Методические указания для студентов...

Российский государственный педагогический университет имени А.И.Герцена

Факультет физики Кафедра прикладной математики

Методические указания для студентов психолого-педагогического факультета

по дисциплине «МАТЕМАТИКА»

2008 2

Содержание

1 . Государственный стандарт по математике . 2 . Тематическое планирование 1 - го семестра . 3 . Разработки к практическим занятиям 1 - го

семестра . 4 . Варианты индивидуальных з аданий 1 - го

семестра . 5 . Вопросы к з ачету за 1 -й семестр . 6 . Тематическое планирование 2 - го семестра . 7 . Разработки к практическим занятиям 2 - го

семестра . 8 . Варианты индивидуальных з аданий 2 - го

семестра . 9 . Вопросы к з ачету за 2 -й семестр . 10 . Тематическое планирование 3 - го семестра . 11 . Лабораторные работы 3 -его семестра . 12 . Вопросы к экзамену . 13 . Приложение .

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ ПО МАТЕМАТИКЕ 521000 Психология (направление) 020405 Специальность психология, специализация: психология управления. 521100 Социальная работа Специальность: клиническая психология

Введение в дискретную математику; элементы теории

множеств; векторная алгебра; матрицы; элементы функционального анализа; вероятность и статистика; теория вероятностей; статистическое оценивание и проверка гипотез, параметрические и непараметрические методы; элементы дисперсионного анализа; статистические методы обработки экспериментальных данных.

3

Ито г о в а я а т т е с т а ци я Первый семестр – зачет. Второй семестр – зачет. Третий семестр – экзамен. ЗАЧЕТ включает в себя проверку 1) знания теоретического

материала, 2)умения решать практические задачи и примеры, 3) выполнения индивидуальных заданий.

На ЭКЗАМЕНЕ проверяется усвоение основных понятий, приобретение навыков и умений работы с математическими моделями и методами.

1 СЕМЕСТР

Тематический план изучения дисциплины «Математика».

521000 Психология (направление) 020405 Специальность психология, специализация: психология

управления.

№ Виды учебных занятий

Кол-во час.

Темы и учебные вопросы занятий

Лекции 1 Вводная

лекция 1 Вводная лекция.

1. Предмет, задачи и содержание дисциплины «Математика».

2. Краткая историческая справка. 3. Рекомендации по работе над курсом.

2 Лекция №1

1 Элементы теории множеств. 1. Кванторы и символы математической

логики. 2. Множества. Операции над множествами. 3. Числовые множества. Промежутки.

3 Лекция №2

2 Элементы теории множеств. 1. Модуль и его свойства. 2. Окрестность точки. 3. Уравнение прямой на плоскости.

4

4. Лабораторная работа №1. 4 Лекция

№3 2 Матрицы.

1. Понятие матрицы. Равные матрицы. Единичная матрица.

2. Действия над матрицами. 3. Определитель и его вычисление.

5 Лекция №4

2 Функция. 1. Решение линейных систем уравнений. 2. Определение функции. 3. Область определения и способы задания

функции. 6 Лекция

№5 2 Функции.

1. Свойства функций. Обратная функция. 2. Сложная функция. 3. Основные элементарные функции, их

свойства и графики. 7 Лекция

№6 2 Функции.

1. Основные элементарные функции, их свойства и графики (продолжение).

2. Понятие элементарной функции. 8 Лекция

№7 2 Предел функции.

1. Алгебраические и трансцендентные функции.

2. Преобразование графиков функций. 3. Понятие предела функции. 4. Бесконечно малые и бесконечно большие

функции. 9 Лекция

№8 2 Предел функции. Понятие производной.

1. Неопределенности. 2. Определение производной. 3. Таблица производных. Правила

дифференцирования. 10 Лекция

№9-10 3 Понятие производной.

1. Геометрический смысл производной. 2. Дифференцирование сложной функции. 3. Вычисление производных сложной функции.

11 Лекция 3 Применение производной.

5

№10-11 1. Правило Лопиталя. 2. Вычисление пределов по правилу Лопиталя. 3. Применение производных к исследованию

функций (монотонность, экстремумы). 4. Индивидуальное задание №4

12 Лекция №12

2 Неопределенный интеграл. 1. Первообразная и неопределенный интеграл. 2. Основные свойства неопределенного

интеграла. 3. Таблица основных интегралов.


2 Методы интегрирования 1. Замена переменной в неопределенном

интеграле. 2. Решение задач.


2 Определенный интеграл и его свойства. 1. Определение определенного интеграла. 2. Простейшие свойства определенного

интеграла. 3. Геометрический смысл определенного

интеграла, и его существование. 15 Лекция

№15 2 Методы вычисления определенного

интеграла и его геометрические приложения.1. Интеграл с переменным верхним пределом.

Теорема Барроу. 2. Вычисление определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница. 3. Замена переменной в определенном

интеграле. 4. Вычисление площади плоской фигуры в

ДСК. 5. Индивидуальное задание №5


2 Несобственные интегралы. 1. Несобственные интегралы по бесконечному

промежутку. определение. Геометрический смысл.

2. Понятие функции двух переменных 17 Лекция 2 Заключительная лекция.

6

№17 Зачетное занятие. Практические занятия

18 Практическое занятие №1

2 Повторение школьного курса математики. 1. Формулы сокращенного умножения. 2. Тригонометрия. 3. Логарифмы. 4. Степень и ее свойства. 5. Метод интервалов.


