第九章 欧几里得空间
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欧氏空间
第九章 欧几里得空间 学时: 18 学时。 教学手段:
讲授和讨论相结合,学生课堂练习,演练习题与辅导答疑相结合。 基本内容和教学目的:
基本内容:欧几里得空间定义与基本性质;标准正交基;同构;正交变换;子空间;对称矩阵的标准形;向量到子空间的距离、最小二乘法。教学目的:欧几里得空间定义与基本性质。掌握标准正交基、同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。了解向量到子空间的距离、最小二乘法。
重点和难点:重点:标准正交基、同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。难点:同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。
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9.1 欧氏空间定义及其性质
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一 概念引入 物理学上力 F 所做之功: W=SFcosθ F 空间解析中 , 矢量的数量积一般表示: ξ,η V∈ 3 Fcosθ
1) ξ,η 均不为 0 : ξη=|ξ||η|cos<ξz,η> R∈ ; 2) ξ 或 η 为 0 :规定 ξη=0.
→ 由数量积最本质的属性出发,采用公理化方法在线性空间中引入内积概念,从而建立欧几里德几何的基本特征 .
, cos , ,
1 2 3 ( ) ( )a a
质
( ) ;( ) ( ) ;( )
且有性
Θ
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公理 1 称为对称性,公理 2 , 3 合称为线性性,公理4 称为恒正性 . 对称性,线性性和恒正性正是数量积(如功)的基本属性 .
在此基础上可进一步建立向量长度、夹角、距离等概念,这均为几何空间的特征,是以欧氏几何为基础的,故称为欧氏空间 .
定义 1 V 是 R 上的线性空间, V 上定义二元实值函数,称为内积,是指 对任意的 α,β,γ V∈ ,对任意的 k R, ∈ 存在唯一的 (α,β) R, ∈ 使得 1) (α,β) = (β,α) ; 2) (kα,β) = k(α,β) 3) (α+β,γ) = (α,γ) + (β,γ)
4) (α,α)≥0 ,并且 α = 0 当且仅当 (αα) = 0这时,称 V 是欧几里德空间 .
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例 1 Rn 中,对任意的 ξ= (x1, ···, xn), η= (y1,···, yn )
R∈ n, 规定 (ξ,η) = x1y1 + ··· + xnyn , 则 Rn 对此构成欧式空间 .
证明:显然 (ξ,η) R, ∈ 且具唯一性 . 对任意的 ξ,η,ζ R∈ n, k R,∈ 1) (ξ,η) = x1y1 + ··· + xnyn = y1x1 + ··· + ynxn = (η,ξ). 2) (kξ,η) = kx1y1 + ··· +k xnyn = k(x1y1 + ··· + xnyn) = k (ξ,η) . 3) (ξ+η, ζ) = (x1+ y1)z1 + ··· + (xn+yn)zn = (x1z1+ ··· + xnzn ) + (y1z1 +
··· + ynzn ) = (ξ,ζ) + (η,ζ). 4) (ξ,ξ) = x1
2 + ··· + xn2≥0 . 而 ξ= 0 当且仅当
x1 = x2 = ··· = xn = 0 当且仅当 (ξ,ξ) = x12 + ··· + xn
2 = 0. 故 Rn 关于 (ξ,η) 构成一个欧氏空间 . □
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例 2 C(a, b) = { 定义在 [a, b] 上的实值连续函数 } 关于如下规定的二元函数构成 R 上的欧氏空间 . 对任意的 f(x), g(x) C(∈ a, b),
证明分析: 根据定积分的性质,易证欧氏空间定义中4 条公理成立,故 C(a, b)关于( f, g )构成欧氏空间 .注: R[x], R[x]n 关于如上定义的( f, g )也构成欧氏空间 .
( ( ), ( )) ( ) ( )b
af x g x f x g x dx
a f(x) b
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二 基本性质5 ) (α, kβ) = k(α, β) (α, kβ) = ( kβ,α) = k (β,α) = k (α,β) .6) (α,β+γ) = (α,β) + (α,γ) (α,β+γ) = (β+γ,α) = (β,α) + (γ,α) = (α,β) + (α,γ) .7) (0,α) = (α,0) = 0 ( 对任意的 α V )∈ (0,α) = (0·0,α) = 0 (0,α) = 0 = (α,0) .8) 对任意的 β V∈ , (αβ) = 0, 则 α= 0 取 β=α, 则 (αα) = 0, 据公理 4 得 α= 0 .9)
1 1 1 1
( , ) ( , )r s r s
i i j j i j i ji j i j
a b a b
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1 1 2 2
1 1 1
1 1 2 21 1 1
1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 11 1
1 1 2 2 2 2 2 2
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
r s r
i i j j i i s si j i
r r r
i i i i i i s si i i
r r
r r i i i ii i
a b a b b b
a b a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b
2 2 2 2 2 21 1
1 1 2 21 1
1 1 2 21 1 1
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
r r
r r i i i ii i
r r
s s s s r r s s i i s s i s i si i
r r r
i i i i i s i si i i
a b a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b a b
1 1
1 1
( , )
( , ) .
s r
i j i jj i
r s
i j i ji j
a b
a b
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三 向量长度定义 2 V, 定义ξ 的长度为 ( , )
V, 都有长度;零向量的长度为 0;非零向量的长度>0.
例1中, n 2 2 21 2 1 2 n( , , , ) R , ( , )nx x x x x x .
例 2中, 2( ) C(a,b), ( ) ( , ) ( )b
af x f x f f f x dx .
10) k k k R, V .
证明: 2k (k , k ) k ( , ) k .
11) 长度 = 1 的向量叫单位向量, 0
为单位向量.
(称如上过程为向量的单位化).
证明: 1( , ) ( , ) 1
.
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四 向量夹角 为在 V 中引入夹角概念,先研究如下性质:12 ) (α,β)2 ≤ (αα)(ββ) ( 或 |(α,β)|≤|α||β| ) 其中等号成立当且仅当 α,β 线性相关 . 该不等式称为柯西 - 布涅柯夫斯基 - 施瓦茨不等式 .
柯西 : 法国数学家( 1789-1857 年)其主要贡献在微积分,复变函数和微分方程方面,许多定理和公式均以他的名字命名 . 布涅柯夫斯基是俄国数学家,施瓦茨是德国数学家,他们各自都发现如上结论,故历史上一般称为柯 西 - 布涅柯夫斯基 - 施瓦茨不等式 . 柯 西
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证明: 1) β =0时,不等式显然成立.
2) β ≠ 0时,设 γ =α +tβ , t∈ R (这里 t具有任意性)
→ 据公理 4 γ,( ,γ )= α( +tβ α, +tβ ≥) 0,即
α α( )+2(α β )t+(β β )t2 ≥ 0,对任意的 t∈ R
取 ( , )t( , )
代入上式,得 (α ,α )-2( , )
( , )
≥ 0 , 即
(α ,β )2≤ (α ,α )(β ,β ), 即|(α ,β )|≤ |α ||β |.
