятия i. Обзор результатов для такого случая можно найти в [1].

В данной работе для решения рассматриваемой задачи предлагается вариант ал-горитма муравьиной колонии. Искусственный муравей, двигаясь от клиента к клиен-ту, назначает каждому потребителю j ровно одно предприятие i согласно некоторомувероятностному закону. Если перевозка xij выбрана, то соответствующее предприя-тие считается открытым (zi = 1), и вероятность того, что оно будет использоватьсядля обслуживания оставшихся клиентов, повышается. Статистическая информация,накопленная искусственными муравьями на предыдущих итерациях, влияет на ве-роятность выбора той или иной перевозки xij в соответствии с [2].

Приводятся результаты экспериментальных исследований предложенного алго-ритма на задачах различной размерности и структуры из электронных библиотек(http://mscmga.ms.ic.ac.uk/info.html, www.math.nsc.ru/AP/benchmarks). На рассмот-ренных задачах алгоритм показал небольшие отклонения от известных рекордов. Вчастности, на примерах из библиотеки OR-Library алгоритмом достигнута относи-тельная погрешность порядка 1%.

Работа поддержана грантом РГНФ (проект 04-02-00238а).


1. R. Sridharan. (1995) The capacitated plant location problem. // European Journal ofOperational Research. 1995. V87. P. 203–213.2. W. J. Gutjahr. (2003) A Converging ACO Algorithms for Stochastic CombinatorialOptimization. Proc. SAGA 2003, Springer LNCS 2827. P. 10–25.

Леванова Татьяна Валентиновна, ОФИМ СО РАНул. Певцова, 13, Омск, 644099, Россия, тел. (8-381-2) 23-67-39,факс (8-381-2) 23-45-84, e-mail: [email protected]

Лореш Максим Андреевич, Омский государственный университет,пр. Мира, 55-а, Омск, 644077, Россия, тел. (8-381-2) 64-42-38, e-mail: [email protected]


REFORMULATION SEARCH APPLIED TO CIRCLE PACKING PROBLEMS

Nenad Mladenovic, Frank Plastria, Dragan Urosevic

Several years ago classical Euclidean geometry problems of densest packing of circlesin the plane have been formulated as nonconvex optimization problems, allowing to findheuristic solutions by using any available NLP solver. In this paper we try to improve thisprocedure. The faster NLP solvers use first order information only, so stop in a stationarypoint. A simple switch from Cartesian coordinates to polar or vice versa, may destroythis stationarity and allow the solver to descend further. Such formulation switches mayof course be iterated. For densest packing of equal circles into a unit circle, this simplefeature turns out to yield results close to the best known, while beating second ordermethods by a time-factor well over 100.

This technique is formalized as a general Reformulation Descent (RD) heuristic, whichiterates among several formulations of the same problem until local searches obtain nofurther improvement. We also briefly discuss how RD might be used within other meta-heuristic schemes.

Nenad Mladenovic,Mathematical Institute, Serbian Academy of Sciences,Knez Mihajlova 35, 11000 Belgrade, Serbia and Montenegro,fax.(381-11) 186-105, e-mail: [email protected]

Frank Plastria,Vrije Universiteit Brussel, Pleinlaan 2, B-1050 Brussel, Belgium,e-mail: [email protected]

Dragan Urosevic,Mathematical Institute Serbian Academy of Sciences,Knez Mihajlova 35, 11000 Belgrade, Serbia and Montenegro,e-mail: [email protected]


ПРИМЕНЕНИЕ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА С РАЗЛИЧНЫМИДЕКОДЕРАМИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ УПАКОВКИ

Э. А. Мухачева, А. С. Мухачева, М. А. Смагин

В качестве основной рассматривается задача ортогональной упаковки прямоуголь-ников в полубесконечную полосу (1.5Dimensional Bin Paking, 1.5DBP). Для ее реше-ния применяется классический генетический алгоритм с родным декодером усовер-шенствованный нижний левый [1]. Кроме того генетический алгоритм испытывалсяс другими декодерами: блочный, BD; замещения, Sub; замещения с перестройкойSubRec [2]; парных последовательностей SP [3]. Испытания проводились на различ-ных информационных областях, построенных с помощью генератора P. Schwerin &G. Waescher [4]. В докладе приведены краткие характеристики и иллюстрации деко-деров. Результаты экспериментов сведены в таблицы. Основным показателем эффек-тивности декодера являются коэффициент раскроя CC, равный отношению полез-ной площади ко всей затраченной площади полосы. Лучшие результаты продемон-стрировали декодеры BD и усовершенствованный Sub. Аналогичный экспериментпроведен с расширенным списком декодеров для некоторых задач из OR-Library.

Работа поддержана РФФИ (проект 01-01-00510), фондом Президента РФ (проект МК 145.2003.01).


1. Liu D., Teng H. (1999) An improved BL-algorithm for genetic algorithm of the orthogonalpacking of rectangles. // European Journal of Operation Research. 1999. 112. P. 413–420.2. Мухачева Э. А., Мухачева А. С. (2004) Задача прямоугольной упаковки: методылокального поиска оптимума на базе блочных структур // Автоматика и телемеха-ника. Наука. 2004. 2. С. 101-112.3. Imahori S., Yaguira M., Ibaraki T. (2001) Local Search Heuristics for the RectanglePacking Problem with General Spatial Costs // MIC’2001-4th Metaheuristics Internationalconference. P.471-476.4. Schwerin P., Waescher G. (1997) The Bin-Packing Problem: a Problem Generator andSome Numerical Experiments with FFD Packing and MTP // International Transactionsin Operational Research. 1997. Vol.4. P.337-389.

Мухачева Элита Александровна, Мухачева Анна Сергеевна,Смагин Михаил Анатольевич,Уфимский государственный авиационный технический университет,К. Маркса, 12, Уфа, 450000, Россия, тел. (8-3472)23-79-67, факс (8-3472)23-77-17,e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]


РЕАЛИЗАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМАДЛЯ ЗАДАЧИ ШТЕЙНЕРА НА БОЛЬШИХ РАЗРЕЖЕННЫХ ГРАФАХ

А. В. Панюков, Е. Б. Полуэктова

Для решения задачи Штейнера на больших разреженных графах представляет-ся разумным топологический подход [1], заключающийся в поиске топологии оп-тимальной сети (бинарного дерева T , листьями которого являются все нетерми-нальные вершины и только они). В работе [2] предложен способ применения гене-тических алгоритмов для поиска топологии оптимальной сети Штейнера. В каче-стве оценки приспособляемости используется стоимость T -оптимальной сети. Ана-логом хромосомы – представление топологии T в виде кода Прюфера, т.е. цепочкиA = a1, a2, . . . , a2|Q|−4 из меток неразмещенных точек ветвления топологии T (ге-нов), в которой ai – метка вершины, являющейся предком вершины с меткой i. Приэтом терминальные вершины имеют постоянные метки 1, 2, . . . , |Q|, а метки точекветвления – попарно различные числа множества |Q|+ 1, |Q|+ 2, . . . , 2|Q| − 2.

С целью получения эффективной программной реализации операторов кроссове-ра и мутации, представленных в докладе, на используемый код A налагается допол-нительное требованию монотоннсти:

(∀i ∈ 1, 2, . . . 2|Q| − 4) (∀b ∈ |Q|+ 1, . . . ai − 1) (∃j ∈ 1, 2, . . . i− 1 : aj = b).

Отметим, что требование монотонности фактически определяет нумерацию вершин,соответствующую концевому порядку обхода дерева T , используемому алгоритмомT -оптимизации [1].

Одноточечный оператор скрещивания хромосом A и B дает следующий алгоритм.Случайным образом выберем индекс разрыва k ∈ [1, 2, . . . , 2|Q| − 5]. Родительскиехромосомы A(t), B(t) разобьем на две части по значению индекса k. Два генотипапотомков A(t+ 1) и B(t+ 1) получим путем присоединения к первой части хромосо-мы одного из родителей второй части хромосомы другого родителя. Окончательнохромосомы потомков A(t+1) и B(t+1) получаем после коррекции A(t+1) и B(t+1),состоящей в восстановлении свойств парности и монотонности.

В качестве оператора мутации может быть рассмотрена произвольная переста-новка элементов (генов) в хромосоме. В результате данной операции будет полученацепочка, содержащая метки точек ветвления по два раза каждую, как и у потом-ка. Остается только изменить нумерацию точек ветвления, чтобы полученный кодудовлетворял условию монотоннсти.


1. Панюков А. В., Пельцвергер Б. В., Шафир А. Ю. (1990) Оптимальное размещениеточек ветвления транспортной сети на цифровой модели местности // Автома-тика и телемеханика. - N 9. - 1990. - С. 153-162.3. Полуэктова Е. Б. (2003) Способ применения генетических алгоритмов для зада-чи Штейнера на графе // Информационный бюллетень ассоциации математическо-го программирования 10. Научное издание. - Екатеринбург: УрО РАН. - 2003. -С. 202-203.Панюков Анатолий Васильевич, Полуэктова Елена БорисовнаЮжно-Уральский гос. университет, пр. Ленина, 76, 454080, Челябинск, Россия,тел. (3512) 67-90-47, факс (3512) 67-90-47, e-mail: [email protected]


LOWER AND UPPER BOUNDS FOR THE BILEVEL LOCATION PROBLEMWITH USER PREFERENCES

P. Hansen, Yu. Kochetov, N. Mladenovic

We consider the bilevel uncapacitated facility location problem with user preferences.It is known that this model may be reformulated as a single level location problem withsome additional constraints [1]. In this paper we introduce a new reformulation and showthat this reformulation dominates three previous ones from the point of view of theirlinear programming relaxations and may be worse than a reduction to the row selectionproblem for pairs of matrices [2]. However, this last reduction requires many additionalvariables and constraints. Computational experiments on random data instances [3] showthat the new reformulation allows to find an optimal solution of the bilevel locationproblem considered faster than all previous approaches. In order to get upper bound wedevelop a variable neigborhood search algorithm. It uses flip and swap neighborhoods atthe local improvement phase and Resende–Werneck technique to accelerate the search inthe neighborhoods. Computational results and futher research directions are discussed.The research of Yu. Kochetov is supported by RFBR grant 03–01–00455.

REFERENCES

1. Gorbachevskaya L. E.: (1998) Polynomially solvable and NP-hard bilevel standardizationproblems, Ph.D. Thesis, Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, 1998 (in Russian).2. Beresnev V. L. (1979) Algorithms for minimization of polynomials in Boolean variables.Problemy Kibernetiki 36 (1979), P. 225-246 (in Russian).3. Barahona F., Chudak F.: (2000) Solving large scale uncapacitated facility location prob-lems. P. Pardalos (ed.) Approximation and complexity in numerical optimization. KluwerAcademic Publishers, Norwell, MA.

Pierre Hansen and Nenad Mladenovic,GERAD and Department of Quantitative Methods in Management,HEC Montreal, Canada, phone: (1-514) 340-6052,fax: (1-514) 340-5665, e-mail: [email protected], [email protected]

Kochetov Yuri, Sobolev Institute of Mathematics,pr. Akademika Koptyuga, 4, 630090, Novosibirsk, Russia,phone: (8-383-2) 33-20-86, fax: (8-383-2) 32-25-98, e-mail: [email protected]

194 Математическая экономика

УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ИНДЕКСОВ ЦЕНВ УСЛОВИЯХ ЦЕНОВОГО ХАОСА

Н. И. Айзенберг, В. И. Зоркальцев, З. В. Солонина

Индексы цен приобретают особо важное значение в периоды бурной инфляции,сопровождающиеся хаосом цен. В работе рассматривается ряд методов расчета ин-дексов, оценивается пригодность их использования в условиях небольшого, среднегои значительного ценового хаоса.

В качестве исходных данных взяты цены на набор продуктов питания в Иркутскес января по октябрь 1992 г. Объемы потребления моделируются в рамках аналити-ческой концепции индексологии при предположении о их зависимости от цены сзаданной эластичностью.

На первом этапе эксперимента тестирование методов осуществляется при расчетеиндексов в “детерминированных” условиях по исходным данным. На втором этапе вданные о ценах и объемах вводятся случайные колебания (начальные цены и объемыдомножаются на случайную величину, распределенную по логнормальному закону).Качественные характеристики методов расчета индексов определяются исходя из на-бора требований: транзитивности, обратимости во времени, о среднем значении. Наи-лучшими считаются индексы, имеющие наименьшее отклонение от аналитическогоиндекса, дающие наименьшие смещения по набору требований, наиболее устойчивыек росту колебаний цен и объемов. В результате было установлено, что увеличениеинтенсивности случайных колебаний цен и объемов ведет к снижению точности ин-дексов цен. Были определены методы расчета индексов, которые предпочтительноиспользовать в условиях нестабильной экономикиРабота выполнена при финансовой поддержке РГНФ 03-02-00171а.


1. Зоркальцев В. И. (1996) Индексы цен и инфляционные процессы. - Новосибирск:Наука, 279с.2. Айзенберг Н. И. (2001) Выбор метода расчета индекса цен на основе рыночныхмоделей // Труды XII Байкальской международной конференции (том 3, Математи-ческая экономика). - Иркутск: изд-во ИСЭМ СО РАН, с. 126-132.3. Айзенберг Н. И., Солонина З.В. (2004) Устойчивость методов расчета индексовцен в условиях ценового хаоса. - Иркутск: препринт ИСЭМ СО РАН, в печати.

