Γραμμική Άλγεβρα - Θέματα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB

Εξετάσεις Ιουνίου 1998

4) Δίνεται ο πίνακας Α=4 1 20 2 10 0 3

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

α) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. Είναι ο πίνακας Α διαγωνοποιήσιμος ;

β) Να βρεθεί ο γραμμικός μετασχηματισμός Τ : R3 → R3 , που αντιστοιχεί στον πίνακα Α ως προς την συνήθη βάση του R3, καθώς και οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του μετασχηματισμού Τ.

5) α) Αν v≠0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να απόδειχθεί ότι το σύνολο W={u∈V / <u|v>=1} δεν είναι διαν. υπόχωρος του V.

β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x|y>=x1y1+2x2y2+3x3y3 με x=(x1,x2,x3) και y=(y1,y2,y3) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz στην περίπτωση x=(1,0,2) και y=(2,1,2)

6) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x1, x2, x3, x4) / x1-x2=x3+x4 , x1, x2, x3, x4 ∈R} του χώρου R4. Να βρεθεί μια βάση του V η οποία να περιέχει το διάνυσμα (1,1,-1,1).

Α



4) Δίνεται ο πίνακας Α=1 0 30 1 40 0 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

α) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. Είναι ο πίνακας Α διαγωνοποιήσιμος ;

β) Να βρεθεί ο γραμμικός μετασχηματισμός Τ : R3 → R3 , που αντιστοιχεί στον πίνακα Α ως προς την συνήθη βάση του R3, καθώς και οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του μετασχηματισμού Τ.

5) α) Αν v ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να αποδειχθεί ότι το σύνολο W={u∈V / <u|v>=0} είναι διαν. υπόχωρος του V.

β) Έστω C[-1,1] ο διανυσματικός χώρος των πραγματικών συναρτήσεων στο κλειστό διάστημα [-1,1]. Να αποδειχθεί ότι για f,g∈C[-1,1] η σχέση :

<f|g>= ( )1 2

1

1

−−∫ x f x g x dx( ) ( ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον χώρο C[-1,1] και να

επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz στην περίπτωση όπου f(x)=x και g(x)=x3.

6) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x1, x2, x3, x4) / x1+x2=x3-x4 , x1, x2, x3, x4 ∈R} του χώρου R4. Να βρεθεί μια βάση του V η οποία να περιέχει το στοιχείο (1,1,3,1).

Β


Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 1998

4) Έστω Β1={e1,e2} μια βάση ενός διαν. χώρου V[R] και T : V→V γραμμικός μετασχηματισμός ο οποίος ορίζεται από τις σχέσεις Te1=3e1-2e2 και Te2=e1+4e2. Αν Β2={f1,f2} με f1=e1+e2 και f2=2e1+3e2 είναι επίσης μια βάση του V, να βρεθεί ο πίνακας του μετ/σμού Τ ως προς την βάση Β2, δηλ. ο [Τα]Β2 (1.6)

6) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y-2z+w=0} του R4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V.



4) Έστω T : R3→R2 γραμμικός μετασχηματισμός ο οποίος ορίζεται από τη σχέση T(x,y,z)=(2x+y-z,3x-2y+4z). Nα βρεθεί ο πίνακας του μετ/σμού Τ ως προς τις βάσεις Β1={f1=(1,1,1), f2=(1,1,0), f3=(1,0,0)} και Β2={g1=(1,3), g2=(1,4)} των R3 και R2 αντίστοιχα, δηλ. ο πίνακας Β1[Τ]Β2 . (1.6)

5) Δίνεται ο πίνακας Α=0 0

0 2 20 0

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α⎝ ⎠

του χώρου Μ3[R]. Να βρεθούν οι τιμές του α

για τις οποίες ο πίνακας Α είναι διαγωνοποιήσιμος. (1.7)

6) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. (1.7)

Α

Β



4) Δείξτε ότι τα διανύσματα v=(1+i , 2i) και w=(1 , 1+i) του διαν. χώρου C2 είναι γραμμικά εξαρτημένα επί του σώματος C και γραμμικά ανεξάρτητα επί του σώματος R.

