第一章 矢量分析与场论标量场和矢量场

梯度、散度、旋度

矢量场的初等运算

矢量场的微、积分

亥姆霍兹定理

场的图示法

1.1 常用坐标系（正交系）

-∞＜ x＜∞ X=C ；是一截距为 C 且与 X 轴⊥的平面直角 x,y,z -∞＜ y＜∞ Y=C ；是一截距为 C 且与 Y 轴⊥的平面 -∞＜ z＜∞ Z=C ；是一截距为 C 且与 Z 轴⊥的平面

0≤ ＜∞ =C ；是一 Z 轴为轴心半径为 C 的柱面圆柱 ,,z 0≤ ＜ 2 =C ；是一过 Z 轴的半平面（子午面） -∞＜ z＜∞ Z=C ；是一截距为 C 且与 Z 轴⊥的平面 0≤r ＜∞ r=C ；是一 O 点为中心 C 为半径的球面球面 r,, 0≤ ≤ =C ； O 为顶点 Z 为中心轴 C 为半顶角 的圆锥面 0≤ ≤2 =C ；是一过 Z 轴的半平面（子午面）

形式 坐标 取值范围 几何意义

z

z z

x y OOO

x

· · ·（ x0 y0 z0 ） r

x

y

（ 0 0 z0 ） （ r0 0 0 ）

三种正交系的相互关系

·

z

x

y

r

（）

X=cos = rsin cosY=sin = rsin sinZ=rcosθr2= x2 + y2 +z2 = 2 + z2

= rsin = arc tg(y/x) = arc cos(z/r)cosα = (x/r) cosβ = (y/r)cos = (z/r)cos2α +cos2β +cos2 = 1

1.2 标量与矢量

物理量通常是时间和空间的函数描述空间的数学语言是坐标

描述物理量的数学语言是标量和矢量

标量（ A ）：只有大小没有方向的物理量

矢量（ A ）：即有大小又有方向且符合平行四边形法则的物理量。

算数量：＞ 0代数量：≠ 0不变量： A·B

标量与矢量

复数

1.3 标量场与矢量场

物质粒子：有静止质量，两粒子不能同时占有同一空间位置。

场：没有静止质量，两个场能同时占有同一空间位置。

场：某一物理量在空间的分布称场标量场：其物理量为标量的场

矢量场：其物理量为矢量的场场 物理量

场 A （或A ）

静态场 : A （ M ）

均匀场 : A （ t ）

动态场 均匀平面场 : A （ z,t)

一般时变场 : A(M,t)

1.4 坐标单位矢量、常矢、变矢单位矢量 eA : 模 ( 大小 ) 为 1, 以矢量 A 的方向为方向的矢量。

坐标单位矢量：指坐标（线）矢量上的单位矢量。 （若将坐标线标上方向则该坐标线称坐标 ( 线 ) 矢量）

eθ

直角：

球面：

ex ey ez

圆柱： eρ eez

er e

对于不同的坐标系有不同的坐标单位矢量：

常矢：大小和方向均不变的矢量。变矢：大小和方向其中有一个发生变化的矢量。

有了单位矢量 ,矢量 A 就可表现为如下形式：

= Axex + Ay ey + Az ez = Aρ eρ + Aφeφ + Az ez= Ar er+Aφeφ+AθeθA = A eA

？

eθ

ex

er

ez

ey

eρ

e

A

矢量场的不变性

A eA

A 1eA = A/A

1.5 源点、场点、矢径、距离矢量矢径 (r) ：由 O 点指向空间任一点 M 的矢量 OM 用 r 表示称矢径。

r = x ex + y ey + z ez = ρ eρ + z ez = r er

矢径是一特殊的矢量，具有明确的定义和表达式， 表示的是空间位置，没有物理含义。

源点：源所占有的空间位置称源点，用符号 S′ 表示。

场点：除源以外的其它空间位置称场点，用符号 P 表示。

距离矢量 R ：由源点指向场点的矢量， 用符号 R 表示。 R = r - r′

场点： r = x ex + y ey + z ez = ρ eρ + z ez = r er

源点： r′ = x′ex + y′ey + z′ez = ρ′eρ+z′ez = r′er

源点和场点均占有空间位置，因此可用矢径表示：

S′

PR

r′r○

1.5 源点、场点、矢径、距离矢量

例：已知， A = xyex + z2 ey + y ez

求： A 及 r 在点 P(1,2,2) 的值，且图示。

注意：矢径和矢量的区别

解：① 求值 ∵r = x ex + y ey + z ez

由题意可知： x=1, y=2, z=2 将此代入 A 及 r

得： A = 2ex + 4 ey + 2 ez ; r = ex + 2 ey + 2 ez

r

A

○

② 图示

P(1,2,2)

1.6 矢量的初等运算矢量的初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除

且以各矢量同在某一点为前提

加减

乘

设： A = Axex + Ay ey + Az ez ， B = Bxex + By ey + Bz ez

A±B = (Ax± Bx ) ex + (Ay ±By ) ey + ( Az ± Bz ) ez

标乘点乘

叉乘

μA = μAxex + μAy ey +μ Azez

A·B = A·Bcos(A·B ) = AxBx + AyBy + Az Bz ∧

性质： 1 、若 A·B = 0 则 A B⊥ 2 、 A·A = A2

A×B = A·Bsin(A·B )en =∧

ex ey ez

Ax Ay Az

Bx By Bz

性质： 1 、若 A×B = 0 则 A B∥ 2 、 A×A = 0

A×B

A

Ben

1.6 矢量的初等运算矢量初等运算规则 ( 设： A 、 B 、 C 都是矢量 )

