Институт математических машин и систем НАН Украины
description
Transcript of Институт математических машин и систем НАН Украины
1
Институт математических машин и систем НАН Украины
МЕХАНИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ТЕОРИЯ ГРАФОВ
к.т.н., с.н.с. Волобоев В.П.,д.ф-м.н., профессор Клименко В.П.
2
Состояние вопроса в области расчета стержневых систем
Стержневая система – это сооружение, составленное из стержней, т.е. из таких элементов, у которых один размер (длина) превышает два других. Анализ современного состояния расчетов стержневых систем [Ржаныцин А.Р , Розин Л.А. , Cook Robert D. и др.] показал:1. Ручные методы. Большое разнообразие. Строительной
механике более 200 лет.2. Машинные методы. Методы составления математической
модели стержневой системы не обеспечивают составление корректной математической модели стержневой системы.
Количество уравнений может быть <, =, > кол-ва переменных.Существует проблема получения достоверных результатов (неустойчивость решения плохообусловленной системы уравнений).
3
Корректная формулировка математической модели технической (физической) задачи
(состояние вопроса)Классическое утверждение Ж. Адамара
(принцип Адамара)«Аналитическая задача всегда корректно
поставлена в смысле существования и единственности решения, непрерывной зависимости от данных задачи, когда есть механическое или физическое истолкование вопроса».
На современном этапе возобладало мнение о том, что положение Адамара – ошибочно.
Математические методы применяются для решения некорректных задач и плохообусловленных систем уравнений.
4
В настоящее время имеется решение задачи, подтверждающей принцип Адамара: расчет линейной электрической цепи. Оказывается, можно корректно сформулировать задачу на этапе составления математической модели. Корректно сформулированная математическая модель электрической цепи имеет устойчивое решение плохообусловленной СЛАУ.
Цель данной работы: разработать метод корректной формулировки
математической модели стержневой системы. Из основных задач анализа кинематики и
статики стержневых систем будет рассмотрена задача определения положения равновесия самой системы и внутренних сил в ее
элементах.
55
Сравнительные таблицы методов расчета
1. Форма представления уравнений, описывающих
элементы стержневой системы и электрической цепи
Общий подходМеханика стержневых систем Теория электрических цепей1. Геометрическое уравнение
элемента, где - узловые перемещения, - деформация элемента.Физическое уравнение , где - внутренняя сила на узлах элемента, - матрица жесткости (зависимость внутренних сил от деформации).
1. Функциональная зависимость компоненты - общий вид уравнения компоненты, где - параметры, - токи и - напряжения, входящие в уравнения. Эквивалентная схема замещения элемента состоит из двухполюсных компонент.
uATu
Cin
f inf
C
0),,(f IU
I U
6
Механика стержневых систем
Теория электрических цепей
2. Метод конечных элементов (машинный вариант). , где - матрица жесткости (зависимость внутренних сил узлов компоненты от узловых перемещений).
2. Машинный вариант. Функциональная зависимость компонента
описывает связь между напряжением , падающем на компоненте, и током , протекающем через компоненту. - функциональная зависимость линейной компоненты. - проводимость
kufin k
),(U
UfI
UI
UI G
G
7
2. Графическое представление стержневой системы и электрической цепи
Механика стержневых систем
Теория электрических цепей
Расчетная схема стержневой системы. Содержит многополюсные элементы. Узлы, соединяющие стержни, разделяются на шарнирные и жесткие. Описание расчетной схемы: матрица инциденций А.
Граф электрической цепи. Содержит двухполюсные элементы (компоненты).Описание графа электрической цепи:1. Матрица инциденций А.2. Матрица контуров В, 3. Матрица сечений Q, F1Q
.1B TF
88
3. Законы составления математической модели стержневой системы и электрической цепи
Механика стержневых систем Теория электрических цепей
Уравнение равновесияв узле.Сумма внутренних и внешних сил в узле равна нулю
Уравнения равновесия расчетной схемы
Законы Кирхгофа в матричном виде.
1.Сумма токов в узле равна нулю 1.1. , - вектор токов компонент.
1.2.
2. Сумма напряжений в контуре равна нулю
infof
0 oin ff
oin fAfA
0IA I
õîðäíòêîìòîêè
äåðåâàíòêîìòîêèÄI
0,Q
ÕÕ
Ä
III
õîðäíòêîìíàïðÿæåíèÿ
äåðåâàíòêîìíàïðÿæåíèÿ
0,B
Õ
Ä
Õ
Ä
U
U
UU
99
4.Формализованное представление описания математической модели стержневой системы и электрической цепи
Механика стержневых систем Теория электрических цепей
Метод узловых перемещений
1. Общий подход
2.Метод конечных элементов
1. Метод узловых напряжений
где - вектор источников тока в электрической цепи, - вектор узловых напряжений электрической цепи.