5) Έστω W ο υπόχωρος που παράγεται από τα πολυώνυμα

v1(x)=x3-2x2+4x+1, v2(x)=x3+6x-5, v3(x)=2x3-3x2+9x-1, v4(x)=2x3-5x2+7x+5

Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του W.

6) Έστω V ο διαν. χώρος των πολυωνύμων. Να δείξετε ότι η έκφραση :

( )f x g x f x g x dx( ), ( ) ( ) ( )= ∫01

αποτελεί εσωτερικό γινόμενο : Έστω f(x)=x+2, g(x)=x2-2x-3. Να υπολογιστούν α)

(f(x),g(x)), β) ||f(x)||, ||g(x)||.



4) Δείξτε ότι τα διανύσματα v=(1+i , 2i) και w=(1 , 1+i) του διαν. χώρου C2 είναι γραμμικά εξαρτημένα επί του σώματος C και γραμμικά ανεξάρτητα επί του σώματος R.

5) Έστω U και W οι υπόχωροι του R4 , οι οποίοι ορίζονται ως εξής :

U={(α,β,γ,δ) / β+γ+δ=0}, W={(α,β,γ,δ) / α+β=0, γ=2δ}

Α

B

Να βρεθεί η διάσταση και μια βάση των υποχώρων i) U, ii) W, iii) U∩W

6) Ποιές από τις επόμενες εκφράσεις ορίζουν εσωτερικά γινόμενα στον διανυσματικό χώρο C[-1,1] των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται στο κλειστό διάστημα [-1,1], όπου f(x), g(x)∈C[-1,1] .

α) (f,g)= ( )1 2

1

1−

−∫ x f x g x dx( ) ( )

β) (f,g)= x f x g x dx2

1

1( ) ( )

−∫

A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ

15-9-2003

ΘΕΜΑ 1

Έστω ( )U S ο υπόχωρος του 4R που παράγεται από το σύνολο:

( ) ( ) ( ){ }1,0, 1,1 , 2, 1,0,1 , 1,1, 2,1S = − − . Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα ( )1,3,3, 2=x ανήκει

στον ( )U S και να βρεθεί μια βάση του ( )U S που να περιέχει το x.

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται ο πίνακας 1 0 0

1 1 11 1 1

x xx

⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

με x∈R . Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο

πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος.

ΘΕΜΑ 3

Να αποδείξετε ότι η έκφραση 1 1 1 2 2 1 2 2, 3u v x y x y x y x y= − − + , όπου ( )1 2,u x x= ,

( )1 2,v y y= ορίζει εσωτερικό γινόμενο στον χώρο 2R

Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ

15-9-2003

ΘΕΜΑ 1 Έστω 1 2 03 1 21 0 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

ο πίνακας ενός γραμμικού μετασχηματισμού

:T V V→ ως πρός την βάση { }1 2 3, ,v v v ενός χώρου V. Να βρεθεί ο πίνακας του

μετασχηματισμού αυτού ως προς την βάση

{ }1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 32 , ,= − + = + − = −u v v v u v v v u v v του χώρου V.

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται ο πίνακας 1 0 01 1

0 1xx

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

με x∈R . Να βρεθούν οι τιμές του x για τις

οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος.

ΘΕΜΑ 3 Να αποδείξετε ότι η έκφραση 1 1 1 2 2 1 2 22 2 5x y x y x y x y= − − +u v , όπου

( )1 2,x x=u , ( )1 2,y y=v ορίζει εσωτερικό γινόμενο στον χώρο 2R .

Α- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ

16 - 6 - 2000

ΘΕΜΑ 4

Έστω Μ2[R] ο διανυσματικός χώρος των τετραγωνικών πινάκων 2×2 με στοιχεία από το σώμα των πραγματικών αριθμών και W ο υπόχωρος αυτού ο οποίος παράγεται από τους πίνακες

1 1 1 1

, 0 1 1 0

A B⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του χώρου W. Το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται από την σχέση: για κάθε [ ]2, , C D M∈ R ( )TTrC D D C= .

