例说河北省中考的三大重点及应解策略

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一、河北省中考的三大重点

二、几何图形性质的探究与证明复习 例说

1 、近几年的试题回顾2 、基本特征

● 三个考查重点● 两个变化

3 、如何提高几何图形性质的探究与 证明的能力

⑴ 引导学生掌握好基本图形的性质与功能

例说一 ● 线段中点的功能1 ．由中点构造三角形的中线，特别是直

角三角形斜边上的中线；2 ．由中点构造三角形的中位线；3 ．由中点构造中心对称图形（特别是“

中心对称”形式的全等三角形）．

题 1 ．如图，在 ABCD 中， E 、 F 分别是边 AB 、 CD 的中点， AG∥DB ，交CB 的延长线于点 G ． 若四边形 BEDF 是菱形 , 则四边形 AGBD 是什么特殊四边形 ? 并证明你的结论．

A E B

CFD

G

题 2 ．如图，已知， AD 是△ ABC 的中线， E是 AD 上一点，连结 CE 并延长交 AB 于点 F ．⑴ 若 E 是 AD 的中点，则 .

AF

BF

⑵ 若 AE:ED= ，则 .1

2AF

BF

⑶ 若 AE·ED= ，则 .1

nAF

BF

C

A

D

E

B

F

题 3 ．已知，如图， D 是△ ABC 的边 B

A 延长线上一点，且 AD=BA ， E 是边 A

C 上一点，且 DE=BC ．求证：∠ DEA=∠C ．

A B

C

D

E

题 4 ．如图， EFGH 分别为正方形 ABCD

四条边的中点，中间阴影部分的面积为 5

，则正方形 ABCD 的边长为 ．

A

B C

D

E

F

G

H

题 5 ．操作：如图①，点 O 为线段 MN 的中点，直线 PQ 与 MN 相交于点 O ，请利用图①画出一对以点 O 为对称中心的全等三角形．

P

OM NQ图①

A

B EF

CD

图②

根据上述操作得到的经验完成下列探究活动．探究：如图②，在四边形 ABCD 中， AB∥DC

， E 为 BC 边的中点，∠ BAE=∠EAF ， AF 与DC 的延长线相交于点 F ．试探究线段 AB 与 A

F ， CF 之间的等量关系，并证明你的结论．

A B

CD

E

F

题 6 ．已知，如图，在正方形 ABCD 中， E 为 BC 边的中点，连结 AE ， F 为CD 边上一点，满足∠ FAE=∠EAB ．求证： AF=BC+CF ．

例说二 ● 等腰直角三角形 1 、等腰直角三角形的轴对称性； 2 、等腰直角三角形绕斜边中点的 9

0° 旋转重合性； 3 、等腰直角三角形两直角边饶直角

顶点的 90° 旋转重合性．

题 1 ．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90° ， CA=CB ， D 为斜边 AB 上任意一点， AE⊥CD 于点 E， BF⊥CD ，交 CD 延长线于点 F ， CH 为斜边AB 上的高线，交 AE 于点 G ．在不再添其他辅助线的情况下，请写出图中所有的全等三角形，并就其中一对（△ ACH≌△BCH 除外）进行证明．

A

C

BF

DH

G E

题 2 ．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90° ， AC

=BC ，直线 MN 经过点 C ，且 AD⊥MN 于点D ， BE⊥MN 于点 E ．⑴ 当直线 MN 绕点 C 旋转到图①的位置时，求证： DE=AD﹢BE ；

A B

CD

E

M

N

图①

⑵ 当直线 MN 绕点 C 旋转到图②的位置时，求证： DE=AD﹣BE ；

A B

C

D

E

M

N图②

⑶ 当直线 MN 绕点 C 旋转到图③的位置时，试问： DE 、 AD 、 BE 有怎样的等量关系？请写出等量关系，并加以证明．

A B

C

D

E

M

N图③

题 3 ．两个全等的含 30° 、 60° 角的三角板 ADE 和 ABC 如图放置， E 、 A 、 C三点在一条直线上，连结 BD ，取 BD 的中点 M ，连结 ME 、 MC ，试判断△ MEC 的形状，并说明理由．

A C

BM

D

E

题 4 ．如图，在△ ABC 中，已知∠ ACB=90° ， CA=CB ， D 、 E 为 AB 上的两点，且∠ DCE=45° ．求证： AD2+BE2=DE2 ． C

