Модель Моно и ее применение в микробиологии

Работу выполнили:Войтова Маргарита, 221 группа

Воробьева Екатерина, 221 группа

• Цель работы: изучение модели Моно:– обезразмеривание,– нахождение стационарного состояния, – выяснение режима его существования, – нахождение максимального выхода биомассы

в хемостате – максимилизация и стабилизация величины

максимально возможного выхода• Актуальность работы: Модель Моно в

первом приближении описывает зависимость концентрации микробной массы и концентрации лимитирующего субстрата, которая используется в микробиологических исследованиях

Что такое хемостат?Хемостат представляет собой устройство, предназначенное для выращивания клеточных популяций в постоянных химических условиях, в которые с постоянной скоростью непрерывно подается свежая среда, а объем культуры поддерживается при этом на постоянном уровне путем непрерывного отлива части культуры. В данной модели перемешивание в хемостате полное, т. е. при изменении концентраций не учитываются некоторые физические и химические факторы, скорость оттока зависит только от скорости притока.

Модель Моно• Обозначения:• Х- концентрация микробной массы• S- концентрация лимитирующего

субстрата• μ – удельная скорость роста,• – максимальная скорость роста• Ks – константа полунасыщения при

лимитировании данным субстратом• s0 – величина концентрации

лимитирующего субстрата на входе в культиватор

• D – скорость разбавления, равная отношению скорости поступления питательной среды к объему культуры;

• Y – экономический коэффициент (выход биомассы на единицу потребленного субстрата).

Вывод уравнений системы• Увеличение концентрации биомассы дается

уравнением баланса биомассы:Общее увеличение биомассы = Рост - Отток.dx = V * µх * dt - Fx * dt; где х – кол-во биомассы

Поделив уравнение на (V*dt), получим

dс/dt = (µ - D)с; где с – концентрация биомассы, далее заменяемая буквой «х»

Вывод уравнений системы• Баланс для лимитирующего субстрата

дается уравнением:Общее увеличение = Поступление - Отток - Субстрат, использованный на рост.V * ds = F*so*dt – F*s - V * µ*х*dt/Y,

Делим на (V*dt):ds/dt = D*(so – s) - µ*х/Y

● Изменение скорости роста концентрации биомасы:

μ=μmax*s/(Ks+s)

x1= (So-S)*Y при μ=Ds1= Ks*D/(μmax-D)

след отрицателен

P’x=μ - DP’s=0Q’x= - μmax*S/(Y*(Ks+S))Q’s= - D - x*Ks*μmax/(Y*(Ks-S)^2)

P’x(dx/dt=0)=0

P’s (ds/dt=0)=0

Q’x(dx/dt=0)=-D/Y

Q’s(ds/dt=0)=-D*(Ks + so + 1) – so*μmax

Стационарные состояния полной системы:

Обезразмеривание полной системы

• Введем безразмерные концентрации:

• z=x/(Ks*Y)

• y=s/Ks

• yo=so/Ks

• Ƭ=t*μmax

• G=D/μmax

• μ1=μ/μmax=y/(1+y)

• Обезразмеренная система имеет вид:dz/dƬ=(μ1-G)*x

dy/dƬ=G*(yo-y)-μ1*x

μ1=y/(1+y)

Стационарные состояния обезразмеренной системы

z1= (yo-y) при μ1=Gy1= G/(1 – G)

• учитывая, что «у» ограничена сверху уо, можно заметить, что ненулевое стационарное значение имеет смысл только когда G меньше или равно уо/(1+yo)=Gв

• след матрицы отрицателен => точка устойчива – рабочее состояние культиватора

P’z=μ1 - GP’y=0Q’z= - μ1

Q’y= - G – z/(1 + y)^2

P’z(dz/dt=0)=0

P’y (dy/dt=0)=0

Q’z(dz/dt=0)= - G

Q’y(dy/dt=0)=

= - [G+((1 – G)^2)*(yo – G/(1 – G))

Фазовые портреты обезразмеренной системы

Максимализация выхода биомассы в хемостате

• Производительность биомассы: w=x*D=поток биомассы на выходе = выход биомассы с единицы объема культиватора в единицу времени

• Безразмерная: w= G*(yo – G/(1 – G))

• Берем производную dw/dG, приравниваем ее к нулю, находим корни, отбрасываем Dmax=1 + (1 + +yo)^(-0,5), подставляем Dmax=1 – (1 + yo)^(-0,5) в уравнение производительности => Wmax

• Так, входная концентрация лимитирующего субстрата должна выбираться максимально возможной, потом по формуле находится оптимальное значение скорости потока, соответствующее максимальной скорости производительности.

Максимализация выхода биомассы в хемостате

Максимальная производительность с учетом угнетений

• Продуктное ингибирование:dP/dt= μ*x/Y – D*P;

• Для моделей, учитывающих субстратное и/или продуктное угнетение, значения максимальной производительности также растут при уо->∞. Однако для модели с субстратным угнетением существует область гистерезиса – возможны два стационарных состояния при одной скорости протока. В модели с продуктным угнетением максимум производительности стремится к конечной величине.

Для модели Моно в безразмерных величинах:Gmax>>yo/(1 + yo)

0 ≤ yo ≤ yo,max

z+ y = yo,max - треугольник

Технологические трудности

0 ≤ z ≤ zk

0 ≤ y ≤ yk- прямоугольник

Итог• Модель Моно – подходящая «основа» для описания

динамики роста микроорганизмов в статах. Соблюдены очевидные закономерности: по мере истощения субстрата скорость роста биомассы падает, при D/μ > 1 микроорганизмы прекращают свое существование в субстрате(→0) и т.п. Возможно достижение стационарного состояния, изменение чувствительности функций системы и их усложнение множеством способов. Различными вариациями модели Моно активно пользуются в микробиологии.

Список литературы:

• http://www.bibliofond.ru/view.aspx?id=587108

• http://www.bio.bsu.by/microbio/files/kurs_cult_cells_Blazhevich.pdf

• http://xreferat.ru/112/3455-1-komp-yuternoe-modelirovanie-v-ekologii.html

• Ризниченко Г.Ю.,Рубин А.Б. Биофизическая динамика продукционных процессов- Москва-Ижевск:Институт компьютерных исследований, 2004.464 стр.