设 α ,β 线性相关,即α = kβ → (α ,β )2 = (kβ ,β )2 =
k2(β ,β )2 = (kβ ,kβ )( β ,β ) = (α ,α )(β ,β ),即等号成立.
设等号成立,即 (α ,β )2 = (α ,α )(β ,β ) → 若β =0,
α ,β 已经线性相关;若β ≠ 0, 由如上等式得
2( , )( , ) 0
( , )
据所设,这时 ( , )t( , )
,应有
( , )( , ) 0 0( , )
,即α ,β 线性相关. □
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柯西-施瓦茨不等式应用于例 1中 nR 的内积的具体表现形式:
n1 1( , , ), ( , , ) R ,n na a b b 据内积定义和柯-施不等式得
2 21 1( ) ( , )n na b a b ≤ 2 2 2 2
1 1( , )( , ) ( )( )n na a b b
即得数学分析中常用的所谓柯西不等式:
21 1( )n na b a b ≤ 2 2 2 2
1 1( )( )n na a b b .
柯西-施瓦茨不等式应用于例 2中C( , )a b 的内积具体表现形式:
( ), ( ) C( , )f x g x a b ,内积 ( ( ), ( )) ( ) ( )b
af x g x f x g x dx ,故
2( ) ( ) ( ( ), ( ))b
af x g x dx f x g x ≤ ( ( ), ( ))( ( ), ( ))f x f x g x g x
2 2( ) ( )b b
a af x dx g x dx ,
即得数学分析上常用的施瓦茨不等式:
2( ) ( )b
af x g x dx ≤ 2 2( ) ( )
b b
a af x dx g x dx 。
柯西-施瓦茨不等式将完全无关的两个著名不等式统一起来,揭示了他们之间的内在联系,是欧氏空间理论的一个成功典例.
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定义 3 非零向量 , V, , 的夹角θ 规定如下:
( , ) ( , )cos ( , arccos )
.
定义合理性分析:据柯西-施瓦茨不等式有 ( , ) ≤
→ ≤ ( , ) ≤ ,即 -1 ≤ ( , )
≤ 1 →
, 有唯一夹角θ ,且 0≤ θ ≤π .
欧氏空间中向量长度,夹角概念是几何空间相应概念的推广.
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定义 4 称向量 , ( V) 正交,记成 ( , ) 0 .
由定义 3可知, ( , ) cos ,故非零向量 , 具有如
下结论: , 互相垂直 夹角为 90度 cos 0 .
这里正交的定义与解析几何中正交定义是一致的.
显然零向量与任何向量正交( (0, ) 0 ) ,仅有零向量与自己
正交( 0 ( , ) 0 ).
13) r
i i ii=1
(i 1, , r) a
证明: 题设得r r
i i i i ii 1 i 1
( , ) 0 (i 1, , r) ( , a ) a ( , ) 0
r
i ii 1
a
. □
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14) 2 2 2
证明: 2 2 2( , ) ( , ) ( , ) . □
即勾股定理在欧氏空间中依然
成立,并可推广到更一般的情形,即
向量 1 2 m, , , 两两正交,则 2 2 2 2
2 m 1 2 m .
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五 向量的距离15) | α+β |≤| α | + | β| (三角不等式)证明: |α+β|2 =(α+β,α+β)=(α,α)+2(α,β)+(β,β)≤|α|2 + 2|α||β|+|β|2 =(|α|+|β|)2→ | α+β |≤| α | + | β|. □ 几何意义:几何空间中,两边之和大于第三边 . 定义 5 向量 α,β 的距离 d(α,β)=|α - β| 几何意义如图示 .16) α≠β, 则 d(α,β) > 0. α - β 17) d(α,β)= d(β,α). β18) d(α,γ)≤d(α,β) + d(β,γ). α 证明: d(α,γ)=|α - γ|≤|α - β| + |β - γ|= d(α,β) + d(β,γ).19 )欧氏空间的子空间关于其内积也构成欧氏空间 . 故可引入欧氏空间的子空间的概念 .
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定义 设 1 n, , 是欧氏空间V的基,令 ( , ) ( , 1, 2, , )ij i ja i j n
称矩阵A ( )ij n na 为基 1 n, , 的度量矩阵 .
由定义可知,矩阵 n nA R ,且 ( , 1,2, , )ij jia a i j n ,即矩阵
A是实对称矩阵( /A A ),其中
1 1 1 2 1 n
2 1 2 2 2 n
n 1 n 2 n n
( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )
A
( , ) ( , ) ( , )
.
六 度量矩阵
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20) 设欧氏空间 V的基 1 n, , 的度量矩阵是 A, , V ,
1n
i i 1 n 1 ni=1
n
1n
i i 1 n 1 ni=1
n
xx ( , , ) ( , , )X
x
yy ( , , ) ( , , )Y
y
/( , ) X AY .
( 即 度量矩阵完全确定了内积 ).
证明: 据题设及性质 9 可知,
1 1 1 1
( , ) ( , ) ( , )n n n n
i i i i i j i ji i i j
x y x y
= (见下页)
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1 1 1 1 1 2 1 2 1 n 1 n
2 1 2 1 2 2 2 2 2 n 2 n
n 1 n 1 n 2 n 2 n n n n
( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
x y x y x yx y x y x y
x y x y x y
1 1 1 2 1 2 n 1 n
1 2 1 2 2 2 n 2 n1 2
1 n 1 2 n 2 n n n
( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )
( , , , )
( , ) ( , ) ( , )
n
y y yy y y
x x x
y y y
11 1 1 2 1 n
22 1 2 2 2 n /1 2
n 1 n 2 n n
( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )
( , , , ) X AY
( , ) ( , ) ( , )
n
n
yy
x x x
y
. □
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21) 度量矩阵是正定矩阵
22) 1 n 1 n
/1 n 1 n 1 n
1 n
, , , , V( , , ) ( , , )C , , B C AC
, , A
; 是 的基的度量矩阵
的度量矩阵是
(即 不同基下的度量矩阵合同)
复习概念:
(1) n阶矩阵A正定 A的顺序主子式均大于 0 n元实二
次型 /1 2( , , , ) X AXnf x x x 在任何一组赋值下均大于 0 ;
(2) 数域 P上 n阶矩阵 A,B合同,如果有 P上的 n阶可逆矩阵
C,使得 B = C/AC ( 合同关系是等价关系).
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证明: 21) 对任意的不全为 0的数1
21 2, , , R, X 0n
n
xx
x x x
x
/1 n( , , )X 0, V ( , ) X AX 0 实二
次型 /1 2( , , , ) X AX 0,nf x x x 故 A正定.