ΘΕΜΑ 5

Έστω ότι ο πίνακας ενός γραμμικού μετασχηματισμού 2 2:T →R R ως προς

την βάση ( ) ( ){ }1 2B 1,0 , 0,1= = =e e είναι ο [ ]B

1 1T

1 1−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Να βρεθεί ο πίνακας του μετασχηματισμού ως προς την βάση { }1 1 2 2 1 2B 2 , 2′ = = + = −w e e w e e , δηλαδή ο [ ]B

T′.

ΘΕΜΑ 6

Δίνεται ο πίνακας ( )2 1 10 1 10 0

A xx

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

με x∈R . Να βρεθούν οι τιμές του

x για τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ -Β- 16 - 6 - 2000

ΘΕΜΑ 4

Έστω W ο υπόχωρος του διανυσματικού χώρου [ ]3C C ο οποίος παράγεται

από τα στοιχεία ( ) ( )1 21, ,1 , 1, 2,1u i u i= = −

Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του χώρου W. Το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται από την σχέση: για κάθε , ∈v w C με ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , , , , z z z c c c= =v w , 1 1 2 2 3 3z c z c z c∗ ∗ ∗= + +v w .

ΘΕΜΑ 5

Έστω ότι ο πίνακας ενός γραμμικού μετασχηματισμού 2 2:T →R R ως προς

την βάση ( ) ( ){ }1 21,0 , 0,1β = = =e e είναι ο [ ] 1 11 1B

T ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Να βρεθεί ο πίνακας του μετασχηματισμού ως προς την βάση { }1 1 2 2 1 2B 2 , 2′ = = − = +w e e w e e , δηλαδή ο [ ]B

T′.

ΘΕΜΑ 6

Δίνεται ο πίνακας ( )0 0

1 2 01 1 3

xA x

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

με x∈R . Να βρεθούν οι τιμές του

x για τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος.


Εξετάσεις Ιουνίου 2001 (Μεταφερομένη Εξεταστική περίοδος)

1) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις αποτελούν εσωτερικό γινόμενο στον διανυσματικό χώρο V=R3 και γιατί:

Α) (v,u)=|v| |u| B) (v,u)=|v| |u|cos3θ, Γ) (v,u)=2|v| |u|cosθ

2) Έστω V ο διαν. χώρος των τετραγωνικών πινάκων τύπου 2×2 επί του σώματος R και

Μ ο πίνακας : M=1 23 4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . Θεωρούμε τον τελεστή Τ : V→V που ορίζεται από την σχέση T :

A∈V→T(A)≡MA. Να βρεθεί η παράσταση του τελεστή Τ υπό μορφή πίνακα ως προς την συνήθη βάση του V που είναι :

E1=1 00 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , E2=

0 10 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , E3=

0 01 0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , E4=

0 00 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Να βρεθεί το ίχνος του Τ και η παράσταση του τυχαίου διανύσματος Α

Α



1) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις ορίζουν γραμμικούς μετασχηματισμούς και σε ποιους χώρους και γιατί;

Α) T(x,y)=(x+1, 3y, y-x) B) T(x,y)=(|x|,0) Γ) T(x,y)=(xy,y) Δ) T(x,y,z)=(z,x,y)

E) T(x,y)=(cosx, siny)

2) Δίνεται ο τελεστής T : R3→R2 , Τ(x,y,z)=(3x+2y-4z, x-5y+3z)

α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ που αντιστοιχεί ως προς τις βάσεις :

{f1=(1,1,1), f2=(1,1,0), f3=(1,0,0)} του R3 και {g1=(1,3), g2=(2,5)} του R2

β) Να επαληθευθεί η σχέση [ ]T f

g [v]f=[T(v)]g



(μεταφερομένη)

1) Δίνεται ο μετασχηματισμός T : R3 → R3 που ορίζεται από τη σχέση:

T(x,y,z)=(x+3z, y+4z, 2z)

α) Να αποδειχθεί ότι ο T είναι γραμμικός.

Β

Α

β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Τ.

γ) Ελέγξτε εάν ο Τ είναι αντιστρέψιμος και σε θετική περίπτωση να βρεθεί ο αντίστροφος.