2 Матрицы. 1. Действия с матрицами. 2. Вычисление определителей. 3. Решение систем линейных уравнений.

Правило Крамера. 4. Выполнение индивидуального задания

№1 и 2. 20 Практиче

ское занятие №3

2 Функции 1. Область определения функции. 2. Нахождение обратных функций. 3. Построение графиков. 4. Индивидуальное задание №3

21 Практ. занятие №4

2 Предел функции. 1. Вычисление предела функции. 2. Раскрытие неопределенностей.

22 Практическое занятие №5-6

4 Производная. 1. Техника дифференцирования. Таблица

производных. 2. Дифференцирование сложной функции. 3. Применение производных к исследованию

функций. 4. Контрольная работа №1


2 Неопределенный интеграл. 1. Интегрирование с помощью таблицы,

правил и тождественных преобразований. 2. Замена переменной в неопределенном

интеграле. 24 Практиче

ское 2 Определенный интеграл и его свойства.

1. Вычисление определенного интеграла по

7

занятие №8

формуле Ньютона-Лейбница. 2. Замена переменной в определенном

интеграле. 25 Самостоя

тельная работа

6 ч.

Элементы векторной алгебры. 1. Понятие вектора. Операции над векторами. 3. Свойства операций. 4. Скалярное произведение. 5. Свойства скалярного произведения. 6. Координаты вектора. 7. Свойства координат векторов. 8. Теорема о скалярном произведении. 9. Лабораторная работа №2

Всего по дисциплине 50 ч., из них: Лекций (практик) 34 ч. (16 ч.)

Тематический план изучения дисциплины «Математика».

Специальность: клиническая психология

№ Виды учебных занятий

Кол-во час.


Лекции 1 Вводная

лекция 1 Вводная лекция.

1. Предмет, задачи и содержание дисциплины «Математика».

2. Краткая историческая справка. 3. Рекомендации по работе над курсом.

2 Лекция №1

1 Элементы теории множеств. 1. Кванторы и символы математической логики. 2. Множества. Операции над множествами. 3. Числовые множества. Промежутки.

3 Лекция №2

2 Элементы теории множеств. 1. Модуль и его свойства. 2. Окрестность точки. 3. Уравнение прямой на плоскости. 4. Лабораторная работа №1

4 Лекция 2 Предел функции.

8

№3 1. Понятие предела функции. 2. Бесконечно малые и бесконечно большие

функции. 3. Неопределенности.

5 Лекция №4

2 Понятие производной. 1.Определение производной. 2.Таблица производных. Правила

дифференцирования. 3.Дифференциал.

6 Лекция №5

2 Неопределенный интеграл. 1. Первообразная и неопределенный интеграл. 2. Основные свойства неопределенного

интеграла. 3. Таблица основных интегралов.

7 Лекция №7

2 Определенный интеграл и его свойства. 1. Определение определенного интеграла. 2. Простейшие свойства определенного

интеграла. 3. Геометрический смысл определенного

интеграла, и его существование. 4. Интеграл с переменным верхним пределом. 5. Теорема Барроу.

8 Лекция №8

2 Определенный интеграл. Несобственный интеграл.

1. Формула Ньютона-Лейбница. 2. Несобственные интегралы по бесконечному

промежутку. 3. Понятие о функции двух переменных. Практические занятия


2 Повторение школьного курса математики. 1. Формулы сокращенного умножения. 2. Тригонометрия. 3. Логарифмы. Степень и ее свойства. 4. Метод интервалов.

2 Практическое занятие

4 Матрицы и определители. 1. Действия с матрицами. 2. Вычисление определителей.

9

№2-3 3. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

4. Выполнение индивид. задания №1 и 2. 3 Практич

еское занятие №4

2 Функция. 1. Определение функции. 2. Область определения и способы задания функции.

3. Свойства функций. 4 Практич


2 Функции. 1. Обратная функция. 2. Сложная функция. 3. Основные элемент. функции, их свойства и графики.


2 Функции. 1. Основные элементарные функции, их

свойства и графики (продолжение). 2. Понятие элементарной функции. 3. Алгебраические и трансцендентные функции. 4. Преобразование графиков функций. 5. Индивидуальное задание №3


2 Предел функции. 1. Вычисление предела функции. 2. Раскрытие неопределенностей.


2 Понятие производной. 1. Техника дифференцирования. Таблица производных.

2. Дифференцирование сложной функции. 8 Практич

еское занятие №9-10

4 Применение производной. 1. Геометрический и механический смысл производной.

2. Правило Лопиталя. 3. Применение производных к исследованию функций (монотонность, экстремумы).


2 Производная. 1. Применение производных к исследованию

функций. 2. Выполнение индивидуального задания №4

10

по исследованию функции и построению графика.

10 Практ. зан №12

2 Контрольная работа №1 по теме «Функция, построение графиков, пределы, производные»


2 Неопределенный интеграл. 1. Интегрирование с помощью таблицы, правил и тождественных преобразований.

2. Замена переменной в неопределенном интеграле.


2 Неопределенный интеграл. 1. Замена переменной в неопределенном

интеграле. 2. Интегрирование по частям в неопределенном

интеграле. 13 Практич


2 Методы вычисления определенного интеграла и его геометрические приложения.

1. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

3. Вычисление площади плоской фигуры в ДСК (выполнение индивидуального задания №5).


1 Несобственные интегралы. 1. Вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку.

2. Геометрический смысл несобственного интеграла.

15 Практ. зан.№16

1 Зачетное занятие.

Самостоятельная работа

6 ч.