22) 设
/11 12 1 1
/21 22 2 / 2
1 2 n
/1 2 n
C ( , , , ), C
n
n
n n nn
c c cc c c
c c c
→ /1 1( , , ) , ( , , ) ( , ) Ai n i j n j i j i j
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其中 , 1, 2, ,i j n ,故
/ / /1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
/ / /2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
/ / /1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
n n
n n
n n n n n n n n
A A AA A A
B
A A A
/ /1 1
/ //2 2
1 2 1 2
/ /
( , , , ) ( , , , ) C ACn n
n n
A A A A
. □
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不同基的度量矩阵之间的关系:
设 1 2 n, , , 和 1 2 n, , , 是欧氏空间 V的两组基,则
1 2 n 1 2 n
/
( , , , ) ( , , , )T
B T AT
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9.2 标准正交基
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一 . 概念及基本性质定义 1 V 中一组非零向量两两正交,则称其为正交向量组 .
单个非零向量所成向量组认为是正交向量组(因为在此向量组中找不到两个向量不正交) .
性质 1 {α1 ,α2 , ···,αm} 是正交组,则 α1 ,α2 , ···,αm 线性无关 .
证明: 设 k1α1+ k2α2 + ··· + kmαm= 0, 用 αi (i =1, ···, m) 于该式两边作内积,即 (αi , k1α1+ k2α2 + ··· + kmαm ) =
k1(αi , α1) + ··· + ki(αi , αi) + ··· + km(αi , αm) = (αi , 0) = 0
→ ki(αi , αi) = 0 → 因 αi≠ 0 ,得 (αi , αi) ≠ 0 ,故 ki = 0
(i =1, ···, m) → α1 ,α2 , ···,αm 线性无关 . □
dimV = n 时, V 中两两正交的向量不会超过 n 个 ( 如平面上找不到三个两两正交的向量,空间中找不到四个两两正交的向量 ).
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定义 2 n 维欧氏空间 V 中, n 个向量的正交向量组称为 V 的正交基,由单位向量组成的正交基称为标准正交基 .
性质 2 1 2 n, , , 是 V的标准正交基 i j
1 i j( , )
0 i j
.
证明: i = j时,由单位向量的定义得 i i i( , ) 1 ,故 i i( , ) 1 ;
i j 时, 由正交向量的定义得 i j( , ) 0 ,故命题成立. □
性质 3 n维欧氏空间 V的基为标准正交基 该基的度量矩阵
为单位矩阵.
证明: 设 1 2 n, , , 是 V的标准正交基,据性质 2得该基的
度量矩阵
1 1 1 2 1 n
2 1 2 2 2 n
n 1 n 2 n n
( , ) ( , ) ( , ) 1( , ) ( , ) ( , ) 1
A E
( , ) ( , ) ( , ) 1
.
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设 V的基 1 2 n, , , 的度量矩阵是单位矩阵 E → 则
i j
1 i j( , )
0 i j
→ i i i i j( , ) 1 ( , ) 0 (i j) ; ,即知
1 2 n, , , 是 V的标准正交基. □
性质 4 n维欧氏空间 V中存在一个基,其度量矩阵是单位矩阵.
证明: 设 V的基 1 2 n, , , 的度量矩阵是 A → A是正定矩阵
→ A与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵 n nT R ,使 /T AT E
→ 取 1 2 n 1 2 n( , , , ) ( , , , )T ,则 1 2 n, , , 是 V的基,
而 T是过渡矩阵 → 据 P364(11)得基 1 2 n, , , 的度量矩阵
/B T AT E . □
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性质 5 1 2 n, , , 是 V的标准正交基 V
1 1 1 2 1 n( , ) ( , ) ( , )
证明: n n n
i i i i i j j j i j ii 1 j 1 j 1
x ( , ) ( , ) ( , x ) x ( , ) x
→ 1 1 n n 1 1 1 nx x ( , ) ( , ) . □
性质 6 1 2 n, , , 是 V的标准正交基,n
i ii 1
x ,
n
j jj 1
y V
1 1 2 2 n n
2 2 21 2 n
n2
i ii 1
( , ) x y x y x y
x x x
d( , ) (x y )
.
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证明: 1
21 2 n 1 1 2 2 n n
n
yy
( , ) (x , x , , x )E x y x y x y
y
;
2 2 21 2 n( , ) x x x ;
由 1 1 1 n n n(x y ) (x y ) 推出
n2 2 2
1 1 n n i ii=1
d( , ) (x y ) (x y ) (x y ) . □
如上内积的坐标表达式对任意一个标准正交基都是一样的,
故所有标准正交基在欧氏空间中有相同的地位.
性质 4-性质 6说明:在标准正交基下,内积、向量长度、距
离及度量矩阵均具有较简单的表达形式.
作业: p393 习题 1;习题 2. 1), 3);习题 4;习题 5.
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二 标准正交基的计算定理 1 n维欧氏空间中任一正交组均可扩充为正交基.
证明: 设 1 2 m, , , 是 V的任一正交组,对 n-m进行归纳.
当 n-m = 0时, 1 2 n, , , 已是 V的正交基.
假定 n-m = k时命题成立,即 可找到 1 2 k, , , V ,使得
1 2 m 1 2 k, , , , , , , 是 V的正交基,现证 n-m = k+1命题成立.
这时,由 n-m = k+1>0得 m<n → 存在 ( 0) V ,不
能由 1 2 m, , , 线性表出(否则,得 1 2 mV L( , , , ) →
1 2 m, , , 是 V的基 → dimV = m<n, 出现矛盾) → 构造
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向量 m 1 1 1 m m 1 ma a , a , , a 为待定系数,使得
i m 1 i( , ) 0 (i 1, , m), a 解出 即可 → 事实上
i m 1 i 1 i 1 i i m i m( , ) ( , ) a ( , ) ( , ) a ( , )
i i i i( , ) a ( , ) 0 (i 1, , m)
由于 ii i i i
i i
( , )0, , 0 a,
可知( ) , 故 ( ) (i 1, , m) →
m1 2 m i
m 1 1 2 m ii=11 1 2 2 m m i i
( , ) ( , ) ( , ) ( , ), , , ,
( ) ( ) ( ) ( )
由 m 10 0 +可知 (否则推出 1 m{ , , } 线表 ,这与 的
取法矛盾),且 i m 1( , ) 0 (i 1, , m) → 1 2 m m 1, , , ,
是 V 的正交组 → 由归纳假定 n (m 1) n m 1 k 1 1 k
时命题成立,即 1 2 m m 1, , , , 可扩充为 V的正交基. □
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该定理的证明过程给出了求标准正交基的方法:1. 取 1 1 1V, 0, { } . 则 是正交组 .
2. 取 1 1 1V, , 线性无关 → 构造 1 12 1 1
1 1
( , )( , )
,
则 1 2{ , } 是正交组; → 取 2 2 1 2V, , , 线性无关 →
构造 2 1 2 23 2 1 2
1 1 2 2
( , ) ( , )( , ) ( , )
,则 1 2 3{ , , } 是正交组;
→ · · · → 取 n 1 n 1 1 2 n 1V, , , , 线性无关 → 构造
n 1 1 n 1 2 n 1 n 1n n 1 1 2 n 1
1 1 2 2 n 1 n 1
( , ) ( , ) ( , ), , ,
( ) ( ) ( ) ,
(以上过程称为正交化),则 1 2 n, , 是 V的正交基.