δ) Να βρεθεί η παράταση του T ως προς την βάση B={u1=(1,0,1), u2=(0,1,1), u3=(1,1,1))

2) Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο V=R3 και την απεικόνιση

f : R3×R3 → R f : (v, u) → f(v, u)≡p1v1u1+ p2v2u2+ p3v3u3

όπου v=v1i+ v2j+ v3k , u=u1i+ u2j+ u3k και p1, p2, p3 τυχαίοι θετικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση f ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του R3.

3) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων f : R → R επί του σώματος των πραγματικών αριθμών. Ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του V είναι διανυσματικοί υπόχωροι επί του σώματος των πραγματικών αροθμών;

α) Το σύνολο όλων των πραγματικών πολυωνύμων βαθμού ακριβώς n.

β) Το σύνολο όλων των πραγματικών πολυωνύμων βαθμού > n.

γ) Το σύνολο όλων των πραγματικών πολυωνύμων βαθμού ≤ n. (2)




T(x,y,z)=(2y, x-z, -x+y+2z)





2) Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο V=R2 και την απεικόνιση

Β

f : R2×R2 → R f : (v, u) → f(v, u)≡ v1u1-v1u2-v2u1+3v2u2

όπου v=v1i+ v2j , u=u1i+ u2j. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση f ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του R2.

3) Έστω C[0, 1] ο διανυσματικός χώρος των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων επί του σώματος R των πραγματικών αριθμών, που ορίζονται στο κλειστό διάστημα [0, 1]. Ποια από τα επόμενα υποσύνολα του είναι διανυσματικοί υπόχωροι επί του σώματος των πραγματικών αριθμών;

(i) {f ∈ C[0,1] | f(1) = 0 }

(ii) {f ∈ C[0,1] | f(1) = 1 }

(iii) {f ∈ C[0,1] | f(0) = f(1) } (2)


Εξετάσεις Ιουνίου 2003 1) Έστω T : R3→R3 η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από την σχέση

T(x,y,z)=(2x-y+3z, 2x+4y+z, -5y+2z)

Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση α) της εικόνας U=ImT και β) του πυρήνος W=kerT

2) Δίνεται ο πίνακας ( )2 1 10 1 10 0

A xx

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

με x∈R . Να βρεθούν οι τιμές του x για

τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος.

3) Μια επίπεδη ελαστική μεμβράνη έχει σχήμα κύκλου, του οποίου η περιφέρεια έχει εξίσωση x2+y2=1. Τεντώνουμε την μεμβράνη έτσι ώστε ένα σημείο της P(x,y) να μεταφέρεται στο σημείο Q(x′,y′) βάσει της σχέσης :

Α

′′

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜⎞⎠⎟

xy

xy

5 33 5

Nα βρεθούν τα σημεία της μεμβράνης, των οποίων τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης δεν περιστρέφονται κατά το τέντωμα της. Να βρεθεί το νέο σχήμα της μεμβράνης.


Εξετάσεις Ιουνίου 2003 1) Έστω T : R3→R3 η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από την σχέση

T(x,y,z)=(x-2y+6z, 2x+y-3z, 3x-y+3z)

Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση α) της εικόνας U=ImT και β) του πυρήνος W=kerT

2) Δίνεται ο πίνακας ( )0 0

1 2 01 1 3

xA x

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠




x 3 2 xy 3 2 y′ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠


Β

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ

1-7-2004

ΘΕΜΑ 1 Έστω ότι τα διανύσματα 1 2,u u και 3u ενός διανυσματικού χώρου [ ]V R ,

είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Να εξετάσετε αν τα σύνολα { }1 1 2 2 3 3 12 , 3 ,S = − − −u u u u u u και { }2 1 2 2 3 3 1, ,S = − − −u u u u u u είναι γραμμικώς

εξαρτημένα ή ανεξάρτητα. (2 μονάδες)

ΘΕΜΑ 2 Να αποδείξετε ότι

α) το σύνολο / ,a b

V a ba b a b

⎧ ⎫⎛ ⎞= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟+ −⎝ ⎠⎩ ⎭

R είναι διανυσματικός υπόχωρος του

διανυσματικού χώρου των τετραγωνικών πινάκων 2 2× στο σώμα R (1 μονάδα)

