话说 “ 江苏五年新高考 ”
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话说“江苏五年新高考”
话说“江苏五年新高考”
一、“五年新高考”内容的分布一、“五年新高考”内容的分布 1. 填空题 ( 1)新知年年考,难度比较小
五年新增知识点考查一览
新增知识点 2008年
2009年
2010年
2011年
2012年
任意、存在量词幂函数零点算法 √ √ √ √ √
合情、演绎推理 √ √
统计 √ √ √ √ √概率 √ √ √ √ √导数 √ √ √ √
复数 √ √ √ √ √
一、“五年新高考”内容的分布一、“五年新高考”内容的分布 1. 填空题 ( 1)新知年年考,难度比较小
( 2)知识要全面,能力不偏废
五年其他基本知识点考查一览
主要知识 2008年
2009年 2010年 2011年 2012年
集合 4 11 1 1、 14 1
函数 1410、 1
15、 11、
142、 8、 11、
12 5、 10
数列 10 14 8 13 6
三角 1、 13 4 10、 13 7、 9 11
向量 5 2 10 9
不等式 11 10 125、 12、 13、
14立几 12 7(求体积)解几 12 13 6、 9 8、 14 8、 12应用 14 12
一、“五年新高考”内容的分布一、“五年新高考”内容的分布 1. 填空题 ( 1)新知年年考,难度比较小
( 2)知识要全面,能力不偏废
2. 解答题
五年大题一览:题号 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年15 三角计算 三角向量 向量计算 三角形计算 三角形向量
16 立体几何 立体几何 立几 ( 距离 ) 立体几何 立体几何
17应用
(三角、导数)
数列(整数)
应用(三角测
量)
应用(三次函数、导
数)
应用(二次函数,不等
式)
18解几
( 抛 . 圆 )解几
( 圆 . 点 )椭圆
( 定点 )椭圆
( 恒⊥ ) 函数综合
19 数列综合应用
(不等式)
数列综合 函数综合 椭圆( 和定 )
20 函数综合 函数综合 函数综合 数列综合 数列综合
二、话说江苏“五年新高考”特点二、话说江苏“五年新高考”特点 1. “ 五年新高考”的命题总特点:
数学命题力求做到“三个避免”:
尽量避免需要死记硬背的内容,
尽量避免呆板题,
尽量避免烦琐计算题. 数学命题还强调“三个反对,两个坚持”:
反对死记硬背,反对题海战术,反对猜题押题;
坚持三基为本,坚持能力为纲 .
二、话说江苏“五年新高考”特点二、话说江苏“五年新高考”特点 2.“ 五年新高考”的“坚守” :
( 1 )填空题的三级跳: 50 分钟
1——8 ,一望便知,一算即得;
9——12 ,中等要求,细心不错;
13 、 14 , 小题把关,“事倍功半” .
二、话说江苏“五年新高考”特点二、话说江苏“五年新高考”特点 2.“ 五年新高考”的“坚守” :
( 2 )解答题的三级跳: 70 分钟
代数、立几把分送够;
应用、解几区别显著;
函数、数列“几舸”争流 .
二、话说江苏“五年新高考”特点二、话说江苏“五年新高考”特点 2.“ 五年新高考”的“坚守” :
( 3 )附加题: 30 分钟
21 题四中选二 , 当机立断;
22 题中等要求 , 应对熟练;
23 题力求新意 , 半易半难 .
(容易题、中等题、难题之比为 5 : 4 :1 )
例 18(2009)、对于正整数 n≥2,用 T(n)表示关于 x 的一元二
次方程 x2+2ax+b=0 有实数根的有序数组(a,b)的组数,其中
a,b∈ {1,2,…,n}(a 和 b 可以相等 );对于随机选取的 a,
b∈ {1,2,…,n}(a和 b可以相等),记 P(n)为关于 x的一元二次
方程 x2+2ax+b=0有实数根的概率.
(1)求 T(n2)及 P(n2);
(2)求证:对任意正整数 n≥2,有 P(n)>1-1
n .