Элементы векторной алгебры. 1. Понятие вектора. Операции над векторами. 2. Свойства операций. 3. Скалярное произведение. 4. Свойства скалярного произведения. 5. Координаты вектора. 6. Свойства координат векторов. 7. Теорема о скалярном произведении.

11

8. Лабораторная работа №2 Всего 48 ч., из них: 16-лекции, 32-практические занятия

Тест №1 по элементарной математике

задание I 1 Разложите на множители 132 2 +− xx .

2 Сократите дробь xyyx

−− 33

.

3 Освободитесь от иррациональных чисел в знаменателе

52127

3 +.

II 4 Решите линейное неравенство 014 <+− x .

5 Изобразите схематически график функции

1832 ++−= xxy . 6 Решите квадратное неравенство 164 2 −<− x .

III 7 Найдите значение функции x

y ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=21

при 50 −=x .

8 Расположите числа 5

21 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ;

10

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ;

3.2

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ в порядке

возрастания.

9 Верно ли неравенство 121 1.2

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ?

IV 10 Вычислите

2log2331

3−

. 11 Изобразите схематически график функции xy 3log= .

12 Определите знак числа 11log3 .

V 13 Вычислите ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +απ2

sin при 2πα = .

12

14 Вычислите ( )1arctg − . 15 Изобразите схематически график функции xy ctgarc= . 1 Решите неравенство xx 22 ≤− .

2 Из промежутков ( )0,∞− , ( )1,0 , ( )∞+,1 выберите тот,

которому принадлежит корень уравнения 1282 =x . 3 Решите неравенство 0sin >x .

Индивидуальная работа № 1 МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Задание I. Даны матрицы:

,014117602

,840022147

,182143021

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−= CBA

.132145017

,314582110

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−= ND

Номер варианта

Вычислить Номер варианта

Вычислить

1 2 3 4 5 6 7 8

CNA 42 +− DBA −+− 3 NDA 34 −+ ABC 32 +− CDA +− 43 CBA 32 −+−CBA −+− 53

CNA 4+−

9 10 11 12 13 14 15

BAC −+3 NBA −+− 4

BDC 232 −+−BCA +− 25 NDB 32 −+−

NAB 24 +− CBN +− 23

13

Задание II. Найти произведение матриц.


1 2 3 4 5 6 7 8

Вычислить AB BA BC CB AC CA DA AD


9 10 11 12 13 14 15

Вычислить DB BD CD DC AN NC BN

Задание III. Дана матрица ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

32045121α

A

Вычислить Adet двумя способами: а) по определению; б) с помощью разложения по первой строке. Значение параметра α взять равным номеру варианта.

Индивидуальная работа № 2

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Задание I. Решить систему двух линейных уравнений с двумя

неизвестными, используя формулы Крамера. Сделать проверку.

1)⎩⎨⎧

=+=−

.24,13

yxyx

2) ⎩⎨⎧

−=−=+

.1,32

yxyx

3) ⎩⎨⎧

=−=+−

.17,42

yxyx

4) ⎩⎨⎧

=+−−=+

.04,153

yxyx

5) ⎩⎨⎧

=+−=+−

.328,43

yxyx

6) ⎩⎨⎧

=−=+−

.182175

yxyx

7) ⎩⎨⎧

=−=+−

.15,4073

yxyx

8) ⎩⎨⎧

−=−=+

.18,55

yxyx

9) ⎩⎨⎧

=−−=+

.323,14

yxyx

14

10) ⎩⎨⎧

=−=+−

.52,42

yxyx

11) ⎩⎨⎧

=+=−

.153,82

yxyx

12) ⎩⎨⎧

=−−=−

.15,425

yxyx

13) ⎩⎨⎧

=+=−−

.33,152

yxyx

14) ⎩⎨⎧

=+−=+

.135,237

yxyx

15) ⎩⎨⎧

=+−=−

.152,586

yxyx

Задание II. Решить систему трех линейных уравнений а) по формулам Крамера, б) методом Гаусса.

1) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=−−−=−+

.123,6223,12

zyxzyxzyx

2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+−

=−+

.12,1

,42

zxzyzyx

3) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=−+−=++

.12,42,1

zxzyxzyx

4) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=−+

=++−

.22,1

,52

zxzyxzyx

5) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=−−

=+−

.52,12

,62

zyxzyxzyx

6) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+−=+−=+−

.13,642,22

yxzxzyx

7) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+−=−+=−

.732,4222,52

zyxzyxzy

8) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=+−−=−+

.532,22

,3

zyxzyxzyx

9) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=−+=++

.21238,18362,48335

zyxzyxzyx

10) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=−

=++

.33,224

,932

zyxzyzyx

11) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=−−=++

.324,1385

,3223

zyxzyxzyx

12) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=++−=+−

.52,67

,522

zyxzyxzyx

13) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=−+=++

.1353,872,42

zyxzyxzyx

14) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+−=+−

.1342,342,753

zyxzyxzyx

15) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=−

−=−+−

.13,12

,432

zyxyx

zyx

15

Лабораторная работа №1 ПРЯМАЯ. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

1. Даны две точки A и B . Составить уравнение прямой AB ,

если а) )2;4(−A и )4;6(B ; б) )1;0( −A и )1;3( −B ; в) )4;5(A и )8;5( −B ; г) )7;8( −A и )7;2( −−B . Построить эти прямые. 2. Даны две прямые 0135 =++ yx и 075 =++ yxα . Найти

такое значение параметра α , при котором данные прямые перпендикулярны.