A+B = B+A ; A±(B±C) = (A±B ) ±C

A·B =B·A ; A·(B+C) = A·B+A·C

A×B = - B×A ; A× (B+C) = A×B+A×C

A·(B×C) = B · (C×A) = C · (A×B)

(A·B) C ≠ A (B·C) ; A× (B×C) ≠ (A×B) ×C

A× (B×C) = (A ·C) B - (A·B) C

‖ ‖ ‖ Ax Ay Az [ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz Cx Cy Cz

若 B=C 则 A·B = A ·C 及 A×B = A ×C 成立若 A·B = A ·C 及 A×B = A ×C 则 B=C 不一定成立结论：等式两边可同时“点”和“叉”，

但不能随意消去相同的量

C

A

B

1.7 坐标变换1 、不同坐标系的变换

例： Φ=1/√x2 + y2 + z2 = 1/√ρ2 + z2 = 1/ r

2 、坐标平移

例：若电荷 q 位于坐标原点 O ，则电位 Φ=kq /√x2 + y2 + z2

若将电荷 q 置于坐标点 s′(x′y′z′) 处 , 求电位 Φ 的表达式。

解：将坐标点 s′ 定义为新坐标系 (u,v,w) 的原点 O′

则： Φ=kq /√u2 + v2 + w2 = kq /√(x-x′)2 + (y-y′)2 + (z-z′)2

O

O′u

w

v

z

xy

·Φ

q

q

3 、坐标旋转

∵坐标系是一钢架，

∴当某一轴替代另一轴时，

其它轴也应相应变换。

Ox

zy

Oy

xz

O

x

z

y

原坐标 新坐标

1.7 坐标变换

4、坐标单位矢量的变换设： u 和 v 分别为正交坐标系ev1 = cos(ev1eu1)eu1 ＋ cos(ev1eu2)eu2 ＋ cos(ev1eu3 )eu3

= (ev1 · eu1 ) eu1 ＋ (ev1 · eu2) eu2 ＋ (ev1 · eu3 ) eu3

同理： ev2 = (ev2 · eu1 ) eu1 ＋ (ev2 · eu2) eu2 ＋ (ev2 · eu3 ) eu3

ev3 = (ev3 · eu1 ) eu1 ＋ (ev3 · eu2) eu2 ＋ (ev3 · eu3 ) eu3

用矩阵表示： ev1 ev1 · eu1 ev1 · eu2 ev1 · eu3 eu1

ev2 = ev2 · eu1 ev2 · eu2 ev2 · eu3 eu2

ev3 ev3 · eu1 ev3 · eu2 ev3 · eu3 eu3

eu1

eu3

eu2

ev1

以上讨论的是一般正交系的转换，由此可得：

直角坐标系、圆柱坐标系、球面坐标系间的单位矢量的变换关系

∧∧ ∧

球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换 1.7 坐标变换

ex

ez

ey

er

方法（一）：由一般式，且设： u为直角坐标系、 v为球坐标系，则有： er er · ex er · ey er · ez ex

eθ = eθ · ex eθ · ey eθ · ez ey

eφ eφ · ex eφ · ey eφ · ez ez cosα cosβ cosγ ex

= er(θ+90°,φ) ·ex er(θ+90°,φ) ·ey er(θ+90°,φ) ·ez ey

er(90°,φ+90°)·ex er(90°,φ+90°)·ey er(90°,φ+90°)·ez ez sinθ cosφ sinθ sinφ cosθ ex

= sin(θ+90°) cosφ sin (θ+90°) sinφ cos (θ+90°) ey

sin90° cos(φ+90°) sin90° sin(φ+90°) cos90° ez

sinθ cosφ sinθ sinφ cosθ ex

= cosθ cosφ cosθ sinφ -sinθ ey

-sinφ cosφ 0 ez

球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换 1.7 坐标变换方法（二）：

ex

ez

ey

er

er = sinθ cosφ ex + sinθ sinφ ey+ cosθ ez

ρρ

ez

ρex

eyθφ

sinθ

sinθ

sinθ

er

eθ = cosθ cosφ ex + cosθ sinφ ey － sinθ ez

ex

ez

ey

er

ρ ρ

ez

ρex

eyθφ

cosθ

cosθ er

θ

cosθ

eθ

eφ = -sin φ ex + cos φ ey

ρex

eyφ

eφ

φ

例：已知，在点 P(1,1,0) 处有一常矢量 A = 2ex + 4 ey + 2 ez

① 求： A 在该点的球坐标表达式。 ② 求： A 在 (√2,√2,2) 点处的直角坐标和球坐标表达式。

① 对于点 (1,2,2) ： sinθ = 1 ， sinφ=1/ √2 ， cosθ=0， cosφ=1/ √2

因此： ex = 1/√2er-1/√2eφ ， ey = 1/√2er+1/√2eφ , ez = － eθ

∴ A = 3√2er － 2 eθ +√2 eφ

② 对于点 (√2,√2,2) ： sinθ = sinφ= cosθ= cosφ=1/√2

因此： ex = 1/2er+1/2eθ -1/√2eφ , ey = 1/2er+1/2eθ +1/√2eφ

ez = 1/√2 er-1/√2 eθ

球： ∴ A =(3+√2)er +(3 -√2)eθ －√ 2eφ

直：∵ ex ,ey ,ez 为常矢 ，因而 A 不随点变化∴ A = 2ex +4ey +2ez

ex = sinθ cosφ er + cosθ cosφ eθ - sin φ eφ

ey = sinθ sinφ er + cosθ sinφ eθ + cos φ eφ ez = cosθ er － sinθ eθ

解：∵

以上结果显示： ① 同一矢量 ，在同一点其直坐标和球坐标表达式是完全不同的。 但由矢量场的不变性可知：对于点 (1,2,2) ： A = 3√2er － 2 eθ +√2 eφ = 2ex + 4 ey + 2 ez