β) να βρεθεί η διάσταση του υπόχωρου αυτού. (1 μονάδα)

ΘΕΜΑ 3 Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός 3 3:T →R R ο οποίος ορίζεται από την σχέση ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , ,T x x x x x x x x x x x x= + − − + − + +

α) Να αποδειχθεί ότι ο πίνακας του μετασχηματισμού αυτού ως προς την βάση

( ) ( ) ( ){ }B 1,1,0 , 1,0,1 , 0,1,1= είναι [ ]B

1 1 1T 1 1 1

1 1 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

. (1 μονάδα)

β) Είναι ο ανωτέρω πίνακας διαγωνοποιήσιμος; (1 μονάδα)


1-7-2004

ΘΕΜΑ 1 Έστω ότι τα διανύσματα 1 2,u u και 3u ενός διανυσματικού χώρου [ ]V R , είναι

γραμμικώς ανεξάρτητα. Να εξετάσετε αν τα σύνολα

{ }1 1 2 3 1 2 2 3, ,S = + + + −u u u u u u u και { }2 1 2 3 1 2 2 3, 2 ,S = + + + −u u u u u u u

είναι γραμμικώς εξαρτημένα ή ανεξάρτητα. (2 μονάδες)

ΘΕΜΑ 2 Να αποδείξετε ότι

α) το σύνολο / ,a a b

V a ba b b

⎧ + ⎫⎛ ⎞= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟−⎝ ⎠⎩ ⎭

R είναι διανυσματικός υπόχωρος του

διανυσματικού χώρου των τετραγωνικών πινάκων 2 2× στο σώμα R (1 μονάδα)

β) να βρεθεί η διάσταση του υποχώρου αυτού. (1 μονάδα)

ΘΕΜΑ 3 Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός 3 3:T →R R ο οποίος ορίζεται από την σχέση ( ) ( )1 2 3 1 2 1 3 2 3, , , ,T x x x x x x x x x= + + +

α) Να αποδειχθεί ότι ο πίνακας του μετασχηματισμού αυτού ως προς την βάση

( ) ( ) ( ){ }B 1,1, 1 , 1, 1,1 , 1,1,1= − − − είναι ( )1 1 01 0 10 1 1

T⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b. (1 μονάδα)

β) Είναι ο ανωτέρω πίνακας διαγωνοποιήσιμος; (1 μονάδα)


16-6-2005

ΘΕΜΑ 4 (2 μονάδες)

a. Να εξετάσετε αν το υποσύνολο 1 1 0 1 1 1

, ,1 1 1 0 0 1

⎧ − ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

, των τετραγωνικών

πινάκων 2 2× , είναι γραμμικώς εξαρτημένο ή ανεξάρτητο. b. Να αποδείξετε ότι η έκφραση 2 2

1 22x x= +x , ;όπου ( )1 2,x x=x , ορίζει στάθμη

στον χώρο 2R .

ΘΕΜΑ 5 (2 μονάδες)

Έστω ( ){ }1 2 3 4 2 3 4, , , / 2 0U x x x x x x x= − + = υποσύνολο του 4R .

a. Να αποδειχθεί ότι το U είναι διανυσματικός υπόχωρος του R4.

b. Να βρεθεί μια βάση του U.

ΘΕΜΑ 6 Δίνεται ο πίνακας 1 0 01 1 22 1 2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

. Να βρεθούν

a. Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. (1 μονάδα) b. Ο πίνακας nA όπου 2,3,n = . (1.5 μονάδες)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

Εξετάσεις Φεβρουαρίου 2011

1) Έστω ο διανυσματικός χώρος V=R3 επί του σώματος R. Θεωρούμε την συνήθη βάση Be={e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)} και τον τελεστή T : R3 → R3 , του οποίου η παράσταση υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Βe είναι:

[ ]eB

2 0 2T 1 1 1

2 1 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ ως προς την βάση Bf={f1=(2,3,5), f2=(1,0,0), f3=(0,1,-1)}. β) Να βρεθούν οι διανυσματικοί υπόχωροι Im(T), Ker(T) και οι διαστάσεις τους.