Айзенберг Наталья Ильинична, Зоркальцев Валерий Иванович,Солонина Зоя Валерьевна,ИСЭМ СО РАН, ул. Лермонтова, 130, Иркутск, 664033, Россия,тел. (8-395-2) 42-97-64, факс (8-395-2) 42-67-96,e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Математическая экономика 195

RETAILER’S MOTIVATION IN MARKETING

I. A. Bykadorov, A. Ellero, E. Moretti

The sales increasing role of communication has been largely explored by means ofdynamic and optimal control models. In [1] Nerlove and Arrow take explicitly into accountthe role of the goodwill of a firm: their main idea is that the firm can pay for advertisingthus increasing goodwill, and a higher goodwill means higher sales’ level.

We consider explicitly the structure of the distribution channel. The manufacturerdoes not sell directly to the consumer but to a retailer in a vertical channel [2]. We focuson the concept of retailer’s sale motivation. By means of a wholesale price discount themanufacturer produces a promotional effort that has a double positive effect on sales. Afirst effect is direct and due to the fact that a part of the wholesale price discount will betransferred to the final selling price. The second effect is indirect, a higher price discountincreases the retailer’s sale motivation and, of course, this improves sales.

The model is formulated (cf. [3]) as an optimal control problem in which the manu-facturer’s control is exactly the discount on wholesale price (trade discount). Numericalexamples are given. Some economical interpretation of the main results and some sugges-tions for future research are provided.

This research has been supported by Universita Ca’ Foscari di Venezia, RFBR (grantno.03-01-00877), the Council for Grants (under RF President) and State Aid of Funda-mental Science Schools (grant no. NSh-80.2003.6).

REFERENCES

1. M. Nerlove, K. J. Arrow (1962) Optimal advertising policy under dynamic condition.Economica 29, 129-142.2. J. Tirole (1990) The Theory of Industrial Organization. 4th Edition. The MIT Press,Cambridge, Massachusetts.3. I. Bykadorov, A. Ellero, E. Moretti (2004) Optimal control of retailer’s motivation bytrade discounts. Report n.119/2004, Dipartimento di Matematica Applicata, UniversitaCa’Foscari di Venezia.

Bykadorov Igor Alexandrovich, Sobolev Institute of Mathematics,pr. Akademika Koptyuga, 4, Novosibirsk, 630090, Russia,phone: (007-3832) 33-00-94, fax: (007-3832) 33-25-98,e-mail: [email protected]

Ellero Andrea, Moretti Elena, Universita Ca’Foscari di Venezia,Dorsoduro 3825/e, Venezia, 30123, Italy,phone: (039) 041-234-6930, fax: (039) 041-522-1756,e-mail: [email protected] [email protected]


О ФАСЕТАХ МНОГОГРАННИКА ВЕБЕРАВ. А. Васильев

Многогранник Вебера представляет собой совокупность d-распределений, исполь-зуемых для параметризации так называемых вероятностных значений кооператив-ных игр n лиц с побочными платежами (см. [1 - 3]). Этот многогранник, обозначае-мый далее через Pn

W , находит широкое применение при исследовании таких извест-ных решений теории игр, как ядро, множество Вебера и взвешенные значения Ше-пли [2,3]. Поэтому изучение комбинаторных свойств многогранника Pn

W (имеющихзначительный самостоятельный интерес) является важным направлением анализаразличных механизмов формирования дележей в условиях кооперации.

Настоящий доклад посвящен исследованию некоторых вопросов граневого стро-ения многогранника Вебера. Основной результат состоит в полной характеризациифасет (собственных граней максимальной размерности) этого многогранника. Су-щественную роль в получении указанной характеризации играет описание крайнихточек (граней минимальной размерности) многогранника Pn

W , найденное в [3].Для формулировки основного результата введем в рассмотрение множество Pn

H ,элементы которого называются d-распределениями Харшаньи:

PnH = [pT ]T∈C | pT

i ≥ 0, i ∈ T, pTj = 0, j ∈ N \ T и

∑

i∈T

pTi = 1 при каждом T ∈ C,

где N = 1, . . . , n, C = S ⊆ N | S 6= ∅. Как вытекает из определения, множествоPn

H является декартовым произведением∏

T∈C ∆T граней ∆T = pT ∈ RN+ |∑

i∈T pTi =

1, pTj = 0, j ∈ N \ T симплекса ∆ = ∆N = p ∈ RN

+ |∑

i∈N pi = 1.Для каждого i ∈ N положим Ci = S ∈ C | i ∈ S.

Определение [3]. Множество

PnW = [pT ]T∈C ∈ Pn

H |∑

S⊆N\T(−1)|S|pS∪T

i ≥ 0 для каждого i ∈ N и T ∈ Ci

называется многогранником Вебера.Теорема. Многогранник Вебера Pn

W имеет 2n(2n−2−1) фасет, каждая из которыхпредставима в виде

F Ti = p ∈ Pn

W |∑

S⊆N\T(−1)|S|pS∪T

i = 0,

где i – некоторый элемент из N, а T – подмножество из Ci такое, что 2 ≤ |T | ≤ n− 1.Работа поддержана грантом РГНФ 02-02-00189а и грантом Президента НШ 80.2003.6


1. Weber R. J. (1998) Probabilistic values for games // The Shapley value. Cambridge:Cambridge Univ. Press, P. 101–119.2. Васильев В. А. (1988) Характеризация ядер и обобщенных НМ-решений для неко-торых классов кооперативных игр // Модели и методы оптимизации. Новосибирск:Изд-во Ин-та математики, 1988. С. 63–89. (Тр. /РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математи-ки; Т. 10).3. Васильев В. А. (2003) Крайние точки многогранника Вебера // Дискрет. анализ иисслед. операций. Сер.1. 2003. Т.10, 2. С. 17–55.Васильев Валерий Александрович, ИМ СО РАН,пр. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел.(3832)33-00-94, факс (3832)33-25-98, e-mail:[email protected]


К ВОПРОСУ О ФОРМАЛИЗАЦИИ АКСИОМАТИЧЕСКОГО АППАРАТАТЕОРИИ ОБЩЕСТВЕННОГО ВЫБОРА

С. А. Васильев, А. С. Жанаева

Используемые в теории общественного выбора предпочтения характеризуютсятолько своей направленностью и не имеют количественных характеристик. В то жевремя на практике часто используются выборные правила, в которых индивидуаль-ные и общественные предпочтения имеют количественные, числовые значения. По-добные правила применяются, например, для ранжирования участников спортивныхсоревнований в таких дисциплинах, как фигурное катание, гимнастика, прыжки в во-ду и т.п. Учет количественных характеристик предпочтений (масштабирование) тре-бует изменения формального аппарата аксиоматики теории общественного выбора.Формальная запись предпочтения альтернативы a по отношению к b будет выглядетькак c(a)−c(b), где c(a), c(b) – численные отображения индивидуальных предпочтенийна некую шкалу, определяемую выборным правилом. Формализация условия полно-ты, аксиом единогласия, транзитивности, анонимности для таких предпочтений неимеет принципиальных отличий от обычных предпочтений. Однако формализацияаксиомы независимости изменяется принципиально. В то время как для обычныхпредпочтений для ее выполнения достаточно сохранить направление предпочтения,т.е., например, a > b ⇒ a ′ > b ′ при изменении предпочтений относительно третьейальтернативы, то для расщепленных предпочтений неизменной должна оставатьсяразность c(a) − c(b) = c ′(a) − c ′(b). На основе предложенной формализации про-веден анализ доказательства Дж. Геанакоплоса [1] теоремы К. Дж. Эрроу (Arrow’simpossibility theorem) [2]. Показано, что из-за принципиального изменения формали-зации аксиомы независимости доказательство Геанакоплоса неверно для выборныхправил с учетом масштабирования.


1. Geanakoplos J. Three Brief Proofs of Arrow’s Impossibility Theorem, Cowles Founda-tion Discussion Papers 1123P.2. Arrow K. J. (1951.) Social Choice and Individual Values. New York: John Wiley andSons.

Васильев Сергей Александрович, ООО Научный центр Эпитаксия,пр. Академика Лаврентьева, 1, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 35-65-97, факс (8-383-2) 35-65-97, e-mail: [email protected]

Жанаева Анна Сергеевна, Новосибирский государственный университет,ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090, Россия, тел. (8-383-2) 30-14-34


ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ И РАЗВИТИЕ ПОДХОДОВК МОДЕЛИРОВАНИЮ РЕНТНЫХ ПРОБЛЕМ

М. И. Вирченко, Н. В. Шестакова

Начало математико-экономическому анализу рентных проблем было положеноакадемиком Л. В. Канторовичем. В результате анализа двойственных соотношенийлинейно-программных моделей были изучены принципы формирования, структура,количественные зависимости цен на продукцию сельского хозяйства и рентных оце-нок земли, получена связывающая их формула. Были проведены и практическиерасчеты с использованием моделей специальной структуры.

В то же время, учитывая прикладное значение проблемы, Л. В. Канторович пред-ложил нелинейную модель, позволяющую находить для реальных производственныхситуаций приближенные значения цен на продукцию и рентных оценок земли примаксимальном соответствии соотношений между ними оптимальным. Модель имеетмодификации, ей посвящен целый ряд работ разных авторов. Связь этой модели слинейно-программными выразилась и в том, что ее использование и анализ позво-лили построить эффективный численный метод решения общей задачи линейногопрограммирования.

Далее идея построения аналога двойственной задачи без решения прямой (про-изводственной) была реализована в балансовых моделях. Представление в них фи-нансовых балансов в территориальном и продуктовом разрезах позволяет сохранитьформулу цены, полученную из многопродуктовых линейно-программных моделей:цена каждого продукта равняется средним полным (включая нормативную прибыль)затратам на его производство плюс средняя рента. При некоторых естественныхпредположениях относительно матрицы задача имеет единственное решение, котороенаходится методом итераций.

Получаемая рентная оценка может быть представлена как линейная комбинациядвух слагаемых, первое из которых зависит от затрат, а второе – от продуктивностиземли. Это дает дополнительный материал для экономического анализа.

Параметром модели является общий уровень цен, обоснование которого связанос определенными трудностями. В то же время модель позволяет найти тот их уро-вень, при котором обеспечиваются бездотационные экономические отношения междумоделируемой и внешней для нее системой, т.е. когда все рентные оценки земли неот-рицательны. Кроме того, имея два базовых решения, нахождение которых не пред-ставляет трудностей, можно организовать простую процедуру вычислений искомыхцен и рент при любом значении параметра – уровня цен.

Свойства балансовых моделей позволяют использовать их для анализа и решениякак теоретических, так и практических проблем регулирования рентных отношенийв сельском хозяйстве.

Работа поддержана грантом Президента РФ НШ 80.2003.6

Вирченко Мария Ивановна, Шестакова Надежда Васильевна,Институт математики им С. Л. Соболева СО РАН,пр. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (3832) 33-00-94, e-mail: [email protected]


О ГАРАНТИРУЮЩИХ РАВНОВЕСИЯХ В СТАТИЧЕСКИХ КОАЛИЦИОННЫХИГРАХ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

А. Н. Говоров, А. Ф. Тараканов

Сравнительно новым направлением в теории игр являются коалиционные игры. Ксоответствующим математическим моделям приводят исследования в области эко-номики (коалиционные структуры типа “Конкуренция групп предприятий”), соци-альной сферы (структуры типа “Коалиции партий, группировок”, международныеотношения типа “Переговоры”), экологии (задачи принятия решений по охране окру-жающей среды, прогнозу развития экологических районов и т.п.). В настоящее времяосновное внимание уделяется изучению дифференциальных игр. Например, в такихиграх исследовано: решение на основе принципов угроз-контругроз (между коали-циями) и Слейтера (внутри коалиций); гарантирующее равновесие угроз-контругрозв сочетании с минимумом по Джоффриону; абсолютное активное равновесие. Длялинейно-квадратичных игр получены достаточные условия существования решений,указаны их явные выражения. Статические варианты коалиционных игр изученынедостаточно. Коалиционные структуры на практике могут взаимодействовать меж-ду собой по-разному: конкурируя или сотрудничая (в какой-то мере). В первом слу-чае естественно использовать принцип угроз-контругроз, а во втором – абсолютноеактивное равновесие. Принятие решений членами коалиций происходит в услови-ях неопределенности (например, ошибки в измерениях, неточно известные парамет-ры, возмущающее воздействие внешних сил, погрешности в передаче информации ит.п.). В качестве “особого” вида неопределенности можно выделить информационнуюнеопределенность, которая связана с полным или частичным отсутствием информа-ции о следующем “ходе” коалиции-оппонента. В настоящей работе учет неопреде-ленности производится на основе принципа Слейтера. В работе изучена статическаяигра двух коалиций (в каждой – по два игрока). При реализации принципа угроз-контругроз отношения между игроками внутри каждой коалиции строятся на основемаксимума по Парето, при этом предполагаются выполненными условия существо-вания угроз и контругроз коалиций. В случае абсолютного активного равновесияпринцип Парето используется одновременно для стратегий игроков всех коалиций свыполнением условия активной коалиционной равновесности. Перечислены свойстварешений, получены достаточные условия оптимальности. Приведены примеры.