对于点 (√2,√2,2) :A =(3+√2)er +(3 -√2)eθ －√ 2eφ= 2ex +4ey +2ez

② 同一常矢量 ，在不同点其直坐标下的表达式是不变的， 而球坐标下的表达式是完全不同的。

这提醒我们不要因为表达式的差异而忘了它们的不变性即：无论你选择那种坐标，所得到的场性能都是一样的。

这表明除直坐标外：坐标轴与坐标点有关，当点变化坐标轴也可能变。

对于每一种坐标系每个坐标点都与唯一的一组坐标轴对应对于柱或球坐标系每条 ρ 或 r 射线都与唯一的一组坐标轴对应

1.8 微分元 微分元是矢量微、积分的基础。坐标线元

dx

dy

dz

dρ

ρdφ

dz

dr

rdθ

rsinθdφ

坐标平面元 dσ 若 : 则 dσ=x=c, dydz

y=c, dxdz

z=c, dxdy

ρ=c, ρdφdz

φ=c, dρdz

z=c, ρdρdφ

r=c, r2sinθdφdθ

θ=c, rsinθdrdφ

φ=c, rdrdθ

坐标体元 dv

dxdydz

ρdρdφdz

r2sinθdrdφdθ

dx=dy=dz=dρ=dφ=dz=dr=dθ=dφ=

ex

ey

ez eρ

e

ez

er eθ

eφ

坐标元任意元

坐标元dx

直 dy

dz

dρ

柱 dφ

dz

dr

球 dθ

dφ

en

dσx =dσy =dσz =dσρ =dσφ =dσz =dσr =dσθ =dσφ =

en

en

en

en

en

en

en

en

en

yx

z

endx

dzdy

dσz=dxdyez

dσz=-dxdyezy

x

z

dz dρ

dφ=ρdφeφdφ

dσρ=ρdφdzeρ

ρ

yx

z

dθ

dφ

φ

r

rdθ

dl = -dxex+dyey+dzez = dρeρ +ρdφe+dzez = drer- rdθeθ +rsinθdφeφ

en ds

dσz

⊿s

y

x

z

dxdy

dz ⊿l dl

y

x

z

dρ rsinθdφ

drer-rdθeθr

dr

弧长元 (切线 )dl = dleτ 直： = dx+dy+dz =±dxex±dyey±dzez dl=√dx2+dy2+dz2

柱： = dρ+dφ+dz=±dρeρ ±ρdφe±dzez dl=√dρ2+(ρdφ)2+dz2

球： =dr+dθ+dφ=±drer±rdθeθ ±rsinθdφeφ dl=√dr2+(rdθ)2+(rsinθdφ)2

曲面元 (切面 ) ds = dsen 直 : =dσx+dσy+dσz=±dydzex±dxdzey±dxdyez ds=√(dydz)2+(dxdz)2+(dxdy)2

柱 : =dσρ+dσφ+dσz=±ρdφdzeρ±dρdze±ρdρdφez ds=√(ρdφdz)2+(dρdz)2+(ρdρdφ)2

球 : =dσr+dσθ+dσφ =±r2sinθdφdθer±rsinθdrdφeθ±rdrdθe

ds=√(r2sinθdφdθ)2+(rsinθdrdφ)2+(rdrdθ)2

dρdφ

概念： 1.8 微分元

坐标：空间某点的位置可用三个坐标 ( 例： xyz) 唯一确定。坐标线：例：当 y=a,z=c(a,c 为常数 ) 而 x 连续变化所形成的轨迹 称 x 坐标线。显然 和 坐标线为一族同心圆和半圆。

坐标线元：指与坐标元对应的坐标线，即坐标线上由坐标元引起的 一微小线段。显然，与 dφ ， dθ 对应的是一微小的曲线， ∵ 很微小，∴可视为直线因而与坐标轴重合。这表明：①坐标线元可用矢量表示，方向以坐标轴方向为基准。 ② 过某点引出的三条坐标线元是相关垂直的。坐标面元 : 两条相关垂直的坐标线元构成的平面 , 显然这是一矩形。弧长元 (切线 )dl: 由空间某点 P 可引出多条任意曲线，由 P 点起沿某曲线取一小段 ( 即增量⊿ l ) , 且过 P 点作该曲线的切线，切线上与增量⊿ l 相应的切线元 dl 称弧长元，显然它是任意方向上的线元。曲面元 (切面 ) ds ：与任意曲面在某点的增量⊿ s 相对应的切面元。