3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2; -3)

параллельно прямой, соединяющей точки (1; 2) и (-1; -5). 4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1; 2) и

перпендикулярной к прямой, соединяющей точки (4; 3) и (-2; 1). 5. Найти точку пересечения двух прямых: а) 072 =−+ yx и 052 =−+ yx ; б) 023 =− yx и 0523 =+− yx ; в) 07312 =−+ yx и 014624 =−+ yx .

Индивидуальное задание №3 Область определения функции. Графики элементарных функций.

Задание №1. Найти область определения функции:

Задание №2 Построить график функции:

1.

( )2

13arcsin321 −+−=

xxxf ⎩⎨⎧

−>−−≤+= 1,1

1,12

xприxxприxy

16

2. ( ) ( )23 1log

122 x

xxxf −+−−

= ⎩⎨⎧

≥<−= 0,3

0,12xпри

xприxy x

3. ( ) 133lg −+

−+

= xxxxf

⎩⎨⎧

<≥+= 1,3

1,12 2

xприxxприxy

4. ( ) ( )xx

xxf 11

1log3 +−+

= ( )

⎩⎨⎧

−>+−≤−= 2,12

2,2log3xприx

xприxy

5. ( )x

xxf 14 2 +−= ⎩⎨⎧

≥+<= 2,14

2,2xприx

xприyx

6. ( )x

xxf 112

arccos +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= { 4,log

4,24 >

≤= xприxxприxy

7.

( ) ( )2arccos432

2

2−+

−

+= x

xxxf ⎩

⎨⎧

>≤−= 2,5.0

2,212 xприx

xприxy

8. ( ) ( )4log1

11

23

2 −+

++

=xx

xxf ⎩⎨⎧

>≤+=0,2

0,12

xприxприxy x

9.

( )2

32arcsin12

1 −+

−=

xx

xf ⎩⎨⎧

≥<−= 1,log

1,13 xприx

xприxy

10. ( )( )

31

1log21

++

−

=xx

xxf ⎩

⎨⎧

−<−−−≥−= 1,3

1,13

xприxxприxy

11. ( )3

4ln2+−

−−=x

xxxf { 0,arcsin0,

≥<−= xприx

xприxy

12. ( )x

xxf 113

arccos +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

≤=

1,1

1,log

221

xприx

xприxy

17

13. ( )2

19 2

−+−=

xxxf

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+

<= 0,

2

0,arccosxприxxприx

y π

14.

( ) ( )2arcsin21

−+−

= xx

xf ⎪⎩

⎪⎨⎧

<+−

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=0,1

0,31

2 xприx

xприy

x

15.

( ) ( )6

14log 22 +

+−=x

xxf ⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

≤+−= 2,1

21

2,42

xприxxприx

y

Контрольная работа №1 по теме «Функция, построение графиков, пределы, производные»

Вариант №0 1.Найти область определения функции

( )2

arccos2 xx

xxf +−

=

2.Построить график функции ( )2log4 −= xy

3. 41

043lim −

−→x

x; 4.

125273lim 2

2

++−

∞→ xxxx

x; 5.

1lim

1 −−

→ xxx

x;

6.9665lim 2

2

3 +−+−

→ xxxx

x; 7.

( )xxx

ex 21lnlim 21 ++

−→.

8. Вычислить производные ( ) ( )xctgxy −⋅−= 212 4 ;

9. xy2arccos4= ; 10.

xy

x

sin3 54 −

= .

18

Индивидуальное задание №4

Провести исследование и построить график функции

1. 3 296 xxy += ; 9. 3 23 5 52 xxy −= ;

2. xxy 455 4 += ; 10. 533 246 −+−= xxxy ;

3. 24

24

xxy −= ; 11. ( )32 3−= xxy ;

4. 4

43 xxy += ; 12. ( ) ( )3 216 −−= xxy ;

5. ( ) ( )14 32

−+= xxy ; 13. ( )532

−= xxy ;

6. 3 3 3xxy −= ; 14. xxy 23 −= ;

7. 3

43xxy −= ; 15. ( ) 62333 2 +++= xxy .

8. 3 232 xx + ;

План исследования:

1. Найти область определения функции. 2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. 3. Проверить свойство четности-нечетности функции и сделать

вывод о влиянии наличия этого свойства на график функции. 4. Найти производную функции. 5. Исследовать промежутки монотонности. 6. Найти экстремумы. 7. Найти вторую производную. 8. Исследовать промежутки выпуклости графика. 9. Построить схематичный график.

19

Индивидуальное задание №5 Вычисление площади плоской фигуры.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать рисунок):

1. 2xy = и 782 −+−= xxy ; 9. 2xy = , xy = , 4=x ;

2. 232

−−= xy и

21102 ++= xxy ;

10. 22 −−= xxy , 3=x , 1−=x , ось Ox ;

3. 1+= xy и 1882 +−= xxy ; 11. xy 42 = , 4=x ;

4. x

y 1−= , 4−=x , 5=y ; 12. xey = , ey = , 0=y ,

1−=x ;

5. 23xy = , 4+= xy , 4+−= xy ;

13. x

y 4= , 4=x , 4=y ,

0=x , 0=y ;

6. 3xy = , 2−−= xy , ось Ox ; 14. xy 42 = , 0=y , 4=y ;

7. 3xy = , 22 xy −= ; 15. 02 =+− yx , 0=y , 1−=x , 2=x .