Говоров Андрей Николаевич,Оренбургский государственный педагогический университет,ул. Пролетарская, 308, к. 303, Оренбург, 460050, Россия,тел. (3535) 52-48-51, e-mail: [email protected]

Тараканов Андрей Федорович,Борисоглебский государственный педагогический институт,ул. Народная, 43, Борисоглебск, 397160, Россия,тел. (07354) 6-48-89, e-mail: [email protected]


DYNAMIC ASSET MANAGEMENT WITH STOCHASTIC VOLATILITYUNDER TRANSACTION COSTS AND PORTFOLIO CONSTRAINTS

V. V. Dombrovskiy, D. V. Dombrovskiy, E. L. Lyashenko

The investment portfolio (IP) management is an area of both theoretical interest andpractical importance. It’s known that realistic investment models must include transac-tion costs and constrains on the trading volume amounts. The survey of the problemsand methods contained in various works on dynamic investment task with transactioncosts is presented in [1]. The most of the results presented in these works are limitedto the case of one bond and only one stock. Taking into account transaction costs andportfolio constraints in dynamic models with several risky assets one comes to the curseof dimensionality.

In the paper we consider the IP management task with transaction costs and port-folio constraints in the framework of the approach suggested in [2, 3]. The IP evolutionis described by dynamic stochastic multidimensional state-space model with stochasticvolatility [3]. The IP management problem is formulated as a tracking task for somereference portfolio with desired return.

We propose to use the model predictive control (MPC) methodology [4] in order tosolve the problem. The MPC proved to be an appropriate and effective technique to solvethe dynamic control tasks under constraints. We obtain feedback strategies of investmentportfolio optimisation with proportional transaction costs and trading volume constraints.Optimal trading strategies computation includes the decision of the sequence of quadraticprogramming tasks. We also present the numerical modelling results that give evidenceof capacity and effectiveness of proposed approach.

REFERENCES

1. A. Cadenillas (2000) Consumption-investment problems with transaction costs: Sur-vey and open problems. Mathematical Methods of Operational Research 51, 43-68.

2. E. S. Gerasimov, V. V. Dombrovskii (2002) Dynamic Network Model of InvestmentControl for Quadratic Risk Function. Automation and Remote Control 2, 280-288.

3. V. V. Dombrovskii, E. A. Lyashenko (2003) A Linear Quadratic Control for DiscreteSystems with Random Parameters and Multiplicative Noise and Its Application toInvestment Portfolio Optimization. Automation and Remote Control 10, 1558-1570.

4. J. B. Rawlings (1999) Tutorial: Model Predictive Control Technology. Proc. Am.Contr. Conf., June, San Diego, 662-676.

Dombrovskiy Vladimir Valentinovich, Dombrovskiy Dmitriy Vladimirivich,Lyashenko Elena Alexandrovna,Tomsk State University,Lenina ave., 36, Tomsk, 634050, Russia, phone: (8-382-2) 53-41-33,e-mail: [email protected], [email protected]


ФИCКАЛЬНАЯ КОНКУРЕНЦИЯ НЕ-БЕНЕВОЛЕНТНЫХПРАВИТЕЛЬСТВ В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

Е. В. Желободько, С. Г. Коковин

В работе предложен специфичный вариант нормативной модели фискального фе-дерализма, для случая неоднородной в территориальном и отраслевом смысле стра-ны и не-беневолентных правительств. Развивается идея из работы [1]: дилемма выбо-ра между налоговым соревнованием и налоговой координацией ставится как количе-ственный вопрос: какие параметры экономики нужно измерять, чтобы решить, чтолучше для специфической страны и/или сектора экономики. Статья расширяет этотподход в нескольких отношениях: 1) Регионы могут предполагаться неидентичны-ми (гетерогенными); 2) Может обсуждаться налогообложение отдельных отраслейпромышленности или секторов экономики; 3) В анализ включены два источниканебеневолентности — коррупция и популизм; 4) наряду с дифференциально малы-ми (локальными) изменениями режима федерализма, рассматривается глобальный“скачок” от налоговой конкуренции к координации.

Для выявления локального недо-обложения или пере-обложения региона в со-стоянии конкуренции, мы должны измерить и сравнить два локальных индикатора:“индекс соперничества” и “индекс не-беневолентности”. Если первый ниже чем вто-рой, то ставка налога должна быть уменьшена для увеличения общественного благо-состояния. Кроме обоснования формы этих индексов, предложены соображения поих оценке на реальных данных. При гипотезе вогнутости функции общественногоблагосостояния и дополнительных гипотезах этот критерий пере-обложения служитдостаточным условием неоптимальности глобального перехода от конкуренции к ко-ординации.Работа поддержана грантом РГНФ 02-02-00189a.


1. Edwards, J. and M. Keen (1996) Tax competition and Leviathan, European EconomicReview 40, 113-134.

Желободько Евгений Владимирович,Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2,Новосибирск, 630090, Россия, тел. (8-383-2) 33-26-83

Коковин Сергей Гелиевич,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 33-26-83, e-mail: [email protected]


ОБОБЩЕННОЕ УСЛОВИЕ УПОРЯДОЧЕННОСТИ И ГРАФЫ РЕШЕНИЙЗАДАЧ САМОСЕЛЕКЦИИ

Е. В. Желободько, С. Г. Коковин, Б. Нахата

Исследуются структуры решений задач самоселекции (screeening), одного из ти-пов задач нелинейного ценообразования или конструирования оптимальных кон-трактов между монопольным продавцом и популяцией из n разнородных поку-пателей, типы которых он не умеет различать (возможна также трактовка: нани-матель и нанимаемые). Продавец оптимизирует меню из нескольких “пакетов” вида(x1, t1), (x2, t2)..., (xn, tn), где xi – количество или вектор характеристик товара, ti –тариф, запрашиваемый за него. Традиционно рассматривались упорядоченные поготовности платить vi(x) за количество x покупатели, в смысле [∂vi(x)

∂x> ∂vi−1(x)

∂x∀x]

(Spence-Mirrlees), что гарантировало монотонность и линейную структуру решенийтакую, что граф набора активных ограничений составлял цепь. В данной работе,продолжая идеи из [1 - 3], рассматривается частично–упорядоченная популяция по-купателей, в том смысле, что из нее можно выделить подмножества так, что каждоеподмножество (вид) S упорядочено относительно некоторой специфической функ-ции φS агрегирования характеристик товара. Тогда оптимальный подграф каждоговида покупателей, если он связный, образует цепь, монотонную относительно функ-ции φS . При дополнительном условии “центрирования” это приводит к тому, чтоориентированный граф решения в целом — дерево.Работа поддержана грантом РГНФ 02-02-00189a.


1. Rochet, J.-C. and L. Stole (2001): The economics of multidimensional screening, Work-ing paper.2. Araujo, A. and H. Moreira (2000): Adverse selection problems without the Spence-Mirlescondition, Working paper.3. Nahata, B., S. Kokovin, and E. Zhelobodko (2001): Self-Selection under Non-orderedValuations: Type-splitting, Envy-cycles, Rationing, Efficiency, Working paper,www.math.nsc.ru/ ~mathecon/kokovin

Желободько Евгений Владимирович,Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2,Новосибирск, 630090, Россия, тел. (8-383-2) 33-26-83,


Babu Nahata,University of Louisville, Louisville, Kentucky 40292, USA,e-mail: [email protected]


ПРИМЕНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕТОДОВ В ДИАГНОСТИКЕ

М. Л. Жмудяк, А. Н. Повалихин, Г. Ш. Лев

Авторами разработана программа дифференциальной диагностики желтух, ос-нованная на использовании формулы Байеса. Для сравнительной оценки разрабо-танной авторами методики была проведена диагностика другими статистическимиметодами классификации и прогноза. Использованы: дискриминантный анализ [2],классификационные деревья [2], нейронные сети [3].

Таблица 1. Результаты диагностики

Метод диагностики Процент поставленных диагнозовПравильных Неправил. Неопредел.

1. Дискриминантный анализ 92 8 02. Деревья классификации 93 7 03. Формула Байеса 96 1 34. Нейронные сети 97 3 0

Под неопределенным диагнозом понимается случай, когда метод затруднился на-дежно классифицировать одно из заболеваний. Лучшую диагностику, судя по пра-вильным диагнозам, показали нейронные сети (97%). Дискриминантный анализ идеревья классификации диагностируют с одинаковой эффективностью (92-93%). Ди-агностика по Байесу практически не отстает от нейронных сетей по правильным ди-агнозам, вместе с тем формула Байеса ставит меньше неправильных диагнозов, чемнейронные сети (1% неправильных по Байесу против 3% по нейронным сетям). Пред-ставляется, что важнее сделать меньше ошибок в диагнозах, чем поставить большеправильных.

При использовании всех методов применялись оригинальные наработки авторовв области медицинской статистики. Главным преимуществом, впервые использован-ным в диагностике, является учет динамики заболеваний. Последний позволил зна-чительно повысить точность диагностики.


1. Генкин А. А. (1999) Новая информационная технология анализа медицинскихданных, СПб., Политехника.2. Программный пакет статистической обработки данных: StatSoft Statistica v6.0Multilingual.3. Программный пакет для работы с искусственными нейронными сетями: NeuroPro,версия 0.25.

Жмудяк Марина Леонидовна, Повалихин Антон Николаевич, Лев Герш Шахнович,Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова,пр. Ленина, 46, Барнаул, 656038, Россия, тел. (8-385-2) 36-84-08,факс (8-385-2) 22-28-75, e-mail: [email protected]


ВНУТРЕННЯЯ МОТИВАЦИЯ К ТРУДУ И “ОБРАТНОЕ” САМО-ВЫЯВЛЕНИЕ

А. В. Казаков, С. Г. Коковин

Рассматривается один класс задач оптимальных контрактов типа нелинейного це-нообразования (само-селекции). Уникальный наниматель ограничен в формах пред-лагаемого для всех работников контракта двухчастными тарифами и ограничен вчисле рабочих мест. Максимизируя прибыль при некоторой функции выручки f(e),он выбирает параметры контракта: базовый оклад и коэфициент стимулированияработника за усилия e. Затем работники из некоторой избыточной популяции выби-рают, предлагать ли ему свои услуги и сколько усилий прилагать. Они некоторымобразом распределены по типам, причем каждый характеризуется параметром еготипа θ ∈ [0, 1] и резервационным уровнем полезности u0(θ), достижимым для него вальтернативном месте занятости. Задана его целевая функция u(w, e, θ), зависящаяот зарплаты w, усилий e, и параметра θ, тем большего, чем большие усилия этоттип склонен прилагать, при равном контракте. Наниматель не может различать типработников, поэтому если в ответ на его контракт желающих наниматься слишкоммного, то выбор из них осуществляется случайно.

В зависимости от параметров, возможны не менее трех типов равновесий тако-го рынка труда: "конкурсные", где нанимателю выгодно предлагать завышеннуюоплату, для привлечения избытка желающих, минимальные, где он удовлетворяетсясамой дешевой и некачественной рабочей силой, и рынки "с обратной селекцией".На последних, чем выше оплату хозяин предлагает, тем худшее среднее качествоработников получит. Найден критерий этого эффекта обратной селекции — бо-лее быстрое возрастание, по типу работника, склонности к данному видутруда, по сравнению с возрастанием отдачи в альтернативных местах за-

нятости:∂u(w, e, θ)/∂θ − ∂u0(θ)/∂θ

∂u(w, e, θ)/∂w> 0.

Работа отличается от сходной постановки [1] отсутствием стохастики, переменнойвеличиной альтернативных усилий u0(θ), и формулировкой критерия в необходимойи достаточной форме.Работа поддержана грантом РГНФ 02-02-00189a.


1. Josse Delfgaauw and Robert Dur (2003). Signaling and Screening of Workers’ Motiva-tion. - Tinbergen Institute Discussion Paper, TI 2002-050/3.

Казаков Антон Владимирович,Новосибирский Государственный университет,ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090, Россия, тел. (8-383-2) 33-26-83



О МОДЕЛЯХ ИЗМЕНЕНИЯ НАЛОГОВОЙ СТАВКИ.

В. О. Кислощаева

К числу одного из важнейших факторов развития экономической системы можноотнести уровень налогов. Исследования (см. [1]) показывают, что повышение нало-говой ставки может приводить к увеличению доходов бюджета только до опреде-ленного предела. Когда этот предел превышается, доходы бюджета начинают сокра-щаться. Таким образом, зная оптимальное значение налоговой ставки, государствоможет варьировать текущее её значение для того, чтобы не терять доходы бюджета.В настоящее время существуют различные методы нахождения оптимальной нало-говой ставки (например, [2]). Поэтому будем предполагать, что известно значениеоптимальной ставки T ∗. В [3] было предложено следующее выражение для функциидоходов бюджета B(T ) = Y0(T − T 2), где Y0 – налогооблагаемая база в действую-щий момент времени. Будем считать, что действующее значение налоговой ставкиT0 больше оптимального. При снижении налоговой ставки нужно учитывать рядусловий. Первое: снижение должно проводится достаточно продолжительное время,чтобы дать положительный эффект, так как новая налоговая ставка действует сразуже после издания соответствующего нормативного акта, а реакция налогоплатель-щиков становится заметной лишь со временем. Второе: значительное снижение став-ки приведет к резкому уменьшению доходов бюджета, что является неприемлимым.Возникают две модели перехода от текущей налоговой ставки к оптимальной:

N∑j=1

(Bj−1 −Bj)2 → min!