坐标轴：坐标线上某点的切线称坐标轴 , 方向为坐标增大的方向。 显然，只有 x,y,z 轴的方向不变，其它坐标轴的方向会变。坐标元：坐标的微分量。

1.9 矢量积分

矢量场通常是时间、空间的函数，而时间、空间分别是独立的，∴对它们的积分可分别讨论，以使计算简化。

对时间的积分对空间的积分

1、对时间的积分 设： A = A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3

∫A dt = ∫A1eu1 dt + ∫A2 eu2 dt + ∫A3 eu3 dt

= eu1 ∫A1 dt + eu2 ∫A2 dt + eu3 ∫A3 dt

本教材假定所研究的对象是不运动的，即坐标原点 O 静止。因此，单位坐标矢量是不随时间而变化的∴它们可以提到积分号外。

例：矢量 A = t2xex + 2ty ey + z ez 求：∫ 1 A dt 0

解： ∫ 1 A dt =∫(3t2xex + 2ty ey + z ez )dt

= 3xex∫ t2 dt + y ey∫2t dt+ z ez ∫ dt

= xex + y ey + z ez

0

1

0 1

0

1

0

1

0

1.9 矢量积分

标性矢性

∫A· dl = ∫Acos(A,dl) dl =∫(Axdx + Ay dy + Az dz)

= ∫(Aρdρ+Aρdφ+Azdz) =∫(Ardr+ Aθrdθ +Arsinθdφ)

∫A· ds = ∫Acos(A,ds) ds =∫Axdydz + Aydxdz + Azdxdy

=∫Aρρdφdz+Adρdz+Azρdρdφ =∫Arr2sinθdφdθ+Aθrsinθdrdφ+Ardrdθ

∫fdv =∫f dxdydz =∫f ρdρdφdz = ∫f r2sinθdrdθdφ

2 、对空间的积分标性

矢性

根据积分结果可分为两类

∫f dl = ex∫fdx + ey∫fdy + ez ∫fdz

∫A dl = ex∫Axdl + ey∫Aydl + ez∫Azdl

∫ ∴ eρ dφ = ex∫ cosφdφ + ey∫ sin φdφ = 0 π

-π

π

-π

π

-π

例： ∫ eρ dφ π

-π

解： ∵ eρ = excosφ + eysin φ

一、定义：1.10 矢量微分 设： A (u1, u2, u3 , t)= A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3

A (u1 +⊿u1, u2, u3 , t) - A (u1 , u2, u3 , t) A ⊿u1 u1

= lim⊿u1 →0 若：

二、公式：

三、运算

则：称矢量 A 是对自变量 u1 偏导数。依此类推可得其它偏导数

μAu1——=μ——+ ——A

u1

μu1

A

(A·B)u1

Bu1

Au1

—— = A· ——+ ——·B

(A×B)u1

Bu1

Au1

——— = A×——+ ——×B Cu1

—— = 0；

(A+B)u1

Bu1

Au1

——— = —— +——

若： u1 = u1 (t),At

则 : —— = —— ——Au1

du1

dt

——— = ———A2

u1u2

A2

u2u1

⑤

①

②

③

④

⑦⑥

由式⑤①可将矢量 A 的偏导数用分量形式表示Au1

A1

u1

A3

u1——= eu1——+eu2——+eu3——+A1——+A2—A3 ——A2

u1

eu1 u1

eu2

u1

eu3 u1

1.10 矢量微分设： A (u1, u2, u3 , t)= A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3

1 、对坐标单位矢量的偏导

—— = 0；

te时间：

空间

球： (er,eθ ,e) r

————— = 0；

柱： (eρ ,e, ez ) (z,ρ,r,θ) ————— = 0；

直： (ex , ey , ez ) (x,y,z,ρ,r,φ,θ)

—————— = 0；

eρ

φ —— = e

e

φ —— = -eρ ……

eρ

φ —— = e证：

将式⑴代入原式：

∵ eρ = excosφ + eysin φ

e = - exsinφ + eycos φ⑴⑵

eρ

φ —— = —— (excosφ + eysin φ)

= - exsinφ + eycos φ= e

φ

与式⑵相比，原式得证

运算对时间的微分对空间的微分

对坐标单位矢量的偏导对矢量函数的偏导

设： A (u1, u2, u3 , t)= A1eu1 + A2 eu2 + A3 eu3

以上结果显示矢量函数的偏导可转化为标量函数的偏导

At

A1

tA3

t——= eu1—— + eu2—— + eu3——A2

t直： A Ax Ay Az

x x x x —— = —— ex+ —— ey + —— ez ； ……

时间：

空间

柱： A Aρ Aφ Az ρ ρ ρ ρ

—— = —— eρ + —— e—— ez

2 、对矢量函数的偏导

A Aρ Aφ Az φ φ φ φ

—— = —— eρ + Aρe—— eAφeρ +—— ez

A Ar Aθ Aφ

θ θ θ θ—— = —— er + Are—— eθAθer +—— e

球： A Ar Aθ Aφ

r r r r—— = —— er + —— eθ +—— e

= Axex + Ay ey + Az ez

= Ar er + Aφeφ + Aθeθ

Au1

A1

u1

A3

u1——= eu1——+eu2——+eu3——+A1——+A2—A3 ——A2

u1

eu1 u1

eu2

u1

eu3 u1

= Aρ eρ + Aφeφ + Az ez

1.11 三度、二式、一定理

以上主要对矢量的初等运算、微分和积分进行了讨论下面将对数学场论作介绍

三度： 梯度、散度、旋度

二式： 格林恒等式

一定理：亥姆霍兹定理

定义表达式辅助量性质公式

1.11 三度、二式、一定理

梯度 : 是一矢量，研究数量场 u沿某路径变化率可达最大的问题。∵ 由数量场 u 的某点可延伸出许多条直线路径 l , 而这每一个 l 又 分别是每一族曲线在该点的切线 ( 如图示 ) 。由导数的定义可知，数量场 u 沿曲线只要是同一族曲线包括切线 l 在内其变化率是相同的。因而可将研究数量场 u 沿曲线变化的问题转化为沿直线变化的问题。显然只有沿着不同的直线路径 l 其变化率才不同，但只有沿其中的一条路径 l 变化其变化率可达最大。