2) Έστω ο διανυσματικός χώρος P3(x) των πολυωνύμων 3ου βαθμού. Θεωρούμε την απεικόνιση T: P3(x) → P3(x) που ορίζεται από την σχέση:

T : f(x) → T(f(x) ( )2

22

d x 3x 2 f (x)dx

⎡ ⎤≡ + +⎣ ⎦

όπου f(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού.

α) Να δείξετε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραμμική.

β) Nα βρείτε την παράσταση της υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β={1, x, x2, x3 }

3) Δίνεται ο πίνακας ( )2 -1 1

A x = 0 1 10 0 x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠





<f|g>= ( )1 2

1

1


επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz |<f(x)|g(x)>|≤||f(x)||||g(x)|| στην περίπτωση όπου f(x)=x και g(x)=x3

Α


Εξετάσεις Φεβρουαρίου 2011


[ ]eB

2 1 0T 2 0 2

1 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ ως προς την βάση Bf={f1=(3,2,1), f2=(1,0,-2), f3=(0,0,1)}. β) Να βρεθούν οι διανυσματικοί υπόχωροι Im(T), Ker(T) και οι διαστάσεις τους.


T : f(x) → T(f(x) ( )2

22

d x 1 f (x)dx

⎡ ⎤≡ −⎣ ⎦




3) Δίνεται ο πίνακας ( )x 0 0

A x = 1 2 0-1 1 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠




β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x|y>=x1y1+2x2y2+3x3y3 με x=(x1,x2,x3) και y=(y1,y2,y3) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz |<f(x)|g(x)>|≤||f(x)||||g(x)|| στην περίπτωση x=(1,0,2) και y=(2,1,2)

B



(για τους επί πτυχίω)


[ ]eB

2 1 0T 2 0 2

1 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ ως προς την βάση Bf={f1=(3,2,1), f2=(1,0,-2), f3=(0,0,1)}. β) Να βρεθούν οι διανυσματικοί υπόχωροι Im(T), Ker(T) και οι διαστάσεις τους.


T : f(x) → T(f(x) ( )2

22

d x 1 f (x)dx

⎡ ⎤≡ −⎣ ⎦




3) Δίνεται ο πίνακας ( )x 0 0

A x = 1 2 0-1 1 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠




β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x|y>=x1y1+2x2y2+3x3y3 με x=(x1,x2,x3) και y=(y1,y2,y3) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz |<f(x)|g(x)>|≤||f(x)||||g(x)|| στην περίπτωση x=(1,0,2) και y=(2,1,2)



1) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων ( )P x 3ου βαθμού.

α) Να αποδειχθεί ότι το υποσύνολο U του V που ικανοποιεί την σχέση ( ) 07P = αποτελεί διανυσματικό υπόχωρο.

β) Να βρεθεί μια βάση αυτού του υποχώρου (2)

2) Ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του διανυσματικού χώρου R3 αποτελούν διανυσματικό υπόχωρο του R3;

α) U={ (x,y,z) / x+y+z=0} β) W={ (x,y,z) / x+y+z=2} (1)

3) Έστω ο διανυσματικός χώρος Μ2 των τετραγωνικών πινάκων 2 2× και η απεικόνιση

2 2

2T : M M , T : T

2a b a b c a cc d c d b c d

⎛ ⎞ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ → ≡⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Α) Να αποδειχθεί ότι η απεικόνιση Τ είναι γραμμική.

Β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα της απεικόνισης T.

Γ) Οι διαστάσεις της εικόνας Im(T) και του πυρήνα Ker(T).

(Υπόδειξη: Θεωρείστε το διάνυσμα-πίνακα a bc d⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

σαν διάνυσμα-στήλη

abcd

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. (2,5)

4) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του διαφορικού

τελεστή ddx

ο οποίος επιδρά στον διανυσματικό χώρο ( )3P x των πολυωνύμων 3ου

βαθμού. (2)

5) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. (2.5)

Α



1) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων ( )P x 3ου βαθμού.