3. 取 1 2 n1 2 n
1 2 n
, , , ( V)
(该过程称为单位化),
则 1 2 n, , , 是 V的标准正交基.
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例:在 R3中构造一组标准正交基,内积如 P360例 1所给.
解:1. 任取一非零向量,如 1 (1,1,1) , 则 1{ } 是正交组;
2. 取 1 (0,1, 2) ,显然 1 1, 线性无关. 构造
1 12 1 1
1 1
( , ) 0 1 1 1 2 1(0,1,2) (1,1,1) ( 1,0,1)( , ) 1 1 1 1 1 1
,则
1 2{ , } 是正交组;取 2 (2,0,3) ,易验证 2 1 2, , 线性无关. 构造
2 1 2 23 2 1 2
1 1 1 2
( , ) ( , ) 2 1+0 1+3 1(2,0,3) (1,1,1)( , ) ( , ) 1 1+1 1+1 1
2 ( 1) 0 0 3 1 5 5 5( 1,0,1) ( , , )( 1) ( 1) 0 0 1 1 6 3 6
则 1 2 3{ , , } 是正交组.
高等代数
9
欧氏空间
3. 11
1
(1,1,1) 1 (1,1,1)1 1+1 1+1 1 3
; 22
2
( 1,0,1) 1 ( 1,0,1)( 1) ( 1)+0 0+1 1 2
; 3
33
1 (1, 2,1)6
. 故
1 2 3, , 是 3R 的一组标准正交基. □
定理 2 1 2 n, , , 是 V的基 V存在标准正交基 1 2 n, , , ,
使得 1 2 n 1 2 nV L( , , , ) L( , , , ), i 1, 2, , n .
证明: 1) 取 11 1 1
1
1, { }
即 是单位正交组,且
1 1L( ) L( ) ( 1 1, 可互相线性表出).
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9
欧氏空间
2) 取 2 12 2 1 2 2 1 1
1 1
( , ) ( , )( , )
( 2 不能由 1 线性表
∴示, 用定理 1的方法取 2 ) → 2 0 (否则将推出 2 可由 1
线性表示,与 1 2, 线性无关矛盾) → 取 22
2
,则 1 2, 是单
位正交组,且 1 2 1 2L( , ) L( , ) ( 11
1
; 22
2
=
2 12 2 1 1 2 1
2 2 2 1
( , )1 1( ( , ) )
, ∴ 1 2, 与 1 2, 等价).
3) 一般地,假定已求出 1 2 m, , , 是单位正交组(m n ),
且 1 2 m 1 2 mL( , , , ) L( , , , ) ,现取
m m
m 1 im 1 m 1 i m 1 m 1 i i
i 1 i 1i i
( , ) ( , )( , )
→ m 1 0
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(否则推出 m 1 可由 1 2 m, , , 线性表出) → 取 m+1m+1
m+1
,
则 1 2 m m 1, , , , 是单位正交组,且
1 2 m 1 2 mL( , , , ) L( , , , ) ,
由归纳原理,即知命题成立. □ 定理 1,2的联系与区别:
相同点: 正交化,单位化的基本方法是一样的.
不同点: (1) 定理 1 中事先未给线性无关的向量组,要自己确
定,而定理 2事先给定线性无关组,只需将其正交化,正交化;
(2) 定理 2先正交化,后对角化,定理 2逐个向量正交化,对
角化.
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综合定理 1、2,给出《schimidt正交化》方法:
设 1 2 m, , , ( V) 是线性无关向量组,先正交化,后对角化.
1) 取 1 1 .
2) 取 2 12 2 1
1 1
( , )( , )
, 3 1 3 23 3 1 2
1 1 2 2
( , ) ( , )( , ) ( , )
,…,
i 1 i 2 i i 1i i 1 2 i 1
1 1 2 2 i 1 i 1
( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )
,…,
m 1 m 2 m m 1m m 1 2 m 1
1 1 2 2 m 1 m 1
( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )
.
即 i 1
i ji i j
j 1 j j
( , )i 2, ,m
( , )
,则 1 2 m, , , 是正交组.
3) 取 ii
i
i 1,2, ,m
, 则 1 2 m, , , 是单位正交组.
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欧氏空间
定理 2中 1 2 n 1 2 nV L( , , , ) L( , , , ), i 1,2, , n
的意义分析:
命题: T是基 1 2 n, , , 到基 1 2 n, , , 的过渡矩阵;
1 2 n 1 2 nV L( , , , ) L( , , , ), i 1,2, , n
T是上三角矩阵. 证明: 由题设条件可得
1 1 1 11 1
1 2 1 2 2 12 1 22 2
1 2 n 1 2 n n 1n 1 2n 2 nn n
L( ) L( ) tL( , ) L( , ) t t
L( , , , ) L( , , , ) t t t
,
即
11 12 1n
22 2n1 2 n 1 2 n
nn
t t t0 t t
( , , , ) ( , , , )T, T
0 0 t
. □
推论: 设由基 1 2 n, , , 经《schimidt正交化》方法所得标准正交
基为 1 2 n, , , 1 2 n 1 2 n( , , , ) ( , , , )T,T 是上三角矩阵.
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例 1 2 3 4(1,1,0,0), (1,0,1,0), ( 1,0,0,1), (1, 1, 1,1) ,
将其化成单位正交组.
解: 1) 取 1 1 (1,1,0,0) .
2) 取 2 12 2 1
1 1
( , ) 1 1 0 1 1 0 0 0(1,0,1,0) (1,1,0,0)( , ) 1 1 1 1 0 0 0 0
1 1( , ,1, 0)2 2
. 3 1 3 23 3 1 2
1 1 2 2
( , ) ( , ) ( 1,0,0,1)( , ) ( , )
1 1( 1) +0 ( )+0 1+1 01 1 1 12 2(1,1,0,0) ( , ,1,0) ( 1,1,1,3)1 1 1 12 2 2 3+( ) ( )+1 1+0 02 2 2 2
,
4 34 1 4 24 4 1 2 3
1 1 2 2 3 3
( , )( , ) ( , ) (1, 1, 1,1) 0 0 0( , ) ( , ) ( , )
(1, 1, 1,1) .
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3) 取 11
1
(1,1,0,0) 2 2( , , 0, 0)2 21 1 1 1 0 0 0 0
, 同理得
322 3
2 3
6 6 6 1 1 1 3( , , , 0), ( , , , )6 6 3 12 12 12 12
,
44
4
1 1 1 1( , , , )2 2 2 2
.
则 1 2 3 4, , , 是单位正交向量组. □
作业: P393 习题 7,8,9.