( 2009 年 23题)
(2010 年 23 题 ) 已知△ ABC 的三边长都是有理数.(1) 求证: cosA 是有理数;(2) 对任意正整数 n ,求证 cosnA 是有理数.—— 有理数——cos(k+1)A=coskAcosA - sinkAsinA
例 20(2011)、设整数 n≥4,P(a,b)是平面直角坐标系 xOy中的
点,其中 a,b∈ {1,2,3,…,n},a>b.
(1)记 An为满足 a-b=3的点 P的个数,求 An;
(2)记 Bn为满足13
(a-b)是整数的点 P的个数,求 Bn.
( 2011 年 23题)
(2012年 23题)
设集合 {1 2 }nP n , , ,… , n N .记 ( )f n 为同时满足下列条件的集合 A的个数:
① nA P ;②若 x A ,则 2x A ;③若nPx Að ,则 2
nPx Að .
(1)求 (4)f ;
(2)求 ( )f n 的解析式(用 n表示).
二、话说江苏“五年新高考”特点二、话说江苏“五年新高考”特点 2.“ 五年新高考”的“坚守” : ( 4 )总体势态:
年份
均分
2008 年 2009年
2010年
2011 年 2012 年
88
把关题有些难
小把关没把关
求变与 3 误
维稳是大计
立体几何升级
三、“五年新高考”的各年“话题”三、“五年新高考”的各年“话题”1 、 2008 年的话题:
—— 小题关卡多,题题不省心
—— 大题要求高,处处难深入
(2008年13题)满足条件 2, 2AB AC BC 的三角形ABC
的面积的最大值是 ▲ .
18
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【思路一】设 BC= x,则 AC= 2x ,
ABCS = 21sin 1 cos
2AB BC B x B ,根据余弦定理得
2 2 2 2 24 2cos
2 4
AB BC AC x xB
AB BC x
24
4
x
x
,
代入上式得 ABCS = 2 22 128 124
14 16
xxx
x
由三角形三边关系有2 2
2 2
x x
x x
,解得 2 2 2 2 2 2x ,
故当 2 2x 时取得 ABCS 最大值 2 2
⑴(苏教版必修2教材习题2.2(1)第10题) 已知点M(x,y)与两个定点
O(0,0),A(3,0)的距离比为 1
2,那么点M的坐标应满足什么关系?
(⑵ 苏教版选修2-1教材习题2.2(2)第7题) 已知点M到椭圆2 2
2 21
13 12
x y
的左焦点和右焦点的距离之比为2:3,求点M的轨迹方程.
(⑶ 苏教版选修 2-1教材第 57页例 2)求平面内到两个定点 A、B的距离之比等于 2的动点M的轨迹方程.
【思路二】在平面直角坐标系 xOy中,设 A(-1,0),B (1,0), 且满足 2AC BC ,求 C点的轨迹方程.
19
(2008年13题)满足条件 2, 2AB AC BC 的三角形ABC
的面积的最大值是 ▲ .
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求平面内到两个定点 A(-a,0),B(a,0)(a>0)的距离之比为正数 1 的动点 P的轨迹.
解:设动点P的坐标为(x,y).则 2 2 2 2( ) ( )x a y x a y ,
化简整理得:2 2 2
2 22 2 2
( 1) 4[ ] .
( 1) ( 1)
a ax y
故点P的轨迹为以2
2
( 1)( 0)
( 1)
a, 为圆心,半径为
2
2
| 1|
a
的圆.
阿波罗尼斯圆:平面内到两个定点距离之比为正数 1 的动点 P的轨迹是圆.
20
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五年新高考数学试卷中教材改编题统计表:
年份 源于教材的改编题题号 合计
2008 1 2 5 6 7 8 10 15 17 18 10
2009 2 3 4 6 8 9 10 11 16 17 10
2010 1 2 3 4 5 6 7 15 16 17 10
2011 1 2 3 4 5 6 7 9 10 17 10
2012 1 2 3 4 5 7 8 11 13 16 10
21
三、“五年新高考”的各年“话题”三、“五年新高考”的各年“话题”2 、 2009 年的话题:
—— 小题把关,一马平川,皆大欢喜!
—— 首创应用题把关,师生皆言苦不堪!
