一 .平行四边形及其性质1. 定义 :两组对边分别平行的四边形2.性质 :

关于角 : 对角相等

关于边 : 对边相等

关于对角线 : 对角线互相平分

A B

CD

O

平行四边形的判定方法

两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；

◆ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

如图，四边形 ABCD ， AC 、 BD 相交于点 O, 若 OA=OC,OB=OD, 则四边形 ABCD 是__________, 根据是 _____________________两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

平行四边形A

B C

D

O

如图，四边形 ABCD 中， AB//CD, 且AB=CD, 则四边形 ABCD 是 ___________, 理由是 ____________________________

A

B C

D

平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

一装潢店要招聘店员，老板出了这样一道考题：“一顾客要一张平行四边形的玻璃，你利用直尺度量哪些数据可说明这张玻璃符合顾客要求。”你能为招聘人员设计一个方案吗？

开动脑筋

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

用两根长 40cm 的木条和两根长 30cm 的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴进行交流。

议一议

40cm 30cm

方案一 将两条相等的木条作为一组邻边，再用另外两根木条加固，得到一个四边形。

30cm

30cm

40cm

40cm

方案二： 将两根同样长的木条 AD 、 BC 作为对边放置 , 再用木条 AB 、 DC 加固, 得到四边形 ABCD ，它是平行四边形吗？ A

B C

D

已知：四边形 ABCD 中， AB=CD ， AD=BC.

求证：四边形 ABCD 为平行四边形 .

证明：连结 AC. ∵AB=CD ， AD=CB ， AC=CA ， ∴△ABC CDA(SSS).≌△ ∴∠1= 2, 3= 4,∠ ∠ ∠ ∴AB CD,AD CB,∥ ∥ ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形 . （两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

B C

A D1

23

4

两组对边分别相两组对边分别相等等的四边形是平行四的四边形是平行四边形。边形。 A

B

C

D

A

B

C

D

结论：

几何语言：

AC BD,AB CD∥ ∥ ABCD

在图 4-10 中， AC=BD=16 ， AB=CD=EF=15 ，CE=DF=9 。图中有哪些互相平行的线段？

A

B

C

D

E

F

图 4-10

解 :∵AC=BD=16,AB=CD=15, ∴ 四边形 ABDC 是平行四边形 ; ( 根据两组对边分别相等的 四边形是平行四边形 ) ∴AB CD∥ , AC BD∥ . 又∵ CD=EF=15,CE=DF=9, ∴ 四边形 CDFE 是平行四边形 ; ( 根据两组对边分别相等的 四边形是平行四边形 ) ∴CD EF, CE DF∥ ∥ .

一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？

（不一定，可能是等腰梯形。）

（ 1 ）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（ 2 ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（ 3 ）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（ 4 ）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

判定

文字语言 图形语言 符号语言

定义

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

∵AB CD,AD∥ ∥BC

∴… 是平行四边形

定理

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

∵AB=CD,AD= BC …∴ 是平行四边形

定理

对角线互相平分的四边形是平行四边形

∵OA=OC,OB=

OD …∴ 是平行四边形

定理

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

∵AB CD,AB=∥CD …∴ 是平行四边形

Ａ Ｂ

ＣＤ

Ａ Ｂ

ＣＤ

Ａ Ｂ

ＣＤ

Ａ Ｂ

ＣＤO

边

角

对角线

两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等

对角线互相平分

的四边形是平行四边形？？？

例：若在四边形 ABCD 中 ,∠A=∠C 且∠ B=∠D，则四边形 ABCD 为平行四边形吗？

D

C

A

B

两组对角分别相等的四边形是平行四边形 .

∵∠A= C∠ ，∠ B= D∠

∠A ＋∠ C ＋∠ B ＋∠ D﹦360o

∴∠A ＋∠ B﹦180O

∴AD BC∥

同理 AB CD∥

∴ 四边形 ABCD 是平行四边形

（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

1 、有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形吗？

解 : 如果相等的两组边分别是对边 ,那么这个四边形一定是平行四边形 ; 如果相等的边分别是邻边 , 那么这个四边形未必是平行四边形 .

2 、如图 , 四个全等三角形拼成一个大的三角形 ,

找出图中所有的平行四边形 , 并说明理由 .

解：平行四边形有： A1A2A5A3 ， A2A3A5A4 ， A2A3A6A5 。

本节小结本节小结

平行四边形的判别方法平行四边形的判别方法 :: 两组对边分别平行两组对边分别平行的四边形是平行四边形；的四边形是平行四边形；

两组对边分别相等两组对边分别相等的四边形是平行四边形；的四边形是平行四边形；

一组对边平行且相等一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；的四边形是平行四边形；

两条对角线互相平分两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。的四边形是平行四边形。

边

角

对角线

两组对边分别平行两组对边分别相等

两组对角分别相等

对角线互相平分

的四边形是平行四边形

一组对边平行且相等

1. 判断题：

（ 1 ） 相邻的两个角互补的四边形是平行四边形（ 2 ） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（ 3 ） 对角线相等的四边形是平行四边形

（ 4 ）对角线互相平分的四边形是平行四边形

2 、在下列条件中 , 不能判定四边形是平行四边形的是 ( )

(A)AB CD,AD BC∥ ∥

(B) AB=CD,AD=BC

(C)AB CD,AB=CD ∥

(D) AB CD,AD=BC∥

(E) AB CD, A= C∥ ∠ ∠

D

A

B C

D

　 3 、给出四边形ＡＢＣＤ的四个内角∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ、∠Ｄ的度数之比，则比为哪一组时，四边形ＡＢＣＤ为平行四边形（　　　）

　Ａ、１：２：３：４　Ｂ、２：２：３：４

　Ｃ、２：３：２：３　Ｄ、２：３：３：２

4 、在四边形 ABCD 中 , 已知 AD BC,∥ 要使四边形 ABCD 为平行四边形 , 需要增加条件 :______________

C

AB CD∥ ，或 AD=BC

4 、 在四边形 ABCD 中 , 从 (1)AB CD,(2)AB∥＝ CD ,(3) BC AD,(4) BC=AD∥ 四个条件中任选两个 , 能使 ABCD 是平行四边形的选法有 ______ 种

5 、 能判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( ) A 、一组对边平行 , 另一组对边相等 B 、 一组对边平行 , 一组对角相等 C 、一组对边平行 , 一组邻角相等 D 、 一组对边相等 , 一组邻角相等

3

B