2.Метод напряжений компонент дерева
.o
T fAuAÑA
.ofAukA
,JA-AGAT nU J
nU
,0IF-I ÕÄ
Õ
T
Õ
T FFGFUG JU ÄÄÄ
10
Выводы: для реализации корректной формулировки математической модели
стержневой системы расчетная схема должна удовлетворять следующим требованиям.
Этап подготовки расчетной схемы стержневой системы:
• Элементы расчетных схем должны быть представлены эквивалентными схемами замещения объектов стержневых систем, состоящими из двухполюсных компонент.• Функциональные зависимости компонент должны отображать связь перемещений компонент с внутренними усилиями, прикладываемым к компонентам.• Расчетная схема стержневой системы должна быть представлена графом эквивалентной схемы замещения стержневой системы.
11
Этап составления математической модели стержневой системы
• Выбор дерева графа составляемой математической модели. При выборе учитывать
особенности конкретной расчетной схемы. • Сформулировать основную систему уравнений,
описывающих стержневую систему. Выбрать независимые переменные. Преобразовать основную систему для выбранных независимых переменных.
1212
Определения, характеризирующие компонентные уравнения двухполюсников и типы компонент, применяемые при составлении математической модели стержневой системы.
Общий вид компонентного уравнения двухполюсника
- внутреннее усилие, приложенное к - ой компоненте, - перемещение, приложенное к - ой компоненте,
1. , - собственная жесткость
2. - источник внутреннего усилия
3. - источник перемещения
Основные элементы расчетной схемы стержневой системы: опоры, стержни, связи, условное представление нагрузок и других воздействий.
0const i,1 fij,1i
m
kk k
n
j juu fKuKGkji iif ufG
if iiu
i
m
k kk
n
j jji fKuKGik,1ij,1
const ii ufiG
m
kk kk
n
j jj fKuKi,1ij,1
constif
m
kk kk
n
j jj fKuKi,1ij,1
constu i
i
13
в) подвижная опора по направлению координатной оси или с приложенной внешней силой или
а) неподвижная опора; б) неподвижная опора со смещением:
13
Типы опор и внешних воздействий и их эквивалентные схемы.
x yxF yF
.
а)
Х-координата
Y-координатасмещениеu
uU
б)
xF xF
yF
yF
Общий узелU - источник смещения (перемещения)
- источник внешнего воздействия по координате x
xF - источник внешнего воздействия по координате y
yF
14
Эквивалентные схемы замещения воздействия, приложенного к опоре в
локальной системе координат
yxy ul
ulmu
1
xyx fl
flmf
1
Вариант 1 Вариант 2
yyx um
umlu
1
xxy fm
fmlf 1
y
xfy
x
xf
x
yfyu
xuyu ymfxlf
xf
yluxmuy
u
)sin(),cos( ml
Внешние воздействия, приложенные к опоре в локальной системе координат
Эквивалентные схемы замещения воздействий в глобальной системе
xu
yfyf
yU
xu
xFxiyi
yu
yuyF
xfxf
xUxiyi
15
L - длина, A - поперечное сечение, I – момент инерции площади поперечного сечения, E – модуль упругости стержня, , , , - узловые перемещения концов стержня, , , , - внутренние усилия, действующее на концах стержня, в локальной и глобальной системах координат, , - углы изгиба узлов стержня, , - крутящие моменты узлов стержня.Связь внутренних усилий, действующих на концах стержня, с узловыми перемещениями концов стержня в локальной системе координат
где ,
Связь математического описания стержня в локальной и глобальной системах координат
xiu
xju
i
j
yiu
yju
yiu
xiu
xju
yju
xif
xjf
yif
yjfyjf
xif
yif
xjf
i
j
LEIA ,,
y xjM
iM
xu
i
xuxf
j
xf
iM jM
yu yu
yf yf
ukf t
jyxiyx jjiiuuuuu
tMM jyxiyx jjii
fffff
16
Переход к глобальной системе координат
- матрица направляющих косинусов для узлов и …. .
где ,
Откуда
- матрица жесткости в глобальной системе координат.