du dlG 最大

G = grad u = —— eG

定义在某数量场 u 中某一点 M0 处，存在这样的一个矢量 G ，函数 u 在点 M0 沿 G 的方向发生变化，其变化率最大且模 G 正好等于变化率，

即定义式：

我们称矢量 G 为 u 在点 M0 处的梯度，用符号 grad u 表示。由该定义可得如下关系：

由此定义式可导出更具实用意义的表达式

M0

— u—l

lG

lG

u u u x y z

直： gradu = —— ex+ —— ey + —— ez

u u u ρ ρφ z

柱： gradu = —— eρ + —— e—— ez

u u u

r rθ rsinθφ 球： gradu = —— er + —— eθ+———— e

表达式

x y z

= (—— ex+ —— ey + —— ez )u =▽u

ρ ρφ z

= (—— eρ + —— e——ez )u =▽u

r rθ rsinθφ

= (—— er + —— eθ+———— e )u =▽u

▽—— 哈密尔顿算符，是一矢性的微分算符

有了上面的表达式，梯度的计算就很容易进行

梯度

u u u x y z

du = —— dx+ —— dy + —— dz 对 u 求全微分，则有：

对上式两边同时除以 dl ，及又∵ dl /dl = el , 则有 :

= (—— ex+ —— ey + —— ez )·dl u u u x y z

又∵ dl = dxex+dyey+dzez ：

—— = (—— ex+ —— ey + —— ez )· el du u u u dl x y z

推导，以直坐标为例：

为运算方便，令： 则有 :du/dl=A· el —— ex+ —— ey + —— ez=A u u u x y z

A 是一微分矢量。当 u 给定后 ,A 在某点的大小和方向是确定不变的el 是某路径方向与 u 无关。 u 可沿不同的路径 l 变化，即 el 可变。

du/dl 若要达到最大，则 u 必须沿 eA 方向变化，即 el = eA

因而 du/dl=A· el =A eA · el 应改为： du/dlA 最大 =A eA · eA =A

这就是说，当 u 沿 A 方向变化时，其变化率达最大且正好 = A 的模 或对上式两边同乘以 eA ： du/dlA 最大 eA =A eA · =A

将此与定义相比可知， A 就是梯度即： G= A 证毕

若对 u 分别求柱、球坐标下的全微分，就可导出相应的表达式。

辅助量 方向导数数量场 u沿某路径 l 的变化率称方向导数，记作 du/dl

性质 共有 6 条 1 、标量场 u的梯度是矢量。2 、简化了全微分的表达式： du =G·dl

3 、方向导数是梯度在该 ln 方向上的一个分量的模。 ∵由前面的推导中已知： du/dl=G· el

li l2

l1G

du/dl

4 、 G 方向总是指向 u增大的方向，即 u2 ＞ u1 ( 在 G 方向上 )

证 :∵

lG

du dlG 最大

G = —— eG = G eGl1

l2

u1

u2 lG du dlG

即：—— = G ＞0

又∵ 各 ln 的方向包括 lG 方向在内均以 M0 为起点向外， 即 各 ln 上的 l2总是＞ l1 这就是说，若 dl = l2 - l1 则 dl ＞ 0