—— 压轴题平和常规,背景熟悉易发挥!
14. 设 {an} 是公比为 q 的等比数列, |q| > 1 ,令 b
n=an+1(n=1,2,…) ,若数列 {bn} 有连续四项在集合
{ - 53 ,- 23 , 19 , 37 , 82} 中,则 6q= .
【解析】将各数按照绝对值从小到大排列,各数减 1 ,观察即可得解 .
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——这样的填空题怎么把关? ——这样的填空题怎么把关? —— 小题把关,一马平川,皆大欢喜!—— 小题把关,一马平川,皆大欢喜!
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——首创应用题把关,师生皆言苦不堪!——首创应用题把关,师生皆言苦不堪!
19.按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为a元,如果他卖出该产品的单价为m元,则他
的满意度为 m
m a;如果他买进该产品的单价为n元,则他的满意度为 n
n a.如果一个人对两种交易(卖出
或买进)的满意度分别为 1h 和 2h ,则他对这两种交易的综合满意度为 1 2h h .
现假设甲生产 A、B两种产品的单件成本分别为 12元和 5元,乙生产 A、B两种产品的单件成本分
别为 3元和 20元,设产品 A、B的单价分别为 Am 元和 Bm 元,甲买进 A与卖出 B的综合满意度为h甲,
乙卖出 A与买进 B的综合满意度为h乙
(1)求h甲和h乙关于 Am 、 Bm 的表达式;当3
5A Bm m 时,求证:h甲 = h乙;
(2)设3
5A Bm m ,当 Am 、 Bm 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为
多少?
(3)记(2)中最大的综合满意度为 0h ,试问能否适当选取 Am 、 Bm 的值,使得 0h h甲 和 0h h乙 同时成
立,但等号不同时成立?试说明理由。
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—— 压轴题平和常规,背景熟悉易发挥!
20.设a为实数,函数 2( ) 2 ( ) | |f x x x a x a .
(1)若 (0) 1f ,求a的取值范围;
(2)求 ( )f x 的最小值;
(3)设函数 ( ) ( ), ( , )h x f x x a ,直接写出....(不需给出演算步骤)不等式 ( ) 1h x 的解集.
三、“五年新高考”的各年“话题”三、“五年新高考”的各年“话题”3 、 2010 年的话题:
—— 填空多题让学生抓狂
——超纲争议令老师纠结
——大题布局受专家称道
—— 填空多题让学生抓狂 8. 函数 y=x2(x>0) 的图像在点 (ak, , ak
2) 处的切线
与 x 轴交点的横坐标为 ak+1 ,其中 k N*∈ ,若 a1=1
6 ,则 a1+a3+a5 的值是 .
——切线斜率是导数,点斜式得切线方程,横截距是数列递推,等比数列,求和;——6 年江苏考了 3 次, 06 、 10 、 11 三年;
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(2011 年 12 题 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P
是函数 f(x)=ex(x > 0) 的图象上的动点,该图象在 P 处的切线 l交 y 轴于点 M ,过点 P作 l 的垂线交 y 轴于点 N ,设线段MN 的中点的纵坐标为 t ,则 t 的最大值是 _____ .—— 设点 (u,eu) ,求导,切线方程,求 M , 求法线方程,求 N ,中点纵坐标 t=g(u) , 求函数 t=g(u) 的最值—— 知识网络交汇处命题,思维运算链长!
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12. 设实数 x , y满足 3≤ xy2 ≤8 , 4≤ x2/y ≤9 ,则 x3/y 4
的最大值是 .
——构造和化归
解析一:用待定系数法,即设3 2
2
4( ) ( )m nx xxy
yy ,
求得 m=-1,n=2,由2
2 1 21 1( ) ,16 ( ) 81
8 3
xxy
y ,
可得所求最大值为 27.
解析二:通过取对数,化归为关于 lgx 和 lgy 这两个元素的线性规划问题 .
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(2012年 14题)已知正数a b c,,满足:
4 ln5 3 lnb c a a c cc a c b ≤ ≤ ≥, ,则b
a的取值范围是 ▲ .