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欧氏空间
三 正交矩阵定义 7 n nA( R ) 称为正交矩阵,是指 /A A E .
1. A是正交矩阵 1 /A A .
证明: A是正交矩阵 → /A A E → / /A A A A 2A
E 1 0 → A 0 ,即 A可逆 → /A(A A) AE → /AA
/ 1 1AA AA AEA E, AA E /即 → / /A A AA E →
1 /A A . □
2. A, B是正交矩阵 / 1 *A ,A ,A ,AB 为正交矩阵.
证明: A是正交矩阵 → / / / /AA (A ) A E ,即说 /A 是正交矩阵,
由 1.得 1 /A A 是正交矩阵.
* 1 /A A A A A → * / //(A ) A A A A → * / *(A ) A
2/ / /( A A)( A A ) A AA AA E , 即说 *A 是正交矩阵.
A, B是正交矩阵 → / / / /(AB) AB B A AB B B E ,故 AB是
正交矩阵. □
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3. A是正交矩阵 A 1 .
证明: 由 1.可知 2A 1 ,故得 A 1 . □
4. A是正交矩阵 A的特征值的模 1 .
证明: 若1
R,
n
a
a
是属于的特征向量,据 P291(2)得
/ / / / / / 2 21A A ( A )(A ) na a
/ 2 / 2 2 2 21( )( ) ( ) 1, 1na a 即 .
若 R C R A A A ,由 得 ,即
→ n nA ( A R ) . 又
/ / / / / / / /A A A ( )( ) ,
因为 n( 0) C ,故 2/*0 1, 1 1 即 . □
* 设 22 2a b 1a bi a bi .
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5. 是正交矩阵 A的特征值 1也是 A的特征值.
证明: 据题设, / / /A A A A ( ) (A )
/ /1 1A , A
即 是 的特征值,但 A与 A/ 有相同的特征多项式*,
故 1也是 A的特征值. □
* // /
A A( ) E A ( E A) E A ( )f f .
6. 设 ij n nA (a ) ,则 A是正交矩阵 1
10
n
ki kjk
i ja a
i j
.
证明: 设正交矩阵
11 1 1 1
21 2 2 2
1
A
i j n
i j n
n ni nj nn
a a a aa a a a
a a a a
→ 其转置为
11 21 1
1 2/
1 2
1 2
A
n
i i ni
j j nj
n n nn
a a a
a a a
a a a
a a a
→ 由 /A A E 即知1
n
ki kjk
a a
1
21 2
1 (E )( )
0 (E )
j
ji i ni
nj
aa i j
a a ai j
a
的主对角线上的非主对角线上
. 反之亦成立.
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欧氏空间
7. n维欧氏空间标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵.
证明: 设 1 2 n 1 2 n, , , , , , ; 是 V的两组标准正交基,且
1 2 n 1 2 n( , , , ) ( , , , )A, A ( )ij n na
→ 1
21 2
1
( , , , ) ( 1,2, , )
i
ni
i n ki kk
ni
aa
a i n
a
→
因 1 2 n, , , 是标准正交基,故1
( , )0i j
i ji j
.
又1 1 1 1 1
( , ) ( , ) ( , )n n n n n
i j ki k li l ki lj k l ki kjk l k l k
a a a a a a
( 1 2, , , n 是标准正交基) → 结合以上结论推出
1
10
n
ki kjk
i ja a
i j
,据性质 6即知 A是正交矩阵. □
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欧氏空间
9.3 欧氏空间同构
高等代数
9
欧氏空间
一 . 同构概念定义 8 实数域 R 上的欧氏空间 V 与 V/ 同构,如果存在双射 σ : V→V/ ,满足:对任意的 αβ V∈ , k R∈ , 1 ) σ(α+β) =σ(α) + σ(β) ; 2 ) σ(kα) = kσ(α) ; 3 ) (σ(α) ,σ(β) ) = (α,β) .该映射 σ 称为 V 到 V/ 的同构映射,并记为 V V≌ /. 由该定义可知欧氏空间 V 到 V/的同构映射一定是线性空间 V 到 V/的同构映射,故得如下性质: 性质 1 有限维欧氏空间 V V≌ / 当且仅当 dimV=dimV/
. 证明 : 必要性 若 V V≌ / → 作为线性空间来说,V 与 V/仍然同构,据线性空间理论即知 dimV=dimV/
. 充分性 设 dimV=dimV/ . 当 n = 0 时,它们显然同构 .
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欧氏空间
当 n ≥0 时,设 α1,α2,···,αn 与 β1,β2,···,βn 分别为 V 及 V/ 的标准正交基,则 f : α= x1α1+x2α2+ ··· +xnαn → f(α) =β= x1β1+x2
β2+ ··· +xnβn 是线性空间 V 到 V/ 的同构映射,且 取 γ= y1
α1+y2α2+ ··· +ynαn , 有 (α,γ) = x1y1 + x2y2 + ··· + xnyn= ( f (α), f (γ) ),
即 f 是欧氏空间 V 到 V/ 的同构映射, V V≌ / . □
性质 2 任一 n 维欧氏空间 V 都与 Rn 同构 .
证明:据题设 dimV= dimRn 及性质 1 ,即知 V R≌ n. □
性质 3 欧氏空间之间的同构关系具有自反性、对称性、传递性 .
证明: 略 .
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9.4 正交变换
高等代数
9
欧氏空间
一 正交变换的概念及性质定义 9 V 是欧氏空间, A ( L(V))∈ 称为正交变换,
如果对任意的 α,β V, (∈ Aα,Aβ) = (α,β).
性质 1 ( 定理 1) V 是欧氏空间, A L(V)∈ ,则以下条件等价:
1) A 是正交变换;2) 对任意的 α V∈ ,│ Aα│=│α│ (即保持向量的
长度不变);3) ε1,ε2, ···,εn 是 V 的标准正交基,则 Aε1,Aε2,
···,Aεn 是 V 的标准正交基;4) 在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵 .
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9
欧氏空间
证明: 证明思路: (2) (1) (3) (4)
(1) (2) 是正交变换,即 V, ( , ) ( , ) A A A
( , ) ( , ) A A .
( , ) ( , )V, , V,
( , ) ( , )
A AA A A →
( ( ), ( )) ( , ) A A 展开
( , ) 2( , ) ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) A A A A A A →
( , ) ( , ) A A ,即 A 是正交变换.
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9
欧氏空间
(1) (3) 设 1 2 n, , , 是 V的标准正交基,即 i j
1 i j( , )
0 i j
,
(i, j 1, 2, , n) i j i j
1 i j( , ) ( , )
0 i j
是正交变换A A A
(i, j 1, 2, , n) → 1 2 n, , , A A A 是 V的标准正交基.
设 1 2 n, , , ; 1 2 n, , , A A A 都是 V的标准正交基. , V ,
1 1 n n 1 1 n n
1 1 n n 1 1 n n
x x x xy y y y
A A AA A A
得 1 1 n n( , ) x y x y ( , ) A A ,即 A 是正交变换.