Bj = Y0

(Tj − T 2

j

),

T0 ≥ T1 ≥ . . . ≥ TN ,TN = T ∗.

N∑j=1

(Tj−1 − Tj)2 → min!

T0 ≥ T1 ≥ . . . ≥ TN ,TN = T ∗.

Предлагаются эффективные алгоритмы решения обеих оптимизационных задач.Работа поддержана грантом РФФИ 03-01-00877 и грантом Президента РФ

НШ 80.2003.6


1. В. Волобуев(1994) Кривая Лэффера-концепция и реальности политики. Мироваяэкономика и международные отношения, 11, с. 119-124.2. Е. В. Балацкий(2000) Воспроизводственный цикл и налоговое бремя. Экономикаи математические методы, т. 36, 1, с. 3-16.3. В. О. Кислощаева(2002) Об одной модели оптимизации налогообложения. Дис-кретный анализ и исследование операций (Материалы конференции), Новосибирск,2002, с. 189.

Кислощаева Ванда Олеговна,Новосибирский государственный университет,ул. Пирогова, 2, 630090, тел. (8-383-2)33-00-94,e-mail: [email protected]


МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ ЦЕНОВОЙ СТРАТЕГИИДЛЯ ЗАДАЧ БЮДЖЕТИРОВАНИЯ

А. Т. Латипова

В данной работе рассматривается задача оптимизации бюджета продаж, фор-мулирующаяся следующим образом. Бюджет продаж задается набором характери-стик спроса вида (pj, qj), где вектор pj = (p1j, p2j , . . . , pij , . . . , pnj) описывает ценына товар j (j = 1, 2, . . . , k) при выборе ценовой стратегии i (i = 1, 2, . . . , n), а век-тор qj = (q1j, q2j , . . . , qij , . . . , qnj) – объем потребности на данный товар при задан-ной цене pj. Объем потребности qj рассчитывается с помощью функции полезно-сти U(i, j, pij) [1]. Также имеются вектор интенсивности применения ценовой стра-тегии xj = (x1j, x2j , . . . , xij , . . . , xnj), где 0 ≤ X ≤ 1; и вектор затрат на маркетингsj = (s1j, s2j , . . . , sij , . . . , snj) . Кроме того, согласно нормативной схеме бюджети-рования [3] задаются нормы прямых затрат материалов и труда, величина посто-янных затрат на производство конкретных видов продукции (в стоимостном выра-жении); они описываются соответственно векторами m = (m1,m2, . . . ,mj , . . . ,mk),l = (l1, l2, . . . , lj , . . . , lk) и c = (c1, c2, . . . , cj , . . . , ck). Помимо этого, нужно учитыватьуровень рентабельности продаж r, общий для всех видов продукции. Т. о. получаетсяслед. модель (внутрифирменный баланс):

X P Q = X M Q+X L Q+X S Q+ (X P Q) · r + C,

где операция “” означает поэлементное умножение матриц. В полученную модельвводится динамика, для чего используется инфляционная составляющая:

(X P (τw−1) Q) · I(τw) = (X M(τw−1) Q) · I(τw) + (X L(τw−1) Q) · I(τw−1)+

+(X S(τw−1) Q) · I(τw) + (X P (τw−1) Q) · I(τw) · r + C(τw−1) · I(τw−1),

где τw – период, к которому относятся данные, а I(τw−1) – темп роста цен на товарно-материальные ценности. Полученная задача линейного программирования являетсямодификацией модели Неймана для микроэкономики [2]. В данной работе рассматри-ваются вопросы разрешимости представленной задачи, а также область примененияполученной модели.


1. Герасименко В.В. (1997) Ценовая политика фирмы. – М.: Финстатинформ.2. Панюков В. В. (1996) Математическое моделирование экономических процессов.– Челябинск: ЮУрГУ.3. Чаусов В., Ашкинидзе А. (2002) Критерии оценки систем бюджетирования //ITeam. 2002. N 1. – С. 15–20.

Латипова Алина Таиховна,Южно-Уральский государственный университет,пр. Ленина, 76, Челябинск, 454080, Россия,тел. (8-3512) 67-90-87, e-mail: [email protected]


ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ ИНВЕСТИЦИЯМИ

Г. Ш. Лев

Пустьb = (b1, b2, . . . bm)

где bi ≥ 0,∑bi = 1 инвестиция в i-ю отрасль за один инвестиционный период. Далее,

векторx = (x1, x2, . . . xm)

определяет доходы за инвестиционный период; xi – доход от инвестиций в i-ю отрасльединичного капитала. Обозначим

(b, x ) =m∑

i=1

bixi,

Тогда, полагая x – случайной величиной с распределением F , можно показать, чтоэффективность вложений опреляется величиной

W (b, F ) = M ln(b, x ).

Обозначим через b∗(F ) оптимальное вложение капитала:

W (b∗(F ), F ) = maxb

(W (b, F )) = W ∗(F ).

Пусть x 1, x 2, . . . xn наблюдаемые значения вектора x за n инвестиционных периодови обозначим:

Wn =n∑

1

ln(b∗(Fn), x i),

Yn =n∑

1

ln(b∗(Fi), x i),

Zn =n∑1

ln(b∗(Fi−1), x i),

b∗(F0) = b0 ∈ Rm — произвольный вектор, Fn — эмпирическая мера, порожденная

x 1, x 2, . . . xn

Теорема. Выполняются следующие неравенства

Yn ≥ Wn ≥ Zn.


1. Cover T., Gluss D. (1981) Empirical Bayes Stock Market Portfolios. Adv. Appl. Math.7, 170-181.

Лев Герш Шахнович,Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова,пр. Ленина, 46, Барнаул, 656038, Россия, тел. (8-385-2) 420277,факс (8-385-2) 22-28-75, e-mail: [email protected]


О ДОГОВОРНОЙ ЭКОНОМИКЕ С НЕВЫПУКЛЫМПРОИЗВОДСТВЕННЫМ СЕКТОРОМ

В. М. Маракулин

Анализируется возможность распространения договорного подхода, предложен-ного в [1, 2] и развитого в [3] для экономики чистого обмена, на модель экономикитипа Эрроу–Дебре, в которой технологические множества не являются выпуклыми,но при этом удовлетворяют прочим стандартным требованиям и имеют гладкую гра-ницу. В моделях этого типа, с возрастающей отдачей от масштаба, концепция конку-рентного равновесия трансформируется в концепцию MCP-равновесия — равновесияс ценообразованием в производственной сфере по принципу предельных издержек,что при выпуклых технологиях эквивалентно максимизации прибыли. При не выпук-лом производстве конкурентные равновесия могут не существовать, в то время какMCP-равновесия существуют. Более того, эти равновесия могут быть эффективны,ибо удовлетворяют необходимым условиям оптимальности. В работе вводится поня-тие маргинально-договорного состояния (распределения) экономики и доказываетсяего совпадение с MCP-равновесиями в случае “гладкой” модели. Содержательно, вмаргинально-договорном состоянии возможности выбора производственных плановфирм ограничены внутримодельным соглашением — контрактом особого рода — повыбору производственных программ. Механизм выработки этого соглашения в явномвиде не определен, но это проблема особого рода, характерная собственно для MCP-равновесий. Предполагается, что корпоративное производственное соглашение этоскорее механизм, нежели жесткое обязательство; оно допускает возможность изме-нения производственных планов при дополнительном условии допустимости каждо-го маргинального изменения программы “в желательном направлении”. При выпук-лом производстве маргинально-договорные состояния совпадают как с правильно-договорными (см. [3]), так и с конкурентными равновесными распределениями (длягладкой модели и во внутренней точке).Работа поддержана грантом РГНФ 02-02-00189 и грантом НШ-80.2003.6.


1. В.Л.Макаров. (1982) Экономическое равновесие: существование и экстремаль-ные свойства.// Итоги науки и техники: Современные проблемы математики, М.:ВИНИТИ АН СССР. Т. 19. С. 23-582. А.Н.Козырев. (1981) Устойчивые системы договоров в экономике чистого обме-на// Оптимизация. Вып. 29(44). С. 66-78 (Изд. ИМ СО АН СССР, Новосибирск)3. В.М.Маракулин. (2003) Договоры и коалиционное доминирование в неполных рын-ках. Консорциум экономических исследований и образования. Серия “Научные докла-ды”. 2003. 02/04. 114 с.

Маракулин Валерий Михайлович,Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 33-26-83, факс (8-383-2) 32-25-98, e-mail: [email protected]


ВЛИЯНИЕ ДИВЕРСИФИКАЦИИ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫНА ФИНАНСОВУЮ СТРАТЕГИЮ ПРЕДПРИЯТИЯ

О. В. Медведко

Начавшаяся двадцать лет назад конверсия производства увеличила число това-ров, выпускаемых предприятиями, причем номенклатура гражданской продукциибыстро обновляется. В этой ситуации становится справедливым утверждение о том,что число продуктов n, выпускаемых предприятием, велико. Изучению этой, недо-статочно исследованной проблемы (см. [1, 2]) посвящен настоящий доклад.

Рассматривается модель производственного предприятия в ситуации, когда це-ны выпускаемых продуктов ξj – случайные величины. Требуется определить макси-мальный доход A предприятия при заданном уровне риска α0 ∈ [0, 1], а именно, при

стохастическом ограничении P (n∑

j=1

ξjxj −m∑

i=1

ciyi ≥ A) ≥ 1 − α0 и линейных детер-

минированных ограничениях на выпуск продукцииn∑

j=1

aijxj ≤ bi максимизируется

величина A. Здесь xj ≥ 0 – объем производства j-го продукта, yi ≥ 0 – объемприобретения i-го ресурса, aij – коэффициенты матрицы затрат i-го ресурса напроизводство единицы j-го продукта, bi – объем имеющегося i-го ресурса, ci – фик-сированные цены на ресурсы.

Предполагается справедливойГипотеза (Г): если ψj – детерминированная цена j-го продукта, ηj – назависимые

одинаково распределенные случайные величины, соответствующие возмущениям об-

щего выпуска по каждому продукту (Mηj = 0;Dηj = 1), тоn∑

j=1

ξjxj =n∑

j=1

ψjxj +n∑

j=1

ηj.

Пусть t = (n)−1/2(m∑

i=1

ciyi −n∑

j=1

ψjxj +A); Fn(t) = P (Sn ≤ t); δ = Sup|Fn(t)− |Φ(t)|.В докладе будет доказано, что при выполнении гипотезы (Г) и предположения отом, что число n удовлетворяет некоторым условиям, можно оценить точное решениеисходной задачи, решая задачи линейного программирования вида: максимизироватьвеличину A при линейных детерминированных ограничениях, определенных выше,и а) ограничении t ≤ Φ−1(α0 − δ); б) ограничении t ≤ Φ−1(α0 + δ), где Φ(z)−1 –функция, обратная к функции распределения нормального закона. Предполагаетсядать точную формулировку условиям того, что n достаточно велико.

Работа поддержана грантом РФФИ 03-01-00877 и грантом Президента РФ НШ80.2003.6


1. Юдин Д.Б. (1974) Математические методы управления в условиях неполной ин-формации. – М.: Сов. радио.2. Ермольев Ю.М., Ястремский А.И. (1979) Стохастические модели и методы вэкономическом планировании. – М.: Наука.

Медведко Олег Викторович,Новосибирский государственный университет,ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (3832)25-24-51, e-mail: [email protected]


МОДИФИЦИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ ГЛОБАЛЬНОГО ПОИСКАДЛЯ РЕШЕНИЯ БИМАТРИЧНОЙ ИГРЫ

А. В. Орлов

В работе рассматривается задача численного поиска ситуации равновесия по Нэ-шу в биматричной игре [1].

Ситуация (x∗, y∗) ∈ Sm × Sn является ситуацией равновесия по Нэшу в бимат-ричной игре Γ(A,B) в том и только в том случае, когда она входит в решение(x∗, y∗, α∗, β∗) ∈ IRm+n+2 следующей задачи математического программирования [2]:

F (x, y, α, β)4=〈x, (A+B)y〉 − α− β ↑ max

xTB − βen ≤ 0n, x ∈ Sm, Ay − αem ≤ 0m, y ∈ Sn,

(1)

где ep = (1, 1, ..., 1)T ∈ IRp, Sp — канонический симплекс, p = m,n.Это означает, что для нахождения ситуации равновесия необходимо уметь решать

невыпуклую билинейную задачу (1), что представляется достаточно трудной пробле-мой. Для ее решения в данной работе используется подход, основанный на теорииглобального экстремума [3]. А именно, используется стратегия глобального поискадля задач d.c. программирования (см. главу 6 в [3]). Смысл этой стратегии состоитв декомпозиции исходной невыпуклой задачи на последовательность более простыхвыпуклых задач и задачу аппроксимации поверхности уровня выпуклой функции(новую задачу в оптимизации).