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三、“五年新高考”的各年“话题”三、“五年新高考”的各年“话题”4 、 2011 年的话题:
——无可奈何 1 3 题,菜鸟开心高手急;
——让人无语应用题,放在中考也不奇;
—— 压轴大题把住关,寥寥无几能生还!
13. 设 1≤a1≤a2≤…≤a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7
成公比为 q 的等比数列, a2 , a4 , a6成公差
为 1 的等差数列,则 q 的最小值是 ____ .
——a1 , a2 , a1q , a2+1 , a1q2 , a2+2 , a1
q3 ,…
——找不到切入点,坚持还是放弃?
——无可奈何 13 题,菜鸟开心高手急! 考题点击考题点击
17.请你设计一个包装盒,如图所示, ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 四个点重合于图中的点 P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒, E 、 F 在 AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=xcm.( 1 )若广告商要求包装盒侧面积 S ( cm )最大,试问 x 应取何值?( 2 )若广告商要求包装盒容积 V ( cm )最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
——让人无语应用题,放在中考也不奇 ! 考题点击考题点击
20. 设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {an} 的首
项 a1=1 ,前 n 项的和为 Sn ,已知对任意整数 k 属
于 M ,
当 n > k 时, Sn+k+ Sn-k =2(Sn + Sk) 都成立.
(1) 设 M={1} , a2=2 ,求 a5 的值;
(2) 设 M={3,4} ,求数列 {an} 的通项公式.
—— 压轴大题把住关,寥寥无几能生还!考题点击考题点击
怎么想?具体写出性质
当 k=3时, Sn+3+ Sn-3 =2(Sn + S3) ,
再写下一个 Sn+4+ Sn-2 =2(Sn+1 + S3) ,
两个相减得 an+4+ an-2 =2an+1 , n≥4 ,
即有 a2 , a5 , a8 , a11 ,…成等差数列,设公差是 3d1 ;
a3 , a6 , a9 , a12 ,…成等差数列,设公差是 3d2 ;
a4 , a7 , a10 , a13 ,…成等差数列,设公差是 3d3 ;
考题点击考题点击—— 压轴大题把住关,寥寥无几能生还!
当 k=4时,同理有 an+5+ an-3 =2an+1 , n≥5 ,
即有 a3 , a7 , a11 , a15 ,…成等差数列,设公差是 4
b1 ;
a4 , a8 , a12 , a16 ,…成等差数列,设公差是 4
b2 ;
a5 , a9 , a13 , a17 ,…成等差数列,设公差是 4
b3 ;
a2 , a6 , a10 , a14 ,…成等差数列,设公差是 4
b4 ;
——b1=d2=b2=d3=b3=d1…?
考题点击考题点击—— 压轴大题把住关,寥寥无几能生还!
18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中, M 、 N 分别是椭圆 x2/4+y2/2=1 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P 、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P作 x 轴的垂线,垂足为 C ,连接 AC ,并延长交椭圆于点 B ,设直线 PA 的斜率为 k . (1) 当直线 PA 平分线段MN ,求 k 的值;(2) 当 k=2时,求点 P 到直线 AB 的距离 d ;(3) 对任意 k>0 ,求证: PA⊥PB .—— 得分差异最大的试题
O x
y
C
BM
P
NA
考题品味考题品味
4, ( 3,0), (3,0),
9ABC B C AB AC 在 中 直线 , 斜率乘积为- (原题为
9,
4A)求顶点 的轨迹方程. (苏教版选修2-1第39页习题4改编)
2
2
4
9
b
a 是巧合还是必然?