8. 62 +−= xy , 5+= xy , 5+−= xy ;

20

Лабораторная работа №2 ВЕКТОРЫ

1. В параллелограмме ABCD обозначены: ., bADaAB == Точка M — точка пересечения диагоналей

параллелограмма. Через a и b выразить векторы .,,,,,, MBMCAMBDACCDBC

2. В треугольнике ABC обозначены ., bBCaAB == Через a и b выразить векторы, совпадающие с медианами CPBNAM ,, треугольника.

3. Даны точки ).2;1;1(),1;3;0(),0;1;2( −−− CBA а) Найти координаты и длины векторов BCACAB ,, . б) Найти вектор BCABm −= 2 и его длину. 4. Найти направляющие косинусы векторов }3;1;2{ −a и

}4;3;0{ −b и записать орты данных векторов. 5. Найти скалярное произведение векторов a и b :

а) ;2,2 kjbjia +−=+= б) ,}1;3;1{ −−a }4;2;4{ −−b ; в) ,}5;1;2{ −−a }1;1;2{ −b .

6. Даны точки ).2;1;1(),1;2;2(),2;1;3( −− CBA Найти проекцию вектора AB на направление .CB

7. Даны векторы }1;0;1{ −a и }.0;3;2{b Найти угол между

векторами а) a и b ; б) bac 2+= и bad −= 2 . 8. На материальную точку действуют силы ,21 kjiF +−=

,222 kjiF ++−= kjiF 23 −+= . Найти работу равнодействующей R этих сил при перемещении точки из положения )0;1;2( −A в положение )1;1;4( −B .

9. Найти вектор x , коллинеарный вектору }3;2;1{ −a и такой, что 28=ax .

21

Контрольная работа №2 по теме «Неопределенные интегралы»

Вариант №0

1. ( )∫ − 413x

dx; 2. ∫ − x

dx21

;

3. ∫ +−− dxxx

x54

433

2; 4. ∫ − dxee xx 3 3

Вопросы к зачету по математике за первый семестр 1. Понятие матрицы. Прямоугольная, квадратная матрица. Размер

матрицы. Единичная матрица. 2. Действия с матрицами. 3. Определители матриц второго и третьего порядков. 4. Системы алгебраических линейных уравнений. Матричное

уравнение. Правило Крамера. 5. Прямая. Общее уравнение. Расположение прямой на координатной

плоскости в зависимости от значений коэффициентов А, В, С. 6. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пучок прямых. 7. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Уравнение прямой в отрезках. 8. Взаимное расположение прямых. Условия перпендикулярности и

параллельности прямых. 9. Понятие вектора. Модуль вектора. Коллинеарные векторы. Равные

векторы 10. Действия с векторами. Свойства. 11. Проекция вектора на ось. Направляющий косинус.

Ортонормированный базис. Разложение вектора по компонентам. 12. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного

произведения. 13. Понятие функции. Определение. Область определения и область

значений. Способы задания. 14. Сложная функция. 15. Свойства функций (четность, периодичность).

22

16. Монотонность функций. Ограниченность. Непрерывность функции.

17. Обратная функция, условия существования. Способ нахождения. График обратной функции.

18. Элементарные функции. Основные элементарные функции их свойства и графики.

19. Предел функции в точке. Геометрическая интерпретация. 20. Понятие производной. 21. Таблица производных. Правила дифференцирования (основные

формулы). 22. Геометрический смысл производной. 23. Применение правила Лопиталя к вычислению пределов. 24. Применение производных к исследованию функций.

Монотонность функции. 25. Применение производной к исследованию функций. Экстремумы

функции. 26. Первообразная, семейство первообразных. Понятие

неопределенного интеграла. 27. Основные свойства неопределенного интеграла. 28. Операция интегрирования. Таблица интегралов. Ее проверка. 29. Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование. 30. Методы интегрирования. Метод подстановки. 31. Определение определенного интеграла. Обозначение. 32. Геометрический смысл определенного интеграла и его

существование. 33. Формула Ньютона-Лейбница. Применение к вычислению

определенного интеграла. 34. Приложение определенного интеграла к вычислению площадей

плоских фигур.

23

2 СЕМЕСТР

Тематический план изучения дисциплины «Математика». 521000 Психология (направление)

020405 Специальность психология, специализация: психология управления.

№ Виды

учебных занятий

Кол-во час.


Тема №1 Случайные события и аксиомы теории вероятностей

1 Лекция №1 2 Введение в теорию вероятностей. События.

1. Введение. 2. Пространство элементарных исходов. 3. События и действия с ними. 4. Частота и вероятность.

2 Лекция №2 2 Аксиомы теории вероятностей. 1. Аксиомы теории вероятностей;

вероятностное пространство. 2. Простейшие свойства (следствия из

аксиом). 3. Классическое определение вероятности. 4. Элементы комбинаторики. 5. Геометрическая вероятность

Лекция №3-4

4 Независимость событий. 1. Условная вероятность. 2. Независимость событий. 3. Формула полной вероятности и формула

Байеса. 4. Испытания Бернулли.

Практическое занятие №1

2 Определенный интеграл и его приложения.

1. Вычисление определенного интеграла: непосредственное, метод подстановки.

2. Площадь плоской фигуры. 24

3. Контрольная работа №3. 3 Практическ

ое занятие №2

2 События и действия с ними. 1. События и действия с ними: сумма,

произведение, разность; противоположное событие.

2. Аксиомы теории вероятностей. 4 Практическ

ое занятие №3-4

4 Комбинаторные задачи 1. Правила комбинаторики. 2. Сочетание. Число сочетаний.