A BD E

题 5 ．如图，在等腰直角△ ABC 中， P 是斜边BC 的中点，以 P 为顶点的直角的两边分别与边AB 、 AC 交于点 E 、 F ，当∠ EPF 绕顶点 P

旋转时（点 E 不与 A 、 B 重合），△ PEF 也始终是等腰直角三角形，请你说明理由．

A

B C

EF

P

题 6 ．如图 14—1 ，△ ABC 的边 BC 在直线 l

上， AC⊥BC ，且 AC=BC ；△ EFP 的边 FP

也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EF=F

P ．⑴ 在图 14—1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系；

A（ E）

B C（ F）

Pl

图 14—1

⑵ 将△ EFP 沿直线 l 向左平移到图 14—2的位置时， EP 交 AC 于点 Q ，连结 AP ，BQ ．猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

l

A

B F C

Q

图 14—2

E

P

⑶ 将△ EFP 沿直线 l 向左平移到图 14—3 的位置时， EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q ，连结 AP ， BQ ．你认为⑵中所猜想的 BQ 与 A

P 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． l

A

B

Q

P

E

F

图 14—3

C

⑵ 引导学生掌握好图形变换的知识和应用策略（一）图形变换的有关知识（略）；（二）关于图形变换的基本考法． 1 ．按要求的“变换“画图．

题 1 ．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，△ ABC 的点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．⑴ 画出△ ABC 向下平移 4 个单位后的△ A1B1C

1 ；⑵ 画出△ ABC 绕点 O顺时针旋转 90° 后的△A2B2C2 ，并求点 A旋转到 A2 所经过的路线长．

A

B C O

2 ．由图形变换引出的几何计算题 2 ．如图，已知△ ABC 的面积为 3 ，且 AB=AC ，现将△ ABC 沿 CA 方向平移 CA 长度得到△ EFA ．⑴ 求△ ABC 所扫过的图形的面积；⑵ 试判断 AF 与 BE 的位置关系，并说明理由；⑶ 若∠ BEC=15° ，求 AC 的长．

A(C) E

FB

C

题 3 ．如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中， M 、 N 分别为 AD 、 BC 的中点，将点 C 折至 MN 上落在点 P 的位置，折痕为 BQ ，连结 PQ ．⑴ 求 MP 的长；⑵ 求 PQ 的长．

A M D

B CN

PQ

3 、用“图形变换”的眼光识图和构图题 4 ．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结 DC ．⑴ 请找出图②中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；⑵ 证明： DC⊥BE ．

图① 图②

D

C E

A

B

题 5 ．如图，把一张长方形纸片对折，折痕为 AB ，再以 AB 的中点 O 为顶点把平角∠ AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以 O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（ ）

A B

A BO O

A

BO

A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形

A

B C

D E

2

2

题 6 ．如图，已知多边形 ABDEC 是由边长为 2 的等边三角形 ABC 和正方形 BDEC组成，一圆过 A 、 D 、 E 三点，求该圆半径的长．

二、从变换的视角看图形的全等● 一个情境中的全等图形往往还伴随着它们的位置关系，因此，在许多情况下借助位置关系来考察全等关系常常是很有效的．㈠从轴对称的视角来考察图形1 ．当题目的背景图形是轴对称图形时

题 1 ．已知，如图， Rt△ABC Rt≌ △ADE ，∠ ABC=∠ADE=90° ．试以图中标有字母的点为端点，连结出新的线段，并请你把满足相等、或垂直、或平行关系的线段找出来，然后选择一种关系予以证明．

C

A

BDF

E

题 2 ．将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使点 C 与 A 重合，点 D 落到 D′处，折痕为 EF ．

⑴ 求证：△ ABE≌△AD′F ；⑵连结 CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．

2 ．善于从较复杂的图形看到轴对称的部分

DA

B C

F

D′

题 3 ．将一张矩形纸片沿对角线剪开（如图①），得到两张三角形纸片（如图②中的△ ABC 和△ DEF ），再将这两张三角形纸片摆放成如下图③的形式，使点 B、 F 、 C 、 D 在同一条直线上．