点 A 的轨迹方程是:2 2
19 4
x y ( 3).x
有没有更一般性的结论?38
回归课本,追根溯源回归课本,追根溯源 考题品味考题品味
o x
y
B C
A( ,0), ( ,0)B a C a与两个定点 连线
2
20)
ba b
a 的斜率乘积为定值- (
A的动点 的轨迹方程是2 2
2 21( )
x yx a
a b
(一)纵向探究
回归课本,追根溯源回归课本,追根溯源
——归纳得到椭圆的一种“生成方式”
考题品味考题品味
2 2
2 21( 0)
x ya b
a b 椭圆 上长轴的两顶点
斜率乘积为2
2.
b
a定值-
与椭圆上的任一点(除这两个顶点)连线
(二)逆向探究
回归课本,追根溯源回归课本,追根溯源
—— 得到椭圆的一个性质
考题品味考题品味
o x
y
B C
A
2 2
2 21( 0)
x ya b
a b 椭圆 上任一条
经过原点的弦的两个端点与椭圆上的任
一点(除这两个端点)连线斜率乘积为2
2.
b
a定值-
o x
y
B
C
A
(三)深度探究
回归课本,追根溯源回归课本,追根溯源
——构建椭圆新的认知体系
考题品味考题品味
2 2
, , 1 ,4 2
, ,
, , , , .
x yxOy M N
P A P P x
C AC B PA k
如图在平面直角坐标系 中 、 分别是椭圆 的顶点
过坐标原点的直线交椭圆 、 两点其中 在第一象限 过 作 轴的垂线垂足为 连接 并延长交椭圆于点 设直线 的斜率为
⑴
⑵
⑶
, ;PA NM k若直线 平分线段 求 的值
0, .k PA PB 对任意的 求证:
=2 , ;k P AB d当 时 求点 到直线 的距离的
o x
P
C
A
y
B
N
M
42
回归课本,追根溯源回归课本,追根溯源 考题品味考题品味
(四)拓展应用
2 2
, , 1 ,4 2
, ,
, , , , .
x yxOy M N
P A P P x
C AC B PA k
如图在平面直角坐标系 中 、 分别是椭圆 的顶点
过坐标原点的直线交椭圆 、 两点其中 在第一象限 过 作 轴的垂线垂足为 连接 并延长交椭圆于点 设直线 的斜率为
o x
P
C
A
y
B
N
M
43
回归课本,追根溯源回归课本,追根溯源 考题品味考题品味
(四)拓展应用
0, .k PA PB 对任意的 求证:
1= ,
2AB PBk k 由上述结论可知:
1,PA PBk k 即证:,PA PB要证:
2PA ABk k所以我们只要证明 即可.
⑶
三、“五年新高考”的各年“话题”三、“五年新高考”的各年“话题”5 、 2012 年的话题:
—— 立体几何“不甘寂寞”
—— 应用大题“再惹争议”
—— 数列问题“皆感意外”
16.如图,在直三棱柱1 1 1ABC A B C 中,
1 1 1 1A B A C ,D E,
分别是棱1BC CC, 上的点(点D 不同于点 C),
且 AD DE F , 为1 1B C 的中点.
求证:(1)平面 ADE 平面 1 1BCC B ;
(2)直线1 //A F 平面 ADE.
—— 立体几何“不甘寂寞”
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17.如图 ,建立平面直角坐标系 xOy , x 轴在地平面上 ,y 轴垂直于地平面 ,单位长度为 1 千米 .某炮兵位于坐标原点 . 已知炮弹发射后的轨迹在方程
表示的曲线上 , 其中 k 与发射方向有关 .炮的射程是炮弹落地点的横坐标 .(1) 求跑的最大射程 ; (2) 设在第一象限有一飞行物 (忽略其大小 ), 其飞行高度为 3.2千米 ,试问它的横坐标 a 不超过多少时 ,炮弹可以击中它?请说明理由。
)0()1(20
1 22 kxkkxy
—— 应用大题“再惹争议”
考题点击考题点击
—— 数列问题“皆感意外”
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20.已知各项均为正数的两个数列{ }na 和{ }nb 满足: 1 2 2
n nn
n n
a ba n
a b
N, .
(1)设 1 1 nn
n
bb n
a
N, ,求证:数列2
n
n
b
a
是等差数列;
(2)设 1 2 nn
n
bb n
a
N, ,且{ }na 是等比数列,求1a 和 1b 的值.
四、 思考与启示:
重技能训练向重能力培养转变; 重课后训练向重课堂熏陶转变 ; 重通性通法向重审题分析转变; 重强化运算向重算理算法转变。
谢谢大家!谢谢大家!