В [4] опубликованы результаты первого варианта реализации этой стратегии длязадачи (1) и результаты вычислительного эксперимента. Полученные результаты экс-перимента можно, в целом, считать удовлетворительными, однако была отмеченанедостаточная точность и скорость решения некоторых задач.

В данной работе предлагается модифицированный алгоритм глобального поис-ка в задаче (1). Прежде всего стоит отметить, что удалось сократить количествоточек в аппроксимации поверхности уровня и, тем самым, намного уменьшить вре-мя решения задач. Также были применены некоторые приемы ускорения алгоритмаглобального поиска, описание которых можно найти в [3]. В результате была найде-на точка равновесия по Нэшу в игре размерности (85 × 85), а доля задач, которыеудалось решить превысила 98%.


1. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. (1998) Теория игр. М.: Высшаяшкола.2. Мухамедиев Б.М. (1978) О решении задачи билинейного программирования и отыс-кании всех ситуаций равновесия в биматричных играх // Журн. вычисл. матем. иматем. физики. 1978. Т. 18, 2. C. 351–359.3. Стрекаловский А. С. (2003) Элементы невыпуклой оптимизации. Новосибирск:Наука.4. Орлов А. В., Стрекаловский А. С. (2004) О поиске ситуаций равновесия в бимат-ричных играх // Автоматика и телемеханика. 2, С.55–68.

Орлов Андрей Васильевич, Институт динамики систем и теорииуправления СО РАН, ул. Лермонтова, 134, Иркутск, 664033, Россия,тел. (8-395-2) 51-13-98, факс (8-395-2) 51-16-16, e-mail: [email protected]


ОБ ОДНОМ ИТЕРАЦИОННОМ ПРОЦЕССЕ,МОДЕЛИРУЮЩЕМ БАНКОВСКУЮ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ

Н. А. Орозбеков

Сегодня коммерческие банки предоставляют достаточно широкий спектр услуг.Жесткая конкуренция заставляет разрабатывать и предлагать клиентам все новыевиды банковских продуктов. Но неизменным остается главная, на наш взгляд, функ-ция банка — трансформация сбережений в инвестиции. Здесь банк выступает какпосредник, который как бы “покупает” ресурсы у одних лиц и “продает” их другим.В банковской терминологии эти операции называют:

а) привлечение средств в пассивы;б) формирование портфеля активов.Один полный цикл (когда банком привлечены средства и вложены в некоторые

активы) можно принять за один шаг. Таким образом, функционирование коммер-ческого банка можно представить в виде итерационного процесса, на каждом шагекоторого решаются задачи привлечения и вложения денежных средств.

При этом первый шаг такого процесса будет состоять из трех задач. Первона-чально, менеджеры должны решить задачу определения оптимального объема на-чального капитала K, который находится итерациями по величине K (проверяетсясовместность ограничений задачи нелинейного программирования). При известнойвеличине K решаются задачи оптимизации портфелей пассивов и активов.

В [1] была построена нелинейная модель управления банковскими активами. Вкачестве компонентов портфеля активов рассматривались: 1) кредиты предприяти-ям; 2) безрисковые государственные облигации.

В [2] была предложена модель оптимизации пассивов. В качестве пассивов рас-сматривались: 1) срочные депозиты; 2) вклады до востребования. В обеих моделях,предложенных в [1] и [2], решаются нелинейные задачи математического програм-мирования, похожие на решаемую при нахождении величины K.

В докладе будут описаны все этапы итерационного процесса, моделирующегофункционирование коммерческого банка и изложен эффективный алгоритм реше-ния базовой нелинейной задачи математического программирования.

Работа поддержана грантом РФФИ 03-01-00877 и грантом Президента РФ НШ 80.2003.6


1. Тайменцева К. С. (2002) Об одной модели оптимизации активов банка. Мате-риалы XL международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". - Новосибирск, НГУ, С. 185-186.2. Анцыз С. М., Орозбеков Н. А. (2003) О некоторых моделях оптимизации дея-тельности банка. Материалы всероссийской конференции "Проблемы оптимизациии экономические приложения". - Омск, Наследие. Диалог Сибирь. С. 143.

Орозбеков Нурлан Аскарович,Институт математики им С. Л. Соболева СО РАН,пр. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия, тел.(3832)33-00-94,e-mail:[email protected]


ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ЗАДАЧАХОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ

В РАМКАХ МОДЕЛЕЙ МАРКОВИЦА И БЛЭКА

А. В. Панюков, Д. А. Жидков

Модели Марковица (Markowitz H.) и Блэка (Black F.) являются общепризнанны-ми классическими моделями портфельного анализа [1]. Однако в случае краткосроч-ного инвестирования на нестабильных рынках для них характерен ряд существен-ных ограничений, таких как статичность (отсутствие учета информации о динамикеизменения цен и доходностей активов) и др. В докладе рассмотрены возможностиинкорпорирования методов динамического прогнозирования в модели Марковица иБлэка.

Если имеется некоторый прогноз значений цен актива pti, i = 1, 2, . . . , n при неко-

торых дискретных значениях периода прогнозирования t = 1, 2, . . . , T , то, используяэти данные, можно вычислить значение ожидаемой доходности для каждого значе-ния:

rti =

pti − p0

i

p0i

=pt

i

p0i

− 1; i = 1, 2, . . . , n; t = 1, 2, . . . , T.

По полученным значениям определим средние доходности

m = M(rt

1, rt2, . . . , r

tn)T

t=0

и скорректированную матрицу ковариаций относительных отклонений, описываю-щую риск инвестирования

C = (cij)ni,j=1 ; cij = covrt

i , rtjTt=0.

Тогда условие модифицированной задачи Блэка формально может быть записаноследующим образом:

V (x) = (Cx,x)→ min; E(x) = (m,x) ≥ Emin; (e,x) = 1.

То же самое относится и к модификации задачи Марковица:

V (x) = (Cx,x)→ min; E(x) = (m,x) ≥ Emin; (e,x) = 1; x ≥ 0.

В докладе обсуждаются способы выделения трендов для нахождения прогноз-ных значений доходностей активов по результатам наблюдений в предшествующиепериоды.


1. Касимов Ю.Ф. (1998) Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. –М.: Информационно-издательский дом "Филинъ". – 144 с.

Панюков Анатолий Васильевич, Жидков Дмитрий АндреевичЮжно-Уральский гос. университет, пр. Ленина, 76, 454080, Челябинск, Россия,тел. (3512) 67-90-47, факс (3512) 67-90-47, e-mail: [email protected]


ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ МОДЕЛИ ЭРРОУ–ДЕБРЕС ЭНДОГЕННЫМ ФОРМИРОВАНИЕМ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ

А. В. Сидоров

В основе исследования лежит классическая модель Эрроу–Дебре

E = 〈N, M, Xi, <i, ωii∈N , Yjj∈M , θiji∈N,j∈M 〉,

где N — множество потребителей, Xi — потребительские множества с заданнымина них отношениями предпочтения <i, ωi — индивидуальные начальные запасы по-требителей, M — множество фирм, Yj — технологические множества, а величиныθij, обозначают долю участия потребителя i ∈ N в прибыли фирмы j ∈ M (см. [1,стр. 108]). При этом параметры θij заданы экзогенно, т. е. определены в некоторой«предыстории» и уже не могут быть изменены самим владельцем этих активов.

В настоящей работе предпринята попытка модификации модели Эрроу–Дебретаким образом, чтобы механизм формирования инвестиционных портфелей соответ-ствовал принципам рационального поведения инвесторов, при максимально возмож-ном сохранении всех остальных характеристик и черт исходной модели. Для этого, вотличие от статической модели Эрроу–Дебре, процессы производства и потребленияпредполагаются развёртывающимися во времени, в простейшем случае — на времен-ном интервале [0, 1], причём цены в начале p0 и конце p1 периода, вообще говоря,различны. При этом, начало производственного процесса и, тем самым, производ-ственные издержки, связанные с приобретением сырья, относятся к началу периода,а получение конечной продукции и прибыли — к концу периода. Как и в класси-ческой модели, целью производителя является максимизация величины чистой при-были. Заметим, что с учётом дисконтирования по ставке усреднённой доходностиприведённая чистая прибыль всего производственного сектора становится равнойнулю. Что касается задачи потребителя, то так же как и в классической модели,она заключается в максимизации полезности потребительского плана на бюджетноммножестве, которое имеет более сложную структуру, поскольку теперь следует учи-тывать бюджетные ограничения как в начале периода, так и в конце и, кроме того,в число решений, принимаемых потребителем входит сумма, инвестируемая в произ-водство в начале периода, с целью получения прибыли в конце временного интервалав соответствии с безарбитражной процентной ставкой. Результатом работы являетсядоказательство теоремы существования равновесия в этой модели в предположени-ях, близких к классическим.Работа поддержана грантом РГНФ 02-02-00189 и грантом НШ-80.2003.6.


1. К. Алипрантис, Д. Браун, О. Бёркеншо. (1995) Существование и оптимальностьконкурентного равновесия. М.: Мир.

Сидоров Александр Васильевич,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 33-26-83, факс (8-383-2) 32-25-98, e-mail: [email protected]


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОСЛЕДСТВИЙ ВОЗМУЩЕНИЯПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

А. Е. Трубачева

Исследуется задача оптимизации удельного потребления в ситуации, когда про-изводственная функция инвестора возмущена функцией из класса C2. Установлено,что “слабые” возмущения производственной функции могут потребовать “скачок”объема инвестиций для поддержания производства. Анализ реальной информацииподтверждает приведенные теоретические выводы.

Рассматривается история функционирования группы предприятий одного ма-шиностроительного министерства [1]. Вид производственной функции f(k) не за-дан, поэтому рассматриваются несколько ее моделей: f1(k) = ak2 + bk + c, f2(k) =(aεk

2 + bεk + cε)(1 + ε2 sin kε), f3(k) = a

√k, f4(k) = aε

√k(1 + ε2 sin k

ε). Коэффициенты

a, b, c, aε, bε, cε находятся методом наименьших квадратов, минимизируя функционалG(ki) =

∑i

(f(ki)− yi)2 по переменным a, b, c, aε, bε, cε.

Определяется величина доли s, которая должна была быть направлена на инве-стиции по предложенному в работе методу. Сравнивая полученные значения с реаль-ными [1], получаем, что эти значения существенно меньше, чем найденное аналити-чески “оптимальное” значение величины доли инвестиций s∗. Известно, что отрасльмашиностроения уменьшила выпуск в 1995 г. в сопоставимых ценах по сравнению с1990 г. более, чем в 2 раза [2]. Проведенный выше анализ подтверждает необходи-мость соблюдения “золотого правила” Е. Фелпса о том, что инвестиции в основныефонды должны равняться доходу, получаемому от капитала.

Если производственная функция имеет вид f(k) = a√k, где a = const > 0, то-

гда в случае возмущения для управления, гарантирующего рост дохода, необходимоувеличение доли дохода, выделяемой на инвестиции.

Утверждение. Существуют производственные функции, малые возмущения ко-торых приводят к необходимости значительного увеличения доли инвестиций дляподдержания экономики.

Полученные в работе результаты для возмущенного случая существенно превы-шают оценку снизу ε2. С ростом темпа амортизации µ “скачок” доли инвестиций s,необходимый для поддержания производства, растет, т.е. быстрое обновление фон-дов влечет “скачок” объема инвестиций.Работа поддержана грантом РФФИ 03-01-00877 и грантом НШ-80.2003.6.


1. Анцыз С. М., Донсков И. В., Маршак В. Д., Чупин В. Г. (1990) Оптимизациясистемных решений в распределенных базах данных. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние.2. Российский статистический ежегодник: Статистический сборник/ГоскомстатРоссии, Москва, 2000.

Трубачева Анна Евгеньевна,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Ак. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (3832)33-00-94, факс (3832)33-25-98, e-mail:[email protected]


ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ОПТИМИЗАЦИИ ЛИЗИНГОВЫХ ПЛАТЕЖЕЙ

В. И. Шмырёв, И. А. Сафронова

В работе [1] рассматривалась задача оптимизации лизинговых платежей. Речьидёт об исследовании сдедующей схемы финансового лизинга. Лизингодатель, ис-пользуя кредит банка, приобретает предмет лизинга и передаёт его в пользованиелизингополучателю, который в течение срока действия договора лизинга выплачи-вает лизингодателю лизинговые платежи, а по его завершении приобретает предметлизинга по остаточной стоимости. По заранее оговоренному графику, лизингодательрассчитывается по кредиту с банком и платит налоги. Задача состоит в том, чтобыорганизовать выплату лизинговых платежей так, чтобы их приведенная сумма быламинимальна, а лизинговая компания не испытывала трудностей с выплатой кредитаи налогов.

Математическое моделирование задачи приводит к некоторой нелинейной задачематематического программирования, которая, как показано в [1], может быть пере-формулирована в виде линейной оптимизационной задачи, но при наличии условийкомплементарности.