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欧氏空间
(3) (4) 设 A 在标准正交基 1 2 n, , , 下的矩阵是 A →
1 2 n 1 2 n 1 2 n( , , , ) ( , , , ) ( , , , )A A A A A ,
即矩阵 A 是标准正交基 1 2 n, , , 到标准正交基 1 2 n, , , A A A 的过渡矩
阵 → A是正交矩阵.
A是正交矩阵 → 1 2 n 1 2 n( , , , ) ( , , , )A A A A ,A可逆
→ 1 2 n, , , A A A 是 V的基,且
1i
n2i
i 1 2 n ki kk=1
ni
aa
( , , , ) a i 1, 2, , n
a
A
i j1 1 1 1 1
1( , ) ( , ) ( , )
0
n n n n n
ki k li l ki lj k l ki kjk k k l k
i ja a a a a a
i j
A A
(因为 A是正交矩阵,故 1 2 n, , , 是标准正交基),故 1 2 n, , , A A A 是
标准正交基. □
高等代数
9
欧氏空间
性质 2 正交变换是可逆的线性变换 .证明: 正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵,而正交矩阵可逆,故正交变换可逆 . □性质 3 正交变换是 V 到 V 的同构映射 . 证明: 正交变换 A 可逆,故是双射 . A 是线性变换,故 A (α+β) = A (α) +A (β) ; A (kα) = kA (α).A 是正交变换,故 (Aα, A β) = (α, β). 所以 A 是 V 到 V 的同构映射 . □性质 4 A , B 是正交变换,则 A - 1, AB 是正交变换 .证明: 设 A , B 在标准正交基下的矩阵是 A, B → A, B 是正交矩阵,且 A - 1 , AB 是正交矩阵 → A - 1, AB 是正交变换 .
高等代数
9
欧氏空间
性质 5 在标准正交基下,正交变换与正交矩阵一一对应 .* 设正交变换 A 对应的正交矩阵为 A ,则| A | =±1 →
称| A |为正交变换 A 的行列式;当| A | = 1 时,称 A 为第一类正交变换 ( 或旋转 ) ;当| A | = - 1 时,称 A 为第二类正交
变换 .性质 6 正交变换保持向量夹角不变,反之则不一定 .
证明: 设 σ 是正交变换 → 对任意的 α,β V ,∈ (σ(α),σ(β)) = (α,β) ;
| α | = | σ(α) | , | β | = | σ(β) | . 当 α,β 中有一个为 0 ,则 σ(α),σ(β)) 中有一个为 0 ,故
〈 σ(α),σ(β)〉 =〈 α,β〉 = 900 ;若 α,β 均非 0 向量,则 〈 α,β〉= arccos (σ(α),σ(β))/ | σ(α) || σ(β) |
= arccos (α,β)/ | α || β | = 〈 σ(α),σ(β)〉 ,即 σ保持向量夹角不变 .
反之,则不一定,如数乘变换保持夹角不变,但不是正交变换 .
高等代数
9
欧氏空间
例 1 V2 中将每一向量按逆时针方向旋转 θ 度的变换是正交变换 σ.
取标准正交基 ε1= (1, 0), ε2 = (0, 1), 则
容易验证矩阵 A 是正交矩阵,且| A | = 1 ,故 σ 是第一类正交变换 .
例 2 令 π 是过原点的平面, α
σ 是 V3 关于 π 的镜面反射 .
取 ε1,ε2 为 π 的标准正交基,即过原点互相垂直的 o π
单位向量构成基 . 取 ε3 为过原点且垂直 π 的单位向
量,则 ε1,ε2, ε3 为 V 的标 σ(α) 准正交基 . 由镜面反射的定
1 2 1 2
cos sin( , ) ( , )A, A
sin cos
高等代数
9
欧氏空间
义, σ(ε1) =ε1, σ(ε2) =ε2, σ(ε3) = - ε3 . 对任意的 α V∈ 3 ,设 α= x1ε1 + x2ε2 + x3ε3 , 则 σ(α) = x1σ(ε1) + x2σ(ε2) + x3σ(ε3) = x1ε1 + x2ε2 - x3ε3 ,
故 | σ(α) | 2 = x12 + x2
2 + x32 = | α | , 即推出
| σ(α) | = | α |,所以 σ 是正交变换 . 由如上过程可知以下等式成立,即 σ 的行列式| B | = - 1 ,即 σ 是第二类正交变
1 2 3 1 2 3
1( , , ) ( , , )B, B 1
1
高等代数
9
欧氏空间
9.5 子空间
高等代数
9
欧氏空间
定义 10 设 V1, V2 是欧氏空间 V 的子空间,称 V1 , V2 正交,记为 V1⊥V2 ,如果对任意的 α V∈ 1 , β V∈ 2 , (α,β) = 0. 称 ξ( V)∈ 与 V1 正交,记为 ξ⊥V1 ,如果对任意的 α V∈ 1 , (ξ,α) = 0.
几何空间 V3 中, xoy平面, oz
轴, ox轴分别标为 W1 、 W2 、W3 , 则它
们都是 V3 的子空间,且 W1⊥W2 , W2 ⊥W3 .
取 oz轴上的向量 ξ ,则
ξ⊥W1 .
高等代数
9
欧氏空间
性质 1 V1 ⊥V2,则 V1∩V2 = {0}.
对任意的 α V∈ 1∩V2 → α V∈ 1 且 α V∈ 2 → 由正交的定义即知 (α,α) = 0 → α = 0 → V1∩V2 = {0}. □
性质 2 α⊥V1 ,且 α V∈ 1 , 则 α= 0. 由题设即知 (α,α) = 0 → α = 0 . □性质 3 (定理 5 ) 子空间 V1 , V2 , ···, Vs 两两正交,则 V1 +
V2 + ··· + Vs 是直和 .
证明: 设 0 = α1 +α2 + ··· +αs , αi V∈ i , i = 1, 2, ···, s .
用 αi 对等式两边作内积得 (αi ,α1) + ··· + (αi ,αi) + ··· + (αi ,αs) = 0,
由题设正交推出 (αi ,αi) = 0 ,故 αi = 0 , i = 1, 2, ···, s , 即 0 的分解式唯一,故 V1 + V2 + ··· + Vs 是直和 . □
高等代数
9
欧氏空间
定义 11 设 V1 , V2 是 V 的子空间, V1 称为 V2的正交补,如果 V1⊥V2 且 V1 + V2 = V .
V1 , V2 互为正交补 .
如几何空间中, xoy平面与 oz轴互为正交补 .oy轴与oz轴正交,但不构成正交补 .
性质 4 ( 定理 6) V 的任一子空间 V1都有唯一的正交补 .
证明: A ) 存在性: 1) V1 = {0}, 则其正交补是 V.