,Tuu ,Tff tTT 1
T i j
1000000000000000010000000000
lmml
lmml
T
t
jyxiyx jjii
uuuuu
t
MMj jyxiyx fffff
jii
TukTf tTkTk t
17
Построение эквивалентной схемы замещения стержня с жесткими соединениями
Исходные данные:1. - матрица жесткости и - матрица направляющих косинусов в
локальной системе координат
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
LEA
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
LEA
k
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
22
2323
22
2323
Tk
,MMt
j jyxiyx fffffjii
.,
jj
j
ii
iji
yyy
xxx
ffffff
Перемещения j – узла представлены как
jiij
y
x
ji
jii
uu
ij
j
yy
xx
uuuu
1818
LEIl
LEIm
LEI
LEIl
LEIm
LEI
lLEIl
LEIm
LEAlm
LEIlm
LEAl
LEIl
LEIm
LEAlm
LEIlm
LEA
mLEIlm
LEIlm
LEAm
LEIl
LEAm
LEIlm
LEIlm
LEAm
LEIl
LEA
LEIl
LEIm
LEI
LEIl
LEIm
LEI
lLEIl
LEIm
LEAlm
LEIlm
LEAl
LEIl
LEIm
LEAlm
LEIlm
LEA
mLEIlm
LEIlm
LEAm
LEIl
LEAm
LEIlm
LEIlm
LEAm
LEIl
LEA
k
466266
6121261212
6121261212
266466
6121261212
6121261212
2222
2
2
3
2
32
2
3
2
3
23
2
3
2
23
2
3
2
2222
2
2
3
2
32
2
3
2
3
23
2
3
2
23
2
3
2
ji
y
x
i
ji
y
x
i
ji
ji
ji
j
uu
LEIl
LEIm
LEI
LEI
lLEIl
LEIm
LEAlm
LEIlm
LEAl
LEI
mLEIlm
LEIlm
LEAm
LEIl
LEAm
LEI
LEIl
LEIm
LEI
LEI
ff
4666
6121212
6121212
2666
M
M
22
22
32
32
232
32
2
22
i
Матрица жесткости стержня в глобальной системе координат
матрица жесткости стержня преобразуется к видуk
19
, , , , , , , - перемещения, внутренние усилия, угловые сдвиги и моменты инерции компонент в глобальной системе координат
jixujiyu
jixf
Эквивалентная схема замещения стержня с жесткими соединениями
iii yy uK ,0
xi xjjixfjixx uG ,
yjyi
jiyy uG ,
iiG ,
iM
jiyf
ijjiM jiji
G ,
jiji yy uK ,
jiyyx uK ,
jixxy uK ,
ixiK ,
jii xx uK ,
iyiK ,
jiji xx uK ,
jiyjiK ,
jixjiK ,
jiijiK , ijii
K ,
jixixyyxxxx jiijijiji
KKuKuGf
jiyiyxxyyyy jiijijiji
KKuKuGf
ijiyjixjiji jiijijiji
KuKuKG M
jiyyxxii ijijiijiii
KuKuKG M
jiyfji jiMi iM
2020
Эквивалентная схема замещения стержня с комбинированными соединениями
(узел – жесткий, узел – шарнирный) матрица жесткости в локальной системе координат имеет вид
i j
323
22
323
30330
000
30330
30330
000
LEI
LEI
LEI
LEA
LEA
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
LEA
k
t
jjii yxiyx uuuuu
,
t
Mjjii yxiyx fffff
lmml
lmml
T
000000
00100000000
ji
ji
y
x
uu
ij
ij
yy
xx
uuuu ,
333
333
333M
2
3
2
32
3
2
3
2
2
22
ji
ji
i
ji
ji
y
x
y
x
i
uu
lLEIm
LEAlm
LEIlm
LEAl
LEI
lmLEIlm
LEAm
LEIl
LEAm
LEI
lLEIm
LEI
LEI
ff
.,
jj
j
ii
iji
yyy
xxx
ffffff
2121
Эквивалентная схема замещения стержня с шарнирными соединениями
i
0
xi xjjixf
jiyfyi yj
jixx uG ,
jiyy uG ,
iiG ,
iMiyi
K ,
jii xx uK ,
jii yy uK ,
jiyyx uK ,
jixxy uK ,
ixiK ,
ixyyxxxx ijijiji
KuKuGf
iyxxyyyy ijijiji
KuKuGf
jiijiiii yyxxi uKuKGM
yji
xji
yji
xji
uu
mlmlml
LEA
ff
2
2
xixjjixf
jiyfyi
yj
jixx uG ,
jiyy uG ,
jiyyx uK ,jixxy uK ,
jijiji yyxxxx uKuGf
jijiji xxyyyy uKuGf
lmL
EAKlL
EAG yxx ,2
lmL
EAKmL
EAG xyy ,2
22
Граф эквивалентной схемы замещения стержневой системы.