M0

du u2 - u1 dlG l2 - l1

因而：—— = —— ＞ 0 ∴ u2 - u1 ＞ 0 证毕

梯度

5 、 G 方向为等位线 (或面 )的法向，即 eG = ±en

0u

等值面：指在三维数量场 u(x,y,z)中，将空间不同位置上但具有相等

场值的各点所连成的面。其表达式为： u(x,y,z) = C

证 :∵ u(x,y,z) = C ∴du = 0 因而： du/dl=G· el =Gcos(eG ,el )= 0

又∵ G≠0 ∴ cos(eG ,el ) = 0 故： eG ⊥el

又∵ el 为等位线 ( 或面 ) 的切线 ∴ eG = ±en

证毕

等值线：指在二维数量场 u(x,y,)中，将空间不同位置上但具有相等

场值的各点所连成的线。其表达式为： u(x,y,) = C

性质 梯度

eG

el

6 、

① ▽u = 0 或≠ 0该式都成立，即该式不能说明梯度场是否存在。

该式说明： ②梯度场若存在必是无旋场。

en

公式 梯度

例：求 u=1-[(x/a)2+(y/b)2] 在点Mo(a/√2,b/√2) 处 沿曲线 1=(x/a)2+(y/b)2 的内法线的方向导数。

▽Cu =C▽u▽C = 0

▽(u±v)=▽u±▽v▽(u v)= u▽v±v▽u ▽(u/v)= (v▽u － u▽v)/v2

▽f (u)= f ′(u) ▽u

又∵ u 2x √2 x a2 a—— =－—— = ——－

√2a

√2a

u 2y √2 y b2 b—— =－—— = ——－

√2 b

√2 b

Mo en

G=▽u =－ ( ex + ey )√2a

√2 b则在点Mo 处的梯度为：

解： ∵ du/dl=G· el 由题意 el =-en 即求 du/dl =G· ( -en )MoMo

令： u=0 可见其等位线与题中的曲线相同，这意味着 eG = ±en 另外，分析上式： eG = - en

可见 , du/dl =G· ( -en ) =G· eG = G = √2(a2 + b2 )/abMoMo MoMo

1 、矢量线（力线）：一种假想的线。

矢量线上任一点的切向就是矢量 A 在该点的方向；矢量 A 的大小正比于过M0 点且与力线正交的单位面 积上的矢量线的根数。即力线的疏密表征 A 的大小；

∵垂直过曲面∴通量定义中的曲面是有向曲面即 S 是 矢量，方向以矢量线穿出为正，有闭及不闭面二类。

散度 : 是一标量，研究矢量场 A 在某点处其通量对体积的变化率。

辅助量 通量散度力线 通量

2 、矢量场的通量通量 :指矢量 A垂直通过某一曲面的矢量线的总根数。 ※ 反映了矢量场通量源的分布情况。

曲面： 闭曲面： ∫A·ds =∫A·ds =

S由通量及矢量 A 的大小，不难导出求通量的表达式：

散度

定义设有一矢量场 A(M) ，于场中某一点 M0 处作一包含M0

点 在内的任一闭曲面 (S), 所包的空间区域的体积大小用 V表示，矢量 A(M)穿过该曲面 (S) 的通量为。则此通量 在 M0 点对体积 V 的变化率称矢量 A(M) 在点 M0 处的散度， 用符号 divA 表示。

Ax Ay Az

x y z 直： divA = —— + —— + ——

Aρ Aρ Aφ Az

ρ ρ ρφ z柱： divA = — + —— + —— ——

Ar Aθ Aφ 2Ar ctgθAθ r rθ rsinθφ r r

球： divA = —— + —— +———— + —— + ——

divA = —— = ———— 称定义式 lim v→0(Ω→M0)

V

∫A·ds V

即 : lim v→0(Ω→M0)

=▽·A

=▽·A

=▽·A

表达式 设 : A=Axex +Ay ey +Az ez =Aρ eρ+Aφeφ+Az ez=Ar er+Aφeφ+Aθeθ

M0

散度

推导，以直坐标为例：设 : A=Axex +Ay ey +Az ez

∫A·ds ∵ = ∫ = Ax dydz + Ay dxdz + Az dxdy

由奥氏公式： Ax Ay Az

x y z (—— + —— + ——) dV=∫

Ax Ay Az

x y z = (—— + —— + ——) VM0

由中值定理：

—— = (—— + —— + ——)上式两端同除以 V ： Ax Ay Az

V x y z M0

对上式取极限： Ax Ay Az

V x y z —— = (—— + —— + ——) = divA(M0)M0

lim v→0(Ω→M0)

常数

∵ M0 为任意确定点故可不表现出来，即： divA(M0) → divA

Ax Ay Az

x y z ∴ divA = —— + —— + —— 证毕

dS=dydzex + dxdzey+dxdyez

1 、矢量场 A 的散度是一个标量；性质 共有 4 条 散度

2 、散度定理 ( 矢量场的高斯定理 ) ：=∫A·ds =∫▽·AdV s Ω 该公式表明了区域Ω中场 A 与边界 S上的场 A 之间的关

系 3、矢量场的散度值表征空间中通量源的密度；

▽·A=ρv ρ — 通量源密度即： 4、矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；

a) 若 Φ＞ 0 则▽ ·A＞ 0 ，闭合面内有产生矢量线的正源

c) 若 Φ = 0 则▽ ·A = 0 处处成立，闭合面内无源 A 为无源场

A 为有源场b) 若 Φ＜ 0 则▽ ·A＜ 0 ，闭合面内有吸收矢量线的负源

(div A =0 无源）(div A ＞ 0正源 ) (div A ＜ 0负源 )

Ω

公 式

散度

▽·(CA )=C ·▽ A;▽·C = 0;▽·(A±B)= ·A▽ ± ·B;▽ ▽· (u A)= u ·▽ A+A·▽u

例：已知 求： ▽ ·EE= ——— er

q4r2

O

rq

P

S

解： 选择球坐标，则 Ar = —— Aθ = Aφ =0 q4r2

Ar Aθ Aφ 2Ar ctgθAθ r rθ rsinθφ r r

球： divE = —— + —— +———— + —— + —— ∵

∴ ▽·E = - —— + —— = 0 q

2r3

q2r3

r ≠ 0

当 r = 0 或≠ 0 时： =∫E·ds

s

=∫▽·EdV Ω

=∮——r2sinθdφdθ=q/ q4r2

∴▽·E= (q/) δ(r)

∫(q/)δ(r)dV Ω

=

1 、环量（）

环量的意义：①若矢量场环量为零，则矢量场是无涡漩的流动； ②反之，矢量场存在着涡漩状的流动。而环量正反 映了矢量场漩涡源的分布情况。

在矢量场 A 的空间中，取一有向闭合路径 l ，矢量 A沿 l 的积分 (即矢量 A 的环路积分 )称环量 。即： ∫A·dl =

2 、环量面密度（ rotn A ）

A

l

M0

en S

∫A·dl S

lim⊿S→0(l →M0)