2) V1 ≠ {0}, 在 V1 中取正交基 ε1 ,ε2 , ···,εm 并扩充为 V
的正交基 ε1 ,ε2 , ···,εm, εm+1 , ···,εn → 取V2 = L(εm+1 , ···,εn ), 则 V1 + V2 = V .
高等代数
9
欧氏空间
1 2 1 1 1 1,m m m m n nV V x x x x , →
1 1 1 1
( , ) ( , ) ( , ) 0m n m n
i i j j i j i ji j m i j m
x x x x
,
故 V2V1的正交补.
B) 唯一性: 设 V2 , V3 都是 V1的正交补,则
1 2 1 3V V V V V , 1 3V V V2 1 3V
1 1 3 3( V , V ) , 且 1( , ) 0 (V2是 V1的正交补) →
1 1 3 1 1 1 3 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 → 1 0 ,即
3 3V → 2 3V V . 同理可证 3 2V V ,故 V2 = V3. □
高等代数
9
欧氏空间
V1的正交补记为 1V(该定理的唯一性作保证).
性质 5 1 1(V ) V .
性质 6 1 1dim V dim V n .
性质 7 1 1V { V V }
证明: 性质 5, 6显然成立. 仅证性质 7.
1 1V V1 1V V , ( , ) 0
, 即 1V →
1{ V V } . 反之, 1{ V V } → 1V ,
1( , ) 0, V V ,故 1 1V { V V } . □
由 1 1V V V 可知, V, 可唯一分解成 1 2 ,
1 1 2 1V , V ,称 1 为在 1V内的内射影.
高等代数
9
欧氏空间
9.6 实对称矩阵的标准形
高等代数
9
欧氏空间
一 实对称矩阵的性质
引理 1 实对称矩阵的特征值是实数
证明: 设λ 0是 A的特征值 → /1 2 0( , , , ) , Anx x x
→ 令 /1 2( , , , )nx x x ,其 ix 是 ix 的共轭复数( 1,2, ,i n )
→ 0 0A A → 考察
/ n n
/ / / / / /
A A A R ,A A
(A ) (A ) (A ) (A ) (A )
而 / / /
/ /0 00 0// /
0 0
(A ) ( )
(A ) ( )
→ 由 0 得
/ /1 2 1 2 1 1 2 2( , , , )( , , , ) 0n n n nx x x x x x x x x x x x →
0 0 ,即 0 R . □
高等代数
9
欧氏空间
引理 2 A是实对称矩阵,在 Rn上定义变换 A 如下:
1 1 1nR , ( ) A
n n n
x x x
x x x
A 取 1 2 n
1 0 00 1 0
0 0 1
, , ,
1) A 是 Rn上的线性变换;
2) A ( 1 2 n, , , ) = ( 1 2 n, , , )A;
3) n / /, R , ( , ) ( , ) ( A A ) A A .
证明: 1) A 显然是 Rn上的变换, 又 n, R , k R
( ) A( ) A A A A A ; (k ) A(k ) A
k(A ) k A → A 是 Rn上的线性变换.
高等代数
9
欧氏空间
2) 据 A的定义可知:
1 2 n
0 0 0
( ) A( ) ( , , , )A( ) 1, 2, , n1 1 1
0 0 0
i ii i i
A A
→
1 2 n 1 2 n
1 2 n 1 2 n
( , , , ) ( , , , )1 0 00 1 0
( , , , )(A , A , A ) ( , , , )AE
0 0 1
A A A A
→ 即 1 2 n 1 2 n( , , , ) ( , , , )A A .
3) / / / /( , ) (A , ) (A ) A A A ,又
/( , ) ( ,A ) A A → ( , ) ( , ) A A . □
a) 将如上变换推广到一般欧氏空间中,即引入以下概念.
高等代数
9
欧氏空间
定义 12 A (∈ L(V) )称为对称变换,如果对任意的Α,β V, (∈ Aα,β) = (α,Aβ) .
引理 3 A 是对称变换, V1是 A - 子空间,则 V1⊥是 A -
子空间 .
证明: V1 是 A - 子空间 → 对任意的 β V∈ 1, 有 A β V∈ 1,
故 (α,A β) = 0 ( 对任意的 α V∈ 1⊥) → 由 A 是对称变
换可知 (Aα,β) = (α,Aβ) = 0 → Aα V∈ 1⊥, 即 V1
⊥ 是A - 子空间 . □
引理 4 A 是对称矩阵,则 Rn中属于 A 的不同特征值的特征向量正交 .
证明: 如引理 2 ,在 R 中引入线性变换 A ,设 λ,μ 是 A 的
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欧氏空间
不同的特征值, α,β 是 A 的分属于 λ,μ 的特征向量 → Aα=λα, A β=μβ → 因 A 是对称变换, (Aα,β)
= (α,A β) → (λα,β) = (α,μβ) , 即 λ(α,β) =
μ(α,β) → 因 λ - μ≠0 ,故得 (α,β) = 0 ,即 α⊥β. Rn中对称变换 A 的所有特征子空间两两正交 .
λ1 λ2 ·········· λs
A
αVλ1
βVλ2 VλS
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补充命题 1 dimV= n, A L(V),∈ 则以下条件等价: 1 ) 对任意的 α,β V, (∈ A α,β) = (α, A β) ; 2 ) A 在某标准正交基下的矩阵是实对称矩阵; 3 ) A 在任一标准正交基下的矩阵是实对称矩阵 .
证明: 1) => 2) 设 A 在标准正交基 ε1 ,ε2 ,···, εn 下的矩阵是 A = (aij) ,aij∈R. 只要证明 aij = aji 即可 .
因为 A εi = a1iε1 + a 2iε2 + a niεn (i=1,2,···,n) ,故a ji = (A εi , εj ) = (εi , A εj ) = aij . 2) => 3) 设 A 在任一标准正交基Ⅰ下的矩阵是 B ,则 n 维欧氏空间
由标准正交基 ε1 ,ε2 ,···, εn 到标准正交基Ⅰ的过渡矩阵 T 是正交矩阵,即 T/ = T - 1 ,且 B = T - 1 AT = T/AT → B/ = (T/AT)/ =
T/AT = B , 即 A 在任一标准正交基下的矩阵都是实对称矩阵 .
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欧氏空间
3) => 1) 设在标准正交基 ε1 ,ε2 ,···, εn 下的矩阵 A 是实对称矩阵,即 A /
= A ,对任意的 αβ V∈ , α= (ε1 ,ε2 ,···, εn)X, β= (ε1 ,ε2 ,···, εn)Y,
则 A α= (ε1 ,ε2 ,···, εn)AX , A β= (ε1 ,ε2 ,···, εn)AY
→ (A α, β) = (AX)/ Y = X/A/Y =X/AY ; (α, A β) = X/(AY) = X/AY, 即 (A α, β) = (α, A β) → 是对称变换 . □
补充命题 2 1) 单位变换是对称变换; 2) A , B 是对称变换,则 kA , AB 仍是对称变换 ( 对任意的 k R∈ ).证明: 略 .定理 7 对任意的实对称矩阵 A , 存在 n 阶正交矩阵 T, 使得 T/AT = T - 1AT 是对角矩阵 .