В докладе приводится способ сведения рассматриваемой задачи к обычной зада-че линейного программирования. Число ограничений этой задачи быстро растёт сростом числа переменных, а сама система ограничений обладает структурной вы-рожденностью. Для решения задачи рассматривается возможность применения из-вестного метода одновременного решения прямой и двойственной задачи [2].

Работа поддерживается грантом РФФИ 03-01-00877 и грантом Президента РФ НШ 80.2003.6


1. Шмырёв В. И., Осадчий М. С. (2001) Задача оптимизации лизинговых плате-жей// Сибирский журнал индустриальной математики, июль – декабрь 2001. ТомIV, 2(8), с. 205 – 211.2. Дж. Данциг. (1996) Линейное программироваине. Его применения и обобщения.М.: Изд. "Прогресс", с. 243 – 248.

Шмырёв Вадим Иванович, Институт математики СО РАН,пр. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия, (8-383-2) 33-00-94,факс (8-383-2) 33-25-98, e-mail: [email protected]

Сафронова Ирина Алексеевна, Новосибирский государственный университет,ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090. Россия, (8-383-2) 39-72-79

216 Приложения методов исследования операций

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ АВТОМАТОВ СМЕШАННОГОФУНКЦИОНИРОВАНИЯ

И. А. Аникеева

В работе исследуются неподвижные точки автоматов, которые определяют функ-ционирование генных сетей и имеют структурную организацию циклического типа[1]. Генная сеть представляется в виде ориентированного графа G(U,D) с окрашен-ными вершинами и дугами, где U – множество вершин, которые отождествляются сбелками, а D – множество дуг, имеющих смысл отрицательных регуляторных связей.Каждой вершине i приписывается целочисленный вес xi ∈ 1, ..., p− 1, имеющийсмысл концентрации белка, а p > 0 – задаваемый параметр. Вершины раскрашива-ются в три цвета: белый, черный и серый в зависимости от механизма регулирования.

Дуги, идущие в серые вершины, окрашиваются в белый и черный цвета, иду-щие в белую вершину – в белый, а в черную – в черный. По графу G определя-ется автомат, который по заданной окраске вершин и дуг и набору весов(x1, ..., xn)вычисляет новый набор (x

′

1, ..., x′

n), определяемый пороговыми булевыми функция-ми, вид которых определяется цветом вершины. Наборы весов, у которых xi = x

′

i,для всех i = 1, ..., n, называются неподвижными точками. Получено описание непо-движных точек amc-автоматов, построенных по орграфам из класса Gn,k. Для по-строения Gn,k фиксируются два натуральных числа n ≥ k ≥ 2. Множество вершинграфа U(Gn,k) = Nn = 1, . . . , n располагается в углах правильного n-угольника, аD(Gn,k) = (i, i+ j(mod n)) | j = 1, . . . , k − 1; i ∈ Nn – множество дуг.

1. Полностью описаны неподвижные точки автоматов с аддитивным и мульти-пликативным функционированием, то есть amc-автоматов, построенных на оргра-фах только с белыми и только с черными вершинами соответственно. Установленовзаимно однозначное соответствие между неподвижными точками таких автоматови 1-базами вершин орграфа. Доказан критерий, который дает описание всех непо-движных точек аддитивных и мультипликативных автоматов.

2. Получено полное описание неподвижных точек am-автоматов, то есть amc-автоматов, построенных на орграфах без серых вершин. Понятие 1-базы было обоб-щено до понятия am-базы, установлено взаимно однозначное соответствие междунеподвижными точками am-автоматов и am-базами.

3. Рассмотрены орграфы, вершины которых окрашены без использования бело-го или черного цветов. Понятие am-базы было обобщено до понятия amc-базы иустановлено взаимно однозначное соответствие между неподвижными точками amc-автоматов и amc-базами.

Биологическая значимость приведенных результатов состоит в том, что непо-движные точки рассматриваемых автоматов соответствуют устойчивым режимамфункционирования генных сетей.

Работа поддержана грантом Министерства образования РФ Е02-6.0-250.


1. Likhoshvai V. A., Matushkin Yu. G., Fadeev S. I. (2002) A study of the function modesof symmetric genetic networks// Proc. III Intern. Conf. on Bioinformatics of GenomeRegulation and Structure (BGRS’2002), V 2, p. 90-92.Аникеева Ирина Анатольевна, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Ак. Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия, тел. 30-16-09, e-mail: [email protected]

Приложения методов исследования операций 217

К ВОПРОСУ ВЛИЯНИЯ РЕЖИМОВ ОРОШЕНИЯ НА УРОЖАЙНОСТЬСЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ КУЛЬТУР.

Б. Ш. Баратова

В данной статье рассматриваются вопросы влияния водных режимов почвы наформирование урожая на орошаемых землях Таласской горной зоны КыргызскойРеспублики.

Одним из динамичных урожаеобразующих факторов в названной зоне – влаж-ность почвы. Исследования этих вопросов требуют обоснованный научный и систем-ный подход к эффективному использованию орошаемых земель горной местностис целью получения запланированных уровней урожайности сельскохозяйственныхкультур.

С этой целью в работе разработаны специальные математические модели, опи-сывающие изучаемые процессы, которые представляют собой задачу оптимизации[1].

Приведены методы решения поставленной задачи [2]. На основе проведенных экс-периментальных расчетов и анализа результатов определены сроки полива, режимыорошения, оптимальные размещения различных сельскохозяйственных культур поучасткам зоны в зависимости от параметров водного режима. Определены методыповышения продуктивности орошаемых земель.


1. Математические модели и методы управления крупномасштабными воднымиобъектами. Новосибирск, 1987.2. Раманкулов С. Т. (2002) Методы и модели исследования операций в экономике:Учебник для вузов. – Бишкек: Наука и образование.

Баратова Бактыгуль Шабданбековна,Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына,ул. Манаса, 101, Бишкек, Кыргызская Республика,тел.: 096-312-660149, факс: 096-312-660149, email: [email protected]


ИМИТАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ПЕРЕХОДА ВОЕННОЙ ОРГАНИЗАЦИИ РФК НОВОЙ СИСТЕМЕ КОМПЛЕКТОВАНИЯ

Э. А. Ватолкин, Н. И. Кардашевский, В. И. Цымбал

Цель исследования — оценка военных и социально-экономических последствий пере-хода к новой системе комплектования [1]. Модель учитывает как принимаемые пра-вительством решения, так и основные закономерности развития военной организации[2], представляя собой систему рекуррентных соотношений Z(t+ 1) = FZ(t), E(t),U(t), P (t), где Z(t) – вектор состояния, E(t) – вектор показателей военной эффек-тивности, U(t) – вектор параметров управления, P (t) – вектор воздействия полити-ки государства. Оператор перехода F системы является совокупностью алгоритмов,имитирующих развитие военной организации. Модель дискретная, нелинейная, шагмоделирования – полгода. Глубина моделирования T составляет 9 лет для средне-срочных прогнозов и более 30 лет — для долгосрочных, что определяется целямиисследования.

Вектор состояния Z(t) включает в себя компоненты численности рядового и млад-шего командного состава по призыву и по контракту, а также компоненты численно-сти призывного контингента и мобилизационного ресурса. Помимо численности век-тор состояния содержит показатели военных расходов и социально-экономическихпоследствий. С учетом различных когорт личного состава и видов расходов векторсостояния насчитывает более 100 компонент.

Показатели военной эффективности E(t) определяются на основе зависимостибоеспособности от продолжительности службы. Задав начальное состояние Z(0) ивозможные возмущения, эксперт получает траекторию Z(t), t = 0...T, при анали-зе которой можно сделать выводы о последствиях преобразований и перспективахразвития военной организации при выборе того или иного варианта управления.


1. Ватолкин Э., Любошиц Е., Хрусталёв Е., Цымбал В. (2002) Реформа системыкомплектования военной организации России рядовым и младшим командным со-ставом. Научные труды 39Р. – М.: Институт экономики переходного периода. –135 с.2. Брыскин В. В. (1999) Математические модели планирования военных систем. –Новосибирск: Изд-во Ин-та математики. – 232 с.

Ватолкин Эдуард Александрович, Кардашевский Николай Игоревич,Цымбал Виталий Иванович,Институт экономики переходного периода,Газетный пер. 5, Москва, 103918, Россия, тел. (095) 229-0971,факс (095) 291-3594, e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]


ЦИКЛЫ АДДИТИВНЫХ АВТОМАТОВ НА ОРГРАФАХ Gn,k

Е. Д. Григоренко

В работе исследуется циклическое поведение аддитивных автоматов, возникающихпри описании симметричных регуляторных контуров генных сетей. Структура кон-туров представляется ориентированным графом Gn,k(U,D), где U = ui | i = 1, n— множество вершин, которые отождествляются с белками–регуляторами, а D =(ui, ui+j (mod n)) | i ∈ 1, n, j ∈ 1, k − 1 — множество дуг, имеющих смысл отрицатель-ных регуляторных связей. Каждой вершине ui приписывается целочисленный вес xi

— концентрация белка, причем 0 ≤ xi ≤ p− 1, а p — параметр, определяющий порогконцентрации. Обозначим Di = i − j(mod n) | j ∈ 1, k − 1. По графу Gn,k(U,D)определяется p-значный аддитивный автомат A(p,Gn,k), который по заданному на-бору x = (x1, . . . , xn) вычисляет новый набор весов вершин x′ = (x′1, . . . , x

′n) по

правилу

x′i =

xi + 1 если∑

j∈Dixj = 0 и xi < p− 1,

xi − 1 если∑

j∈Dixj > 0 и xi > 0,

xi иначе.Определение. Последовательность x1, . . . , xr называется циклом длины r автома-та A(p,Gn,k), если A(p,Gn,k)xi = xi+1, i ∈ 1, r − 1 и A(p,Gn,k)xr = x1. При r = 1A(p,Gn,k)x = x, и x называется неподвижной точкой.Далее обозначение xi означает повторение блока x i раз. Следующая лемма харак-теризует действие автомата A(p,Gn,k) на набор xi = (oi−1, p− 1, 0n−i), i ∈ 1, d.Лемма. Пусть d = НОД(n, k) и p ≥ 3, тогда1). Если d = k, то yi = (oi−1, (p − 1, 0d−1)n/d−1, p − 1, 0d−i) — неподвижная точкаA(p,Gn,k), и существует такое натуральное m, что Am(p,Gn,k)xi = yi ∀i ∈ 1, d.2). Если d < k, то существует такое натуральное m, что yi = Am(p,Gn,k)xi являетсяэлементом цикла длины pn/d для всех i ∈ 1, d, и эти циклы различны.Теорема 1. Автомат A(p,Gn,k) имеет неподвижные точки тогда и только тогда, ко-гда d = k. Число неподвижных точек равно k.Пусть n = n1n2 и n1 > k. Разобьем множество вершин ориентированного графа Gn,k

на подмножества Uj = uj, uj+n1 , . . . , uj+(n2−1)n1, j ∈ 1, n1. Определим граф Hn,k,вершинами которого являются Uj, j ∈ 1, n1. и из i-ой вершины идет дуга в j-ю вер-шину, если в множествах Ui и uj существуют вершины, соединенные в Gn,k дугойтой же ориентации. Определим функцию копирования набора: ψ : (x1, . . . , xn1) 7→((x1, . . . , xn1)

n2).Теорема 2. Функция ψ переводит неподвижные точки и циклы автомата A(p,Hn,k)в неподвижные точки и циклы той же длины автомата A(p,Gn,k).Следующие утверждения показывают, что при k = n−1 и k = n все циклы автоматовисчерпываются описанными в теоремах 1 и 2.Утверждение 1. При k = n автомат A(p,Gn,n) имеет n неподвижных точек видаyi = (0i−1, p−1, 0n−1), i ∈ 1, n, и единственный цикл длины 2, образованный нулевыми единичным наборами: 0↔ 1.Утверждение 2. При k = n− 1 найдены примеры графов, на которых аддитивныеавтоматы имеют циклы, отличные от тех, что описаны в лемме и теоремах.Работа поддержана грантом Минобразования РФ E02-6.0-250.

Григоренко Елена Дмитриевна, Новосибирский Государственный Университет,ул. Пирогова, 4, Новосибирск, 630090, Россия, тел. 32-79-30, e-mail: [email protected]


ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ НА ГРАФАХС ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

В. С. Ижуткин, Б. Л. Истомин, В. И. Токтарова

Использование новых информационных технологий является одним из направле-ний повышения эффективности изучения математических дисциплин и, в частности,численных методов решения экстремальных задач [1].

При выполнении аудиторных лабораторных работ по численным методам мно-го времени отнимают рутинные вычисления. Компьютерные лабораторные работыпозволяют заниматься изучением алгоритмической стороны численных методов, пе-реложив вычислительную работу на компьютер. Кроме того, для численных методовимеется возможность визуализации процесса решения в двух- или трехмерном про-странстве.

В докладе предлагается программно-методический комплекс математических ап-плетов (матлетов) – динамических программных средств, позволяющих активизиро-вать изучение теоретического материала и выполнение лабораторных работ по сле-дующим темам курса “Экстремальные задачи на графах”: элементы теории графов,алгоритмы поиска путей, потоковые алгоритмы.