Новые возможности:1. Для записи уравнений равновесия применяются:- матрица инциденций;- матрица сечений.2. Матрица контуров – для записи аналога второго
закона Кирхгофа. Если перемещение совершается по замкнутому контуру, то суммарное перемещение компонент при возвращении в исходную точку будет равно нулю. В противном случае путем обхода контура можно было бы получать положительную энергию и тем самым нарушая закон ее сохранения.
3. Целенаправленний выбор дерева графа эквивалентной схемы стержневой системы.
23
Формулировка математической модели стержневой системы, представленной графом.
Основная система уравнений, описыающих эквивалентную схему замещения стержневой системы включает:
1. Компонентные уравнения двухполюсников эквивалентной схемы: - аналог независимого/зависимого резистора; - зависимый/независимый источник усилия; - зависимый/независимый источник перемещения;
2. Уравнения равновесия усилий в сечениях: .
3. Уравнения равновесия перемещений в контурах: .
m
kkk
n
jjji KuKG
ik,1ij,1
ii uf
n
jjjuK
ij,1
constu i
l
kkkk
n
j
m
kkkkjj fKKuK
i,1ij,1 i,1
const if
.01Qf
Х
Д
ff
F
Õ
Ät
uu
F1Bu
24
Преобразование основной системы уравнений
1. Выбор дерева графа: - независимые и зависимые источники смещения
выбираются в дерево;- независимые и зависимые источники усилий
выбираются в хорды;- собственная жесткость резистивных компонент дерева
больше собственной жесткости компонент хорд.
25
Уравнения равновесия основной системы
θ
G
u
θX
Gu
Guuuu
θθ
GGuGG
M
u
θ
G
Ä
Ä
U
U
tÄθ
tFÄ
tFU
tFuU
tÄF
tUF
tUF
tÄX
tÄX
tUX
tUX
X
F
F
X
X
θuuu
FFFFFFF
FFFF
θuuθu
00000
0000
,uFu ÄÕt
θ
G
u
Д
Д
U
U
Д
θuuu
u
M
f
θ
G
Mθθθ
GfGGG
ufuGu
fG
θ
GÄ
u
X
X
X
XÄXÄ
FÄFÄXÄ
FUFUXU
FUUFXU
Ä
U
U
ff
Mf
FFFFFFFFFFF
=fff
M000
000000
M F
F
Уравнения равновесия перемещений в контурах
Уравнения равновесия усилий в сечениях
M
u
θ
G
X
F
F
X
X
Õ
θuuθu
u
ХД Fff
θ
GÄ
u
Ä
U
U
Ä fff
f
M
M
f
θ
G
X
X
X
Õ
ff
Mf
f
MF
F
26
Компонентные уравнения двухполюсников эквивалентной схемы
- независимые источники перемещения, - зависимые источники перемещения, - перемещениеуправляемые компоненты дерева, - углоуправляемые компоненты, дерева, - перемещениеуправляемые компоненты – хорды, - углоуправляемые копоненты - хорды, - источники усилий, зависимые от источников перемещений, - независимые источники усилий, - независимые источники крутящих моментов.
const,uU
(u),uff UU
), ,θu(ufGGG ÄÄÄ
),M (u,θθθ ÄÄ
,
),,(GG XX uf
),M (u,θθθ XX
),(FF uff Uff
constf FconstM
MX
27
Результаты преобразования основной системы уравнений
В качестве переменных выбраны перемещения и углы изгиба компонент дерева
Порядок системы линейных алгебраический уравнений
- количество ветвей входящих в дерево графа, - количество независимых источников напряжения.