4 Классическое определение вероятности. 1. Формула классической вероятности с

использованием комбинаторики. 2. Геометрическая вероятность. 3. Индивидуальное задание №7


2 Основные теоремы теории вероятностей. 1. Формула сложения вероятностей. 2. Формула умножения вероятностей. 3. Лабораторная работа №3.


3 Полная вероятность. 1. Формула полной вероятности 2. Формула Байеса. 3. Контрольная работа №4.

9 Практическое занятие № 9-10

3 Независимые испытания. Формула вычисления вероятности.

1. Независимые повторные испытания. Схема Бернулли

2. Формула Бернулли. Тема №2. Случайные величины

10 Лекция №5-6

4 Случайная величина. 1. Определение случайной величины.

Функция распределения и ее свойства. 2. Дискретная случайная величина и закон

ее распределения. 3. Важнейшие типы дискретных случайных

распределений: вырожденное, Бернулли, биномиальное, Пуассона.

4. Теорема Пуассона.

25


2 Дискретная случайная величина. 1. Составление законов распределения. 2. Нахождение функций распределения

вероятностей и построение графиков. 3. Работа со стандартными

распределениями. 12 Лекция

№7-8 3 Непрерывная случайная величина.

1. Определение. Функция плотности распределения и ее свойства.

2. Важнейшие типы непрерывных распределений: равномерное, показательное, нормальное.

3. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

13 Лекция №8-9

3 Числовые характеристики случайных величин.

1. Математическое ожидание и его свойства.

2. Дисперсия и ее свойства. 3. Начальные и центральные моменты;

мода и медиана. 14 Практическ

ое занятие №12-14

6 Дискретная случайная величина. 1. Стандартные законы распределения и их

числовые характеристики. 2. Теорема Пуассона.


4 Непрерывная случайная величина. 1. Функция плотности распределения

вероятностей и числовые характеристики.

2. Стандартные законы распределения. 3. Локальная и интегральная теоремы

Муавра-Лапласа. 4. Тест №2


2 Непрерывная случайная величина. 1. Нормальное распределение. 2. Вероятность попадания случайной

величины в заданный интервал 26


2 Итоговое занятие: зачет.

18 Самостоятельная работа

Системы случайных величин

Всего 54: Лекций 18

Практических занятий 36

Тематический план изучения дисциплины «Математика». Специальность: клиническая психология

№ Виды

учебных занятий

Кол-во час.


Тема №1 Случайные события и аксиомы теории вероятностей

1 Лекция №1

2 Введение в теорию вероятностей. События.

1. Введение. 2. Пространство элементарных исходов. 3. События и действия с ними. 4. Частота и вероятность.

2 Лекция №2

2 Аксиомы теории вероятностей. 1. Аксиомы теории вероятностей;

вероятностное пространство. 2. Простейшие свойства (следствия из

аксиом). 3. Классическое определение вероятности. 4. Элементы комбинаторики. 5. Геометрическая вероятность

Практическое занятие №1

2 Определенный интеграл и его приложения.

1. Вычисление определенного интеграла: непосредственное, метод подстановки.

2. Площадь плоской фигуры.

27

3. Контрольная работа №3. Практичес

кое занятие №2

2 Комбинаторные задачи 1. Правила комбинаторики. 2. Сочетание. Число сочетаний.


3 События и действия с ними. 1. События и действия с ними: сумма,

произведение, разность; противоположное событие.

2. Аксиомы теории вероятностей. 4 Лекция

№3-4 4 Независимость событий.

1. Условная вероятность. 2. Независимость событий. 3. Формула полной вероятности и формула

Байеса. 4. Испытания Бернулли.


3 Классическое определение вероятности. 1. Формула классической вероятности с

использованием комбинаторики. 2. Геометрическая вероятность.


2 Основные теоремы теории вероятностей. 1. Формула сложения вероятностей. 2. Формула умножения вероятностей.

Практическое занятие №7-8

3 Полная вероятность. 1. Формула полной вероятности 2. Формула Байеса. 3. Контрольная работа №4.

Практическое занятие № 8-9

3 Независимые испытания. Формула вычисления вероятности.

1. Независимые повторные испытания. Схема Бернулли

2. Формула Бернулли. 3. Локальная и интегральная теоремы

Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона. Тема №2. Случайные величины 8 Лекция 4 Случайная величина.

28

№5-6 1. Определение случайной величины. Функция распределения и ее свойства.

2. Дискретная случайная величина и закон ее распределения.

3. Важнейшие типы дискретных случайных распределений: вырожденное, Бернулли, биномиальное, Пуассона.

Практическое занятие №10-11

4 Дискретная случайная величина. 1. Составление законов распределения. 2. Нахождение функций распределения

вероятностей и построение графиков. 3. Работа со стандартными

распределениями. 9 Лекция

№7 2 Непрерывная случайная величина.

1. Определение. Функция плотности распределения и ее свойства.

2. Важнейшие типы непрерывных распределений: равномерное, показательное, нормальное.


2 Числовые характеристики случайных величин.

1. Математическое ожидание и его свойства.

2. Дисперсия и ее свойства. 3. Начальные и центральные моменты.


3 Дискретная случайная величина. 1. Стандартные законы распределения и их

числовые характеристики. 2. Теорема Пуассона.


3 Непрерывная случайная величина. 1. Функция плотности распределения

вероятностей и числовые характеристики.

2. Стандартные законы распределения. 3. Тест №2

Практ. зан. №15

2 Системы случайных величин. Корреляция. Регрессия.