Используя матлеты (написанные на языке Java), студент передает трудоемкие вы-числения компьютеру и получает возможность с помощью визуализации нагляднопредставить работу численных методов. Сначала студент знакомится с иллюстратив-ным пошаговым, с методической поддержкой, решением типовой задачи, рассматри-вая все возможные варианты. При этом осуществляются:

– сопровождение решения формулами и результатами расчетов по ним;– визуализация результатов расчетов;– объяснение результатов.Затем студент выполняет индивидуальное задание с интерактивной поддержкой

решения на основе ранее изученного примера. При этом осуществляется помощь иконтроль на каждом шаге выполнения задания со сбором текущей информации обуспехах и ошибках, поэтапная визуализация процесса решения, активизация обуча-емого участием в решении.

Предлагаемая методика дает возможность индивидуализировать процесс изуче-ния материала, а также решать задачи исследовательского характера.


1. Goguadse G., Melis E., Izhutkin V., Izulanov Y. Interactively (2003) Learning Oper-ations Research Methods with ActiveMath// Abstracts of the Symposium on OperationsResearch (OR2003), Heidelberg, P.1592. Костромина Н. В., Истомин Б. Л. (2000) Графы: теория, задачи, алгоритмы: Учеб-ное пособие. – Йошкар-Ола: МарГТУ. – 104с.3. Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. (1990) Лекциипо теории графов. – М: Наука, гл. ред. Фмз. Мат. Лит.4. Майника Э. (1981) Алгоритмы оптимизации на сетях и графах. - М: Мир, 1981

Ижуткин Виктор Сергеевич, Истомин Борис Леонидович, Токтарова Вера Ивановна,Марийский государственный университет, пл. Ленина, 1, Йошкар-Ола, Марий Эл,424001, тел. (8362) 41-19-00 факс (8362) 45-45-81, e-mail: [email protected]


ДРЕВОВИДНЫЙ КАТАЛОГ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСОВ

О. А. Клименко

Внедрение новых информационных технологий, развитие сети Интернет, разра-ботка новых тематических порталов открывает доступ к использованию огромно-го объема информации и, в частности, математической информации. В Сибирскомотделении РАН ведется работа по созданию каталога электронных математическихресурсов. В ходе выполнения проекта предполагается представить информацию в ви-де древовидного электронного каталога, в котором ветви соответствуют различнымразделам математики. Ветви могут переплетаться, образуя новые направления. Дви-гаясь по ветвям, можно получать следующую информацию, связанную с конкретнымматематическим направлением: научные школы, лаборатории, кафедры, специали-сты, занимающиеся данной проблематикой, диссертации, препринты, электронныересурсы, ссылки на журналы и издательства, в которых публикуются статьи по это-му направлению, конференции с близкой тематикой и др. В частности, в каталогепредусмотрен раздел по математическому программированию, исследованию опера-ций, теории информации, теории кодирования. Эти разделы в настоящее время на-ходятся в стадии разработки и нуждаются в широком обсуждении со специалистами,пополнении и детальной систематизации.

Информационная система будет способствовать созданию единого образователь-ного пространства. С ее помощью можно осуществлять поиск квалифицированныхкадров по математическим дисциплинам, подбор методических материалов, учебныхпрограммных средств и др. Прототип электронного каталога доступен по адресу:www.mathtree.ru.

В работе над проектом принимают участие Институт математики им. С. Л. Собо-лева СО РАН, Институт вычислительной математики и математической геофизикиСО РАН, Институт систем информатики им. А. П. Ершова СО РАН, Институт тео-ретической и прикладной механики СО РАН, Институт автоматики и электрометрииСО РАН, Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Работа выполнена при поддержке СО РАН, комплексный интеграционный проект1 - 2003

Клименко Ольга Анатольевна,Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 33-20-86, факс (8-383-2) 32-25-98, e-mail: [email protected]


ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕДУЩИХ СВОЙСТВ ВОЛОСЯНОГО ПОКРОВАПУШНО-МЕХОВОГО ПОЛУФАБРИКАТА

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ О ПОКРЫТИИ

Н. И. Ковалева, Ю. И. Привалова

В [1] и других работах развивается подход к определению ведущих свойств пушно-мехового полуфабриката, основанный на применении некоторых задач о покрытии[2]. Идея подхода заключается в построении ориентированного графа, соответству-ющего рассматриваемому набору свойств пушно-мехового полуфабриката и их зави-симостей, и отыскании в указанном графе минимального по мощности доминирую-щего (в определенном смысле) множества вершин. Ранее этот подход был применендля определения ведущих свойств кожевой ткани меховой шкурки. В данной работеполучены аналогичные результаты для волосяного покрова пушно-мехового полу-фабриката.

Рассмотрим ориентированный граф G = (V,E) с множеством вершин V и мно-жеством дуг E. Каждая вершина vi графа G соответствует определенному свойствупушно-мехового полуфабриката, которое мы будем обозначать этим же символом.Если свойство vk зависит от свойства vi, то в множестве E имеется дуга (vi, vk).

Пусть V – множество всех вершин графа G, каждая из которых является нача-лом хотя бы одной дуги. Введем целочисленный вектор b = (b1, . . . , bn)T , bi ≥ 1, i =1, . . . , n, который используется для формулирования условия зависимости свойств.Множество V ′ ⊆ V называется b-доминирующим, если для любой вершины vk 6∈ V ′

найдутся bk вершин из V ′ такие, что vk является концом дуг, исходящих из указан-ных вершин. Задача состоит в отыскании b-доминирующего множества минимальноймощности.

Для выделения ведущих свойств волосяного покрова был построен граф с 21 вер-шиной и множеством дуг, отражающих зависимости свойств между собой. С цельюрешения задачи была использована соответствующая модель целочисленного линей-ного программирования и проведены расчеты на ЭВМ. Полученная совокупностьведущих свойств волосяного покрова (длина, толщина, цвет, густота) хорошо согла-суется с мнением экспертов.


1. Колоколов А. А., Нагорная З. Е., Ковалева Н. И., Привалова Ю. И. (2003) Вы-деление ведущих свойств пушно-мехового полуфабриката с применением моделейдискретной оптимизации// Омский научный вестник. – Омск: ОмГУ, 2003. 2(23).С.41-43.2. Еремеев А. В., Заозерская Л. А., Колоколов А. А. (2000) Задача о покрытии мно-жества: сложность, алгоритмы, экспериментальные исследования // Дискретныйанализ и исследование операций. 2000. Cер. 2, Т.7. С.22-46.

Ковалева Наталья Ивановна,Омский государственный институт сервиса, тел. (3812) 24-49-48,

Привалова Юлия Ивановна,Омский государственный университет, e-mail: [email protected]


АВТОМАТИЗАЦИЯ ЭСКИЗНОГОПРОЕКТИРОВАНИЯ ОДЕЖДЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НЕКОТОРЫХ

ЗАДАЧ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

А.А. Колоколов, З. Е. Нагорная, О.Н. Гуселетова, А.В. Ярош, Т.М. Богутова

В [1,2] и других работах нами развивается подход к автоматизации проектирова-ния одежды, основанный на применении некоторых задач дискретной оптимизациис логическими и другими ограничениями.

Приведем одну из указанных задач, представляющую собой обобщение задачимаксимальной выполнимости логической формулы. Предположим, что изделия фор-мируются из составляющих vj, j = 1, . . . , n. Каждому vj соответствует логическаяпеременная xj, принимающая значение истина, если vj входит в состав изделия,и – значение ложь в противном случае. Известны веса, определяющие степень це-лесообразности включения указанных составляющих в изделия. Заданы формулыCi, i = 1, . . . ,m, являющиеся дизъюнкциями переменных xj и/или их отрицаний,а также веса, характеризующие степень необходимости выполнения этих формул.Кроме того, учитываются ограничения по ресурсам и весу включенных в изделиесоставляющих. Требуется максимизировать суммарный вес выполненных формулCi, i = 1, . . . ,m.

В данной работе описывается создаваемый на основе указанного подхода про-граммный комплекс для эскизного проектирования одежды, включающий модулиоптимизации и визуализации проектных решений, базу данных и ряд других про-грамм. Модуль оптимизации включает алгоритмы решения и анализа используемыхматематических моделей. Программа визуализации дает возможность наглядногоизображения составляющих и готовых эскизов швейных изделий. Проводится вы-числительный эксперимент с целью дальнейшего исследования возможностей рас-сматриваемого подхода.


1. Колоколов А. А., Ярош А.В. (2003) Применение некоторых многокритериальныхзадач дискретной оптимизации для автоматизации проектирования одежды //Всероссийская конф. "Проблемы оптимизации и экономические приложения": Ма-териалы конф. – Омск: Изд-во Наследие. Диалог Сибирь, 2003. С. 174.2. Kolokolov A. A., Yarosh A. V. (2003) On solving some complex design problems us-ing discrete optimization models // Int. Conf. “Operations Research 2003”: Abstract. –Heidelberg, Germany. P. 136.

Колоколов Александр Александрович, Омский филиал Института математикиим. С. Л. Соболева СО РАН, ул. Певцова, 13, Омск, 644099, Россия,тел. (8-381-2) 23-67-39, факс (8-381-2) 23-45-84, e-mail: [email protected]Нагорная Зоя Егоровна, Ярош Александра Викторовна, Омский государственныйинститут сервиса, ул. Певцова, 13, Омск, 644099, Россия,тел. (8-381-2) 24-49-48, 23-67-39, e-mail: [email protected]Гуселетова Ольга Николаевна, Богутова Татьяна Михайловна,Омский государственный университет, пр. Мира, 55а, Омск, 644077, Россия,тел. (8-381-2) 22-56-96, e-mail: [email protected], [email protected]


ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯСЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОЙ ТЕХНИКИ В КРЕСТЬЯНСКИХ ХОЗЯЙСТВАХ

Т. Ч. Култаев

Проблема оптимального использования сельскохозяйственной техники частныхлиц по видам работ крестьянских хозяйств определенного подразделения (айыл ок-моту) государственного административного района может быть сведена к следующейэкстремальной задаче. Найти минимум

L(x) =

m∑

i=1

n∑

j=1

p∑

k=1

cijkxijk +

n∑

j=1

r∑

i=1

p∑

k=1

djikyjik +

r∑

i=1

p∑

k=1

cikTik

xik, (1)

при условияхp∑

k=1

xijk = aij, i = 1, 2, ...,m, j = 1, 2, ..., n, (2)

m∑

i=1

xijk

bijktij≤

r∑

i=1

yjik, j = 1, 2, ..., n, k = 1, 2, ..., p, (3)

n∑

j=1

yjlk = αlk + xlk, l = 1, 2, ..., r, k = 1, 2, ..., p, (4)

xijk ≥ 0, i = 1, 2, ...,m, j = 1, 2, ..., n, k = 1, 2, ..., p, (5)

yjlk ≥ 0, j = 1, 2, ..., n, l = 1, 2, ..., r, k = 1, 2, ..., p, (6)

xlk ≥ 0, l = 1, 2, ..., r, k = 1, 2, ..., p, (7)

xlk, yjlk − целые (8)

Известные константы: aij – объем i-й работы в j-м хозяйстве, cijk – стоимостьвыполнения единицы объема i-й работы сельскохозяйственной техникой k-й марки вj-м хозяйстве, djlk – оплата l-му владельцу за использования единицы техники k-ймарки j-м хозяйством, clk – балансовая стоимость техники k-й марки, при приобре-тении l-м владельцем, Tlk – нормативный срок окупаемости техники k-й марки l-говладельца, bijk — норма выработки техники k-й марки за единицу времени на i-йработе в j-м хозяйстве, tij – предельный срок выполнения i-й работы в j-м хозяй-стве, αlk – количество техники k-й марки l-го владельца, пригодной к эксплуатации,n – число хозяйств, r – число владельцев, m – число работ. Искомые переменные:xjik – объем работ i-го вида в j-м крестьянском хозяйстве выполняемый техникойk-й марки; yjlk – количество техники k-й марки l-го владельца, направляемое j-мукрестьянскому хозяйству; xlk – количество приобретаемой техники k-й марки l-мвладельцем. Сформулированная задача является задачей целочисленного програм-мирования, метод и алгоритм решения которой известен в [1]. Задача (1) – (8) былаапробирована на числовых данных Жоошской айыл окмоту Карасуйского районаОшской области Кыргызской республики.