0
M
M
00000
MF
FFF
M
f
θ
G
Mθθθ
GfGGG
θ
G
X
X
X
XÄXÄ
ÄÄXÄ
Ä
Ä
ff
f
FFFFF
-f
n,
uUUÄ nnnn Än
Un
28
Расчетная схема стержневой конструкции 1http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf (избыточность уравнений)
P 23
1
1
2
3
y x0yu
0xf
.11020.6
,21100.6
,210,1,1000
24
24
элементадляmA
иэлементовдляmA
GPaEmLkNPстержнейПараметры
,1012601
)10210(100.61,0,90)2_1(1
594
212
mL
EAG
mlÝëåìåíò
y
,1012601
)10210(100.60,1,0)3_2(2
594
223
lL
EAG
mlÝëåìåíò
x
,1063021
2)10210(1020.6,10630
21
2)10210(1020.6
,1063021
2)10210(1020.6,10630
21
2)10210(1020.6
21,
21,45)3_1(3
594
135
942
13
594
135
942
13
lmL
EAKlL
EAG
lmL
EAKlL
EAG
mlÝëåìåíò
xy
yx
29
Эквивалентная схема строительной конструкции 1
,,,,,,: 13323211 yxxyyx GEGEEEäåðåâàÂåòâè246 EÄ nnnÑËÀÓïîðÿäîê
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
uuEEEE
uuuu
13
23
3
2
1
1
2
12
3
13
011000000110100010
001001
x
y
y
x
y
x
x
y
y
x
JfJf
ffffff
2
12
3
13
13
23
3
2
1
1
001010001001010001100001
Уравнения равновесия перемещений
Уравнения равновесия усилий
0
xf13
xf3
0
x2PJ x 2
yf3xf3
xE3
yu3`3y
x3xu23
xf23
xG23
02 yE
0
0
01 yE01 xE 00
y2yI12
yG12
yu12
y1
x1 xu13xG13
xu13 yu13 yf13
yG13 yf13
yJ3
30
Компонентные Решение уравнения
51313
13
523
23
102520)(2
101260
PKG
Pu
PG
Pu
xyy
xx
,102560
3102560101260 555
3232
PPP
Euu xxx
xyx
xxfJf
Jf3313
223
xxxxyy
xxJfuKuG
PuG21313131313
2323
yyxx
yyxxxxyy
xx
uuEuPuKuGuKuG
GPu
133313
1313131313131313
2323
)(
yyy uGf 121212
yyxxx fKfGf 1313131313
xxyyy uKuGf 1313131313
xxx uGf 232323 xy fJ 33
PJ x 2
yx uE 33
31
Расчетная схема стержневой конструкции 2Розин Л.А. Метод конечных элементов //Соросовский образовательный журнал, т. 6, №4, 2000, стр. 120 – 127 (плохая обусловленность)
а) расчетная схема, б) эквивалентная схема замещения стержневой конструкции.
Параметры компонент: , . Ветви дерева:
топологическая матрица контуров
)б1231 , xxxx GGGG
1xG0 1 211 PF
2xG 3xG
22 PF
)а
11P
0 211 2 3
2P
0 0,1 ml 21,G xx G
11100010101100121213
xxFFG uuuuu
B
x202 UÄ nnn
0101111
2
1
3
2
1
FFf
ff
32
Оценка решения примера №2
Предложенный метод Литература
.)()(
233213
2123131PuGGuG
PPuGuGGGxGx
GxGx
,)(
)(
22032102
12021021
PuGGuGPuGuGG
gtguu GxGx 12
.)()(
,)(
32
21
32
32
2
211
3
312
GGPu
GGGu
GPPu
GGGu
GxGx
GxGx
2)(
3
311
GGGtg
0)( 32
32
GGGtg
631
02
1)(
2
211
GGGtg 45°1
1)( 32
22
GGGtg 45°2
.)()(
,)(
32
210
32
229
2
2110
2
2120
GGPu
GGGu
GPPu
GGGu
33
Фрагмент расчетной схемы стержневой конструкции 3http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/IFEM.d/Home.html (ограничения в конструкции)
Фрагмент расчетной схемы
Вид ограничения: . Эквивалентная схема замещения:
22 , fu11, fu 33, fu 44 , fu 55, fu 66 , fu 77 , fu
1 2 3 4 5 6 7
(1) (2) (3) (4) (5) (6) x
62 uu
4xG3 4 55xG 6xG1xG0
1 22xG 3xG
1F 2F
6 7xG 7
7F5F4F3F 6F
01 E
34
Вид ограничения , ,
Эквивалентная схема замещения:
26 uu 14 41 uu
513 21
81 uuu
4F
4xG3 4 55xG 6xG1xG0
1 22xG 3xG
1F 2F
6 7xG 7
7F5F
3F 6F
01 E
14 41 uE
513 21
81 uuE
3535
Выводы Впервые предложено использовать теорию графов для корректной формулировки математической
модели стержневой системы.1. Применение теории графов стало возможным за счет разработки эквивалентных схем замещения объектов
стержневых систем, состоящих из двухполюсных компонент.2. Применение теории графов расширило основную систему уравнений, описывающих стержневую систему за счет
введения уравнений равновесия перемещений в контуре. 3. Корректная формулировки математической модели стержневой системы достигнута за счет предложенного
алгоритма выбора компонент входящих в дерево, учитывающего особенности конкретной стержневой системы.
5. -
36
Литература• 1. Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию
сложных систем / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. – 2008. – № 4. – С. 111 – 122.
• 2. Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по частям / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. – 2010. – № 3. – С. 53 – 68.
• 9. Волобоев В.П. Один способ корректной формулировки математической модели технической (физической) задачи / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. – 2011. – № 4. – С. 95 – 106.
37
Благодарю за внимание