29

13 Практ. Зан. №16

2 Итоговое занятие: зачет.

54: 16 32

Контрольная работа №3

по теме «Определенный и неопределенный интегралы» Вариант 0.

1) ( )∫

− −

0

123x

dx, 2) ∫ +

4

114

e

xdx

, 3) ∫ +

1

06

3

1 xdxx

, 4) ∫∞

16 xdx

5) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 432 −−= xxy

и 1022 2 −+= xxy .

Контрольная работа №4 по теме «Полная вероятность»

1. В первой коробке – три красных шарика и семь зеленых. Во второй коробке – четыре красных и три синих, в третьей – два красных и два черных. Наугад берем коробку и достаем один шарик. Какова вероятность, что он красный?

2. В одной урне находится 5 белых и 5 черных шаров, в другой – 7 белых и 6 черных. Наудачу выбрали урну, а из нее вытащили шар. Какова вероятность, что он черный? Пусть вытащили черный шар какова вероятность, что он из первой урны?

Тест №2

по теории вероятностей (случайные величины) Вариант №0

Задание №1. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:

X 1 2 x P 0.2 0.4 р

Известно, что [ ] 6.2=XM . Найти [ ] { } ( )xFXPXDxp ;3.1,,; ≤ .

30

Задание №2. 1. Определите, на каких рисунках изображены графики функций, которые могут служить функциями распределения вероятности на числовой оси:

2. Определите, на каких рисунках изображены графики функций, которые могут задавать плотность распределения вероятности на числовой оси:

31

3. Случайная величина f – количество отличников на втором курсе после зимней сессии. Определите, является ли она дискретной, поясните свой ответ. 4. В корзине лежали 15 кубиков. Ровно четыре из них были деревянные, а остальные – пластмассовые или картонные. Случайно выбросили три кубика из корзины. Величина f – количество деревянных кубиков, которые остались в корзине. Определите, является ли закон распределения вероятности между значениями f типовым (если это так, то укажите тип и параметры). Поясните. 5. Параметры равномерного распределения вероятности на отрезке равны: 4,2 =−= ba . Подсчитайте математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что соответствующая случайная величина примет значение не больше двух. 6. Параметр показательного закона 25,0=µ . Подсчитайте математическое ожидание и вероятность того, что соответствующая случайная величина примет значение не менее трех. 7. Параметры нормального закона: 1,2 −== aσ . Подсчитайте вероятность того, что соответствующая случайная величина примет значение от двух до трех. 8. Плотность распределения вероятности задана формулой:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≤≤−

<

=

.40

408

400

)(

xпри

xприxxпри

xp

Подсчитайте вероятность того, что соответствующая случайная величина примет значение от одного до трех. 9. В задаче №8 подсчитайте математическое ожидание.

Вопросы к зачету по математике за второй семестр

1. Элементы комбинаторики. 2. Случайные события. Алгебра событий. Совместные и

несовместные события. 32

3. Относительная частота и ее свойства. 4. Классическая вероятность и ее свойства. 5. Геометрическая вероятность. 6. Основные теоремы т.в. Теоремы сложения. 7. Зависимые и независимые события. Теорема умножения

вероятностей. 8. Полная вероятность. Формула Байеса. 9. Схема Бернулли. Формула биномиального распределения

вероятностей. Вероятность появления события А хотя бы один раз в n испытаниях. Наивероятнейшее число появлений события А.

10. Понятие случайной величины как числовой характеристики опыта. Примеры. Задание случайной величины и ее виды.

11. Дискретная случайная величина. Закон распределения. Многоугольник распределения вероятностей.

12. Основные законы распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение. Числовые характеристики.

13. Основные законы распределения дискретной случайной величины. Распределение Пуассона. Числовые характеристики.

14. Основные законы распределения дискретной случайной величины. Геометрическое распределение. Числовые характеристики.

15. Основные законы распределения дискретной случайной величины. Гипергеометрическое распределение. Числовые характеристики.

16. Функция распределения случайной величины. Ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины.

17. Непрерывная случайная величина. Определение. Плотность распределения вероятностей, ее свойства, график.

18. Равномерное распределение непрерывной случайной величины. Графики функций плотности распределения вероятностей и распределения вероятностей. Числовые характеристики.

19. Показательное распределение непрерывной случайной величины. Графики функций плотности распределения вероятностей и распределения вероятностей. Числовые характеристики.

20. Нормальное распределение непрерывной случайной величины. Графики функций плотности распределения вероятностей и распределения вероятностей. Вычисление вероятности попадания случайной величины в заданный интервал. Параметры и их смысл.

33

21. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, мода.

22. Числовые характеристики непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, мода, медиана.

Вопросы к экзамену по дисциплине МАТЕМАТИКА

1. Числовые множества. Промежутки. Модуль числа. Окрестность

точки. 2. Понятие матрицы. Прямоугольная, квадратная матрица. Размер

матрицы. Единичная матрица. Действия с матрицами. 3. Определители матриц второго и третьего порядков. Системы

алгебраических линейных уравнений. Матричное уравнение. Правило Крамера.

4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пучок прямых. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Уравнение прямой в отрезках.

5. Взаимное расположение прямых. Условия перпендикулярности и параллельности прямых.

6. Понятие вектора. Модуль вектора. Коллинеарные векторы. Равные векторы. Действия с векторами. Свойства.

7. Проекция вектора на ось. Направляющий косинус. Ортонормированный базис. Разложение вектора по компонентам. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.