⑴ 求证： AB⊥ED ；⑵ 若 PB=BC ，请找出图中与此条件有关的一对全等

三角形，并给予证明．

AE

F D B

C

A

E

F DB C

NM

P

① ② ③

题 4 ．如图①，一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形 ABCD保持不动，将三角尺 G

EF 绕斜边 EF 的中点 O （点 O 也是 BD 中点）按顺时针方向旋转．

A(G) B(E)

CD(F)

①

O

⑴ 如图②，当 EF 与 AB 相交于点 M ， GF 与 BD 相交于点 N 时，通过观察或测量 BM ， FN 的长度，猜想BM ， FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；

⑴ 如图②，当 EF 与 AB 相交于点 M ， GF 与 BD 相交于点 N 时，通过观察或测量 BM ， FN 的长度，猜想BM ， FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；

②

C

BA

G

DF

E

M

ON

③

N C

AG

B

E

M

D

OF

( 一 )从旋转的视角来考察图形1 ．当背景图形是具有“旋转对称”的基本图形或其变形时．

题 1 ．如图①，在正方形 ABCD 中，点 E ，F 分别为边 BC ， CD 的中点， AF ， DE 相交于点 G ，则可得结论：① AF=DE ；②AF⊥DE ．（不需要证明）

BE

G F

A D

C

图①

⑴ 如图②，若点 E ， F 不是正方形 ABCD 的边 BC ， CD 的中点，但满足 CE=DF ，则上面的结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）

B E

GF

A D

C

图②

BE

G

F

A D

C

图③

⑵ 如图③，若点 E ， F 分别在正方形 ABCD的边 CB 的延长线和 DC 的延长线上，且 CE=DF ，此时上面的结论 1 ， 2 是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．

BE

G

F

A D

C

图④

N

MP

Q

⑶ 如图④，在⑵的基础上，连接 AE 和 EF ，若点 M ， N ， P ， Q 分别为 AE ， EF ， FD， AD 的中点，请判断四边形 M ， N ， P ， Q是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种？并写出证明过程．

题 2 ．用两个全等的等边三角形△ ABC 和△ACD拼成菱形 ABCD ．把一个含 60° 角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的 60° 角的顶点与点 A 重合，两边分别与 AB ， AC 重合 . 将三角尺绕点 A 按逆时针方向旋转．

⑴ 当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC ， CD 相交于点 E ， F 时，（如图①），通过观察或测量 BE， CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

A

B C

D

E

F

图①

⑵ 当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC ，CD 的延长线相交于点 E ， F 时（如图②），你在⑴中得到的结论还成立吗？简要说明理由．

A

B C

D

E

F

图②

2 ．当背景图形中有“两组等边做成有公共顶点的等角”时

题 3 ．如图，四边形 ABCD 、 DEFG 都是正方形，连接 AE 、 CG ， AE 与 CG 相交于点 M ， CG 与 AD 相交于点 N ．

求证：⑴ AE=CG ；(2)AN·DN=CN·MN ．

题 4 ．如图①，△ ABC 和△ CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C ，连结 AF 和 BE ．

A

B C

E

F

图①

⑴ 线段 AF 和 BE 有怎样的大小关系？证明你的结论；

⑵ 将图①中的△ CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图②，⑴中的结论还成立吗？作出判断并说明理由；

⑶ 将图①中的△ ABC 绕点 C 旋转一定的角度，画出变换后的图形，⑴中的结论是否还成立？⑷ 根据以上的活动，归纳你的发现．

A

BC

E

F

图②

AB

C

E

F

图③

（三）从“平移”的视角考察图形 题 1 ．现有若干张边长不相等但都大于 4cm 的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点 2cm处，沿 45° 角画线，将正方形纸片分成 5 部分，则中间阴影部分的面积是 cm ；

若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？ ．

45°

45°

45°

45°2cm

2cm

2cm

2cm

题 2 ．如图，已知△ ABC ． ABC⑴ 请你在 BC 边上分别取两点 D ， E （ BC

的中点除外），连结 AD ， AE ，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；

⑵ 请你根据使⑴成立的相应条件，证明 ABAC﹥AD+AE ．． A

B C

题 3 ．两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF重叠在一起，其中∠ A=60° ， AC=1. 固定△ ABC 不动，将△ DEF 进行如下操作：

如图，△ DEF 沿线段 AB 向右平移 (即 D 点在线段 AB内移动 ) ，连结 DC 、 CF 、 FB ，四边形 CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积 .

A B E

FC

D