在场矢量 A 空间中，围绕空间某点 M0 取一面元 S，其边界曲线为 l ，面元法线方向为 en 。则 A沿 l 的环量对面元 S的变化率，称 A 在点 M0 处沿 en 方向的环量面密度，用符号 rotn A表示。

rotn A= ————即：

环量面密度意义 : 表示矢量场 A 在点 M0 处沿 en方向的漩涡源密度

旋度旋度 : 是一矢量 ,反映矢量场 A 在场某点处环量对面积的最大变化率旋度环量 环量面密度

辅助量

定义若在矢量场 A(M)中某一点 M0 处，存在这样的一个矢量 R ，矢 量场 A(M) 由点 M0 处沿 R 方向所得的环量对面积的变化率( 即环 量面密度 )达最大且正好等于模 R ，则称矢量 R 为矢量场 A(M)

在点 M0 处的旋度，用符号 rot A 表示。由该定义可得如下关系：

R= rotA = —— eR = ———— eR = ReR lim⊿SR→0(l →M0)

⊿ ⊿SR

∫A·dl ⊿SR 即 :

lim⊿SR→0(l→M0)

旋度

显然，在场矢量 A 空间中，围绕空间某点 M0 可取很多个边界曲线为 l 、 面元为S、法线方向各异 ( 如图 ) 的平面。在点M0 处沿不同 en 方向上的环量面密度 (rotn A)

各不相同，但有一个可达最大。

由此定义式可导出更具实用意义的表达式

en

M0

旋度

表达式设 : A=Axex +Ay ey +Az ez =Aρ eρ+Aφeφ+Az ez=Ar er+Aφeφ+Aθeθ

= ▽× A

Az Ay Ax Az Ay Ax

y z z x x y = (—— - ——) ex + (—— - ——) ey + (—— - ——) ez

直： rotA = R = — — —

ex ey ez

x y z

Ax Ay Az

柱： rotA = R = — — — = ▽× A

eρ ρeez

ρ φ z

Aρ ρAφ Az

球： rotA = R = — — — = ▽× A

er reθ rsinθe

r θ φ

Ar rAθ rsinθ Aφ

1—ρ

1——r2sinθ

推导，以直坐标为例：设 : A=Axex +Ay ey +Az ez

由斯托克斯公式：Az Ay Ax Az Ay Ax

y z z x x y(—— - ——)dydz + (—— - ——)dxdz + (—— - ——)dxdy =∫

⊿S

∫A·dl ∵ = ∫ = Ax dx + Ay dy + Az dz ； l l

Az Ay Ax Az Ay Ax

y z z x x y令： B = (—— - ——) ex + (—— - ——) ey + (—— - ——) ez

又∵ dS=dydzex + dxdzey+dxdyez ； 及中值定理，∴ =∫ B·dS=∫ B·en dS = B·en ⊿S

⊿S ⊿S M0

上式两端同除以⊿S并且取极限： M0

∫A·dl ⊿S

lim⊿SR→0(l→M0)

——— = B·en = B·en ∵ M0 为任意确定点故 可不表现出来。

环量面密度若要达到最大，则必须沿 eB 方向变化，即 en = eB

max

lim⊿SR→0(l→M0)

——— = B∫A·dl ⊿SB

两端同乘 eB ：且与定义比较：

eBeB 可得：B=R=▽×A= rotA

旋度

1 、矢量场 A 的旋度仍为矢量，是空间坐标的函数；

旋度

性质 共有 6 条

3 、 ∵由前面的推导已知： rotn A = rot A · en 这表明：

旋度 R 在任一方向 en 上的投影 ( 即分量 )等于该方向的环量面密度

矢量场 A 的环路积分等于该矢量场 A 的旋度通过该曲面的通量

6 、若 rot A =0 处处成立， A 为无旋场。力线呈无旋涡的流动状态，力线有头尾。此时， =0 即 A 的环路积分与路经无关故又称保守场。 若 rot A ≠0 这表： A 为有旋场，其力线无头无尾。

4、▽·▽× A ≡ 0 即 ▽×A =0 或≠ 0 该式均成立。

2、斯托克斯定理 : 这表明：∫A·dl =∫▽× A·dS sl

5 、矢量场的旋度值表征空间中旋涡源的密度； 即：▽× A = J J —— 旋涡源密度

该式说明旋度场是一无源场，但不能说明旋度场是否存在。

公 式▽× (CA )=C ×▽ A;▽×C = 0; ▽× (A±B)= ×A▽ ± ×B;▽

▽×(uA)= u ×▽ A － A×▽u▽·(A×B)=B·( ×A▽ ) － A·( ×B▽ )