1. Корбут А. А., Финкельштейн Ю. Ю. (1969) Дискретное программирование. –Москва: Наука. - 368 с.Култаев Топчубай Чокоевич, Ошский государственный университет,ул. Ленина, 331, Ош, 714000, Кыргызская республика,тел. (3222) 29754, 75556, факс (3222) 57558, e-mail: [email protected]


КОМПЬЮТЕРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ОЦЕНОК СЛОЖНОСТИ ТЕКСТОВ

Ю. Л. Орлов

Проведено сравнение оценок сложности текста для нуклеотидных геномных по-следовательностей. В Интернет-доступной компьютерной программе LowComplexity(http://wwwmgs.bionet.nsc.ru/mgs/programs/low_complexity/) реализовано несколь-ко известных оценок сложности. В частности, реализована оценка неравномерностинуклеотидного состава по Вутону и Федерхену [3]: CWF = (1/N) logK(N !/

∏Ki=1 ni!),

здесь N – размер окна, ni – число встретившихся символов (нуклеотидов i-го ти-па), i = 1, 2 . . . K, K – размер алфавита (для ДНК, K = 4 алфавит A, T,G,C).Другой реализованный метод — оценка энтропии слов CM в марковской модели по-рядка m. CM = −(mi/(N − m + 1))

∑Mi=1 logM(mi/(N − m + 1)), здесь mi — число

слов типа i в последовательности длины N , M = Km — общее число слов (олиго-нуклеотидов) длины m, K — размер алфавита. Реализована также процедура вы-числения лингвистической сложности CL [2], определяемая как отношение числаподслов, встретившихся в последовательности, к максимально возможному числуподслов: CL = (

∑mi=1 Vi)/(

∑mi=1 Vmax i). Здесь Vi — число олигонуклеотидов длины

i, K — размер алфавита, m — максимальная длина подслова, 1 < m < N , Vmax i

— максимально возможное число слов длины i в последовательности длины N .Vmaxi = min(K i, N − i + 1). Приводится оценка сложности CLZ по модифицирован-ному методу Лемпела и Зива [1] как нормированное число компонент сложностногоразложения. Все оценки сложности нормированы в интервале [0; 1]. Обсуждаютсярезультаты численных экспериментов и корреляция оценок сложности на полныхпоследовательностях бактериальных геномов.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 02-07-90355), про-граммы Министерства образования РФ (проект Е 02-6.0-250) и СО РАН (Интегра-ционный проект 119).


1. Lempel A., Ziv J. (1976) On the complexity of finite sequences// IEEE Trans. on In-form. Theory. 1976. V.22(1). P. 75–81.2. Troyanskaya O. G., Arbell O., Koren Y., Landau G. M., Bolshoy A. (2002) Sequencecomplexity profiles of prokaryotic genomic sequences: a fast algorithm for calculating lin-guistic complexity// Bioinformatics. 2002. V.18(5). P. 679–88.3. Wootton J. C., Federhen S. (1996) Analysis of compositionally biased regions in se-quence databases// Methods Enzymol. 1996. V.266. P. 554–71.

Орлов Юрий Львович,Институт цитологии и генетики СО АН,пр. Академика Лаврентьева, 10, Новосибирск, 630090, Россия,тел. (8-383-2) 33-29-71, факс (8-383-2) 33-12-78, e-mail: [email protected]


ОБРАТНЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ПРИОБОСНОВАНИИ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

В. И. Цымбал

Рассматриваются задачи обоснования управленческих решений в случаях, когда ар-сенал существующих средств, включая методы исследования операций [1], не удаётсяэффективно использовать по ряду причин. В их числе: отсутствие физического илиюридического лица, принимающего решение (ЛПР), невозможность согласовать сЛПР критерий оптимизации управленческого решения и математическую модель.Вместо этого действует система принятия и осуществления управленческого реше-ния (СПОУР), а также соответствующие бюрократические правила.

Примерами таких задач являются разработка и исполнение федерального бюд-жета, федеральных целевых программ, инновационно-инвестиционных проектов.

Применительно к таким случаям автором предложен и опробован методологи-ческий подход, в рамках которого исследователь разрабатывает математическуюмодель и систему критериев, соответствующие собственному знанию проблемы инеформализованным представлениям о ней субъектов СПОУР. Математически, на-пример, в частном случае объединения нескольких (i = 1, I) критериев Ci(x) с коэф-фициентами “веса” wi в общий критерий C(x) =

∑Ii wiCi(x), дальнейшие действия

исследователя таковы. Вместо обращения к ЛПР с просьбой назначить значения wi

и последующего поиска такого вектора x = x∗, при котором C(x∗) = optC(x), ис-следователь выясняет, какое значение x = xg рассматривается СПОУР в качествепредположительно “оптимального”, затем решает обратную оптимизационную зада-чу и информирует субъектов СПОУР о том, что это решение будет оптимальным притаком-то значении вектора “весов” xg, либо на таком-то ограниченном подмножестве“весов”, поскольку решение обратной задачи обычно не даёт однозначного ответа. Врезультате таких действий неявное “оптимальное” решение проявляется [2].



1. Ларичев О. И. (2003) Теория и методы принятия решений. – М.: Логос. – 392 с.2. Цымбал В. И. (2002) Метод неявной оптимизации как инструмент стратеги-ческого планирования и опыт его использования при обосновании военной реформы.Тезисы доклада на 3-м Всероссийском симпозиуме “Стратегическое планирование иразвитие предприятий”. – М.: ЦЭМИ РАН, 2002. — C.116.

Цымбал Виталий ИвановичИнститут экономики переходного периода,Газетный пер. 5, Москва, 103918, Россия, тел: (095) 229-09-71,факс 203-88-16, e-mail: [email protected]

227

СПИСОК АВТОРОВ

Абросимов Михаил Борисович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Адельшин Александр Владимирович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Айзенберг Наталья Ильинична . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Алексеева Екатерина Вячеславовна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Алексеева Татьяна Леонидовна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117Андрамонов Михаил Юрьевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Андрианова Анастасия Александровна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Аникеева Ирина Анатольевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Астафьев Николай Николаевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Бабурин Алексей Евгеньевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Баратова Бактыгуль Шабданбековна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Богутова Татьяна Михайловна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223Борисовский Павел Александрович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Бородин Олег Вениаминович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Булатов Валерьян Павлович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121,122Бухтояров Сергей Евгеньевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Валеева Аида Фаритовна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Васильев Валерий Александрович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196Васильев Сергей Александрович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Ватолкин Эдуард Александрович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Введенский Вячеслав Владимирович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Верхотуров Михаил Александрович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Визинг Вадим Георгиевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Видюк Максим Витальевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Винокуров Сергей Федорович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Вировлянская Маргарита Анатольевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Вирченко Мария Ивановна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Втюрина Марина Витальевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Вялый Михаил Николаевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Гамзова Юлия Васильевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Гаспарян Арменак Сократович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Гимади Эдуард Хайрутдинович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12,150Глебов Алексей Николаевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Глебов Николай Иванович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Говоров Андрей Николаевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199Гончаров Евгений Николаевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Горбунова Наталия Владимировна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Григоренко Елена Дмитриевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Груздев Дмитрий Валентинович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75Гуселетова Ольга Николаевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223Данилов Евгений Геннадьевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Девятерикова Марина Владимировна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Дементьев Владимир Тихонович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Демиденко Виталий Михайлович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

228

Дикин Илья Иосифович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Дичковская Светлана Александровна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Евдокимов Александр Андреевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Емеличев Владимир Алексеевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29,138,139,140,141Епифанов Сергей Петрович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Еремеев Антон Валентинович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Ерзин Адиль Ильясович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19,155Ерохин Владимир Иванович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126Ершов Андрей Рудольфович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Ершова Мария Станиславовна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Жадан Виталий Григорьевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Жанаева Анна Сергеевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197Желободько Евгений Владимирович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201,202Жидков Дмитрий Андреевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212Жмудяк Марина Леонидовна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Жук Сергей Николаевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Заботин Игорь Ярославич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Забудский Геннадий Григорьевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Залюбовский Вячеслав Валерьевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Заозерская Лидия Анатольевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Захарчук Илларион Иванович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Заховалко Татьяна Викторовна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Золотых Николай Юрьевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Зоркальцев Валерий Иванович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125,194Зыкина Анна Владимировна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Иваненко Дмитрий Сергеевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Иванов Дмитрий Владиславович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Иванова Светлана Диадоровна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Ижуткин Виктор Сергеевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Ильев Виктор Петрович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151,161Истомин Борис Леонидович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Казаков Антон Владимирович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Канева Ольга Николаевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Кардашевский Николай Игоревич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Карпышев Николай Николаевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Касим-Заде Октай Мурадович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32Кельманов Александр Васильевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162,185Кельманова Мария Александровна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185Кириченко Константин Дмитриевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Кислощаева Ванда Олеговна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Клименко Ольга Анатольевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Ковалева Наталья Ивановна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Козин Игорь Викторович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Коковин Сергей Гелиевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201,202,204Колоколов Александр Александрович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153,163,223Константинова Елена Валентиновна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Коршунов Алексей Дмитриевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

229

Косарев Николай Александрович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164Котельников Евгений Алексеевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Кочетов Юрий Андреевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179,183,186,187,188,193Кравцов Михаил Константинович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Кричко Виталий Николаевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29,139Кузнецова Антонина Александровна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Кузюрин Николай Николаевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Кузьмин Кирилл Геннадьевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Култаев Топчубай Чокоевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Лазарев Александр Алексеевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Ларин Рудольф Михайлович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Латипова Алина Таиховна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206Лев Герш Шахнович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203,207Леванова Татьяна Валентиновна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Леонович Андрей Михайлович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Леонтьев Владимир Константинович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Лепин Виктор Васильевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108Лореш Максим Андреевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189Ляхов Олег Алексеевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174Максишко Наталия Константиновна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Малюгин Сергей Артемьевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Маракулин Валерий Михайлович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208Мартюшев Алескей Владимирович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Медведко Олег Викторович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Михайлова Людмила Викторовна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Мокрый Игорь Владимирович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132Молодцов Сергей Георгиевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Мухачева Анна Сергеевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Мухачева Элита Александровна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Нагорная Зоя Егоровна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223Нурминский Евгений Алексеевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41Окольнишникова Елизавета Антоновна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Орлов Андрей Васильевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210Орлов Юрий Львович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Орлова Мария Владиславовна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Орозбеков Нурлан Аскарович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Панюков Анатолий Васильевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192,212Панюкова Татьяна Анатольевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111Парватов Николай Георгиевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79Пащенко Михаил Георгиевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186Пережогин Алексей Львович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80,84Петренко Семен Васильевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182Плясунов Александр Владимирович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143,179,186Повалихин Антон Николаевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203Подкопаев Дмитрий Петрович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29Полуэктова Елена Борисовна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192Попов Леонид Денисович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

230

Потапов Владимир Николаевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Привалова Юлия Ивановна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Прокопьева Людмила Юрьевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Пролубников Александр Вячеславович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112Просолупов Евгений Викторович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113Пяткин Артём Валерьевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6,114Райгородский Андрей Михайлович. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Рамазанов Али Багдаш оглы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Расин Олег Вениаминович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115Романов Александр Михайлович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Романова Анна Анатольевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Рубанова Наталья Алексеевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Руднев Антон Сергеевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Рыков Иван Александрович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Рябец Леонид Владимирович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Садыков Руслан Равильевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Салпагаров Сосланбек Исмаилович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Сапоженко Александр Антонович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Сафронова Ирина Алексеевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Севастьянов Сергей Васильевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172,176,177Сервах Владимир Вицентьевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175Сидоров Александр Васильевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Смагин Михаил Анатольевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Солонина Зоя Валерьевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Столяр Артём Александрович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Таирова Елена Викторовна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Тараканов Андрей Федорович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Тарасова Дарья Александровна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Токтарова Вера Ивановна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Трубачева Анна Евгеньевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214Узденов Ахмат Абдулахович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Файзуллин Рашит Тагирович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Федоряева Татьяна Ивановна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81Федурина Нина Ивановна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Филатов Александр Юрьевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Филимонов Дмитрий Валерьевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Фукин Игорь Анатольевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Хамидуллин Сергей Асгадуллович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Хамисов Олег Валерьевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127,132Хмель Екатерина Владимировна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Хошманд Асл Мохаммад Реза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Цымбал Виталий Иванович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218,226Чашкин Александр Викторович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Черных Илья Дмитриевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Шабанов Дмитрий Александрович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Шамрай Наталья Борисовна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41,137Шевченко Валерий Николаевич . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

231

Шестакова Надежда Васильевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Шмырёв Вадим Иванович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Шульгина Оксана Николаевна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Шур Арсений Михайлович . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Ягофарова Дарья Ивановна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Яковлева Татьяна Владимировна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Ярош Александра Викторовна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223Ageev Alexander Alexandrovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148Avgustinovich Sergey Vladimirovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Bykadorov Igor Alexandrovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Broersma Hajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Cassaigne Julien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Dobrynin Andrey Alekseevich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25,105Dombrovskiy Dmitriy Vladimirivich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200Dombrovskiy Vladimir Valentinovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Ellero Andrea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195Frid Anna E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Hansen Pierre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55,193Kim Hyun Kwang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Kitaev Sergey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88Kononov Alexander Veniaminovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171Koryakin Roman Aleksandrovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172Kostochka Alexandr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Krotov Denis Stanislavovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95Lin Bertrand M. T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Lyashenko Elena Alexandrovna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Mel’nikov Leonid Sergeevich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Mladenovic Nenad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190,193Moretti Elena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195Nahata Babu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Orlovich Yury Leonidovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Plastria Frank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Puzynina Svetlana Aleksandrovna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97Solov’eva Faina Ivanovna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Suparta I Nengah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Tokareva Natalia Nikolaevna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Urosevic Dragan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Van Zanten Jan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85,86Van den Heuvel Jan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Vasil’eva Anastasia Yurievna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Vesnin Andrey Yurievich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105Zverovich Igor′ Edmundovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'04):...

Documents

Transcript of Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'04):...