8. Понятие функции. Определение. Область определения и область значений. Способы задания. Сложная функция.

9. Обратная функция. условия существования. Способ нахождения. График обратной функции.

10. Свойства функций (четность, периодичность). Монотонность функций. Ограниченность. Непрерывность функции.

11. Элементарные функции. Основные элементарные функции их свойства и графики. Классы элементарных функций. Примеры.

34

12. Понятие производной. Таблица производных. Правила дифференцирования (основные формулы).

13. Геометрический смысл производной. Понятие дифференциала. 14. Применение производных к исследованию функций.

Монотонность функции. Экстремумы. 15. Первообразная, семейство первообразных. Понятие

неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла.

16. Операция интегрирования. Таблица интегралов. Ее проверка. 17. Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование.

Подведение под дифференциал. Метод подстановки. 18. Определение определенного интеграла. Обозначение. Основные

свойства определенного интеграла. 19. Геометрический смысл определенного интеграла и его

существование. Формула Ньютона-Лейбница. Применение к вычислению определенного интеграла.

20. Методы интегрирования в определенном интеграле. Непосредственное интегрирование. Замена переменной.

21. Несобственный интеграл. Понятие. Сходимость. Геометрический смысл несобственного интеграла.

22. Элементы комбинаторики. 23. Случайные события. Алгебра событий. Совместные и

несовместные события 24. Единственно возможные, равновозможные, противоположные

события. Полная группа событий. Пространство элементарных исходов.

25. Классическая вероятность и ее свойства. Относительная частота. Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность.

26. Основные теоремы т.в. Теорема сложения. Теорема умножения вероятностей. Следствия.

27. Полная вероятность. Формула Байеса. 28. Независимые повторные испытания. Формула Бернулли.

Вероятность появления события А хотя бы один раз в n испытаниях. Наивероятнейшее число появлений события А.

29. Понятие случайной величины как числовой характеристики опыта. Примеры. Задание случайной величины и ее виды.

35

30. Дискретная случайная величина. Закон распределения. Многоугольник распределения вероятностей.

31. Биномиальное распределение, распределение Пуассона. Числовые характеристики.

32. Геометрическое распределение и гипергеометрическое распределение. Числовые характеристики.

33. Функция распределения случайной величины. Ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины.

34. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения вероятностей, ее свойства, график.

35. Равномерное и показательное распределение непрерывной случайной величины. Числовые характеристики.

36. Нормальное распределение непрерывной случайной величины. Вычисление вероятности попадания случайной величины в заданный интервал. Параметры и их геометрический смысл. График функции плотности.

37. Числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, мода, медиана, свойства.

38. Отклонение норм. распределенной случайной величины от центра рассеяния. Правило трех сигм.

39. Математическая статистика и ее задачи. 40. Понятие выборки. Функция распределения выборки.

Гистограмма. 41. Статистическое оценивание параметров распределения. Точечные

оценки и их свойства. 42. Статистическое оценивание параметров распределения.

Доверительные оценки. Построение доверительного интервала для норм. распределенной случайной величины с известным параметром σ .

43. Понятие гипотезы. Виды. Уровень значимости. Мощность критерия.

44. Критерий Колмогорова. 45. Критерий Пирсона. 46. Неравенство Чебышева. 47. Теорема Бернулли. 48. Теоремы Чебышева и Хинчина. Центральная предельная теорема.

36

Приложение графики

10 <<=

aay x

y

x10

1>=

aay x

y

x 1

0

10log<<

=a

xy ay

x1

01log

>=

axy a

y

x 1

0

π− 2π− 2

3ππ

xy sin=y

x

1

0–1

2π

23π− 2

ππ− 2π− 2

3ππ

xy cos=y

x

1

0–1

π2

2π

2π−

xy arcsin=y

x10–1 2π

xy arccos=y

x 10–1

π

π2 π− 2π− 2

3ππ

xy tg=y

x02π

23π− π−

2π− 2

3π π

xy ctg=

y

x 02π

2π

2π−

xy arctg=y

x0

π

2π

xy arcсtg=y

x 0

37

Таблица производных

1) ( ) constCС −=′ ;0 7) ( ) xx ee =′ 13) ( )

xsx 2sin

1ctg −=′

2) ( ) 1−=′ µµ µxx 8) ( )

axxa ln

1log =′ 14) ( )21

1arcsinx

x−

=′

3) ( ) 1=′x 9) ( )x

x 1ln =′ 15) ( )21

1arccosx

x−

−=′

4) ( )x

x2

1=

′ 10) ( ) xx cossin =′ 16) ( ) 21

1arctgx

x+

=′

5) 211xx

−=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

10) ( ) xx sincos −=′ 17) ( ) 211arcctgx

x+

−=′

6) ( ) aaa xx ln=′ 12) ( )

xx 2cos

1tg =′

____________________________________________________________

1) ( ) VUVU ′+′=′+ 4) ( ) constCUCCU −′=′ ;

2) ( ) VUVUUV ′+′=′ 5) ( )[ ] )()( xfxf ϕϕ ϕ ′′=′

3) 2VVUVU

VU ′−′

=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

____________________________________________________________ ))(()( 000 xxxfxfy −′+= – уравнение касательной

)()(lim

)()(lim

)()(lim

00

)()(lim

00

00

xgxf

xgxf

xgxf

xgxf

xxxx

xxxx

′′

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∞∞

=

′′

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

→→

→→

– правило Лопиталя

Методические указания для студентов...

Documents

Transcript of Методические указания для студентов...