旋度

例：已知 求： ▽ ×HH= —— eφ = Hφ eφ

I2ρ

I

▽× H = — — — = 0

eρ ρeez

ρ φ z

0 ρHφ 0

1—ρ

解： 选择柱坐标

ρ ≠ 0

= I =∫Iδ(x)δ(y)ez ·dS s

∴▽× H = Iδ(x)δ(y)ez

∫H·dl ∫▽× H·dS =s l

∵当 ρ = 0 或≠ 0 时：

亥姆霍兹定理：在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。它可表现为：

矢量场 (F) = 梯度场 (Fs) + 旋度场 (Fl) = -▽u + ▽×A

梯度场是一有源无旋场： Fs 的力线是有头有尾的发散线

旋度场是一无源有旋场： Fl 的力线是无头无尾的闭合线

u —— 梯度场的标量位 A —— 旋度场的矢量位

∵ ▽×▽u ≡ 0 ， ▽·▽×A ≡ 0 即：梯无旋，旋无散∴ ▽·▽u ≠ 0 ， ▽×▽×A ≠ 0 这说明：

讨论：① 场、源、度的关系

=∫Fs·dl = 0l

Φ =∫Fs·ds = Qs

▽· Fs = ρv

=∫Fl·dl = i l

Φ =∫Fl·ds = 0s

▽× Fl = J

∵矢量场 (F) = 梯度场 (Fs) + 旋度场 (Fl) = -▽u + ▽×A ⑴

∵▽·▽×A ≡ 0 则： ▽· F = - ▽·▽u

讨论：② 怎样判断场 F 的属性

对式⑴两边求散度： ▽· F = - ▽· ▽u + ▽· ▽×A

若： F 存在，则▽· F =0 说明 F中没有梯度场但必有旋度场 若▽· F ≠0 说明 F中有梯度场但不一定有旋度场

结论

▽×F =0 ， F 为纯梯度场▽· F ≠0 ，▽×F ≠0 ， F 为合成场

▽· F =0 ， F 为纯旋度场

若： F 存在，则▽×F=0 说明 F中没有旋度场但必有梯度场 若▽×F ≠0 说明 F中有旋度场但不一定有梯度场

=0≠0

∵ ▽×▽u ≡ 0 则：▽×F = ▽×▽×A

对式⑴两边求旋度： ▽×F = - ▽×▽u + ▽×▽×A=0≠0

亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义

是研究电磁场的一条主线

矢量 F 的通量源密度矢量 F 的旋度源密度场域边界条件

一般场 电磁场电荷密度：产生梯度场电流密度 J ：产生旋度场场域边界条件

若矢量场 A 在某区域内，处处有： ▽· A ≡ 0 和▽×A ≡ 0 则在该区域内，场 A 为调和场

例：抠出源点的静电场注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。

讨论：③ 调和场

1.12 微分算子

x y z

直：▽ = (—— ex+ —— ey + —— ez )

ρ ρφ z

柱：▽ = (—— eρ + —— e——ez )

r rθ rsinθφ

球：▽ = (—— er + —— eθ+———— e )

有以下三种形式 ：▽u =grad u ▽·A =div A ▽×A = rot A其它形式 ( 如下 )无意义：▽·u 、▽ A 、▽ ×u

▽—— 哈密尔顿算符，是一矢性的一阶微分算符

▽·▽=▽2—— 拉普拉辛算符，是一标性的二阶微分算符

注意▽与各符号的对应 ,不要盲目替代

形式

标性 : ▽2 u = ·▽ ▽u = div grad u

矢性 : ▽2 A =▽( ·A▽ ) - ×▽ ( ×A▽ ) = grad div A- rot rotA

2 2 2

x2 y2 z2 直：▽ 2 = —— + —— + —— 2 2 2

ρ2 ρ2φ2 z2 ρρ柱：▽ 2 = (—— + —— —— + —— )

2 2 2 2 ctgθ r2 r2θ2 r2sin2θφ2 r r r2 θ

球：▽ 2 = —— + —— +————— + — —— + —— ——

ρ ρφ z

▽= (—— eρ + —— e——ez )

▽·A

A=Aρ eρ+Aφeφ+Az ez柱：

ρ ρφ z

= (—— eρ + —— e——ez ) ·(Aρ eρ+Aφeφ+Az ez )

1.13 场的图示法 ( 一种辅助分析、计算的方法 )

1 、矢量线不是一条而是一族；

2、矢量线互不相交 (除奇异点 )

3、有源场的矢量线至少有一部分是有头有尾的发散线；

4、无源场的矢量线全部都是无头无尾的闭合线；

等位线 (面 ) 矢量线形式

表达式

性质

关系

标量场 ( u) 矢量场 (A)

u(x,y,z) = C dx dy dz Ax Ay Az—— = —— = —

—

若 A = grad u 则 A 线与等位线 (面 )正交

1、等位线 (面 )不是一个而是一族。∵ C为任意常数；

2、等位线 (面 )互不相交； ∵ M 点只与一个坐标值对应

3、同一等位线 (面 )可能分裂成几部分存在；例： u(x,y,) = x y=C

4 、等位线 (面 )是一闭合线 (面 )，只要域足够大；

dl ∵dl∥A ∴ dl×A=0

○

例：求矢量场 A=y ex - x ey 过点 (1,0,0) 的矢量线方程。

解：∵ dx dy Ax Ay

—— = —— → Aydx = Ax dy 由题意 → -xdx = y dy

取积分：∫ -xdx = ∫ y dy x y

1 0 x y 1 0

-x2/2 = y2/2

整理得 ： x2/2 +y2/2 = 1/2 → x2 +y2 = 1

由题意 ： Az = 0 → dz = 0 → z = 0

dx dy dz Ax Ay Az—— = —— = —

—

则有：

故矢量线方程： x2 +y2 = 1 ， z = 0

0

ρ ρφ z

▽= (—— eρ + —— e——ez )

▽·A

A=Aρ eρ+Aφeφ+Az ez柱：

ρ ρφ z

= (—— eρ + —— e——ez ) ·(Aρ eρ+Aφeφ+Az ez )

(Aρ eρ ) (Aφeφ ) ρ ρφ z

= (—— eρ + —— e——ez ) ·

第一章习题