α) Να αποδειχθεί ότι το υποσύνολο U του V που ικανοποιεί την σχέση ( ) 05P = αποτελεί διανυσματικό υπόχωρο.

β) Να βρεθεί μια βάση αυτού του υποχώρου (2)

2) Ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του διανυσματικού χώρου R3 αποτελούν διανυσματικό υπόχωρο του R3;

α) U={ (x,y,z) / x+y-z=0}

β) W={ (x,y,z) / x+y-z=2} (1)

3) Έστω ο διανυσματικός χώρος Μ2 των τετραγωνικών πινάκων 2 2× και η απεικόνιση

2 2

2T : M M , T : T

2a b a b c a cc d c d b c d

⎛ ⎞ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ → ≡⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Α) Να αποδειχθεί ότι η απεικόνιση Τ είναι γραμμική.

Β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα της απεικόνισης T.

Γ) Οι διαστάσεις της εικόνας Im(T) και του πυρήνα Ker(T).

(Υπόδειξη: Θεωρείστε το διάνυσμα-πίνακα a bc d⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

σαν διάνυσμα-στήλη

abcd

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.(2,5)

4) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του διαφορικού

τελεστή ddx

ο οποίος επιδρά στον διανυσματικό χώρο ( )2P x των πολυωνύμων 3ου

βαθμού. (2)

5) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y-2z+w=0} του R4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. (2,5)

B


Εξετάσεις Ιουνίου 2012 (για τους επί πτυχίω)

1) Δίνεται ο πίνακας Α=0 0

0 2 20 0

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α⎝ ⎠

του χώρου Μ3[R]. Να βρεθούν οι τιμές του α

για τις οποίες ο πίνακας Α είναι διαγωνοποιήσιμος.

2) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V.

3) Έστω V ο διαν. χώρος των πολυωνύμων. Να δείξετε ότι η έκφραση :

( )f x g x f x g x dx( ), ( ) ( ) ( )= ∫01

αποτελεί εσωτερικό γινόμενο : Έστω f(x)=x+2, g(x)=x2-2x-3. Να υπολογιστούν α)

(f(x),g(x)), β) ||f(x)||, ||g(x)||.


x 3 2 xy 3 2 y′ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠




1) α) Αν v≠0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να αποδειχθεί ότι το σύνολο W={u∈V / <u|v>=1} δεν είναι διαν. υπόχωρος του V.

β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x|y>=x1y1+2x2y2+3x3y3 με x=(x1,x2,x3) και y=(y1,y2,y3) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz στην περίπτωση x=(1,0,2) και y=(2,1,2). (2)

2) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y-2z+w=0} του R4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. (2)

3) Δίνεται ο πίνακας 1 0 0

1 1 11 1 1

x xx

⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

με x∈R . Να βρεθούν οι τιμές του x για τις

οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. (2)

4) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις αποτελούν εσωτερικό γινόμενο στον διανυσματικό χώρο V=R3 και γιατί:

Α) (v,u)=|v| |u| B) (v,u)=|v| |u|cos3θ, Γ) (v,u)=2|v| |u|cosθ (1,5)


T(x,y,z)=(x+3z, y+4z, 2z)




δ) Να βρεθεί η παράταση του T ως προς την βάση B={u1=(1,0,1), u2=(0,1,1), u3=(1,1,1)

(2,5)

Α





<f|g>= ( )1 2

1

1


επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz στην περίπτωση όπου f(x)=x και g(x)=x3. (2)

2) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. (2)

3) Δίνεται ο πίνακας 1 0 01 1

0 1xx

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

με x∈R . Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο

πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. (2)

4) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις ορίζουν γραμμικούς μετασχηματισμούς και σε ποιους χώρους και γιατί;

Α) T(x,y)=(x+1, 3y, y-x) B) T(x,y)=(|x|,0) Γ) T(x,y)=(xy,y) Δ) T(x,y,z)=(z,x,y)

E) T(x,y)=(cosx, siny) (1,5)


T(x,y,z)=(2y, x-z, -x+y+2z)





(2,5)

B

Γραμμική Άλγεβρα - Θέματα

Documents

Transcript of Γραμμική Άλγεβρα - Θέματα