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ε1, ε2, ···,εn
η1, η2 , ···,ηn
证明分析: 在 Rn 中 , 设 A 在给定的标准正交基 ε1, ε2, ···, εn
下定义的线性变换是 A , 问题即:寻找一标准正交基 η1,η2, ···,ηn ,
使在该基下的矩阵是对角矩阵 B → 如图 (η1, η2, ···,ηn ) = (ε1,ε2, ···, εn )T,
T 即为要找的正交矩阵 → 证明的关键: 有 n 个特征向量构成标准正交基即可 , T 即是这 n 个特征向量 ξ1,ξ2, ···,ξn 作列向量构成的 ,
即 T = (ξ1,ξ2, ···, ξn).
L(V)
A
Rn×n
A T
B=T/AT =T - 1AT
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证明: 据引理 2,设 Rn上对称变换 A在给定基 1 2 n, , , 下的矩阵是 A,
即 1 2 n 1 2 n( , , , ) ( , , , )A A ,且 n, R ,( , ) ( , ) A A .
现对阶数 n进行数学归纳.
n = 1时,A 已经是对角矩阵,故命题成立.
假定 n 1 时命题成立,现设 A 为 n阶实对称矩阵,相应的线性变换 A有
一特征值是 1 R ,
11
211 1 2 n
1
( , , , )
n
tt
t
是 A 的隶属于 1 的特征向量,
其中
11
21
1n
tt
t
是齐次线性方程组
1
21( E A) 0
n
xx
x
的非零解. 把其单位
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化,仍用 1 表示 → 设 1 1V L( ) 3 引理 1V 是 A -子空间,且
1dim V n 1 ,且 1| VA 是对称变换(即 1, V ,( , ) ( , ) A A ) →
据归纳假定, 1| VA 有 n 1 个特征向量 2 n, , 做成 1V的正交基,且
12 1
22 22 1 2 n n 1 2 n
2
( , , , ) , , ( , , , )
n
n
n nn
t tt t
t t
将 2 n, , 单位化,仍用 2 n, , 表示,则 1 2 n, , , 构成 Rn的标准正
交基, 且11 12 1
21 22 21 2 n 1 2 n 1 2 n
1 2
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )T
n
n
n n nn
t t tt t t
t t t
→ A 在由特征向量组成的标准正交基 1 2 n, , , 下的矩阵 1B T AT
显然是对角矩阵,即存在正交矩阵 T,使得 1 /B T AT T AT 成立. □
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三 实对称矩阵 A 对角化的方法
步骤:1. 求出 A 的全部互异的特征值 1 2 r, , , ( R) ;
2. 对每个 i ,解齐次线性方程组
1
2( E A) 0i
n
xx
x
,求出基础解
系
1( )1( 1)
2( )2( 1)
( 1) ( )
, , ( 1,2, , )
i
i
i
iki
iki
n i n ik
tttt
i r
t t
→ 1( 1)
2( 1)1 1 2
( 1)
( , , , ) , ,
i
ii n
n i
tt
t
1( )
2( )1 2
( )
( , , , ) ( 1,2, , )
i
i
i
i
ik
ikik n
n ik
t
ti r
t
是 A 的特征子空间 Vi的一组基
→ 用正交化方法,可求出Vi的一组标准正交基
ii1 ik, , ( 1,2, , )i r ;
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3. 因互异的特征子空间正交,故111 1 1, , , , , ,
rk r rk 两两正交,且其
个数恰等于空间的维数 → 它们构成 Rn的一组标准正交基,且均是 A
的特征向量,而111 1 1 1 2( , , , , , , ) ( , , , )T
rk r rk n ,
1
1
1
1(1 ) 1( )1(11) 1( 1)
2(1 ) 2( )2(11) 2( 1)
(1 ) ( )(11) ( 1)
T
r
r
r
k rkr
k rkr
n k n rkn n r
t tt tt tt t
t tt t
→ T是正交矩阵,且 /T AT T AT 是对角矩阵.
例题: 已知
0 1 1 1 0 1 1
A 1 1 0 1
1 1 1 0
,求一正交矩阵 T使 /T AT是对角形.
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解: 1. 先求 A的特征值 1 1 (三重), 2 3 (见 P382);
2. 1 1 时,解相应的线性方程组得基础解系为
1 2 3
1 1 11 0 0
, ,0 1 00 0 1
,正交化、单位化得 1 2 3, , (见 P382).
2 3 时,解相应的线性方程组得基础解系 4
111
1
,单位化得 4
3. 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1
12
1( , , , ) ( , , , )
200
,同理 2 2 3 3, ,
4 4 构成 Rn的标准正交基, 即
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4( , , , ) ( , , , )( , , , ) ( , , , )T ,
1 2 3 4
1 1 1 122 6 12
1 1 1 122 6 12T ( , , , )
2 1 1026 12
3 10 0212
, /
11
T AT=1
3
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三 实对称矩阵对角化与实二次型的联系
分析: 给定实对称矩阵 A ,可构造实二次型 /1 2( , , , ) X AXnf x x x
7 定理 存在正交矩阵 T,使 /B T AT 是对角形 → 存在可逆的线性替
换(以后称为正交的线性替换)X TY ,使得 /B T AT 是对角矩阵 → / / / / /
1 2( , , , ) X AX (TY) A(TY) Y T ATY=Y BYnf x x x 为平方和的形式
→ 以上结论即为定理 8.
定理 8 任意一个实二次型 /1 2( , , , ) X AXnf x x x 都可经过正交的线性
替换变成平方和 1 1 2 2 n ny y y 的形式,其中平方项的系数 1 2, ,
n, 就是矩阵 A的全部特征值.
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四 二次曲面方程化简及分(略)五(补充)向量到子空间的距离1. 内射影定义:称 α1为 α 在 V1的内射影(如图) V 中内射影的几何直观很明确,一般欧氏空间中就不具有这一直
观性,但其欧氏几何的特征是一致的2. 命题: 向量到子空间各个向量的距离以垂线最短 . →
设 W 是 V 的子空间 ,β V, γ W, ∈ ∈β - γ W∈ ⊥ , 则 对任意的 δ W∈ , β β -
γ
┃β - γ┃≤┃β- δ┃. γ β - δ 证明: β - δ=(β - γ)+(γ - δ)因 W 是子空间, γ,δ∈W →
1 1 1 2 1 1 2 1V V V , V, , V , V
δ γ - δ
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γ - δ∈W ,因为 β - γ W⊥ ,故 β - γ γ⊥ - δ ,据勾股定理┃ β - γ┃2+┃γ - δ┃2=┃ β - δ┃2→ ┃β - γ┃2 ≤┃β - δ┃2 ,即有┃β - γ┃≤┃β - δ┃成立 . □